GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA A cura di Simona Lanfranchi Scuola Media l.r. paritaria Caterina...

GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA

A cura diA cura di Simona LanfranchiSimona LanfranchiScuola Media l.r. paritaria “Caterina Cittadini” di Scuola Media l.r. paritaria “Caterina Cittadini” di

CalolziocorteCalolziocorte

Gruppo di Ricerca sull’Uso del Gioco nella Didattica Gruppo di Ricerca sull’Uso del Gioco nella Didattica

della Matematica (Università Statale di Milano)della Matematica (Università Statale di Milano)

indiceindice

introduzioneintroduzione

obiettiviobiettivi

metodologiametodologia

documentazionedocumentazione

materialimateriali

bibliografiabibliografia

USCITAUSCITAUSCITAUSCITA

Il kit multimediale che il lettore si accinge a consultare Il kit multimediale che il lettore si accinge a consultare è rivolto principalmente agli insegnanti di matematica è rivolto principalmente agli insegnanti di matematica di scuola secondaria di primo grado e, indirettamente, di scuola secondaria di primo grado e, indirettamente, ai loro alunni. Esso:ai loro alunni. Esso:

1.1. si inserisce in una delle aree tematiche indicate dal si inserisce in una delle aree tematiche indicate dal Progetto SeT;Progetto SeT;

2.2. si basa sulla convinzione che l’uso del gioco logico - si basa sulla convinzione che l’uso del gioco logico - matematico sia uno strumento efficace per fare matematico sia uno strumento efficace per fare un’esperienza significativa di matematica;un’esperienza significativa di matematica;

3.3. illustra e documenta l’attività didattica, svolta da illustra e documenta l’attività didattica, svolta da insegnanti che utilizzano regolarmente il gioco insegnanti che utilizzano regolarmente il gioco matematico nella propria programmazione disciplinare, matematico nella propria programmazione disciplinare, fornendo il materiale per riproporla in autonomia.fornendo il materiale per riproporla in autonomia.

INTRODUZIONEINTRODUZIONE

INDICE

1.1. Il Progetto Speciale per l'Educazione Scientifico - Il Progetto Speciale per l'Educazione Scientifico - Tecnologica (Progetto SeT) si propone di favorire una Tecnologica (Progetto SeT) si propone di favorire una crescita complessiva della cultura scientifico – crescita complessiva della cultura scientifico – tecnologica, migliorando la qualità dell'insegnamento, tecnologica, migliorando la qualità dell'insegnamento, perseguendo alcuni perseguendo alcuni obiettivi specifici. specifici.

Il Progetto SeT segnala alcune Il Progetto SeT segnala alcune aree tematiche individuate come particolarmente importanti sia per la individuate come particolarmente importanti sia per la loro valenza concettuale sia per la loro rilevanza sociale. loro valenza concettuale sia per la loro rilevanza sociale. Il lavoro ipertestuale che state consultando si inserisce Il lavoro ipertestuale che state consultando si inserisce nelle aree denominate “Dimostrazione e modelli” e nelle aree denominate “Dimostrazione e modelli” e “Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie”. “Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie”.

In esso In esso fare matematicafare matematica diventa diventa fare laboratorio di fare laboratorio di matematicamatematica, cioè fornire un contesto pratico in cui , cioè fornire un contesto pratico in cui applicare il metodo scientifico alla matematica, mediante applicare il metodo scientifico alla matematica, mediante l'osservazione, la formulazione di ipotesi risolutive, la l'osservazione, la formulazione di ipotesi risolutive, la loro sperimentazione e valutazione, la formalizzazione e loro sperimentazione e valutazione, la formalizzazione e la generalizzazione.la generalizzazione.

INDICE

OBIETTIVI del PROGETTO SeTOBIETTIVI del PROGETTO SeT

Gli obiettivi del Progetto SeT sono: Gli obiettivi del Progetto SeT sono:

a) potenziare la cultura scientifico - tecnologica degli a) potenziare la cultura scientifico - tecnologica degli studenti;studenti;

b) accrescere la qualità dell'insegnamento scientifico – b) accrescere la qualità dell'insegnamento scientifico – tecnologico;tecnologico;

c) migliorare l'organizzazione dell'insegnamento scientifico c) migliorare l'organizzazione dell'insegnamento scientifico – tecnologico;– tecnologico;

d) sviluppare la professionalità degli insegnanti.d) sviluppare la professionalità degli insegnanti.

In particolare le scuole che partecipano al progetto ricevono In particolare le scuole che partecipano al progetto ricevono risorse per: risorse per:

- migliorare le strutture e l'organizzazione didattica - migliorare le strutture e l'organizzazione didattica dell'insegnamento scientifico - tecnologico; dell'insegnamento scientifico - tecnologico;

- creare servizi, azioni di sostegno e opportunità formative - creare servizi, azioni di sostegno e opportunità formative per gli insegnanti; per gli insegnanti;

- coinvolgere le diverse organizzazioni interessate allo - coinvolgere le diverse organizzazioni interessate allo sviluppo della scienza e della tecnologia: istituti di ricerca, sviluppo della scienza e della tecnologia: istituti di ricerca, musei, enti e servizi destinati alla protezione dell'ambiente musei, enti e servizi destinati alla protezione dell'ambiente e della salute, imprese industriali. e della salute, imprese industriali.

AREE TEMATICHE del Progetto SeT AREE TEMATICHE del Progetto SeT

1.1. Processi di cambiamento e trasformazione; Processi di cambiamento e trasformazione;

2.2. Stabilità e instabilità dei sistemi; Stabilità e instabilità dei sistemi;

3.3. I linguaggi della scienza e della tecnica; I linguaggi della scienza e della tecnica;

4.4. Struttura: forma e funzione; Struttura: forma e funzione; 5.5. Misura, elaborazione e rappresentazione: strumenti e tecnologie per Misura, elaborazione e rappresentazione: strumenti e tecnologie per

conoscere; conoscere;

6.6. I materiali; I materiali;

7.7. Energia: trasformazioni, impieghi, fonti primarie; Energia: trasformazioni, impieghi, fonti primarie;

8.8. Informazione e comunicazione; Informazione e comunicazione;

9.9. Microcosmo e macrocosmo; Microcosmo e macrocosmo;

10.10. Dimostrazione e modelli; Dimostrazione e modelli;

11.11. Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie; Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie;

12.12. La scienza del vivere quotidiano; La scienza del vivere quotidiano;

13.13. Tecnologie della vita; Tecnologie della vita;

14.14. Ambiente e tecnologia; Ambiente e tecnologia;

15.15. I grandi fenomeni naturali.I grandi fenomeni naturali.

2.2. Sono un’insegnante di matematica convinta che… fare Sono un’insegnante di matematica convinta che… fare matematica sia divertente! E penso che i miei alunni matematica sia divertente! E penso che i miei alunni abbiano il diritto di essere resi partecipi di questo piacere. abbiano il diritto di essere resi partecipi di questo piacere.

Credo che, nella scuola dell’autonomia, un insegnante Credo che, nella scuola dell’autonomia, un insegnante debba avere il coraggio di compiere scelte “scomode e debba avere il coraggio di compiere scelte “scomode e innovative” per:innovative” per:

- confrontarsi con gli alunni sul terreno della scoperta, - confrontarsi con gli alunni sul terreno della scoperta, della discussione su problemi di cui non si conoscono in della discussione su problemi di cui non si conoscono in anticipo procedimenti e tecniche di soluzione;anticipo procedimenti e tecniche di soluzione;

- lasciare libero sfogo alle capacità logiche, all’intuizione, - lasciare libero sfogo alle capacità logiche, all’intuizione, alla fantasia.alla fantasia.

L’importanza dell’aspetto ludico della matematica è L’importanza dell’aspetto ludico della matematica è riconosciuta anche dalla commissione ministeriale riconosciuta anche dalla commissione ministeriale incaricata di studiare e riformulare i programmi nazionali incaricata di studiare e riformulare i programmi nazionali previsti dalla riforma Moratti (Legge 53, 28 marzo 2003). previsti dalla riforma Moratti (Legge 53, 28 marzo 2003).

INDICE

Il Il gioco matematico è uno strumento che può risultare è uno strumento che può risultare molto efficace nello studio della matematica sia per molto efficace nello studio della matematica sia per stimolare la ricerca e l’acquisizione di nuove conoscenze e stimolare la ricerca e l’acquisizione di nuove conoscenze e strategie sia per modificare gli atteggiamenti verso questa strategie sia per modificare gli atteggiamenti verso questa disciplina, generalmente definita antipatica, noiosa, disciplina, generalmente definita antipatica, noiosa, scomoda, difficile...scomoda, difficile...

Chiunque si cimenta nella risoluzione di un gioco Chiunque si cimenta nella risoluzione di un gioco matematico innesca una serie di atteggiamenti e matematico innesca una serie di atteggiamenti e comportamenti tipici del ricercatore e dello scienziato:comportamenti tipici del ricercatore e dello scienziato:

- cerca strategie diverse e ne valuta l’efficacia;- cerca strategie diverse e ne valuta l’efficacia;- trasforma il linguaggio comune in linguaggio matematico;- trasforma il linguaggio comune in linguaggio matematico;- schematizza situazioni con grafi, tabelle, disegni;- schematizza situazioni con grafi, tabelle, disegni;- inventa e usa simboli nuovi;- inventa e usa simboli nuovi;- scopre analogie con altri problemi;- scopre analogie con altri problemi;- ne inventa di nuovi che sfruttano le stesse strategie;- ne inventa di nuovi che sfruttano le stesse strategie;- costruisce modelli matematici- costruisce modelli matematici

… … e molti altri ancora.e molti altri ancora.INDICE

Inoltre, sfruttando una buona dose di sano agonismo e di Inoltre, sfruttando una buona dose di sano agonismo e di spirito di collaborazione, si possono raggiungere risultati spirito di collaborazione, si possono raggiungere risultati insperati in termini educativi.insperati in termini educativi.

Fare matematica attraverso la cosiddetta Fare matematica attraverso la cosiddetta MATEMATICA MATEMATICA

RICREATIVARICREATIVA aiuta ad accrescere la fiducia nelle proprie aiuta ad accrescere la fiducia nelle proprie capacità e diminuisce l’avversione anche verso quella capacità e diminuisce l’avversione anche verso quella tradizionale. In effetti, sentirsi padroni di un gioco e della tradizionale. In effetti, sentirsi padroni di un gioco e della sua strategia risolutiva dà soddisfazione, stimola la sua strategia risolutiva dà soddisfazione, stimola la creatività e consolida la conoscenza di un ragionamento creatività e consolida la conoscenza di un ragionamento che si potrà ripetere in situazioni analoghe. che si potrà ripetere in situazioni analoghe.

Un altro risultato per nulla scontato e banale è che il gioco Un altro risultato per nulla scontato e banale è che il gioco fa fa parlare di matematicaparlare di matematica anche fuori dalle scuole e non anche fuori dalle scuole e non solo per lamentarsi di quanto la lezione sia stata noiosa o solo per lamentarsi di quanto la lezione sia stata noiosa o l’argomento difficile o l’esito della verifica deludente, ma l’argomento difficile o l’esito della verifica deludente, ma per sfidare, divertendosi, i propri genitori e gli amici su per sfidare, divertendosi, i propri genitori e gli amici su temi matematici.temi matematici.

INDICE

IL GIOCO MATEMATICOIL GIOCO MATEMATICO

Ma cosa si intende per gioco matematico? Ma cosa si intende per gioco matematico?

Cito il presidente della Federazione francese di giochi Cito il presidente della Federazione francese di giochi matematici, Michel Criton, il quale sostiene che matematici, Michel Criton, il quale sostiene che “un buon “un buon gioco matematico deve godere di tre caratteristiche: gioco matematico deve godere di tre caratteristiche:

- un gioco matematico deve essere accessibile al maggior - un gioco matematico deve essere accessibile al maggior numero di persone possibili (nel senso che non deve numero di persone possibili (nel senso che non deve richiedere la conoscenza di nessuna teoria e di nessun richiedere la conoscenza di nessuna teoria e di nessun linguaggio matematico particolarmente impegnativo);linguaggio matematico particolarmente impegnativo);

- il suo enunciato, formulato nel linguaggio corrente, deve - il suo enunciato, formulato nel linguaggio corrente, deve intrigare, sorprendere, porre una sfida al lettore, suscitando intrigare, sorprendere, porre una sfida al lettore, suscitando curiosità e voglia di fermarsi a pensare;curiosità e voglia di fermarsi a pensare;

- la sua risoluzione deve divertire, piacere, dare - la sua risoluzione deve divertire, piacere, dare soddisfazione a colui che la raggiunge, stupire per la sua soddisfazione a colui che la raggiunge, stupire per la sua semplicità ed eleganza.”semplicità ed eleganza.”

