I modelli basati sul cash-flow mapping - lumsa.it 03.pdf · Slides tratte da: Andrea Resti Andrea...

Slides tratte da:

Andrea Resti

Andrea Sironi

Rischio e valore nelle banche

Misura, regolamentazione, gestione

I modelli basati sul cash-flow mapping

Rischio e valore nelle banche I modelli basati sul cash flow mapping

2

AGENDA

• Cash-flow mapping e term structure

• Il metodo delle fasce di vita residua

• Il metodo del comitato di Basilea

• Il metodo della vita residua modificata

• Il clumping

• Conclusioni

• Esercizi

© Resti e Sironi, 2008


3

• I modelli del repricing gap e del duration gap si basano sull’ipotesi di una variazione uniforme dei tassi di interesse delle diverse scadenze.

• Le tecniche basate sul cosiddetto cash-flow mapping superano questo limite introducendo la possibilità di variazioni differenti dei tassi di interesse delle diverse scadenze.

• Se, ad esempio, una banca ha in portafoglio un mutuo a dieci anni con pagamenti trimestrali esso potrebbe essere considerato come un insieme di 40 titoli zero-coupon di diversa scadenza ed ognuno di questi flussi dovrebbe essere valutato sulla base di un proprio specifico tasso di rendimento.

• Per implementare tale modello è quindi necessario:

Cash flow mapping e term structure

1. Utilizzare una curva dei

rendimenti che consenta di associare a ogni singolo

flusso di cassa uno specifico tasso di interesse

2. Identificare un numero

limitato di scadenze alle quali ricondurre i singoli flussi di cassa e per le quali stimare delle variazioni differenziate



4

• È possibile costruire una curva dei tassi zero-coupon, chiamata in questo modo proprio perché fondata su tassi di rendimento relativi a titoli zero-coupon.

• Tale curva viene stimata a partire dai prezzi di mercato dei titoli obbligazionari.

• Una delle modalità più utilizzate per derivarla è il bootstrapping, che a partire dai prezzi di mercato dei titoli a breve e a lunga scadenza consente di ricavare i tassi associati a scadenze più lunghe.

• Una volta costruita la curva dei tassi zero-coupon è possibile associare ogni flusso a una specifica scadenza della curva e dunque a uno specifico tasso.

• Le tecniche di cash-flow mapping servono a riportare tutti i flussi, che trovano la loro reale manifestazione in un numero p di date troppo numeroso per garantire un monitoraggio affidabile, a un numero q<p di date standard, definite “nodi” o “vertici” della curva.

Cash flow mapping e term structure

1. La curva zero coupon o term structure

2. Il cash flow mapping



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• 3 fattori da considerare:

• È quindi opportuno prevedere un maggior numero di nodi nel breve termine.

• La selezione dei vertici deve tenere conto anche della concreta realizzabilità di eventuali politiche di copertura, in particolare nei mercati dei derivati.

• La scelta deve anche considerare le caratteristiche dei mercati nazionali: il Regno Unito presenta titoli quotati con scadenze distribuite fino ai 30 anni, mentre Germania e Italia concentrano gran parte delle emissioni entro i 10 anni.

Come scegliere i vertici della term structure?

le variazioni dei tassi di interesse a breve sono più ampie e frequenti rispetto alle variazioni dei tassi a lungo termine

la volatilità dei tassi di interesse è decrescente al crescere della scadenza e tende a un valore costante per effetto della mean reversion dei rendimenti

i flussi di cassa di una banca sono relativamente più

concentrati sulle scadenze brevi



6

• Un primo modo di riportare un portafoglio di attività e passività ad un numero limitato di nodi si basa sulla vita residua delle singole posizioni.

• Ciò che conta non è tanto la scadenza finale del contratto, bensì la data di revisione del tasso.

• Attività/passività con scadenza simile vengono raggruppate in intervalli discreti,

ed il valore centrale di ogni intervallo viene selezionato come nodo della term structure.

• Questa metodologia, particolarmente intuitiva, è stata scelta dal Comitato di Basilea e dalla Banca d’Italia per misurare il rischio di tasso di interesse sul banking book.

Tecniche di cash flow mapping basate su intervalli discreti

Il metodo delle fasce di vita residua



7

Lo scopo del modello è definire un indicatore sintetico

di rischio di tasso sul banking book

• Le attività, le passività e le poste fuori bilancio sono divise in 14 diverse fasce di scadenza.

• Per ognuna delle 14 fasce viene calcolata, come saldo tra attività e passività, la posizione netta (PNi) a valore contabile.

• Tale posizione viene quindi ponderata per la duration modificata media dell’intervallo di appartenenza (DMi) e per una variazione di tasso standard Dyi

uguale per tutte le fasce (200 punti base).

• Il risultato rappresenta una stima semplificata della possibile variazione netta di valore delle poste appartenenti ad ogni intervallo:


Il metodo delle fasce di vita residua – il metodo del comitato di Basilea

i i i iPN PN DM yD D



8



Fascia temporale Scadenza media

(Di)

Duration modificata

DMi = Di /(1+5%)

Fattore di ponderazione

DMi Dyi (con Dyi=2%)

a vista e revoca 0 0 0,00 %

fino a 1 mese 0,5 mesi 0,04 anni 0,08 %

da oltre 1 mese a 3 mesi 2 mesi 0,16 anni 0,32 %

da oltre 3 mesi a 6 mesi 4,5 mesi 0,36 anni 0,72 %

da oltre 6 mesi a 1 anno 9 mesi 0,71 anni 1,43 %

da oltre 1 anno a 2 anni 1,5 anni 1,38 anni 2,77 %

da oltre 2 anni a 3 anni 2,5 anni 2,25 anni 4,49 %



da oltre 5 anni a 7 anni 6 anni 5,08 anni 10,15 %




oltre 20 anni 22,5 anni 13,01 anni 26,03 %



9

• Le diverse DPNi vengono compensate tra loro in misura piena. Si ipotizza che il rischio di tasso si manifesti sotto forma di spostamenti paralleli della term structure. In realtà non sempre gli shift avvengono in maniera parallela.

• La somma algebrica delle DPNi deve invece essere calcolata in maniera distinta per le diverse valute in cui la banca opera e considerata in valore assoluto.

• Il totale di questi valori assoluti va infine rapportato al patrimonio di vigilanza della banca per ottenere l'indicatore sintetico.



1 14

1 1

N

ij

j i

PN

RC

D Patrimonio di Vigilanza (regulatory capital)

Variazione della posizione netta

detenuta dalla banca nella i-esima fascia e

nella j-esima valuta



10

1. Il calcolo è basato sui valori contabili di attività e passività e non sui valori di mercato.

2. Il rischio di tasso delle poste con piano di ammortamento è colto in maniera molto imprecisa dal riferimento alla vita residua.

3. Alcune poste, come gli scoperti di conto corrente, hanno data di ridefinizione del tasso effettiva diversa da quella contrattuale.

4. Alcune poste includono opzioni implicite.

5. È necessario includere anche l’effetto delle posizioni “sotto la linea”.

6. La scelta di uno shift parallelo di 200 punti base nella curva dei tassi è arbitraria e non consente di realizzare un vero e proprio sistema di cash flow mapping delle attività e passività.


Il metodo del comitato di Basilea: alcuni problemi metodologici



11

• Il grado di rischio di una attività/passività a tasso fisso non dipende soltanto dalla sua vita residua, ma anche dalla presenza e dalla consistenza di eventuali cedole intermedie.

Sarebbe preferibile classificare le attività e le passività in intervalli discreti

utilizzando la duration modificata

• Mentre la vita residua delle posizioni è informazione nota per le banche, la duration può non esserlo, soprattutto per quelle attività/passività non soggette al mark-to-market.

• Adottando il metodo della vita residua modificata è possibile utilizzare intervalli basati sulla vita residua senza trascurare l’effetto di eventuali cedole intermedie.


Il metodo della vita residua modificata


0

2,5

5

7,5

10

0 2,5 5 7,5 10

Dura

tion m

odif

icat

a (a

nni)

Tempo a scadenza (anni)

Cedola =0%

Cedola =2%

Cedola =5%

Cedola =15%


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• Si tratta di classificare le posizioni della banca in un sistema di intervalli basati sulla duration disponendo soltanto di informazioni sulla loro vita residua e sull’entità della cedola.

Tecniche di cash flow mapping basate su intervalli discreti Il metodo della vita residua modificata

• La figura a fianco illustra la relazione tra vita residua e duration modificata nel caso di titoli con cedola di diversa entità.

• La concavità della curva aumenta al crescere della cedola. Una diversa cedola modifica la relazione tra duration modificata e vita residua.

• Per semplicità nel modello sono considerate solo due di queste curve, rappresentative dei casi di cedola modesta e di cedola elevata.


