Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione,...

Slides tratte da:

Andrea RestiAndrea Sironi

Rischio e valore nelle banche

Misura, regolamentazione, gestione

Egea, 2008

Il modello del duration gap

Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap

2

AGENDA

• Una contabilità a valori di mercato

• La duration

• Il duration Gap

• I limiti del modello del duration gap

•Il convexity gap

•Esercizi

© Resti e Sironi, 2008


3

• Consideriamo il seguente stato patrimoniale semplificato della banca Alfa (2006):

• Senza alcuna variazione di tassi il MI sarebbe:

• Il ROE della banca sarebbe il 23%.

• Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe:

Una contabilità a valori di mercato

Attività € m Passività € mMutui decennali a tasso fisso (5%) 100 CD a tasso fisso a 2 anni (3%)

Patrimonio9010

Totale 100 Totale 100

2007 2007 2007 5% 100 3% 90 5 2,7 2,3MI IA IP

Attività € m Passività € mCassaMutuo decennale a tasso fisso (5%)

2,3100

CD a tasso fisso a 2 anni (3%)Utile nettoPatrimonio

902,310

Totale 102,3 Totale 102,3



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• Si supponga un aumento dei tassi dell’1% al primo gennaio del 2007.

• Il margine di interesse della Banca Alfa non subirebbe alcuna variazione nel 2007 e nel 2008 rispetto a quanto atteso. Attività e passività della banca sono infatti a tasso fisso. Il MI risulta ancora pari a 2,3 per il 2007 e per il 2008.

• Nel 2009 la Banca Alfa si rifinanzia alle nuove condizioni di mercato, rinnovando i certificati di deposito con altri CD, a un tasso di interesse superiore di un punto percentuale (4%). Il MI relativo al 2009 è dunque:

• Il ROE è invece pari al 9,59%.

• Seguendo la logica del repricing gap, l’effetto di una variazione dei tassi avvenuta all’inizio del 2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi dopo che la variazione ha avuto luogo, mediante una variazione del MI.


2009 2009 2009 5% 100 4% 90 5 3,6 1,4MI IA IP



5

• Valutiamo ora le attività e le passività della banca a valori di mercato:

Un aumento dei tassi di interesse produce una riduzione del valore di mercato

delle attività e passività finanziarie a tasso fisso


Dopo l’aumento dei tassi dell’1%(al 6%), il valore di

mercato del mutuo alla fine del 2007 è (vita residua = 9

anni, tasso 5%):

9

91

5 10093,2

1 6% 1 6%mutuo t

t

VM

Il valore dei certificati di deposito a fine 2007 sarebbe (vita residua = 1 anno, interesse pagato sul CD 3%):

92,7

89,131 4%CDVM

VMB=VMA-VMP =(100-93,2)-(90-89,13) =5,93



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• Il bilancio a valori di mercato alla fine del 2007 sarebbe:


Attività € m Passività € mCassaMutuo a tasso fisso (5%)

2,393,20

CD a tasso fisso (3%)Utile (Perdita) di esercizioPatrimonio

89,13(3,63)

10Totale 95,5 Totale 95,5

Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio è dato da:

•La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di 5,93 (data dal saldo tra la variazione di valore dell’attivo e quella del passivo) e ricavi netti da interessi per 2,3.

•L’effetto della variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel 2007, viene ora riconosciuto nello stesso esercizio in cui essa si è verificata.

2007 B A PU MI VM MI VM VM 2007 (5 2,7) 93,2 100 89,13 90 3,63U



7

• A fine 2008:

• Lo stato patrimoniale a fine 2008 è quindi:

Una contabilità a valori di mercatoIl valore del CD, in scadenza, è 90 (importo da rimborsare).

Il valore di mercato del mutuo (vita residua 8 anni), è:

8

81

5 10093,79

1 6% 1 6%mutuo t

t

VM

Attività € m Passività € mCassaMutuo a tasso fisso (5%)

4,693,79

CD a tasso fisso (3%)Utile (Perdita) di esercizioPatrimonio

902,026,37

Totale 98,39 Totale 98,39

L’utile/perdita di esercizio è dato da:

2008 (5 2,7) 93,79 93,2 90 89,13 2,02BU MI VM



8

• La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata per il rapporto fra il valore attuale del flusso associato a quella scadenza e il prezzo (o valore di mercato totale) dello strumento finanziario

La duration

1

1t

tT

t

F

yD t

P

Flusso di cassa t-esimo

Tasso di rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity)

richiesto dal mercato sulla scadenza t

Prezzo o valore di mercato dello

strumento in esame

Scadenza, espressa in anni, del singolo flusso

di cassa

Scadenza dell’attività, ossia

dell’ultimo flusso di cassa


Scadenza in anni (a) 1 2 3 4 TotaleFlusso (b) 6 6 6 106Valore attuale (c) 5,660 5,340 5,037 83,962 100,00Valore attuale/Prezzo (d) 0,0566 0,0534 0,05037 0,83962 1,00(a) x (d) = (e) 0,0566 0,1068 0,1511 3,3585Duration = ( (e)) 3,6730


