Le coniche da un punto di vista geometrico

Chiamiamo "cono circolare retto" la superficie generata dalla rotazione di una retta r intorno ad un'altra retta a (asse di rotazione) incidente ad r. Il punto V di intersezione tra r ed a è detto "vertice" del cono; l'angolo α formato da r con a (minore di un angolo retto) è detto "apertura" del cono.

Se r è parallela ad a la superficie ottenuta si chiama "cilindro circolare retto", che può intendersi come particolare cono (si dice che il vertice è all'infinito).

DEF. 1.1 Si chiama conica la curva ottenuta intersecando un cono circolare retto con un piano.

Detto β l'angolo formato dal piano secante con l'asse di rotazione del cono distinguiamo i seguenti tipi di coniche:

1) Piano non passante per il vertice:

a) β>α: β>α: β>α: β>α: ellisse (reale non degenere)

Il piano taglia solo una delle due falde del cono.

Nel caso particolare in cui β β β β è retto abbiamo la circonferenza.

b) β=α: β=α: β=α: β=α: parabola (reale non degenere).

Il piano taglia il cono lungo una sola falda.

b) β<α: β<α: β<α: β<α: iperbole (reale non degenere).

Il piano taglia il cono lungo le due falde.

2) Piano passante per il vertice:

a) β>α: β>α: β>α: β>α: conica degenere in un punto (detta di tipo ellittico).

L'intersezione si riduce al solo vertice.

b) β=α: β=α: β=α: β=α: conica degenere in due rette coincidenti (detta di tipo parabolico).

Il piano è tangente al cono.

c) β<α: β<α: β<α: β<α: conica degenere in due rette reali distinte incidenti ( tipo iperbolico).

L'intersezione si riduce a due generatrici distinte del cono

3) Il cono ha il vertice all'infinito (cilindro):

a) il piano non taglia il cilindro: conica immaginaria.

b) il piano taglia il cilindro ed è parallelo all'asse di rotazione: conica degenere in due rette distinte parallele.

Riepilogando si presentano i seguenti tipi di coniche:

a) CONICHE REALI NON DEGENERI

1) Ellisse (circonferenza)

2) Parabola

3) Iperbole

b) CONICHE REALI DEGENERI

4) In un punto (tipo ellittico)

5) In due rette reali distinte parallele (tipo parabolico) o incidenti (tipo iperbolico)

6) In due rette reali coincidenti (tipo parabolico)

c) CONICA IMMAGINARIA

7) Ellisse immaginaria (perchè, come vedremo, rientra nel tipo ellittico).

Osservazione

Un qualsiasi cono retto ammette come sezioni tutte le possibili ellissi e parabole ma non tutte le iperboli (solo quelle i cui asintoti formano un angolo non superiore all'angolo di apertura del cono).

Le coniche da un punto di vista analitico

Ricordiamo che in geometria analitica si chiama curva l'insieme dei punti le cui coordinate soddisfano un'equazione del tipo f(x,y) = 0. Se il primo membro di tale equazione è un polinomio (o si può ricondurre ad un polinomio) la curva è detta algebrica, altrimenti trascendente. Il grado del polinomio che individua una curva algebrica è detto ordine della curva.

DEF. 2.1 Chiamasi conica una curva algebrica del secondo ordine (a coefficienti reali) ovvero una curva di equazione

(1) f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

Si osservi come tutte le coniche note (reali non degeneri) abbiano un'equazione che rientra nel tipo (1).

Segnaliamo ora alcuni esempi di coniche degeneri, dopo aver ricordato che dal punto di vista analitico una conica è degenere se l'equazione che la rappresenta è soddisfatta da un unico punto reale (esempio 4x2 + 5y2 = 0) oppure se il polinomio che la individua è scomponibile.

1) Conica degenere in due rette reali distinte

x (x+y) = 0 (tipo iperbolico)

(x - 1 ) ( x + 1) = 0 (tipo parabolico)

2) conica degenere in due rette reali coincidenti

(x + y +1)(x + y + 1) = 0

Segnaliamo ora un esempio di conica completamente immaginaria:

3x2 + 4y2 = -1

Ovviamente non esiste alcuna coppia di numeri reali (x;y) che soddisfa l'equazione. Ripetiamo che tale conica è detta ellisse immaginaria perchè, come vedremo, rientra nel tipo ellittico.

Riconoscimento di una conica

Esaminiamo dapprima il problema del riconoscimento di una conica degenere e della ricerca delle rette componenti. Il problema, come già accennato, consiste nello stabilire se il polinomio che individua la conica si può scomporre; nei casi più semplici la scomposizione è immediata. Vediamo come si può procedere in generale, prendendo spunto da un esempio.

