I Sistemi Lineari

• Molti, problemi per poter essere risolti, hanno bisogno dell’introduzione di uno o più elementi incogniti.

• Ad esempio consideriamo il problema di “trovare due numeri data la loro somma uguale ad 8 e la loro differenza uguale a 2”.

• Risolviamo il semplice problema con una equazione di primo grado in una incognita.

• Indicando con x il numero maggiore, quello minore sarà 8-x.

• Sapendo che la loro differenza deve essere uguale a 2, si ha l’equazione

x-(8-x)=2

2x-8=2

2x=10

X=5

che rappresenta il numero maggiore. Il minore sarà di conseguenza 8-x = 8-5 = 3

Pertanto la coppia di numeri richiesta è (5,3).

• Consideriamo, ora, un altro problema: “trovare due numeri tali che del primo è uguale ai del secondo e che la differenza tra i del secondo e i del primo sia uguale a 9

• Gli alunni non riescono a risolverlo con un’equazione ad una incognita e saranno essi stessi a suggerire di introdurre due incognite .

9

2 7

1

6

5

8

3

• Indicando con x e y, rispettivamente il primo ed il secondo numero, traduciamo in forma algebrica le due condizioni cui i due numeri devono soddisfare cioè

• Gli alunni si rendono conto della difficoltà di pervenire alla soluzione del problema posto, l’insegnate li tranquillizza annunciando che esistono procedimenti semplici che conducono alla soluzione del problema.

98

3

6

59

2

7

1

xy

yx

• Consideriamo un’equazione lineare in due incognite del tipo ax+by = c e facciamo vedere che esistono infinite coppie di numeri x e y che verificano l’equazione data.

• Per esempio, data l’equazione

2y = x+8

2

8x

y

• Attribuendo valori diversi alla x si ottengono i corrispondenti valori di y. Si ha la seguente tabella

dalla quale si deduce che le coppie ordinate (0,4) (1, 9/2) (2, 5), (3, 11/2), (4, 6), etc.sono soluzioni dell’equazione data e se ne possono trovare quante se ne vogliano

x 0 1 2 3 4 ……

y 4 9/2 5 11/2 6 ……

• Allo stesso modo una qualunque altra equazione in due incognite ad esempio

y = x + 3

ammette infinite soluzioni

x 0 1 2 3 4 ……

y 3 4 5 6 7 ……

• Se tra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite della seconda ne esiste una comune,allora si dirà che tale coppia è la soluzione del sistema formato dalle due equazioni date, le quali si associano con una parentesi graffa

• Dalle tabelle precedenti si ricava che la coppia (2,5) è soluzione di entrambe le equazioni del sistema e, quindi, è soluzione del sistema

82

3

xy

xy

Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite

un insieme formato da due equazioni

che devono essere verificate contemporaneamente

e avere dunque soluzioni comuni.

Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un sistema, si chiama

soluzione del sistema.

Risolvere un sistema,

significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.

Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a forma normale, se è del tipo:

''' cybxa

cbyax

Dove indicano numeri noti.

I numeri si chiamano

coefficienti delle incognite,

mentre si chiamano termini noti.

',',',,, cbacba

',',, baba

',cc

Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado

si dice

SISTEMA LINEARE

Vediamo un esempio di sistema

che risolviamo con il metodo di Cramer:

043

93)7(3

yx

yx

Per ridurre a forma normale il sistema

dividiamo ambo i membri della prima equazione per 3

ottenendo il sistema equivalente:

043

317

yx

yx

dove:

a b c 'a 'b 'c

7 1 31 3 -4 0

043

93)7(3

yx

yx

Un metodo per risolvere un sistema lineare

di due equazioni in due incognite:

METODO DI CRAMER …

MATRICE DEI COEFFICIENTI.

'' ba

ba

''' cybxa

cbyax

Dato il sistema

il simbolo

il simbolo'' ba

ba

si chiama

si chiama

DETERMINANTE DELLA MATRICE

ba 'a'b

'' ba

ba

diagonale principale

diagonale secondaria

Il DETERMINANTE DEL SISTEMA

lo indicheremo con ed esso è dato da:

='' ba

ba= -

Adesso

indichiamo

con

x

y =

='' bc

bc=

'' ca

ca=

c 'b b 'c-

- 'ac

abbiamo sostituito nel a, a’ con c, c’

'ca

abbiamo sostituito nel b, b’ con c, c’

VALE LA SEGUENTE REGOLA:

SE 0

la soluzione del sistema è

y

x

y

x

=

03

317

10)4(31 40

131

a b c'a 'b 'c

7 1 31

3 -4 0

NEL NOSTRO CASO, DOVE

SI HA:

= = -31

X = = = -124

Y =

43

17

= = -93

13)4(7

31307

PERTANTO …

… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E’:

y

x

y

x

31

9331

124

y

x

3

4

y

x

;

• Risolviamo lo stesso sistema con il metodo di sostituzione che si applica seguendo la seguente regola:

1)Si risolve una delle equazioni rispetto ad una incognita, per es. la y

2)Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della y nell’altra equazione.

3)Si risolve questa equazione rispetto all’incognita y e si viene così ad determinare il valore di questa incognita.

4)Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x nella rispettiva espressione prima trovata

Esplicitiamo la y dalla prima equazione e si ha

043

317

yx

yx

043

317

yx

xy

Sostituiamo il valore trovato nell’altra equazione

0)317(43

317

xx

xy

0124283

317

xx

xy

012431

317

x

xy

Si risolve la seconda equazione

431

124

317

x

xy

3147

4

y

x

E sostituendo il vaolre nell’altra equazione

3128

4

y

x

3

4

y

x

La soluzione è (4;3)