1

2

Il comportamento microscopico dei gas

Il 1 principio della termodinamica

La lezione di oggi

3

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

4

Equazione di stato dei gas ideali !  Gas ideale: non ci sono interazioni tra le molecole

!  Condizioni standard ( T = 20 oC, P= 1 atm )

!  Gas reale in condizioni standard = gas ideale

Se voglio aumentare la pressione P…

Aumento il numero di molecole (N)

Diminuisco il volume (V)

VNTk P =Equazione di stato

dei gas perfetti

Aumento la temperatura a V costante

5

Equazione di stato dei gas ideali

Tk N V P =

T Rn V P =

J/K 101.38 k -23⋅=

K)J/(mole 8.31 ole)molecole/m10J/K)(6.022 10(1.38 kN R 23-23Avogadro ⋅=⋅⋅==

Costante di Boltzmann

N: numero di molecole di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3

∝

n: numero di moli di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3

∝

VNTk P =Equazione di stato

dei gas perfetti

6

Moli e massa molecolare o  Unità di massa atomica (u, o uma) è ottenuta assegnando

arbitrariamente 12 u al 12C o  1 u = 1 uma = 1.665.10-27 kg o  Una mole (o grammo-molecola) ! numero di Avogadro di quantità elementari (atomi, molecole,....) o  Una mole contiene tante quantità elementari quante ce ne sono in 12

grammi di 12C o  Una mole è il numero di grammi di sostanza uguale alla massa

molecolare espressa in uma

Problema Calcolare la massa di una molecola di ossigeno O2

N

M m

Avogadro

ossigeno molecolare == akg/molecol 105.32 olemolecole/m 1002.6

kg/mole 1032.0 26-

23

-3

⋅=⋅

⋅

massa di 1 mole = 32.10-3 kg

7

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

8

Trasformazioni isoterme Parto dall’equazione di stato dei gas T Rn V P =

Ipotesi: "  T costante (trasformazione isoterma) "  Massa costante

finalefinaleinizialeiniziale V P V P =Legge di Boyle

Nel piano PV le isoterme sono iperboli PV = k

9

Trasformazione isobara

Ipotesi: "  P costante (trasformazione isobara) "  Massa costante

TV

TV

finale

finale

iniziale

iniziale =Legge di Charles

Nel piano VT le isobare sono rette V = k . T

#  T = 0, V = 0 #  T = 0 ! zero assoluto

Parto dall’equazione di stato dei gas T Rn V P =

10

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

11

La teoria cinetica dei gas !  Pressione e temperatura ! grandezze macroscopiche !  Posizione o velocità di una molecola ! grandezze microscopiche

Come faccio a misurarle ? o  Macroscopiche: manometro e termometro o  Microscopiche: ???

o  Teoria cinetica dei gas: #  gas ! insieme di molecole #  grande numero di molecole identiche #  ogni molecola ha massa m ed è

puntiforme #  s i muovono in modo casua l e e

obbediscono alle leggi di Newton #  solo urti elastici

12

Teoria cinetica e pressione dei gas Una molecola di massa m, con velocità v, in un contenitore di volume V urta contro la parete

Prima dell’urto xxi, mv- p =

Dopo l’urto xxf, mv p =

Variazione xx 2mv p =Δ

Quantità di moto

F parete su molecola causa la Δp

Tempo necessario a fare andata e ritorno xv

L 2 t =Δ 2a legge di

Newton tp FΔ

Δ=∑

== 2L/v2mv

Fx

x

Lmv2x Pressione

media == AF P =

L/Lmv

2

2x

Vmv

2x

tpFΔ

Δ=∑

13

Teoria cinetica e pressione dei gas Distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a due temperature (Distribuzione di Maxwell)

Velocità più probabile

Generica velocità in 3 dimensioni )(v )(v )(v )(v m2zm

2ym

2xm

2 ++=

Non ci sono direzioni privilegiate )(v )(v )(v m2zm

2ym

2x ==

m2xm

2zm

2ym

2xm

2 )(v 3 )(v )(v )(v )(v =++= m2

m2x )(v

31

)(v =ovvero

== V

)m(vN

31 P m

2

mK VN

32 V

mvP

2x=

Nella pagina precedente avevamo ottenuto

Per N molecole P / Km

14

kT23 K m =

L’energia cinetica media delle molecole di un gas è proporzionale alla Temperatura

Energia cinetica e temperatura Equazione dei gas perfetti

Tk N V P = + Pressione nella teoria cinetica

dei gas

V)m(vN

31 P m

2

=

NkT )Nm(v31 PV m

2 == NkT )mv21N(

32

m2 = m

2m )mv

21( K =

== m2

qm )(v v

Velocità quadratica media

=m

3kT =)(M/N

3kT A

=M

kT3N A

M3RT

15

km/h 320 m/s 88 =

=+⋅ K) 37 J/K)(273 10(1.3823 23-

Esercizio Qual è l’energia cinetica media di una molecola di gas a 37 C ?

== kT23 K m J 104.6 21−⋅

Calcolo l’energia cinetica media di una mole dello stesso gas alla stessa temperatura.

== kT)23

(N K Agas di mole 1

m

(6.02 ⋅1023 molecole/mole)(6.4 ⋅10-21 J/molecola) =3900 J/mole3700 J sono tanti o pochi ? Prendiamo una pietra di 1 kg e vediamo a che velocità devo lanciarla per avere questa K ?

== m2K v 2 ⋅3900

1 =

16

km/h 1800 m/s 510 =

km/h 1700 m/s 480 =

Esercizio Qual è la velocità quadratica media delle molecole presenti nell’aria

(O2 e N2) a temperatura ambiente (20 C) ?

=⋅= (u.m.a.)M )m(O2O2 =⋅ kg) 1032)(1.66( -27 kg 103.5 -26⋅

=⋅= (u.m.a.)M )m(N2N2 =⋅ kg) 1028)(1.66( -27 kg 106.4 -26⋅

==m

3kT vqm =⋅

+⋅

kg 105.320)J/K)(273 103(1.38

26-

-23

==m

3kT vqm =⋅

+⋅

kg 104.620)J/K)(273 103(1.38

26-

-23

17

Energia interna di un gas ideale !  Energia interna: somma dell’energia potenziale e cinetica

delle molecole che la compongono

!  U = Σi (Ui + Ki)

!  Gas perfetto: urti elastici !  Ui = 0 !  Ki = 3/2 kT

== NkT23 U = kTN

NN

23 A

AnRT

23

Numero di molecole

Numero di moli

18

La legge di Dalton (o delle pressioni parziali) !  Considero una miscela di due gas perfetti !  I due gas non interagiscono/reagiscono tra di loro !  Le molecole non interagiscono tra di loro !  La pressione è data dagli urti delle molecole sulle pareti !  Il contributo alla pressione totale è indipendente per i 2 gas

VTk N P 1

1 =Gas 1

VTk N P 2

2 =Gas 2

Ptotale = (N1 + N2 ) k TV

Gas (1+2)

In una miscela, ciascun gas esercita la pressione che eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume

21totale P P P +=

Legge di Dalton

19

Esercizio Un pneumatico viene gonfiato a una pressione relativa di 200 kPa a T=10 C. Dopo

un tragitto di 100 km, la T sale a 40 oC. Qual è ora la pressione del pneumatico ?

Condizioni a contorno

"   n costante (non aggiungo/tolgo aria)

"   V costante (se varia il volume, varia di una quantità trascurabile)

T Rn V P = Equazione di stato dei gas perfetti

TP

TP

finale

finale

iniziale

iniziale =

20

Esercizio

== PTT

P inizialeiniziale

finalefinale =⋅

+

+ Pa 103.01K 10)(273K 40)(273 5 kPa 330 Pa 103.3 5 =⋅

P e T assolute !!!

10% 0.10 301kPa

kPa 29103.01

103.01-1030.3P

P-P PP 5

55

iniziale

inizialefinale =≅=⋅

⋅⋅==

Δ

La pressione è aumentata del 10% (!non trascurabile !)

T Rn V P = Equazione di stato dei gas perfetti

TP

TP

finale

finale

iniziale

iniziale =

21

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

22

Il primo principio della termodinamica !  Voglio applicare la legge di conservazione dell’energia !  Il calore è una forma di energia che viene scambiata !  Energia interna: somma di energie potenziale e cinetica di un

sistema !  Caso 1: nel sistema entra una quantità di calore Q senza che venga

compiuto del lavoro

t = t0 t = t1 t = t2

Uf = Ui + Q

ΔU = Uf - Ui = Q

Convenzione importante Il sistema acquista calore: Q > 0 Uf > Ui Il sistema cede calore: Q < 0 Uf < Ui

23

Il primo principio della termodinamica !  Caso 2: il sistema compie un lavoro sull’ambiente esterno

Uf = Ui - L

ΔU = Uf - Ui = -L t = t0 t = t1 t = t2

Convenzione importante Il sistema compie lavoro: L > 0 Compio lavoro sul sistema: L < 0

Primo principio della termodinamica

ΔU = Q - L

N.B. il sistema è termicamente isolato $ Q=0

In generale, se Q e L sono entrambi diversi da 0, vale il

24

Il primo principio della termodinamica U, Q, L

Q ! energia che fluisce per contatto termico

L ! energia trasferita per azione di una forza che agisce su una distanza

U dipende dallo stato del sistema (T, P, V) U ! FUNZIONE DI STATO Q e L dipendono da come il sistema cambia da uno stato all’altro

25

Trasformazioni reversibili e irreversibili !  Processi quasi-statici: sono molto lenti !  Il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente circostante !  Il valore di P e T è sempre uniforme in tutto il sistema !  Sistemi privi di attrito e forze dissipative !  Questi processi sono reversibili ! torno allo stato iniziale

Nella realtà tutti i processi sono irreversibili (attrito,.....), ma noi faremo sempre l’approssimazione di processi reversibili

26

Trasformazione isobara P = cost Il gas si espande

Il gas compie un lavoro L sul pistone

=⋅= ) x- (xF L if

=⋅⋅ ) x- (xAP if

=⋅ )Ax - (AxP if

=⋅ )V - (VP if VP Δ⋅

L = area sotto la curva che rappresenta la trasformazione nel diagramma PV

Primo principio della termodinamica Q = ΔU + P. ΔV

27

Trasformazione isocora

Il recipiente contiene un gas

Fornisco una quantità di calore Q

Il volume rimane costante

0 ) x- (xF L if =⋅= Trasformazione isocora ! L = 0

Primo principio della termodinamica

ΔU = Q

Area = 0

28

Trasformazione isoterma Espansione isoterma

Equazione dei gas perfetti

Tk N V P =

costante T =

costante V P =

Vcostante

P =Nel piano PV la trasformazione è descritta da un’iperbole

Il lavoro L è l’area sottesa dalla curva

=!!"

#$$%

&=

VVln NkT L

i

f!!"

#$$%

&

i

f

VVln nRT

Nota. Se comprimo il gas, Vf/Vi<1, ln(Vf/Vi )<0, L<0, compio lavoro sul sistema

29

Trasformazione adiabatica Non ho scambio di calore con l’esterno Q = 0

Compressione adiabatica Espansione adiabatica

Una compressione veloce è una buona approssimazione di adiabatica

costante V P =γ

30

Il primo principio della termodinamica

Trasformazione Grandezza costante In base al primo principio:

Isobara P = costante Q = ΔU + L= ΔU + PΔV

Isocora V = costante ΔV = 0

quindi L = 0 Q = ΔU

Isoterma T = costante ΔT = 0

quindi ΔU = 0 Q = L

Adiabatica Q = 0 ΔU = -L

31

n. 72, pag. T124 Walker Un cilindro dotato di un pistone mobile contiene 2.50 moli di argon a temperatura costante di 295 K. Quando il gas viene compresso isotermicamente, la sua pressione aumenta da 101 kPa a 121 kPa. Trovare: 1.  Il volume finale del gas

2.  Il lavoro compiuto dal gas

3.  La quantità di calore fornita al gas

Esercizio

32

1.  Il volume finale del gas

Equazione dei gas perfetti

T Rn V P =

32-3

ff m 105.1

10121(295)(8.31)2.5

PT Rn V ⋅=

⋅

⋅⋅==

2.  Il lavoro compiuto dal gas

!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&=

f

i

i

f

PPln nRT

VVln nRT L

kJ 1.1- 1012110101ln(8.31)(2.5)

PPln nRT L 3

3

f

i =!!"

#$$%

&

⋅

⋅⋅⋅=!!

"

#$$%

&=

K) J/(mol 8.31 R ⋅=

33

3.  La quantità di calore fornita al gas

1 principio della termodinamica

ΔU = Q - L#

kJ 1.1- kJ) (-1.1 0 L U Q =+=+Δ=

34

La conservazione dell’energia porta alla formulazione del 1 principio della termodinamica

Riassumendo