G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Applicazio

ne

Dall’ugello della doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della seconda e terza goccia in quell’istante.

• Ogni quanto tempo cade una goccia?– Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne

sono cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli).

– E’ essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2 metri tra l’ugello e il fondo.

• Studiamo il moto di una goccia: – il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità.

– Facciamo partire il cronometro nell’istante in cui la goccia si stacca dall’ugello.

– Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso l’alto, con l’origine sul fondo.

– Con questa scelte le condizioni iniziali sono:• xo=2m

• vxo=0m/s

• axo=-g=-9.81m/s2 l’accelerazione di gravità è diretta verso il basso


Applicazio

ne

• La legge oraria della goccia sarà:

x(t) =xo −12gt2

vx(t) =−gt

L’istante tf in cui la goccia tocca il fondo si può calcolare imponendo che la posizione in quell’istante sia nulla:

x(tf )=xo −12gtf

2 =0 ⇒ tf =±2xo

g=±

2×2m9.81m

s2=.63s

La durata del moto della goccia è dato da tf -ti

Poiché ti è uguale a zero la durata è tf =.63sL’intervallo tra una goccia e la successiva è un terzo di questo valore t=.21s

Per sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo un t e dopo due t.

x(Δt) =xo −12 gΔt2 =2m−1

2 9.81×.212 =1.78m

x(2Δt) =xo −12 g 2Δt( )2 =2m−1

2 9.81×.422 =1.13m


Applicazio

ne

Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il contatto.

• La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso

• Poiché rimbalza verso l’alto, riparte dal suolo con una velocità diretta verso l’alto.

• C’è stata quindi una variazione di velocità. C’è stata una accelerazione!

• Fissiamo l’asse y di riferimento diretto l’alto, coincidente con la verticale passante per il punto di impatto, con l’origine nel punto di impatto.

amy =vyf −vyi

Δt

Occorre calcolare la velocità finale e quella iniziale sull’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo.La velocità iniziale è quella con cui arriva al suolo dopo la caduta di 4 mLa velocità finale è quella con cui riparte dal suolo.


Applicazio

ne

• Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità)

• Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono:

– yo= 4.00m

– voy=0m/s

– aoy=-g=-9.81m/s2

• La legge oraria vale:

• L’istante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che y(tf)=0 (va preso l’istante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è partita)

y(t) =yo −12gt2

vy(t) =−gt

y(tf )=yo −12gtf

2 =0 ⇒ tf =±2yo

g=±

2×4m9.81m

s2=.903s

• La velocità in quell’istante sarà: vy(t) =−gtf =−9.81ms2

×.903s=−8.85ms

• Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da utilizzare nella formula dell’accelerazione media.


Applicazio

ne

• Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dell’accelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita.

• Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità)

• Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono:

– yo= 0.00m

– voy=? da determinare

– aoy=-g=-9.81m/s2

• La legge oraria vale:

y(t) =voyt −12gt2

vy(t) =voy −gt

y =voyt +−12 gt2 =voy −

vy −voy

g

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ +−1

2 g −vy −voy

g

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

2

=

• Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: t =−vy −voy

g

y =−voyvy

g+

voy2

g−1

2 gvy

2

g2 −12g

voy2

g2 +gvoyvy

g2 =12

voy2

g−1

2

vy2

g

• Da cui: vy2 −voy

2 =−2gy


Applicazio

ne

• Abbiamo ottenuto l’espressione della velocità in funzione dalla posizione

• Possiamo ricavare voy:

vy2 −voy

2 =−2gy

• Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto di risalita che in quello di discesa.

• Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la velocità è nulla:

−voy2 =−2gymax

voy = 2gymax= 2×9.81ms2 ×2m = 39.24m2

s2 =6.26ms

• Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa all’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo.

• L’accelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque:

amy =vyf −vyi

Δt=

6.26ms − −8.85m

s( )12×10−3s

=1256ms2


Accelerazione in funzione della posizione

• In alcuni casi l’accelerazione è nota in funzione della posizione del punto materiale ax(x).

– Quindi non si conosce direttamente ax (t), ma la dipendenza dal tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), ax (x(t)).

dvx(t)dt

=ax(x)

• L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dvx e l’intervallo di tempo dt è proprio uguale all’accelerazione.

• Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto materiale nell’intervallo di tempo dt

– Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo) ma diverso da zero.

– Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dell’equazione precedente per dx



• Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente uguaglianza: dvx

dtdx=ax(x)dx

• Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso l’intervallo di osservazione del moto, otteniamo:

• Osservando che dx/dt è la velocità vx, si ottiene:

dvxdxdt

=vxdvx =ax(x)dx vxdvx =ax(x)dx

vxdvxi

f

∫ = ax(x)dxi

f

∫• Integriamo il primo membro:

vxdvxi

f

∫La variabile di integrazione è vx

La funzione integranda è f(vx)= vx

La primitiva F(vx)= v2x/2



• Pertanto:

• Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere l’espressione di ax(x).

