Il significato Il significato geometrico geometrico

dell’integrale dell’integrale curvilineocurvilineo

Il significato Il significato geometrico geometrico

dell’integrale dell’integrale curvilineocurvilineo

Sia una curva regolare di ; sia una sua rappresentazione parametrica e una funzione

continua sul sostegno della curva. L’integrale

prende il nome di integrale curvilineo della funzione esteso alla curva .

n

:[ , ]a b

:f

( ( )) '( )b

afds f t t dt

| |

f

n

n

Sia una rappresentazione parametrica di con parametro uguale all’ascissa curvilinea s; essendo

allora e l’integrale curvilineo diventa

:[0, ]L

'( ( ))'( ) ( ( )) ( )

| '( ( )) |

d dt t ss t s s

dt ds t s

| '( ) | 1s

0( ( ))

L

f s ds

n

Consideriamo una curva rettificabile e fissiamo un verso di percorrenza; siano , gli estremi della curva e , ,…, gli N+1 punti del

sostegno di scelti in modo che preceda

nel verso indotto dal parametro s sulla curva.

(0)P ( )Q L

0P P1P NP Q

1iP iP

0P P

1P

1iP iP

NP Q

Ad ogni punto corrisponde un valore dell’ascissa curvilinea e, per ogni i=1,2,…N , risulta . Su ogni arco di curva di estremi e , si prenda un punto di ascissa curvilinea .

iP

( )i is P s

1i is s

i 1iP iP

'iP 'is

0P P1'P

1P2'P 2P

1iP

'iP

iP

NP Q

Se è la lunghezza dell’arco di curva ,allora si ha

(1)

essendo continua in [0,L], le somme (1)

convergono a

se

( )iL i

1

1 1

( ' ) ( ) ( ( ' ))( ).

N N

i i i i i

i i

f P L f s s s

( ( ))f s

0( ( ))

L

f s ds1max{ :1 } 0.i is s i N

Se è una curva del piano, è il suo sostegno e è una funzione continua, si può pensare l’integrale come una misura dell’area della superficie costituita dai punti dello spazio compresi tra

ed il grafico di su .

: [0, )f

fds

f

x

y

z

f