Capitolo 2

Gli errori nelle misure dirette

Indice

2.1 Cause di errore nelle misure dirette . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Stima degli errori nella lettura di scale . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Intervallo di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Risoluzione e sensibilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Precisione e accuratezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.4 Prontezza e tempo di risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Strumenti elettromeccanici (analogici) . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Strumenti digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

L’acquisizione delle misure e la valutazione della loro bonta e una fase molto importante

dell’attivita di laboratorio. In questo capitolo metteremo in evidenza le principali cause

che influenzano i valori delle grandezze fisiche durante la loro misurazione.

2.1 Cause di errore nelle misure dirette

Supponiamo di volere misurare una grandezza fisica con un idoneo strumento di misura

oppure con il confronto diretto con il campione di misura (di un determinato sistema di

unita di misura). Eseguiamo la misurazione una sola volta e indichiamo con xbest il valore

determinato dal confronto diretto con il campione di misura oppure direttamente letto

sulla scala dello strumento. Ci si chiede se xbest coincida con il “valore vero” X della

19

20 2. Gli errori nelle misure dirette

grandezza; cioe, puo il valore xbest definire quantitativamente la grandezza in esame?

A tale domanda non si puo che rispondere negativamente; infatti, per il concorrere di

numerosi fattori, di diversa natura, il valore ottenuto nella misurazione ha certamente

una indeterminazione, piccola o grande che sia, cosı che il valore xbest misurato differisce

sicuramente dal valore vero X della grandezza in esame. In altre parole, il valore vero di

una grandezza fisica e un’astrazione matematica, come il punto materiale che si assume

essere privo di dimensioni quando un corpo ha dimensioni trascurabili.

Il risultato di una misurazione e solamente un’approssimazione del valore della gran-

dezza, in quanto le operazioni di misura sono tutte inevitabilmente influenzate da molti

fattori che introducono un’indeterminazione nel valore rilevato. Pertanto, il valore mi-

surato deve essere corredato da ulteriori informazioni che completano il risultato della

misurazione. Cosı, qualunque grandezza fisica non puo essere misurata con una precisione

infinita ma puo essere solo determinata con un certo grado di imprecisione.

Una misura e completa quando si conosce il valore della grandezza e la sua

indeterminazione.

Tra i fattori che possono influenzare il risultato di una misurazione si possono ragio-

nevolmente elencare i seguenti:

• Posizione dell’occhio dell’osservatore rispetto alla scala dello strumento, dalla quale

puo derivare il cosiddetto errore di parallasse (per esempio, con gli strumenti ad ago

mobile a lettura diretta); per ridurre questo errore bisogna guardare la scala con

l’occhio posto di fronte all’indice, come indicato in Figura 2.1; spostando l’occhio

verso l’alto si rilevera un valore piu grande, spostando l’occhio verso il basso si

rilevera un valore piu piccolo della grandezza misurata.

• Spessore dell’indice mobile e dei tratti della graduazione dello strumento, dalla quale

deriva una maggiore o minore incertezza da parte dell’operatore nel decidere il valore

da assumere come risultato della lettura.

• Grado di efficienza dello strumento (usura delle parti mobili) usato nella misurazio-

ne, da cui deriva un’esecuzione piu o meno buona della misurazione.

• Grado di preparazione e di esperienza dell’operatore, dal quale dipende un uso piu

o meno corretto dello strumento e, piu in generale, un’esecuzione piu o meno buona

delle operazioni da compiere per effettuare la misurazione;

2.1. Cause di errore nelle misure dirette 21

• Taratura dello strumento di misura, operazione alla quale viene sottoposto ogni

strumento a lettura diretta, che consiste nel regolare lo strumento in modo che le

indicazioni da esso date corrispondano, con approssimazione piu o meno buona, ai

valori della grandezza misurata.

Figura 2.1: Metodo di lettura per ridurre

l’errore di parallasse. Immagine adattata da

E. Consoli, P. Rappanello, Laboratorio di fisica

e chimica, Paravia (Torino 1996).

I fattori elencati non si riferiscono cer-

tamente a tutte le possibili cause d’errore

delle quali molte sono difficilmente indivi-

duabili, sfuggendo in pratica a ogni nostro

controllo; tuttavia, il quadro che essi forni-

scono, anche se largamente incompleto, e

gia piuttosto significativo. Benche a prima

vista i fattori citati sembrino tutti diver-

sissimi fra loro, un esame piu approfondito

ci permette di stabilire che gli errori di mi-

sura, quali che essi siano, possono essere

considerati di due tipi.

Errori sistematici – Questo tipo di errori sono da attribuire a un errato metodo di

misura o di calcolo, o all’uso di strumenti non tarati; essi si ripetono “sistematica-

mente” nello stesso senso ogni volta che si adotta quel metodo o si fa uso di quello

strumento.1

Errori casuali (aleatori) – Questo tipo di errori sono, invece, errori dipendenti dalla

sovrapposizione di molteplici cause differenti e variabili che, agendo in maniera del

tutto casuale, ora in un senso ora nell’altro, influenzano in modo imprevedibile, e

in misura piu o meno grande, i risultati delle misurazioni.

Per trattare in modo quantitativo l’influenza degli errori nelle misurazioni delle gran-

dezze fisiche, e necessario dare qualche definizione operativa. Definiamo quindi l’errore

assoluto e l’errore relativo associati alla misura di una grandezza.

Errore assoluto – Dalle considerazioni appena fatte segue che il valore xbest della gran-

dezza misurata non corrisponde al valore vero X. Lo scarto tra il valore misurato e

il valore vero e detto errore assoluto δx ed e dato da

δx = |xbest −X| . (2.1)

1Gli errori strumentali, di lettura e di precisione, sono spesso considerati errori sistematici; essi deter-

minano un limite inferiore alla precisione con cui una misurazione puo essere eseguita con tale strumento.

Questo punto verra approfondito piu avanti nel testo.

22 2. Gli errori nelle misure dirette

Errore relativo – Per valutare l’entita di un errore puo essere utile confrontarlo con

una grandezza a esso omogenea, ed e naturale scegliere per questo proprio la misura

a cui esso si riferisce. In questo caso e significativo, quindi, considerare il rapporto

εx =δx|xbest|

=|xbest −X||xbest|

. (2.2)

Il rapporto dato dalla relazione (2.2) e indicato con εx e detto errore relativo.

Possiamo, anche, definire l’errore relativo percentuale come:

εx% = εx × 100 . (2.3)

Nei paragrafi seguenti vedremo come valutare gli errori nelle misurazioni dirette e indirette

di grandezze fisiche.

2.1.1 Stima degli errori nella lettura di scale

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che ogni misurazione di una grandezza fisica e

soggetta a errori (incertezze) ed e importante conoscere la loro entita. D’altra parte,

non abbiamo ancora discusso come si possa realmente valutare la grandezza di un errore.

Infatti, tale valutazione puo essere piuttosto complicata. Fortunatamente, ci sono alcune

semplici misurazioni per le quali e facile fare una stima ragionevole dell’errore, usando

spesso poco piu che il buon senso. Diamo qui due esempi. Una comprensione di questi

esempi permettera allo studente di cominciare a usare nei suoi esperimenti un’analisi

degli errori, sebbene ancora elementare, la quale costituira la base di partenza per i futuri

sviluppi.

Il nostro primo esempio e una misurazione fatta utilizzando una scala graduata, come

il righello mostrato in Figura 2.2 o il voltmetro mostrato in Figura 2.3. Per misurare la

lunghezza della matita di Figura 2.2, dobbiamo dapprima allineare l’estremita inferiore

della matita con la tacca del righello che indica lo zero, quindi decidere con quale tacca

corrisponde la punta della matita sulla scala del righello. Per misurare la tensione sul

voltmetro di Figura 2.3, dobbiamo decidere dove punta l’ago sulla scala dello strumento.

Figura 2.2: Misurazione della lunghezza di una matita con un righello.

2.1. Cause di errore nelle misure dirette 23

Se supponiamo che il righello e il voltmetro siano strumenti attendibili, allora in entrambi i

casi il problema principale e di decidere dove un certo punto giace in relazione alle incisioni

sulla scala. (Naturalmente, se vi e qualche possibilita che il righello e il voltmetro “non”

siano attendibili, allora dovremo pure tenere conto di questo fatto). Le incisioni del

righello di Figura 2.2 sono piuttosto vicine fra loro (un millimetro l’una dall’altra). Un

operatore potrebbe decidere che la lunghezza della matita e indubbiamente piu vicina a

170 mm che a 171 o a 172 mm, ma che una lettura piu precisa non e possibile. Allora,

dovrebbe giungere alla seguente conclusione:

migliore stima della lunghezza: 171 mm

intervallo probabile: da 170.5 fino a 171.5 mm

L’operatore dovrebbe dire quindi che ha misurato la lunghezza al millimetro piu vicino.

Questo tipo di conclusione, cioe che la grandezza giace piu vicino a una certa tacca

piuttosto che a una di quelle adiacenti, e del tutto comune. Per questa ragione, si segue

spesso la convenzione che l’affermazione l = 171 mm, senza altra qualificazione, significhi

che la lunghezza l e piu vicina a 171 piuttosto che a 170 o 172; cioe, l = 171 mm significa

170.5 mm ≤ l ≤ 171.5 mm . (2.4)

Pertanto, il risultato della misurazione potra essere indicato con la seguente notazione:

l = (171.0± 0.5) mm. (2.5)

Nello stesso modo, un risultato come x = 1.27 senza altro errore definito dovrebbe

significare che x giace tra 1.265 e 1.275. Nel seguito non useremo questa convenzione;

al contrario, indicheremo gli errori sempre esplicitamente.2 In ogni caso, e importante

per lo studente conoscere questa convenzione e sapere che essa si applica a qualunque

numero fornito senza un errore. Spesso, un calcolo eseguito con la calcolatrice tascabile

(o al computer) fornisce un risultato con molte cifre. Se uno studente copia ciecamente

un numero come 123.456 dalla sua calcolatrice senza nessuna qualificazione, allora un suo

lettore e autorizzato ad assumere che il numero in definitiva e corretto fino alla terza cifra

decimale e cioe fino a sei cifre significative, il che e molto improbabile.

Le incisioni sul voltmetro mostrato in Figura 2.3 sono spaziate piu largamente di quelle

sul righello. Qui, la maggior parte degli operatori sarebbero d’accordo di poter identificare

con facilita la tacca a cui l’ago e piu vicino. Poiche la spaziatura e piu grande, si puo

realisticamente stimare dove giace l’ago nello spazio fra due tacche consecutive. Cosı una

conclusione ragionevole per la tensione misurata potrebbe essere

2L’errore di una misura puo essere indicato in vari modi, noi useremo la notazione (2.5).

24 2. Gli errori nelle misure dirette

miglior stima della tensione: 5.3 V

intervallo probabile: da 5.2 fino a 5.4 V

Pertanto, il risultato della misurazione potra essere indicato come:

V = (5.3± 0.1) V . (2.6)

Figura 2.3: Lettura su un voltmetro. Immagine adattata da J. R. Taylor, Introduzione al-

l’analisi degli errori: lo studio delle incertezze nelle misure fisiche, II Ed. Zanichelli (Bologna

1999).

Il procedimento di valutare la posizione fra le incisioni di una scala graduata e chiamato

interpolazione; questa e una tecnica importante, che puo essere migliorata con la pratica.

Osservatori diversi potrebbero non essere d’accordo con le valutazioni date nelle (2.5)

e (2.6) e fornire letture diverse. Cio nonostante, poche persone negherebbero che le

(2.5) e (2.6) sono stime ragionevoli delle grandezze in gioco e dei loro errori probabili.

Cosı, constatiamo che la stima approssimata degli errori e piuttosto facile quando l’unico

problema e di localizzare un punto su una scala graduata. L’errore che deriva dalla lettura

di scale prende il nome di errore di lettura.

2.2 Strumenti di misura

Gli strumenti di misura consentono il confronto tra la grandezza in esame e la corrispon-

dente unita di misura, fornendo una risposta quantitativa. Essi si possono classificare in

due categorie:

• strumenti analogici

• strumenti digitali.

Appartengono alla prima categoria gli strumenti meccanici (righelli, calibri, termometri

a bulbo e bilance meccaniche) e gli strumenti elettromeccanici (strumenti ad ago mobile

2.2. Strumenti di misura 25

per misure elettriche). In generale, il risultato di una misurazione effettuata con uno

strumento analogico viene letto su una scala graduata, sulla quale puo scorrere un indice

mobile oppure un nonio o semplicemente leggendo la misura sulla scala graduata.

Alla seconda categoria appartengono gli strumenti elettronici, quali cronometri, mul-

timetri, ecc. Questi strumenti sono dotati di un display sul quale viene visualizzato il

risultato della misurazione direttamente in cifre (digit in inglese significa proprio cifra).

In generale, gli strumenti di misura possono essere schematizzati in tre parti, come

mostrato in Figura 2.4.

Figura 2.4: Schema a blocchi di un generico strumento di misura.

Rivelatore, elemento sensibile alla grandezza da misurare; per esempio, in un termome-

tro a mercurio l’elemento sensibile e costituito dal mercurio, che interagendo con la

grandezza in esame, la temperatura dell’oggetto, cambia il suo volume.

Trasduttore, elemento capace di trasferire l’informazione della grandezza da misurare,

ottenuta dal rivelatore, a un’altra grandezza di piu facile utilizzazione.

Visualizzatore, elemento che fornisce visivamente il risultato della misura; per esempio,

un indice mobile su una scala graduata oppure un display numerico.

Il processo di misura di una grandezza x e legato alla variazione dello stato del ri-

velatore, che interagisce con la grandezza da misurare, alla trasduzione e alla successiva

visualizzazione. Il trasduttore converte la variazione dello stato del rivelatore in una va-

riazione di una grandezza fisica R(x) di piu facile lettura e in generale differente da x. La

funzione R(x) e detta curva di risposta. La visualizzazione puo avvenire tramite un siste-

ma analogico (ad esempio una scala graduata o un indice mobile) o un sistema digitale

(ad esempio un display numerico).

Idealmente, uno strumento dovrebbe avere come curva di risposta una retta passante

per l’origine del tipo R(x) = k x, dove k e una costante di dimensioni [R] [x]−1 carat-

teristica dello strumento. In pratica, la curva caratteristica non e mai una linea retta

passante per l’origine, ma e una cura come quella mostrata in Figura 2.5. Al variare di x

si ha una regione cosiddetta ”di sottosoglia“, una regione lineare e una regione cosiddetta

”di saturazione“. La regione lineare e delimitata dalla soglia e dalla portata.

26 2. Gli errori nelle misure dirette

� � �� � � �

� � � � � �

� � �

PS x

R ( x )

Figura 2.5: Curva di risposta caratteristica di uno strumento reale, in cui sono indicate la

soglia e la portata.

2.2.1 Intervallo di funzionamento

L’intervallo di funzionamento o campo di misura e dato dall’intervallo tra il valore mas-

simo, detto portata, e il valore minimo, detto soglia, della grandezza che lo strumento e

in grado di misurare. Al di fuori di questo intervallo vi e la possibilita di danneggiare lo

strumento e, in ogni caso, il risultato della misurazione non e affidabile.

2.2.2 Risoluzione e sensibilita

La risoluzione di uno strumento di misura e la minima variazione del valore della grandezza

che puo essere rilevata dallo strumento (per esempio, nel caso di strumenti a indice mobile,

attraverso lo spostamento dell’indice). Si definisce operativamente dividendo il campo di

misura (portata – soglia) per il numero di divisioni della scala graduata, dove per divisione

si intende l’intervallo tra due tacche consecutive. Nel caso di un righello da 20 cm con

200 divisioni, la risoluzione e

r =campo di misura

numero di divisioni=

200 mm

200 divisioni= 1 mm/divisione . (2.7)

Non bisogna confondere la risoluzione con la soglia, in quanto la soglia determina il piu

piccolo valore che lo strumento e in grado di misurare e, in generale, potrebbe essere

maggiore della risoluzione.

2.2. Strumenti di misura 27

La sensibilita e definita in modo quantitativo come il rapporto tra la variazione ∆M

dell’indice dello strumento e la variazione ∆x della grandezza oggetto della misurazione:

s =∆M

∆x. (2.8)

In altre parole, la sensibilita indica di quante divisioni sis sposta l’indice dello strumento

quando la grandezza, oggetto della misurazione, varia di una unita. Questa grandezza

e importante negli strumenti in cui e presente un trasduttore. L’unita di misura della

sensibilita e il rapporto tra l’unita di misura della deviazione dell’indice e l’unita di misura

della grandezza oggetto della misurazione. Per esempio, per un voltmetro analogico la

sensibilita e espressa in divisioni/volt. In altre parole, la sensibilita indica di quanto

varia il numero di divisioni nella scala dello strumento per una variazione unitaria della

grandezza oggetto della misurazione. Da qui si puo vedere che la sensibilita puo essere

considerata anche come l’inverso della risoluzione e cioe come la variazione della grandezza

per divisione (vedi Equazione (2.7)).

Per chiarire questi concetti facciamo riferimento alle bilance, cioe agli strumenti desti-

nati alla misurazione di masse. Una bilancia analitica ha una sensibilita di 1 divisione/mg,

cioe e in grado di “sentire” una variazione del carico di un milligrammo (1 mg) con lo

spostamento di una divisione dell’indice sulla scala. Tale variazione non viene, invece,

rilevata da una bilancia per orefici che ha una sensibilita di 1 divisione/dg, cioe che e

in grado di apprezzare una variazione di un decigrammo (1 dg). Poiche 1 dg = 102 mg,

diremo che la bilancia analitica ha, in confronto con l’altro tipo di bilancia, una sensibi-

lita 100 volte piu grande. Fra due strumenti destinati alla misurazione di una medesima

grandezza e piu sensibile quello per il quale la piu piccola variazione rilevabile assume il

valore minore.

La sensibilita di uno strumento dipende dalla portata, nel senso che un aumento della

portata, in generale, si ottiene con una diminuzione della sensibilita. Per convincercene

riferiamoci a due amperometri, uno con scala da 0 a 1 A, l’altro con scala da 0 a 100 A,

entrambi con 50 divisioni. Appare chiaro che per il primo strumento, la cui portata e di

1 A, una divisione vale 0.02 A; tale intervallo, corrispondendo alla piu piccola variazione

dell’intensita di corrente leggibile sulla scala, esprime, in sostanza, la sensibilita dello

strumento di 50 divisioni/A. Per il secondo apparecchio la portata e di 100 A mentre

la sensibilita, data in pratica dall’inverso della risoluzione, e di 0.5 divisioni/A. Per il

secondo strumento, dunque, l’aumento della portata e stato realizzato a discapito della

sensibilita: a una portata 100 volte piu grande fa riscontro anche una sensibilita circa

100 volte piu piccola. Vale la pena notare che negli strumenti meccanici a lettura diretta

28 2. Gli errori nelle misure dirette

su una scala graduata (come un righello), il valore della sensibilita coincide con il valore

della risoluzione e per questo motivo spesso si fa confusione tra le due grandezze.

Esempio 2.1. Le bilance tipo Mancur venivano prodotte intorno al 1750 e venivano usate

per pesare bestiame e pellame. Esse sono costituite da una barra di acciaio armonico

forgiato a forma di “V” oppure a forma di “C”. Questo tipo di bilancia si basa su un

semplice meccanismo a molla: quando viene appeso un carico al gancio, per effetto del

carico la molla si allarga e l’indice si sposta verso l’alto. Lo spostamento dell’indice,

misurato su una scala incisa su una piastra di ottone a forma di mezzaluna, indica il

valore del carico.

Figura 2.6: Bilancia meccanica modello Mancur: (sinistra) portata di 20 kg, (destra) portata

di 150 kg.

La bilancia ha due coppie di ganci, che consentono di avere due differenti portate: con

la coppia di ganci posizionati alle estremita si possono misurare pesi fino a 150 kg, invece

con l’altra coppia si possono misurare pesi fino a 20 kg. Le due scale hanno pertanto una

2.2. Strumenti di misura 29

differente risoluzione, che puo essere facilmente calcolata. Si lascia al lettore il compito

di calcolare la risoluzione delle due scale.

2.2.3 Precisione e accuratezza

Spesso si confonde la sensibilita con la precisione. Si tratta in realta di due concetti

distinti, dal momento che la precisione di uno strumento e legata all’errore relativo che il

suo uso comporta; quanto piu piccolo e questo errore tanto piu preciso e lo strumento. Se

facciamo misure ripetute nelle stesse condizioni sperimentali, in generale non otterremo

sempre lo stesso valore, ma una serie di valori x1, x2, . . .xn che differiscono poco l’uno

dall’altro, cioe le misure saranno sparpagliate attorno al un valore medio x0. La precisione

dello strumento e legata al grado di sparpagliamento delle misure attorno ad x0, che

dipende dalle caratteristiche costruttive e dal grado di efficienza dello strumento. Piu le

misure sono sparpagliate, meno preciso e lo strumento.

La precisione non e collegata con la sensibilita tant’e che tra due strumenti di diversa

sensibilita, destinati alla misurazione di una medesima grandezza, puo risultare piu preciso

quello meno sensibile. Per chiarire meglio questo punto, guardiamo il seguente esempio.

Esempio 2.2. Consideriamo due strumenti per la misurazione della corrente elettrica,

un milliamperometro, strumento con una sensibilita di 1 div/mA (in grado di rilevare

variazioni dell’intensita di corrente di 1 mA), e un amperometro, strumento con una sen-

sibilita di 1 div/A (in grado di rilevare variazioni di 1 A). Poiche 1 mA = 10−3 A, il primo

strumento e 1000 volte piu sensibile del secondo. Supponiamo che il milliamperometro,

attraversato da una corrente di 10 mA, segnali un’intensita di 9 mA, e che l’amperome-

tro, percorso da una corrente di 20 A, segnali un’intensita di 19 A. Gli scarti dei valori

misurati dai valori effettivi sono, rispettivamente, in valore assoluto:

δI = (10− 9) mA = 1 mA , δI′ = (20− 19) A = 1 A . (2.9)

Per ciascuno dei due strumenti l’errore relativo, indicando di quanto percentualmente il

valore segnalato dallo strumento si discosta dal valore effettivo, e espresso dal rapporto

fra lo scarto assoluto e il valore effettivo; per il milliamperometro e per l’amperometro

avremo dunque rispettivamente:

εI% =1 mA

10 mA× 100 = 10% , εI′% =

1 A

20 A× 100 = 5% . (2.10)

30 2. Gli errori nelle misure dirette

Questi risultati indicano che l’amperometro presenta un errore relativo del 5% e il

milliamperometro un errore relativo del 10%: l’amperometro ha un grado di precisione

piu elevato, pur essendo meno sensibile.

Non bisogna confondere la precisione di uno strumento con la capacita dello strumento

di dare una misura vicina al valore vero. La precisione indica la caratteristica per cui uno

strumento fornisce la stessa misura nelle stesse condizioni sperimentali; essa non ci dice

nulla di quanto tale misura sia vicina al valore vero della grandezza misurata.

Quindi, l’accuratezza indica di quanto il valore indicato dallo strumento si discosta

dal valore vero della grandezza misurata. La caratteristica di uno strumento di fornire

misure vicine al valore vero della grandezza misurata viene detta accuratezza.

Pertanto, assume una importanza fondamentale la taratura dello strumento; e questa

un’operazione alla quale lo strumento viene sottoposto all’atto della sua messa a punto e

che consiste nel regolare lo strumento (ad esempio, usando campioni calibrati con misure

precedenti effettuate con grande accuratezza e precisione) in modo che le indicazioni da

esso date corrispondano, con approssimazione piu o meno buona, ai valori effettivi della

grandezza misurata.

Un classico e utile esempio che si fa per chiarire la differenza tra la precisione e l’accu-

ratezza e quello del tiro al bersaglio. Se i colpi raggiungono il bersaglio vicini tra loro, vuol

dire che il tiratore ha sviluppato una elevata precisione, ma naturalmente tale precisione

non gli portera un gran punteggio se i tiri sono tutti lontani dal centro del bersaglio! In

Figura 2.7 sono illustrati tutti i quattro casi possibili.

