I VETTORI I VETTORI di

Federico Barbarossa

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I vettoriI vettori

Definizione di “vettore”:Definizione di “vettore”:

Segmento orientato caratterizzato da “direzione” “verso” ed “intensità” o “modulo”.

Segmento orientato caratterizzato da “direzione” “verso” ed “intensità” o “modulo”.

Può essere utilizzato per rappresentare alcune grandezze fisiche come:Può essere utilizzato per rappresentare alcune grandezze fisiche come:

ForzaForza SpostamentoSpostamento VelocitàVelocità AccelerazioneAccelerazione

..ed altre....ed altre..

La direzione di un vettore La direzione di un vettore

La direzione di un vettore è la retta su cui giace il vettoreLa direzione di un vettore è la retta su cui giace il vettore

La direzione del vettore A possiamo definirla, per esempio, “orizzontale”

La direzione del vettore A possiamo definirla, per esempio, “orizzontale”

Vettore B

La direzione del vettore B possiamo definirla, per

esempio, “verticale”

La direzione del vettore B possiamo definirla, per

esempio, “verticale”

vettore A

Il verso di un vettore Il verso di un vettore

Il “verso” di un vettore è il suo orientamento sulla retta. Graficamente è indicato dalla “punta” del vettore (freccia)

Il “verso” di un vettore è il suo orientamento sulla retta. Graficamente è indicato dalla “punta” del vettore (freccia)

Punta del vettore

Per ogni “direzione” si possono individuare due vettori di “verso” oppostoPer ogni “direzione” si possono individuare due vettori di “verso” opposto

vettore Avettore (- A)

Il segno “meno” davanti ad uno dei due vettori ci ricorda che un vettore è opposto all’altro.

Il segno “meno” davanti ad uno dei due vettori ci ricorda che un vettore è opposto all’altro.

vettore A

Retta di direzione

Retta di direzione

L’intensità di un vettore (o modulo)L’intensità di un vettore (o modulo)

L’ ”intensità” di un vettore è il suo valore numerico, espresso in valore assoluto e nell’unità di misura della grandezza che rappresenta.

L’ ”intensità” di un vettore è il suo valore numerico, espresso in valore assoluto e nell’unità di misura della grandezza che rappresenta.

Se un vettore rappresenta, per esempio, uno spostamento di 10 metri, la sua intensità (o modulo) è 10 metri

Se un vettore rappresenta, per esempio, uno spostamento di 10 metri, la sua intensità (o modulo) è 10 metri

Un vettore può assumere, per convenzione,

segno positivo o negativo,

secondo il verso del vettore

stesso.

Un vettore può assumere, per convenzione,

segno positivo o negativo,

secondo il verso del vettore

stesso.

Il vettore è una rappresentazione grafica (freccia orientata): sarà quindi necessario fissare una scala di rappresentazione adeguata.

Il vettore è una rappresentazione grafica (freccia orientata): sarà quindi necessario fissare una scala di rappresentazione adeguata.

1 metro

- S = 10m S = 10m

SOMMA E DIFFERENZA DI VETTORI NEL PIANO

il metodo punta-coda e la regola del parallelogramma

SOMMA E DIFFERENZA DI VETTORI NEL PIANO

il metodo punta-coda e la regola del parallelogramma

Somma di vettori sulla stessa retta Somma di vettori sulla stessa retta

Prendiamo l’esempio del vettore “spostamento” Prendiamo l’esempio del vettore “spostamento”

Se uno “spostamento” avviene sulla stessa retta , dobbiamo ricordare che i vettori che rappresentano tale spostamento hanno la stessa direzione ma possono avere verso opposto

Se uno “spostamento” avviene sulla stessa retta , dobbiamo ricordare che i vettori che rappresentano tale spostamento hanno la stessa direzione ma possono avere verso opposto

Posizione 1

Posizione 3

Posizione 2

Questi spostamenti sono uguali ed opposti e si annullano

Questo è lo spostamento risultante, effettuato dal

nostro personaggio

Il nostro personaggio si è spostato dalla posizione 1 alla posizione 2 e poi alla posizione 3, tornando in dietro per un tratto. Lo spostamento effettivo, cioè quello che risulta alla fine del movimento, è quello dalla posizione 1 alla posizione 3, rappresentato dal vettore blu.

Il nostro personaggio si è spostato dalla posizione 1 alla posizione 2 e poi alla posizione 3, tornando in dietro per un tratto. Lo spostamento effettivo, cioè quello che risulta alla fine del movimento, è quello dalla posizione 1 alla posizione 3, rappresentato dal vettore blu.

Somma di vettori sulla stessa retta Somma di vettori sulla stessa retta

Potremo scrivere: Potremo scrivere:

Il nostro personaggio ha percorso il tratto S1 e poi il tratto S2 (verso opposto), mantenendosi sulla stessa direzione. Lo spostamento risultante SR è rappresentato dal vettore blu

Il nostro personaggio ha percorso il tratto S1 e poi il tratto S2 (verso opposto), mantenendosi sulla stessa direzione. Lo spostamento risultante SR è rappresentato dal vettore blu

S1

- S2SR

+ =+ =S1 (- S2) SR

Il “verso” Il “verso” del vettore risultante sarà il medesimo verso del vettore somma di maggiore intensità

del vettore risultante sarà il medesimo verso del vettore somma di maggiore intensità

C

A

B

Somma di vettori con direzioni diverseSomma di vettori con direzioni diverse

Consideriamo sempre due vettori spostamento e tre posizioni: A , B , C

Consideriamo sempre due vettori spostamento e tre posizioni: A , B , C

Si può notare, anche a occhio, che lo spostamento rappresentato dal vettore blu è minore del totale dei due spostamenti rappresentati dai vettori rossi.

Si può notare, anche a occhio, che lo spostamento rappresentato dal vettore blu è minore del totale dei due spostamenti rappresentati dai vettori rossi.

La “somma” di due (o più) vettori complanari, con direzioni diverse, NON può essere svolta sommando algebricamente le loro “intensità”. E’ necessario usare una “regola particolare” che si chiama “metodo punta- coda” o “regola del parallelogramma”

La “somma” di due (o più) vettori complanari, con direzioni diverse, NON può essere svolta sommando algebricamente le loro “intensità”. E’ necessario usare una “regola particolare” che si chiama “metodo punta- coda” o “regola del parallelogramma”

Risultato dello spostamento

Il nostro personaggio, alla fine del movimento, si è spostato dalla posizione A alla posizione C

Il nostro personaggio, alla fine del movimento, si è spostato dalla posizione A alla posizione C

Possiamo dire che i due spostamenti rappresentati dai vettori rossi, hanno prodotto lo spostamento risultante rappresentato dal vettore blu

Possiamo dire che i due spostamenti rappresentati dai vettori rossi, hanno prodotto lo spostamento risultante rappresentato dal vettore blu

Qui abbiamo usato il metodo punta- coda

Vettore (A)Vettore (A)

Vettore (B)Vettore (B)

Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma

Quando due vettori sono rappresentati con la coda posta nello stesso punto ed hanno direzioni diverse

Quando due vettori sono rappresentati con la coda posta nello stesso punto ed hanno direzioni diverse

Risulta più conveniente utilizzare una regola che si chiama “regola del parallelogramma”

Risulta più conveniente utilizzare una regola che si chiama “regola del parallelogramma”

Vettore (A)Vettore (A)

Vettore (B)Vettore (B)

RisultanteRisultante

Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma

Eseguiamo la SOMMA dei due vettori (A) e (B):Eseguiamo la SOMMA dei due vettori (A) e (B):

Fissiamo alcune idee:Fissiamo alcune idee:

Questi modi di eseguire la “somma” di due (o più) vettori si chiamano “regola del parallelogramma” e “metodo punta-coda”.

