Il matematico inaspettato

Universita degli Studi di Siena

Facolta di Lettere e Filosofia

Corso di Laurea in Filosofia

Il matematico inaspettatoLe intuizioni matematiche nei bambini dai 12 mesi ai 5 anni

Candidato: Relatore:

Antonella Galgano Chiar.mo Prof. Massimo Squillacciotti

Correlatore:

Chiar.mo Prof. Riccardo Putti

Anno Accademico 2008/2009

.

A Mario e Nicolo

I miei due scienziati

che mi hanno riconciliato con la matematica

Indice

Introduzione 7

1 Struttura della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Le capacita matematiche del bambino 9

1 Il concetto di numero in Piaget . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 La conservazione della quantita . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Stadi dello sviluppo cognitivo . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Lo sviluppo delle abilita numeriche nel bambino . . . . 13

1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino . . . 18

1.5 Dentro la teoria di Piaget . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 L’interpretazione olistica di Montessori . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Lo sviluppo non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Il piano dell’infanzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

L’embrione spirituale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Il lavoratore cosciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 L’interdipendenza dei quattro piani . . . . . . . . . . . 27

2.4 La critica al sistema educativo in atto . . . . . . . . . . 28

2.5 La nascita del concetto di numero . . . . . . . . . . . . 29

3 Antropologia del numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Il numero come espressione del pensiero . . . . . . . . . 33

3.2 I fondamenti del numero . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Le competenze numeriche dei bambini . . . . . . . . . 36

3.4 Innatismo nello sviluppo del concetto di numero . . . . 41

3.5 La teoria costruttivista del concetto di numero . . . . . 42

3.6 Le abilita numeriche del bambino molto piccolo . . . . 45

6 Indice

4 Riflessioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Il ruolo dell’ambiente nello sviluppo del bambino 49

1 L’apprendimento della musica per osmosi . . . . . . . . . . . . 50

2 Montessori: bambino e ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1 Ambiente e piani di sviluppo . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Il metodo tradizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 L’ambiente, maestro invisibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Osservazione 63

1 L’ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2 Il ruolo delle maestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Osservazione al Nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.1 Le abilita matematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Osservazione alla Casa dei Bambini . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica . . . . . . 81

4 Discussione 95

1 Abilita matematiche osservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2 Possiamo chiamarle abilita matematiche? . . . . . . . . . . . . 97

3 Concentrazione e “flow” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Fattori facilitanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1 I giochi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 L’ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Il ruolo dell’adulto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Che cosa manca in altri contesti? . . . . . . . . . . . . 101

5 Concludendo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Conclusioni 103

Introduzione

Non mi e mai piaciuta la matematica. Ancor meno il ricordo dell’ambiente

scolastico che nulla offriva per rendere interessante questa materia. E continua

a non piacermi la sequela di lamentele da parte di allievi ed amici sull’osticita

della matematica.

Ma deve essere necessariamente cosı?

L’esperienza come insegnante e come madre mi dice invece di no, che esistono

approcci in cui l’ambiente stesso spinge il bambino a rendere visibili le intui-

zioni matematiche presenti nell’essere umano fin dai primi mesi di vita. Non lo

credevo possibile, ma osservando bambini di un nido Montessori apprendere e

mettere in pratica concetti di quantita, di ordinamento e classificazione senza

che nessuno glielo insegnasse mi ha spinto ad indagare l’effetto dell’ambiente

sul manifestarsi dell’intuito matematico cui i bambini sono capaci.

Un’altra motivazione che mi ha spinto ad approfondire il tema di questa tesi

parte da una semplice constatazione: il bambino impara a parlare perche

immerso in un ambiente fatto di parole, puo addirittura imparare la musica

se immerso in un linguaggio musicale (Gordon, 2003). E per la matematica?

Perche non puo essere lo stesso? Che cosa fa si che questo apprendimento per

osmosi non funzioni? Non penso sia un problema intrinseco nella materia, ma

nel come l’ambiente che circonda il bambino non sia quasi mai preparato per

facilitare l’apprendimento della matematica, ma soffra di un preconcetto logico:

che la matematica, essendo una materia astratta, non debba ricevere aiuti

materiali dall’ambiente, come se questo, in qualche maniera, la contaminasse.

In questa tesi mi prefiggo quindi di dimostrare che un ambiente di appren-

dimento preparato e accogliente riesce a far emergere nei bambini alcuni

8 Introduzione

concetti matematici in maniera naturale e senza esplicitamente proporre una

“didattica della matematica”.

La mia attenzione si e focalizzata su bambini che frequentano il nido e la scuo-

la dell’infanzia, cioe bambini tra i 12 mesi ed i 5 anni d’eta. Come strumento

di studio ho utilizzato l’osservazione diretta e passiva del comportamento di

bambini di un nido e una scuola dell’infanzia. Ho quindi messo in relazione

la filosofia su cui si basano queste strutture con l’effetto dell’ambiente sul

comportamento dei bambini. Per focalizzare l’attenzione e non trasformare

la tesi in uno sterile paragone tra diverse metodologie educative, accennero

brevemente all’offerta formativa di un nido e una scuola dell’infanzia tradi-

zionale, mentre mi concentrero sull’ambiente del Nido e “Casa dei Bambini”

della scuola Montessori di Varese.

1 Struttura della tesi

Nel capitolo 1 porro le basi del contesto cognitivo in cui si svolge l’apprendi-

mento della matematica nella fascia di eta sotto studio (Piaget, Montessori, e

gli esperimenti di Butterworth, Antell e Keating e altri). Passero quindi nel

capitolo 2 ad analizzare il ruolo nell’apprendimento degli ambienti educativi

e le differenti offerte dei nidi e scuole dell’infanzia.

Nel capitolo 3 definiro l’approccio osservativo che ho adottato ed i risultati

dell’indagine condotta presso la scuola Montessori di Varese, fase focalizzata

sull’analisi dei comportamenti dei bambini correlati all’apprendimento ed

alla messa in pratica di concetti matematici. Le conclusioni di questa parte

osservativa sono analizzate nel capitolo 4.

La conclusione della tesi mostrera come un ambiente sensoriale preparato e

efficace nel trasmettere non solo concetti matematici, ma soprattutto amore

per questa materia.

Capitolo 1

Le capacita matematiche del

bambino

Gardner (1977) scrive: “Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere

la matematica interessante a studenti e non, e quello di accostarla come

se fosse un gioco. A livelli superiori, specialmente quando la matematica e

applicata a problemi concreti, puo e deve essere terribilmente seria. A livello

piu basso, nessuno studente puo essere motivato a studiare, per esempio,

la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la trovera bella, interessante, o

addirittura utile. . . se diventera un fisico delle particelle elementari”.

In questo capitolo saranno brevemente riassunte le idee riguardanti le capacita

matematiche dei bambini, quando e come si manifestano. Verranno percio

confrontate principalmente le teorie e gli approcci Piaget e Montessori, e

come queste siano state confutate o modificate da altri autori basandosi

sull’osservazione delle capacita dei bambini.

1 Il concetto di numero in Piaget

Padre di una delle prime vere e proprie teorie cognitive intorno all’elaborazione

del concetto di numero (Piaget e Szeminska, 1968) e senz’altro Jean Piaget: e,

10 Le capacita matematiche del bambino

infatti, sua l’ipotesi di un rapporto inscindibile tra le strutture d’intelligenza

generale e l’evoluzione delle competenze numeriche nelle abilita di pensiero.

Per Piaget le abilita matematiche sono un’espressione dell’intelligenza che

si sviluppa attraverso l’interazione con l’ambiente e l’azione sulla realta

circostante.

L’acquisizione delle abilita matematiche dipende dall’apprendimento del lin-

guaggio e del pensiero operatorio concreto; per Piaget, quindi, la capacita di

numerare gli oggetti, e conseguentemente di compiere operazioni con i numeri,

non e solo il risultato di un apprendimento scolastico. La sua tesi principale

e che l’acquisizione del concetto di numero si sviluppa per tappe successive,

parallelamente al consolidarsi delle strutture logiche, e che la sequenza dei

numeri e la sintesi operatoria della comprensione sia dell’aspetto ordinale sia

dell’aspetto cardinale ed e solo in parte aiutata dall’apprendimento.

Per Piaget, il numero non e basato esclusivamente sulle operazioni di classifi-

cazione, ma nasce da una sintesi di due strutture: la struttura d’ordine

e quella d’inclusione. Questa sintesi di strutture logiche produce nuove

proprieta che si possono chiamare numeriche. Il numero scaturisce quindi da

un’astrazione delle qualita che differenziano un elemento dall’altro.

Questa astrazione rende un elemento equivalente agli altri: 1 = 1 = 1 = 1 . . .

Questi elementi possono essere classificati secondo le inclusioni: (1) ⊂ (1+1) ⊂(1+1+1) ⊂ (1+1+1+1) . . . ma nello stesso tempo, ordinati in serie. Ordinarli

e il solo mezzo per non contare due volte lo stesso elemento. Studiando lo

sviluppo di questa nozione nel bambino (ontogenesi) Piaget osserva che a livello

preoperatorio (2–7 anni) queste strutture sono relativamente indifferenziate

mentre in seguito, a livello operatorio (7–12 anni circa) si assiste ad una

differenziazione ed ad una sintesi tra di esse.

Questa sintesi numerica si afferma molto progressivamente, dapprima per i

numeri piu piccoli, poi per quelli maggiori. Quindi, secondo Piaget “il numero

e la sintesi tra classi e relazioni”, cio significa semplicemente che un insieme di

elementi, per acquisire lo statuto di quantita numerica, deve essere percepito,

identificato, preso in considerazione a partire dal numero di elementi che lo

1-1.1 La conservazione della quantita 11

compongono e essere riconosciuto come piu grande o piu piccolo di un altro

in funzione di questo stesso criterio.

Per l’acquisizione del concetto di numero non e sufficiente solo riconoscere

l’equinumerosita di due insiemi ma diventa fondamentale anche la conserva-

zione della quantita. Piaget in tal senso ha condotto tanti esperimenti che

hanno mostrato che solo verso i 7 anni si puo dare per scontato che i bambini

abbiano acquisito l’invarianza della quantita e quindi sappiano usare i numeri

nel loro aspetto cardinale e ordinale. L’eta intorno ai 6 anni e critica ai fini di

questa acquisizione: a questa eta i bambini si trovano in un’area di “sviluppo

prossimale”, ed e per tale motivo che proprio il concetto di numero ha un

ruolo centrale nella continuita da costruire tra la scuola dell’infanzia e la

scuola primaria.

Ma proprio in questo punto si trova un limite della teoria piagetiana. E

vero che i bambini piccoli hanno molto da imparare in aritmetica e che sono

necessari anni perche le loro capacita concettuali si approfondiscano, ma e

altrettanto vero che non sono privi di capacita numeriche prima di iniziare la

scuola dell’infanzia e neppure al momento della loro nascita.

1.1 La conservazione della quantita

Con il concetto di conservazione della quantita Piaget intende la capacita

di astrarsi da indizi superficiali, quali la forma o la densita dello spazio

occupato dagli oggetti di piu insiemi per stabilire relazioni di confronto di

tipo quantitativo.

La conservazione costituisce una condizione necessaria per qualsiasi attivita

razionale e in particolare per il pensiero aritmetico. Ad esempio, nella nu-

merazione, ossia la capacita di contare, il numero resta invariato qualunque

sia la disposizione, l’ordine delle unita di cui e composto un insieme (Butter-

worth, 1999). In altri termini, se abbiamo cinque oggetti, il numero cinque

non e affatto assegnato “all’oggetto posto per ultimo”: gli oggetti sono in

totale cinque, anche se si effettuano spostamenti tra di loro. Questo principio

potrebbe essere definito come quello dell’irrilevanza dell’ordine. I bambini per

contare hanno bisogno, pertanto, di capacita di astrazione e di individuare


una corrispondenza biunivoca tra una sequenza non modificabile di parole (i

numeri) e gli oggetti.

Nel confronto tra due insiemi costituiti dallo stesso numero di elementi, non

e possibile compiere delle operazioni, se non a condizione che sia percepita la

conservazione della quantita.

Piaget (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 3) sostiene che “qualsiasi cognizione,

sia di ordine scientifico sia che provenga semplicemente dal senso comune,

presuppone un sistema implicito o esplicito di principi di conservazione”. Essa

e la condizione formale di qualsiasi esperienza e di qualsiasi ragionamento,

viene addirittura definita come “la condizione necessaria per qualsiasi attivita

razionale” e nemmeno il pensiero aritmetico sfugge a tale regola. Le operazioni

stesse mostrano proprio la possibilita di effettuare qualsiasi permutazione

sugli elementi lasciando invariata la numerosita totale del complesso.

1.2 Stadi dello sviluppo cognitivo

Lo sviluppo psichico, che comincia con la nascita e termina con l’eta adulta,

e paragonabile alla crescita organica e consiste essenzialmente in un cammino

verso l’equilibrio. Lo sviluppo e un passaggio continuo da uno stato di minore

equilibrio ad uno di equilibrio superiore (Piaget, 1967).

Piaget suddivide lo sviluppo cognitivo in quattro stadi principali, ognuno

caratterizzato da una modalita di pensiero qualitativamente diversa, resa

possibile dall’emergere di un nuovo schema che si costruisce sulla base delle

esperienze del bambino durante lo stadio precedente. Il completamento di uno

stadio e condizione imprescindibile perche possa evolversi lo stadio successivo;

ne discende che l’ordine dei quattro stadi e invariabile.

Gli stadi possono cosı essere cosı suddivisi:

• Stadio senso-motorio (dalla nascita ai due anni circa)

• Stadio pre-operatorio (dai due ai sette anni)

• Stadio operatorio concreto (dai sette ai dodici anni circa)

• Stadio operatorio formale (dai dodici anni a tutta l’eta adulta)

1-1.3 Lo sviluppo delle abilita numeriche nel bambino 13

Lo sviluppo delle abilita matematiche e plasmato principalmente dall’acquisi-

zione del concetto di conservazione della quantita. Piaget indago molto su

questo fenomeno, sostenendo che i bambini nello stadio pre-operatorio (dai

due ai sette anni) non possiedono il principio di conservazione; ovvero non si

rendono conto che la quantita di una certa sostanza non cambia al cambiare

della sua forma.

1.3 Lo sviluppo delle abilita numeriche nel bambino

Secondo Jean Piaget, i numeri anteriori al periodo in cui il bambino ha

compreso l’iterazione dell’unita, cioe la possibilita di generare ogni volta un

numero nuovo per mezzo dell’addizione di unita, non sono ancora dei veri

numeri, ma delle figure percettive. Il bambino sara in grado di distinguere un

insieme di due oggetti da un oggetto unico, un insieme di tre da un insieme

di due, ma li distinguera percettivamente, e cio puo dar luogo ad operazioni

pratiche ma non operatorie, e dimostra che in questa fase, pre-operatoria,

non vi e conservazione degli insiemi. Questa e l’obiezione che si puo fare alla

tesi di un’intuizione pura, innata del numero, di un’intuizione anteriore alla

logica (Piaget e Szeminska, 1968).

Il primo stadio: assenza di conservazione.

Se si presentano al bambino due recipienti della stessa forma e della stessa

dimensione, contenenti l’uno acqua colorata in azzurro, l’altro acqua colorata

in rosa, si domanda al bambino di travasare il contenuto di uno di questi

recipienti in un recipiente di altra forma, per esempio piu largo e piu basso

e gli si domanda se la quantita d’acqua e rimasta la stessa, egli credera che

vi sia piu acqua in un vaso piu grande che in uno piccolo. Analogamente se

si versa l’acqua del primo vaso in due vasi piu piccoli o in tre piu piccoli,

il bambino non avra l’impressione che l’insieme delle due quantita equivale

alla quantita iniziale. Egli dira che e di piu perche vi sono due vasi invece

di uno ma se si continua ad aumentare il numero dei recipienti, finira col

dire che e di meno perche i recipienti sono piu piccoli, questo dimostra che

non vi e conservazione della quantita. La stessa esperienza si puo fare su


quantita discontinue1, su insiemi propriamente detti di oggetti, per esempio

con delle palline. Si domanda ad un bambino di mettere in due vasi uguali

lo stesso numero di palline, affinche sia sicuro che il numero delle palline

sia identico. Basta travasare la quantita di palline in recipienti di forme

e dimensioni diverse perche il bambino ritenga che la quantita di palline

aumenti o diminuisca, e cio in ragione del livello raggiunto dalle palline, della

larghezza del recipiente, o del numero dei recipienti. Anche questa volta, le

quantita sono valutate in funzione dei rapporti percettivi non coordinati tra

loro (quantita brute), inoltre, in questo caso si ritiene che secondo la forma che

prende un quantitativo nel passare da un recipiente all’altro, possa aumentare

o diminuire nei suoi elementi stessi benche questi siano distinti tra loro.

Il secondo stadio: inizio di complessi permanenti.

Nello sviluppo della nozione di conservazione si puo distinguere un secondo

stadio caratterizzato dalle soluzioni intermedie, situate a meta strada tra la

quantita bruta senza invariabilita e la quantificazione propriamente detta. Da

una parte il bambino e portato a credere nella conservazione, sia perche i

contenitori sono identici, sia perche queste due collezioni sono state costituite

per mezzo di una corrispondenza biunivoca e reciproca. Si tratta pero di una

conservazione empirica, non ancora logica, che viene a mancare nel momento

in cui la differenza percettiva tra i due vasi aumenta. Contrariamente a quanto

avviene nel primo stadio, nel corso del quale i fattori percettivi annullava-

no senz’altro la credenza nell’equivalenza delle collezioni corrispondenti, si

stabilisce ora una lotta senza risultato, poiche nessuna delle due tendenze

prevale decisamente sull’altra, infatti quando il bambino osserva le collezioni

di palline crede nella non equivalenza e quando ricorda la corrispondenza che

le ha costituite, crede di nuovo a questa equivalenza.

Il terzo stadio: conservazione e coordinazione quantificate.

E in questo stadio, che inizia tra i sei e i sette anni e mezzo, che il bambino

acquisisce la vera conservazione. Adesso il bambino e sicuro, non ha bisogno

di riflettere per assicurarsi della conservazione delle quantita totali, per lui

e evidente che la quantita e rimasta uguale. Entrambe le coordinazioni di

1Piaget usa il termine “quantita discontinue”, come sinonimo di “quantita discrete”


relazioni effettuate nel corso dello stadio precedente rimangono essenziali, ma

sono concentrate in un unico atto invece che costituirsi a poco a poco.

Nei due casi vi e costruzione operatoria fondata sulla reversibilita, la compen-

sazione delle reazioni. E in questo momento che il bambino considera come

evidente, e non piu empiricamente constatabile, ma logicamente evidente, che

la quantita non ha potuto modificarsi durante il travaso (Piaget e altri, 1974,

pag. 37–56).

Un altro esperimento di Piaget riguarda la corrispondenza tra due file semplici

di gettoni: si presenta al bambino una fila di gettoni rossi e gli si chiedera di

trovarne altrettanti di un altro colore. Si osservano anche in questo caso tre

stadi.

Il primo stadio: confronto globale e valutazioni fondate sullo spazio occupato

o sulla densita degli elementi.

In questo stadio, i bambini di quattro anni e mezzo, a volte fino a cinque,

giudicheranno la quantita dallo spazio occupato, essi disporranno una serie

di gettoni vicini gli uni agli altri, senza corrispondenza termine per termine,

senza numero, si baseranno nelle loro valutazioni sull’una o sull’altra delle

due qualita globali di questa fila, cioe sulla lunghezza occupata o sulla densita

degli elementi, in modo che si formi la stessa lunghezza, ma senza coordinare

questi due rapporti l’uno con l’altro.

Le quantita elementari non sono altro che i rapporti che si esprimono in

“piu”, in “uguale” o in “meno” (Piaget e altri, 1974, pag. 111), percepiti

immediatamente tra le qualita date, ma non ancora coordinate fra loro; in

questa maniera i bambini traducono direttamente la lunghezza delle file in

termine di valore quantitativo. In questo stadio e impossibile confrontare

due file qualsiasi senza che le qualita dell’una siano paragonate a quelle

dell’altra, e per questo che una delle due file appare piu lunga, piu corta,

della stessa lunghezza dell’altra, piu riunita o piu distanziata. Questi due

rapporti di lunghezza totale o di densita costituiscono gli inizi di cio che


diverra piu tardi la valutazione cardinale. Bisogna dire che questi rapporti

quantitativi elementari rappresentano dei semplici schemi pratici e prelogici

poiche sono anteriori ad ogni operazione propriamente detta, poiche queste

quantita nascenti non sono ancora dotate di conservazione. Se si trattasse

di conoscenza razionale, una fila di n elementi distanziati tra loro conserva

questo stesso valore cardinale n, anche se la lunghezza della fila diminuisce,

e questo perche gli elementi della fila sono stati accostati. E la relazione

tra la lunghezza della fila e gli intervalli dei suoi elementi che determina la

conservazione del complesso, mentre i due rapporti di lunghezza totale e di

densita sono variabili. E proprio questa coordinazione logica dei due rapporti

in gioco che i bambini di questo stadio non riescono ad effettuare, ed e per

questo che non c’e ancora conservazione dei gruppi ne corrispondenza termine

per termine. Cio che segna questo primo stadio, o il punto di partenza di

questa evoluzione, e una irreversibilita quasi completa del pensiero.

Il secondo stadio: valutazione per corrispondenza intuitiva senza equivalenza

durevole.

Quando si chiede ai bambini di questo stadio di dare altrettanti elementi

(gettoni) quanti ce n’e nella fila modello, essi effettuano subito (o quasi) una

corrispondenza ottica e spaziale tra la fila-copia e la precedente. I soggetti

pervengono a costruire una fila-copia che abbia contemporaneamente la

stessa lunghezza totale della fila-modello e la stessa densita, e questa duplice

uguaglianza e assicurata dal fatto che ogni elemento della copia e posto di

fronte ad un determinato elemento del modello.

Si osserva che i bambini cessano di ammettere l’equivalenza non appena la

corrispondenza non viene piu percepita immediatamente. Infatti, se distan-

ziamo un po’ una delle due file di palline e si domanda loro se le due file

siano ancora uguali, essi non ammetteranno piu l’equivalenza, questo perche

sceglieranno, a caso, uno dei due criteri (lunghezza o densita) e in conformita

a questo solo criterio giudicheranno la quantita totale.


I rapporti di lunghezza totale e di densita sono individuati simultaneamente

dai bambini quando la fila-copia presenta sia la stessa lunghezza sia la stessa

densita della fila-modello ed ogni elemento dell’una e posto di fronte ad ogni

elemento dell’altra; pero, questa iniziale coordinazione non oltrepassa il piano

della percezione, e quindi, non appena si alteri la figura percettiva che ha

permesso di stabilire la corrispondenza, non soltanto questa scompare, ma

scompare anche ogni coordinazione tra lunghezza e densita. Si puo dire che

questo secondo stadio e semi-operante, poiche, sul piano pratico o dell’espe-

rienza percettiva, perviene a realizzare la corrispondenza qualitativa, il che

presuppone una coordinazione intuitiva delle relazioni in gioco. Questo carat-

tere semi-operante procede di pari passo con un progresso nella reversibilita

del pensiero.

Il terzo stadio: corrispondenza operante (qualitativa e numerica) con equi-

valenza necessaria e durevole.

Se viene distanziata o riunita una delle due file per considerare l’equivalen-

za, i bambini ammetteranno che l’equivalenza dura qualunque sia la figura

geometrica formata dai gettoni.

La corrispondenza termine a termine diviene cosı realmente quantificante ed

esprime, d’ora in poi, l’uguaglianza numerica e non piu e soltanto l’uguaglianza

qualitativa come negli stadi precedenti. I bambini arrivano a tener conto

contemporaneamente delle relazioni di lunghezza e di densita, non piu soltanto

nel caso in cui le file da confrontare siano simili, ma anche (e questa e la

novita rispetto allo stadio precedente) nel caso in cui le due file differiscano

simultaneamente per lunghezza e densita. Per la prima volta, il bambino del

terzo stadio generalizza l’operazione di moltiplicazione delle due relazioni

di densita e lunghezza e comprende che una fila piu corta e piu densa di

un’altra puo essere uguale ad essa. E soltanto in questo momento che vi e il

numero. Prima vi sono delle forme pre-numeriche, percettive, che precedono

il numero, ma il numero non comincia che con la conservazione dell’insieme


numerico, con la conservazione delle equivalenze. La novita fondamentale di

quest’ultimo stadio sta nella mobilita e reversibilita del pensiero del bambino.

1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino

In base agli studi effettuati da Jean Piaget, il numero nel bambino nasce in

seguito alla conservazione dell’insieme numerico e alla conservazione delle

equivalenze, ma come arriva a costruire queste equivalenze durature, cioe

questi numeri dal punto di vista operatorio? Secondo Piaget, affinche accada

questo, sono necessarie nel bambino due condizioni psicologiche (Piaget e

Szeminska, 1968, pag. 12): una e la conservazione dell’insieme, l’altra e

l’ordinamento in serie degli elementi.

La conservazione dell’insieme si basa su operazioni logiche. Essa non presup-

pone il concetto di numero, ma conduce al numero, per mezzo di operazioni

logiche che si poggiano sulla reversibilita delle azioni. Si ha conservazione

dell’insieme quando il bambino avra la nozione che il tutto e un insieme di

parti che si possono distribuire a piacere. La relazione fra le parti e il tutto

e la relazione logica per eccellenza costitutiva di questa conservazione. Per

verificare questo Piaget prese una scatola con un certo numero di palline,

tutte di legno, la maggior parte scure e solo due o tre bianche. La domanda

che pose ai bambini per studiare la relazione fra le parti e il tutto era di

dire se nella scatola vi erano piu palline di legno, che palline scure, che ne

rappresentano una parte. Tutti i bambini piccoli rispondevano che vi erano

piu palline scure, dacche le bianche erano soltanto due. Anche quando la

domanda era posta in maniera diversa, i bambini rispondevano sempre allo

stesso modo. Tutto questo e giustificato dal fatto che il pensiero dei piccoli e

diverso da quello degli adulti.

Il bambino non ha ancora un pensiero reversibile, possiede un pensiero che

procede sempre avanti e non puo andare a ritroso, ne puo agire con l’im-

maginazione. Secondo Piaget, verso i sei anni e mezzo o sette, quando si

forma la nozione del numero, il bambino sara in grado di risolvere questo

problema. Perche il bambino piu piccolo non riesce invece a risolverlo? Cosa

glielo impedisce? Egli puo pensare al tutto e allora risponde correttamente,

1-1.4 Il processo di costruzione dei numeri nel bambino 19

puo pensare alle parti e le paragona le une alle altre, ma non puo pensare

simultaneamente al tutto e alla parte, in questa maniera, quando egli ha tolto

con il pensiero una parte, il tutto non esiste piu, e non resta che l’altra parte.

Le palline scure saranno tutte le palline di legno meno le bianche, le palline

bianche saranno tutte le palline meno le scure. Si tratta di un’operazione

inversa che necessariamente interviene per la conservazione del tutto, finche

non vi e questa reversibilita non vi e conservazione del tutto, non appena c’e

reversibilita, c’e conservazione del tutto.

La seconda condizione psicologica affinche vi sia corrispondenza numerica e una

condizione di ordine, si devono poter ordinare gli elementi, e psicologicamente

bisogna sempre procedere in ordine in modo da non far corrispondere un

elemento ad uno di quelli gia contati, o da non dimenticarne qualcuno (Piaget

e Szeminska, 1968, pag. 12–13). Cerchiamo di vedere, sempre secondo Piaget,

la maniera in cui il bambino ordina in serie, e in che modo quest’ordine si

costruisce.

Si domanda ad un bambino di disporre in scala delle asticelle di differenti

grandezze. Se esse differiscono molto le une dalle altre, non vi sara alcuna

difficolta a costruire la scala; se le asticelle sono poco differenti tra di loro,

in modo tale che per costruire la scala, il bambino deve confrontarle a due a

due, si possono osservare, anche in questo caso, tre stadi.

Durante il primo il bambino forma semplicemente delle coppie e non sa

coordinarle fra loro; questo stadio corrisponde alla non conservazione. Durante

il secondo, egli comincera con coppie e con piccoli raggruppamenti, procedera

empiricamente, correggendosi di volta in volta, e costruira la sua serie. E

durante il terzo stadio che egli trovera il metodo per risolvere l’esercizio.

Adesso il bambino si trova nel periodo operatorio propriamente detto; all’inizio

confrontera la piu piccola delle asticelle con tutte le altre e la collochera,

prendera poi la piu piccola di quelle che restano e collochera anche questa, e

cosı di seguito fino alla fine. Questo metodo implica di nuovo un’operazione

inversa, infatti, e necessario che l’elemento cosı collocato sia piu piccolo di

quelli che restano, ma nello stesso tempo il bambino sa che il piu piccolo di

tutti quelli che rimangono e piu grande di tutti quelli che lo hanno preceduto.


E necessario, secondo Piaget, che queste condizioni preliminari, cioe l’inseri-

mento delle parti in un tutto che si conserva e l’ordinamento in serie degli

elementi, siano soddisfatte affinche si costruisca il numero, e nel momento in

cui esse vengono soddisfatte, il numero intero si fa immediatamente accessibile

al bambino (Piaget e Szeminska, 1968, pag. 6).

1.5 Dentro la teoria di Piaget

La teoria Piagetiana ha portato sicuramente uno “sconvolgimento” nel modo

di guardare lo sviluppo del bambino; essa ha lasciato forse il segno piu grande

nella psicologia dello sviluppo e di conseguenza in molti altri campi soprattutto

quelli che si occupano del bambino e della sua crescita: la pedagogia e la

didattica.

Piaget e il primo che fornisce una teoria cosı ampia e ben articolata che

ci permette di entrare nel “mondo” dei piu piccoli, forse per troppo tempo

inesplorato. E da considerare, tuttavia, che lo stesso Piaget non abbia proba-

bilmente inteso fornire affermazioni conclusive su problemi cognitivi. Infatti,

egli stesso, dopo aver pubblicato i primi dati, rimase sbalordito scoprendo che

la gente li valutasse come se fossero affermazioni conclusive (Miller, 1993).

Punti di forza

• Piaget ha sconvolto con i suoi studi il campo della psicologia dello

sviluppo, riconoscendo, per la prima volta, il ruolo centrale svolto dalla

cognizione.

• Per la prima volta uno psicologo si e soffermato a studiare questo

particolare fenomeno della conservazione della quantita comprendendone

l’importanza e soprattutto la sua implicazione con l’apprendimento della

matematica.

• Piaget ha messo in luce nuovi fenomeni che hanno creato sorpresa: per

esempio la mancanza di aspettativa nei bambini che gli oggetti siano

permanenti.

• Ha studiato questi fenomeni nell’ambiente naturale dei bambini.

Nonostante il grande merito che va attribuito a Piaget nell’essere stato un

precursore, altri studi sono giunti ad interpretazioni discordanti nell’analisi di

1-2 L’interpretazione olistica di Montessori 21

questi fenomeni. In particolare, con la stessa procedura di Piaget si perviene

sicuramente a risultati analoghi, ma a questi possono essere date diverse

interpretazioni e, modificando la procedura, si possono ottenere risultati

divergenti.

Punti di debolezza

• Nella procedura standard, consistente nel formulare due volte la stessa

domanda sulla quantita, prima e dopo la trasformazione, i bambini

potrebbero essere indotti a pensare di dover cambiare la propria risposta

a causa delle azioni compiute dall’adulto sui materiali.

• Il bambino potrebbe non capire completamente le istruzioni, data la

natura verbale della prova; infatti, nello studio di Mehler e Bever (1967)

gli esiti sono piu elevati per risposte non verbali. In particolare Gelman

e Gallistel (1986) dimostrano che i bambini di tre anni si sorprendono

se le loro aspettative di numerosita sono deluse dopo dei cambiamenti

(Miller, 1993).

• I metodi di Piaget, dal punto di vista procedurale, potrebbero essere

stati troppo complessi e, di conseguenza, potrebbero portare a sotto-

stimare le conoscenze dei bambini. Naturalmente, se le procedure sono

eccessivamente semplici, si potrebbero compiere falsi “errori negativi”,

cioe attribuire ai bambini qualcosa che non hanno.

La teoria di Piaget sulla conservazione della quantita ha sicuramente avuto il

merito di avviare una ricerca che oggi, con metodologie sempre piu raffinate,

coinvolge in pieno anche le neuroscienze e mostra quindi una potenzialita

della quale a tutt’oggi gli sviluppi sono in fase di dibattito.

2 L’interpretazione olistica di Montessori

Per Maria Montessori la visione globale della psicologia evolutiva si articola in

quattro fasi o piani. Questi piani corrispondono ad una struttura sequenziale

di crescita della “lunga infanzia umana” e rappresentano la visione globale

dello sviluppo dalla nascita (e perfino prima) alla maturita.


Questa visione montessoriana dell’intero sviluppo e la base –si potrebbe dire–

di un progetto olistico dell’essere umano che si sviluppa, spiega e giustifica

l’idea costante di Montessori circa l’importanza dell’educazione come “aiuto

alla vita”. Le fasi non sono, quindi, dei compartimenti stagni ma solo una

comoda struttura organizzativa.

Montessori e attenta ad ogni aspetto dello sviluppo (fisico, intellettuale,

emozionale ecc.) di tutte le fasi dell’eta evolutiva. Possiamo dire che la sua

idea dell’essere umano e doppiamente olistica: per ogni fase dello sviluppo

considera l’individuo nella sua globalita e, poi, l’“intero” individuo in una

particolare fase dell’eta evolutiva (es. adolescenza) e considerato nell’ambito

del continuum del suo sviluppo.

Certamente e questa visione dello sviluppo cosı ampia, questa comprensione

della natura ciclica e irripetibile delle stagioni della vita (Montessori, 1949,

pag. 118) a costituire il principale lineamento distintivo del contributo di

Maria Montessori alla psicologia evolutiva.

2.1 Lo sviluppo non lineare

Montessori (1950b) afferma che studi scientifici e prove meticolose condotte

in ogni parte del mondo con bambini di differenti razze e condizioni socio-

economiche hanno mostrato che lo sviluppo non procede in forma costante o

lineare. Al contrario, accade in fasi, cicli o piani.

Lungo la linea della vita, che indica l’eta cronologica dell’individuo, troviamo

i distinti periodi dello sviluppo: essi si susseguono dalla nascita a ventiquattro

anni, secondo un ritmo di sei anni ciascuno. E questa numerazione “per sei”

che ci da la ripartizione dello sviluppo o, come Montessori la chiama, il ritmo

costruttivo della vita.

A cominciare dalla nascita, c’e la progressione e l’accrescimento di sensitivita

particolari e di specifiche caratteristiche relative alle sensitivita stesse. Questa

progressione non continua indefinitamente: una crescita continua non avrebbe

senso alcuno nei termini della Natura. La progressione raggiunge il suo

massimo attorno alla meta di un intero periodo di sei anni: nel primo, a

1-2.1 Lo sviluppo non lineare 23

tre anni di eta. A questo punto, la progressione inverte direzione e diviene

regressione/decrescenza. Anche questa, comunque, non continua a tempo

indefinito: in questa fase giunge al suo termine a sei anni.

Montessori chiama la parte iniziale “lo schiudersi di una fase della vita” (che

significa anche l’inizio di un insieme di particolari esperienze, acquisizioni e

conquiste); la parte successiva rappresenta il concludersi di una fase vitale, ma

anche preparazione all’aprirsi di una nuova fase di sviluppo, con sue sensitivita

e caratteristiche del tutto nuove.

In questa stessa maniera sono determinati tutti e quattro i piani di sviluppo

identificati da Montessori come:

• Il piano dell’infanzia (0 - 6 anni) suddiviso a sua volta in due sottofasi:

– L’embrione spirituale (0 - 3 anni)

– Il lavoratore cosciente (3 - 6 anni)

• Il piano della fanciullezza (6 - 12 anni)

• Il piano dell’adolescenza (12 - 18 anni)

• Il piano della maturita (18 - 24 anni)

Nello sviluppo psichico sono presenti dei periodi sensitivi, definiti nebule,

cioe periodi specifici in cui si sviluppano particolari capacita. Nella visione

montessoriana dello sviluppo, questi periodi svolgono un ruolo vitale perche,

cambiando natura da una fase ad un’altra, determinano le caratteristiche

proprie di ogni fase.

Le sensitivita pertinenti ad una fase particolare fanno la loro apparizione,

aumentano, raggiungono la massima espressione e poi declinano; compaiono

sensitivita nuove, raggiungono il loro massimo e volgono verso il termine,

per far posto ad altre nuove, e cosı via. Sono queste sensitivita, allora, che

guidano lo sviluppo e ne determinano il ritmo. Nel primo piano identifico

i periodi sensitivi del linguaggio, del movimento, dell’ordine, quest’ultimo

indispensabile per stabilire, tra continuita e cambiamento, i primi legami.

Nel secondo piano individuo il periodo sensitivo della cultura del gruppo di

appartenenza, con l’interesse a conoscere e a capire la realta umana, grazie

alla forte capacita immaginativa e al senso di giustizia.


Nel seguito tratteremo solo il piano dell’infanzia come base per analizzare il

processo di acquisizione delle capacita matematiche nei bambini dai 12 mesi

ai 5 anni.

2.2 Il piano dell’infanzia

Il piano dell’infanzia –da 0 a 6 anni– e quello di importanza massima per

la formazione dell’individuo ed e interessante notare che il lavoro intrapreso

dall’essere umano, cosı come quello da intraprendere per la propria formazione,

e talmente differente nell’ambito di ciascuna porzione del piano da indurre

Montessori a suddividere l’infanzia in due sottopiani distinti.

L’embrione spirituale

Il bambino da 0 a 3 anni viene identificato da Maria Montessori come

“embrione spirituale” ed e importante capirne la ragione.

Alla nascita, il bambino sembra essere un “nulla, nel senso che non ha qualita

psichiche, ne abilita motrici prestabilite” (Montessori, 1999b, pag. 58). Ogni

neonato, scrive Montessori, sembra un “essere inerte, vuoto, insignificante”

(Montessori, 1999b, pag. 59). Eppure ha in se “potenzialita che determinano

il suo sviluppo” (Montessori, 1999b, pag. 58). In lui esiste un potere globale,

un’“essenza umana creativa” che lo spinge a “formare l’uomo del suo tempo,

della sua civilizzazione” (Montessori, 1999b, pag. 59).

Montessori prosegue: “Il neonato, dunque, deve intraprendere un lavoro forma-

tivo che, nel campo psichico, ricorda quello avvenuto per il corpo nel periodo

embrionale. Egli ha un periodo di vita che non e piu quello dell’embrione

fisico, e non e simile a quello che presenta l’uomo da lui formato. Questo

periodo post-natale, che si puo definire il “periodo formativo”, e un periodo di

vita embriologica costruttiva che rende il bambino un “Embrione Spirituale”.

Cosı l’umanita ha due periodi embrionali: uno e prenatale, simile a quello

degli animali - e uno e postnatale, esclusivo all’uomo” (Montessori, 1999b,

pag. 61). In altre parole, la specie umana (ed essa soltanto) ha vita embrionale

doppia.

1-2.2 Il piano dell’infanzia 25

E durante i primi tre anni, una parte di vita dimenticata dall’individuo stesso

che l’ha sperimentata, che si creano le facolta umane di base. Montessori

spiega: “In questo periodo psico-embrionale vi sono sviluppi che avvengono

separatamente e indipendentemente quali il linguaggio, i movimenti delle

braccia, i movimenti delle gambe ecc., e vi sono certi sviluppi sensoriali.

Come nell’embrione fisico, nel periodo prenatale, gli organi si sviluppano

uno per uno, ognuno separato dall’altro, cosı in questo periodo nell’embrione

psichico si sviluppano funzioni separate. Noi non possiamo ricordare questo

periodo, perche nella personalita non vi e ancora unita. L’unita potra avvenire

solo quando le parti siano completate” (Montessori, 1999b, pag. 164).

A causa della natura del lavoro di sviluppo durante i primi tre anni di vita e

per la maniera con la quale questo lavoro viene condotto, Montessori chiama

il bambino da 0 a 3 anni il “creatore inconscio” (Montessori, 1999b, pag. 165)

e parla anche della manifestazione della “mente assorbente” (Montessori,

1999b) cioe della sua intelligenza che opera inconsciamente assorbendo ogni

dato ambientale.

Il lavoratore cosciente

La natura del lavoro di sviluppo cambia durante la seconda sottofase dell’in-

fanzia, da 3 a 6 anni.

A tre anni di eta e come se la vita ricominciasse perche allora la coscienza

si palesa piena e chiara (Montessori, 1999b, pag. 164–165). E cio che questo

piccolo bambino vuol fare e conquistarsi l’ambiente e con esso i mezzi per il

proprio sviluppo (Montessori, 1999b, pag. 165). Che cosa esattamente deve

sviluppare? Tutte quelle funzioni, tutte quelle forze create prima dei tre anni

deve ora svilupparle mediante esperienze coscienti ed esercizio della volonta.

Montessori mostra che, in questo bambino piu cresciuto, sono al lavoro due

tendenze: quella di sviluppare la coscienza attraverso l’attivita sull’ambiente,

e l’altra di perfezionare ed arricchire le conquiste gia fatte (Montessori, 1999b,

pag. 166). Percio il periodo fra tre e sei anni e un periodo di “perfezionamento

costruttivo” (Montessori, 1999b, pag. 166).


Le mani del bambino, guidate dall’intelligenza, cominciano ad eseguire compiti

di tipo umano definito. Dalla mente assorbente si sviluppa per gradi la mente

cosciente, il senso di realta. Il bambino e sempre occupato a far qualcosa con

le mani e, per questo, gli anni da tre a sei sono stati chiamati “la benedetta

eta dei giochi” (Montessori, 1999b, pag. 167). Quel gioco che e realmente

lavoro, il lavoro del bambino per il proprio sviluppo. Per questo Montessori

chiama il bambino da tre a sei il “lavoratore cosciente” (Montessori, 1999b,

pag. 164).

Montessori ha molto da dire circa la natura del lavoro e dello sviluppo durante

questa sottofase dell’infanzia. L’individuo umano e un’unita. Ora questa unita

deve essere costruita e fissata attraverso esperienze attive sull’ambiente, stimo-

late dalla natura. Gli sviluppi embrionali che si sono compiuti separatamente

da zero a tre anni devono infine agire tutti insieme e organizzarsi a servizio

della personalita. Il bambino sembra ora avere la necessita di organizzare

logicamente i contenuti mentali assorbiti e di affinare e classificare i dati

sensoriali.

Cio avviene quando nel periodo successivo, da tre a sei anni, la mano lavora

e la mente e guida nel lavoro. Se le circostanze esterne non permettono

questa integrazione, le energie continuano a spingere quelle formazioni parziali

che vengono a svolgersi disorganizzate, deviando dal loro fine. La mano

si muove senza scopo; la mente divaga lontana dalla realta; il linguaggio

cerca compiacenze in se stesso; il corpo si muove senza ordine. E queste

energie separate, che mai trovano soddisfacimento, danno luogo a innumerevoli

combinazioni di sviluppi errati, deviati, origini di conflitti e turbamenti. Tali

deviazioni non sono da attribuire a difetti della personalita, ma devono

essere interpretate come conseguenza di una mancata organizzazione della

personalita (Montessori, 1999b, pag. 202).

Tuttavia in seguito, come Montessori evidenzia, quando l’ambiente offre motivi

di attivita costruttiva, tutte le energie convergono e le deviazioni spariscono.

Allora soltanto, quando il bambino ha possibilita e liberta di svilupparsi

normalmente, noi ne vediamo la personalita vera.

E questo processo di transizione dallo sviluppo deviato a quello normale che

1-2.3 L’interdipendenza dei quattro piani 27

Montessori chiama normalizzazione. Come risultato di questo processo, il

bambino sviluppa, del tutto spontaneamente, il carattere. Montessori, infatti,

identifica il periodo compreso fra tre e sei anni di eta come periodo embrionale

per la formazione del carattere (Montessori, 1999b, pag. 242).

2.3 L’interdipendenza dei quattro piani

Abbiamo visto come la vecchia idea dello sviluppo lineare, secondo la quale

non c’e cambiamento di forma, ma soltanto incremento graduale da cio che

e piccolo a cio che e grande, da cio che e meno a cio che e piu, sia stata

sorpassata dall’idea di una vita che si sviluppa assumendo forme differenti,

trasformandosi, passando attraverso fasi o piani differenti e distinti tanto

fisicamente quanto psichicamente.

Le differenze sono talmente evidenti che Montessori compara i piani dello

sviluppo alle modificazioni strutturali e funzionali proprie delle metamorfosi.

Per questo, la vita di un essere umano che si sviluppa e una sequenza di

nascite; e emersione e sparizione di potenzialita; e nascita e morte di interessi

e di caratteristiche che sono manifestazioni di sensitivita dominanti.

Tuttavia, i piani dello sviluppo sono necessariamente interdipendenti anche

fra loro, dacche l’essere umano e una unita organica. Il piano che precede

prepara sempre quello che segue, ne costituisce la base, nutre le energie che

spingono l’individuo verso il periodo di vita successivo.

Allora l’individuo passa da un piano di indipendenza ad un altro. Inizia

dall’indipendenza nel fare e nell’agire che porta all’indipendenza di giudizio

per completarsi poi nell’autonomia di pensiero, di giudizio, di decisione. Si

forma cosı un adulto confacente al suo tempo e luogo, capace di adattarsi

a situazioni e circostanze nuove: alla fine un adulto che puo lavorare per

l’umanita, in grado di partecipare alla missione cosmica che abbiamo su

questa Terra.


2.4 La critica al sistema educativo in atto

Il piano inclinato con cui possiamo rappresentare il sistema educativo in atto

comincia circa a sei anni di eta e trova espansione massima durante il periodo

degli studi universitari, fra 18 e 24 anni. Questa progressione rappresenta

il “campo dell’azione educativa”, ma ci rivela anche il concetto sottostante

circa il modo di intendere lo sviluppo che qui, proprio secondo la vecchia

concezione, ha carattere decisamente lineare.

Come lineare e pure la progressione del numero delle varie materie studiate,

e del numero dei differenti insegnanti coinvolti. Numeri che rappresentano

anche la diversa quantita di conoscenza offerta all’individuo. Materie, inse-

gnanti, conoscenza: tutto aumenta conformemente al livello di istruzione, cioe

con l’eta dell’individuo. Conseguenza implicita in questo “campo dell’azione

educativa” che si espande col tempo e il pregiudizio che intelligenza e capa-

cita di acquisizione aumentino costantemente con l’eta: piu vecchi si e, piu

si e intelligenti, maggiore e l’eta e maggiore la capacita di apprendimento.

Giudicando, percio dai provvedimenti adottati dalla nostra societa, la vita

sembra svolgersi secondo un piano singolo, grande, lineare: una concezione

dello sviluppo che si pone in contrasto totale e rigoroso con i piani dello

sviluppo –multipli, distinti, differenziati– identificati dalla Montessori.

Dobbiamo anche non dimenticarci che c’e una filosofia sotterranea che imbeve

tutte le “azioni educative” dei sistemi in atto: quella di causalita. Per essa

l’insegnante e “causa” e il bambino educato e l’“effetto” prodotto. In altre

parole, le abilita acquisite dall’individuo durante il corso dello sviluppo sono

conseguenza diretta di conoscenze trasmesse dall’adulto. Questo significa che

il bambino e ancora e soltanto un “vaso vuoto” da riempire o un “foglio

bianco” su cui scrivere: riempimento e scrittura sono effettuati dall’adulto

che –tuttora– e colui che crea o modella l’essere nuovo.

Anche l’idea dello sviluppo lineare dell’essere umano e stata confutata, sia per

il periodo prenatale sia per il periodo di sviluppo iniziale, da studi biologici

e psicologici addirittura a partire dal XVIII secolo. Soltanto nel campo

dell’educazione troviamo ancora dominante, seppure in maniera nascosta, tale

1-2.5 La nascita del concetto di numero 29

concetto vecchio e superato che, sicuramente, mostra un conservatorismo di

fondo in questo campo sostanziale dell’attivita umana.

2.5 La nascita del concetto di numero

In Maria Montessori la teorizzazione psicologica e successiva alla pratica e

quindi volta a giustificare a posteriori le intuizioni originarie. Per questo

motivo la nascita dei concetti matematici non parte da una teoria cognitiva

ma parte dall’osservazione pratica di come certi materiali, meccanismi e

certe influenze dell’ambiente portano la “mente matematica” del bambino a

svilupparsi e ad ampliarsi. E come se si osservasse dall’esterno un meccanismo

contenuto in una scatola: si puo decidere di osservarne solo gli effetti esterni

e continuare ad ignorare il reale funzionamento del meccanismo. Ma non

dimentichiamo che Maria Montessori aveva una mente matematica, il suo

desiderio era studiare ingegneria all’universita, ma per le difficolta che una

donna incontrava all’epoca, dovette ripiegare su medicina. Queste osservazioni

hanno quindi una solida base, anche se non teorizzata apertamente.

Per Maria Montessori il punto centrale dell’educazione e il bambino e il suo

sviluppo. Le varie “discipline” gli sono offerte come mezzi per aiutarne la

costruzione; percio le varie materie vengono conformate alle peculiari esigenze

dell’eta. Esplorando tali proposte, i bambini rivelano potenzialita che nessuno

sospettava possedessero: concentrazione, capacita di ragionamento, intuito, a

volte arrivando addirittura a conclusioni non illustrate nei testi di aritmetica,

mostrando entusiasmo proprio per la matematica, una disciplina generalmente

invisa ai bambini in eta scolare.

Questo fatto porto Maria Montessori ad accertare che la mente dell’uomo e

di natura matematica e che tutta l’evoluzione dell’umanita ne e la prova. I

bambini mostrano, insomma, come potrebbe essere il figlio dell’uomo, quando

le sue potenzialita ricevono un aiuto reale allo sviluppo.

“Senza [. . . ] lo sviluppo matematico” – scriveva Maria Montessori gia nel 1939

– “non e possibile comprendere il progresso della nostra epoca ne parteciparvi.”

E ancora: “Uno spirito senza matematica oggi e paragonabile a un uomo che

ignora l’alfabeto, al tempo in cui dominava la cultura letteraria.” (Montessori,


2009) In questo senso, nel “piano per la formazione della mente matematica”

(perche e questo il traguardo) non vi concorre principalmente la matematica.

Aritmetica, geometria, algebra, ma anche lingua, scienze naturali, biologia,

geografia, geologia eccetera concorrono a costruire la mente matematica,

cioe i processi mentali che, in quanto tali, non possono attribuirsi ad alcuna

disciplina in particolare.

Il progetto Montessori, cioe, non indaga la psicologia dell’apprendimento della

matematica, ma promuove il processo di costruzione della mente del bambino.

Approccio che troviamo in “Psicoaritmetica” (Montessori, 1994). Questo libro

e la relazione di un’esperienza stimolante che, liberando i bambini dal dover

imparare a memoria le regole che non capiscono e fornendo una visione chiara

di cio che la matematica puo esprimere, ha fatto amare le matematiche.

Sottolineo ancora una volta che questo libro non riporta una teoria cognitiva,

ma piuttosto giustifica a posteriori le intuizioni e le osservazioni fatte sui

bambini. L’altro aspetto interessante che troviamo nel libro e la quasi totale

assenza di teorizzazioni qui sostituite piuttosto da indicazioni pratiche.

Uno dei filoni osservativi riportati nel libro parte dall’analisi del modo di

procedere della scuola tradizionale. Qui i procedimenti matematici sono

solamente dichiarati: i bambini devono impararli e non e necessario far loro

capire perche si opera in un certo modo e come un procedimento si collega

ad un altro.

Questo modo di procedere porta ad instaurarsi di una fra le piu disastrose

deviazioni dell’intelligenza: quel fenomeno che gli psicanalisti hanno designato

col nome di “barriere psichiche”. Ne “Il segreto dell’infanzia” (Montessori,

1999a) leggiamo: “Questa lenta opera di difesa prolungata conduce ad agire

come se le funzioni naturali fossero perdute [. . . ]. Il piu delle volte la barriera

psichica [. . . ] si circonda di coefficienti che agiscono a distanza e che in

psicanalisi si indicano col nome di ripugnanze. Niente di piu comune che

portarsi per tutta la vita una barriera psichica costruita nell’infanzia. Ne e

esempio la caratteristica ripugnanza che molti conservano per tutta la vita

verso la matematica: non e soltanto una incapacita di agire; il solo nominarla

fa sorgere un ostacolo interiore che impedisce l’avvicinamento che produce

stanchezza prima che possa iniziarsi l’attivita.”

1-2.5 La nascita del concetto di numero 31

Ne “La mente del bambino” (Montessori, 1999b), Maria Montessori scrive

che “la forma della mente umana e matematica” e l’aggettivo, usato in

posizione predicativa, indica una delle qualita caratteristiche della mente

umana: l’esattezza (che poi e il pascaliano “Esprit de geometrie”); all’inverso

scrive anche: “Questa parte della mente che si costruisce attraverso l’esattezza

si chiama mente matematica”.

Leggiamo anche che “Allo stato naturale, lo spirito umano e gia matematico:

tende verso l’esattezza, la misura e il raffronto” (Montessori, 2009). Quasi un

anno dopo la pubblicazione di Psicoaritmetica, Maria Montessori chiarisce

quella che potremmo chiamare la sua “psicologia dell’aritmetica”. “I numeri

con tutto quanto e ad essi connesso diventano per il bambino stimoli scientifici

che provocano attivita psichiche vitali. [. . . ] E nei periodi sensitivi, le materie

d’istruzione possono diventare autentici aiuti allo sviluppo [perche] La cultura

si identifica con la costruzione della personalita stessa. [. . . ] Il materiale

matematico in particolare, presentato nella maniera adatta e nel periodo

sensitivo pertinente, permette al bambino di comprendere.” E ancora: “Bisogna

analizzare ogni difficolta, presentandole separatamente mediante un materiale

concreto; vale a dire ’materializzare le astrazioni’ che non sono inaccessibili

al bambino, ma abbisognano di un ponte materiale. Messo in contatto con

questo materiale, il bambino mostra che la comprensione [. . . ] e soltanto il

primo gradino di una attivita prolungata e ripetuta”.

Come negli schemi proposti in alcuni metodi didattici, anche qui la materia e

scomposta in “frames” logicamente concatenati nei passaggi. Pero, e la distin-

zione dalle tecniche didattiche e fondamentale, alle sequenze nella sola “lingua

scritta”, la Montessori aggiunge (certo non solamente per la matematica) uno

specifico e adatto materiale che propone interventi diversificati. Tutto cio e la

risposta alla richiesta della psicologia dell’apprendimento: la costruzione dei

concetti matematici deve avere la sua radice nel concreto e attuarsi mediante

una saggia programmazione (dove la saggezza e data dal tipo di materiale,

dal suo uso, dal titolo e modi di approccio, dalla scomposizione in unita della

materia e, principalmente, da una partecipazione non settorializzata delle

funzioni della mente del bambino).

In definitiva e il materiale che insegna: “Un maestro sempre pronto, ugualmente


paziente, di umore costante, che va analizzando e scoprendo, fino a raggiungere

la radice del problema”, scrive Maria Montessori. Un materiale con il quale

e possibile la trasformazione di relazioni astratte in percezioni dirette, la

costante ricerca di somiglianze e differenze, la classificazione, l’uso di schemi

come aiuto per organizzare una sequenza razionale, la comprensione, infine,

nella maniera con la quale sono organizzate e si organizzano determinate

situazioni.

Un materiale operativo di sviluppo (e non, quindi, un sussidio didattico) poiche

permette al bambino di rendersi conto dall’interno di determinate soluzioni

e procedimenti, ricostruendoli anche con la lentezza propria del processo

analitico. Un materiale “polivalente” poiche puo essere ripreso a livelli diversi,

per fini diversi e riconsiderato sotto aspetti diversi dal bambino stesso. Un

materiale sensoriale che pur richiede attivita creativa di trasformazione o

comunque manipolatoria; e anche un sussidio: che non aiuta l’insegnante ma

il bambino a sviluppare le sue potenzialita.

Per esempio la conoscenza dei numeri da uno a dieci non avviene linearmente

bensı per piani. Intorno ad un’idea centrale interessante ed importante si svol-

gono parallelamente le conoscenze che portano a considerare e ad approfondire

i particolari. Nell’esempio il procedimento generale e:

1. conoscenza delle quantita

2. conoscenza del simbolo

3. associazione di cifre e quantita

Questa conoscenza del numero si svolge in tre momenti con tre materiali

differenti:

1. presentazione (aste ed esercizi relativi)

2. riconoscimento (fusilli)

3. dimostrazione di possesso della conoscenza (esercizio con marchette)

1-3 Antropologia del numero 33

3 Antropologia del numero

3.1 Il numero come espressione del pensiero

Il numero nasce come strumento e modo d’espressione del pensiero anche se,

una volta strutturato, forma nel pensiero dell’uomo una categoria specifica.

E in questa prospettiva, quindi, che anche per il numero e pensabile un

processo storico-evolutivo. Attribuire un nome, dare un ordine, dare un numero

costituisce una catena simbolica che segue la concatenazione operativa del

nesso tecnica-linguaggio (Pizzi e altri, 1987, pag. 55).

Il processo di sviluppo del numero puo essere caratterizzato dai seguenti

passaggi, all’interno di tre grandi segmentazioni storiche e cognitive (Pizzi

e altri, 1987):

1. Fase dei presupposti del numero: il numero come determinazione

rappresenta la capacita di definizione della pluralita senza contare, uti-

lizzando le facolta naturali di percezione delle piccole quantita. Consente

di utilizzare la denominazione per definire i limiti dell’insieme attraverso

i suoi elementi, le totalita attraverso i loro componenti e di applicare le

differenze tra singolare e plurale, nonche la definizione di unita, coppia

e simili.

2. Fase di nascita del numero come simbolo: rappresenta l’uso della

corrispondenza unita per unita per controllare e definire gli elementi di

un insieme, per enumerarli, determinando cosi un rapporto tra unita e

quantita (uso di strumenti come l’indicazione, le dita, sassolini, bastoni

od ossi incisi). In questa fase ritroviamo anche la capacita di attribuire

un nome a ciascuna unita della quantita, la percezione dell’aspetto

ordinale del numero ed esecuzione dell’operazione di aggiungere una

nuova unita ad una quantita gia contata.

3. Fase della scienza del numero: rappresenta il passaggio dal conteggio

alle operazioni matematiche, grazie al perfezionamento degli strumenti

di calcolo, come l’abaco e la scrittura. Il numero diviene segno.

Come dimostrato dagli studi antropologici, tali fasi di sviluppo del concetto

di numero sono caratteristiche sia dello sviluppo filogenetico, sia di quello


ontogenetico.

3.2 I fondamenti del numero

Per gli studi antropologici il concetto di numero rappresenta un segno di

varia natura che serve a definire un insieme di elementi e a comprenderli

quantitativamente. Per le scienze matematiche invece il numero e definito

come ciascuno degli enti astratti che costituiscono una successione ordinata.

In particolare, secondo i principi matematici del numero, i tratti distintivi di

un sistema di numerazione sono:

• la capacita di definire quantitativamente gli elementi

• l’arbitrarieta, cioe il segno numerico e indipendente da cio che definisce

• la simbolicita, cioe il valore del numero e indipendente dal segno usato

• la sistematicita, cioe il numero fa parte di un sistema di altri numeri

dotato di una relazione di interdipendenza degli elementi costitutivi

• il concetto di infinito

• l’uso dello zero con significato di assenza e mancanza

I numeri hanno, oramai, influenzato non soltanto lo sviluppo della scienza,

ma anche molti degli aspetti umani della nostra vita. Oggi usiamo i numeri

abitualmente, per contare, per fare statistiche, per comprare e vendere oggetti,

per identificare le automobili, i telefoni, i conti correnti, per formulare le teorie

scientifiche, e cosı via.

Ma in che modo siamo giunti a descrivere e a rappresentare il mondo in

termini numerici? Si puo supporre che nell’antichita sia esistito qualcuno

che li abbia inventati? L’importanza di quest’idea fu cosı grande che venne

adottata dai popoli vicini e dai vicini dei vicini. Questo implica, pero, che i

popoli piu distanti da quello dell’inventore abbiano avuto accesso ai numeri

piu tardi rispetto ai vicini, e qualcuno forse mai. La varieta all’interno dei

sistemi di numerazione che fanno ricorso alle parti del corpo, costituisce una

prova contraria all’ipotesi della diffusione dell’invenzione dei numeri da un

unico centro. Un’altra possibilita e che l’idea di numero sia un’invenzione

semplice che molte societa possano aver sviluppato per conto proprio. La

terza possibilita, quella sostenuta dalla ricerca degli ultimi venticinque anni

1-3.2 I fondamenti del numero 35

circa, e che l’idea dei numeri non sia stata un’invenzione, ma una componente

intrinseca della natura umana, oltre che di certi animali (Butterworth, 1999,

pag. 17).

Brian Butterworth, neuropsicologo cognitivista, sostiene, infatti, che il genoma

umano, cioe l’insieme dei geni che fa di noi cio che siamo, contenga le istruzioni

per costruire circuiti cerebrali specializzati per l’identificazione di piccole

numerosita, il cosiddetto Modulo Numerico, che e il nucleo centrale di tutte le

nostre capacita matematiche. La funzione del Modulo Numerico e classificare

il mondo in termini di quantita numerica o numerosita, cioe mette chi lo

possiede nelle condizioni di percepire il numero di elementi di un insieme

come un processo automatico, anche se ci sono persone che nascono con una

certa cecita per i numeri.

Cio che rende uniche le capacita numeriche umane, e lo sviluppo e la trasmis-

sione di strumenti culturali che ampliano le facolta del Modulo Numerico.

Questi strumenti comprendono dei mezzi per facilitare l’operazione del con-

teggio, come l’uso di parole per esprimere i numeri, quello delle dita e delle

tacche per contare oggetti, le procedure di calcolo, l’uso dei simboli numerici o

i teoremi e le loro dimostrazioni. Cio significa che le nostre capacita numeriche

dipendono da tre fattori: il nucleo centrale innato, le conoscenze matematiche

della cultura in cui viviamo e la misura in cui abbiamo acquisito tali cono-

scenze. Se fossimo nati in una cultura con conoscenze matematiche molto

limitate, le nostre capacita sarebbero inferiori rispetto a quelle che avremmo

se avessimo avuto la possibilita di acquisirle da una cultura matematicamente

piu progredita. Cosı come, se avessimo poche opportunita o un desiderio

limitato di acquisire conoscenze matematiche, le nostre capacita sarebbero

inferiori a quelle che avremmo se avessimo dedicato piu tempo allo studio

sotto la guida di un insegnante.

Cio significa che persino la persona piu pigra e meno interessata, nata in

una cultura poco incline alla matematica, classifichera il mondo in termini di

numerosita, dove per numerosita si intende il numero che si ottiene quando si

contano gli elementi di un insieme. La capacita di concepire le numerosita e

presente nel cervello di tutti, pronta ad essere usata sia che la societa possieda

buoni strumenti matematici sia che non li possieda, pero le risorse culturali


fornite dal linguaggio e da altri segni possono migliorare in misura notevole la

sua applicazione. Allo stesso tempo, questa tesi implica l’esistenza di persone

nate senza un Modulo Numerico, e cioe senza la capacita innata di riconoscere

piccole numerosita (Butterworth, 1999, pag. 18).

3.3 Le competenze numeriche dei bambini

E stato dimostrato da recenti studi che un bimbo di pochi mesi di vita e

gia capace di discriminare le quantita e di categorizzare il mondo che vede e

sente in termini di numerosita. Il bambino, quindi, nasce con la capacita di

formarsi una rappresentazione della numerosita di un insieme di oggetti ed e

anche in grado di memorizzarla rapidamente e di richiamarla.

Antell e Keating, due psicologi americani, hanno verificato che neonati da uno

a dodici giorni di vita riescono a discriminare insiemi di due o tre elementi

(Antell e Keating, 1983). Essi si sono serviti della “tecnica dell’abituazione-

disabituazione”2, che dimostra come i bambini gia a pochi giorni di vita siano

in grado di rilevare la differente numerosita tra due gruppi di stimoli. Nella

sequenza sperimentale a ogni neonato venivano presentati alternativamente

due cartoncini con due punti neri uguali, piu o meno distanziati, in modo da

indurre “abituazione”; successivamente veniva mostrato un terzo cartoncino

“disabituante” con tre punti neri allineati. Si e visto che i neonati, anche di

un solo giorno di vita, osservavano piu a lungo questo nuovo oggetto. Per

controllare che non si trattasse di una semplice preferenza per immagini con

un maggior numero di punti, Antell e Keating hanno proposto la sequenza

sperimentale inversa e verificato che gli stessi risultati (tempi piu lunghi di

osservazione) si ottenevano se, dopo aver abituato il bambino ai tre elementi,

si passava ai due. I bambini sembravano sensibili al numero di immagini con-

tenute nel cartoncino. Questo significa che categorizzavano quel che vedevano

in modo del tutto astratto, senza tener conto delle caratteristiche particolari

di ogni figura: il colore, la dimensione, la forma, che cambiavano in ogni

2Questa tecnica si basa sul fatto che i bambini guardano piu a lungo gli stimoli nuovi:osservare a lungo la stessa cosa li porta ad abituarsi, a perdere interesse, mentre una cosanuova li “disabitua” poiche induce interesse.

1-3.3 Le competenze numeriche dei bambini 37

cartoncino. Ma sorge spontanea una domanda: e se si trattasse di una forma

di percezione di modelli visivi e non di numerosita, cosı come sosteneva Piaget?

Immagini immobili di oggetti costituiscono particolari modelli geometrici:

un oggetto e un punto, due una retta, tre non allineati un triangolo, ecc., il

bambino potrebbe limitarsi a descrivere tali modelli.

Questa ipotesi e stata indagata da Van Loosbrock e Smitsman (1990). Nel loro

esperimento hanno mostrato a bambini di 5 e 13 mesi immagini in movimento:

due rettangoli in varie tonalita di grigio percorrevano traiettorie casuali

sullo schermo di un computer rendendo cosı impossibile l’identificazione di

modelli visivi. Nonostante questo, come in tutti gli altri esperimenti, quando

il numero dei rettangoli cambiava, i tempi di osservazione si modificavano

significativamente, dimostrando come i bambini reagissero alla numerosita

degli oggetti in movimento.

Le ricerche di Karen Wynn (1992) hanno evidenziato al riguardo come la

sensibilita del bambino alla numerosita vada oltre la percezione di oggetti,

immobili o in movimento, e riguardi anche insiemi di azioni. Negli esperimenti

da lei descritti, quando bambini di sei mesi, “abituati” a vedere una marionetta

fare due salti, ne vedevano compiere tre, i tempi di osservazione raddoppiavano.

Anche in questo caso, la sequenza inversa (tre salti seguiti da due), e stata

usata come controllo. Il bambino, percio, nasce con la capacita di formarsi

una rappresentazione della numerosita di un insieme di oggetti e, visto che il

suo comportamento cambia quando cambia il numero di oggetti, puo anche

capire se un nuovo insieme abbia la stessa numerosita del precedente. C’e un

limite superiore al concetto di numerosita del bambino? Il numero massimo

di oggetti percepibili sembra essere tre o quattro, tuttavia non si e sicuri che

questo limite risieda nella nozione di numerosita del bambino e non nella sua

capacita di percepire e di ricordare quello che ha percepito. La comprensione

degli adulti, del fatto che le numerosita non hanno limiti, sembra dipendere

dall’intuizione che sia sempre possibile aggiungere un’unita. Percio qualsiasi

limitazione da parte del bambino potrebbe avere a che fare piu con la sua

capacita di eseguire addizioni successive che con la serie di ragionamenti

necessari per passare da tale capacita al concetto che i numeri non abbiano

un limite superiore. La limitazione piu probabile e la capacita di percepire


immediatamente e senza contare la numerosita di un insieme visivo di oggetti.

Si tratta di un processo specializzato nella percezione visiva che viene chiamato

“subtizing” o, in italiano, “immediatizzazione” (Lucangeli e altri, 2003).

Il possesso del concetto di numerosita implica molto di piu dell’essere capaci

di decidere se due insiemi abbiano o no lo stesso numero di elementi. Esso

comporta l’abilita di individuare un cambiamento di numerosita quando nuovi

elementi vengono aggiunti all’insieme o elementi precedentemente inclusi vi

vengono sottratti. I bambini piccoli hanno la capacita di farlo? Wynn (1992) ha

riscontrato come bambini di 5 o 6 mesi sappiano compiere semplici operazioni

di tipo additivo (1 + 1) e sottrattivo (2− 1). Nell’esperimento dell’addizione

in un teatrino veniva presentato un pupazzo che veniva poi nascosto da uno

schermo. Un secondo pupazzo veniva mostrato e aggiunto al primo dietro lo

schermo. Alla fine lo schermo si alzava rivelando la presenza di due pupazzi,

il che era in linea con un’aspettativa di addizione, (1 + 1 = 2), o di un solo

pupazzo, il che non lo era, (1 + 1 6= 1). I bambini guardavano piu a lungo

questa seconda situazione, il che suggeriva a Wynn che questa deludesse la loro

aspettativa. L’esperimento di sottrazione era analogo, solo che inizialmente

venivano presentati e nascosti due pupazzi, e successivamente si vedeva che

uno di questi veniva sottratto. I bambini guardavano piu a lungo nel caso in

cui alla fine apparissero due pupazzi (2− 1 6= 2) piuttosto che uno (2− 1 = 1).

Questo dimostra che i bambini nascono con la capacita di eseguire processi di

addizione e sottrazione che li portano a nutrire aspettative aritmetiche. Non

sappiamo pero se queste loro aspettative abbiano un carattere generale. Noi

adulti sappiamo che, ogni volta che viene tolto un oggetto da un insieme, esso

rimane con un oggetto in meno. Non sappiamo pero se i bambini di quella

eta capiscano questo concetto solo perche notano una differenza rispetto alle

loro aspettative quando si toglie un pupazzo da un insieme di due, oppure

quando lo si aggiunge.