• Esaminiamo il caso in cui l’accelerazione ax(x) è costante, ax(x)= axo.

• In conclusione otteniamo: vxf2 −vxi

2 =2 ax(x)dxi

f

∫

• Chiamando, come al solito, vxi=vxo, xi=xo, xf=x(t) e vxf=vx(t)

vxdvxi

f

∫ =vx

2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ i

f

=vxf

2

2−

vxi2

2

vxf2 −vxi

2 =2 axodxi

f

∫ =2axo dxi

f

∫ =2axo x[ ]if =2axo(xf −xi )

vx2(t) −vxo

2 =2axo(x(t)−xo)

• Che ci da l’espressione di v in funzione di x• Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi.

vx2 −vxo

2 =2axo(x −xo)

vy2 −voy

2 =−2gy


La misura di g

• L’apparato sperimentale consiste in 12 coppie di fotocellule -fotodiodi poste a distanza di 4 cm l’una dall’altra lungo la verticale.

• Una pallina viene fatta cadere tra le fotocellule

• Si misurano 11 intervalli di tempo impiegati dalla pallina per percorrere lo spazio tra due fotocellule successive.

• Conoscendo la distanza tra due fotocellule successive si possono misurare 11 valori di velocità media

y t1

t2

t3

vmi =ΔyΔt


Relazione tra la velocità media e la velocità istantanea

• Il moto viene studiato in un sistema di riferimento con l’asse y orientato verso il basso

• Supponendo di far partire la misura dei tempi quando la pallina passa davanti alla prima fotocellula, che viene anche assunto come origine del sistema di riferimento, le equazioni del moto sono:

y(t) =vyot+12gt2

vy(t) =vyo+gt

vyo è la velocità con cui la pallina arriva alla prima fotocellula:

Non è nulla se la pallina viene fatta cadere da un po’ più in alto.

• Calcoliamoci la velocità media tra gli istante t1 e t2 (t2>t1)

• Dalla definizione

vym=ΔyΔt

=y(t2) −y(t1)

t2 −t1=

vyot2 +12 gt2

2 −vyot1 +12gt1

2

t2 −t1


Relazione tra la velocità media e la velocità istantanea

• Proseguendo:

• la velocità media tra gli istante t1 e t2 è uguale alla velocità istantanea nel istante di mezzo dell’intervallo stesso.– Si osservi che questo risultato dipende dal fatto che la velocità varia

linearmente con il tempo

vym=vyot2 +1

2 gt22 −vyot1 +1

2gt12

t2 −t1=

vyo t2 −t1( )+12 g t2

2 −t12

( )t2 −t1

=

=vyo+12g t2 +t1( )=vyo+g

t2 +t1( )2

t1 t2

t1 +t22

vym

v(t1 +t2

2)


La misura di g

• Allora mi calcolo gli istanti di tempo corrispondenti alla metà di ciascun intervallo di tempo:

t1* =

Δt12

t2* =Δt1 +

Δt22

t3* =Δt1 +Δt2 +

Δt32

• Riporto in un grafico i valori della velocità media in ciascun intervallo di tempo (= alla velocità istantanea al tempo intermedio) in corrispondenza del tempo intermedio

• Risultato: mi costruisci il grafico della velocità istantanea

• Dalla teoria so che i punti devono essere allineati su una retta di pendenza g

• Mi calcolo, con un fit, la pendenza della retta ed ottengo gvy(t) =vyo+gt


Osservazioni sulla prova

• Si osservi come l’errore nella misura dei tempi si ripercuote maggiormente sugli intervalli di tempo più piccoli.

– Limitarsi a considerare solo i primi intervalli di tempo (più lunghi) per fare la misura di g

• Ripetere la prova diverse volte, ed ottenere g come media delle varie misure e diminuire così l’errore casuale.

• Verificare se le varie misure si distribuiscono secondo una curva a campana.– E’ stato raggiunto il limite degli errori casuali?

– Siamo affetti da errori sistematici ?

– Come si può fare a stimare l’errore sistematico

– L’orologio è tarato bene?


Il moto smorzato• Il moto smorzato si verifica quando l’accelerazione è proporzionale

all’opposto della velocità.

• ax=-bvx con b numero reale positivo.

– L’analisi dimensionale ci dice che b ha le dimensioni di un tempo alla meno uno e, nel SI, si misura in s-1.

• Un’ accelerazione di questo tipo si ottiene quando un corpo si muove in un fluido (liquido, gas).

• Supponiamo quindi di lanciare con una velocità iniziale non nulla vxo un corpo in una regione di spazio in cui l’accelerazione è proporzionale all’opposto della velocità. (per esempio moto di una barca su acque tranquille dopo aver smesso di remare)

• Possiamo scrivere la seguente equazione differenziale: dvx

dt=−bvx

• Si vede che la funzione vx(t)=0 è una soluzione dell’equazione differenziale, essa però non soddisfa al problema delle condizioni iniziali: non è la soluzione che va bene per noi

– La nostra soluzione non è identicamente nulla.


