IDRAULICA a.a. 2011-2012

Programma sintetico della parte di idraulica

Proprietà fisiche dei fluidi Idrostatica Cinematica Dinamica Idraulica applicata alle condotte: moto uniforme e cenni moto vario di

correnti in pressione Idraulica applicata ai canali: moto uniforme e moto permanente di correnti

a superficie libera

Testi consigliati Appunti di lezione Citrini, Noseda “Idraulica”, Seconda edizione - CEAM Milano Alfonsi, Orsi "Problemi di Idraulica e Meccanica dei Fluidi”, CEAM Milano

Ing. Francesca De Serio - Orario ricevimento: lunedì, ore 10:00 – 12:00Dipartimento Ingegneria delle Acque e di Chimica (1° piano) - f.deserio@poliba.it

Superficie A = L2 m2

Volume W = L3 m3

Velocità v = L/T m/s Accelerazione a = L/T2 m/s2

Forza F = M*a Kg m/s2 = N [Newton] Lavoro F*L J= Nm = Kg (m/s) 2 Potenza F*L/T Watt [W] = J/s = Nm/s

Massa [M] Kg Lunghezza [L] m Tempo [T] s Temperatura [] K (grado Kelvin)

°C = °K-273.15

UNITA’ DI MISURA (S.I.)In IDRAULICA le grandezze fondamentali sono:

Da queste derivano altre grandezze:

Altre unità di misura della pressione:

5

5

2

1 at = 10 Pa 1 bar = 1 at = 10 Pa 1 at = 10 m di colonna di H O1 at = 0.76 m di colonna di mercurio Hg

Pressione P = F/A = FL-2 N/m2 = Pa [Pascal]

UNITA’ DI MISURA (S.I.)

Distinzione tra solido e fluido:

Quando sulla superficie di un fluido si applica una forza, questo si deformafacilmente e la deformazione prodotta persiste nel tempo.

Fluido può essere liquido o aeriforme.

Elemento che li contraddistingue è il volume occupato: mentre i liquidi hanno un volume ben definito, gli aeriformi tendono ad occupare tutto il volume che hanno a disposizione, essendo estremamente deboli le forze agenti tra le particelle che li compongono.

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

Nello studio dei fluidi, le grandezze che entrano in gioco sono:

• Densità = = Massa/Volume = [M] / [W] = kg/m3

• Peso specifico = = Peso/Volume = [F] / [W] = N/m3

Legati da relazione : = g con g accelerazione gravità

Proprietà caratteristiche dei fluidi

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

( , )W W P ( , )P

pe r :

P = 1 a tθ = 15 °C

3 3

3 3

1000 / 98061 .226 / 12 .022

kg m N mkg m N m

acqua

a ria

e e

,P Valori particolari di riferimento:(nei manuali vi sono relazione esplicite che legano la densità alla pressione e alla

temperatura)

Inizialmente liquido ad una pressione P occupa un volume W,. Dopo aver applicato un aumento di pressione dP il volume iniziale saràdiminuito di una quantità dW.

dPdW

W 2

Nm

• Comprimibilità: importante proprietà dei fluidi, ossia quanto facilmente varia il volume conseguentemente a variazioni di pressione.

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

0 dW Se: allora il fluido si definisce INCOMPRIMIBILE

Def: modulo di elasticità a compressione cubica

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

9 2

4 2

2.12*10 /

10 /

N m

N m

a 20°Cacqua

aria

( , ) ( )P Comprimibilità cresce con la temperatura

Nelle pratiche applicazioni riterremo i liquidi (acqua) incomprimibili.Eccezione: fenomeno di colpo d’ariete. Gli aeriformi sono fluidi molto comprimibili, ma possono studiarsi come fluidi incomprimibili ogni volta in cui non vi sono forti variazioni di pressione e, quindi, di densità.

Equazione di stato dei liquidi in forma indefinita

d dP

Equazione di stato dei liquidi in forma indefinita.

