I SIMULATORI QUANTISTICI - infn.it alcuni elementi di teoria dell’informazione quantistica che...

UNIVERSITA DEGLI STUDI DELL’INSUBRIA

DIPARTIMENTO DI SCIENZE E ALTA TECNOLOGIA

COMO

ANNO ACCADEMICO 2016-2017

LAUREA TRIENNALE IN FISICA

I SIMULATORI QUANTISTICI

AUTORE: RELATORE:

Stefano Capelli Prof. Giuliano BenentiUniversita degli Studi dell’Insubria

1

Ai miei nonni Giuseppe e Luciano

Indice

1 Introduzione 41.1 Cenni di teoria dell’informazione quantistica . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Complessita di un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Il qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Le porte logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Classificazione dei simulatori quantistici . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 I simulatori quantistici digitali 92.1 Considerazioni sull’efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Preparazione dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Operatore di evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Simulazione dell’equazione di Schrodinger per un sistema di singo-la particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Misura di proprieta fisiche dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1 La fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Le funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Stima degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 I simulatori quantistici analogici 163.1 Caratteristiche generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Il problema della decoerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Modelli fisici proposti come AQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Atomi neutri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Ioni intrappolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.3 Spin elettronici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.4 Circuiti superconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.5 Fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.6 Spin nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Transizione di fase quantistica in un gas di atomi freddi 224.1 Cenni teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Osservazione della transizione di fase . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

INDICE 3

5 Conclusioni 275.1 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Prospettive future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliografia 29

Ringraziamenti 30

Capitolo 1

Introduzione

Simulare l’evoluzione dei sistemi fisici puo essere utile per lo studio di svariatifenomeni. Tuttavia la simulazione di un sistema quantistico a molti corpi puoessere compito particolarmente complicato da svolgere con un calcolatore classico.Per esempio per rappresentare lo stato di un sistema di n particelle a spin 1/2 conun calcolatore sono necessari 2n numeri complessi. Di conseguenza, poiche lerisorse richieste scalano esponenzialmente con il numero di particelle, lasimulazione non puo essere svolta in modo efficiente da un algoritmo classico.Una possibile soluzione al problema e stata proposta da Feynman nel 1982: eglipensava infatti che il miglior modo per simulare un sistema quantistico fosseutilizzare un altro sistema quantistico. Infatti in tal modo lo stato del sistemasarebbe codificato in soli n qubit, e la crescita delle risorse di memoria necessariescala solo linearmente con il numero di particelle, e non esponenzialmente comenel caso classico.Prima di procedere con la trattazione dei simulatori quantistici verranno introdottialcuni elementi di teoria dell’informazione quantistica che verranno utilizzati esara introdotta la nomenclatura usata in seguito.

1.1 Cenni di teoria dell’informazione quantistica

1.1.1 Complessita di un problemaLa complessita di un problema e legata alle risorse necessarie per risolverlo intermini di che di spazio (memoria), di tempo e di energia. Piu precisamente, se nindica la dimensione dell’input del problema (ovvero il numero di bit necessari perspecificarlo), i problemi possono essere divisi in due categorie:

• se il problema puo essere risolto mediante un algoritmo che richiede risorseche dipendono dalla dimensione dell’input in modo polinomiale (cioerichiede un numero di operazioni dell’ordine O(nα), con α reale e positivo)

4

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 5

diciamo che il problema e trattabile e puo essere risolto in manieraefficiente;

• se invece il problema richiede risorse che dipendono in manieraesponenziale dalla dimensione dell’input (ovvero il numero di operazioninecessarie e O(exp(nα)), dove α e ancora un numero reale positivo) ilproblema e non trattabile e non puo essere risolto in modo efficiente.

1.1.2 Il qubitL’elemento di informazione quantistica e il qubit, ovvero un sistema quantistico adue livelli, solitamente indicati con |0〉 e |1〉. Questi due stati prendono il nome dibase computazionale: sono per esempio una base di autostati della matrice di Pauliσz per lo spazio di Hilbert H 2 degli stati di un sistema a due livelli. A differenzadella loro controparte, il bit, che puo assumere solo i valori 0 o 1, il qubit puoessere in uno stato di sovrapposizione di |0〉 e |1〉. Lo stato generico di un qubit equindi

|ψ〉= α |0〉+β |1〉 (1.1)

con la condizione di normalizzazione

|α|2 + |β|2 = 1. (1.2)

Affinche un sistema a due livelli possa essere utilizzato come qubit deve soddisfarealcune richieste:

• deve poter essere preparato in uno stato ben determinato, detto statofiduciale (per esempio nello stato |0〉);

• deve poter essere trasformato in un altro stato mediante trasformazioniunitarie;

• deve essere possibile fare una misura nella base computazionale, da cui puoessere estratta l’informazione contenuta nel qubit.

1.1.3 Le porte logicheLe trasformazioni sui qubit sono rappresentate da matrici unitarie, in quantodevono preservare la condizione di normalizzazione dello stato. Nel dire questostiamo assumendo che il nostro calcolatore sia ideale: infatti trascuriamo eventualiinterazioni con l’ambiente circostante ed effetti di decoerenza (che sarannodiscussi piu avanti). Questi potrebbero avere effetti non lineari e non unitari sullostato, e quindi violare la normalizzazione dello stato stesso.Si puo dimostrare che una generica trasformazione su un sistema di n qubit (chesara quindi rappresentata da una matrice unitaria di dimensioni 2n×2n) puo esserescomposta in operazioni piu semplici che agiscono su un singolo qubit o su una


coppia di qubit. Tali operazioni vengono implementate mediante le porte logicheuniversali.Le porte logiche universali sono la porta di Hadamard e il phase-shift (cheagiscono su un singolo qubit) e il CNOT o controlled-NOT (che agisce invece suuna coppia di qubit). In figura 1.1 si puo osservare la rappresentazione circuitale diqueste porte.

Figura 1.1: Rappresentazione circuitale delle porte logiche quantistiche universali:Hadamard (a sinistra), phase-shift (in centro) e CNOT (a destra). In questo tipo dirappresentazione il qubit e rappresentato da una linea; nel CNOT il qubit di control-lo e quello indicato col pallino pieno, mentre il qubit bersaglio e quello indicato dalpallino vuoto con la croce.

Se consideriamo i vettori della base computazionale |0〉 e|1〉 descritti sopra, larappresentazione matriciale della porta di Hadamard e

H =1√2

(1 11 −1

)(1.3)

e trasforma gli stati della base |0〉 e |1〉 nella nuova base

|+〉 ≡ H |0〉= 1√2(|0〉+ |1〉) |−〉 ≡ H |1〉= 1√

2(|0〉− |1〉) . (1.4)

Si noti che H e hermitiana e autoinversa, ovvero H2 = I.Il phase-shift agisce aggiungendo una fase δ solo se il qubit nello stato |1〉. La suarappresentazione matriciale e

Rz(δ) =

(1 00 eiδ

). (1.5)

Il CNOT agisce sul secondo qubit (il qubit bersaglio) se e solo se il primo qubit dicontrollo e nello stato |1〉. Usando come base gli stati

|0〉= |00〉=

1000

|1〉= |01〉=

0100

|2〉= |10〉=

0010

|3〉= |11〉=

0001

,

(1.6)


la sua rappresentazione matriciale e

CNOT =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

. (1.7)

Un tipo di porte logiche molto utili sono le controlled-A, dove A e un genericooperatore unitario che agisce su un registro di n qubit. Queste porte si comportanoin modo molto simile al CNOT: infatti c’e un qubit di controllo e un registro diqubit bersaglio. L’operatore A viene applicato al registro di qubit bersaglio se esolo se il qubit di controllo si trova nello stato |1〉. In figura 1.2 si puo osservare lasua rappresentazione circuitale.

Figura 1.2: Rappresentazione circuitale dell’operazione controlled-A. La lettera nsulla seconda linea indica che invece di un singolo qubit essa rappresenta un registrodi n qubit.

1.2 Classificazione dei simulatori quantisticiIl simulatore quantistico e un sistema quantistico controllabile (ovvero per cui epossibile variare in laboratorio alcuni parametri) usato per simulare altri sistemiquantistici. Tali simulatori possono essere molto utili per riprodurre sistemi piucomplessi e quindi difficili da manipolare direttamente o per studiare fenomeni chenon sono facilmente accessibili in laboratorio.Dato quindi un sistema descritto dall’operatore hamiltoniano Hsys, lo scopo edeterminare l’evoluzione dello stato |ϕ〉, determinata dall’equazione diSchrodinger

ihddt|ϕ〉= Hsys |ϕ〉 . (1.8)

Il metodo da seguire consiste nel mappare lo stato |ϕ〉 in uno stato |ψ〉 del sistemache usiamo come simulatore, che e invece descritto dall’operatore hamiltonianoHsim. Se siamo quindi in grado di realizzare in modo efficiente lo stato iniziale e la


mappa che determina la relazione tra gli stati |ϕ〉 e |ψ〉, a patto di essere in grado diriprodurre in laboratorio l’evoluzione del sistema descritto da Hsim e di potermisurare quantita fisicamente rilevanti dello stato |ψ〉, il sistema puo quindi esseresimulato efficientemente.Si possono quindi distinguere due tipi di simulatori quantistici:

• i simulatori quantistici digitali (DQS), che possono riprodurre un algoritmoquantistico per simulare un altro sistema. Un esempio di DQS sono icomputer quantistici, che sono dei simulatori universali (possono cioeriprodurre qualsiasi sistema);

• i simulatori quantistici analogici (AQS),cioe dei sistemi quantistici che nereplicano altri. Per esempio con un gas di bosoni in un reticolo ottico 3D sipuo simulare la transizione di fase quantistica da superfluido a isolante diMott. In genere questi non sono simulatori universali, e possono quindisimulare solo una classe limitata di sistemi.

Capitolo 2

I simulatori quantistici digitali

In questo capitolo verranno brevemente trattati i simulatori quantistici digitali(DQS), in particolare della simulazione dinamica di un sistema su un calcolatorequantistico. Si comincia con considerazioni sull’efficienza nella preparazione dellostato iniziale e dell’operatore hamiltoniano del sistema. Si prosegue descrivendol’algoritmo che simula l’evoluzione di un sistema di singola particella mediantel’equazione di Schrodinger. Infine si tratta il problema di estrarre informazioni utilidallo stato del calcolatore e come stimare gli errori dovuti alle approssimazioniutilizzate.

2.1 Considerazioni sull’efficienza

2.1.1 Preparazione dello statoPer poter simulare in modo efficiente l’evoluzione di un sistema con un DQSbisogna essere in grado non solo di realizzare efficientemente l’algoritmo cheesegue l’evoluzione temporale dello stato, ma anche di preparare lo stato stesso.Tuttavia in generale la preparazione di uno stato generico non puo essere fatta inmodo efficiente.Infatti lo stato generico di un sistema con n qubit puo essere scritto

|ψ〉=2n−1

∑j=0

a j | j〉 (2.1)

dove gli a j sono numeri complessi tali che

2n−1

∑j=0|a j|2 = 1

per la normalizzazione. Per preparare un generico stato |ψ〉 bisogna quindispecificare 2n−1 numeri complessi (infatti poiche in meccanica quantistica le fasi

9

CAPITOLO 2. I SIMULATORI QUANTISTICI DIGITALI 10

globali non hanno alcun significato fisico uno dei coefficienti puo esserearbitrariamente preso reale positivo, e il suo valore e vincolato dallanormalizzazione dello stato), e questo richiede un numero di operazioni che scalaesponenzialmente con n.Tuttavia, sebbene uno stato generico non possa essere preparato efficientementequesto non vuol dire che molti stati utili dal punto di vista fisico non possanoessere preparati in modo efficiente. Per esempio lo stato di uguale sovrapposizione

|ψ〉= 1n√

2

2n−1

∑j=0| j〉 (2.2)

puo essere preparato con l’applicazione di n porte di Hadamard allo stato fiduciale|00 . . .0〉.

2.1.2 Operatore di evoluzione temporaleUn altro importante elemento per la simulazione di un sistema con un DQS edefinire un algoritmo che riproduca l’evoluzione temporale U dello stato delsistema. Come gia accennato nell’introduzione, ogni generico operatore puo essereriprodotto utilizzando solo le porte logiche universali. Si puo pero dimostrare cheil numero di porte necessarie per riprodurre un generico operatore unitario cheagisca su n qubit cresce esponenzialmente con le dimensioni del sistema.Tuttavia anche in questo caso l’operatore di evoluzione di molti sistemi di interessefisico puo essere implementato efficientemente. Per esempio la riproduzionedell’evoluzione di un oscillatore armonico richiede O(n2) porte logiche. Piu ingenerale l’implementazione di sistemi governati da potenziali analitici puo esserefatta con algoritmi efficienti, sebbene sia richiesto l’utilizzo di qubit ausiliari.

2.2 Simulazione dell’equazione di Schrodinger per unsistema di singola particellaVogliamo adesso simulare l’evoluzione di un sistema quantistico composto da unaparticella di massa m. L’evoluzione dinamica e determinata dall’equazione diSchrodinger

ih∂

∂tψ(x, t) = Hψ(x, t) (2.3)

dove

H = H0 +V (x) =− h2

2m∂2

∂x2 +V (x) (2.4)

e l’operatore hamiltoniano del sistema: H0 rappresenta il termine cinetico dellaparticella mentre V (x) e il potenziale a cui essa e soggetta.


Poiche x e t sono variabili continue per simulare il sistema su un calcolatore con nqubit dobbiamo innanzitutto discretizzarle. Supponiamo che il moto dellaparticella avvenga in una regione limitata, ovvero −d ≤ x≤ d: discretizziamo laregione dividendola in 2n intervalli di lunghezza ∆ = 2d/2n. A questo puntoconsideriamo

xi =−d +(i+12) (2.5)

dove xi e il punto medio dell’i-mo intervallo: ad ogni xi corrispondera quindi unostato |i〉= |in−1〉 |in−2〉 . . . |i1〉 |i0〉 della base computazionale, dove

∣∣i j⟩

rappresentalo stato del j-mo qubit. La funzione d’onda che meglio aprrossima ψ(x, t) nelsistema discretizzato sara quindi

|ψ(t)〉= 1N

2n−1

∑i=0

ψ(xi, t) |i〉 (2.6)

dove

N =

√√√√2n−1

∑i=0|ψ(xi, t)|2 (2.7)

e un fattore che garantisce la normalizzazione dello stato |ψ(t)〉.L’evoluzione di un intervallo di tempo ε dello stato e data da

ψ(x, t + ε) =Uψ(x, t) = e−ih Hε

ψ(x, t). (2.8)

Se scegliamo ε abbastanza piccolo possiamo utilizzare la scomposizione di Trotterper semplificare l’operatore di evoluzione temporale

U = e−ih Hε = e−

ih [H0+V (x)]ε ≈ e−

ih H0εe−

ihV (x)ε. (2.9)

Questa scomposizione sarebbe esatta se H0 e V (x) commutassero. Tuttavia poichenel caso generale si ha [H0,V (x)] 6= 0 l’approssimazione e esatta solo fino a terminidi ordine ε2. L’idea e quindi di ottenere l’evoluzione del sistema applicando questooperatore un certo numero di volte (che dipende da ε e dal tempo t che vogliamoraggiungere).Notiamo innanzitutto che l’operatore V (x) nella rappresentazione x e diagonale.L’operatore H0 puo invece essere scritto come

H0 =p2

2m, (2.10)

notando che p =−ihd/dx e la variabile coniugata a x, legata a quest’ultimamediante la trasformata di Fourier. Poiche la trasformata di Fourier eun’operazione che puo essere svolta in modo efficiente da un calcolatorequantistico (il circuito che schematizza l’algoritmo e mostrato in figura 2.1) e H0


ha una rappresentazione diagonale nello spazio dei momenti, possiamo scriverel’operatore di evoluzione temporale approssimato

U ≈ F−1eip22mh εFe−

ihV (x)ε (2.11)

dove F e la trasformata di Fourier.

Figura 2.1: Rappresentazione circuitale della trasformata di Fourier. Ogni linea rap-presenta un qubit, e i qubit sono ordinati dal piu significativo al meno significativoandando dall’alto al basso (un qubit e piu significativo di un altro se la sua varia-zione determina una variazione maggiore dell’intero rappresentato dalla sequenzadi qubit in notazione binaria). Le porte si applicano da sinistra verso destra: le Hsono porte di Hadamard mentre le R j sono controlled phase-shift di una fase 2π/2 j.Alla fine i qubit vanno reindicizzati affinche lo stato finale sia effettivamente latrasformata di Fourier dell’input (fonte: [2], Benenti, Strini).

L’operatore di evoluzione temporale e stato quindi scomposto in una trasformata diFourier con la sua inversa e in due operatori diagonali della forma

|x〉 → ei f (x) |x〉 . (2.12)

Questi ultimi generalmente richiedono O(2n) porte logiche, tuttavia se la funzionef (x) e regolare tali operatori possono essere implementati efficientemente.

2.3 Misura di proprieta fisiche dello statoLo stato del sistema non e una grandezza direttamente accessibile. Supponiamoche dopo aver operato l’evoluzione temporale il sistema sia nello stato descritto da2.6. Una misura sulla base computazionale dara come risultato lo stato |i〉 conprobabilita

Pi =|ψ(xi, t)|2

N 2 . (2.13)


Per ricostruire la distribuzione di probabilita dello stato (che e determinata da|ψ(x, t)|2) quindi non e sufficiente una sola misura. Se facciamo M misurepossiamo comunque ricostruire tale distribuzione: supponiamo di ottenere per Mivolte lo stato |i〉. Allora in base all’equazione 2.13 possiamo stimare

|ψ(xi, t)|2 = N 2 Mi

M. (2.14)

Questo metodo tuttavia richiede un gran numero di esecuzioni dell’algoritmo disimulazione del sistema: il guadagno esponenziale dovuto al calcolo quantisticoviene cosı vanificato dal dover effettuare un numero troppo alto di misure.Conviene quindi trovare altre proprieta dello stato (sfruttando per esempiol’interferenza) che possano essere ottenute effettuando una singola misura.

2.3.1 La fidelityUna quantita di particolare interesse e la fidelity di uno stato, definita come

f (t) = | 〈ψ0|U†ε (t)U(t)|ψ0〉 |2 (2.15)

dove |ψ0〉 e lo stato iniziale preparato, U(t) e l’operatore di evoluzione temporaledel sistema e U†

ε e l’operatore temporale di un sistema leggermente perturbato. Lafidelity quindi e quindi il modulo quadro della proiezione sullo stato iniziale delsistema di uno stato ottenuto prima eseguendo l’evoluzione temporale del sistemanon perturbato, e poi facendo l’evoluzione all’indietro con la dinamica del sistemaperturbato. Questa quantita ci dice se una piccola perturbazione influisce in modotrascurabile o no sull’evoluzione del sistema dallo stato iniziale |ψ0〉.Se siamo in grado di implementare efficientemente Uε e U la fidelity puo esseremisurata in modo efficiente. Per farlo abbiamo bisogno di un qubit ausiliario, cheprepariamo nello stato |0〉; dobbiamo inoltre introdurre l’operatore

W =U†ε (t)U(t). (2.16)

Il circuito per misurare la fidelity f (t) e mostrato in figura 2.2: si applica dapprimauna porta di Hadamard al qubit ausiliario, si procede poi con un controlled-W einfine si applica un’altra porta di Hadamard al primo qubit. Partendo dallo stato|0〉 |ψ0〉 infatti si puo mostrare che lo stato finale del sistema e

12[(|0〉+ |1〉) |ψ0〉+(|0〉− |1〉)W |ψ0〉] . (2.17)

I valori di aspettazione delle matrici di Pauli σz e σy misurati sul qubit ausiliariosono

〈σz〉= Re [〈ψ0|W |ψ0〉] 〈σy〉= Im [〈ψ0|W |ψ0〉] , (2.18)

e quindi si puo calcolare la fidelity

f (t) = 〈σz〉2 + 〈σy〉2. (2.19)


Figura 2.2: Circuito che permette di calcolare la fidelity. La prima linea rappre-senta il qubit ausiliario, inizialmente preparato nello stato |0〉, mentre la secondarappresenta il registro di n qubit inizialmente preparato nello stato |ψ0〉.

2.3.2 Le funzioni di correlazioneAltre proprieta del sistema interessanti dal punto di vista fisico sono le funzioni dicorrelazione. In generale funzioni di correlazione del tipo

C(t) = 〈ψ0|A†(t)B(0)|ψ0〉= 〈ψ0|U†(t)A†(0)U(t)B(0)|ψ0〉 (2.20)

possono essere misurate efficientemente, posto che U(t), A† = A†(0) e B = B(0)possano essere implementate in mondo efficiente. Procedendo in maniera analogaal caso della fidelity, si puo misurare C(t) con il circuito rappresentato in figura2.3. Infatti si osserva che i valori di aspettazione delle matrici di Pauli σx e σy sono

〈σx〉= Re[〈U†(t)AU(t)B〉

]〈σy〉= Im

[〈U†(t)AU(t)B〉

](2.21)

e quindi la funzione di correlazione C(t) e

〈U†(t)AU(t)B〉= 〈σx〉+ i〈σy〉= 2〈σ+〉. (2.22)

Si osserva infine che sostituendo l’operatore di evoluzione temporale U(t) conoperatori di traslazione spaziale con lo stesso metodo e possibile ottenere funzionidi correlazione spaziale.

2.4 Stima degli erroriCome gia detto nei paragrafi precedenti per poter effettuare in modo efficiente lasimulazione di un sistema dobbiamo essere in grado di implementareefficientemente gli algoritmi che riproducono l’operatore hamiltoniano. Affinchequesto sia possibile si richiede che il sistema sia sottoposto a interazioni locali,ovvero che l’hamiltoniano sia del tipo

H =l

∑j=1

H j (2.23)


Figura 2.3: Circuito che permette di misurare la funzione di correlazione C(t). Laprima linea rappresenta il qubit ausiliario, mentre la seconda rappresenta invece ilregistro di n qubit in cui e codificato lo stato |ψ0〉. Il pallino bianco posto soprala porta A† indica che a differenza del controlled-A† la porta agisce applicandol’operatore A† quando il qubit di controllo e nello stato |0〉 invece che |1〉.

dove gli operatori H j agiscono solo su un numero di varibili del sistema minore delnumero n di particelle che lo compone. Sebbene il numero massimo lmax dioperatori necessari a ricreare H e dato dal coefficiente binomiale

lmax =

(nk

), (2.24)

se consideriamo interazioni a corto raggio che coinvolgono solo i primi viciniquesto numero e circa dell’ordine di n.La scomposizione di Trotter usata per eseguire l’evoluzione temporale di uno statodel sistema generalmente introduce degli errori: se dividiamo l’evoluzione delsistema dopo un tempo t in nt intervalli di tempo δt, la formula di Trotter ci diceche

e−ih Ht =

(e−

ih H1δt . . .e−

ih Hlδt

)nt+

t2

2nt∑i> j

[Hi,H j]++∞

∑p=3

E(p) (2.25)

dove gli errori E(p) sono tali che

‖E(p)‖sup ≤nt

p!‖Hδt‖p

sup, (2.26)

essendo ‖A‖sup la norma dell’operatore A. Quindi se vogliamo ridurre gli errori alsecondo ordine sotto un valore di soglia ε e sufficiente scegliere un valore di ntabbastanza grande: infatti si ha che ε∼ t2/nt e di conseguenza il valore di nt dioperazioni necessarie e

nt ∼t2

ε. (2.27)

Capitolo 3

I simulatori quantistici analogici

In questo capitolo vengono trattati i simulatori quantistici analogici (AQS): sianalizzano innanzitutto le caratteristiche generali che vengono richieste ad unsistema usato come simulatore. Viene poi brevemente trattato il problema delladecoerenza di un sistema. Infine vengono descritti alcuni dei principali modelliproposti per la realizzazione di AQS.

3.1 Caratteristiche generaliUn simulatore quantistico analogico e un sistema quantistico che ne imita un altro.Se indichiamo con Hsys e Hsim gli operatori hamiltoniani rispettivamente delsistema che si vuole studiare e del sistema simulatore, il nostro obiettivo, come eragia stato detto nell’introduzione, e trovare una trasformazione f che stabilisca unarelazione tra gli stati dei due sistemi. Indicando con |ϕ〉 gli stati del sistema di cuisiamo interessati e con |ψ〉 gli stati del sistema simulatore, abbiamo che

|ψ〉= f |ϕ〉 (3.1)

Hsim = f Hsys f−1. (3.2)

In generale il sistema simulatore non riproduce tutte le caratteristiche dinamichedel sistema di interesse: la trasformazione f va scelta in base alle proprieta chesiamo interessati a osservare (per esempio l’evoluzione dinamica dello statofondamentale o una transizione di fase quantistica).Per poter sfruttare le potenzialita di un AQS dobbiamo bisogno di un sistema chepossieda determinati requisiti:

• accessibilita: per essere in grado di ottenere risultati utili da una simulazionebisogna poter effettuare delle misure precise e affidabili del sistemariprodotto in laboratorio;

• scalabilita: il sistema deve poter essere riprodotto anche su grandi scale,spesso con un gran numero di particelle. Come vedremo, questo e unproblema comune a quasi tutti i sistemi proposti come AQS;

16

CAPITOLO 3. I SIMULATORI QUANTISTICI ANALOGICI 17

Figura 3.1: Schema che rappresenta graficamente la trasformazione che lega ilsistema simulato al simulatore (fonte: [4], Georgescu et al.).

• controllo dei parametri: per poter osservare alcune determinate proprieta delsistema dobbiamo essere in grado di controllare in laboratorio i parametriche caratterizzano il nostro simulatore. Generalmente questo e possibile conl’utilizzo di laser o variando i campi esterni che influiscono sull’interazionetra le particelle.

A differenza dei DQS trattati nel capitolo precedente, gli AQS non sono simulatoriuniversali: infatti un particolare sistema puo simulare solo una classe ristretta disistemi o fenomeni di interesse. Tuttavia trattandosi di sistemi fisici concreti lamisura delle proprieta del sistema puo essere effettuate direttamente su questo,mentre nel caso dei DQS lo stato andava manipolato attraverso algoritmi per potertrarne informazioni utili.

3.2 Il problema della decoerenzaUno dei problemi principali dei simulatori quantistici (come anche dei calcolatori)e quello della decoerenza: infatti ogni sistema quantistico e in qualche modoaccoppiato all’ambiente che lo circonda. E quindi importante mantenere ilsimulatore ben isolato dall’ambiente circostante, a prescindere dal fatto che siaanalogico o digitale.A differenza del caso dei calcolatori quantistici pero un simulatore analogicogeneralmente non richiede un’elevata precisione nel risultato: per alcuniesperimenti infatti siamo interessati solamente a osservare un determinatocomportamento del nostro sistema, come per esempio una transizione di fase, per


darne una descrizione qualitativa. Gli effetti della decoerenza quindi possonoessere meno determinanti rispetto a quelli che questa avrebbe su un DQS.Tuttavia dalla decoerenza possiamo anche ricavare informazioni utili: infattiosservando gli effetti dell’accoppiamento del sistema con l’ambiente e possibileelaborare modelli che descrivano come questa influisca sul sistema simulato. Peresempio se il simulatore viene influenzato meno dalla decoerenza rispetto alsistema che stiamo studiando possiamo aggiungere del rumore artificialmente perottenere effetti presumibilmente simili a quelli causati dall’interazione del sistemacon l’ambiente.Questo comunque non e sempre facile, in quanto l’interazione tra l’ambiente e ilsimulatore puo essere molto diversa da quello simulato. Trattare questo tipo diproblemi richiede molta attenzione, e si preferisce quindi cercare di ridurre il piupossibile le interazioni con l’ambiente che li circonda in modo da poternetrascurare gli effetti.

3.3 Modelli fisici proposti come AQSNegli ultimi anni sono stati proposti diversi modelli che potrebbero potenzialmentepermettere la costruzione di AQS in futuro. La maggior parte di questi e basatasulla fisica della materia condensata: infatti tali modelli si possono organizzare inreticoli i cui siti possono essere manipolati in svariati modi. In tabella 3.1 sonoriassunti i principali modelli proposti, descritti nei prossimi paragrafi, insieme ailoro punti di forza e di debolezza.

Tabella 3.1: Modelli proposti come AQS con punti di forza e di debolezza. Percontrollo individuale si intende la capacita di controllare e misurare ogni singoloqubit. Per scalabilita si intende la possibilita di creare array con almeno qualchedecina di qubit. Per tunability si intende la possibilita di ottenere particolari valoridei livelli dello spettro energetico.

Modello Punti di forza Punti di debolezza

Atomi neutri ScalabilitaControllo individuale

e misura

Ioni intrappolatiControllo individuale

e misura Scalabilita

Spin elettroniciControllo individualee misura, tunability Scalabilita

Circuiti superconduttoriControllo individualee misura, tunability Scalabilita

Fotoni Flessibilita Scalabilita

Spin nucleari (NMR)Tecnologia efficiente efacilmente disponibile

Scalabilita, controlloindividuale


3.3.1 Atomi neutriUno dei principali modelli proposti e quello composto da atomi neutri in unreticolo ottico, ovvero in cui i siti del reticolo sono ottenuti sfruttando le buche dipotenziale generate dall’interferenza di dispositivi laser. I reticoli ottici hanno ilpregio di permettere il controllo dei singoli siti modificando l’intensita, lafrequenza o la fase dei laser; inoltre si possono creare agevolmente reticoli convarie geometrie. Con questo metodo si possono realizzare sistemi sia bosonici chefermionici.Gli atomi neutri sono sistemi flessibili per cui e facile controllare diversi parametri,come ad esempio la probabilita di effetto tunnel, vari tipi di interazione tra leparticelle (che siano a lungo o corto raggio o tra primi vicini), potenziali nonuniformi o accoppiamento tra gli stati quantistici interni del sistema. Inoltre gliatomi nei reticoli ottici hanno interazioni con l’ambiente deboli, quindi i tempi dicoerenza (tempi in cui la coerenza quantistica non viene distrutta dall’interazionecon l’ambiente) di questi sistemi sono piuttosto lunghi, anche dell’ordine diqualche secondo.Tra i problemi legati a questo tipo di modelli c’e la difficolta di controllareindividualmente gli atomi nel reticolo. Infatti la distanza di separazione tra i sitidel reticolo (dell’ordine di qualche decimo di µm) e paragonabile alla migliorefocalizzazione dei raggi laser.

Figura 3.2: Esempi di modelli proposti come AQS: il disegno a sinistra rappresentaun sistema di atomi in un reticolo mentre il disegno a destra rappresenta un arraylineare di ioni (fonte: [4], Georgescu et al.).

3.3.2 Ioni intrappolatiUn’altra idea proposta per realizzare AQS e quella di utilizzare gli ioni. Questiinfatti possono facilmente essere raffreddati (solitamente mediante l’uso di laser) eintrappolati usando campi elettrici o magnetici. Essendo particelle cariche,l’interazione e dominata sopratutto dall’interazione coulombiana tra gli ioni stessi,


a differenza dei sistemi con atomi neutri, che sono caratterizzati da interazionimolto piu deboli. Come gli atomi neutri, questi sistemi sono caratterizzati dalunghi tempi di coerenza, dell’ordine di qualche secondo anche in questo caso.Le trappole per gli ioni sono generalmente ottenute mediante potenziali armonici,anche se non mancano modelli che involvono trappole anarmoniche. Gli stati degliioni vengono solitamente manipolati per mezzo di transizioni tra gli stati energeticiinterni o di transizioni tra gli stati interni energetici interni e quelli vibrazionali delreticolo di ioni.

3.3.3 Spin elettroniciUn altro modello interessante proposto come AQS e rappresentato dagli spinelettronici su punti quantici. I punti quantici sono sistemi di semiconduttori in cuile eccitazioni sono confinate in una piccola regione a una o due dimensioni. Sottoparticolari condizioni i punti quantici si comportano in modo simile agli atomi:infatti se le dimensioni di questa regione sono paragonabili alla lunghezza d’ondadei portatori di carica i livelli energetici sono quantizzati.Questo tipo di sistema e facilmente fabbricabile e consente una grande flessibilitanel controllo dei potenziali di confinamento degli elettroni. Inoltre sonocaratterizzati da lunghi tempi di coerenza, maggiori anche di qualche secondo. Ipunti quantici possono essere arrangiati in array con varie caratteristiche edimensioni, e la misura delle proprieta di interesse puo essere agevolmente fatta siacon metodi ottici che elettrici.Le interazioni principali in gioco sono di tipo coulombiano e hanno quindi unlungo raggio d’azione. Le interazioni possono essere comunque controllate emodificate applicando campi magnetici o variando la tensione applicata aisemiconduttori che compongono i punti quantici.

Figura 3.3: Esempio di array di punti quantici: alla piastra viene applicata unatensione per generare un gas bidimensionale di elettroni su questa (fonte: [4],Georgescu et al.).


3.3.4 Circuiti superconduttoriI circuiti superconduttori sono tra i piu promettenti metodi per codificarel’informazione quantistica. Possono tuttavia anche essere utilizzati come AQS.Questo tipo di sistemi puo essere progettato e costruito riproducendo con grandecura diverse caratteristiche, per esempio frequenze e forze di interazione. Iparametri del sistema possono essere facilmente controllati variando i campielettrici o magnetici esterni.Tuttavia i tempi di coerenza legati a questo modello sono molto piu piccoli diquelli considerati finora (l’ordine di grandezza si aggira sui 100µs). Inoltre lacoerenza non e stata verificata su sistemi di questo tipo con un numero abbastanzaelevato di qubit (sperimentalmente sono stati realizzati sistemi con 512 qubit, mala coerenza e stata testata solo su sistemi con una decina di qubit), quindi lascalabilita di questa implementazione lascia una questione ancora aperta.

3.3.5 FotoniL’applicazione dei fotoni al campo dell’informazione quantistica e un ambitomolto attivo al giorno d’oggi. Infatti i fotoni possono trasportare informazione sulunghe distanze in quanto vengono difficilmente influenzati da rumore e dalladecoerenza.Tuttavia anche in questo caso sono presenti dei problemi: infatti non si riesce acontrollare facilmente i fotoni, in quanto la loro propagazione attraverso un sistemadi filtri e in generale difficile da gestire. Inoltre la presenza di un certo numero difotoni rende difficile il loro controllo (questo problema si presenta gia con qualchedecina di fotoni), e questo ha una pesante influenza sulla scalabilita del sistema.

3.3.6 Spin nucleariUn ultimo modello proposto per la realizzazione di AQS sono gli spin nucleari.Questi sono manipolati mediante NMR (risonanza magnetica nucleare), il cuioperatore hamiltoniano puo essere scritto nella forma

H =−hγB∑i

Izi +∑

i> jJi jIz

i Izj (3.3)

dove γ e il rapporto giromagnetico dei nuclei, B e il campo magnetico esterno, I el’operatore momento angolare e Ji j sono i coefficienti delle interazioni spin-spin.Sebbene le frequenze di risonanza molto diverse che caratterizzano questi sistemipermettano di controllare le transizioni individuali delle singole particelle, iproblemi legati a questo modello non sono pochi. Infatti poiche l’affollamento deilivelli nello spettro energetico aumenta esponenzialmente con le dimensioni delsistema, il modello non puo essere utilizzato su grandi scale. Inoltre la mancanzadi flessibilita nel controllo del sistema e nella misura delle sue proprieta lo rendonopoco pratico come simulatore.

Capitolo 4

Transizione di fase quantistica in ungas di atomi freddi

In questo capitolo viene esaminato come esempio di AQS l’esperimento condottoda Greiner nel 2002, che vede l’utilizzo di un condensato di Bose-Einstein perstudiare la transizione di fase del sistema da superconduttore a isolante di Mott.Poiche la simulazione di un sistema come questo (con un numero di particelledell’ordine di 105) sarebbe impensabile con un calcolatore (gli algoritmi chepermetterebbero di farlo richiederebbero una grandissima quantita di risorse, chesiano classici i quantistici), lo studio di un simile sistema puo essere svoltoragionevolmente mediante un AQS.La trattazione comincia con una breve esposizione del modello teorico. Si passapoi ad una descrizione dell’apparato realizzato per l’esecuzione dell’esperimento.Infine vengono mostrate le procedure usate per misurare la coerenza del sistema e irisultati ottenuti.

4.1 Cenni teoriciUna transizione di fase quantistica e un fenomeno che si manifesta a unatemperatura pari allo zero assoluto (0 K): infatti a una tale temperatura non siosservano fluttuazioni termiche, mentre invece sono presenti fluttuazioniquantistiche, dovute essenzialmente al principio di indeterminazione diHeisenberg. Queste fluttuazioni talvolta possono condurre ad una transizione difase del sistema, che si puo manifestare anche con cambiamenti di caratteremacroscopico.Nello specifico analizziamo il caso di una transizione di fase in un condensato diBose-Einstein, ovvero un gas di bosoni a bassissima temperatura (le temperaturetipiche dei condensati sono dell’ordine di qualche µK). In tale transizione ilcondensato passa da una fase di superfluido (un fluido in cui non c’e dissipazionedi energia) a una di isolante di Mott (un materiale le cui proprieta di isolante

22

CAPITOLO 4. TRANSIZIONE DI FASE QUANTISTICA IN UN GAS DI ATOMI FREDDI23

dipendono essenzialmente dalle interazioni tra gli elettroni). Questa transizione ecaratterizzata da una perdita di coerenza tra gli atomi nello stato fondamentale edalla comparsa di un gap nello spettro di eccitazione.

Figura 4.1: Transizione di fase da superfluido a isolante di Mott: si puo osservarecome nella fase di isolante (a destra) gli atomi (rappresentati dai pallini rossi) tendo-no a occupare uniformemente i siti del reticolo a differenza della fase di superfluido(a sinistra) (fonte: [4], Georgescu et al.).

Il sistema e descritto da un modello di Bose-Hubbard, ovvero da un gas di bosoniinteragenti in un reticolo, il cui operatore hamiltoniano puo essere scritto come

H =−J ∑〈i, j〉

a†i a j +∑

iεini +

12 ∑

ini (ni−1) (4.1)

dove a†i e ai sono rispettivamente gli operatori di creazione e distruzione di atomi

nell’i-mo sito del reticolo, ni = a†i ai e l’operatore numero che rappresenta il

numero di atomi in tale sito, εi indica l’energia dell’i-mo sito del reticolo, J el’energia legata al tunneling di atomi tra siti vicini e U e l’energia di repulsione traatomi nello stesso sito del reticolo. Le energie di interazione in questo modellopossono essere descritte da un unico valore (portato fuori dalla sommatoria) inquanto le interazioni hanno un corto raggio d’azione, minore dello spazio presentetra i siti del reticolo.Nel caso limite in cui l’energia di tunneling domina sull’energia di repulsione lostato fondamentale e quello in cui le funzioni d’onda dei singoli N atomi sonodelocalizzate sull’intero reticolo avente M siti, descritto da

|ψSF〉U=0 ∝

(M

∑i=i

a†i

)N

|0〉 . (4.2)

Questo stato e caratterizzato da una distribuzione di probabilita di occupazione deisiti di tipo poissoniano, ed e caratterizzato da coerenza di fase a lungo raggio sututto il reticolo. Il sistema e quindi nella fase di superfluido.Il caso limite opposto e quello il cui il termine dominante e quello di repulsione: inquesto condizioni lo stato fondamentale del sistema e quello in cui gli atomi sono


localizzati nel loro particolare sito del reticolo, contenete n atomi. Tale stato equindi della forma

|ψMI〉J=0 ∝

M

∏i=i

(a†

i

)n|0〉 , (4.3)

che e caratterizzato da assenza di coerenza di fase nel sistema, ma da correlazioninel numero di atomi presenti su ogni sito del reticolo. Il sistema e in questo casonella fase di isolante di Mott.Se l’intensita relativa delle energie J e U varia il sistema puo subire una transizionedi fase da superfluido a isolante di Mott. Il valore critico del rapporto U/J per cuisi osserva tale fenomeno dipende dalla geometria del reticolo: per un reticolotridimensionale abbiamo che

(U/J)c ≈ z×5.8 (4.4)

(formula estrapolata da simulazioni numeriche), dove z e il numero di primi viciniad ogni sito del reticolo. Per il caso analizzato (reticolo cubico semplice con z = 6primi vicini) il valore critico stimato numericamente e (U/J)c ≈ 36.

4.2 Apparato sperimentale

Per effettuare l’esperimento sono stati usati atomi di 87Rb polarizzati con F = 2 emF = 2 (F rappresenta il numero quantico orbitale mentre mF e il numeromagnetico dello stato). Quindi mediante tecniche di raffreddamento laser e statoottenuto un condensato di Bose-Einstein composto da circa 2×105 atomi,intrappolato usando campi magnetici.Il condensato e stato poi posto in un reticolo tridimensionale ottenuto mediantedispositivi laser con emissione nell’infrarosso (la lunghezza d’onda utilizzata eλ = 852 nm). Il potenziale di reticolo ottenuto e quindi della forma

V (x,y,z) =V0(sin2(kx)+ sin2(ky)+ sin2(kz)

)(4.5)

dove k = 2π/λ e il vettore d’onda associato al laser. V0 e la profondita massimadelle buche create dal laser ed e misurato per comodita in unita dell’energia dirinculo degli atomi

Er =h2k2

2m≈ 10−11eV, (4.6)

dove l’ordine di grandezza e stato stimato usando m≈ 87mp, con mp massa delprotone.L’intensita delle interazioni viene modificata variando il valore di V0 lentamenteper consentire al sistema di rimanere nello stato fondamentale. La procedura dura80 ms, con l’intensita che viene variata secondo una legge esponenzialecaratterizzata da una costante temporale τ = 20 ms. Successivamente, per poter


controllare se il sistema e caratterizzato da coerenza di fase, i potenziali vengonoimprovvisamente spenti per permettere allo stato di espandersi liberamente. Se eeffettivamente presente una coerenza di fase su lunghe distanze sara possibileosservare degli schemi di interferenza.

Figura 4.2: Figure di interferenza osservate nel sistema per il valore di V0 = 10Er.L’immagine e stata ottenuta dopo l’espansione del sistema libera dal reticolo, durata15 ms (fonte: [5], Greiner et al.).

4.3 Osservazione della transizione di faseIl sistema viene studiato in diverse condizioni, caratterizzate da un diversorapporto U/J. Per ottenere queste condizioni e sufficiente cambiare la profonditadelle buche V0: infatti aumentando tale profondita il valore di J diminuisceesponenzialmente, mentre il valore di U aumenta.Il sistema viene quindi osservato a diversi valori di V0 per osservare ilcomportamento degli atomi in tali condizioni e per poter trovare il punto in cui siha la transizione di fase. Per poter valutare in che fase si trova il sistema e statoosservato lo schema di interferenza: nella fase di superconduttore e possibileosservare un preciso schema di massimi di interferenza (figura 4.2), mentre nellafase di isolante di Mott tale schema non sopravvive.In figura 4.3 si possono osservare gli schemi di interferenza in funzione di V0. Sinota che l’intensita dei massimi di interferenza tende ad aumentare fino al valore dicirca 13 Er, dopodiche il sistema entra nella fase di isolante di Mott.Successivamente e stata verificata la reversibilita del fenomeno: abbassandorapidamente il valore di V0 il sistema passa dalla fase di isolante di Mott a quella disuperfluido, con conseguente ripristino della coerenza dello stato fondamentale.I risultati dell’esperimento sono infine stati confrontati con le stime numeriche datedal modello teorico. Infatti tali stime indicano che il punto di transizione, definito


dal rapporto (U/J)c ≈ 36, si osserva quando la profondita delle buche del reticoloe V0 = 13Er. Sperimentalmente tale fenomeno e stato osservato per valori di V0pari a 13±1Er. Le misure sono quindi in ottimo accordo con le previsioni teorichedel modello adottato.

Figura 4.3: Schemi di interferenza del sistema dopo un’espansione libera dal reti-colo di 15 ms. Le immagini sono state prese per diversi valori di V0: 0Er (a), 3Er(b), 7Er (c), 10Er (d), 13Er (e), 14Er (f), 16Er (g) e 20Er (h) (fonte: [5], Greiner etal.).

w i piumidi! Ora fanno parte della tua tesi ¡3

Capitolo 5

Conclusioni

5.1 ApplicazioniI simulatori quantistici possono trovare applicazione in molti ambiti di studio,anche al di fuori dalla fisica. Infatti essendo essi stessi dei sistemi quantistici,possono ricreare fenomeni quantistici che con un computer classico non sarebbepossibile riprodurre, o la cui simulazione richiederebbe un’elevata quantita dirisorse (la maggior parte degli algoritmi classici risulterebbe inefficiente).L’ambito in cui le applicazioni offrono proposte piu numerose e la fisica dello statosolido: la struttura reticolare di molti simulatori proposti infatti consente di ricrearefacilmente diversi modelli e di studiarne le proprieta. Per esempio si possono usareAQS per riprodurre transizioni di fase (come la transizione da superfluido aisolante di Mott trattata nel capitolo precedente o la transizionepara-ferromagnetica di un materiale), studiare i fenomeni di superconduttivita adalta temperatura o per riprodurre modelli reticolari di particelle bosoniche ofermioniche, come i modelli di Hubbard e di Bose-Hubbard.Non mancano comunque possibili applicazioni anche in altri campi di ricerca, inquanto a volte e possibile simulare fenomeni la cui osservazione diretta richiedecondizioni fisiche non facilmente accessibili in laboratorio. Per esempio e statoproposto l’uso di AQS per simulare fenomeni di fisica delle alte energie come ladinamica di una particella di Dirac o lo studio di problemi di elettrodinamicaquantistica su reticolo in regimi di alte energie. Un’altra possibile applicazione el’utilizzo di sistemi quantistici per studiare fenomeni cosmologici come lo studiodella radiazione di Hawking.Le possibili applicazioni proposte spaziano comunque anche in altri ambiti, comeper esempio la fisica atomica (si possono riprodurre le transizioni e le dinamichetipiche della fisica atomica usando atomi artificiali, che hanno il vantaggio di poteressere progettati con particolari strutture dello spettro energetico) e in chimicaquantistica (si possono simulare reazioni chimiche per studiarne l’evoluzionedinamica).

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CAPITOLO 5. CONCLUSIONI 28

5.2 Prospettive futureSebbene i problemi per la realizzazione di simulatori quantistici non siano pochi,oggi ci sono molti gruppi di ricerca che realizzano diversi esperimenti per testarel’efficacia dei modelli proposti. Al momento la piu grande sfida legata aisimulatori e la scalabilita dei sisitemi: infatti la maggior parte dei sistemi realizzatiin laboratorio lavora al massimo con qualche decina di qubit, che sono perofacilmente manipolabili (un’eccezione e rappresentata dai modelli basati su atomiin un reticolo, che possono essere realizzati in gran numero ma che sono difficili dacontrollare singolarmente).Tuttavia anche con sistemi di piccole dimensioni come quelli disponibili almomento e possibile studiare modelli fisici di particolare interesse dal punto divista teorico. I simulatori possono infatti permettere di studiare gli effetti delladecoerenza e di come un sistema si accoppi con l’ambiente che lo circonda. Isimulatori quantistici rappresentano quindi uno strumento potenzialmente moltoutile sia per testare nuove teorie che per prevedere il comportamento di diversisistemi fisici sotto particolari condizioni spesso non riproducibili in laboratorio.Sebbene i problemi non manchino quindi si puo essere ottimisti riguardo larealizzazione di simulatori quantistici in futuro, in quanto un gran parte degliesperimenti condotti sta dando risultati incoraggianti.

Bibliografia

[1] G. Benenti, G. Casati, G. Strini: Principles of Quantum Computation andInformation (World Scientific), 2004.

[2] G. Benenti, G. Strini: Quantum simulation of the single-particle Schrodingerequation, 2008.

[3] R. P. Feynman: Simulating Physics with Computers, 1982.

[4] I. M. Georgescu, S. Ashhab, F. Nori: Quantum simulation, 2014.

[5] M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hansch, I. Bloch: Quantum phasetransition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms,2002.

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Ringraziamenti

Giunti alla fine di questa trattazione e arrivata l’ora di ringraziare chi mi ha aiutatoe supportato durante questo percorso.Vorrei inizialmente ringraziare la mia famiglia: i miei genitori Roberto e Clelia,che mi hanno sempre supportato anche nella disperazione degli esami piucomplicati, i miei fratelli Matteo, Daniele e Lorenzo e i miei animaletti domestici,la mia cocorita Tweety Crocky (che mi ha fornito molta compagnia durante lostudio) e il gatto assassino Altair, sempre pronto a complottare contro di me.Ringrazio inoltre le mie nonne Maria e Ancilla, i miei zii Dante, Silene, Paolo,Kiran, Davide e Loretta e i miei cugini Davide, Marco, Sara e Alice.Un particolare ringraziamento va al mio relatore, Giuliano Benenti, che mi haseguito e aiutato durante la stesura della tesi, che oltre a chiarire i miei dubbi mi hadato diversi consigli nello svolgimento di questo lavoro.Vorrei ringraziare i miei insegnanti di liceo: Maria Moscardi, che ha sopportato lemie piu assurde domande di matematica e di fisica e Paolo Fiorini, che mi hapreparato per gare che mi hanno portato molte soddisfazioni. Se ho scelto questopercorso di laurea il merito e anche vostro. Un ringraziamento va anche a MichelaPrest, che mi ha dato un ulteriore aiuto nella scelta di questo corso.Un grazie va anche ai miei compagni di avventure e disavventure di questi ultimianni, tra corsi in lingue ignote e strumentazioni di laboratorio che facevano di tutto(tranne funzionare naturalmente, come il buon vecchio Murphy insegna):Christian, Luca, Gabriele, Greta, Matteo, Giulia, Giorgio, Davide, Beatrice, Ester,Alessandra, Mattia, Giovanni, Gaia, Alessia e Edoardo.Un ringraziamento veramente speciale va alla mia ragazza Maria, che insieme alsuo zoo di peluche (ovviamente composto in gran parte da gufi) non solo hasopportato e spesso condiviso la mia disperazione nella preparazione di certiesami, ma mi ha anche regalato bellissime giornate che non dimentichero.Vorrei infine ringraziare Federico e Alberto, con cui ho condiviso diversipomeriggi passati a suonare e a spaccarci i timpani. Ringrazio anche Matteo,compagno di idromele e di illuminanti discussioni sull’universo tolkieniano. Ungrazie infine agli altri miei amici: Luca, Michele, Gabriele, Matteo, Davide,Andres, Giovanna e Ilenia.Ringraziare singolarmente anche le altre persone che meritano una menzione mi eimpossibile per motivi di spazio, quindi per tutti quelli che non ho citato scrivo:grazie!

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