Automation Engineering: Solved Models - Raccolta di modelli risolti

Andrea Tino Elementi di Ingegneria dell’Automazione

Raccolta modelli Raccolta di modelli e di esercizi tematici per l’analisi di alcuni particolari

sistemi dinamici.

Documenti: Elenco dei modelli: 1) Modello attrattore di Lorenz 2) Modello diffusione epidemica di Kermack e McKendrick 3) Modello emissario immissario 4) Modello logistico 5) Modello massa – molla – smorzatore – piano inclinato 6) Modello popolazione di Fibonacci 7) Modello predatori – prede di Lotka e Volterra 8) Modello termico

Elenco degli esercizi: 1) Esercizio analisi disturbi

Studente: Andrea Tino

Corso: Elementi di Ingegneria dell’Automazione

Docente: Prof. Nunnari

Anno accademico: 2007/2008

Data inizio: Ottobre 2007

Data fine: Gennaio 2008

Università degli studi di Catania - Corso di Ingegneria Informatica

Fascicolo universitario di ricerca

Andrea Tino Elementi di ingegneria dell’automazione – Risoluzione esercizi Pagina 1 di 6

Risoluzione esercizio ed analisi risultati Modello sistema in controllo mediante retroazione dell’uscita con l’influenza esterna di disturbi (completato) Risoluzione degli effetti dei disturbi

Nome file: Esercizio analisi disturbi (completato).docx

Ultima stampa: 2/6/2008 8:41

Oggetto: Risoluzione di un problema collegato all’analisi dell’influenza di disturbi presenti nel modello in retroazione dell’uscita.

Analisi preliminare Ci proponiamo di analizzare il sistema rappresentato dal modello raffigurato in basso:

Come è possibile notare il modello in questione è la rappresentazione di un sistema di controllo mediante la retroazione dell’uscita. Composizione del modello Il modello presenta le seguenti caratteristiche:

• Il sistema di controllo possiede una catena diretta ed una catena di controllo. Nella catena diretta sono presenti in cascate due sistemi, però, interconnessi tra loro mediante una serie di nodi sommatori. La catena di retroazione è invece unitaria, ovvero non è presente alcun trasduttore.

• Il sistema che si vuole controllare è indicato con il simbolo P e la sua rappresentazione mediante la funzione di trasferimento è:

( )( )2

bP ss s a

=⋅ +

• Il controllore che si utilizza, indicato con il simbolo C, possiede la seguente funzione di trasferimento:

( ) ( )503

s aC ss a⋅ +

=+

• L’intero sistema di controllo è soggetto a tre differenti disturbi esterni localizzati in vari punti delle due catene di cui si compone il sistema; tali perturbazioni esterne vengono indicate con i simboli d1, d2 e d3 e si tratta di ingressi a gradino con intensità differente per ciascuno:

1

2

3

10

100

1 0,110

d cs

d cs

d c cs s

⎧ =⎪⎪⎪

=⎨⎪⎪

= =⎪ ⋅⎩

• Il sistema è parametrico e le costanti applicate sono tutte positive. L’intero sistema è il risultato di un controllo finale soggetto a disturbi esterni dunque. Richieste I tre disturbi apportano, ciascuno, una modifica nella risposta data dal sistema. Ipotizzando l’assenza di segnali R in ingresso, ma ipotizzando la presenza costante dei disturbi, si vuole cercare di comprendere quale, tra i tre disturbi, sia quello più influente nella variazione apportata alla risposta senza disturbi. Richiesta: Si vuole identificare quale dei tre elementi esterni, a regime, influisca di più sulla risposta finale del sistema.

Svolgimento iniziale

Il problema richiede di poter determinare quale sia il valore di regime della risposta. Sappiamo che tale valore di regime è dato dal calcolo del limite:

( )limt

y y t∞ →+∞=

Si tratta della relazione canonica per il calcolo del regime.



L’analisi dei sistemi però ci permette di dedurre questo limite (grazie al teorema sul valore finito), se esiste finito, mediante un altro limite che però coinvolge la nostra funzione nel dominio di Laplace, dove i calcoli vengono semplificati. In particolare abbiamo che:

( ) ( )0

lim limt s

y t L s Y s L→+∞ →

∃ = < ∞ ⇒ ∃ ⋅ =

Ovvero il valore di regime lo si potrà calcolare, solo se tale regime esiste finito, mediante la relazione: ( )

0lims

y s Y s∞ →= ⋅

Metodo La chiave per risolvere l’esercizio sarà per l’appunto questa. Utilizzeremo questo limite per verificare quale sia il valore di regime ottenuto nei corrispondenti ingressi di disturbo e analizzeremo avanti i risultati trovati.

Procedimento risolutivo

Il procedimento con il quale risolveremo il problema è il seguente. Sappiamo che un sistema rappresentabile mediante combinazione di sistemi lineari e tempo invarianti, sarà anch’esso un LTI; in effetti ci troviamo proprio nella nostra situazione. Una delle proprietà dei sistemi LTI è il fatto che ad essi sia possibile l’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti; mediante tale principio possiamo infatti isolare diversi contributi e vedere come uno per uno essi apportino il loro contributo nel sistema finale; infatti calcolando la risposta su i singoli elementi e mediante la loro somma è possibile risalire al valore finale della risposta dovuta a tutti i componenti.

Confronto La relazione che ci permette di calcolare la risposta a regime è la chiave dello svolgimento. Inizialmente procederemo infatti a calcolare la risposta a regime senza la presenza di disturbi per vedere quale sarebbe la risposta senza azioni esterne. Dunque procederemo poi a calcolare la risposta a regime calcolando questa considerando un disturbo per volta, ponendo nulli gli altri disturbi. A questo punto, ottenuti i nostri tre valori, essi saranno comparati alla risposta senza disturbi e il disturbo che avrà generato un maggiore scostamento del valore di regime della risposta senza disturbi, sarà appunto l’azione più influente tra le tre proposte.

Calcolo della risposta a regime senza disturbi (risposta pulita)

Procediamo dunque a calcolare, nel dominio di Laplace e con l’ausilio della relazione prima introdotta dal teorema sul valore finito, la risposta pulita, ovvero la risposta a regime nel momento in cui consideriamo nulli tutti i disturbi. Percorrimento delle catene: Partendo dall’uscita percorriamo la catena di retroazione e poi quella diretta:

( ) ( ) ( ){ }{ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 3

R Y s d s d s C s d s P s Y s



R C s Y s C s d s C s d s C s d s P s Y s

R C s Y s C s d s C s d s C s d s P s Y s

Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P s d s C s

− ⎡ + ⎤ + ⋅ + ⋅ = ⇒⎣ ⎦

− ⎡ + + ⎤ ⋅ + ⋅ = ⇒⎣ ⎦

− − − ⋅ + ⋅ = ⇒

⎡ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⎤ + ⋅ = ⇒⎣ ⎦

⎡ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⎤ ⋅ = ⇒⎣ ⎦= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ( ) ( ) ( )

1P s d s P s⋅ + ⋅

Annulliamo i disturbi: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 3

2 3 1

0

11

d s d s d sY s R C s P s Y s C s P s d s C s P s d s C s P s d s P s

Y s R C s P s Y s C s P s Y s Y s C s P s R C s P sR C s P sY s C s P s R C s P s Y s

C s P s

⎧ = = =⎪ ⇒⎨= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅⎪⎩= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

+ ⋅

Sostituiamo le espressioni delle varie funzioni contando che gli ingressi R sono nulli:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )0 01R C s P sY s R Y s

C s P s⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ =+ ⋅

La risposta si annulla, dunque, naturalmente, anche il regime sarà nullo: ( )

0 00 0lim lim

s sy s Y s s∞ → →

= ⋅ = ⋅ =

Dunque abbiamo che la risposta pulita è nulla; procederemo adesso a calcolare le altre tre risposte considerando perseti solo un disturbo alla volta e chi sarà maggiore in valore assoluto sarà il disturbo più influente.

Calcolo delle risposte su ciascun disturbo (risposte con rumore)

Partendo dal primo disturbo calcoliamo le risposte per ciascuno di essi fino all’ultimo ottenendo tre valori di regime (con rumore).

Analisi della risposta con la presenza del primo disturbo Il percorrimento delle due catene è stato già fatto precedentemente e abbiamo il seguente risultato: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P s d s C s P s d s P s= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅



Procediamo ad annullare tutti i disturbi eccetto il primo, tenendo anche conto che non sono presenti ingressi R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 1

2 3

1

1

1

1 1

0

1

01 1

Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P s d s C s P s d s P sd s d s

Y s R C s P s Y s C s P s d s P sY s Y s C s P s R C s P s d s P s

Y s C s P s R C s P s d s P sR C s P s d s P s d s P s

Y s R Y sC s P s C s P s

⎧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅⎪ ⇒⎨= =⎪⎩

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

+ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

+ ⋅ + ⋅

Sostituiamo alle varie espressioni il loro valore:

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

10 1 10 1 10 1 102 2 2 2

50 50 50 1 501 1 1 13 2 3 2 3 2 3 2

10102

3 2 503 2

b b c b c b ccs s s a s s s a s s s a s s s aY s

s a b s a b b s a b s as a s s a s a s s a s a s s a s s a s a

b cb cs s a

s s a s a b s a ss s a s a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = = = =

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ += =⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ +

⋅ + ⋅ +( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

2

3 23 2 502

10 3 2 10 3 22 3 2 50 2 3 2 50

s s a s as s a s a b s as a

b c s a s a b c s a s as s a s s a s a b s a s s a s s a s a b s a

⋅ + ⋅ +⋅ =⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ +⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ += ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ +

Non manipoliamo ulteriormente l’espressione in quanto dobbiamo procedere al calcolo di un limite utilizzando il teorema del valore finale:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0

0

10 3 2 10 3 22 3 2 50 2 3 2 50

10 3 2 10 0 3 0 22 3 2 50 0 2 0 0 3 0 2 50

lim lim lim

lim

s s s

s

b c s a s a b c s a s ay s Y s ss s a s s a s a b s a s a s s a s a b s a

b c s a s a b c a as a s s a s a b s a a a a b

∞ → → →

→

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ += ⋅ = ⋅ = =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

= =+ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ( )[ ] [ ]

[ ]

10 3 22 0 500

10 3 2 10 3 2 10 3 3 32 50 2 50 50 5 5

b c a aa b aa

b c a a b c a a c c ca b a a b a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅ ⋅⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = = = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Abbiamo trovato l’espressione che cercavamo, ebbene il primo disturbo apporta, da solo, una determinata influenza sull’alterazione della risposta pulita, dato che la risposta pulita è nulla la misura dell’alterazione è data dal valore stesso assunto dalla risposta a regime calcolata, abbiamo allora:

1,35

y c∞ = ⋅

Procediamo oltre.

Analisi della risposta con la presenza del secondo disturbo Anche in questo caso sfruttiamo i calcoli effettuati in precedenza: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P s d s C s P s d s P s= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

Procediamo dunque ad annullare tutti i disturbi tranne il secondo tenendo sempre conto che alla fine gli ingressi R non dovranno essere presi in considerazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 3 1

1 3

2

2

2

2 2

0

1

01 1


Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P sY s Y s C s P s R C s P s d s C s P s

Y s C s P s R C s P s d s C s P sR C s P s d s C s P s d s C s P s

Y s R Y sC s P s C s P

⎧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅⎪ ⇒⎨= =⎪⎩

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

+ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = −

+ ⋅ + ⋅ ( )s

Alle varie espressioni sostituiamo i valori:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )

100 50 1 5000 1 50003 2 3 2 3 2

50 50 501 1 13 2 3 2 3 2

1 500050002 3

5013 2

s a b s a b s a b cc cs s a s s a s s a s s a s s a s s aY s

s a b s a b s a bs a s s a s a s s a s a s s a

b c s as as s s a s a

s a bs a s s a

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ += − = − = − =⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

⋅⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + += − = −⋅ +

+ ⋅+ ⋅ +

( )( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

2 2

50002 3 2 3

50 501 13 2 3 2

b c s a b cs s a s a s s a s a

s a b s a bs a s s a s a s s a

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + + ⋅ + += − =

⋅ + ⋅ ++ ⋅ + ⋅

+ ⋅ + + ⋅ +



( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

2 2 2

2

5000 5000 50002 3 2 3 2 3

50 2 3 501 50 12 3 2 3 2 3

50002 3

2 3 502 3

s a b c s a b c s a b cs s a s a s s a s a s s a s a

b s a b s s a s a s a bs as s a s a s s a s a s s a s a

s a b cs s a s a

s s a s a s a bs s a s a

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + + ⋅ + + ⋅ + += − = − = − =

⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ +⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

⋅ + ⋅ ⋅−

⋅ + += =⋅ + + + ⋅ + ⋅

⋅ + +

( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )[ ]

2

5000 2 32 3 502 3

5000 2 3 5000 12 3 2 3 50 2 3 50

50002 3 50

s a b c s s a s as s a s a s a bs s a s a

s a b c s a s a s a b cs s a s a s s a s a s a b s s s a s a s a b

s a b cs s s a s a s a b

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + +− ⋅ =

⋅ + + + ⋅ + ⋅⋅ + +

⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅= − ⋅ = − ⋅ =

⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅

Possiamo adesso procedere con il calcolo del limite:

( )( )

( )( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

0 0 0

0

5000 50002 3 502 3 50

05000 5000 50002 3 50 0 0 2 0 3 50 0 0 50 0

5000

lim lim lim

lim

s s s

s

s a b c s a b cy s Y s ss s a s a s a bs s s a s a s a b

s a b c a b c a b cs s a s a s a b a a a b a b

a

∞ → → →

→

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ = − ⋅ = − =

⋅ + + + ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ =⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅= − ⋅ 100 100

50b c a b c ca b a b⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ = − ⋅⋅ ⋅ ⋅

Abbiamo così ottenuto l’altro risultato voluto: 2, 100y c∞ = − ⋅

Analisi della risposta con la presenza del terzo disturbo Infine procediamo ad analizzare l’influenza generata dal terzo disturbo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P s d s C s P s d s P s= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

Annulliamo tutti i disturbi presenti tranne il terzo e annulliamo alla fine anche gli ingressi R che non sono presenti nel nostro modello:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 3 1

1 2

3

3

3

3 3

0

1

01 1


Y s R C s P s Y s C s P s d s C s P sY s Y s C s P s R C s P s d s C s P s

Y s C s P s R C s P s d s C s P sR C s P s d s C s P s d s C s P s

Y s R Y sC s P s C s P

⎧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅⎪ ⇒⎨= =⎪⎩

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

+ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = −

+ ⋅ + ⋅ ( )s

Sostituiamo i rispettivi valori delle varie espressioni presenti:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )2

1 50 1 5 1 510 3 2 3 2 3 2

50 50 501 1 13 2 3 2 3 2

1 552 3 2

5013 2

s a b s a b s a b cc cs s a s s a s s a s s a s s a s s aY s

s a b s a b s a bs a s s a s a s s a s a s s a

b cb c s as as s s a s a s s a s

s a bs a s s a

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ += − = − = − =⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

⋅⋅⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + + ⋅ += − = −⋅ +

+ ⋅+ ⋅ +

( )( )

( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

2

2 2 2

53 2 3

50 501 13 2 3 2

5 5 52 3 2 3 2 3

50 2 3 501 50 12 3 2 3 2 3

s a b ca s s a s a

s a b s a bs a s s a s a s s a

s a b c s a b c s a b cs s a s a s s a s a s s a s a

b s a b s s a s a s a bs as s a s a s s a s a s s a s

⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ + += − =

⋅ + ⋅ ++ ⋅ + ⋅

+ ⋅ + + ⋅ +⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ + + ⋅ + += − = − = −⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ +

⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

2

2

55 2 32 3

2 3 50 2 3 502 32 3

5 2 3 5 12 3 2 3 50 2 3 50

1 5

as a b c

s a b c s s a s as s a s as s a s a s a b s s a s a s a bs s a s a

s s a s as a b c s a s a s a b c

s s a s a s s a s a s a b s s s a s a s a bs a

s

=

⋅ + ⋅ ⋅−

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + +⋅ + += = − ⋅ =⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅⋅ + +

⋅ + +⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅

= − ⋅ = − ⋅ =⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅= − ⋅

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]5

2 3 50 2 3 50b c s a b c

s s a s a s a b s s s a s a s a b⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= −⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅



Trovata l’espressione finale possiamo procedere al calcolo del limite in maniera da applicare il teorema del valore finale così come fatto in precedenza:

( ) ( )( )( ) ( )[ ]

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

0 0 0

0

5 52 3 502 3 50

5 5 0 52 3 50 0 0 2 0 3 50 0 0 50 10

110

lim lim lim

lim

s s s

s

s a b c s a b cy s Y s ss s a s a s a bs s s a s a s a b

s a b c a b c a b c a b cs s a s a s a b a a a b a b a b

a b ca b

∞ → → →

→

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ = − ⋅ = − =

⋅ + + + ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− = − = − = − =⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= − ⋅⋅

110

c= − ⋅

Anche questo valore è stato trovato.

3,1

10y c∞ = − ⋅

Discussione finale

Abbiamo adesso tutti gli elementi per procedere.

Confronto dei contributi Procediamo quindi a confrontare i tre contributi, il contributo che, in valore assoluto, sarà maggiore degli altri due sarà proprio quello che stavamo cercando:

1, 2, 3,

1, 2, 3, 1, 2, 3,

3 11005 10

0

3 1 3 1100 1005 10 5 10

y c y c y c

c

y c y c y c y c y c y c

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

⎧⎡ ⎤= ⋅ = − ⋅ = − ⋅⎪⎢ ⎥ ⇒⎣ ⎦⎨⎪ >⎩

⎡ ⎤= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Deduciamo immediatamente che il disturbo che ha più influenza sulla risposta a regime è proprio il secondo: 2, 100y c∞ = − ⋅

Fine problema: Il secondo disturbo è quello, tra i tre, più influente.



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Completezza

Data creazione: 15/06/2007 10.02.00

Ultimo salvataggio: 04/02/2008 17.31

Percorso: Esercizio analisi disturbi (completato).docx

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Controllato dal professore: NO

Risoluzione corretta: Esercizio completato, in attesa di correzione.

Note: Esercizio professore.

Andrea Tino


Andrea Tino Elementi di ingegneria dell’automazione – Risoluzione modelli Pagina 1 di 11

Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello descrittivo dell’attrattore di Lorenz (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello attrattore di Lorenz (completato).docx


Oggetto: Analisi matematica del sistema costituito dall’attrattore strano di Edward Norton Lorenz.

Analisi problema Ci proponiamo di studiare la cinematica, dunque il moto, di una particella di un qualsiasi fluido posto sotto riscaldamento nell’ambito dei movimenti convettivi derivanti dall’alterazione termica e dal regime caotico scatenato da quest’ultima. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerato un qualsiasi fluido a densità media, dunque consideriamo una qualsiasi sostanza allo stato più liquido che gassoso e consideriamola inserita in un recipiente a pareti diatermiche di qualsiasi dimensione.

• Siano considerati i principali parametri che compongono la massa fluida così come essa viene descritta in meccanica ed idraulica.

• Sia considerata una particella di questo fluido. • Sia considerata una sorgente di calore che, messa a contatto con la massa fluida, generi, per effetto della

perturbazione di carattere termico, movimenti convettivi all’interno della massa stessa. • Si consideri la natura del moto descritto dalla particella come caotico. • Si supponga la massa della particella ininfluente ovvero infinitesima.

Sotto queste condizioni vediamo di formulare un modello matematico in grado di descrivere, quanto più precisamente o approssimativamente possibile, il moto della particella appena presa in considerazione.

Equazioni di Lorenz e discussione circa le loro principali proprietà matematico - fisiche

Cercare di derivare le equazioni del modello mediante un’analisi dei dati a nostra disposizione è impossibile data la grande complessità del problema. Quello che possiamo fare è invece porre subito le equazioni di questo modello, scoperte da Edward Norton Lorenz (Scienziato attualmente vivente nato nel 1917, noto per i suoi studi sulla meccanica dei fluidi e per i risultati delle sue ricerche in seno al MIT di Boston).

Equazioni del modello Lorenz, mediante un gran numero di esperienze e attraverso ricerche approfondite del problema pervenne intorno al 1960 alle equazioni che descrivevano in maniera abbastanza approssimata il moto di una particella in un fluido all’interno del quale erano presenti movimenti convettivi. Tali equazioni descrivono la posizione della particella istante per istante:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d x t y t x tdtd y t x t z t y tdtd z t x t y t z tdt

σ

ρ

β

⎧ = −⎪⎪⎪

= − −⎨⎪⎪

= −⎪⎩

Come si può vedere le equazioni descrivono ciascuna la velocità nelle sue componenti x, y, e z.

Analisi delle grandezze E’ importante comprendere prima di tutto quali siano i significati delle varie costanti presenti nel modello. Si tratta, come è possibile vedere, di tre costanti numeriche che possiedono però significati rilevanti a livello fisico; per questo motivo andremo ad analizzarne, per ciascuna, proprietà e principali caratteristiche:

1. σ Numero di Prandtl: Questo numero adimensionale esprime il rapporto tra il momento diffusivo, ovvero la viscosità del fluido, e la diffusività termica:

p pC Ck k

ρ μυ μσα ρ

= = ⋅ =

Tale grandezza esprime in sostanza la caratteristica intrinseca di un fluido in relazione alla conduzione termica. I valori da cui tale numero dipende sono caratteristiche relative alla sostanza come ad esempio la viscosità cinetica.

2. ρ Numero di Rayleigh: Si tratta anche questa di una grandezza adimensionale che esprime il trasferimento di

calore nel fluido, da non confondere con il numero di Prandtl che associa al fluido la sua attitudine a condurre in un determinato modo il calore e a diffonderlo nella sua massa:

( ) 3 3 3r s s s

g g gG T T l l T l Tβ β βρ σ ρ ρυα υα υα∞ ∞ ∞= = − = − = −

In questa equazione ci interessa scomporre l’espressione da cui dipende il numero di Rayleigh in quanto



successivamente il procedimento tornerà utile; ebbene in tale scomposizione troviamo che il numero di Rayleigh dipende da diversi parametri quali alcuni coefficienti caratteristici del fluido, ma soprattutto due elementi che sono T∞

e sT ovvero si tratta della temperatura interna del fluido e della temperatura superficiale a cui si trova il

fluido, ovvero la temperatura a cui il fluido è condizionato dall’ambiente esterno (ad esempio quella del recipiente in cui il fluido è contenuto). L’equazione che ci permette di calcolare questo numero, formulata da John Strutt Rayleigh (scienziato noto soprattutto nei suoi studi condotti sulla diffusione delle onde meccaniche, le onde di Rayleigh sono un particolare tipo di onde sismiche) sfrutta diverse grandezze presenti sia nell’equazione di Prandtl che nel nostro sistema.

3. β Coefficiente di espansione termica: Questa grandezza infine esprime l’andamento dell’espansione

riscontrata dal fluido in seguito alla conduzione termica a cui è stato sottoposto. Questo parametro è anch’esso adimensionale e descrive sostanzialmente il fenomeno a cui tutte le sostanze vanno incontro quando riscaldate: per effetto dell’aumento di calore i legami intermolecolari fra le molecole cambiano aumentando di lunghezza ed energia, si riscontra dunque un aumento del caos interno e una variazione significativa nel moto di ogni particella, ovvero la quantità di moto delle varie particelle aumenta durante il processo di riscaldamento provocando un aumento globale dell’energia interna.

Tutti i parametri, ovvero la terna di valori appena presa in esame, sono positivi e al massimo nulli ma mai negativi.

Definizione del modello del sistema

Viste ed analizzate le equazioni di cui abbiamo bisogno vediamo di definire, al fine della nostra futura analisi, quali grandezze debbano essere considerate come uscita, ingresso o stato:

1. Identifichiamo come stato la posizione della particella presa in esame, prenderemo allora in esame un vettore di tre componenti che rappresenti appunto l’estremo libero del vettore posizione nel sistema di assi tridimensionale che prendiamo in considerazione.

2. Identifichiamo come uscita, ovvero il valore che vogliamo monitorare, ancora la posizione della particella, quindi, come lo stato, imporremo che l’uscita sia un vettore tridimensionale che rappresenti le tre componenti del vettore posizione della particella.

3. Infine identifichiamo come ingresso la terna di parametri precedentemente descritta. Attenzione: Imponendo come ingresso i parametri stiamo dicendo che considereremo un fluido con delle caratteristiche e che queste caratteristiche verranno imposte all’inizio e mai più (infatti è impossibile far variare queste grandezze tutte e tre nel tempo perché sarebbe come chiedere che istante per istante il liquido cambiasse la sua natura). Rinunciamo dunque a controllare il sistema, vogliamo infatti semplicemente verificarne il comportamento imponendo un fluido iniziale e facendolo evolvere indipendentemente senza ulteriori perturbazioni. Questo non ci impedirà però di verificare se il sistema sia controllabile o eventualmente osservabile. E’ importante comprendere questo passaggio in quanto quello che stiamo sostenendo è l’inutilità di effettuare un controllo sul sistema in quanto dovremmo, per costruire il controllore, variare l’ingresso ovvero i parametri caratteristici del fluido, ovvero cambiare fluido in maniera istantanea, cosa impossibile ed inutile dunque.

Per non confondersi con lo stato abbiamo sostituito a (x,y,z), vettore posizione, la notazione (i,j,k).

Ancora sul controllo Abbiamo poco fa annunciato la nostra volontà di non costruire un controllore per questo sistema. Spieghiamo il motivo. A parte infatti l’ovvia situazione descritta prima è necessario comprendere che il nostro intento è vedere come si comporta nella sua autonoma evoluzione. Ebbene questo vale se noi imponiamo come ingresso quanto detto, ma se ponessimo come ingresso la temperatura di superficie, anzi il numero di Rayleigh (a temperatura superficiale per la distinzione effettuata inizialmente), potremmo effettuare un controllo ponendo ingressi, temperature superficiali, su determinati profili e calcolarne la risposta:

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )1 1

2 2

3 3

s

x t i t y t i tx t x t j t y t y t j t u t

x t k t y t k tρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Notare che come ingresso abbiamo imposto una delle due componenti in cui il parametro di Rayleigh si divide, questo in quanto siamo intenzionati a far variare la temperatura del recipiente che contiene il liquido proprio in modo da determinare quale sarà l’andamento del sistema sotto sollecitazioni termiche. Quanto detto porta come conseguenza che nelle equazioni del sistema scomporremmo il numero di Rayleigh in una componente statica e una dinamica, quella che assumeremo poi come ingresso. A tal proposito invece di considerare solo

sT come ingresso, considereremo tutto il

monomio introdotto prima, in quanto si tratta semplicemente di una costante che moltiplica il fattore temperatura. Così facendo potremmo imporre alla particella un ben determinato profilo che ne condizioni il moto (le componenti dell’ingresso, ovvero solo una, rappresenta in pratica la temperatura a cui è sottoposto il liquido ipotizzando che il fattore T∞, la temperatura quiescente ovvero la temperatura nella parte più interna del fluido, sia costante). E’ importante comprendere che invece di considerare un’evoluzione libera scegliamo l’ingresso citato in maniera da rendere il nostro modello ad ingresso singolo sottoponibile facilmente a sollecitazioni i cui effetti potranno essere monitorati con gli strumenti dell’analisi dei sistemi. Allora il nostro sistema prevederà come ingresso il fattore: ( )

su t ρ=

Il modello Come si vede in questo modello figurano oltre che allo stato e all’uscita anche l’ingresso.



Equazioni modelli: Il modello M2 invece è invece, per quanto predisposto al controllo, più semplice in quanto non compare l’ingresso nelle equazioni:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1

1 1

2 1 1 3 2 2 2

3 3

3 1 2 3T

d i t j t i t ddt x t x t x tdt y t x td j t i t i t k t j t ddt x t x t x t x t x t y t x tdtd y t x tk t i t j t k t ddt x t x t x t x tdt

y t i t j t k t

σ σσ σ

ρρ

ββ

⎧ = − ⎧⎪ = −⎪⎪⎧ =⎪⎪ = − − ⎪⎪⎪ ⇒ = − − ∩ =⎨ ⎨⎨

⎪ ⎪⎪ == − ⎩⎪⎪ = −⎪⎪ ⎩⎪ =⎩

Dobbiamo però esplicitare l’ingresso, per farlo poniamo al posto del numero di Rayleigh la scomposizione prima effettuata:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2 11 2 1

2 1 1 3 22 1 1 3 2

3 1 2 33 1 2 3

1 11 1

2 22 2

3 3

s

s

d x t x t x t d x t x t x tdtdtd x t x t x t x t x t d x t x t x t x t x tdtdtd x t x t x t x t d x t x t x t x tdtdty t x ty t x t

y t x ty t x

y t x t

σ σσ σ

ρρ ρ

ββ

ρ ρ ρ

∞

∞

⎧⎧ = ⋅ − ⋅⎪⎪ = ⋅ − ⋅⎪⎪⎪⎪ = ⋅ − ⋅ −⎪⎪ = − ⋅ − ⋅ −⎪⎪⎪⎪⎨ = ⋅ − ⋅ ⇒⎨ = ⋅ − ⋅⎪⎪⎪ =⎪⎪ =⎪⎪ =⎪ =⎪

=⎪⎪⎩⎪ = −⎩

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3

1 2 1 1 2 1

2 1 1 1 3 2 2 1 1 1 3 2

3 1 2 3 3 1 2 3

1 1

2 2

3 3

s

ty t x t

d dx t x t x t x t x t x tdt dtd dx t x t x t x t x t x t x t u t x t x t x t x t x tdt dtd dx t x t x t x t x t x t x t xdt dty t x ty t x ty t x t

σ σ σ σ

ρ ρ ρ

β β

∞ ∞

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪

=⎪⎩

⎧ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎪⎪⎪ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ −⎪⎪⎪ ⇒⎨ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎪⎪ =⎪⎪ =⎪

=⎪⎩

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

3 3

t

y t x ty t x ty t x t

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪⎪ =⎪

=⎪⎩

Il modello Ebbene abbiamo adesso la forma finale del nostro modello:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1

1 1

2 1 1 1 3 2 2 2

3 3

3 1 2 3

d x t x t x tdt y t x td x t u t x t x t x t x t x t y t x tdt

y t x td x t x t x t x tdt

σ σ

ρ

β

∞

⎧ = ⋅ − ⋅⎪⎧ =⎪⎪⎪

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ∩ =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩⎪

= ⋅ − ⋅⎪⎩

Principali caratteristiche del modello

Dal punto di vista delle caratteristiche intrinseche i due modelli, atti a descrivere lo stesso sistema, presentano determinate caratteristiche:

1. Linearità: Osserviamo che il modello non è lineare in quanto non è possibile individuare la quadrupla matriciale classica indice della linearità di un sistema in forma di stato.

2. Regolarità: Il modello risulta regolare in quanto dipende dallo stato e dall’ingresso e da nessun’altra grandezza, dimostrando dunque di soddisfare dunque le equazioni di regolarità.

3. Limitatezza dell’insieme di stato: Il modello è a stati infiniti dato che la particella si muove in uno spazio euclideo, per definizione avremo allora che le posizioni che tale particella può assumere sono infinite, sia perché ogni punto intermedio dello spazio è concepibile presi due punti qualsiasi, sia perché, anche non considerando la continuità dello spazio, i punti discreti, ipotizzabili, sarebbero infiniti in numero visto che non diamo limiti alla dimensione dello spazio in cui la particella si muoverà.

4. Dimensione dello stato: Il modello è a dimensione dello stato finita in quanto la posizione della particella è descrivibile con tre componenti cinematiche.

5. Tempo continuità: Il modello è tempo continuo in quanto il tempo assume valori in un insieme continuo. 6. Tempo invarianza: Il modello è tempo invariante in quanto, essendo regolare, non dipende esplicitamente dal

tempo, questo basta e avanza per affermare la tempo invarianza del modello. Vediamo dunque che i due modelli possiedono le stesse identiche caratteristiche a parte il fatto che il primo dipende anche dall’ingresso.



Linearizzazione del modello

Il passo successivo è la linearizzazione del modello con il quale saremo poi in grado di utilizzare tutta una serie di strutture teoriche capaci di darci informazioni utili su molti aspetti dei due sistemi, ed in particolare, saremo in grado di osservare la reazione del sistema a determinati ingressi e sollecitazioni notevoli.

Processi preliminari Procediamo adesso a linearizzare il modello. Identifichiamo le funzioni:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

,tD x t f x t u t

y t x tη

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

Iniziamo il processo mediante l’imposizione per cui gli stati, gli ingressi e le uscite siano grandezze da assumersi attorno ad un determinato polo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

: 0

, ,,

LL

LL

LL

L L L L L

L L L L

x t x x tx X

y t y y ty Y

u t u u tu U

d dd x x t f x x t u u t x t f x x t u u tx t f x t u tdt dtdty y t x x t y y t x x ty t x t

δ δδδδ

δ δ δ δ δ δ

δ η δ δ η δη

∈ℜ >⎧ ⎧ = +⎪ ∈ ⎪⎪ ⇒ = +⎨⎨ ∈ ⎪⎪ = +⎩⎪ ∈⎩⎧ ⎧⎧ ⎡ + ⎤ = ⎡ + + ⎤ = ⎡ + + ⎤=⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨

⎪ ⎪ ⎪+ = ⎡ + ⎤ + = ⎡ + ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩ ⎩

Linearizzazione effettiva Passaggio a Taylor: Operiamo adesso il passaggio cruciale con il quale imponiamo al sistema di seguire un comportamento lineare, dunque calcoliamo il polinomio di Taylor della funzione f e η, fermandoci al primo ordine:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( )[ ] ( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

L L L L L L L L L L

L L L L

L L L L L L L L L L L L

L L L

f ff x t u t f x u x u x t x x u u t u o x t u t x ux u

x t x x x t x o x t xx

f ff x t u t f x u x u x x t x x u u u t u o x t u t x ux u

x t x x x x tx

ηη η

δ δ

ηη η δ

∂ ∂⎧ = + ⋅ ⎡ − ⎤ + ⋅ ⎡ − ⎤ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ ∂ ∂ ⇒⎨ ∂⎪ = + ⋅ ⎡ − ⎤ + −⎣ ⎦⎪ ∂⎩∂ ∂

= + ⋅ ⎡ + − ⎤ + ⋅ ⎡ + − ⎤ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂∂

= + ⋅ +∂

( ){ }

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

, , , , , ,

, , , , ,

L L

L L L L L L L L

L L L

L L L L L L L L L

L L L L

x o x t x

f ff x t u t f x u x u x t x u u t o x t u t x ux u

x t x x x t o x t xx

d f fx x t f x u x u x t x u u t o x t u t x udt x u

y y t x x x t o x t xx

δ δ

ηη η δ

δ δ δ

ηδ η δ

⎧⎪⎪ ⇒⎨⎪ ⎡ − ⎤ + −⎣ ⎦⎪⎩

∂ ∂⎧ = + ⋅ + ⋅ + −⎪⎪ ∂ ∂ ⇒⎨ ∂⎪ = + ⋅ + −⎪ ∂⎩

∂ ∂⎧ ⎡ + ⎤ = + ⋅ + ⋅ + −⎣ ⎦ ∂ ∂⎨ ∂

+ = + ⋅ + −∂

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( ) ( )

, , , , ,

, 0

,

0 , , , ,

L L L L L L L L

L L L L

L L L

L L L

L L L L L L

L L L

d f fx t f x u x u x t x u u t o x t u t x udt x u

y y t x x x t o x t xx

df x u x x tdt

x u y

d f fx t x u x t x u u t o x t u t x udt x u

y y t y xx

δ δ δ

ηδ η δ

δ

η

δ δ δ

ηδ δ

⎪⎪ ⇒⎪⎪⎩

∂ ∂⎧ = + ⋅ + ⋅ + −⎪⎪ ∂ ∂ ⇒⎨ ∂⎪ + = + ⋅ + −⎪ ∂⎩⎧ = ⎡ + ⎤ =⎪ ⎣ ⎦ ⇒⎨⎪ =⎩

∂ ∂= + ⋅ + ⋅ + −

∂ ∂∂

+ = + ⋅∂

( ) ( ){ }

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }

, , , ,

L

L L L L L L

L L

x t o x t x

d f fx t x u x t x u u t o x t u t x udt x u

y t x x t o x t xx

δ δ δ

ηδ δ

⎧⎪⎪ ⇒⎨⎪ + −⎪⎩

∂ ∂⎧ = ⋅ + ⋅ + −⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂⎪ = ⋅ + −⎪ ∂⎩ Procediamo a trascurare gli infinitesimi di ordine superiore in maniera da procedere con la fase finale dell’intero processo, questo determinerà naturalmente un’approssimazione dalle caratteristiche rilevanti in quanto il polo di linearizzazione rappresenterà il punto attorno al quale il sistema linearizzato (per valori davvero poco discostati dal polo) assumerà validità numerica con percentuali di errori comprese tra l’80% e il 90%:



( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ,L L L L L L L L

L L

d f f d f fx t x u x t x u u t x t x u x t x u u tdt x u dt x u

y t x x t y t x x tx x

δ δ δ

η ηδ δ

∂ ∂ ∂ ∂⎧ ⎧= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪= ⋅ = ⋅⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

Calcolo delle matrici Calcoliamo i differenziali che sono presenti nelle relazioni e poniamoli poi in funzione dei poli di linearizzazione tenendo presente che:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

1 1 2 1

1 1 1

2 2 1 1 1 3 2 2 2 2

3 3 3

3 3 1 2 3

,

,

,

df x t u t x t x t x tdt x t y t x tdf x t u t x t u t x t x t x t x t x t x t y t x tdt

x t y t x tdf x t u t x t x t x t x tdt

σ ση

ρ η

ηβ

∞

⎧ = = ⋅ − ⋅⎪ ⎧ = =⎪ ⎪⎪= = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ∧ = =⎨⎨

⎪⎪ = =⎩⎪= = ⋅ − ⋅⎪⎩

Procediamo:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

2 1 2 1 2 11 2 3

2 21 1 1 3 2

1 2 3

, , ,

, , , ,

, , ,

, ,

f f fx u x u x u

x x xf f ff x u x u x u x u

x x x xf f f

x u x u x ux x x

x t x t x t x t x t x tx x x

f fu t x t x t x t x t x t x u x u

x x x

σ σ σ σ σ σ

ρ∞

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂∂

= =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∂ ∂ ∂

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅∂ ∂ ∂

∂ ∂∂⋅ − ⋅ − ⋅ −

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3

3 1 ,3 ,1

2 1 ,2 ,1

1

2

3

0 01 , 1

,

, ,

,

L L L L L

L L

x t x t x t x t x t x t x t x t x tx x x

fu t x t x t x u A u x xx

x t x t x x

fx u

uff x u x u

u uf

x uu

β β β

σ σ σ σρ ρ

β β∞ ∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − ⇒ = = − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂⎡⎢ ∂⎢∂∂ ⎢= ⎢∂ ∂∂∂⎣

( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1

1 1 1 3 2 1 ,1

1 2 3

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2

0 0,

0 0L L L

x t x tu

fu t x t x t x t x t x t x t x u B xu u

x t x t x tu

x x xx x x

x x x xx x x x

x xx x

σ σ

ρ

β

η η η

η η ηη

η η η

∞

∂⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅⎥ ⎢ ⎥∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥∂ ∂

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦⎦

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂

=∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

( )

{ } { } { }

{ } { } { }

{ } { } { }

( )

1 1 11 2 3

2 2 21 2 3

3 3 31 2 33

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1

L

x x xx x x

x x x x Cx x x x

x x xxx x xx

η

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦

Modello linearizzato in forma generale Il modello linearizzato, in forma generale in quanto il polo non è specificato è: ( ) ( ){ }

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

,3 ,1 ,1

,2 ,1

, , :

0 01

0

1 0 00 1 00 0 1

L L

L L L L

L L

x u x u x X u U

d x t u x x x t x u tdtd x xx t A x t B u t

dty t C x t

y t x t

σ σρ

β∞

∀ ∈Σ = ∈ ∧ ∈

⎧ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − − ⋅ + ⋅⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎧ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ −= ⋅ + ⋅ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎝ ⎠⇒⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪= ⋅⎩ ⎜ ⎟⎪ = ⋅⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Analisi dei punti di equilibrio del sistema

Possiamo adesso prendere in esame quei particolari valori dello stato in cui il sistema si trova ad essere in equilibrio, per trovare tali punti è necessario annullare le relazioni differenziali. Per questa analisi non è necessario il modello



linearizzato, quindi utilizzeremo il modello iniziale, studieremo poi la stabilità dei punti di equilibrio mediante il sistema linearizzato abbandonando definitivamente il modello originario. Procediamo a trovare i punti di equilibrio:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1

2 1

2 1 1 1 3 2 1 1 1 3 2

1 2 3

3 1 2 3

2 1 2 1

1 1 1 3 2 1 1 1

1 2 3

00

0 00

0

00

0

d x t x t x tdt x xd x t u t x t x t x t x t x t u x x x x xdt

x x xd x t x t x t x tdtx x x xu x x x x x u x x xx x x

σ σσ σ

ρ ρβ

β

ρ ρβ

∞ ∞

∞ ∞

⎧ = ⋅ − ⋅ =⎪⋅ − ⋅ =⎧⎪

⎪ ⎪= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ ⋅ − ⋅ =⎩⎪

= ⋅ − ⋅ =⎪⎩− = =⎧

⎪ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ −⎨⎪ ⋅ − ⋅ =⎩

2 1

3 1 1 1 1 3 12

1 1 3 1 3

2 12 1 2 3

1 11 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1

22 1 2

3 1 3 13

2 121

3

0 00 0

0 0 0

x xx x u x x x x x

x x x x x

x xx x

x xu x x x x x u x x x x u x x x

xx x x x

x

x x

xx

u

ρβ β

ρ ρ ρβ β

ββ

β

β

ρ

∞

∞ ∞ ∞

∞

=⎧ ⎧⎪ ⎪⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪⋅ − ⋅ = − ⋅ =⎩ ⎩

=⎧=⎧ ⎪

⎪ ⎪⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ − − = ⇒⎪⎪⎨⎨⎪⎪ ⋅ = ⇒ = ⎪⎪ =⎩ ⎪⎩

=

=

−( ) ( ) ( )

2 121

3

3 231 1 1

1 1 11 01 0 1 0

x x

xx

x u x xx u x x

β

β ρβ ρβ

∞∞

=⎧ ⎧⎪ ⎪

⎪⎪ ⇒ =⎪ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤− − − ⋅ =⎣ ⎦⎪ ⎩− ⋅ − = ⇒ − − ⋅ − =⎪⎩

Notiamo che arrivati a questo punto il nostro sistema ci da due casi possibili in corrispondenza della terza equazione, analizziamoli singolarmente partendo dal primo:

2 1 222

13 3 3 ,1

11 1

0 0 00 0 0

000 0

E

x x x xx

x x x xx

x xβ β

=⎧ =⎧ =⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎜ ⎟= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎨ ⎨⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪⎪ = ⎝ ⎠⎩⎪ ⎪= =⎩ ⎩

Il primo stato di equilibrio trovato è, diciamo, quello banale per cui se la nostra particella si trova nell’origine essa tenderà a rimanervi. In effetti nel nostro caso non si tratta di una cosa così banale, ebbene pare dunque che se la particella si trova nell’origine dello spazio in esame, essa vi rimarrà in quanto le scie convettive generano forze che nell’origine si annullano a vicenda. Procediamo a trovare gli altri punti di equilibrio:

( ) ( ) ( )

2 1 2 1 2 12 2 21 1 1

3 3 3

2 21 1 1

1 0 1 1

x x x x x x

x x xx x x

u x x u x u

β β ββ ρ β ρ β ρ∞ ∞ ∞

= = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⇒ = ⇒ =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪− − − = = − − = ± − −⎩ ⎩ ⎩

Notiamo anche qui la presenza di due sottocasi, in quanto il valore negativo della radice è accettabile essendo essa assegnata a una coordinata spaziale che può benissimo assumere valori minori di zero. Esaminiamo il primo sottocaso:

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

22 122

13 3 3 ,2

11 1

1 111

1 1

111 1

E

x ux x ux uux

x x x u x u

ux ux u x u

β ρ β ρβ ρβ ρ

ρ β ρβ β

ρβ ρβ ρ β ρ

∞∞∞

∞∞ ∞

∞∞∞ ∞

⎧ = − −=⎧ ⎛ ⎞− −⎧⎪ = − −⎪ ⎜ ⎟⎪⎪ − − ⎪⎪ ⎜ ⎟= ⇒ = ⇒ = − − ⇒ = − −⎨ ⎨⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ − −= − − ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩⎪ = − − = − −⎩ ⎩

Procediamo con il secondo ed ultimo sottocaso:

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

22 122

13 3 3 ,3

11 1

1 111

1 1

111 1

E

x ux x ux uux

x x x u x u

ux ux u x u

β ρ β ρβ ρβ ρ

ρ β ρβ β

ρβ ρβ ρ β ρ

∞∞∞

∞∞ ∞

∞∞∞ ∞

⎧ = − − −=⎧ ⎛ ⎞− − −⎧⎪ = − − −⎪ ⎜ ⎟⎪⎪ − − ⎪⎪ ⎜ ⎟= ⇒ = ⇒ = − − ⇒ = − − −⎨ ⎨⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ − −= − − − ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩⎪ = − − − = − − −⎩ ⎩

Possiamo dunque concludere che il nostro sistema possiede tre punti di equilibrio. Guardiamo, prima di concludere, come l’ingresso non possa possedere tutti i valori possibili, nel momento in cui linearizzeremo infatti sceglieremo un ingresso che non faccia diventare negativo il radicando presente negli ultimi due punti di equilibrio, ovvero la relazione da soddisfare è:

1 0 1u uρ ρ∞ ∞− − > ⇒ > +



Analisi della stabilità del sistema (parte 1)

Da questo momento in poi ci apprestiamo ad abbandonare il sistema originale per utilizzare i vantaggi offerti dal sistema linearizzato. Procediamo dunque ad analizzare la stabilità del sistema utilizzando il sistema linearizzato in un polo generico. Ovvero l’intenzione è quella di affrontare la discussione della stabilità non solo discutendo per quali valori dei parametri il sistema è stabile o meno, ma considerando anche i valori del polo di linearizzazione in maniera da collegare la stabilità anche a questo fattore in maniera da evitare di linearizzare in punti in cui il sistema è instabile. Procediamo dunque mediante l’analisi degli autovalori della matrice di stato A:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,3 ,1 ,3 ,1

,2 ,1 ,2 ,1

2,3 ,1 ,1 ,2 ,1 ,3

,2 ,1

0 0 0 01 0 0 0 1 0

0 0

01 0 1

L L L L L L

L L L L

L L L L L L L L

L L

sA u x x sI A s u x x

x x s x x

sx u s x s s s x x s x x ux x s

σ σ σ σρ ρ

β β

σ σρ σ β σ σ ρ

β

∞ ∞

∞ ∞

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − − ⇒ − = ⇒ − − − − − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ −

+ − + = ⇒ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ − − + ⋅ + + − ⋅− − +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2,1 ,2 ,1 ,3

2 2 2,1 ,2 ,1 ,1 ,3

3 2 2 2 2,1 ,2 ,1 ,1

,3

0

1 0

1 0

L L L L L

L L L L L L

L L L L

L

s

s s s x x s x x u s

s s s x x x s x x u s

s s s s s s x x x s x

s x s

σ β

σ β σ σ ρ σ β

σ σ β σ σ σ ρ β

σ σ β β β σ β σ σ σ

σ ρ

∞

∞

∞

⎡ ⎤− ⋅ + = ⇒⎣ ⎦

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + = ⇒

+ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + = ⇒

+ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅( ),3

3 2 2 2 2,1 ,2 ,1 ,1

,3 ,3

3 2 2,3

0

0

L L L

L L L L

L L L L

L L

L

u s x u

s s s s s s x x x s xs x s u s x u

s s s s s s x s u s s

x

ρ β β β

σ σ β β β σ β σ σ σ

σ ρ σ σ σ ρ β σ β σ β

σ β σ σ ρ σ σ β σ

β σ β σ

∞

∞ ∞

∞

⎛⎜ ⇒⎜ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎝⎛ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⇒⎜⎜+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎝

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ + + ⋅ 2,1 ,2 ,1 ,3 0L L L Lx x x uσ σ ρ β σ β σ β∞

⎛⎜⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎝Osserviamo subito una cosa: effettuare un’analisi ed una discussione come quella che ci eravamo prefissati è quasi impossibile data l’elevata presenza di variabili.

Linearizzazione in un polo (parte 1)

Vediamo già adesso come mantenere il sistema linearizzato in forma generale risulti davvero essere una cosa improponibile in quanto i futuri calcoli vengono vanificati dalla presenza eccessiva di parametri che rendono complicatissimi calcoli che dovrebbero essere semplici. Per questo motivo ci troviamo costretti a scegliere, tra i tre punti di equilibrio trovati, uno in cui linearizzare il sistema. A tal fine procediamo prima con lo studiare la stabilità nei tre poli in maniera da poter scegliere fra quelli in cui il sistema linearizzato risulti essere quantomeno sempre, o pressoché sempre, stabile.

Analisi della stabilità del sistema (parte 2)

Analizziamo la stabilità del sistema nei tre punti di equilibrio trovati.

Primo punto di equilibrio Linearizziamo intorno al primo punto di equilibrio trovato:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,1

2,1 ,2 ,1 ,3

2

0 0 0

0 1 0

1 0 1 0

1 01 0

TE

L L L L L

L L

LL

x

sI A s s s x x s x x u s

s s s u s s s s u s

ss s u s

s s u

s s s

σ β σ σ ρ σ β

σ β ρ σ β σ β ρ σ β

βσ σ ρ β

σ σ ρ

σ σ σ ρ

∞

∞ ∞

∞∞

∞

⎧ =⎪ ⇒⎨⎡ ⎤− = ⇒ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ − − + ⋅ + + − ⋅ − ⋅ + =⎪ ⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤+ ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − ⋅ + = ⇒ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − ⋅ + = ⇒⎣ ⎦= −⎧

⎡ + ⋅ + + − ⎤ + = ⇒ ⎨⎣ ⎦ + ⋅ + + − =⎩+ + ⋅ + + −( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

0 1 1 0

1 11 1 4 12 21 4 11 11 1 4 12 2

L L

L

L

L

u s s u

s uu

s u

σ σ ρ

σ σ σ ρσ σ ρ

σ σ σ ρ

∞

∞

∞

∞

= ⇒ + + ⋅ + − + = ⇒

⎧ = − + + + − ⋅ − +⎪⎪Δ = + − ⋅ − + ⇒ ⎨⎪ = − + − + − ⋅ − +⎪⎩

Ci interessa naturalmente il segno di questi autovalori e pertanto il primo autovalore potrebbe recare problemi in quanto se il radicando fosse positivo bisognerebbe controllare in che modo il valore positivo scavalca quello negativo (notare come il primo monomio non radicale sia negativo in quanto i parametri del sistema sono tutti positivi). Procediamo alla discussione:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

2 2 1 11 4 1 0 1 4 1 1 14 4L L L Lu u u uσ σσ σ ρ σ σ ρ ρ ρσ σ∞ ∞ ∞ ∞

+ ++ − ⋅ − + > ⇒ + > ⋅ − + ⇒ > − + ⇒ + − > ⇒

⋅ ⋅



( )21 14 Luσρσ∞

+⇒ < + −

⋅

Notiamo che sotto questa condizione il sistema risulta possedere autovalori non complessi, se fosse non verificata avrei subito il sistema stabile in questo punto di equilibrio. Se si presentasse invece il caso descritto allora bisognerebbe controllare che il monomio negativo non venga scavalcato dal risultato della radice:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2

2 2

1 11 1 4 1 0 1 1 4 1 02 2

1 4 1 1 1 4 1 1

1 4 1 0 (Da ipotesi)

1 4 1 1 4 1 0 1 0 1 01

L L

L L

L

L L L L

L

u u

u u

u

u u u uu

σ σ σ ρ σ σ σ ρ

σ σ ρ σ σ σ ρ σ

σ σ ρ

σ σ ρ σ σ ρ σ ρ ρρ

∞ ∞

∞ ∞

∞

∞ ∞ ∞ ∞

∞

− + + + − ⋅ − + > ⇒ − + + + − ⋅ − + > ⇒

+ − ⋅ − + > + ⇒ + − ⋅ − + > +

+ − ⋅ − + >

+ − ⋅ − + > + ⇒ − ⋅ − + > ⇒ − + < ⇒ − + < ⇒

< −

Se la condizione si verificasse si avrebbe il sistema instabile. Ricapitolando allora ho la seguente situazione sotto riportata. Il sistema nel primo punto di equilibrio è stabile solo se è verificata:

1Luρ∞ > −

Secondo e terzo punto di equilibrio Vista la complessità formale degli altri due punti di equilibrio e dati i calcoli che si dovrebbero svolgere al fine di determinare la stabilità, ci proponiamo di linearizzare in questo punto di equilibrio che determina stabilità, così come noi chiedevamo.

Linearizzazione in un polo (parte 2)

Sappiamo dunque attorno a quale punto far evolvere il sistema, procediamo dunque a sostituire il punto al nostro modello linearizzato. Inoltre, abbiamo bisogno di determinare per quale valore dell’ingresso si ottiene il punto di equilibrio.

( )[ ] ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( )

,3 ,1 ,1

,2 ,1

1

1

2 ,3 ,1 2 ,1

,2 ,1 3

3

0 01

0

0 01

0

L L L L

L L

L L L L

L L

d x t u x x x t x u tdt

x x

d x tdt x td x t u x x x t x u tdt

x x x td x tdt

σ σρ

β

σ σρ

β

∞

∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − − ⋅ + ⋅ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟

− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ = − − − − ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 1 1 2

2 ,3 1 2 ,1 3 ,1 2 1 2

3 ,2 1 ,1 2 3 3 3

000

L L L L L L

L L

d dx t x t x t x t x t x tdt dtd dx t u x x t x t x x t x u t x x t u x t x tdt dtd dx t x x t x x t x t x t x tdt dt

σ σ σ σ

ρ ρ

β β

∞ ∞

⇒⎟

⎧ ⎧⎡ ⎤ = − ⋅ + ⋅ ⎡ ⎤ = − ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪

⎪ ⎪⎜ ⎟⎡ ⎤ = − − ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒ ⎡ ⎤ = − ⋅ −⎨ ⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎡ ⎤ = ⋅ + − ⋅ ⎡ ⎤ = − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎩

⎪⎪⎪⎩

Notiamo subito che la difficoltà che ci si presenta è proprio quella di determinare l’ingresso di equilibrio per il quale il sistema raggiunge lo stato di equilibrio. Ovvero la domanda che ci poniamo è la seguente: “Per quale o quali valori dell’ingresso è possibile far raggiungere allo stato il punto di equilibrio proposto?”. Sappiamo che per scegliere l’ingresso di linearizzazione è semplicemente necessario apportare valori che non determinino incongruenze nel sistema, ovvero che generino punti di equilibrio reali. La condizione affinché questo avvenga la possediamo già:

1u ρ∞> +

Visto che il parametro ρ∞

deve essere positivo (si guardi la definizione a inizio documento di questo parametro),

possiamo scegliere u in modo tale che l’uguaglianza soddisfi la positività richiesta dal parametro. Purtroppo vediamo però che il parametro coinvolge una temperatura espressa in Kelvin (all’inizio del documento è spiegato come il parametro è composto), dunque vorremmo anche mantenerci lontani dal valore zero (non ammesso dal terzo principio della termodinamica meglio noto come principio di Nerst). Dobbiamo scegliere allora un ingresso molto grande, un numero come 100, 200 o 300 ad esempio. Nel nostro caso sceglieremo il valore:

3 33

500500 1 500 1 500 1 499

499 499 499

u

gl T l T Tg g l

ρ ρ ρ ρβ υα υα

υα β β

∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

= ⇒> + ⇒ − > − + ⇒ < − ⇒ < ⇒

< ⇒ < ⋅ ⇒ < ⋅



Scegliendo questo valore dovremmo mantenerci su buoni livelli di compatibilità fisica dato che temperature alte verranno raggiunte ma non così alte. Anche se poi non tutti i sistemi potranno essere descritti in questo modo, per i nostri esempi infatti considereremo sistemi che abbiano una configurazione di parametri conforme alla condizione:

1u ρ∞> +

Linearizzazione: Ebbene, scelto l’ingresso di linearizzazione, notare anche come esso sia conforme con le altre condizioni, possiamo procedere.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )

1 1 2

1 1

2 1 2 2 2

3 3

3 3

0500 1 0

0 0500

1 0 00 1 00 0 1

d dx t x t x t x t x tdt y t x t dtd x t x t x t y t x tdt

y t x td y t x tx t x tdt

σ σσ σ ρ

βρ

β

∞

∞

⎧ −⎛ ⎞⎧ ⎪ ⎜ ⎟⎡ ⎤ = − ⋅ + ⋅⎣ ⎦ = − − ⋅⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎧ =⎪ ⎜ ⎟⎪ −⎪⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎡ ⎤ = − ⋅ − ∧ = ⇔⎨ ⎨ ⎨⎣ ⎦⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪= ⎜ ⎟⎩⎪ ⎪ = ⋅⎡ ⎤ = − ⋅ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎩ ⎪ ⎝ ⎠⎩

Da questo momento in poi il sistema sopra riportato sarà il nostro punto di partenza per le analisi successive, abbandoniamo il modello preciso per facilitare i calcoli con un modello approssimato lineare. Controllabilità del sistema

Procediamo a vedere come il nostro nuovo sistema si comporta nei confronti della possibilità di imporre autovalori. Analizziamo dunque la possibilità di effettuare il suddetto processo analizzando la raggiungibilità del sistema:

[ ] [ ]( )

1 2, ,..., 3 , ,0 0

nR B AB A B n R B AB A BB Rρ

−= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

Possiamo vedere come il sistema non sia controllabile e non sia dunque applicabile il processo di allocazione degli autovalori.

Osservabilità del sistema

Passiamo adesso all’osservabilità del sistema e a vedere se è possibile costruire per questo sistema un osservatore asintotico dello stato.

[ ] [ ][ ]

( )( ) ( )

( )

1 2

2

2 2

2

2

2

, ,..., 3 , ,

, ,

0 0 500 0500 1 0 500 1 0 500 500 500 1 0

0 0 0 0 0 0

1 0 00 1 00 0 1

0500 1 0

0 0500

T Tn

T

O C CA CA n O C CA CA

C I O I A A

A

O

σ σ σ σ σ σ ρ σ σρ ρ σ ρ ρ σ ρ

β β β

σ σρ

βσ σ ρ σ

−

∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∞

∞

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

⎛ ⎞− − + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − ⋅ − − = − − − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−= − −

−+ − −

( ) ( )

( )

2

2

1 0 0max 3 0 1 0 1

0 0 10

500 500 500 1 00 0

Oρ

σσ ρ ρ σ ρ

β∞ ∞ ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇒ = = ⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟− − − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vediamo che il rango è massimo grazie al minore unità presente dentro O. Possiamo concludere che il sistema risulta sempre osservabile.

Conclusioni finali

A questo punto si ferma l’analisi dell’attrattore di Lorenz.



INDICE DEI CONTENUTI Sotto è riportato l’elenco dettagliato degli argomenti analizzati in questo fascicolo di ricerca.

PAG. 1: ANALISI PROBLEMA PAG. 1: COMPOSIZIONE DEL SISTEMA PAG. 1: EQUAZIONI DI LORENZ E DISCUSSIONE CIRCA LE LORO PRINCIPALI PROPRIETÀ MATEMATICO-FISICHE PAG. 2: DEFINIZIONE DEL MODELLO DEL SISTEMA PAG. 3: PRINCIPALI CARATTERISTICHE DEL MODELLO PAG. 4: LINEARIZZAZIONE DEL MODELLO PAG. 5: ANALISI DEI PUNTI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA PAG. 7: ANALISI DELLA STABILITÀ DEL SISTEMA (PARTE 1) PAG. 7: LINEARIZZAZIONE IN UN POLO (PARTE 1) PAG. 7: ANALISI DELLA STABILITÀ DEL SISTEMA (PARTE 2) PAG. 8: LINEARIZZAZIONE IN UN POLO (PARTE 2) PAG. 9: CONTROLLABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 9: OSSERVABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 9: CONCLUSIONI FINALI



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Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello attrattore di Lorenz (completato).docx


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Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello descrittivo delle dinamiche di diffusione epidemica di agenti patogeni (SIR) sviluppato da Kermack e McKendrick (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello diffusione epidemica di Kermack e McKendrick (completato).docx


Oggetto: Analisi della diffusione di un agente patogeno nel tempo in una popolazione soggetta a determinate dinamiche diffusive.

Analisi problema Ci proponiamo di analizzare e studiare come agisce un agente patogeno in una popolazione sana durante il suo processo di infezione generale. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerato un qualsiasi microorganismo patogeno capace dunque di generare una malattia nel soggetto ospitante. Si consideri tale agente avente queste proprietà e caratteristiche:

a. Si consideri l’agente patogeno un qualsiasi microorganismo tra: virus, batteri, funghi, miceti, elminti, muffe o protozoi.

b. Si consideri l’agente patogeno in grado di attaccare animali ed umani, capace dunque di causare patologie di varia natura nel soggetto infettato (soggetto ospitante).

c. Si consideri l’agente patogeno avente caratteristiche di: virulenza, invasività, adesività, produttività di enzimi e produttività di capsule antifagocitarie costanti durante tutto il tempo di infezione dell’organismo ospitante.

d. Si consideri l’agente patogeno come ideale, ovvero non in grado di evolvere nel tempo in differenti forme che possano variare le sue caratteristiche patogene. Tale ipotesi prevede che il virus non possieda tutta una serie di caratteristiche che non staremo a descrivere.

• Si consideri che l’agente patogeno sviluppi nei soggetti ospitanti la stessa malattia e che quest’ultima sviluppi gli stessi sintomi nei vari soggetti infettati, indipendentemente dalle caratteristiche fisiche e dalle loro storie cliniche (anamnesi).

• Si consideri il periodo di incubazione dell’agente patogeno, ovvero l’arco temporale tra cui il soggetto ospitante viene infettato fino al momento in cui lo stesso manifesta i primi sintomi della malattia (il momento in cui l’agente patogeno si attiva), istantaneo.

• Si ipotizzi che la durata dell’infezione nel soggetto ospitante sia uguale alla durata della malattia nello stesso. • Sia considerata una popolazione animale o umana omogenea (siano dunque considerati i membri della

popolazione della stessa età e caratteristiche fisiche) attaccabile dall’agente patogeno considerato, i membri della popolazione (che ipotizziamo costanti), per questo modello, siano considerati appartenenti a tre classi precise, divisi dunque in base alla relazione infettiva con l’agente patogeno in esame:

a. Soggetti suscettibili: I soggetti della popolazione che possono contrarre la malattia e che dunque non sono infetti ma potrebbero essere contagiati.

b. Soggetti infettivi: I soggetti della popolazione che hanno contratto l’agente patogeno e che dunque rispecchiano i sintomi della malattia e che sono dunque in grado di trasmettere ad altri soggetti.

c. Soggetti rimossi: Tutti i soggetti della popolazione che, contraendo l’agente patogeno e la malattia dunque, sono guariti e si sono immunizzati o sono deceduti in seguito all’infezione riscontrata.

• Si ipotizzi che le condizioni dell’ambiente in cui la popolazione risiede non alteri né influenzi l’epidemia in corso. • Si presuma che la popolazione, durante l’epidemia, agisca passivamente nei confronti del virus permettendo solo

al rispettivo sistema immunitario di agire attivamente contro l’agente ospite. • Si consideri infine la popolazione come una massa compatta possedente un proprio pool genico, e che

quest’ultimo, considerato come l’insieme di tutte le caratteristiche genetiche della popolazione (genoma in generale, geni ed alleli caratteristici) sia il soggetto principale dell’azione anti-infettiva nei confronti dell’agente patogeno considerato.

Oltre a quanto detto aggiungiamo che il fenomeno che vogliamo analizzare è un’epidemia, dunque la diffusione rapida e inattesa di un microorganismo patogeno. Sono esclusi dunque fenomeni endemici e pandemici. Detto ciò, vediamo adesso di studiare questo fenomeno mediante un modello matematico che rispetti le ipotesi appena avanzate.

Analisi iniziale del modello descrittivo

Il sistema che ci proponiamo di analizzare è alquanto complesso in quanto si vuole prendere in esame la dinamica diffusiva di un microorganismo infettivo. La popolazione nell’arco del periodo di infezione subisce diverse modifiche dal punto di vista quantitativo e qualitativo in base alla classificazione effettuata.



Come sempre dunque, per determinare il modello dobbiamo analizzare le relazioni che intercorrono tra i vari elementi che abbiamo introdotto inizialmente. A tal fine dobbiamo dunque fare una piccola digressione riguardo agli studi condotti da Kermack e da McKendrick che li portarono poi a formulare il loro modello.

Note storiche sul SIR e sui primi sviluppi dell’Epidemiologia I due scienziati infatti studiarono con attenzione i dati della diffusione di Piaga e Colera durante le seguenti epidemie:

1. Europa -> Londra 1665 – 1666: Epidemia di Piaga. 2. Asia -> Bombay 1906: Epidemia di Piaga. 3. Europa -> Londra 1865: Epidemia di Colera.

Dagli studi e dai dati raccolti, i due scienziati riuscirono a trovare delle relazioni tra le tre classi di popolazione che avevano individuato e in cui avevano suddiviso i soggetti delle masse studiate nei tre casi d’epidemia prima citati. Tali studi portarono a formulare un modello iniziale che non prevedeva ancora la presenza di relazioni matematiche, ma che contemplava un’analisi empirica di come i meccanismi epidemici avvenivano e si sviluppavano nel tempo. Epidemiologia: Kermack e McKendrick si accorsero infatti che una popolazione all’inizio era da doversi considerare una totalità di individui tutti suscettibili; quando poi l’insieme degli individui infettivi raggiungeva un numero di soggetti diverso da zero a quel punto iniziava la perturbazione della popolazione e avveniva quello che viene comunemente chiamato contagio iniziale; ovvero l’entità promotrice di tutto il futuro processo di contagio collettivo costituente appunto l’epidemia. Ma la cosa più importante che scoprirono i due scienziati è stata un’importantissima relazione che permaneva tra i soggetti infettivi e quelli rimossi; tale dato empirico costituisce oggi un principio a cui obbediscono tutte le epidemie, tale principio è la base del modello che andremo a studiare. Principio di Kermack e McKendrick: In un’epidemia il numero totale dei portatori infetti cresce se il numero delle nuove infezioni in un certo periodo è maggiore del numero di persone che, nello stesso periodo, diventano non contagiose. Questo è il punto di partenza del modello di Kermack e McKendrick, il principio verrà infatti applicato in pratica e costituirà la base delle relazioni differenziali che analizzeremo tra poco. Ma il solo principio appena enunciato non è sufficiente a formulare ancora il modello finale, è necessario infatti comprendere in che modo soggetti suscettibili, infetti e rimossi interagiscono fra loro durante l’epidemia; questa analisi venne effettuata e portò a considerare due importanti fattori:

1. Tasso d’infezione: Parametro che rappresenta numericamente il tasso di crescita degli individui che da suscettibili diventano infettivi.

2. Tasso di ripresa: Parametro che rappresenta numericamente il tasso di crescita degli individui che da infettivi diventano rimossi.

Tali fattori non fanno altro che esprimere il modo con cui i soggetti, durante l’epidemia, passano da uno degli insiemi considerato all’altro, naturalmente il processo schematizzato in figura è incontrovertibile in quanto altri casi non sono possibili. I due parametri li indichiamo rispettivamente con le lettere greche: λ e δ. SIR Model: Il modello definito da Kermack e McKendrick prende il nome proprio da questa schematizzazione: SIR Model, ovvero: Susceptible Infectious and Recovered Model. Le informazioni raccolte permisero ai due scienziati di determinare le seguenti relazioni:

dS SIdtdI SI IdtdR Idt

λ

λ δ

δ

⎧ = −⎪⎪⎪

= −⎨⎪⎪

=⎪⎩

Che rappresentano il nostro modello.

Discussione preliminare Questo sistema è relativamente semplice da risolvere, vediamo prima di classificare le grandezze in ordine di far comparire un sistema da analizzare come usualmente facciamo. Definiamo quanto segue:

1. Identifichiamo lo stato con un vettore tridimensionale con il quale descriviamo, componente per componente, rispettivamente il numero di soggetti suscettibili S, il numero di soggetti infetti I ed il numero di soggetti rimossi indicati con R.

2. Identifichiamo con l’uscita il numero di soggetti infetti, ovvero vogliamo monitorare istante per istante quale sia il numero di individui che contrae per infezione l’agente patogeno.

3. L’ingresso, cosa poco rilevante in questo sistema, coincide con il numero totale di individui nella popolazione considerata costante, ovvero non in grado di procreare.

Detto questo avremo:

( )( )( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

1 1

2 2 2

3 3

000

x t S t u Sx t x t I t y t x t I t u u I

x t R t u R

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Il modello espresso in forma matematica diventa dunque nella forma finale voluta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 1 2 2 3 2 2d d dx t x t x t x t x t x t x t x t x t y t x tdt dt dt

λ λ δ δ⎡ ⎤ = − ⎡ ⎤ = − ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦I



Risoluzione del modello a vari livelli

Nell’ambito dello studio del modello vogliamo risolvere il sistema di equazioni differenziali per poter trovare le funzioni S ed I, ovvero il numero di soggetti suscettibili e infettivi. Per fare questo però è necessaria una risoluzione completa mediante Wronskiano, quello che invece noi vogliamo fare è analizzare le due grandezze in funzione della terza, ovvero vogliamo esprimere tutto non in funzione del tempo, ma in funzione del numero di soggetti rimossi R. Studio: Questo procedimento ci permetterà di ottenere facilmente le equazioni delle due grandezze desiderate ed esprimerle in funzione della grandezza R ci potrà aiutare in futuro nell’analisi del modello, oltre a trovare due relazioni molto importanti nel modello Kermack – McKendrick.

Funzione S Nel sistema dividiamo la prima equazione con la terza:

( ) ( )

0

0

0

0 0 0 0 0

1 0 2 0 2 1 2 1 0

1 10

log 0 log log

0 0

RR k

RRk k

dS dt SI dS S dS Sdt dR I dR dR

R

dS dS dS dS dSR S dR R SdR S dR R dR dR R dR R dRdR dR dR S dR S S

S k RR k S S RR k k k k k S RR k S e

S e e e S S S e

λ λ λδ δ δ

λδ

− +

− −

= − ⇒ = − ⇒ = −

=

= − ⇒ = − ⇒ ≠ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

+ = − + ⇒ > ⇒ = − + − ⇒ − = ⇒ = − + ⇒ = ⇒

= ⇒ = ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫0RR

Vediamo che il numero di soggetti suscettibili decresce in maniera esponenziale con la crescita del numero di soggetti rimossi, questo in un certo senso è logico in quanto nel tempo la malattia tende a far ridurre in maniera rapida chi ancora non ha contratto un virus portandolo necessariamente nell’insieme degli infettivi e poi nell’insieme dei rimossi. Le costanti apparse le analizzeremo tra poco.

Funzione I Nel sistema dividiamo la seconda con la terza equazione dopo aver sistemato la prima:

( )

( )01 1

dI SI I S IdtdI dt S I dI S dI dI dIS S R Sdt dR I dR dR dR dR

λ δ λ δ

λ δ λ δ λ δ λδ δ δ δ δ

= − = −

− −= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

La ricerca di I fallisce in questo senso perché otteniamo un sistema autonomo con il quale non otteniamo informazioni che ci interessano.

Discussione Relazione tra S ed I: Notiamo una cosa importante, la relazione trovata su S è rilevante, la curva trovata infatti descrive come varia il numero di soggetti suscettibili nel tempo, anche se indirettamente. Ebbene noi sappiamo da quanto detto prima che la dinamica del sistema SIR è tale da concepire il passaggio da un insieme all’altro in maniera da avere sensi unici. I soggetti suscettibili diminuiscono in maniera esponenziale dalla relazione trovata, ma aumentano in maniera esponenziale nell’insieme I in quanto vengono trasferiti proprio qui. Ecco perché la seconda relazione differenziale, per trovare I, diventa un sistema autonomo dove compare S; S ed I interagiscono fra loro in questo rapporto, tutti i soggetti suscettibili che vengono scartati via via nel tempo dalla funzione S riempiono simultaneamente l’insieme I che cresce nello stesso modo con cui decresce S. Si tratta di un risultato che solo i modelli SIR possono darci, è per questo che i due grafici delle due grandezze I ed S sono uno l’opposto dell’altro nel tempo.

Classificazione ed analisi preliminare del modello

Il modello in forma di stato di presenta nella seguente forma dunque:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

2 1 2 2

3 2

2

d x t x t x tdtd x t x t x t x tdtd x t x tdty t x t

λ

λ δ

δ

⎧ ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦⎪⎪⎪ ⎡ ⎤ = −⎪ ⎣ ⎦⎨⎪

⎡ ⎤ =⎪ ⎣ ⎦⎪⎪ =⎩

Possiamo allora iniziare a classificare il modello: 1) Il modello è regolare in quanto il differenziale dello stato dipende dallo stato e basta. Si tratta anche di un caso

particolare in cui non figura l’ingresso, Ma questo non altera certo le condizioni di regolarità. 2) Il modello non è lineare. Infatti non è possibile trovare la quadrupla di matrici A, B, C e D per via della forma in

cui compaiono le relazioni differenziali a secondo membro. 3) Il modello è tempo continuo. 4) Il modello è tempo invariante in quanto il tempo non compare esplicitamente nei secondi membri delle prime tre

relazioni di stato. 5) Il modello è a stati finiti. Per quanto grande si possa considerare la popolazione i tre insiemi potrebbero anche

possedere un numero di elementi molto grande, ma si tratterebbero comunque di un numero finito e di insiemi che possiedono maggioranti e minoranti.



6) Il modello è a dimensione dello stato finita in quanto il vettore stato possiede tre componenti e dipende dal tempo.

Analisi delle grandezze Nel sistema riconosciamo le seguenti grandezze:

1) δ Rappresenta il tasso di recupero e regola le modalità di trasferimento tra gli insiemi I ed R descrivendo in che modo i soggetti infettivi sono trasferiti nel tempo fra i soggetti rimossi.

2) λ Rappresenta il tasso di infezione e regola le modalità di trasferimento tra gli insiemi S ed I descrivendo in che modo i soggetti suscettibili sono trasferiti nel tempo fra i soggetti infettivi.

3) Le componenti dello stato rappresentano numeri che esprimono la quantità di determinati soggetti nei tre insiemi. Ogni componente rappresenta nel tempo il numero di soggetti presenti in un dato insieme, naturalmente deve valere: ( ) ( ) ( )* * * *S t I t R t const t+ + = ∀ ∈ℜ

I tre insiemi sono discreti. Entrambe le costanti rappresentano tassi di crescita e pertanto sono valori positivi.

Linearizzazione del modello in forma generale

La non linearità del modello ci impedisce di poter pervenire a molte conclusioni su questo che potremmo facilmente trovare mediante particolari teoremi che sono però applicabili sono a sistemi LTI. Tale impedimento si concretizza in una rilevante necessità di linearizzazione, la quale ci permetterà di analizzare il sistema in intorni di determinati stati dove le conclusioni che effettueremo assumeranno comunque rigore matematico e fisico. Relazione di linearizzazione: La relazione fondamentale da cui si parte per linearizzare è la seguente: definiamo un punto qualsiasi nell’insieme degli stati e consideriamo che il sistema vari solamente in un intorno di questo punto; ciò implica che sia l’uscita che l’ingresso assumeranno valori localizzati in un intorno di un determinato punto dei rispettivi insiemi, da quanto detto si hanno le seguenti relazioni:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x t x t Xy t y t Yu u u t Y

σ

χ σ χγ σ γπ σ π

∈ℜ

⎧ = + ∀ ∈⎪

= + ∈⎨⎪ = + ∈⎩

Queste relazioni implicano che lo stato si muova nell’intorno di un punto denominato polo di linearizzazione, l’uscita è l’uscita relativa a tale polo così come l’ingresso, e ciascuna di queste ultime due grandezze varia in un intorno dello stesso raggio σ dei poli identificati.

Linearizzazione del modello Procediamo a linearizzare il modello sostituendo al modello principale le posizioni appena effettuate:

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

d d d d dd x t f x t x t x t x t f x tx t f x tdt dt dt dt dtdt

y t x t y t x ty t x t

χ σ χ σ χ σ χ σ σ χ σ

γ σ η χ σ γ σ η χ ση

⎧ ⎧⎧ + = + + = + = = +=⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪+ = + + = +=⎩ ⎩ ⎩

Procediamo a linearizzare il modello sfruttando la serie di Taylor interrotta al primo ordine:

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )

f x t f f x t o x tx

x t x t o x tx

f x t f f x t o x t f x t f f x t o x tx x

x t x t o x t x t x t o x tx x

ff x t f x tx

χ σ χ χ χ χ

η χ σ η χ η χ χ χ

χ σ χ χ χ σ χ χ σ χ χ σ χ χ σ σ

η χ σ η χ η χ χ σ χ χ σ χ η χ σ η χ η χ σ σ

χ σ χ σ χ

∂⎧ + = + − + −⎪⎪ ∂ ⇒⎨ ∂⎪ + = + − + −⎪ ∂⎩

∂ ∂⎧ ⎧+ = + + − + + − + = + +⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂⇒ ⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪+ = + + − + + − + = + +⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

∂+ = +

∂( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

o x t

x t x t o x tx

σ

ηη χ σ η χ σ χ σ

⎧ +⎪⎪⎨ ∂⎪ + = + +⎪ ∂⎩

Tenendo conto delle sostituzioni fatte precedentemente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

00d f d fx t f x t o x t x t x t o x tfdt x dt x

y t x t o x t y t x t o x tx x

σ χ σ χ σ σ σ χ σχη ηη χ γγ σ η χ σ χ σ γ σ γ σ χ σ

∂ ∂⎧ ⎧= + + = + +⎪ ⎪⎧ =⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨∂ ∂=⎪⎩⎪ ⎪+ = + + + = + +⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

d fx t x t o x tdt x

y t x t o x tx

σ σ χ σ

ησ σ χ σ

∂⎧ = +⎪⎪ ∂⎨ ∂⎪ = +⎪ ∂⎩



La forma finale è quella appena ottenuta, effettuando adesso il processo di approssimazione, non teniamo più conto dell’errore commesso e non consideriamo i termini di ordine superiore, avremo allora la forma generale in forma differenziale del sistema linearizzato:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

d f d fx t x t x t x tdt x dt x

y t x t y t x tx x

σ σ χ χσ

η ησ σ χ χ

∂ ∂⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂⇒ ≠ ⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪= =⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

La forma differenziale deve essere risolta al fine di ottenere le matrici A, B, C e D. In questo caso abbiamo solo le matrici A e C che andremo a calcolare (e che dipenderanno dal polo di linearizzazione) e il calcolo verrà effettuando mediante la risoluzione di differenziali che rappresentano jacobiani di varie dimensioni:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ }

1 1 11 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3

2 2 21 2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 3 1 2 3

3 3 32 2 2

1 2 31 2 3

f f fx t x t x t x t x t x t

x x x x x xf f ff x t x t x t x t x t x t x t x t x t

x x x x x x xf f f x t x t x t

x x xx x x

λ λ λ

λ δ λ δ λ δ

δ δ δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥

= = − − −⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦⎣ ⎦

{ } { } { }

{ } { } { }

{ } { } { }

( )

1 2 1 2 1 21 2 3

2 1 2 1

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 11 2 3

2 2 21 2 3

1 2

0 00 0

0 0 0 0

x x x x x xx x x

x xfx x x x x x x x x x x

x x x x

x x xx x x

x x x

λ λ λλ λ λχ λχ

λ δ λ δ λ δ λ λ δ χ λχ λχ δδ δ

δ δ δ

η η η

=⎥⎥⎥⎥

∂ ∂ ∂⎡ ⎤− − −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − = − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂

( ){ } ( ){ } ( ){ } { } { } { } [ ]

( ) [ ]

2 2 2 2 2 23 1 2 3 1 2 3

0 1 0

0 1 0

x t x t x t x x xx x x x x x x

x

η

η χ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

=∂

Otteniamo un sistema lineare che è dunque il nostro sistema originale linearizzato in un polo generico che dovrà essere definito in seguito relativamente alle esigenze riscontrate. Ma si tratta di una nostra scelta, manteniamo infatti un modello in cui le matrici dipendono dal polo di linearizzazione:

( )

( ) [ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

2 12 1

1 11 1

0 00 0

0 0 0 0

0 1 00 1 0

f ddA x t x tx t Ax tx dtdty t Cx t

y t x tCx

λχ λχ λχ λχχ λχ λχ δ λχ λχ δ

δ δη χ

⎧ − −⎡ ⎤ ⎧ − −⎡ ⎤∂⎪ ⎢ ⎥ ⎪= = − ⎧ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ = −=⎪ ⎪ ⎪∂ ⎢ ⎥⇒ ⇒⎢ ⎥⎨ ⎨ ⎨⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪=⎩∂⎪ ⎪ == = ⎩⎪ ∂⎩

La linearizzazione ci permetterà da adesso di definire molte proprietà del sistema di Kermack e McKendrick.

Analisi degli stati di equilibrio del sistema

Troviamo per prima cosa gli stati in cui il sistema risulta essere in equilibrio mediante la definizione stessa, ovvero ponendo il differenziale dello stato pari a zero.

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1

1 2 1 21 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 22

3

00 00

0 0 0 00 00

0

d x tdt x t x t x xx xd x t x t x t x t x x x x xdt

x xx td x tdt

λ λλλ δ λ δ λ δ

δ δδ

⎧ ⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎪⎧− = − =− = ⎧⎧⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − =⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎣ ⎦

⎪ ⎪ ⎪ ⎪= == ⎩ ⎩⎩⎪⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎪⎩

Procediamo alla risoluzione del sistema (non lineare) in modo da trovare gli stati di equilibrio. Notiamo che il sistema si presenta in una forma comoda e può essere analizzato caso per caso a seconda dell’annullamento sequenziale dei vari fattori moltiplicativi di cui si compongono tutte e tre le equazioni. Prima di procedere notiamo anche che il sistema è di tre equazioni in due incognite, questo significa che abbiamo una relazione di troppo, ma essendo il sistema non lineare, non possiamo rimuovere una relazione, effettueremo i conti con l’equazione in più e se una variabile assumerà nello stesso tempo valori non coerenti il caso in esame verrà annullato e non produrrà stati di equilibrio. Caso 1:

( )1 1 1

1 2 2 2 ,1

32 22

0 0 0 00 0 0 0

0 00e

x x xx x x x x

xx xxλ δ δ

δδ

= = =⎧ ⎧ ⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =⎨ ⎨ ⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥= == ⎣ ⎦⎩ ⎩⎩

Otteniamo una classe di stati di equilibrio. Caso 2:



( )2 2 1

1 2 ,2

32

0 00 0 0 0

0 00e

x x xx x x

xxλ δδ

= =⎧ ⎧ ⎡ ⎤⎪⎪ ⎢ ⎥− = ⇒ = ⇒ =⎨⎨ ⎢ ⎥⎪⎪ ⎢ ⎥== ⎩ ⎣ ⎦⎩

Otteniamo una classe di stati di equilibrio in cui rientra il primo caso preso in esame. Caso 3:

11 1 1

1

1 2 1 2 2 2 2 ,3

32 2 2 22

00 0 0 0 0 0

0 0 0 00

e

xx x xxx x x x x x x x

xx x x xx

δδ δ δ δλλ δ λ λ λ λ

δλ λ λ δλ

δ δ δδ

⎧ =⎧ ⎧ ⎧ ⎡ ⎤⎪= = =⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥− =⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎨⎨ ⎨ ⎨− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =⎨ ⎢ ⎥⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎢ ⎥⎪⎪ ⎪ ⎪= = = = ⎣ ⎦⎩ ⎩ ⎩ ⎩=⎩

Otteniamo qui un’altra classe di stati di equilibrio. Non sono contemplati altri casi che non siano già stati considerati, quelli trovati sono gli stati di equilibrio voluti, anzi ne considereremo solo due, gli ultimi due, in quanto il primo caso è contemplato nel secondo. Gli stati di cui dobbiamo analizzare la stabilità sono allora:

1

,2 ,3

3 3

0 0e e

xx x

x x

δ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∨ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Analisi della stabilità dei punti di equilibrio Analizziamo adesso la tipologia dei punti di equilibrio trovati, visto che questo ultimi sono classi di stati e non singoli stati, raggrupperemo in classi anche l’analisi delle stabilità dando informazioni sulla stabilità di ciascuna delle due classi di stati di equilibrio.

Analisi della stabilità del primo punto di equilibrio Analizziamo la stabilità della prima classe di stati di equilibrio, usiamo dunque il sistema linearizzato calcolato nella classe considerata:

( ) ( )

( ) [ ] ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) [ ] ( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

,2 ,2 ,2 ,12 1 1

1 1 1 1,2 ,1 ,2 ,1

00 0 00 0 0

0 0 0 00 00 1 0 0 1 00 1 0

e e

e e

x x xd d dx t x t x t x x x t x t x x x tdt dt dt


λ λλχ λχ λλχ λχ δ λ λ δ λ λ δ

δ δδ

⎧ − −⎡ ⎤⎧ − − ⎧ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − = −⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪= ==⎩ ⎩⎩

La matrice di stato, che dovrebbe essere costante, varie nell’intorno dei vari stati di equilibrio rappresentati dalla classe presa in esame. Determiniamo dunque gli autovalori della matrice di stato:

( ) ( )

( )( )

( )

1 12

1 1 1 1 1 1 1

3 21 1 1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 1

0 0 00 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

x xA x x I A x x x x x

x x x x x x

I A x x x x x

x x x x

λ ψ λλ λ δ ψ λ ψ λ δ ψ ψ λ δ ψ λ λ

δ δ ψ

ψ λ ψ δψ λ λ ψ ψ λ δ λ λ ψ

ψ ψ λ δ λ λ ψ ψ ψ λ δ λ

ψ ψ λ δ λ ψ ψ λ λ δ ψ

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⇒ − = − + = − + − − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + + = − + + ⇒

− = ⇒ − + + = ⇒ = ∨ − + + = ⇒

= ∨ = − − ⇒ = ∨ = − − ⇒ = ( )1 11 x xψ λ λ δ∨ = − −

Abbiamo trovato due autovalori come previsto e dobbiamo controllarne la parte reale, entra qui in gioco la discussione della stabilità in quanto abbiamo tutte le grandezze espresse a livello parametrico e la dipendenza si ha sia dal polo di linearizzazione che dalle costanti fisiche del modello. Notiamo subito che un autovalore è nullo, questo per l’analisi della stabilità implica già l’assenza di stati asintoticamente stabili; dobbiamo comunque far riferimento al secondo criterio di Lyapunov e, in base al criterio, la presenza di un autovalore nullo implica già che qualsiasi sia il secondo autovalore, il sistema linearizzato in questo stato di equilibrio possiede stabilità indeterminata. Non possiamo pronunciarci sulla stabilità di questo stato.

Analisi della stabilità del secondo punto di equilibrio Analizziamo l’ultimo punto di equilibrio, a questo scopo ricalcoliamo il modello linearizzato avente per polo il punto in esame. Analizzeremo in seguito gli autovalori della matrice di stato sfruttando in questo modo, come fatto precedentemente, i teoremi di stabilità. Notare che il teorema per la stabilità uniforme, ovvero il teorema che afferma che gli stati di equilibrio di un sistema LTI sono tutti identici, non può essere applicato in quanto il nostro modello linearizzato assume forme sempre nuove a causa della variazione del polo di linearizzazione. Dovremo analizzare caso per caso puntualmente.

( ) ( )

( ) [ ] ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) [ ] ( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

,3 ,2 ,3 ,12 1

1 1 ,3 ,1 ,3 ,1

0 0000 0 0

0 0 0 00 00 1 0 0 1 0

0 1 0

e e

e e

x xd dx t x t x t x x x t d x t x tdt dt dt


δλλ λλχ λχ λλχ λχ δ λ λ δ δ δλ λ δ

λ λδ δδ

⎧ ⎡ ⎤−⎪⎧ − − ⎢ ⎥⎡ ⎤⎧ − −⎡ ⎤⎪⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥= − = − ⎪⎪⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦= =⎩ ⎩ ⎪ =⎩



( ) ( )

( ) [ ] ( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 0 0 00 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0 1 0

d dx t x t x t x tdt dt

y t x t y t x t

δ δδ δ δ δ

δ δ

⎧ − ⎧ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎩ ⎩

Procediamo a calcolare gli autovalori, in questo caso abbiamo una matrice costante:

( ) ( )3 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 00 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

A I A I A

i i

δ ψ δδ ψ δ ψ ψ δ ψ ψ δ ψ ψ ψ δ ψ

δ δ ψ

ψ ψ δ ψ ψ δ ψ ψ δ ψ ψ δ ψ ψ δ

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⇒ − = = + = + ⇒ − = ⇒ + = ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= ∨ + = ⇒ = ∨ = − ⇒ = ∨ = − ⇒ = ∨ = ± ⇒ = ∨ = ±

Vediamo immediatamente che un autovalore è nullo e l’altro possiede parte reale nulla. Per il secondo criterio di Lyapunov non possiamo pronunciarci sulla stabilità di questo stato di equilibrio.

Riassunto stabilità Osserviamo che il modello di Kermack-McKendrick fondamentalmente non possiede stati di equilibrio, perché sono indeterminati. Ne deduciamo che è difficile che la diffusione di un agente patogeno riesca a generare un equilibrio in una popolazione infettata. Questo d’altronde potrebbe essere anche logico, il modello analizza infatti un’epidemia, lo scopo di Kermack e di McKendrick era quello di analizzare proprio un fenomeno di epidemia, ovvero un’infezione improvvisa che agisca in un arco di tempo limitato. Se tale sistema possedesse degli equilibri asintoticamente stabili avremo non un fenomeno epidemico ma endemico, ovvero di un’infezione cronica perdurante nel tempo in equilibrio in una popolazione. Comunque non dobbiamo dimenticare che degli stati di equilibrio potrebbero esserci, avere indeterminatezza non significa avere valori nulli; ebbene come prima detto il modello Kermack-McKendrick analizza fenomeni epidemici, come abbiamo osservato la presenza di equilibri genererebbe fenomeni di endemia, ebbene, nulla toglie che un’epidemia possa sfociare in un’endemia sotto particolari condizioni.

Analisi della controllabilità del sistema

Vediamo adesso di analizzare la raggiungibilità del sistema. La prima difficoltà che incontriamo è proprio quella di non poter utilizzare i teoremi per la controllabilità a causa della non linearità del sistema, ma in questo caso il modello linearizzato precedentemente, ci dà la possibilità di bypassare questo ostacolo e di far valere la controllabilità, se presente, in un intorno di uno stato. Sfruttiamo allora il modello linearizzato in forma generica, ovvero senza definire un polo di linearizzazione, e verifichiamo se il sistema risulta essere controllabile nell’intorno di un punto o, eventualmente, in tutti gli stati. Per fare questo analizziamo la matrice di raggiungibilità del sistema linearizzato:

[ ] [ ][ ] ( )

1 2, ,..., 3 , ,0 0,0,0 0

nR B AB A B n R B AB A BB R Bρ

−= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

Notiamo immediatamente che l’assenza della matrice B causa immediatamente la non raggiungibilità del sistema, la matrice R infatti è composta solo da zeri e il minore complementare con determinante non nullo ad ordine maggiore non è possibile da trovare, anzi non esiste neanche un minore a determinante non nullo, neanche l’ordine 1, per questo motivo il sistema non è mai raggiungibile.

Analisi dell’osservabilità del sistema

Analizziamo l’osservabilità del sistema Kermack-McKendrick anche qui servendoci del modello linearizzato in un generico polo. Analizziamo dunque la matrice di osservabilità costruendocela:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 2

2 1

1 1 1 1

2 22 1 2 1 1 12 1 2 1

21 1 1 1 2 1 1 1 1 1

, ,..., 3 , ,0

0 1 0 0 00 0

00 00 0

0 0 0 0

T TnO C CA CA n O C CA CA

CA

A

λχ λχλχ λχ δ λχ λχ δ

δ

λχ λχ λχ λχ λχ λχ δλχ λχ λχ λχλχ λχ δ λχ λχ δ λχ λχ λχ λχ δ λχ λχ

δ δ

−= ⇒ = ⇒ =

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− − − − − −− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ − = − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )212

1 1

00

λχ δδλχ δλχ δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

[ ]( ) ( )

2 22 1 2 1 1 1

222 1 1 1 1 1 1

21 1

22 1 1 1 1 1 1

21 1

2 22 1 1 1 1 1 1

0

0 1 0 00

0

0 1 0, , 0

0

T

CA

CO C CA CA CA

CA

λχ λχ λχ λχ λχ λχ δ

λχ λχ λχ λχ δ λχ λχ λχ δδλχ δλχ δ

λχ λχ λχ λχ δ λχ λχ λχ δ

λχ λχ δ

λχ λχ λχ λχ δ λχ λχ λχ δ

⎡ ⎤− − − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ − + − − + − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − + − − + −⎣

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

Analizziamo il rango della matrice di osservabilità:



( ) 3Oρ < Notiamo subito che tale rango non potrà mai essere massimo per qualunque condizione o parametro o polo, questo fatto è dovuto alla colonna nulla che la matrice di osservabilità possiede, le proprietà dei determinanti sono chiare, una matrice con una riga o una colonna nulla possiede e possiederà sempre determinante nullo. Questo ci dice che Kermack-McKendrick non è mai osservabile.

