IL PROBLEMA. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO.
-
Upload
giada-sole -
Category
Documents
-
view
218 -
download
1
Embed Size (px)
Transcript of IL PROBLEMA. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO.

IL PROBLEMA

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO QUADRATA DI UN NUMERO
NEGATIVONEGATIVO
9

Matematicamente si può:Matematicamente si può:
decidere che tale calcolo non interessa
creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

Optiamo per la secondaOptiamo per la secondaipotesi ipotesi
ok ! ok !
i 1

Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1.
Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione.
Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama
unità immaginaria

si ha quindi per definizionesi ha quindi per definizione
i = -12

l’unità immaginaria è un po’ l’unità immaginaria è un po’ “strana”“strana”

l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali
le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

i
-1 +1
-i

in un riferimento cartesiano ortogonalein un riferimento cartesiano ortogonaleponiamo
sull’asse delle ascisse
i numeri realii numeri reali
sull’asse delle ascisse
i numeri realii numeri reali
sull’asse delle ordinate
i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”
ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i
sull’asse delle ordinate
i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”
ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

Rappresentazione GeometricaRappresentazione Geometrica
a
b
P=(a,b)

chiamiamochiamiamo
numero complessonumero complesso
un numero del tipo
a+ib

con a e b numeri reali
a si chiama parte reale del numero complesso
ib si chiama parte immaginaria del numero
complesso

è natoè nato un nuovo insieme di
numeri
i numeri complessi

Rappresentiamo con un insieme Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamotutti i numeri che conosciamo
RealiImmaginari
Complessi
abi
a+ib

Diamo qualche definizioneDiamo qualche definizione
a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d
a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib
complessi coniugati

Somma algebrica di numeri Somma algebrica di numeri complessicomplessi
(a+ib)+(c+id)
(a+c)+(b+d)i

esempiesempi(3+2i)+(-5+7i)=-2+9i(-2-4i)+(-3+5i)=-5+i
(4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i(1+2i)+(1-2i)=2 ???????(1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????

Prodotto di numeri complessiProdotto di numeri complessi
(a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i
in particolare:
(a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2
Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri
complessila somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!
Si però i fattori sono numeri complessi!!!

esempiesempi
(3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i
(3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13somma di due quadrati

Reciproco di un numero Reciproco di un numero complessocomplesso
Si definisce reciproco del numero complesso c + idil numero complesso c - id_ c2 + d2
infatti il loro prodotto è uguale a 1

Quoziente di numeri Quoziente di numeri complessicomplessi
(a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id)
= (a+ib) (c-id) c2+d2

esempioesempio
i
ii
iiii
iiii
10
17
10
1
10
171
10
2155619
352
19
352
3
152352

RIASSUMIAMORIASSUMIAMO
quello che abbiamo imparato

introducendo i numeri immaginari
Avevamo un problema 9
l’abbiamo risolto
abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib
abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari
abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note
ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali
=3i
