GONIOMETRIA.

MISURE DI ANGOLI ED ARCHI

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE.

αrad

l

A

B

O r

r

Definizione di misura in radianti di un arco di circonferenza.

Dalla definizione di misura in radianti di un arco si ricava la misura dell’arco di crf.nza:

Dato un arco di circonferenza AB, si definisce misura in radianti dell’arco il rapporto tra la misura dell’arco rettificato l (rett) e il raggio r della circonferenza:

l (rett) = r αrad

arco (rettificato) l (rett)

αrad = =

raggio r

Premessa.

Teorema. Archi di circonferenze aventi la stessa ampiezza sono proporzionali ai raggi delle corrispondenti crf.nze.

l 1 l 2 l 3 l n = = =…= r1 r2 r3 rn

αr1

r2

r3

rn

lnl3

l2l1

αO

Dal teorema precedente si perviene alla definizione di misura in radianti di un angolo.

l

Dato l’ angolo ab , di vertice O, si considera una circonferenza di centro O.(1clic)

a

b

Si definisce misura in radianti dell’angolo ab la misura in radianti dell’arco l di crf.nza.

L’angolo intercetta sulla circonferenza un arco l. (1clic)

l (rett)

αrad = r

Relazione tra misura in radianti e in gradi sessagesimali.

Premessa. Gli archi di una stessa circonferenza o di crf.nze congruenti sono proporzionali alle rispettive ampiezze.

l 1 : l 2 = α1 : α2

Data una circonferenza, consideriamo come arco l 1

l’intera circonferenza, quindi la sua ampiezza è di 360° e come arco l 2 un arco l ampio α° gradi.La proporzione diventa:

2πr : l = 360° : α° Dividendo i termini del primo rapporto per r, si ha:

2πr l : = 360° : α° r r

si ottiene:

2π : αrad = 360° : α°

e, dividendo per 2 gli antecedenti, si ha la regola di

conversione tra i gradi e i radianti:

Per la definizione di misura in radianti di un arco:

l (rett)

αrad = r

π : αrad = 180°: α°

παrad = α° 180°

180° α° = αrad π

Misura in radianti di angoli notevoli.

Se si considera l’angolo di ampiezza

360°, esso individua su una

circonferenza un arco pari alla crf.nza

stessa. Siccome la crf.nza rettificata

misura 2πr, si ha: crf(rettificata) 2πr αrad = = = 2π rad raggio r

r

360°

Di conseguenza si ricavano i seguenti valori notevoli:

GRADI RADIANTI

180° π

90° π2

45° π4

GRADI RADIANTI

120° 2π3

60° π3

30° π6

Definizione geometrica di seno, coseno di un arco (angolo)

Definizione geometrica di seno, coseno di un arco (angolo)

In un sistema di assi cartesiani e si considera la la

circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).

Dato un arco , si considera l’arco di crf.nza AP =,

avente il primo estremo nel punto A(1;0); sia P(x;y) il

secondo estremo di tale arco.

Definizione: si definiscono coseno e seno dell’arco

(oppure dell’angolo) ampio rispettivamente l’ascissa e

l’ordinata del punto P, quindi si può scrivere:

P(cos; sen )

Dato l’arco di circonferenza AP=, considerando il triangolo

rettangolo OPH (in figura), si constata che le misure dei cateti

coincidono con le coordinate del punto P della crf.nza

goniometrica mentre l’ipotenusa OP è uguale al raggio 1 della

crf.nza. (1clic)

x

y

O

A(1;0)

H

PH = yP = sensen. PH = yP = sensen.

OH = xP =coscos. OH = xP =coscos. yP

xP

OP = 1OP = 1

P(x;y)

Seno e Coseno

O

x

y

cos

sen

P(x;y)

P(cos; sen)P(cos; sen)

A(1;0)

Valori notevoli di Seno e Coseno

4

6

3

6

½

√3 2

14 √2 2

√2 2

1

3

√3 2

½

1

x

y Ricordando le regole dei triangoli rettangoli con un angolo acuto rispettivamente di 30°; 45°; 60°: si ha la tabella:

seno

coseno

6

4

3

½ √2 2

√3 2

√2 2 ½ √3

2

1clic

Valori notevoli degli archi (angoli) da 0 a 2π rad.

2 3

2

4

6

3

3 45

6

7 6 5

4

4 3

3 2

5 3

7 4

11 6

1 clic

Verso positivo degli archi

-2 3

2

4

6

3

-3 4

-5 6

-7 6

-5 4

-4 3

-3 2

-5 3

-7 4 -11

6

0

-2

Valori notevoli degli archi (angoli) da 0 a -2π rad.

1 clic

Verso negativo degli archi

Variazioni di Seno e Coseno

Ox

y

P(xP;yP)

A

2

3 2

1°quadr. Se 0 < < ½ P possiede ascissa POSITIVA e ordinata POSITIVA.Quindi

cos>0 e sen>0

xP>0; yP>0

xP<0; yP>0

xP>0; yP<0

xP<0; yP<0

2°quadr. Se

½Ppossiede ascissa NEGATIVA e ordinata POSITIVA.Quindi

cos<0 e sen0

3°quadr. Se

(3/2) P possiede ascissa NEGATIVA e ordinata NEGATIVA.Quindi

cos<0 e sen0

4°q. Se (3/2) Ppossiede ascissa POSITIVA e ordinata NEGATIVA.Quindi

cos>0 e sen0

1CLIC

1CLIC

1CLIC

1CLIC

In conclusione: al variare di da 0 rad. a 2rad. sia il seno che il coseno di variano tra -1 e +1 (compresi tali valori)

0<<½ ½ <<(3/2)

(3/2)<<

2

Seno 0 <sen<

1 <sen<

0

0 <sen<-

1

-1 <sen<

0

Coseno 1 <cos<

0

0 <cos<-

1

-1 <cos< 0

0 <cos<

1

Prima Identità Fondamentale

Ma, d’altra parte, abbiamo visto che:

xP =cos, yP =sen

Quindi, sostituendo nella

relazione (1), si ottiene:

Siccome il punto P(xP;yP), introdotto per definire il seno e il coseno dell’arco , appartiene alla circonferenza goniometrica, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione di tale circonferenza, cioè: xP

2 + yP2 = 1

(1)

Ox

y

P(xP;yP)

A(1;0)

sen2 + cos2 = 1

Definizione di Tangente di un arco (angolo) Definizione di Tangente di un arco (angolo)

In un sistema di assi cartesiani e si considera la la

circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).

Dato un arco , si considera l’arco di crf.nza AP =,

avente il primo estremo nel punto A(1;0); sia P(x;y) il

secondo estremo di tale arco. Si traccia la retta tangente

alla circonferenza goniometrica nel suo punto A(1;0) e si

considera l’intersezione con la retta OP. Detto T tale punto

di intersezione, si definisce tangentetangente dell’arco AP l’ordinatal’ordinata

del punto T .

Tangente

x

y

O

x=1

T(1;y)

tang

T(1;tang)

T(1;tang)

A(1;0)

1clic1clic

P

Campo di Esistenza della Tangente

Risulta evidente che la retta per O e P interseca la retta x=1, tangente in A, se e solo se non è parallela a tale retta. Questo fatto si verifica se P coincide con B opp. con C (vedi in fig.) cioè se:

=

oppure=3 2 2Quindi la definizione di

tangente di ha senso se e solo se:

≠

e≠3 2 2

Ox

y

P

A(1;0)

B

C

x=1

T

¤

¤

Variazioni della Tangente

Se 0 < < ½ (cioè: se P appartiene al 1° quadrante)

La tangente varia da 0 a +∞Se ½ (cioè: se P appartiene al 2° quadr.)

La tangente varia da -∞ a0.

P’’’

Ox

y

P

A(1;0)

B

C

x=1

T

¤

¤

P’

P’’

T’

Se .(cioè: se P appartiene al 3° quadr.)

La tangente varia da 0 a +∞

Se 3/22.(cioè: se P appartiene al 4° quadr.)

La tangente varia da -∞ a0.

Sintesi grafica delle definizioni

x

y

O

x=1

T(1;y)

A(1;0)

cos

P(x;y)

T(1;tang)T(1;tang)

P(cos;sen)P(cos;sen)

1clic1clic

tang

sen

I triangoli OAT e OHP sono simili essendo rettangoli e avendo l’angolo in O in comune (1°criterio di similitudine). Si ha la seguente proporzione: AT : AO = PH : OH

Sostituendo le misure dei lati:

si perviene alla relazione: T

A(1;0)

P

x

y

H

Ocos

sentang

PH = sen

OH = cos

AT = tang

OA = 1

sentang =

cos

sentang =

cos

Seconda identità fondamentale

Definizione di cotangente di un angolo

In un sistema di assi cartesiani e si considera la la

circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).circonferenza di centro O e raggio 1 (crf.nza goniometrica).

Dato un arco , si considera l’arco di crf.nza AP =,

avente il primo estremo nel punto A(1;0); sia P(x;y) il

secondo estremo di tale arco.

Si traccia la retta tangente alla circonferenza goniometrica

nel suo punto B(0;1) e si considera l’intersezione con la

retta OP. Detto T tale punto di intersezione, si definisce

cotangentecotangente dell’arco AP l’ascissal’ascissa del punto T .

Cotangente

x

y

O

T(cotang)T(cotang)

A(1;0)

1clic1clic

B(0;1)

y = 1P

Variazioni della Cotangente

Ox

y

P

A(1;0)

D

y=1

TB

¤ ¤

T’

P’ P’’’

P’’

Se 0 < < ½ (cioè: se P appartiene al 1° quadrante)

La cotangente varia da +∞ a Se ½ (cioè: se P appartiene al 2° quadr.)

La cotangente varia da 0a -∞

Se .(cioè: se P appartiene al 3° quadr.)

La cotangente varia da +∞ a Se 3/22.(cioè: se P appartiene al 4° quadr.)

La cotangente varia da 0 a -∞

Campo di Esistenza della Cotangente

Risulta evidente che la retta per O e P interseca la retta y=1, tangente in B, se e solo se non è parallela a tale retta. Questo fatto si verifica se P coincide con A o con D (vedi in fig.) cioè se:

= ==

Quindi la definizione di cotangente di ha senso se e solo se:

≠ 0≠≠

Ox

y

P

A(1;0)

D

y=1

TB

¤ ¤

Definizioni di Cosecante Secante

xO

A(1;0)

P

y

S

R

Dato l’arco AP = , per il punto P si traccia la retta

tangente alla crf.nza goniometrica. Tale retta

interseca l’asse delle ordinate nel punto S. Si definisce

cosecante dell’arco , l’ordinata del punto S. Quindi

si può scrivere :

S(O; cosec)La stessa retta tangente interseca

l’asse delle ascisse nel punto C.Si

definisce secante dell’arco ,

l’ascissa del punto C. Quindi si può

scrivere: R(sec; 0)

Campo di esistenza della Cosecante

Risulta evidente che la retta tangente in P interseca l’asse delle ordinate y se e solo se non è parallela a tale asse. Questo fatto si verifica se P coincide con A o con D (vedi in fig.) cioè se:

Ox

y

P

A(1;0)

D

B

¤ ¤

S(0;cosec

= ==

Quindi la definizione di cosecante ha senso se e solo se:

≠ 0≠≠

Variazioni della Cosecante

Se

0 < a < ½ e ½ .(cioè: se P appartiene al 1° opp. al 2° quadrante)La cosecante varia, rispettivamente

da +∞ a 1 (1°quadr.); e da 1 a +∞ (2°q.)

Se

e .(cioè: se P appartiene al 3° opp. al 4° quadrante)

La cosecante varia da -∞ a-1 (3°quadr.) e da -1 a∞∞ (4°q.)

Ox

y

P

A

D

B

¤ ¤

S(0;cosec

Campo di esistenza della Secante

Risulta evidente che la retta tangente in P interseca l’asse delle ascisse x se e solo se non è parallela a tale asse. Questo fatto si verifica se P coincide con B o con C (vedi in fig.) cioè se:

Quindi la definizione di secante ha senso se e solo se:

=

oppure=3 2 2

≠

e≠3 2 2

Ox

y

P

A

C

B

¤

¤

R(sec

Variazioni della secante

Se 0 < a < ½ .(cioè: se P appartiene al 1°quadrante)

La secante varia da 1 a +∞

Ox

y

P

A

C

B

¤

¤

R(0;sec

R’

Se .(cioè: se P appartiene al 4° quadr.)

La secante varia da +∞ a 1. ∞

Se ½ (cioè: se P appartiene al 2° quadr.)

La secante varia da -∞ a-Se (cioè: se P appartiene al 3° quadr.)

La secante varia da -1 a - ∞

Relazioni tra Seno,Coseno e Cosecante, Secante

xO

cos

sen

A(1;0)

P

y

S

C

Dato l’arco AP = a, per il punto P si traccia la retta tangente alla crf.nza goniometrica. Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo OPS si ha: OS: OP = OP : OQSostituendo le misure: OS : 1 = 1 : sen ,

H

Q

Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo OPC si ha: OC : OP = OP : OH

Quindi: 1 OS = = cosec . sen

Quindi: 1 OC = = sec . cos

Funzioni dirette e reciproche

Seno Cosecante

Coseno Secante

Tangente Cotangente

Archi associati

Si definiscono archi associati gli

archi:

Se l’angolo è acuto, gli archi

associati hanno il secondo

estremo coincidente con un

vertice di un rettangolo inscritto

nella crf.nza goniometrica e

avente i lati paralleli agli assi.

sen() = sen

cos() = -cos

tg() = -tg

cotg() = -cotg

Funzioni goniometriche di

sen() = -sen

cos() = -cos

tg() = +tg

cotg() = +cotg

Funzioni goniometriche di

Funzioni goniometriche di

Funzioni goniometriche di

Funzioni goniometriche di

sen(2) = -sen

cos(2) = +cos

tg(2) = -tg

cotg(2) = -cotg

sen() = -sen

cos() = +cos

tg() = -tg

cotg() = -cotg

In conclusione.

Le funzioni goniometriche degli angoli:

in valore assoluto, coincidono con le stesse funzioni di .

Regola pratica:

Per quanto riguarda il segno occorre considerare in quale quadrante si trovano i secondi estremi degli archi, a partire dal quadrante in cui si trova.

In conclusione.

Le funzioni goniometriche degli angoli:

in valore assoluto, coincidono con le stesse funzioni di .

Regola pratica:

Per quanto riguarda il segno occorre considerare in quale quadrante si trovano i secondi estremi degli archi, a partire dal quadrante in cui si trova.

Altri archi (angoli) particolari

Altri archi (angoli) associati ad : il complementare di ) einoltre:

2

2

2

3 2

3 2

x

y

3 2

2

3 2

sen = +cos

cos =+sen

tang = +cotg

cotg =+tang

sen = +cos

cos = -sen

tang =-cotg

cotg =-tang

Funzioni goniom. di Funzioni goniom. di Funzioni goniom. di 2

2

222

2

2222

sen = -cos

cos =-sen

tang = +cotg

cotg =+tang

sen = -cos

cos = +sen

tang =-cotg

cotg =-tang

Funzioni goniom. di Funzioni goniom. di Funzioni goniom. di 3 2

3 2

3 2

3 23 2

3 2

3 2

3 23 2

3 2

In conclusione.

Le funzioni goniometriche degli archi (angoli):

in valore assoluto, coincidono con le rispettive cofunzioni

goniometriche di . [seno <-> coseno; tangente <->

cotangente]

Regola pratica:

Per quanto riguarda il segno occorre considerare in quale quadrante si trovano i secondi estremi degli archi, supponendo che si trovi nel primo quadrante. (ad es.: supponendo 1°q. -> 2°q.; 3°q.)

In conclusione.

Le funzioni goniometriche degli archi (angoli):

in valore assoluto, coincidono con le rispettive cofunzioni

goniometriche di . [seno <-> coseno; tangente <->

cotangente]

Regola pratica:

Per quanto riguarda il segno occorre considerare in quale quadrante si trovano i secondi estremi degli archi, supponendo che si trovi nel primo quadrante. (ad es.: supponendo 1°q. -> 2°q.; 3°q.)

3 2

2

3 2

2

TABELLA VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE PER ARCHI NOTEVOLI

seno0 1

coseno

tangentecotg.nte

2

4

6

3

0

√2 2

√3 2

√2 2

√3 2

√3 3 √3

√3 √3 3

½

½1 0

1

1 0

0

rad sen cos tg ctg

2 3

2

4

6

3

3 45 6

√3 2½

1

√3 3

0 0

-10 0

√3

1 1

½ √3 √3 3

1 0

√3 2½ - √3

3 -√3

-1 -1

0

-½

-√3- √3 3

rad sen cos tg ctg

5 3

32

54

76

43

7 411 62

-½ +√3 3

+1

0 0

+√3

+1

+1

-½

√3 √3 3

-1 0

-½

- √3 3

-√3

-1 -1

0

+½

-√3 - √3 3

1clic 1clic

√2 2

- √3 2

- √3 2

- √3 2

+ √3 2

√3 2

√3 2 √2 2

- √2 2

√2 2

- √2 2

- √2 2

- √2 2

√2 2

Grafico della funzione f(x) = senx

O

Grafico della funzione f(x) = cosx

O

Grafico della funzione f(x) = tangx

O

Grafico della funzione f(x) = cotangx

O

Grafico della funzione f(x)=cosecx

Grafico di f(x)= secx

xO

y = 1

y = -1