9

• Al 1/1/2007 consideriamo un titolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6%, con vita residua di quattro anni (scadenza 31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto dal mercato è pari al 6%. Il prezzo è allora uguale al valore di rimborso:

Il calcolo della duration

Data 31/12/07 31/12/08 31/12/09 31/12/10Flusso 6 6 6 106Valore attuale 5,660 5,340 5,037 83,962Prezzo tel quel 100,00

Per calcolare la duration, pesiamo ogni scadenza

con un peso uguale al rapporto fra

valore attuale del flusso corrispondente

e prezzo del titolo



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• Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato.

• Partiamo dalla relazione tra prezzo di un titolo (P) e il tasso di rendimento a scadenza richiesto dal mercato (y):

La duration modificata

1 1

Tt

tt

FP

y

1 22 3 1

1 2...

1 1 1TT

F F T FdP

dy y y y

Derivando rispetto al

tasso di rendimento

1 2

2

21...

1 1 1 1n

T

T FF FdP

dy y y y y

Dividendo poi per il prezzo P si ottiene:

1

11 1

1 1

ttT

t

F

ydP Dt

dy P y P y

1

dP Ddy

P y

Cioè:

DurationModificat

a



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• La duration modificata consente di quantificare la variazione percentuale di prezzo corrispondente a una variazione (infinitesima) dei rendimenti di mercato.

• Utilizzando variazioni del tasso di rendimento finite (y), si ottiene una stima approssimata della conseguente variazione percentuale del prezzo:

• La duration è tanto minore quanto maggiori sono il numero e la consistenza dei flussi intermedi.

• Se un titolo obbligazionario ha vita residua più breve e/o cedole di maggiore importo, a fronte della stessa variazione dei tassi di mercato, registra una variazione di prezzo più contenuta, grazie a una minore duration.

• La duration è espressa in unità temporali, ossia generalmente in anni.

• Si può dimostrare che la duration di un portafoglio non è altro che la media delle duration dei singoli titoli che lo compongono, ognuno ponderato per il proprio valore di mercato.

La duration modificata

1

P Dy

P y



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• Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi.

• La variazione del valore di mercato del patrimonio della banca è quindi:

• Assumendo che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo siano uguali, si ottiene:

Il duration gap

1A A

A A AA A

VM Dy DM y

VM y

1P P

P P PP P

VM Dy DM y

VM y

A A A AVM VM DM y

P P P PVM VM DM y

DurationModificat

a

B A P A A A P P PVM VM VM VM DM y VM DM y

B A A P PVM VM DM VM DM y

B A P A AVM DM L DM VM y DG VM y

Duration GapLeva finanziaria VMP /

VMA



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• Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del patrimonio conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:

1.Il valore di mercato del totale dell’attivo

2.La dimensione della variazione dei tassi di interesse

3.La differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva finanziaria della banca, ovvero il duration gap

• La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo:• se il valore netto iniziale è pari a zero (VMB = VMA – VMP = 0), ciò

accade quando la sensibilità del valore delle attività è uguale a quella delle passività (DMA = DMP)• Se, più realisticamente, il valore delle attività è superiore a quello

delle passività (VMA>VMP e VMB>0), ciò accade per una duration del passivo superiore a quella dell’attivo (ma nella realtà è più probabile che DMA > DMP )

Il duration gap



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• Calcoliamo la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della Banca Alfa.

• Collochiamoci al 31/12/2007, un attimo prima dell’aumento dei tassi.

Il duration gap

99 8

1 1

5 105

1 1 5% 1 5%9 7,46

100 100

tt t

AA mutuo

t tA

Ft

yD D t

VM

7,46

7,111 1 5%

AA

A

DDM

y

1

1

11

tt

PP CD

t P

Ft

yD D

VM

1

0,971 1 3%

PP

P

DDM

y

7,11 0,90 0,97 6,23A PDG DM L DM Duration Gap



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• È ora possibile stimare la variazione che subirebbe il valore di mercato del patrimonio della banca a seguito di un rialzo del 1% dei tassi di mercato.

• In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di mercato della Banca Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di euro, oltre il 60% del suo valore di partenza.

• Il risultato ottenuto è diverso dalla minusvalenza di 5,93 milioni di euro calcolata nella slide 5. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore.

Il duration gap

6,23 100 1% 6,23B AVM DG VM y



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1.Politiche di immunizzazione: anche se una banca riesce ad annullare il suo duration gap, mediante l’utilizzo di strumenti derivati o politiche di ristrutturazione del bilancio, l’efficacia di questa strategia di immunizzazione dal rischio risulterà limitata nel tempo, per diversi motivi:

I problemi del modello del duration gap

La duration dell’attivo della banca può variare, nel tempo, in modo diverso da quella del passivo, modificando così il duration gap della banca. Soltanto se la variazione dei tassi si verifica subito dopo l’immunizzazione è verosimile che il valore di mercato del patrimonio della banca non subisca alcuna variazione.

Le variazioni dei tassi di interesse modificano la duration di attività e passività, modificando così il duration gap della banca. Le politiche di immunizzazione dovrebbero essere ricalibrate ogni volta che si verifica una variazione nel livello dei tassi.



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2.Costi connessi alle politiche di immunizzazione: simili politiche richiedono di modificare la duration, e dunque la scadenza, delle attività e delle passività della banca. Le politiche di ristrutturazione del bilancio necessarie allo scopo possono comportare costi rilevanti o la rinuncia a opportunità di impiego o di raccolta redditizie. In realtà, queste politiche possono essere realizzate anche mediante il ricorso alla negoziazione di strumenti derivati quali swap, opzioni e futures su tassi di interesse.

3.Grado di approssimazione: poiché la duration è fondata su un’approssimazione lineare della funzione convessa che lega il valore di mercato di uno strumento finanziario al suo tasso di rendimento, essa commette un errore di stima tanto maggiore quanto più forte è la variazione dei tassi di mercato. Questo problema può essere superato ricorrendo a una misura del grado di convessità della funzione menzionata. Al duration gap può dunque essere affiancato il convexity gap.




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• Il convexity gap permette una stima più accurata della variazione del valore di mercato del patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di curvatura della relazione.

• La convexity e la convexity modificata sono calcolate come:

Il convexity gap

2

2B A A P P A A P P

yVM VM DM VM DM y VM CM MV CM

Convexity modificata

dell’ attivo e del passivo

2

2B A A

yVM DG VM y CG VM

Il convexity gap riflette il grado di dispersione dei flussi di cassa delle attività e delle passività della banca attorno alla propria duration

A PCG CM L CM 2

1

1t

tT

t

F

yC t t

P

21

C

y



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4.Variazioni uniformi dei tassi di interesse attivi e passivi: come il repricing gap anche il duration gap si basa su questa ipotesi. In realtà una variazione del tasso di mercato può riflettersi in variazioni differenziate dei tassi attivi e passivi (basis risk).• È possibile stimare il diverso grado di sensibilità dei tassi attivi (βA) e

passivi (βP) al tasso di riferimento • La variazione nel valore del patrimonio della banca a seguito di una

variazione del tasso di riferimento sarà:

• L’impatto di una variazione del tasso di mercato di riferimento sul valore di mercato del patrimonio netto della banca dipende da:


B AVM BDG VM y A A P PBDG DM DM L beta

duration gap

duration modificata

media di attivo e passivo

sensibilità media dei tassi attivi e passivi

alle variazioni del tasso di mercato

rapporto fra valore delle passività e valore delle

attività © Resti e Sironi, 2008


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1.Si consideri un’obbligazione a cedola fissa con valore nominale di 1.000 euro, che paga un coupon semestrale del 3% e che scadrà tra tre anni e due mesi. Ipotizzando che la curva dei tassi di mercato sia piatta in corrispondenza del 4% (composto annualmente), si calcolino il valore corrente e la duration modificata del titolo; sulla base della duration, si stimi l’impatto di una riduzione del 2% nei tassi di mercato sul valore del bond. Infine, si consideri una seconda obbligazione, con la stessa scadenza, un valore nominale di 1.100 euro e una cedola semestrale del 1,5%. Di nuovo, se ne calcoli il valore corrente e la duration modificata. Si spieghi infine perché i due titoli hanno valore simile, pur avendo duration modificate differenti. Si dica poi se l’effetto sul secondo titolo di un aumento del 2% nei tassi di mercato sarebbe più o meno consistente che per il primo, e perché.

Esercizi/1



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2.Usando i dati nella Tavola di pagina successiva:

• si calcoli il valore netto del patrimonio della banca;

• si calcoli il duration gap della banca;

• si calcoli il convexity gap della banca;

• sulla base del solo duration gap, si stimi l’impatto di un aumento di 50 punti base della curva dei tassi sul valore netto della banca;

• sulla base di duration gap e convexity gap, si stimi l’impatto di un aumento di 50 punti base della curva dei tassi sul valore netto della banca;

• si commentino brevemente i risultati

Esercizi/2



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Esercizi/2

Attività ValoreDuration

modificataConvexity modificata

Aperture di credito 1000 0 0Titoli a tasso variabile 600 0,25 0,1Prestiti a tasso fisso 800 3,00 8,50Mutui ipotecari a tasso fisso 1200 8,50 45

Passività ValoreDuration

modificataConvexity modificata

Conti correnti 1200 0 0CD a tasso fisso 600 0,5 0,3Obbligazioni a tasso fisso 1000 3 6,7


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