I numeri… complessi

o no?

VOGLIAMO ESTRARRE LA

RADICE QUADRATA DI UN

NUMERO NEGATIVO

4

Matematicamente possiamo:

decidere che tale calcolo non si può eseguire

creare un insieme di numeri in cui tale calcolo

si può eseguire

Optiamo per la seconda

ipotesi

Eureka !

Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1.

Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione.

Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama:

UNITA’ IMMAGINARIA

Quindi poniamo:

12 i

L’unità immaginaria è un po’ “strana”

infatti

iiiii

iii

iiiii

i

1

111

1

1

235

224

23

2

L’unità immaginaria ha, con le sue

potenze, un “piede” nell’insieme dei

numeri reali.

Le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4,

infatti i valori si ripetono ogni quattro.

i

-1 +1

-i

In un riferimento cartesiano ortogonaleponiamo

sull’asse delle ascisse

i numeri realii numeri reali

sull’asse delle ascisse

i numeri realii numeri reali

sull’asse delle ordinate

i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”

ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

sull’asse delle ordinate

i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”

ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

Un

numero complesso

sarà un numero del tipo

bia

dove a e b sono numeri reali

a si chiama parte reale del numero complesso

ib si chiama parte immaginaria del numero

complesso

In questo modo è nato

un nuovo insieme di numeri

i numeri complessi

Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo

RealiImmaginari

Complessi

abi

a+ib

Diamo qualche definizione

coniugaticomplessinumerisonoibaeiba

stabilirepuòsinonidciba

dbecasesoloeseidciba

Somma algebrica di numeri complessi

)()( idciba

)()( dbica

REGOLA

Esempi

iii 62)46()24(

iii 27)74()53(

iiiii 65)42()23()42()23(

6)23()23( ii

iiiii 8)45()45()45()45(

Prodotto di numeri complessi

ibcadbdac

bdbciadiac

bdibciadiacidciba

)()(

)()( 2

In particolare:22222)()( baibaibaiba

Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri complessila somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!

Si però i fattori sono numeri complessi!!!

Esempi

somma di due quadrati

iiii 514)83()212()4()23(

1349)23()23( ii

Reciproco di un numero complesso

infatti il loro prodotto è uguale a 1

Si definisce reciproco del numero complesso

idc

il numero complesso:

22 dc

idc

Quoziente di numeri complessi

22)(

1

dc

idciba

idciba

idc

iba

Esempio

ii

iii

ii

ii

i

i

10

17

10

1

10

17110

21556

19

35219

352

3

152

3

52

RIASSUMENDO

introducendo i numeri immaginari

Avevamo un problema 4l’abbiamo risolto = 2 i

abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib

abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari

abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note

ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali