I FRATTALIE IL CAOS

Ilaria Lampadini 5° ES

Liceo Scientifico G. Marconi Foligno

a.s. 2014/2015

Introduzione

Galileo Galilei - 1623:“Il libro della natura è scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”

Benoit Mandelbrot -1975:“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica, oppure… mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi.”

Con le forme della geometria classica

Figure e modelli frattali

Gerla di Sierpinski

Merletto a trina di Koch

PRECURSORI FRATTALI

Cos’è un frattale

"Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti".

Benoit Mandelbrot (les objets fractals,1975)

caratteristiche

Autosimilarità:

I frattali,rispetto alle figure della geometria classica,

hanno la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte,

riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala,

caratteristiche strutturali simili.

Frattale di Mandelbrot: la figura a) si ritrova, autosimile a se stessa nei successivi ingrandimenti; addirittura ingrandendo la sottile linea

orizzontale contenuta nelle prime tre immagini, già in d) si percepisce un piccolo nodo, che, ingrandito ancora, diventa l’immagine f), la

quale contiene ancora l’immagine a).

a) b) c)

d) e) f)

caratteristiche

Dimensione Frazionaria:

I frattali possono avere dimensione non intera,

anche con infinite cifre dopo la virgola.

Codice genetico

I Frattali vengono creati attraverso dei processi iterativi: partendo da una figura start e applicando

delle trasformazioni geometriche andiamo ad individuare la figura limite.

Per individuare un Frattale basta inserire i codici delle trasformazioni ad esso associate.

I coefficienti delle trasformazioni costituiscono il codice genetico del frattale.

Schegge Prof.ssa Mara Massarucci

Raccolta di immagini…arte

Schegge Prof.ssa Mara Massarucci

Raccolta di immagini…arte

Schegge Prof.ssa Mara Massarucci

Raccolta di immagini…arte

Schegge Prof.ssa Mara Massarucci

Raccolta di immagini…arte

Schegge Prof.ssa Mara Massarucci

Raccolta di immagini…arte

Schegge Prof.ssa Mara Massarucci

Raccolta di immagini…arte

TEORIA DEL CAOS

Il 29 dicembre 1979 Edward Lorenz presentò l’EFFETTO FARFALLA:Studiando simulazioni climatiche basate su 12 variabili scoprì che cambiando leggermente i valori iniziali, i risultati discostavano nettamente dai precedenti

L’effetto farfalla sottolinea come nella maggior parte dei sistemi esistano elementi in

grado di propagarsi provocando effetti

catastrofici

SVILUPPO DELLA TEORIA DEL CAOS

TEORIA DEL CAOS

• Studiabili molti fenomeni prima “troppo complessi”• Teoria interdisciplinare = ha portato dialogo tra vari campi scientifici• Ultima e definitiva sconfitta del pensiero positivista e neopositivista

Einstein ’05 (Relatività)

Heisenberg ’27(Indeterminatezza)

Godel ‘31(Incompletezza)

Lorenz ‘63(Impredicibilità)

• Studiabili molti fenomeni prima “troppo complessi”• Teoria interdisciplinare = ha portato dialogo tra vari campi scientifici• Ultima e definitiva sconfitta del pensiero positivista e neopositivista• Restrizione enorme del campo d’azione della “Scienza”• Caduta “assiomi” scientifici

Dalle certezze … al Caos

Inizi ‘800: visione deterministica – esaltazione della scienza come conoscenza universale - positivismo

Fine ‘800- inizi ‘900:crisi del determinismo – perdita delle certezze- la scienza come continuo divenire – crisi dei fondamenti – epistemologia del '900: Kuhn, Lakatos, Feyerabend – negazione di un metodo fisso

JACKSON POLLOCK

E' l'ideatore della action painting ( pittura gestuale ). Adotta la tecnica del dripping,Consiste nel far gocciolare il colore su una tela stesa a terra.

JACKSON POLLOCK

Negli anni '90 Richard Taylor, matematico e pittore dilettante, ha intuito un possibile collegamento tra le “immagini astratte” di Pollock e le figure Frattali.

MOTI CAOTICI CONVETTIVI DEL MANTELLO

La convezione del mantello terrestre è un processo che in termini di dinamica del fluido viene definito caotico, e si pensa sia una parte integrale dello spostamento delle placche.

FINE

Un ringraziamento al Professor Primo Brandiper la disponibilità

Durante l'esame orale ho illustrato sul momento le slides seguendo in linea di massima lo schema seguente:

Nella mia tesina ho scelto di trattare la geometria dei frattali con le sue applicazioni in ambito scientifico e non, come ad esempio l’arte, ed i suoi

rapporti con la teoria del caos, elaborata nel 1900.

Galileo Galilei, che è universalmente considerato il padre del metodo scientifico, riteneva che la Matematica fosse una disciplina indispensabile per

interpretare i fenomeni naturali e per rappresentare le forme della natura, affermava infatti che:

“Il libro della natura è scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è

impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”

Il Saggiatore (1623)

A più di 3 secoli di distanza, nel 1975, Benoit Mandelbrot pubblica il libro "Les objets fractals" in cui, riprendendo la celebre frase di Galileo

sull'esistenza di una geometria della natura, commenta:

“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita

a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica, oppure oggetti perfettamente cilindrici, ecc.… mentre

osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono degli oggetti

geometricamente molto complessi.”

Questa osservazione introduce la geometria frattale, una recente branca della matematica che nasce come nuovo linguaggio di descrizione delle

complesse forme della natura, come gli alberi, ad esempio, o i cavolfiori.

Agli inizi del XX secolo, alcuni matematici avevano creato (ideato e/o inventato) curve e figure molto strane che sovvertivano le regole della

Geometria classica, violavano le caratteristiche di armonia considerate naturali per gli oggetti in campo scientifico, ad esempio una linea tutta spigoli

(il merletto di Koch), figure bucherellate (gerla di Sierpinski), figure geometriche “complesse” costruite mediante un processo iterativo. Queste figure

avevano in genere lo scopo di produrre controesempi, cioè servivano a mettere in luce “patologie” delle strutture assiomatiche introdotte. Queste

strutture furono considerate alla stregua di mostri da relegare in una sorta di museo degli orrori o da esibire solo in un circo equestre.

Solo grazie a Mandelbrot i mostri matematici, relegati negli armadi, furono spolverati e rimessi in moto acquistando la nuova veste di antenati delle

moderne figure frattali. Per dirla con le sue parole, i frattali sono nati recuperando pezzi separati pre-esistenti, ma concepiti in contesti limitati e

distinti. Dopo il rivoluzionario intervento di Mandelbrot, i matematici furono sorpresi e compiaciuti nello scoprire che le loro figure patologiche

fossero diventate la chiave di lettura della complessità tanto a lungo cercata. Negli ultimi venti anni i modelli frattali sono usciti allo scoperto,

acquistando il ruolo dl struttura chiave nella modellizzazione matematica in tutti i settori: dalle scienze naturali a quelle economiche e sociali, dalla

fisiologia alla tecnologia avanzata e il loro campo di applicazione è in costante crescita.

Mandelbrot definisce così il frattale:

"Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare

interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti".

Benoit Mandelbrot (les objects fractales,1975)

Il termine frattale deriva dal latino fractus, ovvero "spezzato, irregolare" in quanto, gli oggetti frattali hanno un'apparenza frastagliata che non viene

meno anche se si sottopongono a successivi ingrandimenti. Grossolanamente si possono descrivere come figure in cui un motivo identico si ripete su

scala continuamente ridotta. Infatti ingrandendo la figura si ottengono forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivela nuovi dettagli,

contrariamente alle figure geometriche "classiche" che tendono a "rettificarsi" quando sono ingrandite.

Un frattale possiede alcune caratteristiche fondamentali, ovvero:

• Autosimilarità

• Dimensione non intera

AUTOSIMILARITA'

I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica peculiare che,

se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali

simili. La struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia

la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo. Questo fatto ci permette di riprodurre un frattale, anche di forma complessa, con poche e semplici

istruzioni da ripetersi più volte; la riproduzione della stessa immagine punto per punto richiederebbe, con le metodologie tradizionali, centinaia di

valori numerici.

DIMENSIONE NON INTERA:

I frattali possono avere dimensione non intera, anche con infinite cifre dopo la virgola.

Questo nuovo linguaggio introduce, attraverso processi iterativi, una “dinamica” nel modello descrittivo della geometria Euclidea.

Così, mentre gli elementi del “linguaggio tradizionale” si visualizzano con facilità, i processi frattali richiedono l'ausilio di un computer. Gli oggetti

frattali fanno quindi parte della “matematica moderna” che si avvale in modo determinante delle tecnologie informatiche.

I frattali vengono creati attraverso dei processi iterativi.

Si parte da una figura start, si applica ad ogni passo una o più trasformazioni geometriche composte tra loro ripetutamente, ricorsivamente. Il frattale

rappresenta la figura asintotica, la figura limite.

Poiché ad ogni trasformazione geometrica sono associati 6 coefficienti, questi coefficienti costituiscono il codice genetico del frattale, infatti

individuano in modo unico la figura limite. Qualunque sia la figura di partenza, se applico il codice genetico del frattale, ottengo quel tipo di frattale.

Cambiando l'insieme di partenza, il risultato finale non cambia. Questo è un risultato generale, valido per qualsiasi frattale IFS. Possiamo concludere

dicendo che il frattale ottenuto non dipende dall'insieme di partenza ma solo dalle trasformazioni geometriche. Anche il numero di punti di partenza è

assolutamente irrilevante: partendo da un solo punto, il risultato finale non cambia.

Come già detto esiste un rapporto tra frattali e Teoria del Caos; con il seguente esperimento, “un pendolo caotico magnetico”, possiamo comprendere

questo rapporto ( ho proiettato ed illustrato il video, presente su youtube al seguente link: https://www.youtube.com/watch?v=KWCUh_8T91Q, video

da me modificato togliendo l'audio e tagliando le parti superflue).

Spiegazione dell’esperimento:

prendiamo una pallina di ferro sospesa a un filo, soggetta alla forza di gravità e all'attrazione di tre magneti che si trovano ai vertici di un triangolo

equilatero.

Se portiamo il pendolo in una qualsiasi posizione e lo lasciamo andare, prima o poi si fermerà su uno dei magneti, la posizione iniziale del pendolo

determina quale dei tre magneti.

Se la pallina viene lasciata vicino ad un magnete, essa sarà attratta da quel magnete. Se andiamo però a considerare tutti i punti del piano non possiamo

sapere con certezza su quale magnete la pallina si fermerà. Attraverso una simulazione al calcolatore possiamo andare a studiare il comportamento

della pallina facendola partire da qualsiasi punto del piano e possiamo, colorando il punto da cui parte con il colore del magnete su cui si ferma,

conoscere i bacini di attrazione dei tre magneti. Questi bacini sono insiemi frattali.

Collegamento tra frattali e caos: i frattali sono la rappresentazione geometrica del Caos, studiando un sistema caotico ottengo un frattale.

Per quanto riguarda la Teoria del Caos, il 29 dicembre 1979, il fisico Edward Lorenz presentò alla Conferenza annuale dell'American Association for

the Advancement of Science una relazione in cui ipotizzava come il battito delle ali di una farfalla in Brasile, a séguito di una catena di eventi, potesse

provocare una tromba d'aria nel Texas. L'insolita quanto suggestiva relazione, diede il nome al cosiddetto butterfly effect, effetto farfalla. (“Può un

battito d’ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?”)

