"Se vogliamo immaginarci lo sviluppo

presumibile della conoscenza matematica

nel prossimo futuro, dobbiamo far

passare davanti alla nostra mente le

questioni aperte e dobbiamo considerare

i problemi che sono posti dalla scienza

attuale e la cui soluzione attendiamo dal

futuro. Questi giorni, che stanno a

cavallo tra due secoli, mi sembrano ben

adatti per una rassegna dei problemi ...."

Inizio del discorso introduttivo di David Hilbert, 8 agosto 1900, Parigi

Il discorso di Hilbert all’Expo di Parigi del 1900

audio Hilbert

Il primo gruppo di problemi (da 1 a 6) è di natura fondazionale.Il secondo gruppo di problemi (da 7 a 14) è di natura aritmetica e algebrica.L’ultimo gruppo (da16 a 23) sostanzialmente riguarda la topologia e l’analisi.

Pr 1L’ipotesi del continuo, cioè determinare se esistono insiemi la cui cardinalità è

compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.

Pr 2 Si può dimostrare che l’insieme degli assiomi dell’aritmetica è consistente?

Ecco i primi due problemi della lista

I 23 problemi del secolo

I 23 problemi di Hilbert

Il metodo assiomatico

dal discorso al Convegno internazionale del 1900

“Invero il metodo assiomatico è e rimane l’unico sussidio

indispensabile e appropriato dello spirito per ogni ricerca esatta, non

importa in quale dominio; esso è inattaccabile dal punto di vista logico ed

è al tempo stesso fecondo; garantisce perciò una piena libertà di ricerca.

.. Mentre prima, senza il metodo assiomatico, si procedeva ingenuamente,

il metodo assiomatico rimuove questa ingenuità ….

….

Mediante il metodo assiomatico possiamo penetrare sempre più

profondamente nel pensiero scientifico e apprendere l’unità del sapere.

Soprattutto in virtù del metodo assiomatico la matematica sembra

chiamata a svolgere un ruolo trainante per tutto il sapere.”

L’assiomatizzazione dell’aritmeticaGiuseppe Peano nel 1902 (matematico italiano, 1858-1932)

assiomatizza l’aritmetica.

A seguito del discorso di Hilbert prese forma il movimento assiomatico,

che mirava ad assiomatizzare ogni settore della conoscenza matematica.

1. Esiste un numero naturale, 0

2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore

3. Numeri diversi hanno successori diversi

4. 0 non è il successore di alcun numero naturale

5. Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e

il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero

insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

1. Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.

2. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi: l’insieme vuoto

3. Assioma della coppia: Se x, y sono insiemi, allora lo è anche {x,y}

4. ……

L’assiomatizzazione della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (1908)

Anche la teoria degli insiemi fu assiomatizzata, per superare l’assetto «ingenuo»/intuitivo con cui era stata enunciata da Cantor.

L’assiomatizzazione fu composta da 10 assiomi; i primi sono i seguenti:

L’attività più profonda dei matematici del XX secolo è stata la

ricerca sui fondamenti: cos’è la matematica? che garanzie dà la

struttura logica deduttiva ?

I fondamenti della matematica

A seguito della crisi sul principio di evidenza innescato dalle geometrienon euclideee, molti iniziarono a pensare che la matematica dovesse fondarsi sulla logica.

.. ma fin dai primi anni emersero delle contraddizioni preoccupanti.

Un grosso problema

“In un villaggio vi è un solo

barbiere, che rade tutti e solo

gli uomini del villaggio che non

si radono da soli.

Chi rade il barbiere?”

Paradosso/contraddizione del barbiere Bertrand Russel 1918

Il barbiere

si rade da solo

In un villaggio vi è

un solo barbiere, ….

…che rade tutti e solo

gli uomini del villaggio

che non si radono da soli.

FALSOperché è l’unico barbiere

FALSOperché può radere solo

quelli che non si radono da soli

Il barbiere

non si rade da solo

questa antinomia mette in crisi

il principio di non contraddizione

Al responsabile di una grande biblioteca viene affidato il compito di produrre

i cataloghi dei libri presenti nella biblioteca.

Egli compie una prima catalogazione e compila un certo numero di

cataloghi.

Poiché i cataloghi si moltiplicano, il bibliotecario provvede a stendere il

catalogo di tutti i cataloghi. A questo punto nasce una constatazione: la

maggior parte dei cataloghi non riportano sé stessi, ma ve ne sono alcuni che

riportano sé stessi.

Lo scrupoloso bibliotecario decide, a questo punto, di costruire il catalogo

di tutti i cataloghi che non includono sé stessi. Il giorno seguente, dopo una notte insonne passata nel dubbio se tale nuovo

catalogo dovesse o non dovesse includere sé stesso, il nostro bibliotecario

chiede di essere dispensato dall'incarico.

Paradosso/contraddizione della biblioteca

A è il catalogo di tutti i

cataloghi che non

includono se stessi

SI’IMPOSSIBILE

Se include se stessoallora non può essere in elenco

Tale nuovo catalogo deve

includere sé stesso o no???

NOIMPOSSIBILE

Se non include se stessoallora deve essere in elenco

di nuovo un’antinomia mette in crisi

il principio di non contraddizione

Somiglianze

La somiglianza dei due paradossi sta nel fatto che il villaggio del

barbiere si potrebbe considerare diviso in due parti:

Quella degli uomini che si radono da soli

(che è assimilabile alla categoria degli insiemi che appartengono

a sé stessi).

Quella degli uomini che, non radendosi da soli, vengono rasati

dal barbiere

(gli insiemi che non appartengono a sé stessi).

In una lettera a Dedekind, Cantor osserva che non si può parlare di insieme di tutti gli insiemi senza cadere in una contraddizione.

L’insieme di tutti gli uomini, non è un uomo, mentre l’insieme di tutte le idee è un’idea.

Alcuni insiemi sono membri di se stessi, altri no.

In analisi il limite inferiore di un insieme di numeri non appartiene all’insieme; e questo è un paradosso/contraddizione.

Queste osservazioni turbarono profondamente i matematici, mettendo in crisi l’ipotesi di fondare la matematica sulla logica.

Le tre scuole di pensiero più importanti

• la scuola logicistavoleva rifondare la matematica sulla logica.

I principali fautori di questa corrente di pensiero furono Frege, Russell e Whitehead.

Secondo questa scuola le verità matematiche sarebbero riconducibili a verità logiche. I significati geometrici (e fisici) non farebbero parte della matematica.

La scuola intuizionista

«Le idee matematiche sono immerse nella mente umana prima di linguaggio,

logica ed esperienza. L’intuizione, non la logica o l’esperienza, determina

la validità e l’accettabilità delle idee»E. Brouwer

Sosteneva che l’intuizione naturale fosse precedente alla struttura assiomatica del pensiero e che ogni dimostrazione dovesse essere di tipo costruttivo. Iniziatore di questa corrente fu il matematico tedesco Kroneckernel secolo XIX; Henri Poincarè e Brouwer(Olandese morto nel 1966) nel XX.

La scuola formalista

Ebbe come capo lo stesso Hilbert.

«Gli oggeti del pensiero matematico sono i simboli stessi. I simboli sono l’essenza.…»

da un articolo del 1926 - D. Hilbert

L'idea base del formalismo è che i numeri non sono entità né astratte né di altro genere. Non ci dobbiamo impegnare ontologicamente nei loro confronti. Essi sono segni e ciò che importa è il sistema formale della logica che si usa.

(Sviluppi futuri del formalismo)

• 1936 - Alan Turing (matematico britannico 1912-1954)

concepisce la «Macchina di Turing»: una macchina ideale in grado di svolgere infinite operazioni di calcolo logico, come fossero ragionamenti meccanici svolti secondo regole di formalismo programmate.

• 1950 - Sul modello della macchina di Turing vengono realizzati gli elaboratori elettronici.

• 1956 – Iniziano gli studi sull’intelligenza artificiale.

• 2010 – Siri….

Il sogno di Hilbert

A cominciare dal 1904 Hilbert si dedicò a rifondare l’aritmetica in modo coerente. La coerenza di ogni altro sistema assiomatico, compreso quello della geometria sarebbe poi stato ricondotto a quello dell’aritmetica.

Era questo il sogno di Hilbert, dichiarato come programma di lavoro nel 1920: provare la consistenza (non contraddittorietà) e completezza (ogni affermazione dimostrabile) dell’aritmetica facendo uso solo di un sistema logico-formale; senza necessità di intuizione e riferimenti esterni alla teoria.

L’aritmetica sarebbe stata così la teoria perfetta a cui ricondurre ogni altra teoria.

Si aprì dunque il problema di stabilire la coerenza di un

sistema assiomatico.

La coerenza delle geometrie non euclidee fu provata in

dipendenza dalla coerenza della geometria euclidea.

Hilbert poi riuscì a provare la coerenza della geometria

euclidea in riferimento all’aritmetica, mediante i metodi

della geometria analitica.

Ma la dimostrazione della coerenza dell’aritmetica si

mostrò un problema di difficile soluzione.

Nel congresso internazionale del 1900 Hilbert aveva

indicato questo come il problema n°2, basilare per la

fondazione della matematica.

Il problema della coerenza di un sistema di assiomi

Geometrie

non euclidee

Geometria

euclidea

Aritmetica

modelli Poincare

e Riemann

geometria

analitica

?

?

Ma poi nel 1931 Kurt Godel (logico austriaco naturalizzato statunitense, 1906-1978)

Dimostrò due teoremi che cambiarono completamente lo scenario matematico del XX secolo.

I teoremi di GodelHilbert riuscì a dimostrare la coerenza di semplici sistemi formali e credette di essere sul punto di realizzare il suo sogno: la dimostrazione della coerenza dell’aritmetica.

Ogni teoria matematica, di complessità almeno pari all’aritmetica, contiene

almeno una proposizione che non può essere né dimostrata né confutata.

In ogni teoria matematica T, di complessità almeno pari all’aritmetica, non è

possibile provare la coerenza di T all’interno di T .

Ovvero ogni teoria matematica è incompleta.

I due teoremi di incompletezza di Godel

misero la parola FINE sugli sforzi e le

speranze del «movimento assiomatico»

avviato da Hilbert a inizio secolo;

sforzi e speranze volti a definire

una teoria matematica in sé perfetta:

completa e coerente.

FINE

Una nuova consapevolezza dell’astrazione

Alfred Whitehead (matematico britannico, 1861-1947), nel suo libro La

scienza e il mondo moderno scrive:

"... via via che la matematica si ritirava in misura crescente nelle regioni

superiori del pensiero astratto sempre più spinto, tornava alla terra con

un'importanza sempre crescente nell'analisi del fatto concreto...

E' ora pienamente stabilito il paradosso secondo cui le astrazioni più spinte

sono le vere armi con cui controllare il nostro pensiero del fatto concreto."

Una nuova consapevolezza dell’astrazione

Le rivoluzionarie teorie della fisica, in particolare la teoria della relatività e la

teoria dei quanti hanno costretto a forgiare nuovi strumenti, concetti e metodi

della matematica per interpretare, descrivere e sviluppare le nuove concezioni del

mondo fisico. Concetti, strumenti e metodi più raffinati e astratti di tutti quelli

studiati in precedenza.

Ciò ha mostrato che la realtà ha in sé un livello altissimo di astrazione, che la

matematica deve inseguire e imparare a descrivere e trattare. Cioè in certo senso

è la realtà più astratta della matematica; e se quest’ultima vuole continuare ad

essere il linguaggio descrittivo della realtà, deve innalzare il suo livello di

astrazione.

audio astrazione

La geometria frattale

La geometria frattale è un nuovo campo di ricerca aperto da Benoît Mandelbrot, matematico polacco, naturalizzato francese, morto nel 2010.

Oggetto della ricerca è una nuova geometria, più adatta della Euclidea, a descrivere e indagare forme e fenomeni apparentemente irregolari.

Definizione provvisoria di frattale

Figura geometrica dotata delle seguenti proprietà:

- Autosimilarità (o auosomiglianza): suddivisibilitàin parti simili all’intero.

- Dimensione non intera

- Irregolarità: impossibilità ad essere definita come luogo di punti

con qualche proprietà in comune.

- Struttura fine: suscettibile di infiniti ingrandimenti

«…[il libro dell’universo]…è scritto in lingua matematica, e i

caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche,

senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente

parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro

labirinto.” Il Saggiatore, Galileo Galilei (1564-1642), fisico, astronomo, scrittore.

E’ proprio vero?

Cos’è l’Universo?

e cos’è/qual è la Matematica?

In definitiva, dopo 2500 anni, la matematica è tornata alle sue origini: nata su base

empirica ed intuitiva, ha avuto una interpretazione rigorosa con i Greci. Poi il rigore è

stato trascurato per parecchi secoli, ma è infine tornato con rinnovata consapevolezza e

determinazione nel secolo XIX. Sembrò che l’uso del rigore logico, con il movimento

assiomatico, potesse portare ad una teoria perfetta, così sperava Hilbert. Gli sforzi per

portare a termine questo tentativo hanno però raggiunto un impasse nel quale non è

chiaro cosa s’intenda con rigore.

Herman Weyl (tedesco 1885-1955) scrisse in una sua pubblicazione del 1944:

“La questione dei fondamenti ultimi e del significato ultimo della matematica rimane aperta; noi non sappiamo in quale direzione troverà la sua soluzione finale e neppure se ci si possa aspettare una risposta definitiva obiettiva. La matematizzazione può ben essere un’attività creativa dell’uomo, come il linguaggio o la musica, di originalità primaria, le cui dimensioni storiche sfuggono a una completa razionalizzazione oggettiva”.

Sintesi matematica del 900

• Eredità del 1800: Geometrie Non euclidee, Teoria insiemi,

n° Reali, revisione geometria euclidea

• Programma di Hilbert: 23 problemi del secolo; trovare la teoria perfetta

• Teoremi di Godel: impossibile!

• Domande sui fondamenti: cos’è la matematica? Su cosa si regge e si sviluppa?

• Nuova concezione dell’astrazione

• Nuova geometria frattale