Discussione sulla controllabilità e sull’osservabilità

Abbiamo visto che il modello di Kermack e McKendrick non è mai osservabile e non è mai raggiungibile. La teoria dei sistemi ci insegna che tale fatto è indice di una patologia intrinseca del sistema, meglio, della dimensione dello stato del sistema; ma se ci riflettiamo bene anche se utilizzassimo un vettore bidimensionale per lo stato la matrice R sarebbe sempre e comunque nulla così anche per uno stato scalare.

Nessun controllo Tutte queste informazioni, se pur negative, ci dicono che il sistema preso in esame è tale da non ammettere controllore, ovvero un fenomeno epidemico non può essere controllato mediante una retroazione dello stato con una matrice dei guadagni, d’altronde se questo fosse possibile, se fosse possibile imporre all’agente patogeno un profilo di crescita a nostro piacimento, tutti i problemi relativi alle malattie infettive sarebbero risolti già da anni cercando proprio di applicare un processo di imposizione di autovalori. Ma questo non è possibile e la spiegazione è proprio questa: il sistema non è mai raggiungibile, la diffusione di un agente patogeno non può essere alterata facilmente.

Osservazione non possibile Dall’altro lato la cronica non osservabilità del sistema ci dice anch’essa molte cose. In prima battuta che il sistema non è in forma minima, ma questo lo avevamo già visto con la non raggiungibilità, se volessimo rendere il modello osservabile dovremo diminuire la dimensione dello stato, ebbene anche facendo questo, la colonna nulla nella matrice A persisterebbe e la coppia (C,A) sarebbe comunque non osservabile. Questo ci dice un’altra cosa: un’epidemia ad un qualsiasi stato evolutivo, quando analizzata poco tempo dopo il suo inizio, non rende possibile il rintracciamento dello stato iniziale. Se questo fosse possibile molti problemi relativi al come un’epidemia è insorta sarebbero stati risolti, ma questo finora non è mai stato possibile salvo alcuni casi che però non rientrano nella nostra analisi.

Conclusioni finali

Il modello di Kermack e McKendrick considerato da molte informazioni circa le dinamiche con cui un agente infettivo penetra e si diffonde in una popolazione inizialmente sana. Notare come sia la controllabilità che l’osservabilità si sono verificati non possibili. Il motivo è che naturalmente, il sistema non possiede nessun ingresso. Ebbene non è possibile però concepire un tale modello con degli ingressi in quanto, realmente, qualsiasi parametro utilizzeremmo come ingresso, nella pratica non si potrebbe mai regolare. Il modello di Kermack e McKendrick dunque altro non è che un modello di analisi evolutiva, il sistema, come abbiamo visto, lasciato evolvere liberamente, da informazioni e dati utili. A tal fine la nostra analisi su questo modello termina qui.




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Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello diffusione epidemica di Kermack e McKendrick (completato).docx


Numero revisione: 0



Note: NONE

Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello descrittivo per le dinamica generale emissario/immissario in un bacino acquifero (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello emissario immissario (completato).docx


Oggetto: Analisi matematica dell’equilibrio di afflusso e deflusso in un lago alimentato da una falda, da un immissario e avente una componente costituita da un emissario principale.

Analisi problema Ci proponiamo di studiare la dinamica presente in un sito geografico dove è situato un bacino acquifero, meglio identificabile come un lago, al quale affluisce un immissario e dal quale ha origine un emissario, vogliamo inoltre osservare il comportamento dell’afflusso e del deflusso di acqua quando è presente anche una falda acquifera capace di alimentare il bacino in questione. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerato un bacino acquifero di dimensioni abbastanza grandi da poter essere considerato un lago di media capacità, che si identifichi dunque come un lago esistente geograficamente.

• Si prenda in esame un ramo di afflusso principale di questo bacino costituito da un fiume capace di rifornire il bacino di acqua.

• Si consideri anche un altro ramo di deflusso questa volta, costituito da un fiume, capace di prelevare acqua dal bacino in esame.

• Si consideri inoltre la presenza di una falda acquifera sotterranea, situata sotto il bacino, avente una determinata capacità, si ipotizzi che la falda in questione sia in grado di alimentare, limitatamente, il bacino di acqua.

• Si consideri tale sistema come ideale, ovvero tutti gli elementi che lo compongono si possono pensare e rappresentare come elementi idraulici. L’intero sistema si ipotizza dunque condensabile in una forma di rappresentazione idraulica in cui i rami di afflusso e deflusso sono immaginati come tubi connessi ad una vasca di raccolta, la falda è anch’essa assimilabile come una vasca.

Sotto queste condizioni vediamo di formulare un modello matematico in grado di descrivere, quanto più precisamente o approssimativamente possibile, il quantitativo d’acqua presente nel bacino.

Determinazione delle equazioni differenziali del modello

Cerchiamo di derivare le equazioni del modello mediante una semplice analisi quantitativa delle masse d’acque nel bacino. Osserviamo subito una cosa: quello che è necessario è far comparire le derivate, dato che siamo in un caso di tempo continuità; ebbene le derivate, in questo caso, appaiono se consideriamo in questo sistema le portate d’acqua dei vari bacini e rami. Ricordiamo infatti che la portata è il quantitativo di fluido, liquido, che attraversa una data superficie, o che percorre un determinato volume, nel tempo; riferendoci alla prima definizione otteniamo quello che volevamo. Portate: Ebbene possiamo subito dire che il quantitativo d’acqua che esce dal bacino a causa dell’emissario non dipende dall’emissario ma dall’immissario, dal bacino stesso e dalla falda; in particolare viene a sottrarsi del volume d’acqua del bacino, viene ad aggiungersi il volume d’acqua derivante dalla falda che si somma anche al contributo dell’immissario. Infine osserviamo che il volume della falda dipende dal bacino, ovvero da quanta acqua il bacino ha sottratto dalla falda stessa.

Equazioni descrittive del sistema Ebbene in base a quanto detto otteniamo le seguenti relazioni:

b b f i

f f

P kV hV V

P hV

= − + +⎧⎪⎨ = −⎪⎩

Le grandezze che individuiamo sono le seguenti: 1. ,b fP P Indichiamo con questi simboli rispettivamente la portata d’acqua del bacino e della falda.

2. , ,b f iV V V Indichiamo con questi simboli i volumi d’acqua di cui sono responsabili rispettivamente il bacino, la

falda e l’immissario. 3. ,k h

Queste costanti indicano la proporzionalità che influenza il passaggio d’acqua rispettivamente per il bacino e la falda.

Osservare come le portate verranno presto portate sotto forma di derivata.



Equazioni del modello La portata è il quantitativo d’acqua portato nell’unità di tempo, in parole povere la derivata del quantitativo d’acqua nel tempo. A tale scopo prenderemo come coordinate del nostro modello le seguenti:

1. Stato: Lo stato del nostro sistema coinciderà con il volume d’acqua contenuto nel bacino e col volume d’acqua contenuto nella falda.

2. Ingresso: Come è possibile vedere dalle equazioni l’immissario fornisce un quantitativo costante di acqua. Ebbene daremo come ingresso proprio il volume d’acqua fornito dall’immissario.

3. Uscita: Come uscita siamo interessati a monitorare il volume d’acqua del bacino.

Da quanto detto, le nostre grandezze sono le seguenti:

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )bi b

f

V tx t u t V t y t V t

V t⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

Le equazioni del sistema assumono la seguente forma, esprimendo il sistema in forma di stato:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

2 2

1

d x t kx t hx t u tdtd x t hx tdty t x t

⎧ ⎡ ⎤ = − + +⎣ ⎦⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦⎪⎪

=⎩

Analisi delle caratteristiche del modello

Osserviamo le equazioni del modello in forma di stato e analizziamo le principali proprietà che derivano da una tale configurazione:

1. Il modello risulta essere regolare in quanto le relazioni di regolarità sono verificate data la dipendenza delle derivate delle componenti dello stato dallo stato stesso e dall’ingresso.

2. Notiamo inoltre che il sistema è lineare, è dunque possibile individuare la quadrupla di matrici descrittive di questo sistema:

( )( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

11 0 0 :

0 0x t A x t B u tk h

A B C D S th y t C x t

∂⎧ = ⋅ + ⋅−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪= = = = ∂⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ = ⋅⎩

3. Il modello è tempo continuo in quanto il tempo assume valori in un insieme continuo. 4. Il modello è tempo invariante in quanto essendo regolare e non avendo il tempo figurante in forma esplicita

nelle relazioni differenziali, le condizioni di tempo invarianza sono date. 5. Il modello è un sistema a dimensione dello stato finita in quanto il vettore stato risulta possedere un numero

limitato di componenti. 6. Il modello è a stati infiniti in quanto tutti i possibili volumi che la falda e il bacino possono assumere sono infiniti. 7. Possiamo infine notare che il nostro modello sembrerebbe essere del secondo ordine. Evinciamo questa

informazione dal fatto che l’ordine del vettore di stato è 2, ovvero lo stato possiede 2 componenti. In effetti questa informazione non è valida fino a quando non calcoliamo la funzione di trasferimento, lei sarà in grado di darci un’informazione esatta sull’ordine del sistema. Attualmente possiamo pronunciarci affermando che l’ordine di questo sistema può al massimo essere 2.

8. Il modello è di tipo SISO.


Vediamo adesso di analizzare i punti di equilibrio che il sistema presenta. Con la definizione dunque annulliamo le derivate nelle relazioni del sistema e procediamo al calcolo:

( )

( )

11 2 1 2 1 1 1

2 2 2 222

0 0 0 00 0 0 0 00

d ux t kx hx u kx hx u kx u kx u xdt kd hx x x x xx tdt

⎧ ⎡ ⎤ = ⎧⎣ ⎦⎪ − + + = − + + = − + = − = − =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = = = =⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎪ ⎪ =⎡ ⎤ = ⎩⎣ ⎦⎪⎩

L’unico punto di equilibrio è assunto quando il volume della falda è nullo, ovvero non vi alimentazione dalla falda, e quando il bacino raggiunge un volume particolare.

0e

u kx

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Analisi della stabilità Analizziamo la stabilità del punto di equilibrio trovato. Procediamo dunque a considerare il criterio di Lyapunov ed analizziamo gli autovalori della matrice di stato:

( )( ) 00 0k h k h k

A I A k hh h h

λ λλ λ λ

λ λ− + − = −⎛ ⎞ ⎧

= ⇒ − = = + + = ⇒ ⎨⎜ ⎟− + = −⎝ ⎠ ⎩

Vediamo subito che ambedue gli autovalori sono negativi. Ebbene il sistema è asintoticamente stabile. Quando infatti variamo di poco lo stato del sistema, esso tenderà ad assumere lo stato di equilibrio col tempo.




Controlliamo adesso che il sistema sia raggiungibile al fine di verificare, in una prima battuta, se c’è la speranza che il sistema sia in forma minima e che goda di una serie di importanti proprietà. Analizziamo la raggiungibilità della coppia (A,B):

[ ] [ ]

( )

1, ,..., 2 ,1

0 0 0

10 1

0 0

nR B AB A B n R A ABk h k

ABh

kR R Rρ

−= ⇒ = ⇒ =

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ <⎜ ⎟⎝ ⎠

Vediamo con calcoli semplici che il sistema non è controllabile. Questa situazione ci mette davanti a una condizione poco positiva in quanto non avere il sistema in forma minima ci indica la presenza di una patologia cronica e intrinseca presente nel nostro modello. Inoltre sappiamo una cosa: il nostro modello ha ordine di stato pari a 2. Ebbene in realtà questo sistema ha grado 1 in quanto la mancanza di una forma minima indica che stiamo considerando un numero di variabili di stato eccessivo. Possiamo allora prevedere che la funzione di trasferimento avrà grado 1.


Il sistema non è in forma minima, quindi che sia osservabile o meno non ha importanza ai fini della forma minima. Piuttosto effettuiamo il calcolo in ogni caso in quanto l’osservabilità tornerà utile dopo. Costruiamo dunque la matrice d’osservabilità:

[ ] [ ]

( ) ( )

( )

1, ,.., 2 ,

1 00

1 0 1 00 2

T TnO C CA CA n O C CAk h

CA k hh

O O h Ok h k h

ρ

−= ⇒ = ⇒ =

−⎛ ⎞= ⋅ = −⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⇒ = = ≠ ⇒ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Supponendo naturalmente, come è logico, che i fattori di proporzionalità che identificano la principale caratteristica della falda e dell’immissario non siano nulli (se fossero nulle tali costanti esprimerebbero inesistenza di falda ed emissario e il modello perderebbe di logicità), abbiamo che la matrice di osservabilità ha rango massimo. Il sistema è osservabile.

Funzione di trasferimento del sistema

Terminate le operazioni di analisi iniziale del sistema preoccupiamoci di analizzarne il comportamento sotto la perturbazione di particolari segnali di ingresso. Al fine di effettuare processi di questo tipo calcoliamo la funzione di trasferimento del sistema.

Calcolo della funzione di trasferimento Consideriamo le equazioni del modello e perveniamo alla funzione di trasferimento definita come:

( )( )[ ]( )[ ]

( )( )

y t Y sH sU su t

= =ℑℑ

Dal sistema in forma di stato procediamo a trovare la funzione di trasferimento trasformando in Laplace a destra e a sinistra delle equazioni:

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

1 1 2

1 1 2

2 2 2 2

11

1 1 2

2 2

d x t kx t hx t u tdt s x t kx t hx t u td x t hx t s x t hx tdt

y t x ty t x t

s x t k x t h x t u t

s x t h x t

⎧⎡ ⎤ = ⎡− + + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎧ ⎡ ⎤ = ⎡− ⎤ + ⎡ ⎤ +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ = ⎡− ⎤ ⇒ ⎡ ⎤ = ⎡− ⎤ ⇒⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ = ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩= ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤ = − ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ = − ⎡⎣ ⎦ ⎣

ℑℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ ℑℑ ℑℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ ℑℑ ℑ

ℑ

ℑ

( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )[ ]

( )( )

( )( ) ( )

1 1 2 1 1

2 2 2

1 11

1 11

21 1

1

0

10

sX s kX s hX s U s sX s kX s U ssX s hX s X sY s X s Y s X sy t x t

sX s kX s U sy t X sY sX s H s

U s sX s kX s s ku tY s X s

⎧ ⎧ = − + + ⎧ = − +⎪ ⎪ ⎪⎪

⎤ ⇒ = − ⇒ = ⇒⎨ ⎨ ⎨⎦⎪ ⎪ ⎪= == ⎡ ⎤ ⎩ ⎩⎪ ⎣ ⎦⎩⎧ + =⎪

= ⇒ = = = =⎨+ +⎪ =⎩

ℑ ℑ

ℑℑ

Notiamo subito una cosa importante nel modello immissario emissario. La funzione di trasferimento ci indica l’ordine del sistema dal grado del polinomio a denominatore. Ebbene il sistema è del primo ordine. La cosa appare sconcertante solo per un aspetto, infatti vediamo che il sistema possiede lo stato bidimensionale, a rigore si potrebbe dire che il sistema dovrebbe essere del secondo ordine, invece la funzione di trasferimento ci dice che questo non accade, anche in presenza di una variabile di stato a dimensione 2 il sistema si mantiene semplice. D’altronde, il fatto che il sistema non fosse in forma minima era chiaro già dalla verifica della non raggiungibilità, la quale ci dice chiaramente che il sistema possiede dei difetti nel numero di variabili di stato prese in esame.



Analisi delle risposte del sistema agli ingressi canonici

Quello che vogliamo fare adesso è portare avanti il calcolo della risposta del sistema nel momento in cui vogliamo applicare un determinato ingresso. Quello che in sostanza ci proponiamo di fare è vedere come si comporta il sistema quando facciamo variare i parametri di volume d’acqua dell’immissario, ovvero l’ingresso, sotto determinati profili.

Profili d’ingresso Gli ingressi che applicheremo saranno dei seguenti tipi:

a. Gradino di Heaviside ad intensità non unitaria. b. Delta di Dirac. c. Rampa non unitaria. d. Funzione esponenziale con fattore esponenziale non unitario. e. Funzione sinusoidale ad impulso determinato.

Analizzando in che modo risponde il sistema in prossimità di questi ingressi, riusciremo a comprendere molto riguardo al suo comportamento.

Calcolo della risposta libera Procediamo subito a calcolare la risposta libera, ovvero quella parte della risposta che non dipende dall’ingresso e che è dunque comune a tutte le risposte calcolate per questo sistema. Supporremmo dunque che allo stato iniziale il bacino si trovi vuoto, mentre nella falda sia presente un volume d’acqua pari al valore µ parametrico. Supporremmo, nei nostri esempi, che per semplicità di calcoli la falda sia riempita con un volume di 1000 litri. ( ) ( )0 0 Tx μ=

Procediamo al calcolo dunque:

( ) ( ){ } ( ) ( )1 1

11 1 1

1

1 0 0 00 1 0 1 0

0 1 0 0

0adj

0 00

0 0

L

TT

k h s k hy C sI A x s

h s h

s k h s h s h hs k h s h h s k s k

s k h s k hs hs h s h

μ μ

− −−− − −

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ − ⎤ + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

+ − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + + +⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝= = =⎜ ⎟ + − + −+⎝ ⎠

+ +

ℑ ℑ ℑ

( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

1 1

1 1

10

0

0 01 11 00

1

L

s h hs k h s ks k s h

s h

s h hy s h h

s ks k s h s k s h

h hs k s h s k s h

μ μ

μ μ

− −

− −

⎞⎜ ⎟ +⎛ ⎞⎠ = ⋅ ⎜ ⎟+ − ++ + ⎝ ⎠

+

⎧ + ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟++ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⋅⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = ⋅ ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ

ℑ ℑ

Procediamo al calcolo dei residui:

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

{ } { }1

1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 11

1 1 1 1 1 1

lim lim

lim lim

s k s k

s h s h

L

L

A Bs k s h s k s h

A s ks k s h s h h k

B s hs k s h s k k h

h k k h h k k hy hs k s h s k s h s k s h

y h h hh k s k k h s h h k s k

μ

μ μ μ

→− →−

→− →−

−

− −

= ++ + + +

= + = =+ + + −

= + = =+ + + −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬− − − −= + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒⎪ ⎪+ + + + + +⎩ ⎭

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− + − + − +

ℑ

ℑ ℑ { }{ } { } ( )

1

1 1

1 1

1 1 kt ht kt ht

k h s hh h h h he e e eh k s k k h s h h k k h h k

μ μ μ μ μ

−

− − − − − −

⋅ =− +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = −

− + − + − − −

ℑ

ℑ ℑ

Questa componente della risposta dovrà essere sommata a tutte le risposte che calcoleremo in seguito in quanto comprende l’analisi dello stato iniziale, importante elemento da non trascurare. Grafico: Possiamo osservare come l’andamento della risposta libera definisca, per valori di k=0,5 h=1 e µ=1000, un andamento la cui monotonia si inverte poco dopo in corrispondenza di t=1,5. Come detto prima, questa risposta, verrà sommata alle altre; di sicuro un simile andamento distorcerà in maniera profonda l’andamento delle varie forzate che troveremo.

Risposta al gradino di Heaviside non unitario Procediamo a calcolare l’uscita, ovvero il volume d’acqua nel bacino, nel caso in cui l’immissario fornisca una quantità d’acqua costante nel tempo:



( ) ( ) ( )heavu t t U ssσσ= ⋅ ⇒ =

Indicando con σ l’intensità del gradino. Procediamo a calcolare la risposta forzata per poi aggiungervi quella libera precedentemente calcolata:

( ) ( ){ } { } ( )1 1 11 1

Fy H s U ss k s s s k

σ σ− − − ⎧ ⎫= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎨ ⎬+ ⋅ +⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ

Procediamo a calcolare i residui per poi antitrasformare:

( )

( )

( )( )

( )

{ } { } ( ) ( )

0 0

1

1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 11

1 11 1 heav heav

lim lim

lim lim

s s

s k s k

F

kt kF

A Bs s k s s k

A ss s k s k k

B s ks s k s k

k k k kys s k s s k s s k

k ky t e t es s k k s k s k k k k

σ

σ σ σ σ σσ

→ →

→− →−

−

− − − − −

= +⋅ + +

= = =⋅ + +

= + = = −⋅ +

⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎨ ⎬= + ⇒ = ⋅ + ⇒⎪ ⎪⋅ + + +⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬= ⋅ + = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ −⎪ ⎪+ +⎩ ⎭

ℑ

ℑ ℑ ℑ [ ]t

La risposta completa è dunque:

( ) ( ) ( )[ ]heavkt ht ktL F

hy t y y e e t eh k k

μ σ− − −⋅= + = − + ⋅ −

−

Grafico: Procediamo a graficare la risposta.

Modello MOD1: Data la necessità di fornire delle rappresentazioni grafiche daremo sempre dei valori determinati ai parametri, risulta indispensabile fornire dei valori alle costanti per generare un modello ben determinato da utilizzare come esempio e come prova dei risultati trovati. A tal fine considereremo sempre il modello per cui le due costanti h e k, le portate, siano rispettivamente pari a 0,5 e 1.

( )( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 11 0 0 1:

0 1 0x t A x t B u t

A B C D MOD ty t C x t

∂⎧ = ⋅ + ⋅−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪= = = = ∂⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ = ⋅⎩

In questo modo, ogni volta che vogliamo graficare o provare dei risultati, ci rifaremo a questo modello. Risposta libera: Infine consideriamo, per tutte le risposte, che nella risposta libera lo stato iniziale possieda, per il valore del volume d’acqua iniziale nella falda, un valore di 1000 litri:

1000μ =

Utilizzando MOD1 consideriamo di graficare la risposta forzata, naturalmente grafiche remo il gradino come una retta al suo valore di intensità parallela all’asse delle ascisse.

Risposta forzata

Risposta completa

Osserviamo che i grafici mostrano valori della risposta, le varie curve, per valori crescenti dell’intensità del gradino. Come possiamo vedere la risposta forzata parte da zero e raggiunge un valore di regime sul quale tende a stabilizzarsi. La risposta completa invece, a causa della componente libera, partendo da zero sale e inverte la monotonia per quindi ridiscendere ad un valore relativamente basso sul quale poi tenderà asintoticamente.

Risposta al delta di Dirac, impulso, con valore unitario Prima di analizzare ingressi più complessi procediamo ad osservare come si comporta il volume d’acqua del bacino se l’immissario fornisse un quantitativo di acqua molto elevato in un tempo infinitesimo: ( ) ( ) ( ) 1u t t U sδ= ⇒ =

Procediamo dunque al calcolo della risposta forzata (calcolo che risulterà essere molto semplice data la natura dell’ingresso):



( ) ( ){ } { }1 1 1 ktFy H s U s e

s k− − −= ⋅ = =

+ℑ ℑ

La risposta completa diventa dunque:

( ) ( )kt ht ktL F

hy t y y e e eh k

μ − − −⋅= + = − +

−

Grafico: Procediamo a graficare la risposta trovata nel modello MOD1:

Risposta forzata

Risposta completa

Non avendo immesso parametri aggiuntivi abbiamo una sola curva. Possiamo osservare come la risposta forzata abbia un andamento decrescente verso il valore zero. Inoltre la forzata ha un profilo di valori davvero molto basso, inferiore sempre a 1, questo rende il suo contributo ininfluente nei confronti della risposta completa che, ragionevolmente, assume l’andamento della risposta libera.

Risposta alla rampa con coefficiente di salita variabile Possiamo adesso a passare ad una classe di ingressi un pochino più complicati e variabili. L’ingresso che ci proponiamo di applicare al sistema è una rampa a coefficiente di salita variabile, ovvero una funzione che nel tempo è definita come: ( )u t tσ= ⋅

Si tratta infatti di una retta che passa per l’origine. Nel dominio di Laplace tale ingresso diventa:

( ) ( ) ( )2 2

1U s t ts s

σσ σ σ= ⋅ = ⋅ = ⋅ =ℑ ℑ

Procediamo allora a calcolare la risposta forzata:

( ) ( ){ } { } ( )1 1 1

2 2

1 1Fy H s U s

s k s s s kσ σ− − − ⎧ ⎫= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎨ ⎬

+ ⋅ +⎩ ⎭ℑ ℑ ℑ


( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 22 2

2

2 2

22 2

1 1 1

01 0

1

1 100 001 1 10 0 1 0

1 1 1 1

A B C As s k B s k Cs As Ask Bs Bk Css s ks s k s

A CA C s Ak B s Bk Ak B

Bk

C CA C A C k kA CAk B Ak Ak A A

k k kB B B Bk k k k

= + + ⇒ = + + + + ⇒ = + + + + ⇒+⋅ +

+ =⎧⎪= + + + + ⇒ + = ⇒⎨⎪ =⎩

⎧− + = ⇒ =⎪+ = + =⎧ ⎧+ =⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −⎪ ⎨⎨ ⎨⎨

⎪ ⎪⎪ = ⎪ ⎪⎪ = = =⎩ ⎩ ⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

Procediamo a sostituire nella formula per il calcolo dell’uscita:

( )

{ } { } { } ( ) ( )

2 2 2 21 1 1 1 1

2 2 2

1 1 12 2 2 2 2

1 1 1 11 11

1 1 1 1 1heav heav

F

kt kt

k k k k k kys s k s s ks s k s s

t t e t t es k s k k k k kk s k k k

σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ

− − − − −

− − − − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬= ⋅ = ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ +⋅ + ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

⎛= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅+

ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )1 1heavkt ht ktL F

hy t y y e e t t eh k k k k

μ σ− − −⋅ ⎛ ⎞= + = − + ⋅ − ⋅ + + ⋅⎜ ⎟− ⎝ ⎠

Notiamo subito che la risposta calcolata ci restituisce un termine che è una rampa, la quale, sommata a tutti gli altri termini trovati, non fa altro che aumentare la tendenza a infinito della funzione per tempi sempre più elevati. Ovvero notiamo nella risposta forzata la presenza di un gradino, di una rampa e anche di un esponenziale. Dato che tutte queste funzioni non possiedono molti elementi che ne garantiscano la limitatezza, a parte il gradino in un certo senso, possiamo aspettarci, con molta probabilità, che l’uscita finale tenda a infinito e non sia limitata.



Grafico: Procediamo a graficare utilizzando MOD1:

Risposta forzata

Risposta completa

I due grafici mostrano l’andamento della risposta forzata e completa per valori del coefficiente di salita crescenti. Possiamo notare come la risposta forzata tenda e infinito a monotonia costantemente positiva. Invece la completa riesce a smorzare fino a un certo punto i valori grandi della forzata, infatti notiamo come la libera, essendo una funzione limitata, possa abbassare i valori della forzata, illimitata, solo quando i valori del coefficiente di salita sono molto bassi.

Risposta alla rampa con ordinata all’origine variabile Rimanendo sulla stessa tipologia di ingresso, questa volta facciamo variare l’altezza della rampa dall’origine degli assi, prenderemo dunque una rampa canonica a coefficiente di salita unitario e porremmo un fattore parametrico additivo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 0

0 0

2 2 2 200

2

1 1 11

1 1 1 1 1 0

1 1 1

lim

st st

st sast

a

u t t U s t t t e dt s e dtss s

e e e es e dts s s s ss s s s

ss

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ

+∞ +∞

− −

+∞+∞ − −−

→+∞

⎛ ⎞= + ⇒ = + = + = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ − ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅ − ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ − + = + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

= + ⋅ =

ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ∫ ∫

∫2 ss

σ+

Procediamo a calcolare la risposta forzata:

( ) ( ){ } { } ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 12 2 2

1 12

1 1 1 1 1 1

1 1

Fy H s U ss k s s k s k s s s ks s s s k

s s ks s k

σ σ σ

σ

− − − − −

− −

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎨ ⎬⎜ ⎟+ + + ⋅ +⋅ +⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫= + ⋅ ⎨ ⎬⎨ ⎬

⋅ +⋅ + ⎩ ⎭⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ

Per eseguire questa antitrasformazione possiamo avvalerci dei risultati precedentemente trovati in quanto le due antitrasformate che dobbiamo risolvere sono state prima trattate, in particolare abbiamo che:

( )( )

( )( )[ ]

12

1

1 1 1 1heav

1 1 heav

kt

kt

t t ek k ks s k

t es s k k

− −

− −

⎧ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + + ⋅⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎪ ⋅ + ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭⎨

⎧ ⎫⎪ = ⋅ −⎨ ⎬⎪ ⋅ +⎩ ⎭⎩

ℑ

ℑ

Avvalendoci di tali risultati possiamo proseguire:

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

1 12

1 1 1 1 1 1heav heav

1 1 1 1 1 1heav heav heav heav

kt ktF

kt kt kt kt

y t t e t es s k k k k ks s k

t t e t e t t e t ek k k k k k k

σ σ

σ σ

− − − −

− − − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞= + ⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ − =⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎜ ⎟⋅ +⋅ + ⎝ ⎠⎩ ⎭⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ℑ ℑ

La risposta completa diventa allora:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 1 1heav heavkt ht kt ktL F

hy t y y e e t t e t eh k k k k

μ σ− − − −⋅ ⎧ ⎫⎛ ⎞= + = − + ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ −⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎩ ⎭

Possiamo notare come in questo caso le cose siano molto differenti dal caso precedente in cui a variare era il coefficiente angolare della rampa e non la sua altezza dall’origine. Da un’analisi preliminare infatti vediamo molto chiaramente che in questo caso sono presenti nuovi termini additivi, in particolare abbiamo, nella forzata, tutti i termini della forzata precedente più altri due termini: un esponenziale e un gradino. Questo, che apparentemente potrebbe sembrare ininfluente dal punto di vista del comportamento generale, genera invece delle diversità notevoli se si considera il modo con cui la funzione totale raggiungerà il regime. Grafico: Graficando la risposta,usando MOD1, forzata e completa, comparando dunque questi risultati con quelli precedenti, possiamo immediatamente notare le differenze di cui parlavamo prima. I grafici mostrano la risposta per valori dell’ordinata all’origine della rampa crescenti; infine si tenga presente che i grafici sono stati calcolati per gli stessi valori del parametro previsti per graficare la risposta precedente.



Risposta forzata

Risposta completa

Dunque vediamo infatti che la risposta forzata tende a infinito come nel caso precedente, solo che qui abbiamo una derivata seconda negativa, ovvero una derivata prima decrescente, ovvero una concavità verso il basso; il tutto si traduce in una salita globale più lenta rispetto a prima. E proprio per una crescita lenta della forzata, abbiamo che la risposta libera non viene poi troppo alterata nel suo andamento una volta sommata alla forzata. Nel caso di prima invece la risposta completa vedeva la componente libera che veniva sempre più scavalcata dai valori della risposta forzata per intensità del coefficiente di salita crescenti.

Risposta all’esponenziale con coefficiente variabile Procediamo adesso a considerare un ingresso che nel tempo, breve tempo, raggiunge valori molto alti. Considereremo infatti che l’immissario fornisca al bacino volumi d’acqua crescenti nel tempo (crescenti in maniera esponenziale, ovvero crescita intensissima e regolare nel tempo). Il nostro ingresso sarà dunque:

( ) ( ) 1tu t e U ss

σ

σ= ⇒ =

−

Procediamo al calcolo della risposta forzata:

( ) ( ){ } { }1 1 1 1Fy H s U s

s k s σ− −= ⋅ = ⋅

+ −ℑ ℑ


( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

lim lim

lim lim

s k s k

s s

A Bs k s s k s s k s

A s ks k s s k k

B ss k s s k k kσ σ

σ σ σ

σ σ σ σ

σσ σ σ

→− →−

→− →−

⋅ = = ++ − + ⋅ − + −

= + = = = −+ ⋅ − − − − +

= − = = =+ ⋅ − + − + −

Possiamo all’antitrasformazione:

{ }{ } { }

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

F

kt t t kt

A B k k k kys k s s k s s k s

e e e ek s k k s k k k k

σ σ

σ σ σ σσ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ

− − − −

− − − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − + −= + = + = + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ − + − + −⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅+ + − − + − − +

ℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ


( ) ( ) 1 1kt ht t ktL F

hy t y y e e e eh k k k

σμσ σ

− − −⋅= + = − + ⋅ − ⋅

− − +

Grafico: Procediamo a graficare, con MOD1, la risposta grafitando per valori del coefficiente esponenziale crescenti. Prima di procedere vediamo però di osservare la forma della risposta forzata e della risposta completa in quanto, e lo si vedrà dai grafici, per poter visualizzare l’uscita, o meglio la classe di uscite per valori del parametro σ crescenti, è necessario distinguere due range di variazione dello stesso parametro. Sappiamo infatti che k assume il valore:

1 2 0.5k = = Notiamo che se attribuissimo a σ tale valore violeremmo le condizioni di accettabilità per questo parametro, essendo infatti che al denominatore apparirebbe uno zero e la divisione per zero non è ammessa. Ebbene si può anticipare che, ragionevolmente, le curve si comportino in maniera differente quando facciamo assumere a σ valori tra 0 e 0.5 e valori tra 0.5 in poi. Abbiamo allora da graficare le nostre curve per due range:

[ [] ]

1: 0,1 2

2 : 1 2,

R

R

σ

σ

⎧ ∀ ∈⎪⎨

∀ ∈ +∞⎪⎩

Range che chiameremo Range 1 e Range 2. Primo range: Possiamo procedere dunque all’analisi del primo intervallo di valori:



Risposta forzata per il range 1

Risposta completa per il range 1

Analisi: Come si vede l’andamento in questo vede una risposta forzata che cresce esponenzialmente; se infatti si controlla l’asse delle ordinate e se ne vede la graduazione si capisce come, in poco più di 6 secondi, l’intera uscita si porti su valori davvero altissimi. Se invece si osserva la risposta completa, per valori di σ molto bassi abbiamo una crescenza non troppo elevata, ma che contempla sempre valori poco al di sotto di 1000 litri; invece valori del parametro che si avvicinano a 0.5 generano andamenti molto accentuati che tendono a far crescere la risposta a valori altissimi in un tempo irrisorio. Secondo range: Analizzando l’altro range:

Risposta forzata per il range 2

Risposta completa per il range 2

In questo caso si osservano comportamenti molto differenti. Si noti infatti come, per un’esponenziale il cui coefficiente si eleva al di sopra del valore 0.5, le risposte si portino su valori negativi. Si osserva infatti che in casi come questo il volume d’acqua del bacino tende a decrescere dopo un certo tempo. Valutiamo il fenomeno in maniera scientifica. Analisi: L’immissario sta fornendo quantitativi di acqua sempre maggiori (consideriamo il parametro di volta in volta fissato ma naturalmente la curva è un’esponenziale e per ascisse maggiori avremo ordinate davvero altissime), a questi ingenti quantitativi il bacino inizia a riempirsi. Il riempimento avviene in maniera repentina, infatti si passa da un volume di acqua pari a zero a un volume complessivo di quasi 500 litri in meno di 1.5 secondi. Dopo questo tempo il bacino inizia a svuotarsi e dopo circa cinque secondi ha raggiunto lo svuotamento completo. In tutto questo non scordiamoci della falda che, partendo da un volume iniziale di 1000 litri rifornisce anch’essa il bacino durante la durata dell’esperimento. Perché dunque il bacino si svuota? Guardando i grafici relativi al range 1 vediamo come quelli relativi al range 2 dovrebbero esserne la continuazione. Possiamo concludere allora una cosa: il range 2 determina un ingresso che è elevatissimo e troppo instabile, parliamo di migliaia di litri di acqua riforniti al bacino in meno di un secondo, genere porta squilibri e non dovrebbe essere condotto, infatti i risultati teorici non aderiscono a quelli fisici.

Risposta ad un ingresso sinusoidale a pulsazione variabile Vediamo adesso di ipotizzare che nel tempo l’immissario rifornisca il bacino in maniera non regolare, ipotizzeremo che infatti l’immissario alterni il flusso d’acqua da valori bassi a valori alti e viceversa. Se però applicassimo una sinusoide normale avremmo che questa funzione farebbe portare i valori dell’immissario su una scala negativa, a tal fine trasleremo la sinusoide di una unità verso l’alto in modo da raggiungere un’aderenza fisica ai risultati: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )2 2

1 sin 1 sin 1 sin heav sin1

u t t U s t t t t

U ss s

ω ω ω ωωω

= + ⋅ ⇒ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ ⇒

= ++

ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ

Procediamo al calcolo della risposta forzata:

( ) ( ){ } { }1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 1Fy H s U s

s k s s k s s ks sω ωω ω

− − −⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =⎨ ⎬⎜ ⎟+ + ++ +⎝ ⎠⎩ ⎭ℑ ℑ ℑ



{ } { } ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 12 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1

1 1s k s s k s s ks s k s

s s k s k s i s i

ω ωω ω

ωω ω

− − − −

− −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ + ⋅ = + ⋅ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + ⋅ ++ ⎩ ⎭ + ⋅ +⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫= + ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⋅ + + ⋅ + ⋅ −⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ

Procediamo a calcolare i residui delle due frazioni, per la prima frazione però possiamo utilizzare i risultati già noti per cui la prima antitrasformata diventa:

( )( )[ ]1 1 1 heav ktt e

s s k k− −⎧ ⎫ = ⋅ −⎨ ⎬

⋅ +⎩ ⎭ℑ

Procediamo dunque al calcolo dei residui della seconda frazione (notare che avremo la presenza di una coppia di fratti semplici a poli complessi coniugati, i loro residui saranno dunque anche complessi e coniugati):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2

1

1 1 1 1

1 1 1 12

1 1 1 12 22 2

lim lim lim

lim lim

s k s k s k

s i s i

A B Bs k s i s i s k s i s i

A s ks k s i s i s i s i s k

B s is k s i s i s k s i i k i i i k i

ki ki

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω

→− →− →−

→− →−

= + ++ ⋅ + ⋅ − + + −

= + = = =+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + +

= + = = = =+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − + ⋅ − − − + ⋅ −

−= = − ⋅ = − ⋅− − + ( ) ( )

2 2 2

4 2 2 2 4 2 2 4 2 22 2

1 1 12 2 2

ki ki ki kik i k kki ki

ω ω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ωω ω ω ω

− − −= − ⋅ = ⋅ = ⋅

− + ++ ⋅ −

Possiamo procedere a risolvere l’antitrasformata:

( ) ( ) ( ) { }

{ }

1 1 1 1

22 2

4 2 22 2 4 2 2 4 2 21 1 1 1

2 2

1

11 1 11 122 2

A B B A B Bs k s i s i s k s i s i s k s i s i

kiki kikk k k

s k s i s i s k sk

ω ω ω ω ω ω

ω ωω ω ω ωω ωω ω ω ω ω

ω ω ω

− − − −

− − − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ = + + = + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎨ ⎬+ ⋅ + ⋅ − + + − + + −⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞−− −⎧ ⎫ ⎪ ⎪⋅⎪ ⎪ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎨ ⎬+⎨ ⎬ ⎝ ⎠+ + += + + = ⋅ +⎪ ⎪⎪ ⎪+ + − + ++⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ ℑ

( ) ( )

( ) ( )

2

4 2 2

2 2Re

2 2 4 2 2 4 2 2

2 2Re

2 2 4 2 2 4 2 2

12

1 1 12 cos Im Arg2 2

1 1 12 cos Im Arg2 2

kt i t

kt i t

kik

i s i

ki kie e i tk k k

ke i e i tk k k

ω

ω

ω ωω ω

ω ω

ω ω ω ωωω ω ω ω ω

ω ω ωωω ω ω ω ω

− − ⋅

− − ⋅

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⋅⎜ ⎟⎨ ⎬+⎝ ⎠+ =⎪ ⎪−⎩ ⎭⎡ ⎤⎛ ⎞− −

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞− −= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅⎜ ⎟

+ + +⎝ ⎠

( ) ( )

4 2 2 4 2 2

2 22 2Re

2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2

1 1 1 12 cos Im Arg2 2 2

kt i t

kik k

k ke e i t ik k k k k

ω

ωω ω ω ω

ω ω ω ωωω ω ω ω ω ω ω ω ω

− − ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⋅ =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

Notiamo che per risolvere l’argomento è necessaria una piccola discussione, siamo fortunati infatti, essendo ω un parametro positivo abbiamo che, nel residuo di cui calcolare l’argomento, la parte reale è sempre negativa e la parte immaginaria è sempre positiva. Ci troviamo nel secondo quadrante, perciò avremo

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2 22 4 2 2Re

2 2 4 2 2 4 2 2 2

4 2 2

22

2 2 4 2 2 4 2 2

1

11 1 1 22 cos Im arctan

2 2 12

1 1 122 2

kt i t

kt

s k s i s ik

k ke e i tk k k

k

kek k k

ω

ω ωω

ω ω ω ωω πω ω ω ω ω ω

ω ω

ω ωω ω ω ω ω

−

− − ⋅

−

⎧ ⎫ =⎨ ⎬+ ⋅ + ⋅ −⎩ ⎭

⎧ ⎫⋅⎪ ⎪⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎪ ⎪+= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬+ + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⋅

⎪ ⎪+⎩ ⎭

⎛ ⎞− ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜+ + +⎝ ⎠ ⎝

ℑ

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2 4 2 2Re

2

4 2 2

4 2 2Re

2 2 2 24 2 2 4 2 2

4 2 2

2 2 24 2 2

cos Im arctan

1 1 12 cos Im arctan4 4

1 124

i t

kt i t

kt

kke i t

k

k ke e i tk k k

ke ek k

ω

ω

ωω ωω π

ωω ω

ω ω ω πωω ω ω ω ω

ω ωω ω ω

− ⋅

− − ⋅

−

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪+⋅ ⋅ − ⋅ + − =⎜ ⎟⎟ ⎨ ⎬⎠ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪+⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎩ ⎭+ +

+= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Re

4 2 2Re

2 2 4 2 2

2 2 2Re

2 2 4 2 2

cos Im arctan

1 cos Im arctan

1 cos Im arctan

i t

kt i t

kt i t

ki t

k ke e i tk k

k ke e i tk k

ω

ω

ω

ω πω

ω ω ω πωω ω ω


− ⋅

− − ⋅

− − ⋅

⎧ ⎫⎛ ⎞⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

+ ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎩ ⎭

⋅ + ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎩ ⎭



( )

( )( )

2 20

2 2 4 2 2

2 2

2 2 2 2

1 cos arctan

1 cos arctan

kt

kt

k ke e tk k

k ke tk k


ω ω πωω ω ω

−

−

⋅ + ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎩ ⎭

+ ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − ⋅ + −⎨ ⎬⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎩ ⎭⋅ +

La risposta forzata assumerà dunque la seguente forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( )( )

( )

1 1

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1

1 1heav cos arctan

1 heav cos arctan

1 heav

F

kt kt

kt kt

ys s k s k s i s i

k kt e e tk k k

k kt e e tk k k

tk

ωω ω

ωω ω πωω ω ω

ω ω ω ω πωω ω ω

− −

− −

− −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= + ⋅ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + + ⋅ + ⋅ −⎩ ⎭ ⎩ ⎭

+ ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎩ ⎭⋅ +

⋅ + ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − =⎨ ⎬⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎩ ⎭⋅ +

= ⋅

ℑ ℑ

[ ]2 2

2 2 2 2 cos arctankt kt k ke e tk k

ω ω ω πωω ω

− − + ⎧ ⎫⎛ ⎞− + ⋅ + ⋅ − ⋅ + −⎨ ⎬⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎩ ⎭

Mentre la risposta completa avrà la seguente forma:

( ) ( ) ( )[ ]2 2

2 2 2 2

1 heav cos arctankt ht kt ktL F

h k ky t y y e e t e e th k k k k

μ ω ω ω πωω ω

− − − −⋅ + ⎡ ⎤⎛ ⎞= + = − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⎜ ⎟⎢ ⎥− + + ⎝ ⎠⎣ ⎦

Grafico: Possiamo procedere a considerare i grafici delle risposte appena trovate.

Risposta forzata

Risposta completa

Si nota come, naturalmente, senza considerare la risposta libera, l’acqua nel bacino possieda un andamento sempre crescente ma sinusoidale; invece la risposta completa non si discosta molto dall’andamento della libera in quanto le quantità fornite dall’immissario sono irrisorie in confronto a quelle fornite dalla falda.

Analisi della risposta in frequenza

Procediamo a calcolare la risposta in frequenza del sistema per poi graficarne modulo e fase e diagramma polare in MOD1.

Calcolo della risposta in frequenza Procediamo applicando la definizione di risposta in frequenza:

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1s i

s i

k i k i kH i H s is k i k k i k i k i k k k

kH ik k

ωω

ω ω ωωω ω ω ω ω ω ω

ωωω ω

==

− −= = = = = = = − ⋅ ⇒

+ + + + ⋅ − + + +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Osserviamo che la risposta in frequenza assume una legge abbastanza semplice.

Analisi di modulo e fase Possiamo adesso vedere come si comporta la fase e il modulo della risposta in frequenza (ovvero il regime della forzata ad un ingresso sinusoidale). Modulo: Calcoliamo il modulo:

( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

k k k kH ik k kk k k

ω ω ω ωωω ω ωω ω ω

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + +

Fase: Vediamo ora la fase (notiamo come la parte reale sia sempre positiva e quella immaginaria sempre negativa):

( )[ ]2 2 2 2

2 2 2 2

arctan arctan arctank kH ik k k

k k

ω ωωω ωω π π π

ω ω

⎡ ⎤− ⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ +∠ = − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦



Grafico: Possiamo dunque graficare il modulo e la fase. Sotto sono riportati modulo e fase con valori di k variabili (crescenti) (modulo e fase ordinari):

Modulo (normale)

Fase (radianti)

Modulo (decibel)

Fase (gradi)

Per i valori di k crescenti i grafici tendono a mostrare curve che scendono verso lo zero (per il modulo originale e la fase sia in gradi che in radianti). Vediamo adesso di estrarre da queste curve quelle che riguardano il sistema MOD1:

Modulo (normale)

Fase (radianti)

Modulo (decibel)

Fase (gradi)

MOD1 presenta le caratteristiche sopra descritte dunque. Possiamo notare dal diagramma in decibel del modulo, che la pulsazione di attraversamento è circa pari a 0.7 rad/s.



Analisi del diagramma polare Avendo già in forma utile la nostra risposta in frequenza, possiamo analizzarne il diagramma polare in modo anche da osservare come il sistema si comporterebbe in termini di stabilità se esso venisse chiuso mediante una retroazione unitaria dell’uscita.

( )2 2 2 2

kH ik k

ωωω ω

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Abbiamo allora che:

Diagramma polare per k crescenti

Diagramma polare di MOD1

Notiamo che MOD1 non presenta circondamenti del punto critico, se si dovesse chiudere il ciclo avremo che il sistema a retroazione unitaria sarebbe stabile.

Controllo del sistema (con analisi preliminare dei disturbi)

Adesso vogliamo capire come i disturbi agiscono sul sistema a ciclo aperto e chiuso di questo sistema. Ovvero vogliamo scoprire se un controllo di qualche tipo rende possibile l’attenuazione di disturbi presenti nel nostro sistema.

Rappresentazione a blocchi della retroazione elementare Procediamo a rappresentare il diagramma a blocchi del modello retroazionato con catena di retroazione unitaria. Sappiamo già dalle proprietà dei sistemi retroazioniati che un sistema non retroazionato, alla presenza di un disturbo, non è in grado di reagire in quanto non ha possibilità, modificando uno dei suoi parametri o qualcuna delle sue variabili interne, di poter tenere sotto controllo elementi esterni. Tale impossibilità si concretizza nella necessità di chiudere il nostro ciclo, poniamo una catena di retroazione e otteniamo così un retro azionato sul quale potremo fare le nostre analisi.

Controllo elementare sul sistema Controllare questo sistema per noi vuol dire effettuare un controllo sul bacinovvero cerchiamo di far coincidere l’uscita con un segnale di riferimento. Nel nostro caso il segnale di riferimento sarà, per adesso, una funzione a gradino, ovvero il nostro scopo sarà quello di controllare il bacino facendo in modo che questi mantenga un livello costante del volume contenuto. Il tutto so concretizza in questo:

( ) ( ) lr t l U ss

= ⇒ =

Il riferimento lo abbiamo dunque impostato. Una delle nostre specifiche sarà poi avere un errore a regime nullo, eventualmente vorremmo l’errore nullo anche non a regime ma questa specifica essere anche considerata come facoltativa. Questa considerazione avviene perché naturalmente non ci basta imporre che il riferimento, vogliamo che l’uscita si adegui a pieno al riferimento. Analisi dell’uscita: Vediamo dunque di identificare la forma dell’uscita (per questo facciamo riferimento al diagramma a blocchi):

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )1 1

R s Y s H s Y s R s H s Y s H s Y s R s H s Y s Y s H sR s H s H sY s Y s R s

H s H s

− ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

⋅= ⇒ = ⋅

+ +

Vediamo qual è la risposta a regime applicando il teorema del valore finito:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )

0 0 0

0 0 0 0 0

11 1

1 11 1

1 11 1 11

lim lim lim lim

lim lim lim lim lim

t s s s

s s s s s

H sY s R sH s l H sH s y y t s Y s s R s s

H s s H slR ss

H s s ks k s ky l l l l ls kH s s k s k s k

s k s k

∞ →+∞ → → →

∞ → → → → →

⎧= ⋅⎪⎪ + ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒⎨ + +⎪ =

⎪⎩

++ += ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒+ ++ + + + + ++

+ +



0

11 1

lims

ly ls k k∞ →

= ⋅ =+ + +

Analisi dell’errore: Calcoliamo l’errore sempre riferendoci al medesimo diagramma: ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

R s Y s H s Y s R sE s H s R s E s E s H s E s R s E sH sE s R s Y s

⎧ − ⋅ =⎪ ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ + = ⇒ =⎨ += −⎪⎩

Analizziamo anche in questo caso il regime:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0 0

1 1 111 1 1

1 11 1 1 11

lim lim lim lim lim

lim lim lim

t s s s s

s s s

R sE slH s e e t s E s s R s s l

H s s H s H slR ss

s k ke l l l ls k s k k

s k s k

∞ →+∞ → → → →

∞ → → →

⎧=⎪⎪ + ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒⎨ + + +⎪ =

⎪⎩+

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅+ + + + ++

+ +

Risoluzione del controllo: Vediamo di cercare di fare in modo che l’uscita si ponga al valore l e che l’errore a regime sia nullo. Dunque poniamo:

01 00 00

1

l ly l kk ke k kl

k

∞

∞

⎧ =⎪= =⎧ ⎧⎪ +⇒ ⇒ ⇒ =⎨ ⎨ ⎨= =⎩⎩ ⎪ ⋅ =⎪ +⎩

Il sistema è risolvibile e per k=0 abbiamo quello che chiedevamo. Attenzione: Il controllo che abbiamo implementato adesso non è un vero e proprio controllo in quanto agiamo su uno dei parametri costitutivi del sistema stesso per raggiungere il nostro obiettivo. Infatti quanto ci siamo proposti si raggiunge ponendo la costante di proporzionalità del passaggio d’acqua al bacino nulla. Ma una cosa del genere ha poco senso, per effettuare, infatti, un serio controllo utilizzeremo, poco più avanti, un blocco di controllo. Quello che abbiamo fatto finora è stato vedere semplicemente che il sistema da solo non è in grado, nella retroazione, di poter regolare il flusso d’acqua in ingresso nel bacino mediante uno dei suoi parametri, senza naturalmente compromettere le proprie caratteristiche strutturali e la sua natura. A tal fine implementiamo il controllo vero e proprio di seguito.

Controllo sul sistema Adesso riprendiamo i nostri calcoli, una volta appurato che il sistema senza un blocco do controllo non riesce a regolare l’uscita nella retroazione, aggiungendo in cascata al nostro sistema un controllo di guadagno x come mostrato in figura. Le ipotesi sono sempre le stesse, stesso ingresso e stesse richieste a regime per la risposta e per l’errore, solo che adesso non modificheremo i parametri interni, considereremo infatti un parametro in aggiunta dovuto al controllore statico appena inserito nella catena diretta. Uscita: Procediamo a determinare la forma dell’uscita:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )1 1

R s Y s x H s Y s R s x H s Y s x H s Y s R s x H s Y s Y s x H sR s x H s x H sY s Y s R s

x H s x H s

− ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⋅

+ ⋅ + ⋅

Analizziamone adesso il regime:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )0 0 0

0 0 0

11 1

1

11

lim lim lim lim

lim lim lim

t s s s

s s s

x H sY s R sx H s l x H sx H s y y t s Y s s R s s

x H s s x H slR ss

xx x xs k s ky l l l ls k x s k x k xx

s k s k

∞ →+∞ → → →

∞ → → →

⎧ ⋅= ⋅⎪ ⋅ ⋅⎪ + ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒⎨ + ⋅ + ⋅⎪ =

⎪⎩

⋅+ += ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

+ + + + ++ ⋅+ +

Errore: Facciamo lo stesso per l’errore calcolandone la forma e il regime: ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1R s Y s x H s Y s R sE s x H s R s E s E s x H s E s R s E s

x H sE s R s Y s

⎧ − ⋅ ⋅ =⎪ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ =⎨+ ⋅= −⎪⎩

Analizziamo il regime:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0 0 0

1 1 11

1 1 1lim lim lim lim limt s s s s

R sE s le e t s E s s R s s lx H sx H s s x H s x H s

R s l s∞ →+∞ → → → →

⎧=⎪ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒+ ⋅⎨ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎪ =⎩



0 0 0

1 1

1lim lim lims s s

s k ke l l l lx s k x s k x k x

s k s k

∞ → → →

+= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

+ + + + +++ +

Risoluzione del controllo: A questo punto non resta che applicare il sistema e vedere, nei limiti del possibile, come risolverlo:

1

0 00 0

x x x k xl ly l k x k xke k kl k xk x k x

∞

∞

⎧ ⎧ = +⋅ = = ⎧⎪ ⎪=⎧ ⎪ ⎪ ⎪+ +⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨= =⎩ ⎪ ⎪ ⎪⋅ = = +⎩⎪ ⎪+ +⎩ ⎩

Ottenere un valore preciso del guadagno per il controllo non è possibile, possiamo però notare come, partendo dal soddisfacimento del requisito sulla risposta, sia possibile, agendo sempre sul guadagno x, riuscire a soddisfare le necessità volute. Se infatti scegliessimo valori del guadagno molto alti, più alti di k, allora potremmo trascurare al denominatore lo stesso k e riuscire ad ottenere ciò che volevamo; nello stesso modo, per x molto grandi, vediamo che l’errore tende a zero (a causa di un denominatore molto elevato). La soluzione dunque al nostro tipo di controllo è porre un guadagno elevato, ma è sempre possibile, o almeno, in che modo possiamo farlo stando certi di non violare la stabilità del sistema retro azionato? Per questi motivi è necessario analizzare la stabilità del ciclo chiuso e vedere fin dove possiamo elevare x al fine di ottenere il risultato sperato.

Analisi della stabilità del ciclo chiuso per la determinazione del guadagno del controllore statico Mettiamo in pratica quanto detto e utilizziamo il criterio di Nyquist per determinare la stabilità del ciclo chiuso. Notare, prima di tutto che la nostra funzione, di cui dovremo calcolare la restrizione nel dominio della frequenza, possiede costanti tutte positive, lo stesso guadagno del controllore deve essere considerato positivo. Ricordiamo infine che non ci è possibile riutilizzare o calcoli e I diagrammi polari della sezione precedente in quanto essi si riferiscono a variazioni del parametro k e inoltre la funzione graficata non è il ciclo aperto attuale, ma solo il sistema da che ora dobbiamo controllare. Calcoliamo dunque la restrizione del ciclo aperto nel dominio della frequenza:

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

1

H s xF s H s C ss ks kC s x

x k i k i kF i x x x x ii k k i k i k i k k k

kF i x xk k

ω ω ωωω ω ω ω ω ω ω

ωωω ω

⎧ =⎪ ⇒ = ⋅ =+⎨ +⎪ =⎩− − ⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒⎜ ⎟+ + + ⋅ − + + +⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Avendo la nostra funzione pronta per essere graficata, possiamo procedere. Prima però è opportuno, avendo due parametri, dare il valore 1 a k in manoera da poter ottenere grafici facendo variare il guadagno x, naturalmente terremo conto che k sia positivo e poi trarremo le dovute conclusioni. Analisi diagramma: Il diagramma polare mostra le curve ottenute dando a x valori crescenti partendo da valori negativi fino a valori positivi. Avevamo detto che x doveva essere positivo, abbiamo incluso anche valori negativi solo per completezza e per chiarire che, nel nostro caso, l’avere zero poli a parte reale positiva (dato che k è positivo) ci rende le cose semplici in quanto per la stabilità non vogliamo circondamenti. Dal diagramma appare chiaro (dato che le curve nel semipiano sinistro vengono generate da x negativi e quelle nel destro da x positivi) che per x positivi (quelli voluti) non abbiamo circondamenti del punto critico. Possimo dunque dare a x un qualsiasi valore arbitrariamente grande per raggiungere I fini sul controllo senza dunque turbare la stabilità del sistema.

Controllore finale Il nostro cotrollore statico sarà dunque: ( ) 1010C s x= =

Scegliamo il valore 1010 in quanto è molto grande e soddisfa a pieno le caratterisitche richieste.

Analisi dei disturbi

Quello che adesso vogliamo fare è analizzare il sistema retroazionato in presenza di eventuali disturbi che possono presentarsi in corrispondenza di vari punti del sistema. Spesso infatti capita che in un sistema di retroazione, dove le misurazioni dell’uscita sono essenziali, siano presenti anomalie nella rilevazione delle misure dovute ad agenti esterni, la cosa può accadere dunque in prossimità dell’analisi dell’uscita prima che questa venga reinserita nel sistema; oppure potrebbero verificarsi disturbi o rumori in altre zone del sistema, sta di fatto che il nostro sistema retroazionato, con il controllore statico trovato, deve essere oggetto di una



profonda analisi dei disturbi, in maniera tale da prevenire, dove possibile, che gli stessi disturbi alterino le informazioni presenti nel sistema. Analizziamo dunque quali possono essere i vari disturbi e, per ognuno di essi, prendiamo in esame cosa poter fare per attenuarne l’effetto sull’uscita o sull’errore a regime. Tipologia di disturbo: Il disturbo che prendiamo in esame è un disturbo che può avere diversi andamenti. Analizzeremo il caso in cui tale disturbo risulti essere un disturbo permenente e costante (ovvero i sensori a causa delle condizioni esterne tendono a scalare il valore reale di un determinato coefficiente costante additivo), ed un caso in cui i sensori restituiscono valori che si ripetono nelo corso del tempo, ovvero un disturbo ad andamenti sinusoidale (può infatti capitare che i sensori sfalsino i valori in maniera periodica a causa ad esempio di condizioni esterne molto particolari improbabilki ma possibili). Le tipologie sono allora le seguenti:

( ) ( )

( ) ( ) ( )2sin

1

dd t d D ss

dd t d t D ss

⎧ = ⇒ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪ +⎩

Dove il parametro d è un guadagno non appartenente (al 100%) al disturbo, si tratta infatti di una grandezza che è possibile utilizzare nei sensori in maniera da regolare la potenza. Si può infatti regolare in una certa maniera l’effetto del disturbo agendo su questa grandezza (praticamente la regolazione dell’intensità del disturbo si concretizza in un risettaggio dei sensori).

Disturbo sulla misurazione dell’uscita Il nostro sistema potrebbe essere soggetto ad errori dovuti alla misurazione dell’uscita. Tali errori sono dovuti alle condizioni atmosferiche o ad altro, immaginiamo che misurare in questo caso, per il nostro sistema, voglia dire esaminare quale sia il volume di acqua presente nel bacino; le condizioni atmosferiche e la pressione giocano un ruolo fondamentale in quanto, dipendentemente dai sensori che effettuano i rilevamenti, possono alterare i valori assunti dalla risposta. Dunque nel nostro caso il disturbo si localizza subito dopo l’uscita dal sistema, dopo il nodo di misura come mostrato nello schema. La relazione che lega le varie variabili del sistema è:

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R s Y s D s C s H s Y s R s Y s D s C s H s Y s

R s C s H s Y s C s H s D s C s H s Y s− + ⋅ ⋅ = ⇒ − − ⋅ ⋅ = ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

Analizzeremo l’uscita per le due tipologie di disturbi, in questo caso lasceremo stare l’errore a regime in quanto ci interessa solo osservare il comportamento della risposta. Analisi dell’uscita con l’effetto del disturbo a gradino: Analizziamo l’effetto del disturbo sull’uscita: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

1

1 1 1

R s C s H s Y s C s H s D s C s H s Y sR s C s H s D s C s H s Y s Y s C s H s

Y s C s H s R s C s H s D s C s H sR s C s H s D s C s H s R s D s C s H sY s C s H s R s D s

C s H s C s H s C s H s

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

+ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ −

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

Analizziamo il regime (ricordiamo che il riferimento è sempre lo stesso, in quanto il controllo che vogliamo effettuare è una regolazione del livello d’acqua del bacino ad un determinato livello), esaminando:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

[ ] [ ]

0 0

0 0 0 0

1

1

1 1 1

1 1 11 1 1

lim lim lim

lim lim lim lim

t s s

s s s s

C s H sY s R s D sC s H s

l C s H sR s y y t s Y s s R s D ss C s H s

C s xxx x xl d l ds k s k s k ss s l d l d

s s s sx x xs k s k s k

∞ →+∞ → →

→ → → →

⎧ ⋅= ⋅ −⎪ + ⋅⎪⎪

⋅⎨ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ − =⎪ + ⋅⎪

=⎪⎩

⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + += ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + +

[ ] [ ] [ ]0 0

1

lim lims s

kx

s kx

x xs kl d l d l ds k x s k x k x

s k→ →

=+

+

+= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅+ + + + ++

Osserviamo che l’uscita dovrebbe coincidere con l, ai fini del nostro controllo. Il solo guadagno del controllore non è suffieciente a soddisfare la condizione, deve infatti essere soddisfatto il seguente sistema di condizioni:



( )10100

xd⎧ = ∞⎨

=⎩

In questo modo l’uscita si stabilizza al valore voluto. Analisi dell’uscita con l’effetto del disturbo sinusoidale: Analizziamo l’effetto del disturbo sinusoidale sull’uscita:

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]1


⋅= ⋅ −

+ ⋅

La relazione fondamentale non cambia naturalmente, a regime le cose saranno differenti:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]0 0

2 2 20 0 0

1

1

1

1 1 1 11 1

lim lim lim

lim lim lim

t s s

s s s


l C s H sR s y y t s Y s s R s D ss C s H s

C s xx xx l d l d l ds k s k s ks s s

x s k xs s ss s sxs k s k s k

∞ →+∞ → →

→ → →

⎧ ⋅= ⋅ −⎪ + ⋅⎪⎪

⋅⎨ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ − =⎪ + ⋅⎪

=⎪⎩

⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + += ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ++ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ⋅ +

+ + +

20 0 022 2

0

1 11 1 1

1

lim lim lim

lim

s s s

s

l d x l d x d xs s ls s k x s s k x s k xs s s

s sd x xl l

s k x k xss

→ → →

→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + + + ++⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ⋅ = ⋅⎢ ⎥ + + ++⎢ ⎥⎣ ⎦

Notiamo in questo caso che l’effetto non dipende da d. Rendendo x grande otteniamo di far coincidere l’uscita con l (come precedentemente).

Disturbo applicato all’uscita del controllore Vediamo adesso cosa accade se il disturbo, delle stesse tipologie analizzate precedentemente, viene applicato poco dopo il sistema di controllo e poco prima il blocco del sistema da controllare (il nostro sistema). Ovvero stiamo ipotizzando che in questo caso il controllore possa avere come una sorta di difetto in quanto restituisce valori al sistema scalati rispetto al loro valore reale. Il diagramma a blocchi spega più che esaurientemente la situazione descritta. La relazione che unisce le variabili in gioco è:

( ) ( )[ ] ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R s Y s C s D s H s Y s R s C s Y s C s D s H s Y s

R s C s Y s C s D s H s Y s R s C s H s Y s C s H s D s H s Y s

− ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒

⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

Analizzeremo l’uscita per le due tipologie di disturbi, anche in questo caso lasceremo stare l’errore a regime in quanto ci interessa solo osservare il comportamento della risposta. Analisi dell’uscita con l’effetto del disturbo a gradino: Analizziamo dunque l’effetto sull’uscita del primo tipo disturbo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11

R s C s H s Y s C s H s D s H s Y s R s C s H s D s H s Y s Y s C s H sR s C s H s D s H sR s C s H s D s H s Y s C s H s Y s

C s H s

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ =

+ ⋅

Analizziamo il regime:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0 0

1

1 1 1 11

1 11 1 1

lim lim lim

lim lim lim

t s s

s s s

R s C s H s D s H sY sC s H s

lR s y y t s Y s s Y ss

C s xl dx l x dR s C s H s D s H s s s k s s k s k s ks s s

C s H s sx xs k s k

∞ →+∞ → →

→ → →

⎧ ⋅ ⋅ + ⋅=⎪ + ⋅⎪⎪

⎨ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ =⎪⎪

=⎪⎩

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ + + + += ⋅ = ⋅ = ⋅ =+ ⋅ + ⋅ + ⋅

+ +



0 0 0 0 0

1 1 1

11 1lim lim lim lim lims s s s s

x l x d l x dl x d l d l x d l x ds k s k s k s k s k s k s kx s k x s k x s k x k xx

s k s k s k s k→ → → → →

⋅ ⋅ +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ + + + + + += = = = = =

+ + + + + + ++ ⋅ ++ + + +

Vediamo subito come la risposta a regime dipenda sia da x che da d. E’ nostra intenzione fare in modo che l’uscita coincida con il valore l. Imponiamo allora:

( )l x d l k xl x d l l x d l k l x d l kk x x k

⎧ ⋅ + = ⋅ +⋅ += ⇒ ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅⎨+ ≠⎩

In questo caso bisogna agire sul guadagno del disturbo in maniera da ottenere l’effetto desiderato. Analisi dell’uscita con l’effetto del disturbo sinusoidale: Vediamo cosa succede per l’ingresso sinusoidale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0

2 2 2

0 0 0

1

1

1 1 1 1 1 11 1 1

11 1

lim lim lim

lim lim lim

t s s

s s s

R s C s H s D s H sY sC s H s

l R s C s H s D s H sR s y y t s Y s ss C s H s

C s xl d x l d x l dx s ss s k s k s s k s k s s k s ks s ss s

xxs k s k

∞ →+∞ → →

→ → →

⎧ ⋅ ⋅ + ⋅=⎪ + ⋅⎪⎪

⋅ ⋅ + ⋅⎨ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ =⎪ + ⋅⎪

=⎪⎩⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ + + + + ++ + += ⋅ = ⋅ =+ ⋅ +

+ +

22 22

0 0 0 0

0

1

1 1 11 11 11 1

1

11

lim lim lim lim

lim

s s s s

s

xs k

x l d x l d x l dss k s k s k s kx l d s k s ks ss s

s ss k s ks ss k x s k x s k x s k x

s k s k s k s kx l d

x ls k s ks xs ks k x k x

s k k

→ → → →

→

=+

+⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ++ ++ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ++= = = = =+ + + + + + + ++ + + +

⋅+ ⋅

⋅+ ++= = =

+ + ++

lk x⋅+

Come prima, l’uscita non dipende dal guadagno del disturbo. La posizione è la stessa:

1x l xlk x k x⋅

= ⇒ =+ +

Esattamente come se non ci fosse il disturbo, procediamo elevando il guadagno e potremo ottenere ciò che volevamo.

Applicazione simultanea dei due disturbi precedenti Vediamo adesso di osservare il comportamento della risposta a regime se dovessimo considerare un’applicazione simultanea dei due disturbi (quindi un disturbo nella catena di retroazione e uno su quella diretta). L’analisi è notevolmente semplificata grazie al principio di sovrapposizione degli effetti che è possibile applicare. Allora non dovremo fare altro che sommere le espressioni trovate e trarne le dovute conclusioni. Il diagramma mostra la situazione appena esaminata. Analisi per disturbi a gradino: Ipotizziamo che i disturbi abbiano come legge di definizione il gradino. Ovvero ipotizziamo che i disturbi, tutti e due, siano del primo tipo. La risposta a regime è data dalla somma dei regimi calcolati singolarmente per un disturbo e per l’altro:

[ ] [ ]x l x d x l x dy l d l dk x k x k x∞

⋅ + + ⋅ += − ⋅ + = − ⋅

+ + +

Imponiamo il valore voluto (risolviamo in x):

[ ] [ ] ( ) ( )

( )

2 2

22 2 2 2

2

x l x dy l l d l l d x l x d l k x l x l x l d d x d l x d l k l xk x

l k d l dl x l x d x d l x l x l k d l d l l d d l l x l k d l d xl l d d l l

∞

+ ⋅ += ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅ ⇒

+⋅ + − ⋅

⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⇒ + − − ⋅ − ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⇒ =+ − − ⋅ −

Esiste dunque un valore del guadagno per soddisfare la richiesta fatta. Se dunque i due ingressi sono a gradino un controllore del tipo appena trovato riesce a stabilizzare il sistema e a porre una risposta a regime pari a quella che vogliamo. Analisi per disturbi sinusoidali: Analizziamo adesso il caso in cui i due disturbi sono del secondo tipo e dunque otteniamo il regime mediante la somma dei due valori trovati dalle precedenti analisi:



2x x l x ly lk x k x k x∞

⋅ ⋅= ⋅ + = ⋅

+ + +

Non abbiamo molte differenze. Otterremo ciò che vogliamo mediante l’elevazione del guadagno del controllore ad un valore molto alto.

Conclusioni finali

Abbiamo visto come questo sistema dia luogo a tutta una serie di interessanti conclusioni che abbiamo visto nel corso dello studio portato avanti in questo fascicolo di ricerca. La nostra analisi dunque termina qui.




PAG. 1: ANALISI PROBLEMA PAG. 1: COMPOSIZIONE DEL SISTEMA PAG. 1: DETERMINAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL MODELLO PAG. 2: ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DEL MODELLO PAG. 2: ANALISI DEI PUNTI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA PAG. 3: ANALISI DELLA CONTROLLABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 3: ANALISI DELL’OSSERVABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 3: FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA PAG. 4: ANALISI DELLE RISPOSTE DEL SISTEMA AGLI INGRESSI CANONICI

PAG. 4: CALCOLO DELLA RISPOSTA LIBERA PAG. 4: RISPOSTA AL GRADINO DI HEAVISIDE NON UNITARIO PAG. 5: RISPOSTA AL DELTA DI DIRAC, IMPULSO, CON VALORE UNITARIO PAG. 6: RISPOSTA ALLA RAMPA CON COEFFICIENTE DI SALITA VARIABILE PAG. 7: RISPOSTA ALLA RAMPA CON ORDINATA ALL’ORIGINE VARIABILE PAG. 8: RISPOSTA ALL’ESPONENZIALE CON COEFFICIENTE VARIABILE PAG. 9: RISPOSTA AD UN INGRESSO SINUSOIDALE CON PULSAZIONE VARIABILE

PAG. 11: ANALISI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA PAG. 13: CONTROLLO DEL SISTEMA PAG. 15: ANALISI DEI DISTURBI

PAG. 16: DISTURBO SULLA MISURAZIONE DELL’USCITA PAG. 17: DISTURBO APPLICATO ALL’USCITA DEL CONTROLLORE PAG. 18: APPLICAZIONE SIMULTANEA DEI DUE DISTURBI PRECEDENTI

PAG. 19: CONCLUSIONI FINALI




Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello emissario immissario (completato).docx


Numero revisione: 4


Risoluzione corretta: Non controllato.

Note: NONE

Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello logistico di una popolazione di Verhulst (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello logistico (completato).docx


Oggetto: Analisi del modello logistico implementato da Verhulst come aggiornamento del modello di Malthus.

Analisi problema Ci proponiamo di studiare un sistema composto da una popolazione di esseri viventi in grado di procreare altri componenti della stessa specie. Con tale intento vogliamo soprattutto determinare, quantitativamente, il numero di abitanti in base alle condizioni in cui è posta la popolazione in esame. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerata un’area delimitata atta a contenere una popolazione. • Sia considerata una massa, isolata, rappresentante una popolazione di esseri viventi in grado di procreare. • Siano considerati i fattori che agiscono sul sistema e che sono in grado di variare il tasso di crescita di quella

popolazione, ovvero parametri riguardanti le risorse disponibili. • Si presuma dunque di poter considerare la popolazione come ideale, ovvero come individui mortali non soggetti

a malattie i cui unici fattori di mortalità sono rappresentati dalle risorse disponibili. Si consideri inoltre che la popolazione possieda un determinato tasso di crescita ed un comportamento sociale prevedibile nei confronti delle risorse. Si presupponga infine che la popolazione sia isolata e che non possa essere né soggetta a deviazioni eugeniche né sottoposta alle leggi di speciazione simpatrica.

Sulla base di tali supposizioni esaminiamo il modello di Verhulst partendo dalla sua equazione differenziale, deduciamo dunque i parametri che vogliamo attenzionare e costruiamo il modello.

Equazione di Verhulst

Analizziamo l’equazione di Verhulst:

( ) ( ) ( )11d P t rP t P tdt K

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Tale equazione differenziale del primo ordine in forma normale omogenea ha i seguenti componenti al suo interno: • Indichiamo con P la misura della popolazione, si tratta di una grandezza reale che non misura il quantitativo di

persone in una massa biologica, si tratta di una percentuale. Verhulst dimostrò infatti che date le risorse fisse di una regione terrestre, la popolazione non potrà superare un certo livello massimo a cui tende asintoticamente. Quindi una popolazione potrà aspirare a un 100% al massimo dell’intero potenziale quantitativo. P misura tale percentuale ed è quindi una grandezza limitata.

• Definiamo con r il tasso di crescita della popolazione. • Il parametro K è il termine asintotico, ovvero rappresenta le risorse disponibili.

Definizione del modello

A questo punto introduciamo il modello per questo sistema. Definiamo l’ingresso indicando il tasso di crescita e il fattore delle risorse, così facendo dando di volta in volta valori diversi di ingresso in questo modo potremmo analizzare le varie differenze riscontrabili magari con una stessa popolazione. L’uscita sarà invece la percentuale popolativa P per ovvie ragioni. Lo stato è rappresentato dalla stessa uscita in quanto una popolazione, in un dato istante, raggiunge un livello che vogliamo monitorare e vogliamo conoscere anche come uscita. Detto questo, ecco le variabili che ci interessano nel nostro sistema che ora risulta essere dinamico:

( ) ( ) ( ) ( )1

2

u ru y t P t x t P t

u K=⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥=⎣ ⎦

Definito quanto detto abbiamo appena trovato quanto ci serviva avendo a disposizione le equazioni differenziali del modello:

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

12

11,dd x t u x t x tx t f x t u tdt udt

y t x t y t x tη

⎧ ⎡ ⎤⎧ = ⋅ −=⎪ ⎪ ⎢ ⎥⇒⎨ ⎨ ⎣ ⎦⎪ ⎪= =⎩ ⎩

Analisi preliminare del modello.

Abbiamo il modello, adesso dobbiamo classificarlo e dare delle informazioni su quest’ultimo.



Si tratta ovviamente di un modello tempo – continuo, le equazioni che abbiamo ci portano a dover considerare anche altri aspetti. Notiamo come prima cosa che il sistema è regolare in quanto soddisfa le equazioni di regolarità, vediamo se possiamo dare anche la linearità:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

211 1

2 2

11 ud dx t u x t x t x t u x t x tdt u dt u

y t x ty t x t

⎧ ⎧⎡ ⎤= ⋅ − = −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⇒⎨ ⎨⎣ ⎦⎪ ⎪ == ⎩⎩

Sfortunatamente il modello non è lineare in quanto alla derivata prima dello stato osserviamo che non è possibile esprimere la quantità a secondo membro in modo da separare in maniera lineare lo stato con l’ingresso. Comunque la regolarità ci aiuta fornendoci un’informazione importante sulla varianza del modello rispetto al tempo, in quanto notiamo che la derivata prima dipende dal tempo indirettamente e non direttamente, questo vuol dire che il nostro modello è tempo – invariante. Riassumendo dunque abbiamo che il modello è:

1. Si tratta di un modello dinamico regolare. 2. E’ un modello tempo – continuo. 3. E’ un modello a dimensione di stato finita. 4. Non è un modello lineare. 5. Il modello è tempo invariante.

Risoluzione modello

Troviamo adesso la funzione di transizione di stato dato che il sistema si presenta in una forma abbastanza semplice. Per fare questo dobbiamo risolvere l’equazione differenziale. Dunque accertiamoci dell’esistenza e dell’unicità di soluzioni verificando la formulazione di Peano e la lipschitzianità della funzione stato.

( )[ ] ( )1

2

11d x t x u x xdt u

ω ⎛ ⎞= = ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Peano ci dà l’esistenza in quanto la funzione ricavata e secondo membro dall’equazione differenziale è ovviamente definita in un aperto e ivi è anche continua; verifichiamo invece l’unicità con Lipschitz:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 22 2

2 21 11 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 21 1 11 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

2 2 2

1 11 1

1 1

x x x x u x x u x x x xu u

u uu x u x x u x u x x x x u x x u x x x x

u u u u

u u uu x u x x x x x u x x x x x x

u u u

ω ω λ λ

λ λ

λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≤ − ⇒ ⋅ − − ⋅ − ≤ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ≤ − ⇒ − − + ≤ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − + ≤ − ⇒ − − + ≤ −

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 21 2 211 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 1 21

1 2 1 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 1 2

1 12 1 2 2 1 2 2 1 2

1 11 1

u uu x x x x u x x x xu u x x u x x

ux x x x x x u x x

u x x x x x xu u

u x x u x x u x x

λ λ λ

λ λ λ

⇒

− − + − − +− +

≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ⇒− − − −

⎛ ⎞+ + +− ≤ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

Vediamo qui che la lipschitzianità non può essere garantita in grande in quanto la funzione di lipschitzianità non è totalmente limitata in tutto il suo dominio, essa dovrà dunque essere ristretta ad insiemi più piccoli, giacché possiamo garantire la lipschitzianità in piccolo perlomeno (come mostrato nel grafico). Risoluzione equazione differenziale Procediamo a risolvere l’equazione differenziale notando che essa si presenta nella forma a variabili separabili, risulterà quindi facile da risolvere, prima però notiamo che dalla sua forma, l’assenza di punti critici nel dominio della funzione a secondo membro ci dà la possibilità di affermare che i valori restituiti dallo stato possano essere tutti i valori reali possibili. Detto questo notiamo infine che sono presenti soluzioni costanti, in questo caso per lo stato nullo l’equazione differenziale ammette soluzione, questo valore dello stato però è inutile quindi procediamo a dividere, escludendo la soluzione nulla ovviamente, ed integrare:

( )1 1 1 12 2 2

2

1 1 ' 1 '1 ' 11 11

d x xx u x x x u x x u b udt u u u x bxx x

u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ −⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]1 1 1

' ' '1 1 1

x t x t x tdt u dt dt u dt dt u t cx t bx t x t bx t x t bx t

= ⇒ = ⇒ = +⋅ − ⋅ − ⋅ −∫ ∫ ∫ ∫ ∫



Calcoliamo separatamente l’integrale: ( )

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )

( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

' 1 1 1 1 11 11

1 1 1 1 110 0 1 1

' 1 1 ' '' ' '1 1 11

x t A Bdt A bx Bx A Abx Bx A Ab B xx bx x bxx t bx t

A A A bA Ab B xAb B b B B b x bx x bx

x t b b x t bx tdt x dt x t dt x t dt dtx bx x t bx t x t bx t bx t

⇒ = + ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = − − ⇒⋅ − −⋅ −

= = =⎧ ⎧ ⎧= − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = + ⇒⎨ ⎨ ⎨− = − = = ⋅ − −⎩ ⎩ ⎩

⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⋅ −

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' 'log log log log 11 1

log log 1 log log 1 log1

dtx t

bx t bx tx t d dt x t d dt x t d bx t abx t bx t

x tx t bx t s x t bx t s sbx t

=

+ + = + − − = + − − + =− −

− − + = − − + = +−

∫∫ ∫

Ricaviamo ora, dall’equazione differenziale, l’equazione funzionale risolvente, notare come possiamo togliere i valori assoluti data la positività della funzione stato e degli altri componenti:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 1 1 1 1

1 11 1

1 1

1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 20 0

20 0

log log log1 1 1 1

1 1

111 1

u t S

u t u t u t u t u t u tS

u t u tu t u t

u t u

x t x t x t x ts u t c u t S u t S ebx t bx t bx t bx t

x t e e bx t x t P e bx t x t P e P e bx t x t P e bx t P e

P e P u eP e b x t P e x t b x t

ubP e P e

++ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒− − − −

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = ⇒

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =+ + t

Abbiamo dunque trovato la funzione di transizione di stato, ovvero la funzione logistica:

( )1

1

2

1

u t

u t

u ex t

e=

+

Il grafico mostra l’andamento generale della funzione.

Equazioni finali del modello ricavate dalla risoluzione dell’equazione differenziale La funzione di transizione di stato è dunque:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1

1

0 2

0

, , , ,1

u t

u t

P u ex t t x u t u

P eφ τ τ φ= = =

+o o

La funzione di trasformazione di uscita è invece:

( ) [ ]1

1

0 2

0

,1

u t

u t

P u ey t t u

P eμ= =

+

Il modello è dunque risolto, notare che P0 è la popolazione iniziale, si tratta infatti di un parametro da aggiungere al modello perché la funzione di stato lo richiede, questa è infatti la dipendenza dal valore iniziale dello stato.

Analisi dei punti di equilibrio e della loro stabilità

Analizziamo adesso la stabilità del sistema avendo la possibilità di sfruttare diversi teoremi data la tempo – continuità e la regolarità. Scegliamo, data la semplicità apparente della legge formale della derivata, di annullare quest’ultima secondo la definizione stessa di stabilità:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 12 2

1

22 2 2

1 10 1 0 1 0

0 01 1 11 0 1 1

e e

e e

e e e e

d x t u x t x t u x t x tdt u u

u x t x t

x t x t x t x t uu u u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⇒ =

− = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

Abbiamo trovato gli stati di equilibrio: il primo prevede che lo stato, per essere di equilibrio, sia nullo, ovvero si abbia una popolazione nulla, questo è banale. Invece è utile osservare cosa accade quando lo stato entra in una configurazione in cui la percentuale di popolazione è identica alle risorse. Ebbene in realtà, e si vede dall’analisi dimensionale, il parametro K indica la percentuale di popolazione che riesce ad attingere alle risorse, si tratta di un parametro che mette in relazione risorse con popolazione; se la popolazione raggiunge questo livello allora essa mantiene un equilibrio, tutto ciò è interessante:

( )

( )2

0e

e

x tx t u K

⎧ =⎪⎨

= =⎪⎩

Analisi della stabilità degli stati di equilibrio Vediamo adesso di identificare la tipologia degli stati di equilibrio di questo sistema, anche se per il primo stato, quello a valore nullo, potremmo anche non effettuare analisi, data l’ovvia inutilità di questo stato di equilibrio dovuta al fatto che popolazioni nulle non trovano nessuna utilità di analisi, effettueremo uno studio completo.



Ci accorgiamo però che tale analisi si complica in quanto l’analisi dei punti di equilibrio riusciamo a effettuarla mediante teoremi applicabili a sistemi LTI, ed il nostro sistema non è lineare, ma solo regolare. Dovremo dunque linearizzare il modello nei due punti mediante l’analisi di Taylor al primo ordine e poi applicare i teoremi.

Linearizzazione modello Procediamo a linearizzare considerando prima le operazioni preliminari, ovvero:

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

,,

,

ee e e

e

e ee

e e

e e

x t x x t dd x x t f x x t u u tx t f x t u tdtdt u t u u ty y t x x ty t x t y t y y t

d x t f x x t u u tdt

y y t x x t

δδ δ δ

δδ η δη δ

δ δ δ

δ η δ

⎧ = + ⎧⎧ ⎡ + ⎤ = ⎡ + + ⎤= ⎪⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ = + ⇒ ⇒⎨⎨ ⎨⎪⎪ ⎪ + = ⎡ + ⎤= = + ⎣ ⎦⎩ ⎩⎩

⎧ = ⎡ + + ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨⎪ + = ⎡ + ⎤⎣ ⎦⎩

Possiamo adesso effettuare la vera operazione di linearizzazione dalla formula di Taylor al primo ordine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

e e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e e e e e

f ff x x t u u t f x u x u x x t x x u u u t u o x u x ux u

x x t x x x x t x o x xx

f ff x x t u u t f x u x u x t x u u t o x u x ux u

δ δ δ δ

ηη δ η δ

δ δ δ δ

∂ ∂⎧ ⎡ + + ⎤ = + ⎡ + − ⎤ + ⎡ + − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ ∂ ∂ ⇒⎨ ∂⎪ ⎡ + ⎤ = + ⎡ + − ⎤ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ∂⎩∂ ∂

⎡ + + ⎤ = + + + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]e e e ex x t x x x t o x xxηη δ η δ

⎧⎦⎪⎪ ⇒⎨ ∂⎪ ⎡ + ⎤ = + + −⎣ ⎦⎪ ∂⎩

Ci accorgiamo che dalle relazioni prima scritte possiamo semplificare quanto trovato nella forma:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( ) [ ]

( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

, , , ,

, 0

, , , ,

e e

e e e e e ee e

e e e ee e e

e e

e e e e e e

d x t f x x t u u tdt d f fx t x u x t x u u t o x u x uy y t x x t dt x u

d y y t y x x t o x xf x u xxdt

x y

d f fx t x u x t x u u t o x u x udt x u

δ δ δ

δ δ δδ η δηδ δδ

η

δ δ δ

⎧ = ⎡ + + ⎤⎣ ⎦⎪∂ ∂⎧⎪ = + + ⎡ − ⎤⎣ ⎦⎪+ = ⎡ + ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦ ∂ ∂⇒ ⇒⎨ ⎨ ∂⎪ ⎪ + = + + −= = ⎪⎪ ∂⎩

⎪ =⎩∂ ∂

= + + ⎡ − ⎤⎣∂ ∂

( ) ( ) ( ) [ ]e ey t x x t o x xxηδ δ

⎧⎦⎪⎪

⎨ ∂⎪ = + −⎪ ∂⎩

Possiamo dunque eliminare gli errori commessi e dividere per δ in modo da avere il nostro modello linearizzato in un generico punto:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ,e e e e e e e e

e e

d f f d f fx t x u x t x u u t x t x u x t x u u tdt x u dt x u

y t x x t y t x x tx x

δ δ δ

η ηδ δ

∂ ∂ ∂ ∂⎧ ⎧= + = +⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪= =⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

Il nostro modello linearizzato è dunque della forma:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,e e e e

e

d f fx t x u x t x u u tdt x u

y t x x txη

∂ ∂⎧ = +⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

Questo che abbiamo è il modello generalizzato pronto per essere calcolato in un determinato punto.

Analisi della stabilità del primo punto di equilibrio Procediamo ad analizzare la stabilità del primo punto trovato, quello nullo, calcolando prima il modello linearizzato in questo stato:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0, 0,0

0

e e

e

d f fx t u x t u u tdt x uxy t x t

xη

∂ ∂⎧ = +⎪⎪ ∂ ∂= ⇒ ⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

Calcoliamo adesso le derivate parziali che compaiono nel modello e che rappresentano le matrici del sistema linearizzato, che in questo caso non rappresentano tutte delle matrici, ma semplici entità scalari:

( ) ( ) ( )21 11 1 1 1 1

2 2 2 2

1 11 1 2 0, eu uf fu x t x t u x x u x x u x u u

x x u x u x u u x∂ ∂ ⎧ ⎫ ∂ ⎧ ⎫ ∂ ∂⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ − = − = − ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭



( ) ( )

( ) [ ]

( )[ ] [ ]

2 2 21 1 11 1 1 1 1

2 2 2 1 2 2 2

22

1 22 2

1 11 1 ,

1, 0, 0,0

1

e

u u uf u x t x t u x x u x x u x x u x xu u u u u u u u u u u

x fx u x uu uu

x t xx x xη

⎡ ⎤∂ ∂ ⎧ ⎫ ∂ ⎧ ⎫ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ − = − = − − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ∂

= − ⇒ =⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

Adesso il nostro sistema possiede una forma precisa ed è il modello linearizzato nel primo stato di equilibrio:

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )

111 1

2

0,00,0u tdd dx t u x tx t u x t u t x t u x t

dt u tdt dty t x t y t x ty t x t

⎧ ⎡ ⎤⎧ ⎧= += + =⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎩=⎩

Vediamo subito che il coefficiente dello stato nella prima equazione a secondo membro, che dovrebbe rappresentare la matrice di stato, è uno scalare. Il rango è massimo ed il polinomio caratteristico è:

1 10u uλ λ− = ⇒ =

E’ presente naturalmente un solo autovalore il cui segno è positivo. In base al secondo criterio di Lyapunov, criterio di stabilità per i sistemi LTI, abbiamo che questo stato di equilibrio è di equilibrio instabile.

Analisi della stabilità del secondo punto di equilibrio Procediamo ad analizzare l’ultimo punto di equilibrio, come prima procediamo a formulare il modello linearizzato nel punto e poi procediamo all’analisi relativa:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2

, ,e e

e

d f fx t u u x t u u u tdt x ux uy t u x t

xη

∂ ∂⎧ = +⎪⎪ ∂ ∂= ⇒ ⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

Le derivate parziali sono già state calcolate, procediamo dunque a calcolarle solo nei punti voluti:

( )

( ) [ ] [ ]

( )[ ] [ ]

1 11 2 1 2 1 1 1

2 2

222 22

1 2 2 1 2 2 2 1 12 22 22 2

2 , 2 2

1 1, , , , 0,

1

e

e

u uf fu x u u u u u u ux u x u

uf x fx u x u u u u u u u u uu u u uu u

x t xx x xη

∂ ∂= − ⇒ = − = − = −

∂ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂= − ⇒ = − = − =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

Il sistema linearizzato diviene allora:

( )[ ] ( ) [ ] ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) [ ]( )( )

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )

11 11 1 1 1 2

2

0,0,u tdd dx t u x t ux t u x t u u t x t u x t u u

dt u tdt dty t x t y t x ty t x t

⎧ ⎡ ⎤⎧ ⎧= − += − + = − +⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎩=⎩

Come sempre partiamo dalla matrice di sistema, che anche questa volta è uno scalare e vediamo come si comporta l’unico auto valore:

1 10u uλ λ+ = ⇒ = −

L’ingresso è positivo e il segno meno ci dice che abbiamo un autovalore negativo, dal criterio di stabilità possiamo dire che questo stato di equilibrio è uno stato di equilibrio asintoticamente stabile, come mostra anche il grafico della funzione di transizione di stato.


La natura solo regolare del sistema ci impedisce di poter applicare i metodi di analisi della raggiungibilità mediante i teoremi per i sistemi LTI. La soluzione è quella di riadoperare il modello linearizzato. Faremo questo senza però specificare un preciso polo di linearizzazione. Il modello linearizzato predisposto per l’analisi dei punti di stabilità vale in realtà per qualsiasi stato del sistema, quindi, mantenendo generale questo stato su cui linearizziamo, definiamo il modello come segue:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,

Xd f fx t u x t u u tdt x u

y t x tx

ω ω

ω

ω ω

η ω

∈

∂ ∂⎧ = +⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

Esplicitiamo le matrici, alcune delle quali, in questo caso, sono semplici entità scalari:



( )

( )( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

,111 ,1

2 ,2 2,1 ,1 22 2

,1,1 22 2,2 ,2 ,21 2 2

2 ,22 ,2

2 , 2

2 ,1, , ,

1

uuf fu x u A ux u x u

u ud x t u x t u tuf x f dt u u ux u x u Bu u u uu u

y t x tC

x

ωω ω

ωω ω

ωωω ω ωω

ω ω

ω ω

ωω ω ωωω ω ω

η

⎧∂ ∂= − ⇒ = = −⎪∂ ∂⎪ ⎧ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎪ = − + −⎪ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎪∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎨ = − ⇒ = = − ⇒ ⎨⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∂ ∂⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎣ ⎦ =⎪ ⎩∂⎪ = =

⎪ ∂⎩

La raggiungibilità del sistema linearizzato in forma generica può essere visto mediante i teoremi di osservabilità. Costruiamo dunque la matrice di raggiungibilità R e calcoliamone il rango:

[ ] [ ]1

2,1 2

2,2 ,2

, , ..., 1

,

nR B AB A B n R Bu

Ru u

ω

ω ω

ωω ω

−= ⇒ = ⇒ = ⇒

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Vediamo qui che la matrice di raggiungibilità altro non è che un vettore riga, il rango deve essere comunque massimo motivo per il quale dovremo fare in modo che una delle due componenti non sia nulla:

( )2

,1 22

,2 ,2

,1 2,12

,2

2

,2,2 ,2 ,2 ,2

1 0 0

0 0 0

0 1 0 0 1 0 1

uR

u uu

uu

uu u u u

ω

ω ω

ωω

ω

ωω ω ω ω

ωρ ω ω

ω ω

ω ω ω ωω ω ω ω

= ⇒ − ≠ ∨ ≠

≠ ⇒ ≠ ∨ ≠

⎛ ⎞− ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ ∨ − ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

Vediamo allora che la raggiungibilità è condizionata sia dagli ingressi sia dagli stati stessi, o meglio dallo stato su cui si linearizza. Diremo allora che il sistema è raggiungibile solo se accade che le seguenti grandezze sono diverse da zero, ne basta una diversa da zero: ( )

,1 ,21 0 0R u uω ωρ ω ω= ⇒ ≠ ∨ ≠ ∨ ≠

Ovvero il sistema non deve essere linearizzato in uno stato nullo, cosa che in effetti potrebbe essere inutile ma che è sempre meglio specificare. Inoltre se si vuole la controllabilità il sistema non deve essere linearizzato neanche in corrispondenza dell’ingresso che ha portato il sistema ad assumere gli stati su cui il modello linearizzato fa riferimento. Infine la controllabilità può anche essere data se l’ingresso a cui è stato sottoposto il sistema per raggiungere gli stati intorno al polo di linearizzazione non è nullo.


Determiniamo infine l’osservabilità di questo sistema controllando anche qui la matrice di osservabilità:

[ ] [ ] ( )1, ,..., 1 1 1TnO C CA CA n O C Oρ−= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =

Per l’osservabilità non ci sono problemi, il sistema è costantemente osservabile senza condizioni.

Conclusioni finali

L’analisi di questo sistema ci ha dato la possibilità di riuscire a ottenere varie informazioni sulle popolazioni e su come queste possano evolversi nel tempo. La nostra analisi, per i fini preposti, si ferma a questo punto in quanto le informazioni ricavate sono le sole possibili. Non vi è interesse, ai nostri fini, di controllare un simile sistema per come concepito.




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Data creazione: 15/06/2007 11.02.00


Percorso: Modello logistico (completato).docx


Numero revisione: 0


Risoluzione corretta: Modello completo.

Note: Modello di un sistema dinamico.

Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello descrittivo del sistema massa – molla – smorzatore a fluido – piano inclinato (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello massa - molla - smorzatore - piano inclinato (completato).docx


Oggetto: Analisi dettagliata di un sistema dinamico fisico composto da una massa, da una molla e da uno smorzatore posti su di un piano inclinato ad angolazione regolabile.

Analisi problema Ci proponiamo di studiare come si comporta un sistema composto da una massa a cui è collegata una molla innestata ad una parete fissa, inoltre il sistema si compone di un piano inclinato su cui la massa e la molla operano (piano ad inclinazione regolabile); il tutto immerso in un fluido che genera un attrito viscoso. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerato un ambiente formato prettamente da questi elementi: a. Si consideri un piano inclinato ad inclinazione regolabile e si supponga di poter aumentare o diminuire

l’angolazione del piano inclinato mediante il parametro altezza identificabile come il seno goniometrico dell’angolo in questione. Si supponga che l’angolo non possa oltrepassare il valore di 90°, ovvero che l’alzo da terra possa al massimo essere pari a 1.

b. Si considerino una molla ed uno smorzatore. Rispettivamente la molla è innestata, da un capo, ad un punto fisso sul piano inclinato e dall’altro alla massa presa in esame; si consideri dunque lo smorzatore come un fluido in cui tutto il sistema è immerso. Si considerino le seguenti caratteristiche proprie di questi due elementi:

Caratteristica Valore

Massa: M (Kg)

Costante di smorzamento: b (Kg/s)

Costante di elasticità: k (Kg/s2)

• Si prenda in considerazione che oltre agli elementi considerati non agisca nessun’altra componente esterna e si ipotizzi che tutto il sistema sia posto sulla Terra al livello del mare.

• Si consideri l’assenza di attrito statico e dinamico fra la massa, considerata liscia, e il piano inclinato, considerato anch’esso liscio dunque.

• Si ipotizzi di poter agire sulla massa imprimendo oscillazioni grazie ad un motorino ideale che non influisce sulla dinamica generale e si consideri di poter agire anche sull’inclinazione del piano inclinato mediante l’utilizzo dell’alzo da terra che definiamo come il seno dell’angolo di inclinazione (la seguente ipotesi, molto importante, ci garantirà la non necessità di dover linearizzare il sistema in quanto esso, grazie a questo accorgimento, risulterà essere subito lineare).

Sotto queste condizioni vediamo di analizzare il moto del missile e i parametri e gli agenti perturbanti che ne condizionano lo stato istante per istante.

Discussione iniziale per lo studio del sistema e la generazione del modello matematico di partenza

La prima cosa che dobbiamo fare è considerare l’ambito e dunque l’ambiente in cui ci stiamo muovendo.

Analisi dell’ambiente e dei fattori in gioco Vediamo di capire che cosa stiamo analizzando e in che ambiente ci stiamo muovendo. Si tratta questo di un sistema palesemente fisico, per esso dunque valgono, dato l’ambito e le circostanze, le leggi della dinamica Newtoniana. Ci accorgiamo che il sistema canonico e conosciuto massa molla e smorzatore, viene leggermente alterato dal piano inclinato, che, vedremo, comporterà tutta una serie di complicazioni ed alterazioni al sistema di base.

Equazioni del sistema Ogni modello fisico, più o meno complicato, può essere descritto mediante una o più equazioni differenziali poste in un sistema. Nel nostro caso dobbiamo utilizzare la legge fondamentale di Newton esplicata nel suo celebre secondo principio della dinamica e trarre dunque le equazioni che cerchiamo.

M



Procediamo dunque a considerare le varie forze in gioco, per fare questo consideriamo il nostro sistema immerso in un sistema di riferimento di assi cartesiani in cui l’asse delle ascisse coincide con la direzione della superficie (lineare) del piano inclinato; orienteremo gli assi in modi che l’asse delle ascisse segua verso l’alto il piano inclinato, mentre l’asse delle ordinate verrà orientato verso l’alto, perpendicolare al piano inclinato:

1. Forza elastica: La molla a cui la massa è connessa costituisce un componente atto a generare una forza direttamente proporzionale allo spostamento subito dal corpo dal punto di equilibrio, tale forza è calcolabile mediante la legge delle forze elastiche:

( )EF k l t= − ⋅ Δ

2. Forza smorzatrice: La presenza del fluido in cui tutto il sistema massa – molla – smorzatore è inserito genera una forza di attrito viscoso direttamente proporzionale alla velocità assunta dalla massa nel suo moto, tale forza è definita come:

( )AF b v t= ⋅

3. Forza peso: Ogni corpo sul pianeta Terra è soggetto, da una certa altitudine minima in giù, ad una forza costante in modulo e diretta verso il centro della Terra stessa, tale forza esprime la gravità terrestre e possiede accelerazione nota: P M g= ⋅

4. Forza esterna: Abbiamo prima detto che la massa viene sottoposta ad una variazione di moto dovuta anche ad una forza che noi imponiamo e che decidiamo, tale forza che chiameremo in modo del tutto convenzionale come forza esterna, e una forza che applichiamo parallelamente al piano inclinato; essa può avere qualsiasi legge, dunque non la espliciteremo.

Osserviamo dunque che adesso tutto è molto più chiaro. Il sistema che ci proponiamo di prendere in esame possiede caratteristiche abbastanza semplici da comprendere, il punto è che adesso, per raggiungere le equazioni, dobbiamo disegnare il diagramma del corpo libero e vedere in che modo le varie forze agiscono. Osserviamo dunque le seguenti evidenze:

a) La forza peso viene scomposta in due direzioni lungo i due assi orientati i e j.

b) La forza vincolare del piano inclinato fa in modo che la massa per effetto del piano, non cada e si mantenga lungo il piano stesso. Si noti che il fluido contribuirà solo in direzione lungo l’asse i.

c) Lo smorzatore agisce lungo l’asse i e la forza è diretta dalla parte opposta all’orientamento dell’asse.

d) La forza elastica segue lo smorzatore sull’asse i. e) La forza esterna è l’unica ad essere orientata nello stesso verso

dell’asse i sul quale essa giace. Dal secondo principio della dinamica abbiamo che:

0

i E A i ji i i

i i E A

j j

i i i E Ai

F M a F P F F F M a F R R

R F P F FR T P

F R F P F F

= ⋅ ⇒ = + + + = ⋅ ⇒ = + ⇒

= − − −⎧⇒⎨ = − =⎪⎩

= = − − −

∑ ∑ ∑

∑

Le forze che infine agiscono per davvero sono semplicemente quelle agenti lungo l’asse del piano inclinato. Infatti lungo la perpendicolare non è possibile considerare forze in quanto il vincolo ortogonale del piano non permette alla componente ortogonale del peso di agire. In sostanza una percentuale del peso viene annullata dal piano inclinato. Proseguendo i calcoli abbiamo allora, ovviamente:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sin

sin

i i E Ai

ii

F F P F F F t P k l t b v t

F F t Mg k l t bv t Ma

θ

θ

= − − − = − ⋅ − ⋅ Δ + ⋅ ⇒

= − − Δ + =

∑

∑

Definizione delle grandezze Definiamo le grandezze del sistema indicando le variabili con la seguente convenzione:

1) Indicheremo la distanza dalla posizione di riposo del baricentro della massa come l’uscita del sistema da noi preso in esame. ( ) ( )y t l t= Δ

2) La variabile che identifica la posizione e la velocità della massa sarà la grandezza che esprimerà la variabile di stato, abbiamo dunque un vettore bidimensionale colonna. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 2

TTx t x t x t l t v t= ⎡ ⎤ = Δ⎣ ⎦

3) Indicheremo dunque come ingresso un vettore composto dal seno dell’angolo di inclinazione e dalla forza esterna, avremo dunque un nuovo vettore colonna bidimensionale. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1 2 sin

TTu t u t u t F t tθ= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Identificate le grandezze del sistema è possibile effettuare l’ultimo passo.

M

i

j

FA

F

P

FE

M

FE

FA

FPi

P

Pj

T

i j

φ

φ



Equazione del modello in forma di stato Ricaviamo le equazioni del modello nella consueta forma di stato. Abbiamo infatti che la velocità è definita come la derivata della posizione nel tempo e l’accelerazione è la relativa derivata seconda, detto questo abbiamo che:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 1 22 2

d dv l a ldt dt

d d dv t x t a l x t x tdtdt dt

= Δ = Δ

= ⇒ = Δ = =

Grazie a ciò possiamo trasformare l’equazione del sistema, equazione del secondo ordine, in un sistema di equazioni del primo ordine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 2

1 1

1 2 1 2

2 1 2 1 2 2

1

1

d dM x t u t Mgu t kx t bx t x t x tdt dt

d dx t x t M x t u t Mgu t kx t bx tdt dty t x t y t x t

d dx t x t x t x tdt dtd k b dx t u t gu t x t x t x tdt M M M dty t x t

⎧ ⎧⎡ ⎤ = − − − ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎡ ⎤ = ⇒ ⎡ ⎤ = − − − ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪

= =⎩ ⎩⎧ ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ = − − − ⇒ ⎡⎣ ⎦⎪⎪

=⎩

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1

1k bx t x t u t gu tM M M

y t x t

⎧⎪⎪⎨ ⎤ = − − + −⎣ ⎦⎪⎪

=⎩

Il modello in forma di stato si presenta come segue:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 1 2 1 2

1

1

d x t x tdtd k bx t x t x t u t gu tdt M M My t x t

⎧ ⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ = − − + −⎣ ⎦⎪⎪

=⎩

Analisi delle proprietà del modello

Analizziamo quali sono le principali proprietà del modello che abbiamo appena esaminato dalla sua rappresentazione in forma di stato:

a) Il modello del sistema è dinamico in quanto è stata possibile la scrittura in forma di stato. b) Il modello è regolare in quanto le sue equazioni sono della forma:

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

,d x t f x t u tdty t x tη

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

c) Il modello è inoltre lineare in quanto è possibile condensare la rappresentazione di stato in forma matriciale avvalendosi di una quadrupla di matrici che successivamente troveremo.

d) Il modello è a stati infiniti in quanto il vettore stato può possedere, nel suo dominio continuo, combinazioni di valori infinite.

e) Il modello è a dimensione dello stato finita in quanto il vettore di stato è 2. f) Il modello è tempo invariante in quanto, essendo regolare, non è presente il tempo in forma esplicita nelle

equazioni del modello.

Rappresentazione matriciale La linearità ci garantisce il principio di sovrapposizione degli effetti e questo ci porta a poter scrivere il sistema nella forma matriciale:

[ ]

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

0 1 0 01 0 01A B C Dk b g

M M Md x t A x t B u tdty t C x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ = ⋅ + ⋅⎪⎨⎪ = ⋅⎩


Cerchiamo, ed eventualmente troviamo, i punti di equilibrio che il sistema possiede. Effettuiamo questa operazione mediante la definizione usuale di stato di equilibrio ricercando tali punti per quei valori dello stato per cui la sua derivata si annulla:



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21 2

1 2 1 22 1 2 1 2

0011 00

d xx t x tdt

k bd k b x x u gux t x t x t u t gu t M M Mdt M M M

⎧ =⎡ ⎤ = = ⎧⎣ ⎦⎪⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨− − + − =⎪ ⎪⎡ ⎤ = − − + − = ⎩⎣ ⎦⎪⎩

22 2

1 1 21 1 2 1 1 2

00 011 10

xx xMgk k x u ux u gu x u gu

k kM M M M

== = ⎧⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨

= −− + − = − = − +⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩

Il sistema, essendo lineare, possiede un solo stato di equilibrio dato che il sistema algebrico risultante risulta essere di Cramer, ebbene lo stato di equilibrio trovato è il seguente:

22 2

1 1 21 1 2 1 1 2

1 2

00 011 10

10e

xx xMgk k x u ux u gu x u gu

k kM M M Mu Mgu

xk

== = ⎧⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨

= −− + − = − = − +⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

In prossimità di questo stato, una volta raggiunto, il sistema tenderà a possedere quel valore fino ad ogni futura perturbazione, quello che accadrà in seguito a tali perturbazioni lo vedremo con l’analisi della stabilità del sistema.

Analisi della stabilità del sistema

Per rispondere alla domanda prima implicitamente posta analizziamo la stabilità del sistema mediante l’analisi degli autovalori della matrice di stato A:

2

2

12 2 2

2 2 2

2 2

0 1 100 0 0 0 0

0

1 41 2 24 4

2 2 1 42 2

ss b k b ksI A s s s sk b k bs M M M MsM M M M

b b ksb k b b k M MMs

M M MM M b b ksM MM

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧= − − −⎪

⎪Δ = − ⇒ = − ± − ⇒ ⎨⎪ = − + −⎪⎩

Osserviamo immediatamente che la stabilità del sistema è condizionata dai valori dei parametri, ragion per cui da qui è necessaria l’attuazione di una discussione parametrica. Osserviamo innanzitutto che un autovalore ha sicuramente parte reale negativa in quanto nel primo autovalore, anche se la radice restituisse un complesso, esso sarebbe la parte immaginaria, se invece la radice restituisse un reale esso sarebbe positivo e naturalmente col segno meno davanti esso diventerebbe negativo che sommato a un’altra quantità negativa darebbe sempre un reale negativo. Il problema è a conti fatti il secondo autovalore, se infatti il radicando fosse minore di zero non ci sarebbero problemi in quanto sarebbe la parte immaginaria e la parte reale sarebbe negativa (ricordare che le costanti sono positive); ma se la radice desse un reale esso potrebbe scalare i valori negativi del fattore a sommare. Per questo motivo analizziamo dove il radicando è positivo e quando il secondo autovalore è positivo:

2 2 22 2 2

2 2

44 0 0 4 0 4 44

b k b Mk bb Mk Mk b Mk b MM kM M

−− > ⇒ > ⇒ − > ⇒ − > − ⇒ < ⇒ <

Se la massa è maggiore della quantità a secondo membro ho la possibilità che il secondo autovalore abbia parte reale positiva, vediamo ponendoci in questo caso e analizziamo il segno del secondo autovalore:

2

2 2 2

2 2 22

2 2

2 2 2

2 2 2 22 2

2 2 2 22 2 2

2 2

4 1 14 0 4 42 2 2 21 4

2 2

444 4 4 0 4 0

44

bMk b b k b k b b k b

M M M M M MM M Mb b ksM MM

b k b bMb k b b k b k kM kM M

M M M MM M M Mb k b bMM kM M

⎧<⎪⎪ ⇒ − + − > ⇒ − > ⇒ − > ⇒⎨

⎪ = − + −⎪⎩⎧

− > <⎪⎪− > ⇒ ⇒ − > ⇒ − > ⇒ <⎨⎪− + > > −⎪⎩

Osserviamo che nel caso in cui il radicando fosse positivo, il secondo autovalore avrebbe comunque parte reale negativa. Possiamo dunque riassumere il tutto in questo modo:

Valori parametrici Stabilità sistema

Massa: 2

4bMk

> Il sistema è asintoticamente stabile.

Massa: 2

4bMk

< Il sistema è asintoticamente stabile.



Costanti: 0 0b k= ∧ = Il sistema è marginalmente stabile.

Osserviamo dunque come il nostro sistema non sia sempre stabile, ebbene nella nostra analisi terremo conto degli intervalli in cui il sistema si presenta stabile marginalmente e li discuteremo via via che si riterrà necessario.


Procediamo ad analizzare la raggiungibilità del sistema al fine di verificare se nel prossimo futuro saremo in grado di poter costruire un controllore basato proprio su questo sistema. Per fare ciò analizziamo la matrice di raggiungibilità:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

1

2

1 1 1 2 2

2 2 2

, ,..., 2 ,10 1 0 0

1

1 1 10 00 0 0011

nR B AB A B n R B AB

gMAB k b b bgg

M M M MM

g gg bg bgM M MR M R M R M Rb bg b b bgM M Mgg gMM M MM M M

−= ⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− −⎢ ⎥

= ⇒ = = = = = = +⎢ ⎥−⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Data la positività delle costanti abbiamo che, a meno che esse non siano nulle contemporaneamente, esiste un minore di ordine 2 diverso da zero. Questo ci dice che il sistema è sempre raggiungibile a patto che: ( ) max 2 0R bρ = = ⇔ ≠

Ovvero il sistema è raggiungibile solo se lo smorzatore è presente.


Vediamo adesso di trarre qualche informazione in più riguardo l’osservabilità del sistema, in maniera da comprendere se il sistema è in forma minima. Per fare ciò analizziamo la matrice di osservabilità:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

1, ,..., 2 ,0 1

1 0 0 1

1 0max 2

0 1

T TnO C CA CA n O C CA

CA k bM M

O Oρ

−= ⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⇒ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

Concludiamo che il sistema è sempre osservabile. Dunque nella condizione di osservabilità abbiamo che il sistema è in forma minima.


Iniziamo adesso i processi che ci porteranno ad un’analisi molto dettagliata e scrupolosa del sistema, i quali a loro volta ci condurranno a conoscere moltissime informazioni sul sistema e su come possiamo agire su di esso mediante determinati processi e strutture. Il primo passo è portare il sistema in nella forma di funzione di trasferimento calcolando appunto la funzione di trasferimento che condenserà il sistema differenziale di prima in una sola unica espressione nel dominio di Laplace; dato che abbiamo un sistema MISO ci conviene utilizzare il calcolo matriciale per trovare la funzione di trasferimento anche se sarebbe comunque possibile trasformare in Laplace membro a membro considerando nulli prima una componente dell’ingresso e poi l’altra. Procediamo utilizzando la formula:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

12

2

01

1adj 1 1det det det1

11det

TT

H s C sI A B D D H s C sI A Bs

sI A k bsM M

bb k ssI A s MsI A M MksI A sI A sI As sM

bsb k MsI A sI A s s sI Ab k kM M s s sM M M

− −

−

−

= − + ⇒ = ⇒ = −

−⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎜ ⎟− + −⎜ ⎟− = = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟

− = − = + + ⇒ − = ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠



( ) ( )

( )

1

2 2

1

2 2

11 11 0 1

0 01 1 11 1

bs bMC sI A sb k b kk Ms s s ssM M M MM

bC sI A B s gb k b kM Mgs s s sMM M M M

−

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞− = ⋅ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+ + + +−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = ⋅ + ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−+ + + +⎝ ⎠

La funzione di trasferimento, a causa della natura MISO del sistema è una matrice riga bidimensionale e componente per componente rappresenta la funzione di trasferimento che si avrebbe per la prima componente dell’ingresso (la seconda è posta nulla) e per la seconda componente dell’ingresso sempre (posta la prima componente pari a zero). Scritta meglio è:

( )22

1 gH sb kb k s sM s sM MM M

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎛ ⎞ + +⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦


Adesso iniziamo ad analizzare la risposta del sistema a determinate combinazioni di ingressi. Diciamo combinazioni di ingressi in quanto, avendo la possibilità di agire sul sistema in due modi, o variando l’inclinazione o variando la forza, bisogna combinare gli ingressi che intendiamo applicare e per ciascuno valutare la risposta complessiva del sistema. Quello che ci proponiamo di fare è dunque definire delle combinazioni importanti da valutare al fine di ottenere il profilo di uscita del sistema, ovvero la sua reazione. Inizieremo valutando la risposta al variare di uno degli ingressi, l’altro lo manterremo costante o nullo, per poi analizzare profili di ingressi in combinazione.

Profili d’ingresso Analizzeremo la reazione del sistema in merito a combinazioni di ingresso elencate qui sotto:

a. Angolazione: Gradino di Heaviside non unitario, Forza: Valore nullo. b. Angolazione: Valore costante, Forza: Delta di Dirac a picco non unitario.

Come si vede i profili di ingresso di cui determinare la risposta sono tanti e per ciascuno utilizzeremo vari metodi, analizzeremo il comportamento del sistema in circostanze prevedibili in cui a volte la forza ha un andamento e il piano è inclinato di un valore determinato e poi con ingressi tali da far variare l’inclinazione e da annullare la forza.

Risposta libera Prima di procedere calcoliamo la risposta libera del sistema, essa, essendo libera, non dipende dalla natura dell’ingresso e dunque da nessun ingresso e sarà dunque quella parte di risposta comune a tutte le uscite per i vari ingressi; calcolata ora verrà aggiunta nei prossimi calcoli.

( ) ( ) ( ){ }11 0Ly t C sI A x−−= ⋅ − ⋅ℑ

Considereremo come stato iniziale quello per cui la massa si trova nella posizione di equilibrio e ha velocità nulla, dunque avremo: ( ) [ ]0 0 0 Tx =

Siccome bisognerà antitrasformare una quantità che è un prodotto in cui uno dei fattori è nullo, lo stato iniziale, avremo da antitrasformare una quantità nulla la cui anti trasformata è chiaramente nulla. La risposta libera è dunque ininfluente per la risposta che coinciderà con la risposta forzata calcolata ogni volta.

Risposta ad angolazione con gradino non unitario e forza nulla Osserviamo che adesso l’ingresso che porremmo sarà di questo tipo: ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )0 0

0 00

0

sin 0 heav

0 heav 0 heav 0 heav 0 heav

10 0 0

10

T T

T T

TT st st

T TT

st st st

s

u t F t t t

u t t t e t dt e t dt

e dt e dt s e dts

es

θ μ

μ μ μ μ

μ μ μ

μ

+∞ +∞

− −

+∞ +∞+∞− − −

+∞−

= = ⋅ ⇒

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ = ⋅ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ = = =− − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= −

ℑ ℑ ℑ ℑ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

0

10 lim

1 10 lim 0

T Tht st

h

T Tsh

h

es

es s s

μ

μμ

−

→+∞

−

→+∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅ − + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Per calcolare La risposta sappiamo che è necessario applicare la relazione usuale con la quale è possibile venire a conoscenza della parte forzata dell’intera risposta (che in questo e negli altri casi coinciderà con l’intera risposta dato che la risposta libera è nulla). Applichiamo dunque la relazione:



( ) ( ) ( ){ }1 1 1

2 22

1 1

2 2

01

1

g gy t H s U sb k b kb k ss s s sM s s sM M M MM M

g gb k b ks s s s s sM M M M

μμ

μ μ

− − −

− −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥= = − ⋅ = − ⋅ ⇒⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎛ ⎞ + + + +⎢ ⎥+ +⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + + ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ

Notiamo la presenza, al denominatore, di terzo grado, per antitrasformare dobbiamo scindere la frazione in fratti semplici. Avendo un termine di primo grado moltiplicato ad un termine di secondo grado, procediamo a trovare le radici del polinomio di secondo grado:

2 2

2 2 22

2 2 2

2 2

1 42 2 2 40 4

1 42 2 2 4

b b k b b ks sb k b k M M M MM Ms sM M MM b b k b b ks s

M M M MM M

⎧ ⎧= − − − = − − −⎪ ⎪

⎪ ⎪+ + = ⇒ Δ = − ⇒ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪= − + − = − + −⎪ ⎪⎩ ⎩

Analisi dei soli valori reali per i radicandi: Ipotizzando che i radicandi siano positivi e che le radici non diano luogo a valori complessi, abbiamo allora:

( ) 1 1

2 22

2 2

1 1

2 24 4

y t g gb k b b k b b ks s s s s sM M M M M MM M

μ μ− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − ⋅ = − ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + +⎜ ⎟ ⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ℑ ℑ

Procediamo a scomporre in fratti semplici la frazione mediante i metodi usuali e a calcolare i residui dunque:

2 22 2

2 22 2

0 02 2 2 2

2 2 2 2

1

2 24 42 24 41 1

2 2 2 24 4 4 4

lim lims s

A B Cs b b k b b kb b k b b k s ss s s

M M M MM MM M M MM M

A sb b k b b k b b k b b ks s s s sM M M M M M M MM M M M

→ →

= + + ⇒⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + − + − −⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ =⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + + − ⋅ + − − + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩

2

2

2

2

2 22 2

2 22 2

2

2 2 2

2 4 2 2

2 4

1 1 1

4 42 24 4

12 4

2 24 4

lim

lim

b b ksM MM

b b ksM MM

Mk kb b kb b k b b kMMM MM M M MM M

b b kB sM MM b b k b b ks s s

M M M MM M

⎛ ⎞⎜ ⎟→− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ →− − −⎜⎝ ⎠

=⎪

⎪⎭

= = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− +⎜ ⎟+ − ⋅ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + − ⋅ =⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎝ ⎠⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1

2 2 2 24 4 4 41 1

2 22 24 4 4 4

1 1

22 4 4

b b k b b k b b k b b ks sM M M M M M M MM M M M

b b k b k b b k b kM M M M M MM M M M

b b k b k bM M MM M

⎟⎟

⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⋅ + − − − − − ⋅ − − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ⋅ − − − − − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =⎡ ⎤⎛ ⎞

− − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

2

2

2

2

2 22 2

2 22 2

2

2 2 2

2 4 2 2

2

2 4 2

1

22

4 24 4

12 4

2 24 41

2 4

lim

lim

b b ksM MM

b b ksM MM

b b k b kb k b kM M MM MM M MM M

b b kC sM MM b b k b b ks s s

M M M MM M

b b ks sM MM

⎛ ⎞⎜ ⎟→− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟→− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎡ ⎤⎛ ⎞ − + −− + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + − − ⋅ =⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎝ ⎠⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⋅ + + −2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

1

2 2 24 4 41 1 1

22 2

4 22 24 4 4 4

b b k b b k b b kM M M M M MM M M

b b k b kb b k b k b b k b kM M MM MM M M M M MM M M M

⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬− + − ⋅ − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − + −− + − ⋅ − − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Possiamo procedere all’antitrasformazione, avendo a che fare con elementi semplici otteniamo quanto segue:



2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 12 2

4 2 4 2

2 2 2 24 4 4 4

b b k b k b b k b kMA B C M M M M M MM M M Mks sb b k b b k b b k b b ks s s s

M M M M M M M MM M M M

− + − − − + −+ + = + +

+ + − + − − + + − + − −

La frazione originaria si scompone nella forma riportata qui sopra. Possiamo adesso procedere all’antitrasformazione, applicando la linearità di questa operazione otteniamo:

( ) 1

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 21

2 2

2 2

2

21 1

1

2 24 41 1

2 24 2 4 2

2 24 41

4

y t gb b k b b ks s sM M M MM M

b b k b k b b k b kMM M M M M MM M M Mkg

s b b k b b ks sM M M MM M

b b kMM MMkg

s

μ

μ

μ

−

−

− −

⎧ ⎫= − ⋅ =⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − − + −⎢ ⎥= − ⋅ + + =⎢ ⎥⎢ ⎥+ + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ −⎢ ⎥= − ⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦

ℑ

ℑ

ℑ ℑ

2 2 2

2 2 21

2 2

2 2

1

2 22 4 2

2 24 4

b k b b k b kM M M MM M M

b b k b b ks sM M M MM M

−

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − − + −⎪ ⎪

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ + − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

ℑ

Risolvendo separatamente abbiamo:

( )

22

2

1 1

2 2

2 21 1

2 2 2 2

2 2 2 2

22 4

2 2

2 2

1 heav

1

21 14 2

22 24 4 2 4

1

24 2

b bb b k MtM MM

MM Mk t

s k s k

b b k b kM M MM M

b b k b b k b k b b ks sM M M M M M MM M M M

eeb b k b kM M MM M

− −

− −

− +⎛ ⎞⎜ ⎟− + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + − − + − + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅ =

− + −

ℑ ℑ

ℑ ℑ

2

2

2

4

2 2

2 2

2 2

2 21 1

2 2 2 2

2 2 2 2

22 4

2 2

2 2

24 2

1

21 14 2

22 24 4 2 4

1

24 2

k tMM

b bb b k MtM MM

b b k b kM M MM M

b b k b kM M MM M

b b k b b k b k b b ks sM M M M M M MM M M M

eeb b k b kM M MM M

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− −

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− + −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − − − + − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅ =

− − + −

ℑ ℑ

2

24

2 2

2 2

24 2

k tMM

b b k b kM M MM M

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− − + −

La risposta dunque a forza nulla e angolazione al gradino di valore μ è dunque:

( ) ( )

2 2

2 22 24 4

2 2 2 2

2 2 2 2

heav2 2

4 2 4 2

b b k b b kt tM M M MM MM e ey t g t

k b b k b k b b k b kM M M M M MM M M M

μ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − ⋅ − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − ⋅ ⋅ + +⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Attenzione, la risposta di uscita calcolata vale solo se il radicando è positivo, ovvero se è soddisfatta la condizione: 2 2 2 2

2 22 20 0 4 4

4 44 4b k b k b bM k b Mk Mk b M

M M M kM M− > ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ < ⇒ <

Notiamo come il calcolo, terminato, coinvolga il parametro del gradino oltre ai tre parametri del sistema. Notare infine anche che la radice potrebbe ritornare dei valori complessi per via di un radicando che potrebbe essere negativo (per accertarsene bisognerebbe svolgere una disequazione che a noi non interessa svolgere in quanto eventuali valori complessi non influiscono in questo contesto).



Modello MOD1: Data la necessità di fornire delle rappresentazioni grafiche daremo sempre dei valori determinati ai parametri, nel particolare, visto che la viscosità è influenzata dalla temperatura, considereremo il sistema posto sempre in un ambiente a 0 °C, inoltre il fluido sarà sempre glicerolo, un composto organico altamente denso (smorzamento pari a 1,78 Kg/s), e la molla avrà costante elastica pari a 0,2 Kg/s2 e infine la massa in questione avrà sempre valore 1 Kg. In questo modo, ogni esempio reale e ogni rappresentazione grafica di risposta sarà stata effettuata su un modello calcolato in una determinata configurazione; questa prenderà il nome di MOD1.

Vediamo dunque, graficamente come reagisce MOD1 ad un’angolazione a scalino (non unitario) e una forza applicata nulla. Il grafico a destra mostra la risposta calcolata per MOD1 dove il parametro μ che identifica l’intensità dello scalino viene fatto variare da valori negativi a valori positivi crescenti. Notare come, se lo scalino è negativo, la risposta si adegua ad un regime positivo crescendo verso esso; se invece lo scalino è positivo la risposta si adegua su valori negativi decrescendo verso essi. La logica di questo comportamento la si trova calandoci in quello che è il contesto fisico originario del sistema che abbiamo studiato poco fa; infatti il nostro corpo, fermo al punto di equilibrio, viene perturbato in maniera costante mediante un innalzo o un abbassamento del piano inclinato; se il piano viene alzato (scalino positivo) il corpo tende a spostarsi indietro (valori negativi dell’uscita in quanto la posizione del corpo la si misura dal punto di equilibrio della molla e smorzatore); se invece abbassiamo la rampa (scalino negativo) abbiamo una risposta positiva in quanto il corpo tende ad andare avanti. Analisi dei soli valori complessi per i radicandi: Ipotizzando adesso che i radicandi siano negativi e che le radici diano luogo a valori complessi, retrocedendo nei calcoli è infatti necessario apportare delle modifiche ai calcoli; dunque riprendiamo e mettiamo in evidenza i valori complessi in modo da riavere la nostra scomposizione iniziale in fratti semplici:

( ) 1 1

2 22

2 2

1

2 2

2 2

1 1

2 24 41

2 24 4

y t g gb k b b k b b ks s s s s sM M M M M MM M

gb k b b k bs s i s iM M M MM M

μ μ

μ

− −

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − ⋅ = − ⋅ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + +⎜ ⎟ ⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫= − ⋅ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬

⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ℑ ℑ

ℑ

La scomposizione diviene dunque:

2 22 2

2 22 2

1

2 24 42 24 4

A B Cs b k b b k bb k b b k b s i s is s i s i


= + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + ⋅ − + − ⋅ −⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sappiamo che lì dove sono presenti, in una frazione da scomporre in fratti semplici, dei poli complessi coniugati, essi daranno origine a residui complessi e coniugati anche loro, possiamo allora scrivere:

2 22 2

2 22 2

1

2 24 42 24 4

A B Bs b k b b k bb k b b k b s i s is s i s i


= + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + ⋅ − + − ⋅ −⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Troviamo il residuo A ed il residuo B:

2

2

0 2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 22

2 22 2

2

2

2 4

1 1

2 2 2 24 4 4 41 1 1

4 44 4

2 4

lim

lim

s

b k bs iM M M

A sb k b b k b b k b b k bs s i s i i iM M M M M M M MM M M M

Mk kb k bb k bi MMM MMM M

b k bB s iM M M

→

→− − ⋅ −

⎧ ⎫= ⋅ = =⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= = = =⎛ ⎞ + −− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛= + + ⋅ −

⎝

2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 42 2 2 2

1

2 24 41 1

2 2 2 24 4 4 4

limb k bs iM M M

b k b b k bs s i s iM M M MM M

b k b b k b b k b b k bs s i i i iM M M M M M M MM M M M

→− − ⋅ −

⎧ ⎫⎞⎪ ⎪⋅ =⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎠⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⋅ + − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭



2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

1 1

2 22 24 4 4 4

1 1

2 22 24 4 4 4 4

1 1

22 4 4

b k b k b b k b k bi i i iM M M M M MM M M M

b k b k b k b b k b k bi iM M M M M M MM M M M M

b kb k b k b iiM MM M MM M

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − − − ⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − ⋅ − + − ⋅ − − − ⋅ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎛ ⎞

⋅ −⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2

24 2b k b

MM M− +

Non è necessario calcolare l’ultimo residuo in quanto il metodo per il calcolo dell’antitrasformata di una coppia di fratti semplici con poli, e dunque residui, complessi coniugati ci da la possibilità di usare uno solo dei residui con il relativo polo associato. Procediamo ad antitrasformare:

( ) 1

2 2

2 2

1

2 2

2 2

2 22 2

22 21

2

2

1

2 24 4

2 24 4

1122

4 24 2

2 4

y t gb k b b k bs s i s iM M M MM M

A B Bgs b k b b k bs i s i

M M M MM M

b k b k bb k b k bM iiM M MM MM M MM Mkg

s b k bs iM M M

μ

μ

μ

−

−

−

⎧ ⎫= − ⋅ =⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫= − ⋅ + + =⎪ ⎪

⎨ ⎬+ + ⋅ − + − ⋅ −⎪ ⎪

⎩ ⎭

⋅ − − +⋅ − − += − ⋅ + +

+ + ⋅ −

ℑ

ℑ

ℑ2

2

2

2 22 2

2 22 21 1

2 2

2 2

2 4

1122

4 24 2

2 24 4

b k bs iM M M

b k b k bb k b k bM iiM M MM MM M MM Mkg g

s b k b b k bs i s iM M M MM M

μ μ− −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎨ ⎬⎣ ⎦ =⎪ ⎪⎪ ⎪+ − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪⋅ − − +⋅ − − +⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎣ ⎦⎨ ⎬= − ⋅ − ⋅ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪+ + ⋅ − + − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭

ℑ ℑ

Calcoliamo singolarmente le antitrasformate:

{ } ( )1 1 1 heav

MM Mk t

s k s k− −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬ = ⋅ = ⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

ℑ ℑ

E’ arrivato il momento di antitrasformare la coppia di fratti con poli e residui coniugati, utilizzeremo la formula:

( ) ( ) ( )Re1 2 cos Im Argp tR R R e p t Rs p s p

− ⋅− ⎧ ⎫⎡ ⎤+ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +⎨ ⎬ ⎣ ⎦+ +⎩ ⎭

ℑ

Prima di procedere scriviamo in una forma migliore il residuo: 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

22 2

2 2

21 4 2

2 2 24 2 4 2 4 2

2 24 2 4

24 2

b k b k biM M MM M

b k b k b b k b k b b k b k bi i iM M MM M M M M M M MM M M M

b k b k b b k bi iM M M M MM M M

b k b k bM M MM M

⎛ ⎞⋅ − − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − − + ⋅ − + − + ⋅ ⋅ − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⋅ − + − ⋅ − += = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2

22 4 2

2 24 2 4 2

2 22 4 2

2 24 2 4 2

k b b k b k biM M M MM M M

b k b k b b k b k bM M M M M MM M M M

b k b k b b kiM M MM M MM


− − ⋅ − − += =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − ⋅ − −= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

2 22 2

2 2

42

4 2

b k biM M M

b k b k bM M MM M

⋅ −−

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Procediamo dunque con il calcolo:



2 22 2

2 22 2

22 2 22 2

2 22 21

2 2

2 2

2

2

222 42 4

224 24 2

2 24 4

222

b k b k bb k b k b iiM M MM MM M MM M

b k b k bb k b k bM M MM MM M MM M

b k b b k bs i s iM M M MM M

b k bM MM

−

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪− − ⋅ −⎢ ⎥− − ⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⋅ − + − +⋅ − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦+ =⎪ ⎪⎪ ⎪+ + ⋅ − + − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭

− −= ⋅

ℑ

2

2

2

22

2 Re 2 22 422 2 2 2

22 2 2 2

2 2

Im2 4

4 2cos2 2 4Arg

4 2 24 2

2

b k bi tM M M

b k bi tM M Mk bi

M M b k b k be ib k b k b M M MM MM M MM M b k b k b

M M MM M

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⋅ − ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ ⋅ =− − ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+⋅ − + − + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

=

22

2

22 2 2 2

2 2 2 2 22

2 2 2 22

2 22

22 2

2 2

22

2 24 2 2 4cos Arg

4 24 24

24 2

b tM

b kMM

b k b k b b k b k biM M MM M k b M M MM Me tM M b k b k bb k b

M M MM MM M Mb k b k bM M MM M

− ⋅

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⋅ − + − +− ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟+

⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2

22 2 2 2 2

22 2 2 2 22

2 2 22 2 22 2

2 22 2

2 22 4 2 42 cos Arg

4 224 24 2

b tM

b k b k b b k b k bik bM M M M MM M M M Me tM M b k b k bb k b k b

M M MM MM M MM M

− ⋅

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎢ ⎥⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ − − − ⋅ −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜= ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ +⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦

L’argomento dovrebbe essere discusso in quanto dobbiamo identificare in quale quadrante il polo si posiziona, noi però, per semplicità di calcoli non esploderemo l’argomento esplicitandolo:

( )

( )

( )

2 22 2

2 22 21 1

2 2

2 2

22 2 2

2 2 2

1122

4 24 2

2 24 4

heav

22 42

b k b k bb k b k bM iiM M MM MM M MM Mky t g g

s b k b b k bs i s iM M M MM M

M tk

b k b k by t gM MM M M

b k bM M

μ μ

μ

− −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪⋅ − − +⋅ − − +⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎣ ⎦⎨ ⎬= − ⋅ − ⋅ + ⇒⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪+ + ⋅ − + − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭

⋅ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ −= − ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⋅

⋅ −

ℑ ℑ

2

2

2 22

2 2 22 2

22 2 2 2

2 2

4

2cos2 42 Arg

4 2 24 2

b tM

k b tM M

b k b k be iM M MM Mk b

MM M b k b k bM M MM M

− ⋅

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤⎪ ⎪− − ⋅ +⎢ ⎥⎪ ⎪

⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎛ ⎞⎪ ⎪⋅ ⋅ ⎢ ⎥− − ⋅ −⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+⎪ + − + ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

Tracciamento: Calcolata la risposta, procediamo adesso a tracciarla con un sistema di prova, dando valori ai parametri. Questa volta abbiamo la necessità di far spuntare nella radice, quella iniziale, valori complessi, ovvero cercheremo di dare alle radici, quelle che figurano in questi ultimi calcoli, radicandi positivi. Consideriamo allora la molla a coefficiente elastico pari a K=3, la massa sia 1Kg, lo smorzamento sia pari a b=1. Otteniamo così:

( )

2

12

2

2

3 11 41 6 1 3 1

1 2 1 1 1 4 1 6 1 3 12 cos3 1 3 1 6 1 2 1 1 1 4Arg

1 1 4 1 2 1 3 1 6 11 1 4 1 2

t

t

y t g e iμ− ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤− − ⋅ +⎪ ⎪⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎛ ⎞ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⎨ ⎬− − ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟+⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − +⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭



( )

2

12

2 2

2

1 1 1 16 3 6 31 12 4 2 42 cos 3 Arg3 41 1 1 1 13 6 3 6

4 2 1 4 2

11 111 2 423 11 11

4 2

ti

y t g e t

g

μ

μ

− ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− − − − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− + − + ⋅ − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⋅ + ⋅

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

12

2 2

12

11 1111 2 4cos Arg4 11 11

4 2

121 11 11 111 114 4 2 22 cos Arg

11 121 11 1213 24 4 4 4

1 23

t

t

ie t

ig e t

g

μ

μ

− ⋅

− ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪− − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⋅ + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − − ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + =⎨ ⎬

⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

= − ⋅ + ⋅12

1 12 2

110 11 11112 2 2cos Arg

132 13224 4

111 110 11 1 110 1166cos arctan cos

223 33 2 3 33 2132

t

t t

ie t

g e t g e tμ π μ

− ⋅

− ⋅ − ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⋅ + =⎨ ⎬

⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞

−⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + + = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪−⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

11arctan11

π⎧ ⎫⎡ ⎤

+ +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

Possiamo procedere al tracciamento:

( )121 110 11 11cos arctan

3 33 2 11t

y t g e tμ π− ⋅⎡ ⎤⎛ ⎞

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Come possiamo notare i grafici che ne derivano, per valori del gradino variabili, sono grafici che mostrano un andamento sinusoidale smorzato con un transitorio relativamente breve, i grafici di prima avevano invece un transitorio molto lungo. Notare come i valori dell’intensità del gradino che danno curve positive sono gradini negativi, ovvero, come prima, se il piano viene alzato abbiamo che il corpo si sposta verso posizioni negative, se no il corpo si sposta in avanti rispetto all’origine. I grafici evidenziano come, quando abbiamo sistemi di un certo tipo, per cui i parametri restituiscono nella forma originaria radicandi negativi, il sistema finale reagisce in maniera differente, d’altronde sappiamo come gli oscillatori armonici ammettano tipologie differenti di smorzamenti; noi abbiamo appena finito di analizzare oscillatori armonici a smorzamento relativamente intenso, mentre prima lo smorzamento non era presente.

Risposta ad angolazione costante e forza impulsiva ad intensità variabile Procediamo verso il caso in cui il nostro corpo si troverà ad un’angolazione fissa di 30° e sarà sottoposto ad una forza di tipo impulsiva, ovvero una forza ad intensità elevata localizzata in un arco di tempo molto breve, ovvero, come ci dice la fisica, l’impulso della forza è infinitesimo:

( )

0

0

t

I F F dt= ⋅ =∫

Dopo questa piccola introduzione procediamo porre il nostro sistema proprio in questo caso (ricordiamo che lò’angolo deve essere espresso mediante il suo seno): ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

0

sin sin 30 sin 6

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 11 2 1 2 lim 1 2 0 12

T T T

T T

TT st st

TT T

st sa

a

u t F t t t t

u t t t e dt e dt

s e dt e es s s s

θ μ δ μ δ π

μ δ μ δ μ μ

μ μ μ μ

+∞ +∞

− −

+∞

− −

→+∞

⎡ ⎤= = ⋅ ° = ⋅ ⇒⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= − − ⋅ = − − = − − = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

ℑ ℑ ℑ ℑ ∫ ∫

∫T



Il risultato sulla trasformata dell’angolazione in ingresso potrebbe sconcertare, ma possiamo intendere la nostra angolazione costante come una funzione che nell’asse dei tempi dall’origine in poi vale un determinato valore e prima vale zero. Così vediamo che abbiamo proprio un gradino e la sua trasformata è quello che ne deriva dal calcolo appena fatto. Il nostro ingresso è dunque:

( ) 1 12

T

u ts

μ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Evidenziando che la risposta libera è nulla procediamo al calcolo della parte forzata che coinciderà proprio con la risposta totale:

( ) ( ) ( ){ }1 1

22

1 1 1

2 22 2

11 12

1 1 1 12 2

gy t H s U sb kb k s sM s s sM MM M

g gs s

b k b kb k b ks s s sM s s M s sM M M MM M M M

M

μ

μ μ

μ

− −

− − −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= = − ⋅ =⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⋅⎛ ⎞ + +⎢ ⎥+ +⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪= − = + − =⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ + + ++ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= ⋅

ℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ

ℑ 1 1

2 2

1 12g

b k b ks s s s sM M M M

− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎛ ⎞⎨ ⎬+ + ⋅ + +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ℑ

Notiamo subito che per gran parte delle espressioni da risolvere è possibile usufruire dei calcoli precedentemente svolti per la risposta di prima, sappiamo infatti, per ambedue le antitrasformazioni da svolgere adesso, che la seconda frazione si può scindere in fratti semplici, ma prima dobbiamo effettuare i casi per cui l’espressione:

2

24b k

MM−

Restituisce valori reali non complessi dunque, questo in quanto il radicale indicato figura come radice del polinomio a denominatore delle due frazioni. Fattori reali: Bene procediamo, come prima, considerando di avere valori reali e non complessi:

2 2

2 2 04 4b k b k

M MM M− ∈ℜ ⇔ − >

Procediamo allora con il calcolo dei residui avvalendoci per la prima espressione dei calcoli già fatti:

2 22

2 2

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2

22

1 1

2 24 41 1

2 24 2 4 2

2 2 2 24 4 4 41

2

b k b b k b b ks s s s s sM M M M M MM M

b b k b k b b k b kMA B C M M M M M MM M M Mks sb b k b b k b b k b b ks s s s

M M M M M M M MM M M MA

b k b bs s sM M M

= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + +⎜ ⎟ ⋅ + + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − − − + −= + + = + +

+ + − + − − + + − + − −

=+ + + +

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 42 2

2 2 2 2

2 4 2 2 2 2

24 4

12 4

2 24 41 1 1

22 2 24 4 4 4

lim

lim

b b ksM MM

b b ksM MM

B

k b b ksM M MM M

b b kA sM MM b b k b b ks s

M M M MM M

b b k b b k b b k bsM M M M M MM M M M

→− − −

→− − −

+ ⇒

− + − −

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + − ⋅ =⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎝ ⎠+ + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫= = = −⎪ ⎪⎨ ⎬

+ − − − − − + − −⎪ ⎪⎩ ⎭

2

2

2

2

2

2 2 2 2

2 42 2

2 2 2 2

2 4 2 2 2 2

12 4

2 24 41 1 1

22 2 24 4 4 4

lim

lim

b b ksM MM

b b ksM MM

kM

b b kB sM MM b b k b b ks s

M M M MM M

b b k b b k b b k b ksM M M M M M MM M M M

→− + −

→− + −

−

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + − − ⋅ =⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎝ ⎠+ + − ⋅ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫= = =⎪ ⎪⎨ ⎬

+ + − − + − + + − −⎪ ⎪⎩ ⎭

Grazie ai calcoli di prima possiamo adesso antitrasformare con i consueti metodi anche applicati in precedenza. Procediamo a calcolare le due antitrasformate nella risposta:



1 1 2 2

2 22

2 2

2 2 2 2

2 2 21 1 1

2 2 2

2 2 2

1

2 24 41 1 1 1

2 2 2 24 4 4 4

2 2 24 4 4

A Bb k b b k b b ks s s sM M M M M MM M

b k b k b k bM M MM M M M

b b k b b k b b ks s sM M M M M MM M M

− −

− − −

⎧ ⎫⎧ ⎫ = + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + + − + − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬= + = +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + − + − − + + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

22 24 4

2 2

2 2

2 41 1 1 1

2 22 24 4 4 4

1 1

2 24 4

b bb b k b b k Mt tM M M MM M

kM

b b ksM MM

b k b b k b k b b ks sM M M M M MM M M M

ee eb k b k

M MM M

− −

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − ⋅ − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎪ ⎪+ − −⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − ⋅ + ⋅ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− + + − − + − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= − ⋅ + ⋅ =

− −

ℑ ℑ

2 2

2 224 4

2 2

2 2

1 1 1 1 1

2 22

2 2

2 2 2

2 2 21

2

2

2 24 4

1

2 24 41 1

24 2 4

2 4

k b b kt tM M MM Me

b k b kM MM M

A B Cb k s b b k b b ks s s s sM M M M M MM M

b b k b k b b kMM M M M MM M Mk

s b b ksM MM

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

−

−

− −

⎧ ⎫⎧ ⎫ = + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + +⎜ ⎟ + + − + − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

− + − − − += + +

+ + −

ℑ ℑ

ℑ

{ }

2

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1

2 2

2 2

1

2

21

22

2 41 1

2 24 2 4 2

2 24 41

1 2 4

b kMM

b b ksM MM

b b k b k b b k b kMM M M M M MM M M Mk

s b b k b b ks sM M M MM M

b bsM M Mk s

− − −

−

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎪ ⎪+ − −⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− + − − − + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬= + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + − + − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

+ += ⋅ +

ℑ ℑ ℑ

ℑ

ℑ

( )

2 2

2 2

1

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 24 4

2 2 2 2

2 2 2 2

1

2 42 2

4 2 4 2

heav2 2

4 2 4 2

b b k b b kt tM M M MM M

k b b ksM M MM

b b k b k b b k b kM M M M M MM M M M

M e etk b b k b k b b k b k

M M M M M MM M M M

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − ⋅ − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− + − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭+ =

− + − − − + −

= ⋅ + +

− + − − − + −

ℑ

Calcolate le antitrasformate dobbiamo adesso sostituirle nell’espressione finale della risposta:

( )

( )2 2 2

2 2 2

1 1

2 2

2 2 24 4 4

2 2 2 2

2 2 2

1 12

heav2

2 24 4 4 2

b b k b b k b b kt t t

M M M M M MM M M

gy tb k b kM s s s s sM M M M

e e g M t eM kb k b k b b k b

M M M MM M M M

μ

μ

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ − ⋅ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎛ ⎞⎨ ⎬+ + ⋅ + +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⋅

= ⋅ − − ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥− − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

ℑ ℑ

2

22 4

2 2

2 2 2

2 24 2

b b kt

M MMe

k b b k b kM M M MM M

⎛ ⎞⎜ ⎟− − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥− − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Attenzione notare che adesso la costante μ rappresenta l’intensità dell’impulso della forza. Possiamo adesso procedere a graficare la risposta utilizzando come sistema di prova il sistema MOD1 prima definito, ricordiamo che MOD1 implementa valori per cui il sistema non restituisce nella risposta valori complessi atti a dar luogo ad un comportamento sinusoidale smorzato. Qui purtroppo dobbiamo calcolare il modello in maniera esplicita in quanto sono presenti molte espressioni:

178 2 1100 10

b k M= = =

Procediamo a graficare:



( )

2

2 2

1781782100100

2 4 10

178 178178 1782 2100 100100 100

2 4 10 2 4 10

2 2

12 178

10 178 10100

2178 1782 2100 1002 2

4 10 4 10

t

t t

e

e e gy t μ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − − ⋅ − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⋅ − − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎢ ⎥⎣ ⎦

2

2

2 2

1781782100100

2 4 10

2 2

178178 210000200 4 10

2

1782 20 100

4 10 2 5

178 178178 2 2100 100100 4 10 2 5

178100002

4

t

t

e

eμ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠− + −⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− − + −

⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅

22 2 178178 178 178 178 1782 2 2100100 10000 100 10000 100

2 4 10 2 4 10 2 4 10

2 2 2

122178 178 178 1

102 2 178 2 2 17810000 10000 10000210 4 10 100 4 10 2 5 100

t t te g e e

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − ⋅ − + − ⋅ − − − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⋅ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2

2 2

178 178 2 178 178 2 178 178 2200 40000 10 200 40000 10 200 40000 10

2 2

78 1782 210000 10000

4 10 2 5

102 2178 2 178 2 178 172 2

40000 10 40000 10 100

t t te e g eμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⋅ − − ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

2178 178 2200 40000 10

2 2 2 2

178 31684 2 178 31684 2 178200 40000 10 200 40000 10 200

8 2 178 2 178 178 2 178 240000 10 20000 5 100 40000 10 20000 5

102 231684 22

40000 10

t

t t

e

e e g eμ

⎛ ⎞⎜ ⎟− − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ⋅ − + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥

+ =⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

−= ⋅ − ⋅ +

−

31684 2 178 31684 240000 10 200 40000 10

178 76 178 76200 100 200 100

178 31684 2 31684 2 178 31684 2 31684 2100 40000 10 20000 5 100 40000 10 20000 5

31684 2240000 10

t t

t t

e

e eμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ − + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥

+ =⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

−= ⋅

−

254 76 330200 100 200

26 330200 200

26178 76200 100

10 10178 76 31684 2 13528 31684 22 2100 100 20000 5 10000 20000 5

762 250

178 76 31684 2100 100 20000 5

t t

t t

t

e e

g e e g

ee

μ

⎛ ⎞− + ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⋅ − ⋅

⎛ ⎞ −− − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥

+ − + −⎢ ⎥ −⎢ ⎥− ⋅ = ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ++⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎣ ⎦

200

330200

26 330 26 330200 200 200 200

26200

13528 31684 210000 20000 5

1027056 31684 80002

2000076 762 250 50

31684 27056 800020000

t

t

t t t t

t

e

e e g e e g

eμ μ

⋅

− ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

− ⋅

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥+ −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

330 26200 20010

50740 3372220000 20000

t te e− ⋅ − ⋅⎡ ⎤

⎢ ⎥+ − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A questo punto possiamo graficare. Notiamo subito come il sistema si adegui ad un valore di regime negativo. La domanda che viene spontanea è: “perché?”. Il motivo è semplice, prima di tutto sottolineamo che i valori di partenza positivi della classe di curve sono dati da valori dell’intensità dell’impulso positivi, fatto questo possiamo passare ad analizzare un fatto importante: sappiamo infatti che il piano è inclinato di 30°, la forza che esercitiamo, quando è positiva, agisce dall’origine verso l’alto, se invece è negativa essa agisce in modo da aumentare la compressione della molla. Dobbiamo inoltre aggiungere che la forza è impulsiva, ovvero si tratta, la forza, di una sorta di spinta che il corpo riceve, come se la massa fosse spinta dall’urto di un altro corpo o dalle dita di una mano nel gesto di dare un ‘pizzico’. Ebbene, se noi spingiamo per un breve tempo la massa verso il basso con una forza davvero grande, il corpo si trova immediatamente a retrocedere per



poi essere sospinto dalla molla la cui azione è però attenuata dallo smorzatore, il risultato è che il corpo dalla posizione di equilibrio raggiunge immediatamente un punto più basso per poi lentamente procedere poco più avanti ma non raggiungendo mai il punto di stasi iniziale. Se, di contro, spingiamo il corpo verso l’alto per breve tempo con un’intensità grande di forza, otteniamo che il corpo sale all’improvviso, raggiunge un massimo e poi discende passando per il punto iniziale fino a fermarsi poco più in basso; questa dinamica è data dall’azione della molla e del piano inclinato, l’effetto della molla anche in questo caso viene assorbito in gran parte dallo smorzatore. Quanto detto vale anche per impulsi bassi, solo che, naturalmente, i punti di massimo e minimo che raggiunge il corpo saranno più vicini al punto di stasi iniziale. Fattori complessi: Adesso, in analogia al caso di prima, procediamo ad analizzare la stessa risposta quando essa genera valori complessi, ovvero la condizione di positività del radicando prima analizzato è violata, abbiamo allora che:

2 2

2 2 04 4

b k b kCM MM M

− ∈ ⇔ − <

In questo sappiamo che, nell’antitrasformare, dovremo utilizzare formule differenti.

( ) ( ) ( ){ }1 1 1

2 2

1 12gy t H s U s

b k b kM s s s s sM M M M

μ− − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = ⋅ − ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎛ ⎞⎨ ⎬+ + ⋅ + +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ

In ogni caso i residui sono gli stessi, dovremo solamente esplicitare la radice complessa:

2 22

2 2

1 1 1

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

1 1

2 24 4

2 24 41 1

2 24 2 4 2

2 24 4

1

b k b k b b k bs s s s s i s iM M M M M MM MA B Cs b k b b k bs i s i

M M M MM M

b k b b k b k b b kM i iM M M M M MM M M Mk

s b k b b k bs sM M M MM M

bsM

= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + +⎜ ⎟ ⋅ + + ⋅ − ⋅ + − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + =

+ + ⋅ − + − ⋅ −

⋅ ⋅ − + − − ⋅ ⋅ − + −= + +

+ + − + − −

+

2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

2 24 4

2 2 2 24 4 4 4

k b k bi iA B M MM Mk b k b b k b b k b b k bs s i s i s i s iM M M M M M M M MM M M M

−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −= + = +

+ + + ⋅ − + − ⋅ − + + ⋅ − + − ⋅ −

Come in precedenza procediamo a sistemare i residui in maniera da localizzare facilmente la parte reale da quella immaginaria (alcuni calcoli sono stati effettuati in precedenza).

2 2

2 2

22 2 22

22 2 2

22

22

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 4 42

2 2 24 4 4

21 42

2 2 24 2 4 2 4 2

k b k bi iM MM M

k bk b k b k bi i M MM M MM M M

b k bb k iM M MMM

b k b b k b k b k b b k b k biM M MM M M M M M M MM M M M

⋅ − ⋅ −= = −

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

⋅ −−= −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ − + − ⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Notare come abbiamo considerato solo alcuni residui e non tutti, questo perché, come prima, per l’antitrasformazione di una coppia di fratti semplici a poli e residui coniugati è possibile antitrasformare conoscendo uno solo dei residui ed il relativo polo.

( )

1 1

2

21 12 2

2 21

2 2 2

2

2 42

2 24 42 4

A Bs b k bs i

A B g M M My tCM b k b b k bs i s i

M M M MM M b k bs iM M M

μ − −

⎧ ⎫+ +⎪ ⎪⎪ ⎪+ + ⋅ −⎪ ⎪⎧ ⎫= ⋅ + − ⋅ ⎨ ⎬⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎪ ⎪++ + ⋅ − + − ⋅ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪+ − ⋅ −⎩ ⎭

ℑ ℑ

Procediamo a sostituire e a ricavare la risposta:



( )

2 2

2 2

222

2221 1

2 2

2 2 2 2

2 2

2

1

24 211

22 2 4442 1

2 24 4 24 2

2 4

b k b b kM iM M MM Mk

s b k bk bk b s iii M M MgM MM My tM b k b b k bs i s i

M M M MM M b k b b kiM M MM M

b k bs iM M M

μ − −

⋅ ⋅ − + −⎧ ⎫⎡ ⎤ + +−−⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ + + ⋅ −⎪ ⎪⋅ ⋅ −⋅ ⋅ − ⎢ ⎥⎨ ⎬⎣ ⎦= ⋅ + − ⋅⎪ ⎪

⎡ ⎤⎪ ⎪+ + ⋅ − + − ⋅ − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥⋅ ⋅ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦+

+ − ⋅ −

ℑ ℑ

2

22

22

22

221

2 2

2 2

2

2

22 2

2 2

1

4422

22

2 24 4

22

24 2

2

k bk b iiM MM Mk bk b

M MM MM b k b b k bs i s i

M M M MM M

b kMM

b k b k bMM M MM Mk

s

g

μ −

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⋅ −⎢ ⎥⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬−− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⋅ + +⎪ ⎪⎪ ⎪+ + ⋅ − + − ⋅ −⎩ ⎭

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

− ⋅

ℑ

ℑ

2

2

22 2

2 2

2

2

22

22

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

2

42

4 2

2 4

242

2 24 2 4 2

2 4

b k biM M M

b k b k bM M MM M

b k bs iM M M

b k bb k iM M MMM


b k bs iM M M

⎧⋅ −⎪

⎪ −⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ +⎪⎪ + + ⋅ −⎪⎨

⎡ ⎤⎪⋅ −⎢ ⎥−⎪

⎢ ⎥⎪ −⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦+

+ − ⋅ −⎩

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎫⎜⎪⎜⎪⎜⎪⎜⎪⎜⎪⎜⎪⎜⎪⎜⎪⎜ ⎬⎜ ⎪⎜ ⎪⎜ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎭⎝

Notare come abbiamo implicitato il residuo C1, questo in quanto antitrasformeremo la coppia B1 e C1 assieme avendo però bisogno alla fine di B1 solamente; lo stesso vale per A2 e B2. Possiamo procedere al calcolo calcolando, porzione per porzione, la risposta finale (utilizzeremo la formula di antitrasformazione per coppie di fratti a poli coniugati che prima abbiamo utilizzato):

2

2

22

22

22

221

2 2

2 2

2 2

22 2Re2 4

2 2

2

4422

22

2 24 4

4 42 cos Im Arg22 4 2

2

b k bi tM M M

k bk b iiM MM Mk bk b

M MM Mb k b b k bs i s iM M M MM M

k b k bi ib k bM MM Me i tM Mk b M

M M

−

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⋅ −⎢ ⎥⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬−− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪+ =⎪ ⎪⎪ ⎪+ + ⋅ − + − ⋅ −⎩ ⎭

⋅ − ⋅ −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠−

ℑ

2

2

22 2

22 22

2 2 2

2 2

2

222

2 2

2

2

4 42 cos Arg2 4 2

2 2

42 cos22 4

2

b tM

b tM

k bM M

k b k bik bM MM Me tMk b M k b

M MM M

k bk bM M e tMk b M

M M

π

− ⋅

− ⋅

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ =⎢ ⎥⎜ ⎟

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦−

Notare come abbiamo stabilito l’argomento essere 90°, infatti sappiamo che il radicando per ipotesi è positivo, lo sarà anche se moltiplicato per 2 (questo per stabilire dove si trova il numero complesso nell’argomento).



Procediamo adesso con l’altra antitrasformazione: 22

22

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

21

22

22

22 2 2 2

2 2 2

242

2 24 2 4 2

2 4

242

2 24 2 4 2

b k bb k iM M MMM

b k b k b b k b k bMM M M M M MM M M Mk

s b k bs iM M M

b k bb k iM M MMM

b k b k b b k b k bM M M M M MM M M

−

⋅ −−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

+ + ⋅ −

⋅ −−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

ℑ

{ }

2

2

2

2

22

22

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

21 1

2 4

242

2 24 2 4 2

2 41

Mb k bs iM M M

b k bb k iM M MMM


b k bs iM M MM

k s b

− −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

=⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪

+ − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭

⋅ −−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +

+ + ⋅ −

= ⋅ +

+

ℑ ℑ

( )

22

22

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

1

242

2 24 2 4 2

2 4

22

24

heav

b k bk iM M MMM


b k bs iM M M

b kMM

b k bM M M

M tk

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

=⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪

⋅ −⎢ ⎥−⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ − + − + ⋅ − + − +⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪

+ − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭

−

⎛ ⎞⋅ − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ +ℑ

2

2

2 22 2 2

2 2 2

2

2

22

22

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

42

2 4 2

2 4

242

2 24 2 4 2

2 4

b k biM M M

k b b k b k bM M M MM M M

b k bs iM M M

b k bb k iM M MMM


b k bs iM M M

⋅ −−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +

+ + ⋅ −

⎡ ⎤⋅ −⎢ ⎥−

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦+

+ − ⋅ − 2

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Focalizziamoci sull’antitrasformazione della coppia di fratti con poli e residui complessi coniugati; useremo come prima la stessa formula di prima, solo che qui il residuo non è un complesso puro:

22

22

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

21

22

22

22 2 2 2

2 2 2 2

242

2 24 2 4 2

2 4

242

2 24 2 4 2

b k bb k iM M MMM


b k bs iM M M

b k bb k iM M MMM


−

⋅ −−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +

+ + ⋅ −

⋅ −−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝+

ℑ

2

2

22 4b k bs iM M M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

=⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎞⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟

⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪

+ − ⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭



2

2

2

2

22 2

2 2 Re2 4

2

2

22 2

2 2

2

2

2 2

2 22

2

22

24 2

2

42

4 2

22

24 2

cos Im Arg2 4

b k bi tM M M

b kMM

b k b k bM M MM M

eb k biM M M

b k b k bM M MM M

b kMM

b k b k bM M MM Mb k bi t

M M M

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

−+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅

⋅ −−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝

⋅ − − ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

2

22 2

2 2

2 22

2

22 2

2 2

42

4 2

2422

24 2

b k biM M M

b k b k bM M MM M

b k bb kM MMM

b k b k bM M MM M

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=⎜⎡ ⎤⎛ ⎞⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎜ +⎟⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎜

⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ −⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ − + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎝

⎛ ⎞ ⋅ −−⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

2

22

22 2

2 2

2

2

22 2

2 22

2 2

2

22 2

2 2

24 2

22

24 2

cos Arg4

42

4 2

bt

MM eb k b k bM M MM M

b kMM

b k b k bM M MM Mk b t

M M b k biM M M

b k b k bM M MM M

− ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎛ ⎞−⎢ ⎜ ⎟

⎜ + ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⋅ − − ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

22 2 2 2 2

22 2 2 2 22

2 22 2 22 2

22 2

2 22 4 2 42 cos Arg

4 224 24 2

b tM

b k b k b b k b k bik bM M M M MM M M M Me tM M b k b k bb k b k b

M M MMM M MM M

− ⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎤⎜ ⎥⎜ =⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎦⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ − − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ +⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ − + − +⎜ ⎟⋅ − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

2

22 2 2 2 2

22 2 2 2 22

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 22 4 2 42 cos Arg

42 24 2 4 2

b tM

M

b k b k b b k b k bik bM MM M M M M MM Me tM Mb k b k b b k b k b

M M M M M MM M M M

− ⋅

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ − − − ⋅ −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜= ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ +⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜⋅ − + − + ⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦

La risposta completa assume la seguente forma:

( )

( )

2

222

2 2

2

2

2 22 2 2

2 2 2 2 22

2 2 22 2

2 2

42 cos22 4

2

heav

422 2 4 22 cos

2 42 Arg4 2

b tM

b tM

k bk bM M e t

M Mk b MM M

M tk

y t k b tM Mb k b k bg

M MM M M b k b k be iM M MM Mb k b k b

M M MM M b kM M

μ π− ⋅

− ⋅

− ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + +⎢ ⎥

⎣ ⎦−

⋅ +

=− − ⋅ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ −− ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⋅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅22 2

2 2

24 2b k b

MM M

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎡ ⎤⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎝



Tracciamento: Procediamo come abbiamo fatto nelle antitrasformazioni degli altri casi: assegniamo alle costanti valori che rendano il sistema originario a radicandi negativi, ovvero assegniamo i precedenti valori che ci hanno permesso di prendere in esame un sistema di prova che si comporti in modo da accettare parametri come sovraelongazione e tempo di salita a prima occorrenza. Questi valori sono: [ ]3 1 1k b M= = =

Con questi valori sappiamo di rientrare nel caso appena finito di analizzare in quanto i radicandi, in origine, risultano negativi e le radici dunque restituiscono quei valori complessi che abbiamo ipotizzato fino ad ora. Procediamo dunque a calcolare il nostro sistema in questa configurazione:

( )

( )

212

12

2

2

1 heav3

11 33 41 1 142 cos 3 6 31 4 2 2 2 4 1 16 2 cos 6 32 1 1 2 4Arg3 6

4 2 1 13 64 2

t

t

t

tgy t e t

e i

πμ− ⋅

− ⋅

⎡ ⋅ +⎢⎢

⎡ ⎤⎢− − ⋅ +⎢ ⎥− ⎢⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦− + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎜ ⎟+− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎣

( )

2

1 12 2

2 2

12

11 1111 11 1111 1 112 44 2 42 cos heav 2 cos Arg

11 4 2 2 3 411 11 11 112 4 2 4 2

11 222 11

t tige t t e t

e

πμ

μ

− ⋅ − ⋅

− ⋅

⎤⎥⎥⎥⎥⎥ =⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪− + − − ⋅⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( )

( )

12

1 12 2

121 11 11 1111 1 114 4 2 2cos heav 2 cos Arg

11 121 11 1212 2 2 3 24 4 4 4

11 11 1 132 42 cos heav 2 cos11 2 2 2 3 2 132

t t

t t

igt t e t

ge t t e

π

πμ

− ⋅

− ⋅ − ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞+ − − ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1 12 2

12

11 1111 2 2Arg

13224

11 11 1 132 11 1 42 cos heav cos Arg 11 1111 2 2 2 3 2 33 2 2 132

11 112 cos11 2 2

t t

t

it

g ge t t e t i

e t

πμ

πμ

− ⋅ − ⋅

− ⋅

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ + =⎨ ⎬

⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎡

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +⎢⎣( ) ( )

( )

12

1 12 2

12

132 11 1heav cos Arg 11 116 66 2 66

1111 11 132 11 662 cos heav cos arctan

1111 2 2 6 66 266

112 cos11

t

t t

t

g t g e t i

ge t t g e t

e

πμ π

μ

− ⋅

− ⋅ − ⋅

− ⋅

⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − − ⋅ ⋅ =⎨ ⎬⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤⎛ ⎞

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎜ ⎟−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ( )1211 132 11 11heav cos arctan

2 2 6 66 2 11tgt t g e tπ π

− ⋅⎡ ⎤ ⎛ ⎞⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Possiamo procedere adesso a graficare la risposta trovata considerando valori dell’impulso variabili, atti dunque a generare più curve. Dal grafico possiamo osservare un comportamento davvero interessante. Prima di tutto però puntualizziamo che le curve a partenza positiva sono quelle per cui l’intensità di impulso è positiva (la terza curva la si ottiene ponendo l’intensità di impulso è nulla). Ebbene notiamo che la massa questa volta si comporta in maniera differente, infatti se la si spinge, impulsivamente, verso l’alto (il piano è sempre inclinato di 30° in alto) la massa raggiunge un punto per poi ridiscendere al un punto più basso del precedente. In maniera duale accade lo stesso se la massa è spinta verso il basso. Il comportamento può sembrare come il precedente, invece no. Vedremo fra poco, nei quattro casi studiati, quali siano le principali differenze tra quello che abbiamo ottenuto come risultati teorici.



Discussione finale dei comportamenti Abbiamo analizzato in tutto quattro casi, due ingressi e due casi per ciascuno (valori reali e complessi delle radici). Lo studiare due sottocasi per ciascun caso, si è reso indispensabile per un motivo solo: le costanti, a seconda dei valori loro dati, generano una configurazione di sistema che è rilevante; ovvero questo in fisica, quando si studiano gli oscillatori armonici, è spiegato in maniera molto esaustiva, infatti i parametri determinano cosa accade all’oscillatore armonico se il fluido di smorzamento assorbe in maniera rilevante o no le oscillazioni prodotte dal’oscillatore stesso. Se il fluido di smorzamento, in rapporto all’elasticità dell’oscillatore, assorbe in maniera elevata abbiamo che il fluido è densissimo e l’attrito viscoso generato è molto intenso, se invece il fluido di smorzamento ha intensità meno elevata in rapporto all’elasticità, allora lo smorzatore ha un’azione davvero bassa. Questo si concretizza nei due sottocasi analizzati per ciascuno dei due ingressi studiati:

1. Caso 1: Nel primo caso abbiamo analizzato il corpo come rispondeva ad ingressi aventi come caratteristiche una forza nulla ed il piano ad inclinazione variabile mediante un andamento a gradino.

a. Radici reali: Il primo sottocaso in esame prevedeva l’analisi dei valori reali delle radici. In questa configurazione il sistema in maniera abbastanza semplice, alla variazione a gradino dell’angolazione del piano, reagisce, la massa, partendo dal punto iniziale per adagiarsi, in maniera del tutto lineare e senza sbalzi o variazioni, ad un valore di regime finale che poi rappresenta il punto in cui la massa si ferma. Ovvero, quando la rampa si alza la massa, per via di un fluido densissimo e quindi di uno smorzamento molto intenso, si sposta verso il basso per via della gravità che viene poi annullata dalla molla; lo stesso accade se il piano si abbassa, allora il corpo si porterà in avanti fino ad un punto ultimo. Come sottolineato ciò accade per via di uno smorzamento critico.

b. Radici complesse: Ben diverso è il sottocaso delle radici complesse, infatti qui lo smorzamento è uno smorzamento debole. Ovvero se il piano si alza la massa scende in basso ma lo smorzamento è basso e quindi la molla, piegatasi, si ridistende; si hanno dunque delle piccole oscillazioni, che prima non si verificavano, che però vengono smorzate nel tempo dal fluido. La differenza dunque è questa, se prima infatti non vi erano oscillazioni esse ora si verificano a causa di uno smorzamento più “permissivo”. E’ interessante notare come le varie curve partano da valori non nulli; questa situazione è data dal fatto che il modello matematico descrive il nostro sistema da un istante probabilmente sfalsato dal punto di partenza.

2. Caso 2: Il secondo caso prevede l’analisi del nostro sistema nel momento in cui il piano rimane inclinato di 30° verso l’alto e nella circostanza in cui al corpo venga applicata una forza impulsiva.

a. Radici reali: Come prima accennato le radici reali identificano lo smorzamento critico. Infatti qui il piano è inclinato di 30° in alto e al corpo si sceglie di applicare un impulso. Ora per comprendere il grafico è necessario tenere presente una cosa importantissima: il piano è già inclinato quando l’impulso viene applicato, e l’impulso consiste nel prendere la massa, porla in trazione e poi fornirle una spinta. Ovvero, nel caso di un impulso verso l’alto (positivo), prendiamo la massa la portiamo in un punto più alto e partendo da quell’istante le diamo una spinta intensa ma breve nel tempo, la massa, a causa dello smorzamento intenso, viene attratta dalla molla il cui effetto viene subito smorzato dal fluido; così facendo il corpo si porta ad un punto di equilibrio più basso di quello precedente. Notare che quanto detto non va in contrasto con quanto spiegato prima, i grafici infatti partono da valori non nulli perché si considera l’istante in cui la massa viene lasciata dopo la fase di trazione. L’impulso consiste nella fase di trazione e rilascio, azioni che avvengono in un arco di tempo infinitesimo.

b. Radici complesse: Il sottocaso dello smorzamento debole, come prevedibile, prevede la presenza di oscillazioni anche se pur sempre in numero piccolo. In questo caso il fluido risulta essere poco denso e quindi la molla ha il tempo e la possibilità dunque di produrre delle oscillazioni, come poi accade. Notare invece che qui tutte le curve partono da valori nulli, questo accade in quanto l’istante in cui si comincia a considerare l’azione è proprio dall’inizio, ovvero da quando viene applicata la trazione istantanea ed il conseguente rilascio.

Quanto detto serve a renderci conto di come il sistema sia in grado di adeguarsi in maniere differenti a seconda della situazione presente.

Considerazioni finali

Qui termina l’analisi di questo sistema per il quale sono stati implementati calcoli al fine di avere informazioni su stabilità, controllabilità, osservabilità e risposta a vari ingressi.




PAG. 1: ANALISI PROBLEMA PAG. 1: COMPOSIZIONE DEL SISTEMA PAG. 1: DISCUSSIONE INIZIALE PER LO STUDIO DEL SISTEMA E LA GENERAZIONE DEL MODELLO MATEMATICO DI

PARTENZA PAG. 3: ANALISI DELLE PROPRIETÀ DEL MODELLO PAG. 3: ANALISI DEI PUNTI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA PAG. 4: ANALISI DELLA STABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 5: ANALISI DELLA CONTROLLABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 5: ANALISI DELL’OSSERVABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 5: FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA PAG. 6: ANALISI DELLE RISPOSTE DEL SISTEMA AD INGRESSI CANONICI

PAG. 6: RISPOSTA LIBERA PAG. 6: RISPOSTA AD ANGOLAZIONE CON GRADINO NON UNITARIO E FORZA NULLA PAG. 12: RISPOSTA AD ANGOLAZIONE COSTANTE E FORZA IMPULSIVA AD INTENSITÀ VARIABILE PAG. 21: DISCUSSIONE FINALE DEI COMPORTAMENTI

PAG. 21: CONSIDERAZIONI FINALI




Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello massa - molla - smorzatore - piano inclinato (completato).docx


Numero revisione: 5



Note: NONE

Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello della popolazione biologica di Fibonacci (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello popolazione di Fibonacci (completato).docx


Oggetto: Analisi della popolazione di Fibonacci. Analisi problema Ci proponiamo di risolvere ed analizzare in chiave di modello dinamico un sistema biologico consistente in una popolazione ideale di conigli. Ci proponiamo in particolare di analizzare il seguente problema: determinare il numero di coppie di conigli in un dato periodo di tempo. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia dato uno spazio chiuso all’interno del quale considereremo i nostri calcoli. Tale spazio vieta ogni interazione con l’esterno.

• Siano considerati un insieme di conigli biologicamente sani in grado di evolvere nel tempo. • Si considerino gli stati di evoluzione dei conigli come due: stato prematuro (giovane) e maturo (adulto) in cui

possono rispettivamente non generare nuove coppie fertili, generare nuove coppie fertili. • Si considerino i conigli in grado di crescere dallo stato prematuro a maturo in un arco di tempo pari a due mesi,

ovvero dalla nascita fino al secondo mese i conigli diventano in grado di procreare. • Considerare che i conigli possano procreare ogni mese una sola nuova coppia di conigli a loro volta sani

biologicamente. • Considerare i conigli come ideali, ovvero immortali, e tenere in considerazione l’assenza di fattori ad azione

regressiva sul tasso di crescita popolativa. Trascurare il fattore alimentazione tenendo presente che nello spazio considerato vi sia sempre il cibo necessario per la popolazione. Trascurare infine le possibilità di deviazione eugenica incluse le possibilità di speciazione simpatrica.

Sotto quanto ipotizzato si supponga di porre una coppia fertile di conigli nello spazio recintato, analizzare la dinamica della popolazione.

Analisi preliminare del modello descrittivo

Il nostro scopo è quello di analizzare al meglio questa popolazione biologica. Vediamo di porre le basi per il modello. 1. Prima di tutto, vista la situazione procreativa consideriamo il nostro sistema come tempo – discreto e

consideriamo l’unità mese come unità temporale. 2. Consideriamo come ingresso il numero di coppie poste all’inizio dell’esperimento nel recinto. Tale ingresso per

adesso lo consideriamo fisso e pari a 1 n quanto una volta considerato tale ingresso esso non interverrà più nell’esperimento in quanto il sistema evolverà autonomamente e noi dovremo solo osservarlo. Le nostre capacità perturbative risiedono solo all’inizio, ponendo un numero n di coppie fertili nel recinto.

3. L’uscita, ovvero l’informazione che vogliamo ottenere, è sapere il numero totale di coppie presenti in un dato istante (mese) e consideriamo le coppie e non i conigli come numero perché ogni coppia genera sempre una nuova coppia.

4. Consideriamo come stato un vettore di due componenti in cui nella prima componente posizioniamo il numero di coppie adulte di conigli in un dato mese, e nella seconda componente consideriamo il numero di coppie giovani in un dato mese.

Adesso possiamo esprimere tutto a livello matematico. Modello matematico: Partiamo ponendo le tre grandezze descrittive di base:

( ) ( ) ( )0

A

G

Nu t N y t N x t

N⎡ ⎤

= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦

Troviamo adesso il legame tra queste variabili. Semplificando abbiamo allora che:

( ) ( ) ( )0

AA G

G

Nu t N y t N N x t

N⎡ ⎤

= = + = ⎢ ⎥⎣ ⎦

Risoluzione iniziale modello

Abbiamo la necessità di sviluppare una relazione che leghi le tre variabili; tale relazione, abbastanza semplice, è deducibile sperimentalmente e a livello di osservazione su un arco di mesi limitato.

• Mese 1: Consideriamo una coppia di conigli nel recinto, essi si accoppiano ma in questo mese resta sempre e solo una coppia di conigli fertile.

• Mese 2: La coppia fertile ha figliato così che abbiamo una coppia fertile (quella che ha figliato) ed una coppia giovane.

• Mese 3: La prima coppia fertile permane ma essa, essendo trascorso un mese, ha figliato ancora, la coppia giovane del mese scorso è cresciuta ed è diventata fertile. Totale, due coppie fertili, una coppia prematura.



• Mese 4: Due coppie fertili figliano e ne scaturiscono due nuove coppie giovani, mentre la coppia giovane del mese scorso è cresciuta. Totale, tre coppie fertili e due coppie giovani.

• Mese 5: Le coppie fertili permangono ed aggiungono ognuna una coppia giovane, le coppie giovani crescono e diventano adulte. Totale, cinque coppie fertili e tre coppie giovani.

In sostanza la regola è questa, al successivo mese, per ogni coppia fertile si ha la stessa coppia fertile più una coppia giovane, mentre per ogni coppia giovane si ha una coppia adulta. Matematicamente parlando si ha:

( )( )( )

( )( ) ( )

( )1

A

G

A G

A

N tx t

N t

N t N tx t

N t

⎧ ⎡ ⎤=⎪ ⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ + ⎤⎪ + = ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Si vede come tutto torni, ma si vede soprattutto una cosa, analizziamo in una tabella i dati sperimentali che si possono ovviamente dedurre da un’analisi logica nei vari mesi utilizzando la legge sperimentale trovata.

Mese 1 Mese 2 Mese 3 Mese 4 Mese 5 Mese 61A; 0G 1A; 1G 2A; 1G 3A; 2G 5A; 3G 8A; 5G

La tabella mostra chiaramente una cosa, i valori seguono una sequenza ricorsiva e le due variabili coppie adulte e giovani seguono la stessa identica successione solo che la successione delle coppie giovani è sfalsata in ritardo rispetto a quella delle coppie adulte per uno step.

( )0 0

1 1

1 2 1 2

: :

i i i t t t

n nn t nn n n n n n− − − −

⎧ ⎧⎪ ⎪Ψ ⇒ Ψ⎨ ⎨⎪ ⎪= + = +⎩ ⎩

Tale successione ricorsiva prende il nome di successione di Fibonacci.

Calcolo delle variabili

Adesso possiamo calcolare, grazie alla successione ricorsiva, i valori dello stato, dell’ingresso e dell’uscita: L’ingresso è un valore iniziale costante: ( )

0u t N=

In cui N0 rappresenta il numero di coppie fertili di conigli inserite nel recinto al primo mese. Lo stato è la seguente:

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

1

1

A

G

A

G

A

G

N tx t

N t

N t tN t t

N t tx t

N t t

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ = Ψ⎪⎨

= Ψ −⎪⎩⎡ = Ψ ⎤

= ⎢ ⎥= Ψ −⎣ ⎦

L’uscita invece è: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

1A Gy t N t N t t t

y t t t= + = Ψ + Ψ − ⇒

= Ψ + Ψ −

Il sistema è descritto da queste variabili, le funzioni che permettono di calcolare lo stato e l’uscita sono:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

, , ,1

, , 1

tx t t x u x t

t

y t x t u t t x t t t

φ τ τ φ

μ μ

⎡ Ψ ⎤= = = ⎢ ⎥Ψ −⎣ ⎦= = = Ψ + Ψ −

o

Modello in forma di stato Ricaviamo il modello in forma di stato dalle considerazioni fatte precedentemente sulle variabili:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2

2 1

1 2

11

x t x t x t u tx t x ty t x t x t

⎧ + = + −⎪

+ =⎨⎪ = +⎩

Caratteristiche del modello

Il modello trovato ha le seguenti proprietà: 1. Il modello è regolare in quanto sono soddisfatte le condizioni di regolarità. 2. Il modello è lineare in quanto troviamo le seguenti matrici:

( )1 1 1

1 11 0 0

A B C−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Dalla regolarità e dal fatto che il tempo non figura esplicitamente nella forma di stato, notiamo subito la tempo invarianza del modello.



4. Il modello è a dimensione finita dello stato (dimensione 2). 5. Il modello è a stati infiniti.

Analisi dei punti di equilibrio e della loro stabilità

Procediamo ad analizzare eventuali punti di equilibrio, se presenti, effettuando ciò mediante l’utilizzo della stessa definizione di stabilità:

( ) ( )1e ex t x t+ =

Dalle equazioni del modello:

( )( )( )

( )( ) ( )

( )1

A

G

A G

A

N tx t

N t

N t N tx t

N t

⎧ ⎡ ⎤=⎪ ⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ + ⎤⎪ + = ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Deduciamo: ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )0 0

0A A G G GA A G

G A G A A G A

N t N t N t N t N tN t N t N tN t N t N t N t N t N t N t

⎧ = + ⎧ = ⎧ =⎡ ⎤ ⎡ + ⎤ ⎪ ⎪ ⎪= ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = =⎪⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩⎩ ⎩

Questo che otteniamo è un valore davvero semplice da interpretare, basta che infatti si raggiunga un punto con zero conigli del tutto e il sistema rimarrà immutato sempre. In effetti è logico anche perché punti di equilibrio non potrebbero esisterne di diversi, dovremmo far partire il sistema con zero conigli. Tale risultato è confermato dalla matematica, l’analisi della successione di Fibonacci, ricorsiva e di secondo ordine, mostra un andamento sempre crescente partendo da un valore fissato; la mancanza di punti di inversione di monotonia ci dice che tale funzione è destinata, al limite, a crescere infinitamente, riferendoci alle due componenti dello stato che sono espressi mediante composizione della successione Fibonacci.

( ) 00ex t⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Naturalmente per questo punto, il cui significato è banale, è inutile studiare la stabilità. Comunque noi lo facciamo comunque:

( )

( ) 2

1 1 11 1

1 0 0

1 1 1 51 1 1 0 1 4 51 2

A B C

I Aλ

λ λ λ λ λ λλ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − − ±− = = ⋅ − − = − − = ⇒ Δ = + = ⇒ =

−

Notiamo subito che uno degli autovalori è maggiore di 1. Questo risultato è verificabile anche senza applicare i metodi ingegneristici. Con una banale considerazione infatti notiamo che se ci discostassimo di poco dallo stato di equilibrio in questione, ponendo anche una sola coppia fertile, essa procreerebbe e avremo un andamento crescente. In sostanza l’unico stato di equilibrio trovato è palesemente instabile.

Conclusioni finali

Non abbiamo altri interessi a studiare altri elementi di questo modello.




PAG. 1: ANALISI PROBLEMA PAG. 1: COMPOSIZIONE DEL SISTEMA PAG. 1: ANALISI PRELIMINARE DEL MODELLO DESCRITTIVO PAG. 1: RISOLUZIONE INIZIALE DEL MODELLO PAG. 2: CALCOLO DELLE VARIABILI PAG. 2: CARATTERISTICHE DEL MODELLO PAG. 3: ANALISI DEI PUNTI DI EQUILIBRIO E DELLA LORO STABILITÀ PAG. 3: CONCLUSIONI FINALI




Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello popolazione di Fibonacci (completato).docx


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Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello predatori-prede di Lotka e Volterra (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello predatori-prede di Lotka e Volterra (completato).docx


Oggetto: Analisi di un modello biologico composto da una coppia specie interagenti fra loro in un rapporto preda/predatore.

Analisi problema Ci proponiamo di analizzare un ecosistema localizzato, all’interno del quale prendiamo in esame due specie animali differenti interagenti in un rapporto naturale basato sulla relazione predatore/preda. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerata una regione geografica estesa ma comunque limitata su cui fare riferimento per le nostre analisi rappresentante dunque il nostro ecosistema.

• Siano prese in esame due specie animali differenti aventi le seguenti caratteristiche ideali: a. Le due specie costituiscono due masse popolative in grado di muoversi più o meno uniformemente nello

spazio preso in esame. b. Le due masse si nutrono l’una dell’altra secondo i rapporti naturali fra prede e predatori, ipotizzando

naturalmente che una specie si comporti costantemente da preda e l’altra da predatore. c. I comportamenti delle due masse sono prevedibili e seguono rigidamente gli schemi comportamentali

ipotizzati. d. Le due specie non sono in grado di modificare le loro capacità nel rapporto preda/predatore: le prede

non acquisiscono nuove capacità fisiche per evitare la cattura e i predatori non evolvono in ulteriori stati fisici che diano loro maggiori possibilità di successo. A questo scopo le due masse non effettuano interazioni con altre specie esterne e non sono soggette a nessun tipo di speciazione.

e. Si consideri l’unica fonte di sussistenza dei predatori le loro prede, mentre si prenda in considerazione che le prede possano nutrirsi delle risorse del territorio, ipotizzate illimitate.

• Si considerino le due masse in grado di possedere un tasso di crescita, ovvero sia presa in considerazione la possibilità da parte delle due specie di riprodursi e sia considerata l’ipotesi ideale che in ogni istante, indipendentemente dalla massa totale, le due specie siano formate da un numero di individui maschi uguali al numero di individui femmine (in sostanza la procreazione si mantiene costante nel tempo).

• Si considerino le possibilità che un predatore incontri una preda e si prendano in esame, come unica variabile per la determinazione di tale grandezza, una pura probabilità che non tenga conto delle caratteristiche geofisiche del territorio, considerato privo di asperità o di punti inaccessibili alle due specie.

• Si consideri l’unico fattore di mortalità dei predatori l’approvvigionamento alimentare. • Si consideri che le prede non siano soggette a fattori di mortalità esterni alla presenza dei predatori; si consideri

dunque che la popolazione delle prede aumenti in continuazione in assenza di predatori (data l’ipotesi che le prede possano riprodursi anch’esse).

Da quanto ipotizzato costruiamo il modello di questo sistema basandoci sulle informazioni che possediamo.

Analisi iniziale del modello descrittivo

Al fine di descrivere al meglio questo sistema iniziamo a definire in maniera precisa le grandezze di cui abbiamo bisogno nel nostro modello:

1. Assumiamo che la nostra intenzione sia quella di monitorare, istante per istante, l’andamento della densità popolativa della massa predatrice e predata. Assumeremo allora come stato, rispettivamente, la densità delle prede e dei predatori.

2. Consideriamo come ingresso il quantitativo iniziale di predatori e prede, dunque consideriamo l’ingresso anch’esso come un vettore bidimensionale.

3. Consideriamo come uscita, in un determinato istante, il numero di prede e predatori, ovvero facciamo coincidere l’uscita con lo stato.

Da quanto detto, le nostre tre grandezze infine sono l’una uguale all’altra in tutto e per tutto, a parte il loro significato ed uso nel tempo, che le classifica sotto nomi differenti. Le componenti iniziali sono le prede, le seconde componenti sono i predatori:

( ) ( )( )( )

( )( )( )

01 1 1

02 2 2

: Prede: Predatori

u y xt tu t y t x t

u y xt tΠ Π⎡Π ⎤ ⎡Π ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧

= = = = = = ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω ΩΩ Ω ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Impostazione delle grandezze Visto che dobbiamo lavorare con queste grandezze, cerchiamo di definire quello che ci occorre per sviluppare il nostro modello.



Tasso di crescita: Da quanto detto emerge che le due popolazioni, rappresentate dalla prima e dalla seconda componente dello stato, istante per istante, hanno la capacità di variare le rispettive densità; questo riconduce fondamentalmente al concetto di tasso di crescita, ovvero inteso come variazione di densità popolativa nell’unità di tempo, elemento che interpreteremo logicamente e quanto più convenientemente come derivata. Curva logistica: Inoltre emerge una importante connessione tra questo modello e il modello di Verhulst/Malthus della popolazione dinamica; esprimendo infatti una popolazione, impropriamente dobbiamo riferirci alle equazioni del modello di crescita dinamico proposto dai due scienziati ed analizzato in un altro contesto simile. Non è un caso che nel nostro modello differenziale ci serviremo allora, come componente, del modello differenziale implementato da Verhulst. Elementi di interazione: Infine, considereremo quanto segue. Terremo conto delle probabilità legate alle due specie, parleremo quindi di probabilità di predazione, un parametro che, in etologia e zoologia, serve ad indicare una caratteristica intrinseca di un rapporto preda/predatore fra due specie, tale parametro indica la probabilità della specie predatrice di poter cacciare le prede tenendo conto anche di tutta una serie di fattori concomitanti quanto il territorio e le condizioni esterne (malgrado escluse per ipotesi, i valori di probabilità conferiscono al modello rigorosità). Inoltre si terrà conto dei tassi di crescita delle singole popolazioni, parametri legati ad aspetti biologici ed ecosistemici.

Formulazione matematica del modello Basiamo le nostre supposizioni, da adesso, in base a quanto conosciamo. Focalizziamoci dunque sulla crescita della popolazione dei predatori e delle prede, tali crescite sono influenzate da una serie di elementi:

1. Prede: La crescita della popolazione delle prede segue, come linea guida, la sigmoide logistica; ma da questo comportamento standard è necessario deviare in quanto tale crescita viene alterata da una espressione correttiva additiva che tiene conto dell’interazione che le prede hanno con i predatori legata alla probabilità di predazione della coppia di specie. Per questo motivo la crescita delle prede segue la sigmoide logistica, ma i suoi valori sono corretti da una componente additiva che, legata alle probabilità, riporta i valori nel nostro contesto di interazione (non considerato di certo dal modello di Verhulst).

2. Predatori: I predatori nel nostro modello sono in svantaggio perché mentre le prede hanno vita infinita, come da noi supposto, il ciclo vitale dei predatori si spegne se non ci sono abbastanza prede. Questo si sintetizza nel dire che la sigmoide logistica dei predatori possiede un andamento decrescente e non crescente, perché in assenza di prede, il modello di Verhulst, e le nostre ipotesi, prevedono che i predatori si estinguano. Dunque alla sigmoide di Verhulst, cambiata di segno, dovrà essere aggiunto un parametro additivo che contempli la presenza dei predatori e che, tenendo conto dell’interazione fra specie e della probabilità di predazione, dia ai predatori la possibilità di non estinguersi.

3. Interazioni: Infine, per tenere conto dell’interazione fra le specie, oltre alla probabilità di predazione, è necessario considerare che l’interazione di nostro interesse è proporzionale alle due popolazioni, ovvero maggiore è il numero di prede e predatori, maggiore sarà la loro capacità di interagire. Tale valore sarà espresso allora come il prodotto delle due masse popolative.

Da quanto detto siamo in grado di scrivere il modello:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1d tt t t tdt Kd t t t tdt

λ ρ

λ ερ

⎧ ⎡ Π ⎤Π = Π − − Π Ω⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦

⎨⎪ Ω = − Ω + Π Ω⎪⎩

Ovvero, per le prede la sigmoide tiene conto delle risorse e dei predatori come detto, mentre i predatori possiedono una sigmoide che non tiene conto delle risorse limitate, si tratta infatti del semplicistico modello di Malthus che tiene conto solamente del potenziale biologico (mortalità e natalità). Osserviamo la presenza delle costanti:

• 1λ Rappresenta il tasso di crescita della popolazione delle prede.

• 2λ Rappresenta il tasso di crescita della popolazione dei predatori.

• K Rappresenta la capacità portante dell’ecosistema, si tratta del parametro del modello di Verhulst che indica le possibilità che il sistema possiede di rifornire le popolazioni di determinate risorse.

• ρ Rappresenta la probabilità di predazione. • ε Rappresenta il coefficiente di conversione della biomassa, ovvero un parametro necessario in questo studio

che mette in relazione la massa predatrice con le probabilità di predazione, l’interazione con le prede e le relazioni con l’ambiente.

Sostituendo le nostre grandezze abbiamo infine il modello in forma di stato:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

111 1 1 1 2

1 1 1 1 2

2 2 2 1 22 2 2 1 2

1 11 1

2 22 2

1 1x td x tx t x t x t x t f x t x t x tdt K K

d f x t x t x tx t x t x t x tdt

x ty t x tx ty t x t

λ ρ λ ρ

λ ερλ ερηη

⎧ ⎡ ⎤ ⎧ ⎡ ⎤= − −⎪ ⎢ ⎥ = − −⎪⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎪ ⎪ = − += − + ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ ==⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎩=⎩

Analisi delle principali proprietà del modello

Avendo raggiunto finalmente il modello in forma di stato possiamo analizzarne le principali caratteristiche: 1. Il modello è tempo continuo ed infatti il modello ammette derivate sull’insieme temporale, il che presuppone che

il derivato di tale insieme non sia nullo, e in effetti non lo è.



2. Il modello è a stati infiniti in quanto le popolazioni di prede e predatori possono raggiungere anche numeri molto grandi, inoltre bisogna anche tenere conto che i valori sono combinati nello stato, il che aumenta considerevolmente il numero totale dei possibili stati.

3. Il modello è un modello a dimensione dello stato finito, in quanto lo stato dipende solo da due parametri. 4. Se osserviamo il modello, esso si presenta in una forma utile per essere facilmente portato in quest’altro

formato:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2111 1 1 1 1 21 1 1 1 2

2 2 2 1 22 2 2 1 2

1dx td x t x t x t x t x tx t x t x t x tdt Kdt Kdd x t x t x t x tx t x t x t x tdtdt

λλ ρλ ρ

λ ερλ ερ

⎧ ⎡ ⎤ ⎧ = − −= − −⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ = − += − + ⎪⎪ ⎩⎩

Ebbene questo modello, da quanto si può vedere, è regolare ma risulta non essere lineare in quanto le equazioni caratteristiche di linearità non vengono soddisfatte (ovvero non troviamo le matrici di cui abbiamo bisogno), questo accade a causa della presenza sia del prodotto fra le due componenti di stato e la presenza di una componente al quadrato. Il modello è regolare, ma non è lineare.

La tipologia di modello non ci aiuta in quanto la linearità almeno ci avrebbe dato la possibilità di usufruire di tutta una serie di strumenti di sicuro utili di cui dovremo fare a meno. Questa situazione ci impedisce di analizzare stabilità, controllabilità e osservabilità con metodi semplici. In ogni caso vedremo se vi sarà la possibilità di linearizzare il modello.


La non linearità del sistema però non ci impedisce di analizzare i punti di stabilità di questo stesso. Annulliamo dunque le derivate e caratterizziamo gli stati di equilibrio:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1111 1 1 1 2

1 1 21 1 1 2

2 2 2 2 2 12 2 2 1 2

11 1 2

2 2 1

1 0 1 01 0

0 00

1 0

0

x td x t x t x t x tdt K KKd x t x t x t x tdt

K

χχλ ρ χ λ ρχλ χ ρχ χ

λ χ ερχχ χ λ ερχλ ερ

χχ λ ρχ

χ λ ερχ

⎧ ⎡ ⎤ ⎧ ⎡ ⎤⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − =⎪ ⎢ ⎥ − − =− − = ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ ⇒ ⇒⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪− + = − + == − + = ⎩ ⎩⎪⎩⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎨⎪− + =⎩

Partendo da questo punto analizziamo i casi che schematizziamo per comodità:

( )

1

1 11 1 2 1 2

22 2 1

2 1

1) : 0

1 0 2) : 1 0

3) : 004) : 0

K K

χχ χχ λ ρχ λ ρχ

χχ λ ερχλ ερχ

=⎧⎪⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪− − = − − =⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⇒⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎨ ⎨

⎪ ⎪ =− + =⎩ ⎪+ =⎪⎩

Caso 1:

( )1 1 1

2 2 22 2 1

0 0 00 00

χ χ χχ λ χχ λ ερχ

= = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨− = =− + =⎪ ⎩ ⎩⎩

Un primo stato di equilibrio è:

1,1

2

0 00 0e

xx

x=⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎣ ⎦

Caso 2:

( ) ( ) ( ) ( )

1 11 1 21 1

21 2 2 1

1 12 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

111 0 1

0 0 0 1 0

KKK K

K

λ χλ χ χχ χ χλ ρχ ρχ λ ρρ

λ χχ λ ερχ χ λ ερχ χ λ ερχ λ ερχρ

⎧ ⎛ ⎞⎧ = −⎧ ⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎪= −− − = − = − − ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⇒ ⇒ ⇒⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪− + = − + = − + = − − + =⎜ ⎟⎩ ⎩ ⎩ ⎪ ⎝ ⎠⎩

Questo caso da origine ad altri casi: Analizziamo il primo:

( )

( )

1 1 1 1 1 12 11 12 2

22

1 1 1 1112 1

12 2

11

1 1 1 11

1 0 1 0 1

1 1 0

KK K K KK

KKK K K

KK

λ χ λ χ λ χχ λλ χχ χ χχρ ρ ρ ρρλ χ χ χ χχλ ερχρ

λχ χ

ρχ

χ

⎧ ⎛ ⎞ ⎧ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎧ ⎧= − = − ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ = −= −⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⎝ ⎠⎝ ⎠⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ==− − + = − = − = −⎜ ⎟ ⎩⎩⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎩⎩

⎧ = − =⎧⎪ ⇒⎨ ⎨ =⎩⎪ =⎩

Analizziamo il secondo caso:



1 2 1 1 21 12 221 1 1 1

2 2

22 2112 1 1 2 1

1 1 22 22

21

111 1

0

K KKK K

KK

λ λ λ λ λλ χ χ χχλ χ λ χχ χ ρ ερ ρ ρ ερρ

ρ ρλλ λ χχλ ερχ ερχ λ χερερ ερ

λ λ λ ερ λχ χ

ρ ερλ

χερ

⎧⎧ ⎛ ⎞ ⎧⎛ ⎞ = + = += −⎧ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪= − = − ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = −= −+ = = − = −⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎩⎧ = + =⎪⎪ ⇒⎨⎪ = −⎪⎩

1 1 2 22 12 2

2 21 1

KK Kλ λ ερ λ

χ λερ ερ

λ λχ χ

ερ ερ

+ +⎧ ⎧ =⎪ ⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪= − = −⎪ ⎪⎩ ⎩

Ebbene in questo scenario abbiamo individuato due altri stati di equilibrio del sistema:

1,2

2

2 21

,32 2

2 1 12 2

0 0e

e

x K Kx

x

xx

K Kx

K K

λ λερ ερ

ερ λ ερ λλ λ

ερ ερ

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =

+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Caso 3:

1 11 1 2 1 1

22

1 0 1 0

00K Kχ χ

χ λ ρχ χ λ

χχ

⎧ ⎡ ⎤ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − =⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⇒⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎣ ⎦ ⎨⎪ ⎪ == ⎩⎩

Abbiamo due casi da discutere e dunque due altri punti di equilibrio:

1 1 11 1

2 22 2 2

0 1 0 1 10 00 0 0

KK K Kχ χ χχ χ

χ χχ χ χ

⎧ ⎧ ⎧= =− = − = − =⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪∨ ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨= =⎩ ⎩⎪ ⎪ ⎪= = =⎩ ⎩ ⎩

In questo scenario però vengono riproposti gli stessi punti di equilibrio del caso precedente, quindi, a somme fatte, non abbiamo nuovi punti di equilibrio in questa casistica. Caso 4:

2 211 21 1 21

1 1 2

2 212 1 1

2 1 2 2 1 21 2 1

21

1 01 01 0

0

0

KKK

K K

λ λχ λ ρχχ λ ρχχ ερ ερχ λ ρχλ λχλ ερχ χερ ερ

λ λ λ λ λ λλ ρχ λ ρχ

ερ ερ ερ ερ

λχ

ερ

⎧ ⎡ ⎤⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ − + − =⎧ − − =⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − = ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥ ⇒ ⇒ ⇒⎝ ⎠⎨ ⎣ ⎦ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= −+ = = −⎩ ⎪ ⎪⎩ ⎩⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− + − = − + −⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⇒⎨⎪ = −⎪⎩

1 2 1 22 1 2 2 1

2 221 11

1 1 2 1 1 2 21 22 2 2 12 1 2 2 2

2 2 21 1 1 1

0 0K K

K KK K K K

λ λ λ λλ ρχ ρχ λ

ερ ερλ λλ χ χχερ ερερ

λ λ λ ερ λ λ λ ερ λλ λχ χ χ λρχ λ

ρερ ερ ερ ερλ λ λ

χ χ χ χερ ερ ερ

⎧ ⎡ ⎤ ⎧ ⎧= + − = − = − −⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= − = −= −⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩⎩

+ +⎧ ⎧⎧ = + = == + ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= − = − = −⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩

2λερ

⎧⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Anche in questo caso non abbiamo nuovi punti di equilibrio visto che il sistema ci ripropone quelli già trovati precedentemente. Possiamo concludere che stati di equilibrio sono in tutto 3:

2 21

1 1,1 ,2 ,3

2 2 2 22 1 12 2

0 00 00 0e e e

xx x K K

x x xx x K K

xK K

λ λερ ερ

ερ λ ερ λλ λ

ερ ερ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Prima di studiarne la natura vediamo quale significato logico possiedono nel nostro modello: 1. Primo stato: Il primo stato è abbastanza banale, se naturalmente non ci sono né predatori né prede il sistema

perde di dinamicità, ovvero tale rimarrà la situazione fino all’infinito. 2. Secondo stato: Il secondo stato di equilibrio ci dice che il sistema, se dovesse raggiungere la configurazione e2

si manterrebbe stabile su quella condizione fino a nuove perturbazioni. In effetti si tratta di un risultato alquanto importante, infatti se le prede raggiungessero la capacità portante del sistema e i predatori si estinguessero, le prede potrebbero avere risorse a sufficienza per la loro intera esistenza. K rappresenta infatti il limite massimo di abitanti di un’area geografica che quell’area consente di mantenere con le sue risorse.

3. Terzo stato: Il terzo stato non è di facile interpretazione, ci riserviamo di darne una completa descrizione dopo l’analisi della sua stabilità.



Linearizzazione del modello

Vediamo adesso di capire come si comportano questi stati di equilibrio in presenza di piccole perturbazioni. Il problema che però ci ritroviamo ad avere è la presenza di un sistema non lineare che non ci fornisce strumenti per effettuare tale calcolo in maniera ottimale. La nostra unica soluzione è cercare di linearizzare il nostro modello, avendo così la possibilità di usare i teoremi per i sistemi lineari (in particolare il secondo criterio di Lyapunov). Tempo invarianza: Prima di fare questo però abbiamo la necessità di verificare che il nostro sistema sia tempo invariante, se no, una volta linearizzato, il modello non potrà essere sottoposto ai teoremi per la stabilità, che si riferiscono a LTIS. Verifichiamo la tempo invarianza con le relazioni che sappiamo: ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 1

02 2

u t y t

y t x tu y x t

y t x t

τ τ

τ ττ τ

+ ⇒ +

⎧ + = +⎪= ⇒ ⎨+ = +⎪⎩

Come si vede il nostro sistema è tempo invariante, l’ingresso coincide con lo stato all’inizio quindi al posto di u è legittimo utilizzare x0, e dalle relazioni trovate vediamo che un ingresso temporalmente sfalsato induce un’uscita applicata a quella medesima variazione temporale, come nella definizione dunque, infatti il nostro sistema non dipende esplicitamente dal tempo che non figura nelle nostre relazioni differenziali. Modello regolare: Generalizziamo il comportamento del nostro modello in modo da mettere in luce la sua regolarità:

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

D x t f x t

y t x tη

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

Linearizzazione del modello Iniziamo il processo di linearizzazione prendendo in esame uno stato di equilibrio generico e considerando il nostro modello applicato in piccole perturbazioni da questo stato, consideriamo dunque che lo stato vari in un intorno piccolo dello stato di equilibrio preso in esame:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

x t x t y t y tx t x t y t y t

χ δ γ δχ δ γ δ

⎧ = + ⎧ = +⎪ ⎪⎨ ⎨

= + = +⎪ ⎪⎩ ⎩

Da quanto detto, adesso possiamo introdurre questa nuova formulazione delle variabili del modello dinamico nel modello stesso, ottenendo una forma linearizzata:

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )

D x t f x t D x t D x t f x tD x t f x t x t x ty t y t y t x t x t y ty t x t

χ δ χ δ χ δ δ χ δχ δγ δ γ δ η χ δ η χ δ γ δη

⎧⎧⎧ + = + + = = += ⎧ = +⎪ ⎪ ⎪∧ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨= + + = + + = +=⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎩ ⎩

Ovvero il modello in forma di stato comincia a variare la sua forma. Adesso, definito come si comporta lo stato e l’uscita in corrispondenza di piccole variazioni dall’equilibrio, vediamo di applicare il processo vero e proprio di approssimazione lineare: sfruttiamo l’equazione di Taylor al primo ordine (indichiamo con γ l’uscita di equilibrio corrispondente allo stato di equilibrio χ):

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]

( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )

( )( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

f ff x t f x t o x t f x t f x t o x

x x

x t x t o x t x t x t o xx x

fdx t f x t o xD x t f x t D x t dt xx t y t y t x t

x

χ χχ δ χ χ δ χ χ δ χ χ δ χ δ χ

η χ η χη χ δ η χ χ δ χ χ δ χ η χ δ η χ δ χ

χδ χ δ χχ δ χ δ δ

η χη χ δ γ δ γ δ η χ δ

⎧ ⎧∂ ∂+ = + + − + + − + = + + −⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂⇒ ⇒⎨ ⎨

∂ ∂⎪ ⎪+ = + + − + + − + = + + −⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩∂

= + + −⎧ + = + =⎪ ∂⇒⎨∂+ = +⎪⎩ + = +∂

[ ]

( ) [ ]( )

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

00

o x

f fdx t dx tx t o x x t o xf D dt x dt x

y t x t o x y t x t o xx x

χ

χ χδ δ χ δ δ χχ χ

η χ γ η χ η χγ δ γ δ χ δ δ χ

⎧⎪⎪ ⇒⎨⎪ + −⎪⎩

⎧ ⎧∂ ∂= + + − = + −⎪ ⎪⎧ = =⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨

= ∂ ∂⎪⎩ ⎪ ⎪+ = + + − = + −⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

Notare come adesso abbiamo il nostro sistema pienamente linearizzato e notare come sia stato possibile liberarsi dei valori costanti all’inizio del secondo membro grazie alle relazioni prima prese in considerazione, infine il nostro modello diviene, linearizzato, sotto questa forma:

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f fd dx t x t o x x t x tdt x dt x

y t x t o x y t x tx x

χ χχ

η χ η χχ

⎧ ⎧∂ ∂= + − =⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪= + − =⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

Togliendo gli errori, che accettiamo in una approssimazione, arriviamo a questo nuovo modello che assume la forma lineare che volevamo. Dobbiamo adesso trovare le matrici, ovvero dobbiamo risolvere gli Jacobiani che si presentano come derivate parziali. Avendo a disposizione il modello pienamente linearizzato in forma generale, ovvero con il polo di linearizzazione non specificato ma variabile, possiamo analizzare vari aspetti del sistema e del modello; questo perché potremo far valere particolari proprietà che un sistema non lineare non permetterebbe darci immediatamente, in quanto l’analisi di queste proprietà è complicata.



Analisi della stabilità dei punti di equilibrio dal modello linearizzato in forma generale

Possiamo adesso analizzare la tipologia di equilibri con cui abbiamo a che fare. Attualmente abbiamo trovato 3 stati di equilibrio che dovremo analizzare singolarmente, per ognuno di essi il modello linearizzato si configurerà appositamente, in quanto linearizzeremo proprio nei punti di equilibrio, potendo così usare i teoremi sugli LTIS che prima non potevamo menzionare.

Analisi della stabilità del primo stato di equilibrio Il primo stato di equilibrio si presenta nella forma prima vista; adattiamo il modello linearizzato a questo stato:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,1

1,1 ,1

2 ,1

0 00 0

e

e ee

f xd x t x tx dt xx xx x

y t x tx

χη

⎧ ∂=⎪=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ∂= = ⇒ = ⇒ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎪ =⎪ ∂⎩

Calcoliamo le derivate parziali che in questo caso sono Jacobiani di varie dimensioni:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( )( )

( ) ( )

1 1 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1 2 1 2

2 22 2 1 2 2 2 1 2

1 2 1 2

21

1 1 1 1 21

1 1f f x t x t

x t x t x t x t x t x tx xf x K x Kf fx

x t x t x t x t x t x tx x x x

x tx t x t x t

x K x

λ ρ λ ρ

λ ερ λ ερ

λ λ ρ

⎡ ⎤∂ ∂ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂− − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ⎣ ⎦ ∂ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥= = =

⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ∂− + − +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫∂ ∂− −⎨ ⎬

∂ ⎩ ⎭ ∂=

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ){ }

21

1 1 1 1 2 11 1 2 22

2 2 12 2 1 2 2 2 1 21 2

1,1

2

1 11 1

1 2 1 2

2 2

1 2

2

00e

x tx t x t x t x t

x t x tKKx t x tx t x t x t x t x t x t

x x

f xx

x t xx x x x

xx x

λ λ ρλ λ ρ ρ

ερ λ ερλ ερ λ ερ

λλ

η ηη

η η

⎡ ⎤⎧ ⎫− −⎨ ⎬ ⎡ ⎤⎢ ⎥ − − −⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ − +⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂

= ⎢ ⎥−∂ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤

⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥∂ ∂∂⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

( ){ }

( ){ } ( ){ }

( )

2 21 2

,1

1 00 1

1 00 1e

t

x t x tx x

xxη

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

Calcoliamo il modello finale:

( )[ ] ( )

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )

1 1

2 2

0 00 0

1 0 1 00 1 0 1

d x t x t A ddt x t A x tdty t C x ty t x t C

λ λλ λ

⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎪ ⎪ ⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = ⋅⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ = ⋅= ⋅ = ⎩⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩

Possiamo adesso analizzare la stabilità di questo stato di equilibrio mediante i teoremi di cui siamo a conoscenza, dunque analizziamo la matrice di stato cercandone gli autovalori e verificandone il segno:

( )( )1 11 2 1 1 2 2

2 2

0 00 0

0 0I A

λ ψ λψ ψ λ ψ λ ψ λ ψ λ

λ ψ λ−⎡ ⎤

⇒ − = ⇒ = − + = ⇒ = ∨ = −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

Possiamo vedere che i due autovalori trovati coincidono con i tassi di crescita, solo che un autovalore è positivo mentre l’altro è negativo. Ebbene possiamo affermare che dal criterio di stabilità questo stato di equilibrio è uno stato di equilibrio instabile.

Analisi della stabilità del secondo stato di equilibrio Esplicitiamo di nuovo il modello linearizzato in questo nuovo stato di equilibrio:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,2

1,2 ,2

2 ,20 0

e

e ee

f xd x t x tx K K dt xx xx x

y t x tx

χη

⎧ ∂=⎪=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ∂= = ⇒ = ⇒ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎪ =⎪ ∂⎩

Procediamo a calcolare le matrici sostituendo i valori in quanto il calcolo dei differenziali lo abbiamo già fatto per il primo stato di equilibrio:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

11 1 11 1 2 2

,22 2

2 2 1

,2

2 0 020 0

1 0 1 00 1 0 1

e

e

x tx t x tf f xK K Kx xx t x t

xx x

λ λ λλ λ ρ ρλ ερ λ ερερ λ ερ

η η

⎡ ⎤ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −∂ ∂⎢ ⎥= ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − + − +∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂

= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Il modello diventa allora:



( )[ ] ( )

( ) ( )

1 1

2 2

0 00 0

1 0 1 00 1 0 1

dA x t x tK Kdt

C y t x t

λ λλ ερ λ ερ

⎧ − ⎧ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒⎨ ⎨⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩

Analizziamo la matrice di stato e i suoi autovalori:

( )( )1 11 2 1 2

2 2

1 1 2 2

0 00 0 0 0

0 0I A K K

K KK

λ ψ λψ ψ λ ψ λ ερ ψ λ ψ λ ερ

λ ερ ψ λ ερψ λ ψ λ ερ

− +⎡ ⎤⇒ − = ⇒ = + + − = ⇒ + = ∨ + − = ⇒⎢ ⎥− + + −⎣ ⎦

= − ∨ = − +Vediamo che un autovalore è negativo mentre l’altro potrebbe essere sia negativo che positivo che zero. Riconosciamo allora i seguenti casi:

1. Nel caso in cui si dovesse verificare: 2 20K Kλ ερ λ ερ− + = ⇒ =

Allora avrei che, dato autovalore nullo, per il secondo criterio di Liapunov, lo stato di equilibrio è indeterminato.

2. Nel caso in cui si dovesse verificare: 2 20K Kλ ερ λ ερ− + > ⇒ <

Allora avrei che, data la presenza di un autovalore negativo e uno positivo, lo stato di equilibrio è instabile. 3. Nel caso in cui si dovesse verificare:

2 20K Kλ ερ λ ερ− + < ⇒ >

Allora avrei che, dati due autovalori negativi, lo stato di equilibrio è asintoticamente stabile.

Analisi della stabilità del terzo e ultimo stato di equilibrio Procediamo ad analizzare l’ultimo stato di equilibrio e a classificarlo come fatto fino adesso per gli altri. Esplicitiamo il modello linearizzato in questo stato:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 ,31

,3 ,32 2 ,3

2 1 12 2

e

e ee

f xdx x t x tdt xx x

K K xx y t x tK K x

λ λερ ερ

χερ λ ερ λ ηλ λερ ερ

⎧ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − =⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⇒ = ⇒ ⎨+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂⎪= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂⎩

Procediamo al calcolo delle matrici:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 21 1 1 12 21

1 1 2 2,3

2 22 2 1 1 22

1 2 2 21 1 1

21 2 2

22

2

e

K Kx t K K Kx t x tf f xK Kx xx t x t

K

K KK K K

KK

λ ερ λ ερ λλ λ ρλ ρλ

ερ ερ ερλ λ ρ ρερ λ λερ λ ερ ερλ λ ερ

ερερ

λ λ ερ λ ερ λλ λ λ

ερ ερ ερερ λ

λ λ λρ

+ +⎡ ⎤+ − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+∂ ∂ ⎛ ⎞− + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

+ +⎡ + − −⎢⎢=

+⎢− −⎢

⎣

1 2 1 1 2 21 1

21 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 21 1 1 1

221 21 2

2

2

2 2

22

K KK K K

KK

K K K KK K K K K K K K

KKKK

λ λ ερ λ λ λ ερ λλ λ

ερ ερ ερερ λ

λ λρ

λ λ ερ λ λ λ ερ λ λ λ ερ λ λ λ ερ λλ λ λ λ

ερ ερ ερ ερ ερ ερ ερ ερερ λερ λ λ λλ λ

ρρ

+ +⎤ ⎡ ⎤+ − −⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥= =

+⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥

⎦ ⎣ ⎦⎡ + ⎤ +⎛ ⎞ ⎡+ − + − + − − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ++ −−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 21 1 1 1 1

2 2 21 2 1 2 1 2

,3

2 2

2 2 2

1 0 10 1 e

K K KK K K K K K K K

K K KK K K

xx x

λ λ λ λ ερ λ λ λ λ λ ερ λ λ λ ερ λλ λ λ λ λ

ερ ερ ερ ερ ερ ερ ερ ερερ λ ερ λ ερ λ

λ λ λ λ λ λρ ρ ρ

η η

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =

+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂

= ⇒ =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

00 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Il sistema diviene dunque:

( )[ ] ( )

( ) ( )

1 2 2 1 2 21 1

2 21 2 1 22 2

1 0 1 00 1 0 1

K KK K K KdA x t x t

K KdtK K

C y t x t

λ λ ερ λ λ λ ερ λλ λ

ερ ερ ερ ερερ λ ερ λ

λ λ λ λρ ρ

⎧ + ⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎪ ⎪+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− −⇒⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩

Analizziamo gli autovalori della matrice di stato in maniera da determinare anche in questo caso il comportamento dello stato di equilibrio:



( ) ( )

1 2 2 1 2 21 1

2 21 2 1 2

1 2 2 2 1 2 2 22 1 1 2 1 1

0 02 2

2 0 2

K KK K K K

I AK K

K KK K K K

K K K K K K

λ λ ερ λ λ λ ερ λλ ψ λ

ερ ερ ερ ερψ

ερ λ ερ λλ λ λ ψ λ

ρ ρ

λ λ ερ λ ερ λ λ λ ερ λ ερ λψ ψ λ λ λ ψ ψ λ λ λ

ερ ερ ρ ερ ερ ρ

+ +⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⇒ − = ⇒ = ⇒

+ +⎢ ⎥− +⎢ ⎥

⎣ ⎦+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛− + − − = ⇒ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

( ) ( )

( )

21 2 2 2 1 2 2

2 1 1 2 1

22 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

0

1 12 0 2 0

2 0 2 2

K K KK K K K K

K KK K K K K

λ λ ερ λ ερ λ λ λ ερ λψ ψ λ λ λ ψ ψ λ λ

ερ ερ ρ ερ ερ

λ λ λ ερ λ λ λ λ λ λ ερ λψ ψ λ ψ λ ψ ψ λ

ερ ερ ερ ερ ερ

⎞ = ⇒⎜ ⎟⎠

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = ⇒ − + + = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− + + = ⇒ + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2

2 22 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

0

2 2 0 2 2 0

2 4 2 2 8

K KK K K K K K

KK K K K K

λ λ λ λ λ ερ λ λ λ λ λ λ ερ λψ λ ψ ψ ψ λ ψ

ερ ερ ερ ερ ερ ερ

λ λ λ λ λ ερ λ λ λ λ λλ λ

ερ ερ ερ ερ ερ

⎞ = ⇒⎟⎠

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + = ⇒ + − − + = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = − − − + = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

221 2

2 2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2

4

2 8 4 2 8 4

4 4 8 4 2

4

KK

K KK K K K K K

K KK K KK

λ ερ λερ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λερλ λερ ερ ερ ερ ερ ερ ερ

λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ

ερ ερ ερε ρ ε ρ

λ

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + = − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=2 2 2 2 2 2 2

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 22 12 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 22 12 2 2 2 2

2 2

4 8 4 8 4

4 4 8 4 8 4

4 4 4 8 4

4

K KK K K K KK

KK KK K

KK K K

K

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ

ερ ερ ερε ρ ε ρλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λερ ερ ερε ρ ε ρ

λ λ λ λ λ λ λ λλ λ

ερ ερε ρ ε ρε ρ

− + + + + + =

= − + + + + + =

= + + + + + =

=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2

4 4 8 4

4 4 4 8 4

4 4 4 8 42

K KK K KK

K K K K KK

K K K K KK K

λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λε ρ

ε ρ λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λε ρ

λ λ ε ρ λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λλ

ερψ

+ + + + +=

+ + + + += ⇒

+ + + + +− ±

=2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 212 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

24 4 4 8 41

21 4 4 4 8 4

2

K K K K KK K

K K K K KK K

ε ρ

λ λ ε ρ λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λλ

ερ ε ρλ

λ λ ε ρ λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λερ ερ

=

+ + + + += − ± =

= − ± + + + + +

Come si può ben vedere l’analisi di questo punto di equilibrio è abbastanza complessa. Noi però sfruttiamo le varie costanti per discutere il segno di questi autovalori dato che non ci interessa minimamente il loro valore. Notiamo subito che la quantità sotto radice è positiva e reale sarà quindi la radice data la positività delle costanti e la somma tra i vari monomi come radicando. Vediamo adesso di capire il segno globale. Cominciamo dunque dalla somma dei primi due monomi e cerchiamo di capire quando tale espressione è positiva:

1 1 12 2 2 2 10 1 K

K K Kλ λ λ

λ λ λ λ λ ερερ ερ ερ

− > ⇒ > ⇒ > ⇒ >

Tale quantità sarà positiva allora solo quando il tasso di crescita delle prede sarà maggiore di quella espressione a secondo membro. Vediamo allora subito che avremo un autovalore positivo o negativo a seconda del caso, l’altro autovalore dipende dalla radice. Avremo allora che posto:

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 1 2

1 4 4 4 8 42

4 4 4 8 4 0

K K K K KK

K K K K K

ε ρ λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λερ

ε ρ λ ερλ λ λ λ λ ε ρ ερλ λ λ λ

Λ = + + + + + ⇒

+ + + + + ⇒ Λ∈ℜ∧ Λ ≥

Visto che le due espressioni hanno valori variabili discutiamo tenendo presente che però il fattore Λ è sempre positivo e dunque il segno degli autovalori finali, che saranno reali data la positività del radicando, verrà deciso dal rapporto presente tra le due espressioni che abbiamo identificato in maniera opportuna. Si potranno avere i seguenti risultati:



Espressione 1 Relazione Analisi

1 Kλ ερ> 1

2Kλ

λ λερ

− < Λ In questo caso si avrà un autovalore positivo e un autovalore negativo. In base ai criteri di stabilità lo stato di equilibrio sarà instabile.

1 Kλ ερ> 1

2Kλ

λ λερ

− > Λ In questo caso si avranno due autovalori positivi. In base ai criteri di stabilità avremo che lo stato di equilibrio sarà instabile.

1 Kλ ερ< 12K

λλ λ

ερ− < Λ In questo caso si avrà un autovalore positivo e un autovalore negativo.

In base ai criteri di stabilità lo stato di equilibrio sarà instabile.

1 Kλ ερ< 12K

λλ λ

ερ− > Λ In questo caso avremo due autovalori negativi. In base ai criteri di

stabilità avremo che in questo caso lo stato di equilibrio sarà asintoticamente stabile.

1 Kλ ερ= In questo caso si avrà un autovalore positivo e un autovalore negativo. In base ai criteri di stabilità lo stato di equilibrio sarà instabile.

Da come si può vedere lo stato di equilibrio sarà asintoticamente stabile solo in un caso, tutti gli altri sono casi di instabilità.


Terminata l’analisi dei punti di equilibrio, possiamo avviarci all’analisi della controllabilità del sistema. Abbiamo qui un problema, il sistema non è lineare e i teoremi in nostro possesso ci permettono di analizzare la controllabilità solamente nei sistemi LTI. Non si tratta di un problema in quanto, come fatto prima, possiamo in ogni caso sfruttare il modello linearizzato. Il problema che risulta invece presentarsi in questo caso è che la controllabilità deve essere analizzata puntualmente in quanto la linearizzazione del modello avviene in punti specifici dell’insieme X degli stati. Bene, in maniera da generalizzare quanto più possibile la controllabilità lasciamo il modello linearizzato com’è senza esplicitarlo in un determinato stato, così facendo avremo come un modello linearizzato “parametrico”, in grado di valere per tutti i punti, la discussione che effettueremo assumerà caratteri quanto più generali possibili (dato che questo è il nostro scopo).

Formulazione generale del modello linearizzato E’ importante notare che il modello linearizzato viene linearizzato in un punto che non deve essere necessariamente uno stato di equilibrio, quando nel modello abbiamo imposto che gli stati si discostassero di poco dallo stato di equilibrio avevamo effettuato un’operazione specifica, ma al posto degli stati di equilibrio χ potevamo perfettamente inserire qualsiasi altro stato. Dunque tutte le relazioni valgono e il modello trovato è operativo anche per altri punti che non siano di equilibrio, l’importante è ricordare che quello che analizziamo in futuro ad una linearizzazione in un punto vale solo per stati che si discostano dal polo di linearizzazione per differenze molto piccole. Vale dunque:

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Xd f d fx t x t o x x t x tdt x dt x

y t x t o x y t x tx x

ω

ω ω ω

η ηω ω ω

∈

∂ ∂⎧ ⎧= + − =⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪= + − =⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎩

Lasciamo dunque così in forma generica il modello linearizzato e procediamo a evidenziare le matrici:

( )( ) ( )

( ) ( )

1 11

1 2 1 1 2 2

2 22 2 1

1 2

2

1 00 1

f fx tx x x t x tfA Kf fx x t x t

x x

Cx

λ λ ρ ρ

ερ λ ερ

η

⎧ ∂ ∂⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥∂ ∂ − − −∂ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥∂ ∂∂⎪ − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎨ ∂ ∂⎣ ⎦⎪

⎪ ⎡ ⎤∂⎪ = = ⎢ ⎥∂⎪ ⎣ ⎦⎩

Il modello linearizzato è:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11 1 2 2

2 2 1

2

1 00 1

d x t x tKd dtx t Ax tdty t Cx t

y t x t

ωλ λ ρω ρω

ερω λ ερω

⎧ ⎡ ⎤− − −⎪ ⎢ ⎥=⎧ ⎪ ⎢ ⎥=⎪ ⎪ − +⎢ ⎥⇒ ⎣ ⎦⎨ ⎨⎪ ⎪= ⎡ ⎤⎩ ⎪ = ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Le omega sono costanti, ovvero le componenti del polo di linearizzazione.

Analisi puntuale della controllabilità del sistema sul modello linearizzato Applichiamo adesso i teoremi di raggiungibilità al modello linearizzato, analizzando puntualmente un qualsiasi stato ω del sistema. In base al teorema principale per la raggiungibilità di un sistema, dobbiamo valutare la matrice di raggiungibilità R, costruiamo questa matrice prima di tutto:



[ ]1, ,..., nR B AB A B−= Notiamo subito che la matrice di raggiungibilità è nulla a causa della matrice B nulla nel sistema in quanto non compare l’ingresso. Dunque avremo che una matrice nulla possiede rango minimo, ovvero 0, questo implica la non raggiungibilità del sistema. Dunque il sistema non risulta controllabile.


Completiamo l’analisi del modello di Lotka – Volterra con l’analisi dell’osservabilità, anche qui analizzando il sistema linearizzato con le stesse conclusioni specificate nel paragrafo precedente:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11 1 2 2

2 2 1

2

1 00 1

d x t x tKd dtx t Ax tdty t Cx t

y t x t

ωλ λ ρω ρω

ερω λ ερω

⎧ ⎡ ⎤− − −⎪ ⎢ ⎥=⎧ ⎪ ⎢ ⎥=⎪ ⎪ − +⎢ ⎥⇒ ⎣ ⎦⎨ ⎨⎪ ⎪= ⎡ ⎤⎩ ⎪ = ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Costruiamo la matrice di osservabilità (la dimensione dello stato, n, è 2):

[ ] [ ]

( )

1

1 11 1 2 2 1 1 2 2

2 2 1 2 2 1

11 1 2 2

2 2 1

, ,..., ,

1 0 2 20 1

1 00 1 1 0

1 0 20 12

T Tn CO C CA CA C CA

CA

CA K K

CO O

CAK

ω ωλ λ ρω ρω λ λ ρω ρω

ερω λ ερω ερω λ ερω

ρωλ λ ρω ρω

ερω λ ερω

− ⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤

= = ⇒ = ≠ ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Analizziamone il rango. Notiamo subito che qui il rango è massimo grazie al minore di ordine 2 formato dalla matrice C costante. Il sistema allora è osservabile solo che bisogna tenere conto di considerare uno stato e piccole oscillazioni da esso in quanto il sistema è linearizzato in un generico stato.

Conclusioni finali

Il modello di Lotka e Volterra rappresenta uno strumento efficiente e interessante dal punto di vista dell’analisi delle dinamiche intercorrenti tra due popolazioni in relazione tra loro da un punto di vista della nutrizione reciproca. E proprio per tale motivo spingerci oltre nell’esaminare tale modello sarebbe inutile per i nostri scopi. Per questo motivo l’analisi del modello termina a questo punto.




PAG. 1: ANALISI PROBLEMA PAG. 1: COMPOSIZIONE DEL SISTEMA PAG. 1: ANALISI INIZIALE DEL MODELLO DESCRITTIVO PAG. 2: ANALISI DELLE PRINCIPALI PROPRIETÀ DEL MODELLO PAG. 3: ANALISI DEI PUNTI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA PAG. 4: LINEARIZZAZIONE DEL MODELLO PAG. 6: ANALISI DELLA STABILITÀ DEI PUNTI DI EQUILIBRIO DAL MODELLO LINEARIZZATO IN FORMA GENERALE PAG. 9: ANALISI DELLA CONTROLLABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 10: ANALISI DELL’OSSERVABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 10: CONCLUSIONI FINALI




Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello predatori-prede di Lotka e Volterra (completato).docx


Numero revisione: 0



Note: NONE

Andrea Tino



Analisi e Risoluzione Sistema Dinamico Modello descrittivo di un sistema termico per fluidi (completato) Studio completo del modello

Nome file: Modello termico (completato).docx


Oggetto: Analisi matematica della temperatura assunta da un fluido sotto opportune fonti di calore esterne.

Analisi problema Ci proponiamo di analizzare e studiare come si comporta la temperatura di un corpo fluido al variare della temperatura esterna. Composizione del sistema Consideriamo di avere il seguente sistema:

• Sia considerato un bacino di volume definito non variabile composto da pareti diatermiche in grado di permettere il passaggio di calore con l’esterno.

• Sia considerato un ambiente composto essenzialmente da una cella termica a temperatura regolabile, all’interno del quale è inserito il nostro contenitore diatermico.

• Sia considerato un fluido (un gas o un liquido) posto all’interno del contenitore diatermico. • Si trascurino tutte le proprietà del fluido e del sistema che non sono inerenti all’analisi termometrica del sistema,

si escludano quindi pressione, volume, pressione di vapore, gradiente barico; si prendano in esame invece la massa del fluido, il numero di moli e la sua temperatura espressa in Kelvin.

• Si ipotizzi che l’esperienza consista nel porre il liquido nel bacino diatermico e porre quest’ultimo nella cella termica. Si ipotizzi che strumenti tecnologici accurati permettano l’esatta determinazione della temperatura interna del liquido, considerando che tale temperatura sia distribuita uniformemente in tutto il liquido.

Sotto queste condizioni vediamo di formulare un modello matematico in grado di descrivere, quanto più precisamente o approssimativamente possibile, la temperatura del fluido data la variazioni delle determinanti esterne.

Determinazione delle equazioni differenziali del modello

Cerchiamo adesso di venire a conoscenze delle equazioni matematiche che regolano il fenomeno che vogliamo analizzare. Per fare questo dobbiamo prefiggerci di far comparire una derivata se no non possiamo analizzare il modello (sappiamo già che avremo a che fare con un modello tempo continuo). Conduzione di calore: Sappiamo dalla termodinamica che la quantità di calore trasmessa ad un corpo, ovvero l’energia scambiata tra due corpi da un punto di vista termico, espressa in Joule, dipende dalle caratteristiche dei corpi, dalla loro massa e dalla variazione di temperatura che si viene a creare tra i due corpi a contatto. Infatti dalla legge universale dei gradienti sappiamo che in natura li dove sono presenti gradienti di qualsiasi carattere, essi tendono ad essere annullati nel tempo; tale fenomeno avviene anche per i gradienti termici, due corpi a contatto a temperature differenti dopo un determinato tempo assumeranno una temperatura di equilibrio. La legge che regola tale fenomeno è dalla calorimetria: Q mc T= Δ Che è quanto abbiamo detto finora. Ebbene esperienze di laboratorio mettono in luce che la variazione della temperatura di un liquidi, a contatto con una sorgente di calore (che può essere di qualsiasi tipo), è direttamente proporzionale all’escursione termica che viene a verificarsi; il fenomeno osservato a parità di escursioni termiche si differenzia se si prendono in esame masse differenti di differenti sostanze, segno che la variazione termometrica dipende anche dalla massa e dalla sostanza di cui è composto il liquido. Calorimetria: Tutto quello cha abbiamo osservato si sintetizza nella relazione matematica seguente:

( )extT k T Tt mc

Δ= −

Δ

Tale relazione esprime la variazione della temperatura del fluido in corrispondenza della sua massa, calore specifico, costante di conduzione e rispetto all’escursione termica con l’esterno. Portata a livello infinitesimale, considerando minime variazioni di tempo abbiamo la relazione differenziale:

( )extdT k T Tdt mc

= −

Che è quello che cercavamo.

Equazioni del modello Vediamo dunque di definire, alla luce di quanto analizzato, le coordinate del nostro sistema:

1. Stato: Identifichiamo con lo stato la temperatura del fluido. 2. Ingresso: L’ingresso del nostro sistema è rappresentato dalla temperatura della cella frigorifera. 3. Uscita: Ci proponiamo in questa sede di monitorare l’andamento della temperatura interna del fluido in esame.



Dunque le nostre variabili sono le seguenti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )extx t T t u t T t y t T t= = =

In tali condizioni le equazioni prima trovate generano il nostro modello nella forma di stato:

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

d k d k kx t u t x t x t x t u tdt mc dt mc mcy t x t y t x t

⎧ ⎧= − = − +⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

Analisi delle grandezze Analizziamo le grandezze in gioco:

1. k Con questo simbolo ci riferiamo ad una costante che esprime la conduzione del calore nel fluido. La variazione della temperatura dipende dalla tipologia di sostanza in quanto sostanze differenti su stessi sbalzi termici variano la loro temperatura in maniera differente.

2. m La massa del fluido. 3. c

Questa costante relativa al fluido rappresenta il calore specifico, ovvero è quella grandezza atta a descrivere le modalità di variazione della temperatura. Il calore specifico viene rigorosamente definito come il calore necessario a far variare di un grado kelvin la temperatura della sostanza in esame.

4. C mc= Il prodotto massa per calore specifico genera la capacità termica del corpo.

Caratteristiche principali del modello

Dal modello in forma di stato possiamo ricavare le principali caratteristiche di quest’ultimo: 1. Il modello risulta essere regolare in quanto le relazioni di regolarità sono verificate data la dipendenza delle

derivate delle componenti dello stato dallo stato stesso e dall’ingresso. 2. Il modello risulta essere lineare in quanto è possibile definire la quadrupla di matrici descrittive A, B, C e D:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )1 0 :

x t A x t B u tk kA B C D S tC C y t C x t

∂⎧ = ⋅ + ⋅⎪= − = = = ∂⎨⎪ = ⋅⎩

Notare come in questo caso le matrici si riducono tutte a valori scalari. 3. Il modello è tempo continuo in quanto il tempo prende i suoi valori da un insieme continuo. 4. Il modello è tempo invariante, essendo infatti regolare possiamo dire che il sistema è tempo invariante perché il

tempo non figura in forma esplicita all’interno delle relazioni differenziali riportate. 5. Il modello è a dimensione dello stato finita in quanto la grandezza stato si compone di un solo elemento essendo

questo scalare. 6. Il modello è inoltre a stati infiniti in quanto può possedere temperature che prendono valori da un insieme

continuo il cui derivato non è nullo; questo, grazie al lemma di compattezza, ci dice che l’insieme dei valori possiede infiniti elementi.

7. Infine osserviamo che l’ordine del modello è 1. Deduciamo questo, prima di aver visto la funzione di trasferimento, in quanto in questo caso il sistema ha dimensione dello stato 1, un sistema non potendo possedere ordine zero dovrà essere per forza di ordine 1. Questo ci anticipa che la funzione di trasferimento avrà a denominatore un polinomio di primo grado e un numeratore di grado 1 al massimo.

8. Il modello è un modello SISO.

Analisi degli stati di equilibrio del sistema

Cerchiamo gli stati di equilibrio del sistema imponendo, da definizione, che le derivate si annullino contemporaneamente:

( )[ ] 0 0d k k k kx t x u x u x u x udt C C C C

= ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =

L’unico stato di equilibrio è in corrispondenza dello stato identicamente uguale all’ingresso, il che è più che logico, se infatti la temperatura del fluido si uniformasse a quella esterna, il valore raggiunto non verrebbe più abbandonato, a parte eventuali cambiamenti ulteriori, in quanto il gradiente termico verrebbe ad annullarsi.

ex u=

Analisi della stabilità Osserviamo in che modo reagisce il sistema se esso si spostasse dall’equilibrio mediante una perturbazione esterna. Utilizziamo il criterio di Lyapunov e calcoliamo gli autovalori della matrice di stato:

0 0k k kA I AC C C

λ λ λ= − ⇒ − = + = ⇒ = − <

L’unico autovalore presente è negativo. Questo significa che il nostro sistema è asintoticamente stabile. Se dunque, una volta raggiunto l’equilibrio, variamo di poco la temperatura esterna, la temperatura interna si uniformerà di nuovo al valore di equilibrio.


Iniziamo adesso a verificare se il sistema si presenta in forma minima mediante l’analisi della controllabilità. Vogliamo infatti verificare in che modo tale sistema si presta ad un controllo mediante un apposito controllore, che eventualmente potrà essere costruito. Per fare questo analizziamo la matrice di raggiungibilità R ed il suo rango:



[ ]

( )

1, ,.., 1

0 0 1

n kR B AB A B n R BC

kk RC

ρ

−= ⇒ = ⇒ = =

≠ ⇒ ≠ ⇒ =

Vediamo come la matrice di controllabilità sia semplice, coincide con B, ed essa ha inoltre rango massimo in quanto il rapporto indicato non si annulla mai, considerare un sistema con costante di scambio nulla vuol dire non considerare alcuno scambio, cosa che naturalmente sarebbe inutile. Quindi, alla fine, troviamo che il nostro sistema è sempre controllabile. Questo è un primo passo verso la forma minima che a rigore può essere presente, il prossimo passo sarà il discriminante fondamentale.


L’osservabilità è data, vediamo adesso se il sistema è in forma minima mediante l’analisi dell’osservabilità. Costruiamo a tal fine la matrice di osservabilità:

[ ] ( )1, ,.., 1 1 0 1TnO C CA CA n O C Oρ−= ⇒ = ⇒ = = ≠ ⇒ =

E’ palese come il sistema sia osservabile. Ebbene abbiamo anche un’ulteriore informazione forse più importante, ovvero che il sistema è in forma minima, d’altronde era prevedibile in quanto esso è del primo ordine e non si può scendere ad ordini minori.


Effettuate le operazioni che rivestono importanza nell’analisi del comportamento generale del sistema, vediamo adesso di iniziare l’analisi che ci permetterà di esprimere il sistema mediante la funzione di trasferimento e, in futuro, di analizzare i modi in cui esso risponde alle varie sollecitazioni esterne.

Calcolo della funzione di trasferimento Consideriamo le equazioni del modello e perveniamo alla funzione di trasferimento definita come:

( )( )[ ]( )[ ]

( )( )

y t Y sH sU su t

= =ℑℑ

Dal sistema in forma di stato procediamo ad applicare la trasformata di Laplace ambo i membri per ottenere le nostre equazioni dal dominio del tempo al dominio di Laplace dove è più conveniente lavorare:

( )[ ]{ } ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

d k k k kx t x t u t s x t x t u tdt C C C C

y t x ty t x t

k k k k k ks x t x t u t sX s X s U s sX s X s U sC C C C C C

Y s X s Y s X sy t x t

CU s s X s X s Y s X sH sk CU s s X s X sY s X sk

⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ == ⎩⎩⎧ ⎧ ⎧= − + = − + + = +⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= == ⎩ ⎩⎩⎧ = +⎪ ⇒ = = =⎨⎪ +=⎩

ℑ

ℑ ℑℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ

ℑ ℑ ℑ ℑ

( )1

1C k s +

La funzione di trasferimento appare come si vede come una funzione razionale fratta. Il denominatore è di primo grado, il sistema che analizziamo è allora un sistema del primo ordine, ma questo lo sapevamo già. Portiamo dunque in forma monica la frazione:

( )( )

( ) ( )11

k C kH s H s H sC k s s k C C s

ααα

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =+ + +

In questo modo la funzione di trasferimento si presta meglio alla futura analisi che dovremo effettuare.


Quello che vogliamo adesso fare è portare avanti il calcolo della risposta del sistema nel momento in cui vogliamo applicare un determinato ingresso. Quello che in sostanza ci proponiamo di fare è vedere come si comporta il sistema quando facciamo variare la temperatura esterna, ovvero l’ingresso, sotto determinati profili.

Profili d’ingresso Gli ingressi che applicheremo saranno dei seguenti tipi:

a. Delta di Dirac. b. Gradino di Heaviside. c. Funzione costante. d. Funzione esponenziale con coefficiente di salita determinato. e. Funzione sinusoidale ad impulso determinato.

Analizzando in che modo risponde il sistema in prossimità di questi ingressi, riusciremo a comprendere molto riguardo al suo comportamento.

Risposta libera Condizioni iniziali: Per calcolare La risposta sappiamo che è necessario applicare la seguente relazione: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }11 10y t C sI A x H s U s−− −= ⋅ − +ℑ ℑ



Occorre dunque decidere in che stato porre il sistema all’inizio. Terzo principio della termodinamica: In questo caso potrebbe nascere spontaneo considerare che il sistema abbia stato iniziale nullo in modo da semplificare i calcoli, ebbene non esiste cosa più assurda di porre lo stato iniziale come nullo; tale operazione comporterebbe infatti la violazione di almeno tre tra i più importanti teoremi della termodinamica tra cui, specialmente, il terzo principio fondamentale della termodinamica di Nerst, questo asserisce infatti l’impossibilità di raggiungere lo zero Kelvin, noto come zero assoluto. Se una tale condizione è impossibile da verificarsi noi non la possiamo ipotizzare, ragion per cui porremo come stato iniziale la temperatura di 0 °C, ovvero 273 K. ( )

00 273x T= =

Risposta libera: In questo caso procediamo dunque a determinare la risposta libera che, essendo libera, non dipenderà dallo specifico ingresso che sottoporremo. Procediamo al calcolo della matrice iniziale:

( )( )[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ){ } { }

1

1 11 1

adj

0 0 0 0 0

adj 0

TsI A

C sI A CsI A

ksI A s C sI A x C sI A xC

sI A

−

− −− −

⎫−⎪⋅ − = ⋅

− ⎪⎪⎬

− = + ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = =⎪⎪

− = ⎪⎭

ℑ ℑ

Vediamo dunque che la risposta libera è sempre nulla, non si pongono problemi allora per lo stato iniziale, procediamo a calcolare la risposta forzata per tutti gli ingressi prima elencati

Risposta con ingresso impulsivo Vediamo cosa accade quando imponiamo come ingresso del sistema un ingresso impulsivo di Dirac: ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) 1u t t u t t U sδ δ= ⇒ = ⇒ =ℑ ℑ

Procediamo dunque a calcolare la forzata mediante la formula prima introdotta:

( ) ( ) ( ){ } { }{ } { }

1 1

1 1

1

1

F

t

y t H s U ss

es s

α

αα

α α αα α

− −

− − −

= = ⋅ =+

= = ⋅ =+ +

ℑ ℑ

ℑ ℑ

Osserviamo che con un ingresso impulsivo il sistema si comporta in maniera esponenziale decrescente partendo da un valore iniziale e tendendo asintoticamente a zero. Naturalmente si tratta sempre della risposta forzata, per avere la risposta completa è necessario sommare a quest0ultima il contributo libro prima calcolato.

Risposta con ingresso a gradino Vediamo cosa accade quando imponiamo come ingresso del sistema un ingresso a gradino, ovvero la funzione di Heaviside:

( ) ( )( )

( )( )[ ] ( )[ ] ( )0 0 1heav heav

1 0t

u t t u t t U sst

⎧ <= = ⇒ = ⇒ =⎨

≥⎩ℑ ℑ

Procediamo dunque a calcolare la risposta forzata:

( ) ( ) ( ){ } { } ( ) ( )1 1 1 11 1

Fy t H s U ss s s s s sα α αα α α

− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = ⋅ = = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ ℑ

Dovendo antitrasformare una funzione razionale fratta procediamo prima con lo scomporla in fratti semplici per poi antitrasformare in Laplace:

( )( )

( )

( )

1 21 2 1 1 2

1 21 2

1 2 11 1

2 1 2

11

1 1 1

001 11

1 1 11

1 1

R RR s R s R s R R s

s s s sR RR R

R R s RR R

R R R

s s s sR R

α αα α

αα

α

α α αα α

α α

= + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒+ +

+ =⎧+ =⎧ ⎪= + + ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩⎧= − = −⎧ −⎪⎪ ⎪⇒⇒ ⇒ = +⎨ ⎨ + +=⎪ ⎪ =⎩ ⎪⎩

A questo possiamo antitrasformare in tutta semplicità in quanto la riduzione ci da questa possibilità:

( )( ) { } { } { } { } { }

{ } { } ( )

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 heav

F

t

y ts s s s s s s s

t es s

α

α α α αα α α α α αα α α α α α

α

− − − − − −

− − −

− −⎧ ⎫= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎨ ⎬+ + + +⎩ ⎭

= − = −+

ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ

ℑ ℑ



Come possiamo osservare la risposta ad un ingresso a scalino risulta essere esponenzialmente crescente da valori negativi come mostra il grafico sopra riportato della risposta forzata. Si tratta anche in questo caso della risposta forzata, per ottenere quella completa basta sommare il contributo libero.

Risposta con ingresso costante Osserviamo adesso cosa fa il sistema nel momento in cui si perturba quest’ultimo con un impulso costante:

( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )0

0 0 0 0

0

0lim lim

st st st st st

Tst sT

T T

u t const U s u t e u t dt e dt e dt se dt es s

e e es s s s

γ γγ γ γ γ

γ γ γ γ

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞− − − − −

− −

→+∞ →+∞

⎡ ⎤= = ⇒ = = = = = = − − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ℑ ℑ ∫ ∫ ∫ ∫

Calcolata la trasformata di Laplace dell’ingresso possiamo procedere al calcolo della risposta forzata:

( ) ( ) ( ){ } { } ( )

( )

1 1 1

1 1

Fy t H s U ss s s s

s s

α γ γαα α

αγα

− − −

−

⎧ ⎫= = ⋅ = =⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

⎧ ⎫= ⋅ ⎨ ⎬+⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ

ℑ

Sapendo dai calcoli di prima che:

( )( )1 1 heav tt e

s sαα

α− −⎧ ⎫⋅ = −⎨ ⎬

+⎩ ⎭ℑ

Abbiamo che, molto semplicemente, la nostra risposta forzata è: ( ) ( )heav t

Fy t t e αγ γ −= −

Il grafico ci mostra l’andamento della risposta, ma come si prevede è il caso di prima a meno di una costante moltiplicativa che varia i valori numerici, ma che lascia invariato il comportamento generale. La figura mostra l’andamento per valori differenti della costante di ingresso.

Risposta con ingresso esponenzialmente crescente Osserviamo adesso cosa accade al sistema se facciamo crescere esponenzialmente la temperatura esterna dell’ambiente:

( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0

0

0 0

1

1 1 1 1 1 1lim lim

s t s tt t st st t st t

Ts t s t s T

T T

u t e U s u t e e u t dt e e dt e dt e dt s e dts

e e e es s s s s s

β ββ β β β

β β β

ββ

β β β β β β

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

− −− − − +

+∞− − − − +

→+∞ →+∞

= ⇒ = = = = = = = − =−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ℑ ℑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Appurato l’ingresso, calcoliamo la risposta forzata:

( ) ( ) ( ){ }( )( ) ( )( )

1 1 1 11 1Fy t H s U s

s s s s s sα α αα β α β α β

− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = ⋅ = = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − + − + −⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ℑ ℑ ℑ ℑ

Si rende necessaria la scomposizione in fratti semplici per la quale utilizziamo, per meglio sbrigarci, la formula di Heaviside per il calcolo dei residui:

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

1 2

1

2

1

1 1 1 1

1 1 1

1 11

s s

ss

R Rs s s s

R ss s s

R ss s s

s s s s

α α

ββ

α β α β

αα β β α β α β

βα β α α β

α β α βα β α β

=− =−

==

= + ⇒+ − + −

⎧= + = = = −⎪ + − − − − +⎪ ⇒⎨

⎪ = − = =⎪ + − + +⎩

−+ += +

+ − + −

A questo punto possiamo procedere all’antitrasformazione vista la scomposizione appena fatta:

( )

{ }( )

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

F

t t t t

y ts s

s s

s s

e e e eα β β α

α β α βαα β

α β α βα αα β

α αα β α α β βα α α

α β α β α β

−

− −

− −

− −

⎧ ⎫−⎪ ⎪+ +⎨ ⎬= ⋅ + =⎪ ⎪+ −⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ +⎨ ⎬ ⎨ ⎬= ⋅ + ⋅ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ −⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫= − ⋅ + ⋅ =⎨ ⎬+ + + −⎩ ⎭

= − ⋅ + ⋅ = −+ + +

ℑ

ℑ ℑ

ℑ ℑ



Analizzare l’andamento di questa risposta risulta essere leggermente più difficile, ma se si osserva attentamente i contributi di sommatoria presenti nella relazione si può anche marginalmente comprendere quale sia il comportamento globale della risposta forzata. E’ presente un esponenziale crescente a cui è sommato un altro esponenziale decrescente variato di segno dunque crescente e negativo. La risposta forzata assume dunque l’andamento mostrato nel grafico per vari valori della costante β di ingresso.

Risposta con ingresso sinusoidale Quello che ci proponiamo adesso, in ultima battuta per questa sezione, di fare è quello di vedere come reagisce il sistema ad una sollecitazione esterna che prevede una variazione oscillante di temperatura fra un valore massimo e un valore minimo; ovvero ipotizziamo un ingresso sinusoidale. In realtà un metodo molto più appropriato per analizzare la risposta ad ingressi sinusoidali è quello che prevede l’utilizzo di tutti i metodi sistematici per l’analisi delle risposte in frequenza. Ebbene, noi volgiamo sia analizzare tutta la risposta completa, quella forzata con il transitorio e in seguito analizzeremo solo la risposta forzata a regime mediante l’uso della risposta in frequenza. Ora dunque ci proponiamo di analizzare al risposta completa di parte libera, transitorio e regime. Il nostro ingresso è dunque il seguente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]2 2sin sinu t t U s u t t

sωω ω

ω= ⇒ = = =

+ℑ ℑ

Procediamo a impostare il calcolo della risposta forzata:

( ) ( ) ( ){ } { } ( )( ) ( )( )1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1Fy t H s U s

s s s s s sα ω αω αωα ω α ω α ω

− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = ⋅ = = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + + + +⎩ ⎭ ⎩ ⎭ℑ ℑ ℑ ℑ

L’antitrasformanda deve essere scomposta in fratti semplici al fine di rendere l’antitrasformazione possibile:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 22 2

1 2 2 22

2

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 12

s s

s i s i

R R Rs is is s s i s i s s i s is s

R ss s i s i s i s i i i i

R s is s i s i s s i i i i i i

α α

ω ω

α ω ω α ω ω α ω ωα ω

αα ω ω ω ω α ω α ω ω αω α

ωα ω ω α ω ω α ω ω ω ω α

=− =−

= =

= = = + + ⇒+ − + + − + + − ++ +

⎧= + = = = =⎪ + − + − + − − − + +⎪ −

⎨⎪ = − = = =⎪ + − + + + + + +⎩

Iniziamo ad antitrasformare:

( ) { }1 1 11 2 2 1 2 2F

R R R R R Ry t

s s i s i s s i s iαω αω αω

α ω ω α ω ω− − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= ⋅ + + = ⋅ + ⋅ +⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − + + − +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℑ ℑ ℑ

Osserviamo che la prima antitrasformazione è fattibile, per la seconda utilizzeremo la formula di antitrasformazione per la coppia di poli complessi e coniugati che non è stata scissa apposta, ovvero avremo che infatti la seconda anti trasformata si può calcolare conoscendo semplicemente uno dei residui (i due residui sono uno il coniugato dell’altro come i poli) e il relativo polo di riferimento:

( )[ ] ( )[ ] ( ){ }1 Re2 22 22 cos Im Argi tR R

R e i t Rs i s i

ω ωω ω

− − − ⋅⎧ ⎫+ = ⋅ ⋅ − − ⋅ +⎨ ⎬

− +⎩ ⎭ℑ

Visto che dobbiamo calcolare argomento e modulo del residuo, vediamo di porlo in una forma migliore, al fine di separare parte reale e immaginaria ricavandone la forma complessa canonica, una volta fatto questo calcoliamo modulo ed argomento:

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 222

2

4 2 2 4 2 2 2 2 3 2

2 22

2 4 2 2 4 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 42 2

2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 4

2 24 4 4 4

i i iRi i i i i i i i i

i i

R

ω ωα ω ωα ω ωαω ω α ω ω ωα ω ωα ω ωα ω ωα ω ω αω ωαω ωα α

ω ω α ω ω α ω α ω ωα

ω ωαω ω α ω ω α

− − − − − −= = = = ⋅ = = =

+ + − + − + − − +− −− −

= + = − −+ + + +

⎛ ⎞− −⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )

4 2 2 4 2 2

2 2 24 2 2 4 2 2 4 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 3 2

2

2 2 2

2

2 4 2 2 4

4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 2 124 4 4 4 2 2

2Im 04 4 3° Quad

2Re 04 4

2 2Arg arctan4 4 4

RR

R

R

ω ω α ω ω α

ω ω α ω ω α ω ω α

ω ω α ω ω α ω α ω αω ω α ω ω α ω α ω α

αω ωα

ω αωα ωπ

ω ω α ω

+= + = =

+ + +

+ + + += = = =

+ + + +⎧ = − <⎪⎪ + ⇒ ∈⎨⎪ = − <⎪ +⎩

− −= +

+

4 2 2

2 2 4 2 2 2

2

2 4 4arctan4 4 4 2

2arctan arctan2

ωα ω ω απω α ω ω α ω

ωα απ πωω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− += + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

Ora che modulo e argomento del residuo sono noti, procediamo ad antitrasformare tutto mediante la formula prima introdotta, antitrasformando anche il primo termine semplice in modo da ottenere la risposta forzata già pronta ed intera per essere poi analizzata:



( ) { } { } ( )[ ] ( )[ ] ( ){ }

( )[ ] ( )[ ]

{ }

1 1 1 Re1 2 2 12 2

2 22 21 Re

2 2

12 2

2 cos Im Arg

112 cos Im arctan2

1 12

i tF

i t

R R R Ry t R e i t R

s s i s i s

e i ts

s

ω

ω

αω αω αω αω ωα ω ω α

ω α αω ααω αω ω πα ωω α

αω αωαω α

− − − − − ⋅

− − − ⋅

−

⎧ ⎫= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + =⎨ ⎬

+ − + +⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪ + ⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬+= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + + =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪+ +⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= ⋅ + ⋅++

ℑ ℑ ℑ

ℑ

ℑ [ ] [ ]

{ }{ }

2 2Re

2 2

2 21 0

2 2 2 2

2 21

2 2 2 2

2

2 2

cos Im arctan2

1 12 cos arctan2

1 cos arctan

i t

t

e i t

e ts

ts

e

ω

α

ω α αω πωω α

αω ω α ααω ω πα ωω α ω α

αω ω α ααω ω πα ωω α ω α

αω ω ααωω α

⋅

−

−

−

+ ⎧ ⎫⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ + + =⎨ ⎬⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎩ ⎭

+ ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + =⎨ ⎬⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠⎩ ⎭

+ ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ + + =⎨ ⎬⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠⎩ ⎭

+= ⋅ + ⋅

+

ℑ

ℑ

( )

2 2 2

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

cos arctan cos arctan

cos arctan cos arctan

t

tt

t e t

ee t t

α

αα

α αω ω α αω π αω ω πω ωω α ω α ω α

αω αω α αω αω π ω πω ωω α ω α ω α ω α

−

−−

⎧ ⎫ + ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + + = ⋅ + ⋅ ⋅ + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭+

⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + + = + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭+ + +⎩ ⎭ Abbiamo dunque ottenuto la risposta forzata, aggiungiamo anche quella libera ed otteniamo la risposta completa che andremo poi a graficare:

( )2 2 2 2 2 2 2 2

0 cos arctan cos arctant te ey t t t

α ααω α αω αω π ω πω ωω α ω α ω α ω α

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Possiamo osservare come il transitorio sia perfettamente distinguibile dal regime, vediamo infatti come l’esponenziale tenda rapidamente a zero per tempi abbastanza grandi, e proprio in questo frangente, l’estinzione del fattore esponenziale fa si che il coseno possa dominare il comportamento del sistema. Ingresso e risposta: Possiamo dunque osservare come la risposta completa si adegui ai segnali di ingresso dati al sistema istante per istante. Questo fatto è anzi meglio osservabile se grafi chiamo la risposta ad un segnale di ingresso specifico e mettiamo a confronto i due grafici, a tal scopo utilizziamo un ingresso con pulsazione unitaria ed immaginiamo che il sistema in esame possieda la costante che abbiamo denominato α sia anch’essa pari a 1, i grafici che otteniamo sono quelli riportati in figura.

( )

( ) ( )

sin1 1

1 1 1 5cos arctan1 cos cos4 42 2 2 2 2 2

t t t

u t t

e e ey t t t t

α ω

π ππ π− − −

⎧ =⎪ = ∧ =⎪⎨

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = + + + = + + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

Analizziamo i due grafici:

Risposta generica

Risposta ad un ingresso determinato

Come prima accennato dunque possiamo osservare che il sistema, quando reagisce ad una perturbazione sinusoidale, tende ad avere un comportamento sinusoidale anch’esso, sebbene sfalsato di poco. Per quanto riguarda invece l’esempio pratico, il secondo grafico ci mette davvero a confronto in cosa si discostino un segnale di ingresso dalla risposta nel caso di un’entrata scelta a caso. In particolare questo esempio ci mostra che il nostro fluido varia la temperatura interna allo stesso modo con cui varia quella esterna, all’inizio, naturalmente, la temperatura interna si porta ai valori limiti della variazione esterna e poi, esaurito il transitorio che può essere facilmente notato, si adegua alla perturbazione.

Analisi della risposta in frequenza e relativi tracciamenti

Come prima anticipato vogliamo adesso focalizzare la nostra attenzione sulla risposta forzata a regime. Per poter avere la legge precisa che determina questa funzione possiamo utilizzare proprio il calcolo della risposta in frequenza ed eseguire i tracciamenti relativi al modulo, alla fase ed anche al diagramma polare, utile per capire il comportamento globale dell’intero sistema sotto profili di regime. Infine potremo confrontare i risultati con quanto ottenuto poco fa.



Calcolo della risposta in frequenza Il primo passo è quello di sostituire nell’espressione della funzione di trasferimento il valore di frequenza complesso ed ottenere così la risposta in frequenza:

( )H ii iα αω

ω α α ω= =

+ +

Tracciamento della risposta in frequenza nel diagramma modulo e fase Procediamo adesso a tracciare la risposta in frequenza. Vediamo dunque di utilizzare il primo importante diagramma che è quello modulo e fase con il quale controlliamo come si comporta il modulo e la fase del segnale di uscita. A tal fine calcoliamo modulo e fase della funzione di trasferimento in frequenza (teniamo conto che i parametri e la frequenza sono tutte grandezze positive):

( )

( )[ ] ( ) ( )

2 2

0 arctan arctan

H ii

H i i

α αωα ω α ω

ω ωω α α ωα α

= =+ +

∠ = ∠ −∠ + = − = −

Procediamo a comporre i nostri diagrammi:

Modulo

Fase

I grafici mostrano l’andamento di modulo e fase della risposta in frequenza per valori del parametro della funzione di trasferimento crescenti. Si vede come il comportamento rispecchi quello che abbiamo prima ottenuto con il calcolo della risposta a ingressi sinusoidali.

Tracciamento della risposta in frequenza nel diagramma polare Procediamo adesso al tracciamento mediante il diagramma polare. Per far questo è necessario isolare la parte immaginaria da quella reale della funzione di trasferimento in frequenza dato che quest’ultima è adesso una funzione complessa:

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

i iH ii i i

i i

H i

α α α ω α α ωωα ω α ω α ω α ω

α αω α αωα ω α ω α ω

α αωωα ω α ω

− −= = ⋅ = =

+ + − +−

= = − ⇒+ + +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠

Possiamo dunque procedere al tracciamento del diagramma polare che si trova pertanto riportato qui sulla destra. Il grafico procede per valori di pulsazione crescenti ed osserviamo le seguenti cose: prima di tutto il grafico mostra l’andamento anche per pulsazioni negative che naturalmente non assumiamo, ragion per cui la parte del grafico nel primo quadrante non deve essere presa in esame; la funzione infatti parte dal valore 1 sull’asse reale e raggiunge lo zero come è possibile vedere da un semplice calcolo di limiti. Infine notiamo che per valori del parametro α crescenti la curva non arriva a zero ma si interrompe prima.

Selezione dalla classe di modelli

Visto che da questo momento in poi analizzeremo delle proprietà importanti e specifiche del sistema, quali il controllo e i margini di stabilità, troviamo necessario scegliere tra i vari sottosistemi che si genererebbero dando dei valori ai parametri della classe generale finora attenzionata. Ci proponiamo dunque di dare dei valori ai parametri in modo da analizzare un determinato fluido e dunque un sistema reale e non più generalizzato come facevamo precedentemente. Si pone dunque il problema dello scegliere quale valore dare ai parametri. Sistema reale: Considereremo da adesso in poi un fluido che sia acqua della massa di 10 Kg. In questo modo i parametri diverranno:

1. Massa: La massa passerà al valore di 10 Kg. 2. Conducibilità termica: l’acqua ha una conducibilità termica di 0.6 W/mK.



3. Calore specifico: L’acqua possiede un calore specifico di 4186 J/KgK. Abbiamo allora che:

6 10 6 3 310 4186 20 4186 20 2093 41860

k kC mc

α = = = = = =⋅ ⋅ ⋅

Otteniamo infine:

( ) 3 418603 41860

H ss sαα

= =+ +

Da questo momento in poi utilizzeremo questo modello per effettuare le future analisi e considerazioni sul sistema.

Controllo sul sistema

Procediamo adesso a porre in controllo il nostro sistema in modo da poter verificare come esso reagisce quando si vuole tenere in esame l’uscita e assegnarle un profilo voluto. A tal fine chiudiamo il ciclo mediante la catena di retroazione unitaria e osserviamo le caratteristiche del nuovo sistema.

Regolazione Quello che ci proponiamo di fare è fare in modo che il sistema si mantenga su di un valore di uscita ben determinato, ovvero vogliamo che la temperatura interna del fluido si mantenga costante nel tempo ad un valore desiderato; per questo motivo porremo in ingresso un gradino il cui valore sarà la temperatura da noi desiderata:

( ) ( )u t U ssττ= ⇒ =

Vogliamo allora un’uscita che a regime si adegui a questo valore e un errore che a regime si annulli. Naturalmente, dovendo agire su un parametro, metteremo al sistema in cascata un controllore che consiste semplicemente in un guadagno parametrico come mostrato nel diagramma.

Risoluzione della regolazione Calcoliamo dunque, di questo sistema, uscita ed errore per poi esaminarli anche a regime mediante l’utilizzo del teorema del valore finale. Uscita: Iniziamo con l’uscita:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )1 1

R s Y s x H s Y s R s x H s Y s x H s Y s R s x H s Y s Y s x H sR s x H s x H sY s R s

x H s x H s

− ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

+ ⋅ + ⋅

A regime, per un ingresso a gradino come prima stabilito, abbiamo:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

0 0

0 0 0 0

11

3 41860 3 418603 41860 3 418603 41860 3 41860 3 418601 1

3 41860 3 41860

lim lim lim

lim lim lim lim

t s s

s s s s

x H sY s R sx H sx H s y y t s Y s s

s x H sR s

s

x xs s xx H sy

s xx H s xs s

ττ

τ τ τ τ

∞ →+∞ → →

∞ → → → →

⎧ ⋅= ⋅⎪ ⋅⎪ + ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒⎨ + ⋅⎪ =

⎪⎩

⋅ ⋅+ + ⋅⋅

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅+ + ⋅+ ⋅ + ⋅

+ +

3 418603 41860 3 41860

3 418603 41860 3 41860 1

s x

x xyx x

τ τ∞

⇒+ + ⋅

⋅= ⋅ = ⋅

+ ⋅ +

L’uscita a regime naturalmente dipenderà dal guadagno x. Errore: Procediamo similmente a valutare l’errore e il suo regime:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

11 1

R s Y s x H s Y sE s x H s R s E s E s x H s E s R s

E s R s Y s

R sE s R sx H s x H s

⎧ − ⋅ ⋅ =⎪ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒⎨= −⎪⎩

= = ⋅+ ⋅ + ⋅

Procediamo all’analisi del regime:

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0 0

111

1

1 1 1 13 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 418601 1

3 41860 3 41860 3 418603 41860

3 41860 3 418

lim lim lim

lim lim lim

t s s

s s s

E s R sx H s e e t s E s s

s x H sR ss

es x xx H s x

s s

ex

ττ

τ τ τ τ

τ

∞ →+∞ → →

∞ → → →

∞

⎧ = ⋅⎪⎪ + ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒⎨ + ⋅⎪ =⎪⎩

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒+ + ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅

+ +

= ⋅+ ⋅

160 1 x

τ= ⋅+



Risoluzione: Procediamo adesso a risolvere il sistema per cui vorremmo l’errore a regime nullo e la risposta a regime con valore pari alla temperatura desiderata:

11 1

0 1 10 01 1

x xy x xe

x x

τ ττ

τ

∞

∞

⎧ ⎧⋅ = =⎪ ⎪=⎧ ⎪ ⎪+ +⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨=⎩ ⎪ ⎪⋅ = =⎪ ⎪+ +⎩ ⎩

Notiamo subito che la condizione sull’errore a regime non è possibile da soddisfare in quanto una frazione è nulla solo se il suo numeratore è nullo, in questo caso il numeratore è una costante positiva. Proviamo dunque a lasciar perdere temporaneamente l’errore a regime e occupiamoci dell’uscita:

1 11 1

x xy x xx x

τ τ τ∞ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ++ +

In realtà non è possibile neanche soddisfare la posizione sull’uscita. Possiamo però ottenere un valore di x che ci dia la possibilità di ottenere un valore vicino a quello voluto. Considerando dunque che al denominatore, per x molto grandi, la costante unitaria si trascura, otterremmo allora 1 a frazione. La soluzione allora è porre valori del guadagno di controllo alti. Come reagisce l’errore a regime per x grandi? Osserviamo che per x grandi l’errore a regime tende a zero. Bene abbiamo proprio trovato la soluzione: poniamo valori molto grandi di x. Stabilità: Abbiamo però un problema: la stabilità, dobbiamo infatti analizzare la stabilità del ciclo chiuso in maniera da determinare un valore di x per cui non abbiamo un sistema retro azionato instabile (sappiamo infatti che elevare troppo il guadagno potrebbe essere deleterio nei confronti della stabilità di tutto il sistema di controllo).

Analisi della stabilità del ciclo chiuso per la determinazione del guadagno del controllore statico Per analizzare la stabilità del ciclo chiuso procediamo utilizzando il criterio di Nyquist tracciando il diagramma polare del ciclo aperto. Notare che non possiamo riutilizzare il diagramma polare tracciato precedentemente perché esso tiene conto di valori di un altro parametro e la funzione tracciata non è il ciclo aperto qui in considerazione. Nel nostro caso il ciclo aperto è:

( ) ( ) 3 418603 41860

F s x H s xs

= ⋅ = ⋅+

Calcoliamo dunque la restrizione nel dominio della frequenza:

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2

3 41860 3 418603 1 3 1 33 41860 41860 3 41860 41860 3 41860 41860 3 41860 3 41860

3 41860 3 418603 341860 418609 41860 9 41860 9 41860

ix x xF i x H i xi i i i i

ix x i

ωω ωω ω ω ω ω

ω ωω ω ω

−= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+ + + + ⋅ −

− ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Possiamo dunque procedere al tracciamento del diagramma polare. Diagramma: Notiamo subito che il diagramma trovato per valori del guadagno del controllore crescenti risulta essere diverso da quelli abituali. La motivazione risiede nel fatto che in realtà non abbiamo delle vere e proprie spezzate, bensì una curva che risulta essere molto angolosa nelle flessioni per via dei denominatori alti e presenti nella funzione tracciata. Procediamo dunque ad analizzare il diagramma, prima di tutto vediamo che la funzione tracciata possiede zero poli a parte reale positiva. Inoltre notiamo subito che abbiamo circondamenti del punto critico e questi avvengono quando a x vengono dati valori negativi. Ebbene, visto che noi non vogliamo dare valori negativi al guadagno, possiamo porre ad esso qualsiasi valore anche se altissimo non altererà la stabilità. Infatti Nyquist ci dice che, non avendo circondamenti per x positivi, possiamo dare a x qualsiasi valore positivo.

Conclusione del controllo Per concludere allora possiamo affermare che il nostro controllore deve essere:

1010x = Il valore è infatti molto alto e farà avvicinare l’errore a regime al valore nullo e farà in modo che l’uscita a regime si porti alla temperatura desiderata.

Analisi dei disturbi

Proviamo a prendere in esame il sistema appena analizzato dal punto di vista dei disturbi, al fine di vedere come questi modificano la risposta. Dopo aver infatti impostato il modello di controllo in retroazione dell’uscita per il nostro sistema, questo stesso lo esaminiamo quando viene sottoposto a disturbi di vario tipo localizzati in vari punti del sistema. Ovvero quello che ci proponiamo è analizzare come i meccanismi di controllo vengano alterati dall’introduzione di disturbi; al fine di rendere il controllo sempre efficiente, volendo sempre come uscita il valore fissato dalla regolazione (il problema analizzato e risolto fino a poco fa).



Con tali intenti allora analizzeremo l’influenza di una particolare gamma di disturbi tutti dello stesso tipo (lo vedremo tra poco) in azione su diversi punti del sistema di controllo. Tipologia di disturbi: Come prima anticipato i disturbi saranno tutti dello stesso tipo, ovvero dei gradini del tipo:

( ) ( ) dd t d D ss

= ⇒ =

Notare una cosa, prima di iniziare; i disturbi sono elementi che intercorrono nel compromettere le misurazioni delle variabili del nostro sistema. Tali entità possono agire in vari punti del modello, il nostro scopo sarà cercare, dove possibile, di annullarli. Naturalmente, come premessa, ricordiamo che utilizzeremo sempre il modello trovato e non la classe di modelli con i parametri. Il nostro sistema da controllare sarà sempre lo stesso anche perché dobbiamo riutilizzare i dati raccolti dall’analisi sul controllo effettuata precedentemente. Il sistema rimane dunque quello riportato in figura, ovvero:

( )

( )( ) ( ) ( )

3 418603 418603 41860

3 41860H s

s F s C s H s xs

C s x

⎧ =⎪ + ⇔ = ⋅ = ⋅⎨ +⎪ =⎩

Disturbo applicato sulla misurazione dell’uscita Procediamo dunque ad analizzare cosa succede all’uscita a regime quando questa, prima di essere reinserita nella catena diretta dalla catena di retroazione, viene alterata da un disturbo del tipo descritto. Questa tipologia di disturbo rappresenta il classico errore commesso dai sensori di rilevamento dell’uscita, noi stiamo ipotizzando che in questo caso l’errore in questione scali di netto tutte le uscite monitorate dal sistema di un valore costante, vogliamo vedere come ridurre a zero questo disturbo. Lo schema riportato accanto mostra la nostra situazione. Analizziamo dunque la relazione che lega le variabili in gioco:

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R s Y s D s C s H s Y s R s Y s D s C s H s Y s

R s C s H s Y s C s H s D s C s H s Y s− + ⋅ ⋅ = ⇒ − − ⋅ ⋅ = ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

Procediamo a calcolare la risposta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

1

1 1 1

R s C s H s Y s C s H s D s C s H s Y sR s C s H s D s C s H s Y s Y s C s H s

R s C s H s D s C s H s Y s C s H sR s C s H s D s C s H s R s D s C s H sY s C s H s R s D s


⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ −

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

Analizziamo la risposta a regime (l’ingresso sarà sempre lo stesso in quanto il meccanismo di controllo dell’uscita non deve variare):

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]0 0

0 0

11

3 41860 3 418603 41860 3 418603 41860 3 418601 1

3 41860 3 41860

lim lim lim

lim lim lim

t s s

s s s

C s H sY s R s D sC s H sC s H s y y t s Y s s R s D s

C s H sR s

s

x xs sd ds s

s s s sx xs s

τ

τ τ

∞ →+∞ → →

→ →

⎧ ⋅= ⋅ −⎪ ⋅⎪ + ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ − =⎨ + ⋅⎪ =⎪⎩

⋅ ⋅+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ⋅ + ⋅+ +

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

3 418603 418603 4186013 41860

3 418603 41860 3 41860 3 41860

3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 418603 41860

1 1

lim lims s

xsd

xs

xs x xd d d

s x s x xs

x x ddx x

τ

τ τ τ

ττ

→

→ →

⋅+

− ⋅ =⋅

++

⋅+ ⋅ ⋅

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ =+ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

+

⋅ −= − ⋅ =

+ +

Come al solito la condizione da imporre è: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

11

x dy x d x x x d x x x d x x dx

x d xd

ττ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

ττ

∞

⋅ −= ⇒ = ⇒ ⋅ − = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒

+

⋅ − = ⇒ = −



Mediante l’imposizione di questo valore otteniamo l’uscita desiderata ed il controllo prosegue, questo disturbo in sostanza può essere facilmente attenuato.

Disturbo applicato dopo il nodo di confronto Questa volta il disturbo si localizza subito dopo il nodo di confronto nella catena diretta del sistema di controllo. Il diagramma a blocchi ne mostra l’ubicazione. Un disturbo di questo tipo è un disturbo che, praticamente, si riflette in un errore nella misurazione dell’errore, tale disturbo, essendo a gradino, fa scalare di una unità fissa i valori dell’errore calcolato. Procediamo come fatto fino ad ora e calcoliamo la legge che regolamenta il sistema:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R s Y s D s C s H s Y s R s C s H s Y s C s H s D s C s H s Y s− + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = Calcoliamo dunque l’uscita: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

1

1 1 1

R s C s H s D s C s H s Y s Y s C s H s

R s C s H s D s C s H s Y s C s H sR s C s H s D s C s H s R s D s C s H sY s C s H s R s D s


⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

Notiamo delle analogie con la situazione precedente, procediamo al calcolo del regime:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]0 0

0 0

11

3 41860 3 418603 41860 3 418603 41860 3 418601 1

3 41860 3 41860

lim lim lim

lim lim lim

t s s

s s s

C s H sY s R s D sC s H sC s H s y y t s Y s s R s D s

C s H sR s

s

x xs sd ds s

s s s sx xs s

τ

τ τ

∞ →+∞ → →

→ →

⎧ ⋅= ⋅ +⎪ ⋅⎪ + ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ + =⎨ + ⋅⎪ =⎪⎩

⋅ ⋅+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ⋅ + ⋅+ +

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

3 418603 418603 4186013 41860

3 418603 41860 3 41860 3 41860

3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 418603 41860

1 1

lim lims s

xsd

xs

xs x xd d d

s x s x xs

x x ddx x

τ

τ τ τ

ττ

→

→ →

⋅+

+ ⋅ =⋅

++

⋅+ ⋅ ⋅

= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ =+ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

+

⋅ += + ⋅ =

+ +

Imponiamo il valore desiderato: ( ) ( ) ( ) ( )11

x dy x d x x x d x x x d x x dx

x d xd

ττ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

ττ

∞

⋅ += ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ + − = ⇒

+

⋅ = ⇒ =

Anche questo disturbo può dunque essere facilmente gestito.

Disturbo applicato fra il controllore ed il sistema Vediamo adesso cosa accade all’uscita se il disturbo si posizione tra il controllore ed il sistema. Questa situazione è praticamente traducibile in errori di misurazione effettuati proprio all’uscita del controllore (nel nostro caso un semplice guadagno). La situazione descritta è rappresentata dal diagramma qui accanto. Vogliamo vedere se un disturbo a gradino può essere attenuato agendo sempre proprio sul guadagno del controllore. Procediamo come sempre a determinare la relazione che lega le variabili:

( ) ( )[ ] ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R s Y s C s D s H s Y s R s C s Y s C s D s H s Y s

R s C s Y s C s D s H s Y s R s C s H s Y s C s H s D s H s Y s

− ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒

⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

Calcoliamo l’uscita: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11

R s C s H s Y s C s H s D s H s Y s R s C s H s D s H s Y s Y s C s H sR s C s H s D s H sR s C s H s D s H s Y s C s H s Y s

C s H s

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ =

+ ⋅

Possiamo procedere al calcolo dell’uscita a regime:



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0

0 0

11

3 41860 3 41860 3 41860 3 418603 41860 3 41860 3 41860 3 41

3 4186013 41860

lim lim lim

lim lim

t s s

s s

R s C s H s D s H sY sR s C s H s D s H sC s H s y y t s Y s s

C s H sR s

sd dx s x s

s s s s s s s ssx

s

τ

τ τ

∞ →+∞ → →

→ →

⎧ ⋅ ⋅ + ⋅=⎪ ⋅ ⋅ + ⋅⎪ + ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ =⎨ + ⋅⎪ =⎪⎩

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ + + +

= ⋅ =+ ⋅

+

0 0 0

8603 418601

3 418603 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 41860

3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 418603 41860 3 41860 3 418601 1 13 41860 3 41860 3 41860

lim lim lims s s

xs

x d x dx ds s s s s

x x xs s s

x

τ ττ

τ

→ → →

=+ ⋅

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ++ + + + +

= = = =⋅ ⋅ ⋅

+ + ++ + +

⋅ ⋅

=

3 41860 3 41860 3 41860 3 418603 41860 3 41860 3 41860 3 41860

3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 3 41860 113 41860 3 41860

d x dx d x d

x x x x

ττ τ

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

= = =⋅ + ⋅ + ⋅ ++

Procediamo con l’imposizione e risolvendo in x:

( )11

x d x d x x d x d dx

τ τ τ τ τ τ τ τ τ⋅ += ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + = + ⋅ ⇒ = ⇒ =

+

Questo, fino ad ora, si è dimostrato il caso più semplice.

Applicazione simultanea dei tre disturbi Quello che ci proponiamo di fare, in questa ultima parte, è analizzare che cosa accade all’uscita quando i tre disturbi prima citati ed analizzati, vengono applicati simultaneamente. Grazie all’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti di Fourier possiamo utilizzare i calcoli fatti in precedenza e dunque calcolare l’uscita a regime come somma dei tre regimi fino ad ora calcolati. Il diagramma sotto riportato mostra la situazione descritta:

Quindi possiamo calcolare il nuovo regime mediante una semplice somma:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

x d x d x d x d x d x dyx x x x

τ τ τ τ τ τ∞

⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ += + + =

+ + + +

Anche qui imponiamo lo stesso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

12 2

2

x d x d x dy x d x d x d xx

x x d x x d x d x x x d x d x ddx

τ τ ττ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τττ

∞

⋅ − + ⋅ + + ⋅ += ⇒ = ⇒ ⋅ − + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⇒

+⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒

−=

Come si vede anche in questo caso riusciamo ad attenuare il disturbo.

Conclusioni finali

In questo punto finisce la nostra analisi. Il modello termico è stato pienamente studiato a fondo nei suoi comportamenti e caratteristiche.




PAG. 1: ANALISI PROBLEMA PAG. 1: COMPOSIZIONE DEL SISTEMA PAG. 1: DETERMINAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL MODELLO PAG. 2: CARATTERISTICHE PRINCIPALI DEL MODELLO PAG. 2: ANALISI DEI DEGLI STATI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA PAG. 2: ANALISI DELLA CONTROLLABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 3: ANALISI DELL’OSSERVABILITÀ DEL SISTEMA PAG. 3: FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA PAG. 3: ANALISI DELLE RISPOSTE DEL SISTEMA AD INGRESSI CANONICI

PAG. 3: RISPOSTA LIBERA PAG. 4: RISPOSTA CON INGRESSO IMPULSIVO PAG. 4: RISPOSTA CON INGRESSO A GRADINO PAG. 5: RISPOSTA CON INGRESSO COSTANTE PAG. 5: RISPOSTA CON INGRESSO ESPONENZIALMENTE CRESCENTE PAG. 6: RISPOSTA CON INGRESSO SINUSOIDALE

PAG. 7: ANALISI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA E RELATIVI TRACCIAMENTI PAG. 8: SELEZIONE DALLA CLASSE DI MODELLI PAG. 9: CONTROLLO SUL SISTEMA PAG. 10: ANALISI DEI DISTURBI

PAG. 11: DISTURBO APPLICATO SULLA MISURAZIONE DELL’USCITA PAG. 12: DISTURBO APPLICATO DOPO IL NODO DI CONFRONTO PAG. 12: DISTURBO APPLICATO FRA IL CONTROLLORE ED IL SISTEMA PAG. 13: APPLICAZIONE SIMULTANEA DEI TRE DISTURBI

PAG. 13: CONCLUSIONI FINALI




Data creazione: 15/06/2007 10.02.00


Percorso: Modello termico (completato).docx


Numero revisione: 6



Note: NONE

Andrea Tino

Automation Engineering: Solved Models - Raccolta di modelli risolti

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