0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0 2 4 6 8 10

Du

rati

on

mo

dif

icat

a (a

nn

i)


0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0 2 4 6 8 10

Du

rati

on

mo

dif

icat

a (a

nn

i)



13

• Tracciando sugli assi verticali una serie di intervalli di duration modificata (ad esempio da 0 a 1 anno, da 1 a 2 anni, etc.), i cui valori centrali rappresentano i q nodi della curva zero coupon della banca, è possibile “tradurre” queste classi in altrettanti intervalli definiti sugli assi orizzontali, cioè in termini di vita residua.

• Ad esempio un’attività con vita residua di 9 anni e 3 mesi ed una cedola bassa cadrà nella fascia con duration modificata tra gli otto e i dieci anni.


Il metodo della vita residua modificata

Cedola bassa

Cedola elevata



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• Il metodo del clumping “traduce” i flussi di cassa reali di un’attività/passività in un insieme di flussi fittizi associati a scadenze che coincidono con uno o più nodi della term structure.

• Ogni flusso reale viene scomposto in due flussi di cassa fittizi con scadenza pari al vertice che precede e al vertice che segue la scadenza del flusso di cassa reale.

• La creazione dei flussi fittizi deve avvenire senza alterare in modo rilevante le caratteristiche delle singole attività/passività di partenza.

• Per dividere un flusso reale con scadenza t in due flussi virtuali, aventi scadenze n e n+1 (con n<t<n+1), è necessario che i nuovi flussi garantiscano:

Il clumping

1.l’equivalenza dei valori di mercato: la somma dei valori di mercato

dei due flussi fittizi deve essere uguale al valore di mercato del flusso reale;

2.L’equivalenza della rischiosità (in termini di duration modificata): la rischiosità media ponderata dei due flussi fittizi deve

essere pari alla rischiosità del flusso reale.



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• Analiticamente:

• Il primo vincolo consente di mantenere invariato il valore attuale del portafoglio.

• Il secondo vincolo viene invece imposto per evitare che di fronte a una certa variazione dei tassi zero-coupon delle diverse scadenze (t, n e n+1) il valore di mercato del flusso reale subisca una variazione differente da quelle registrate dai flussi fittizi in cui viene scomposto.

Il clumping

t

nn

t

nn

nn

nn

nn

nnt

n

n

n

n

n

nnnt

t

tt

VM

VMDM

VM

VMDM

VMVM

VMDM

VMVM

VMDMDM

i

F

i

FVMVM

i

FVM

11

1

11

1

1

1

11

111

Tasso associato alla scadenza n

Valore nominale del flusso in scadenza in t

Valore di mercato del flusso che scade in n+1

Duration modificata del flusso che scade in n



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• I valori di mercato che soddisfano entrambi i vincoli e risolvono il sistema sono:

• I valori nominali dei due flussi fittizi risultano pari a:

Il clumping

1

1

1

1

nn

tntn

nn

nttn

DMDM

DMDMVMVM

DMDM

DMDMVMVM

t

t

n

n

nn

tnt

n

n

nn

tntn

t

t

n

n

nn

ntt

n

n

nn

nttn

i

i

DMDM

DMDMFi

MDMD

MDMDVMF

i

i

DMDM

DMDMFi

DMDM

DMDMVMF

)1(

)1()1(

)1(

)1()1(

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1



17

• Supponiamo di mappare un flusso reale di valore nominale pari 50.000 euro, con scadenza pari a 3 anni e 3 mesi.

• La term-structure adottatata dalla banca è la seguente:

Il clumping - esempio

Scadenza

(anni)

Tasso zero-

coupon

1 mese 2,80%

2 mesi 2,85%

3 mesi 2,90%

6 mesi 3,00%

9 mesi 3,10%

12 mesi 3,15%

18 mesi 3,25%

2 anni 3,35%

3 anni 3,50%

4 anni 3,70%

5 anni 3,80%

7 anni 3,90%

10 anni 4,00%

15 anni 4,10%

30 anni 4,25%

• Il tasso zero-coupon relativo alla scadenza 3,25 non è presente nella tabella; esso può essere ricavato per interpolazione lineare dei due tassi adiacenti relativi alle scadenze 3 e 4 anni, e risulta pari a 3,55%.

• Scomponiamo il flusso a 3,25 anni in due flussi fittizi con scadenza rispettivamente pari a 3 e 4 anni.

