Le grandezze vettoriali e la loro somma

Come fare lezione di matematica e fisica anche attraverso modelli costruiti

dalla classe

Il parallelogramma articolato

•  Per la costruzione del modello è necessario prendere quattro asticelle di materiale rigido, come legno o cartoncino da scatola, uguali a due a due e unirle con ferma campioni per formare un parallelogramma in modo che la figura sia mobile.

Il rombo articolato

•  Questo modello serve per capire la somma di vettori che hanno la stessa lunghezza, ma direzione variabile.

•  Vedremo ora in che modo.

Cosa sono i vettori Bisogna prima ricordare le

tre principali caratteristiche dei vettori, che abbiamo appreso con lo studio delle traslazioni.

1)  La direzione, che è l’elemento comune a tutte le rette parallele;

2)  Il verso, che viene indicato con una freccia

3)  Il modulo, che è la misura del vettore stesso.

Sono equipollenti vettori che hanno la stessa direzione, lunghezza e verso.

Vettori e spostamento •  È lo spostamento nello spazio di un oggetto,

ma anche di un “punto geometrico” che suggerisce le caratteristiche di un vettore

1.  Quanto è lungo lo spostamento? È la lunghezza del segmento AB ed è sorprendente perché lo spostamento da A a B è sempre il segmento AB, anche se il percorso è frastagliato, curvo, molto più lungo.

2.  La direzione è la retta su cui giace il segmento

3.  Il verso è quello che va da A (coda) a B (testa).

A

B

Somma di spostamenti e di vettori

•  Come si sommano i vettori? Ce lo suggerisce sempre la somma

di due spostamenti: se prima mi sposto secondo il vettore b e poi secondo il vettore a, lo spostamento totale, a + b, è il lato che chiude il triangolo, nel verso indicato nella figura. Tale lato è anche diagonale del parallelogramma, costruito su a e b.

La somma cambia •  La somma dei due vettori cambia,

anche se il loro modulo resta invariato. Si vede bene articolando il

parallelogramma:la diagonale cambia. Senza il modello è facile essere indotti in errore.

•  Nella figura è evidenziato l’angolo formato dai due vettori (quello formato dai loro versi positivi).

Facendo cambiare l’angolo, cambia di conseguenza anche la diagonale, cioè la diagonale è funzione dell’angolo e l’angolo è la variabile indipendente.

Il modello

Un caso limite: α = 0° •  Spostando il parallelogramma si

vede che al diminuire dell’angolo α tra i due vettori, la diagonale cresce sempre di più, fino al caso limite in cui α è zero. È caso limite poiché il parallelogramma è degenerato in un segmento “doppio”. Il modello ci fa intravedere il caso limite, che si vede meglio col disegno a lato

•  La somma dei vettori a e b, variabili in direzione, ma costanti in modulo, è massima quando:

  α=0° essendo α l’angolo formato dai due vettori.

  Questo massimo è la somma dei moduli dei due vettori.

Rappresentazione geometrica del nostro modello al caso limite

Un altro caso limite: α = 180°

Dall’osservazione del modello, si ricava che :la somma dei vettori a e b, variabili in direzione, ma costanti in modulo, è minima quando:

  α= 180° essendo α l’angolo formato dai due vettori;   Questo minimo è uguale alla

differenza dei moduli.

•  Si legge poco, ma qui c’è scritto il nostro percorso per arrivare alle conclusioni sulla funzione…

La funzione che esprime la diagonale in funzione dell’angolo α

•  (*) Non tutti eravamo convinti che la diagonale crescesse al diminuire dell’angolo, nonostante l’elastico lo mostrasse con evidenza. Qualcuno ha cercato una dimostrazione “autorevole”. E questa c’è: un teorema che ha fatto faticare e che questo modello chiarisce molto bene.

Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali e gli angoli fra essi compresi disuguali, allora all’ angolo maggiore sta opposto il lato maggiore.

N.B. Il nostro α è il supplementare dell’angolo opposto alla diagonale.

• Questa è anche la nostra funzione “somma di due vettori di modulo costante”. In simboli y=ƒ(α). Riepiloghiamo le sue caratteristiche: • È una funzione decrescente (*)

• Assume valore massimo quando α = 0° • Assume valore minimo quando α = 180°

Durante la spiegazione la professoressa è solita porre delle domande alla classe e farla ragionare riguardo ai problemi. I casi sono due: o i ragazzi che capiscono e cercano di risolvere il problema, parlano alla classe oppure talvolta capita che debba intervenire la professoressa stessa data la troppa confusione di idee nei ragazzi.

•  Anche stavolta in alcuni punti la classe ha avuto delle incertezze e ci sono stati dei ragazzi che sono attivamente intervenuti o ponendo i loro dubbi ai compagni o cercando di risolvere con il modello il problema posto durante la spiegazione.

“Momenti della discussione”

Il punto della situazione

•  Qualche volta è stato opportuno che la professoressa facesse il punto della situazione e spiegasse l’argomento non capito dalla maggior parte della classe..

È molto utile per la classe partecipare alla discussione sia con l’insegnante sia con i

compagni che meglio hanno capito il tema su cui si sta lavorando, ma anche con chi,

avendo diversi dubbi, chiede chiarimenti e pone domande che fanno riflettere e …

progredire.

Classe II E

Insegnante: Laura Gori

Liceo classico Michelangiolo

Firenze