Grandezze vettoriali.

“I concetti nuovi e fecondi di somma di vettori, prodotti di vettori ecc. sono

applicati alla meccanica ....

Secondo [l’autore] il vantaggio maggiore del [metodo] consiste nel fatto

che il calcolo è in ogni passaggio la precisa espressione del procedimento

mentale.

Questo non è possibile quando si usa il metodo abituale che introduce tre

coordinate arbitrarie. La differenza fra l’analisi e la sintesi scompare, e i

vantaggi dei due metodi sono così riuniti. “

Da E.Mach, “La meccanica nel suo sviluppo storico critico”, 1883.

(Trad. it. Boringhieri, Torino, 1977) con riferimento ai lavori di

H.Grassmann (1844), A.J.Möbius (1827), W.R.Hamilton (1866).

Descrizione matematica: l’ente matematico vettore

Grandezze scalari e vettoriali

Distanza, massa, temperatura ... sono completamente

definite da 1 numero (+ unità misura)

Invarianti per rotazioni

Grandezze scalari

Un “vettore A” si indica con A oppure

il suo modulo si indica

A

AA

Velocità, forza, spostamento ... sono caratterizzati da

intensità o modulo (es. aereo viaggia a 700 km/h)

direzione (la retta lungo cui si muove l’aereo in quell’istante)

verso (uno dei due versi di percorrenza della retta)

Si trasformano per rotazione (secondo una certa legge)

Grandezze vettoriali

q=35°

E

N

v

App. C del libro di testo

Rappresentazione di un vettore

Ad es. lo spostamento OP in un piano

• lunghezza OP ( a =|a| )

• angolo orientato rispetto

ad una retta data (q)

(rappresentazione in coordinate polari)

• Componenti X e Y rispetto ad un sistema di

assi cartesiani (coordinate cartesiane)

XY

YX

Y

X

aa

aaa

aa

aa

qq

q

tan

)(

sin

cos 22

direzione

e verso

Relazione fra le 2 rappresentazioni

Graficamente: segmento orientato (freccia)

modulo

In alternativa:

aX, aY sono le “componenti cartesiane” di a

caso 2D

nota sul segno di aX e aY

q O

a P

a

x

y

aX

aY

O

P

123

12

3

a

XY

Z

ZYX

AA

AA

AAAA

q

tan

cos

)( 222

Trasformazione coordinate

cartesiane / coordinate polari

In 3D servono 3 coordinate:

coordinate cartesiane: Ax, Ay, Az oppure

coordinate polari: modulo + 2 angoli: A, q,

Terna cartesiana “destrorsa”

sono uguali modulo, direzione e verso

sono uguali le componenti X, Y, Z

Rappresentazione di un vettore. Caso 3D

q

q

q

cos

sinsin

cossin

AA

AA

AA

Z

Y

X

Attenzione: dire che due vettori sono uguali significa che

q

caso 3D

x

y

z

Ax

Ay

Az

A

Axy

A

Operazioni con i vettori

somma (o differenza)

(il risultato è un vettore)

(il risultato è uno scalare)

(il risultato è un vettore)

es. somma di forze,

di velocità ...

es. quantità di moto

es. lavoro

es. momento di una forza

Consideriamo le seguenti operazioni:

prodotto di un vettore per uno scalare

prodotto scalare di due vettori

prodotto vettoriale fra due vettori

(il risultato è un vettore)

Dati gli spostamenti AB e BC

lo spostamento complessivo è AC

A

B C

a

b

c

Il vettore spostamento AC

si dice somma di AB e BC

ACBCAB

cba

A

B C

a

b

c

Regola del parallelogramma

Operazioni con i vettori - Somma

Questa regola riproduce anche la somma di

due forze, due velocità ecc.

bacba Disuguaglianza triangolare:

cba

ZZZ

YYY

XXX

bac

bac

bac

6

1K

KΑS

Spesso conviene usare le componenti cartesiane:

6

1

6

1

6

1

Α

Α

Α

K

KZZ

K

KYY

K

KXX

S

S

S

Somma di più vettori:

Rappresentazione grafica

1A

2A

3A

4A

5A

6A

S

A

B C

a

b

c

XaXb

Operazioni con i vettori - Somma

ABBA

CBACBA

proprietà commutativa

proprietà associativa

B

A

A

B

C

B

A

C

BA

A

B

C

CB

Operazioni con i vettori - Somma

Operazioni con i vettori - Prodotto di uno scalare per un vettore:

A

2A A

A

ZZ

YY

XX

kAC

kAC

kAC

AkC

k=2: vettore doppio k = -1: vettore opposto

AkAkAkk

2121 Proprietà distributive rispetto alla somma Si può operare come con i numeri reali

• stessa direzione di A

• stesso verso se k>0

• verso opposto se k<0

• modulo: AkC

BkAkBAk

Versore : vettore di modulo unitario, adimensionale

1Au

versori degli assi:

k,,u

j,,u

iu

z

y

x

100

010

0,0,1

A

AuA

AuAA

AA

zzyyxx uAuAuAA

Operazioni con i vettori - Prodotto di uno Scalare per Vettore:

A

un vettore è caratterizzato da un modulo

e da una direzione e verso (versore di A) AA

uA

1

Operazioni con i vettori - Differenza di vettori.

CBA

CBA

si opera come sui numeri reali.

-A è il vettore opposto di A 0ΑA

BACBA vale sempre la disuguaglianza triangolare:

si riduce alla somma

come con i numeri reali, si può portare

all’altro membro cambiando di segno CBA

CBA

B

AC

B

A

B

C

Scomposizione di un vettore

jaiauauaa yxyyxx

Scomposizione lungo due (o più) direzioni date.

Inversione della regola del parallelogramma:

aX e aY sono i vettori componenti di a

Ci interesserà la scomposizione lungo

direzioni ortogonali fra loro (assi cartesiani)

Esempio: scomposizione della forza peso su un piano inclinato.

x

y

q

Xa

Ya

a

i

j

aX e aY sono le componenti (cartesiane) di a

NT PPP

bac

a

b

c

NP TP

P

xa

Operazioni con i vettori - Prodotto scalare

ABBA

cBA

«A scalar B» (*)

ZZYYXX BABABABA

θABBA

cos

CABACBA

Proprietà commutativa:

Proprietà distributiva:

0BA

A e B ortogonali

0BA

0 < q < 90°

0BA

90° < q < 180°

20cos AAAAA

1

0

zzyyxx

zyzxyx

uuuuuu

uuuuuu

Xx AuA

q

A

B

il risultato è uno scalare

(*) All’orale non dire «A per B»

Operazioni con i vettori - Prodotto vettoriale

il risultato è un vettore (pseudovettore)

qsinABBA

Modulo: area del parallelogramma

Direzione: ortogonale ad A e B

Verso: mano destra o vite destrorsa

ABC

C

C

90

0180

00

q

q

q

CBA

(solo in 3D)

Area del

parallelogramma

q

A

BC

A

B

C

«A vettor B» (*)

(*) non dire «A per B» all’orale

A

B

C

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

uuu

Formalmente

yxz

xzy

zyx

uuu

uuu

uuu

componente di B

ortogonale ad A

componente di A

ortogonale a B

da cui

permutazione

ciclica

BAAB

Proprietà anticommutativa. Importante differenza

rispetto al prodotto di numeri reali

CABACBA

Proprietà distributiva:

BAABABBA qsin

XYYXZ

ZXXZY

YZZYX

BABABA

BABABA

BABABA

Operazioni con i vettori - Prodotto vettoriale

Derivata di un vettore

dt

AdC

Interpretazione geometrica:

dt

Bd

dt

AdBA

dt

d

dt

BdAB

dt

AdBA

dt

d

Proprietà

dt

dAC X

X

tA

dttA

Ad

dt

AdkA

dt

dkAk

dt

d

dt

BdAB

dt

AdBA

dt

d

dt

dAC Y

Y dt

dAC Z

Z

Derivata di un vettore:

Caso di vettore di modulo costante

02 Adt

AdAA

dt

d

w è una velocità angolare (v.): se il modulo è costante il vettore può solo ruotare

tA

dttA

Ad

qd

intuitivamente, dA diventa ortogonale ad A

quando l’angolo sotteso tende a 0.

nel limite di angoli piccoli qAddA

NN uAudt

dA

dt

Ad

wq

versore ortogonale ad A