CAPITOLO SETTIMO

GLI INDICI DI FORMA

SOMMARIO: 1. Introduzione. - 2. Asimmetria. - 3. Grafico a scatola (box plot). - 4. Curtosi. - Questionario.

1. INTRODUZIONE

Dopo aver analizzato gli indici di posizione e di variabilità di una distribuzione di frequenzaanalizziamo, in questo capitolo, alcuni aspetti della forma di una distribuzione, della quale siconsiderano due caratteristiche: la simmetria e la curtosi.

Una curva di frequenza unimodale e simmetrica che assume la caratteristica forma acampana (Fig. 1) è nota con la denominazione di curva normale o gaussiana. Si tratta della piùimportante distribuzione statistica continua le cui caratteristiche saranno discusse in modo piùapprofondito nei capitoli dedicati alle distribuzioni teoriche; per ora basti sapere che, per taledistribuzione, media, mediana e moda coincidono.

x0

y f µ( ) = f Me( ) = f Mo( )

µ = Me = Mo

Fig. 1 - Curva normale

Fu proposta da Gauss nel 1809 nella teoria degli errori, ma è anche attribuita a Laplace (1812)che ne definì le principali proprietà prima della trattazione più completa fatta da Gauss.

Anche solo graficamente, dal confronto della curva di frequenza di una qualsiasi distribuzio-ne con la curva normale è possibile evincere i due aspetti fondamentali relativi alla forma delladistribuzione.

In questo capitolo spiegheremo nel dettaglio i concetti di asimmetria e di curtosi e analizze-remo alcuni indici di disnormalità o di forma.

2. ASIMMETRIA

L’asimmetria (in inglese skewness) è un termine statistico che indica l’assenza di specularitàdi una distribuzione rispetto a qualsiasi asse verticale. Se in una distribuzione unimodale (Fig. 1)

Capitolo Settimo136

esiste un valore a tale per cui si possa scrivere f x = g x a( ) −( ) allora la distribuzione è simmetricarispetto ad a. In tal caso Moda, Media e Mediana coincidono. Viceversa la coincidenza di questiindici non garantisce la simmetria. Consideriamo la seguente distribuzione:

X f–4 20 43 31 3

Evidentemente la distribuzione non è simmetrica: tuttavia è facile verificare che Moda,Media e Mediana sono nulle. Per cui la non coincidenza dei 3 indici è sintomo di asimmetriamentre la coincidenza non garantisce la simmetria.

Rispetto alla curva normale è possibile evincere se una distribuzione presenta asimmetria, seha una coda più lunga; precisamente, se la coda più lunga è a sinistra, la distribuzione presentaasimmetria negativa, se, invece, la coda più lunga è a destra, allora la distribuzione presentaasimmetria positiva.

Le relazioni esistenti tra media, mediana e moda consentono di verificare se una distribuzione sipresenta simmetrica o asimmetrica; infatti, utilizzando la simbologia dei capitoli precedenti, si parla di:

— simmetria se µ = =Me Mo;— asimmetria positiva se Mo Me< < µ, la distribuzione presenta il ramo destro più allungato

di quello sinistro, in altre parole presenta una coda verso destra;— asimmetria negativa se µ < <Me Mo, la distribuzione presenta il ramo sinistro più allungato

di quello destro, e si dice che presenta una coda verso sinistra.

Graficamente, il confronto di una distribuzione con una curva normale avente la stessafrequenza complessiva consente di evincere se una distribuzione presenta una coda più lunga.

0 x 0 x0 x

y y y

(a) (b) (c)

µ = Me = Mo MoMe µ µ Me Mo

Fig. 2 - Curva normale (a); curva asimmetrica a destra (b); curva asimmetrica a sinistra (c)

Diversi indici di asimmetria si basano sulle relazioni viste tra media, mediana e moda, alcunisono espressi nella stessa unità di misura del fenomeno investigato, altri sono numeri puri.

2.1 Indici assoluti

Due misure assolute sono fornite dalle seguenti differenze:

α µ α µ1 2= − = −Me Mo; (2.1)

Gli indici di forma 137

che sono nulle, positive o negative, a seconda che la distribuzione presenti, rispettivamente,simmetria, asimmetria positiva o negativa.

Altra misura assoluta è fornita dalla differenza tra le distanze tra la mediana e quantili simmetricirispetto ad essa, in questo contesto esaminiamo le distanze intercorrenti tra la mediana Me Q=( )2

e i quartili:

α3 3 2 2 1 3 1 22= −( ) − −( ) = + −Q Q Q Q Q Q Q (2.2)

che è nulla, positiva o negativa, a seconda che la distribuzione presenti, rispettivamente simmetria,asimmetria positiva o negativa.

2.2 Indici relativi

Per ovviare all’inconveniente di disporre di indici espressi nell’unità di misura del fenomeno,le differenze appena viste sono state rapportate allo scarto quadratico medio della distribuzione,ottenendo indici relativi di notevole importanza.

Rapportando la differenza tra media e mediana allo scarto quadratico medio, si ottiene ilseguente indice normalizzato:

α µσ4 =− Me

(2.3)

il cui segno pone in rilievo la simmetria/asimmetria della distribuzione.

Rapportando, invece la differenza tra media e moda allo scarto quadratico medio si ottienel’indice di asimmetria di Pearson:

α µσP

Mo=

−(2.4)

Un indice relativo di asimmetria proposto da Fisher, per una serie, ha la seguente espressioneanalitica:

γ

µσ

1

3

1=

−

=∑ x

n

i

i

n

(2.5)

L’espressione entro parentesi è definita scarto standardizzato, per cui l’indice di asimmetriaè pari alla media dei cubi degli scarti standardizzati.

Un altro indice di asimmetria è stato proposto da Yule e Bowley, ed ha la seguente espressioneanalitica:

αY

Q Q Q Q

Q Q Q Q

Q Q Q=

−( ) − −( )−( ) + −( ) =

+ −3 2 2 1

3 2 2 1

3 1 22

QQ Q3 1−(2.6)

ed è, praticamente, il rapporto tra la (2.2) e la differenza interquartile.

Capitolo Settimo138

ESEMPIO 1

Dato il seguente insieme di numeri:

5, 7, 11, 22, 25, 24, 20, 14, 13, 8, 7, 5, 4, 1

determinare l’indice di asimmetria di Fisher.

L’espressione analitica dell’indice di asimmetria richiesto è fornita dalla (2.5), la cui applica-zione richiede la conoscenza della media aritmetica e della deviazione standard degli n = 14 dati.

La media aritmetica è pari a:

µ = + + + + + + + + + + + + + =5 7 11 22 25 24 20 14 13 8 7 5 4 114

118, 66

La deviazione standard è pari a:

σ = −( ) + −( ) + −( ) + + −5 1186 7 1186 11 1186 5 112 2 2

, , , ,… 886 4 1186 1 118614

7 712 2 2( ) + −( ) + −( )

=, ,,

Pertanto, la media dei cubi degli scarti standardizzati, ovvero l’indice di asimmetria di Fisher, è:

γ 1

3 35 1186

7 717 1186

7 71=

−

+ −

+ +,,

,,

…44 1186

7 711 1186

7 7114

0

3 3−

+ −

=

,,

,,

,446

Ovviamente calcoli del genere sono troppo lunghi per cui illustriamo la modalità di determi-nazione dell’indice per l’insieme riportato nell’ESEMPIO attraverso un foglio Excel.

Per calcolare l’indice la procedura è la seguente:

✔ Nelle celle dalla A2 alla A14 riportiamo la successione.

✔ Nella cella A19 calcoliamo la media aritmetica della successione.

✔ Nella cella A20 calcoliamo lo scarto quadratico medio della successione.

✔ Nella cella B2 calcoliamo lo scarto standardizzato rispetto al primo dato della successione;atal fine digitiamo:

=(A2-$A$19)/$A$20

e trasciniamo la selezione fino alla cella B15, per ottenere tutti gli scarti standardizzati.

✔ Nella cella C2 calcoliamo il cubo dello scarto standardizzato rispetto al primo dato dellasuccessione; a tal fine digitiamo:

=POTENZA(B2;3)

e trasciniamo la selezione fino alla cella B15, per ottenere tutti i cubi degli scartistandardizzati.

✔ Nella cella C16 calcoliamo la somma di tali cubi.

Gli indici di forma 139

✔ Nella cella C21, dal rapporto tra tale somma (cella C16) e il numero dei dati (14), otteniamol’indice di asimmetria.