2x2 - xy - y2 + 3x + 3y - 2 = 0

Ordiniamo l'equazione per esempio nella variabile y:

y2 + (x - 3) y - 2x2 - 3x + 2 = 0

Il discriminante di tale equazione è un quadrato perfetto quindi si può esprimere la y linearmente rispetto alla x e pertanto la conica si spezza in due rette; dopo semplici calcoli si ottiene:

(y + 2x - 1) (y - x - 1) = 0

In generale se almeno una delle variabili è di secondo grado si procede come nell'esempio precedente: la conica sarà degenere se il discriminante dell'equazione relativa è un quadrato perfetto. Se nessuna delle due variabili è di secondo grado avremo un'equazione del tipo:

axy + bx + cy + d = 0 (con a diverso da zero).

Si presentano le seguenti possibilità:

1. d = 0: la conica è degenere solo se c = 0 o anche b = 0; 2. se c = 0 (o b = 0) deve essere d = 0; 3. se b, c, d sono diversi da zero si ha: x (ay+b) + (cy + d) = 0;

il primo membro sarà scomponibile se ay + b = k(cy + d), con k non nullo; come dire:

a = kc, b = kd

ovvero

a/c = b/d , ad - bc = 0.

Esempi:

2xy = 0, xy + x = 0 , xy +3y = 0, xy + x + y +1 = 0.

Prima di esporre il procedimento per riconoscere una conica non degenere si porga l'attenzione alle possibili intersezioni con una generica retta parallela ad uno degli assi cartesiani:

1. un'ellisse, comunque disposta nel piano, ha due intersezioni con una generica retta x=h, per h'≤h≤h''; lo stesso dicasi per una generica retta del tipo y=k, per k'≤k≤k''.

2. Un'iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani ha un'intersezione con ogni retta parallela ad uno degli assi cartesiani (escluse le rette che individuano gli asintoti).

3. Un'iperbole diversa da quelle esaminate nel punto precedente ha due intersezioni con una retta del tipo x=h oppure y=k in una zona del piano esterna ad una striscia ( ovvero per h≤h', h≥h'', k≤k', k≥k'').

4. Una parabola, comunque disposta, ha due intersezioni con una retta del tipo x=h oppure y=k in un semipiano (cioè per h≤h' oppure h≥h''; per k≤k' oppure k≥k'').

Detto questo è facile intuire come lo studio delle intersezioni con una generica retta parallela ad uno degli assi cartesiani permetta di riconoscere in maniera inequivocabile il tipo di conica.

Vediamo alcuni esempi:

1. 2x2 + xy - y2 +3x - y = 0

Il discriminante dell'equazione ordinata rispetto alla x risulta

9y2 + 14y + 9

che non è un quadrato perfetto (quindi la conica non è degenere); risulta:

9y2 + 14y + 9 ≥ 0

per ogni valore di y: ciò vuol dire che una qualsiasi retta y = k interseca la conica in due punti reali e distinti: non potremo avere né un'ellisse né una parabola; la conica é pertanto un'iperbole.

Notiamo che se ordiniamo l'equazione rispetto alla y ci accorgiamo che una generica retta del tipo

x = h interseca la conica in due punti reali per

h ≤ -1 oppure per h ≥ -1/9

2) x2 - 4xy + 4y2 + 4y = 0

Il discriminante dell'equazione ordinata rispetto alla x é -4y, che non é un quadrato perfetto e quindi la conica non é degenere; essendo

-4y ≥ 0 per y ≤ 0

possiamo dire che la conica ha punti reali in un semipiano e, in base a quanto osservato precedentemente, non può che essere una parabola.

3) x2 - xy + y2 + x - y = 0

Il discriminante dell'equazione ordinata rispetto alla x é

-3y2 + 2y + 1

che non è un quadrato perfetto (la conica é irriducibile) ed é

-3y2 + 2y + 1 ≥ 0€ per -1/3 ≤ y ≤ 1

Questo basta per dire che la conica é un'ellisse (che é l'unica conica non degenere che può avere punti reali solo in una striscia).

Un analogo studio delle intersezioni con una generica retta parallela all'asse delle y porta alla conclusione che la conica ha punti reali in un quadrato con i lati paralleli agli assi cartesiani (-1 ≤ x ≤ 1/3).

Osservazione

Oltre al modo visto negli esempi precedenti si può ricorrere alle particolari simmetrie possedute dalle coniche reali non degeneri per riconoscerne il tipo. E' noto infatti che l'ellisse e l'iperbole possiedono un centro di simmetria e due assi (ortogonali) di simmetria (sono dette per questo coniche a centro); la parabola ha invece un solo asse di simmetria (ortogonale).

Una conica del tipo Ax2 + Bxy + Cy2 + D = 0

essendo simmetrica rispetto agli assi cartesiani (scambiando x in -x e y in -y l'equazione non cambia) non può essere una parabola.

