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Gli studi fluidodinamici di

Laboratorio: la teoria della

similitudine e la vasca rotante

Manfrin Massimiliano - Dipartimento di Fisica - Università di Torinomanfrin@ph.unito.it

2

Fenomeni con scale spazio-temporali diverse

Fenomeni naturali (prototipo) e riproduzioni

in laboratorio (modello)

Come far sì che lo studio di laboratorio sia

rappresentativo del prototipo naturale?

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Importanza di poter riprodurre i fenomeni

naturali in laboratorio:

- Maggiore possibilità di controllare le condizioni

sperimentali e al contorno;

- Possibilità di eliminare o ridurre l’importanza di alcune

delle forze (analisi di scala) in azione potendo così scindere

il problema in sottoproblemi di più semplice interpretazione;

- Possibilità di variare alcuni parametri per verificarne

l’influenza/importanza.

- Ripetibilità dell’esperimento;

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• Si dice che esiste similarità fra due quantità quando è possibile metterle in relazione attraverso una costante adimensionale (indipendente dal sistema di coordinate)

Teoria della similitudine

La tecnica della Similitudine

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Permette attraverso opportune trasformazioni (dette di similarità), di proiettare, in modo quantitativamente rigoroso e riproducibile,

l’evoluzione reale di un processo fisico a scala naturale (“prototipo naturale”) sull’evoluzione del medesimo processo, rappresentato però su

una scala ridotta ( “modello”).

Nella riproduzione dinamica su modello di un fenomeno naturale occorre che il pattern del flusso nel prototipo sia una copia ingrandita e non distorta del “pattern” del flusso nel modello.

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Si ha similitudine geometrica fra due sistemi quando è

possibile far coincidere uno di essi con l’altro mediante un opportuno cambiamento di unità di misura delle

lunghezze (è la meno importante fra le similitudini

possibili).

Si dice che due “oggetti” sono cinematicamente simili se è

possibile trovare due SR, tali che gli “oggetti” siano

geometricamente simili per ogni t e che il rapporto di similitudine

geometrica sia indipendente da t.

Se le rispettive

masse stanno fra loro in un rapporto

costante µ, allora essi sono anche

materialmente simili

7

Se è possibile istituire una corrispondenza biunivoca fra i materiali di due sistemi e fra istanti omologhi di tempo tali per cui essi presentino contemporaneamente similitudine materiale e cinematica, allora i due sistemi si dicono dinamicamente simili.

Un opportuno cambiamento di unità di misura

fondamentali (M, L, T ad esempio) permette

di trasformare le equazioni del moto (e le

condizioni al contorno) di un sistema in quelle

dell’altro.

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è necessario che, in corrispondenza di punti

geometricamente similari, le forze agenti sulle

particelle siano in rapporti fissi ad istanti

omologhi di tempo

Per avere similarità dinamica

Se esiste similarità dinamica fra due processi fisici, è possibile trasferire i risultati ottenuti per il primo al secondo, e viceversa.

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Questa metodologia fornisce gli ordini di grandezza dei vari termini delle equazioni attraverso dei coefficienti numerici i cui valori variano al variare delle scale su cui si considerano i processi.

Praticamente la procedura richiede che le equazioni in esame vengano adimensionalizzatetramite gli opportuni parametri di scala.

Lo scaling permette anche di valutare l’importanza relativa dei vari termini che vi compaiono e di procedere quindi a semplificazioni (trascurare le quantità meno rilevanti analisi di scala).

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In tal modo le equazioni complete che, per quel problema, conterrebbero “piùinformazioni del necessario”, vengono ridotte a forme limite più semplici, dalle quali è poi possibile capire se la scelta delle grandezze di scala é stata, o meno, più appropriata dal punto di vista fisico (attenzione!! La scelta iniziale può non essere corretta)

Con particolare riferimento alle equazioni dinamiche è possibile individuare la seguente procedura per l’adimensionalizzazione.

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1) Si scelgono le grandezze di scala per ciascuna variabile (spesso rappresentate da gradienti o da differenze). Esse possono anche essere differenti per ciascuna dimensione spaziale cosicché alcune direzioni del modello possono risultare contratte o dilatate rispetto a quelle corrispondenti del riferimento iniziale.

Normalmente la scelta più corretta sarà quella che darà grandezze adimensionali il cui ordine di grandezza si avvicini maggiormente all’unità.

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2) Si effettua l’adimensionalizzazione e si normalizza l’equazione così ottenuta per quella quantità che riduce all’unità il coefficiente che moltiplica il termine ritenuto più importante nel problema in oggetto.

2 bis) Gli altri coefficienti, che moltiplicano i termini dell’equazione, rappresentano ora i rapporti delle forze

caratteristiche rispetto a quella evidenziata come

fondamentale; la loro grandezza è indice della importanza (o trascurabilità) del termine ad essi

corrispondente.

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Può accadere che uno dei parametri adimensionatiassuma un valore estremo ( 0, ∞): l’equazione assume una forma limite, cancellando, nel primo caso, il termine corrispondente oppure trattenendo, nel secondo, solo lui (caso di più semplice soluzione, ma contenente ancora la fisica essenziale del problema).

Le operazioni elencate possono dar luogo a leggi approssimate che valgono in certe regioni e non in altre. Occorre pertanto interpretare con cautela i risultati ottenuti e confrontarli sempre con l’esperienza nel prototipo.

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Esempio

10 °δTFluttuazione di

temperatura

Scala spaziale

orizzontaleL 106 m

Scala spaziale

VerticaleH 104 m

Scala di velocità

orizzontaleU 10 m/s

Scala di velocità

verticaleV 10-2 m/s

Scala temporale t=L/U 105 s

Fluttuazione

orizzontale di

pressione

∆hP 10 hPa

Parametro di

Coriolisf0=2Ωsin45° 10-4 s-1

ugpUxuut

u

dt

ud rrrrrrrr

2*1

2)( ∇++∇−Ω−=∇•+∂

∂=

ρ

µ

ρ

'Re

1*

1'

'

1''

2')'(

'

'

'

' 2

2ug

FrpUx

Rouu

t

u

dt

ud rrrrrrrr

∇++∇−Ω−=•∇+∂

∂=

ρ

•g* valutata nell’approssimazione di Boussinesq

rr

r

L

URo

Ω=

2

1Fr

=

o

rr

r

T

TLg

U

δ

νrr LU

=Re

TT

gδ

0

=

15

2

1Fr

≡

o

R

R

T

TLg

U

δ

Numeri adimensionali

Importanza termini inerziali rispetto a Coriolis

Importanza termini inerziali rispetto a galleggiamento

NUMERO DI EKMAN:

LU

L

U

Coriolisforza

avisforzaEk

Ω=

Ω∝=

νν2

_

cos_

NUMERO DI ROSSBY:

L

U

U

LL

U

Coriolisforza

inerzialeforzaRo

Ω=

Ω

∝=

µ

2

_

_

Importanza termini viscosi rispetto a Coriolis

νµ

ρ

µ

ρUddU

x

u

x

uu

attritodForze

inerziadForze=≡

∂

∂

∂

∂

==

2

2'

'Re

NUMERO DI FROUDE DENSIMETRICO

NUMERO DI REYNOLDS

Importanza termini inerziali rispetto a forze viscose.

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• Circolazione termoalina (sistema climatico, passato presente, futuro): problematica dello sprofondamento delle acque per aumentata densità (temperatura, salinità); downwelling e upwelling.

• Microburst atmosferici (sicurezza voli aerei)

Esempi applicativi

• Strutture atmosferiche a scala sinottica e a mesoscala;

• Micrometeorologia e turbolenza (strato limite planetario);

• Dispersione degli inquinanti;

• Circolazione polare planetaria;

• …………………

17

Microburst atmosferici

18

Tempo scala

Gradiente Buoyancy

w ~ 0.03 m/sVelocità verticale scala w ~10 m/s

gg

~ 0.2 mAltezza scala H ~1500 m

Modello di Labprototipo

300

7=

∆

T

T

sw

H150≈=τ

300

5.0=

∆

T

T

sw

H7≈=τ

Fr~0.52

1Fr

≡

o

R

T

THg

w

δ Conservazione del

numero densimetricodi Froude

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Necessità per gli studi in laboratorio di avere anche

apparecchiature rotanti.

Perché una vasca rotante ?

Sulla Terra i processi atmosferici che

coinvolgono i fluidi (atmosfera e oceano)

si svolgono in un sistema di riferimento

rotante.

Presenza della forza di Coriolis: agisce

solo su una particella in moto perturban-

done la direzione del vettore velocità, ma

non il modulo.

Forza particolarmente importante su grandi scale e per alte velocità.

20

•Numero di Rossby:importanza della rotazione

rispetto alle forze

inerziali[U/(f*L)];

•Numero di Reynolds: importanza

della viscosità [UL/υ]

U velocità di scala f frequenza di rotazione L lunghezza di scala

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Ad esempio, a scala sinottica, alle medie latitudini, si ha:

U= 10 m/s L= 1000 Km f=10-4

Ro=0.1

Se si vuole riprodurre su

scale di laboratorio tale

moto, ridu-cendo la

velocità a 0.1 m/s e la

lunghezza a 10 m, f deve

diventare 0.1: la rotazione

deve essere rapida (1 giro

in 10 secondi).

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1 Mikrotron (8 bit) 1-500 Hz a piena

risoluzione (1280x1024);

501- 1000 Hz at 1/2 ris……

2 Dalsa 1M60P: 1-60 Hz

1024x1024

12-10-8 bit

2 Dalsa 4M60P: 1-60 Hz

2352x1728

10-8 bit

DiametroDiametro vascavasca 5 m5 m

AltezzaAltezza massimamassima acquaacqua 0.8 m0.8 m

VelocitVelocitàà rotazionerotazione 00--20 rpm20 rpm

Il moto della vasca è generato

da un motore elettrico ed il

sistema di rotazione si basa

sulla tecnologia del velo

d’olio ad alta pressione che

riduce gli attriti e le vibrazioni.

23

I flussi nella vasca possono essere generati con pompe

oppure, in generale con migliori risultati, variando

bruscamente il periodo di rotazione dello strumento dopo

che si è ottenuta la condizione di rotazione solida

Tini > Tfin spin-down Tini < Tfin spin-up

Il flusso risultante ha una velocità che decresce

esponenzialmente nel tempo e il cui valore massimo

(in funzione della distanza r dal centro) è dato da:

Umax=2π ABS(1/Tfin-1/Tini)r

Il moto

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Ogni camera può montare obiettivi standard e anelli di

prolunga utili per cambiare le focali con conseguente

cambio della profondità di fuoco e della grandezza del

campo.

Obiettivi: da 35 mm a 180 mm (di tipo speciale, ad alta

luminosità).

Le 4 camere Dalsa possono essere usate a coppie

sincronizzate per acquisizioni stereo.

25

Processing cluster: 28 core per

calcolo parallelo e un server (11 Tb

di spazio disco in raid 6)

Rete a 1 Gbit per la connessione

con i pc di acquisizione.

2 sistemi di acquisizione con

registrazione direttamente su HD

Laser a diodi allo stato solido (max 15

W): verde e continuo

Lama laser sia orizzontale che

verticale (uscente dal pavimento

per una minor dispersione della

luce).

Spessore lama di circa 0.3 cm (sul

canale).

Possibilità di lame di diversa

grandezza usando differenti lenti.

26

Aspetto unico: canale di vetro sul fondo che permette creazione

di lame verticali potenti e ben definite.

27

Permettono misure quantitative

Densità =1.03 g/cm3

Diametro: 5-1000 micron

Necessitano di agente bagnante

per renderle sospensibili

Buona riflettività Forma simil-

sferica

Economiche

PIV=Particle Image Velocimetry

Approcci sperimentali

Le più piccole (5-10 micron) rimangono in

sospensione, in acqua dolce, per alcune

decine di ore; quelle di grandi dimensioni

(1000 micron) per qualche minuto.

Particelle (PIV)Inchiostri (LIF)

Permettono misure qualitative

Gestione molto più semplice e

veloce

Normali o fluorescenti

LIF=Laser Induced Fluorescency

28

Tra le due immagini è

necessario che le

particelle si spostino di

alcuni pixels.

x x

z

Lo spostamento

osservato dipende da

frame rate di acquisizione

e dalla velocità del fluido.

Vengono computati

anche alcuni flag

associati ad ogni vettore

che ne caratterizzano la

qualità.

Dal massimo di correlazione si

ricava lo spostamento più

probabile e conseguentemente

il vettore della velocità (utilizzo

di algoritmi di interpolazione

subpixel)

PIV

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Cross – correlazione

t

t +∆t

Processo che può (spesso deve) essere iterato più volte per raffinare

l’analisi con l’uso dei risultati ottenuti in precedenza come “first

guess”.

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Per migliorare l’analisi risulta necessario filtrare il campo vettoriale ottenuto,

in modo da scartare i vettori errati : confronto della consistenza di ogni

vettore con un suo intorno.

I vettori filtrati vengono scartati. Essi sono sostituiti attraverso processi di interpolazione effettuati mediante spline.

• l’acqua non del tutto limpida;

• la lama laser non perfettamente omogenea;

• immagini poco luminose;

Le principali fonti d’errore possono essere:

• problemi di parallasse e disposizione delle telecamere,• agglomerazione delle particelle.

• non buona messa a fuoco;

31

Esempio di realizzazione sperimentale bidimensionale

Schematizza-

zione dell’interazione

di un flusso con un ostacolo.

32

Risultati dell’analisi:

L’informazione data dall’immagine è in pixel, ma il numero di questi dipende strettamente

dal tipo di obiettivo e le equazioni del moto sono espresse in unità fisiche.

Necessità di calibrazione

33

La ricostruzione del campo delle velocità, attraverso esperimenti con

ripresa monoscopica, non consente di aver informazioni sulla terza

componente della velocità del fluido.

Può essere ricostruita geometricamente disponendo 2 telecamere che

guardano la stessa areaa con angoli diversi

Esperimenti

attraverso la ripresa

stereoscopica 2D

che consente la

ricostruzione

geometrica della

terza componente su

un piano di spessore

limitato (studio

tridimensionale del

campo di velocità).

Sistema stereoscopico

34

Due telecamere che osservano da angolazioni differenti il medesimo bersaglio (assi delle telecamere non paralleli).

Sistema stereoscopico con disposizione

rotazionale

35

• L'obiettivo deve essere parallelo all’interfaccia, altrimenti

si incorre nel problema della aberrazione, dovuta

all'interfaccia acqua-vetro-aria, che causa la distorsione

radiale dell'immagine delle particelle.

Problematica 1

Acqua

n1=1.33

Aria

n2=1

•Se 45°uscita a 70°

•Se 46°uscita a 73°

Linea verde

Linea blu

•Se 10°uscita a 13°

•Se 11°uscita a 14.7°

36

Vasca con acqua

Prisma con acqua

Vetro

Raggio

luminoso

Obiettivo della

telecamera

α = 41 °

35 °

θ=90 °

n=1.33

n=1.52

n=1.33

41 °β = 41 ° Finestra in

vetro della

vasca

Un prisma di vetro, riempito del medesimo fluido che si vuole studiare, è

attaccato alle pareti della vasca rotante.

I suoi angoli scelti in

modo tale che i raggi

luminosi provenienti

dalla lama laser,

osservata con una

certa angolazione,

siano perpendicolari

all’interfaccia.

Soluzione

37

Per realizzare la messa a fuoco di tutta la zona di interesse è necessario

“disassare” la telecamera. Potendo basculare l’obiettivo rispetto alla

telecamera, si aumenta la profondità di campo migliorando anche la

messa a fuoco.

Problematica 2

38

Necessario un opportuno dispositivo.

Ha anche la funzione di proteggere

dalla luce esterna il sensore della

macchina fotografica.

Telecamera TelecameraNon basculata Basculata

Soluzione

Consente di bloccare nelle

reciproche posizioni telecamera ed

obiettivo

39

Necessità di calibrazionegeometrica

La disposizione angolare ha un altro inconveniente: produce campi di

immagini “stirati” in modo opposto.

Essendo la distorsione delle

due telecamere diversa, è

impossibile sovrapporre

direttamente le due aree di

interrogazione senza aver

prima interpolato i dati su una

griglia comune!

Problematica 3 - Soluzione

40

Esempio di campo stereoscopico ricostruito

41

Le stratificazioni

• Lavoro in condizioni stratificate: stratificazioni stabili per studio nebbie, inversioni, intrappolamento inquinanti….

• Stratificazioni instabili per convezione sia atmosferica che marina.

• Eseguite aggiungendo sostanze che modificano densità acqua (sale, glicerina, alcool).

42

Ambiente stratificato stabilmente

Difficoltà dovute a: creazione della stratificazione e dell’interfaccia; variazione dell’indice di rifrazione dei mezzi

43

Soluzione Matching dell’indice di rifrazione

•acqua e sale / acqua

•acqua e sale / acqua e glicerina.

44

Simulazione Vortici polari

•Conservazione momento angolare

•Forze di Coriolis

•Forze di attrito

Forzante esterna: energia solare. Induzione di una

circolazione a cella “chiusa” equatore-polo.

45

Studio delle Instabilita’ fluidodinamiche

• In un fluido che si muove in un SI ruotante, l’energia cinetica del flusso può diventare sorgente per le instabilità barotropiche (tipiche di fluidi non stratificati) o barocline (tipiche di fluidi stratificati).

Stable flow

46

• Flussi non confinati possono diventare instabili in presenza di gradienti di velocità (instabilità di Kelvin-

Helmholtz).

• Nei flussi confinati, il fluido si deve adeguare alle condizioni al contorno boundary layer gradienti di velocità instabilità

47

Instabilita’ nell’atmosfera

• Barotropica nei sistemi tropicali.

• Baroclinica nei sistemi delle medio-alte latitudini.

Hurricane Isabel, 2003

48

Instabilita’ atmosferiche planetarie

• Conservazione momento angolare

• Forze di Coriolis

• Forze di attrito

•Forzanti esterne: energia solare. Induzione di una

circolazione a cella “chiusa”

• Esagono al polo

nord di Saturno

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Le simulazioni in vasca piccola• Aguiar et al. (2010): usata vasca di 0.3 m

con una struttura, anulare e non, rotanteal suo interno.

• La velocità di rotazione dell’anello èpiccola rispetto a quella della vasca. Equilibrio tra i gradienti di pressioneorizzontali e le forze di Coriolis (quasi-geostroficità).

• Fondo della vasca sia piatto che conico(approssimazione beta).

50

I parametri• In queste condizioni i parametri adimensionali

che caratterizzano il moto sono:– Il numero di Rossby, Ro, che fornisce una misura della forza

inerziale rispetto alle forze di Coriolis,

– Il numero di Ekman, E, che è una misura dell’importanza

delle forze viscose/attrito rispetto alle forze di Coriolis.

51

Risultati in una grande vasca rotante

……. nella diversitànelle condizioni di

bordo.

La maggiore differenza consiste…….

52

Studi dello strato limite

Cambiamenti di rugosità e transizione

rugoso/liscio.

Differenti rotazioni

Valutazione della turbolenza: suo sviluppo e

caratteristiche

53

Lo strato di atmosfera in cui il moto delle masse di fluido è determinato dalla

interazione col suolo è chiamato strato limite. La porzione invece a stretto

contatto col suolo è definito strato superficiale.

Lo strato limite planetario

54

k = costante di Von Karman

( 0.41);

z0 è l’altezza di rugosità,

quota a cui la velocità del

flusso si annulla.

0

ln1

z

y

ku

U=

⟩⟨

τ

Lo strato limite che si forma su di una superficie liscia, rigida e rotante è detto

Strato di Ekman. In questo caso la forza di pressione non bilancia la forza di

Coriolis, perché la forza di attrito non è trascurabile.

Lo strato limite risente notevolmente degli attriti determinati dall’interazione con

la superficie terrestre.

L’andamento del profilo di velocità è di tipo logaritmico:

55

La turbolenza caratterizza la dinamica dello strato limite.

I moti turbolenti appaiono come caotici, la cui evoluzione futura è impossibile da

prevedere, ma in essi sono spesso presenti delle strutture ordinate e coerenti,

detti vortici.

La turbolenza è:

•Quasi random;

•Tridimensionale;

•Diffusiva;

•Dissipativa;

•Non lineare: è proprio questa proprietà a rendere le equazioni non risolvibili;

problema della chiusura delle equazioni turbolente (risoluzione analitica).

Per lo studio della turbolenza è stato proposto da Reynolds (1895) di

esprimere una grandezza fisica come somma della componente media

e della fluttuazione di tale variabile: .'sss +>=<

Fondamentale è l’energia cinetica turbolenta, o TKE: ;

non è conservata; si annulla quando non c’è turbolenza.

2'5.0 ><= iue

La turbolenza

56

a.

Andamento del vettore velocità con la quota (spirale di Ekman) in cui il vettore velocità ruota verso sinistra avvicinandosi al suolo e contemporaneamente il modulo del vettore diminuisce.

b.

Andamento della velocitànello strato di Ekman che si forma in una vasca in rotazione.

57

Analisi e confronto delle caratteristiche dello strato limite con fondo non rugoso.

•Le curve

tratteggiate

sono di un

esperimento

in

monoscopia.

•Le curve

con linea

continua

sono i casi di

un

esperimento

stereo.

E’ visibile lo strato di

Ekman, tra 0 e 1.5 cm

circa, rosso e nero, tra 0

e 4 cm per blu.

Al di sopra si osserva lo

strato geostrofico.

Lo spessore dello strato

limite decresce col

passare del tempo e la

velocità geostrofica è

raggiunta a quote via via

più basse.

58

Essa rappresenta

l'ampiezza della

fluttuazione

turbolenta di questa

componente.

La sua ampiezza

raggiunge valori

tanto maggiori

vicino al fondo

quanto maggiore è

la velocità

geostrofica.

59

Il limite superiore

dello strato limite

turbolento coincide

con la quota a cui

si annulla il valore

dell'energia

cinetica turbolenta.

Per quanto

riguarda gli altri

due casi, la TKE

non va a zero

(residuo di

turbolenza) anche

se si osserva una

sua diminuzione

con la quota.

Per la curva

rossa la TKE

tende a zero a

quote di circa 3

cm.

60

Dadi di plastica

Altezza = 1.2 cm ;

Sezione = 2 cm ;

Inter-distanza media = 4 cm.

Flux

Flusso misurato su una sezione

rettangolare 10x8 cm2,

perpendicolare al fondo e tangeziale

al flusso.

Strato limite su superficie rugosa