Come afferma Butterworth (1999), “la natura fornisce un nucleo di capacita

per classificare piccoli insiemi di oggetti nei termini della loro numerosita

[. . . ], per capacita piu avanzate abbiamo bisogno dell’istruzione, ossia di

acquisire gli strumenti concettuali forniti dalla cultura in cui viviamo”. Se

dunque esiste una competenza numerica pre-verbale, innata e indipendente

1-3.3 Le competenze numeriche dei bambini 39

dalla manipolazione linguistico-simbolica, imparare a contare rappresenta il

primo collegamento tra natura e cultura, tra la capacita innata del bambino

di percepire le numerosita e le acquisizioni matematiche piu avanzate della

cultura nella quale e nato. Capire come evolvono le abilita di conteggio a

partire dalle competenze pre-verbali di quantificazione, implica capire in

che modo compaia la capacita di codificare le quantita attraverso il sistema

verbale dei numeri, e in che modo esso si sviluppi fino a permettere la

piena padronanza dei meccanismi della conta. In particolare, come avviene

il passaggio dalle competenze numeriche pre-verbali all’acquisizione delle

parole-numero? Contare sembra essere una delle cose piu semplici. Allora

perche i bambini ci mettono tanto ad imparare se nascono con la capacita

innata di contare? Cominciano attorno ai due anni e ne passano piu di sei

prima di capire come farlo e come servirsene. Secondo gli psicologi Rochel,

Gelman e Gallistel, l’acquisizione dell’abilita di conteggio verbale e guidata

dalla conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica

non verbale (Gelman e Gallistel, 1986). I principi impliciti del “come contare”

individuati sono:

1. il principio della corrispondenza biunivoca (a ogni elemento contato

deve corrispondere una sola parola-numero e viceversa)

2. il principio dell’ordine stabile (le parole-numero devono essere ordinate

in una sequenza fissa e inalterabile)

3. il principio della cardinalita (l’ultima parola-numero usata nel conteggio

rappresenta la numerosita dell’insieme)

4. il principio dell’irrilevanza dell’ordine (non ha importanza in quale

ordine si contino gli oggetti di un insieme)

5. il principio di astrazione (qualunque cosa puo essere contata)

Emerge che contare non e cosı semplice come sembrerebbe. In primo luogo

bisogna conoscere i vocaboli per esprimere i numeri come suoni del linguaggio;

poi sapere che le quantita sono esprimibili attraverso parole-numero che hanno,

come ogni segno linguistico, un rapporto convenzionale con il significato che

sottintendono che, nel caso dei numeri, e la quantita. Imparare la sequenza

delle parole usate per contare e il primo modo con il quale i bambini connettono

il loro concetto innato di numerosita con le prassi culturali della societa nella

quale sono nati. Non tutte le societa usano vocaboli speciali per contare, alcune


si servono dei nomi di parti del corpo (Squillacciotti, 1996); la cosa importante

e pero che tutte usano i vocaboli in una sequenza fissa e inalterabile, in modo

che ogni parola abbia sempre lo stesso significato. Imparare la sequenza verbale

delle parole che esprimono i numeri non e affatto facile; spesso i bambini

di due o tre anni pensano alle prime parole che indicano i numeri come ad

un’unica parola molto lunga “unoduetrequattrocinque”, ed occorre un po’ di

tempo affinche si rendano conto che questa grossa parola e in realta formata

da cinque vocaboli piu brevi. Se ci fosse solo un’unica lunga parola, essi

non potrebbero porre gli elementi della sequenza verbale in corrispondenza

biunivoca con gli elementi da contare. Pero, sapere che esiste una sequenza

fissa di parole separate non basta per capire che queste parole si usano per

contare. I vocaboli che esprimono i numeri hanno molti significati, non solo

quello legato alla numerosita, percio il bambino deve separare l’uso di tali

vocaboli legato al conteggio da altri, che puo riscontrare a casa o a scuola,

come per esempio dire l’ora, compiere una misura, mettere oggetti in un dato

ordine, indicare il numero civico della propria casa, dei canali televisivi, dei

telefoni, ecc. Tutto questo indica che l’acquisizione della sequenza verbale e

il suo uso nel conteggio dipendera molto da come gli viene insegnata e dai

contesti in cui viene appresa.

Il concetto di corrispondenza biunivoca appare intorno ai due anni indipen-

dentemente dall’apprendimento della sequenza dei vocaboli usati per contare:

il bambino distribuisce un giocattolo ad ogni persona, mette ogni tazza sul

suo piattino, nomina ed indica ogni persona in una fotografia, una ed una

sola volta. Anche quando conosce la sequenza corretta dei vocaboli-numero,

tende ad indicare ad uno ad uno gli oggetti che conta. Fino ai quattro anni

non e pero chiara la relazione tra questa strategia e il conteggio; per esempio

il bambino sa utilizzare la strategia “uno per te e uno per me” per distribuire

equamente delle caramelle, ma se poi un adulto le conta ed afferma di averne

quattro, il bambino non e in grado di inferire di averne lo stesso numero

(Pesenti et al., 1995 citato in Lucangeli e altri (2003)). Per quanto riguarda

il principio di cardinalita, i bambini di tre anni e mezzo sono abili nel dire

l’ultima parola del conteggio come numero degli oggetti contati, ma questo

non significa che comprendano realmente che il processo del contare fornisca

la numerosita dell’insieme. Spesso si tratta di una semplice imitazione del

1-3.4 Innatismo nello sviluppo del concetto di numero 41

comportamento degli adulti; se si chiede ad un bambino di questa eta quanti

siano gli oggetti che ha appena contato, puo capitare che cominci a ricontarli

nuovamente. Infine, i bambini devono capire che non ha importanza in quale

ordine contino gli oggetti di un insieme, ne di quale tipo siano gli oggetti

da contare. Tuttavia, e vero che, perfino quando di norma obbediscono a

tali principi, i bambini continuano a contare meglio oggetti concreti che non

astratti, come i suoni o le azioni, inoltre trovano meno difficolta a contare se

gli oggetti sono allineati e si puo cominciare a contarli da un estremo invece

che dalla meta.

3.4 Innatismo nello sviluppo del concetto di numero

In base agli studi effettuati su animali e neonati, Stanislas Dehaene, sostiene

che noi umani possediamo una sensibilita innata per la quantita ma non per le

numerosita (Dehaene, 2000). Lo studioso postula l’esistenza di un meccanismo

cerebrale chiamato “Accumulatore” presente anche in alcuni animali come i

ratti, i piccioni e gli scimpanze. Questo accumulatore rappresenta i numeri

come quantita approssimate, un po’ come se fossero il livello di liquido in

un contenitore. Questo meccanismo ci permette di percepire, memorizzare e

confrontare grandezze numeriche perche numeri diversi sono rappresentati da

livelli diversi di liquido.

Le capacita conoscitive della nostra specie si differenziano da quelli degli

animali in molti punti. A differenza degli animali noi possediamo la capacita

di concepire vasti sistemi di simboli, che ci permettono di inventare, tra

l’altro, il linguaggio matematico. Inoltre siamo dotati di un organo cerebrale

del linguaggio che ci permette di esprimere pensieri e di comunicarli agli

altri. Infine siamo in grado di ideare progetti anche complessi e di portarli a

termine, basandoci contemporaneamente su una memoria retrospettiva e su

delle previsioni future. Tutto questo, secondo Dehaene, non vuol dire che la

nostra rappresentazione dei numeri sia radicalmente diversa da quella degli

animali, anzi, la nostra rappresentazione mentale delle quantita e molto simile

a quella di un ratto o di una scimmia o di un piccione. Proprio come loro,

senza ricorrere al linguaggio, possiamo numerare rapidamente collezioni di


oggetti, addizionarli e confrontarli, pero l’intuizione delle grandezze numeriche,

che ereditiamo dall’evoluzione, favorirebbe il nascere di una matematica piu

avanzata.

3.5 La teoria costruttivista del concetto di numero

Come gia ho avuto modo di approfondire nel capitolo precedente, secondo

gli studi effettuati da Piaget, capostipite del costruttivismo, le conoscenze

logiche e matematiche si costruiscono nel bambino mediante l’osservazione e

l’interiorizzazione delle regolarita nel mondo. Alla nascita, secondo Piaget,

il cervello dell’uomo puo essere paragonato ad una pagina bianca, priva di

qualsiasi conoscenza astratta, dal punto di vista genetico il bambino non

possiede nessuna idea preconcetta sul mondo nel quale vivra. Sara dotato di

un sistema di percezione e di comando motorio accanto ad un meccanismo

generale di apprendimento che, progressivamente trarrebbe profitto dalle

interazioni tra il soggetto e il suo ambiente per auto-organizzarsi.

Percio, secondo questa teoria, il bambino piccolo non avrebbe nessuna cogni-

zione dell’aritmetica. Infatti, nei primi anni di vita, e precisamente fino ai

due anni circa, il bambino si troverebbe in una fase detta “senso-motoria”,

in questo stadio esplora il mondo che lo circonda mediante i sensi e impara

a controllarlo con i gesti, cosı facendo non puo evitare di accorgersi di certe

regolarita. Per esempio, un oggetto che scompare dietro uno schermo, riappare

quando questo si abbassa; due oggetti quando si scontrano, non si compe-

netrano mai, e cosı via. Guidato da queste scoperte progressive, il bambino

si costruisce una serie di rappresentazioni mentali sempre piu raffinate e

astratte del mondo nel quale vive e si muove. Per quanto riguarda la nozione

di numero, cosı come per le altre rappresentazioni del mondo, deve costruirla

utilizzando le sue interazioni senso-motorie con l’ambiente.

L’uomo nasce senza alcuna idea aritmetica innata, e solo dopo parecchi anni di

osservazioni attente arriva a comprendere che cos’e il numero, poi attraverso

la manipolazione di oggetti si rende conto che il numero e la sola proprieta che

non varia al variare della posizione o della natura dell’oggetto. Secondo Piaget,

una delle prove che i bambini piccoli sono incapaci a capire l’aritmetica e la

1-3.5 La teoria costruttivista del concetto di numero 43

“non permanenza dell’oggetto”. Se si nasconde un giocattolo sotto un panno,

un bambino che ha meno di dieci mesi sembra ignorare che il giocattolo

continui ad esistere. Questo fa pensare che il bambino piccolo non conosca

molto del mondo che lo circonda. Dice ancora Piaget: “se non sa che gli

oggetti non cambiano anche quando non si vedono piu, come potrebbe sapere

qualcosa sul loro numero?” Questi sostiene che il concetto del numero non

viene compreso prima dei sei anni e mezzo sette, fin quando il bambino non

supera la prova della “conservazione del numero”. La conclusione di Piaget e

che prima dell’eta della ragione, i bambini mostrano una completa ignoranza

delle regole elementari dell’inclusione degli insiemi, che costituiscono uno dei

fondamenti dell’aritmetica. Tutto questo significa che prima dei sei o sette anni,

il bambino non sarebbe pronto ad apprendere l’aritmetica. L’insegnamento

precoce della matematica, secondo Jean Piaget, sarebbe inutile e dannoso,

perche verrebbe imparata a memoria, senza comprenderne il significato,

inculcare con forza questi concetti nella mente del bambino provocherebbe

ansia e paura nei riguardi della matematica. Invece che insegnare precocemente

i numeri, sarebbe meglio cominciare dalla logica e dai rudimenti della teoria

degli insiemi, la cui padronanza e necessaria per capire il concetto di numero.

E ormai ben noto che ratti e piccioni sono in grado di riconoscere un numero

dato di oggetti, anche quando viene modificata la loro posizione nello spazio;

e che uno scimpanze sceglie spontaneamente la piu grande fra due quantita.

E ragionevole pensare che i cuccioli della specie umana fino a quattro o

cinque anni abbiano una padronanza della matematica inferiore a quella

degli altri mammiferi? Alla luce di studi compiuti negli ultimi venti anni

circa, sulle conoscenze numeriche dei piccolissimi, ci si e resi conto che la

teoria di Piaget, sul numero nel bambino, presenta dei difetti. E ovvio che i

bambini piccoli abbiano molto da imparare in aritmetica e che sono necessari

anni affinche le loro capacita concettuali si approfondiscano, ma questo non

significa che appena nati siano privi di capacita numeriche. Secondo Dehaene

gli esperimenti di Piaget sono viziati e non permettono ai bambini piccoli di

dimostrare cio di cui sono capaci. Uno degli errori piu gravi sta nel fatto che

le prove svolte da Piaget si basavano su dei dialoghi, e non sempre il bambino

di quell’eta comprende bene il senso delle domande che gli vengono poste.

Se si interrogano i bambini senza far ricorso al linguaggio, le loro capacita


numeriche si rivelano stupefacenti.

Per esempio, Mehler e Bever, gia nel 1967, dimostrarono che i risultati

della prova classica di conservazione dei numeri di Piaget, possono cambiare

completamente a seconda del contesto e della motivazione dei bambini (Mehler

e Bever, 1967). Nella situazione classica lo sperimentatore formava due file di

biglie, una corta ma formata da sei biglie, l’altra piu lunga ma formata da

quattro biglie, se si chiedeva ai bambini dove ci fossero piu biglie, la maggior

parte dei bambini di tre o quattro anni sceglieva la piu lunga, ma meno

numerosa. Invece Mehler e Bever, sostituirono le biglie con delle caramelle

e invitarono i bambini di tre quattro anni a scegliere una delle due file di

caramelle e a poterle mangiare; in questo esperimento i bambini sceglievano

la fila piu numerosa anche se piu corta, e questo e in conflitto con la teoria

di Piaget. Inoltre anche bambini di due anni superavano brillantemente la

prova sia con le biglie sia con le caramelle. L’errore piagetiano, pertanto, non

e dovuto a una mancanza di conoscenza aritmetica, ma solo alle condizioni

fuorvianti in cui si svolge il test, al fatto che bambini di quell’eta possono

dare alle domande dello sperimentatore un senso diverso, rispetto a quello

che potrebbero dare gli adulti e basarsi per esempio sulla lunghezza delle file

piuttosto che sul numero di oggetti presenti. Capire una frase significa andare

oltre il significato letterale per comprenderne quello profondo e l’intenzione

di chi comunica, e vi sono circostanze in cui il significato reale puo rivelarsi

inverso a quello letterale.

Due psicologi, McGarrigle e Donaldson, hanno verificato che l’incapacita di

conservare il numero nei bambini piccoli e legata a una cattiva comprensione

delle intenzioni dello sperimentatore (McGarrigle e Donaldson, 1974). Nel loro

esperimento meta delle prove era di tipo classico, cioe era lo sperimentatore

che modificava la lunghezza delle file e chiedeva al bambino di indicare la fila

con piu elementi. Nell’altra meta la trasformazione veniva compiuta da un

orsetto di peluche e poi si chiedeva al bambino quale fosse la fila piu numerosa.

In questo secondo caso la domanda dello sperimentatore poteva essere vista

dal bambino sincera e poteva essere interpretata in senso letterale. In questa

situazione, la maggior parte dei bambini rispondeva in maniera corretta, sulla

base del numero, senza lasciarsi influenzare dalla lunghezza delle file. Al

1-3.6 Le abilita numeriche del bambino molto piccolo 45

contrario, gli stessi bambini si sbagliavano e rispondevano sulla base della

lunghezza quando la trasformazione era stata compiuta dallo sperimentatore.

Cio dimostra fondamentalmente due cose: una e che la stessa domanda puo

essere interpretata in modo diverso dal bambino a seconda del contesto; la

seconda e che, al contrario di cio che aveva sostenuto Piaget, quando la

domanda e ben posta, il bimbo piccolo mantiene fisso il numero.

3.6 Le abilita numeriche del bambino molto piccolo

Tutto questo non significa che la teoria di Piaget sia infondata o comple-

tamente erronea. Piaget si rendeva perfettamente conto che la sua prova

di conservazione induceva i bambini a sbagliare, di fatto era espressamente

ideata in modo che la lunghezza delle file fosse in conflitto con il numero degli

elementi. Secondo Piaget, un bambino comprendeva veramente i fondamenti

dell’aritmetica soltanto se era in grado, su una base puramente logica, di

predire quale fila contenesse il maggior numero di elementi, e non basandosi su

eventuali cambiamenti della lunghezza, ne sul modo in cui lo sperimentatore

poneva le domande. Sempre secondo Piaget, scegliere il numero piu grande di

caramelle non richiede vere conoscenze concettuali sui numeri, ma soltanto una

coordinazione senso-motoria per riconoscere il numero piu grande e orientarsi

verso di esso. Il fatto di saper scegliere precocemente il piu grande tra due

numeri, non significa che se ne comprendano i suoi fondamenti logici; Piaget

pensava quindi che i bambini piccoli, cosı come gli animali, possano acquisire

“numeri senso-motori”, ma non una conoscenza concettuale dell’aritmetica.

Per dimostrare che un bambino di soli pochi mesi sia in grado di individuare

una differenza di numero e sappia distinguere per esempio il due dal tre, si

sono fatti vari esperimenti tra cui quelli della Wynn descritti prima.

E bene capire pero se questa sensibilita precoce al numero e una conseguenza

delle funzioni visuali del bambino o se si tratta della rappresentazione astratta

dei numeri. I bambini piccoli sanno individuare il numero di suoni in una

sequenza uditiva? Sanno che lo stesso concetto astratto “3” si puo applicare sia

a tre suoni che a tre oggetti visibili? Sono in grado di combinare mentalmente le

loro rappresentazioni numeriche per eseguire calcoli semplici come “1+1 = 2”?


Una serie di esperimenti (Bijeljac-Babic e altri, 1993) dimostrano che i bambini

molto piccoli prestano attenzione sia al numero di suoni che a quello degli

oggetti del loro ambiente e quindi possiedono una rappresentazione astratta

dei numeri, indipendentemente dal modo visivo e uditivo con cui vengono

comunicati. Infatti, se mettiamo un bambino tra i sei e gli otto mesi davanti a

due diapositive, una con due oggetti, l’altra con tre e facciamo accompagnare la

proiezione da colpi di tamburo, a volte tre, a volte due, dopo alcuni tentativi in

cui non succede niente, il bambino comincia a fissare piu a lungo la diapositiva

in cui il numero di oggetti corrisponde alla sequenza di suoni ascoltati. Tutto

questo significa che il bambino coglie il numero piu che una forma sonora o

una disposizione geometrica di oggetti, e che, nel suo cervello, alla vista di tre

oggetti o all’ascolto di tre suoni, si attiva una rappresentazione identica del

numero tre. Questa rappresentazione interna astratta gli permetterebbe di

individuare la coincidenza tra il numero di oggetti che presenta la diapositiva

e il numero di suoni che contemporaneamente ascolta.

Secondo Stanislas Dehaene il bambino piccolo ha una conoscenza precisa

soltanto dei primi tre o quattro numeri (Dehaene, 2000, pag. 29). Cio vuol

dire che il bambino possiede una rappresentazione mentale approssimativa e

continua dei numeri, come per gli scimpanze e i ratti, e proprio come questi

subisce l’“effetto distanza” e l’“effetto grandezza”.

Quando il bambino si trova a dover confrontare due quantita abbastanza

distanti, come il 2 o il 6, egli raramente sbaglia e sceglie la quantita piu

grande. Tuttavia, man mano che le quantita si fanno piu vicine, per il bam-

bino diventa sempre piu difficile dire qual e il numero piu grande. Questa

variazione del tasso di errore in funzione della differenza numerica si chiama

appunto “effetto distanza”. A questo si aggiunge l’“effetto grandezza”, cioe

un peggioramento delle capacita di calcolo quando aumenta la grandezza

dei numeri da confrontare. Il bambino non ha difficolta a determinare che il

numero 2 e piu grande del numero 1, mentre sbaglia sempre di piu quando

passa a confrontare coppie di numeri piu grandi come il 2 rispetto al 3, il

3 rispetto al 4. Questi due effetti dimostrano che i bambini di pochi anni

hanno una rappresentazione mentale approssimata e continua dei numeri e

non una rappresentazione discreta. Ci si aspetta pertanto che, al di la di un

1-4 Riflessioni conclusive 47

certo limite, il bambino diventi incapace di distinguere un numero n dal suo

successore n + 1, questo e cio che si nota oltre il numero 4. Ci si aspetta,

pero, che riconosca numeri superiori a questo limite purche si mettano a con-

fronto con altri piu lontani. Quando la distanza numerica e sufficientemente

grande, essi riconoscono o confrontano con successo coppie di numeri come

45 e 50, meno con numeri come 49 e 50. Il secondo limite dell’aritmetica di

un bambino piccolo riguarda la maniera in cui intuisce la presenza di piu

oggetti. I suoi calcoli aritmetici si basano sulla continuita della traiettoria

degli oggetti e non sulla loro identita come avviene per gli adulti (Dehaene,

2000, pag. 63–66). Per esempio quando due oggetti escono alternativamente

da destra e da sinistra da uno schermo, il bambino non li vede mai insieme e

non mostra alcun interesse quando lo schermo si abbassa e compare un solo

oggetto. Se si ritaglia una finestra in mezzo allo schermo, e impossibile che

un oggetto che passi da destra a sinistra non appaia per un istante in questa

finestra. In questa nuova situazione il bambino si aspetta di vederne due

assieme, ed e sorpreso di vederne uno quando lo schermo si abbassa. In questo

caso, le intuizioni numeriche dei bambini sembrano essere determinate dalla

traiettoria spazio-temporale degli oggetti. Se questa non puo essere seguita

da un solo ed unico oggetto, il bambino ne deduce che esistono almeno due

oggetti, in caso contrario pensa che l’oggetto sia uno solo, anche se sembra

che cambi forma, grandezza e colore.

4 Riflessioni conclusive

Controverse sono le opinioni sulle capacita matematiche dei bambini: per

alcuni fino ai 13 anni queste capacita non sono sviluppate (Odifreddi, 2005,

pag. 7), per altri sono presenti gia a pochi giorni di vita.

A mio avviso questa confusione deriva dal mescolare l’aspetto simbolico e

astratto della matematica con le sue manifestazioni concrete. Il fatto che il

bambino non capisca o non riesca ad eseguire 4+3 potrebbe dipendere da come

viene proposto. Contando palline puo arrivarci, mentre capire 4 + 3 scritto su

di un foglio, significa riuscire a tradurre dei segni in simboli cui e associato

un significato matematico e solo allora applicare i concetti matematici per


eseguire l’operazione. Si tratterebbe quindi un po’ come per Piaget di capacita

che dipendono da come viene posta la richiesta al bambino.

Consideriamo anche la nostra vita quotidiana, ci sono tante cose che sono

matematiche, ma che non definiamo tali: parcheggiare una macchina richiede

enormi capacita geometriche, la stessa cosa l’attraversare una strada evitando

le auto. A volte queste capacita le chiamiamo intuito, e certamente non le

formalizziamo in equazioni e formule, ma cio nonostante continuano ad essere

applicazioni inconsce di abilita matematiche.

Un’altra confusione a mio avviso deriva dal considerare le capacita mentali

di un bambino a compartimenti stagni. Da una parte c’e la vita, dall’altra,

ben separati i vari settori del sapere: matematica, lingua, capacita visive e

cosı via. Bisogna, secondo me, considerare invece il bambino come un’unita

in cui le singole capacita sono delle specializzazioni innestate su un tessuto

cognitivo unitario.

Terzo motivo di confusione e il considerare il simbolico come parte del vi-

sivo. Quando un bambino vede scritta l’espressione 4 + 3 =, normalmente

ricostruisce a mente l’operazione: quattro cose messe insieme a tre cose per

dare sette cose. Quindi quello che viene trasmesso dalla scritta e sı un con-

cetto matematico, ma simbolico. Lo stesso effetto si puo ottenere, sempre

considerando il canale visivo, con perline e oggetti colorati. Consideriamo

un altro aspetto delle nostre capacita visive. Un’immagine vale mille paro-

le, come dice il proverbio3, perche non ha bisogno di inferenze logiche per

la sua comprensione; passa, per cosı dire, direttamente nella nostra mente.

Una descrizione verbale della stessa immagine ha invece bisogno da parte

nostra di una interpretazione logica che trasformi i simboli, lettere e parole,

in significato e, probabilmente, immagini mentali.

Per la mia analisi ipotizzo quindi che il bambino abbia una “mente matema-

tica”, come ci ricorda Maria Montessori, e nelle mie osservazioni sul campo

cerchero di dimostrare questa ipotesi.

3Proverbio apocrifo, essendo stato inventato nel 1927 da Fred Barnard, un pubblicitario,per proporre i suoi servizi. Piu che al contenuto informativo, si riferiva alla capacita chehanno le immagini di attrarre l’attenzione.

Capitolo 2

Il ruolo dell’ambiente nello

sviluppo del bambino

Si analizzeranno ora gli ambienti educativi che coprono la fascia di eta sotto

studio.

Per capire l’importanza dell’ambiente nell’apprendimento in generale e nel-

l’apprendimento della matematica in particolare, partiremo dall’analisi di

un ambito molto specifico com’e quello dell’apprendimento musicale secondo

il metodo Gordon. Come vedremo l’ambiente stesso ha un effetto potente

sull’acquisizione di capacita anche senza che esplicitamente si richieda un

intervento “didattico” da parte dell’insegnante.

Questa breve digressione ci portera al punto centrale del capitolo in cui si

analizzera in profondita il progetto Montessori (Fresco, 2000) per quello che

riguarda l’effetto positivo dell’ambiente sull’apprendimento nel bambino.

Infine le idee soggiacenti queste due filosofie educative saranno brevemente

comparate con quello che normalmente viene proposto nei nidi e scuole

dell’infanzia a metodo tradizionale.

50 Il ruolo dell’ambiente nello sviluppo del bambino

1 L’apprendimento della musica per osmosi

Un buon esempio di come l’ambiente abbia un effetto potente sull’acquisizione

di capacita, anche senza che esplicitamente si richieda un intervento “didattico”

da parte dell’insegnante, lo troviamo nella “Music Learning Theory” (MLT)

di Edwin E. Gordon (Gordon, 2003; AIGAM, 2009).

Questa teoria descrive le modalita di apprendimento musicale del bambino

a partire dall’eta neonatale e si fonda sul presupposto che la musica si

possa apprendere secondo processi analoghi a quelli con cui si acquisisce il

linguaggio. La MLT ha come obiettivo principale quello di favorire lo sviluppo

dell’attitudine musicale di ciascun bambino secondo le sue potenzialita, i suoi

modi e soprattutto i suoi tempi.

La MLT e iniziata osservando come un bambino impara la sua lingua madre.

Per prima cosa il bambino ascolta la lingua parlata in casa. Per circa un

anno di vita lo fa senza capire realmente la maggior parte delle parole dette

intorno a lui, tuttavia quello che ascolta in quel periodo e molto importante

per poi riuscire a parlare. Inoltre, piu e ampio il vocabolario di parole che

ascolta durante la prima infanzia e meglio parlera piu tardi. C’e addirittura

un’altissima correlazione tra la ricchezza di vocabolario che si ascolta nella

prima infanzia e l’intelligenza che si ha in eta adulta.

Poi fino a circa cinque anni il bambino apprende la propria lingua ascoltando

e parlando in liberta, in modo informale, prima che qualcuno gli insegni

formalmente come leggerla. In questo periodo nessuno insegna al bambino a

parlare in italiano, lo apprende dall’ambiente che lo circonda.

La musica non e una lingua, non ha nomi, verbi, aggettivi, ma il modo in cui

si apprende la lingua e lo stesso con cui si apprende la musica. Per Gordon cio

che si dovrebbe fare quindi e educare i bambini alla musica e non insegnarla

loro. Perche l’insegnamento e indotto, e qualcosa che proviene dall’esterno.

L’educazione invece e cio che viene tratto fuori dall’interno della persona

attraverso l’intuizione. Fine di un’educazione musicale cosı concepita e lo

sviluppo di una competenza fondamentale: l’Audiation, definita da Gordon

2-1 L’apprendimento della musica per osmosi 51

“Capacita di sentire e comprendere nella propria mente musica non fisicamente

presente nell’ambiente”.

Non e dunque la crescita di un bambino musicalmente “geniale” o del musicista

professionista a ogni costo a costituire la finalita della MLT ma, al contrario,

quella di persone in grado di comprendere la sintassi musicale e di esprimersi

musicalmente, con la voce o con uno strumento.

La capacita di Audiation si sviluppa a partire dall’eta neonatale a contatto

con un ambiente ricco di esperienze musicali di qualita. Durante i primi anni

di vita l’approccio indicato dalla MLT come adatto a favorire lo sviluppo

dell’Audiation, e quello della guida informale. L’adulto competente musical-

mente guida informalmente il bambino all’apprendimento musicale, attraverso

l’esempio diretto, il gioco e il movimento. Il concetto di “guida informale”

richiama quello montessoriano di “educazione indiretta” cosı come quello

vygotskijano di “zona prossimale di sviluppo”.

L’adulto comunica con il bambino attraverso canti melodici senza parole e

schemi tonali e ritmici, ascoltando le risposte musicali spontanee del bambino,

rispecchiandole e contestualizzandole nella sintassi musicale. Il movimento

libero, percettivo ed euristico del bambino e favorito e rispecchiato attraverso

l’esempio diretto dell’insegnante. Le recenti scoperte nel campo delle neu-

roscienze a proposito dei neuroni specchio (Rizzolatti e Sinigaglia, 2006)

confermano l’intuizione di Gordon a proposito dell’importanza del mettere in

atto per primi le competenze musicali senza insegnarle in modo esplicito.

Per concludere Gordon fa notare anche un’altra caratteristica dell’appren-

dimento della musica: “Far ascoltare la musica non e il modo migliore di

educare alla musica, bisogna “parlare” al bambino musicalmente in un rap-

porto diadico, in un contesto connotato affettivamente. Cassette e CD non

aiutano, nessuno imparerebbe l’italiano da un CD, nessun genitore direbbe

di essere troppo occupato per insegnare l’italiano al figlio e lo metterebbe ad

ascoltare un CD, i genitori giorno per giorno parlano al bambino all’interno

di un rapporto”.


2 Montessori: bambino e ambiente

La Montessori sviluppo tutto il suo pensiero pedagogico partendo da una

critica costruttiva della psicologia scientifica, corrente di pensiero affermatasi

nei primi anni del XX secolo. L’equivoco di base della psicologia scientifica era

da ricercare nella sua illusione sostanziale, secondo la quale erano sufficienti

un’osservazione pura e semplice e una misurazione scientifica per creare una

scuola nuova, rinnovata ed efficiente.

In “La scoperta del bambino” (Montessori, 1950a, pag. 9) Maria Montessori

scriveva: “Immaginiamo uno dei nostri botanici o zoologi, pratico nella tecnica

dell’osservazione e dell’esperienza, che avesse viaggiato p. es., per studiare sul

luogo la peronospora e avesse compiuto in aperta campagna le sue osservazioni,

e poi al microscopio e in generale nel laboratorio le ulteriori ricerche ed

esperienze di coltura ecc.; o che avesse studiato le zecche, introducendosi nelle

stalle e cercando tra gli escrementi degli animali, che, infine, intendesse che

cosa e studiar la natura, e conoscesse tutti i mezzi che la moderna scienza

sperimentale offre per raggiungere tale scopo; - dico, immaginiamo che uno di

questi studiosi fosse designato, per i suoi meriti, a coprire un posto scientifico,

con l’incarico di compiere delle ricerche nuove sugli imenotteri; e che, giunto

sul posto, gli mettessero davanti agli occhi una scatola, coperta di un limpido

vetro, sul fondo della quale fossero infilate con uno spillo e conservate delle

belle farfalle morte, ad ali spiegate. Il giovane studioso direbbe che quello

e un giuoco da bambini e non un materiale di studio per scienziati: che

quelle preparazioni nella scatola sono il complemento di una ginnastica che

fanno i ragazzi nei giardini pubblici, quando acchiappano le farfalle con una

reticella sospesa a un bastoncino. Lo sperimentalista innanzi a quell’oggetto

non potrebbe far nulla.

Lo stesso sarebbe se ponessimo un maestro, che sia uno scienziato secondo

il nostro concetto, in una delle nostre odierne scuole, ove i fanciulli sono

soffocati nelle espressioni spontanee della loro personalita come esseri morti

e stanno fissi al posto rispettivo, sul banco, come farfalle infilate a uno spillo,

mentre dispiegano le ali del sapere aridamente acquisito - sapere che puo esser

simboleggiato da quelle ali, che hanno il significato di vanita.

2-2 Montessori: bambino e ambiente 53

Dunque non vale preparare il maestro scienziato: occorre approntargli la scuola.

E necessario che la scuola permetta il libero svolgimento dell’attivita del fan-

ciullo perche vi nasca la pedagogia scientifica: questa e la riforma essenziale”.

Il pensiero montessoriano elabora una sua pedagogia scientifica. Infatti, l’intro-

duzione della scienza nel campo dell’educazione e il primo passo fondamentale

per poter costruire un’osservazione obiettiva dell’oggetto. L’oggetto dell’os-

servazione e il bambino in se, il suo comportamento, le sue reazioni, il suo

interesse.

Sintetizzando possiamo dire che gli elementi che caratterizzano la proposta

montessoriana sono: l’ambiente speciale della casa, costruita a misura del

bambino, la maestra umile e il materiale scientifico. La teorizzazione psicolo-

gica della Montessori e successiva al metodo e quindi volta a giustificare a

posteriori le intuizioni originarie. Quello che vedremo qui di seguito saranno

quindi indicazioni operative sulla preparazione dell’ambiente piuttosto che

teorizzazioni sul perche di certe scelte.

Ogni piano di sviluppo ha bisogni diversi e presenta manifestazioni proprie:

occorrono dunque risposte differenziate, anche se nel percorso certi criteri

generali come l’ambiente preparato, il maestro formato, la libera scelta delle

proprie occupazioni, l’autocontrollo, l’astensione dal giudizio verbalizzato,

usato come pungolo –per citarne solo alcuni– restano sempre validi.

Il bambino non cresce in modo uniforme, giorno per giorno, allo stesso passo.

Se li guardiamo attentamente, scopriamo che non siamo noi le guide, ma

piuttosto i guidati. Il maestro deve osservare il bambino con l’idea non di

plasmarlo secondo un proprio modello, ma di avere da lui gli insegnamenti

per sapere come educare.

E ovvio che sia la comunita degli adulti a decidere quali contenuti trasmette

al bambino o al ragazzo, ma nella scuola di tipo direttivo, fortemente cen-

tralizzata, qual e ad esempio quella italiana, se si esaminano le varie aree

indicate dai programmi statali, si vede che ai piu giovani si vorrebbe insegnare

l’intero scibile, ancora piu vasto oggi di quanto non fosse solo 30 o 40 anni fa.

Uno studio frammentato puramente libresco non favorisce la comprensione


di cio che si sta facendo e a questo si aggiunge la difficolta per l’allievo di

cogliere le relazioni interne ai vari filoni del sapere.

Si puo fare diversamente? L’esperienza Montessori dice di sı in concreto,

tramite le scuole che mettono al centro del loro lavoro l’osservazione dei

bisogni individuali e trattano i contenuti come mezzi di sviluppo raggiungendo

cosı alti livelli di apprendimento e di socializzazione. Quindi lo spartiacque

che rivela con certezza una situazione montessoriana poggia su:

1. l’atteggiamento non direttivo e l’intervento prudente nella parola, nel

gesto

2. l’attenzione vigile e continua al luogo, in cui il bambino vive, come

ambiente preparato per favorire sempre la libera scelta e che ovviamente

sara molto diverso a seconda delle eta

3. gli oggetti sono essenziali per l’agire autonomo e per l’autoverifica

A ogni eta, secondo Montessori, il fattore essenziale e comunque il clima

relazionale fra adulti e bambini e di questi fra loro: non si lavora con gruppi

preordinati di pari livello, non ci si basa a nessuna eta sul confronto artificioso

e sui premi ma si sviluppa la capacita critica, affidando ai bambini stessi

molteplici e concreti mezzi di autocontrollo.

Gli ambienti sono organizzati sempre a misura fisica e psichica di chi ne

fruisce e gli oggetti sono messi a totale disposizione. C’e la massima liberta

di scelta delle attivita, del tempo necessario a concluderle, del luogo, del

compagno o compagni con cui lavorare, ma anche regole inderogabili: quella

del riordino personale degli oggetti usati (miei finche li adopero, ma poi e mia

responsabilita che tornino a disposizione di tutti); dell’attesa, se un oggetto

o uno strumento non sono subito disponibili; dell’impegno personale a non

disturbare il lavoro degli altri.

Della scuola tradizionale Maria Montessori critica il fatto che in essa tutto

l’ambiente sia pensato a misura di adulto e non ci siano oggetti per la mano,

organo dell’intelligenza. In un ambiente cosı concepito, il bambino non si trova

a suo agio e quindi non e nelle condizioni per poter agire spontaneamente.

Il principio fondamentale e la liberta dell’allievo, poiche solo questa favorisce

la creativita del bambino gia presente nella sua natura. Dalla liberta entro

2-2 Montessori: bambino e ambiente 55

confini ragionevoli (spazi di liberta) puo emergere la disciplina. Un individuo

disciplinato e capace di regolarsi da solo quando sara necessario seguire delle

regole di vita.

Ma e soprattutto l’atteggiamento degli adulti a favorire la liberazione delle

potenzialita individuali. Sostituirsi al bambino con le migliori intenzioni di

aiutarlo quando non e necessario e un impedimento al suo sviluppo. Egli agisce

allora perche gli e permesso, per rendere conto, per ottenere l’approvazione,

per superare gli altri.

Non e questo il vero significato di liberta; non e poter fare qualsiasi cosa possa

piacere o per far piacere o per aderire al comando, sia pure moderato, di altri.

Liberta significa intanto saper rispondere ai bisogni vitali di attivita costruttiva.

Se un bambino ha questa possibilita, rivela via via nuove attitudini: non fa le

cose solo per se, ma sviluppa una speciale sensibilita per rispettare i desideri,

le esigenze, i tempi degli altri. Soddisfatto in profondita, diventa capace di

ascolto e manifesta creativita e senso morale.

Ancora ne “La scoperta del bambino” (Montessori, 1950a) troviamo una critica

feroce di Maria Montessori all’ambiente della scuola tradizionale (almeno a

quella degli anni ’50) in cui il teorico concetto di liberta diverge dalla sua

realizzazione pratica: “Chi dicesse che il principio di liberta informa oggi la

pedagogia e la scuola farebbe ridere, come un fanciullo che davanti alle farfalle

infilate insistesse ch’esse son vive e possono volare.

Un principio di repressione estesa talora fino quasi alla schiavitu, informando

gran parte della pedagogia, ha informato anche lo stesso principio della scuola.

Una prova - il banco. Ecco per esempio una luminosa prova degli errori della

primitiva pedagogia scientifica materialistica, la quale s’illudeva di portar le

sue pietre sparse alla riedificazione del piccolo, crollante edificio della scuola.

Esisteva il banco bruto e cieco ove si ammassavano gli scolari: viene la scienza

e perfeziona il banco. In tale opera essa contempla tutti i contributi dell’an-

tropologia: l’eta del fanciullo e la lunghezza delle sue gambe, per modellare

a un giusta altezza il sedile; con cura matematica calcola le distanze tra il

sedile e il leggio, perche il dorso del bambino non si deformi nella scoliosi;

e perfino (oh, profondita d’intuizione e adattamento!) separa i sedili - e li


misura nella larghezza affinche il fanciullo ci stia seduto appena appena, sı

da non potersi piu nemmeno sgranchire con mosse laterali, e cio per essere

separato dal vicino; e il banco e costruito in modo che il fanciullo sia il piu

possibilmente visibile nella sua immobilita: tutta questa separazione ha l’inten-

to occulto di prevenire gli atti di perversione sessuale in piena classe, perfino

anche negli asili d’infanzia. Che dire di tale prudenza in una societa ove

sarebbe scandaloso enunciare dei principi di morale sessuale nell’educazione,

per non contaminare l’innocenza? Ma ecco la scienza che si presta a questa

ipocrisia, fabbricando macchine. Non solo; la compiacenza va piu in la; la

scienza perfeziona i banchi in modo da permettere al massimo punto possibile

l’immobilita del fanciullo, o se si vuole, da risparmiargli ogni mossa. Cosı,

affinche lo scolaro sia incastrato bene nel suo banco, sı che esso stesso lo

sforzi alla posizione igienicamente conveniente - ecco il sedile, il posapiedi e

il leggio disposti in modo che il fanciullo non potrebbe mai alzarsi in piedi.

Ma appunto perche il sedile, a una mossa determinata, cade, il leggio si alza,

il posapiedi si rovescia, il fanciullo ha precisamente lo spazio per stare in

posizione eretta. [. . . ] E una conquista di liberta quella che occorre; non il

meccanismo di un banco”.

2.1 Ambiente e piani di sviluppo

Abbiamo visto che nella prima fase dello sviluppo da zero a tre anni, la mente

del bambino si configura come mente assorbente, che assimila inconscia-

mente, ma in modo selettivo, i dati con i quali viene in rapporto nel suo

ambiente. L’apprendimento, in questo periodo, si identifica col vivere stesso,

e una sorta di processo vitale durante il quale il bambino realizza le sue prime

forme di adattamento all’ambiente.

La seconda fase occupa i tre anni successivi, quelli che coincidono con l’educa-

zione prescolastica. Alla mente assorbente, che continua a mantenere vive le

proprie energie di assimilazione, si accosta la mente cosciente che ubbidisce

al bisogno del bambino di mettere ordine nell’enorme cumulo di impressioni

assorbite nel periodo precedente. E il momento in cui, per la Montessori, si

giustifica e si impone l’introduzione di materiale scientificamente studiato,

2-2.1 Ambiente e piani di sviluppo 57

capace di offrire al bambino l’alfabeto dell’organizzazione logica dei suoi

contenuti mentali (classificazioni e seriazioni).

La Montessori introduce a questo punto la nozione di mente matematica,

mentre definisce i materiali operativi costruiti sulla base dell’isolamento di

singole qualita sensoriali, che mediano i rapporti conoscitivi del bambino con

il suo ambiente.

L’educazione prescolastica assume cosı, le forme di una vera e propria scuola

dell’infanzia, con contenuti e metodi suoi propri, fondati su una serie di

esercizi sensoriali di sviluppo, condotti per via analitica, ed esercizi di vita

pratica, ad andamento per cosı dire sintetico, di applicazione delle acquisizioni

sensoriali nelle situazioni comuni di vita. Il bambino che entra nella scuola

dell’infanzia e di solito, per come asserisce la Montessori, un soggetto deviato,

cioe un bambino che per effetto delle inibizioni provocate dall’adulto e dal suo

potere ha subito un arresto o una deformazione nello sviluppo spontaneo del

proprio embrione spirituale, cercando forme di compensazione che ne hanno

alterato l’autenticita e la creativita originarie. La Montessori lo definisce un

bambino spezzato che per reagire e dovuto scappare rifugiandosi nei capricci

o nel mondo dell’immaginazione. La Montessori classifica come forme di

deviazione il gioco, il gusto per le favole, il fantasticare a vuoto isolandosi

dalla realta, le tendenze al possesso e al potere, la pigrizia, la paura, tutte

espressioni patologiche del mancato soddisfacimento dei bisogni naturali del

soggetto. Queste affermazioni sono supportate, a dire della Montessori, dalla

presenza di un ambiente adatto e di un materiale adeguato, dove il bambino

perviene immediatamente alla sua “conversione”, attraverso la concentrazione

sul proprio materiale e, quindi, con un comportamento che esclude gioco e

fantasia, e si caratterizza per la ripetizione dell’esercizio, la cura dell’ordine e

del lavoro severo. Sotto questo aspetto la scuola montessoriana si configura

come “clinica didattica” piuttosto che come scuola dell’infanzia.

Ritorniamo ora ad uno dei punti focali della proposta montessoriana: l’ambien-

te che comprende la struttura, il materiale della scuola, il materiale scientifico,

l’insieme delle attivita di vita pratica, e, infine, l’educatrice. La struttura non

e costruita per i bambini ma e dei bambini, e dunque ordinata per far si che

essi la sentano veramente loro. La Montessori insiste percio sull’importanza


che l’intero arredamento sia proporzionato all’eta del bambino.

Il materiale di sviluppo altro non e che il prodotto delle scelte operate dai

bambini di tutto il mondo sulla base degli interessi che hanno manifestato

attraverso i loro processi di concentrazione, di ripetizione degli esercizi, di

sviluppo complessivo delle loro personalita (incastri solidi, incastri piani,

colori). Il materiale e costruito sul principio dell’isolamento di un’unica qualita

(forma, colore, suono, dimensione, ecc.), ed e reso funzionale dalla logica della

sua costruzione scientifica. Simile principio fa sı che il bambino soddisfi il suo

bisogno di ordine e di lavoro, e nello stesso tempo possa lavorare in autonomia

senza interferenze o aiuti da parte dell’educatrice dacche i bimbi vivono in un

ambiente eterogeneo e coesivo che permette loro di ricevere aiuti o indicazioni

dai coetanei.

In questo ambiente viene richiesto all’educatrice un atteggiamento di grande

umilta e di rispetto per il progressivo dispiegarsi dello sviluppo infantile. Ad

essa spetta il compito di organizzare l’ambiente e di mostrare ai bambini

l’uso corretto del materiale: deve quindi attenderne la normalizzazione (la

comparsa della concentrazione su un determinato materiale), per poi dedicarsi

all’osservazione dei comportamenti individuali. I suoi compiti sono di aiuto

finalizzato ad uno sviluppo che deve potersi compiere secondo i ritmi della

natura, e nella direzione originale di ciascuna individualita.

Ancora ne “La scoperta del bambino” (Montessori, 1950a) Maria Montessori

rimarca questo diverso ruolo ed atteggiamento dell’educatore comparandolo al

maestro di una scuola tradizionale dei suoi tempi: “Nella classe c’e il maestro

faccendiere, che travasa le cognizioni nelle teste degli scolari. Per riuscire

nella sua opera gli e necessaria la disciplina dell’immobilita, dell’attenzione

forzata nella scolaresca; e al maestro conviene poter maneggiare con larghezza

premi e castighi, per costringere a tale attitudine coloro che sono condannati

ad essere i suoi ascoltatori”. Vale la pena di sottolineare che atteggiamento

dell’educatore, ambiente scolastico e la liberta del bambino vanno di pari

passo e sono inscindibili nel pensiero montessoriano.

2-3 Il metodo tradizionale 59

3 Il metodo tradizionale

Le brevi considerazioni che qui riporto sul nido e scuola dell’infanzia a metodo

tradizionale derivano da due fonti: una, dall’analisi dei Piani dell’Offerta

Formativa (POF) resi pubblici da varie scuole, l’altra dall’esperienza personale

fatta visitando alcune scuole quando dovevo sceglierne una per mio figlio.

Una prima osservazione generale che posso fare e che in queste scuole sembra

non ci sia una teoria educativa soggiacente comune e condivisa, ma piuttosto

una prassi. Prassi che indica che cosa fare, piuttosto che il perche farlo.

Questa metodica porta ad accumulare e a proporre molte buone idee, che

pero sembrano sganciate dai reali bisogni dei bambini. Piu in dettaglio questo

modo di procedere ha effetti concreti su tre aspetti della funzione educativa

della scuola: sull’ambiente, sul ruolo dell’adulto, ed infine sull’attenzione ai

bisogni dei bambini.

