Il "matematicamente certo" da Euclide a Hilbert ed oltre

Università della Calabria, 19 aprile 2007

Sergio InvernizziDipartimento di Matematica e Informatica

Università di Triesteinverniz@units.it http://www.labmat.it

Il seminario propone alcune riflessioni sull'evoluzione della delicata nozione di “verità matematica"

e suggerisce qualche spunto per la pratica didattica in classe.

Teorema di Pitagora

• Il teorema è vero? • Cosa significa che è vero?

Matematica “intuitiva”

• Teorema, gr. THEOREMA, la cosa guardata, esaminata, da THEOREO, riguardo, considero.

• Teatro, gr. THEATRON, da THEA, il guardare, vista.

• “ … è facile vedere che …”, “… we will show that …”,

• “ The David Letterman Show ”

• Rappresentazione ridotta e codificata della realtà

• Teoremi ~ misure indirette: Pitagora, Eupalino, Eratostene

• Teoremi ~ profezie (si avverano, o si avvererebbero se…)

• Postulati: problemi di evidenza sperimentale empirica

• Ambito del simbolico-ricostruttivo (Antinucci)

Pitagora, Samo, 560 ca.- 480 ca. a.C.

(Partenone, 447 a.C. - 438/432 a.C.)

1112 + 2512 = 75322 =274 e rotti

1112 + 2512 = 75322 =274 e rotti

Eupalino di Megara, Samo, VI secolo a. C.(Erodoto, Storie, III, 60)

qanat?

Tecnologia dei qanat persiani

Eratostene Cirene, Libia, 276 a.C. - Alessandria, Egitto, 194 a.C.

Evandro Agazzi, Dario Palladino, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria, La Scuola, 1998

(in particolare le Considerazioni conclusive, p. 303 segg.)

Evandro Agazzi, Dario Palladino, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria, La Scuola, 1998

(in particolare le Considerazioni conclusive, p. 303 segg.)

Illusione di Zöllner (gestaltisti et al.)

Karl Friedrich Gauss• Gauss scoprì nei primi anni dell'Ottocento le geometrie non

euclidee, ma non pubblicò nulla in proposito "per paura delle 'strida dei beoti', come ebbe a dire in una lettera a Bessel del 1829, ossia per tema della reazione che l'allora imperante teoria kantiana dello spazio avrebbe determinato contro chi avesse osato mettere in dubbio la natura a priori, necessaria, della geometria euclidea.”

• C. Mangione, Logica e fondamenti della matematica nella prima metà dell'Ottocento, in: L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. VI, p. 146, Garzanti, 1971.

• Lettera ad H.C. Schumacher (1/11/1844) “Osserverete la stessa cosa (l'incompetenza matematica) nei filosofi contemporanei Schelling, Hegel, … Ed anche con lo stesso Kant spesso le cose non vanno molto meglio; secondo me, la sua distinzione fra proposizioni analitiche e sintetiche è una di quelle cose che cadono nella banalità o sono false.”

K. F. Gauss, 1820-1830

• Ernst Breitenberger, Gauss's geodesy and the axiom of parallels, Arch. Hist. Exact Sci. 31 (3) (1984), 273-289• Arthur Miller, The Myth of Gauss's Experiment on the Euclidean Nature of Physical Space, Isis, 63 (1972), 345-348.• Comments on Miller's "The Myth of Gauss' Experiment on the Euclidean Nature of Physical Space" George Goe, B. L. van der Waerden, Arthur I. Miller, Isis, Vol. 65, No. 1 (Mar., 1974), pp. 83-87

Gauss's geodesy and the axiom of parallelsErnst Breitenberger Department of Physics and Astronomy, Ohio University, Athens, Ohio

Abstract  It is a myth that Gauss measured a certain large triangle specifically to determine its angle sum; he did so in order to link his triangulation of Hanover with contiguous ones. The sum of the angles differed from 180° by less than two thirds of a second; he is known to have mentioned in conversation that this constituted an approximate verification of the axiom of parallels (which he regarded as an empirical matter because his studies of hyperbolic trigonometry had led him to recognize the possibility of logical alternatives to Kant and Euclid). However, he never doubted Euclidean geometry in his geodetic work. On the contrary, he continually used 180° angle sums as a powerful check for observational errors, which helped him to achieve standards of precision equivalent to today's. Nor did he ever plan an empirical investigation of the geometrical structure of space.

Arch. Hist. Exact Sci. 31 (3) (1984), 273-289Received: 23 September 1983  Communicated by M. Kline

QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor

are needed to see this picture.

Immanuel Kant, 1781

Secondo Kant, i dati relativi allo spazio reale in cui viviamo ci giungono attraverso i sensi, la vista e il tatto, e vengono organizzati dal nostro intelletto.

Quando giungono alla nostra coscienza sono stati già rielaborati. La nostra idea di spazio non si riferisce allo spazio reale esterno a noi ma a uno spazio di natura intellettiva che filtra e organizza le nostre esperienze.

Secondo Kant, i principi di Euclide descrivono, quindi, non uno spazio esterno ma questa struttura mentale che ci permette di cogliere e organizzare la percezione che abbiamo degli oggetti. Essi sono infallibili e indiscutibili proprio perché si riferiscono non all'esperienza, ma al modo in cui la nostra mente dà una struttura all'esperienza.

Più esplicitamente, la Critica della ragion pura afferma che il carattere dello spazio geometrico può essere conosciuto senza osservazioni empiriche. La geometria euclidea (“intuitiva”) è l’unico modo possibile in cui la mente può organizzare l’informazione sulle relazioni spaziali estrinseche.

Ricordiamo anche Platone e tutti gli aprioristi.

David Hilbert

• Hilbert nelle Grundlagen der Geometrie del 1900, afferma l'idea che le costruzioni matematiche sono sistemi ipotetico-deduttivi.

• La “verità” dei teoremi è confermata dalla sintassi, ossia solo dall’osservanza delle regole di deduzione.

• Nessun collegamento empirico.

• Ambito del simbolico-ricostruttivo (Antinucci)

• Postulati: non più problemi di evidenza ma logici, di consistenza, decidibilità, ecc.

• Mario Pieri (1860-1913)

Émile Borel, 1922

• "La possibilité de ramener la géométrie à une théorie analytique et algébrique purement abstraite ne doit cependant pas nous faire oublier l'origine concrète des concepts géométriques. Lorsque M. Hilbert nous dit : (*) pensons trois systèmes de choses que nous appellerons poins, droites et plans, ces choses ayant par définition des propriétés telles que la suivante : par deux points on peut faire passer une droiteet une seule, nous savons très bien que M. Hilbert n'aurait point pensé à ces choses si Euclide n'avait pas vécu avant lui.”

• É. Borel, L'Espace et le Temps, Librairie Félix Alcan, Paris, 1922, p. 6.

• (*) Inizio del Cap. 1 dei Grundlagen der Geometrie

H. Poincaré, 1922

• Le geometrie non euclidee hanno messo in discussione la natura degli assiomi geometrici. La conclusione di Poincaré è che gli assiomi della geometria non sono “giudizi sintetici a priori” (Kant), né fatti sperimentali, ma solo convenzioni. Inoltre una geometria non può essere piú vera di un’altra, ma solo piú comoda.

 

• H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, trad. it. di F. Albergamo, La Nuova Italia, Firenze, 1949, pagg. 57-59

• Novecento filosofico e scientifico, a cura di A. Negri, Marzorati, Milano, 1991, vol. II, pagg. 748-749

Richard Courant, 1927

"Es ist mein Bestreben, dem Leser eine deutliche Einsicht in die enge Verbundenheit der Analysis mit den Anwendungen zu vermitteln und --- bei aller Wahrung mathematischer Strenge und Präzision --- der Anschauung als dem Urquell mathematischer Wahrheiten volle Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Gewiß, die Darstellung der Wissenschaft als geschlossenes System in sich ruhender Wahrheiten ohne eine Erinnerung an Herkunft und Ziel hat einen ästhetischen Reiz und bedeutet die Erfüllung eines tiefen philosophischen Erkennntntisdranges. Aber als ausschlißliche grund-sätzliche Einstellung oder als didaktisches Prinzip gegenüber Anfängern ist der Standpunkt der abstrakt logischen, in sich gekehrten Wissenschaft eine große Gefahr. ... Es scheint mir eine überaus wichtige Aufgabe, den Lernen-den von Anfang an vor einem dünkelhaften allzu bequemen Purismus zu bewahren;...“

• Il mio scopo è di mostrare le strette connessioni fra l'analisi e le sue applicazioni e, senza perdere di rigore o di precisione, dare il dovuto riconoscimento all'intuizione come sorgente della verità matematica. La presentazione della scienza come un sistema chiuso di verità senza riferimenti alle loro origini e scopi ha un indubbio fascino estetico e soddisfa profonde esigenze filosofiche. Ma il punto di vista di una scienza logica astratta e chiusa in sé, come unica base per la formulazione dei fondamenti o come principio didattico per i principianti, è un grave pericolo. ... Mi sembra estremamente importante che lo studente sia messo in guardia fin dall'inizio nei confronti di un purismo oscuro per quanto comodo;

• Richard Courant, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1934.

• Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert, 1927.

Bourbaki, 1939/1950/1970• Bourbaki non prefisse per il suo trattato finalità né didattiche

né applicative, bensì con esso intese "donner des fondations solides à tout l'ensemble de mathématiques modernes.“

• Infatti il trattato si rivolge esplicitamente "à des lecteurs possédant au moins une bonne connessaince des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'Université" ed esplicitamente riconosce che "L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur que s'il posséde déjà des connaissances assez étendues"

• N. Bourbaki, "Mode d'emploi de ce traitè“, Éléments de mathématiques, Hermann, Paris, 1939. Cf. pure N. Bourbaki, "The Architecture of Mathematics", in American Mathematical Monthly 57, 1950, pp. 221-232.

V. I. Arnold,1995

• "At the beginning of this century a self-destructive democratic principle was advanced in mahematics (especially by Hilbert), according to which all axiom systems have equal right to be analyzed, and the value of a mathematical achievement is determined not by its significance and usefulness as in other sciences, but by its difficult alone, as in mountaineering. This principle quickly led mathematicians to break from physics and to separate from all other sciences."

• V. I. Arnold, Will Mathematics Survive?, The Mathematical

Intelligencer, Vol. 17, n. 3, 1995, pp. 6-10

Thomas Kuhn, 1962

• "... ricordiamo ancora una volta che né gli scienziati né i profani imparano a vedere il mondo in modo frammentario e pezzo a pezzo. Fatta eccezione per il caso in cui tutte le categorie concettuali e manipolative sono già pronte in principio - come quando si tratta di scoprire un nuovo elemento transuranico o di visitare una casa nuova - sia gli scienziati che i profani traggono ampie informazioni dal flusso dell'esperienza."

• T. Kuhn: vedi The Structure of Scientific Revolutions, The University of Chicago, 1962 e 1970. Traduzione italiana da Giulio Einaudi ed., La struttura delle rivoluzioni scientifiche,

Torino, 1995.

oltre

• George Lakoff, Rafael Nuñez, Where mathematics come from, Basic Books, N.Y., 2000.

?

• Matematica intuitiva per la didattica • “intuitiva” non contrasta “rigorosa” !!!• “intuitiva” si riferisce al significato della “verità”• Matematica ipotetico-deduttiva per i professionisti.• In classe:• Esempio 1: le coordinate cartesiane, il perimetro, le

simmetrie.• Esempio 2: l’equazione della retta.• Esempio 3: le progressioni geometriche, il logaritmo e

l’esponenziale• Conclusione.

Esempio 1

Esempio 1, cont.

(x, y) a (−x,−y) (x, y) a (x,−y)

(x, y) a (−x,y) (x, y) a (x, y)

Esempio 2

Esempio 3Scheda di lavoro dedicata agli studenti della scuola superiore dall’indirizzo http://www.dsm.units.it/~borelli/adt/lambert/scheda.zip

Grazie per l’attenzione

Sergio InvernizziDipartimento di Matematica e Informatica

Università di Triesteinverniz@units.it

http://www.labmat.it

(coda, prestissimo)

Intuitivamente:

La retta tangente al grafico di una funzione f in un suo punto P è quella retta che, in una visione microscopica centrata nel punto P, è praticamente indistinguibile dal grafico della funzione.

QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor

are needed to see this picture.

x0 −d x0 x0 + d

f (x0 )

• Hw/Sw: L L “pixel” • Risoluzione: = 2/L • Finestra quadrata (2d) (2d) • “Grafici indistinguibili” : |f(x) r (x) | d

In una finestra:

2d

(2d)/L = d} L pixel

QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor

are needed to see this picture.f (x0 )

In ogni sottofinestra:

QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor

are needed to see this picture.

x0 −d x0 x x0 + d

=2 x − x0 / L = ε x − x0

f (x) −r(x) ≤ x−x0

= x − x0 = h

Grafici indistinguibili:

La retta r(x) = ax + b è tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa x0 se:

• In ogni computer (ossia: per ogni > 0) • si trova una finestra quadrata centrata in (x0, f(x0))

di ampiezza 2d tale che (ossia: si trova un d > 0 tale che) • in ogni sottofinestra centrata in (x0, f(x0)) di ampiezza 2h

(quindi: in ogni x dell’intervallo [x0 d, x0 + d] ) • sono graficamente indistinguibili il grafico di f e quello di r (ossia: si ha )f (x) −r(x) ≤ x−x0

derivata di f in x0

In ogni computer

derivata di f in x0

∀ > 0( ) ∃δ > 0( ) ∀x : x − x0 ≤ δ( ) f (x) − [ f (x0 ) + a(x − x0 )] ≤ ε x − x0

∀ > 0( ) ∃δ > 0( ) ∀x : x − x0 ≤ δ( ) :

( f (x) − f (x0 )) − a(x − x0 ) ≤ ε x − x0

x ≠ x0 :

( f (x) − f (x0 )) − a(x − x0 )

x − x0

≤ ε

( f (x) − f (x0 )) − a(x − x0 )

x − x0

≤ ε

f (x) − f (x0 )

x − x0

− a ≤ ε ⇔ limx→x0

f (x) − f (x0 )

x − x0

= a

Per

si trova una finestra

tale che in quella e in ogni sottofinestra

il grafico della funzione non si distingue dalla retta

Nota per matematici