Goglio Comportamento Meccanico Dei Materiali

8/20/2019 Goglio Comportamento Meccanico Dei Materiali

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Dipartimento di Meccanica Politecnico di Torino

CeTeM

Luca Goglio

COMPORTAMENTO MECCANICO

DEI MATERIALI

Dispense per il modulo

teledidattico

Versione provvisoria – febbraio 2002


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1. RICHIAMI DI STATICA

1.1. Grandezze e operazioni fondamentali

La grandezza fondamentale della statica è la forza , che ha natura vettoriale in quanto è definitaassegnandone modulo, direzione e verso. Essa costituisce la causa che altera lo stato di quiete omoto rettilineo uniforme di un corpo.Di un sistema di forze è possibile ottenere larisultante R

r

applicando le consuete regole di sommadei vettori, ad esempio considerando le componenti cartesiane:

∑= i xi Fx F R ∑= i yi Fy F R ∑= i zi Fz F RLa risultante è un vettore libero, cioè non applicato.Il momento O M

r

rispetto a un puntoO di una forza F r

applicata nel punto P è dato dal prodottoesterno

( ) F O P M Orr

∧−=Anche il momento è un vettore di tipo libero. Per la definizione stessa di prodotto esterno il vettore

O M r

risulta perpendicolare sia a F r

sia a ( P -O); inoltre il momento non cambia se la forza vienespostata lungo la sua retta d'azione.

F

M

O

P

b

F O

P

b

M O

O

Una rappresentazione grafica del momento non del tutto rigorosa, ma molto comoda e utilizzata(soprattutto nel caso di problemi piani), è costituita da un arco di cerchio con l'aggiunta di unafreccia per indicare il verso di rotazione (v. figura)La distanza dal puntoO alla retta d'azione della forza rappresenta il bracciob, che fornisce larelazione tra le intensità della forza e del momento:

Fb M O =Si definiscemomento risultante rispetto al puntoO di un sistema di forze la somma dei singolimomenti di ogni forza i F

r

e dei momenti puri iC r

:( ) ( )∑∑ +∧−=+= i iiii iOi M C F O P C M R O

rrrrr

)(

Si può dimostrare che i momenti risultanti di un sistema di forze rispetto a due diversi puntiO e O'sono legati dalla relazione seguente


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L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali”

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F M M ROO R R OOrrr

∧−+= )'('Un corpo è inequilibrio se le somme vettoriali sia delle forze (equilibrio alla traslazione) sia deimomenti rispetto ad un punto qualsiasi (equilibrio alla rotazione) sono nulle:

0rr

=∑i

i F ( ) 0rrr

=+∑i

iOi C M

Nel caso dei sistemi piani le condizioni suddette si riducono alle tre equazioni scalari:0=∑i xi F 0=∑i yi F 0=++−∑i i yii xii C F x F y

Nell'ultima equazione i due termini relativi ai contributi delle forze hanno segno discorde perchécorrispondono a versi di momento rispettivamente orario e antiorarioDue sistemi di forze sonoequivalenti (ai fini dell'equilibrio) quando hanno stessa risultante e stessomomento risultante. Due conseguenze di tale proprietà di cui faremo uso sono le seguenti:

i) è possibile trasportare una forza perpendicolarmente alla propria direzione aggiungendo un

momento "di trasporto" pari al prodotto della forza stessa per la distanza fra le due rette diazione

d

F

F

M = Fd

ii) un sistema di forze può essere sostituito con la sua risultante, applicata in un certo punto, e

con un momento pari al momento risultante valutato rispetto allo stesso punto.Per sistemi di forze piani esiste una retta, dettaasse centrale , tale che il momento risultante rispettoai punti di essa è nullo. Risulta allora possibile sostituire il sistema di forze con il solo risultanteapplicato in corrispondenza dell'asse centrale.

R R

F

F

F

1

2

3

O O'

R

ξ

F F

M O

Per determinare l'asse centrale si riduce il sistema di forze alla risultante F Rr

applicata in un puntoarbitrarioO e al momento risultante

O M Rr

, successivamente sfruttando la formula di trasposizione dei

momenti si cerca un altro puntoO' tale che 0'rr

=O M R :

0' =ξ−= F M M R R R OO(relazione scritta senza notazione vettoriale, superflua in questo caso) da cui si ottiene


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3

F M R R O /=ξ

1.2. Carichi e vincoli

CarichiI carichi rappresentano le azioni esterne, forze e momenti, applicate sulla struttura; tradizionalmentesi distingue tra carichiconcentrati , cioè applicati puntualmente, e carichidistribuiti , che interessanouna zona significativamente estesa della struttura in esame. I carichi distribuiti vengono ancorasuddivisi in carichi di linea (si pensi ad esempio al peso per unità di lunghezza di un albero ditrasmissione), carichi di superficie (ad esempio la pressione idrostatica) e carichi di volume (adesempio il peso specifico del materiale in cui la struttura è realizzata).La distinzione tra carichi concentrati e distribuiti è in realtà convenzionale, in quanto a rigorel'applicazione di un qualunque carico interessa una zona più o meno estesa ma comunque finita della

struttura. Ai fini pratici assumiamo che un carico sia concentrato quanto la zona in cui è applicato èdi estensione trascurabile rispetto alle dimensioni caratteristiche della struttura.

VincoliI vincoli hanno lo scopo di collegare gli elementi delle strutture tra di loro o al telaio; nel primo casosi parla di vincoliinterni , nel secondo di vincoliesterni . E' possibile descrivere il ruolo dei vincoli indue modi diversi, a seconda che si consideri l'aspetto cinematico o quello statico del comportamentodelle strutture.Dal punto di vistacinematico i vincoli riducono le possibilità di movimento degli elementi dellestrutture; nel caso di vincoli interni si obbligano punti diversi (appartenenti a corpi diversi dellastruttura) ad assumere componenti di spostamento e/o rotazione uguali; nel caso di vincoli esternialcune componenti di spostamento e/o rotazione vengono annullate.Dal punto di vista statico i vincoli trasmettono reazioni agli elementi delle strutture; i vincoli internitrasmettono forze e momenti tra un elemento e l'altro; i vincoli esterni forniscono le reazioni cheglobalmente equilibrano i carichi applicati.I più comuni vincoli nel piano sono schematizzati nelle figure seguenti; definiamo i vincoli comesingoli, doppi o tripli, a seconda del numero di componenti di reazione trasmesse (rispettivamente

una, due o tre), o, il che è lo stesso, a seconda del numero di componenti di spostamento o rotazioneobbligate.

appoggio (v. semplice) cerniera (v. doppio) incastro (v. triplo)


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Grado di iperstaticitàUn corpo o un sistema di corpi può essere vincolato in modo insufficiente, sufficiente osovrabbondante a fissarne la posizione. Nel caso dei problemi piani definiamo il grado di iperstaticitàh con l'espressione seguente:

mvh 3−=Il terminev rappresenta il numero totale di reazioni vincolari (interne o esterne) calcolabile conl'espressione:

( ) a pciv +++= 23in cui i è il numero di incastri (ognuno dei quali introduce 3 reazioni),c è il numero di cerniere(ognuna delle quali introduce 2 reazioni), p è il numero di coppie prismatiche (ognuna delle qualiintroduce 2 reazioni),a è il numero di appoggi (ognuno dei quali introduce 1 reazione).Il terminem rappresenta il numero totale di corpi semplici da cui è costituita la struttura, per ognunodei quali si possono scrivere 3 equazioni di equilibrio.

Si distinguono 3 situazioni:• h < 0 sistema labile (meccanismo), la posizione dei corpi non è completamente determinata dai

vincoli;• h = 0 sistema isostatico (o staticamente determinato), le equazioni di equilibrio sono sufficienti

per determinare tutte le reazioni vincolari;• h > 0 sistema iperstatico (o staticamente indeterminato), le equazioni di equilibrio non sono

sufficienti per determinare tutte le reazioni vincolari.Le figure seguenti mostrano alcuni esempi di sistemi labili, isostatici e iperstatici.

m = 1

h = -3v = 0

m = 1

h = -2v = 1

a = 1

m = 1

h = -1v = 2

c = 1

cerniera interna (v. doppio) coppia prismatica (v. doppio)


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m = 1

h = 0v = 3

c = 1a = 1

m = 1

h = 0v = 3

i = 1

m = 1

h = 1v = 4

c = 2

m = 1

h = 1v = 4

i = 1a = 1

m = 1

h = 2v = 5

i = 1c = 1

m = 1

h = 3v = 6

i = 2

m = 2

h = -1v = 5

c = 2a = 1

m = 2

h = 0v = 6

c = 3

m = 2

h = 0v = 6

c = 2a = 2

cerniera doppia

1.3. Scrittura delle equazioni di equilibrio

Il punto di partenza per la scrittura delle equazioni di equilibrio consiste nel liberare un sistema dimassa, costituito da uno o più corpi semplici, dai vincoli che lo collegano ad ulteriori corpi o altelaio. Nel caso di sistemi piani si immagina di racchiudere il sistema considerato con unalinea didistacco chiusa: dove tale linea interseca i vincoli vengono messe in evidenza le corrispondenti

reazioni (che prima del distacco costituivano delle azioni interne), per le quali si assumono dei versi


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positivi convenzionali. Si possono quindi scrivere le equazioni di equilibrio tra carichi applicati ereazioni vincolari per il sistema così isolato.Ad esempio, nel caso di un corpo semplice vincolato da una cerniera e da un appoggio si opera nelmodo indicato nelle figure seguenti. L'interruzione dei vincoli da parte della linea di distacco(tratteggiata in figura) mette in evidenza le reazioni della cernieraOA e V A e quella dell'appoggioV B.

F

F

1

2

A

B

linea didistacco

F

F

1

2

V A

V BOA

Nel caso di vincoli interni (cioè congiungenti corpi della struttura) le azioni messe in evidenza su uncorpo sono evidentemente uguali in modulo e direzione e opposte in verso a quelle messe inevidenza su un altro corpo collegato; se ne tiene conto semplicemente cambiando il versoconvenzionale delle reazioni (v. figure).

F F

12

BA

C F

F 1 2

V A V B

OA OBV C

O CO

C

V C

Nel piano si possono scrivere tre equazioni di equilibrio indipendenti per ogni corpo libero; queste potranno esprimere l'equilibrio alla traslazione lungo direzioni opportune e l'equilibrio alla rotazioneintorno a punti opportuni. Nella scrittura delle equazioni si deve però evitare di scrivere equazioni non linearmente indipendentifra di loro; le scelte possibili si possono classificare in tre gruppi:a) 2 equazioni di equilibrio alla traslazione lungo direzioni non parallele + 1 equazione di equilibrio

alla rotazione intorno ad un punto arbitrario; b) 2 equazioni di equilibrio alla rotazione + 1 equazione di equilibrio alla traslazione lungo una

direzione non perpendicolare alla congiungente i punti rispetto ai quali si calcolano i momenti;c) 3 equazioni di equilibrio alla rotazione intorno a punti non allineati.


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2. STATO DI TENSIONE

2.1. Tensioni

Al fine di determinare la resistenza di un elemento strutturale, ad esempio un organo di macchina,non è sufficiente la semplice conoscenza dei carichi a cui esso è sottoposto. E' infatti evidente che a parità di carichi trasmessi l'elemento sarà più o meno sollecitato a seconda della propria forma edimensione; si pone quindi la necessità di definire delle grandezze che riferiscano i carichi all'unità disuperficie su cui agiscono.Consideriamo la sezione di un elemento soggetto a dei carichi; essa può essere pensata come formatada una somma di areole elementari, di area∆ A normale al versorenr , ognuna delle quali trasmette uncontributo di forza F

r

∆ e di momento M r

∆ . Considerando i rapporti tra questi ultimi e l'area efacendo tendere a zero l'estensione di essa si assume che:

f A F

A

r

r

=∆∆

→∆ 0lim 0lim

0

r

r

=∆∆

→∆ A M

A

Questa ipotesi ammette che i carichi si trasmettano all'interno del materiale con un meccanismoanalogo al caso delle pressioni nei fluidi, ma in senso generalizzato, con azioni sia normali siatangenti alle superfici. La quantità f

r

è dettavettore della tensione , esso in generale non è paralleloalla normale alla superficie passante per il punto P ma presenta sia una componente normaleσ siauna componente tangenzialeτ.

n F

στ

∆ A f

∆

P

L'operazione matematica di passaggio al limite per dimensioni che tendono a zero presuppone che ilmateriale costituisca uncontinuo , ciò implica che dal punto di vista fisico questa trattazione è

applicabile finché le dimensioni in gioco sono sufficientemente grandi da non far intervenire la naturadiscreta della materia.Considerando le facce perpendicolari agli assi di un sistema di riferimento cartesiano xyz , su ognunadi esse possiamo individuare una componente normale e due tangenziali; le componenti di tensione intale riferimento vengono individuate con due pedici ( x, y, z ): il primo identifica la direzione normalealla faccia, il secondo indica la direzione lungo la quale la componente agisce.


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Si possono quindi distinguere 9 componenti; le tre componentiσ indicano tensioni normalirispettivamente di trazione o compressione a seconda che i valori siano positivi o negativi, le 6componentiτ indicano invece tensioni tangenziali (dette anche di taglio)1.

σ xx τ xy

τ xz σ yxτ yy

τ yz τ zx τ zy

σ zz

x y

z

Consideriamo l'equilibrio alla rotazione intorno all'asse z di un elemento infinitesimo di materialenell'intorno del punto P . Sulle facce cosiddette positive, cioè quelle da cui gli assi coordinati esconoattraversando l'elementino, le componenti hanno versi positivi se concordi con quelli degli assi stessi;viceversa sulle facce negative le componenti hanno versi positivi opposti. Ciò permette di soddisfareil principio di azione e reazione rispetto alle tensioni mutuamente esercitate tra elementi adiacenti.Poiché le componenti sono in generale funzione della posizione, nell'incremento di coordinatadx ody queste subiscono un corrispondente incremento (v. figura).

σ yy

τ xy

τ yx

x

y

z

+d σ yy

σ yy +d τ yxτ yx

+d σ xxσ xx

+d τ xyτ xyσ xxdy

dx

P

Nell'equazione di equilibrio alla rotazione compaiono le forze elementari date dalle tensionimoltiplicate per le aree infinitesime su cui esse agiscono. Le componenti normali e l'eventuale forzadi volume hanno braccio nullo, l'equazione si riduce quindi a:

( ) ( ) 02222

=τ+τ−τ+τ+τ−τ dyd dzdxdxd dzdydydzdxdxdzdy yx yx xy xy yx xy

Semplificando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiored τij rispetto ai termini finitiτij (i, j = x, y) si ottiene

1Si noti che il segno delleτ, contrariamente al caso delleσ, non indica una diversa situazione fisica.


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yx xy τ=τAnalogamente, ripetendo il medesimo ragionamento per l'equilibrio alla rotazione intorno agli assi x e

y si ottiene: zx xz τ=τ zy yz τ=τ

Si trova cioè che le componenti tangenziali contraddistinte da pedici omologhi sono uguali; diconseguenza le componenti di tensione diverse si riducono da 9 a 6.Si è visto precedentemente che su una faccia elementare generica, passante per il punto P e normaleal versore nr agisce il vettore della tensione f

r

; vogliamo valutare come variano le componenti diquest'ultimo al variare dell'orientazione della faccia. A questo scopo consideriamo un tetraedroinfinitesimo di volumedV avente tre faccedA x, dA y, dA z perpendicolari agli assi coordinati e la quartafacciadA perpendicolare al versorenr , avente come componenti i coseni direttorin x, n y, n z .

x

y

z

f z

f x

f y

f

P

L'equazione vettoriale di equilibrio alla traslazione assume la forma:0rrrrrr

=Φ++++ V z z y y x x dV f dA f dA f dA f dAL'ultimo termine, corrispondente alla forza di volume, è infinitesimo di ordine superiore rispetto ai primi ed è quindi trascurabile; i vettori tensione che compaiono sono definiti nel modo seguente:

=

nz

ny

nx

f

f

f

f r

τ

τσ

=

xz

xy

xx

x f r

τ

στ

=

yz

yy

xy

y f r

σ

στ

=

zz

yz

xz

z f r

Le aree delle facce sono legate dalle relazioni seguenti x x ndAdA ⋅= y y ndAdA ⋅= z z ndAdA ⋅=

Sostituendo nell'equazione di equilibrio precedente si ottiene0rrrrr

=+++ z z y y x x f n f n f n f In termini scalari l'equazione corrisponde al sistema seguente

=σ−τ−τ−

=τ−σ−τ−=τ−τ−σ−

0

00

z zz y yz x xz nz

z yz y yy x xyny

z xz y xy x xxnx

nnn f

nnn f

nnn f


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dove i segni - sono dovuti al fatto che le facce normali agli assi coordinati sono di tipo negativo (nelsenso precedentemente definito). In termini matriciali il sistema assume la forma:

στττστττσ

= z

y

x

zz yz xz

yz yy xy

xz xy xx

z

y

x

n

n

n

f

f

f

In notazione compatta possiamo scrivere{ } [ ]{ }n f σ=

La matrice [σ], avente per colonne i vettori di tensione agenti sulle facce perpendicolari agli assicoordinati, costituisce iltensore delle tensioni agenti nel punto P . Si deve notare che la conoscenzadi essa permette di ottenere le componenti di tensione (cioè il vettore di tensione) su una qualunquefaccia, identificata dalla normalenr ; quindi si può concludere che [σ] definisce completamente lostato di tensione nel punto P .

2.2. Tensioni principali

Si è visto che in caso generale i vettorinr e f r

non sono paralleli a causa della presenza dicomponenti di tensione di tipo tangenziale; ci si domanda quindi se esistano orientazioni privilegiatedelle facce tali che i vettori tensione agenti su di esse siano paralleli alle normali e quindi sullecorrispondenti facce non agiscano tensioni tangenziali. La risposta è affermativa e il problemacorrisponde alla ricerca degli autovalori/autovettori di una matrice; infatti, per definizione,λ e {v}sono rispettivamente un autovalore e un autovettore della matrice [ A] se

[ ]{ } { }vv A λ= Nel caso delle tensioni si deve verificare che{ } { }v f λ= e ciò corrisponde alla ricerca degliautovalori/autovettori di [σ]:

[ ]{ } { }vv λ=σcioè

[ ] [ ]( ){ } { }0=λ−σ v I dove [ I ] è la matrice identità. Il sistema omogeneo ammette soluzione non banale se

0det =λ−σττ τλ−στ

ττλ−σ

zz yz xz

yz yy xy

xz xy xx

L'annullarsi del polinomio caratteristico permette di determinare gli autovalori. Poiché [σ] è reale esimmetrica esistono sempre tre autovalori reali1σ , σ2 , 3σ detti tensioni principali ; i corrispondentiautovettori individuano ledirezioni principali 2.Quindi una direzione è detta principale se sulla faccia perpendicolare ad essa non agiscono tensionitangenziali. Adottando come sistema di riferimento una terna principale il tensore [σ] assume laseguente forma diagonale

2Se non diversamente specificato si denominano le tensioni principali in ordine decrescente:σ3 ≤ σ2 ≤ σ1.


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σσ

σ

3

2

1

000000

Si può osservare che se una certa riga (e colonna, data la simmetria) presenta i termini fuoridiagonale nulli allora la corrispondente direzione è principale.

2.3. Cerchi di Mohr

E' possibile eseguire una rappresentazione grafica di come variano le componenti normale etangenziale su una faccia, al variare dell'orientazione della faccia stessa.

σ

ατ

σ1

dl

2

2

dl 1

σ

dl

n

p1

p2

p3

Assumiamo come sistema di riferimento la terna principale p1 p2 p3 e consideriamo la direzionenr

contenuta nel piano p1 p2; poiché la direzione p3 è principale il vettore della tensione f r

agente sullafaccia normale anr è pure contenuto nel piano p1 p2 e può essere descritto dalle due componentiσ e

τ. Queste ultime possono essere espresse utilizzando la relazione{ } [ ]{ }n f σ= in cui:

[ ]σ

σσ

=σ3

2

1

000000

{ } αα

=0

sencos

n

La componenteσ è data dalla proiezione di f r

lungo nr :

{ } { } { } [ ]{ } { }

ασ+ασ=

αα

σσ

σαα=σ==⋅=σ

22

21

3

2

1

sencos

0sencos

000000

0sencosnn f n f n T T r

r

La componenteτ può essere espressa usando la relazione pitagorica:

( ) αασ−σ=αασσ−ασ−ασ−ασ+ασ=σ−=τ

22221

2221

422

421

222

221

222

sencossencos2sencossencos f

Ponendo sotto radice quadrata entrambi i membri si ottiene( ) αασ−σ=τ sencos21

Si verifica agevolmente cheσ e τ stanno tra di loro come le coordinate dei punti di unacirconferenza. Infatti, ricordando le trasformazioni trigonometriche

22cos1sen2 α−=α 2

2cos1cos2 α+=α 22sencossen α=αα


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le relazioni trovate perσ e τ assumono la forma seguente:

ασ−σ=τ

ασ−σ=σ+σ−σ

2sen2

2cos22

21

2121

Quadrando e sommando si ottiene2

2122

21

22

σ−σ=τ+

σ+σ−σ

che rappresenta l'equazione di una circonferenza (cerchio di Mohr), in un piano di coordinateστ,avente centroC e raggior pari a:

σ+σ= 0,

221C

221 σ−σ=r

Quindi, considerando il fascio di piani aventi in comune l'asse principale p3 nel punto P , lecomponenti di tensione messe in evidenza dalla sezione eseguita con un piano di tale fascio sono datedalle coordinateσ e τ della circonferenza; inoltre l'angolo descritto dal raggio sul cerchio è il doppiodell'angolo tranr e l'asse p1.Si osserva che perα=0 (nr parallelo all'asse principale p1) si haσ=σ1 e τ=0, mentre perα=π/2 (n

r

parallelo all'asse p2) si ha σ=σ2 e τ=0; quindi le intersezioni della circonferenza con l'asse delleascisse corrispondono alle facce normali alle direzioni principali.

2α

α

σσ

1

2

σ

τ

(σ +σ )/21 2

(σ −σ )/21 2

Il procedimento seguito per ottenere il cerchio relativo al fascio di piani aventi in comune l'asse p3

può essere ripetuto, in modo analogo, considerando gli assi p1 e p2. Si ottengono così altri duecerchi, che intersecano l'asse delle ascisse rispettivamente rispettivamente nei punti (σ2 ,0), (σ3 ,0) e(σ1 ,0), (σ3 ,0).


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σ3 σ

τ

1σσ2

2α

1

2

3α

p

p

p

σ3 σ

τ

1σσ2

α

1

2

3

2α

p

p

p

σ3 σ

τ

1σσ2

α1

2

3

2α

p

p

p


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14

I valori diσ e τ su una sezione qualunque, non contenente uno degli assi principali, sono contenutiall'interno del cerchio maggiore e all'esterno dei due cerchi minori, come indicato in figura.

σ3 σ

τ

1σσ2

Dall'osservazione dei cerchi di Mohr si ricavano alcune proprietà significative dello stato di tensioneagente in un punto P e caratterizzato dalle tensioni principaliσ1, σ 2, σ 3:• a seconda del piano considerato la tensione normaleσ varia traσ1 e σ3 e non può assumere valori

all'esterno di tale intervallo;• a seconda del piano considerato la tensione tangenzialeτ varia in modulo tra 0 (piani normali alle

direzioni principali) e (σ1- σ3)/2.In caso generale il tracciamento dei cerchi di Mohr richiede la conoscenza delle tensioni principali (equindi di aver risolto l'autoproblema relativo a [σ]), è possibile però un tracciamento immediato

quando si verificano contemporaneamente le due condizioni seguenti:1) una direzione principale e la corrispondente tensione principale sono note;2) si conoscono le componenti di tensione su due facce perpendicolari tra di loro e appartenenti

al fascio di piani aventi in comune l'asse principale noto.Per illustrare il procedimento supponiamo che z sia la direzione principale detta pc3 (e quindiσ zz =σc),il tensore delle tensioni assumerà quindi la forma seguente:

[ ]σ

σττσ

=σ zz

yy xy

xy xx

0000

σ xx τ xyσ

xyτ yy

σ zz

x y

z

Sul pianoστ si posizionano i punti (σ xx, τ xy) e (σ yy, - τ xy), questi devono corrispondere ai due estremidi un diametro del cerchio relativo ai piani avente in comune l'asse pc≡ z . E' immediato ricavarel'ascissac del centro e il raggior del cerchio:

3 Non essendo inizialmente noti tutti i valori delle tensioni principali non è possibile utilizzare la nomenclatura inordine decrescente (σ1≥σ2≥σ3);si adotta quindi una nomenclatura provvisoria (σa ,σb,σc) senza imposizioni sullagrandezza dei termini.


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2 yy xxc

σ+σ= 2

2

2 xy yy xxr τ+

σ−σ=

Per ottenere le due tensioni principali relative al cerchio in esame è sufficiente aggiungere o sottrarre

il valore del raggio all'ascissa del centro:2

2

, 22 xy yy xx yy xx

ba τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

Anche le direzioni principali pa pb possono essere determinate per mezzo del cerchio (v. figura).

2α

α

σσa

bσ

τ , τ )(σ yy xy

,−τ )(σ xx xy

α rappresenta l'angolo tra l'asse pa e l'asse x, si può risalire ad esso dalla relazione

yy xx

xy

σ−στ

=α2

2tan

Infine, ricordando il valore della tensione principale inizialmente nota (σ zz ), si può completare la

costruzione con i rimanenti due cerchi.Il procedimento si applica in maniera formalmente analoga se la direzione principale nota preliminarmente è x o y, semplicamente scambiando in modo opportuno gli indici degli assi.


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17

x

y Dilatazione

x

y Scorrimento

Nel caso della dilatazione le lunghezze dei lati di un elemento che si deforma variano (allungandosi oaccorciandosi) ma mantengono uguale orientazione. Viceversa nel caso dello scorrimento lelunghezze dei lati si mantengono uguali, ma variano le orientazioni. Nel seguito di questa trattazione si assumerà che gli spostamenti siano comunque piccoli (rispettoalle dimensioni caratteristiche della struttura), ipotesi che permette di linearizzare il problema e cherisulta verificata nella maggior parte dei casi di interesse pratico.Per definire quantitativamente lo stato di deformazione a cui è sottoposto un corpo è evidente chenon è sufficiente ragionare in termini (macroscopici) di spostamenti, in quanto questi dipendono dalledimensioni del corpo stesso: ad esempio dire che un albero si inflette sotto carico di 1 mm non èsignificativo per stabilire se esso è molto o poco deformato, dal momento che tale spostamentodipende (oltre che dal carico) dalle caratteristiche geometriche e di materiale. Il procedimentoseguito è, dal punto di vista concettuale, analogo a quello utilizzato nello studio delle sollecitazioni

nei corpi, nel quale siamo passati da forze e momenti alle tensioni.Per definire quantitativamente la dilatazione consideriamo il segmento di lunghezzal congiungente i punti P e Q in un corpo deformabile.

P

Ql

P'

Q' l'

Durante il moto il punto P assume la nuova posizione P ', analogamenteQ va in Q'; a causa delladeformazione la lunghezza del segmento cambia dal a l '. Quindi lo spostamento tra i due punti (nelsenso di variazione di distanza) è dato dall'allungamento del segmento:

l l u −= 'Si definisce dilatazioneε il rapporto tra allungamento e lunghezza iniziale del segmento:

l u

l l l =−=ε '

In generale il valore diε può dipendere dalla lunghezza del segmento considerato, per evitare talearbitrarietà consideriamo un segmento di lunghezza iniziale infinitesimadl che per effetto delladeformazione assume lunghezzadl ' e si allunga didu; allora la dilatazione è data da:


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dl du

dl dl dl =−=ε '

Per definire quantitativamente lo scorrimento consideriamo due segmenti inizialmente ortogonali,OP e OQ , aventi lunghezze rispettivamente pari al e h. Durante il moto i puntiO, P , Q si spostano inO',

P ', Q ' ; rispetto alle direzioni originali i segmenti formano gli angoliα e β

O'

Q'

P'

v

u

α

βπ/2 − γ

O

Q

P

h

l

π/2

Poiché gli spostamenti sono piccoli si può approssimare

l v=α

hu=β

Si definisce scorrimentoγ il complemento aπ/2 dell'angolo formato dopo deformazione tra duesegmenti inizialmente ortogonali, pari quindi alla somma:

hu

l v +=β+α=γ

Considerando anche in questo caso segmenti di lunghezza infinitesimadl , dh si ottiene:

dh

du

dl

dv

+=γ Si fa notare che per definire lo scorrimento abbiamo bisogno di considerare due segmenti diriferimento; infatti considerandone uno solo non potremmo separare la rotazione rigida da quella dideformazione.

3.2. Tensore delle deformazioni

Introdotte in forma elementare le definizioni di dilatazione e scorrimento, affrontiamo il fenomenodella deformazione in forma analitica generale. Per questo scopo consideriamo un segmento vettore

infinitesimo X d r

che dopo lo spostamento si trasforma in un segmento ' X d r

; nel caso più generale siverificano sia traslazione e rotazione rigide, sia deformazione e scorrimento. Supponendo che ilcampo di spostamenti sia continuo e derivabile, se il primo estremo del segmento è soggetto a unospostamentoU

r

, il secondo estremo è soggetto ad uno spostamento U d U rr

+ .Vale quindi l'eguaglianza vettoriale

U d U X d X d U rrrrr

++=+ 'da cui si ottiene

U d X d X d rrr

+='Si noti che semplificare lo spostamentoU

r

, comune ai due estremi del segmento, corrisponde adepurare lo spostamento complessivo della traslazione rigida, che dal punto di vista dello studio della


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deformazione è ininfluente. Nel termineU d r

rimangono quindi i contributi dovuti sia alla rotazionerigida sia alla deformazione.

dX'

dX

U U+dU

U d r

può essere scritto come differenziale del campo di spostamenti:

[ ]{ }dX J dz

dy

dx

z w

yw

xw

z v

yv

xv

z u

yu

xu

dw

dv

du

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

La matrice jacobiana [ J ] può essere scomposta nella somma di due termini sfruttando la seguenteidentità:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]T T J J J J

J J J

21

21

21

21

21

21

++−=

+=

Poniamo ora:

[ ] [ ] [ ]

∂

∂−∂

∂

∂

∂−∂

∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

=−=Ω

02

1

2

1210

21

21

210

21

21

z

v

y

w

z

u

x

w yw

z v

yu

xv

xw

z u

xv

yu

J J T

[ ] [ ] [ ]

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

=+=ε

z w

z v

yw

z u

xw

yw

z v

yv

yu

xv

xw

z u

xv

yu

xu

J J T

21

21

21

21

21

21

21

21

Si può dimostrare che la matrice [Ω

] rappresenta (nell'ambito dell'ipotesi di spostamenti piccoli) laquota di U d

r

corrispondente alla rotazione rigida, contributo che non vogliamo considerare.


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20

I coefficienti della matrice [ε] rappresentano invece delle dilatazioni (termini sulla diagonale) o degliscorrimenti divisi per 2 (termini fuori diagonale), secondo le definizioni viste in precedenza; [ε]rappresenta quindi iltensore delle deformazioni , simmetrico e contenente 6 componenti diverse

x

u xx ∂

∂=ε xy yx xy x

v

y

u

γ =

∂∂

+∂∂

=ε=ε 21

21

yv

yy ∂∂=ε xz zx xz x

w z u γ =

∂∂+∂

∂=ε=ε21

21

z w

zz ∂∂=ε yz zy yz y

w z v γ =

∂∂+∂

∂=ε=ε21

21

Esso permette di calcolare lo spostamento infinitesimoU d r

dovuto alla sola deformazione del corpo,escludendo i contributi del moto rigido:

{ } [ ]{ }dX dU ε=

Le deformazioni, sia dilatazioni sia scorrimenti, sono dei numeri puri in quanto rappresentanorapporti di lunghezze (m/m); poiché i valori tipici sono molto piccoli (10-6 ÷ 10-3), per lavorare connumeri più comodi da rappresentare le si esprime talvolta (soprattutto nell'analisi sperimentale delledeformazioni) inµm/m.

3.3. Direzioni principali di deformazione

Analogamente al caso della tensione, anche il tensore della deformazione ammette 3 autovalori realie i corrispondenti autovettori; essi rappresentano ledeformazioni principali e le direzioni principali

di deformazione. Il significato fisico in questo caso è il seguente: segmenti orientati lungo direzioni principali si dilatano (allungandosi o accorciandosi) senza subire distorsioni (escludendo le rotazionirigide); inoltre, per ogni punto della struttura, la massima e la minima dilatazione principalecostituiscono la massima e la minima dilatazione possibile che un segmento può subire a secondadella sua l'orientazione.Anche per le deformazioni è possibile la rappresentazione grafica mediante cerchi di Mohr; in questocaso sugli assi si pongono la dilatazione e la metà dello scorrimento. Le procedure per la costruzionee l'utilizzo dei cerchi sono analoghe al caso delle tensioni.

3 ε

γ

12 εεε

2


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3.4. Relazione tra tensioni e deformazioni

I parametri che rappresentano gli stati di tensione e deformazione, cioè i coefficienti dei rispettivitensori, sono legati tra di loro dal comportamento del materiale. L'esperienza fisica ci mostra che sesi sottopone un materiale a degli sforzi questo si deforma, viceversa se si impone al materiale dideformarsi questo reagisce opponendo degli sforzi.Consideriamo ad esempio il caso di una molla sospesa verticalmente ad un estremo. Se (a)all'estremo libero si applica un carico assiale F questo presenta uno spostamentoδ, proporzionale alcarico stesso; se invece (b) si costringe l'estremo libero ad spostarsi di una quantitàδ la molla opponeuna forza resistente F proporzionale allo spostamento imposto. Inoltre si osserva che rimuovendo lacausa (carico applicato o spostamento imposto) l'effetto (spostamento sotto carico o forzaresistente) si annulla.Un comportamento di questo tipo è detto lineare elastico; si intende cioè che vi è una semplice leggelineare tra causa ed effetto e il fenomeno è inoltre reversibile.

F ∝δ

F k 1=δ

F δ

δ∝ F

δ=k F

Nel caso in esame la costante di proporzionalitàk costituisce la cosiddetta rigidezza della molla.Per caratterizzare dal punto di vista elastico il materiale, indipendentemente dalle caratteristichegeometriche della struttura, si deve studiarne il comportamento in termini di tensioni e deformazioni.Consideriamo un elemento infinitesimo di materiale e supponiamo di poter applicare su di esso lediverse componenti di tensione separatamente e di misurare le componenti di deformazione chenascono.

σ xx τ xyσ

xyτ yy

σ zz

x y

z yz τ

yz τ

xz τ

xz τ

Applicando la componenteσ xx si osserva che la deformazioneε xx risulta proporzionale alla tensione:

xx xx σ∝ε xx xx E

σ=ε 1


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La costante E è detta modulo elastico (o modulo di Young) e ha il significato fisico di rigidezza delmateriale; dimensionalmente essa costituisce una tensione (espressa solitamente in MPa o N/mm2).Applicando la sola componenteσ yy si osserva che la deformazioneε xx risulta proporzionale anche aquesta componente di tensione:

yy xx σ∝ε yy xx E σ ν−=ε

La costante ν è detta coefficiente di contrazione trasversale (o coefficiente di Poisson) e rappresentala "disponibilità" del materiale alla dilatazione in direzione perpendicolare a quella in cui agisce unatensione di tipo normale; dimensionalmente è un numero puro.Lo stesso comportamento si riscontra applicando la sola componenteσ zz :

zz xx σ∝ε zz xx E σ ν−=ε

Viceversa si riscontra che la deformazioneε xx è insensibile all'applicazione delle componenti ditensione tangenzialiτxy, τxz, τyz.Misurando le componenti di dilatazioneε yy, ε zz si riscontrano comportamenti analoghi (scambiandodebitamente gli indici degli assi) nei confronti delle diverse componenti di tensione.Applicando simultaneamenteσ xx, σ yy, σ zz , si osserva che vale la sovrapposizione degli effetti:

zz yy xx xx E E E σ ν−σ ν−σ=ε 1

Per quando riguarda gli scorrimenti, si osserva che ognuno di essi è proporzionale alla solacomponente di tensione tangenziale corrispondente (cioè con gli stessi indici); ad esempio:

xy xy τ∝γ xy xy G τ=γ 1La costanteG è detta modulo elastico a taglio e rappresenta la rigidezza del materiale rispetto alladeformazione per scorrimento; anche essa ha le dimensioni una tensione. Si può verificare cheG nonè indipendente dalle costanti E , ν del materiale ma è legata ad esse dalla relazione

( ) ν+= 12 E

G

Un materiale che presenta un comportamento del tipo descritto è definito, oltre che elastico lineare,isotropo , cioè le proprietà meccaniche sono le stesse in tutte le direzioni.Oltre alle tensioni, un'ulteriore causa di deformazione nei problemi strutturali è rappresentata dallatemperatura; questa provoca solo dilatazioni, uguali in tutte le direzioni, ma non causa scorrimenti:

T zz yy xx ∆α=ε=ε=εIl termineα costituisce ilcoefficiente di dilatazione termica del materiale, avente le dimensionidell'inverso di una temperatura (1/°C), mentre∆T è la variazione di temperatura del materialerispetto ad una configurazione di riferimento.Complessivamente la relazione fra tensioni e deformazioni, detta legge di Hooke, costituisce unsistema di 6 equazioni che legano le componentiε,γ alleσ,τ e alla variazione di temperatura∆T :


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τ=γ

τ=γ

τ=γ

∆α+σ+σ ν−σ ν−=ε

∆α+σ ν−σ+σ ν−=ε

∆α+σ ν−σ ν−σ+=ε

yz yz

xz xz

xy xy

zz yy xx zz

zz yy xx yy

zz yy xx xx

G

G

G

T E E E

T E E E

T E E E

1

1

11

1

1

Poiché leσ e ε sono disaccoppiate dalleτ e γ , se un sistema di riferimento è principale per le tensioniallora lo è anche per le deformazioni e viceversa; in coordinate principali la legge di Hooke si riducea:

∆α+σ+σ ν−σ ν−=ε

∆α+σ ν−σ+σ ν−=ε

∆α+σ ν−σ ν−σ+=ε

T E E E

T E E E

T E E E

3213

3212

3211

1

1

1

3.5. Energia di deformazione

E' noto dalla fisica che un corpo che si deforma sotto carico accumula energia potenziale in formaelastica; ad esempio nel caso di una molla l'energia accumulata è pari a

δ= F 21

E

F

δed è visualizzabile graficamente come area sottesa dalla retta nel diagramma forza-allungamento.Per calcolare l'energia elastica a livello di materiale, studiamo la deformazione di un elementoinfinitesimo. Consideriamo prima il caso in cui agisca la sola tensioneσ xx sulla faccia di areadydz , larisultante elementare vale:

dydz dF xx x σ=Lo spostamento elementare per cui tale tensione compie lavoro è dato da:

dxdu xxε=Si può quindi calcolare la corrispondente energia elastica:

dV dxdydz dudF d xx xx xx xx x εσ=εσ== 212121E


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Definiamo quindi l'energia di deformazione per unità di volumeη:

xx xxdV d εσ==η

21E

Considerando invece il caso in cui agisca la sola tensione tangenzialeτ xy sulle faccedxdz e dydz

questa genera le risultanti elementaridxdz dF xy x τ= dydz dF xy y τ=

I corrispondenti spostamenti per cui tale tensione compie lavoro sono dati dadydu xyε= dxdv xyε=

Anche in questo caso si calcola l'energia elastica:

( ) ( ) dV dxdydz dvdF dudF d xy xy xy xy xy xy y x γ τ=ετ+ετ=+= 21

21

21

E

mentre l'energia per unità di volume è:

xy xydV d

γ τ==η 21E

dF x du

dF x du

dF y

dv

In caso generale l'energia elastica di deformazione per unità di volume è ottenuta semplicementesommando i contributi di tutte le componenti (le tensioni normali non producono lavoro con glispostamenti dovuti agli scorrimenti, le tensioni tangenziali non producono lavoro con gli spostamentidovuti alle dilatazioni):

( ) yz yz xz xz xy xy zz zz yy yy xx xx γ τ+γ τ+γ τ+εσ+εσ+εσ=η 21

In coordinate principali l'espressione dell'energia assume la forma più compatta:

( )33221121 εσ+εσ+εσ=η


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4. CEDIMENTO STATICO DEI MATERIALI METALLICI

4.1. Prova di trazione

Il metodo più comune per valutare sperimentalmente le caratteristiche meccaniche di un materialestrutturale è rappresentato dalla prova di trazione . Essa consiste nel sottoporre una provetta(normalmente di forma cilindrica o prismatica) a carico di trazione assiale crescente, generalmentefino a produrne la rottura; durante la prova si registrano le coppie di valori carico-allungamento per costruire il relativo diagramma.L'esecuzione delle prove è regolata da norme dedicate che prescrivono i parametri geometrici delle provette, le modalità di applicazione del carico e i procedimenti per l'elaborazione dei risultati (v.UNI EN 10002 Materiali metallici – Prova di trazione).

Provette

Le provette da impiegare per le prove di trazione hanno forma e dimensioni unificate; ciò è dettatonon solo da motivi di ordine pratico (facilità di realizzazione delle provette, compatibilità con lemacchine di prova), ma anche dal fatto che i risultati ottenuti possono essere in una certa misurainfluenzati dalla geometria della provetta. La sezione delle provette può essere di tipo circolare (per materiale in barre) o rettangolare (lamiere); in entrambi i casi si distinguono: la parte calibrata, le dueteste di afferraggio e le due zone di raccordo.

La parte calibrata è la zona a sezione costante con dimensioni controllate (si impongono tolleranzedimensionali e di forma) e di lunghezza Lc, che viene utilizzata per le misure; nell'interno della zonacalibrata si tracciano due linee trasversali di riferimento distanti tra di loro L0. Le provette impiegatesono usualmente di tipo proporzionale, cioè soddisfano la condizione:

00 65.5 S L =che corrisponde ad un tratto calibrato di lunghezza pari a 5 diametri nel caso di sezione circolare.Le teste di afferraggio sono gli estremi della provetta, aventi sezione maggiore rispetto alla partecalibrata, che vengono afferrati dai morsetti della macchina per l'applicazione del carico di trazione.

Le zone di raccordo collegano la parte calibrata alle teste di afferraggio, evitando brusche variazionidi sezione.

Provetta a sezione piatta

L L

0c

tratto calibrato

teste di afferraggio zone di raccordo

S 0

Provetta a sezione circolare

L L

0c

tratto calibrato

teste di afferraggio zone di raccordo

S 0


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Macchine di prova

Le macchine di prova permettono di esercitare la trazione sulle provette, in modo controllato,misurando inoltre lo sforzo applicato e l'allungamento della provetta durante l'esame. L'architetturatipica della macchina comprende il basamento, due o più colonne-guide, la traversa mobile e imorsetti per l'afferraggio delle provette; il movimento della traversa è generato da viti di manovra(macchine ad azionamento meccanico) o da cilindri attuatori (macchine ad azionamento idraulico).Un morsetto è collegato al basamento, l'altro è solidale con la traversa mobile; lo spostamento diquest'ultima manda in trazione la provetta.

basamento

traversa mobile

morsetti

colonne

cella di carico

L'afferraggio della provetta è ottenuto di solito per mezzo di ganasce autoserranti a cunei, aventisuperfici piane per provette di lamiera e superfici concave per provette a sezione circolare; per le provette a sezione circolare e dotate di spallamenti si utilizzano attacchi a filiera (smontabili per consentire l'inserimento delle provette).


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A A Sez. A-A provette piatte

provette circolari

Attacchi a filiera

La misura della forza è ottenuta per mezzo di un apposito dinamometro (cella di carico) posto inserie sul sistema di applicazione della forza di trazione oppure, nel caso di macchine idrauliche,rilevando la pressione nel circuito.La misura dell'allungamento della provetta è eseguita in due modi diversi, a seconda della precisionerichiesta e dell'entità dell'allungamento stesso:• misurando lo spostamento della traversa mobile si rileva qualunque livello di allungamento (fino

all'eventuale rottura), ma la precisione non è elevata (errori dovuti ai giochi meccanici, alladeformabilità della traversa, ecc.);

• utilizzando unestensometro , apposito strumento che viene agganciato alla provetta e che misural'allontanamento tra due sezioni di riferimento, la precisione è molto elevata ma la corsamisurabile è breve (pochi mm), questa tecnica è quindi impiegata per misurare gli allungamentielastici che hanno piccola entità.

Comportamento dei materiali durante la provaLa risposta dei materiali metallici sottoposti a trazione è evidentemente assai diversa a seconda deltipo di materiale e dei trattamenti che questo ha subito, in termini sia qualitativi (tipi dicomportamento presentato) sia quantitativi (valori dei parametri caratteristici). Nel seguito sicercherà di illustrare i concetti fondamentali, cercando di classificare i comportamenti dal punto divista strutturale.E' necessario definire alcune grandezze che vengono impiegate per descrivere le caratteristichemeccaniche del materiale.

• Deformazione convenzionale : è il rapporto tra la variazione di lunghezza del tratto compreso trai due riferimenti e la lunghezza iniziale del tratto stessoε = ∆ L L/ 0

invece della deformazione frequentemente si utilizza l'allungamento percentuale:0/100 L L∆⋅

• Tensione convenzionale (o carico unitario): è il rapporto tra la forza di trazione applicata e l'areainiziale della sezione retta del tratto calibrato

σ = F S / 0• Carico di scostamento dalla proporzionalità (totale o unitario): è il carico al quale corrisponde

un allungamento non proporzionale pari alla percentuale p della distanza tra ai riferimenti; ad


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esempio F p0,2 (e, analogamente, R p0,2= F p0,2/S 0) è il carico che determina un allungamento aventeuna quota non proporzionale pari allo 0,2% della distanza tra i riferimenti.

Durante la prova la sezione retta del provino è sollecitata dall'unica componente di tensione perpendicolareσ e tale tensione è principale, inoltre le due restanti tensioni principali sono nulle e ilmateriale è quindi in condizioni di tensione monoassiale.I dati rilevati nel corso della prova sono riportati su un diagramma forza-allungamento o, dividendola prima per la sezione iniziale del tratto calibrato, tensione-allungamento. Nella fase iniziale della prova, finché il carico si mantiene sufficientemente basso, il comportamentodel materiale èelastico e il corrispondente tratto del diagramma è lineare. La pendenza di tale rettanel diagrammaσ- ε rappresenta il modulo elastico E .Continuando ad esercitare la trazione sulla provetta si arriva ad un certo livello per il quale la forza el'allungamento cessano di essere proporzionali e il diagramma si scosta dalla linearità; da questo

punto in poi il comportamento si differenzia a seconda del tipo di materiale in esame.Per alcuni materiali, come gli acciai a basso contenuto di carbonio, ciò è particolarmente evidente: laforza cessa improvvisamente di salire (addirittura decresce leggermente) mentre la provetta continuaad allungarsi. Il fenomeno è detto snervamento , esso segna la fine del comportamento elastico delmateriale e l'inizio delle deformazioni plastiche permanenti; si definisce carico di snervamentosuperiore F eH il valore di picco della forza di trazione corrispondente alla fine del comportamentoelastico, mentre il carico di snervamento inferiore F eL è il valore a cui la forza scende (assestandosidopo alcune oscillazioni) quando il fenomeno si è manifestato.

Successivamente, continuando a esercitare la trazione sulla provetta la forza riprende a salire, ma con pendenza molto inferiore a quella del tratto elastico: siamo nella fase delle deformazioni plasticheaventi entità assai superiore di quelle elastiche. In tale fase il volume del materiale si mantieneapprossimativamente costante, quindi l'allungamento è compensato da una contrazione trasversale. Ilfatto che la forza continui a salire, malgrado la riduzione della sezione, indica che il carico unitario(cioè la tensione) necessario per deformare il materiale cresce in misura tale da compensare la perditadi sezione resistente: tale fenomeno è noto comeincrudimento . Questo comportamento proseguefinché la curva presenta un massimo F m, detto anchecarico di rottura ; da questo punto in poi si lariduzione della sezione si verifica in una zona localizzata, tale fenomeno è noto come strizione . Laforza necessaria ad allungare ulteriormente la provetta diminuisce perché l'incrudimento del materialenon basta più a compensare la riduzione di sezione. Infine la provetta si rompe, dividendosi in due parti in corrispondenza della sezione ristretta.


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F eH F eL

F

(%)

F m

rottura

deform. plast. uniforme

deform. plast. localizzata

allungamento

Per altri materiali, come ad esempio gli acciai a medio contenuto di carbonio, il fenomeno dellosnervamento non è più evidente, ma si osserva semplicemente una progressiva deviazione dalla

linearità; in questo caso, invece del carico di snervamento F eH si determina il carico di scostamentodalla proporzionalità, di solito allo 0,2%: F p0,2. La procedura consiste nel tracciare la retta parallela altratto elastico del diagramma e distante in orizzontale 0,2%; l'intersezione con la curva fornisce ilvalore di F p0,2. Col procedere della prova si osservano anche in questo caso la crescita della curvadovuta all'incrudimento e il successivo calo dovuto alla strizione.

F p0,2

F

(%)allungamento

F m

0,2%

deform. plast. uniforme

deform. plast. localizzata

rottura

Per alcuni materiali, come ad esempio le ghise grigie, la fase delle deformazioni plastiche è assente o praticamente trascurabile; la rottura si manifesta immediatamente alla fine del tratto elastico della

curva. F

(%)allungamento

F m

rottura


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Per tutti i materiali duttili si osserva inoltre che se il carico viene rilasciato durante la deformazione plastica il diagramma relativo allo scarico è lineare e parallelo alla retta che descrive l'andamentoelastico iniziale; di conseguenza la provetta non riassume la lunghezza originale ma presenta unallungamento residuo. Se si applica nuovamente il carico il diagramma è lo stesso segmento fino allivello massimo di carico che era stato raggiunto in precedenza, da questo punto in poi viene dinuovo seguita la curva relativa alla fase plastica del materiale, come se lo scarico non fosse avvenuto.Si osserva quindi che un materiale che ha subito un certo livello di deformazione plastica presentauna fase elastica più ampia.

F

(%)allungamentoallungamentoresiduo

Come già anticipato nelle definizioni, il passaggio dai valori caratteristici di forza (carico) a quellicorrispondenti di tensione (carico unitario) avviene semplicemente dividendo per l'area inizialeS 0

della provetta:carico unitario di snervamento superiore ReH = F eH / S 0carico unitario di snervamento inferiore ReL = F eL / S 0carico unitario di rottura Rm = F m / S 0

E' evidente che tali definizioni hanno valore convenzionale; in particolare il carico unitario di rotturaviene definito dividendo la forza massima misurata durante la prova per un valore di area che non èquello su cui essa agisce, ma è il valore della sezione indeformata. Il tratto decrescente della curva,corrispondente alla strizione della provetta, non è in pratica utilizzabile in quanto lo stato di tensione

diventa triassiale e, inoltre, la tensione assiale non è uniforme sulla sezione.Riaccostando i due spezzoni della provetta si può misurare la lunghezza finale Lu tra i due riferimentitracciati prima della prova a distanza L0; si definisce la grandezza seguente:

allungamento dopo rottura (%) A = 100⋅( Lu - L0)/ L0Si definisconoduttili quei materiali che presentano elevata deformazione plastica prima della rottura,

fragili quelli che presentano deformazione plastica limitata; poiché la deformazione plasticadetermina il valore della lunghezza finale dopo rottura Lu , si può eseguire una distinzione di massimain base all'entità dell'allungamento dopo rottura:

A > 10%: materiali duttili A < 5%: materiali fragili


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Per valori di A compresi tra 5% e 10% si osserva un comportamento intermedio tra fragilità eduttilità.La tabella seguente riporta, a titolo di esempio, i valori tipici delle caratteristiche di resistenza per alcuni materiali ferrosi utilizzati nelle costruzioni meccaniche; dati completi per le diverse tipologie dimateriali possono essere trovati nelle corrispondenti tabelle UNI.

Materiale ReH ( R 0 2)(MPa)

Rm(MPa)

A

%acciai per carpenteria S235 ≥ 235 ≥ 360 ≥ 26

S275 ≥ 275 ≥ 430 ≥ 23S355 ≥ 355 ≥ 510 ≥ 21

acciai da bonifica C30 325 540 20C40 370 590 18

41Cr4 540 740 1439NiCrMo3 540 740 13

ghise grigie GJL-100 - 100 -GJL-200 - 200 -GJL-300 - 300 -

ghise sferoidali GJS-350-22 230 350 22GS-500-7 370 500 7GS-700-2 420 700 2

Dall'esame della tabella si osserva che per gli acciai le caratteristiche di resistenza (carichi unitari disnervamento e di rottura) sono in generale inversamente proporzionali all'allungamento a rottura,

inoltre per gli acciai ad alta resistenza il limite di snervamento è (proporzionalmente) più vicino aquello di rottura che per gli acciai a bassa resistenza.

4.2. Ipotesi di cedimento

I dati relativi alla resistenza dei materiali ottenuti mediante la prova di trazione corrispondono alcedimento in condizioni di tensione monoassiale. In generale ogni punto di un elemento di macchina può essere soggetto ad uno stato di tensione pluriassiale, definito dal tensore delle tensioni cartesiane[σ] o dalle tensioni principaliσ1, σ2, σ3. Al fine di stabilire se lo stato di tensione agente nel punto

considerato è compatibile con la resistenza del materiale si pone quindi il problema di definire ununico valore (scalare) equivalente, da confrontare con il valore che esprime il limite caratteristico delmateriale.Si deve cioè definire una tensione, dettaideale o equivalente , funzione delle 3 tensioni principalieffettivamente agenti e che equivalga dal punto di vista del pericolo di cedimento allo stato ditensione vero:

( )321 ,, σσσ=σ f id Tale funzione non è univoca e dipende dal comportamento tipico del materiale; per la suadeterminazione si deve analizzare più dettagliatamente ciò che si verifica nel materiale in condizionidi cedimento.


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Il differente comportamento, duttile o fragile, del materiale durante la prova di trazione corrispondeai diversi fenomeni che si producono nel materiale quando la sollecitazione cresce. Nel caso dei materiali fragili il cedimento consiste nella perdita di coesione fra gli atomi del reticolocristallino del metallo, fenomeno che porta al distacco frontale del materiale. L'intuizione fisica ci porta a presumere che tale distacco si verifichi per effetto delle tensioni di tipo normale (σ), taleipotesi è confermata sperimentalmente dal fatto che le superfici di rottura a trazione di materiali diquesto tipo sono perpendicolari alla direzione della forza. Nel caso dei materiali duttili il cedimento che mette fine al comportamento elastico è causato dalloscorrimento dei piani cristallini, che si verifica su piani inclinati di circa 45° rispetto alla direzione diapplicazione della forza dove le tensioni di tipo tangenziale (τ) sono massime. Esaminando lesuperfici di rottura a trazione di un materiale di questo tipo si riscontra infatti che esse, almeno nellazona esterna del provino, sono inclinate dell'angolo suddetto rispetto alla direzione della forza.

σ σ

materiali fragili: decoesione frontale

σ σ

materiali duttili: scorrimento plastico

Numerose ipotesi di cedimento sono state proposte dai ricercatori che si sono occupati di resistenzadei materiali; in questa trattazione ci si limiterà a presentare quelle più comunemente adottate per imateriali metallici impiegati nelle costruzioni meccaniche.

Ipotesi della massima tensione normale (Galileo, Rankine)Si suppone che il materiale ceda quando la massima delle tensioni principali, che è la massimatensione normale tra quelle agenti sugli infiniti piani passanti per il punto in cui si esegue la verifica,raggiunge un valore limite:

σid = σ1Per quanto discusso in precedenza, questa ipotesi risulta applicabile ai materiali che presentanocomportamento fragile.

Ipotesi della massima tensione tangenziale (Tresca, Guest)

L'ipotesi è applicabile ai materiali di tipo duttile. Si suppone che il materiale ceda, nel senso diiniziare a deformarsi plasticamente, quando la massima tensione tangenziale tra quelle agenti sugliinfiniti piani passanti per il punto in cui si esegue la verifica raggiunge un valore limite.Dall'esame dei cerchi di Mohr si ricava immediatamente che la tensione tangenziale massima è ilraggio del maggiore dei cerchi e vale:

231

maxσ−σ=τ


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33

σ3 σ

τ

1σσ2

maxτ

limiti di cedimento

Nel caso dello stato di tensione monoassiale che si ha nella prova di trazione, due cerchi di Mohr

coincidono e il terzo degenera in un punto; la massima tensione tangenziale vale quindi:

2max,id

id σ=τ

Confrontando le due espressioni si ottiene:31 σ−σ=σid

Si noti che secondo questa ipotesi la tensione principale intermedia non influisce sul valore dellatensione ideale; inoltre se a tutte le tensioni principali si aggiunge una costante (cosa che corrispondea traslare orizzontalmente i cerchi di Mohr) il valore della tensione ideale non cambia.

Ipotesi dell'energia di distorsione (Huber, Hencky, Von Mises)Anche questa ipotesi è applicabile ai materiali di tipo duttile. Si suppone che il materiale inizi adeformarsi plasticamente quando la quota di energia potenziale elastica di deformazione (cfr. §3.5.)che corrisponde al puro cambiamento di forma (distorsione) raggiunge un valore critico.

σ3 σ

τ

1σσ2

cτbττa

Si può dimostrare che l'energiaD corrispondente alla pura distorsione del materiale è data dallasemisomma dei tre prodotti delle tensioni tangenziali massime per le corrispondenti deformazioni:

( )ccbbaa γ τ+γ τ+γ τ2

1=D

Per la legge di Hookeγ = τ/G e quindi:


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34

( )22221= cbaG

τ+τ+τD

Esprimendo le tensioni tangenziali massime in funzione di quelle principali si ottiene:

σ−σ+

σ−σ+

σ−σ=

231

232

221

2222

1G

D

Nel caso della prova di trazione due tensioni tangenziali massime coincidono e la restante è nulla:

σ=

−σ+

−+

−σ=

2222

22

21

20

200

20

21 id id id

GGD

Confrontando le due espressioni si ottiene:

( ) ( ) ( )2312

322

2121 σ−σ+σ−σ+σ−σ=σid

Questa ipotesi tiene conto del contributo da parte di tutte le tre tensioni principali; anche in questocaso se a tutte le tensioni principali si aggiunge una costante il valore della tensione ideale noncambia, ciò è giustificato dal fatto che in questo modo si aggiungerebbe energia di deformazioneassociata ad un cambiamento di volume ma non di forma.

Confronto tra le ipotesi della massima tensione tangenziale e dell'energia di distorsione

Poiché entrambe le ipotesi suddette sono state formulate per rappresentare il cedimento dei materialiduttili, si pone il problema di valutare di quanto esse differiscano e di stabilire quale delle due sia piùadeguata a rappresentare le condizioni limite.

Un confronto diretto tra le due ipotesi può essere eseguito in forma grafica considerando uno spaziocartesiano in cui le coordinate rappresentano i valori assunti dalle tensioni principali. In questo spazioad ogni ipotesi corrisponde una superficie limite; se il punto rappresentativo dello stato di tensionesta all'interno di tale superficie non si verifica il cedimento, se sta all'esterno il materiale cede. Diconseguenza, a parità di resistenza del materiale, un'ipotesi è tanto più cautelativa quanto più la zonaammessa è limitata. Adottando questa rappresentazione si trova che:• l'ipotesi dell'energia di distorsione corrisponde ad un cilindro, il cui asse è la retta trisettrice dello

spazio avente come coordinate le tensioni principali e la cui sezione ha forma circolare;

• l'ipotesi della massima tensione tangenziale corrisponde ad un cilindro, il cui asse è la rettatrisettrice dello spazio avente come coordinate le tensioni principali e la cui sezione ha formaesagonale.

Una situazione di particolare interesse dal punto di vista applicativo è quella ditensione piana in cuiuna delle tensioni principali è uguale a zero; tale è lo stato di sollecitazione che si verifica ad esempionegli alberi, nei dischi, nelle piastre, nei gusci e sulla superficie di tutti elementi strutturali.Graficamente, in un piano cartesiano avente per coordinate le due restanti tensioni principali4 σa e σb,

4Come già fatto in un caso precedente, si adotta questa notazione perché i simboliσ1, σ2, σ3 corrispondono ai valoriordinati in senso decrescente.


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i limiti corrispondenti alle due ipotesi di rottura sono rappresentati da un'ellisse per l'energia didistorsione e da un esagono per la massima tensione tangenziale.

σb

σa

σ = σ1 b

σ = σ2 aσ = 03 σ = σ1 aσ = σ2 bσ = 03

σ = σ1 aσ = 02σ = σ

3 b

σ = σ1 bσ = 02σ = σ3 a

σ = 01σ = σ2 aσ = σ3 b

σ = 01σ = σ2 bσ = σ3 a

Dal confronto grafico si deduce che la curva limite corrispondente alla massima tensione tangenzialeè completamente inscritta in quella corrispondente all'energia di distorsione, la prima ipotesi risultaquindi più cautelativa. La discrepanza tra le due curve è in generale abbastanza limitata; essecoincidono quandoσa=0 o σb=0 e perσa= σb; la massima differenza si verifica perσa= - σ b e in talicondizioni si verifica che

866.023

)max(dist.)en.( ==

τσσ

id

id

Sperimentalmente si osserva che i punti di cedimento ottenuti esercitando contemporaneamentetensione su due direzioni si dispongono approssimativamente in posizione intermedia tra le curvecorrispondenti alle due ipotesi.Si può quindi concludere che la scelta dell'una o dell'altra ipotesi viene effettuata principalmente per motivi di comodità. L'ipotesi dell'energia di distorsione porta a un'unica formula, valida in ogni caso,che però presenta lo svantaggio di essere non-lineare nelle tensioni; l'ipotesi della massima tensionetangenziale presenta il vantaggio di essere lineare, ma l'equazione della superficie limite non è unicain quanto questa consta di diversi segmenti.

4.3. Coefficiente di sicurezza di una struttura

Per quanto esposto finora la resistenza strutturale di un componente risulta verificata quando in tuttii suoi punti (e in particolare in quello più sollecitato) la tensione ideale (che, come già detto,rappresenta con un unico numero le tensioni applicate nel punto) è inferiore alla tensione limite delmateriale:

σid ≤ σlim


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La tensione limite che si assume per il materiale corrisponde al carico unitario di rottura nel caso dimateriale fragile e al carico unitario di snervamento nel caso di materiale duttile. Quest'ultimaassunzione è motivata dal fatto che in un componente meccanico non è accettabile che si producasnervamento; infatti anche se non avviene la rottura il cambiamento permanente di forma associatoalle deformazioni plastiche potrebbe essere incompatibile col funzionamento.Affinché l'elemento strutturale operi con sufficiente sicurezza la diseguaglianza precedente deveessere soddisfatta con un certo margine; si deve infatti considerare che:• i carichi applicati possono essere soggetti a incertezze di tipo statistico, inoltre si potrebbero

presentare condizioni di carico non previste in sede di progetto;• anche le caratteristiche di resistenza del materiale, essendo frutto dei procedimenti di

fabbricazione, sono soggette a incertezze di tipo statistico;• i valori delle tensioni agenti che si considerano sono in generale ottenuti per mezzo di modelli

teorici di calcolo, più o meno affetti da approssimazioni.Per tenere conto di questi fattori si deve confrontare la tensione ideale (che, come già detto,rappresenta con un unico numero le tensioni applicate nel punto) con la cosiddettatensioneammissibile σamm , pari alla tensione limite del materiale divisa per un numeroC S , maggiore di uno,detto coefficiente (o fattore) di sicurezza5:

S limammid C σ=σ≤σI valori diC S sono di solito imposti dalle norme che regolano i diversi settori applicativi (es.:strutture in carpenteria metallica, recipienti in pressione, apparecchi di sollevamento); tali valori sono

stati scelti principalmente in base all'esperienza specifica nei vari settori delle costruzioni, tenendoinoltre conto delle caratteristiche della struttura e delle perdite (in termini economici e umani)causate da un eventuale raggiungimento delle condizioni limite. Ad esempio, valori tipici diC S sono:1.5 per elementi sollecitati staticamente, 3 per elementi soggetti a sollecitazioni variabili nel tempo(di "fatica"), per le quali l'incertezza di comportamento è più elevata, e addirittura 10 nel caso dellefuni, per le quali il calcolo è estremamente incerto.Si deve ancora osservare che il comportamento duttile contiene un margine di sicurezza intrinseco, inquanto se si supera la tensione limiteσlim si produce snervamento ma il componente non si spezza edè ancora in grado di sopportare carichi superiori, pur deformandosi in modo irreversibile. Viceversanel caso di comportamento fragile il raggiungimento della condizione limite comporta la rottura delcomponente, con effetti potenzialmente più gravi. Di conseguenza i coefficienti di sicurezza daadottare nel caso di materiale fragile dovranno essere opportunamente più elevati che nel caso dimateriale duttile.

5Un approccio più moderno e corretto consiste nel valutare le distribuzioni statistiche del carico applicato e dellaresistenza del materiale; da esse si può stimare la probabilità di rottura, che viene limitata al valore desiderato.


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5. RICHIAMI DI GEOMETRIA DELLE AREE

5.1. Definizioni

E' necessario definire alcune grandezze caratteristiche, che descrivono le proprietà geometrichedell'area della sezione di un elemento strutturale e che saranno utilizzate nel seguito della trattazione.Considerando una figura nel piano, preso un generico riferimento xy si definiscono le seguentigrandezze:

area ∫ = AdA Amomenti statici ∫ = A x ydAS ∫ = A y xdAS momenti d'inerzia ∫ = A xx dA y J 2 ∫ = A yy dA x J 2momento d'inerzia polare ( )∫ += A p dA y x J 22momento centrifugo ∫ = A xy xydA J

Trattandosi di momenti riferiti adaree (e non a masse) le dimensioni fisiche sono di una lunghezza alcubo per i momenti statici e di una lunghezza alla quarta per i momenti d'inerzia.La conoscenza dei momenti statici permette di calcolare la posizione del baricentroG della sezione:

A

S x

yG = A

S y xG =

x

y

G

x G

G y

Se l'origine del sistema di riferimento si trova nel baricentro della sezione gli assi sono detticentrali(ovviamente in tale caso le coordinate diG sono nulle). Si dimostra inoltre che se la figura ammetteun asse di simmetria il baricentro deve trovarsi su tale asse, infatti il momento statico della metàfigura che si trova da un lato dell'asse ha modulo uguale e segno opposto a quello della rimanentemetà e il momento statico complessivo è nullo; se gli assi di simmetria sono due il baricentro si trovain corrispondenza della loro intersezione.


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5.2. Figure composte

Nelle applicazioni pratiche si incontrano spesso casi in cui la sezione dell'elemento strutturale che siconsidera è una figura composta da parti semplici, le cui caratteristiche sono già note o facilmentedeterminabili.Consideriamo allora un sistema di riferimento xy globale , cioè relativo a tutta la figura, mentreξiηisono i riferimenticentrali delle singole parti. Valgono le seguenti relazioni:

area A Aii=∑( Ai area della partei-esima)

momenti statici ∑= i ii x A yS ∑= i ii x A xS ( xi, yi coordinate globali del baricentro della partei-esima)

momenti d'inerzia ∑ ξξ+= i ii xx ii J A y J 2

∑ ηη+= i ii yy ii J A x J 2

( J ξiξi, J ηiηi momenti d'inerzia della partei-esima rispetto agli assi locali)

momento centrifugo ( )∑ ηξ+= i iii xy ii J A y x J ( J ξiηi, momento centrifugo della partei-esima rispetto agli assi locali)

Le formule precedenti esprimono la semplice proprietà additiva delle aree e dei momenti, con unadistinzione:• per quanto riguarda le aree, i contributi delle singole parti vengono semplicemente sommati par

formare l'area totale della figura;• per quanto riguarda i momenti, è necessario esprimere il termine dovuto a ogni singola parte nel

sistema di riferimento globale xy, successivamente i contributi delle singole parti possono esseresommati.

Nel caso dei momenti statici, i valori corrispondenti alle singole parti espressi nei sistemi diriferimento locali sono nulli, perché tali sistemi sono (per ipotesi) centrali; rimangono soltanto ivalori "di trasporto" xi Ai e yi Ai che permettono di esprimere tutti i contributi nello stesso riferimentoglobale in cui si può eseguire la somma. Nel caso dei momenti d'inerzia e centrifugo, i termini espressi nei sistemi di riferimento locali J ξiξi, J ηiηi, J ξiηi vengono corretti con i valori "di trasporto" xi2 Ai, yi2 Ai, xi yi Ai (formula di Huygens) che permettono di esprimere tutti i contributi nello stesso riferimento globale in cui si può eseguire lasomma.La tabella seguente riporta i valori dei momenti d'inerzia per alcune figure elementari, di utilizzofrequente nel calcolo di elementi di macchine.


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5.3. Rotazione degli assi

Si può dimostrare che i momenti d'inerzia e centrifughi di una figura piana rappresentano i

coefficienti di un tensore [ J ], simmetrico 2×2, costruito nella maniera seguente:[ ] −

−=

yy xy

xy xx

J J

J J J

Analogamente a quanto visto in precedenza per i tensori delle tensioni e delle deformazioni, anche inquesto caso esiste un sistema di riferimento privilegiato, avente stessa origine di xy e assi ruotati, taleche calcolando i momenti rispetto ai suoi assi, detti principali d'inerzia , il tensore diventa diagonale:

2

1

00

J

J

E' utile calcolare i valori che assumono i momenti d'inerzia J xx, J yy e centrifugo J xy in un sistema diriferimento xy ruotato del generico angoloα rispetto al riferimento principale p1 p2.

Figura Momento d'inerzia Schema

rettangolo J bhξξ =3

12ξ

b

h

triangolo J bhξξ =3

12

ξb

h

cerchio J r d ξξ π π= =4 4

4 64

ξ

r d=2r

semicerchio J r d ξξ π π= =4 4

8 128ξ

r d=2r


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40

x

y

1

α

α

p

2 p

La relazione tra le coordinate x, y e quelle p1, p2 è data da:

α+α−=

α+α=cossen

sencos21

21

p p y

p p x

I momenti d'inerzia e centrifugo nel riferimento xy valgono, per definizione:

∫ = A xx dA y J 2 ∫ = A yy dA x J 2 ∫ = A xy xydA J Sostituendo le espressioni per x e y in funzione di p1 e p2 nelle definizioni dei momenti si ottiene:

( )

( )

( )( )

α−α++αα−αα=α+α−α+α=

αα+α+α=α+α=

αα−α+α=α+α−=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

A A

A A A xy

A A A A yy

A A A A xx

dA p pdA p p

dA pdA pdA p p p p J

dA p pdA pdA pdA p p J

dA p pdA pdA pdA p p J

212

212

21

222121

212

122

222

21

212

122

222

21

sencos

sencossencoscossensencos

sencos2cossensencos

sencos2sencoscossen

Ricordando che il riferimento p1 p2 è principale le relazioni precedenti si riducono a:

αα−αα=α+α=α+α=

sencossencoscossensencos

21

22

21

22

21

J J J

J J J

J J J

xy

yy

xx

E' conveniente esprimere le funzioni trigonometriche in funzione dell'angolo 2α:2

2cos1sen2 α−=α2

2cos1cos2 α+=α22sencossen α=αα

Sostituendo nelle equazioni precedenti e mettendo in evidenza i momenti J 1, J 2 si ottengono lerelazioni seguenti:

α−=

α−−+=

α−++=

2sen2

2cos22

2cos22

21

2121

2121

J J J

J J J J J

J J J J J

xy

yy

xx


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41

Si verifica agevolmente che in un piano cartesiano in cui l'ascissa è il momento d'inerzia J i e l'ordinatail momento centrifugo J c, i punti di coordinate ( J xx, J xy) e ( J yy, - J xy) stanno su una circonferenza, in posizioni diametralmente opposte.Si è infatti ottenuto il cerchio di Mohr per i momenti d'inerzia, che rappresenta i valori assunti daimomenti d'inerzia e centrifugo al ruotare del sistema di riferimento generico xy rispetto al sistema principale p1 p2 .

1 J 2 J i J

c J

2α

( xx J xy , J )

( yy J xy , -J )

Le intersezioni del cerchio con l'asse orizzontale hanno ascisse pari ai momenti principali d'inerzia J 1e J 2, che rappresentano rispettivamente il massimo e il minimo fra tutti i momenti d'inerzia calcolabilial ruotare dell'asse di riferimento.Se la figura presenta un asse di simmetria, sicuramente questo è uno degli assi principali d'inerzia.Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale ha anche l'origine nel baricentro gli assi sonodetticentrali principali ; è questo il tipo di riferimento più utilizzato nei problemi strutturali.In pratica, la determinazione dei momenti principali d'inerzia e dei relativi assi avviene mediante la procedura seguente:• nel generico riferimento xy si calcolano i momenti d'inerzia J xx, J yy e centrifugo J xy;• si calcolano i momenti d'inerzia principali J 1 e J 2, con le formule

22

1 22 xy yy xx yy xx J

J J J J J +

−+

+= 2

2

2 22 xy yy xx yy xx J

J J J J J +

−−

+= ;

• si ottiene l'angoloα tra l'asse principale p1 e l'asse x dalla relazione

yy xx

xy

J J

J

−=α2

2tan

Per determinare il segno dell'angoloα si devono considerare i valori di J xx, J yy e J xy; si possono presentare i casi illustrati negli schemi seguenti:


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42

Un procedimento alternativo per determinazione del riferimento principale consiste nel calcolareautovalori e autovettori della matrice [ J ]: i momenti principali J 1, J 2 sono dati dai due autovaloriλ1,λ2; le direzioni degli assi principali d'inerzia p1, p2 sono definite dagli autovettori {v1}, {v2}, come

mostrato in figura.

x

y

p 1

p2

v1v 2

J xy > 0 J xx ≥ J yy J xx ≤ J yy

1 J 2 J i J

c J

2α

( xx

J xy

, J )

( yy J xy , -J )

1 J 2 J i J

c J

2α(

xx J

xy , J )

( yy J xy , -J )

0° < α ≤ 45° 45°≤ α < 90°

J xy < 0 J xx ≥ J yy J xx ≤ J yy

1 J 2 J i J

c J

2α

( xx

J xy

, J )

( yy J xy , -J )

1 J 2 J i J

c J

2α

( xx J xy , J )

( yy J xy , -J )

-45°≤ α < 0° -90°


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6. SOLIDO DI SAINT VENANT

La determinazione per via analitica degli stati di deformazione e tensione nei punti dei corpisollecitati è possibile solo per alcuni tipi di elementi strutturali. Tra di essi un posto di primo pianospetta al cosiddetto solido di Saint Venant6, che fornisce la soluzione per elementi di tipomonodimensionale, cioè dotati di una dimensione molto maggiore delle altre due. A questo modellodi calcolo si possono ricondurre molti elementi strutturali di comune impiego, come ad esempio letravi dei telai, gli alberi delle macchine, ecc.

6.1. Ipotesi

Si devono formulare alcune ipotesi di partenza sulle caratteristiche del solido e sulle sue condizioni dicarico e vincolo:• il solido è un cilindro ottenuto per traslazione di una figura piana in direzione della propria

normale, l'estensione in tale direzione è molto maggiore delle dimensioni nel piano della figurageneratrice;

• carichi e vincoli sono applicati solo in corrispondenza delle basi;• in tutto il solido il materiale è elastico, omogeneo, isotropo.

x

y

z

Si sceglie un sistema di riferimento cartesiano xyz avente gli assi x e y contenuti nel piano della figurache genera il solido e l'origine posta nel baricentro di quest'ultima; l'asse z rappresenta la traiettoriadel baricentro durante il moto di generazione e costituisce la cosiddettalinea d'asse del solido.Evidentemente tutte le sezioni normali all'asse z sono sezioni rette del solido e sono tutte identichealla figura generatrice.A causa dell'assenza di carichi applicati sulla superficie cilindrica e delle limitate dimensionitrasversali si può ammettere che:

σ xx = 0 σ yy = 0 τ xy = 0Possono invece essere presenti le tensioni:

σ zz τ xz τ yz

6Adhémar Jean Claude Barré de Saint Venant (Villiers-en-Brie 1797 - St. Ouen 1886); suo è il merito di aver sistematizzato le soluzioni relative alle sollecitazioni nel solido prismatico.


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6.2. Caratteristiche di sollecitazione

Consideriamo la generica sezione retta (cioè normale all'asse z ) del solido di Saint Venant; su di essaagiscono le componenti di tensioneσ zz , τ xz , τ yz la cui distribuzione deve essere calcolata per le possibili condizioni di sollecitazione. Indipendentemente dalla distribuzione delle tensioni, è lecitosostituire a quest'ultima un insieme di forze e momenti staticamente equivalenti; si definiscono quindile cosiddettecaratteristiche di sollecitazione della sezione:

forza normale ∫ σ= A

zz dA N

tagli ∫ τ= A

xz x dAT ∫ τ= A

yz y dAT

momenti flettenti ∫ σ= A

zz x ydA M ∫ σ−= A

zz y xdA M

momento torcente ( )∫ τ−τ= A xz yz z dA y x M Le definizioni della forza normale N e dei tagliT x, T y rappresentano semplicemente le ris

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