In tutti i piani dell’offerta formativa, l’ambiente e dato per scontato, oppure

se ne parla solamente come strutturazione di spazi fisici per ottenere un’infra-

struttura necessaria, ma non come parte fondamentale della formazione offerta

ai bambini. Una struttura con un ruolo soprattutto istituzionale. Lasciando

da parte la proposta dei POF e passando all’osservazione concreta, ho notato

che in generale gli ambienti sono pensati da adulti: spazi troppo ampi, mobilio

eccessivamente colorato e di plastica, ecc.

Gli ambienti sembrano predisposti piu per intrattenere i bambini che per

sviluppare le loro potenzialita. Ci sono, infatti, troppe cose, troppi giocattoli,

ma non c’e un progetto esplicito che li leghi fra loro. Per esempio si nota

l’assenza di oggetti funzionali alla ricerca esplorativa individuale, propria

dell’eta 0–3 anni, ed una uniformita di tipi di giocattoli che si riducono quasi

sempre a pupazzi e costruzioni.

In pratica un ambiente come contenitore. Un ambiente cosı ha ricadute anche

sul comportamento dei bambini: spazi troppo vasti e frastornanti spesso

generano in loro ansia ed eccitazione.

Il ruolo dell’adulto e preponderante in queste scuole: e lui che decide che

cosa i bambini possano o non possano fare, che cosa li interessa o meno.


Anche l’organizzazione dei turni e degli orari e in funzione delle esigenze del

personale e non in risposta al bisogno di stabilita e di continuita relazionale

dei bambini di questa eta. Questa tirannia dell’orario porta spesso, anche

se non esplicitamente, a dare rilievo alle attivita guidate a gruppi, a volte

anche preordinati, di solito svolte dalle 9.30 alle 10.30 del mattino (“quando

ci siamo tutte”) intorno a proposte di movimento o di manipolazione (consi-

derate le attivita “importanti”). Al tempo stesso questo approccio porta alla

svalorizzazione del gioco individuale, peraltro reso difficoltoso dall’assenza di

oggetti adatti.

Anche dal punto di vista emozionale l’adulto, con tutta le buone intenzioni,

ha un ruolo preminente. Ho osservato per esempio un’eccessiva attitudine a

prendere in braccio e a consolare, senza pero creare rapporti personalizzati,

anche a causa della continua rotazione delle educatrici.

Di converso, specialmente al nido, a volte si svalorizza il bambino piccolo

visto solo come “lattante” oppure giudicato “bravo”, “rompiscatole”, “pia-

gnone” e cosı via. Questi giudizi si riflettono sul comportamento dei bambini

con modalita ricorrenti come per esempio l’aggressivita, la concentrazione

estremamente labile, la dipendenza ed il gregarismo nei confronti dell’adulto,

la mancanza di iniziativa. Spesso enfatizzare la didattica a scapito dell’edu-

cazione ed attenzione ai bisogni del bambino fa si che non si colga il nesso

fra cause (il ruolo dell’adulto, l’ambiente) ed effetti (bambini problematici,

confusione).

Infine l’attenzione ai bisogni del bambino sembra essere subordinata alle

esigenze del programma didattico: per esempio ho rilevato che tutti i POF

riportano elenchi di progetti interessanti, ma in nessuno si parla del come

questi vengano scelti, se rispettano le esigenze e gli interessi dei bambini

oppure no. I progetti possono essere di per se molto interessanti (educazione

stradale, teatro, studio delle emozioni eccetera), ma non tutti i bambini hanno

nello stesso momento quegli interessi.

Un esempio tra i tanti. In quasi tutte le liste di progetti che ho esaminato,

si parla di festa di Natale, di rappresentazione di fine anno e cosı via. Basta

aver partecipato ad uno di questi eventi per rendersi conto che, spesso, questo

2-4 L’ambiente, maestro invisibile 61

progetto soddisfa piu che altro il desiderio dei genitori di vedere i loro bambini

su di un palco, mentre per i piccoli nella migliore delle ipotesi e solo un gioco

come un altro; nella peggiore, e una tragedia di bambini disperati e impauriti

dall’ambiente e dalla confusione.

Anche se esula dal tema di questa tesi, ho notato un altro curioso fenomeno

che avviene alla fine della scuola dell’infanzia. In questo momento c’e un

cambiamento di rotta: appena i bambini arrivano alla scuola primaria ab-

bandonano il gioco, e diventano dei teorici. Abbandonano la parte ludica e

sensoriale e cominciano ad essere bombardati da nozioni e, quel che e peggio,

noi adulti pretendiamo che il bambino apprenda in questa maniera.

4 L’ambiente, maestro invisibile

In questo capitolo abbiamo visto alcuni esempi, positivi e negativi, di come

l’ambiente, l’atteggiamento degli adulti e l’attenzione ai bisogni dei bambini

influiscano sulla loro crescita e sull’efficacia dell’apprendimento.

In sintesi possiamo dire che l’ambiente, riguardo alla crescita del bambino,

non e mero spazio fisico e non e neutrale.

Nella fascia d’eta sotto studio, per il bambino apprendere equivale a vivere,

non c’e distinzione. Significa che esso impara per osmosi, assorbendo quello

che avviene attorno a lui. Il gioco in un certo senso e consolidare queste

esperienze ripetendole e ripercorrendole con le proprie capacita e i propri

tempi.

L’ambiente puo essere percio un maestro invisibile se e un ambiente preparato,

se l’adulto lo concepisce a misura delle esigenze del bambino, se c’e la liberta

di “usarlo” secondo i propri fini. Di converso un ambiente pensato solo come

contenitore puo stimolare risposte dannose da parte del bambino, che non

aiutano la sua crescita.

Il secondo aspetto importante che ho toccato e il ruolo dell’adulto. Da un lato

esso non deve travasare conoscenze, essere un “agente didattico”. Deve invece

capire il bambino, i suoi tempi e modi di apprendimento e di conseguenza


creare l’ambiente adatto attorno a lui. Deve inoltre riuscire a non sostituirsi

al bambino, a non essere direttivo: l’apprendimento non e un programma di

lavoro da dover necessariamente portare a termine. Quello che serve sono

conoscenze consolidate nella mente del bambino, non il raggiungimento di

obiettivi didattici per una certa data.

Infine non dimentichiamoci che non stiamo parlando di macchine o computer.

Per far si che l’apprendimento possa essere efficace, deve avvenire in un un

rapporto diadico con l’adulto e in un contesto connotato affettivamente.

Come tutto questo si rapporta all’apprendimento della matematica? Lo spiega

Peano, il grande matematico: “I calcoli sui numeri astratti diventano piu

divertenti, se fatti sotto forma di giochi”. E prima ancora Platone: “In

Egitto sono stati inventati giochi aritmetici per i bambini, che cosı imparano

divertendosi con piacere. [. . . ] Cosı facendo i bambini prendono confidenza

con i numeri [. . . ] rendendo piu vivace il loro modo di ragionare”.

Capitolo 3

Osservazione

Obiettivo dell’osservazione e verificare sul campo quanto si e detto riguardo

alle capacita matematiche dei bambini e riguardo all’ambiente come “maestro

invisibile” che facilita tale apprendimento. In questo capitolo riportero le mie

note sull’osservazione svolta presso il Nido e Casa dei Bambini della Scuola

Montessori di Varese1 nel periodo Settembre 2007 – Giugno 2008.

Durante la mia osservazione, il Nido era frequentato da 21 bambini di eta

compresa tra gli 11 ed i 30 mesi seguiti da tre educatrici: Vanna, Micol e

Adelaide. La Casa dei Bambini invece era frequentata da 38 bambini di eta

compresa tra i 2 anni e mezzo e i 5 anni seguiti da due educatrici: Chiara e

Samantha.

Nel periodo di osservazione, per prima cosa ho analizzato l’ambiente, sia

per avere un riscontro delle basi teoriche delineate nel capitolo 2, sia per

capire come esso possa, nell’ambito della mia analisi, facilitare attivamente

l’apprendimento. Poi, tramite interviste alle maestre, ho cercato di delineare il

loro ruolo in relazione all’ambiente. Infine ho osservato i bambini che agivano

indisturbati sia al Nido sia alla Casa dei Bambini, compito, devo dire, reso

difficile dalla naturale propensione dei bambini ad avvicinarsi all’adulto.

In questo capitolo riporto solo i fatti che ho osservato. La loro interpretazione

ed integrazione sono rimandate al prossimo capitolo.

1Scuola Montessori di Varese – via Maggiora 10, 21100 Calcinate del Pesce (Varese)

64 Osservazione

1 L’ambiente

Cio che mi ha sempre colpito entrando nella scuola di mio figlio e il silenzio.

Un ambiente dove pace e tranquillita la fanno da padrone. Non c’e nessun

segreto, nessuna magia, i bambini stanno giocando! Sı stanno giocando, hanno

scelto liberamente un’attivita e sono concentrati nel proprio “lavoro” non

hanno motivo di disturbare o di parlare ad alta voce (fig. 3.1 e 3.2).

Figura 3.1: Una caratteristica comune dei bambini del Nido e la concentrazione.

Perche dovrebbero farlo? D’altra parte anch’io mi rendo conto che, quando

sono costretta a fare un lavoro che non ho scelto ma che per ovvie ragioni devo

fare, sono facilmente irritabile, rispondo male, smetto e riprendo piu volte, mi

distraggo facilmente. Al contrario, quando faccio qualcosa che mi appassiona,

non mi rendo neanche conto che il tempo passa, sono concentratissima e

quello che piu conta, molto soddisfatta!

Basta entrare nel Nido o nella Casa dei Bambini per vedere messa in pratica

l’attenzione all’ambiente, elemento tipicamente montessoriano, come luogo

protettivo, curato, attraente, funzionale al “fare da se” e alla scelta diretta

dell’oggetto amato. Lo spazio come casa, nel senso della quiete e dell’intimita

domestica, degli affetti rassicuranti, ma anche della utilizzazione diretta degli

3-1 L’ambiente 65

Figura 3.2: La concentrazione alla Casa dei Bambini.

oggetti (fig. 3.3). Una casa dove ogni bambino puo ripetere a piacere l’attivita

che lo interessa, secondo un tempo personale, prendendo poco a poco coscienza

di opportunita diverse ed anche dell’eventuale errore, senza per questo sentirsi

in colpa. Un ambiente dunque maieutico, promotore di crescita per i bambini,

nonche per gli adulti.

Gli ambienti sono interamente percorribili, senza parti poco illuminate, non

troppo vasti, suddivisi da mobili bassi, diversificati a seconda delle proposte,

con tutte le possibilita di azione accuratamente predisposte come in una bella

vetrina di tanto in tanto rinnovata.

Figura 3.3: L’ambiente del Nido. Si vedono i ripiani con le attivita predisposte.

66 Osservazione

Osservando i bambini, riflettevo che non esiste il tipico bambino di tre mesi o

di tre anni ma quel bambino reale, in questa o in quella situazione, con la

sua storia personale. Il bambino reale e ben altra cosa dal bambino medio,

data la varieta delle sue componenti di vita (anagrafica, sociale, emotiva,

fisiologica, storica, affettiva, cognitiva). L’ambiente che ho trovato privilegia

nella quotidianita l’attenzione al singolo, quale soggetto reale del proprio

sviluppo, teso a un’autonomia i cui tempi di conquista sono personali e quindi

non prevedibili. Di conseguenza l’ambiente e organizzato affinche ogni bambino

possa scegliere, sperimentare, smettere, ricominciare secondo il proprio ritmo

interno, mettendosi in rapporto con altri o stando per proprio conto.

L’ambiente, sia del Nido sia della Casa dei Bambini, assicura, con mezzi

molto concreti, alcune liberta fondamentali per favorire l’indipendenza della

persona: la liberta di scelta, dell’attivita, del compagno, del luogo, della

postura, dell’espressione; la liberta di tempo, secondo il ritmo individuale di

attenzione; la liberta di confronto, senza paura dell’errore (vedi fig. 3.13).

Poche norme chiare sul rispetto degli altri e delle cose, un ambiente inte-

ressante, predisposto con cura e sempre mantenuto in ordine armonico, sia

dagli adulti che dai bambini insieme, sono questi i limiti rassicuranti che

definiscono un’ampia “zona di liberta” in cui esplorare, confrontare, conoscere

senza paura fin dai primi anni di vita.

Un esempio molto concreto. Nel Nido, come nella Casa dei Bambini, di ogni

oggetto, sia esso un gioco o un materiale di sviluppo Montessori c’e un unico

esemplare. Molto presto i bambini sperimentano che chi sta adoperando

“quel” gioco non puo esserne privato, che c’e un prima e un dopo, che occorre

rispettare il turno. Piccola frustrazione positiva, che sviluppa il pensiero e

la tolleranza: e straordinario come anche bambini di uno o due anni siano

capaci di accettarla senza drammi, come un fatto del tutto naturale.

Le attivita previste nell’ambiente consentono esplorazioni sensoriali (molto

diversificate nel tempo) con oggetti differenziati per superficie, dimensione,

morbidezza o durezza, forma, colore, destinati alle mani e alla bocca dei

piu piccoli, oppure oggetti che entrino in relazione tra loro per i bambini

che cominciano a muoversi nello spazio; per i piu grandi, oggetti con i quali

3-2 Il ruolo delle maestre 67

agire in modo reale, prima ancora che sul piano immaginario, come utensili

per esplorare l’acqua, la terra, cibi veri, sostanze varie; per passare poi al

materiale di sviluppo tipico Montessori nella Casa dei Bambini. Lo ripeto

perche mi sembra importante: i materiali offerti ai bambini non sono oggetti

di plastica comunemente venduti come giocattoli, ma una tipologia di oggetti

che si trovano nel mondo reale dell’adulto e del bambino.

Dunque l’ambiente non e un insieme di angoli di gioco su progetto dell’adulto,

ma e una zona pensata e realizzata osservando i bambini, quindi modificata

(semplificata o arricchita) in base ai loro interessi, sapendo che il “banale in ec-

cesso” crea confusione, mentre il “troppo poco” induce ripetizione stereotipata

e quindi noia.

2 Il ruolo delle maestre

Il ruolo delle educatrici sembra totalmente passivo: stanno sedute tranquille,

disponibili e osservano i bambini (fig. 3.4). L’attivita e auto-diretta e non

richiede pertanto l’incoraggiamento o la lode dell’adulto che rimane, con la

sua presenza attenta, un’ancora emotiva per i bambini.

Figura 3.4: La maestra e presente, ma non interviene nelle attivita dei bambini.

68 Osservazione

L’educatrice, avendo la possibilita di osservare serenamente e costantemente,

puo conoscere il bambino, ciascun bambino, sotto una nuova luce: soggetto

della propria formazione e persona che fin dalla nascita e attiva e compe-

tente, ma bisognosa di circostanze adeguate per crescere, per manifestarsi,

per comunicare. E qui inizia il principale lavoro delle educatrici: quello di

organizzare lo spazio e predisporre le attivita in modo che siano in linea

con le esigenze di crescita concrete dei bambini. Come si vede in figura 3.3

i materiali vengono preparati e disposti a livello del bambino che puo cosı

prenderli di sua iniziativa.

Le educatrici mi hanno raccontato come hanno cominciato a scoprire con

sorpresa che per i piccoli la relazione con lo spazio e con gli oggetti assume

importanza parallela al rapporto con l’adulto di riferimento o con uno o piu

coetanei. Poi, con le prime esperienze di cambiamento, rilevano l’estremo

bisogno di stabilita nelle esperienze sensoriali e relazionali che i bambini di

questa eta manifestano. L’adulto, guida e parafulmine delle ansie del bambino,

propone direttamente il meno possibile e protegge la capacita di ognuno di

polarizzare la propria attenzione sull’attivita che in quel momento ritiene piu

interessante.

3 Osservazione al Nido

Un fatto che mi ha colpito molto e stato vedere bambini di poco piu di due

anni usare con disinvoltura un paio di forbicine (vere, non di plastica). Ho

chiesto alle educatrici come si fa ad insegnare a bambini cosı piccoli ad usare

le forbici solo per tagliare la carta e non tagliarsi, magari accidentalmente, le

dita. Mi hanno risposto che in realta non insegnano, ma fanno vedere come si

fa. Infatti quasi tutte le attivita passano prima attraverso la dimostrazione

fatta dall’educatrice che prende il vassoio dell’attivita e si siede ad un tavolo

(non esistono cattedre o tavoli diversi per le maestre) e, con molta tranquillita,

comincia ad usare il materiale, con le forbici inizia a tagliare una strisciolina di

carta facendo cadere i pezzetti in una ciotola vuota. L’attivita e accompagnata

da brevi frasi pronunciate con un tono di voce tranquillo del tipo “taglio una

strisciolina di carta”, “faccio dei pezzettini tutti uguali”. E inevitabile che il

3-3 Osservazione al Nido 69

nuovo gioco attiri la curiosita di qualche bambino che si avvicina e chiede di

poterlo fare. A questo punto la maestra offre il vassoio al bambino e si mette

al suo fianco, non per guidare o correggere, ma solo per osservare il bambino

che taglia tutto concentrato. Alla fine la maestra gli da una busta con sopra

il suo nome, affinche lui stesso metta via i pezzetti che ha tagliato, perche

quello e il risultato del suo lavoro!

Tutti i materiali e le attivita sono concepite in maniera tale che sia chiaro

quando il lavoro e finito. Per esempio, il filo in cui il bambino infila delle

perle e della lunghezza giusta per le perle che deve infilare (fig. 3.5). Cosı il

materiale stesso trasmette l’idea di qualcosa con uno scopo da raggiungere e

la parte di filo ancora vuota rende visibile il concetto di tempo che manca o la

proporzione del lavoro ancora da fare. Come si vede, dei concetti matematici.

Figura 3.5: Giocare vedendo quanto manca all’obiettivo.

Ho visto poi come al termine di ogni attivita i bambini, anche piccoli, rimettono

tutto il materiale a posto. Questa attivita di riordino (fig. 3.6) e vissuta come

un’esperienza piacevole poiche da il senso, sia all’adulto che al bambino, di

una cosa completata. Non e quindi un semplice “mettere in ordine”, ma una

parte importante dell’attivita stessa. Se matematica vuol dire ordine mentale

e ordine di ragionamento, qui vediamo in azione o in apprendimento questa

abilita matematica.

Infine le maestre mi hanno fatto notare che i materiali del Nido non sono

propriamente materiali di sviluppo Montessori, anche se ne riprendono i

concetti base. Per esempio ogni materiale di sviluppo riprende uno ed un solo

concetto, per focalizzare l’attenzione del bambino e non creare confusione.

70 Osservazione

Figura 3.6: Il riordino alla fine del gioco e parte integrante dell’attivita.

Invece i materiali del Nido sono piu semplificati ed adattati all’eta dei bambini,

ma cercano comunque di trasmettere concetti che saranno alla base delle

attivita alla Casa dei Bambini. Per esempio in figura 3.7 il lavoro consiste

nel riconoscere e classificare tre tipi di oggetti. Il concetto di classificazione,

l’uguaglianza saranno poi base per i materiali piu matematici, per esempio.

3.1 Le abilita matematiche

Il gioco degli incastri grande-piccolo trasmette il concetto di confronto fra

grandezze ed e uno dei materiali che permette ai bambini piccoli di sperimen-

tare i contrasti (fig. 3.8). I bambini acquisiscono molto presto il senso di cosa

e grande e cosa e piccolo se hanno strumenti di confronto. Il saper confrontare

sara poi la porta per acquisire i concetti di uguaglianza, di ordinamento che

sono alla base del concetto di numero.

Il gioco dei travasi (fig. 3.9) aiuta a sperimentare praticamente la conservazione

delle quantita e a superare piu rapidamente la fase di cui parla Piaget (sez. 1.1).

3-3.1 Le abilita matematiche 71

Figura 3.7: Un esempio di materiale del Nido.

Il bambino deve toccare per capire, per crescere, per costruire i concetti base

della mente umana, per capire le differenze e le uguaglianze, i contrasti e le

somiglianze. E una fase importantissima che dura con modalita sempre piu

ricche fin verso i tre anni.

In tutti i materiali, l’esplorazione sensoriale e fondamentale. Nella foto 3.10 si

vede un bambino che verifica col dito se l’incastro e adatto al piolo che deve

infilarvi. I concetti relativi di largo-stretto vengono acquisiti sia per diretta

sperimentazione (cfr. le foto 3.12 e 3.13), sia appunto tramite l’approccio

sensoriale.

Un gioco che ho visto fare e basato sull’uso di fotografie degli stessi oggetti

Figura 3.8: Rapporti di dimensione: il gioco del grande-piccolo.

72 Osservazione

Figura 3.9: Il gioco dei travasi per acquisire il senso della conservazione.

Figura 3.10: L’aspetto sensoriale e fondamentale per la comprensione.

che il bambino adopera ogni giorno. Foto ben riconoscibili, con tutte le parti

egualmente evidenti e proporzionate reciprocamente come dimensioni in modo

che non risulti un bicchiere grande come una bottiglia. Mi sono accorta che

a volte il bambino comincia a cercare di avvicinare cose uguali, segnale che

la sua mente sta compiendo un importante passo avanti verso il concetto di

uguaglianza.

Alberto 14 mesi ha preso da un piano mensola un vassoio sul quale e appoggiato

un materiale semplice composto da sette bastoni alti circa 20 cm e fissati su

un piedistallo. Sui bastoni sono infilati 9 anelli di metallo comunemente usati

per le tende (fig. 3.11). Alberto appoggia il vassoio sul tavolino e si siede,

comincia a sfilare e infilare gli anelli con grande soddisfazione, osserva a lungo

i bastoni, si infila gli anelli sulle dita. Ad un certo punto un anello rotola

dal tavolino e finisce sotto la sua sedia, la cosa non lo distrae, lui continua a


giocare, infila, sfila ne infila uno sul pollice e gli altri sui bastoni. Dopo un

quarto d’ora di prove tra mani e bastoni abbandona il gioco, fa un giretto poi

torna al tavolo, si siede, riprende in mano il materiale, lo appoggia sul vassoio

e comincia a infilare gli otto anelli restanti. Lo osservo e non mi sembra

soddisfatto, infatti, sfila di nuovo tutti gli anelli e li ri-infila, solleva la base

e osserva sotto, si guarda intorno, guarda attentamente sul tavolo, solleva il

vassoio. Mi chiedo incuriosita cosa stia avvenendo nella sua mente. Toglie di

nuovo gli anelli dai bastoni, questa volta li mette in fila sul tavolo, li osserva,

li ri-infila. Ricomincia a guardarsi in giro e dopo un po’ trova l’anello caduto

sotto la sedia. Con un gran sorriso di soddisfazione lo prende, infila tutti gli

anelli sui bastoni, mette tutto sul vassoio e rimette il tutto sulla mensola.

Figura 3.11: Il gioco degli anelli e la ricerca dell’anello mancante.

I bambini quando e ora di pranzo apparecchiano, di solito ad un tavolo ci

sono circa dieci bambini. I posti assegnati ai bambini sono sempre gli stessi,

ognuno ha il suo e non vengono mai scambiati. Quando il bambino di turno

apparecchia, se manca un compagno, salta il posto dell’assente.

Federico sta usando la grattugia con un pezzo di pane, alterna l’azione del

grattugiare e ogni tanto sbocconcella un pezzettino. Si avvicina Nora, si

posiziona alla sua sinistra Federico gli offre un pezzetto di pane. Si avvicina

Marta si posiziona a destra e anche a lei viene offerto un po’ di pane. Federico

va avanti in un gioco che a loro diverte molto, grattugia un po’, poi stacca un

pezzetto di pane per se, poi lo offre a Nora e poi a Marta; dopo un po’ arriva

Luca che si mette tra Nora e Marta di fronte a Federico; anche a lui viene

offerto il pane e il gioco continua. Un po’ si grattugia e poi un bocconcino di

pane per lui, un po’ per Nora, poi per Marta e poi per Luca. Il pane viene

distribuito ai bambini che si sono avvicinati esattamente nell’ordine di arrivo.

74 Osservazione

Un altro gioco molto interessante e che a mio avviso alimenta nel bambino il

pensiero divergente e favorisce la formazione di categorie logiche e il “Gioco

euristico” ideato da Elinor Goldschmied2.

La parola euristico significa “serve per scoprire o arrivare alla comprensione

di. . . (come conquista, arrivarci con fatica)” e descrive esattamente l’attivita

nella quale i bambini sono impegnati. Lo scopo, che porta ad utilizzare questa

parola non abitualmente in uso, e’ quello di mettere a fuoco la concentrazione

del bambino impegnato nell’uso degli oggetti e la disponibilita dell’adulto ad

una considerazione rispettosa di tale impegno.

E un gioco pensato per bambini tra i 12 e i 20 mesi circa perche dopo quell’eta,

nel gioco del bambino con gli oggetti, predomina l’uso dell’immaginazione e

del linguaggio.

Il materiale composto da 4 sacchi di stoffa di uguale colore (e predisposto

un sacco per ogni tipo di oggetto e cosa importante gli oggetti sono in gran

quantita perche mi spiegava l’insegnante cio evita il conflitto che si potrebbe

creare per una contesa) vario materiale che si puo reperire in casa (catenelle

di ferro, pon-pon, bigodini, conchiglie, tubi di cartone), e almeno 3 recipienti

per ogni bambino (scatole di latta, cestini).

L’educatrice predispone il materiale raggruppandolo in punti vari in uno

spazio libero, sgombro da altro materiale di gioco e non disturbato da altre

attivita e poi si siede tranquilla, disponibile e osserva il gruppo.

Ho osservato una grande varieta di modi con i quali i bambini scelgono

di utilizzare gli oggetti per riempire, vuotare, infilare, selezionare, scartare,

riconoscendo le differenze e le somiglianze: sovrapporre, mettere in sequenza,

paragonare una cosa all’altra e cosı via. Ho notato che qualche volta hanno

successo nel loro scopo, qualche volta no, pero imparano da ogni situazione a

conoscere la natura dell’oggetto ed il comportamento dello stesso nello spazio.

I conflitti fra i bambini sono ridotti al minimo, e avvengono tra di loro

scambi amichevoli, perche il materiale e abbondante e tenuto ben spaziato.

Questi oggetti e molti altri offrono ai bambini l’opportunita di sperimentare

2Psicopedagogista infantile inglese 1910-2009.


infiniti modi di giocare e di organizzare tale materiale senza schemi prefissati

dall’adulto.

Una “seduta” di gioco euristico puo durare fino a 45 minuti. Un terzo del

tempo e destinato pero alla raccolta ed al riordino del materiale. Il tempo

utilizzato per mettere in ordine gli oggetti ha la stessa importanza del tempo

trascorso per il gioco e puo considerarsi estensione del gioco stesso.

Ho visto che anche i piu piccoli collaborano al riordino, e mi e sembrata

un’ esperienza piacevole per loro in quanto da il senso, sia all’adulto che al

bambino, di una cosa completata.

Ho notato che in questo caso e l’educatrice che giudica quando e giunto il

momento di riordinare, comincia con il mettere via prima i contenitori, come

messaggio ai bambini che e ora di concludere il gioco. Tale messaggio arriva

quindi da un gesto anziche da una frase del tipo: “chi mi aiuta a mettere a

posto?”

Mentre durante lo svolgimento del gioco l’educatrice rimane tranquillamente

seduta in silenzio, nel momento del riordino prende uno dei sacchi tenendolo

aperto fra le mani e nomina gli oggetti da raccogliere, aggiungendo frasi

brevi e chiare del tipo: “mi porti queste catenelle?”, dando sempre il nome

all’oggetto che i bambini hanno gia utilizzato, questo perche, mi hanno

spiegato, risulterebbe inutile nominare un oggetto con il quale il bambino

non ha gia avuto un’esperienza sensoriale e quindi diretta: la parola prende

significato quando l’esperienza e gia stata fatta. Quando i bambini portano gli

oggetti richiesti, per metterli nel sacco tenuto aperto dall’educatrice, questa

risponde con un “grazie”, non ci sono mai frasi che esprimono un giudizio,

del tipo “bravo bambino”.

Figura 3.12: Paragonare praticamente una cosa all’altra.

76 Osservazione

Durante il riordino, quando un bambino porta un oggetto diverso da quello

richiestogli, ho visto l’educatrice ringraziarlo, ma non glielo lascia mettere nel

sacco, lo prende in mano e lo appoggia su una sedia che precedentemente ha

posto accanto a se.

Mi hanno detto che e stato calcolato che se ad un bambino viene dato il

contenuto di 4 sacchi, costituito da 50 pezzi per ciascun sacco, egli puo

teoricamente fare 13.871.420 combinazioni!

Si osserva una grande varieta di modi con i quali i bambini scelgono di

utilizzare gli oggetti per riempire, vuotare, infilare, selezionare, scartare,

riconoscendo le differenze e le somiglianze: sovrapporre, mettere in sequenza,

paragonare una cosa all’altra e cosı via (fig. 3.12).

Figura 3.13: Auto-correzione nel gioco degli anelli.

Nel gioco non c’e insuccesso; puo succedere che il bambino tenti di mettere

una cosa grande in una cosa piccola (come in fig. 3.13), il problema lo crea lui,

ma puo adoperare il pensiero per risolverlo cercando una soluzione diversa:

non e un fallimento, questo vuol dire imparare!

Questi oggetti e molti altri offrono ai bambini l’opportunita di sperimentare

infiniti modi di giocare e di organizzare tale materiale senza schemi prefissati

dall’adulto. Tutto cio offre ai bambini la possibilita di raggiungere uno scopo

con la soddisfazione del risultato: se non si risolve il problema in un modo, c’e

3-4 Osservazione alla Casa dei Bambini 77

sempre la possibilita di risolverlo in un altro e questo e alla base del moderno

problem-solving.

4 Osservazione alla Casa dei Bambini

La prima cosa che ho notato entrando nella Casa dei Bambini e stato lo

spazio. Uno spazio “vivo”, interamente posseduto, cioe usato, dai bambini.

Tutto intorno alle pareti (oppure nel mezzo, a delimitare spazi) ci sono scaffali

bassi e aperti, con materiali molto vari per le scoperte sensoriali e logiche,

vassoi con piccoli recipienti e contenuti diversi, matite e fogli a disposizione

di tutti. Ci sono poi libri, figure da appaiare, piccoli tappeti su cui giocare a

terra, eccetera. Una varieta di oggetti, veri il piu possibile, presi dalla vita

di tutti i giorni, oggetti della realta quotidiana e strumenti di buona qualita,

che funzionano davvero. Il gioco del “far finta” di cucinare, lavare, spazzare,

scrivere, battere chiodi, innaffiare e significativo, per il bambino che lo scopre,

per “rivivere” situazioni ed emozioni. Non ho visto mai forbici o pentole di

plastica ma forbici vere cosı come tazzine di ceramica e cucchiaini di metallo.

Ci sono spazi in cui raccogliersi per proprio conto, perche non si puo vivere

sempre in mezzo a una folla; dei tappeti, qualche cuscino su cui leggere in

pace, piccoli tavoli su cui lavorare da soli, un angolino in cui nascondersi.

Un ventaglio di proposte davvero molto ampio. L’ordine e molto curato e

cosı l’armonia dei colori. L’ambiente e tranquillo. Le voci dei bambini sono

naturalmente controllate perche anche le maestre non alzano mai il tono di

voce per chiamare a raccolta i bambini o anche per rimproverare, se occorre

(fig. 3.14).

Quindi poche differenze significative con l’ambiente del Nido. Quello che e

differente qui e che compare il materiale di sviluppo, materiale creato da

Maria Montessori (fig. 3.14): lettere e cifre smerigliate, la torre rosa, la scala

marrone, le aste delle lunghezze . . .

L’ambiente e organizzato in modo logico e chiaro. Non e sovraccarico ma

ordinato in maniera tale che l’occorrente per ogni attivita sia facilmente

accessibile. Allo stesso modo l’intero “percorso di sviluppo” che un bambino

78 Osservazione

Figura 3.14: La Casa dei Bambini.

puo seguire nel corso degli anni e sotto i suoi occhi. Cosı impara molto presto

a scegliere il materiale adatto al suo momento di crescita. Mobili e oggetti

favoriscono la liberta nel senso di liberta di scelta delle attivita, liberta di

movimento nello spazio e liberta dei tempi di lavoro. Liberta, ma anche

responsabilita. Ogni oggetto e materiale di sviluppo e presente in un solo

esemplare. Come ho gia detto, il bambino impara cosı a rispettare il proprio

turno.

Parlando con le maestre, mi facevano notare che non esistono periodi ri-

gidamente prestabiliti in cui si lavora ed altri in cui si fanno cose “meno”

importanti. Tutto e importante per il bambino. L’ambiente e quindi regolato e

predisposto non sull’eta anagrafica, ma sulle abilita raggiunte, che ovviamente

sono diverse da bambino a bambino.

Cosı come al Nido vi e la zona dei travasi, la zona degli incastri, eccetera, qui

ci sono poi zone differenti dedicate ad argomenti differenti. Ho trovato quindi

la zona dedicata al linguaggio, quella dedicata alla matematica, alla storia e

cosı via (fig. 3.15).

Figura 3.15: L’angolo della psicoaritmetica.

3-4 Osservazione alla Casa dei Bambini 79

Questa suddivisione non significa che le zone siano compartimenti stagni,

come vedremo. Tra l’altro nemmeno la Casa dei Bambini e un compartimento

stagno rispetto al Nido. Ho visto bambini del Nido venire ad osservare che cosa

fanno i loro compagni piu grandi (fig. 3.16). Non c’e quindi l’idea preconcetta

che ci sono cose che i bambini di una certa eta non possono capire. Allo stesso

modo non ho visto suddivisioni artificiali all’interno degli argomenti, come

ad esempio il primo anno si gioca con le cifre fino a dieci, poi fino a venti

eccetera.

Figura 3.16: Un bambino del Nido osserva uno piu grande fare il “gioco delle

marchette”.

Trattandosi di materiale di sviluppo Montessori, le maestre lo presentano

ai bambini, sono disponibili per rispondere alle domande, ma non aiutano,

non si sostituiscono mai al bambino. Il loro impegno maggiore consiste nel

preparare il materiale sulla base dei bisogni che hanno osservato nei bambini.

Una particolarita che salta all’occhio osservando il materiale di sviluppo

Montessori, e che ognuno di essi isola una qualita unica. Posso dire che

ciascun elemento di ogni materiale e un’astrazione materializzata della qualita

stessa, od anche che ogni materiale e la rappresentazione concreta di un solo

80 Osservazione

Figura 3.17: La torre rosa: isolamento di una qualita unica.

concetto. Per esempio la “torre rosa” (fig. 3.17) ha lo scopo di far sperimentare

i volumi dal decimetro al centimetro cubo. Varia solo il volume, tutte le altre

caratteristiche sensoriali sono tenute in sordina, non distraggono e sono tutte

uguali. Probabilmente, se i cubi fossero colorati in maniera differente, o

avessero appiccicati dei pupazzetti, non aiuterebbero i sensi a focalizzarsi su

una ed una sola caratteristica per assorbirla e comprenderla. La scala marrone

(fig. 3.18) e composta da dieci prismi che cambiano solo nelle dimensioni

della base e mettono in evidenza i rapporti grosso/fino. Infine le aste delle

lunghezze (fig. 3.19), dieci prismi che variano in una sola dimensione da un

metro a un decimetro, evidenziano il passaggio graduale dal lungo al corto.

Questo e il primo materiale logico-matematico con cui il bambino entra in

contatto alla Casa dei bambini.

3-4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica 81

Figura 3.18: La scala marrone: variano solo le dimensioni della base.

4.1 I materiali di sviluppo della psicoaritmetica

Dopo che i bambini hanno giocato a lungo con i materiali sensoriali di cui ho

parlato sopra, la maestra presenta, individualmente o ad un piccolo ristretto

gruppo di bambini, il gioco delle aste numeriche.

Questo materiale e composto da 10 aste di lunghezze multiple di dieci centi-

metri che si distinguono dalla successione alternata di due differenti colori

(fig. 3.20). L’uno per esempio e blu; nella seconda asta le due sezioni, di dieci

centimetri ciascuna, sono l’una blu e l’altra rossa; nella terza asta vediamo

agli estremi due sezioni blu e una rossa nel mezzo. In tal modo, tutte le aste

cominciano con la parte blu e cosı si ottiene anche che i colori delle differenti

unita che compongono ciascun intero risultano chiaramente differenziati nella

loro successione.

In un primo momento e proprio la maestra a fare questo gioco, ma poi

ho visto farlo dai bambini con sicurezza e disinvoltura e, soprattutto, con

82 Osservazione

Figura 3.19: Le aste delle lunghezze: evidenziano il passaggio graduale dal

lungo al corto.

soddisfazione. La maestra, dicevo, prende le aste dallo scaffale iniziando dalla

prima e le mette sul tappeto a terra in “ordine sparso”. Ogni volta dice

“questa e l’asta dell’uno”, “questa e l’asta del due” oppure semplicemente

“uno”, “due”, “tre” e cosı via. In questa maniera viene associato il nome

all’asta, le aste quindi sono quantita che hanno un nome. Poi riordina le aste

per lunghezza e successivamente riprende ogni asta e vi associa un cartellino

con la cifra smerigliata corrispondente. Fa quindi un appaiamento quantita-

simboli. L’ultimo passaggio e riordinare nuovamente le aste e collocare un

altro cartellino con la cifra vicino alla corrispondente asta. E un gioco da cui

derivano attivita di composizione, scomposizione e confronto. Risulta evidente

che ogni volta che si uniscono aste differenti si esegue un’addizione e che ogni

qualvolta tale somma viene scomposta, si effettua una sottrazione (fig. 3.21).

Noto tre cose: primo, le aste danno concretezza all’idea assoluta di numero

senza introdurre la rappresentazione astratta della cifra; secondo, non c’e

un ordine rigido fra i concetti, non bisogna aspettare di conoscere tutto sui

numeri per poter passare alle operazioni su di essi; terzo, l’addizione, come

ogni altra attivita, ha in se il concetto di autocorrezione (il controllo alla fine


Figura 3.20: Le aste numeriche.

dell’addizione: fig. 3.21 a destra).

Figura 3.21: L’addizione con le aste.

Un altro gioco che ripete la situazione del contare le unita relative ai vari

gruppi della serie numerica da uno a dieci o, piu esattamente, da 0 a 9 e il

gioco dei “fuselli” (fig. 3.22) o materiale delle unita sciolte: un casellario con

stampate le prime nove cifre e dei bastoncini tutti uguali, i fuselli, appunto. Il

bambino lega tra loro il giusto numero di bastoncini e li ripone nella casella

corrispondente. Senza saperlo apprende la progressione numerica e come i

84 Osservazione

numeri sono composti da unita tutte uguali. Anche il fatto che la cassetta

zero sia lasciata vuota e che ci sono solo cifre fino al nove viene interiorizzato

dal bambino come un qualcosa di logico e normale. Ovviamente il gioco si

puo fare sostituendo qualcos’altro ai fuselli.

Figura 3.22: Il gioco dei fuselli: i numeri concreti.

Un altro gioco che mi ha colpito e il “gioco delle marchette” (fig. 3.23). Questo

gioco consiste nel disporre, in primo luogo, dei cartoncini con i numeri da

1 a 10, secondo il normale ordine di successione e quindi, alla base di ogni

numero, porre dei gettoni rossi (marchette) nella quantita corrispondente.

Questo gioco e una riprova per verificare se l’apprendimento e avvenuto,

cioe, se si conoscono i numeri nella loro successione e le quantita da essi

rappresentate. Il bambino dispone gli oggetti in fila a due a due, per i numeri

dispari la marchetta spaiata si mette in centro in basso alla doppia fila. Una

volta disposte le marchette, il bambino fa scorrere in mezzo alle due file

una marchetta blu. Se questa passa il numero e pari, se non passa e dispari.

Vediamo qui una classificazione astratta (pari/dispari) resa concreta dagli

effetti che ha su un’azione pratica (il passaggio della marchetta blu). Come si


vede, non vengono nemmeno tirati in ballo concetti come la divisibilita per

due, ma la classificazione viene assorbita comunque in maniera molto chiara.

Figura 3.23: Il “gioco delle marchette” per capire il pari/dispari.

Per il gioco di figura 3.24 ho dovuto chiedere a mio figlio un chiarimento su

cosa rappresentassero i bastoncini di perle colorate infilate su un bastoncino

metallico. Mi risponde come se fosse una cosa ovvia e risaputa da tutti:

“Sono gialle quindi e il quattro” (fig. 3.24). Ovvio. Ogni numero ha un colore

che e sempre quello, e formato da perline legate fra loro (continuita con

i fuselli di figura 3.22 che mostrano le unita legate tra di loro) e le stesse

perline sono utilizzate anche in altri materiali: le tavole di Seguin3 (per

imparare la formazione dei numeri dall’11 al 19 (fig. 3.25)) e nel “serpente

positivo” (gioco sull’addizione). Mi sembra che i materiali creino ordine

mentale anche ripresentando i concetti in differenti contesti utilizzando gli

stessi “suggerimenti” sensoriali.

Per capire la formazione dei numeri da 11 a 19 i bambini utilizzano le tavole

di Seguin (fig. 3.25) in cui eseguono l’operazione 10 + 6→ 16 sovrapponendo

materialmente il sei allo zero del dieci e poi rafforzano il concetto mettendo

al fianco la barretta con le dieci perline che rappresenta il dieci e quella che

rappresenta il sei.

Le perline del dieci sono dorate e legate tra di loro per formare i multipli di

dieci (fig. 3.26). Anche fisicamente, con il loro peso, i multipli danno l’idea di

quanto “valga” un 1000 rispetto ad un 100. Questi multipli sono poi srotolati

per formare le catene del cento (fig. 3.27) e del mille (fig. 3.28). Come si

3Un omaggio di Maria Montessori alla genialita pedagogica di Edouard Seguin.

86 Osservazione

Figura 3.24: I bastoncini di perle colorate: i numeri acquistano concretezza.

vede i bambini non amano le limitazioni, per giocare con la catena del mille

hanno monopolizzato addirittura il corridoio. La catena del mille poi viene

scomposta nei suoi costituenti (fig. 3.29) per capire come vengono costruiti i

vari numeri.

Ho notato che il “lavoro” dei bambini non finisce quando il gioco e terminato,

ma comprende anche il riportare il risultato su carta (per esempio si vedano

le figure 3.24 e 3.27). Anche qui mi sembra che il bambino stesso si aspetti

questo passo, come per completare e chiudere il gioco.

Per memorizzare le quattro operazioni, il bambino usa dei materiali specifici.

Ho osservato bambini molto concentrati lavorare su un tavoliere quadrettato

(fig. 3.30) dove nella prima riga orizzontale ci sono scritti i numeri da 1 al

18: i primi dieci sono in rosso, gli altri in blu. Tra il dieci e l’11 una linea

verticale nera. Una scatola contenente nove asticine azzurre numerate da

uno a nove, e nove rosse suddivise in tanti quadretti sempre numerate ad


Figura 3.25: La I tavola di Seguin.

Figura 3.26: Il sistema decimale base (pur con qualche incertezza. . . ).

un’estremita. Il bambino pesca da un sacchetto la somma da rappresentare,

mette in sequenza sul tavoliere un’asta blu ed una rossa e legge sul tavoliere

il risultato. Il risultato viene poi riscritto su un modulo. La tavola rende

immediatamente percepibile quando il risultato e maggiore di dieci.

E interessante che, assieme al gioco dell’addizione, viene presentata la molti-

plicazione. E logico, la moltiplicazione e una somma ripetuta.

Ho trovato molto interessante il gioco per la memorizzazione della moltiplica-

zione (fig. 3.31). Un materiale composto da un sacchetto contenente una serie

di cartellini su cui sono scritte tutte le possibili moltiplicazioni tra numeri

a una cifra (i cartellini sono rigorosamente scritti a mano dalle maestre e

plastificati), una scatolina contenente cento perle sciolte di colore blu, dieci

cartoncini marcati con i numeri da uno a dieci, un gettone verde e la tavoletta

88 Osservazione

Figura 3.27: La catena del cento.

Figura 3.28: La catena del mille.

quadrata con 10× 10 incavi, in ciascuno dei quali si puo collocare una perla.

In alto, come intestazione delle colonne di incavi, vi sono stampati i numeri

da l a l0. Nella parte sinistra della tavoletta e in posizione mediana, vi e un

incavo nel quale e possibile inserire un cartoncino che porta stampato uno

dei numeri da l a l0. Questo cartoncino riveste il ruolo di moltiplicando, e si

cambia a seconda della moltiplicazione che il bambino pesca dal sacchetto.

Nell’angolo in alto a sinistra, c’e un grande incavo circolare che e sede per il

gettone verde.

L’esercizio che si esegue con tale materiale e assai semplice. Lo vediamo nella

foto 3.31: Nicolo ha pescato dal sacchetto il cartoncino 5×4. Comincia il gioco

inserendo nella casella di sinistra il cartoncino col numero 5. Per moltiplicare


Figura 3.29: Il quadro del sistema decimale.

5 per 4, fa due cose: dapprima colloca il gettone verde al di sopra del 4, che

contrassegna la quarta colonna di incavi, e poi dispone 5 perle nei cinque

incavi verticali delle colonne dall’uno al quattro. Per ultimo scrive il prodotto

su dei moduli cartacei.

Lo spostamento del gettone, che ha lo scopo di indicare di volta in volta il

nuovo moltiplicatore, richiede al bambino una attenzione sempre attiva e la

massima esattezza di esecuzione.

Per me la divisione e sempre stata un ostacolo insormontabile; il ricordo della

fatica che ho fatto nel capire numeri che ci stanno o non ci stanno, prendere

90 Osservazione

Figura 3.30: Tavola dell’addizione.

Figura 3.31: Il materiale della moltiplicazione con l’esecuzione di 5× 4.

in prestito, eccetera ancora oggi mi perseguita. Invece mio figlio, quando era

ancora alla Casa dei Bambini, un giorno mi disse che doveva arrivare presto

a scuola perche voleva fare il gioco della distribuzione delle perline. Appunto,

la divisione.

Figura 3.32: Tavola della divisione.

Il materiale e composto da una tavoletta quadrata con 81 incavi (9 × 9)

(fig. 3.32), in corrispondenza di ciascuna fila di fori sono scritti orizzontalmente,

sopra una striscia verde, in alto, i numeri da 1 a 9; sul lato sinistro della

tavoletta i numeri sono ripetuti verticalmente. Il materiale e costituito, oltre

che dalla tavola di distribuzione, da una scatola con 81 perle verdi (dividendo)

e da una serie di 9 birilli verdi chiamati i “bambini” (divisore); un sacchetto

contenente una serie di cartellini su cui sono scritte tutte le possibili divisioni


col dividendo fino a 81 e il divisore a una cifra (i cartellini sono rigorosamente

scritti a mano dalle maestre e plastificati).

Se il bambino pesca dal sacchetto, per esempio, 36 : 7 comincia prendendo in

considerazione 36 perle verdi nella loro scatola e 7 birilli che dispone lungo la

striscia verde che in alto limita la tavola. A questo punto dice: “Ciascun birillo

deve ricevere la stessa quantita di perle” e inizia l’operazione assegnando

una perla a ciascun birillo, e, conclusa una prima distribuzione, continua fino

all’esaurimento del dividendo (fig. 3.33). Poi, conta il numero delle righe di 7

perle ciascuna che si sono potute formare. La perla che avanza viene posta

nell’ultimo incavo in basso a destra. Il bambino a quel punto dice: “36 diviso

7 fa 5 con resto di 1”. Successivamente riporta sul modulo il risultato.

Questo materiale da al bambino l’indicazione che nessun quoziente e nessun

divisore possono essere maggiori di 9 e che nessun resto puo essere maggiore

o uguale al divisore.

I bambini che stanno eseguendo delle divisioni sono tutti invariabilmente

concentrati (fig. 3.33). Sembra che la maggiore attenzione e precisione neces-

sarie risveglino maggiore interesse. Come se piu complicata sia un’attivita,

maggiore e l’entusiasmo che suscita nei bambini.

Figura 3.33: La tavola della divisione.

Una delle ultime cose che ho osservato e stato vedere un bambino divertirsi

molto con una tavola dei multipli (un semplice foglio di carta sul quale sono

stampati i numeri da 1 a 100 ordinati in dieci colonne) (fig. 3.34). Mi spiegava

la maestra che questo e un gioco che fanno pero i bambini dell’ultimo anno.

Sara anche vero, ma io quest’anno ho insegnato in una quarta elementare

con bambini di 9/10 anni e molti di loro hanno parecchie difficolta nella

memorizzazione delle tabelline, qui parliamo invece di bambini di 5 anni.

92 Osservazione

Quando ho chiesto a un bambino se eseguiva per me il gioco dei multipli per

prima cosa mi ha chiesto quale numero preferissi, alla risposta “3” ha cercato

un pennarello di colore rosa. Ho domandato perche proprio il rosa e lui mi ha

risposto: “semplice, il 3 e rosa” in riferimento ai bastoncini di perle colorate.

Dopodiche ha cominciato a cerchiare tutti i multipli di 3, per poi disegnare

le linee oblique e commentando alla fine: “Hai visto, i multipli di 9 sono 18,

27, 36, 45, 54, 63, 72, 81” lasciandomi naturalmente molto sorpresa! Ultimo

passo e stato creare una rete (fig. 3.35).

Il risultato e interessante: i multipli non sono piu un concetto da ancorare in

qualche modo (le tabelline a memoria. . . ), ma diventano geometria, diven-

tano una disposizione regolare di segni su un foglio rafforzata dal messaggio

cromatico.

Figura 3.34: La tavola dei multipli.

Fin da quando frequentava la Casa dei Bambini, e ancora oggi che e in seconda


Figura 3.35: I multipli di 3 e la rete dei multipli di 3 (a destra).

elementare, mio figlio rispondeva invariabilmente a chi gli chiedeva che cosa

avesse fatto a scuola: “ho giocato con l’addizione”, “ho giocato con la divisione”

e cosı via. Queste risposte lasciano perplessi gli amici perche comunemente

si equipara la scuola al lavoro. Non e mai stato cosı per mio figlio: per lui

andare a scuola non e lavorare, ma giocare. E probabilmente in questa parola

sta il segreto dell’amore per la matematica, secondo me Platone (cfr. cap. 4)

sarebbe molto soddisfatto.

Capitolo 4

Discussione

L’argomento che sostengo in questa tesi e che i bambini nella fascia di eta che

ho considerato hanno abilita matematiche e le manifestano quando si trovano

nel giusto ambiente. Per vedere se le mie osservazioni corroborano questa

tesi, provero a risalire dagli effetti alle cause. Iniziero quindi riassumendo

le osservazioni fatte (cap. 3) focalizzandomi sui fatti correlati alle abilita

matematiche, poi comprovero che queste sono vere capacita matematiche,

passero quindi a dimostrare come la concentrazione che ho osservato nei

bambini che svolgevano delle attivita legate alla logica e alla matematica sia

segno di un livello elevato di abilita matematiche. Per terminare raccogliero

quelle caratteristiche osservate che a mio avviso agiscono come “facilitatori”

per il dispiegarsi delle abilita matematiche nel bambino. Per completezza

riportero anche quelle caratteristiche che invece bloccano il loro manifestarsi.

1 Abilita matematiche osservate

Nei bambini del Nido ho osservato le seguenti specifiche abilita:

1. La capacita di classificazione e confronto (appaiamento di fotografie,

classificazione di tre tipi di oggetti diversi, gioco euristico)

96 Discussione

2. La comprensione delle relazioni fra grandezze (piccolo/grande, anelli su

pioli, il bastoncino da infilare nei buchi, il gioco dell’infilo che da una

stima dell’avanzamento del lavoro)

3. L’acquisizione intuitiva della numerosita (il bambino che ha perso

l’anello)

4. I primi approcci alla conservazione della quantita (travasi)

5. L’acquisizione delle relazioni d’ordine (apparecchiare, la distribuzione

del pane)

Alla Casa del Bambino ho osservato le abilita matematiche nel contesto dei

materiali di sviluppo di “Psicoaritmetica”, per usare il termine originale di

Maria Montessori Montessori (1994). Qui la conoscenza del numero avviene

intorno ad un’idea centrale interessante ed importante. Poi parallelamente si

svolgono altre attivita che portano a considerare e ad approfondire i particolari.

Per esempio per i numeri i bambini passano dalla conoscenza delle quantita,

alla conoscenza del simbolo, per poi associare le cifre alle quantita. Questa

conoscenza del numero si svolge in tre momenti distinti con tre materiali

differenti: presentazione (aste ed esercizi relativi), riconoscimento (fusilli),

dimostrazione di possesso della conoscenza (esercizio con le marchette).

Un esempio di attivita in cui i bambini approfondiscono i particolari e, per

esempio, il gioco delle marchette con cui acquisiscono una caratteristica del

numero come quella della classificazione pari/dispari. Oppure la capacita di

capire il valore relativo dei numeri (catena del mille, cubo del mille) tramite

le attivita in cui la caratteristica e resa accessibile ai sensi trasformando una

quantita astratta in una caratteristica percepibile come il peso.

Un’altra abilita che ho osservato e che non e immediatamente classificabile

come matematica, ma, a mio avviso, vi e correlata e l’ordine mentale che

traspare nei bambini quando sono impegnati nelle loro attivita. Ordine che

viene loro trasmesso anche dall’ambiente tranquillo e non caotico in cui

trascorrono parte della giornata.

4-2 Possiamo chiamarle abilita matematiche? 97

2 Possiamo chiamarle abilita matematiche?

Certamente!

Da quanto ho osservato, cio che ho visto fare dai bambini e vera matematica.

Non solo alla Casa dei Bambini in cui l’identificazione e piu chiara, ma anche

al Nido, secondo me, molte delle reazioni che ho visto nei bambini piccoli

le possiamo catalogare come espressione di concetti matematici. I bambini

quindi sono capaci, anche a quest’eta di ragionare con categorie matematiche.

Dire che i bambini non sono capaci di capire la matematica e come dire

che non sono capaci di comunicare perche non sanno parlare. Un neonato

comunica e comunica molto bene cio di cui ha bisogno, anche se non conosce

la grammatica e non sa parlare!

Un’ultima osservazione. Il bambino non e fatto a compartimenti stagni. Se

ha acquisito un ordine mentale, questo si manifesta sia che faccia qualcosa

attinente alla matematica, sia che faccia l’analisi grammaticale di una frase,

sia che studi le capitali europee, sia anche che giochi con i Lego. A mio

avviso questo fatto deve essere tenuto nel debito conto quando si analizzano

manifestazioni di abilita matematiche nel bambino.

3 Concentrazione e “flow”

Uno degli aspetti che piu mi hanno colpito durante l’ osservazione e stata la

concentrazione mostrata dai bambini, anche del Nido, nel giocare e nell’usare

i materiali di sviluppo. Vista l’eta posso affermare sicuramente che questa

concentrazione non e ottenuta con la forza di volonta.

Secondo me, invece, la concentrazione deriva da quello stato interiore che lo

psicologo Mihaly Csikszentmihalyi chiama “flow”, una condizione complessa,

caratterizzata da elevata concentrazione, coinvolgimento ed immersione nel-

l’attivita, controllo della situazione, chiara percezione dell’andamento e delle

finalita dell’attivita, positivita dello stato affettivo, motivazione intrinseca,

ovvero indipendenza da aspettative di ricompense o gratificazioni esterne

all’attivita stessa (Csikszentmihalyi, 1990).

98 Discussione

Per caratterizzare le condizioni sotto cui si instaura lo stato di “flow” si

possono considerare due parametri: la difficolta del compito (challenge) ed

il livello di abilita di chi lo svolge (skill). Csikszentmihalyi nota che, se il

compito e troppo facile, ci annoiamo, se il compito e troppo difficile rispetto

alle nostre abilita, ci angosciamo, invece se il compito e di una difficolta

superiore alla media delle azioni abituali e richiede delle abilita ad un livello

appena superiore a quelle che possediamo, allora subentra lo stato di “flow”.

La condizione che ho osservato nei bambini mentre erano presi dalle attivita

si puo descrivere proprio come uno stato di “flow”: elevata concentrazione,

totale immersione nell’attivita che si sta svolgendo, motivazione intrinseca,

contentezza di poter svolgere quell’attivita.

Posso capovolgere la definizione di “flow” e dire che, se vedo un soggetto agire

in uno stato con le caratteristiche del “flow”, allora posso ipotizzare che il

compito che sta svolgendo e al limite superiore delle sue capacita, capacita

possedute comunque ad un buon livello. Applicando questo ragionamento alle

osservazioni da me fatte, ne deduco che i bambini che ho visto concentrati

nello svolgere attivita di psicoaritmetica, possiedono abilita matematiche ad

alto livello. E una prova indiretta, ma a mio avviso valida.

4 Fattori facilitanti

Quali fattori a mio avviso rendono possibile il dispiegarsi delle abilita ma-

tematiche in questi bambini? Questi fattori possiamo trovarli nel materiale

utilizzato, nell’ambiente e nel ruolo dell’adulto.

4.1 I giochi

In generale posso dire che i giochi fatti utilizzando i materiali di sviluppo

hanno molte cose in comune. Tutti trasformano i concetti, anche astratti in

attivita sensoriali: le cifre smerigliate, la torre rosa, il blocco del 1000 che

rende il rapporto fra multipli di 10 percepibile come peso.

4-4.2 L’ambiente 99

Secondo, tutti i materiali rendono concreti i concetti utilizzando colori, forme

e relazioni spaziali: i bastoncini colorati, la tavola dei multipli con le linee che

formano una rete, le tavole di Seguin.

Terzo, tutti i materiali evitano la simbolizzazione o il ragionamento astratto

trasformandolo in operazioni pratiche e concrete. Per esempio la marchetta

che passa/non passa; il gettone verde che va spostato nella moltiplicazione.

Quarto e non ultimo, il fatto che ogni gioco focalizza un concetto alla volta,

riducendo cosı le distrazioni ed il sovraccarico cognitivo: la torre rosa che

concretizza solo la scala di volumi, le aste che concretizzano solo la quantita.

4.2 L’ambiente

L’ambiente che ho trovato al Nido e alla Casa dei Bambini ha due caratteri-

stiche fondamentali per facilitare l’acquisizione di concetti matematici. Uno

e la liberta, il bambino agisce secondo i suoi ritmi, sceglie liberamente cio

che in quel momento lo interessa in base anche alle sue capacita. Il secondo e

l’assenza di limiti artificiali, sia riguardo agli argomenti, sia riguardo all’eta.

Per capire l’importanza della liberta possiamo fare un paragone con la ricerca

scientifica. Sappiamo benissimo che irreggimentarla, pretendere che “produ-

ca”, vuol dire ucciderla. Le idee nascono quando devono nascere, a volte

nascono per caso, mentre si esplora qualcosa di totalmente diverso e magari

“improduttivo”.

Per il secondo punto possiamo fare un parallelo matematico: le serie infinite.

Questi oggetti hanno certe caratteristiche a patto che li calcoliamo senza

porre limiti alle variabili. Se invece pretendiamo di estrapolare leggi generali

da calcoli fatti in un intervallo limitato delle variabili, allora si prendono delle

solenni cantonate. Questo non vuol dire che negli ambienti del Nido e della

Casa dei Bambini non ci sono limiti. I limiti sono sul piano del “come”, non

sul piano del “cosa”. Abbiamo visto come ogni oggetto sia presente in unica

copia, per abituare i bambini a rispettare i turni. I limiti che ho visto negli

ambienti possono essere paragonati all’origami. In quest’arte ci sono delle

regole ben precise: niente colla, niente forbici, niente tagli, ma nessun limite su

100 Discussione

come piegare o come combinare i foglietti di carta. E che risultati straordinari

produce! Probabilmente se non ci fossero limitazioni, si potrebbero costruire

cose meravigliose, ma non cosı entusiasmanti o interessanti.

Che altre caratteristiche ho notato nell’ambiente? Che e un ambiente in-

teressante, che stimola la curiosita, che spinge a sperimentare. Anzi, tutto

negli ambienti facilita il lavoro di sperimentazione: i materiali sono visibili,

il bambino e stimolato a provare, non ci sono giudizi che possono frenarlo,

il contatto con gli altri, sia all’interno della propria fascia di eta che con i

bambini piu grandi, facilita lo scambio di esperienze, nella forma possibile a

quest’eta. L’ambiente e interessante anche perche stimola l’azione. Un oggetto

bello ma passivo interessa il bambino un giorno solo, mentre il fatto che ogni

oggetto possa essere rimosso, usato, e riportato al suo posto rende l’attrattiva

dell’ambiente inesauribile.

Ma non solo, tutto quello che ho visto, materiali ed ambiente, aiutano il

bambino nel controllo dell’errore: le aste che hanno un solo modo corretto di

essere disposte, la serie di anelli che rende chiaro quando e completa. Io penso

che il controllo materiale dell’errore conduca il bambino ad accompagnare

i suoi esercizi col ragionamento, con la critica, con l’attenzione sempre piu

interessata all’esattezza, con una capacita raffinata a distinguere le piccole

differenze, e prepara cosı la coscienza del bambino a controllare gli errori,

anche quando questi non sono piu materiali o sensibilmente evidenti, come

spesso capita nella matematica.

4.3 Il ruolo dell’adulto

L’adulto in questo ambiente ha un compito molto particolare, che non e quello

di aiutare o di sostituirsi al bambino, ma quello di fornirgli i materiali giusti

per il livello di sviluppo nel quale il bambino si trova. Livello che le maestre

colgono osservando in continuazione i bambini.

Un altro ruolo che credo di aver individuato, e quello di creare curiosita. La

maestra che taglia le striscioline di carta con le forbicine stimola il bambino a

provare, ma non lo forza a provare. Anche in questo aspetto, l’adulto e un

facilitatore, non un traino.

4-4.4 Che cosa manca in altri contesti? 101

Per il resto, il ruolo dell’adulto lo possiamo definire in negativo: l’ambiente

in un certo senso non e un progetto dell’adulto, le attivita non si svolgono

secondo la logica dell’adulto, le conoscenze non vengono travasate dall’adulto

nella testa dei bambini. Insomma, un ruolo veramente difficile.

Potremmo pensare che, se l’adulto prende il comando, le conoscenze vengano

acquisite piu in fretta, ma confondiamo la quantita con quanto realmente

viene assimilato dal bambino. Trasmettere cose che non rimangono o, peggio,

che generano repulsione non serve a niente. Un po’ come pretendere di far

crescere piu in fretta l’insalata tirandola per le foglie: e assurdo perche si

strappa e si distrugge la piantina.

4.4 Che cosa manca in altri contesti?

Dato come punto di partenza il fatto che i bambini hanno una mente

matematica, che cosa impedisce loro di manifestarla?

Uno degli errori e pretendere di introdurre il bambino al mondo dei numeri

solo a partire dalla prima elementare.

Il bambino invece fin da subito e a contatto con i numeri e anche con grandi

numeri, sente parlare gli adulti di 100, 1000, 10000 eccetera, sa per esempio

di avere una bocca, un naso, due occhi, due mani. Tra i 3 e i 7 anni una

straordinaria ricchezza di connessioni neuronali porta il bambino a penetrare

il mondo dei rapporti numerici e delle forme geometriche.

Concetti costruiti sul fare e sull’osservare i contrasti nella vita quotidiana,

come grande/piccolo, tanto/poco, pesante/leggero, grosso/fino, alto/basso

e via dicendo, sono alla base delle innumerevoli constatazioni che i bambini

sono portati a fare sulle loro esperienze, tanto piu sicure se hanno potuto

sperimentare materiali esatti e nitidi e non invece materiale (come schede

pre-stampate) che li obbliga ad una simbolizzazione precoce. Abbiamo visto

che le abilita matematiche sono altra cosa rispetto alla sola interpretazione

dei simboli.

Sulla stessa linea e ugualmente dannoso il teorizzare e il porre dei limiti

artificiali. Per teorizzare intendo lo sganciare l’apprendimento dall’aspetto

102 Discussione

sensoriale e forzare la mente del bambino a trovare, se ci riesce, i necessari

agganci fra quello che sente e le sue esperienze. Devo dire che questo e gia un

compito difficile per certi adulti, figuriamoci per un bambino!

Porre dei limiti artificiali e un problema simile. Non c’e motivo perche la

matematica sia sganciata dal linguaggio o dalle materie artistiche, non c’e

motivo perche le nozioni debbano essere limitate a seconda dell’eta (in prima

imparano i numeri fino a 30, poi in seconda fino a 90 e cosı via). Ricordo

che quello che ho descritto riguardo alla matematica (cap. 3) si riferisce a

bambini fra i tre ed i cinque anni d’eta! Purtroppo “A scuola si imparano

nozioni, non relazioni” disse una volta il musicista Luciano Berio.

Poi c’e da considerare l’ambiente, il luogo in cui dovrebbe avvenire la crescita

cognitiva dei bambini. Oggi che nei primi sei anni di vita i bambini entrano

in strutture in cui regnano sovrani gli oggetti di plastica, dove perfino il

gioco di fantasia e fatto ad orario, dove sono guidati di continuo a produrre

in gruppo, a essere confrontati e giudicati, dove l’esplorazione individuale

e sempre piu limitata dalle richieste di prodotti valutabili (schede, disegni,

ritagli e incollature, lavoretti su modello. . . ), le capacita personali di indagare,

inventare, valutare, correggersi non possono non risultare compromesse. In

questo tipo di ambienti, dove tutto si basa su scambi verbali, il bambino

riflessivo, quieto o pensoso e considerato un asociale! Non parliamo poi di

concentrazione o di immersione in un qualche compito. In questi ambienti gli

educatori agiscono da protagonisti al posto dei bambini o si trasformano in

animatori per farli giocare.

5 Concludendo

Tirando le fila, che cosa posso dedurre dalle osservazioni fatte?

La scienza non ha come suo oggetto cio che desideriamo che sia, ma cio che e.

Il percorso della Montessori parte semplicemente da un diverso punto rispetto

a Piaget, Wynn eccetera: invece di teorizzare sul funzionamento del cervello

del bambino riguardo alle sue abilita matematiche, osserva il bambino nelle

sue azioni. Diceva, infatti: “si conosce l’essere umano solo osservandolo”.

Conclusioni

La motivazione che mi ha spinto ad affrontare l’argomento di questa tesi

nasceva da una semplice constatazione: il bambino impara a parlare perche

immerso in un ambiente fatto di parole, puo addirittura imparare la musica

se immerso in una varieta di suoni e ritmi. E per la matematica? Perche non

puo essere lo stesso? Che cosa fa sı che questo apprendimento per osmosi non

funzioni?

La mia idea era che non fosse un problema intrinseco alla materia, ma piuttosto

fosse dovuto all’ambiente che circonda il bambino che quasi mai e preparato

per facilitare l’apprendimento della matematica. Le premesse teoriche, infatti,

mi dicono che il bambino, anche molto piccolo, ha una mente matematica

come emerge dai lavori di Butterworth, Antell e Keating e dalle ricerche di

Karen Wynn, ecc.

L’osservazione che ho compiuto al Nido e alla Casa dei Bambini della Scuola

Montessori di Varese mi ha fornito valide conferme al fatto che nei bam-

bini emergono, pur con tutte le differenze individuali, forti capacita logico-

matematiche (riconoscimento esatto di quantita, forme, grandezze e altro

ancora) e un crescente interesse ai numeri e alle cifre ad essi relative.

Offrendo loro materiali con cui giocare con i numeri, ma anche con concet-

ti matematici come le relazioni d’ordine, il confronto eccetera, i bambini

spontaneamente si appassionano all’affascinante mondo della matematica.

Un’altra conclusione a cui sono giunta e che la matematica e solo un aspetto

della formazione di un bambino, e le abilita matematiche solo una delle

manifestazioni delle capacita della mente del bambino. Nei bambini che ho

104 Conclusioni

osservato ho visto in pratica, nel loro agire, la manifestazione di quello che

affermava Maria Montessori: “la forma della mente umana e matematica”.

Nella tesi ho mostrato come un ambiente di apprendimento preparato e acco-

gliente riesca a far emergere nei bambini questa mente matematica in maniera

naturale e senza esplicitamente proporre una “didattica della matematica”.

A questo punto non vorrei che si pensasse che un ambiente cosı stimolante

crei dei piccoli geni della matematica con l’obiettivo di sfruttare precocemente

le capacita della mente infantile, magari a futuri fini aziendali. Io vedo

semplicemente che un ambiente cosı vivo e davvero a misura di bambino

“pensante” fa nascere l’amore per una materia a lungo bistrattata e da risposte

a curiosita precise. I risultati si vedono, non solo nella familiarita con il mondo

dei numeri, ma soprattutto nell’ordine mentale, nell’equilibrio psichico che in

modi diversi i bambini manifestano.

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Ringraziamenti

Innanzitutto ringrazio il Prof. Massimo Squillacciotti e il Prof. Riccardo Putti

per il supporto che ho ricevuto nel compilare la mia tesi a 430 km di distanza.

Un grazie speciale ai bambini del Nido e della Casa dei Bambini, veri pro-

tagonisti di questo lavoro che, senza tante teorie, ma con l’agire pratico, mi

hanno mostrato come il gioco puo essere apprendimento.

A Grazia Honegger Fresco per l’aiuto concettuale, le innumerevoli occasioni

di confronto e l’interessante quanto consistente “pila” di libri che mi ha

consigliato di leggere.

Alle maestre del Nido Vanna, Micol, Adelaide ed Elisabetta, a quelle della

Casa dei Bambini Chiara e Samantha per la disponibilita e la pazienza che

hanno avuto nel rispondere alle mie domande e nell’avermi spiegato l’uso dei

vari materiali.

Alla coordinatrice del Nido e Casa dei Bambini Graziosa e alla segretaria

Elisabetta per avermi permesso di “stazionare” nella scuola.

Un grazie di cuore va alle mie colleghe Pina, Angela, Lidia, Mara, Anna

e Gabriella che in questo anno particolarmente laborioso mi hanno spesso

sollevata da alcune incombenze lavorative.

Un grazie alla squadra di supporto senese: Luigi, Alfonso e Laura, che mi ha

aiutato con la logistica universitaria.

Grazie alla mia amica Cristina che mi ha incoraggiato a non demordere anche

quando la tesi si stava perdendo in un mare di altre responsabilita.

E da ultimo, ma non meno importante un grazie molto speciale al mio Nicolo,

bambino paziente e attento, che con i racconti del suo “fare” a scuola mi ha

chiarito molte idee e a Mario, grande “referee”, che ha letto la mia tesi con

occhio da scienziato.

Il matematico inaspettato

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