Il test di ipotesi - siditalia.it - Nicolucci Antonio - Il... · Applicando il test statistico...
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Il test di ipotesi Diapositiva preparata da ANTONIO NICOLUCCI e ceduta alla Società Italiana di Diabetologia. Per ricevere la versione originale si prega di scrivere a [email protected]
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Il test di ipotesi
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Una volta riassunti i dati in forma grafica o tabellare, ilpasso successivo consiste nellesplorare se esistanoparticolari associazioni (ad es. Esiste un rapporto tra obesite controllo metabolico? I valori di HbA1c sono pi alti neisoggetti con basso livello di scolarit?)
TEST STATISTICI
I test statistici servono ad accettare o a respingere(confutare) unipotesi.
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Ogni test statistico parte dallipotesi nulla di assenza didifferenze.Nellesempio precedente lipotesi nulla rappresentata daassenza di differenze nei valori medi di HbA1c in base alBMI (assenza di associazione)
Scopo del test statistico quello di accettare lipotesi nulla odi confutarla, accettando quindi lipotesi alternativa cheesistano differenze significative.
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Poich i soggetti studiati, per numerosi che siano,rappresentano sempre un piccolo campione di tutti quellipotenzialmente arruolabili, e a causa della variabilitbiologica, i risultati di un test statistico saranno sempreespressi in termini di probabilit.
Questo perch il campione da noi studiato potrebbe nonessere rappresentativo delluniverso dei pazienti e leconclusioni a cui arriviamo potrebbero pertanto essereerronee.
Nellaccettare o confutare lipotesi nulla quindi semprepossibile commettere un errore; se tuttavia la probabilit dicommettere tale errore molto bassa, allora accetteremocon sufficiente fiducia le conclusioni a cui siamo arrivati.
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In base a quale regola accettiamo o respingiamo lipotesinulla?
Valore di p
Indica la probabilit di commettere un errore rifiutandolipotesi nulla, e cio la probabilit di sbagliare affermandoche ci sia una differenza tra i gruppi messi a confronto.
Rifiutiamolipotesi nullaP
Esempio:I soggetti con BMI compreso tra 25 e 27 hanno una HbA1c di7.281.7I soggetti con BMI >30 hanno una HbA1c di 7.511.6
Ipotesi nulla: i livelli medi di HbA1c non differiscono in baseal BMI.
Ipotesi alternativa: i livelli medi di HbA1c sonosignificativamente pi alti nei soggetti con BMI>30 rispettoa quelli con BMI fra 25 e 27.
Utilizzando il test statistico appropriato (test t di Studentper dati non appaiati) il valore di p risulta essere di 0.009.
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P=0.009
Rifiutando lipotesi nulla e affermando quindi che esiste unadifferenza in termini di HbA1c in base ai livelli di BMI,avremo una probabilit inferiore all1% di sbagliare (9 sumille).In altre parole la probabilit che non vi sia associazione inferiore all1%.
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Un risultato statisticamente significativo non equivale a direche il risultato clinicamente rilevante
Esempio:Supponiamo che trattando 10.000 persone con diabete conlipoglicemizzante A si ottengano valori di HbA1c di 7.11.3 eche trattando altrettanti soggetti con lipoglicemizzante B siottengano valori di HbA1c di 7.31.4.Applicando il test statistico appropriato si ottiene un valoredi p
p
In qualsiasi studio, viene valutato un campione casuale dellapopolazione costituita da tutti i pazienti affetti da quella specificapatologia.
Lassunzione che quel campione sia rappresentativo dellinterapopolazione.
In realt, se lo studio fosse ripetuto tante volte, non otterremmosempre un risultato identico; quindi importante cercare distimare quale sia leffetto vero, che si otterrebbe studiandolintera popolazione, e non un campione di essa.
Gli intervalli di confidenza al 95% ci indicano che, con una probabilit del 95%, leffetto vero cade allinterno di un certo intervallo.
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Interpretazione
Con una probabilit del 95%, la reale riduzione degli eventicardiovascolari maggiori compresa fra il 14% e il 27%.
Esempio
The overview of placebo-controlled trials of ACE inhibitors revealed areduction in major cardiovascular events of 21% (95% CI 14-27).
Lancet 2000; 355:1955-64
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Gli intervalli di confidenza forniscono anche unaindicazione della significativit statistica.
Se infatti gli IC 95% includono il valore nullo, allorail risultato non statisticamente significativo.
Inoltre, gli IC 95% forniscono unidea dellaprecisione della stima.
Infatti, pi gli IC 95% sono stretti, pi la stima precisa (di solito, maggiore il campione studiato,pi gli IC 95% sono stretti).
N.B.
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Esempio
The ACE inhibitor group had a 5% (95% C.I. -1.2 to 12)higher survival.
Guardando al P, il risultato non statisticamente significativo,ma non per questo pu essere considerato irrilevante.
Suggerimento
Guardare allI.C. superiore e, se esso costituisce una differenzaclinicamente rilevante fra i due gruppi, considerare lo studiocome negativo ma non come prova definitiva di mancanza diassociazione.
Valori di p vs. Intervalli di Confidenza
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Confronto dellefficacia di duefarmaci in due campioni di 500pazienti.
Farmaco A Farmaco B
Efficace 400 340
Non Efficace 100 160
Totale 500 500
Efficacia di A 400/500 = 80%
Efficacia di B 340/500 = 68%
Diff. A-B (80%-68%)=12%
Farmaco A Farmaco B
Efficace 20 17
Non Efficace 5 8
Totale 25 25
Efficacia di A 20/25= 80%
Efficacia di B 17/25 = 68%
Diff. A-B (80%-68%)=12%
Confronto dellefficacia di duefarmaci in due campioni di 25pazienti.
p = 0.0001
I.C. 95% 7;17
p = 0.52
I.C. 95% -12;36
Valori di p vs. Intervalli di Confidenza
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Campione piccolo
Campione grande
0 50- 50- 100 100
A favore farmaco A
A favore farmaco B
12
IC 95%
Valori di p vs. Intervalli di Confidenza
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Guida alluso dei test statistici
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Per decidere il tipo di test pi appropriato per un determinato quesito bisogna domandarsi:
Che tipo di variabili devo studiare?
Nominali Ordinali Continue
Se la variabile continua distribuita normalmente?
Quanti sono i gruppi che devo confrontare?
2 gruppi 3 o pi gruppi
Scelta del test statistico
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Metodi parametrici
Basati su media e deviazione standard (o varianza). Siutilizzano perci nel caso di variabili distribuite normalmente.
Metodi non parametrici
Basati su frequenza e percentili. Si utilizzano perci nel caso divariabili la cui distribuzione non sia normale.
Scelta del test statistico
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I metodi statistici parametrici sono test statistici basati suiparametri media e deviazione standard.Per tale motivo, essi sono utilizzabili solo per variabili continuenormalmente distribuite.
I test statistici parametrici
Come si valuta la normalit di una distribuzione?
Approccio grafico
Skeweness e Kurtosis
Test di Kolmogorov-SmirnovDia
positiva
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Approccio grafico
Log Trigliceridemia (mg/dl)
700
600
500
400
300
200
100
0
Dev. Stand = 0,22 Media = 2,15N = 2876
Trigliceridi (mg/dl)
1000
800
600
400
200
0
Dev. Stand = 104,22Media = 162,0N = 2876,00
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Skewness e Kurtosis
Kurtosis
Skewness
Skewness>0 Skewness
Skewness e Kurtosis
Trigliceridi
1000
800
600
400
200
0
Dev. Stand = 104,22 Media = 162,0N = 2876,00
Statistiche descrittive
2876 28 1631 162,03 104,219 4,110 ,046 33,842 ,0912876
TRIGLValidi (listwise)
Statistica Statistica Statistica Statistica Statistica Statistica Errore std Statistica Errore stdN Minimo Massimo Media DS Asimmetria Curtosi
Se la misura di Skewness (asimmetria)o di Kurtosis divisa per il proprio errorestandard produce un valore >2 o
Test di Kolmogorov-Smirnov per un campione
2876162,03
104,219
,144,144-,1297,716,000
NumerositMediaDeviazione standard
Parametri normalia,b
AssolutoPositivoNegativo
Differenze pi estreme
Z di Kolmogorov-SmirnovSig. Asint. a 2 code
TRIGL
La distribuzione del test Normale.a.
Calcolato dai dati.b.
Test di Kolmogorov-Smirnov
Se p
I metodi statistici non parametrici sono test statistici basatisui ranghi delle osservazioni, cio sul loro numero d'ordineinvece che sulle osservazioni in s.
Quindi trasformando delle informazioni in ranghi si perdelinformazione relativa alla misura mantenendo soltanto quellarelativa allordinamento.
I test statistici non parametrici
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Siano dati i seguenti valori di una variabile: 11, 25, 3, 25, 20Ordino i valori della variabile: 3, 11, 20, 25, 25Assegno i ranghi che assumeranno i seguenti valori: 1, 2, 3, 4.5, 4.5Per i dati identici viene considerata la media dei ranghi altrimentiattribuibile alle misure (nel caso fossero state diverse), pertanto nelnostro esempio il valore di 4.5 deriva dalla media dei valori di ranghiche sarebbero stati assegnati ai due valori (4 e 5).
ESEMPIO DI CALCOLO DEI RANGHI
Siano dati i seguenti valori di una variabile: 11, 25, 3, 26, 20Per calcolare i ranghi devo prima ordinare i valori della variabile: 3, 11, 20, 25, 26Quindi assegno i ranghi che assumeranno i seguenti valori: 1, 2, 3, 4, 5
I test statistici non parametrici
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Sono giustificati quando:
le variabili hanno evidenti scostamenti dalla normalit (o sono fortemente asimmetriche o presentano pi di un picco);
quando il campione e' troppo piccolo per comprendere se esiste una distribuzione normale dei dati;
quando le osservazioni sono rappresentate da variabili ordinali o categoriche.
I test statistici non parametrici
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I metodi non parametrici sono tanto pi potenti quanto pi ladistribuzione si allontana dalla normale, mentre sono menopotenti dei corrispondenti metodi parametrici quando ci siavvicina alla normalit.
Scelta del test statistico
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Test parametrici Test non parametrici
Misure riassuntive Media e DS Mediana e range
Confronto fra 2 variabili Regressione lineare Chi-quadrato
Misura di correlazione fra due variabili
R di Pearson Rho di Spearman Tau-b di Kendall
Confronto dei valori fra due gruppi
Test t di Student Test di Mann-Whitney
Confronto prima-dopo Test t di Student per dati appaiati
Test di Wilcoxon
Confronto di valori fra pi gruppi
Analisi della varianza Test di Kruskall-Wallis
Analisi multivariata Regressione multipla Regressione logistica
Scelta del test statistico
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Test parametrici
Test non parametrici
Misure riassuntive
Media e DS
Mediana e range
Confronto fra 2 variabili
Regressione lineare
Chi-quadrato
Misura di correlazione fra due variabili
R di Pearson
Rho di Spearman
Tau-b di Kendall
Confronto dei valori fra due gruppi
Test t di Student
Test di Mann-Whitney
Confronto prima-dopo
Test t di Student
per dati appaiati
Test di Wilcoxon
Confronto di valori fra pi gruppi
Analisi della varianza
Test di Kruskall-Wallis
Analisi multivariata
Regressione multipla
Regressione logistica
I test statistici pi comuni
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Correlazione fra variabili
Che relazione intercorre fra peso e altezza?
La pressione arteriosa sistolica correlata allet?
A questi quesiti (ricerca di una correlazione fra duevariabili normalmente distribuite) possibile dare unarisposta con la regressione lineare.
Con tale tecnica possibile valutare se e in che misura ivalori di una variabile (variabile dipendente) variano(sono cio correlati) col variare di una seconda variabile(variabile indipendente).
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La correlazione fra peso ealtezza espressa da unaretta con equazioneY=+x
Il coefficiente , o pendenza, indica di quanto varia la
variabile dipendente al variare di ununit della variabile
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Scostamento di ognisingolo valore
dalla retta
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Peso=-51.6+0.76*altezza
Ad esempio, se altezza=190 cm
Peso=-51.6+0.76*190=92,8 kg
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ALTEZZA
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PESO
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70
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50
40
Femmine
Maschi
Peso=-51.6+0.76*altezza
Peso=4.5+0.41*altezza
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100
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60
50 190180170160150
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Correlazione fra variabili
Lesistenza di una relazione lineare fra due variabili continuenormalmente distribuite pu anche essere espressa dalcoefficiente di correlazione R di Pearson.
Il coefficiente R varia fra 1 e +1.
Il segno indica la direzione della correlazione:
se R negativo, allaumentare della variabile indipendentela variabile dipendente diminuisce;
se R positivo, allaumentare della variabile indipendentela variabile dipendente aumenta;
se R=0, non c correlazione fra le due variabili;
R2 indica la percentuale di variabilit della variabile dipendentespiegata dalla variabile indipendente.