Il moto smorzato• Se la soluzione non è identicamente nulla, esistono degli intervalli di

tempo in cui vx è diversa zero.

• Limitandoci a tali intervalli di tempo possiamo dividere ambi i membri per vx e moltiplicarli per dt

• In ciascuno degli infiniti intervalli infinitesimi dt, in cui abbiamo suddiviso l’intero intervallo di osservazione del moto, la variazione di velocità subita dal punto materiale diviso per la sua velocità è uguale all’opposto del prodotto della costante b per dt.

• L’uguaglianza continuerà a valere anche quando sommo sugli infiniti intervalli infinitesimi di tempo:

dvx

dt=−bvx ⇒

dvx

vx

=−bdt

dvx

vxi

f

∫ = −bdti

f

∫• i ed f rappresentano gli istanti iniziale e finale dell’intervallo di

osservazione del moto, i coincide con t=0s, f con il generico istante t

Equazione differenziale a variabili separabili.


Il moto smorzato

• Integriamo il primo membro:

• Integriamo il secondo membro:

dvx

vxi

f

∫ = −bdti

f

∫

• L’espressione della velocità in funzione del tempo.

Variabile di integrazione vx

Funzione integranda 1/ vx

Primitiva log(vx)

dvx

vxi

f

∫dvx

vxi

f

∫ = logvx[ ]if

=logvxf −logvxi =logvxf

vxi

=logvx(t)vxo

−bdti

f

∫ =−b dti

f

∫ =−b t[ ]if =−btf +bti =−bt

• Otteniamo: logvx(t)vxo

=−bt ⇒dalladefinizionedellafunzionelogaritmonaturale

vx(t)vxo

=e−bt

• Oppure: vx(t) =vxoe−bt


Il moto smorzato - studio del grafico della velocità

• Abbiamo ottenuto per la velocità l’espressione: vx(t) =vxoe−bt

• Indichiamo con =1/b la costante di tempo del moto, corrisponde infatti ad un intervallo di tempo.

• In termini di la velocità diventa:

vx(t) =vxoe−t

τ


Il moto smorzato - studio del grafico della velocità

• Si noti che, se vxo è diversa da zero, la velocità vx(t) è diversa da zero per tutti gli istanti di tempo tra 0s ed infinito. – A posteriori si giustifica dunque la divisione per vx.

• La velocità diminuisce con il passare del tempo

• Essa diminuisce di un fattore e=2.718 quando t aumenta di una costante di tempo

• Tende zero per t che tende all’infinito

• In realtà dopo 5 costanti di tempo il valore della velocità si è ridotto a meno dell’un % del valore iniziale.

• La tangente al grafico all’istante iniziale (l’accelerazione iniziale) taglia l’asse delle ascisse in un punto di ascissa pari a 1 costante di tempo.– Questo è particolarmente utile quando si deve disegnare a mano un

esponenziale.

– Conviene prima disegnarsi la retta tangente al grafico nell’istante t=0s e poi, lasciandosi guidare dalla retta tangente si disegna la curva.

vx(t+τ)vx(t)

=vxoe

−t+ττ

vxoe−t

τ=e−1 =

12.718


Il moto smorzato: la legge oraria• Abbiamo ricavato l’espressione della velocità in funzione del tempo:

possiamo quindi risalire alla legge oraria.

x(t) =xo + vx(t)dtt=0s

t

∫ =xo + vxoe−

t

τdtt=0s

t

∫ =xo +vxo e−

t

τdtt=0s

t

∫lavariabilediitegrazioneèt

lafunzioneintegrandaè f(t) =e−

t

τ

laprimitivaè F(t) =−τe−

t

τ

• Si ottiene:

x(t) =xo +vxo −τe−

t

τ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ t=0s

t

=xo −vxoτe−

t

τ +vxoτ=xo +vxoτ 1−e−

t

τ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x(t) =xo +vxoτ 1−e−

t

τ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ Per t che tende ad infinito

x(t) tende ad xo+vxo


Il moto smorzato: la legge oraria

x(t) =xo +vxoτ 1−e−

t

τ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

vxo


Il moto smorzato: la velocità in funzione della posizione

• Partiamo dalla definizione dell’accelerazione e cerchiamo di eliminare il tempo.

dvx

dt=−bvx

dvx

dtdx=−bvxdx

⇒ dxdt

dvx =−bvxdx

⇓

vxdvx =−bvxdx

⇓

dvx =−bdx

Moltiplicando ambo i membri per dx

Integrando

dvxi

f

∫ = −bdxi

f

∫⇓

vx[ ]if

=−b x[ ]if

⇓

vx −vxo =−b x−xo( )

vx =vxo −b x−xo( )Da cui:

• La velocità si annulla quando x raggiunge la sua posizione limite:

x =xo +vxo

b=xo +vxoτ

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua...

Documents

Transcript of G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua...