Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo nuovo oggetto didattico...

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Con questo nuovo oggetto didattico si vuole analizzare ed approfondire la legge del parallelismo con riferimento a casi particolari di piani e relative

posizioni descrittive. In modo particolare verranno analizzati i piani generici paralleli alla lt che hanno le tracce parallele (ma non è detto che tali siano i piani) e i piani

generici incidenti la lt che hanno le tracce coincidenti e unite alla lt.Anche per questi casi sono state definite notazioni insiemistico - descrittive

trasformate in algoritmi grafici.

L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva

La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la

proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici.

Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo

rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità.

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio FragassiIl materiale può essere riprodotto citando la fonte

Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1990/1991

da Omogrosso Concezio della classe 3 B

dell’Istituto statale d’arte “G. Mazara” di Sulmona

per la materia :“Disegno geometrico”

Insegnante: Prof. Elio FragassiLa revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla

dott.ssa Gabriella Mostacci

CASI PARTICOLARI

La condizione di parallelismo va impostata tra elementi geometrici aventi stesse caratteristiche come ad esempio

due o più piani generici [( // // ) 1, ( / / // ) 2]due o più piani orizzontali [( // // ) //

1]due o più piani di profilo [( // // ) 1,( // // )

2]Altrimenti, date le tracce dei piani è necessario verificare

la sussistenza o meno di Tr per definire l’esistenza o

meno del rapporto geometrico-descrittivo definito, costante e continuo relativo alla condizione del

parallelismo.Per alcune tipologie di piano è necessario, però, fare qualche precisazione, sia per quanto attiene l’aspetto dell’impostazione delle leggi che per quanto attiene il

processo della verifica.

Un caso particolare si verifica quando si tratta la tipologia del

“piano generico parallelo alla lt”In questo caso se si opera, ad esempio, con due piani e aventi queste caratteristiche, le quattro tracce t1, t1,

t2, t2 saranno parallele tra loro, (Fig.06) il che può trarre facilmente in inganno in quanto si verifica la condizione fondamentale: // r

che in questo caso non è sufficiente, né per imporre, né per verificare la condizione di parallelismo tra i due piani

dati.

A questo punto è bene ricordare la formalizzazione dinamico-descrittiva del piano espressa come di seguito

Se consideriamo il “piano rigato”, ricordando che la condizione di parallelismo è una legge geometrico-descittiva “concreta, definita, costante e continua”, allora è possibile operare, invece che con le

tracce dei piani, con le rette del “piano rigato” facendo in modo che questi quattro presupposti risultino impostati o verificati tra due

o più rette qualsiasi appartenenti ai due piani.

-

r

+

-

+

-

P = πPiano rigato

Piano punteggiato

Ciò chiarisce che un piano qualsiasi può essere riguardato come “piano rigato” o “piano punteggiato” a seconda dell’elemento generatore che si ritiene opportuno assumere per la discussione del

problema.

Verifica e impostazione mediante la legge del parallelismo tra rette Se i piani sono paralleli

significa che ad una retta dell’uno corrisponde una retta dell’altro, parallela alla prima e viceversa. (Fig.07). Quindi sia per verificare sia per impostare il parallelismo tra due o più piani, ricadenti nella tipologia oggetto di discussione, è necessario fare riferimento alle leggi del parallelismo tra rette, rette che -ovviamente- devono appartenere ai piani in esame.

Ad esempio, dati i due piani e caratterizzati, dal punto di vista geometrico,

come di seguito | 1, 2, //lt

| 1, 2, //lt

per verificare se // è necessario procedere come di seguito(Fig.08).

Definita una retta generica a costruire, mediante le condizioni di parallelismo tra rette, una retta b//a per cui sarà a’//b’ ed anche a’’//b’’.

Le proiezioni della retta b determinano le due tracce T1b e T2b che costituiscono i punti per i quali passano le tracce t1 e t2 del piano //.In questo caso, dati due piani e , come sopra definiti, la legge sarà espressa dalla seguente formalizzazione esplicativa o deduttiva insiemistico-descrittiva

t1 T1a

t2 T2a

T1b t1

T2b t2

a’//b’a”//b”

//

Questa doppia condizione può essere, verbalmente, così espressa:

Due piani generici, paralleli alla lt, sono tra loro paralleli se, e solo se, ciascuno di essi contiene una retta parallela ad una retta

dell’altro piano.

a // b

In forma sintetica insiemistico - descrittiva, la legge di cui sopra sarà espressa come di seguito

e reciprocamente

dove, i legami di contenimento e di appartenenza, sono esplicitati nella formalizzazione di cui sopra.

(12 lt)

(12 lt) a|a b

b

(12 lt)

(12 lt) b|b a

a

Data la proiezione ortogonale dei piani e , della fig. 09 ricadenti nella tipologia in esame, per verificare l’esistenza o meno della condizione di parallelismo procediamo

come di seguito. Conduciamo per una retta generica x qualsiasi che sia però x. Poi per una retta y che sia parallela alla retta x; per cui sarà y’//x’. Dovendo essere y, determiniamo T1y t1 da cui è facile definire y’’//x’’.

Definita y’’ può accadere che T2yt2. Allora il parallelismo delle due distinte rette, appartenenti ai due piani, chiarisce anche il parallelismo dei piani.

Altrimenti, se T2y t2, - come accade nel disegno di fig. 09 - la risoluzione grafica vuol significare che la retta y quindi i due piani non sono paralleli. Le stesse considerazioni possono svilupparsi nel caso in cui si opera per prima il parallelismo tra le proiezioni seconde x’’//y’’ determinando quindi T2yt2 verificando, poi, l’appartenenza o meno di T1y a t1

Se la condizione deve essere imposta, allora, è necessario operare secondo una procedura reciproca a quella analizzata di sopra.Definito, quindi, un certo piano (12lt) perché un secondo piano (12lt) sia parallelo al primo, è necessario che esso contenga una retta b parallela ad una qualsiasi retta a del piano dato .

t1 T1a

t2 T2a

T1b t1

T2b t2

a’//b’a”//b”

//

La formalizzazione impositiva insiemistico - descrittiva può essere

sintetizzata come di seguito:

mentre la definizione verbale può essere recitata come appresso

Perché due piani generici paralleli alla lt siano paralleli è necessario che tali siano due distinte rette appartenenti

ciascuna ad uno di essi

a // b

Pertanto la procedura è quella evidenziata nella figura 10 esposta di seguito.

Definite le tacce del piano (12lt), costruiamo la

retta a per cui sarà

T1a t1 ed anche

T2a t2

Definite quindi le proiezioni della retta a(a'; a'') costruiamo le proiezioni di una retta b//a per cui sarà

a'//b' ed anche a''//b''

Definite le proiezioni della retta b, con facilità si individuano le tracce T1b e T2b della stessa, tracce per le quali condurre

t1//t1 ed anchet2//t2

VERIFICA E IMPOSIZIONE MEDIANTE LA LEGGE DELL'APPARTENENZA

La verifica o imposizione del parallelismo tra due o più piani ricadenti in questa tipologia può essere effettuata anche in questo secondo modo, privilegiando la legge dell’appartenenza come sviluppato, graficamente, nella figura 11.

Dati i piani e , la procedura si sviluppa attraverso vari passaggi come esplicitati nel seguito della presente

Costruita una retta generica x appartenente al piano , x, si definisce una proiezione y’//x’ di una retta y. Definita, quindi, T1y si è in grado di completare la rappresentazione di y con la ricerca di T2y e quindi di y’’. A conclusione di questa operazione la retta y risulterà completamente definita, in tutti e quattro gli elementi rappresentativi.

Analizzando, ora, la seconda proiezione può accadere che y’’ x’’, allora sarà anche ; se invece accade che y’’//x’’ si può asserire che anche // .

VERIFICA E IMPOSIZIONE MEDIANTE LA LEGGE DELL'APPARTENENZA

Le identiche considerazioni possono svilupparsi nel caso in cui si opera partendo dal parallelismo delle seconde

proiezioni.

Costruito, infatti, y’’//x’’ si determina T2yt2 perché

y quindi si completa la determinazione di y’ mediante la definizione di T1yt1. Fatto ciò si analizzano le prime proiezioni e, se accade che y’//x’ allora sarà anche //; se invece accade che y’x’, allora sarà anche .

La formalizzazione insiemistico - descrittiva, sia per l'aspetto deduttivo sia per l'aspetto impositivo, assume la stessa fisionomia, solamente che in questo caso si predilige la legge dell'appartenenza. Stante quanto detto, le due formalizzazioni possono essere riproposte nelle forme e con le medesime definizioni verbali precisando che la verifica o l'imposizione avviene attraverso l'enfatizzazione delle leggi dell'appartenenza e reciproca contenenza.

I due piani della figura 11 sono obliqui perché le due proiezioni

di y sono oblique a quelle di

x.

Un altro caso particolare si verifica quando si tratta la tipologia del “piano generico incidente la lt” che esaminiamo di seguito.

Poiché ogni piano ricadente in questa tipologia ha le tracce coincidenti con la lt, rappresentare due o più piani con queste caratteristiche equivale ad individuare tutte le tracce dei piani coincidenti con la lt come accade in fig. 12.Il problema, vuoi della verifica, vuoi dell’imposizione della condizione di parallelismo resta irrisolto in quanto la lt, essendo il luogo geometrico dei punti uniti, non esplicita la posizione dei piani , , , ecc. nello spazio del diedro.

Ricordando che “il parallelismo” è un legame descrittivo concreto definito, continuo e costante, tra elementi geometrici; nel caso in esame, si riscontrano le seguenti situazioni.Due piani generici e che hanno le tracce “incidenti la lt”, per rispettare le proprietà di cui sopra, devono essere coincidenti come graficizzato nella

successiva figura 13.

In questo caso le quattro proprietà si caratterizzano come

di seguito1. Rapporto “concreto”: le

tracce pur se coincidenti con la lt sono rette reali.

2. Rapporto “definito”: distanza nulla tra ogni elemento dei piani

3. Rapporto “costante”: ad ogni punto di corrisponde un solo punto di 4. Rapporto “continuo”: per ogni retta dinamica

appartenente ad esiste una sola retta dinamica appartenente a nel rispetto della seguente formalizzazione dinamico-insiemistica: s ! r r ! s e viceversa

Possiamo concludere, quindi, con la seguente definizione

Due (o più) piani generici incidenti la

lt per essere paralleli devono essere

coincidenti

Il concetto può essere rappresentato, con la simbologia insiemistico-descrittiva, dalla

seguente espressione

1,2, lt) (1, 2, lt)/ /

Quanto detto vale anche per il processo di verifica, per cui si può enunciare quanto di seguito

Due (o più) piani generici incidenti la lt se sono coincidenti sono anche paralleliIl concetto può essere rappresentato, in forma insiemistico - descrittiva,

dalla seguente espressione

// 1,2, lt) (1, 2, lt)Può accadere che due piani generici e pur avendo le tracce “incidenti la lt” non verificano le proprietà del rapporto descrittivo, concreto, definito, costante e continuo di cui sopra.Allora, come è facile leggere nel disegno di figura 14, si verifica che il rapporto descrittivo, concreto, definito, non è né costante né continuo in quanto la distanza tra i piani è variabile e diversa da punto a puntoMancando la verifica di queste tre proprietà si può concludere che i due piani, pur aventi le tracce “incidenti alla lt”, non sono paralleli in quanto non coincidenti. Questa caratteristica viene sintetizzata dalla seguente espressione geometrico-descrittiva.

(1,2, lt) (1, 2, lt)

A conclusione dell’analisi delle situazioni particolari è necessario chiarire, comunque, che la seguente relazione fondamentale insiemistico-descrittiva

// a | a//b b

e le relative esplicitazioni possono essere applicate –sia nella fase di costruzione che in quella di verifica del parallelismo– anche ai piani che non ricadono in queste tipologie come nei disegni specifici delle seguenti figure 15 e 16.

Nella figura 15, infatti, il parallelismo tra i due piani // è stato costruito per mezzo degli elementi geometrici legati tra loro come espresso dalla seguente relazione.

Nella figura 16, invece, avviene che perché i legami tra gli elementi geometrici, piano e retta, sono quelli indicati nella formalizzazione che segue.

a a//b b // x y//x y

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative alle tipologie di piani trattate nei casi particolari (procedura deduttiva).

Dato Risultato

Spiegazione

t1 T1a

t2 T2a

T1b t1

T2b t2

a // b

a' // b'a''// b''

// Data la formalizzazione insiemistico-descrittiva,in forma esplicativa o deduttiva, riportata a fianco, risolvere i quesiti sottostanti

T1a

T2a

a’

a”

T1b

T2b

b’

b”

Definita la retta a, applicando la legge del parallelismo tra rette si

definisce b’//a’ con T1bt1La proiezione b’ determinando anche il piede

della seconda traccia ci porta a definire la posizione di T2bt2. A questo

punto definita b”//a” si osserva che T2b t2quindi (b//a)Se si

costruisce b” T2b accade che b”a”. Da ciò si deduce che i due piani sono

obliqui quindi a

Dato Risultato

Spiegazione

PARALLELISMO TRA PIANI CASI PARTICOLARI DI PARALLELISMO-ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE (2)

T1a

T2a

a’

a”

T1b

b’T2b

b”

Dopo aver costruito la retta a , applicando le leggi del parallelismo

tra rette costruiamo b’//a’ con T1b t1 .

La proiezione b’ ci consente di determinare sia il piede della T1b che il piede della T2b, quest’ultimo come intersezione della proiezione b’ con la lt.La costruzione di una perpendicolare alla lt, da questo punto fino alla t2, ci consente di ricercare e definire la posizione della traccia T2b t2.

Collegando T2b con il piede della T1b si determina b” in modo tale che sia

b .Analizzando la posizione della proiezione b” si ottiene il risultato grafico che b” a”, quindi b a.Poiché il parallelismo dei piani presuppone il parallelismo tra le rette, in questo caso essendo a b sarà anche .

Dato Risultato

Spiegazione

PARALLELISMO TRA PIANICASI PARTICOLARI DI PARALLELISMO-ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE (3)

Dopo aver costruito la retta a , applicando le leggi del parallelismo

tra rette costruiamo b”//a” con T2b t2 .

La proiezione b” ci consente di determinare sia il piede della T2b che il piede della T1b, quest’ultimo come intersezione della proiezione b” con la lt.La costruzione di una perpendicolare alla lt, da questo punto fino alla t1, ci consente di ricercare e definire la posizione della traccia T1b t1.

Si conclude la rappresentazione della retta b applicando in T1b la proiezione b’// ad a’.Analizzando la posizione di b’ si ottiene il risultato di (b’ //a’) ma poiché il parallelismo dei piani presuppone il parallelismo tra le rette appartenenti ai due piani, in questo caso accade che a//(b ). Pertanto sarà Quindi i due piani sono in rapporto di obliquità.

T1a

T2a

a’

a”

T1b

b’

T2b

b”

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative alle tipologie di piani trattate nei casi particolari (procedura impositiva).

Dato Risultato

Spiegazione

Data la formalizzazione insiemistico-descrittiva,in forma impositiva o applicativa riportata a fianco, risolvere i quesiti sottostanti

t1 T1a

t2 T2a

T1b t1

T2b t2

a // b

a' //b'a''//b''

//

T1a

T2a

a’

a”

T1b

T2b

b’

b”

t1

t2

Dopo aver definita una qualsiasi retta a si costruisce una retta b//a applicando le leggi del parallelismo tra rette per cui sarà b’// a’ e b”//a”.Determinate le proiezioni b’ e b”, si ricercano le tracce della retta b. Per fare ciò si costruiscono le perpendicolari alla lt partendo dai piedi delle tracce per determinare la collocazione di T1b e T2b. Per queste due tracce della retta b passeranno le tracce del piano e sarà T1bt1 e T2bt2. Sarà allora

Dato Risultato

Spiegazione


T1a

T2aa’

a”

T2b

b’

b”

t2

t1T1b

Poiché il parallelismo tra piani si fonda sul parallelismo tra rette appartenenti ai piani, la procedura impositiva si sviluppa nei seguenti passaggi.Costruita una retta a appartenente al piano dato (a), mediante le leggi dell’appartenenza e del parallelismo si conducono per A’A” due proiezioni di una retta b (b’;b”) in modo tale che siano (b’//a’) e (b”//a”). In questo modo si lega, con l’appartenenza, il punto A alla retta b (A’b’; A”b”) e, a sua volta, la retta b alla retta a mediante il parallelismo (b’//a’;b”//a”). Mediante le proiezioni della retta b possiamo risalire alle relative tracce T1b e T2b per le quali condurre le tracce del

piano in modo tale che sia //. Nel disegno si esplicita così [(t1T1b // t1; (t2 T2b)// t2]

Dato Risultato

Spiegazione


T1a

T2a

a’

b” T1b

T2b

b’

a”

Applicando la legge del parallelismo tra rette

T1a

T2a

a’

a”

Risultato Applicando l’appartenenza punto-retta-piano

T1b

T2b

b’

b”

1°Metodo–Applicando il parallelismo tra rette accade che dopo aver definito (a) e(b//a), la retta b infatti (t1 T1b).

2°Metodo–Applicando l’appartenenza della retta ai piani accade che dopo aver definito (a ) nel determinare (Ab) si ha che per b’//a’ si determina T1b ed anche T2b; ma (b”a” ).

Quindi non esiste alcun piano contenente A passante per t1

data

Traccia assegnata

Esercizio Risoluzione

T1x

T2x

x’

x”

T1y

T2y

y’

y”

t1

t2

Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.


T1x T2x

x’ x”T1y T2y

y’

y”

t1t2



T1x

T2x

x’

x”

y”

y ’

T1y

T2y

t1

t2



T1x

T2x

x’

x”

y’

y”

T1y

T2y

t1

t2



T1xT2x

x’

x”

y’

y”

T1yT2xt1

t2

t1

t2



x’

x”

T1x

T2x

y’

y”

T1y

T2yt1

t2

t1

t2



x’

x”

T1x

T2x

y’

y”

T1y

T2y

t1

t2

t1

t2


PARALLELISMO TRA PIANI – CASI PARTICOLARI TEMI SCRITTI DA VOLGERE IN FORMA DI ELABORATI GRAFICI

1. Dati il piano (1+2

+//lt) ed il punto A(A'=3; A''=3) tali che sia A, definire e rappresentare un piano //|A

2. Dati il piano (1-2

+//lt) ed il punto B(B'=-3; B''=5) tali che sia B, definire e rappresentare un piano //|B

3. Dati il piano (1-2

-//lt) ed il punto C(C'=4; C''=-4) tali che sia C, definire e rappresentare un piano //|C

4. Dati il piano (1+2

-//lt) ed il punto D(D'=1; D''=2) tali che sia D, definire e rappresentare un piano //|D

1. Data la retta a(//1+//2

+) ed un punto (BWID|Ba), definire e rappresentare // |(a; B)

2. Data la retta a(//1-//2

+) ed un punto (BWIID|Ba), definire e rappresentare // |(a; B)

3. Data la retta r(//1-//2

-) ed un punto (XWIIID|Xr), definire e rappresentare // |(r; X)

4. Data la retta r(//1+//2

-) ed un punto (XWIVD|Xr), definire e rappresentare // |(r; B)

1. Dati i punti A(A'=1; A''=3), B(B'=2; B''=4), definire e rappresentare i piani //|(A; B)

2. Dati i punti C(C'=-2; C''=4), D(D'=-1; D''=1), definire e rappresentare i piani //|(C; D)

3. Dati i punti E(E'=-2; E''=-4), F(F'=-4; F''=-1), definire e rappresentare i piani //|(E; F).

4. Dati i punti G(G'=1; G''=-2), H(H'=2; H''=-4), definire e rappresentare i piani //|(G; H)

VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHEOgni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50



Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)



Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:

1)Conoscenze teoriche

2)Capacità logiche

3)Competenze grafiche

Elementi della valutazione

Valutazioni Punti

1

4

3

2

PUNTEGGIO TOTALE

0,00 0,50 1,000,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

2,50

2,50

2,50

2,50

10,00

Test Eserc.

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito

http://www.webalice.it/eliofragassi

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