ESEMPIO 2

Sia data la distribuzione dei 125 atleti per classi di altezze di cui alla tabella 8 riportata nelquinto capitolo, determinare:

a) l’indice di asimmetria di Fisher;b) l’indice di asimmetria in termini di quartili.

a) La formula dell’indice di asimmetria di Fisher richiede l’impiego dello scarto quadratico mediodella distribuzione, il cui valore si desume dal seguente schema di calcolo:

x - xi i+1 ni xi x ni i x -i µµ x -i

2µµ( ) x - ni

2

iµµ( )171 - 175 14 173 2.422 –13 160 2.237176 - 180 18 178 3.204 –8 58 1.051181 - 185 28 183 5.124 –3 7 195186 - 190 33 188 6.204 2 6 184191 - 195 17 193 3.281 7 54 921196 - 200 15 198 2.970 12 153 2.292

Totale 23.205 6.879

Schema 1

Capitolo Settimo140

Dallo schema si desume che la media aritmetica della distribuzione è:

µ = =23 205125

185 64.

,

la varianza è:

σ 26 879125

55 03= =.,

e lo scarto quadratico medio è:

σ = =55 03 7 418, ,

L’indice di asimmetria di Fisher è pertanto:

γ 1 3

3 317 418

173 185 64 14 178 185 64 18= ( ) ⋅ + ( ) ⋅,

– , – , ++ ( ) ⋅ +

+( ) ⋅ +

183 185 64 28

188 185 64 33 193

3

3

– ,

– , –1185 64 17 198 185 64 151

1251

408

3 3, – ,( ) ⋅ + ( ) ⋅ ⋅ =

=,,

– . , – ,188

1 280 0641

1250 025[ ]⋅ =

La distribuzione presenta lieve asimmetria negativa.

b) Della distribuzione data sono noti anche i tre quartili, essi sono, rispettivamente:

Q Q Me Q1 2 3180 292 185 879 190 721= = = =, , ,

Pertanto l’indice di asimmetria è:

α y = − ⋅ +−

190 721 2 185 879 180 292190 721 180 292

, , ,, ,

== −0 071,

3. GRAFICO A SCATOLA (BOX PLOT)

Il grafico a scatola, altrimenti detto box plot, è una tipologia di rappresentazione propostadallo statistico americano J.W. Tukey; essa si ottiene da una serie di dati o da un grafico a ramoe foglia, da cui ricava i dati significativi trascurando quelli non importanti.

Il grafico è costruito nel modo seguente:

— si devono calcolare i tre quartili della distribuzione: Q1, Q2 = Me, Q3. Quindi, i suoi valoriminimo x Qmin =( )0 e massimo x Qmax =( )4 ;

— su un asse orientato, su cui si fissa un’unità di misura coincidente con quella del carattereinvestigato, si individua un rettangolo (scatola/box) i cui estremi sono costituiti, rispettiva-mente, dal primo e dal terzo quartile, e la cui lunghezza è rappresentata, evidentemente, dalladifferenza interquartile δQ( ) ;

— dalla scatola si traccia un segmento verticale che delimita la posizione della mediana;— si tracciano due linee esterne alla scatola, dette baffi (whiskers), per questo motivo il diagramma

è detto anche box and whiskers plot. I baffi sono delimitati, rispettivamente, dai valori minimoe massimo della distribuzione.

Gli indici di forma 141

Per una distribuzione di frequenza, il grafico in questione consente di evidenziare:

— la misura della dispersione rappresentata dalla differenza interquartile;— informazioni relative alla forma della distribuzione, infatti, se le distanze tra ciascun quartile

e la mediana sono diverse tra loro, allora la distribuzione è asimmetrica;

— la presenza di outlier se si verifica uno dei due seguenti casi:

a) il valore osservato è inferiore alla quantità Q Q1 1 5− , δ ;

b) il valore osservato è superiore alla quantità Q Q3 1 5+ , δ .

Il grafico consente, inoltre, di comparare 2 o più distribuzioni.Se una distribuzione è simmetrica, allora la media aritmetica coincide con la mediana e, solo

in questo caso, è possibile evincere il valore della media aritmetica dal grafico.Non è semplice costruire un box plot. Per dare un’idea del grafico ci serviremo di un esempio.

ESEMPIO

La tabella seguente riporta la distribuzione delle età degli operai di 3 reparti di un’azienda:

1 2 3

40 21 20

44 23 22

28 26 50

26 19 41

53 22 33

22 30 19

19 18 22

25 42 44

28 47 46

21 18 19

22 49 42

Tabella 1

Rappresentare le tre distribuzioni attraverso un box plot.

Per costruire il box plot si devono determinare, per ciascuna distribuzione, il valore minimo,il primo quartile, la mediana, il terzo quartile e il valore massimo. Essi sono, rispettivamente:

— per il reparto 1:Q

1 = 22; Q

0 = 19; Me = 26; Q

4 = 53; Q

3 = 34

— per il reparto 2:Q

1 = 20; Q

0 = 18; Me = 23; Q

4 = 49; Q

3 = 36

— per il reparto 3:Q

1 = 21; Q

0 = 19; Me = 33; Q

4 = 50; Q

3 = 43

Capitolo Settimo142

Calcolati gli indici suddetti, su un prefissato asse si devono individuare delle barre incorrispondenza della mediana Me e dei quartili Q

1 e Q

3. Successivamente, le barre sono chiuse

sino a formare una scatola.

*

**

*0

10

20

30

40

50

60

1 2 3

Q1

Q0

MeQ4

Q3

*

* *

*

Fig. 3 - Box plot

Dal grafico si evince che, a parte i valori anomali presenti nelle tre distribuzioni (le tre etàmassime), il reparto 3 è caratterizzato da maggiore dispersione dei dati intorno al valore mediano.

Di seguito spiegheremo come ottenere il grafico a scatola (o box plot) per la distribuzione riportatanella tabella 1. Il foglio di lavoro, con i dati e con gli indici di posizione necessari, è il seguente:

Gli indici di forma 143

Si deve procedere, quindi, con la creazione guidata del grafico:

— selezionare le caselle dalla E8 alla H12;

— digitare il tasto ;

— in «Tipo di grafico» scegliere «Linee»;

— procedere con il tasto «Avanti>»;

— selezionare «Serie in righe»;

— digitare il tasto «Fine».

Il foglio è il seguente:

Dal grafico si devono rimuovere le linee che congiungono i valori minimi, con i quartili, lemediane e i valori massimi.

A questo punto:

✔ selezionare ciascuna linea;

✔ posizionarsi sul menu «Formato»;

✔ scegliere «Serie di dati selezionati»;

✔ posizionarsi sul quadro «Motivo»;

✔ attivare l’opzione «Linea - Assente»;

Capitolo Settimo144

✔ posizionarsi sul quadro «Opzioni»;

✔ selezionare le due voci «Linee di Min-Max» e «Barre cresc.-decresc.».

Il foglio Excel è il seguente:

Il grafico contiene una legenda che agevola l’interpretazione dei dati.

4. CURTOSI

Dal greco kurtos (gobba) la curtosi fa riferimento alla maggiore o minore gibbosità di una curva inprossimità del suo massimo e, quindi, alla maggiore o minore lunghezza delle code. La curtosi assumerilievo per una distribuzione di frequenza unimodale, la cui curva è di forma campanulare. Per valutarequesto aspetto della forma di una curva, la stessa è paragonata ad una curva normale (detta anchemesocurtica - Fig. 4(a)) avente la stessa frequenza complessiva precisamente si dice che la curva è:

— leptocurtica o ipernormale (Fig. 4 (b)), se, rispetto alla curva normale, presenta un eccessodi frequenza delle classi centrali, una frequenza minore delle classi intermedie e unafrequenza maggiore delle classi estreme; si tratta, quindi, di una distribuzione più alta alcentro e più bassa ai lati;

— platicurtica o iponormale (Fig. 4 (c)), se, rispetto alla curva normale, presenta una frequenzaminore delle classi centrali e di quelle estreme, con una frequenza maggiore di quelleintermedie; si tratta, quindi, di una distribuzione più bassa al centro e più alta ai lati.

Gli indici di forma 145

0 x 0 x0 x

y y y

(a) (b) (c)

Fig. 4 - Curva normale (a); curva leptocurtica (b); curva palticurtica (c)

Per misurare la curtosi di una curva unimodale di forma campanulare è particolarmente utilel’indice di curtosi di Pearson la cui espressione analitica, per una serie, è la seguente:

β

µσ

2

4

1=

−

=∑ x

n

i

i

n

(4.1)

L’indice:

— vale 3 per una curva normale;— è maggiore di 3 per una distribuzione leptocurtica;— è inferiore a 3 per una distribuzione platicurtica.

Se si dispone della distribuzione di frequenza, esso è:

βσ

µ2 4

4

1

1

1= ⋅

( )=

=

∑

∑

x n

n

i ii

k

ii

k

–(4.2)

Per ottenere una misura paragonabile con lo zero, Fisher ha proposto un indice che, per unaserie, si ottiene sottraendo all’espressione (4.1) il numero 3, ossia:

γ β

µσ

2 2

4

13 3= − =

−

−=∑ x

n

i

i

n

(4.3)

Esso vale 0 per una curva normale, è positivo o negativo per una curva, rispettivamente, piùappuntita o meno appuntita di una curva normale.

Recentemente l’indice è stato criticato perché presuppone una distribuzione simmetrica e,soprattutto, perché il suo valore dipende dal comportamento delle code della distribuzione.

Capitolo Settimo146

ESEMPIO 1

Dato il seguente insieme di numeri:

5, 7, 11, 22, 25, 24, 20, 14, 13, 8, 7, 5, 4, 1

determinare l’indice di curtosi di Fisher.

Dell’insieme dato, abbiamo già determinato l’indice di asimmetria di Fisher nell’esempio 1 delparagrafo secondo, in cui abbiamo calcolato la media µ =( )1186, e la deviazione standard σ =( )7 71, .

Pertanto, l’indice di curtosi di Fisher, applicando la (4.3), è pari a:

γ 2

4 45 1186

7 717 1186

7 71=

−

+ −

+ +,,

,,

…44 1186

7 711 1186

7 7114

3

4 4−

+ −

− =

,,

,, −−118,

Di seguito illustriamo il modo per determinare l’indice di curtosi di Fisher per l’insieme riportatonell’ESEMPIO attraverso un foglio Excel supponendo di non aver già calcolato gli indici statisticiesposti nella formula.

Per calcolare l’indice la procedura è la seguente:

✔ Nelle celle dalla A2 alla A14 riportiamo la successione.

✔ Nella cella A19 calcoliamo la media aritmetica della successione.

✔ Nella cella A20 calcoliamo lo scarto quadratico medio della successione.

✔ Nella cella B2 calcoliamo lo scarto standardizzato rispetto al primo dato della successio-ne, digitiamo:

=(A2-$A$19)/$A$20

e trasciniamo la selezione fino alla cella B15, per ottenere tutti gli scarti standardizzati.

✔ Nella cella C2 calcoliamo la quarta potenza dello scarto standardizzato rispetto al primodato della successione, digitiamo:

=POTENZA(B2;4)

e trasciniamo la selezione fino alla cella B15, per ottenere tutte le potenze degli scartistandardizzati.

✔ Nella cella C16 calcoliamo la somma di tali potenze.

Nella cella C21, dalla differenza tra il rapporto tra tale somma (cella C16) e il numero dei dati(14) e il numero 3, otteniamo l’indice di curtosi.

Gli indici di forma 147

ESEMPIO 2

Dire se la distribuzione riportata nella tabella seguente è platicurtica o leptocurtica:

xi ni

1 2

2 3

3 12

4 3

5 2

Totale 22

Tabella 2

Per determinare il grado di gibbosità della distribuzione rispetto alla distribuzione normale,usiamo indifferentemente l’indice di curtosi di Fisher o l’indice di curtosi di Pearson.

Per ottenere l’indice di Fisher è necessario calcolare la media aritmetica e lo scartoquadratico medio della distribuzione.

Capitolo Settimo148

La media aritmetica è µ = 3 , mentre lo scarto quadratico medio, considerando che:

Q 22 2 2 2 2

1 2 2 3 3 12 4 3 5 222

10=( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ =

è pari a:

σ = ( ) = =10 3 10 9 12

– –

Pertanto, l’indice di curtosi di Fisher è:

γ 2 4

4 4 4 41

1

1 3 2 2 3 3 3 3 12 4 3=( )

( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅– – – – 33 5 3 222

3 3 18 3 0 184+ ( ) ⋅

= =–

– , – ,

Dato il suo valore positivo, ma prossimo allo 0, si può affermare che la distribuzione è lievementeleptocurtica.

Questionario

1. In corrispondenza di quali indici statistici la curva normale assume il suo valore massimo?(par. 1)

2. Se la mediana di una variabile statistica con asimmetria positiva è Me = 10, quali valoripossono assumere la media aritmetica e la moda della stessa?(par. 2)

3. Per quali distribuzioni da un grafico a scatola si evince la media aritmetica?(par. 3)

4. A parità di frequenza complessiva con una curva normale, in una curva iponormale incorrispondenza di quali classi si riscontrano le frequenze maggiori?(par. 4)