0d

S e : ovvero fluido incomprimibile significa = cost

Equazione di stato dei gas in forma indefinita

La relazione confrontata con quella dei liquidi mostra che la comprimibilità è stata sostituita da nP.

d dPnp

Equazione di stato dei gas in forma indefinita.

c

Nel caso dell’acqua a 20°C:

Alla comprimibilità è legata la celerità, ossia la velocità con la quale si trasmette il suono nel fluido:

1400 /c m s

Nel caso dell’aria a 20°C: 275 /c m s

Le forze che entrano in gioco sono suddivise in due grandi categorie:

1) Forze di massa: sono forze che esistono perché esiste una massa (es. forza peso).

2) Forze di superficie: sono forze che si esercitano sulla superficie di un liquido, all’interfaccia tra due liquidi o all’interfaccia tra un liquido e un aeriforme. Di solito vengono introdotte perché le equazioni della dinamica sono scritte per porzioni di fluido idealmente ottenute tagliandole dal loro contesto

Interazione forza - fluido

A

d Π Π

In Idraulica e in generale ogni qualvolta si tratta con sistemi continui, piuttosto che in termini di forze, ci si esprime in termini di sforzo (o tensione) cosìdefinito:

2Nm

ddA

ΠΦ Φ

Tensioni in un fluido

Forza di superficie

Dato un fluido, in moto oppure fermo, è possibile conoscere lo stato tensionale in un punto rispetto ad una qualunque giacitura, purché si conoscano le tensioni nel medesimo punto su tre piani perpendicolari tra loro.

0i

n x x y y z z

Fn n n

Φ Φ Φ Φ

avendo trascurato forze massa rispetto a quelle superficie

Il teorema del tetraedro di Cauchy

Relazione vettoriale può essere scomposta in tre relazioni scalari. Indichiamo con il doppio indice: - il primo indice: la direzione della normale alla superficie su cui agisce lo sforzo, - il secondo indice: la direzione dell’asse secondo cui si proietta. Si ottiene:

tetraedro di Cauchy

Per conoscere Φn in un punto bisogna conoscere matrice quadrata di ordinetre TENSORE DEGLI SFORZI

• simmetrico: Φij = Φji

• Φii componenti NORMALI: x y z

• Φij componenti TANGENZIALI: x y z

Quando, qualunque sia il piano passante per un punto, lo sforzo ammette solocomponente normale (cioè è perpendicolare a quel piano), allora tale sforzo ha modulo costante = pressione

x = y = z = p

x = y = z = 0n pΦ n

Caso di fluidi perfetti e fluidi reali in quiete

Interazione forza - fluido

TENSIONE SUPERFICIALE Forza con cui le molecole sulla superficie di un liquido sono attratte verso l'interno lo strato superficiale si comporta come sottile pellicola elastica forma goccia

[s] = [F]/L =Nm-1

Pressione esterna pe e la tensione superficiale stendono a contrarre la bolla.

Per l’equilibrio è necessaria una pressione interna Pi che deve tendere ad espanderla

L1L2

P = Pi – Pe > 0

L2

Pi > Pe

superficie a doppiacurvatura

Sulla superficie con due curvature nascono due forze (F1 e F2 orientate verticalmente verso il basso) e che possono essere sommate, dando luogo ad una F.

Interazione forza - fluido

Dividendo questa forza per la superficie su cui agisce, si ottiene dopo alcuni passaggi:

s1 2

FPL L

1 2

1 1R R

Legge di Laplace

Acqua Mercurio

Interfaccia aria – acqua – vetro

Interazione forza - fluido

Interfaccia aria – mercurio – vetro

Forza totale esercitata all’interfaccia proiettata sulla verticale deve bilanciare il peso P della colonna di fluido sollevata (o abbassata). Dall’equilibrio si ricava:

h

d

s

P

h

d

s

h

d

s

P

CAPILLARITA’

legge di Jurin - Borelli

4 cosgh

gd

sP

Viscosità indica la resistenza che un fluido oppone allo scorrimento di uno strato adiacente. Dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura. Nei liquidi la viscositàdecresce all'aumentare della temperatura, nei gas invece cresce.

VISCOSITA’

Interazione forza - fluido

Esperienza del viscosimetro piano - moto alla Couette

Piastra soggetta a forza F si muove. Strati di fluido adiacenti si muovono anch’essi. Si osserva sperimentalmente distribuzione LINEARE della velocità.