2.2.4 Prontezza e tempo di risposta

La prontezza di uno strumento di misura e data dalla rapidita con cui lo strumento e in

grado di misurare la grandezza in esame o di seguirne le variazioni. In altre parole, la

prontezza e uguale all’inverso del tempo che lo strumento impiega a fornire il risultato

della misura, il cosiddetto tempo di risposta. La prontezza assume particolare importanza

per strumenti, come termometri, bilance e strumenti di misura elettromeccanici (galvano-

metri, amperometri, voltmetri, ecc.), nei quali l’indice compie delle oscillazioni prima di

arrestarsi sulla posizione di equilibrio. Questi strumenti richiedono quindi un intervallo

di tempo piu o meno lungo perche possa attuarsi la lettura. Conviene naturalmente che

2.2. Strumenti di misura 31

Figura 2.7: Precisione e accuratezza: a) strumento preciso e accurato; b) strumento poco

preciso e accurato; c) strumento preciso e poco accurato; d) strumento poco preciso e poco

accurato.

tale intervallo sia il piu piccolo possibile.3

La prontezza assume notevole importanza per i termometri a dilatazione, dei quali fa

parte il termometro clinico mostrato in Figura 2.8. Se un termometro a dilatazione, in

equilibrio termico con un ambiente, viene portato in un ambiente a temperatura diversa,

occorrono intervalli di tempo dell’ordine dei minuti perche lo strumento si porti in equi-

librio termico con il secondo ambiente. A parita di altre condizioni, l’intervallo di tempo

richiesto e tanto piu breve, e il termometro tanto piu pronto, quanto minore e la massa di

liquido termometrico presente nello strumento, cioe quanto piu piccole sono le dimensioni

del bulbo in cui il liquido e contenuto.

Nei paragrafi seguenti daremo una descrizione piu dettagliata degli strumenti analogici

e quelli digitali e del principio di funzionamento su cui essi si basano.

3Il costruttore dello strumento opera in modo da ridurre il numero delle oscillazioni e la durata di

ciascuna oscillazione: realizza la prima condizione ricorrendo a opportuni sistemi di smorzamento, la

seconda condizione alleggerendo le parti mobili dello strumento.

32 2. Gli errori nelle misure dirette

Figura 2.8: Fotografia di un tipico termometro clinico.

2.3 Strumenti elettromeccanici (analogici)

Negli strumenti elettromeccanici, appartenenti alla categoria degli strumenti analogici,

il risultato della misurazione e fornito dalla lettura della deviazione di un indice che

si muove su una scala graduata, la deviazione dell’indice e una funzione continua del-

la grandezza misurata. Questi strumenti trasformano la grandezza da misurarsi in una

corrente continua proporzionale alla grandezza misurata, che va ad alimentare uno stru-

mento magneto-elettrico ad ago mobile, la deflessione dell’indice di quest’ultimo fornisce

la misura della grandezza. L’impiego piu comune e come voltmetro o amperometro, anche

se attualmente tendono a essere sostituiti dagli strumenti digitali (che descriveremo nel

paragrafo successivo). Lo schema a blocchi di uno strumento elettromeccanico e riportato

in Figura 2.9.

Figura 2.9: Schema a blocchi di uno strumento analogico.

Le specifiche piu importanti che caratterizzano uno strumento analogico sono le seguenti.

La sensibilita, che rappresenta il rapporto tra la variazione della deviazione indicata

dallo strumento e la corrispondente variazione della grandezza misurata.

L’intervallo di funzionamento, che e dato dall’intervallo tra la portata e la soglia. Al

di fuori di questo intervallo vi e la possibilita di danneggiare lo strumento e, in ogni

caso, il risultato della misurazione non e affidabile.

La prontezza, che e l’inverso del tempo impiegato dallo strumento per indicare il valore

della grandezza misurata entro i suoi limiti di accuratezza.

2.3. Strumenti elettromeccanici (analogici) 33

La precisione, che indica di quanto il valore visualizzato dallo strumento si discosta dal

valore effettivo della grandezza misurata; essa e determinata dalle caratteristiche

costruttive e dal grado di efficienza dello strumento. Normalmente, i costruttori

forniscono il valore dell’indice della classe di precisione, che definisce la precisione

dello strumento; essa e il limite superiore dell’errore assoluto δmax rapportato al

valore di fondoscala xfs. Questo valore si ottiene calcolando il rapporto fra l’errore

assoluto δmax e la portata nominale xfs dello strumento, moltiplicato per 100, ovvero:

εfs% =δmaxxfs× 100 . (2.11)

L’errore percentuale dato dalla (2.11) e detto classe di precisione dello strumento.

L’errore assoluto massimo si determina quindi moltiplicando l’errore percentuale

dell’indicazione di fondoscala per il valore di fondoscala.

Le norme del Comitato Elettrotecnico Italiano (Norme CEI) prevedono varie classi

di precisione degli strumenti per misure elettriche. Normalmente, i vari strumenti

vengono raggruppati come segue:

- classe di precisione minore di 0.1 per strumenti campione;

- classe di precisione compresa tra 0.1 e 1 per strumenti scientifici di controllo e

di laboratorio;

- classe di precisione maggiore di 1 per strumenti di uso industriale.

Poiche la classe di precisione dello strumento e indicata dal costruttore, e possibile

calcolare, mediante la (2.11), il valore dell’errore assoluto di una misurazione effet-

tuata con un determinato fondoscala. Per esempio, per un amperometro di classe

0.5 e portata 5 A, il massimo errore assoluto garantito dal costruttore su tutto il

campo nominale della misura si determina con la seguente relazione:

δxfs =εxfs%100

× xfs . (2.12)

Pertanto, l’errore sulla misura della corrente e:

δIfs =εfs%100× xfs =

0.5

100× 5 A = 0.025 A . (2.13)

E da notare che, negli strumenti a zero centrale si deve considerare come portata la

somma delle portate dalle due parti dello zero.

34 2. Gli errori nelle misure dirette

Esempio 2.3. Un voltmetro con classe di precisione 0.2 e caratterizzato da un errore

assoluto massimo dello 0.2% del valore di fondoscala; se impiegato con una portata di

300 V, le misure saranno affette da un errore assoluto massimo dato da

δV =0.2

100× 300 = 0.6 V . (2.14)

Esempio 2.4. Un amperometro ha una portata di 5 A e una scala con 100 divisioni. Si

e letto 45.4 divisioni, con una approssimazione presunta di mezza divisione (cioe 0.5). Se

la classe dello strumento e 0.2, qual e l’errore assoluto nel risultato della misurazione?

Il valore della corrente misurato si ottiene moltiplicando le divisioni lette per il valore

di una divisione (risoluzione)

I = 45.4× 5

100= 2.27 A ; (2.15)

tale valore va opportunamente corretto. A questo scopo si devono considerare separata-

mente l’errore di precisione, dovuto allo strumento impiegato, e l’errore di lettura intro-

dotto nella valutazione della frazione di divisione (cosiddetto errore di interpolazione).

L’errore dovuto allo strumento si puo calcolare con la formula (2.12):

δIfs =0.2

100× 5 = 0.01 A ;

l’errore dovuto alla lettura invece e dato dal prodotto di mezza divisione per la risoluzione

dello strumento

δIL = 0.5× 5

100= 0.025 A ;

L’errore assoluto massimo totale, quindi, e

δI = δIfs + δIL = 0.01 + 0.025 ≈ 0.04 A .

Pertanto, la migliore stima della misura e

Ibest = (2.27± 0.04) A .

Infine, l’errore relativo e εI = 0.04/2.27 = 0.015, a cui corrisponde un errore relativo

percentuale εI% = 1.5%.

E importante osservare che, l’errore assoluto strumentale dipende dalla classe di pre-

cisione ed e costante per tutto il campo di misura; quindi, l’errore relativo e tanto piu

grande quanto piu piccolo e il valore misurato rispetto alla portata. Per questo motivo

2.4. Strumenti digitali 35

e opportuno utilizzare strumenti aventi una portata tale da collocare il valore misura-

to oltre i due terzi della portata stessa. Abbiamo ritenuto che l’incertezza nella misura

(errore di precisione + errore di lettura) sia determinata unicamente dall’errore proprio

dello strumento, il cui segno e per sua natura ignoto. Questo modo di procedere e accet-

tabile solo se si puo escludere la presenza di altri errori (sistematici o accidentali) oppure

se gli altri eventuali errori sono di entita trascurabile. Infine, il valore misurato deve

essere approssimato al numero di cifre significative tale che la cifra meno significativa

corrisponda con l’errore assoluto. Pertanto, nell’Esempio 2.4, la corrente misurata sara

I = (2.27 ± 0.04) A. In tale valore, le prime tre cifre sono significative mentre eventuali

cifre successive sarebbero prive di significato.

2.4 Strumenti digitali

Gli strumenti digitali offrono molteplici vantaggi rispetto ai corrispondenti strumenti ana-

logici: permettono una maggiore facilita di lettura poiche l’operazione di interpolazione

tra due divisioni contigue non e necessaria e inoltre permettono di avere una maggiore

precisione e una maggiore risoluzione.

Lo schema a blocchi di uno strumento digitale e riportato in Figura 2.10. L’indicazione

digitale puo essere visualizzata con display a cristalli liquidi, a sette segmenti, a punti

luminosi, ecc. Dallo schema di Figura 2.10, si vede come la grandezza da misurare venga

convertita in un segnale continuo di tensione V che, a sua volta, viene convertito in

un segnale digitale binario (successione di bit), inviato infine alla sezione di decodifica

e visualizzazione, che avviene sotto forma numerica. Il convertitore analogico/digitale

trasforma una tensione elettrica variabile in un certo range in un numero intero binario

compreso in genere tra 0 e 2N − 1, essendo N il numero di bit del convertitore (di solito

da 8 a 16). Il tutto e gestito da un controllore, di solito costituito da un microprocessore.

Figura 2.10: Schema a blocchi di uno strumento digitale. Per semplificare lo schema, il

rivelatore e stato omesso.

36 2. Gli errori nelle misure dirette

Il numero di cifre col quale viene fornita l’indicazione numerica dipende dalla pre-

cisione dello strumento, essendo inutile rappresentare cifre non significative (delle quali

non puo essere assicurata la fondatezza). Per esempio, uno strumento col visualizzatore a

cinque cifre e quindi con 100000 punti di misura (da 0 a 99999) ha una precisione pari a

1/99999 = 10−5. Tuttavia, per rendere massima la risoluzione, spesso il numero visualiz-

zato comprende una cifra in piu rispetto alla precisione dello strumento. Questa ulteriore

cifra puo assumere solamente il valore 1 o 2 e per questo motivo si dice che lo strumento

ha 5 + 12

cifre.

Le specifiche piu importanti che caratterizzano uno strumento digitale, oltre alla

sensibilita, portata e prontezza, sono le seguenti.

La precisione, che definisce l’errore strumentale; essa puo essere espressa nei seguenti

modi:

(a) errore relativo percentuale sul fondo scala, εfs%, del tutto analogo alla classe

di precisione degli strumenti analogici

εfs% =δmaxxfs× 100 , (2.16)

dove δmax e l’errore assoluto massimo e xfs e il valore di fondoscala (portata)

dello strumento;

(b) errore relativo percentuale sul valore misurato, εvm%;

(c) numero di digit, ovvero numero di unita sulla cifra meno significativa.

In generale, il costruttore per indicare la precisione dello strumento fornisce almeno

due dei tre valori sopra definiti, nella seguente forma:

accuracy = ± (εfs% + εvm%) ; (2.17)

accuracy = ± (εfs% +N digit) ; (2.18)

accuracy = ± (εvm% +N digit) . (2.19)

Le specifiche di un multimetro digitale disponibile sul mercato sono riportate in

Tabella 2.1.

La risoluzione, che indica il peso dell’ultima cifra del visualizzatore nella portata piu

bassa. Per esempio, per un voltmetro di portata minima 0.1 V con display a 4 cifre,

l’ultima cifra a destra indica i centesimi di millivolt (mV), quindi la risoluzione di

tale strumento e di 0.01 mV. A volte la risoluzione e indicata in parti per milione

(p.p.m.), nell’esempio fatto si ha una risoluzione di 10 p.p.m.

2.4. Strumenti digitali 37

Tabella 2.1: Caratteristiche tecniche di un multimetro digitale (la virgola e il separatore

decimale). Questo strumento ha un diverso grado di precisione per i differenti tipi di misurazioni

che puo effettuare.

Esempio 2.5. Effettuiamo la misura di una corrente continua con un amperometro di-

gitale di portata PA = 100 mA, display di 3 cifre e accuracy ± (0.1% del valore di lettura

+ 1 digit). Se la misura e stata di 96.2 mA, l’errore di precisione risultera pari a:

δI =0.1

100× 96.2 mA + 0.1 mA = 0.2 mA ,

dove lo 0.1 mA che compare come secondo termine per il calcolo dell’errore assoluto e il

contributo di 1 digit per l’errore di risoluzione, ovvero, avendo 3 cifre e quindi 1000 punti

di misura, un errore pari a:

1

1000× 100 mA = 0.1 mA .

Quindi, la migliore stima della corrente misurata sara I = (96.2± 0.2) mA.

Abbiamo appena visto che gli strumenti con indicazione digitale, dando direttamente

in cifre il valore della grandezza misurata, consentono una piu facile e piu rapida lettura

del valore misurato, rispetto agli strumenti analogici. Alcuni strumenti hanno un numero

elevato di cifre; questo permette di avere valori molti precisi della grandezza misurata.

38 2. Gli errori nelle misure dirette

Tuttavia, a causa delle condizioni sperimentali, le cifre meno significative (quelle piu

a destra) non assumono un valore fisso: cambiano continuamente; pertanto, esse non

hanno alcun significato. In questo caso, l’errore che si puo associare alla misura puo

essere determinato dal valore di 1 digit sulla cifra piu a destra che assume stabilmente un

determinato valore.

Concludiamo questo paragrafo con alcuni consigli pratici per l’uso corretto degli stru-

menti di misura. Quando si effettua una misurazione, senza avere una precisa idea del

valore della grandezza che si sta andando a misurare, e consigliabile iniziare dalla scala

piu alta dello strumento e quindi, se e necessario, si scendera fino a trovare la scala in

cui si puo realizzare agevolmente la misura desiderata. In particolare, si deve evitare

che la lettura venga effettuata all’inizio della scala, per evitare di introdurre errori di

lettura troppo elevati. Infine, prima di realizzare una misurazione e opportuno pensa-

re quale sia il metodo migliore per eseguire tale misurazione per evitare di danneggiare

irrimediabilmente lo strumento.

2.5 Esercizi

Esercizio 2.1. La misura dell’altezza di un vano-porta e 210 cm ed e compresa tra 205

cm e 215 cm. Riscrivere questo risultato nella forma xbest ± δx. [(210 ± 5) cm]

Esercizio 2.2. Calcolare l’errore relativo nella misura del vano-porta descritto nell’Eser-

cizio 2.1. [2.5%]

Esercizio 2.3. Un termometro ha la graduazione in gradi centigradi e in decimi di grado.

Qual e la sua risoluzione? [0.1◦C/divisione]

Esercizio 2.4. Quant’e l’errore di lettura che bisogna considerare quando si usa un

termometro come quello descritto nell’Esercizio 2.3? [0.05◦C]