Questi modi di eseguire la “somma” di due (o più) vettori si chiamano “regola del parallelogramma” e “metodo punta-coda”.

Si applica quando i vettori NON hanno la stessa direzione (cioè NON giacciono sulla medesima retta o su rette parallele).

Si applica quando i vettori NON hanno la stessa direzione (cioè NON giacciono sulla medesima retta o su rette parallele).

Tracciamo, dalla punta del vettore (A), la parallela al vettore (B)

Tracciamo, dalla punta del vettore (A), la parallela al vettore (B)

Tracciamo, dalla punta del vettore (B), la parallela al vettore (A)

Tracciamo, dalla punta del vettore (B), la parallela al vettore (A)

Vettore (A)Vettore (A)

Vettore (B)Vettore (B)

Prima RisultantePrima Risultante

Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma

Osserviamo come si procede quando si vogliono sommare 3 vettori: (A) ; (B) ; (C)Osserviamo come si procede quando si vogliono sommare 3 vettori: (A) ; (B) ; (C)

Fissiamo alcune idee:Fissiamo alcune idee:

Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica la“regola del parallelogramma” in successione:

Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica la“regola del parallelogramma” in successione:

Si determina la risultante di una prima coppia di vettoriSi determina la risultante di una prima coppia di vettori

Vettore (C)Vettore (C)

Risultante FinaleRisultante Finale

Si somma la risultante ottenuta con un vettore successivo…e così via, fino ad ottenere la risultante finale.

Si somma la risultante ottenuta con un vettore successivo…e così via, fino ad ottenere la risultante finale.

oppure

Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma

Applichiamo il metodo punta-coda Applichiamo il metodo punta-coda

Fissiamo alcune idee:Fissiamo alcune idee:

Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica può applicare la “regola del parallelogramma” in successione ma il metodo punta coda risulta di esecuzione più rapida

Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica può applicare la “regola del parallelogramma” in successione ma il metodo punta coda risulta di esecuzione più rapida

Vettore (A)Vettore (A)

Vettore (B)Vettore (B)

Vettore (C)Vettore (C)

risultanterisultante

Vettore (A)Vettore (A)RisultanteRisultante

Vettore (B)Vettore (B)

Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma

Come si esegue la DIFFERENZA tra vettori? Come si esegue la DIFFERENZA tra vettori?

Prendiamo i vettori (A) e (B). Vogliamo eseguire (A) – (B)

Prendiamo i vettori (A) e (B). Vogliamo eseguire (A) – (B)

La DIFFERENZA tra i vettori (A) e (B) è ancora la somma del vettore (A) con il vettore opposto a (B), cioè (-B) (verso opposto) da cui (A) + (-B)

La DIFFERENZA tra i vettori (A) e (B) è ancora la somma del vettore (A) con il vettore opposto a (B), cioè (-B) (verso opposto) da cui (A) + (-B)

Vettore (-B)Vettore (-B)Vettore (B)Vettore (B)

Vettore (-B)Vettore (-B)

UN CASO PARTICOLAREUN CASO PARTICOLARE

Quando due vettori sono perpendicolari tra loroQuando due vettori sono perpendicolari tra loro

Il triangolo rettangolo che ne deriva, ha come ipotenusa la risultante dei due vettori S1 ed S2

Il triangolo rettangolo che ne deriva, ha come ipotenusa la risultante dei due vettori S1 ed S2

S1

S2

S2

SR

Potremo quindi applicare il Teorema di Pitagora per determinare direttamente ( e non per via grafica) il valore della risultante SR

Potremo quindi applicare il Teorema di Pitagora per determinare direttamente ( e non per via grafica) il valore della risultante SR

22

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SSSR 2

2

2

1

2 SSSR

La somma del quadrato dei cateti da, come risultato, il quadrato dell'ipotenusa