In generale si può procedere in questo modo:

• si esegue una traslazione degli assi cartesiani che porti l'origine nell'eventuale centro di simmetria C=(a;b): x = X + a, y = Y + b

• si impone che la nuova equazione manchi dei termini di primo grado in X e Y; se ciò é possibile avremo una conica a centro, altrimenti una parabola. N.B. Quanto detto sopra permette di trovare l'eventuale centro di una conica.

IL TEOREMA SUL RICONOSCIMENTO DI UNA CONICA.

La conica di equazione

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

• é una parabola (eventualmente degenere in due rette parallele) se:

b2 - 4ac = 0

• é un'ellisse (eventualmente immaginaria oppure degenere in un punto) se:

b2 - 4ac < 0

• é una'iperbole (eventualmente degenere in due rette incidenti) se:

b2 - 4ac > 0.

DIMOSTRAZIONE

Ordinando l'equazione rispetto alla x si ottiene il discriminante

(b2 - 4ac) y2 + (2bd - 4ae) y + d2 - 4af

1. Se b2 - 4ac = 0 avremo punti reali in un semipiano: la conica in tal caso é una parabola; se é anche 2bd - 4ae = 0 avremo una conica degenere in due rette parallele, immaginarie se d2 - 4af < 0.

2. Se b2 - 4ac < 0 il suddetto discriminante é ≥ 0 per valori interni (ed in tal caso la conica ha punti reali in una striscia e pertanto é un'ellisse) oppure é sempre negativo o nullo ed in tal caso é una conica completamente immaginaria oppure degenere in punto.

3. Con un ragionamento analogo si scopre che quando b2 - 4ac > 0 si ha un'iperbole o una conica degenere in due rette incidenti.

OSSERVAZIONE

La dimostrazione precedente permette di affermare che una conica é una parabola (eventualmente degenere in due rette parallele) se e solo se il complesso dei termini di secondo grado é un quadrato perfetto; una parabola ha quindi equazione del tipo

(ax + by)2 + cx + dy + e = 0

Si dimostra anzi che la retta di equazione ax + by = 0 é parallela all'asse

Riduzione a forma canonica dell'equazione di una

conica

Ci proponiamo di trasformare l'equazione generale di una conica (reale non degenere) in una più semplice, eseguendo una traslazione e/o una rotazione degli assi cartesiani in modo che:

• se la conica é a centro, tale centro coincida con l'origine del sistema di riferimento, i cui assi coordinati coincidano con gli assi della conica;

• se la conica é una parabola, l'asse coincida con uno degli assi cartesiani, la cui origine sia il vertice della parabola.

Vediamo come procedere con alcuni esempi.

1.

Con uno dei metodi visti si stabilisce che la conica è una parabola non degenere. Cominciamo col trasformare l'equazione in una del tipo

Y = AX2 + BX + C

mediante una rotazione degli assi cartesiani, le cui equazioni sono del tipo:

Sostituendo nell'equazione di partenza ed imponendo che si annullino i coefficienti di Y2 e XY si ottiene

e scegliendo, per esempio,

si ottiene l'equazione Y=X2+2X, che ha il vertice nel punto V=(-1;-1); basterà ora eseguire la traslazione che porti l'origine degli assi cartesiani in V: X=x'-1, Y=y'-1.

Si ottiene l'equazione y'=(x') 2, che è la forma canonica richiesta.

E' anche possibile determinare il vertice e l'asse di una generica parabola: dopo averla trasformata in una con asse parallelo all'asse delle ordinate, si trovano il vertice e l'asse rispetto al nuovo sistema di riferimento e, mediante la rotazione inversa, si possono ottenere vertice ed asse nel sistema di riferimento di partenza.

2. x2 - xy + y2 - 4x = 0

Si verifica facilmente che la conica è un'ellisse reale non degenere. Si esegue una traslazione di assi in modo che la conica venga ad avere il centro nell'origine:

x=X+a', y=Y+b';

si sostituisce nell'equazione di partenza e si impone che si annullino i termini di primo grado in X ed Y; si ottiene:

a' = 8/3, b' = 4/3;

la nuova equazione è:

X2 - XY + Y2 - 16/3 = 0

(notare come i coefficienti dei termini di secondo grado non cambino).

Si esegue ora una rotazione che porti ad annullare il termine XY :

(*)

sostituendo nell'equazione in X, Y ed annullando il termine in x'y' si ottiene

e scegliendo, per esempio, il valore positivo si arriva alla forma canonica

3(x') 2 + 9(y') 2 = 32

N.B.

Si può dimostrare che il valore di alfa che annulla il coefficiente di XY è quello per cui

con b non nullo (se b=0 manca già il termine xy nell'equazione di partenza!)

Notare come il procedimento utilizzato permetta anche di trovare il centro e gli assi della conica.

3. In modo del tutto analogo si procede nel caso di un'iperbole