Fluido a contatto con parete fissa:

Fluido a contatto con piastra mobile:

0Au

dyyudy

yuuu AB

per il cosiddetto principio di aderenza o no-slip.

uB

u

uB

Per effetto della diversa distribuzione della velocità lungo la verticale, si verifica una deformazione angolare, di un angolo d, del fluido ABCD, ossia la porzione di fluido ABCD, dopo l’intervallo di tempo dt, si porta in AB’C’D.

Interazione forza - fluido

u

Sperimentalmente si osserva che F è proporzionale all’area A di contatto tra piastra e fluido e al gradiente di velocità in direzione ortogonale al moto.

Il coefficiente di proporzionalità si indica con e prende il nome di viscositàdinamica, ottenendo, così

duF Ady

Dividendo la forza F per l’area su cui essa agisce, si ottiene lo sforzo:

dudy

legge di Newton

Interazione forza - fluido

Con alcuni passaggi si ottiene e quindi:du ddy dt

Equazione reologicadel fluido

DEF: viscosità cinematica il rapporto tra la viscosità dinamica e la densità

2ms

ddt è la velocità di deformazione angolare

2N sm

per l’acqua:: = 106 m2/s

Interazione forza - fluido

Fluidi newtoniani: legame tra sforzo tangenziale e

velocità di deformazione angolare è LINEARE

Fluidi non newtoniani:• fluidi a comportamento indipendente dal tempo;• fluidi a comportamento dipendente dal tempo;• fluidi elastoviscosi.

disfacimento

tende a solidificare

vernici

frizioni0

Assorbimento dei gasI liquidi possono assorbire quantità di gas con cui vengono a contatto.

Vale la legge di Henry, secondo cui è costante il rapporto tra il volume dei gas che si può avere in un liquido e il volume del liquido stesso, al variare dellapressione:

costgas

liquido

WW

La massa di gas che può essere assorbito è direttamente proprozionale allapressione dove si riduce la pressione, deve liberarsi del gas

Diminuzione di pressione:si libera aria/gas 

Inserimento sfiati

Inserimento scarichi di fondo per svuotare la 

condotta 

IDROSTATICACalcola le spinte, cioè le forze che un fluido in quiete esercita su superfici.

Equazione indefinita della statica dei fluidi

Elemento di volume parallelepipedoall’interno della massa fluida, soggetto a

forze di massa e di superficie

dydx

dz

x

z

y

P

PP d xx

dydx

dz

x

z

y

Forze di superficie

) - -P Px Pdydz P dx dydz dxdydzx x

Risultante forze superficie lungo asse x:

Analogamente si ragiona per le risultanti lungo assi y e z

Sia la forza che agisce sull’unità di massa.

Forze di massa

Allora, la forza di massa che agisce su tutto il parallelepipedo è:

f

dxdydz f

0massaF F superficieDovendo essere:

p p px y z

i j kf

grad p p f

Equazione indefinita della statica dei fluidi

Se siamo nel campo gravitazionale:

f g grad pg =

Se: asse z diretto verso alto; fluido è incomprimibile ovvero = cost 0pgrad z

pz cost

LEGGE DI STEVINO o della statica dei fluidi pesanti incomprimibili

A BA B

p pz z

dove:

z = Energia posizione

= Energia pressione p

OSSERVAZIONE: Se z = cost allora p = cost

Superfici ISOBARICHE sono orizzontali

Serbatoio collegato a un tubo piezometrico

A B

A B

p pz z

A Bp p

A Bp p

Applico Stevino ai punti A e B:

zC

pA = patm = 1 atm = 105 Pa

(infatti il piano per AB è isobarico)

CB

B C

ppz z

Applico Stevino ai punti B e C:

pC = pvuoto= 0

CB

C B B

ppz z h

BB

ph

qualunque sia B

ph

dove h èl’affondamento rispetto al piano su cui la pressione èzero = piano dei carichi idrostatici assoluti

piano dei carichi idrostatici relativi:è il piano su cui la pressioneè pari a quella atmosferica

zC

hB

5

310

9806 /10.33 Bh

N m

Pa m

distanza tra i due piani è:

acqua

Quindi si può anche scrivere:

pA = patm = 1 atm = 105 Pa ≈ 10.33 m(H2O) ≈ 760 mm(Hg)

Queste pressioni di cui abbiamo parlato finora sono pressioni ASSOLUTE: p = 0 nel vuoto e patmosferica = 1atm

In idraulica si preferisce usare sistema di riferimento pressioni RELATIVO: patmosferica = 0

Si definisce pressione relativa la differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica assoluta:

prel = pass – 105 Pa

Quindi: patmosferica rel = patmosferica ass – 105 Pa = 0

5

310

136000 /760 Bh

N m

Pa mm mercurio

Diagramma delle pressioni

w w

fdw grad P dw

Equazione globale della statica

W

n

n

A

x

z

yForze di superficieForze di massa

w

fdw G

Peso del volume

... w A

grad P dw P n dA

0G

Spinta della superficie A sul volume W

0G

= Spinta che la superficie di contorno esercita sul volume

Applicazione immediata: principio di Archimede

Secondo il principio di Archimede, un corpo immerso in un fluido è sottoposto ad una spinta verticale diretta verso l'alto, pari al peso G del volume del fluido che ha spostato.

condizione di equilibrio

G

Acqua

Corpo

Sia P il peso del corpo:

P>G: corpo affonda

P=G: equilibrio indifferente

P<G: galleggiante

SPINTE su superfici PIANE

0 A A

d p dA p A S S n n

x0

S

La spinta è diretta perpendicolarmente alla superficie piana e passa per ilCENTRO DI SPINTA C, che ha coordinate:

yc

y

Jx

M coordinata xC (distanza da retta sponda)

xyc

y

Jy

M coordinata yC del centro di spinta

• C ha profondità maggiore o uguale di quella del baricentro della piastra piana G, ovvero xCx0

• C coincide con il baricentro del diagramma delle pressioni

• se piastra ha asse verticale di simmetria, allora C si trova su tale asse

Osservazioni:

2y A

xy A

y A

J x dA

J xydA

M xdA

dove

Applicazioni

2

212

G G

G

S p A p hLhh hL hL

h L

h

p.c.i.r

hG

h

Gh

G

A

B

C

y

x

L

x1

dxx2

G

Asse simmetriayc = 0

x

dA Ldx

C

XC

Spinta su parete piana verticale

Centro di spinta nel casopiù generico:

3 32 1

2 22 1

23C

x xIxM x x

3

2

2 23 3C

hx hh

nel nostro caso:

Ragionando sul diagramma delle pressioni

p.c.i.r

h

L12

S h h L

h

C

C coincide col baricentro diagramma pressioni, che per un triangolo si trova a 1/3 dalla base:

23Cx h

Spinta

Centro di spinta

xC

0 1 0 1

2 20 1

. .2 ( )

.2 ( )

h h h hS L

sen

h hL

sen

Centro di spinta

Spinta su parete piana obliqua

CIx

M

Diagramma delle pressioni in questo caso è trapezio, perché la base superiore della piastra non coincide col p.c.i.r.

Applico la formula:

Oppure risulta che: C coincide col baricentro del diagramma delle pressioni, che in questo caso è un trapezio

L

0h

1h

S

SCh0

h1

C

Manometri differenziali

P Qp p 1 2 ( )P Q mp h p h

2 2 1

2 2

m h

che si semplifica se 1 2

2

2

m

0G

1 0

0S

1 0 0G

1S G

SPINTE su superfici CURVE

Calcolo spinta su superficie pianae peso !!!

1. Concavitàverso liquido

0G

1 2

2S

1S G

1 2 0G G

1

G

2. Convessitàverso liquido

1S G

1

G

1or1v

S SSv

Sor

GSv

Sor

S

1S G

1-G

1or

1v

SSor

Sv

-GS

Sor

Sv

S

Formula di MariotteCalcolo dello spessore di una tubazione

Se h0 >> D, allora:

la variazione di pressione nella condotta è molto piccola, cioè:

p.c.i.r

D

h0

z

0Pz

0G

0AP ndA

è trascurabile dentro la condotta 0G

ed essendo:

D

D

1 0 0G

1 0S 2P rL

0 2P rL

2 2T P rL T PrL

. 2TT T PLr PDA L L

2 T

PD

2TNm

carico di sicurezza a trazione

ma:

e quindi:

Questa spinta del fluido S deve essere equilibrata dalle forze di taglio T:

T

T

0

r

1

PLS

Calcolo spinta S sul semicilindro: