Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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Politecnico di Milano Corso di laurea in Disegno Industriale Anno 2001-2002 Corso: MATERIALI PER IL DESIGN 1 Anno 2001-2002 LUCIDI Prof. Alberto Cigada Comportamento meccanico dei materiali

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Politecnico di Milano Corso di laurea in Disegno Industriale

Anno 2001-2002

Corso: MATERIALI PER IL DESIGN 1

Anno 2001-2002

LUCIDI

Prof. Alberto Cigada

Comportamento meccanico dei materiali

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OBIETTIVO Conoscendo:

forze agenti dimensioni di un oggetto

vogliamo essere in grado di calcolare: sforzi agenti deformazioni conseguenti e conseguentemente verificare: se l’oggetto si rompe oppure no se si deforma in modo eccessivo o no

Esempi: • quanto deve essere spessa la lastra di seduta di una

panchina di marmo perché non si rompa se ci salgono 10 persone?

• quanto peso è in grado di reggere un tassello a espansione senza rompersi?

• quanto deve essere lo spessore dello schienale di una sedia, perché non si pieghi eccessivamente se mi ci appoggio scompostamente?

• di che materiale devo fare la mensola di una libreria di 4 millimetri di spessore perché una volta carica di libri non si fletta eccessivamente?

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FORZA Una forza è definita come il prodotto di una massa per una accelerazione

F = m.a Esempio: • il peso di una persona è la forza che la persona, dotata di

una certa massa, esercita sulla bilancia a seguito della attrazione di gravità, che sulla superficie terrestre determina una accelerazione di 9,81 m/s2

• a seguito della più bassa attrazione di gravità, sulla luna la stessa massa determinerebbe una forza inferiore

• a pari attrazione di gravità, la forza (il peso) è direttamente proporzionale alla massa

massa di 70 kg

sulla terra: forzadi 70 kgf

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VETTORE FORZA Essendo l’accelerazione vettoriale, anche la forza è una grandezza vettoriale caratterizzato da: • modulo • direzione • verso

MODULO: indica la grandezza di un vettore in una

opportuna unità di misura (peso della persona) DIREZIONE: definisce la retta secondo la quale il vettore è

disposto nello spazio (retta che congiunge la persona al centro della terra)

VERSO: indica il senso di percorrenza lungo la retta di azione (verso il centro della terra)

70 kgf 40 kgf

60 kgf

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UNITA’ DI MISURA MASSA: kgm = chilogrammo massa

• massa di un decimetro cubo di acqua distillata a 4°C

FORZA: Vecchia unità di misura: kgf = chilogrammo forza

• peso di 1 kg massa sulla terra • forza esercitata da 1 kg massa a seguito

dell’attrazione di gravità sulla terra • forza che applicata a 1 kg massa determina

un’accelerazione di 9,81 m/s2 Nuova unità di misura: N = Newton

• peso di 1 kg massa su un satellite più piccolo della luna

• forza che applicata 1 kg massa determina un’accelerazione di 1 m/s2

Per passare dai kgf ai N è necessario moltiplicare per 9,81 Per passare dai N ai kgf è necessario dividere per 9,81

ESERCIZI

• quanto fa in N un etto di cotto? • quanto pesa il docente in N?

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FORZA RISULTANTE Essendo le forze dei vettori, ad esse possono essere applicate le legge di calcolo vettoriale I vettori possono cioè essere tra loro: • sommati • sottratti • moltiplicati (in modo scalare o vettoriale) In caso di presenza di più forze giacenti in un unico piano applicate ad un corpo rigido è possibile calcolare: • forza risultante Esamineremo solo casi di forze giacenti su un unico piano: • forze convergenti: metodo grafico • forze convergenti: metodo analitico • forze non convergenti: metodo grafico • forze parallele distribuite

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FORZE CONVERGENTI: metodo grafico

In presenza di due o più forze tra loro convergenti giacenti in un piano si può utilizzare il metodo del poligono chiuso delle forze • Per sommare due o più vettori si accoppiare il punto finale

del primo vettore al punto iniziale del secondo e così via; la forza risultante è quella che collega il punto iniziale del primo vettore al punto finale dell'ultimo

F = F1 + F2 + F3 + … + Fn • Per sottrarre due o più vettori si opera nello stesso modo,

invertito il verso del vettore da sottrarre

F = F1 - F2 - F3 - … - Fn = F1 + (-F2) + (-F3) + … + (-Fn)

Somma e sottrazione di vettori

-F3

F1

F2

F1

-F2

F=F1-F2-F3

F3F1

F2

F=F1+F2+F3 F3

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FORZE CONVERGENTI: metodo analitico • Si considerino più forze convergenti giacenti in un unico

piano e si considerino due assi cartesiani ortogonali (orizzontale e verticale) con origine nel punto di convergenza

• Utilizzando semplici regole della trigonometria, ogni forza può essere scomposta lungo tali due assi, ottenendo la componente orizzontale (H) e quella verticale (V), che possono essere concordi con il verso dell’asse (positiva, segno +) o discordi (negativa, segno -)

FH = F.cos α FV = F.sen α

30°

F1H=F1.cos30° = +0,866 F1

F1F1V=F1

.sin30° = +0,5 F 1

135°

F2H =F2.cos135° = -0,707 F 2

F2

F2V =F2.sin135° = +0,707 F2

F 3

F3V=F3.

3

F3H=F3.

3

• Le componenti lungo i due assi possono essere sommate

tra loro (tenendo conto del segno), ottenendo le componenti risultanti verticale e orizzontale

• Volendo le due componenti possono essere ricomposte ottenendo la forza risultante • MODULO mediante il teorema di Pitagora:

F = √√(FH2 + FV

2) • ANGOLO mediante la formula:

αα = arc tg (FV/FH)

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ESERCIZIO

Domanda: Calcolare le componenti orizzontali e verticali di due forze entrambe con modulo 100 N, una angolata di 30° e l’altra di 135° rispetto all’orizzontale. Calcolare anche il valore della componente orizzontale e della componente verticale della forza risultante

30°

FH=F.cos30° = +0,866 F

FFV=F.sin30° = +0,5 F

135°

FH =F.cos135° = -0,707 F

F

FV =F.sin135° = +0,707 F

Risposta:

Forza angolata di 30°: FH = 100.cos30° = 100.0,866 = 86,6 N FV = 100.sen30° = 100.0,5 = 50 N

Forza angolata di 135°:

FH = 100.cos135° = 100.(-0,707) = -70,7 N FV = 100.sen135° = 100.0,707 = 70,7 N

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ESERCIZIO

Domanda: Una barca sia soggetta alla forza del motore, che determina una spinta di 50 kN ed ad una deriva dovuta al vento che determina una spinta laterale di 10 kN inclinata di 90° rispetto alla direzione della barca. Calcolare l’intensità della forza risultante

Risposta: Modulo della forza risultante:

F = √(FH2 + FV

2) = √(502 + 102) = 50,99 kN

α

50 kN

10 kN

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ESERCIZIO Livello 2

Domanda:

Una barca sia soggetta alla forza del motore, che determina una spinta di 50 kN ed ad una deriva dovuta al vento che determina una spinta laterale di 10 kN inclinata di 45° rispetto alla direzione della barca. Calcolare l’intensità della forza risultante e di quanti gradi scarroccia la barca rispetto alla direzione principale.

Risposta: Componenti longitudinali e trasversali del vento FL = F.cos 45° = 10.0,707 = 7,07 kN FT = F.sen 45° = 10.0,707 = 7,07 kN Modulo della forza risultante:

F = √(FH2 + FV

2) = √(57,072 + 7,072) = 57,51 kN

Angolo di scarrocciamento: α = arc tg (FV/FH) = arc tg (7,07/57,07) = arc tg 0,124 =

7,06°

α

50 kN

10 kN

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ESERCIZIO Livello 2

Domanda:

Calcolare la risultante di tre forze convergenti e giacenti su un unico piano, con modulo 30 N, 50 N e 25 N che formano angoli rispettivamente di 45, -30 e -120° rispetto all’asse x (positivo se antiorario) di un sistema cartesiano ortogonale

Risposta:

FH = 30.cos 45° + 50.cos 30° - 25.cos 60° FV = 30.sen 45° - 50.sen 30° - 25.sen 60° FH = 30.0,707 + 50.0,866 - 25.0,5 = 52,01 N FV = 30. 0,707 - 50.0,5 - 25.0,866 = -25,43 N

Modulo F = √(FH2 + FV

2) = 57,89 N

Angolo α = arc tg (FV/FH) = arc tg (-25,83/52,01) = = arc tg (-0,49) = -26,05°

60°

30°

√ 3/2=0,866

1

90°45°

√2/2=0,707

√2/2=0,707

145°

90°

1/2=0,5

F3

F1

F2

45°

30°

120°

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FORZE NON CONVERGENTI: metodo grafico Livello 2

In presenza di forze su un piano non convergenti si utilizzano il poligono chiuso delle forze e il poligono funicolare MODULO e VERSO: • si costruisce il poligono chiuso delle forze ottenendo la

forza risultante DIREZIONE (retta di applicazione): • si fissa arbitrariamente un punto arbitrario P in prossimità al

poligono delle forze e lo si congiunge ai vertici dei vettori • si tracciano in successione le parallele a tali rette (AP-BP-

CP-ecc.) • si intersecano la prima e l’ultima di tali parallele

ottenendo un punto N da cui transita la forza risultante

BP

CP

DP

APR

F3F2

F1

D

A

C

B

P

F3

F1

F2

R

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FORZE PARALLELE DISTRIBUITE

Si considerino delle: forze tra loro parallele uniformemente distribuite (caso tipico: peso proprio) La forza risultante è una forza di modulo corrispondente alla forza totale concentrata nella mezzaria del corpo

F F F F F F F F

R = 8F

Ciò è particolarmente utile quando bisogna tener conto del peso proprio di un corpo: si può sostituire la forza peso distribuita con una forza corrispondente al peso totale concentrata nella mezzaria del corpo

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MOMENTO Si definisce momento (polare) della forza F rispetto al punto A il vettore che ha: • MODULO pari al prodotto della forza F per la distanza L

del punto in esame dalla direzione lungo la quale agisce la forza

• DIREZIONE perpendicolare al piano definito dalla forza e dal punto

• VERSO convenzionalmente positivo (verso l’alto) se determina rotazione antioraria, negativo (verso il basso) se determina rotazione oraria

SIMILITUDINE: bullone posizionato in A, tanto più facile da svitare quanto più: • è alto il braccio di leva L • è alta la forza applicata F • non svitabile se A è posizionato sulla retta di applicazione

di F (L=0)

F

LM = F·L

A

+

Convenzionedi segno

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UNITÀ DI MISURA DEL MOMENTO

Essendo le forze misurata in Newton (N) e le distanza in metri (m), l'unità di misura di un momento è espressa in Newton· metro (N· m)

MOMENTO RISULTANTE

Se sono presenti più forze, si definisce momento (polare) risultante delle forze rispetto al punto A la somma dei momenti delle singole forze (vettore somma dei vettori)

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ESERCIZIO Livello 2

Siano date le forze F1 = 20N, F2 = 10N, F3 =15N riportate in figura Domanda: Calcolare il momento risultante rispetto al punto P

Risposta: • La forza F1 può essere scomposta nelle sue componenti

orizzontale (F1H) e verticale (F1V), pari a: F1H = 20.cos30° = 20.0,866 = 17,32 N F1V = -20.sen30° = -20.0,5 = -10 N

• MP = -h.F1H -l.F1V -h.F2 +l.F3 = = -3.17,32 -4.10 -3.10 +4.15 = -61,96 N.m

• Avendo segno negativo il momento è orario

P

l = 4 m

30°

F2 = 10 N

F3 = 15 N

F1 = 20 N h = 3 m

F1H

F1V

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CONDIZIONI DI EQUILIBRIO Semplificazione: • corpo fermo o in moto rettilineo uniforme → corpo fermo • corpo che subisce accelerazione → corpo in movimento Conoscendo i vettori forza e i vettori momento agenti è possibile sapere se un corpo è fermo oppure in movimento Un corpo è fermo se esso non trasla e non ruota devono perciò essere verificate le condizioni di: → equilibrio alla traslazione:

la risultante delle forze deve essere nulla → equilibrio alla rotazione: la risultante dei momenti deve essere nulla In caso contrario un corpo è in movimento cioè: • trasla se la

risultante delle forze non è nulla (subendo una accelerazione nella direzione della forza risultante)

• ruota se la risultante dei momenti non è nulla(per verificare tale condizione è sufficiente che il momento sia nullo rispetto ad un qualsiasi punto)

• trasla e ruota se

F1+F2+F3 = 0si incontrano

F1FF3

F2

F

FF

F = F1+F2+F3si incontrano

F2

F1F

F3

F

F

F F

(a): il corpo è fermo (b): il corpo trasla

F1+F2+F3 = 0non si incontrano

M1 = F1·LM2 = M3 = 0

F1FF3

F2

F

F

F3

F = F1+F2+F3

non si incontrano

M1 = F1·LM2 = M3 = 0F2

F1Fr

F3

Fr

F

F

F3

(c): il corpo ruota (d): il corpo trasla e ruota

L

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Convenzionedi segno

non sono nulle entrambe le risultanti

EQUAZIONI FONDAMENTALI DELLA STATICA

Grazie alla possibilità di scomporre le forze agenti su un piano nelle componenti lungo gli assi x e y, per semplicità di calcolo la condizione generale di equilibrio può essere scomposta nelle tre equazioni fondamentali della statica: • ΣΣFH = 0 sommatoria delle componenti orizzontali = 0 • ΣΣFV = 0 sommatoria delle componenti verticali = 0 • ΣΣMP = 0 sommatoria dei momenti = 0 Devono cioè essere nulle le sommatorie: • delle componenti orizzontali delle forze • delle componenti verticali delle forze • dei momenti rispetto ad un generico punto P Per realizzare il calcolo analitico delle tre equazioni fondamentali della statica si utilizzerà la convenzione di segno per cui: • sono positive le componenti orizzontali

dirette verso destra • sono positive le componenti verticali

dirette verso l’alto • sono positivi i momenti antiorari

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Convenzionedi segno

ESERCIZIO Livello 2

Si consideri la lastra piana riportata in figura, soggetta alle forze F1, F2, F3, F4, F5

5 m

F4 = 4 N - α= 0°F5 = 4 N - α= 180°

F2 = 10√2 N - α= 90°

F3 = 10 N - α= 225°F1 = 10 N - α= 315°

5 m

3 m

2 mA

F1H

F1V F3H

F3V

Domanda: Calcolare analiticamente lo stato di equilibrio Risposta: • Le forze F1 e F3 possono essere scomposte secondo le

direzioni orizzontale e verticale F1H = F1.cos45° = F1.√2/2 F3H = -F3.cos45° = -F3.√2/2 F1V = -F1.sen45° = -F1.√2/2 F3V = -F3.sen45° = -F3.√2/2

• Le tre equazioni fondamentali della statica sono: ΣFH = F1H +FH3 +F4 +F5 = 5.√2 -5.√2 +4 -4 = 0 ΣFV = F1V +F2 -F3V = -5.√2 +10.√2 -5.√2 = 0 ΣMA = -F1H.5 -F1V.0 +F2.5 +F3H.5 -F3V.10 -F4.0 -F5.0 = = -25√2 +50√2 +25√2 -50√2 = 0

• Il corpo non trasla perché sono nulle le sommatorie delle componenti orizzontali e verticali delle forze

45°

√2/2=0,707

√2/2=0,707

145°

90°

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• Il corpo non ruota perché è nulla la sommatoria dei momenti (calcolata nel punto A)

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ESERCIZIO Livello 2

Si consideri la lastra piana riportata in figura, soggetta alle forze F1, F2, F3, F4

5 m

F4 = 4 N - α= 0°F5 = 4 N - α= 180°

F2 =5√2 N - α = 90°

F3 = 10 N - α= 225°F1 = 10 N - α= 315°

5 m

3 m

2 mA

Domanda: Calcolare analiticamente lo stato di equilibrio Risposta: • Le forze F1 e F3 possono essere scomposte secondo le

direzioni orizzontale e verticale F1H = F1.cos45° = F1.√2/2 F3H = -F3.cos45° = -F3.√2/2 F1V = -F1.sen45° = -F1.√2/2 F3V = -F3.sen45° = -F3.√2/2

• Le tre equazioni fondamentali della statica sono: ΣFH = F1H +FH3 +F5 +F5 = 5.√2 -5.√2 +4 -4 = 0 ΣFV = F1V +F2 +F3V = -5.√2 +5.√2 -5.√2 = -5.√2 ΣMA = -F1H.5 -F1V.0 +F2.5 +F3H.5 -F3V.10 -F4.0 -F5.0 = = -25√2 +25√2 +25√2 -50√2= -25√2

• Il corpo trasla perché non è nulla la sommatorie delle componenti verticali delle forze, la traslazione avviene verso il basso perché la risultante è negativa

45°

√2/2=0,707

√2/2=0,707

145°

90°

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• Il corpo ruota perché non è nulla la sommatoria dei momenti (calcolata nel punto A), la rotazione avviene in senso orario perché la risultante è negativa

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REAZIONI VINCOLARI

Un corpo fermo non è mai libero da vincoli Un vincolo esercita sul corpo forze o momenti in grado di garantire che il corpo resti in equilibrio Note le forze e i momenti agenti è possibile calcolare quali sono le reazioni vincolari che permettono di annullare le tali forze e momenti, garantendo condizioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione (semplici esempi sono riportati in figura)

P

P

R

Corpo soggetto al peso proprio P

P

R

Corpo appeso soggetto ad una forza P

R = P

P

R1 R2

L

L/2

R1 = R2 = P/2

Corpo su due appoggi soggetto ad una forza P

P

L

P

L

HA

VA

MA

HA = 0 VA = P MA = P·L

Corpo incastrato soggetto ad una forza P

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Convenzionedi segno

OGGETTO SU UN PIANO O APPESO

Un qualsiasi oggetto dovrebbe muoversi perché su di esso agisce la forza peso P; ciò non avviene se esso è appoggiato su un piano

Il vincolo esercita sull’oggetto una forza di reazione uguale e contrarie al peso (che fanno si che vengano rispettate le equazioni fondamentali della statica) Indicando con R l’incognita si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R -P = 0 • eq. rotazione (vincolo) - Pertanto: R = P Essendo R positivo, è diretto verso l’alto, in accordo con la convenzione di segno

Reazione vincolare R che agisce su un oggetto di peso P appoggiato su un piano

P

P

R

Reazione vincolare R che agisce su un oggetto di peso P appeso

P

P

R

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Convenzionedi segno

VINCOLO SEMPLICE APPOGGIO

Gli appoggi sono in grado di determinare solo reazioni vincolari dirette verso l’alto (trasversali rispetto alla trave) R1 ed R2 Tali forze devono consentire di rispettare le equazioni fondamentali della statica

Indicando con R1 e R2 le incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R1 +R2 –P = 0 R1 +R2 = P • eq. rotazione (vincolo sinistra) R1· 0 +R2· L –P· L/2= 0 Pertanto: R2 = P/2 R1 = P/2 Essendo R1 ed R2 positivi, sono entrambi diretti verso l’alto, in accordo con la convenzione di segno

Reazioni vincolari R1 ed R2 che agiscono su una trave su due appoggi soggetta ad una forza P

P

R1 R2

L

L/2

R1 = R2 = P/2

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Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda:

Si consideri la mensola di lunghezza 1 m, su due appoggi posti ad una distanza di 60 cm, sottoposta ad una forza F pari a 500 N. Calcolare le reazioni vincolari R1 ed R2 che fanno sì che la mensola sia ferma

500 N

R1 R2

0,5 m

1 m

0,6 m

Risposta:

Indicando con R1 e R2 le incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R1 +R2 -500 = 0 R1 +R2 = 500 • eq. rotazione (vincolo sinistra) R1· 0 +R2· 0,6 -500· 0,3 = 0 R2· 0,6 = 150 Pertanto: R2 = 150/0,6 = 250 (N)

R1 = 500 -R2 = 250 (N) Le due reazioni vincolari sono entrambe pari a 250 N e sono dirette verso l’alto

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Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda: Si consideri la mensola di lunghezza 1 m e di peso proprio P pari a 30,6 kg, su due appoggi posti ad una distanza di 60 cm, sottoposta ad una forza F pari a 500 N applicata a 20 cm dall’appoggio di sinistra. Calcolare le reazioni vincolari R1 ed R2 che fanno sì che la mensola sia ferma

500 N

R1 R2

0,2 m

1 m

0,6 m

30,6 kg

Risposta:

Indicando con R1 e R2 le incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R1 +R2 -500 -(30,6x9,81) = 0 R1 +R2 = 800 • eq. rotazione (vincolo sinistra) R2· 0,6 -500· 0,2 -300· 0,3 =

0 R2· 0,6 = 190

Pertanto: R2= 190/0,6 = 316 (N) R1 = 800 -R2 = 484 (N)

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Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda: Si consideri la mensola di lunghezza 1 m su due appoggi posti ad una distanza di 60 cm, sottoposta ad una forza F pari a 480 N applicata a 10 cm a sinistra dall’appoggio di sinistra. Calcolare le reazioni vincolari R1 ed R2 che fanno sì che la mensola sia ferma

480 N

R1 R2

0,1 m

1 m

0,6 m

Risposta: Indicando con R1 e R2 le incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R1 +R2 -480 = 0 R1 +R2 = 480 • eq. rotazione (vinc. sinistra) R2· 0,6 +480· 0,1 = 0 R2· 0,6 = -

48 Pertanto: R2= -48/0,6 = -80 (N)

R1 = 480 -R2 = 560 (N) • La reazione vincolare R2 dovrebbe essere negativa (verso

il basso); ciò non è possibile e pertanto la mensola ruota intorno all’appoggio di sinistra

• Come si vedrà nel seguito tale situazione viene definita LABILE e potrebbe essere resa STATICA se il semplice appoggio di destra fosse sostituito con un diverso vincolo (ad esempio un pattino in grado di impedire sia la traslazione verso il basso che verso l’alto)

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Convenzionedi segno

ESERCIZIO Livello 2

Si consideri il carrello portacomputer mostrato in Figura con base di appoggio 100 cm, piano sporgente 70 cm, peso proprio del sostegno 100 N e massimo peso sostenibile (X) rispettivamente 100, 250 e 400 N. Verificare nei 3 casi se il carrello si ribalta o meno

Equilibrio alla traslazione verticale: somma componenti verticali, con il loro segno = 0 +A +B –100 –X = 0 (valori in N) Equilibrio alla rotazione: somma dei momenti, con il loro segno, rispetto ad un punto = 0) Scelto il punto di applicazione di B come punto di calcolo:

–A.1 +100.0,5 –X.0,2 = 0 (valori in N.m)

B A

100 N

100 cm

70 cm

X N

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Condizioni di equilibrio: +A +B –100 –X = 0 (valori in N)

–A.1 +100.0,5 –X.0,2 = 0 (valori in N.m) Caso X = 100 N +A +B –100 –100 = 0

–A.1 +100.0,5 –100.0,2 = 0 A = 50 – 20 = 30 N B = 200 – 30 = 170 N Entrambe le reazioni vincolari sono verso l’alto: si è in equilibrio stabile Caso X = 250 N +A +B –100 –250 = 0

–A.1 +100.0,5 –250.0,2 = 0 A = 50 – 50 = 0 N B = 350 N La reazione vincolare in A è nulla: si è in equilibrio instabile Caso X = 400 N +A +B –100 –400 = 0

–A.1 +100.0,5 –400.0,2 = 0 A = 50 – 80 = –30 N B = 530 N Per garantire l’equilibrio, la reazione vincolare in A dovrebbe essere negativa (tirando verso il basso la ruota di appoggio), cosa impossibile: non si è in equilibrio e il carrello si ribalta

Page 33: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

33

Convenzionedi segno

VINCOLO INCASTRO

Nell'incastro sono possibili tre diverse reazioni vincolari che corrispondono a: una forza verticale, una forza orizzontale e un momento Tali forze devono consentire di rispettare la condizione generale di equilibrio

Indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA = 0 • eq. traslazione verticale VA –P = 0 • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA –P· L = 0 Pertanto: HA = 0 VA = P

MA = P· L Nell’incastro si ha una reazione vincolare diretta verso l’alto (in quanto positiva) che si oppone alla forza P ed una reazione vincolare momento antioraria (in quanto positiva) che si oppone al momento orario causato dalla forza P per il

Reazioni vincolari HA, VA e MA che agiscono su una trave incastrata soggetta ad una forza P

P

L

P

L

HA

VA

MA

HA = 0 VA = P MA = P·L

Page 34: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

34

braccio di leva L

Page 35: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

35

Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda: Si consideri la mensola di lunghezza L = 1 m, incastrata in un estremo, sottoposta all'altro estremo ad una forza F pari a 500 N. Calcolare le reazioni vincolari che fanno sì che la mensola sia ferma

500 N

1 m

Risposta: Indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA = 0 • eq. traslazione verticale VA –500 = 0 • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA –500· 1 = 0 Pertanto: HA = 0 VA = 500 (N)

MA = 500 (N· m) Si ha: • una reazione vincolare verticale diretta verso l’alto • una reazione vincolare momento antioraria

Page 36: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

36

Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda:

Si consideri la mensola di lunghezza L = 0,6 m, incastrata in un estremo, sottoposta all'altro estremo ad una forza da 808 N inclinata di 60°. Calcolare le reazioni vincolari che fanno sì che la mensola sia ferma

Risposta:

Indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA –808.cos60° = 0 HA = 808.0,5 • eq. traslazione verticale VA –808.sen60° = 0 VA = 808.0,866 • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA –808.sen60°· 0,6 = 0 MA = 808.sen60°· 0,6 Pertanto: HA = 404 (N) VA = 700 (N)

MA = 420 (N· m) Si ha: • una reazione vincolare orizzontale diretta verso destra • una reazione vincolare verticale diretta verso l’alto • una reazione vincolare momento antioraria

60°

30°

√ 3/2=0,866

1

90°

1/2=0,5

808 N

0,6 m

FV

FH

Page 37: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

37

Convenzionedi segno

ESERCIZIO Livello 2

Si consideri un oggetto ellittico di lunghezza 40 cm e larghezza 10 cm, fissato su un muro mediante un tassello a espansione, sottoposta a due forze, entrambe di 100 N, una inclinata di 30° e l’altra di 225° in senso antiorario rispetto all’asse orizzontale, come indicato in figura Calcolare le reazioni vincolari orizzontale, verticale e momento (HA, VA, MA) che agiscono sul tassello a espansione A per garantire l’equilibrio eq. traslazione orizzontale HA –F1.cos45° +F2.cos30° = 0 eq. traslazione verticale VA –F1.sen45° +F2.sen30° = 0 eq. rotazione MA +0,2. F1.sen45° + +0,2. F2.sen30° = 0 Pertanto: HA = +70,7 –86,6 = –15,9 N VA = +70,7 –50,0 = 20,7 N

MA = –14,14 –10 =–24,14 N· m

F1 =100 N

F2 =100 N

30°

40 cm

225°

60°

30°

√ 3/2=0,866

1

90°

1/2=0,5

45°

√2/2=0,707

√2/2=0,707

145°

90°

A

Page 38: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

38

POSSIBILI TIPI DI VINCOLI Livello 2

Esistono varie tipologie di vincolo, ognuna caratterizzato da: • impedimento di possibili traslazioni o rotazioni • generazione di conseguenti reazioni vincolari Direzione: • la direzione lungo cui agiscono impedimenti e reazioni

vincolari sono connesse alla posizione del vincolo • si farà nel seguito riferimento al piano su cui è posto il

vincolo e si parlerà di direzione parallela o perpendicolare al piano del vincolo

Page 39: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

39

VINCOLO: SEMPLICE APPOGGIO Livello 2

Caratteristiche: • impedisce traslazione perpendicolare (al piano del

vincolo) verso il piano del vincolo stesso (in genere verso il basso)

• vincoli a terra (gradi di libertà bloccati): 1 (se nel verso opportuno)

• permette traslazione perpendicolare in direzione opposta al vincolo, traslazione parallele e rotazione

• determina possibili reazione vincolare perpendicolare diretta in direzione opposta al vincolo (in genere verso l’alto)

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Page 40: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

40

VINCOLO: CARRELLO Livello 2

Caratteristiche: • impedisce traslazione perpendicolare (al piano del

vincolo) • vincoli a terra (gradi di libertà bloccati): 1 • permette traslazione parallela e rotazione • determina possibile reazione vincolare perpendicolare

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Page 41: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

41

VINCOLO: CERNIERA Livello 2

Caratteristiche: • impedisce traslazione perpendicolare e parallela (al

piano del vincolo) • vincoli a terra (gradi di libertà bloccati): 2 • permette rotazione • determina possibile reazione vincolare perpendicolare e

parallela

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Page 42: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

42

VINCOLO: PATTINO Livello 2

Caratteristiche: • impedisce traslazione perpendicolare (al piano del

vincolo) e rotazione • vincoli a terra (gradi di libertà bloccati): 2 • permette traslazione parallela • determina possibile reazione vincolare perpendicolare e

momento

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Page 43: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

43

VINCOLO: GUIDA O MANICOTTO Livello 2

Caratteristiche: • impedisce traslazione perpendicolare (al piano del

vincolo) e rotazione • vincoli a terra (gradi di libertà bloccati): 2 • permette traslazione parallela • determina possibile reazione vincolare perpendicolare e

momento

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Page 44: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

44

VINCOLO: INCASTRO Livello 2

Caratteristiche: • impedisce traslazione perpendicolare, verticale (al piano

del vincolo) e rotazione • vincoli a terra (gradi di libertà bloccati): 3 • non permette né traslazione né rotazione • determina possibile reazione vincolare perpendicolare,

verticale e momento

Tipo di vincolo Movimenti impediti Reazioni vincolari

Page 45: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

45

CORPO RIGIDO: GRADI DI LIBERTÀ Livello 2

Gradi di libertà e gradi di libertà residui: • un corpo rigido è dotato di 3 gradi di libertà (2 traslazioni, 1

rotazione) f = gradi di libertà del corpo privo di vincoli (=3)

• sul corpo agiscono poi i vincoli a terra precedentemente esaminati

vt = numero totale dei vincoli a terra • il numero di gradi di libertà residui (G) di un corpo rigido

può essere calcolato come: G = f - vt

Si ha che: • se G = 0 (vt = 3) il corpo si dice ISOSTATICO • se G > 0 (vt < 3) il corpo si dice IPOSTATICO • se G < 0 (vt > 3) il corpo si dice IPERSTATICO

Page 46: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

46

SISTEMI DI CORPI: GRADI DI LIBERTÀ Livello 2

Una struttura formata da più corpi tra loro connessi in modo da lasciare alcune possibilità di movimento si dice sistema Gradi di libertà e gradi di libertà residui: • un sistema di corpi è dotato di 3 gradi di libertà (2

traslazioni, 1 rotazione) per ogni corpo che lo costituisce f = gradi di libertà del sistema privo di vincoli (n°x 3)

• i vincoli che connettono tra loro i corpi del sistema vengono detti vincoli interni; a seconda del tipo di vincolo (cerniera, manicotto, ecc.), essi riducono di 1 o 2 i gradi di libertà del sistema

vi = numero totale dei vincoli interni • sul sistema agiscono poi i vincoli a terra

vt = numero totale dei vincoli a terra • il numero di gradi di libertà residui (G) di un sistema di

corpi può essere calcolato come: G = f – vi - vt

Si ha che: • se G = 0 (vt = 3) il sistema si dice ISOSTATICO • se G > 0 (vt < 3) il sistema si dice IPOSTATICO • se G < 0 (vt = 3) il sistema si dice IPERSTATICO

Page 47: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

47

ANALISI CINEMATICA Livello 2

Analisi cinematica: • un sistema di corpi (o più semplicemente un corpo rigido) si

dice BEN VINCOLATO se non è possibile nemmeno un movimento (virtuale) di traslazione orizzontale, di traslazione verticale o di rotazione

• se almeno uno dei tre movimenti (virtuali) è possibile il sistema si dice LABILE

Si può affermare che: • un sistema isostatico o iperstatico è ben vincolato se

sono impediti sia la traslazione verticale, che la traslazione orizzontale, che la rotazione

• un sistema isostatico o iperstatico è labile se è comunque possibile una traslazione verticale, o una traslazione orizzontale, o una rotazione

• un sistema ipostatico è comunque labile • un sistema labile può comunque essere praticamente in

condizioni statiche, se la risultante delle forze orizzontali, o delle forze verticali, o dei momenti è nulla (o non sono presenti forze orizzontali o verticali o momenti)

Page 48: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

48

CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI IN CASO DI CORPI IPERSTATICI

Livello 2

• Se un corpo (o un sistema di corpi) è iperstatico, non è

possibile calcolare le reazioni vincolari con le tecniche esaminate (si ha a che fare con un sistema di 3 equazioni in 4 o più incognite che non può essere risolto)

• Per calcolare le reazioni vincolari in questo caso è

necessario considerare il sistema non più rigido • Il calcolo delle reazioni vincolari in presenza di sistemi

iperstatici esce dagli argomenti del corso

Page 49: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

49

ESERCIZIO Livello 2

Si consideri il tavolo mostrato in Figura con piano rotondo di diametro 120 cm, altezza 80 cm, base rotonda di diametro incognito e peso proprio pari a X centinaia di N. Si ipotizzi che il massimo carico eccentrico che si può applicare ad una estremità sia pari a Y centinaia di N. Calcolare il minimo diametro della base di appoggio (arrotondata al centimetro inferiore), in modo tale che il tavolo non si ribalti. Valori da utilizzare: X = quinta cifra della matricola Y = sesta cifra della matricola

Diametro 120 cm

Y.100 N

Diametro incognito

X.100 N

Altezza 80 cm

Page 50: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

50

(se la cifra è 0 sostituirla con 5)

Page 51: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

51

ESERCIZIO Livello 2

Si schematizzi che sull’albero di una barca a vela agisca la forza riportata in figura Calcolare le reazioni verticali in direzione longitudinale, in direzione trasversale e momento che agiscono nel punto di incastro dell’albero stesso Valori da utilizzare: X = terza cifra della matricola Y = quarta cifra della matricola Y = quinta cifra della matricola (se la cifra è 0 sostituirla con 5)

X.10 metri

Y.100 newton

Z.10 gradi metri

Page 52: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

52

AZIONI INTERNE

Come verrà ampiamente spiegato nel seguito, lo stato di sollecitazione agente in un generico punto di un corpo vincolato e in equilibrio (AZIONI INTERNE) può essere calcolato nel modo seguente: • note le forze e i momenti agenti (F, P, S) e le dimensioni

del corpo (L) si calcolano le (eventuali) reazioni vincolari (VA, HA, MA) in grado di garantire la sussistenza di condizioni di equilibrio

VA=P

HA=F F

P

NTMS

MA=S+P.L/2

L

• si seziona virtualmente il corpo nel punto di interesse e si

tiene in considerazione solo una parte della sezione (sinistra o destra) dello stesso e le forze ed i momenti ad essa applicate (nell’esempio F, P, S, VA), trascurando forze e momenti applicate alla restante parte del corpo (nell’esempio HA, MA),

• si indicano con le incognite § N l’azione interna normale (diretta in senso assiale) § T l’azione interna di taglio (diretta in senso trasversale) § M l’azione interna momento

• I valori di N (=-F), T (=-P+VA=0) ed M (=-S+VA.L/2) che garantiscono la sussistenza delle condiziono di equilibrio (con opportune condizioni di segno descritte nel seguito) sono le AZIONI INTERNE agenti sul corpo

Page 53: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

53

CONVENZIONE DI SEGNO

Si adottino le convenzioni di segno riportate in figura

Se si tiene in considerazione la parte sinistra del corpo (in nero): • sono positivi le forze ed i momenti che agiscono nella

direzione delle frecce in nero • sono negativi le forze ed i momenti che agiscono nella

direzione opposta Se si tiene in considerazione la parte destra del corpo (in grigio): • sono positivi le forze ed i momenti che agiscono nella

direzione delle frecce in grigio • sono negativi le forze ed i momenti che agiscono nella

direzione opposta

Convenzione di segno

Page 54: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

54

Convenzione di segno

TRAZIONE SEMPLICE

Si vogliano calcolare le azioni interne ad una distanza generica L/2 dall’incastro di sinistra

P

L

P

L

VA = P

In primo luogo si calcolano le reazioni vincolari Indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA –P = 0 HA = P • eq. traslazione verticale VA = 0 • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA = 0 In posizione generica x si ha:

TP

x

N

M

Indicando con N, T ed M i tre valori incogniti, si ha: • eq. traslazione orizzontale N – P = 0 N = P • eq. traslazione verticale T = 0 • eq. rotazione (nella sezione) M = 0

Page 55: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

55

TRAZIONE SEMPLICE

I risultati possono essere diagrammati per ogni valore di x

M=0

L

T=0

T

M

N N=P

Come si può osservare, sulla trave agiscono: • una forza normale positiva pari a P • una forza di taglio nulla • un momento flettente nullo

Page 56: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

56

Convenzione di segno

Convenzionedi segno

TRAVE SU DUE APPOGGI

Si vogliano calcolare le azioni interne ad una distanza generica L/4 dall’appoggio di sinistra

P

R1 R2

L

L/2

R1 = R2 = P/2

L/4

In primo luogo si calcolano le reazioni vincolari; indicando con R1 e R2 tali incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R1 +R2 -P = 0 R1 +R2 = P • eq. rotazione (vincolo sinistra) R1· 0 +R2· L -P· L/2= 0 Pertanto: R2 = P/2 R1 = P/2 In posizione x→L/4 si ha:

T

P/2

L/4

N

M

Indicando con N, T ed M i tre valori incogniti, si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +P/2 = 0 T = -P/2 • eq. rotazione (nella sezione) M - P/2· L/4 = 0 M = P/2· L/4

Page 57: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

57

Convenzione di segno

Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Si vogliano calcolare le azioni interne a distanza 50 cm dall’appoggio di sinistra della trave su due appoggi sottoriportata

400 N

R1

R2

80 cm

40 cm 200 N20 cm

50 cm

In primo luogo si calcolano le reazioni vincolari; indicando con R1 e R2 tali incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale - • eq. traslazione verticale R1 +R2 -400 -200 = 0 R1 +R2 = 600 • eq. rotazione (vincolo sinistra) R2· 0,8 -400· 0,4 -200· 0,6 =

0 R2· 0,8 = 280 Pertanto: R2 = 350 R1 = 250

Per x=50 cm, indicando con N, T ed M le tre incognite, si ha:

250 N

0,4 mT

N

M

400 N

0,5 m

• eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T –400 +250 = 0 T = 150 (N) • eq. rotazione (nella sezione) M -250· 0,5 +400· 0,1 = 0

Page 58: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

58

M = 85 (N· m)

Page 59: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

59

Convenzione di segno

TRAVE SU DUE APPOGGI (con forza agente in mezzaria)

P

R1 R2

L

L/2

R1 = R2 = P/2

T

R1

xT

N

M

Immediatamente vicino all’appoggio di sinistra (ove x→0), si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +R1 = 0 T = -R1 = -P/2 • eq. rotazione (nella sezione) M -R1· x = 0 M = R1· x = P/2· 0 =

0 Immediatamente a sinistra del punto di applicazione della forza P (ove x→L/2) si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +R1 = 0 T = -R1 = -P/2 • eq. rotazione (nella sezione) M -R1· x = 0 M = R1· L/2 = P· L/4

Si sia già calcolato che: R1 = R2 = P/2

Page 60: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

60

Convenzione di segno

R1x

L/2 P T

N

M

Immediatamente vicino all’appoggio di sinistra (ove x→L), si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T -P +R1 = 0 T = P -P/2 = P/2 • eq. rotazione (nella sezione) M -R1· x +P· (x-

L/2) = 0 M = P/2· L-P· L/2= 0

Page 61: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

61

TRAVE SU DUE APPOGGI (con forza agente in mezzaria)

I risultati possono essere diagrammati per ogni valore di x

M=PL/4

L

L/2

T=-P/2

T=+P/2L

L/2T

M

NN=0

Come si può osservare, sulla trave agiscono: • una forza normale nulla • una forza di taglio pari a P/2 (negativo a sinistra del punto di

applicazione della forza P e positivo a destra) • un momento flettente, che è nullo in corrispondenza agli

appoggi e che raggiunge il suo massimo in corrispondenza del punto di applicazione della forza, ove vale:

Mmax = P· L/4

Page 62: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

62

Convenzionedi segno

TRAVE INCASTRATA

Si vogliano calcolare le azioni interne ad una distanza generica x dall’appoggio di sinistra

P

L

x

P

LVA =P

MA = PL

x

In primo luogo si calcolano le reazioni vincolari, indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA = 0 • eq. traslazione verticale VA -P = 0 VA = P • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA -P· L = 0 MA = P· L

Page 63: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

63

Convenzione di segno

Sezionando in posizione generica x le azioni interne devono annullare sia la forza P, che il momento P.L, che il momento generato dalla forza P distante x

T

x

P

PL

M

N

Indicando con N, T ed M i tre valori incogniti, si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +P = 0 T = -P • eq. rotazione (nella sezione) M +P· L -P· x = 0 M = -P· L+P· x

Page 64: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

64

Convenzione di segno

Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda: Si vogliano calcolare le azioni interne a distanza x=50 cm dall’incastro della trave incastrata sottoriportata

50 cm

200 N

200 cm

200 N

200 cm200 N

400 N.m

50 cm

Risposta: In primo luogo si calcolano le reazioni vincolari; indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA = 0 • eq. traslazione verticale VA -200 = 0 VA = 200 (N) • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA -200· 2 = 0

MA = 400 (N.m) Sezionando in posizione x=0,5 m e indicando con N, T ed M i tre valori incogniti, si ha:

T

0,5 m200 N

400 N.m

M

N

• eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +200 = 0 T = -200 (N) • eq. rotazione (nella sezione) M +400 -200· 0,5 = 0

M = -300 (N· m)

Page 65: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

65

Convenzione di segno

A conclusioni analoghe si sarebbe giunti considerando solo la parte di destra della trave (con diversa convenzione di segno). Infatti indicando con N, T ed M i tre valori incogniti, si ha:

T

1,5 m

200 N

M

N

• eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +200 = 0 T = -200 (N) • eq. rotazione (nella sezione) M +200· 1,5 = 0

M = -300 (N· m)

Page 66: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

66

Convenzione di segno

Convenzionedi segno

TRAVE INCASTRATA (con forza agente all'estremità opposta)

Si sia già calcolato che HA= 0, VA = P, MA = P· L

P

L

x

P

LVA =P

MA = PL

x

Immediatamente vicino all’incastro (ove x→0), indicando con N, T ed M le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +P = 0 T = -P • eq. rotazione (nella sezione) M +P· L -P· 0 = 0 M = -P· L

T

x

P

PL

M

N

Immediatamente vicino all’altro estremo (ove x→L), indicando con N, T ed M le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T +P = 0 T = -P • eq. rotazione (nella sezione) M +P· L -P· L = 0 M = 0

Page 67: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

67

TRAVE INCASTRATA (con forza agente all'estremità opposta)

I risultati possono essere diagrammati per ogni valore di x

T=-P

T

L

M=-PL

M

NN=0

Sulla trave agiscono: • una forza normale nulla • una forza di taglio pari a -P • un momento flettente, che è nullo nel punto di applicazione

della forza e massimo nel punto di incastro, ove vale: Mmax = -P· L

Page 68: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

68

Convenzionedi segno

ESERCIZIO

Domanda: Si vogliano calcolare le azioni interne a distanza x=80 cm dall’incastro della trave incastrata soggetta ad una forza inclinata applicata al centro, con componenti orizzontale e verticale pari a 100 N

50 cm

oriz= 100 Nvert = 100 N

100 cm

80 cm

100 N

1 m

100 N

50 N.m

0,8 m

100 N 100 N0,5 m

Risposta: In primo luogo si calcolano le reazioni vincolari; indicando con HA, VA e MA le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale HA -100 = 0 HA = 100 (N) • eq. traslazione verticale VA -100 = 0 VA = 100 (N) • eq. rotazione (vincolo sinistra) MA -100· 0,5 =

0 MA = 50 (N.m)

Page 69: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

69

Convenzione di segno

100 N

1 m

100 N

50 N.m

0,8 m

100 N 100 N

Sezionando in posizione x=0,8 m e considerando solo la parte di sinistra della trave, indicando con N, T ed M le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale N –100 +100 = 0 N = 0 • eq. traslazione verticale T –100 +100 = 0 T = 0 • eq. rotazione (vincolo sinistra) M +50 -100.0,8 +100.0,3 = 0 M = -50 +80 -30 M = 0 Più semplicemente, se si considera solo la parte di destra della trave, si osserva che su essa non agisce nessuna forza, per cui indicando con N, T ed M le tre incognite si ha: • eq. traslazione orizzontale N = 0 • eq. traslazione verticale T = 0 • eq. rotazione (vincolo sinistra) M = 0

Page 70: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

70

CORPO DEFORMABILE

Qualsiasi corpo soggetto a forze (o momenti), subisce comunque una certa variazione delle sue dimensioni (in genere si allunga in una direzione e si accorcia nell’altra o viceversa) La variazione delle dimensioni è in genere più o meno proporzionale alla forza (momento) applicata

R

F

F

R

dimensione prima dell’applicazione del carico

dimensione dopo dell’applicazione del carico

Lo+L

Lo

P

Lo+2L

2P

Relazione tra forza applicata P e allungamento (L) di un corpo deformabile

Page 71: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

71

COMPORTAMENTO ELASTICO Si immagini che la forza applicata sia comunque inferiore alla forza necessaria a determinare la rottura del materiale (forza di rottura): • la lunghezza iniziale (Lo) aumenta di un certo valore

(∆Lelastico) con l’aumento della forza applicata • rimossa la forza applicata, la lunghezza torna ad essere

quella iniziale (Lo) e l’allungamento si annulla (∆L=0)

∆Lelastico

3

2

1

Forza

Allungamento

1

2

3

L = Lo

L = Lo + ∆Lelastico

L = Lo

Lo

Lo

Lo

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COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO Si immagini che la forza applicata sia comunque inferiore alla forza necessaria a determinare la rottura del materiale (forza di rottura): • se non si supera un certo valore critico della forza

applicata (forza elastica limite) il comportamento è di tipo sostanzialmente elastico, pertanto la lunghezza iniziale (Lo) aumenta di un certo valore (∆Lelastico) con l’aumento della forza applicata

• se si supera la forza elastica limite si verifica un allungamento permanente di tipo plastico non più proporzionale alla forza (∆Lplastico)

• rimossa la forza, l’allungamento elastico (∆Lelastico) viene recuperato, mentre resta sul materiale un allungamento residuo permanente(∆Lplastico) non più recuperabile

Lo

Allungamento

L = Lo

4

3

2

1

Forza1

2 L = Lo + ∆Lelastico

∆LelasticoLo

3 L = Lo + ∆Lelastico+ ∆Lplastico

Lo∆Lelastico ∆Lplastico

L = Lo + ∆Lplastico

Lo ∆Lplastico

forza elastica limite

4

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MATERIALI ELASTICI ED ELASTO-PLASTICI

I materiali possono essere divisi in due categorie: • materiali a comportamento elastico, sui quali

l’applicazione di una forza non può determinare l’insorgenza di variazioni di forma permanenti, per i quali può essere individuata una forza di rottura

• materiali a comportamento elasto-plastico, sui quali l’applicazione di una forza può determinare l’insorgenza di variazioni di forma permanenti, per i quali può essere individuata sia una forza di rottura che una forza elastica limite

• I materiali ceramici (fragili) e i polimeri elastomerici (molto

deformabili) hanno tipicamente comportamento elastico • La maggior parte dei materiali metallici e i materiali

polimerici termoplastici hanno tipicamente comportamento elasto-plastico

ForzaForza

Forza elastica limite

Polimeri termoplastici

Metalli

Allungamento

Ceramici (fragili)

Polimeri elastomerici

Allungamento

MATERIALI ELASTO-PLASTICIMATERIALI ELASTICI

Forza di rotturaForza di rottura

Page 74: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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MASSIMO FORZA AMMISSIBILE Si immagini di realizzare un qualsiasi oggetto sottoposto a delle forze: • è sicuramente necessario che esso non si rompa • nella maggior parte dei casi è necessario anche che a

seguito dell’applicazione di una forza l’oggetto non subisca variazioni di forma irreversibili

Nel seguito ci limiteremo a considerare situazioni di questo tipo, pertanto: • nel caso di materiali elastici la forza applicata deve essere

inferiore alla forza di rottura • nel caso di materiali elasto-plastici la forza applicata deve

essere inferiore alla forza elastica limite

Forza

Allungamento

Forza di rottura

Allungamento

Forza

Forza limite elasticaForza di rottura

MATERIALI ELASTICI MATERIALI ELASTO-PLASTICI

Page 75: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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SFORZO E DEFORMAZIONE

Nella progettazione e realizzazione di oggetti, componenti, apparecchiature è necessario calcolare: • sotto quale forza il pezzo si rompe (o comunque resta in

campo elastico) • di quanto esso cambia di dimensioni se soggetto ad una

data forza non sufficiente per romperlo (o comunque per deformarlo in modo permanente)

Per poter giungere a tali valutazioni è tuttavia necessario tener conto delle forma iniziale del pezzo e introdurre: • accanto al concetto di forza quello di sforzo • accanto al concetto di cambio di dimensioni

(allungamento), quello di deformazione

Page 76: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

76

SFORZO È intuitivo pensare che lo stato di sollecitazione interna di un materiale (sforzo) dipenda dalla forza applicata ma anche dalla forma del pezzo Lo sforzo può essere valutato mediante opportuno rapporto tra la forza agente e le dimensioni del pezzo (sezione resistente) Lo sforzo non è una grandezza effettivamente misurabile, ma solo una astrazione elaborata per facilitare il compito al progettista La valutazione dello sforzo è facile se ci riferisce solo ai casi più semplici Nelle situazioni reali, la corretta valutazione dello sforzo è piuttosto complessa e spesso per poterlo stimare è necessario ricorrere a metodi di calcolo sofisticati quali i codici a elementi finiti

Page 77: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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DEFORMAZIONE

Un corpo soggetto a delle forze subisce comunque una variazione di dimensioni (allungamento, accorciamento, ecc.) La variazione di dimensione che subisce un corpo sottoposto a delle forze è una grandezza effettivamente misurabile, ma l’entità della variazione di forma dipende dalla dimensione iniziale Si definisce deformazione un opportuno rapporto tra la variazione di forma e le forma iniziale In un caso molto semplice (trazione) si immagini di avere due barre lunghe rispettivamente • lunghezza iniziale 10 cm • lunghezza iniziale 100 cm che dopo l’applicazione di una forza subiscono una variazione di forma rispettivo di • allungamento 5 cm • allungamento 50 cm dividendo l’allungamento per la lunghezza iniziale si può calcolare che • deformazione 5/10 = 0,5 • deformazione 50/100 = 0,5 i due corpi hanno subito allungamenti molto diversi (5 cm e 50 cm) ma uguale deformazione (0,5)

deformazione = 0,5

Page 78: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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SFORZO E DEFORMAZIONE I casi semplici di sforzo e connessa deformazione sono:

• trazione e compressione • taglio

• flessione • torsione

- - - - - - asse neutro

MMM M

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TRAZIONE E COMPRESSIONE Lo stato di trazione o compressione è determinato da due forze (spesso una forza applicata e una reazione vincolare) uguali ed opposte, che agiscono lungo la stessa direzione

Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma allungandosi in una direzione e accorciandosi nell’altra senza variare la forma rettangolare: • se il corpo tende ad allungarsi nella direzione della forza si

parla di deformazione a TRAZIONE • se il corpo tende accorciarsi nella direzione della forza si

parla di deformazione a COMPRESSIONE

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AZIONI INTERNE IN CASO DI TRAZIONE

• Si consideri una barra soggetta a due forze (o ad una forza applicata ed una reazione vincolare) uguali ed opposte allineate con l’asse della barra (che ne garantiscono l’equilibrio)

• Si voglia valutare se la barra è in grado di resistere oppure no alle forze applicate (si rompe oppure no) e di quanto si deforma

• Per poterlo valutare dobbiamo essere in grado di calcolare quale sia lo stato di sollecitazione effettivamente agente in una generica sezione

• Ciò può essere fatto calcolando le AZIONI INTERNE che

agiscono nella sezione stessa • La metodologia per il calcolo delle azioni interne è

relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito • Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della

barra in esame sia soggetta ad 1 forza di entità P che agisce perpendicolarmente alla sezione stessa

P

L

VA = P P

L

VA = P P

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SFORZO Consideriamo una barra di sezione resistente A0 sottoposta ad una forza F Si definisce sforzo [nominale] (σσ ) il rapporto tra la forza applicata (F) e la sezione iniziale (A0)

forza F Sforzo [nominale] = σσ = sezione iniziale A0

Unità di misura (sistema SI): • forza : Newton N (forza che applicata ad una massa di 1 kg imprime l’accelerazione di 1 m/s2)

• lunghezza metro m • sforzo Pascal Pa (N/m2) o più spesso: • sforzo megaPascal MPa (MN/m2) o (N/mm2) Conversioni: • 106 N/m2 = 106 Pa = 1 MPa = 1 N/mm2 • 109 N/m2 = 109 Pa = 1 GPa • 1 kg/mm2 = 9,81 MPa

AoA

F

F

F

F

Ao A

Page 82: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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DEFORMAZIONE Consideriamo una barra di sezione resistente A0 e lunghezza l0 sottoposta ad una forza F, che si allunga fino a raggiungere la lunghezza l

Si definisce deformazione [nominale] (εε ) il rapporto tra l’allungamento subito (∆l = l - l0) e la lunghezza iniziale (l0)

lunghezza finale - lunghezza iniziale Deformazione [nominale] = lunghezza iniziale

l - l0 ∆∆l εε = = l0 l0

Unità di misura: • adimensionale m/m mm/mm

loAo

l lo

∆lA

F

F

F

F

loAo

lo

∆lA

l

Page 83: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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DEFORMAZIONE PERCENTUALE La deformazione può essere espressa anche come deformazione percentuale, che è pari alla deformazione moltiplicata per 100:

l - l0 ∆∆l εε% = εε . 100 = . 100 = . 100 l0 l0

Unità di misura: • adimensionale m/m mm/mm E’ necessario fare molta attenzione e non confondere la deformazione (εε ) con la deformazione percentuale (εε%), perché si rischia di introdurre un errore di 2 ordini di grandezza

Page 84: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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MODULO DI POISSON Sottoponendo un materiale ad una forza lungo l’asse z, esso subisce una deformazione positiva (allungamento) (+εεz) lungo tale direzione, e una deformazione negativa (contrazione) lungo gli assi x (-εεx ) e y (-εεy) Viceversa se si ha deformazione negativa lungo l’asse z (-εεz) si ha deformazione positiva lungo gli assi x (+εεx) e y (+εεy) In presenza di un solido isotropo εεx e εεy sono uguali

Si definisce Modulo di Poisson (νν ) il rapporto invertito di segno tra la deformazione laterale (εεx o εεy) e la deformazione longitudinale (εεz)

εε laterale εεx εεy νν = - = - = - εε longitudinale εεz εεz

Poiché le deformazioni laterale e longitudinale hanno segno opposto, l’aggiunta del segno meno garantisce che νν sia positivo

Page 85: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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VALORI DEL MODULO DI POISSON Per i materiali ideali νν dovrebbe essere pari a 0,5 (costanza del volume); se νν < 0,5 la contrazione laterale è inferiore al dovuto, cioè sotto sollecitazione il corpo aumenta di volume Valori tipici del coefficiente di Poisson νν : • materiali metallici 0,3 ÷÷ 0,35 • materiali ceramici 0,1 ÷÷ 0,25 • materiali polimerici (termoplastici) > 0,4 • caucciù e polimeri elastomerici ≈ 0,5

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ESERCIZIO Domanda:

Si consideri un parallelepipedo con i lati a0, b0 ed l0 inizialmente di lunghezza 5, 8 e 200 mm sottoposto ad una forza assiale di 400 kgf (orientata parallelamente al lato di lunghezza 200 mm). 1. Ipotizzando che la conversione tra kgf e N sia 1 kgf = 10

N (anziché 9,81 N), calcolare lo sforzo agente in kgf/mm2, kN/mm2 e MPa.

2. Ipotizzando che dopo l'applicazione della forza il parallelepipedo abbia subito una deformazione dello 0,02 e che il modulo di Poisson sia pari a 0,4, calcolare le dimensioni del parallelepipedo (lati a, b, l) dopo l'applicazione della forza stessa.

Risposta: F l - l0 εε lat

σσ = εε = νν = - A0 l0 εε long

1. σ (kgf/mm2) = 400/40 = 10 kgf/mm2 σ (kN/mm2) = (400· 10· 10-3)/40 = 0,1 kN/mm2 σ (MPa) = (400· 10· 10-6)/(40· 10-6)=100 MN/m2=100 MPa σ (MPa) = (400· 10)/40 = 100 N/mm2 = 100 MPa 2. 0,02 = (l-200)/200 4 = l-200 l = 200+4 l = 204 mm 0,4 = -(εlaterale/0,02) εlaterale = -0,4· 0,02 = -0,008 a = a0 + a0

.εlaterale = 5-5· 0,008 = 5-0,04 = 4,96 mm b = b0 + b0

.εlaterale = 8-8· 0,008 = 8-0,064 = 7,936 mm

Page 87: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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LEGAME SFORZO-DEFORMAZIONE Fino a che si resta in campo elastico (in presenza di deformazioni reversibili), il legame sforzo-deformazione è dato dalla

LEGGE DI HOOKE

σσ = E· εε oppure E = σσ/εε oppure εε = σσ/E dove: σσ = sforzo applicato (in MPa),

εε = deformazione (adimensionale), E = modulo di elasticità o di Young (in MPa).

Unità di misura: • si calcola in MPa • per comodità spesso si riporta in GPa

• 1 GPa = 1000 MPa • 1 MPa = 10-3 GPa

Page 88: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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VALORI DEL MODULO DI ELASTICITÀ La deformazione che un materiale subisce se sottoposto ad un certo sforzo dipende molto dal tipo di materiale Ad esempio a parità dei dimensioni e sforzo i polimeri di più diffuso impiego (E ≈ 2 GPa) subiscono una deformazione 100 volte maggiore di un acciaio (E ≈ 200 GPa); nel caso di elastomeri (E ≈ 0,005 GPa) tale rapporto può diventare anche circa 40.000 La conoscenza del suo valore del modulo di elasticità è pertanto fondamentale per prevedere la il comportamento in esercizio di un materiale Valori tipici del modulo di elasticità E:

• metalli 70-230 GPa (acciaio 200 GPa) • ceramici:

tradizionali 10-100 GPa avanzati fino 400 GPa diamante 1000 GPa

• polimeri 2-8 GPa (valore più comune 2 GPa) • elastomeri 0,005 GPa • legno 10-30 GPa • compositi fino 200 GPa (a matrice polimerica)

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ESERCIZIO Domanda:

Un parallelepipedo con i lati ao, bo ed lo inizialmente di lunghezza 10, 20 e 100 mm è soggetto ad una forza F di 8150 kgf allineata con l'asse lo. Sapendo che il modulo di elasticità del materiale è 200 GPa, calcolare la deformazione, la deformazione percentuale e la lunghezza finale l del parallelepipedo.

Risposta: F l - l0

σσ = εε = εε% = εε · 100 σσ = E· εε A0 l0

F = 8150· 9,81 = 80.000 N σ = F/(a· b) = 80.000/(20· 10) = 400 MPa ε = σ/E = 400/200.000 = 0,002 ε% = 0,2% ε = (l-lo)/lo l-lo = lo· ε l = lo+(lo· ε) = 100+(100· 0,002) = 100,2 mm

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ESERCIZIO

Livello 2

Domanda: Si immagini di sollevare un peso da 48,93 kg mediante un attrezzo costituito da una maniglia e un gancio di acciaio, connessi con una barra di polimero (E = 2,0 GPa, ν = 0,4) di lunghezza 1 m e sezione 4×4 mm. Calcolare, nel momento in cui il peso si solleva dal terreno, la lunghezza finale della barra di polimero e la variazione di dimensione di ogni lato della sezione (indicando se positiva o negativa). Risposta:

F l - l0 εε lat σσ = εε = σσ = E· εε νν = - A0 l0 εε long

F = 48,93· 9,81 = 480N σ = F/Ao = 480/16 = 30 MPa ε = σ/E = 30/2000 = 0,015 l-lo = ε· lo l = lo· (1+ε) = 1000· (1+0,015) = 1015 mm εlat = -ν· εlong = -0,4· 0,015 = -0,006 a-ao = ε lat· ao = -0,006· 4 = -0,024 mm

Page 91: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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TAGLIO Lo stato di taglio è determinato da due forze (spesso una forza applicata e una reazione vincolare) uguali ed opposte, che agiscono lungo direzioni parallele

Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma trasformandosi in romboedro (inclinato di un angolo θ)

Page 92: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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AZIONI INTERNE IN CASO DI TAGLIO

• Considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso della trazione possono essere fatte nel caso del taglio

• Si consideri una barra soggetta a due forze (o ad una forza applicata ed una reazione vincolare) uguali ed opposte che agiscono su piani paralleli

• La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito

• Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 forza di entità P che agisce parallelamente alla sezione stessa

P P

R = P

P

R = P

Page 93: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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SFORZO DI TAGLIO Un materiali può deformarsi per effetto di una coppia di forze che agiscono in senso opposto su due superfici tra loro parallele Immaginando che le forze S agiscano su due superfici parallele di area A, si definisce SFORZO DI TAGLIO (ττ) il valore

forza di taglio S Sforzo di taglio = ττ = sezione interessata A

Unità di misura (sistema SI): • sforzo Pascal Pa (N/m2) o più spesso: • sforzo megaPascal MPa (N/mm2)

forza di taglio S

R = S

sezione interessata A

Page 94: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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DEFORMAZIONE DI TAGLIO Il materiale soggetto ad uno sforzo di taglio si deforma spostando uno rispetto all’altro i due piani Immaginando che lo spostamento a si verifichi tra due superfici poste a distanza h, si definisce DEFORMAZIONE DI TAGLIO (γγ) il valore:

spostamento a Deformazione di taglio = γγ = = tg θθ distanza h

dove θθ è l’angolo di scostamento tra le due superfici, misurato in radianti (per piccoli angoli γγ = θθ ) Unità di misura: • adimensionale m/m mm/mm

forza di taglio S

R = S

angolo θθ

scostamento a

distanza h

Page 95: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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ESERCIZIO Domanda:

Si consideri un parallelepipedo con i lati a, b e l di lunghezza 5, 10 e 40 cm soggetto a due forze S1 e S2 uguali ed opposte pari a 200 kN che agiscono sulle superfici parallele a-b. 1. Calcolare lo sforzo di taglio τ in MPa ed in kgf/mm2. 2. Ipotizzando che la deformazione di taglio sia pari al 2%,

calcolare di quanto trasla il punto di applicazione di S2 rispetto a quello di applicazione di S1.

Risposta:

S a ττ = γγ =

A h

1. τ (MPa) = τ (N/mm2) = S/A = 200000/5000 = 40 MPa

τ (kgf/mm2) = τ (MPa)/9,81 = 4,2 kgf/mm2

spostamento a

2. deformazione taglio γ = ------------------------- = 2% = 0,02 distanza h

spostamento a = deformazione taglio γ· × distanza h =

= 0,02· 400 = 8 mm

Page 96: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

96

LEGAME SFORZO-DEFORMAZIONE Anche nel caso del TAGLIO può essere scritta una legge che lega lo sforzo alla deformazione

ττ = G· γγ oppure G = ττ/γγ oppure γγ = ττ/G dove: ττ = sforzo di taglio applicato (in MPa),

γγ= deformazione di taglio (adimensionale), G = modulo di taglio (in MPa).

La legge è simile alla legge di Hooke valida per deformazione a trazione o compressione σσ = E· εε Il valore di G è legato a quelli di E (modulo di Young) e νν (modulo di Poisson) tramite la relazione:

G = E/2(1+νν)

Page 97: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

97

ESERCIZIO

Livello 2

Domanda: Una lastra di vetro (E = 100 GPa, ν = 0,3) di dimensioni 1×2 metri e altezza 1 cm, sia appoggiata su due sostegni in pietra (E = 120 GPa, ν = 0,3) di dimensioni 10×60 cm e altezza 80 cm. Fra vetro e ognuno dei sostegni vengono interposti due quadrati 5×5 cm di gomma naturale (E = 6 MPa, ν = 0,5) che, dopo che il vetro è stato appoggiato, diviene di spessore 2 cm. Calcolare, trascurando le deformazioni di secondario effetto, di quanto si sposta verso destra la lastra di vetro, se essa viene spinta lateralmente da sinistra, con una forza di 1000 N.

Risposta:

S a ττ = γγ = ττ = G· γγ G = E/2(1+νν )

A h

τ = S/A = 1000/4· 502 = 0,1 MPa G = E/2(1+ν) = 6/2(1+0,5) = 2 MPa γ = τ/G = 0,1/2 = 0,05 a = γ· h = 0,05· 20 = 1 mm

Page 98: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

98

FLESSIONE Lo stato di flessione è determinata da due momenti (spesso un momento applicato e una reazione vincolare momento) uguali ed opposti, che agiscono sullo stesso piano

• Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si

deforma curvandosi • In una generica sezione si passa progressivamente da una

situazione in cui le fibre sono sollecitate a trazione e allungate (+σ, +ε), ad una condizione in cui le fibre sollecitate a compressione e accorciate (-σ, -ε)

• Esiste una zona (asse neutro) in cui le fibre non sono né sollecitate, né deformate; in caso di geometria semplice (quadrata, rettangolare, rotonda) l’asse neutro è sulla mezzaria

• Oltre che una deformazione locale (ε) si ha anche una macro deflessione (δδ) che misura lo spostamento della zona maggiormente flessa rispetto alla posizione iniziale

- - - - - - asse neutro

MMM M

δ+σ, +ε

-σ, −ε

asse neutro

Page 99: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

99

FLESSIONE Si consideri una trave di una certa lunghezza e sezione rettangolare, caricata con due momenti uguali ed opposti La trave sia abbia nel primo caso orientata con il lato maggiore della sezione verso l’alto e nel secondo caso con il lato minore (ribaltamento di 90°) E’ intuitivo che: • le travi tendono a rompersi più facilmente e a flettersi

maggiormente quanto maggiore è la coppia di momenti applicati M (⇒⇒ σσ e δ δ aumentano con M)

• la trave orientata con il lato maggiore della sezione verso l’alto (a parità di sezione, di momenti applicati M e di materiale) si rompe più difficilmente e si flette meno rispetto

⇒⇒ σσ e δ δ diminuiscono con un parametro legato alla disposizione della sezione rispetto al carico a flessione, detto MOMENTO DI INERZIA)

• la sollecitazione dipende fortemente dalla posizione rispetto all’asse neutro (⇒⇒ σσ dipende da y)

y positivo: sforzo di trazione y nullo (asse neutro): sforzo nullo y negativo: sforzo di compressione

M

-y +y

-y +y

M M M

Page 100: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

100

MOMENTI DI INERZIA Valuta la resistenza che una sezione oppone a essere deformata e dipende dalla sua geometria

d

d Iquadrato = d4/12

d

h Irettangolo = d·h3/12

h'

d

hd'/2 Idoppia ti=(d·h3-d'·h'3)/12

r Ibarra= πr4/4

rr' Itubo= π(r4-r'4)/4

r

t

Itubo parete sottile=2πr3t

t r Itubo tagliato=2πr3t(1-3t/2r)

Page 101: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

101

MOMENTI DI INERZIA In linea di massima il momento di inerzia: • è proporzionale all’altezza della sezione elevata alla terza

potenza (al cubo) • è proporzionale alla larghezza della sezione alla prima

potenza Conseguentemente a parità di area della sezione (quantità di materiale): • tanto più è grande il rapporto altezza/larghezza della

sezione, tanto più è alto il momento di inerzia • la sezione a doppia T garantisce il massimo valore del

momento di inerzia • le sezioni cave determinano un momento di inerzia

superiore alle sezioni piene

Page 102: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

102

AZIONI INTERNE IN CASO DI FLESSIONE

• Considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso della trazione e del taglio possono essere fatte nel caso di flessione

• Si consideri una barra soggetta a due momenti (o ad un momento applicato ed una reazione vincolare momento) uguali ed opposte che agiscono sullo stesso piano

• La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito

• Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 momento di entità M che agisce perpendicolarmente alla sezione stessa

R = M M

R = M M M

Page 103: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

103

FLESSIONE: SFORZO Lo sforzo in un generico punto della sezione può essere calcolato come:

M · y σσ = Ι Ι

ove σσ = sforzo di trazione agente (MPa = N/mm2)

M = momento agente (N.mm) y = distanza dall’asse neutro (mm) ΙΙ = momento di inerzia (mm4)

Page 104: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

104

FLESSIONE: DEFORMAZIONE Localmente: • ogni fibra si deforma in base alla legge di Hooke σσ = E· εε A livello macroscopico: • si ha una macro deflessione δδ che a:

• aumenta con l’aumento del momento applicato M • aumenta con il quadrato dell’aumento della lunghezza

della trave L • diminuisce con l’aumento dal momento di inerzia ΙΙ • diminuisce con l’aumento dal modulo di elasticità E

La massima deflessione che subisce la trave può essere calcolata mediante opportune formule che verranno esaminate caso per caso

f (M · L2) δδmax = f (E · ΙΙ )

δ

L L

δM M M M

Page 105: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

105

TRAVE SU DUE APPOGGI (con forza agente in mezzaria)

P

R1 R2

L

L/2

R1 = R2 = P/2 Anche se la dimostrazione verrà data in seguito, alcune considerazioni sono intuitive o possono essere accettate per valide: • la trave è sollecitata da una forza P e da due reazioni

vincolari R1 ed R2 entrambe pari a P/2 • la trave tende a flettersi e il punto di massima sollecitazione

(in cui eventualmente si romperebbe) è al centro in corrispondenza al punto di applicazione di P

• il momento flettente massimo al centro della trave vale Mmax

= F· L/4 e le formule di calcolo necessarie per calcolare lo sforzo e la deflessione al centro della trave valgono:

F· L· y σσ = 4· Ι Ι

F· L3 δδmax = 48· E· Ι Ι

Page 106: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

106

Page 107: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

107

ESERCIZIO Livello 2

Domanda:

Una trave di lunghezza 250 cm è soggetta a flessione in tre punti da parte di una forza pari a 4,8 kN applicata nel centro della trave, che poggia su due appoggi posti alla distanza di 200 cm. Ipotizzando un modulo di elasticità del materiale di cui è fatta la trave pari a 200 GPa, calcolare la massima deflessione per le tre seguenti sezioni (tutte di pari area): (1) rettangolare con w = 20 mm e h = 50 mm; (2) rettangolare con w = 50 mm e h = 20 mm; (3) a doppia T con w = 20 mm, h = 80 mm, h’ = 60 mm, w’/2 = 5 mm.

Risposta:

unità di misura utilizzate: forza in N, lunghezze in mm

ΙΙ = w· h3/12

ΙΙ1 = 20· 503/12 ≈ 210.000 ΙΙ2 = 50· 203/12 ≈ 33.000 ΙΙ3 = [(20· 803)-(10· 603)]/12 ≈

670.000

δmax = F· L3/48· E· ΙΙ

δ1max = 4800· 20003/48· 200.000· 210.000 ≈ 19 mm δ2max = 4800· 20003/48· 200.000· 33.000 ≈ 121 mm δ3max = 4800· 20003/48· 200.000· 670.000 ≈ 6 mm

Page 108: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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ESERCIZIO Livello 2

Domanda: Si consideri una libreria realizzata con mensole scatolate di larghezza 25 cm, altezza 3 cm e distanza tra gli appoggi 2 m, ottenute piegando e saldando una lamiera di alluminio (E = 60 GPa) di spessore 2,5 mm [si ipotizzi che il momento di inerzia valga 240000. Si calcoli quanti libri da 1019 g possono essere caricati su ogni mensola (ipotizzando di posizionarli al centro) senza che la deflessione della mensola superi 1 cm.

Risposta:

δδmax = F· L3/48· E· ΙΙ

F = 48· δ· E· ΙΙ/ L3 = 48· 10· 60000· 240000/20003 = 864 N Peso 1 libro = 1,019· 9,81 = 10 N Libri = 864/10 = 86 libri

25 cm

W’ 3 cm h’

Spessore lamiera 2,5 mm

Page 109: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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TRAVE INCASTRATA (con forza agente all'estremità opposta)

P

L

R=P

M=PL

Anche se la dimostrazione verrà data in seguito, alcune considerazioni sono intuitive o possono essere accettate per valide: • la trave è sollecitata da una forza P e da una reazione

vincolare verticale R pari a P e da una reazione vincolare momento M pari a P.L

• la trave tende a flettersi e il punto di massima sollecitazione (in cui eventualmente si romperebbe) è nell’incastro

• il momento flettente massimo nel punto dell’incastro della trave vale Mmax = F· L e le formule di calcolo necessarie per calcolare lo sforzo e la deflessione al centro della trave valgono:

F· L· y σσ = Ι Ι

F· L3 δδmax = 3· E· Ι Ι

Page 110: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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TORSIONE Determinato da due momenti (un momento applicato e una reazione vincolare momento) di segno opposto agenti su due piani paralleli

Lo sforzo di torsione è dato in ogni punto da: Il momento massimo agente vale:

ττ = M· y/K

dove : M è il momento agente, y la distanza dall’asse neutro, K il momento polare di inerzia (alla torsione).

In caso di corpo di forma tonda di raggio r, lo sforzo di torsione è massimo sulla superficie esterna del tondo e vale:

ττmax = 2· M/ππ· r3 Anche per la torsione conoscendo i momenti applicati, la geometria del pezzo ed i momenti polari di inerzia, è possibile calcolare gli sforzi e le deformazione agenti.

Page 111: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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MOMENTI DI INERZIA A TORSIONE

d

d Iquadrato = 0,141d4

d

Itriangolo = (√3/80)d4

r Ibarra= πr4/2

rr' Itubo= π(r4-r'4)/2

r

t

Itubo parete sottile= πr3t/2

r

t

Itubo tagliato= 2πrt3/3

Page 112: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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FORMULE DA UTILIZZARE

TRAZIONE E COMPRESSIONE

F l - l0 εε lat σσ = εε = εε% = εε · 100 νν = - σσ = E· εε A0 l0 εε long

TAGLIO

S a ττ = γγ = ττ = G· γγ G = E/2(1+νν )

A h

FLESSIONE tre punti

M· y F· L F· L3 σσ = Mmax = δδmax =

ΙΙ 4 48· E· ΙΙ

FLESSIONE trave incastrata

M· y F· L3 σσ = Mmax = F· L δδmax =

ΙΙ 3· E· ΙΙ

MOMENTI DI INERZIA (A FLESSIONE)

rettangolare: ΙΙ = w· h3/12 doppia T: ΙΙ = (w· h3-w’· h’3)/12 circolare: ΙΙ = ππr4/4

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Page 114: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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SFORZO DI SNERVAMENTO E DI ROTTURA Un materiale a comportamento elastico (anche fragile) è caratterizzato dalla presenza di: • uno sforzo di rottura, al di sopra della quale si verifica la

rottura finale del componente Un materiale a comportamento elastico-plastico è caratterizzato dalla presenza di: • uno sforzo di snervamento, che separa il campo elastico

da quello plastico • uno sforzo di rottura, al di sopra della quale si verifica la

rottura finale del componente

Deformazione

Sforzo

Sforzo di snervamento

Sforzo di rottura

Sforzo

Deformazione

Sforzo di rottura

Page 115: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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MATERIALI ELASTICI (anche fragili) Se lo sforzo applicato è inferiore allo sforzo di rottura (σ < σrottura) il materiale opera in campo elastico; se si toglie lo sforzo applicato la deformazione viene recuperata Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di rottura (σ > σrottura) si supera la massima resistenza meccanica del materiale e l’oggetto si rompe

Viene recuperata la forma iniziale

rompe

Page 116: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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MATERIALI ELASTO-PLASTICI Se lo sforzo applicato è inferiore allo sforzo di snervamento (σ < σsnervamento) il materiale opera in campo elastico; se si toglie il carico applicato la deformazione viene recuperata Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di snervamento ma inferiore allo sforzo di rottura (σsnervamento < σ < σrottura) il materiale opera in campo plastico; se si toglie il carico applicato la sedia resta deformata plasticamente in modo permanente poiché viene recuperata solo la componente elastica Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di rottura (σ > σrottura) si supera la massima resistenza massima del materiale e l’oggetto si rompe

rompe

Resta una deformazione permanente

Viene recuperata la forma iniziale

Page 117: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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GRANDEZZE NECESSARIE PER STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE

Ci si era posti inizialmente l’obiettivo, conoscendo le forze agenti e le dimensioni di un corpo, di calcolare gli sforzi agenti e le deformazioni conseguenti per poter verificare: • se un pezzo resiste alle forze applicate oppure no • se si deforma in modo eccessivo o no Per poter sapere se un corpo resiste alle forze applicate oppure no, per ogni materiale dobbiamo conoscere: • σσammmissibile massimo sforzo che un certo materiale può

sopportare senza rompersi o senza che su esso avvengano eccessive deformazioni plastiche irreversibili

Nel caso di materiali isotropi, (come sono in genere tutti i materiali tranne i materiali compositi a fibre e i materiali naturali) per poter calcolare, noti gli sforzi, le deformazioni che esso subisce, dobbiamo conoscere le tre costanti elastiche: • E modulo a trazione, che lega lo sforzo di trazione alla

deformazione tramite la legge di Hooke (σσ = E.εε ) • G modulo a taglio, che lega lo sforzo di taglio alla

deformazione tramite la legge (ττ = G.γγ) • νν modulo di Poisson, che lega la deformazione

longitudinale alla deformazione trasversale (νν = -εε lat/εε long) Data la formula che lega tra loro queste grandezze [G = E/2(1+νν )] è sufficiente in realtà conoscere due di tali grandezze (in genere E e ν) Nella Tabella seguente sono riportati i valori di σσammmissibile, E e νν per i principali tipi di materiali

Page 118: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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GRANDEZZE NECESSARIE PER STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE

Valori indicativi di alcune caratteristiche meccaniche per alcune classi di materiali Materiale σammissibile

(MPa) E

(GPa) ν (-)

acciai 320-2000 190-210 0,3 ghise 100-800 135-155 0,2 leghe di rame 235-860 105-125 0,35 leghe di alluminio 70-600 65-75 0,35 gomma 3-10 0,005-3 0,5 plastica 10-120 1-8 0,4 plastica rinforzata 800-1500 45-200 - calcestruzzo 30-50* 10-38 0,2 vetro 100-120 70 0,23 allumina 300 380 0,16 * a compressione (a trazione o flessione valori molto più bassi)

Page 119: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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ESERCIZIO Livello 2

Domanda: Si dimensioni lo spessore dello schienale di una sedia. Esso in prima approssimazione può essere assimilato a una mensola di larghezza 40 cm e profondità 40 cm, incastrata in un estremo e sulla quale grava nell’estremo opposto un peso di 55 kgf e che sia accettabile un abbassamento massimo della mensola di 1 cm. Si ipotizzi l’uso di: (1) lega di alluminio (σammissibile = 135 MPa, E = 80 GPa) (2) polimero (σammissibile = 19,2 MPa, E = 2 GPa) (3) legno (σammissibile = 19,2 MPa, E = 20 GPa)

Risposta:

unità di misura utilizzate: forza in N, lunghezze in mm

σmax = M· y/ΙΙ = F· L· h/2ΙΙ = 6· F· L/w· h2 h = √(6· F· L/w· σmax)

δmax = F· L3/3· E· ΙΙ = 4· F· L3/E· w· h3 h = √(4· F· L3/E· w· δmax)

(1) h1σ = √(6· 540· 400/400· 135) ≈ √24 ≈ 5 mm h1δ = 3√(4· 540· 4003/80.000· 400· 10) ≈ 3√216 ≈ 6 mm (2) h3σ = √(6· 540· 400/400· 19,2) ≈ √169 ≈ 13 mm h3δ = 3√(4· 540· 4003/2.000· 400· 10) ≈ 3√17280 ≈ 26 mm (3) h2σ = √(6· 540· 400/400· 19,2) ≈ √169 ≈ 13 mm h2δ = 3√(4· 540· 4003/20.000· 400· 10)≈ 3√1728 ≈ 12 mm Ad esempio nel caso di uso di lega di alluminio, è necessario uno spessore di 5 mm per garantire che la mensola non si rompa (o pieghi) e uno spessore di 6 mm per garantire che non si pieghi eccessivamente; pertanto lo spessore minimo necessario è di 6 mm (spessore che garantisce da entrambe le eventualità)

critico

critico

critico

Page 120: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

120

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI UN MATERIALE

Le principali caratteristiche meccaniche di un materiale sono: • resistenza • rigidezza • duttilità • tenacità Ognuna di queste caratteristiche può essere stimata mediante opportuni valori numerici La conoscenza delle caratteristiche meccaniche dei vari materiali è necessaria per giungere ad una scelta oculata

Page 121: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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RESISTENZA Definizione: • capacità di un materiale di sopportare una

sollecitazione (statica) senza snervarsi e/o rompersi Grandezze caratterizzanti: • sforzo di snervamento: σσsn (σ0,2%, Rs, Rsn, TYS) • sforzo di rottura: σσR (σR, R, Rmax, UTS)

SFORZO DI SNERVAMENTO E ROTTURA

Deformazione

Sforzo

Sforzo di snervamento

Sforzo di rottura

Page 122: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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RIGIDEZZA Definizione: • capacità di un materiale di opporsi alla deformazione

elastica (reversibile) Grandezza caratterizzante: • modulo di elasticità: E N.B.: in presenza di flessione o torsione dipende anche dal momento di inerzia (I)

MODULO DI ELASTICITA’

Sforzo

Deformazione

alto modulo

basso modulo

Page 123: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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DUTTILITA’ Definizione: • capacità di un materiale di subire deformazione plastica

(permanente) Grandezza caratterizzante: • allungamento percentuale dopo rottura: A% ALLUNGAMENTO %

Deformazione

Sforzo

Allungamento %

Page 124: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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TENACITA’

Definizione: • capacità di un materiale di opporsi alla frattura fragile a

seguito della presenza di difetti o di urti

Grandezza caratterizzante: • tenacità a frattura: KIc

TENACITA’ A FRATTURA

• Se in un materiale sono presenti difetti interni (o è soggetto ad urti), il materiale può rompersi in modo fragile per la propagazione di una cricca con origine dal difetto stesso

• La frattura fragile si verifica più facilmente su alcuni materiali e meno su altri ed è tanto più facile quanto: • la sollecitazione σσ è elevata • il difetto a è grande • la forma del difetto ββ è acuta

Una grandezza che caratterizza adeguatamente tale comportamento è la tenacità a frattura KIc

KIc = ββ⋅⋅σσ⋅⋅√√ππ⋅⋅a (unità di misura MPa√m)

A B C D E

A<B B C>B D>B C<B

Page 125: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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Tanto più è basso il valore di KIc tanto più il materiale è suscettibile a rottura fragile e viceversa

Page 126: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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TIPICHE CARATTERISTICHE MECCANICHE PROPRIETA’ RESISTENZA RIGIDEZZA DUTTILITA' TENACITA'

caratteristica

sforzo ammissibile

deformazione elastica

recuperabile

deformazione plastica

permanente

non fragilità

ósn (MPa) ór (MPa) E (GPa) A (%) KIc (MPa�m) METALLI acciai 320 - 1800 400 - 2000 190 - 210 1 - 60 50 - 170 ghise - 100 - 800 135 - 155 0 - 26 45 leghe di alluminio 35 - 500 90 - 570 65 - 75 3 - 40 24 - 44 leghe di rame 70 - 1400 220 - 1500 105 - 125 1 - 60 - POLIMERI polietilene (LDPE) 9 - 14,5 8,3 - 31,4 0,17 - 0,28 100 - 650 1 - 3 polistirene (PS) - 35,9 - 51,7 2,28 - 3,28 1,2 - 2,5 0,7 - 1,1 elastomero - 7 - 30 0,005 - 3 400 - 1200 - CERAMICI calcestruzzo - 37,2 - 41,4* 10 - 38 - - vetri - 100 - 120 70 - 0,8 allumina - 275 - 550 380 - 2,7 - 4,2 NATURALI legno - - 10 - 30 - -

Page 127: Cigada Comportamento Meccanico Dei Materiali

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ESERCIZIO Livello 2

Domanda: Si debbano realizzare: • un calcolatore portatile ultraleggero • un telefono cellulare di peso contenuto L’involucro esterno deve avere contemporaneamente le seguenti proprietà: • basso peso • alta rigidezza • alta resistenza meccanica Oltre che un basso costo del materiale, la produzione in serie impone inoltre un basso costo di lavorazione (il pezzo deve poter essere ottenuto per stampaggio) Si discutano, alla luce della tabella sorroriportata, le principali alternative, consistenti in: • polimero termoplastico gommoso (Tg<20°C): polipropilene • polimero termoplastico vetroso (Tg>20°C): polistirene • composito epossidica-fibra di carbonio bidirezionale • leghe metalliche leggere (alluminio, titanio, ecc.)

Materiale d (g/cm)

σσammissibile (MPa)

E (GPa)

Resistenza all’urto

Costo (Euro/kg)

Costo lavorazione

Polipropilene (PP) 0,90 31-37 1,5 media 1,2 basso Polistirene (PS) 1,05 35-50 3,3 bassa 1,3 basso Policarbonato (PC) 1,2 65 2,3 alta 4,0 basso Composito carbonio 2 200 50 molto alta 20 alto* Alluminio (Al) 2,70 76-160 66 molto alta 2,0 medio Titanio (Ti) 4,54 205-480 105 molto alta 11 alto** Magnesio (Mg) 1,74 124-276 45 molto alta 3,3 medio * non è possibile realizzare il pezzo per semplice stampaggio ** di difficile lavorazione

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