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IL PROBLEMA

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ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO

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Matematicamente si pu: u decidere che tale calcolo non interessa u creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si pu eseguire

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Optiamo per la seconda ipotesi ok !

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u Cominciamo con losservare che non vi alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. u Per nulla impedisce di creare un nuovo numero, fuori dallinsieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. u Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unit immaginaria

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si ha quindi per definizione i = -1 2

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lunit immaginaria un po strana

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lunit immaginaria ha, con le sue potenze, un piede nellinsieme dei numeri reali le sue potenze sono cicliche di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

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in un riferimento cartesiano ortogonale in un riferimento cartesiano ortogonale poniamo u sullasse delle ascisse i numeri reali i numeri reali u sullasse delle ascisse i numeri reali i numeri reali u sullasse delle ordinate i numeri immaginari ottenuti moltiplicando un numero reale per lunit immaginaria i u sullasse delle ordinate i numeri immaginari ottenuti moltiplicando un numero reale per lunit immaginaria i

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Rappresentazione Geometrica a b P=(a,b)

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chiamiamo numero complesso chiamiamo numero complesso un numero del tipo a+ib

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con a e b numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso

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nato u un nuovo insieme di numeri i numeri complessi

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Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo Reali Immaginari Complessi a bi a+ib

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Diamo qualche definizione a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d a+ib > c+id non si pu stabilire a+ib e a-ib complessi coniugati

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Somma algebrica di numeri complessi (a+ib)+(c+id) (a+c)+(b+d)i

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esempi (3+2i)+(-5+7i)=-2+9i (-2-4i)+(-3+5i)=-5+i (4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i (1+2i)+(1-2i)=2 ??????? (1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????

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Prodotto di numeri complessi (a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi 2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i in particolare: (a+ib) (a-ib) = a 2 - b 2 i 2 = a 2 + b 2 Bella cosa..! Nellinsieme dei numeri complessi la somma di due quadrati scomponibile in fattori!!! Si per i fattori sono numeri complessi!!!

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esempi (3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i (3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13 somma di due quadrati

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Reciproco di un numero complesso Si definisce reciproco del numero complesso c + id il numero complesso c - id_ c 2 + d 2 infatti il loro prodotto uguale a 1

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Quoziente di numeri complessi (a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id) = (a+ib) (c-id) c 2 +d 2

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esempio

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RIASSUMIAMO quello che abbiamo imparato

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introducendo i numeri immaginari Avevamo un problema labbiamo risolto abbiamo creato linsieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali gi noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle gi note ma in pi che in esso si possono fare operazioni vietate nellinsieme dei reali =3i

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