Nel corso di un programma di simulazione del clima, Lorenz fece un'inaspettata quanto importante scoperta. Una delle simulazioni climatiche si

basava su dodici variabili, incluse relazioni non lineari. Lorenz scoprì che, ripetendo la stessa simulazione con valori leggermente diversi l'evoluzione

del clima elaborata dal computer si discostava nettamente dai risultati precedenti: a quella che si configurava appena una perturbazione, dopo

un'effimera somiglianza iniziale, si sostituiva un modello climatico completamente diverso.

Queste osservazioni hanno portato allo sviluppo della Teoria del Caos che pone limiti definiti alla prevedibilità dell'evoluzione di sistemi complessi

non lineari. Sono non lineari le situazioni di un sistema in cui piccole differenze nelle condizioni iniziali producono differenze non prevedibili nel

comportamento successivo.

Era la crisi del determinismo e la perdita delle certezze e se la fisica era scossa dal principio di indeterminazione di Heisenberg, la matematica assisteva

alla crisi dei suoi fondamenti e tutta la cultura, fino alla letteratura e alla filosofia, ne risentiva le conseguenze.

Tra tutte le definizioni create sul 1900, una sembra la più significativa: il 1900 è il secolo delle Rivoluzioni. Dopo la Relatività e la Meccanica

Quantistica, la rivoluzione più importante è la scoperta della Teoria del Caos.

All'interno della filosofia vediamo infatti nella prima metà dell'800 il Positivismo, un movimento filosofico e culturale caratterizzato dall'esaltazione

della scienza, considerata l'unica conoscenza possibile. L'unico metodo valido era quindi per i positivisti il metodo scientifico che doveva essere

applicato, esteso a tutti i campi di indagine. Con l’avvento della Teoria della Relatività di Einstein e Heisenberg, venne meno quella assolutezza e

universalità della Scienza che aveva dominato per due secoli.

La Scienza infatti, in quanto impresa umana, è complessa, relativa, condizionata da un determinato contesto storico e, soprattutto, alimentata da

presupposti non necessariamente razionalmatematici.

Questi presupposti possono essere legati alla educazione individuale dello scienziato, a determinati convincimenti che possono essere estetici o

addirittura religiosi.

Dunque: la scienza è un’impresa in cui non esiste un Metodo univoco, unidirezionale e monolitico; la scienza non è un percorso lineare e razionale, ma

è un Iceberg la cui punta è fatta di teorie razionali o matematiche, ma che hanno un retroterra “irrazionale”, storico, psicologico, estetico, religioso,

emotivo legato ad aspetti indimostrabili o ad intuizioni improvvise non necessariamente

pianificate.

I frattali, come detto all’inizio, hanno delle applicazioni anche all’interno di ambiti non strettamente scientifici, come l’arte. Ne sono un esempio le

opere di Jackson Pollock (1912-1956), l'ideatore della così detta action painting (pittura gestuale) che assegna un ruolo fondamentale al gesto creativo

dell’artista.

Per ottenere il massimo della libertà creativa, riducendo al minimo il condizionamento mentale e fisico, Pollock adotta la tecnica del dripping (ispirata

alle pitture rituali realizzate sulla sabbia dagli indiani Navajo) che gli consente di disporre il colore sulla tela stesa a terra grazie alla forza di gravità, in

un processo ripetitivo e dinamico che sovrappone a più riprese vari strati di colore.

Negli anni ’90 Richard Taylor, matematico e pittore dilettante, ha intuito un possibile collegamento fra le “immagini astratte” di Pollock e le figure

frattali. Un’accurata indagine scientifica, basata sul metodo del box-counting, ha messo in luce un fatto sorprendente: i dipinti dell’artista presentano

una struttura “invariante per scala” tipica dei frattali. Inoltre la dimensione frattale dei quadri di Pollock è praticamente costante nel contesto di una

stessa fase creativa, ma aumenta con il procedere della evoluzione artistica, a “dimostrazione” di una maggiore complessità formale dei suoi quadri.

Il Caos è presente anche all’interno della Terra. La convezione del mantello terrestre è un processo che in termini di dinamica del fluido viene definito

caotico, e si pensa sia una parte integrale dello spostamento delle placche.