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Le grandezze vettoriali e la loro somma

Come fare lezione di matematica e fisica anche attraverso modelli costruiti

dalla classe

Il parallelogramma articolato

Per la costruzione del modello necessario prendere quattro asticelle di materiale rigido, come legno o cartoncino da scatola, uguali a due a due e unirle con ferma campioni per formare un parallelogramma in modo che la figura sia mobile.

Il rombo articolato

Questo modello serve per capire la somma di vettori che hanno la stessa lunghezza, ma direzione variabile.

Vedremo ora in che modo.

Cosa sono i vettori Bisogna prima ricordare le

tre principali caratteristiche dei vettori, che abbiamo appreso con lo studio delle traslazioni.

1) La direzione, che lelemento comune a tutte le rette parallele;

2) Il verso, che viene indicato con una freccia

3) Il modulo, che la misura del vettore stesso.

Sono equipollenti vettori che hanno la stessa direzione, lunghezza e verso.

Vettori e spostamento lo spostamento nello spazio di un oggetto,

ma anche di un punto geometrico che suggerisce le caratteristiche di un vettore

1. Quanto lungo lo spostamento? la lunghezza del segmento AB ed sorprendente perch lo spostamento da A a B sempre il segmento AB, anche se il percorso frastagliato, curvo, molto pi lungo.

2. La direzione la retta su cui giace il segmento

3. Il verso quello che va da A (coda) a B (testa).

A

B

Somma di spostamenti e di vettori

Come si sommano i vettori? Ce lo suggerisce sempre la somma

di due spostamenti: se prima mi sposto secondo il vettore b e poi secondo il vettore a, lo spostamento totale, a + b, il lato che chiude il triangolo, nel verso indicato nella figura. Tale lato anche diagonale del parallelogramma, costruito su a e b.

La somma cambia La somma dei due vettori cambia,

anche se il loro modulo resta invariato. Si vede bene articolando il

parallelogramma:la diagonale cambia. Senza il modello facile essere indotti in errore.

Nella figura evidenziato langolo formato dai due vettori (quello formato dai loro versi positivi).

Facendo cambiare langolo, cambia di conseguenza anche la diagonale, cio la diagonale funzione dellangolo e langolo la variabile indipendente.

Il modello

Un caso limite: = 0 Spostando il parallelogramma si

vede che al diminuire dellangolo tra i due vettori, la diagonale cresce sempre di pi, fino al caso limite in cui zero. caso limite poich il parallelogramma degenerato in un segmento doppio. Il modello ci fa intravedere il caso limite, che si vede meglio col disegno a lato

La somma dei vettori a e b, variabili in direzione, ma costanti in modulo, massima quando:

=0 essendo langolo formato dai due vettori.

Questo massimo la somma dei moduli dei due vettori.

Rappresentazione geometrica del nostro modello al caso limite

Un altro caso limite: = 180

Dallosservazione del modello, si ricava che :la somma dei vettori a e b, variabili in direzione, ma costanti in modulo, minima quando:

= 180 essendo langolo formato dai due vettori; Questo minimo uguale alla

differenza dei moduli.

Si legge poco, ma qui c scritto il nostro percorso per arrivare alle conclusioni sulla funzione

La funzione che esprime la diagonale in funzione dellangolo

(*) Non tutti eravamo convinti che la diagonale crescesse al diminuire dellangolo, nonostante lelastico lo mostrasse con evidenza. Qualcuno ha cercato una dimostrazione autorevole. E questa c: un teorema che ha fatto faticare e che questo modello chiarisce molto bene.

Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali e gli angoli fra essi compresi disuguali, allora all angolo maggiore sta opposto il lato maggiore.

N.B. Il nostro il supplementare dellangolo opposto alla diagonale.

Questa anche la nostra funzione somma di due vettori di modulo costante. In simboli y=(). Riepiloghiamo le sue caratteristiche: una funzione decrescente (*) Assume valore massimo quando = 0 Assume valore minimo quando = 180

Durante la spiegazione la professoressa solita porre delle domande alla classe e farla ragionare riguardo ai problemi. I casi sono due: o i ragazzi che capiscono e cercano di risolvere il problema, parlano alla classe oppure talvolta capita che debba intervenire la professoressa stessa data la troppa confusione di idee nei ragazzi.

Anche stavolta in alcuni punti la classe ha avuto delle incertezze e ci sono stati dei ragazzi che sono attivamente intervenuti o ponendo i loro dubbi ai compagni o cercando di risolvere con il modello il problema posto durante la spiegazione.

Momenti della discussione

Il punto della situazione

Qualche volta stato opportuno che la professoressa facesse il punto della situazione e spiegasse largomento non capito dalla maggior parte della classe..

molto utile per la classe partecipare alla discussione sia con linsegnante sia con i

compagni che meglio hanno capito il tema su cui si sta lavorando, ma anche con chi,

avendo diversi dubbi, chiede chiarimenti e pone domande che fanno riflettere e

progredire.

Classe II E Insegnante: Laura Gori

Liceo classico Michelangiolo

Firenze