I POLINOMI E LE LORO OPERAZIONI

Maria Loredana Vita

Unità di apprendimento Polinomi e loro operazioni

Classe Prima

Prerequisiti

• Conoscere e operare con tutte le operazioni nell’insieme dei numeri relativi

• Conoscere e utilizzare le proprietà delle operazioni

• Conoscere e utilizzare le proprietà delle potenze

• Capacità di operare con i monomi

Contenuti

• Concetto di polinomio

• Operazioni con i polinomi: addizione, sottrazione e moltiplicazione

• Prodotti notevoli: quadrato di binomio e somma per differenza

Abilità

• Saper operare con i polinomi e riconoscerne le caratteristiche

• Saper riconoscere ed utilizzare i prodotti notevoli

• Saper usare il calcolo letterale per la risoluzione dei problemi

Metodologie: Lezione frontale, dialogata e interattiva.

Strumenti: Libri di testo; schemi ed appunti a cura del docente; utilizzo di software Geogebra.

Verifica formativa: Verifiche di apprendimento in itinere, con quesiti a completamento o vero o falso, per favorire l’inquadramento delle conoscenze

INTRODUZIONE E PRIME DEFINIZIONI

Polinomio deriva da una parola greca che significa “molti”; indica, infatti un’espressione composta da più monomi legati da segno di addizione e/o sottrazione.

Un polinomio ridotto, con due, tre, quattro termini si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.

Quando i termini sono più di quattro si usa il nome generico di polinomio con 5, 6, 7… n termini

Un polinomio è la somma algebrica di più monomi non simili tra loro.

I singoli monomi sono i termini del polinomio.

definizione :

il maggiore fra i gradi dei monomi che costituiscono un polinomio rappresenta il grado complessivo del polinomio

Il grado di un polinomio

REGOLA :

Si dice invece grado relativo di un polinomio rispetto ad una lettera il massimo esponente con cui quella lettera compare nel polinomio

REGOLA :

Si dice grado di un polinomio il massimo fra i gradi dei suoi termini.

definizione :

Polinomio ordinato, completo e omogeneo

Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (o crescenti) di una lettera quando gli esponenti della lettera stessa si succedono in modo decrescente (o crescente). Se i suoi termini hanno tutte le potenze di tale lettera, da quella con esponente massimo a quella con esponente 0 (termine noto), il polinomio si dice Completo.

definizione :

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.

definizione :

Polinomio non ordinato

Ordinato in modo crescente Ordinato in modo decrescente

Il polinomio non è completo perché manca il termine noto (grado zero, manca a0 )

A questo punto viene proposta una verifica in itinere per appurare la comprensione dei concetti fondamentali.

Polinomi come funzioni Ogni polinomio con una lettera è una funzione di una variabile: ad ogni numero intero,

razionale, reale, attribuito alla lettera fa corrispondere un solo valore.

Esempio: esprimi perimetro ed area della seguente figura in funzione di x e trova il loro

valore per x = 2.

3x2

4x

Calcoliamo il perimetro (somma dei lati): P(X) = 3x2 + 4x + 3x2 + 4x = 6x2 + 8x P(X) = 6x2 + 8x

Per x = 2 il perimetro è P(2) = 6 ∙ (2)2 + 8 ∙ (2) = 6 ∙ 4 + 16 = 24 + 16 = 40

Sommando

i monomi simili

Calcoliamo l’area (base ∙ altezza): A(X) = 3x2 ∙ 4x = 12 x3 A(X) = 12 x3

Per x = 2 L’area è A(2) = 12 ∙ (2)3 = 12 ∙ 8 = 96

LE OPERAZIONI CON I POLINOMI

Se un polinomio è racchiuso in una parentesi preceduta dal segno +, possiamo sopprimere il segno + e la parentesi, e scrivere i vari termini ciascuno con il proprio segno.

Se un polinomio è racchiuso in una parentesi preceduta dal segno - , possiamo sopprimere il segno – e la parentesi, e scrivere i vari termini ciascuno con il segno cambiato.

REGOLA :

LA SOMMA ALGEBRICA DI POLINOMI

ADDIZIONE

Per indicare l’addizione di due o più polinomi, per esempio fra

Ognuno di essi si scrive chiuso in parentesi, ponendo tra le parentesi il segno +:

Per eseguire l’addizione eliminiamo la parentesi e riduciamo in termini simili:

La somma di due o più polinomi si ottiene scrivendo l’uno di seguito all’altro i loro termini, ciascuno con il proprio segno, e riducendo successivamente gli eventuali termini simili.

REGOLA :

SOTTRAZIONE

Per indicare l’addizione di due o più polinomi, per esempio fra

Scriviamo il minuendo e il sottraendo, chiusi in parentesi, separati dal segno - :

Per eseguire la sottrazione eliminiamo la parentesi e riduciamo in termini simili:

La differenza tra due polinomi si ottiene scrivendo i termini del 1° polinomio, cioè del minuendo, con il proprio segno, seguiti dai termini, cambiati di segno, del 2° polinomio, cioè del sottraendo, e riducendo infine gli eventuali termini simili.

REGOLA :

MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI

L’operazione di moltiplicazione può avvenire tra: un

monomio e un polinomio, due polinomi e più di due

polinomi.

Moltiplicazione di un polinomio per un monomio

Consideriamo la seguente moltiplicazione di un polinomio per un monomio

Per determinare il prodotto applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione: si moltiplica ciascun termine del polinomio per il monomio e si addizionano poi i prodotti ottenuti.

Per moltiplicare un polinomio per un monomio, o viceversa, basta moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio e addizionare i prodotti parziali così ottenuti.

REGOLA :

533323232232 152533

235

3

23) yxyxxyyxxyxxyxyxII

Esempi: (si rivorsi la regola che xn ∙ xm = xn+m )

I) 4x2 ∙ (x3 + 2x−3) = 4x2 ∙ x3 + 4x2 ∙ 2x + 4x2 ∙ (−3) = 4x5 + 8x3 − 12x2

Moltiplicazione di DUE polinomi

Consideriamo la seguente moltiplicazione di polinomi

Anche per effettuare la moltiplicazione di due polinomi applichiamo la proprietà distributiva e riducendo poi in termini simili si ha:

Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo, e poi si esegue la somma algebrica dei prodotti parziali così ottenuti

REGOLA :

Esempi:

PROBLEMI ED ESPRESSIONI LETTERALI

I PRODOTTI NOTEVOLI

I prodotti notevoli sono il risultato di alcune particolari moltiplicazioni e

potenze di polinomi introdotte dai matematici allo scopo di rendere

meno difficoltosi e , nello stesso tempo , abbreviare i calcoli diminuendo

così la possibilità di errori.

Tra questi consideriamo:

1.Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza;

2.Il prodotto di un binomio per se stesso (quadrato di un binomio);

3.Il prodotto di tre binomi uguali tra loro (cubo di un binomio).

1° caso Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Consideriamo il seguente prodotto tra due binomi, uno dei quali è la somma di due monomi a e b, mentre l’altro ne è la differenza:

Notiamo che il risultato è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è

uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del

secondo monomio.

REGOLA :

video Geogebra

62

2

3

2

33

2422222

36

25

4

1

6

5

2

1

6

5

2

1

6

5

2

1

94)3()2(3232

yxyxyxyx

yxyxyxyx

Esempi:

2° caso QUADRATO DI UN BINOMIO

Calcoliamo il quadrato del binomio (a + b) costituito dalla somma di due monomi.

Calcoliamo ora il quadrato del binomio (a - b) costituito dalla differenza di due monomi.

Il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio, più o meno il doppio prodotto del primo per il secondo monomio, più il quadrato del secondo monomio.

REGOLA :

Preso un segmento di misura a e un segmento di misuta b più grande, si costruisce un

quadrato di lato (a+b), la cui area sarà, quindi, (a + b)2. Si noti che il primo quadrato è

costituito dalle seguenti figure: il quadrato di lato a, la cui area è a2, un quadrato di lato b, la cui

area è b2, due rettangoli di lati a e b, la cui area è ab.

Quindi, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

Video Geogebra

Esempi: (a + b) (a – b) = a2 – b2

• (2a+b) (2a-b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2

• (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2

• (3x2+5y3) (3x2−5y3) = (3x2)2 - (2y)3 = 9x4 - 4y6

• (4a + b) (−4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2

•

462

2

2

2

32323

25

1

9

4

5

1

3

2

5

1

3

2

5

1

3

2ayxaxyaxyaxy

Esempi : (a+b)2 = a2 + 2 ab + b2

•( 2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 (2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 12 xy + 3y2

•(2x − 3y) 2 = (2x)2 + 2 (2x)(−3y) + (3y)2 = 4x2 − 12 xy + 3y2

•

234

2

2

2

2

2

2

16

9

4

3

4

1

4

3

4

3

2

12

2

1

4

3

2

1xxxxxxxxx

3° caso CUBO DI UN BINOMIO

Il cubo di un binomio è uguale ad un quadrinomio costituito dal cubo del primo monomio, più o meno il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio, più o meno il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo monomio, più o meno il cubo del secondo monomio.

REGOLA :

Calcoliamo il cubo del binomio (a + b) costituito dalla somma di due monomi.

Calcoliamo ora il cubo del binomio (a - b) costituito dalla differenza di due monomi.

Esempi: (a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

• (2x + 1)3 = (2x)3 + 3 (2x)2(1) + 3(2x)(1)2 + 13 = 8x3+ 3(4x2)(1) + 3(2x)(1)+ 1=

= 8x3+ 12x2 + 6x+ 1

• (2x − 5)3 = (2x)3 + 3 (2x)2(−5) + 3(2x)(−5)2 + (−5) 3 = 8x3+ 3(4x2)(−5) + 3(2x)(25)−125=

= 8x3−60x2 + 150x−125