Guida 1A-3 [2009 - 2010]

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UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE DI MILANO FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA

GGiioovvaannnnii LLaarriicccciiaa

MMaatteellssuupp11

MMAATTEEMMAATTIICCHHEE EELLEEMMEENNTTAARRII DDAALL

PPUUNNTTOO DDII VVIISSTTAA SSUUPPEERRIIOORREE ((SSEE))

(Esame obbligatorio per gli studenti del secondo anno di corso)

Anno Accademico 2009 – 2010

Guida 1A-3 (Guida alla preparazione all’ esame di Matelsup1

seguendo il percorso A, secondo anno)


Sommario

Obiettivi del corso ................................................................................... 4

Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture, operazioni, algoritmi ....... 5

Alcuni assiomi di base ............................................................................. 6

Se faccio, capisco ............................................................................................................................. 6

Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica! ............................................... 6

Un programma, due percorsi .................................................................... 8

La presente Guida A ................................................................................ 9

Obiettivo finale del corso Matelsup1 ........................................................ 10

Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica .................................... 11

Il versante apprendimento ..................................................................... 12

In che cosa consiste l’ esame ................................................................. 13

Lavori individuali e lavori di gruppo ......................................................... 14

Le tre fasi dell’ apprendimento matematico .............................................. 15

Gli strumenti per rappresentare, comunicare, costruire .............................. 16

I siti per costruire le conoscenze ............................................................. 17

I siti wiki - wetpaint ........................................................................................................................ 17

Blackboard .......................................................................................... 19

Mediafire: un deposito di emergenza ....................................................... 20

I blog in generale e il vostro blog in particolare ......................................... 21

Un esempio di blog molto ben condotto: Irene Frondoni ............................................................... 21

Le prove del percorso A (da A00 a A09) ................................................... 22

I-AB-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di studio ...................... 22 G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’ educazione matematica

nei paesi emergenti ..................................................................................... 23 I-AB-02 – Io e la matematica ....................................................................... 24 I-AB-03 – Il genio della porta accanto ............................................................ 24 IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico ................................................... 25 I-AB-05 – La mia famiglia ............................................................................ 25 G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale .................................... 27 G-A-07 – Le figure di Sierpinski .................................................................... 28 GA-08 – Calcolare a mente secondo C. Bortolato ............................................. 30 GA-09 – Contare con Iplozero 2009 ............................................................... 30

Iplozero 2009 e QQ.storie ...................................................................... 33

A cosa servono? .............................................................................................................................. 33

Indicazioni pratiche relative a Iplozero 2009 ............................................. 34

Il sistema operativo di riferimento .................................................................................................. 34

Da dove si scaricano ....................................................................................................................... 34

Installazione .................................................................................................................................... 34


La prima esecuzione ....................................................................................................................... 34

Registrazione .................................................................................................................................. 35

Bibliografia essenziale ........................................................................... 36

Bibliografia generale ............................................................................. 37

Appendice Numero 1 ............................................................................. 42



Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto ................... 46

Premessa ................................................................................................... 46

Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello ............................... 48

Come va condotta l' intervista ........................................................................................................ 48

Domande di base ............................................................................................................................ 48

Appendice Numero 5 - Keith Devlin: pensare la matematica ....................... 51

Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin .................................................... 51 Pensare la matematica, di Keith Devlin ........................................................... 52

Appendice Numero 6 - Il rapporto Oecd – Pisa: una ricerca tra i 15enni di 57 paesi del mondo ................................................................................... 58

Appendice Numero 7 – Rapporto PISA: flop della scuola o questione settentrionale? ..................................................................................... 59


Obiettivi del corso Acquisire consapevolezza del ruolo della matematica nello sviluppo della civiltà e nello sviluppo

cognitivo individuale, con particolare riguardo alle abilità numeriche. Acquisire competenze sulle

strutture aritmetiche elementari e sui relativi algoritmi. Saper osservare, registrare ed analizzare il

comportamento di bambini e di adulti che svolgono semplici operazioni aritmetiche anche in una base di

numerazione diversa dalla base dieci, eventualmente con sussidi o strumenti di calcolo appropriati.

(dalla Guida al Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria)


Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture,

operazioni, algoritmi La rappresentazione delle conoscenze, il costruttivismo e la metacognizione nello studio dei processi di

apprendimento - insegnamento della matematica: se faccio, capisco, imparare a imparare. La natura

duale (dichiarativo-procedurale) del sapere matematico: sapere e saper fare. Cosa ci dicono la scienza

cognitiva della matematica e l‟informatica della mente sulle nostre capacità numeriche (innate,

acquisite). L‟aritmetica dei libri scolastici e l‟aritmetica di strada: cosa si deve sapere e cosa si deve

saper fare per sopravvivere nella nostra civiltà. Importanza della didattica metacognitiva per favorire

l‟apprendimento dell‟aritmetica. Strategie di calcolo mentale. Sussidi e strumenti di calcolo. Il paese di

matelandia: come portare i bambini ad essere matematici piuttosto che insegnare la matematica. Brevi

cenni allo sviluppo della matematica nella storia e alla vita di alcuni geni della matematica. Sistemi di

numerazione in base diversa da dieci. Abaci e supporti per il calcolo nella storia dell‟umanità. Come si

costruiscono, si raffinano e si mantengono le abilità matematica (brain training).


Alcuni assiomi di base Prima di parlare di come si deve preparare il programma del corso di Matematiche Elementari da un

Punto di Vista Superiore vogliamo o fissare alcuni assiomi di base..

Ci sono due versanti in questo in questo corso e quindi due sezioni degli assiomi di base.

Il primo versante lo chiameremo versante apprendimento. Sul versante dell'apprendimento i miei

assiomi di base sono i seguenti.

Se faccio, capisco

La matematica si capisce soltanto facendola. Questo assioma è stato assunto come base per un

importantissimo progetto di apprendimento - insegnamento della matematica della matematica chiamato

"Se faccio, capisco".. Il progetto di cui parliamo si chiama Progetto Nuffield. Risale alla seconda metà

degli anni 60 ed è stato finanziato in Gran Bretagna dalla fondazione Nuffield. Le guide per gli allievi e

per gli insegnanti del progetto Nuffield sono state tradotte in Italia dalla casa editrice Zanichelli ed

hanno avuto un grande rilievo negli ambienti dei cultori della Didattica della matematica all'inizio degli

anni 70.

Ma non sono soltanto gli esperti di didattica che asseriscono che la matematica si capisce facendola.

Anche la maggior parte dei ricercatori matematici concordano su questo assioma. Ecco come si esprime

a questo proposito il presidente del Festival internazionale della matematica che si è tenuto nel 2007 a

Roma e si ripete ogni anno, sempre a Roma , durante il mese di marzo. Questo scienziato afferma più o

meno testualmente: “ perché noi matematici sappiamo bene che la matematica si comprende soltanto

facendola. Quando uno di noi deve rivedere una pubblicazione scientifica fatta da un collega, deve

ripercorrere passo passo tutte le dimostrazioni che il collega ha fatto per potere capire quello che egli

afferma di avere scoperto”.

E‟ bene ricordare che la frase “Se faccio capisco” rappresenta la conclusione di un noto proverbio cinese

che preso nella sua interezza dice “ Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco”.

Dunque io ho deciso di prendere come assioma – ovvero come una asserzione di base di cui non intendo

fornire la dimostrazione perché sin troppo evidente! - il fatto che la matematica per capirla bisogna

farla.

Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica!

Un altro supporto a questo assioma viene fornito da Seymour Papert, un illustre matematico ed

epistemologo sudafricano che ha lavorato per due anni con il grande psicologo Jean Piaget, uno dei

maggiori psicologi del „900, che ha studiato la nascita e lo sviluppo dell‟ intelligenza nel bambino

fondando quella branca del sapere che si chiama epistemologia genetica.

Seymour Papert ha lavorato per due anni con Jean Piaget, occupandosi di della nascita dei concetti della

cibernetica nei bambini e contribuendo alla stesura di saggi molto importanti in questo settore in

collaborazione con Piaget ed altri collaboratori.

Successivamente Papert si recò negli Stati Uniti dove insieme a Marvin Minsky è uno dei pionieri degli

studi che vanno sotto il nome di Intelligenza Artificiale e fonda un laboratorio di ricerca sull‟

Intelligenza Artificiale presso il Massachusetts Institute of Technology, una delle più prestigiose

università americane con sede a Cambridge, Massachussetts.


Dopo avere collaborato alla stesura di importanti contributi allo sviluppo della intelligenza artificiale -

ricordiamo un'opera fondamentale chiamata Perceptrons, scritta con Marvin Minsky, Papert entra a far

parte del progetto Logo sviluppato presso la società Bolt Beranek & Newman per conto del governo

americano.

Il progetto Logo si propone di sviluppare un contesto in cui i bambini diventano capaci di progettare

programmi per computer allo scopo di interagire in modo autorevole con il computer stesso. Lo scopo

del progetto Logo non è quello di creare dei programmatori ma di rivolgersi a dei bambini piccoli a

partire da 6 - 7 anni per metterli in condizione di dominare la logica del computer.

Al progetto partecipano diversi specialisti del settore della intelligenza artificiale dell'epoca. Tra questi

citiamo Daniel Bobrow.

Seymour Papert in una pubblicazione per il Mit della serie dei Logo Memo del 1969 dichiara

semplicemente che “è meglio allevare dei piccoli matematici piuttosto che insegnare la

matematica”.

Questa affermazione all‟ epoca apparì piuttosto provocatoria – ed in effetti voleva proprio essere tale! -

ma dopo alcuni decenni in cui gli psicologi hanno continuato ad investigare sulle difficoltà connesse all‟

apprendimento della matematica e sui metodi per superarle, appare come profetica

Oggi si parla infatti di metacognizione e di didattica metacognitiva per intendere il fatto che l‟

apprendimento della matematica, per essere efficace, deve essere consapevole.

E si lavora molto sulla possibilità di favorire questa consapevolezza e questo pieno coinvolgimento dell‟

allievo usando il gioco come metodologia di coinvolgimento.

Dunque la dichiarazione rivoluzionaria di Seymour Papert ha avuto un seguito, sia pure in modo

indiretto, ed oggi verrebbe sottoscritta dalla maggior parte degli esperti di didattica della matematica.

Noi la prendiamo come uno degli assiomi sul versante apprendimento della matematica.


Un programma, due percorsi Per preparare l‟ esame di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore (SE) – d‟ ora in

avanti abbreviato con la sigla Matelsup1 – gli studenti possono seguire due percorsi distinti,

contraddistinti dalle lettere A e B. I due percorsi sono assolutamente coerenti tra di loro e derivano

entrambi dallo stesso, il programma ufficiale del corso che abbiamo appena trascritto.

Lo studente che ha scelto uno dei due piani può comunque, anche a metà del piano, passare all‟ altro

piano. Se una persona passa dal Percorso A al Percorso B deve soltanto comunciarlo al docente. Se

invece si vuole passare dal Percorso B al Percorso A - eventualmente conservando alcuni lavori già

svolti per il Percorso B - occorre negoziare con il docente la personalizzazione del proprio percorso.

Scegliere il Percorso A piuttosto che il Percorso B non comporta alcun privilegio o vantaggio, in termini

sia di tempo che di quantità di studio e, di conseguenza, in termini di risultato finale. Una persona che

ha seguito la Guida A può effettuare una preparazione affrettata ed ottenere un cattivo risultato all'

esame, così come una persona che segue la Guida B, studiando con intelligenza ed impegno, può

ottenere comunque il massimo dei voti e la lode.


La presente Guida A La presente Guida A riguarda dunque in modo specifico il Percorso A. Il Percorso A - che abbiamo

definito sperimentale - si rivolge principalmente a coloro che hanno frequentato il corso ed hanno

accettato la sfida di un piano di lavoro dinamico, creativo ed interattivo, basato sul dialogo e sulla

iniziativa da parte dello studente a cui corrisponde una risposta flessibile da parte del docente.


Obiettivo finale del corso Matelsup1 L‟ obiettivo finale del corso MatelSup1 è quello di avvicinare o riconciliare gli allievi con la

matematica, alle sue metodologie e alle sue strategie, dando loro la percezione di quanto questa

disciplina sia importante per la costruzione e la manutenzione della nostra civiltà e di quanti ambiti

disciplinari si occupino oggi della questione.

Riteniamo che in un corso di trenta ore, a cui si aggiungeranno mediamente altre sessanta ore di

preparazione all‟ esame, non sia possibile in alcun modo costruire delle competenze significative in

ordine alla struttura delle conoscenze matematiche e, soprattutto, ai problemi relativi all‟ apprendimento

e all‟ insegnamento di questa materia nella scuola primaria.

Crediamo che l‟ unico modo di ottenere un risultato significativo, il più esteso possibile, sia quello di far

provare in modo diretto agli allievi un certo numero di esperienze di apprendimento.

Al tempo stesso pensiamo che sia estremamente utile dare a tutti coloro che sosterranno questo esame

che di fronte al compito immane di costruire delle competenze matematiche adeguate alla nostra epoca e

al nostro paese non siamo soli, ma possiamo con relativa facilità entrare a far parte di alcune reti di

costruzione e condivisione di conoscenze e competenze che ci potranno accompagnare per tutta la

durata della nostra vita professionale.


Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica Questo corso è centrato sui numeri e sulla aritmetica elementare con tutto quello che intorno ai numeri si

può sapere e saper fare.

Una parte centrale del corso è dedicata alla rappresentazione delle conoscenze ed alla soluzione dei

problemi.


Il versante apprendimento Sul versante apprendimento, il corso di Matelsup1 parte dal presupposto che, in qualche modo, tutti noi

abbiamo una base innata di competenze matematiche anche se queste competenze possono, negli anni

essere state “soffocate sul nascere” o addirittura “sterilizzate”, dando luogo addirittura a delle avversioni

e in qualche caso ad un vero e proprio terrore per la matematica.

D‟ altra parte un insegnante di scuola primaria non può in alcun modo avere un rapporto incerto o

ambiguo con questa disciplina, che è importantissima per l‟equilibrio cognitivo dei suoi futuri allievi.

Durante il corso – ovvero durante il periodo di preparazione dell‟ esame - gli allievi dovranno quindi

compiere un percorso di avvicinamento o riavvicinamento alla matematica documentato con precisione.

Dovranno sperimentare in prima persona alcuni processi di apprendimento e di costruzione del sapere

matematico. Per farlo dovranno esplorare, osservare e costruire degli artefatti comunicabili e

scambiabili con tutti gli altri allievi del corso.

Ciascuno di tali artefatti rappresenterà quindi tassello di un sapere comune e condiviso costruito dagli

stessi allievi sotto la guida del docente. Per consentire questa costruzione cooperativa abbiamo pertanto

scelto uno strumento chiamato Wetpaint, che rappresenta una delle modalità in cui si può costruire un

wiki. Per capire il rilievo di questa forma di comunicazione in cui tutti sono sia lettori che potenziali

autori basterà citare l‟ esempio più conosciuto che è l‟ enciclopedia Wikipedia. Ma anche diverse

comunità di matematici professionisti hanno costruito dei wiki, uno dei quali (mathforum.org), a cui

possono partecipare con naturalezza soltanto coloro che parlano inglese, è servito da modello

concettuale e da punto di partenza per la costruzione del nostro wiki in wetpaint.


In che cosa consiste l’ esame Nel momento in cui l‟ allievo ha superato tutte le prove - di cui parleremo in modo dettagliato più avanti

in questo documento - ed ha documentato concretamente il suo percorso di apprendimento, partecipando

attivamente alla costruzione del sapere condiviso attraverso la costruzione del sito wiki – wetpaint

relativo a questo corso, può essere ammesso a sostenere l‟ esame.

Durante l‟ esame il candidato sarà invitato a sostenere una conversazione sulle prove realizzate: ma

potrà anche essere invitato a sostenere prove analoghe ma ovviamente non identiche a quelle che ha

sostenuto nel corso della sua preparazione.


Lavori individuali e lavori di gruppo Due delle otto prove indicate nel seguito - e precisamente la prova B06 e la prova B07 - possono essere

svolte da un piccolo gruppo di persone. Questo non rappresenta uno “sconto”, quanto una metodologia

di apprendimento: in generale la matematica si impara meglio facendola, e per superare ostacoli ed

indecisioni il lavorare in gruppo può aiutare molto.

I gruppi, di regola, non dovrebbero mai superare le quattro unità, perché al di sopra di questo numero si

rischia di aumentare la complessità della comunicazione all‟ interno del gruppo e poi non tutti i

partecipanti possono riuscire ad esprimersi.

L‟ ideale è mettere insieme un gruppo con cui svolgere tutte le prove. Ma in linea di principio uno

potrebbe anche avere diversi gruppi per le due prove.

Ogni candidato deve rispondere personalmente del lavoro del gruppo ed essere in grado di spiegare i

risultati raggiunti e di difendere le posizioni assunte dall‟ intero gruppo.


Le tre fasi dell’ apprendimento matematico L‟ intero corso e ciascuna delle prove in cui esso è organizzato possono essere articolate in tre fasi

distinte.

Fase A: Esplorazione - Rendersi conto di quello che esiste, nella realtà, dentro e fuori di noi, nella

letteratura generale e specifica

Fase B: Osservazione – Osservazione diretta dei fenomeni in oggetto o delle prestazioni proprie e di

altri con riferimento alla prova in questione.

Fase C: Costruzione – Costruzione di un albero delle competenze necessarie per ottenere un buon

risultato nella prova in oggetto. Costruzione di un percorso di avvicinamento alla performance

desiderata.


Gli strumenti per rappresentare, comunicare, costruire Per rappresentare le conoscenze relative ad una prova o all‟ intero programma possono essere utilizzati

alcuni programmi di computer come:

Cmaptools – Una applicazione di pubblico dominio che consente di costruire in modo molto

semplice ed intuitivo delle mappe concettuali praticamente su qualunque argomento.

Microsoft Power Point – Uno strumento classico per costruire presentazioni. Ma anche una

serie di scatole degli attrezzi per realizzare diagrammi di varia complessità.

Iplozero 2009 – Un linguaggio di programmazione ideato e sviluppato da G. Lariccia e G.

Toffoli con una interfaccia ad icone che consente di creare programmi interattivi e storie

matematiche praticamente su qualunque argomento.

QQ.storie, una applicazione contenitore che consente di costruire storie di contenuto

matematico, con il testo scritto in word ed i disegni o le animazioni scritte nel linguaggio

Iperlogo oppure in una delle tante “scatole degli attrezzi” create apposta per qq.storie nell‟

ambito di un progetto quadro chiamato IperQQ.

Nota: i programmi Iplozero 2009 e QQ.storie non sono obbligatori per il Percorso B: ma li abbiamo

qui riportati in quanto una persona che sta seguendo il Percorso B può in qualunque momento - magari

perché ha trovato un collega con cui fare gruppo – ritornare sul Percorso A.

E comunque perché non si esclude che una persona che segue il percorso B e che quindi per motivi

comunque validi non è in grado di interagire con il docente, desideri e possa usare i programmi Iperlogo

e QQ.storie anche da solo. E‟ successo in passato e potrebbe succedere nuovamente in futuro.

Conviene segnalare, a questo proposito, che il sito ufficiale di riferimento per QQ.storie che si chiama

www.imparareaimparare.it. Che potrà nei mesi a venire essere integrato dal sito di tipo wiki-wetpaint

imparareaimparare.wetpaint.com.

http://www.imparareaimparare.it/

http://imparareaimparare.wetpaint.com/


I siti per costruire le conoscenze Per costruire conoscenze condivise facilmente accessibili da una rete di persone con obiettivi comuni

abbiamo deciso di adottare un tipo di sito chiamato Wiki.

Il modello più conosciuto dei siti di tipo Wiki è la famosa enciclopedia Wikipedia. Non potendo

pretendere che gli allievi del corso diventino in poco tempo autori di articoli di Wikipedia, abbiamo

deciso di adottare un modello simile, ispirato agli stessi principi di Wikipedia, proposto dai creatori dei

siti della famiglia Wetpaint (www.wetpaint.com).

Tra le finalità previste da Wetpaint ci sono proprio quelle di consentire la costruzione e la manutenzione

di siti di supporto a dei corsi come il nostro.

Ci è sembrato che i siti educativi di Wetpaint rispondessero particolarmente bene allo scopo di

consentire la costruizione collaborativa di un sapere condiviso sui fondamenti della matematica da

approfondire in vista del suo insegnamento nella scuola primaria e dell‟ infanzia.

I siti wiki - wetpaint

Abbiamo così creato un sito contenitore per consentire a tutti gli studenti di Matelsup1 di familiarizzarsi

con la tecnica Wiki – Wetpaint. A questo sito si può accedere attraverso l‟ indirizzo

matelsup1-2.wetpaint.com

Andando su questo indirizzo potete facilmente iscrivervi da soli (cliccando sul pulsante JOIN THIS

GROUP e fornendo quindi le vostre generalità). Oppure potete chiedere al docente di invitarvi.

A questo sito se ne sono aggiunti tanti altri, raggiungibili dal primo attraverso opportuni collegamenti

ipertestuali, per trattare argomenti specifici in modo semplice e trasparente.

Possiamo fare una distinzione tra i wiki – wetpaint di tipo “generalista” – quelli che accolgono tutte le

persone afferenti ad un corso o un laboratorio; ed i wiki – wetpaint di tipo “specialista” – quelli che

nascono attorno ad un argomento specifico.

Al momento attuale i gruppi wiki-wetpaint che ruotano attorno alla matematica ed al suo insegnamento,

sia di tipo generalista che di tipo specialista, creati dal docente o da gruppi di allievi con il supporto del

docente, sono i seguenti:

SITI WIKI – WETPAINT GENERALISTA

Didalab 07 (2007 – 2008): http://didalab7.wetpaint.com

Didalab DM85 Infanzia: http://didalab85infanzia.wetpaint.com

Didamat 07 (2007 - 2008): http://didamat7.wetpaint.com

Didamat DM85 Primaria : http://didamat85.wetpaint.com

Matelsup1 (aritmetica) – Vetrina: http://matelsup1.wetpaint.com

MatElSup2 - Geometria: http://matelsup2.wetpaint.com

SITI WIKI – WETPAINT DI TIPO SPECIALISTA

Fare pratica con QQ.storie: http://qqstorie.wetpaint.com

Frattali: http://frattali.wetpaint.com

Giochi matematici: http://giochi-matematici.wetpaint.com

I blocchi logici nella didattica: http://blocchi-logici.wetpaint.com

Il tangram nella scuola primaria: http://tangram.wetpaint.com

http://www.wetpaint.com/

http://matelsup1.wetpaint.com/

http://didalab7.wetpaint.com/

http://didalab85infanzia.wetpaint.com/

http://didamat7.wetpaint.com/

http://didamat85.wetpaint.com/



http://qqstorie.wetpaint.com/

http://frattali.wetpaint.com/

http://giochi-matematici.wetpaint.com/

http://blocchi-logici.wetpaint.com/

http://tangram.wetpaint.com/


Imparare a imparare: http://imparareaimparare.wetpaint.com

La felce come oggetto frattale: http://felce.wetpaint.com

Primi passi in Iperlogo: http://primi-passi-in-iperlogo.wetpaint.com

Primi passi in QQ.storie: http://primi-passi-in-qqstorie.wetpaint.com

Primi passi su Blackboard: http://primi-passi-su-blackboard.wetpaint.com

Sei personaggi in cerca di math: http://sei-personaggi.wetpaint.com

Sierpinski: http://sierpinski.wetpaint.com

Il cavolfiore come forma frattale: http://cavolfiori.wetpaint.com

Il fiocco di neve come frattale: http://fioccodineve.wetpaint.com

http://imparareaimparare.wetpaint.com/

http://felce.wetpaint.com/

http://primi-passi-in-iperlogo.wetpaint.com/

http://primi-passi-in-qqstorie.wetpaint.com/

http://primi-passi-su-blackboard.wetpaint.com/

http://sei-personaggi.wetpaint.com/

http://sierpinski.wetpaint.com/

http://cavolfiori.wetpaint.com/

http://fioccodineve.wetpaint.com/


Blackboard La piattaforma di Blackboard, per via della sua grande capacità e solidità, rimane sino a prova contraria

lo strumento più adatto per gestire gli aspetti più formali del corso.

Blackboard ci offre infatti uno spazio praticamente infinito e la possibilità di archiviare, classificandoli

in modo ordinato, tutti gli elaborati in vista dell‟ esame.

Su Blackboard vanno quindi “caricati” tutti gli elaborati corrispondenti alle prove sette prove (da B00 a

B06) che troverete descritte nel seguito di questo documento.

Gli elaborati vanno caricati in una cartella destinata ai lavori individuali, in corrispondenza all‟ appello

d‟ esame in cui pensate di presentarvi; oppure nella cartella destinata ai lavori di gruppo. Gli elaborati

relativi al cosiddetto “preappello” vanno caricati nella cartella “Valutazione”.

Per caricare un elaborato su Blackboard, dovete essere dotati dei cosiddetti “poteri magici”: dovete cioè

chiedere al docente, o ad un collega che già ha ottenuto tali poteri, di diventare Teaching Assistant.

Nella propria cartella di Blackboard si possono anche mettere dei collegamenti (sotto forma di External

Links) a dei siti esterni a Blackboard, per esempio ad un blog o a un sito wiki-wetpaint o ad un “sito

magazzino” che abbiamo creato in http://www.mediafire.com .

Come si fa a fare creare un External Link ce lo spiega Laura Acconcia in una pagina appositamente

creata per questo scopo sul sito:


http://www.mediafire.com/



Mediafire: un deposito di emergenza La piattaforma di Blackboard a volte può diventare satura può succedere cioè che occupiamo tutto lo

spazio che viene dato disposizione di un corso in questo caso le prove supplementari verranno inserite in

un deposito chiamato http://www.mediafire.com. Per usare il deposito dovete accedere con le seguenti

coordinate:

Account = [email protected]

Password = provaci

In questo modo potrete usufruire di un ampio spazio che è stato riservato a voi dal docente proprio per

questo scopo e potrete non avere il fastidio di una pubblicità invadente che è connessa a questo tipo di

siti con accesso sostanzialmente gratuito. Fatene un buon uso e siate molto ordinati e precisi nell‟ usarlo,

collocando tutti i vostri lavori nella cartella appropriata!

http://www.mediafire.com/

mailto:[email protected]


I blog in generale e il vostro blog in particolare I blog sono un genere letterario molto diffuso su internet. Il nome blog è un acronimo (cioè in buona

sostanza una abbreviazione) che sta per web log, che vuol dire registro su web. In altre parole è un

diario, che una persona scrive perché altri la vadano a consultare. Famosi sono alcuni blog come quelli

di Luca Sofri, o di alcuni testimoni oculari di fatti importanti e drammatici. Molti giornalisti o esperti

tengono da anni il loro blog che funziona un po‟ come la posta del direttore di un quotidiano o di una

rivista, sia pure con le regole di internet.

Per documentare il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto durante la preparazione dell‟

esame, l‟ allievo è invitato a costruirsi e a mantenere un blog sull‟ argomento.

Per costruire il vostro blog dovrete usare una piattaforma molto solida e molto conosciuta chiamata

Wordpress.

Ad esempio, se il vostro nome è Pinco Pallino, andando sul sito www.wordpress.com potrete

selezionare la lingua italiana e creare un'account con cui potrete realizzare i blog che volete.

In questo modo potrete costruire un blog chiamato http://pincopallinoeinumeri.wordpress.com usando le

regole suggerite dei gestori del blog.

Un esempio di blog molto ben condotto: Irene Frondoni

Nel momento in cui scrivo posso già segnalare almeno un blog realizzato veramente a regola d‟ arte: è

quello di Irene Frondoni che potete consultare all‟ indirizzo http://irene711.wordpress.com/.

Prima di tutto è stato realizzato durante il corso e non soltanto alla fine. Poi contiene un sacco di

riflessioni interessanti, delle prove aggiuntive.

E‟ inoltre impaginato a regola d‟ arte.

http://www.wordpress.com/

http://pincopallinoeinumeri.wordpress.com/

http://irene711.wordpress.com/


Le prove del percorso A (da A00 a A09) Elenchiamo qui di seguito le prove, cercando di indicare, per ciascuna di esse, dove ci si può

documentare (nella Fase A: Esplorazione), in quale modo si può osservare (nella Fase B: Osservazione)

e come si può costruire una gerarchia di competenze o un percorso di apprendimento relativo alla prova

in oggetto.

I-AB-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di studio

L‟ allievo dovrà, all‟ inizio della preparazione di questo esame, dotarsi di un blog come quello indicato

in precedenza. Su questo blog lo studente dovrà documentare il percorso di avvicinamento alla

matematica che ha luogo durante la preparazione dell‟ esame.

Il blog potrà ovviamente incrociarsi con i siti ed i documenti relativi alle varie prove successive,

descritte nel seguito di questo documento.

Questo documento, come tutti gli altri, va caricato su Blackboard, nello spazio dedicato al corso di

Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore, nella cartella dei lavori individuali.

Il blog ha lo scopo di consentire all‟ allievo di esprimere le emozioni che prova nel venire a contatto con

una materia, la matematica, che spesso viene percepita in modo distorto e generalmente negativo dalla

maggior parte delle persone.

Il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto attraverso il corso suggerisce di considerare la

matematica come una disciplina amica, anzi, addirittura in qualche modo connaturata con noi.

E‟ come se scoprissimo che nel profondo della nostra mente ci sono delle radici matematiche in parte

addirittura innate. Scoprire la matematica in modo libero e spontaneo è come ritrovare dentro di sé la

capacità di comprendere e parlare una lingua universale di cui avevamo perso le tracce.

Irene non si è limitata a fare delle considerazioni o delle ricerche sui temi trattati, ma ha costruito anche

delle strutture alternative a quelle proposte.

Riportiamo qui ad esempio un paio di illustrazioni di un abaco in base 3 realizzato in Power Point e

scaricabile facilmente dal blog di Irene


Ancora, dal blog di Irene, segnaliamo un approfondimento sulla Etnomatematica, con una figura che

rappresenta il Bantumi, un gioco africano oggetto di studi da parte degli esperti del settore.

G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’

educazione matematica nei paesi emergenti

Lo scopo di questa prova è quello di fare in modo che gli studenti si rendano conto di quanto è

importante la matematica nel nostro mondo e di quale peso deve essere, di conseguenza, attribuito all‟

educazione matematica.

In questa Guida presentiamo questa prova in una modalità che è adatta ad essere svolta a livello di

gruppo. Chi non si sente di svolgere la prova in questo modo può sempre fare riferimento alla

corrispondente prova del percorso B.

Per svolgere correttamente questa prova dovete innanzitutto leggere il libro “Noi e i numeri” di Luisa

Girelli [GIRELLI 2006]. E‟ bene che ciascuno dei componenti del gruppo legga il libro con molta

attenzione. Può essere utile, dopo la lettura, organizzare una discussione per confrontarsi sui temi

sollevati dal libro.

Il secondo passo da compiere è l‟ analisi del rapporto Oecd – Pisa 2006 che ha valutato, comparandole,

le competenze matematiche degli studenti di 57 diversi paesi all‟ età di 15 anni. In fatto di competenze

matematiche l‟ Italia si classifica al 38° posto (vedi appendice 6), ovvero decisamente male!

Nel libro “Centomila punture di spillo” pubblicato di recente, Carlo De Benedetti e Federico Rampini

sottolineano il fatto che nei paesi ad economia emergente, l‟ educazione matematica viene considerata


molto più che da noi. Il basso livello di competenza matematica dei nostri quindicenni sarebbe quindi un

segno del declino del nostro paese, mentre per invertire la tendenza dovremmo – sostengono gli autori!

– dare molto maggiore peso all‟ educazione matematica elementare.

In una ricerca sulla educazione matematica in India e Singapore svolta da alcuni ricercatori statunitensi

viene sottolineato inoltre il ruolo della pressione sociale da parte delle famiglie. In India e a Singapore i

genitori fanno capire ai loro figli essere bravi in matematica è molto importante.

Provate a scoprire in quale modo questa importanza si traduce in pratica cercando di scoprire quale e

quanta matematica ed in quale modo si insegna nelle scuole dell‟ infanzia ed elementare in Cina, in

India, in Brasile o in Russia. Oppure nei paesi che, come la Finlandia, il Canada, risultano ai primi posti

nella classifica del rapporto Oecd – Pisa.

I-AB-02 – Io e la matematica

In questa prova devi tracciare una storia dei tuoi rapporti con la matematica, dalle origini - ovvero dalla

tua nascita! - ai nostri giorni.

In questo documento devi mettere a fuoco, suddividendola in periodi corrispondenti ai livelli prescolari

e scolari, la storia delle attrazioni e repulsioni tra te e la matematica. Dovrai quindi raccontare in modo

preciso ma possibilmente anche abbastanza vivace e colorito:

l‟ evoluzione della tua idea di matematica: quando hai sentito per la prima volta questa parola, a

cosa l‟ hai associata; quando e come hai eventualmente cambiato idea sulla matematica;

cosa pensi, oggi, che sia la matematica e cosa rappresenta per te

parla delle esperienze, positive e negative, di apprendimento e di insegnamento con cui sei

venuto a contatto, dei tuoi maestri buoni e cattivi

chi e come ha influito sulla tua competenza matematica in senso positivo o negativo (amici,

parenti, libri, articoli, personaggi pubblici, attori, etc.)

chi sono e cosa fanno oggi i matematici - secondo te e limitatamente a quello che puoi capire

Formato da adottare: una presentazione di Power Point di una ventina di slides di media densità,

eventualmente con qualche immagine per rendere gradevole e scorrevole la presentazione.

Questa prova va svolta assolutamente prima della prossima, perché l‟ intervista al genio della porta

accanto potrebbe modificare la vostra concezione attuale della matematica, che vi abbiamo chiesto di

descrivere

I-AB-03 – Il genio della porta accanto

Una intervista oppure una descrizione precisa e dettagliata della personalità di una persona a noi vicina

che ha avuto con la matematica un rapporto positivo e costruttivo, fino a farne in qualche modo una

ragione di vita.

La persona da descrivere o intervistare tuttavia potrebbe anche essere una persona che ha avuto

difficoltà oggettive nell‟ apprendimento della matematica, in quanto portatore di un handicap generico o

specifico come la discalculia.

Nell‟ Appendice Numero 4 viene tracciato lo schema di una possibile intervista. E‟ inutile sottolineare

che l‟ intervista va concepita su misura del soggetto da intervistare, sia per non metterlo in difficoltà o in


imbarazzo; sia per ottenere da lui la maggiore quantità di informazioni possibile, anche in forma

confidenziale!

Anche questa prova va realizzata in PowerPoint con una presentazione di almeno 20 slides di media

densità quanto più possibile efficaci da un punto di vista comunicativo e magari anche gradevoli.

IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico

Questa prova consiste nella realizzazione di una intervista virtuale ad un grande matematico

contemporaneo o del passato. Per l‟ esame di Matelsup1 dovete scegliere una figura di matematico che

si è occupato in modo particolare di numeri o di aritmetica.

La prova può essere superata facendo riferimento a ricerche su Internet o su libri o su articoli divulgativi

spesso presenti sui giornali e sulle riviste che parlano della vita del matematico in oggetto. Dovrete

cercare nella figura da voi scelta tutte le caratteristiche che lo rendono vicino o lontano dalle persone

comuni, in termini sia cognitivi che di personalità.

Può essere utile, prima di svolgere questa prova, leggere l‟ intervista a Keith Devlin, un matematico

grande divulgatore della matematica, fatta da Gabriele Lolli e ripresa dal sito Polymath del Politecnico

di Torino. La riportiamo nell‟ appendice 5.

Tra i grandi matematici vi raccomando a modi prendere in considerazione le figure femminili

abbastanza rare in passato per un pregiudizio assurdo che è accaduto soltanto negli ultimi cinquant'anni

secondo il quale le donne sarebbero state poco adatte alla matematica.

Un elenco significativo di figure di matematiche donne si trova nel libro La crisalide e la farfalla di

Gabriele Lolli di cui trovate una recensione ed alcuni estratti su internet all‟ indirizzo

http://tecalibri.altervista.org/L/LOLLI_crisalide.htm#p009

I-AB-05 – La mia famiglia

La rappresentazione della struttura della propria famiglia, se fatta in modo preciso e rigoroso, può

costituire il modo più naturale di introdurre il concetto matematico di relazione e di creare in modo

semplice ed intuitivo delle relazioni su un insieme.

Le relazioni familiari, dal punto di vista matematico, sono dello stesso tipo delle relazioni che si

possono stabilire tra numeri o tra enti di natura geometrica. Quindi imparare a rappresentare la propria

famiglia in modo formalmente rigoroso e corretto può rappresentare il primo esempio di

matematizzazione a bassissimo costo ed anche una delle prime occasioni per compiere un processo di

astrazione.

L‟ esperienza che abbiamo fatto negli ultimi anni del corso di Didattica della Matematica con centinaia

di allievi dimostra che la prova viene facilmente compresa e realizzata con interesse e con gusto.

Una rappresentazione matematicamente e semanticamente corretta della propria famiglia, come può

essere ottenuta con un programma specializzato come Genopro oppure con un programma generico

come Cmaptools.

http://tecalibri.altervista.org/L/LOLLI_crisalide.htm#p009


GenoPro 2007 si può scaricare, in prova gratuita per 30 giorni1, dal sito

http://www.genopro.com/

Il suo funzionamento, basato su icone, è talmente intuitivo che non vale la pena di spiegarlo. Basta

piuttosto riportare un esempio per rendere evidente l‟ uso dei simboli. Il programma stesso si prende

cura del fatto che le relazioni vengano stabilite in modo corretto.

A titolo di esempio, vi mostriamo l‟ albero di famiglia dello scrivente esteso fino ai due nipoti, senza i

genitori. Anche voi nella vostra prova dovreste provare a rappresentare almeno tre generazioni di

persone, cominciando per esempio dai vostri nonni.

1 Gli studenti e i docenti di corsi in cui si usa GenoPro 2007 hanno diritto, secondo quanto riporta il sito,

ad una licenza di prova che vale per sei mesi. Abbiamo inoltrato domanda per ottenere questa licenza e

pubblicheremo su Blackboard quando questa licenza sarà disponibile.

http://www.genopro.com/


I documenti (= gli alberi genealogici) realizzati con GenoPro 2007 si possono salvare nel formato .gno.

Con questo formato dovranno essere quindi caricati su Blackboard.

Cmaptools si scarica dalla pagina

http://cmap.ihmc.us/download/

e per scopi educativi è completamente gratuito. Peraltro abbiamo inserito una copia del programma

anche nella cartella Materiali \ Altre applicazioni del sito di Blackboard.

Cmaptools tratta di un programma assai più generale di GenoPro, costruito per realizzare mappe

concettuali, ovvero strutture di concetti legati da relazioni.

Cmaptools è stato sviluppato soprattutto per costruire mappe concettuali, ma è un programma molto

versatile che può essere usato benissimo anche per costruire degli alberi genealogici, ovvero gli alberi di

famiglia. Vale la pena, allora, usarlo per descrivere la propria famiglia che è una struttura assai ...

familiare!

Qui sotto rappresentiamo la stessa famiglia già vista in GenoPro realizzata con Cmaptools.

Questo argomento, su cui tra l‟ altro dovrebbe partire almeno una tesi di laurea nei prossimi mesi, sarà

ampiamente approfondito nelle dispense in preparazione.

G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale

Il fatto che noi rappresentiamo i numeri in base 10, ovvero usando le cifre 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 in

modo posizionale, dipende dal fatto che le nostre mani hanno dieci dita.

La notazione posizionale, come è noto, è stata resa possibile dall‟ introduzione dello zero, dovuta agli

arabi che l‟ hanno forse ereditata dagli indiani. In questo modo, usando lo zero, il numero 10 esprime

una unità di ordine superiore e zero unità; il numero 12 esprime una decina e due unità, e via dicendo.

Se avessimo tre dita in tutto, useremmo la base tre: possiamo immaginare che ci siano degli

extraterrestri che hanno tre dita in tutto e che contano raggruppando gli oggetti a tre a tre (terzine),

quindi raggruppando le terzine a tre a tre (nonetti) e via dicendo.

In questa prova, che va svolta preferibilmente in gruppo, dovete imparare a rappresentare in base tre i

numeri da 1 a 100 raggruppandoli per gruppi di tre (terzine), poi per terzine di terzine (nonetti), quindi

http://cmap.ihmc.us/download/


per terzine di terzine di terzine (ventisettetti) e finalmente per terzine di terzine di terzine di terzine

(ottantunetti).

Per documentare questa capacità vi suggeriamo di usare le palline di sale e di fotografare alcuni insiemi

di numerosità crescente fino a 100, racchiudendo i vari raggruppamenti con un filo di lana o con una

fettuccia o simili.

G-A-07 – Le figure di Sierpinski

Wacław Franciszek Sierpiński è un famoso matematico polacco conosciuto per diversi importanti

contributi alla teoria degli insiemi, alla teoria dei numeri, alla teoria delle funzioni e alla topologia. Tra

le scoperte matematiche associate c‟ è una bellissima figura frattale chiamata triangolo di Sierpinski.

Il triangolo o figura di Sierpinski è una figura frattale, ovvero una figura generata da uno “schema

ricorsivo” un meccanismo costruttivo che si ripete allo stesso modo su scale diverse. Possiamo vedere la

successione dei triangoli di Sierpinski come vengono disegnati da una applicazione scritta nel

linguaggioJava accessibile direttamente online all‟ indirizzo

http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html

Un triangolo di Sierpinski di livello 0 non è altro che un normale triangolo equilatero:

Cliccando sul pulsante di avanzamento si ottengono le figure di Sierpinski di livello superiore.

L‟ insegnante americana Cynthia Lanius ha provato a presentare il triangolo di Sierpinski alla sua

classe: ne è scaturito un progetto spettacolare, in cui i bambini, divisi per gruppi hanno disegnato sul

pavimento un triangolo di Sierpinski gigantesco di livello molto elevato.

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_numeri

http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Sierpinski

http://it.wikipedia.org/wiki/Frattale

http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html


L‟ esperienza di disegnare, lavorando in gruppo, i successivi triangoli di Sierpinski è una esperienza molto bella, che

abbiamo riproposto nell‟ ambito del corso di Didattica della Matematica che ho tenuto nel 2007 – 2008 all‟ Università

dell‟ Aquila.

Ma ci sono anche diverse scuole italiane che hanno provato a fare queste figure. Un forum molto interessante che

documenta questo tipo di esperienze si trova su http://www.scuolamatica.net/moodle/mod/forum/discuss.php?d=314

http://www.scuolamatica.net/moodle/mod/forum/discuss.php?d=314


GA-08 – Calcolare a mente secondo C. Bortolato

Camillo Bortolato, dopo una analisi piuttosto approfondita della rappresentazione dei numeri nella

mente dei bambini, propone di favorire il calcolo mentale usando una rappresentazione che chiama

analogico – intuitiva.

Secondo Bortolato rappresentando i numeri in modo ordinato e secondo un metodo facile da

comprendere e da utilizzare, basato sull‟ analogia tra la base 10 e le dita delle mani, si possono

riconoscere facilmente i numeri tra 1 e 1000.

E‟ facile anche imparare a sommare e sottrarre due numeri rappresentati con il metodo di Bortolato. Nel

libro [BORTOLATO 2002] ci sono 150 pagine di schede per gli allievi che propongono esercizi di

calcolo mentale basati su questa rappresentazione.

Schede come quelle proposte da Bortolato possono essere realizzate facilmente in Power Point, anche se

richiedono una estrema precisione.

GA-09 – Contare con Iplozero 2009

Dalle schede di Bortolato possiamo prendere l‟ ispirazione per costruire degli esercizi di calcolo

interattivo usando il linguaggio di programmazione Iplozero 2009.

Nella figura qui sotto riportiamo il numero 128 realizzato con Iplozero da Nicoletta Antoniolli, ripreso

dalla Blackboard, corso Matelsup1, cartella Documenti, sottocartella Contare con Iplozero

Quello che c‟è dietro la costruzione di questa figura, tuttavia è molto di più che una semplice

rappresentazione.


Abbiamo usato un piccolo linguaggio per programmare quello che tecnicamente si chiama

“Micromondo”.

Iplozero 2009 è un linguaggio di programmazione per bambini dai 7 anni in su. Possiamo pensarlo

come un “automa”, ovvero un esecutore di ordini ben formati. Potete approfondire questi concetti

leggendo il libro “I fantastici mondi di Iperlogo” in preparazione per l‟ editore Book-Jay. Una bozza

avanzata la potete trovare su http://www.imparareaimparare.it.

Con Iplozero noi possiamo definire un piccolo insieme di parole che l‟ automa impara e che ci servono

in un primo momento per realizzare delle schede simili a quelle proposte da Bortolato; in un secondo

momento per realizzare dei veri e propri esercizi di calcolo interattivi.

Le parole che definiamo sono assolutamente intuitive per noi:

PER UNO BLOCCO :DIM :DIM SALTAX :DIM SPAZIO FINE

PER SPAZIO SALTAX :SPAZIO FINE

PER TRE RIPETI 3 [UNO] FINE

PER DUE RIPETI 2 [UNO] FINE

PER CINQUE RIPETI 5 [UNO] SPAZIO SPAZIO FINE

PER DIECI CINQUE CINQUE ACCAPO FINE

PER SOTTO SALTAY MENO :SPAZIO SALTAY MENO :DIM FINE

PER ACCAPO COMINCIAX :MARGX SOTTO FINE

TA AS "MARGX -200 COMINCIAXY :MARGX 200 AS "DIM 30 AS "SPAZIO PRODOTTO .2 :DIM PIENOROSSO8 DIECI PIENOROSSO6 DIECI PIENOROSSO4



DIECI PIENOVERDE1 DIECI PIENOVERDE3 DIECI PIENOVERDE5 DIECI PIENOBLU7 DIECI PIENOBLU4 DIECI PIENOBLU1 DIECI PIENOARANCIONE1 DIECI PIENOGIALLO2 DIECI PIENOGIALLO1 DIECI PIENOROSSO3 CINQUE PIENOAZZURRO1 TRE

Tutti i disegni che realizziamo vengono eseguiti, seguendo i nostri comandi, da un automa secondario

che si chiama tarta che sullo schermo si presenta come un triangolino come quello riportato qui sotto:

L‟ automa tarta si può spostare nella finestra di tarta, una specie di lavagna su cui noi realizziamo i

nostri disegni.

La parola UNO ha l‟ effetto di realizzare un quadretto del colore prestabilito e poi di spostare la tarta un

quadretto e un pezzettino a destra, pronta per realizzare il quadratino successivo.


Iplozero 2009 e QQ.storie Iplozero 2009 e QQ.storie sono due applicazioni per il computer sviluppate con il linguaggio di

programmazione Iperlogo.

A cosa servono?

Iplozero 2009 e QQ.storie possono essere utilizzate nell‟ ambito di una didattica metacognitiva basata

sull‟ apprendimento cooperativo.

Sono particolarmente utili per favorire l‟ apprendimento della matematica secondo il metodo “Se faccio,

capisco”.

Con Iplozero 2009 i bambini possono usare il computer per diventare piccoli matematici usando il

computer come un compagno di giochi a cui insegnare piano piano giochi sempre più complessi e, alla

fine, dei veri e propri programmi interattivi.

Con Iplozero il bambino usa il computer in una forma estremamente consapevole che abbiamo chiamato

“Informatica della mente”.

Il computer con le due applicazioni sopra indicate appare come uno strumento semplice e a tratti

addirittura un po‟ rudimentale, se confrontato con i gadget oggi disponibili (iPhone, Nintendo ds,

videogiochi dei tipi più svariati).

La differenza sta nel fatto che con


Indicazioni pratiche relative a Iplozero 2009 Nel seguito diamo alcune indicazioni di tipo pratico per chi desidera installare Iplozero 2009 o per

usarlo sul suo computer o sui computer della scuola.

Il sistema operativo di riferimento

Iplozero 2009 funziona all‟ interno del sistema operativo Windows. E‟ stato provato in tutte le versioni

di Windows più comuni, da Windows ‟98 a Windows Xp, Windows Vista e Windows 7.

Chi possiede un computer Macintosh può usare queste applicazioni soltanto se è in grado di installare

Windows all‟ interno del suo Mac, cosa peraltro possibile e relativamente facile da fare.

Da dove si scaricano

Le due applicazioni sono scaricabili gratuitamente da diversi siti: in primo luogo da

http://www.imparareaimparare.it. Iplozero 2009 e il suo manuale, con alcuni esempi, è scaricabile anche

dal sito http://iplozero2009.wikispaces.com.

La versione più recente di Iplozero 2009 nel momento in cui scrivo è la versione

Iplozero2009g1.exe

Installazione

Per usare l‟ applicazione Iplozero 2009, dopo averla scaricata, dovete installarla sul vostro computer.

Per farlo basta cliccare sul file che avete scaricato. Su Windows Vista e 7 occorre dichiarare al computer

che avete i privilegi dell‟ amministratore.

La prima esecuzione

Durante la prima esecuzione Iplozero crea un “deposito” chiamato QQ.iplozero, in cui mette tutti i file

che gli servono per funzionare e che voi potete guardare ed utilizzare.

Per eseguire questa operazione il programma impiega un po‟ di tempo – tre o quattro minuti! - in cui vi

sembra che rimanga inerte: abbiate pazienza e aspettate! Alla fine della prima esecuzione il programma

si presenta sullo schermo con le sue tre finestre che potete osservare qui sotto:


http://iplozero2009.wikispaces.com/


Registrazione

Per avere tutte le funzioni, in particolare per avere i menù del foglio ed utilizzare Iplozero oltre i 45

giorni di prova dovete registrare l’ applicazione.

Potete farlo, sempre a titolo gratuito, seguendo le seguenti istruzioni:

Avviate il programma

Andate sulla Finestra dei comandi

Aprite il menù Aiuti

Selezionate il comando “Registra Iplozero”: si apre una finestrella con quattro campi

Selezionate il codice di identificazione che appare nel terzo campo

Copiate il codice di identificazione che avete appena selezionato usando il comando CTRL+C di

Windows, oppure con il comando Copia del tasto destro del mouse

Incollate il codice appena copiato dentro un messaggio di posta elettronica

Spedite il messaggio a [email protected] indicando chi siete e in quale ambito

userete il programma (professione, scuola, famiglia)

mailto:[email protected]


Bibliografia essenziale Indichiamo qui appresso i volumi essenziali da studiare per prepararsi all‟ esame seguendo il Percorso

A. Si tratta del materiale minimo indispensabile che permette di arrivare al momento in cui le dispense

ufficiali del corso saranno pubblicate e disponibili per tutti.

Ribadiamo il fatto che per superare l‟ esame non è sufficiente studiare i tre volumi nel modo

tradizionale, anche perché il secondo ed il terzo sono volumi costituiti in larga misura da schede di

lavoro per bambini di sei, sette e otto anni. Sarebbe ovviamente assurdo - o se vogliamo grottesco! –

basare la preparazione ad un esame universitario sullo studio tradizionale di testi in larga parte costruiti

per dei bambini!

Ed infatti non è così. Se, ancora non vi fosse chiaro, provate a rileggere ancora una volta il programma e

la Guida che avete appena letto: vi renderete conto, ci auguriamo, che questo esame, anche nella forma

tradizionale, presuppone che uno la matematica, per capirla, la deve fare, non basta leggerla e ripeterla

cento o duecento volte (“Se faccio, capisco”).

E fare la matematica su un testo per bambini non può significare soltanto “giocare a fare i bambini” ma

vuol dire andare in profondità, passare a raggi x le schede create per i bambini per capire a fondo cosa

gli autori delle schede si aspettano che i bambini facciano. E cosa si aspettano che sappiano fare, prima

e dopo ogni singola scheda.

Questa radiografia del materiale per bambini, in definitiva, è la sostanza di quanto viene richiesto come

competenza finale di questo corso. Nel percorso A viene accentuato l‟ aspetto autoriale e costruttivo. In

questo Percorso B viene invece accentuato l‟ aspetto strutturale. La struttura concettuale sottostante ad

una scheda di lavoro per bambini - o di un intero volume di schede - può essere descritta in modo

formalmente ineccepibile sotto forma di mappa concettuale. Ma può essere anche tradotta in una

QQ.storia, per chi desidera cimentarsi con la dimensione del disegno di una interfaccia per il computer.

[GIRELLI 2006]

Luisa GIRELLI Noi e i numeri Collana “Farsi un’ idea”

Bologna: Il mulino, 2006

[BORTOLATO 2002]

Camillo BORTOLATO Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico - intuitivo Erickson, 2002

[COLOMBO BOZZOLO, COSTA 2002]

Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1. I numeri fino a 100 Erickson, 2002

Ricordiamo inoltre, che sono in preparazione, da parte del docente, delle dispense complete per questo

corso, che però non è stato possibile mettere a punto in tempo utile per l‟ esame - e questo, tra l‟ altro è

il motivo della preparazione della presente Guida.


Bibliografia generale Nel seguito di questo capitolo presentiamo un‟ ampia bibliografia generale, di sfondo, che potrà

interessare chi voglia approfondire gli argomenti trattati dal corso o per chi desideri considerare un

possibile percorso di approfondimento, magari in vista di una tesi di laurea.

[ANTINUCCI, 1999 ]

Francesco ANTINUCCI Computer per un figlio. Giocare, apprendere, creare. Bari, 1999 (Laterza)

[ANTONIETTI, CANTOIA, 2001]

Alessandro ANTONIETTI, Manuela CANTOIA Imparare con il computer. Come costruire contesti di apprendimento per il software. Erikson 2001

[BOZZI, 1956 ]

Paolo BOZZI Sulla rappresentazione grafica di concetti temporali nei bambini. Euro

[BUTTERWORTH, 1999 ]

Brian BUTTERWORTH Intelligenza matematica Rizzoli 1999

[CALDELLI, ]

Luisa CALDELLI Percorsi, labirinti, mappe esperienze proto matematiche nella scuola dell’infanzia. La Nuova Italia

[CALDELLI, 1986]

Luisa CALDELLI La matematica dalla scuola dell’infanzia alla scuola elementare. La Nuova Italia 1986

[CALDELLI,]

Luisa CALDELLI Il bambino matematizza il mondo: esperienze protomatematiche nella scuola dell’infanzia. La Nuova Italia

[CALVANI, 1988]

Antonio CALVANI Il bambino, il tempo la storia. La Nuova Italia 1988

[CASTELNUOVO 1963]

CASTELNUOVO Emma. Didattica della matematica Firenze: La Nuova Italia, 1963

[CASTELNUOVO, 1993]

Emma CASTELNUOVO


Pentole, ombre, formiche. In viaggio con la matematica. Firenze: La Nuova Italia, 1993

[CORNOLDI, 2004]

Cesare CORNOLDI Matematica e metacognizione: atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo. Erickson, 2004

[CORNOLDI, 1995]

Cesare CORNOLDI Metacognizione e apprendimento. Bologna: Il Mulino, 1995

[D’AMORE, 1981]

Bruno D’AMORE Educazione matematica e sviluppo mentale. La matematica dalla scuola dell’ infanzia all’

università Roma Armando 1981

[D’AMORE, 2004 ]

Bruno D’AMORE Infanzia e matematica: didattica della matematica nella scuola dell’infanzia. Pitagora Ed. Bologna 2004

[D’AMORE, 2005]

Bruno D’AMORE Didattica della matematica. Bologna: Pitagora, 2005

[D'AMORE, D'AGLI’, 1999]

Bruno D' AMORE, Francesco D'AGLI’ Matematica nella scuola materna Edizioni Juvenilia

[DEHAENE, 2000]

Stanislas DEHAENE Il pallino della matematica: scoprire il genio dei numeri che è in noi. Mondatori 2000

[DEVLIN 2007]

Keith DEVLIN L’ istinto matematico. Perché sei anche tu un genio dei numeri. Collana Scienza e Idee, diretta da Giulio Giorello

Milano: Raffaello Cortina editore, 2007

[DOMAN DOMAN, 1998]

Glenn DOMAN, Janet DOMAN Imparare la matematica a tre anni Armando Editore, 1998

[GALLO, VEZZANI, 2007]

Paola GALLO e Cristina VEZZANI Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica. Milano: Associazione Culturale Mimesis, 2007


[GILBERT, 1974]

Robert GILBERT- a cura di Giovanni LARICCIA Il bambino e la matematica moderna. Roma: Armando Armando editore, 1974

[GIRELLI 2006]

Luisa GIRELLI Noi e i numeri Collana “Farsi un’ idea”

Bologna: Il mulino, 2006

[GARDNER, 1983]

Howard GARDNER Formae Mentis. Saggio sulla pluralità delle intelligenze. Milano: Feltrinelli, 2007

Edizione originale: New York, Basic Books, 1983

[LARICCIA, 1988]

Giovanni LARICCIA Le radici dell’ informatica Milano: Nuova Sansoni, 1988 (prima edizione; 1984)

[LEGRENZI, 2002]

Paolo LEGRENZI La mente. Anima, cervello o qualcosa di più? Il Mulino, 2002

[LAKOFF, NUNEZ, 2005]

George LAKOFF e Rafael NUNEZ Da dove viene la matematica. Come la mente embodied porta in essere la matematica. Torino: Bollati, 2005

[LINDSAY, NORMAN, 1984]

Peter H. LINDSAY e Donald A. NORMAN L’ uomo come elaboratore di informazioni Firenze: Giunti Barbera, 1984

[LOVELL, 1970]

Kenneth LOVELL La formazione matematica. La Nuova Italia, 1970

[NORMAN, 2000]

NORMAN Il computer invisibile. La tecnologia migliore è quella che non si vede. Milano: Apogeo 2000

[NORMAN,1995]

LINDSAY P.H., NORMAN D.A. Le cose ci fanno intelligenti. Il posto della tecnologia nel mondo dell’uomo. Milano: Feltrinelli 1995

[NORMAN, 1997]


Donald A. NORMAN La caffettiera del masochista. Psicopatologia degli oggetti quotidiani. Firenze: Giunti 1997

(Titolo originale: the design of everyday things)

[OLIVERIO, 1997]

Alberto OLIVERIO L’ arte di pensare. Per imparare a decidere, per usare la forza della mente. Milano: Rizzoli, 1997

[OLIVERIO, 1998]

Alberto OLIVERIO L’ arte di ricordare. La memoria e i suoi segreti Milano: Rizzoli, 1998

[OLIVERIO, 1999]

Alberto OLIVERIO L’ arte di imparare. A scuola e dopo Milano: Rizzoli, 1999

[OLIVERIO, 2001]

Alberto OLIVERIO La mente: istruzioni per l’ uso Rizzoli, 2001

[OLIVERIO, OLIVERIO FERRARIS, 2004]

Alberto OLIVERIO, Anna OLIVERIO FERRARIS Le età della mente Rizzoli, 2004

[PAPERT, 1984]

Seymour PAPERT Mindstorms. Bambini, computers e creatività. Milano: Emme edizioni, 1984 (New York: Basic Books, 1980)

[PAPERT, 1994]

Seymour PAPERT I bambini e il computer. Nuove idee per i nuovi strumenti dell’educazione. Rizzoli, 1994

[PEA, 2001]

Beppe PEA Matematica nella scuola di base, i concetti dello spazio e del tempo nella scuola moderna e

nel primo ciclo della scuola di base. Tannini, 2001

[PETTER, 1996]

Guido PETTER Il bambino impara a pensare: introduzione alla ricerca sullo sviluppo cognitivo. Firenze: Giunti, 1996

[PIAGET, 1968]

Jean PIAGET La genesi del numero nel bambino.


La Nuova Italia, 1968

[PIAGET, 1979]

Jean PIAGET Lo sviluppo della nozione di tempo nel bambino. La Nuova Italia, 1979

[PIAGET, 1985]

Jean PIAGET Precalcolo. La Scuola, 1985

[RICHTERMAN, 1986]

Tamara Davydovna RICHTERMAN Il senso del tempo nei bambini in età pre-scolare La Nuova Italia, 1986

[TANONI GRACIOTTI, 1997]

Italo TANONI, Rossano GRACIOTTI L’immagine bambina: proposte per l’educazione multimediale nella scuola dell’infanzia. Bergamo Junior 1997

[THAGARD, 1996]

Paul THAGARD La mente. Introduzione alla scienza cognitiva Guerini studio 1996

[TOURET, 1987]

Lise TOURET Percorsi alla scoperta della matematica. 53 situazioni-problema per i bambini della scuola

materna. La Scuola, 1987


Appendice Numero 1 Libro fondamentale numero 1AB

Luisa GIRELLI, Noi e i numeri. Bologna: Il Mulino (2006)

Questo libro va studiato a fondo sia per nel Percorso A che nel percorso B. Per motivare lo studente,

presentiamo una breve recensione del libro fatta da Nadia Rossi, laureata nel 2007 in Didattica della

matematica, riveduta e pubblicata su Blackboard dal Prof. Lariccia

Questo agile libro divulgativo dovuto a Luisa Girelli, ricercatrice all' Università di Milano Bicocca,

riassume in modo sintetico e brillante, mettendole in una prospettiva storica, le ricerche della scienza

neurocognitiva degli ultimi venti anni e fornisce una prospettiva che è fondamentale, oggi, per chiunque

si occupa di apprendimento e insegnamento della matematica.

Il libro prende in considerazione l‟importanza della matematica, e spiega come essa faccia parte della

nostra vita quotidiana e di come in ogni momento facciamo uso dei numeri. Ripercorre così la storia dei

numeri seguendo l‟evoluzione della specie. Nel primo capitolo viene preso appunto in considerazione il

fatto che sin dall‟antichità i popoli contavano, non utilizzavano ancora il concetto di numero, ma

attraverso alcuni ritrovamenti di disegni con incise delle tacche sul muro indicavano appunto le prime

esigenze di tener traccia di una numerosità. Prende poi in considerazione il modo in cui ogni popolo ha

raggiunto il concetto di numerosità su base 10 o 20 fino al conteggio con parti del corpo. Nel capitolo

successivo viene presentata la matematica come oggetto di studio su animali. Qui viene data una

spiegazione completa del concetto di numero “…possedere il concetto di numero significa non solo

rappresentarsi delle numerosità, ma cogliere la relazione ordinale tra i diversi numeri e svolgere

operazioni con essi”. Un esempio per chiarire: possedere il concetto di numero non vuol solo dire

riconoscere che 3 banane e 3 suoni hanno la stessa numerosità, ma anche che mangiando 1 banana ne

rimangono 2 o che se ho 4 bambini a cui devo dare le banane o ne procuro altre 2 o divido in parti

uguali quelle rimanenti. In questo capitolo si parla però di numerosità relativa agli animali e si studia in

base a che punto gli animali possono apprendere attraverso un addestramento oppure studiarli nel loro

mondo naturale e vedere se hanno un minimo di concetto di numerosità.La domanda che ci si pone è se

anche i neonati hanno capacità numeriche innate. A questo concetto si sono fatti studi a partire dagli

anni ottanta. Vengono presentati alcuni libri fondamentali sulla genesi del concetto di numero, primo tra

tutti il libro di Piaget e Szeminska ”La genesi del numero nel bambino” in cui gli autori descrivono gli

stadi che conducono il bambino a formare una rappresentazione astratta del numero attraverso le

interazioni con l‟esterno. Si passa attraverso i prerequisiti di acquisizioni di nozioni logiche quali:

conservazione, classificazione, seriazione. Con i suoi studi Piaget dimostra che i bambini di 5 anni sono

in grado di rendersi conto che le proprietà percettive di un insieme (ossia la forma, il colore, ecc) non

influenzano la numerosità.Questi studi hanno avuto diverse critiche in quanto si consideravano esempi

troppo lontani dalla vita reale di un bambini.I bambini con il tempo impareranno a capire i numeri anche

se prima li attribuiranno ad eventi a loro conosciuti (esempio le 2 candeline sulla torta in dicano un

compleanno). Solo col tempo impareranno il concetto di sequenziale (il 2 è prima del 3), ordinale (2 è

meno di 3), cardinale (2 indica un insieme di numerosità 2). Secondo studi effettuati i bambini iniziano

ad usare i numeri sin da due anni, anche se iniziano a contare senza conoscere il significato del

numero.Verso i tre anni iniziano a sommare piccole quantità di oggetti utilizzando molto le dita come

base di conto. Questo modo di contare verrà presto abbandonato per avvicinarsi a procedure più veloci

(il conteggio dal numero maggiore esempio 2+4 si parte dal 4 e si aggiunge 2. Qui deriva già una

importante regola matematica quella commutativa per cui cambiando l‟ordine degli addendi il risultato

non cambia). Il libro continua parlando della distinzione fra soggetti superdotati in matematica che con


pochi e semplici passaggi risolvono grandi problemi, a soggetti che presentano invece gravi problemi

quali la discalculia evolutiva cioè con difficoltà nei calcolo più semplici. Nell' ultima parte del libro

viene presa in considerazione la capacità di insegnare matematica, non facendo studiare a memoria

regole su regole, ma facendo applicare alcuni semplici calcoli alla vita reale (viene chiamata

matematica da strada).


Appendice Numero 2 Libro fondamentale numero 2B

Camillo BORTOLATO, Calcolare a mente. Esercizi secondo l' approccio analogico - intuitivo. Trento:

Erickson (2002).

Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece obbligatorio e va

studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Riportiamo qui di seguito la scheda descrittiva

del libro tratta dal catalogo della Erickson.

Il libro tratta della teoria e della pratica del calcolo mentale, visto come uno strumento utile a far capire

pienamente i numeri ai bambini. Rappresenta un modo per entrare a fondo nella problematica della

rappresentazione delle consocenze relative ai numeri nella nostra memoria. Il libro parte dalla

considerazione che nel calcolo mentale, i bambini di oggi utilizzano le stesse tecniche che usavano i loro

coetanei fin dall' antichità: operano cioè senza fare riferimento al codice dei numeri arabi, senza vedere

le cifre, ma basandosi solo sul codice semantico e su quello lessicale. Ancora oggi, prima di incontrare i

numeri scritti, ogni bambino conserva un "genio innato" per la numerosità, che precede qualsiasi

nozione impartita da genitori o insegnanti. Partendo dq questa teoria, il volume presenta le strategie del

calcolo mentale, che sono diverse e indipendenti dalle procedure del calcolo scritto. L' approccio

analogico - intuitivo mira a sviluppare una struttura di riferimenti ordinati che funzioni nella mente dell'

alunno come una carta geografica per orientarsi nel calcolo, una struttura semplice,regolare e replicabile

in tutte le dimensioni, che permetta all' alunno di riconoscere quantità anche elevate in modo istantaneo,

senza contare.


Appendice Numero 3 Libro fondamentale numero 3B

Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA, Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1 -

I numeri fino a 100. Trento: Erickson, 2002.

Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece obbligatorio e va

studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Su questo libro è basata la prova B06

Questo è il primo volume della nuova collana Erickson "Ri-costruiamo la matematica" (rivolta agli

insegnanti di scuola elementare). La collana prevede complessivamente sei titoli relativi all' aritmetica e

sei relativi alla geometria, più altri relativi alle abilità richieste per risolvere i problemi.

Il libro contiene indicazioni teoriche, didattiche e operative in merito ai concetti matematici relativi ai

numeri naturali da 0 a 100. Ricco di schede operative diversificate nei contenuti e nei livelli di difficoltà

e basato sul modello teorico della didattica per concetti, il programma si caratterizza per una reale

coordinazione fra il punto di vista teorico disciplinare, quello pedagogico e quello didattico. Ogni

proposta operativa è inserita in un contesto di riferimento che permette di valutarne l‟opportunità

didattica, le conoscenze e le competenze implicate come prerequisiti e come elementi di scoperta. Per

superare il distacco tra forma e contenuto, che talvolta caratterizza l‟insegnamento dell‟aritmetica,

l‟itinerario didattico proposto è ben graduato a partire dal mondo esperienziale del bambino, secondo

una scala di progressiva schematizzazione, astrazione, sintesi e formalizzazione.


Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta

accanto (Traccia di una intervista diretta ad un giovane adulto, uomo o donna, che ha compiuto studi scientifici ed usa correntemente la matematica nella sua professione)

Premessa

Lo scopo principale di questa intervista è quello di far parlare liberamente il soggetto intervistato fino a

fargli rivelare dei particolari intriganti, in modo particolare riguardo alla incubazione della sua passione,

alla sua iniziazione alla matematica ed al suo rapporto con il resto del mondo.

L‟ intervista non può rappresentare una indagine scientifica e va condotta con naturalezza e con

tranquillità, senza enfatizzazioni ed esagerazioni.

Il rapporto con i compagni di studi e con i coetanei non va enfatizzato troppo, ma attraverso il modo

stesso in cui si svolge la conversazione l‟ intervistatore potrà aggiungere, a margine dell‟ intervista,

alcune impressioni sulla socievolezza e sul carattere dell‟ intervistato.

La scoperta della matematica

A che età hai scoperto l‟ esistenza della matematica?

Attraverso quali esperienze?

Insieme con chi? Grazie a chi?

Che importanza ha avuto la scuola nella scoperta della matematica?

Quali altre esperienze al di fuori della scuola (prima della scuola, durante la scuola) ti hanno

fatto scoprire la matematica?

Quando e come hai scoperto la tua passione per la matematica?

Come andavi in matematica a scuola? Sei sempre andato bene?

Che ricordo hai dei tuoi insegnanti di matematica? Hanno riconosciuto il tuo talento? Ti hanno

incoraggiato?

Studi, curriculum

Che tipo di studi hai svolto?

Hai scelto tu questo tipo di studi?

Come andavi nelle altre materie?

La passione per la matematica ha mai compromesso il rendimento nelle altre materie?

Come ti vedevano i tuoi insegnanti, i tuoi professori?

Familiarita’

Nella tua famiglia ci sono altri “geni” della matematica?

Il tuo carattere (la tua personalità) sono caratteristici secondo te di un matematico o di uno che

ama la matematica? Puoi descriverci alcuni aspetti?

Personalita’

Ti ritieni una persona socievole?

Ritieni di essere creativo?

Parlaci della tua fantasia

Qual è il tuo rapporto con il computer?


Ti piace giocare? Quali tipi di giochi?

La professione scelta

Sotto quale aspetto la tua professione attuale ha una relazione con la matematica?

Cosa pensavi (sognavi) di fare da grande

Pensi di avere realizzato i tuoi sogni?

Concorsi, gare

Hai mai partecipato a delle gare di matematica? Se si, come sei andato? Come ti sei preparato?

Hai mai partecipato a dei concorsi con prove di carattere matematico o coinvolgenti la

matematica? Se si, in quale modo ti sei preparato?

Hai mai partecipato a delle selezioni interne in cui la matematica fosse determinante?

Come è stato il tuo rendimento in queste circostanze?

Matematica e societa’

Qual è il ruolo della matematica nella società moderna?

Pensi che l‟ insegnamento della matematica sia adeguato alle esigenze della nostra società

(civiltà)?

Computer, internet

Che rapporto hai con il computer?

Che rapporto hai con internet?

Che rapporto pensi che ci sia tra il computer e la matematica?

Conosci qualche linguaggio di programmazione?

Memoria

Come consideri la tua memoria? (Normale, Buona, Ottima)

Che tipo di memoria hai? (Uditiva, Visiva)

Secondo te come deve essere la memoria di un matematico (di un genio matematico della porta

accanto)?

Numeri, calcolo mentale

Esegui mai calcoli a mente?

Quando e quanto usi la calcolatrice per fare i calcoli della vita quotidiana?

Quali grandi numeri conosci?

Qual è il numero più grande che hai mai incontrato?

Qual è il numero più interessante che hai conosciuto? E perché lo consideri tale?

Sogni nel cassetto

Quali sono i tuoi sogni nel cassetto, dal punto di vista matematico?


Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello Nell' Analisi della Funzione Docente la prima fase è quella della intervista alla maestra modello, ovvero

ad un docente o ad una docente che presenta delle caratteristiche di eccellenza unite ad una disponibilità

a parlare della sua professione e della sua professionalità in termini aperti e costruttivi. La maestra

modello deve essere selezionata sulla basi delle caratteristiche che indichiamo qui di seguito.

Deve essere innanzitutto

disponibile e comunicativa

esperta e relativamente matura

insegnare o avere insegnato matematica La potete cercare tra i docenti della scuola in cui

effettuate il vostro tirocinio.

Contattatela con garbo e presentatele, se occorre, il progetto di indagine che state effettuando. La

maestra modello deve essere disponibile a collaborare anche nelle successive fasi dell' indagine, quelle

che riguardano il libro di testo ed i sussidi didattici, i risultati visibili sui quaderni degli allievi e l'

interazione con l' ambiente.

Come va condotta l' intervista

L' intervista va condotta cercando di mettere a suo agio la persona intervistata. Le domande non vanno

quindi fatte in modo meccanico, qui non si tratta di domande di tipo statistico, ma di una indagine che

deve assomigliare alle indagini fatte dai grandi giornalisti piuttosto che dagli istituti demoscopici.

Domande di base

Esperienze relative all' insegnamento della matematica

Lei insegna attualmente matematica nella scuola elementare? Ci può dire da quanto tempo?

Oppure per quanto tempo complessivamente lo ha fatto?

Ha una laurea in matematica o in una materia scientifica? Se si, dove e quando l' ha conseguita?

Con chi ha svolto la tesi?

Ha seguito corsi di specializzazione sull' insegnamento della matematica? Se si, può dirci quali?

In quale ambiente o organizzazione? Condotti da chi?

Fa parte di associazioni o di reti di docenti che coltivano l' interesse per la matematica e per il

suo apprendimento - insegnamento?

Esperienze relative alla formazione degli insegnanti

Ha svolto, svolge o conta di svolgere corsi di formazione per insegnanti della scuola primaria?

Dove? Come? Con chi? Con quale organizzazione?

Rapporti con la matematica

Le piace la matematica? La trova utile? Piacevole? O altro?

Supponiamo che i suoi rapporti con la matematica oggi siano buoni. Lo sono stati sin da quando

era bambina? O da quando era adolescente? O da quando ha cominciato ad insegnarla?

Chi sono i suoi "modelli" tra i grandi matematici?

Chi sono i suoi maestri nel campo della didattica della matematica?


Innatismo (domanda opzionale)

Alcuni ricercatori (Dehaene, Butterworth, Girelli, Wynn) sostengono che alcune competenze

matematiche siano innate ed il campo delle competenze matematiche innate si estende

continuamente. Lei ritiene che le competenze matematiche siano in parte innate?

Costruttivismo (domanda opzionale)

Seymour Papert, uno degli "apostoli del linguaggio Logo" asseriva che tutti i bambini

dovrebbero, nel loro piccolo, poter in qualche fare i matematici?

Lei concorda o meno? Ritiene che ognuno di noi possa, nel suo piccolo, essere un piccolo

matematico?

Paura della matematica

Gli psicologi ci dicono che molti bambini maturano un atteggiamento di paura, se non

addirittura di terrore verso la matematica.

Lo conferma? Ne ha avuto una esperienza diretta?

Quali possono essere, secondo lei, le cause della paura della matematica?

Il metodo adottato dall' insegnante può influire in senso positivo o negativo?

La personalità dell' insegnante può influenzare la paura della matematica?

Quali esperienze formative possono avvicinare in modo sereno il bambino alla matematica?

Il mondo dei giochi e il mondo della matematica

Ritiene che il mondo dei giochi e il mondo della matematica possano avere dei punti in comune?

Ad esempio, negli Stati Uniti c' è un intero curriculum di avviamento alla matematica che

poggia sul gioco degli scacchi. Lo ritiene interessante? Utile? Applicabile anche in Italia?

La questione dei videogiochi

Lei ha mai provato i videogiochi?

Ha dei figli o dei nipoti che usano i videogiochi?

Moltissimi bambini usano i videogiochi: lo ritiene un fatto positivo? Ritiene che questa

esperienza possa favorire o meno un sano rapporto con la matematica?

Il computer

Quale ruolo può avere il computer nell' apprendimento - insegnamento della matematica?

Lei usa il computer per insegnare la matematica? Se non lo usa, per quale motivo? Attrezzature

insufficienti? Difficoltà organizzative? O contrarietà nei confronti del mezzo?

Conosce programmi per il computer orientati a favorire o facilitare l' apprendimento della

matematica? Considera il computer come un semplice supporto per materiali didattici

multimediali o qualcosa di più profondo?

Ambiente o Risponda liberamente, e solo se lo ritiene opportuno.

L' ambiente scolastico l'aiuta nella sua missione?

Ha buoni rapporti con i colleghi sul tema dell' insegnamento della matematica?

Ci sono forme di collaborazione tra tutti gli insegnanti che, nella scuola, insegnano matematica?

o La dirigenza della scuola considera in modo adeguato le esigenze relative all' apprendimento

della matematica? Le favorisce in qualche modo?

Sempre sul tema dell' apprendimento della matematica, esiste qualche forma di collaborazione,

diretta o indiretta, con i genitori?


Disabilità (discalculia)

Si è mai imbattuta in soggetti che presentavano disturbi specifici nell' apprendimento legati in

modo particolare alla matematica (tipo discalculia)?

Ha avuto modo di collaborare con degli psicologi? Quali figure di psicologi in particolare? Ha

trovato proficua la collaborazione con gli psicologi?

Ha avuto modo di conoscere ed apprezzare dei test per la diagnosi precoce della discalculia?


Appendice Numero 5 - Keith Devlin: pensare la matematica (da una conferenza del Prof. Keith Devlin riportata nel sito Polymath dell‟ Universita‟ di Torino)

Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin

Keith J. Devlin è un vero polymath, dovrebbe essere il primo socio onorario del sito, se è prevista questa

figura. Ha dato e continua a dare contributi importanti sia nella ricerca sia nella divulgazione.

Ha conseguito il dottorato in matematica nel 1971 presso l'Università di Bristol, nel settore della teoria

degli insiemi - sono ricerche molto difficili e affascinanti quelle dell'attuale teoria degli insiemi, veri e

propri esperimenti mentali di coraggiose estrapolazioni verso infiniti sempre più grandi e per studiare le

conseguenze della loro esistenza sulla matematica concreta e per affinare l'intuizione dell'infinito

(secondo un suggerimento che risale a Gödel).

Alcuni suoi libri ed esposizioni relative agli argomenti studiati in quegli anni sono presenti in tutte le

biblioteche universitarie del mondo (in particolare Constructibility, Springer, 1984).

Negli anni Ottanta Devlin è stato una delle vittime della Thachter, ha perso il posto con la motivazione

che le sue ricerche non si rivolgevano a questioni utili. A differenza dei minatori, l'emigrazione negli

Stati Uniti è stata per lui, e forse per noi, una fortuna. Ha continuato sì ad interessarsi di logica, sia pure

in una direzione diversa: sotto l'influenza di Jon K. Barwise, che lo aveva invitato come ricercatore al

Centro di studi sul linguaggio CSLI di Stanford (lo stesso centro che ora dirige, dopo la morte prematura

di Barwise) si è dedicato all'impegnativo (e per ora purtroppo poco più che tentative, a tentoni)

argomento di una fondazione di una nuova logica dell'informazione. Ma soprattutto, avendo poi ottenuto

un posto in una università che non aveva un programma di dottorato (questa è una nostra congettura,

non sappiamo quale sia la causa e quale l'effetto), ha colto l'occasione di dare maggiore sfogo ad

un'attività di science writer multimediale per cui aveva già manifestato interesse e spiccate attitudini

mentre viveva in Gran Bretagna.

Ivi era stata un grande successo la sua rubrica periodica di matematica Micromaths sul Manchester

Guardian, così come un famoso documentario televisivo A Mathematical Mystery Tour per la BBC. Ora

continua la sua collaborazione con la televisione ed ha aggiunto una rubrica sul Los Angeles Time.

Frutto di questa attività di divulgazione sono diversi libri di cui alcuni tradotti in italiano (Matematica -

La nuova età dell'oro, Dove va la matematica, Addio Cartesio, Il linguaggio della matematica, Il gene

della matematica).

Devlin ha anche ripetutamente messo le sue capacità organizzative ed espositive al servizio della

comunità, ad esempio dirigendo dal 1991 per alcuni anni l'importante rubrica Computers and

Mathematics sulle Notices dell'American Mathematical Society, e dirigendo per qualche tempo la rivista

Focus della Mathematical Association of America.

Il libro che viene oggi presentato (Il gene della matematica, Longanesi) può essere affiancato a quelli di

S. Dehaene, Il pallino della matematica (come sono fini gli editori italiani a inventarsi titoli di richiamo;

il libro di Dehaene è tutto dedicato a dimostrare che il cosiddetto "pallino" non esiste), e di B.

Butterworth, Intelligenza matematica, a costituire una trilogia di indagini su quello che si può indurre

dalle conoscenze attuali sul cervello relativamente alle capacità matematiche umane. Ma mentre gli altri

due si limitano a discutere le risultanze delle ultime ricerche neurofisiologiche (e al massimo

etnologiche, in Butterworth) sulla capacità innata di riconoscimento e manipolazione di quantità piccole,


in gran parte comune agli animali superiori, Devlin affronta il problema molto più difficile e

problematico, e importante (soprattutto per la didattica), dell'innesto e della crescita della matematica

simbolica sulla base delle capacità cerebrali matematiche che sono sostanzialmente analogiche.

Nella sua analisi gioca un ruolo fondamentale la discussione della crescita progressiva del cervello nel

corso dell'evoluzione umana; in particolare, visto che la matematica che conosciamo è troppo recente

per risentire dell'evoluzione biologica, un elemento decisivo appare essere la nascita del linguaggio, in

seguito alla crescita dimensionale del cervello (soprattutto della corteccia frontale) in un periodo che va

da 200.000 a 75.000 anni fa. La lunga e approfondita discussione di Devlin, che costituisce la parte

centrale dell'esposizione, è un importante contributo al problema della nascita del linguaggio; la sua tesi

è che per la matematica non sono necessarie altre capacità di quelle che permettono il linguaggio;

l'argomento centrale è che con il linguaggio evoluto si è resa possibile agli umani una forma di pensiero

astratto superiore, che egli chiama off-line: la capacità non solo di descrivere fatti elementari, anche già

articolati nelle affermazioni soggetto-predicato che coinvolgono nomi comuni, astratti, ma la possibilità

ulteriore di immaginare e descrivere situazioni di fantasia. Il vantaggio evolutivo connesso a questa

capacità è quello della pianificazione, che richiede di inventare scenari possibili (se le cose stessero), e

di sviluppare logicamente le conseguenze delle ipotesi immaginate.

Sulla base di questa tesi, e come elemento di conferma, Devlin presenta una visione della matematica

dove prevale la costruzione e la comunicazione di storie, non essenzialmente diverse dalle telenovele e

dallo scambio di pettegolezzi, relative a mondi formati da personaggi che sono questa volta gli oggetti

astratti matematici, i quali sono gli schemi, i pattern, che si incontrano in tutte le trattazioni

matematiche.

Pensare la matematica, di Keith Devlin

Sono circa trent'anni che mi occupo di matematica e da almeno cinque cerco di capire in che modo il

mio cervello, e quello degli altri matematici, riesca a fare matematica. Per molti motivi questa è una

domanda interessante e inconsueta. Il motivo più interessante riguarda il tempo. L'evoluzione ha avuto

luogo attraverso centinaia, migliaia e milioni di anni, mentre la matematica è molto recente. I numeri

hanno diecimila anni e la maggior parte della matematica ha, al massimo, duemila anni. Questo tempo è

troppo breve perché possano avvenire grandi cambiamenti nel cervello umano. Quindi, quando

facciamo matematica, quando i nostri cervelli pensano in modo matematico, dobbiamo necessariamente

usare delle abilità mentali che sono state acquisite centinaia di migliaia di anni prima che la matematica

venisse inventata. E la domanda che mi sono posto, quando ho scritto Il Gene delle Matematica è la

seguente: "Come hanno fatto i nostri antenati ad acquisire il pensiero matematico?" Ho impiegato

parecchi anni per riuscire a trovare una spiegazione convincente: quella che ho pubblicato nel libro Il

Gene delle Matematica, edito in Italia da Longanesi.

Non sostengo che ci sia un gene particolare che ci consente di fare matematica, quindi se voi non siete

capaci di fare matematica, non potete trovare la scusa che non possedete quel gene.

Quello che voglio dire, è invece che siamo nati con l'abilità matematica, e questa è in noi, e aspetta

soltanto di emergere. Il pensiero matematico è un'abilità innata, che abbiamo fin dalla nascita. Le

domande specifiche che mi pongo sull'abilità matematica sono le seguenti. Come ha fatto il cervello

umano ad acquisirla? Quando, in termini di evoluzione, il cervello ha acquisito questa abilità? E quale

vantaggio può aver dato questa abilità ai nostri antenati, nella selezione naturale?


Come per qualunque altra spiegazione riguardante l'evoluzione, non possiamo essere sicuri che io abbia

dato la spiegazione corretta. Comunque, sappiamo molto sull'evoluzione umana e culturale, e sulla

psicologia della matematica, e questo restringe e delimita in modo preciso qualsiasi possibile

spiegazione. Quindi la mia versione potrà essere difettosa in qualche punto, anche se sono piuttosto

fiducioso che possa essere vera.

Vediamo meglio qual è l'idea che descrivo nel libro. L'abilità matematica non è un'unica abilità, ma è

piuttosto un'insieme di molte abilità. Quindi il primo passo della mia analisi è stato quello di suddividere

questa abilità nelle molte abilità, diverse e individuali, che la componevano. Poi, mi sono chiesto che

cosa sia stato in termini storici e di evoluzione a portare i nostri antenati all'acquisizione di tali abilità?

Quando sono state acquisite? E come e quando si sono collegate fra loro queste singole abilità per darci

la matematica? E' un po' come fare una torta, prima ho raccolto tutti gli ingredienti, poi ho spiegato

come mescolarli per fare la torta. Ma devo dire che sono molto più bravo come matematico che come

cuoco.

Ho elencato nove diverse capacità mentali. Alcune sono connesse tra di loro, altre sono invece separate.

Innanzitutto, vi elencherò semplicemente quali sono queste capacità, poi ne illustrerò alcune più in

dettaglio.

Numero 1: il senso del numero.

Numero 2: l'abilità numerica.

Numero 3: l'abilità di ragionare sullo spazio che ci circonda.

Numero 4: il senso di causa ed effetto.

Numero 5: l'abilità di costruire e seguire una catena causale di fatti o di avvenimenti.

Numero 6: l'abilità algoritmica (un esempio di algoritmo è l'insieme delle regole che si devono

seguire per moltiplicare fra loro due numeri).

Numero 7: l'abilità di gestire concetti astratti.

Numero 8: l'abilità di ragionare in modo logico.

Numero 9: l'abilità di ragionare sulle relazioni.

Quelle che seguono sono le domande che ci dobbiamo fare su queste nove capacità.

Domanda numero uno: quando si sono evolute queste nove capacità mentali?

Domanda numero due: quale valore, in termini di sopravvivenza, offrivano ai nostri antenati?

Domanda numero tre: che cosa le ha unite per dare l'abilità del pensiero matematico?

Ci sono volute molte pagine nel libro per dare le risposte, ma nel mio intervento esporrò soltanto le idee

chiave di quella lunga spiegazione.

La prima delle nove capacità è il senso del numero. Questo ha quasi niente a che fare con i numeri, ma

significa semplicemente avere la capacità di capire che insiemi di oggetti possono avere misure diverse.

Ci sono quattro persone sul palcoscenico. Io non so quante persone ci siano qui in sala, ma so che voi

siete sicuramente più numerosi di quelli che sono qui con me sul palco. Non ci vogliono i numeri per

capire che voi siete più numerosi di noi. Il senso del numero non richiede i numeri, e molti animali

possiedono questa capacità.

Ci sono molti motivi per cui può essere utile per un animale avere questo senso del numero. Ad

esempio, per un piccolo gruppo di animali, è importante sapere se un altro gruppo di animali che li sta

minacciando è più grande o più piccolo del loro. Oppure per un animale che vive mangiando frutta, ha

senso individuare e arrampicarsi sull'albero che ha più frutti.


Il senso del numero si trova anche nei bambini molto piccoli. E' facile verificarlo direttamente. Se

qualcuno di voi ha un fratellino di due o tre anni, può provare a mettergli di fronte due mucchietti di

caramelle, uno piccolo e l'altro più grande, e vedere quale dei due sceglie il bambino. Sicuramente

sceglierà il mucchietto più grande. Il bambino non ha bisogno di contare le caramelle per capire quale

dei due mucchietti ne contiene di più.

Ma per i bambini, il senso del numero è ancora più sorprendente.

Nel 1992, nella sua tesi di dottorato al MIT in Massachussets, Stati Uniti, Karen Wynn è arrivato a

risultati che hanno stupito gli psicologi e imatematici di tutto il mondo. Ha dimostrato che i bambini

piccoli, in questo caso di cinque o sei mesi, non soltanto hanno il senso del numero, ma sanno che 1 più

1 fa 2, che 3 meno 2 fa 1 e conoscono tutta l'aritmetica, l'addizione e la sottrazione, per i numeri 1, 2 e 3.

In seguito, altri psicologi hanno dimostrato che i neonati di due giorni possiedono la stessa abilità.

La domanda interessante è: "Come facciamo a sapere questo?" Sembrerebbe impossibile sottoporre un

neonato di due giorni a una verifica matematica, invece lo è. Karen Wynn ha incominciato con il

sistemare dei bambini di cinque mesi davanti a un teatrino delle marionette. Il palcoscenico era nascosto

da uno schermo. Il bambino vedeva una mano che entrava di lato, con un pupazzo in mano. La mano

nascondeva il puapazzo dietro lo schermo. Poi il bambino vedeva un'altra mano con un altro pupazzo. In

tal modo aveva visto l'azione di 1 più 1. Poi lo schermo si abbassava e il bambino vedeva 2 pupazzi e

pensava, "OK". Subito dopo, il bambino vedeva 2 pupazzi ma, prima di abbassare lo schermo,

un'assistente aggiungeva un altro pupazzo, oppure ne toglieva uno. Ora quando si abbassava lo schermo,

il bambino vedeva 3 pupazzi oppure 1 e si dimostrava sorpreso. Qualcosa non andava per il verso

giusto! Il bambino aveva visto 1 più 1. Sapeva che la risposta doveva essere 2. E quindi era sorpreso

quando vedeva una risposta sbagliata. Con questo metodo ed altri simili, gli psicologi hanno dimostrato

che i bambini piccoli, persino all'età di due giorni, hanno il senso del numero e conoscono l'aritmetica

per i numeri 1, 2 e 3. Quindi, come dicevamo, è possibile fare una verifica matematica anche con i

bambini più piccoli.

Adesso vediamo la seconda delle nove capacità, l'abilità numerica. Questo sì che richiede i numeri. Per

quanto ne possiamo sapere, soltanto gli esseri umani hanno questa abilità, tranne alcuni casi molto

limitati di altri essere viventi. Gli scimpanzé e le grandi scimmie dimostrano una certa conoscenza dei

numeri. Infatti, se si pone uno scimpanzé di fronte al teatrino delle marionette e gli si fanno vedere le

stesse cose, questo si comporta un po' come il bambino piccolo, proposto da Karen Wynn. Ma con altri

animali questo non è così evidente come con gli esseri umani. Gli animali che sembrano avere il miglior

senso del numero, oltre agli esseri umani, sono gli uccelli.

Per quanto ne possiamo sapere, e abbiamo molte prove, i numeri in sé dipendono dal linguaggio.

Chiunque abbia imparato una lingua straniera sa che, anche quando la parla correntemente, risulta

difficile capire il numero telefonico comunicato da una persona. Infatti, quando parliamo una lingua

straniera e sentiamo un numero, automaticamente lo traduciamo o nella nostra lingua oppure nei simboli

1, 2, 3 ecc. Alcuni anni fa, lo psicologo cognitivo francese Stanislas Dehaene ha fatto uno studio, al

MIT, con una serie di test a persone bilingui russo-inglesi, sulla loro conoscenza dei numeri e ha

verificato che una persona ricorda i numeri nella lingua in cui li ha imparati. Quindi sembra che i numeri

siano essenzialmente parti del linguaggio, anche se sono parti molto speciali. Nel mio libro parlo a

lungo dell'abilità numerica, ma oggi mi devo limitare a quest'unica semplice spiegazione.

Un'altra delle nove capacità è l'abilità di ragionare sullo spazio che ci circonda. Qualunque creatura che

si muova deve possedere questa abilità. Se la mia abilità di ragionare sullo spazio che mi circonda fosse

errata, potrei fare tre passi avanti dal punto in cui mi trovo in questo momento e cascherei giù dal palco.


Un'altra della nove capacità è l'abilità di ragionare sulle relazioni, e ce ne sono di diversi tipi. Un tipo di

rapporto è quello di una cosa sopra l'altra. Oppure di una persona alla sinistra dell'altra. Ci sono anche i

rapporti tra e sulle persone. E questi rapporti tra persone sono molto più complicati degli altri tipi di

rapporto che emergono in matematica. Forse due delle operazioni mentali più difficili sono quella

dell'utilizzo del linguaggio per capire i rapporti familiari e per capire i rapporti tra le persone. Questi

rapporti, come dicevo, sono molto più complicati di quelli matematici. I nostri antenati hanno acquisito

questa abilità di ragionare sui rapporti per diverse ragioni. Una di queste è il fatto che la comprensione

dei rapporti umani rappresenta il modo in cui l'evoluzione ha portato gli esseri umani a collaborare. Non

siamo gli animali più grandi e più veloci, né quelli con le unghie o le zanne più affilate, e non abbiamo

neanche un guscio robusto che ci protegga. Abbiamo però un cervello, che usiamo per pensare, per

tenerci lontano dai pericoli, per programmare il nostro futuro e per collaborare con i nostri simili. Ed è

questa collaborazione che viene supportata dall'abilità di capire i rapporti umani. Se ti conosco, forse

sono disposto a collaborare con te. Se mio fratello conosce tuo cugino, forse sono disposto a collaborare

con te.

La capacità di cui vogliamo ora parlare è quella di gestire i concetti astratti. Tutti sanno, immagino, che

la matematica è difficile. Perché? Lo è l'abilità di ragionare sullo spazio che ci circonda? No, questo lo

sappiamo fare tutti. Il senso del numero? No. L'abilità numerica? No, abbiamo dimostrato che la

possedevamo già all'età di due giorni. Se pensate alle nove abilità che ho enunciato, quella chiave, la più

complicata, è l'abilità nel gestire i concetti astratti. Il motivo per cui questa è difficile è piuttosto ovvio.

Il cervello umano si è evoluto nel giro di centinaia di migliaia di anni per arrivare a pensare al mondo

fisico, agli animali nel mondo e, più recentemente, agli altri esseri umani. Il nostro cervello fa queste

cose da centinaia di migliaia di anni ed è diventato piuttosto bravo nel farle. Abbiamo inventato i numeri

soltanto diecimila anni fa. Il resto della matematica ha soltanto 2500 anni. Tutti i concetti astratti, come i

numeri, o gli altri concetti astratti della matematica, sono cose molto recenti, sulle quali il nostro

cervello ha appena iniziato a pensare. Il cervello trova difficoltà perché non si è sviluppato per pensare a

questo genere di cose. Purtroppo per le persone che devono fare un corso di matematica, e a loro questo

non piace o addirittura li spaventa, proprio questa capacità di gestire i concetti astratti, che il cervello

trova così difficile, risulta la capacità chiave. Nel libro dimostro che è l'equivalente della capacità per la

lingua. Questa dimostrazione è lunga e complicata e alcune persone non sono d'accordo sulle mie

conclusioni. Ma io penso che siano loro a sbagliare! La mia ipotesi è che il passo cruciale nello sviluppo

dell'abilità matematica sia stato quello di gestire concetti sempre più astratti, non perché la matematica

richieda un ragionamento più complicato. Naturalmente, alcuni concetti matematici sono complicati. Ma

molte cose nella vita sono complicate, dai film ai romanzi, al teatro, alla musica e all'arte.

Come disciplina, se volete capire cos'è la matematica e come viene percepita da un matematico,

dovreste pensarla come una specie di versione non reale, immaginaria di certe cose nel mondo reale. Per

esempio, se guardo alla mia destra vedo una finestra, che ha una forma più o meno tonda. Se guardassi il

cerchio della finestra da vicino, con la lente di ingrandimento, vedrei che il contorno non è una curva

perfettamente liscia. Se misurassi il diametro in direzioni diverse troverei che è diverso in ogni

direzione. Non è un cerchio perfetto. Ma ha un colore, è nero, ha una temperatura, è freddo, ha una

superficie, liscia. Questo cerchio ha molte caratteristiche.

Come matematico, nella mia mente ho un'interpretazione immaginaria del cerchio: un cerchio

matematico. Per alcuni versi , è molto noioso questo cerchio matematico, non ha colore, temperatura o

superficie ma è un cerchio perfetto, il diametro è uguale in tutte le direzioni. Nella matematica, per

esempio in geometria, i matematici studiano interpretazioni idealizzate, immaginarie, di cerchi che

esistono nel mondo reale.


Qualche volta mi piace descrivere la matematica come la scienza dei modelli. Il matematico osserva le

cose nel mondo intorno a sé e poi ne estrae delle idealizzazioni astratte e pensa a queste idealizzazioni.

Quel mondo matematico esiste soltanto nella mente umana, ma viene dal mondo in cui viviamo. Nel

caso del cerchio, soltanto noi possiamo vedere il modello che ne abbiamo estratto. Alcuni modelli li

sentiamo con le nostre orecchie. Molti possiamo vederli soltanto con la nostra mente. Per esempio, se

uscite (non prima delle fine del seminario, per favore…) e guardate in su, potreste vedere un aeroplano.

I vostri occhi non possono vedere le forze che lo tengono su, ma con le equazioni matematiche, la vostra

mente può vedere tali forze. La matematica rende visibile ciò che è invisibile. Come facciamo a fare

questo con la matematica? Prendiamo delle capacità mentali, sviluppate per muoversi nel mondo fisico e

sociale e le applichiamo al ragionamento su questo finto mondo astratto creato dalla nostra mente.

Notate che continuo ad usare la parola "immaginare" e la parola "creare". La maggior parte delle

persone pensa che la matematica sia il ragionamento, passo dopo passo. Non è così. Il più delle volte la

matematica è creatività e fantasia. La cosa difficile sarà poi quella di decidere se la propria creatività e

fantasia abbia fatto cose utili oppure futili?

Se un regista fa un film, ci sono due modi diversi per decidere se il regista ha fatto un buon lavoro.

Secondo il modo europeo devono esserci molte persone che dicano che è un buon film. Secondo il modo

americano il film deve aver incassato tre milioni di dollari nel primo weekend! (Ho due passaporti, uno

americano e uno europeo! Forse dovrei procurarmene anche uno australiano…)

Un fisico che sviluppa una teoria fisica, usando la propria fantasia e la propria creatività, controlla se la

teoria è giusta, facendo un esperimento in laboratorio. Il matematico controlla se la propria fantasia e

creatività hanno prodotto qualcosa di buono scrivendo una prova logica, per controllare se è corretta o

no. Il pensiero logico controlla se è giusta o no, quindi scrivere una prova logica è come andare a vedere

il film. La creatività sta nel fare il film, ma anche nel pensare a idee matematiche. Quindi la matematica

non è soltanto una materia creativa, è la materia più creativa della storia umana.

La storia della matematica o quella degli esseri umani, ci ha portato a sviluppare questa abilità. Se

credete nella spiegazione che ho dato nel libro e che oggi ho descritto, sapete qual è il segreto del fare

matematica.

Un matematico è qualcuno che vede la matematica come fosse una telenovela. Se non mi credete, fate

questo esperimento. Nella biblioteca dell'università, scegliete un libro di matematica ed apritelo a caso.

Vedrete della matematica. Quanti oggetti sono in discussione? Quanti rapporti tra questi oggetti sono

importanti per l'argomento? Quant'è complicata la rete di rapporti tra loro? Quant'è complicata la

deduzione logica? Prendete nota delle risposte. Poi guardate la prima telenovela che vi capita in TV.

Fate le stesse domande. Quanti personaggi? Quanti rapporti esistono fra loro? Quant'è complessa la rete

di rapporti? Quant'è complicata la trama? In tutte e quattro le categorie, la telenovela è molto più

complicata della matematica. Perché non abbiamo difficoltà a seguire una telenovela, ma la matematica,

che dovrebbe esser più semplice, sembra invece così difficile? Se non vi siete addormentati finora

dovreste conoscere la riposta. Le telenovela sono delle interpretazioni finte del mondo reale - la

matematica è un'interpretazione finta di parti del mondo reale. Ma i personaggi della telenovela sono

molto simili a voi e a me, tranne che sono più sterilizzati e, almeno nel mio caso, più giovani!

La telenovela tratta la vita, i rapporti umani, la matematica tratta invece di pure astrazioni. Nella

telenovela matematica i personaggi non sono persone, ma sono oggetti della matematica, cose come

numeri, figure geometriche, vettori, spazi topologici, funzioni analitiche ecc. E i fatti, i rapporti nella

telenovela matematica non sono nascite, morti, matrimoni, storie d'amore e rapporti di affari, ma sono

fatti matematici e rapporti tra oggetti matematici. Oggetti che non avete mai visto, toccato o sentito. I


fatti matematici sono cose come: Gli oggetti A e B sono uguali? Qual è il rapporto tra X e Y? Trovate

un oggetto X con la proprietà P. Risolvete l'equazione in X. Tutti gli oggetti di tipo D hanno la proprietà

P. Quanti oggetti di tipo Z ci sono? Ora, se non vi piace la matematica, questo sembra già molto noioso.

Ma immaginate che A, B, X e Y siano personaggi, con tutti i loro rapporti, di una telenovela. Quello che

abbiamo sono gli elementi fondamentali di una trama. La telenovela ha dei personaggi, dei rapporti e

una trama. e anche la matematica ha dei personaggi, dei rapporti e una trama. Ci sono però due

differenze, nella telenovela i personaggi, i rapporti e la trama sono molto complicati mentre nella

matematica sono molto semplici. Ma nella telenovela i personaggi, i rapporti e la trama ci sono

familiari, fanno parte della nostra vita quotidiana, mentre nella matematica dobbiamo crearci nella

nostra mente tutto un cast di personaggi, dobbiamo avere presenti tutte le loro proprietà e dobbiamo

tenere tutto presente, mentre seguiamo la trama nella nostra mente. E' un po' come seguire la telenovela

senza accendere la TV.

Il cervello di un matematico non è diverso dal cervello di qualsiasi altra persona. Semplicemente, i

matematici sono delle persone che hanno trovato il modo di usare il cervello per pensare a questi

oggetti, nuovi ed astratti. I matematici pensano agli oggetti matematici e ai loro rapporti usando le stesse

facoltà mentali che altri usano per pensare allo spazio fisico ed alle altre persone, oppure per guardare

una telenovela. Naturalmente, non sto dicendo che la matematica sia facile. E non sto dicendo che tutti

possano essere bravi in matematica. Tutti avranno invece abilità diverse.

Per esempio, io ho un paio di gambe, posso usarle per camminare e per correre abbastanza velocemente.

Non potrei mai gareggiare nella finale dei 1500 metri, ai giochi olimpici. Anche se mi allenassi per

molti mesi, non riuscirei mai ad arrivare a gareggiare nei giochi olimpici. Ma quando uso le mie gambe

per correre, sto facendo la stessa azione del finalista dei giochi olimpici. Ed è la stessa cosa con la

matematica, tutti hanno un cervello, questo cervello può fare una certa quantità di matematica, nello

stesso modo in cui le vostre gambe possono camminare o correre. Forse non diventerete mai dei

matematici famosi e non correrete nella finale dei 1500 metri ai giochi olimpici, ma soltanto perché non

potete vincere una medaglia d'oro, questa non significa che non dovete fare esercizi, correre e magari

partecipare ad altre gare. Potrete divertirvi lo stesso con l'atletica, senza vincere le olimpiadi. E la stessa

cosa vale per la matematica. Grazie.


Appendice Numero 6 - Il rapporto Oecd – Pisa: una ricerca

tra i 15enni di 57 paesi del mondo Per presentare il rapporto Oecd – Pisa ripotiamo qui appresso un articolo apparso il 4 dicembre 2007 sul

Corriere della sera. Il sottotitolo dell‟ articolo diceva: “Solo gli studenti dei licei del centro Centronord

superano l'esame. In matematica va malissimo”

ROMA - La scuola italiana è stata bocciata, in particolare gli istituti tecnici e quelli professionali. Sono solo i licei a

superare «l'esame» del rapporto Ocse-Pisa 2006. Rispetto al livello regionale, sopra la media dell'Ocse c'è solo il nord,

con il centro che arranca e il sud e le isole molto distaccati. Secondo il rapporto, gli studenti dei licei hanno conseguito

mediamente risultati migliori rispetto ai tre ambiti di indagini (scienze, matematica, lettura) con un punteggio di 518 più

alto di quello di istituti tecnici e professionali, questi ultimi staccati di oltre 100 punti a 414.

SUD E ISOLE ANCORA STACCATI - Gli studenti del nord-est hanno un punteggio di 520, seguiti da quelli del nord-

ovest con 501, dal centro con 486, dal sud con 448 e le isole con 432. Estrapolando i dati, emerge che gli istituti tecnici

del nord-ovest e del nord-est si collocano al di sopra della media Ue, dimostrando un livello di preparazione

assolutamente migliore di quello dei loro colleghi delle altre regioni d'Italia. Secondo le prime analisi, i dati

suggeriscono «l'immagine di una scuola che da un lato continua a non riuscire a coltivare le eccellenze, dall'altro assiste

ad uno slittamento verso il basso del livello medio di prestazione degli studenti, almeno per quanto riguarda l'ambito

della lettura».

COME SI E' SVOLTA LA RICERCA - Il rapporto Ocse-Pisa si è svolto su un campione di quindicenni in tutti e 30 i

Paesi dell'Ocse più altri 17 Paesi del resto del mondo. L'Italia ha partecipato con 21.773 ragazzi di quindici anni e 803

scuole tra medie inferiori, superiori e centri di formazione professionale. Il nostro Paese era già stato stroncato nel 2003

nell'indagine approfondita sulla matematica. Quest'anno il tema di approfondimento sono le scienze e i risultati non

sono migliori. I test che dovevano riscontrare le conoscenze dei ragazzi e la loro capacità di comprensione hanno dato

risultati non incoraggianti: l'Italia ha un punteggio medio di 475 contro una media Ocse di 500 e una media Ue di 497.

Il 25,3% dei ragazzi si colloca sotto il livello 2, quello delle competenze di base. Tra i Paesi con punteggi più alti, in

vetta alla classifica, Finlandia (563), Hong Kong (542), Canada (534). Peggio di noi fanno, invece, in Ue, Grecia,

Portogallo, Bulgaria e Romania.

MALE IN MATEMATICA E LETTURA - In matematica va malissimo per gli studenti italiani: sono al posto 38 con

462 punti, contro una media Ocse di 498. I ragazzi vanno molto meglio delle ragazze. Ma, in totale, il 32,8% degli

studenti si colloca al livello 2, uno tra i più bassi. In vetta alla classifica Ocse, invece, Taiwan (549), Finlandia (548),

Hong Kong (547), Corea (547). Fanalini di coda, i Paesi del Sud-America, la solita Grecia, la Turchia. Ma, ad esempio,

la Lituania e la Slovenia fanno meglio di noi. I quindicenni italiani, infine, non si salvano neanche con la competenza

nella lettura: l'Italia ha 469 punti contro i 492 della media Ocse che piazzano il Paese al posto 33. In questo ambito le

ragazze stravincono sui colleghi maschi. Ma gli Italiani restano indietro comunque. I più bravi al mondo, ai primi posti,

sono Corea (556), Finlandia (547), Hong Kong (536) e Canada (527).

04 dicembre 2007


Appendice Numero 7 – Rapporto PISA: flop della scuola o

questione settentrionale? Pubblicato da Claudio Gentili sul sito www.benecomune.net, sezione Educazione Ricerca Università il 6 dicembre 2007

I risultati disastrosi per gli studenti italiani, tra i più “somari” nella media dei Paesi OCSE fanno emergere il flop della

scuola italiana o piuttosto la “questione settentrionale”? Se crolliamo al 38° posto nella matematica e al 36° per cultura

scientifica, i risultati del Nord superano la media dei Paesi migliori.L‟indagine triennale OCSE PISA, che ha come

campione di rilevazione i 30 Paesi dell‟Area Ocse più i 27 Paesi partner, questa volta ha posto al centro della propria

analisi le capacità dei giovani quindicenni nell‟apprendimento delle Scienze.

Occorre innanzitutto fare una precisazione: questa indagine non misura le nozioni ma la capacità di applicarle nella

realtà. Quindi non si può dire che la nostra scuola non insegni le discipline ma che è poco attenta alle competenze.

La ricerca PISA per il campo scientifico ha puntato a rilevare le capacità che i giovani studenti hanno di tradurre le loro

conoscenze acquisite in campo scientifico in soluzioni di fronte ai problemi; le loro capacità di dare una spiegazione

scientifica a fenomeni specifici; ed, infine, le capacità di interpretare i dati raccolti scientificamente a sostegno di una

tesi scientifica.

Al terzo appuntamento con i risultati PISA, l‟Italia, nel suo complesso non manca di stupire posizionandosi negli ultimi

gradini della classifica. Esattamente al 36esimo posto dopo Estonia, Taipei, Polonia, Croazia, Slovacchia.

Il punteggio medio totalizzato dagli studenti italiani nella Scala complessiva delle Scienze è di 475 punti; valore non

troppo distante dalla media Ocse (500 punti) ma che invece fa registrare uno scostamento ben più alto dai valori dei

paesi best performer, come la Finlandia, che ha totalizzato 563 punti posizionandosi prima in classifica.

Complessivamente un quarto degli studenti italiani è sotto il livello 2 della scala a 6 livelli utilizzata per misurare le

performance PISA. Ciò equivale a dire “il livello minimo che permette ai quindicenni di confrontarsi con i casi

elementari che prevedono analisi scientifiche o tecnologiche”.

Ma l‟Italia è fatta di realtà ben diverse tra di loro. Nelle scuole del Nord – Est i livelli di apprendimento superano la

media OCSE e questo accade anche in quelle del Nord-Ovest. La situazione peggiora al Centro ed esponenzialmente al

Sud e nelle Isole. Trento, il Veneto e la Lombardia hanno performance che poco hanno da invidiare a quelle dei Paesi

leader (Korea, Finlandia, Hong Kong, Canada).

Due sono gli insegnamenti da trarre. In primo luogo non mettere le briglie al Nord. Conflitti istituzionali come quello

che in queste settimane oppone il Ministero della Pubblica Istruzione alla Lombardia, di cui è stata impugnata la legge

regionale sull‟istruzione, non aiutano. Come pure non aiuta la sostanziale disapplicazione del nuovo Titolo V della

Costituzione e l‟accentuato statalismo di molti degli ultimi provvedimenti in materia di istruzione che mortificano il

ruolo delle regioni e l‟autonomia scolastica e non valorizzano il volano della formazione professionale. In secondo

luogo occorre evitare che cada l‟oblio su questi dati. E‟ auspicabile, al contrario, imitare la Germania. Tre anni fa la

pubblicazione dei dati dell‟indagine Pisa 2003 ha provocato in Germania un terremoto. E‟ stato definito Pisa-Shock.

Ben 823 articoli sono stati dedicati all‟esame dei motivi delle insoddisfacenti performance degli studenti tedeschi.

La scuola tedesca si è attrezzata per risalire la china. E oggi si vedono i risultati. La Germania è risalita dal 18° al 13°

posto.

L‟Italia invece rispetto all‟indagine di tre anni fa ha perso nove posizioni. Mentre questa indagine era motivo di

riflessione e di ricerca di soluzioni in Germania da noi è stata subito archiviata.

Tre anni fa i nostri media, rispetto agli 823 articoli usciti in Germania hanno dedicato all‟indagine Pisa solo 24 articoli.

L‟auspicio è che la lezione tedesca ci sia di insegnamento.

http://www.benecomune.net/autore.interna.php?notizia=75

http://www.benecomune.net/

Guida 1A-3 [2009 - 2010]

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