• Il valore di mercato e la duration modificata del flusso di cassa reale sono:

139,3

0355,1

25,3

1

82,640.440355,1

000.50

125,3

t

tt

t

t

tt

i

DDM

i

FVM



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• Calcoliamo ora le duration modificate dei due flussi fittizi con scadenza nei due nodi adiacenti della curva, 3 e 4 anni:

• Abbiamo ora i dati necessari per calcolare il valore di mercato e nominale dei flussi fittizi:

• Il valore di mercato del flusso con scadenza nel nodo a 3 anni è superiore a quello del flusso con scadenza nel nodo a 4 anni in modo che la duration modificata media ponderata dei due flussi fittizi sia uguale alla duration modificata del flusso reale (condizione 2, slide 15).

Il clumping - esempio

857,3

037,1

4

1

899,2035,1

3

1

1

11

n

nn

n

nn

i

DDM

i

DDM

37,176.11857,3899,2

139,3899,282,640.44

45,464.33857,3899,2

857,3139,382,640,44

1n

n

VM

VM

56,924.12%7,31

63,102.37%5,31

4

44

3

33

VMF

VMF



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• Una variante del clumping si fonda sull’equivalenza fra la volatilità del valore di mercato (price volatility) del flusso originario e la volatilità complessiva del valore di mercato delle due nuove posizioni virtuali.

• La seconda equazione del sistema necessario per ricavare i valori dei due flussi fittizi nei quali viene idealmente scomposta la posizione reale viene quindi sostituita dalla seguente:

Il clumping basato sulla price volatility

1,1

2

1

2222 121 nnnnnnt

Rapporto fra il valore di mercato del flusso in n e il valore di mercato del flusso originario (VMn/VMt)

Volatilità delle

variazioni di prezzo dei titoli zero

coupon

Coefficiente di correlazione fra le variazioni di prezzo dei titoli zero coupon con scadenza in n e n+1

Essendo un’equazione di secondo grado si ottengono due soluzioni per ed è necessario imporre che 0 ≤ ≤1 per ottenere la

scomposizione del flusso originale

)



20

• Il clumping conduce a risultati più precisi, ma richiede una conoscenza dettagliata di tutti i flussi di cassa di cui si compone un’attività/passività e viene solitamente applicato a porzioni limitate del bilancio.

• Il criterio delle fasce di vita residua comporta solo la conoscenza della scadenza delle singole posizioni e del tipo di cedola ad esse associata ed è generalmente adottato per stimare il rischio di tasso dell’intera banca.

• Indipendentemente dal metodo utilizzato, ricondotti i flussi di cassa attivi e passivi ad un insieme di q<p nodi della curva dei tassi zero coupon, è possibile:

Conclusioni

1. Stimare gli

effetti sul valore di mercato del

patrimonio della banca di variazioni

dei tassi delle diverse scadenze.

2. Impostare politiche di gestione

del rischio di interesse per sfruttare aspettative di variazione dei tassi

delle diverse scadenze.

3. Impostare politiche

di copertura per immunizzare il valore di mercato del patrimonio della banca alle variazioni dei tassi di mercato.



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1. Una banca ha in portafoglio un Buono del Tesoro zero coupon con vita residua di 22 mesi e valore nominale di un milione di euro. La banca vuole effettuare il mapping di questa posizione ai nodi a 18 e a 24 mesi della sua curva dei tassi. I rendimenti zero coupon associati con tali scadenze sono 4,2% e 4,5%. Trovate i valori facciali dei due flussi di cassa virtuali associati con tali due nodi, utilizzando una tecnica di clumping basata sull’invarianza del valore di mercato e della duration modificata.

Esercizi/1



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2. Quale delle seguenti posizioni potrebbero essere accorpate nello stesso intervallo se si adotta il metodo della vita residua modificata?

a.Titoli zero coupon con vita residua tra 6 e 8 anni e titoli con cedola con vita residua tra 7 e 9,5 anni.

b.Tutti i titoli con cedola annualizzata non superiore al 3%

c.Titoli con cedola con vita residua tra 6 e 8 anni e titoli zero coupon con vita residua tra 7 e 9,5 anni.

d.Tutti i titoli con cedola annualizzata superiore al 3%

Esercizi/2



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3. La Banca X adotta una curva dei tassi zero coupon (term structure) con nodi a un mese, tre mesi, sei mesi, un anno e due anni. La banca detiene un titolo che paga una cedola di 6 milioni di euro tra otto mesi e un altro flusso di cassa (cedola più capitale) di 106 milioni di euro tra un anno e otto mesi. Usando una tecnica di clumping basata sulla corrispondenza tra valori attuali e tra duration modificate, e assumendo che la term structure sia attualmente piatta, al 5% per tutte le scadenze, indicate quali flussi di cassa (in valore nominale) la banca dovrà attribuire ai nodi a tre mesi, sei mesi, un anno e due anni.

Esercizi/3


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