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R=0.46 R2=0.21
R=0.22 R2=0.05
ALTEZZA
190180170160150140
PESO
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Confronto tra valori medi di due gruppi
Che differenza esiste tra i livelli medi pressori tra gruppo di controllo e trattati?
Per rispondere a questo quesito, si ricorre al test t diStudent.
t =Differenza tra le medie campionarie
Errore standard della differenza tra le medie campionarieDia
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220,0180,0140,0100,0 200,0160,0120,080,0
Test t di Student
Differenza fra le medie = (149,19-136,75) = 12,44Errore standard della differenza = 0,592 t = 12,44/0,592 = 21,014p
Confronto tra valori medi di pi gruppi
Nel caso in cui si vogliano confrontare i valori medi di pi gruppi, si ricorre allanalisi della varianza (ANOVA)
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0= no retinopatia 1=retinopatia background 2=retinopatia pre-proliferativa/proliferativa
Confronto tra valori medi di pi gruppi
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ociet It
aliana d
i Diabeto
logia.
Per rice
vere la v
ersione
original
e si pre
ga di sc
rivere a
siditali
a@sidi
talia.it
Correlazione fra variabili categoriche
Che relazione intercorre fra trattamento ed evento?
Per rispondere a questo quesito (ricerca di una correlazione fra duevariabili categoriche), bisogna anzitutto calcolare il numero dipazienti in ciascuna categoria di risposta (sia in numeri assoluti siain percentuale)
Si costruisce cos la tabella di contingenza 2x2, che confrontadirettamente la distribuzione degli eventi in base ai trattamentisomministrati.
Evento SI
Evento NO
Totale
Placebo 20 10 30
Farmaco Attivo
8 22 30
Diapos
itiva pre
parata d
a ANTO
NIO NIC
OLUCCI
e cedu
ta alla S
ociet It
aliana d
i Diabeto
logia.
Per rice
vere la v
ersione
original
e si pre
ga di sc
rivere a
siditali
a@sidi
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Tabella di Contingenza 2x2
EVENTOSI
EVENTONO
TOTALE
PLACEBO n%
2066.7
1033.3
30100
FARMACO n%
828.6
2273.3
30100
TOTALE n%
2846.7
3253.3
60100
Tavola di contingenza FARMACO * EVENTO Osservato
EVENTOSI
EVENTONO
TOTALE
PLACEBO n%
1446.7
1653.3
30100
FARMACO n%
1446.7
1653.3
30100
TOTALE n%
2846.7
3253.3
60100
Tavola di contingenza FARMACO * EVENTO Atteso
Percentuale di eventi attesi ipotizzando che farmaco e placebo abbiano la stessa efficacia
Diapos
itiva pre
parata d
a ANTO
NIO NIC
OLUCCI
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i Diabeto
logia.
Per rice
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ersione
original
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test del 2
2 = [(O A)2 / A]
EVENTOSI
EVENTONO
TOTALE
PLACEBO OsservatiAttesi
2014
1016
30
FARMACO OsservatiAttesi
814
2216
30
TOTALE n 28 32 60
2 = (20-14)2/14 + (10-16)2/16 + (8-14)2/14 + (22-16)2/16 = 9.643
Correlazione fra variabili categoriche
Per un valore di chi quadrato >3.84, respingeremo lipotesi nulla. Nel caso dellesempio, a un chi quadrato di 9.643 corrisponde in valore di p=0.002
Diapos
itiva pre
parata d
a ANTO
NIO NIC
OLUCCI
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ta alla S
ociet It
aliana d
i Diabeto
logia.
Per rice
vere la v
ersione
original
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ga di sc
rivere a
siditali
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Analisi multivariate
Diapos
itiva pre
parata d
a ANTO
NIO NIC
OLUCCI
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aliana d
i Diabeto
logia.
Per rice
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ersione
original
e si pre
ga di sc
rivere a
siditali
a@sidi
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Dallanalisi univariata allanalisi multivariata
Tutte le volte che, nellambito di una sperimentazione, si verificauno sbilanciamento in uno o pi fattori prognostici importanti
Quando vogliamo stimare il ruolo di un fattore in assenza diproblemi di confondimento creati da altre variabili
oppure
necessario limpiego di analisi multivariateDia
positiva
prepara
ta da A
NTONIO
NICOLU
CCI e c
eduta a
lla Socie
t Italia
na di Dia
betologi
a.
Per rice
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ersione
original
e si pre
ga di sc
rivere a
siditali
a@sidi
talia.it
Farmaco A Farmaco B p
HbA1c 7.11.6 7.51.7 0.0001
Et 6210 6411 0.0001
BMI 27.53.9 28.45.1 0.0001
Durata 11.28.6 11.78.5 0.13
Il farmaco A davvero pi efficace di B, o ladifferenza nel controllo metabolico legata alla pigiovane et e al BMI pi basso?
Quale sarebbe la differenza vera nei valori di HbA1cse i due gruppi avessero stessa et e BMI?
Diapos
itiva pre
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a ANTO
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logia.
Per rice
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a@sidi
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Farmaco A
Farmaco B
p
HbA1c
7.11.6
7.51.7
0.0001
Et
6210
6411
0.0001
BMI
27.53.9
28.45.1
0.0001
Durata
11.28.6
11.78.5
0.13
Lanalisi multivariata ci permette di valutare il ruoloindipendente di ogni singola variabile, a parit ditutte le altre.
y = + x
y = + 1x1 + 2x2 + 3x3 +...
Analisi univariata
Analisi multivariata
HbA1c = + 1farmaco+ 2BMI+ 3et+ 4durataDia
positiva
prepara
ta da A
NTONIO
NICOLU
CCI e c
eduta a
lla Socie
t Italia
na di Dia
betologi
a.
Per rice
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ersione
original
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rivere a
siditali
a@sidi
talia.it
p
Farmaco 0.31 0.0001
Et -0.0053 0.08
BMI 0.018 0.007
Durata 0.014 0.001
Interpretazione:
a parit di et, BMI e durata del diabete, il farmaco B associato ad una HbA1c significativamente pi alta di 0.31rispetto al farmaco A;
i valori di HbA1c crescono inoltre in modo significativoallaumentare del BMI e della durata del diabete, mentretendono a ridursi allaumentare dellet, sebbene questultimorisultato non raggiunga la significativit statistica.
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Per rice
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p
Farmaco
0.31
0.0001
Et
-0.0053
0.08
BMI
0.018
0.007
Durata
0.014
0.001
Nellesempio precedente la variabile dipendente(HbA1c) era una variabile continua, normalmentedistribuita.
In questi casi si utilizza la regressione multipla.
Nei casi in cui la variabile dipendente dicotomica, siutilizza la regressione logistica.
Analogamente, per variabili continue condistribuzione molto distante da quella normale,variabili ordinali o nominali a pi livelli, si utilizza laregressione logistica dopo aver dicotomizzato lavariabile.
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Un OR>1 indica un eccesso di rischio, mentre un valore
Riprendendo lesempio precedente, possiamo valutare quali siano ifattori associati al rischio di presentare valori di HbA1c 8.0%.
70
69.2% 71.9% 71.7%
30.8% 28.1% 28.3%
(RC)
0.9 (0.7-1.2) 0.9 (0.7-1.2)
(RC)
0.8 (0.6-1.0) 0.8 (0.6-1.0)
BMI 25 25.1-27 27.1-30 >30
73.0% 72.3% 73.1% 68.8%
27.0% 27.7% 26.9% 31.2%
(RC)
1.0 (0.8-1.3) 1.0 (0.8-1.3) 1.2 (0.9-1.5)
(RC)
1.1 (0.8-1.4) 1.1 (0.9-1.4) 1.3 (1.1-1.6)
Durata 15
78.8% 74.3% 67.7% 64.6%
21.2% 25.7% 32.4% 35.4%
(RC)
1.3 (1.0-1.6) 1.8 (1.4-2.2) 2.1 (1.7-2.6)
(RC)
1.1 (0.9-1.5) 1.4 (1.1-1.8) 1.4 (1.1-1.8)
Diapos
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talia.it
70
69.2%
71.9%
71.7%
30.8%
28.1%
28.3%
(RC)
0.9 (0.7-1.2)
0.9 (0.7-1.2)
(RC)
0.8 (0.6-1.0)
0.8 (0.6-1.0)
BMI
(25
25.1-27
27.1-30
>30
73.0%
72.3%
73.1%
68.8%
27.0%
27.7%
26.9%
31.2%
(RC)
1.0 (0.8-1.3)
1.0 (0.8-1.3)
1.2 (0.9-1.5)
(RC)
1.1 (0.8-1.4)
1.1 (0.9-1.4)
1.3 (1.1-1.6)
Durata
15
78.8%
74.3%
67.7%
64.6%
21.2%
25.7%
32.4%
35.4%
(RC)
1.3 (1.0-1.6)
1.8 (1.4-2.2)
2.1 (1.7-2.6)
(RC)
1.1 (0.9-1.5)
1.4 (1.1-1.8)
1.4 (1.1-1.8)
Riprendendo lesempio precedente, possiamo valutare quali siano ifattori associati al rischio di presentare valori di HbA1c 8.0%.
70
69.2% 71.9% 71.7%
30.8% 28.1% 28.3%
(RC)
0.9 (0.7-1.2) 0.9 (0.7-1.2)
(RC)
0.8 (0.6-1.0) 0.8 (0.6-1.0)
BMI 25 25.1-27 27.1-30 >30
73.0% 72.3% 73.1% 68.8%
27.0% 27.7% 26.9% 31.2%
(RC)
1.0 (0.8-1.3) 1.0 (0.8-1.3) 1.2 (0.9-1.5)
(RC)
1.1 (0.8-1.4) 1.1 (0.9-1.4) 1.3 (1.1-1.6)
Durata 15
78.8% 74.3% 67.7% 64.6%
21.2% 25.7% 32.4% 35.4%
(RC)
1.3 (1.0-1.6) 1.8 (1.4-2.2) 2.1 (1.7-2.6)
(RC)
1.1 (0.9-1.5) 1.4 (1.1-1.8) 1.4 (1.1-1.8)
A parit degli altri fattori,i pazienti trattati con il farmaco Bhanno una probabilit del 50% pi
alta di presentare valori di HbA1c 8.0%
Diapos
itiva pre
parata d
a ANTO
NIO NIC
OLUCCI
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e si pre
ga di sc
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siditali
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talia.it
70
69.2%
71.9%
71.7%
30.8%
28.1%
28.3%
(RC)
0.9 (0.7-1.2)
0.9 (0.7-1.2)
(RC)
0.8 (0.6-1.0)
0.8 (0.6-1.0)
BMI
(25
25.1-27
27.1-30
>30
73.0%
72.3%
73.1%
68.8%
27.0%
27.7%
26.9%
31.2%
(RC)
1.0 (0.8-1.3)
1.0 (0.8-1.3)
1.2 (0.9-1.5)
(RC)
1.1 (0.8-1.4)
1.1 (0.9-1.4)
1.3 (1.1-1.6)
Durata
15
78.8%
74.3%
67.7%
64.6%
21.2%
25.7%
32.4%
35.4%
(RC)
1.3 (1.0-1.6)
1.8 (1.4-2.2)
2.1 (1.7-2.6)
(RC)
1.1 (0.9-1.5)
1.4 (1.1-1.8)
1.4 (1.1-1.8)
Il test di ipotesiDiapositiva numero 2Diapositiva numero 3Diapositiva numero 4Diapositiva numero 5Diapositiva numero 6Diapositiva numero 7Diapositiva numero 8Diapositiva numero 9Diapositiva numero 10Diapositiva numero 11Diapositiva numero 12Diapositiva numero 13Diapositiva numero 14Diapositiva numero 15Guida alluso dei test statisticiDiapositiva numero 17Diapositiva numero 18Diapositiva numero 19Diapositiva numero 20Diapositiva numero 21Diapositiva numero 22Diapositiva numero 23Diapositiva numero 24Diapositiva numero 25Diapositiva numero 26Diapositiva numero 27Diapositiva numero 28I test statistici pi comuniDiapositiva numero 30Diapositiva numero 31Diapositiva numero 32Diapositiva numero 33Diapositiva numero 34Diapositiva numero 35Diapositiva numero 36Diapositiva numero 37Diapositiva numero 38Diapositiva numero 39Diapositiva numero 40Diapositiva numero 41Diapositiva numero 42Diapositiva numero 43Diapositiva numero 44Analisi multivariateDiapositiva numero 46Diapositiva numero 47Diapositiva numero 48Diapositiva numero 49Diapositiva numero 50Diapositiva numero 51Diapositiva numero 52Diapositiva numero 53
