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GRANDEZZE E MISURE

1. LE GRANDEZZE

Di che cosa si occupa la fisica?

Studia i fenomeni naturali, come la luce o l’energia contenuta nella materia

Parla di grandezze, cioè di quantità che possono essere misurate mediante strumenti (ad es. la massa si misura con una bilancia, la temperatura con un termometro etc.)

Cerca di trovare delle leggi, cioè delle relazioni tra queste grandezze, espresse mediante formule matematiche.

Le parti della fisica

La meccanica studia l’equilibrio ed il movimento dei corpi. Si distingue in

o Cinematica: si occupa solo del moto dei corpi, indipendentemente dalle cause che lo hanno provocato

o Dinamica: prende in considerazione anche le cause del movimento, studiando come si muovono i corpi per effetto delle forze che agiscono su di essi.

La termologia studia i fenomeni legati al calore e alla temperatura. La sua legge più

importante stabilisce che l’energia si conserva, cioè non aumenta né diminuisce.

L’acustica studia le proprietà del suono.

L’ottica studia le proprietà della luce, per es. la riflessione e la scomposizione della luce bianca

nello spettro dell’arcobaleno.

L’elettromagnetismo studia i fenomeni elettrici e magnetici: le sue leggi descrivono il

funzionamento dei circuiti e dei motori elettrici.

La misura delle grandezze

Una grandezza è una quantità che può essere misurata con uno strumento di misura

Misurare una grandezza significa dire quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza. Ad es. dire che un listello è lungo 1,3 m significa che l’unità di misura (il metro) è contenuta 1,3 volte nella grandezza da misurare. Per comunicare il risultato di una misura bisogna scrivere un numero seguito da un’unità di misura: per es. la misura di una velocità può essere

simbolo che indica la velocità

v = 110 h

km

numero unità di misura

2

Il sistema internazionale di unità

Nome della grandezza Unità di misura Simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo kg

Intervallo di tempo secondo s

Intensità di corrente ampere A

Temperatura kelvin K

Intensità luminosa candela cd

Quantità di sostanza mole mol

A partire da queste sette grandezze fondamentali si costruiscono le unità di misura di tutte le

altre grandezze: ad es. l’unità di misura della velocità è [m/s], quella del volume è [m3]. L’unità di misura va indicata tra parentesi quadra.

I prefissi. Le unità di misura possono essere precedute da prefissi per ottenere multipli e

sottomultipli: ad es. aggiungendo il simbolo “k” (kilo) prima del simbolo “m” del metro otteniamo il kilometro (km).

Es. 1 km = 1000 m = 103 m; 1 cm =

m = 10

- 2 m; 3 kW = 3000 W …

Nome Simbolo Moltiplica

tera T 1.000.000.000.000 = 10 12

giga G 1.000.000.000 = 10 9

mega M 1.000.000 = 10 6

kilo k 1000 = 10 3

etto h 100 = 10 2

centi c 100

1 = 10

- 2

milli m 1000

1 = 10

- 3

micro 000.000.1

1 = 10

- 6

nano n000.000.000.1

1 = 10

- 9

pico p 000.000.000.000.1

1 = 10

- 12

3

Regole di scrittura.

Per scrivere i valori delle misure occorre rispettare alcune regole: i simboli delle unità di misura

devono sempre seguire il valore numerico e mai precederlo (es. , e non )

non devono essere mai seguiti da un punto ( es. , non )

vanno scritti con l’iniziale minuscola (es. , non ); fanno eccezione i nomi di unità che derivano da nomi propri quali ad es.

La lunghezza

Principali multipli e sottomultipli del metro

Nome Simbolo Valore in m

chilometro 1000 = 10 3

centimetro 100

1 = 10

- 2

millimetro 1000

1 = 10

- 3

micrometro 000.000.1

1 = 10

- 6

es. - per passare da a bisogna moltiplicare per 1000 il valore in

- per passare da a si moltiplica per 1/100 il valore in

100

1

Principali unità di misura di lunghezza anglosassoni

4

Area e volume

Area. L’unità di misura dell’area è il metro quadrato, area di un quadrato il cui lato è lungo :

- es. per passare da a bisogna sostituire il simbolo con il valore

- per passare da a bisogna sostituire il simbolo con il valore

Principali multipli e sottomultipli del metro quadrato

Nome Simbolo Valore in m2

chilometro quadrato 1.000.000 = 10 6

ettometro quadrato (ettaro) 10.000 = 104

centimetro quadrato 000.10

1= 10

- 4

millimetro quadrato 000.000.1

1= 10

- 6

Volume. L’unità di misura del volume è il metro cubo , che è il volume di un cubo il cui lato

è lungo :

=

- es. per passare da a bisogna sostituire il simbolo con il valore

= = 3

=

000.000.1

3m

3 = 0,000003 m

3

Principali multipli e sottomultipli del metro cubo

Nome Simbolo Valore in m3

decimetro cubo = 1 litro 1000

1 = 10

- 3

centimetro cubo 000.000.1

1= 10

- 6

5

L’intervallo di tempo

Principali multipli e sottomultipli del secondo

Nome Simbolo Valore in s

anno 3,16 10 7

giorno 86.400

ora 3.600

minuto 60

millisecondo 1000

1 = 10

- 3

microsecondo 000.000.1

1 = 10

- 6

Un anno è costituito da 365 giorni e 6 ore

1 a = 365 d 24

60

60

+ 6 h 60

60

e dopo aver semplificato le unità di misura

= 365 24 60 60 s + 6 60 60 s = 31.557.600 s

Massa e densità

La massa esprime la quantità di materia; la sua unità di misura è il chilogrammo [kg]. Principali multipli e sottomultipli del chilogrammo

Nome Simbolo Valore in kg

tonnellata 1000 = 10 3

ettogrammo 10

1 = 10

- 1

grammo 1000

1 = 10

- 3

milligrammo 000.000.1

1 = 10

- 6

6

La massa volumica di un corpo è uguale al rapporto fra la sua massa m [kg] e il suo volume V [m3]

massa volumica [kg/m3] massa [kg]

d = V

m

volume [m3]

Spesso è chiamata densità, anche se per densità si dovrebbe intendere il rapporto tra un volume di una data sostanza ed un ugual volume di acqua; uniformandoci a tale consuetudine, dicendo che l’acqua ha

una densità di 1000 kg/m3 (oppure di 1 kg/dm

3) intendiamo che un metro cubo di acqua ha una massa

di 1000 kg (ovvero un litro di acqua, pari a 1dm3, ha una massa di 1 kg); dicendo che il ferro ha una

densità di 7,8 kg/dm3, indichiamo che ha una massa 7,8 volte maggiore di quella di un ugual volume di

acqua: ad es. un cubo di ferro di lato uguale ad 1dm avrà massa 7,8 volte superiore rispetto a quella di 1

litro di acqua .

2. STRUMENTI MATEMATICI

I rapporti

Un rapporto dà un’informazione relativa a un’unità es. se in una scuola ci sono 200 studenti e 40 computer, in media ci sono

200 : 40 = 40

200 = 5 studenti per ogni computer ( 5 studenti che condividono 1 computer)

Un rapporto può essere espresso sotto forma di frazione

numeratore

a : b = b

a

denominatore

Tenendo fisso il denominatore

o se il numeratore aumenta, il rapporto aumenta o se il numeratore diminuisce, il rapporto diminuisce

Tenendo fisso il numeratore

o se il denominatore aumenta, il rapporto diminuisce o se il denominatore diminuisce, il rapporto aumenta

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Le proporzioni

Una proporzione è un’uguaglianza di rapporti estremi

5 : 3 = 10 : 6 oppure 3

5 =

6

10

medi

Le percentuali

La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100

25% = 100

25= 0,25

quanto vale la percentuale di un numero dato

es. il 30% di 1200 è 100

30 1200 = 360

quanto vale in % un numero rispetto a un altro

es. in una scuola 20 studenti su 80 sono stranieri: qual è la loro percentuale?

20: 80 = x : 100

25% è la percentuale

quanto vale un numero di cui si conosce il valore di una sua percentuale

es. quest’anno sono caduti 40 mm di pioggia, che sono l’ 80% rispetto all’anno scorso. Quanti mm di pioggia sono caduti l’anno scorso?

40 : x = 80 : 100

50 50 mm è la risposta

Aumento in percentuale. es. se i 20 studenti stranieri sono aumentati del 10% diventano

prima

20 +

20 = 20 + 2 = 22

dopo aumento del 10%

8

Diminuzione in percentuale. es. se i 20 studenti stranieri sono diminuiti del 15 % diventano

prima

dopo

diminuzione del 15%

I grafici

Un grafico rappresenta visivamente una relazione fra due grandezze: può essere costruito a partire da una tabella o da una formula. es. abbiamo una tabella che riporta i valori della temperatura in funzione del tempo

Tempo [ h ] Temperatura [ °C ]

0 4

2 3

4 6

6 7

8 5

10 8

1. per costruire il grafico si tracciano gli assi e per ciascuno si scrive grandezza e unità di misura

2. si sceglie, a seconda dei dati, la scala sull’asse orizzontale e quella sull’asse verticale

3. si riportano nel piano cartesiano le coppie di valori: ciascuna di esse individua un punto

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10

9

L’asse orizzontale (asse delle ascisse) rappresenta la variabile indipendente, quello verticale (asse

delle ordinate) la variabile dipendente, i cui valori dipendono cioè da quelli della variabile indipendente. La scala si sceglie in modo da distribuire i dati sullo spazio a disposizione Mentre una tabella contiene un numero finito di dati, una formula ne contiene una quantità infinita: pertanto, mentre il grafico di una tabella è un insieme di punti, il grafico di una formula è una curva.

es. la formula dell’area di un cerchio è A = * r2 ed una delle possibili tabelle che ne deriva è ad es.

raggio [ m ] area [ m2 ]

1 3,14

2 12,56

3 28,26

4 50,24

5 78,5

…… ……

100 90 80

70 60 50 40 30 \ 20 10 0

0 1 2 3 4 5 6 raggio [ m ]

La proporzionalità diretta

Due grandezze e sono direttamente proporzionali se:

- quando raddoppia, raddoppia;

- quando triplica, triplica….

Per esse valgono le seguenti proprietà:

la formula che le lega ha la forma

il loro rapporto è costante

il grafico è una retta che passa per l’origine

Are

a [m

2 ]

10

La dipendenza lineare

Due grandezze e sono linearmente dipendenti quando sono legate dalla formula

dove k e q sono costanti

es. Calcoliamo il costo di una telefonata di minuti, dove è il costo al minuto e q è lo scatto alla risposta: supponiamo di avere i seguenti dati

durata telefonata = 3 min; scatto alla risposta = 0,15 €; costo = 0,12 €/min

La proporzionalità inversa

Due grandezze e sono inversamente proporzionali se:

- quando raddoppia, diventa la metà;

- quando triplica, diventa un terzo ….

Per esse valgono le seguenti proprietà:

la formula che le lega ha la forma

il loro prodotto è costante

il grafico è un arco di iperbole

es. la velocità è inversamente proporzionale al tempo nel quale si percorre una determinata distanza; in una leva la forza che equilibra un peso è inversamente proporzionale al braccio.

La proporzionalità quadratica

Una grandezza è direttamente proporzionale ( al quadrato di una grandezza se:

- quando raddoppia, diventa quattro volte più grande;

- quando triplica, diventa nove volte più grande ….

es. in un quadrato l’area è al quadrato del lato; la potenza dissipata per effetto Joule in un

conduttore è al quadrato dell’intensità di corrente.

Valgono le seguenti proprietà:

la formula che le lega ha la forma

il rapporto fra y ed il quadrato di x è costante

il grafico è un arco di parabola

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Le potenze di 10

se l’esponente è positivo , si ha 10n =

n volte

se l’esponente è zero , si ha 100 = 1

se l’esponente è negativo, si ha 10- n

= n10

1

es. 10- 3

= 10

1

10

1

10

1 =

310

1 =

1000

1

Il risultato di una potenza di 10 contiene un numero di zeri uguale all’esponente

es. 103 = 1000 ha 3 zeri 10

- 2 = 0,01 ha 2 zeri

Potenza di 10 Frazione Numero Nome

10- 9

910

1 0,000 000 001 un miliardesimo

10- 6

610

1 0,000 001 un milionesimo

10- 3

310

1 0,001 un millesimo

10- 2

210

1 0,01 un centesimo

10- 1

10

1 0,1 un decimo

100 1 uno

101 10 dieci

102 100 cento

103 1000 mille

10 6 1 000 000 un milione

109 1 000 000 000 un miliardo

12

Proprietà delle potenze

Moltiplicazione

es. 10 2 10

4 =

10

2 + 4 =

10

6

10 4 10

- 5 =

10

4 -5 =

10

-1

10 - 2

10 - 5

= 10

- 2 - 5 =

10

- 7

Divisione

=

es. 10 5

: 10 4 =

10

5 - 4 =

10

1

10 4 :

10

- 5 =

10

4 – (- 5) =

10

9

10 2 :

10

5 =

10

2 -5 =

10

-3

Potenza (10 m

) n =

10

m n

es. (10 5)2 =

10

10

(10 - 4

)- 2

= 10

8

(10 - 3

) 2

= 10

- 6

Le equazioni

Una equazione di 1° grado è una uguaglianza verificata per un ben preciso valore dell’incognita:

Per risolverla bisogna isolare l’incognita, cioè fare in modo che l’incognita si trovi da sola a sinistra dell’uguale, trasportando tutti i termini noti (cioè non contenenti l’incognita) a destra dell’uguale.

Occorre ricordare che ogni qualvolta si sposta un termine a destra o a sinistra dell’uguale, quando “attraversa” l’uguale esso cambia di segno.

es. 3

Se l’incognita ha un coefficiente diverso da 1, per risolvere l’equazione bisogna dividere per tale coefficiente quanto sta a destra dell’uguale (potremmo anche dire che, dato un coefficiente che

moltiplica la , ciò che “sta sopra va sotto, e ciò che sta sotto va sopra).

2 = 12 = 2

12 = 6

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3. LA MISURA

Gli strumenti

Strumenti analogici: il valore della misura si legge su una scala graduata

Strumenti digitali: il valore della misura appare come una serie di cifre

Portata e sensibilità

La portata di uno strumento è il più grande valore della grandezza che lo strumento può

misurare.

Negli strumenti analogici la portata è uguale al numero più grande scritto sulla scala, ad es. il valore di fondo scala di un tachimetro (impropriamente definito contachilometri) analogico.

La sensibilità di uno strumento è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può

distinguere.

es. la sensibilità del righello è 1 mm 1mm 1mm

0 1 2 3 4 5

Più è piccolo il valore della grandezza che si riesce a distinguere, maggiore è la sensibilità dello strumento: ad es. il righello ha una sensibilità maggiore di un contachilometri in cui le centinaia di m siano il più piccolo valore della distanza leggibile sul display.

L’incertezza delle misure

E’ impossibile fare una misura esatta: ad ogni misura è associata un’incertezza, che può essere più o meno grande.

Due sono le ragioni:

gli strumenti hanno una sensibilità limitata, per cui non sono in grado di distinguere grandezze che differiscono meno di una certa quantità;

nel fare una misura, si compiono inevitabilmente degli errori.

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L’incertezza dello strumento

La lunghezza di un foglio A4, ad esempio, è nominalmente 29,7 cm; però il foglio potrebbe essere lungo 29,72 oppure 29,75 ed il righello, che ha una sensibilità di 1 mm, non può distinguere i decimi di mm; se usassimo uno strumento più sensibile, potremmo misurare i decimi di mm ma resteremmo incerti sui centesimi di mm. Poiché il bordo del foglio è sfilacciato, una misura così precisa non ha comunque senso.

L’incertezza può essere ridotta, ma mai eliminata completamente.

Errori casuali ed errori sistematici

- Gli errori casuali, che dipendono cioè dal caso, variano in modo imprevedibile da una misura all’altra e influenzano il risultato qualche volta per eccesso, qualche altra volta per difetto.

es. facciamo partire o fermiamo un cronometro in anticipo o in ritardo da una volta all’altra; oppure, nell’eseguire una misura di lunghezza, facciamo un errore di allineamento posizionando lo zero del righello qualche volta un po’ a destra e qualche volta un po’ a sinistra del punto dove inizia la lunghezza da misurare.

- Gli errori sistematici avvengono sempre nello stesso senso: o sempre per eccesso, o sempre per difetto.

es. l’uso di un cronometro che va avanti (o indietro) in una misura di tempo; oppure l’uso di una bilancia che segna sempre un peso maggiore (o minore) del reale; oppure l’uso di un metro che sia più lungo (o più corto): se ad es. si usasse un metro più lungo di 1 cm, tutte le misure sarebbero sbagliate per difetto.

Usando strumenti migliori ed eseguendo le misure in modo più accurato, si possono ridurre gli errori. In questo modo la misura avrà un’incertezza minore, ma non sarà mai esatta.

Il valore medio e l’incertezza

Supponiamo di avere effettuato sei misure di tempo con un cronometro, e di riportare i valori ottenuti in una tabella

Misura Valore [s]

1 14,6

2 14,7

3 14,4

4 14,6

5 14,5

6 14,3

I tempi non sono tutti uguali, perché nell’eseguire la misura sono stati fatti degli errori casuali: si va da 14,3 (valore minimo) a 14,7 (valore massimo). Poiché gli errori casuali sono un po’ per eccesso e un po’ per difetto, si sceglie come risultato della misura il valore medio delle diverse misure

t = 6

3,145,146,144,147,146,14 = 14,5 s

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Se si fanno diverse misure, si sceglie come risultato della misura il loro valore medio, che è il rapporto fra la somma delle misure ed il numero delle misure:

valore medio = misuredellenumero

misuredellesomma

L’errore assoluto.

Un modo semplice per stimare l’incertezza della misura consiste nel calcolare l’errore assoluto

L’errore assoluto è uguale alla differenza tra il valore massimo ed il valore minimo divisa per due:

errore assoluto = 2

minmax valorevalore

es. nella serie di misure fatte l’errore assoluto è 2

3,147,14 ss =

Per esprimere il risultato della nostra misura diremo allora che il tempo è

14,5 s 0,2 s = (14,5 0,2) s

Il segno indica che il risultato della misura è compreso tra (14,5 – 0,2) s e (14,5 + 0,2) s

valore medio s

14 14,3 14,5 14,7 15

errore assoluto

Ripetendo un’altra misura, molto probabilmente il valore sarà compreso nell’intervallo ; bisogna però anche tener conto della sensibilità dello strumento.

Il risultato di una misura si esprime scrivendo il valore medio l’incertezza, dove l’incertezza è il più grande tra l’errore assoluto e la sensibilità dello strumento.

Risultato valore medio incertezza

Se ad es. misuriamo la lunghezza di un foglio A4 con un righello che ha la sensibilità di 1 mm, è molto probabile che tutti i valori siano uguali, per cui l’errore assoluto è pari a zero. Questo però non significa che la misura sia esatta. Si assume quindi che l’incertezza sia uguale ad 1 mm, cioè 0,1 cm.. Esprimeremo pertanto la misura come

l = (29,7 0,1) cm

L’errore relativo

Per errore relativo si intende il rapporto fra l’incertezza ed il valore medio:

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errore relativo = mediovalore

incertezza

es. supponiamo di misurare la massa di un’auto con una bilancia con la sensibilità di 1 kg, e quella di un pacco di pasta con una bilancia che ha la sensibilità di 10 g, ottenendo i seguenti risultati

- auto: (1000 ± 1) kg - pasta: (5,0 ± 0,1) hg

Confrontando l’incertezza con il valore della misura si ottiene

- auto: kg

kg

1000

1=

1000

1

- pasta: hg

hg

0,5

1,0=

50

1

Quindi la misura della massa dell’automobile è più precisa, anche se ha un’incertezza maggiore.

Si definisce errore relativo percentuale l’errore relativo espresso in forma percentuale

- errore relativo percentuale nella pesata dell’auto =

- errore relativo percentuale della pasta = 50

1 2%

L’arrotondamento

Arrotondare un numero significa sostituirlo con un altro che abbia meno cifre significative. es. arrotondiamo 2,62 con tre cifre significative a due cifre significative: 2,62 2,6

se la prima cifra che si cancella è 0, 1, 2, 3, 4, si lascia uguale la cifra che la precede es. arrotondiamo 78,24 da quattro a due cifre: 78,24 78 Infatti la prima cifra che cancelliamo è 2, per cui 8 (che è la cifra precedente) resta invariato

se la prima cifra che si cancella è 5, 6, 7, 8, 9, si aumenta di un’unità la cifra che precede

es. arrotondiamo 51,0632 da sei a tre cifre: 51,0632 51,1 Infatti la prima cifra che cancelliamo è 6, per cui si aumenta di un’unità lo 0 che precede

Se l’arrotondamento è prima della virgola, le cifre che si cancellano vanno sostituite con degli zero: es.

21722 21720

36257,5 36300

5,973 6,0

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La notazione scientifica

Un numero, scritto nella notazione scientifica, è il prodotto di due fattori: un coefficiente, compreso

fra 1 e 10, e una potenza di 10.

1251,4 1,2514 * 103

0,0075 7,5 * 10-3

15.000.000 1,5 * 107

L’ordine di grandezza. L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 che più si avvicina a quel numero.

es. la distanza Bologna – Milano è 210 km = 2,1 * 102 km: l’ordine di grandezza è 102 km, cioè 100 km

la distanza Bari – Milano è 880 km = 8,8 * 102 km: l’ordine di grandezza è 103 km, cioè 1000 km;

infatti 880 è più vicino a 1000 che a 100.

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4. LE FORZE

Le forze cambiano la velocità

Alcune sono forze di contatto, ad es. quando spingiamo un carrello

Altre sono forze a distanza, come ad es. la forza magnetica di una calamita o la forza di gravità

L’effetto delle forze. Una forza può cambiare la velocità di un corpo: se questo non

accade, significa che sul corpo agiscono altre forze che annullano la prima.

Consideriamo un corpo inizialmente fermo

Se il corpo continua a rimanere fermo, allora la forza totale applicata su di esso è uguale a zero

Se invece comincia a muoversi, allora è applicata una forza totale diversa da zero che fa aumentare la sua velocità.

La misura delle forze

Per descrivere una forza dobbiamo fornire tre informazioni:

La sua direzione, cioè la retta lungo cui la forza agisce;

Il verso in cui è orientata (lungo una direzione ci sono due versi possibili);

La sua intensità, misurata con uno strumento chiamato dinamometro.

Queste tre informazioni sono rappresentate da una freccia, che parte dal punto in cui è applicata la forza, e la cui lunghezza è proporzionale all’intensità della forza (dà l’intensità della forza quando si tiene conto dell’unità di misura). verso direzione intensità

Il dinamometro. Le forze possono essere misurate con un dinamometro, costituito da una

molla racchiusa in un cilindro, sul quale è disegnata una scala graduata.

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Due forze hanno la stessa intensità se, applicate all’estremità della molla del dinamometro, provocano allungamenti uguali.

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della forza è il Newton (simbolo N)

Per dare un’idea, è l’intensità della forza che dobbiamo esercitare per sollevare un corpo di massa uguale a circa 100 g.

La somma delle forze

Quasi sempre su un corpo agiscono più forze: bisogna quindi capire in che modo le forze si sommano,

per determinare la forza totale che viene chiamata .

Se trainiamo una slitta con due forze, rispettivamente di 100 N e 200 N, aventi la stessa direzione e lo stesso verso, è come se applicassimo una forza risultante di 300 N nella stessa direzione e verso. 100 N 200 N 300 N Sono state sommate le frecce, mettendo la coda della seconda (da 200N) sulla punta della prima (da 100 N)

Se spingiamo con due forze, la prima di 800 N e la seconda di 500 N, nella stessa direzione ma in versi opposti, otteniamo una forza risultante di 300 N avente la stessa direzione ed il verso della forza più grande. 800 N 500 N 300 N

Sono ancora state sommate le frecce con il metodo punta-coda, mettendo la coda della seconda (da 500 N) sulla punta della prima (da 800 N)

Se le due forze non hanno la stessa direzione, si può ancora applicare il metodo punta-coda

100.000 N 100.000 N

< 200.000 N

Due rimorchiatori trainano una petroliera, ciascuno con una forza di 100.000 N in direzioni diverse. Sommando con il metodo punto-coda si vede che la forza risultante ha un’intensità minore di 200.000 N.

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In generale le forze si sommano pertanto con il metodo punta-coda.

Date due forze, si trascina la seconda, mantenendola parallela a se stessa, fino a che la sua coda coincida con la punta

della prima: la forza risultante si ottiene congiungendo la coda della prima con la punta della seconda.

a b a a + b b

I vettori

Le grandezze che hanno una direzione, un verso ed un valore numerico, e che si sommano con il metodo punto-coda sono definite vettori.

Sono indicate con una freccina sul simbolo che le rappresenta; ad es. F rappresenta una forza, mentre il

simbolo senza la freccina rappresenta l’intensità: ad es. F = 5 N.

Il vettore spostamento. Consideriamo un corpo che si muova tra A e B, seguendo un

percorso qualsiasi:

B A

Il suo spostamento è rappresentato da una freccia che ha:

direzione della retta AB

verso da A a B

lunghezza uguale alla distanza tra A e B Altre grandezze vettoriali sono ad es. la velocità e l’accelerazione; sono invece grandezze scalari la

lunghezza, la massa, l’intervallo di tempo e la temperatura, perché sono rappresentate soltanto da un valore numerico.

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Le operazioni con i vettori

Somma di due vettori.

Oltre che con il metodo punta-coda, i vettori si possono sommare con il metodo del

parallelogramma: per ottenere il vettore

c = a + b

trasportiamo la coda di b sulla coda di a, mantenendone la direzione ed il verso; sul

parallelogramma di lati a e b disegniamo c, che congiunge le code con il vertice opposto

a

a

c

b b

Scomposizione di un vettore lungo due rette.

Dato un vettore a, bisogna trovare due vettori componenti, diretti lungo due direzioni prefissate,

la cui somma sia uguale al vettore a di partenza (somma ottenuta con le regole viste prima).

s

r s

r

ar

a as a

Proiettiamo la punta di a sulla retta r parallelamente a s; proiettiamo la punta di a sulla retta s

parallelamente a r; la somma delle due proiezioni as e ar è uguale al vettore di partenza; as e ar sono

i componenti di a lungo le rette r e s.

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Moltiplicazione di un vettore per un numero.

Questa operazione moltiplica la lunghezza del vettore (lo allunga o lo accorcia) ed

eventualmente ne cambia il verso (se il numero è negativo).

Il vettore è il vettore opposto di : ha lunghezza e direzione uguali, ma verso

opposto

Differenza di due vettori.

Questa operazione si esegue sommando al primo vettore l’opposto del secondo (il vettore che

ha cioè, rispetto ad esso, la stessa direzione ed il verso opposto);

– –

a a – b

b a

- b

La forza peso e la massa

Sulla Terra ogni corpo subisce una forza-peso, che è la forza di gravità con cui è attratto dalla terra.

Poiché il peso è una forza, va misurato in Newton, mentre la massa viene misurata in kg.

La forza peso che agisce su un oggetto cambia da luogo a luogo; la massa invece è sempre la stessa.

Quindi la massa è una proprietà caratteristica di un corpo, mentre la forza peso dipende da dove il corpo si trova: ad es. sulla Luna la nostra massa è la stessa che sulla Terra, mentre il nostro peso è ridotto ad 1/6.

In un determinato luogo la forza-peso e la massa sono proporzionali, secondo la relazione

La costante di proporzionalità, detta accelerazione di gravità, varia a seconda di dove è misurata: esprimendola con due sole cifre significative, essa è pari a

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La proporzionalità fra massa e peso spiega perché alla domanda “quanto pesi” rispondiamo “tot kg” invece di “tot N”. La scala di una bilancia è tarata in modo da dare, come valore numerico, il risultato della divisione fra la forza-peso e 9,8

Le forze di attrito

La forza di attrito è sempre diretta in senso contrario al movimento, in quanto si oppone sempre al movimento. Si distinguono

Forza di attrito radente: si esercita tra due superfici, ad es. tra la suola della scarpa ed il terreno

Forza di attrito volvente: si ha quando un corpo, per es. una ruota, rotola su una superficie.

Forza di attrito viscoso: si ha quando un corpo si muove in un fluido

Spesso l’attrito è un fenomeno negativo che si cerca di ridurre, ma a volte è viceversa utile, come nel caso delle pastiglie dei freni o di scarpe antiscivolo.

Forza di attrito radente

Tutte le superfici, anche quelle che appaiono lisce, presentano delle irregolarità: quando due

superfici a contatto sono in movimento relativo, l’effetto complessivo degli urti fra queste

irregolarità si manifesta come forze di attrito. Se un corpo scivola su un piano orizzontale, la

forza di attrito radente FR è espressa da

dove μ è il coefficiente d’attrito (è un numero adimensionale), e è la forza-peso [N]; la

forza di attrito radente FR ha

- direzione parallela al piano

- verso opposto a quello del movimento del corpo

- intensità direttamente proporzionale al peso del corpo

Perché il corpo, supposto inizialmente fermo, si muova, occorre applicare una forza F > FR.. Si vedrà in seguito la differenza tra attrito dinamico ed attrito statico

F FR FP

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Nella tabella seguente sono riportati alcuni valori del coefficiente di attrito radente a seconda dei materiali a contatto.

materiale μ

acciaio su acciaio a secco 0,41

acciaio su acciaio con grasso 0,12

acciaio su ghiaccio 0,01

gomma su asfalto a secco 1,07

gomma su asfalto bagnato 0,95

gomma su ghiaccio 0,005

La forza elastica

Tirando o cercando di comprimere una molla, percepiamo una forza che tende a far ritornare la molla

nella posizione iniziale: questa forza elastica ha la stessa direzione, ma verso opposto rispetto alla nostra

forza, ed è tanto più grande quanto più deformiamo la molla (ovvero tanto più la allunghiamo o la

comprimiamo).

La legge di Hooke. La forza elastica F della molla è direttamente proporzionale allo

spostamento x dalla posizione di equilibrio.

forza elastica [N] costante elastica della molla [N/m]

spostamento [m]

La costante di proporzionalità si chiama costante elastica della molla: è uguale al rapporto fra la la

forza elastica e lo spostamento (presi entrambi con segno positivo)

Più k è grande, più la molla è dura. La legge di Hooke vale per deformazioni piccole rispetto alla

lunghezza della molla: se la si allunga troppo la molla reagisce con una forza che non è più proporzionale all’allungamento e può anche deformarsi.