3.3. In particolare nel kit troverete:In particolare nel kit troverete:

- nella sezione- nella sezione METODOLOGIA METODOLOGIA ……

le indicazioni metodologiche relative le indicazioni metodologiche relative all’esecuzione dei giochi matematici con i all’esecuzione dei giochi matematici con i ragazzi;ragazzi;

- nella sezione- nella sezione DOCUMENTAZIONEDOCUMENTAZIONE … …

la documentazione relativa a giochi testati nelle la documentazione relativa a giochi testati nelle classi;classi;

- nella sezione- nella sezione MATERIALIMATERIALI … …

la possibilità di scaricare il materiale necessario la possibilità di scaricare il materiale necessario per lo svolgimento e la documentazione di alcuni per lo svolgimento e la documentazione di alcuni giochi.giochi.

INDICE

obiettiviobiettivi

Con il gioco matematico è possibile perseguire obiettivi di Con il gioco matematico è possibile perseguire obiettivi di tipo educativo, che, insiemi agli obiettivi strettamente tipo educativo, che, insiemi agli obiettivi strettamente didattici, fanno parte dell’azione educativa di qualsiasi didattici, fanno parte dell’azione educativa di qualsiasi insegnante.insegnante.OBIETTIVI EDUCATIVI OBIETTIVI EDUCATIVI

• sviluppare responsabilità e autonomia, stima di sé e sviluppare responsabilità e autonomia, stima di sé e fiducia nelle proprie capacitàfiducia nelle proprie capacità

• accrescere la capacità di lavorare in gruppo attraverso accrescere la capacità di lavorare in gruppo attraverso la cooperazione e la solidarietà con gli altri la cooperazione e la solidarietà con gli altri

• potenziare la capacità organizzative e decisionalipotenziare la capacità organizzative e decisionali

• stimolare interesse e motivazione verso lo studio della stimolare interesse e motivazione verso lo studio della matematicamatematica

• apprendere ad apprendereapprendere ad apprendere

INDICE

OBIETTIVI DIDATTICI OBIETTIVI DIDATTICI

• potenziare le abilità logico – matematiche degli alunnipotenziare le abilità logico – matematiche degli alunni

• imparare ad organizzare in modo significativo le imparare ad organizzare in modo significativo le proprie conoscenze proprie conoscenze

• valutare l’utilità delle conoscenze acquisite, rispetto valutare l’utilità delle conoscenze acquisite, rispetto agli obiettivi prefissati in termini di conoscenze, agli obiettivi prefissati in termini di conoscenze, competenze e capacitàcompetenze e capacità

• sviluppare l’attitudine ad affrontare problemi nuovi ed sviluppare l’attitudine ad affrontare problemi nuovi ed imprevisti e a trasferire le conoscenze acquisite in imprevisti e a trasferire le conoscenze acquisite in contesti diversi (transfert)contesti diversi (transfert)

• decidere in condizioni d’incertezza oltre che di certezzadecidere in condizioni d’incertezza oltre che di certezza

• sviluppare la capacità di dominare situazioni anche sviluppare la capacità di dominare situazioni anche complessecomplesse

• utilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre utilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre che di documentazioneche di documentazione

INDICE

metodologiametodologia

La metodologia di lavoro presentata intende porre il La metodologia di lavoro presentata intende porre il processo di processo di problem solving (letteralmente (letteralmente risolvere risolvere problemiproblemi) come punto di partenza per un percorso di ) come punto di partenza per un percorso di didattica metacognitiva sul gioco matematico. didattica metacognitiva sul gioco matematico.

Il problem solving può essere definito come un approccio Il problem solving può essere definito come un approccio didattico teso a sviluppare, sul piano psicologico, didattico teso a sviluppare, sul piano psicologico, comportamentale ed operativo, l'abilità di soluzione di comportamentale ed operativo, l'abilità di soluzione di problemi.problemi.

Il gioco matematico, così come viene inteso in questo lavoro, Il gioco matematico, così come viene inteso in questo lavoro, è proprio una situazione problematica, magari complessa, di è proprio una situazione problematica, magari complessa, di cui si vuole trovare, se esiste, una soluzione. Appare quindi cui si vuole trovare, se esiste, una soluzione. Appare quindi lecito proporre il gioco logico ai ragazzi attraverso il lecito proporre il gioco logico ai ragazzi attraverso il processo del processo del PROBLEM SOLVING METACOGNITIVOPROBLEM SOLVING METACOGNITIVO; in tal modo essi, in ; in tal modo essi, in modo sempre più puntuale, saranno in grado di monitorare i modo sempre più puntuale, saranno in grado di monitorare i loro processi cognitivi, valutare l’utilità e l’efficacia dei loro processi cognitivi, valutare l’utilità e l’efficacia dei diversi procedimenti risolutivi, nonché di classificare le diversi procedimenti risolutivi, nonché di classificare le rappresentazioni personali di procedure, attivando transfer rappresentazioni personali di procedure, attivando transfer degli apprendimenti.degli apprendimenti.

INDICE

Il PROBLEM SOLVINGIl PROBLEM SOLVING

Nell’ambito delle ricerche cognitive si sostiene che il Nell’ambito delle ricerche cognitive si sostiene che il problem solving è una capacità che, in realtà, ne comprende problem solving è una capacità che, in realtà, ne comprende altre essenziali per una piena espressione del potenziale altre essenziali per una piena espressione del potenziale dell’individuo. Tali capacità sono:dell’individuo. Tali capacità sono:

- il il PROBLEM FINDINGPROBLEM FINDING, da intendersi come capacità di , da intendersi come capacità di riconoscere una situazione come problematica;riconoscere una situazione come problematica;

- il il PROBLEM POSINGPROBLEM POSING, da intendersi come capacità di , da intendersi come capacità di impostare e dare corretta configurazione cognitiva al impostare e dare corretta configurazione cognitiva al problema riconosciuto;problema riconosciuto;

- il il PROBLEM TALKINGPROBLEM TALKING, da intendersi come capacità di , da intendersi come capacità di descrivere, spiegare e comunicare il problema.descrivere, spiegare e comunicare il problema.

Nonostante il problem solving venga solitamente associato Nonostante il problem solving venga solitamente associato all’area didattica logico – matematica esso è applicabile in all’area didattica logico – matematica esso è applicabile in ambito più interdisciplinare; fare problem solving, infatti, ambito più interdisciplinare; fare problem solving, infatti, vuol dire usare correttamente l'abilità di classificazione di vuol dire usare correttamente l'abilità di classificazione di situazioni problematiche e la capacità di risolvere problemi situazioni problematiche e la capacità di risolvere problemi analoghi.analoghi.

La procedura del problem solving prevede diverse La procedura del problem solving prevede diverse FASIFASI, , durante le quali possono essere sviluppati processi di durante le quali possono essere sviluppati processi di controllo propri delle abilità metacognitive. Se ne possono controllo propri delle abilità metacognitive. Se ne possono individuare quattro:individuare quattro:

1. fase di COMPRENSIONE : è finalizzata alla comprensione : è finalizzata alla comprensione della situazione problematica e al riconoscimento delle della situazione problematica e al riconoscimento delle conoscenze naturali possedute dagli allievi conoscenze naturali possedute dagli allievi sull’argomento del gioco da risolvere;sull’argomento del gioco da risolvere;

2. fase di ATTACCO : è il momento della formulazione di : è il momento della formulazione di ipotesi di strategie risolutive ai fini dell’individuazione ipotesi di strategie risolutive ai fini dell’individuazione della soluzione ritenuta esatta;della soluzione ritenuta esatta;

3. fase di CONTROLLO : i ragazzi sono invitati a riferire e a : i ragazzi sono invitati a riferire e a giustificare ciò che hanno fatto e a confrontarsi in una giustificare ciò che hanno fatto e a confrontarsi in una discussione finalizzata alla scoperta della soluzione discussione finalizzata alla scoperta della soluzione migliore; migliore;

4. fase di ESTENSIONE : permette di verificare se i ragazzi : permette di verificare se i ragazzi sanno trasferire in contesti diversi le competenze sanno trasferire in contesti diversi le competenze acquisite e generalizzarle, ricostruendo regole o acquisite e generalizzarle, ricostruendo regole o formule. formule.

INDICE

FASE di COMPRENSIONEFASE di COMPRENSIONE

OPERAZIONI DEL OPERAZIONI DEL

DOCENTEDOCENTE

OPERAZIONI OPERAZIONI

DELL’ALUNNODELL’ALUNNO

Attivare la Attivare la comprensione comprensione

del testodel testoDefinire il problemaDefinire il problema

Problematizzare Problematizzare

FASE di ATTACCOFASE di ATTACCO


DOCENTEDOCENTE



Stimolare al pensiero Stimolare al pensiero divergentedivergente

Formulare ipotesiFormulare ipotesi

Applicare modelli e Applicare modelli e procedure di soluzioneprocedure di soluzione

FASE di CONTROLLOFASE di CONTROLLO


DOCENTEDOCENTE



Ascoltare l’esposizione Ascoltare l’esposizione delle procedure delle procedure

applicate dagli alunniapplicate dagli alunni

Elaborare il modello o Elaborare il modello o la procedura di la procedura di

soluzionesoluzione

Far riflettere sul Far riflettere sul modello o sulla modello o sulla

procedura applicataprocedura applicata

Comunicare la Comunicare la procedura di soluzione procedura di soluzione

adottataadottata

FASE di ESTENSIONEFASE di ESTENSIONE


DOCENTEDOCENTE



Cambiare condizioni o Cambiare condizioni o variabili del giocovariabili del gioco

Sperimentare il modello o Sperimentare il modello o la procedura di soluzionela procedura di soluzione

Aiutare nella Aiutare nella formalizzazione, formalizzazione,

descrizione e descrizione e generalizzazione del generalizzazione del

modello o della proceduramodello o della procedura

Formalizzare, descrivere, Formalizzare, descrivere, generalizzare il modello o generalizzare il modello o

la procedurala procedura

Ma concretamente come, cioè, secondo quali Ma concretamente come, cioè, secondo quali MODALITÀMODALITÀ un un insegnante può svolgere i giochi con le proprie classi?insegnante può svolgere i giochi con le proprie classi?

Il mio primo consiglio è quello di non escludere nessuno; in Il mio primo consiglio è quello di non escludere nessuno; in queste situazioni anche chi è in grave queste situazioni anche chi è in grave DIFFICOLTÀ DI DIFFICOLTÀ DI

APPRENDIMENTOAPPRENDIMENTO ci potrà sorprendere e, se così non fosse per ci potrà sorprendere e, se così non fosse per quanto riguarda l’aspetto strettamente didattico, perché quanto riguarda l’aspetto strettamente didattico, perché privare proprio questi ragazzi della possibilità di trarre un privare proprio questi ragazzi della possibilità di trarre un po’ di divertimento dalla matematica?po’ di divertimento dalla matematica?

Un secondo consiglio è quello di far lavorare i ragazzi in Un secondo consiglio è quello di far lavorare i ragazzi in GRUPPI GRUPPI preferibilmente di tre o quattro persone ed preferibilmente di tre o quattro persone ed eterogenei per abilità disciplinare e per capacità eterogenei per abilità disciplinare e per capacità collaborative. Questa strategia da una parte stimolerà il collaborative. Questa strategia da una parte stimolerà il più più bravobravo a confrontarsi e a mettere le sue attitudini al servizio a confrontarsi e a mettere le sue attitudini al servizio del gruppo; dall’altra, permetterà al del gruppo; dall’altra, permetterà al meno bravomeno bravo innanzitutto di non cadere nell’angoscia del non sapere da innanzitutto di non cadere nell’angoscia del non sapere da che parte iniziare e, in secondo luogo, di sentirsi libero di che parte iniziare e, in secondo luogo, di sentirsi libero di avanzare ipotesi senza magari il timore del giudizio avanzare ipotesi senza magari il timore del giudizio dell’insegnante. dell’insegnante.

INDICE

Voglio sottolineare in particolare l’importanza del Voglio sottolineare in particolare l’importanza del momento della momento della DISCUSSIONEDISCUSSIONE tra i ragazzi per la ricerca delle tra i ragazzi per la ricerca delle strategie risolutive: essa ha il valore essenziale di strategie risolutive: essa ha il valore essenziale di permettere di strutturare le conoscenze, imparando ad permettere di strutturare le conoscenze, imparando ad esporre le proprie idee e ad ascoltare quelle degli altri. Il esporre le proprie idee e ad ascoltare quelle degli altri. Il DOCENTEDOCENTE, più che dare indicazioni, ha il compito di , più che dare indicazioni, ha il compito di coordinare, sollecitare le osservazioni, valorizzare le coordinare, sollecitare le osservazioni, valorizzare le opinioni di ciascun ragazzo.opinioni di ciascun ragazzo.

Nella discussione si attiva un processo che porta l’alunno Nella discussione si attiva un processo che porta l’alunno dal livello di intuizione ad un grado sempre maggiore di dal livello di intuizione ad un grado sempre maggiore di consapevolezza, attraverso il confronto con altri consapevolezza, attraverso il confronto con altri procedimenti risolutivi e l’eventuale riconoscimento di procedimenti risolutivi e l’eventuale riconoscimento di errori e il loro superamento.errori e il loro superamento.

Inoltre il momento della Inoltre il momento della VERBALIZZAZIONEVERBALIZZAZIONE permette di permette di migliorare l’uso di un linguaggio corretto e di acquisire migliorare l’uso di un linguaggio corretto e di acquisire spontaneamente il necessario rigore nel ragionamento spontaneamente il necessario rigore nel ragionamento matematico (i ragazzi si impegnano molto di più nel matematico (i ragazzi si impegnano molto di più nel tentativo di farsi comprendere dai loro compagni rispetto tentativo di farsi comprendere dai loro compagni rispetto a quanto succeda verso gli insegnanti).a quanto succeda verso gli insegnanti).

INDICE

documentazionedocumentazione

A titolo esemplificativo della metodologia proposta è A titolo esemplificativo della metodologia proposta è possibile a questo punto visionare una simulazione della possibile a questo punto visionare una simulazione della conduzione di tre giochi testati in classe con i ragazzi.conduzione di tre giochi testati in classe con i ragazzi.

LA BANCARELLA

DI MIRELLA

GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO

FRIEDRICK, PICCOLO GENIO ALL’OPERA

INDICE

FASE DIFASE DI

ESTENSIONEESTENSIONE

FASE DIFASE DI

CONTROLLOCONTROLLO

FASE DIFASE DI

ATTACCOATTACCO

FASEFASE

INIZIALEINIZIALE

LA BANCARELLA LA BANCARELLA

DI MIRELLADI MIRELLA

A Mirella piace molto allestire ogni A Mirella piace molto allestire ogni giorno in modo diverso la sua bancarella del giorno in modo diverso la sua bancarella del mercato. In questo periodo espone in bella mercato. In questo periodo espone in bella mostra tre coppie abbinate formate da una mostra tre coppie abbinate formate da una sciarpa e da una berretta, rispettivamente di sciarpa e da una berretta, rispettivamente di colore verde, rosso e giallo. colore verde, rosso e giallo.

Se nessuna coppia può essere divisa, in quanti Se nessuna coppia può essere divisa, in quanti modi diversi gli indumenti possono essere modi diversi gli indumenti possono essere allineati sulla bancarella di Mirella?allineati sulla bancarella di Mirella?

Il testo è chiaro a tutti?

Ci sono domande, ambiguità o parole che

non capite?

Cosa si intende per coppia abbinata?

Sciarpa e berretta

devono essere dello stesso

colore?

Cosa significa

che nessuna

coppia può essere

divisa?

QUESTI DUE CHIARIMENTI SONO STATI RICHIESTI NELLA FASE

SUCCESSIVA DI ATTACCO DEL GIOCO.

QUESTI DUE CHIARIMENTI SONO STATI RICHIESTI NELLA FASE

SUCCESSIVA DI ATTACCO DEL GIOCO.

Ma gli indumenti possono essere disposti come si vuole o devono essere per forza

allineati?

Avete mai incontrato problemi

simili?

No, non ci sembra…

Le coppie abbinate di berretta e

sciarpa sono 3.

Nessuna coppia può

essere divisa.

Quali sono i dati?

POCHI RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO DEL GIOCO.POCHI RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO DEL GIOCO.

Dobbiamo trovare le combinazioni possibili dei sei

indumenti a

disposizione.

Cioè… i modi possibili…

gli allineamenti…

Qual è la richiesta?

L’USO DEI TERMINI RELATIVO AL CALCOLO COMBINATORIO È MOLTO

IMPRECISO E DIFFICOLTOSO.

L’USO DEI TERMINI RELATIVO AL CALCOLO COMBINATORIO È MOLTO

IMPRECISO E DIFFICOLTOSO.

È FREQUENTE NEI RAGAZZI LA PERCEZIONE CHE IN QUALCHE MODO IL CALCOLO COMBINATORIO ABBIA A CHE FARE CON IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ …

È FREQUENTE NEI RAGAZZI LA PERCEZIONE CHE IN QUALCHE MODO IL CALCOLO COMBINATORIO ABBIA A CHE FARE CON IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ …

E se usassimo il calcolo delle probabilità?

Sicuramente la

moltiplicazione. Quali concetti matematici possono

servirvi per trovare la soluzione di questo

gioco?

La prof ha detto di

valutare se ci possono

essere utili degli

strumenti…

Beh, prendiamo

degli oggetti e riproduciamo la situazione!

Ok, io allora uso dei grafi ad albero o magari delle

tabelle…

Come procediam

o?

Proviamo a scrivere tutti gli

allineamenti possibili. Io tento

con le lettere R, V e B!

L’APPROCCIO E’ STATO LO STESSO PER TUTTI. SONO STATI PREMIATI GLI SFORZI DI CHI HA LAVORATO CON ORDINE E METODO.

L’APPROCCIO E’ STATO LO STESSO PER TUTTI. SONO STATI PREMIATI GLI SFORZI DI CHI HA LAVORATO CON ORDINE E METODO.

Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato?

I colori R, G, V possono essere combinati in 6 modi diversi:

R G V R V G G R V

G V R V R G V G R.

Ciascuno di queste combinazioni di colori da luogo però a 8 diversi allineamenti se si considerano le diverse posizioni di sciarpe (indicate con le maiuscole) e berrette (indicate con le minuscole):

R r G g V v R r G g v V R r g G V v R r g G v V

r R G g V v r R G g v V r R g G V v r R g G v V

In totale quindi si avranno 6 8 = 48 allineamenti. SOLO UN QUINTO DEI GRUPPI HA DATO LA RISPOSTA CORRETTA, LAVORANDO IN MODO SISTEMATICO E SCRIVENDO TUTTI I 48 ALLINEAMENTI POSSIBILI. POCHISSIMI RAGAZZI HANNO USATO, DOPO AVER INDIVIDUATO LE RIPETIZIONI, L’OPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE.

SOLO UN QUINTO DEI GRUPPI HA DATO LA RISPOSTA CORRETTA, LAVORANDO IN MODO SISTEMATICO E SCRIVENDO TUTTI I 48 ALLINEAMENTI POSSIBILI. POCHISSIMI RAGAZZI HANNO USATO, DOPO AVER INDIVIDUATO LE RIPETIZIONI, L’OPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE.

Ma noi abbiamo risposto 6!

L’ERRORE È STATO QUELLO DI CONSIDERARE LE COPPIE ABBINATE COME UN UNICO OGGETTO: NON È STATO CONSIDERATO IL FATTO CHE BERRETTA E SCIARPA POSSONO ESSERE INVERTITE DI POSTO SENZA CHE LA COPPIA SIA SPOSTATA.

L’ERRORE È STATO QUELLO DI CONSIDERARE LE COPPIE ABBINATE COME UN UNICO OGGETTO: NON È STATO CONSIDERATO IL FATTO CHE BERRETTA E SCIARPA POSSONO ESSERE INVERTITE DI POSTO SENZA CHE LA COPPIA SIA SPOSTATA.

E noi cosa abbiamo sbagliato?!? Abbiamo risposto 36…

IL RAGIONAMENTO DI FONDO E’ ESATTO, MA È STATO SVOLTO UN ERRORE NEL CALCOLO.IL RAGIONAMENTO DI FONDO E’ ESATTO, MA È STATO SVOLTO UN ERRORE NEL CALCOLO.

Avete capito gli errori avete fatto?

C’è ancora qualche problema insuperabile?

Noi non avevamo compreso bene il

significato di COPPIA

ABBINATA: è per questo che abbiamo sbagliato!

E se le coppie fossero state 2?

Quanti allineamenti possibili avremmo

avuto?

Io li ho scritti tutti:

sono 8!

Brava! E se le coppie fossero

state 4?

Hmm… è più difficile, ma se abbiamo capito bene il

ragionamento…24 combinazioni di 4 colori e

per ciascuna di esse 16 diverse disposizioni…per un totale di 384

possibilità!

PER ARRIVARE A QUESTA RISPOSTA L’INSEGNANTE HA DOVUTO INTERVENIRE PESANTEMENTE PER FAR OSSERVARE LE REGOLARITÀ TRA I NUMERI PRECEDENTI.

PER ARRIVARE A QUESTA RISPOSTA L’INSEGNANTE HA DOVUTO INTERVENIRE PESANTEMENTE PER FAR OSSERVARE LE REGOLARITÀ TRA I NUMERI PRECEDENTI.

Adesso proviamo a trovare una regola,

una formula che generalizzi il discorso nel caso di n coppie…

LA QUASI TOTALITA’ DEGLI ALUNNI NON RIESCE A GENERALIZZARE.

DUE ALUNNI, PERO’, ELABORANO DUE IPOTESI INTERESSANTI…

LA QUASI TOTALITA’ DEGLI ALUNNI NON RIESCE A GENERALIZZARE.

DUE ALUNNI, PERO’, ELABORANO DUE IPOTESI INTERESSANTI…

Vediamo…

una formula potrebbe essere questa:

2n · n · (n – 1) · … · 2 · 1!

Bene! Usando uno strumento che non

conoscete (il fattoriale) si può scrivere: 2n · n !

Altre ipotesi?

Se osserviamo bene c’è una certa

regolarità tra il caso di n coppie e n + 1

coppie…

LA MANCANZA DI TEMPO NON PERMETTE LA RIELABORAZIONE, DI QUESTA IPOTESI, MA DIFFICILMENTE I RAGAZZI AVREBBERO COMPRESO IL SIGNIFICATO DI UNA FORMULA RICORSIVA.

LA MANCANZA DI TEMPO NON PERMETTE LA RIELABORAZIONE, DI QUESTA IPOTESI, MA DIFFICILMENTE I RAGAZZI AVREBBERO COMPRESO IL SIGNIFICATO DI UNA FORMULA RICORSIVA.

Provate ora ad inventare un nuovo

gioco simile a questo.

No, no, no! Attento: così stai

sbagliando…

Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci. In quanti modi possibili

può disporli?

È vero! Riformulo il testo:

Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci: due grossi, due medi e due piccoli. In quanti modi possibili può disporli senza mai dividere i pesci della stessa taglia?

Non c’è stato il tempo di riflettere su una variante

interessante del gioco e cioè il caso in cui al posto di una

coppia abbinata di berretta e sciarpa ci sia un paio di

guanti. In questo caso i ragazzi sarebbero stati obbligati a

considerare la disposizione di indumenti non invertibile (il

guanto destro a destra, il guanto sinistro a sinistra): cosa

sarebbe cambiato nel calcolo?

Non c’è stato il tempo di riflettere su una variante

interessante del gioco e cioè il caso in cui al posto di una

coppia abbinata di berretta e sciarpa ci sia un paio di

guanti. In questo caso i ragazzi sarebbero stati obbligati a

considerare la disposizione di indumenti non invertibile (il

guanto destro a destra, il guanto sinistro a sinistra): cosa

sarebbe cambiato nel calcolo?

INDICE

Questo gioco ha molto interessato e appassionato i ragazzi,

anche quelli più in difficoltà. Alcuni commenti dei ragazzi:

“Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula!”

“Prof, ho provato a spiegare a mia mamma il gioco ma non

ha capito nulla!”

“Ho sfidato mio papà nel gioco di ieri e ha perso perché lui

non conosceva la formula che abbiamo scoperto!”

Questo gioco ha molto interessato e appassionato i ragazzi,

anche quelli più in difficoltà. Alcuni commenti dei ragazzi:

“Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula!”

“Prof, ho provato a spiegare a mia mamma il gioco ma non

ha capito nulla!”

“Ho sfidato mio papà nel gioco di ieri e ha perso perché lui

non conosceva la formula che abbiamo scoperto!”

FASE DIFASE DI


FASE DIFASE DI

CONTROLLOCONTROLLO

FASE DIFASE DI

ATTACCOATTACCO

FASEFASE

INIZIALEINIZIALE

GUARDANDO NEL GUARDANDO NEL

CALEIDOSCOPIOCALEIDOSCOPIO

A Emi è stato regalato un caleidoscopio a A Emi è stato regalato un caleidoscopio a sezione quadrata. L’immagine che sta sezione quadrata. L’immagine che sta guardando in questo momento è quella guardando in questo momento è quella riportata a destra … riportata a destra … Emi, in particolare, è incuriosita dal quadratino centrale, del Emi, in particolare, è incuriosita dal quadratino centrale, del quale vorrebbe riuscire a calcolarne l’area. Fosse facile! Riesce quale vorrebbe riuscire a calcolarne l’area. Fosse facile! Riesce solo a misurare il lato del quadrato più esterno che è di 4 cm. solo a misurare il lato del quadrato più esterno che è di 4 cm. La nostra Emi pensa di essere imbattibile in matematica, ma La nostra Emi pensa di essere imbattibile in matematica, ma forse ancora non vi conosce. forse ancora non vi conosce.

Riuscite anche voi a trovare l’area del quadratino?Riuscite anche voi a trovare l’area del quadratino?


Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite?

Cosa si intende per QUADRATO PIÙ

ESTERNO?

È PIÙ UNA RICHIESTA DI CONFERMA CHE UNA VERA E PROPRIA DOMANDA. È PIÙ UNA RICHIESTA DI CONFERMA CHE UNA VERA E PROPRIA DOMANDA.


simili?

Sembra un po’ qualche problema

del libro di geometria, ma… no, direi di no!

La misura del lato del

quadrato più grande è 4 cm. Quali sono

i dati?

TUTTI I RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO

FONDAMENTALE.

TUTTI I RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO

FONDAMENTALE.

Certo che se non abbiamo la figura o

almeno la sua costruzione come si

fa?!?

QUASI NESSUNO SI RENDE CONTO DELL’IMPORTANZA DI QUESTI DUE

DATI, SENZA I QUALI NON SI POTREBBE RISOVERE IL GIOCO.

QUASI NESSUNO SI RENDE CONTO DELL’IMPORTANZA DI QUESTI DUE

DATI, SENZA I QUALI NON SI POTREBBE RISOVERE IL GIOCO.

Dobbiamo contare il numero di quadrati costruiti a partire da quello più esterno…

Calcolare l’area del

quadratino più interno.


LA RICHIESTA E’ CHIARA PER TUTTI.LA RICHIESTA E’ CHIARA PER TUTTI.

Serve la formula per

calcolare l’area di un quadrato.

Ma anche il teorema di Pitagora…

Quali concetti matematici possono servirvi per trovare

la soluzione di questo gioco?

Forse basta solo la formula per calcolare la

diagonale del quadrato dato il

lato…

Ci possono essere utili

degli strumenti?

A parte penna, carta e righello

nessuno in particolare.

Come procediam

o?

La cosa più semplice mi

sembra costruire il quadrato e

misurare… ma dobbiamo proprio essere precisi!

LE STRATEGIE ADOTTATE SONO STATE MOLTEPLICI. LE STRATEGIE ADOTTATE SONO STATE MOLTEPLICI.

Potremmo individuare la relazione tra l’area

di un quadrato e quella del suo successivo per

confronto di aree...

Ma la relazione tra l’area di un quadrato e il suo successivo si può individuare anche come differenza tra l’area del quadrato e l’area dei quattro triangoli rettangoli.

E se considerassimo un quarto della figura e ragionassimo solo sui quadrati e sui triangoli rettangoli?

Calcoliamo la misura del lato del

quadrato successivo

attraverso il teorema di Pitagora!

IN QUESTI CASI IL VALORE OTTENUTO È COMUNQUE UN’APPROSSIMAZIONE. IN QUESTI CASI IL VALORE OTTENUTO È COMUNQUE UN’APPROSSIMAZIONE.

Oppure attraverso la formula della diagonale di un

quadrato…

E se individuassimo la

relazione tra il lato del quadratino e la

diagonale del quadrato esterno?

Allora, sentiamo… Quale soluzione avete

trovato?

IN QUESTO GIOCO I PORTAVOCE DEI VARI GRUPPI SI SONO ESPRESSI CON PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E CHIAREZZA.

L’ARGOMENTO IN EFFETTI RISULTA ABBASTANZA FAMILIARE.

IN QUESTO GIOCO I PORTAVOCE DEI VARI GRUPPI SI SONO ESPRESSI CON PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E CHIAREZZA.

L’ARGOMENTO IN EFFETTI RISULTA ABBASTANZA FAMILIARE.

LA SOLUZIONE CORRETTA E’ STATA DATA DALLA META’ DEI RAGAZZI.

UN QUARTO DI LORO HA DATO UNA SOLUZIONE APPROSSIMATA PER VIA DELLA STRATEGIA DI CALCOLO O DI MISURA UTILIZZATA.

L’ULTIMO QUARTO NON FORNITO SOLUZIONE NEI TEMPI ASSEGNATI.

LA SOLUZIONE CORRETTA E’ STATA DATA DALLA META’ DEI RAGAZZI.

UN QUARTO DI LORO HA DATO UNA SOLUZIONE APPROSSIMATA PER VIA DELLA STRATEGIA DI CALCOLO O DI MISURA UTILIZZATA.

L’ULTIMO QUARTO NON FORNITO SOLUZIONE NEI TEMPI ASSEGNATI.

A noi l’area risulta di 0,5 cm2 !

Ecco come abbiamo fatto…

Aspetti che guardo:

l’abbiamo già calcolato!

A DOMANDE DI QUESTO TIPO I RAGAZZI RISPONDONO CON FACILITÀ PERCHÉ IL CALCOLO DELLE AREE DEI QUADRATINI INTERMEDI FA PARTE DEL PERCORSO RISOLUTIVO ADOTTATO.

A DOMANDE DI QUESTO TIPO I RAGAZZI RISPONDONO CON FACILITÀ PERCHÉ IL CALCOLO DELLE AREE DEI QUADRATINI INTERMEDI FA PARTE DEL PERCORSO RISOLUTIVO ADOTTATO.

E se i quadrati inscritti fossero stati solo 3 che area avrebbe avuto il quadratino interno?

Ma… se fossero stati

10?

Avete scoperto una regola, una formula o una

regolarità?

Visto che ad ogni passaggio l’area del quadrato si dimezza possiamo scrivere…

E se il caleidoscopio avesse avuto sezione

triangolare cosa sarebbe cambiato?

Hmm… ogni triangolo viene diviso in quattro triangoli equivalenti

attraverso la costruzione utilizzata. Pertanto…

INDICE

Un ragazzo arriva ad una formula

valida per tutti i poligoni regolari

attraverso l’uso di un software di

disegno tecnico che calcola

direttamente le aree delle figure

attraverso la loro costruzione (xè

una costante per ogni poligono

regolare).

Un ragazzo arriva ad una formula

valida per tutti i poligoni regolari

attraverso l’uso di un software di

disegno tecnico che calcola

direttamente le aree delle figure

attraverso la loro costruzione (xè

una costante per ogni poligono

regolare).

FASE DIFASE DI


FASE DIFASE DI

CONTROLLOCONTROLLO

FASE DIFASE DI

ATTACCOATTACCO

FASEFASE

INIZIALEINIZIALE

FRIEDRICKFRIEDRICK,, PICCOLO PICCOLO

GENIO ALL’OPERAGENIO ALL’OPERA

Si racconta che il maestro di Friedrick Gauss un giorno fosse Si racconta che il maestro di Friedrick Gauss un giorno fosse particolarmente indaffarato e avesse bisogno di un attimo di particolarmente indaffarato e avesse bisogno di un attimo di tregua dai suoi rumorosi alunni. Assegnò loro quindi un compito tregua dai suoi rumorosi alunni. Assegnò loro quindi un compito che lui riteneva li avrebbe tenuti occupati per un bel po’: trovare che lui riteneva li avrebbe tenuti occupati per un bel po’: trovare la somma dei primi 100 numeri naturali. Ebbene, il piccolo la somma dei primi 100 numeri naturali. Ebbene, il piccolo Friedrick dopo dieci minuti aveva risolto correttamente il Friedrick dopo dieci minuti aveva risolto correttamente il problema e trovato una formula che lo risolvesse per ogni altro problema e trovato una formula che lo risolvesse per ogni altro numero! numero!

Sapreste fare la stessa cosa con i primi 20 numeri? E con i primi Sapreste fare la stessa cosa con i primi 20 numeri? E con i primi 50?50?

La storia ci racconta un aneddoto La storia ci racconta un aneddoto divertente relativo ad un grande divertente relativo ad un grande matematico, che già in tenera età matematico, che già in tenera età dimostrava le sue spiccate attitudini per dimostrava le sue spiccate attitudini per la matematica.la matematica.


Ci sono domande, ambiguità o parole che

non capite?

Cosa vuol dire trovare la somma

dei primi 100 numeri?

Dobbiamo trovare tutti i numeri che

sommati danno 100?

Io invece conosco un gioco simile! Ce l’ha proposto

la prof l’anno scorso…


simili?

QUASI NESSUNO CONOSCE QUESTO GIOCO; AD ALCUNI ERA GIÀ STATO

PROPOSTO E VOLUTAMENTE L’ABBIAMO RIPRESENTATO PER APPURARE

SE LA PROCEDURA RISOLUTIVA È STATA ACQUISITA.

QUASI NESSUNO CONOSCE QUESTO GIOCO; AD ALCUNI ERA GIÀ STATO

PROPOSTO E VOLUTAMENTE L’ABBIAMO RIPRESENTATO PER APPURARE

SE LA PROCEDURA RISOLUTIVA È STATA ACQUISITA.

Io no!

I primi 20 numeri… i primi 50 numeri…

Quali sono i dati?

SOLO POCHI RAGAZZI SI SONO RESI CONTO DEL FATTO CHE QUESTO

DATO È INUTILE.

SOLO POCHI RAGAZZI SI SONO RESI CONTO DEL FATTO CHE QUESTO

DATO È INUTILE.

Anche i primi 100

numeri ?!?


LA RICHIESTA E’ CHIARA PER QUASI TUTTI; GLI STESSI RAGAZZI CHE

HANNO INSERITO 100 TRA I DATI HANNO INDIVIDUATO COME

RICHIESTA LA SOMMA DEI PRIMI 100 NUMERI.

LA RICHIESTA E’ CHIARA PER QUASI TUTTI; GLI STESSI RAGAZZI CHE

HANNO INSERITO 100 TRA I DATI HANNO INDIVIDUATO COME

RICHIESTA LA SOMMA DEI PRIMI 100 NUMERI.

Trovare la somma dei

primi 20 e 50 numeri.

Bisogna conoscere le operazioni

aritmetiche di base.

Bisogna sapere quali

sono i numeri naturali.

Quali concetti matematici possono servirvi per trovare

la soluzione di questo gioco?

È un gioco in cui la logica è molto importante.

MENO MALE! CI SAREMMO PREOCCUPATI SE TUTTI AVESSERO INCOMINCIATO A ESEGUIRE LE SOMME SENZA RAGIONARE!

MENO MALE! CI SAREMMO PREOCCUPATI SE TUTTI AVESSERO INCOMINCIATO A ESEGUIRE LE SOMME SENZA RAGIONARE!

Ci possono essere utili

degli strumenti?

E se prendessimo una

calcolatrice?!?

QUALCUNO CI PROVA SEMPRE, MA DIFENDIAMO LA SCELTA DI NON PERMETTERE L’USO DELLA CALCOLATRICE DURANTE I GIOCHI, RITENENDO MOLTO IMPORTANTE ANCHE IL FAR DI CONTO.

QUALCUNO CI PROVA SEMPRE, MA DIFENDIAMO LA SCELTA DI NON PERMETTERE L’USO DELLA CALCOLATRICE DURANTE I GIOCHI, RITENENDO MOLTO IMPORTANTE ANCHE IL FAR DI CONTO.

Come procediam

o?

La cosa più semplice è

scrivere tutti i numeri e poi sommarli.

LE IMMAGINI SUCCESSIVE ILLUSTRANO LE NUMEROSE “SCOPERTE” DEI RAGAZZI. LE IMMAGINI SUCCESSIVE ILLUSTRANO LE NUMEROSE “SCOPERTE” DEI RAGAZZI.

Ma no, dai, cerchiamo di capire se c’è un modo per

semplificare i conti…

Ma non avevamo scoperto una formula per

risolvere giochi come questo?

I RAGAZZI CHE AVEVANO GIA’ INCONTRATO QUESTO GIOCO HANNO CERCATO DI RICOSTRUIRE LA FORMULA RISOLVENTE (la formula di Gauss), VERIFICANDOLA POI SU NUMERI PICCOLI.

I RAGAZZI CHE AVEVANO GIA’ INCONTRATO QUESTO GIOCO HANNO CERCATO DI RICOSTRUIRE LA FORMULA RISOLVENTE (la formula di Gauss), VERIFICANDOLA POI SU NUMERI PICCOLI.

E chi se la ricorda!?!Però forse

riusciamo a ricostruire il

procedimento per ricavarla…

La somma dei primi cinquanta numeri è 1275, mentre quella dei primi venti è 210.

La somma dei primi cento numeri

è 5050.

Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato?

E lei ci dice che queste

formule sono equivalenti?!?

QUASI TUTTI I GRUPPI HANNO RICAVATO UNA REGOLA, FORMALIZZATA IN MODO CORRETTO. NON TUTTI I RAGAZZI HANNO PERO’ PADRONANZA DEL CALCOLO LETTERALE E QUINDI E’ STATO DIFFICOLTOSO CONVINCERLI DELL’EQUIVALENZA FRA LE VARIE FORMULE.

QUASI TUTTI I GRUPPI HANNO RICAVATO UNA REGOLA, FORMALIZZATA IN MODO CORRETTO. NON TUTTI I RAGAZZI HANNO PERO’ PADRONANZA DEL CALCOLO LETTERALE E QUINDI E’ STATO DIFFICOLTOSO CONVINCERLI DELL’EQUIVALENZA FRA LE VARIE FORMULE.

Avete scoperto una regola, una formula o una regolarità?

Funziona anche per sommare i primi 99

numeri? Cosa cambia?

Non cambia nulla perché se n è pari

nella formula si semplifica n con il 2, mentre se n è dispari

si semplifica n + 1 con il 2.

NON È QUESTO IL PUNTO! I RAGAZZI DOVEVANO RIFLETTERE SUL PROCEDIMENTO

CHE LI HA PORTATI ALLA FORMULA E CHIEDERSI SE VALE LO STESSO

RAGIONAMENTO.

NON È QUESTO IL PUNTO! I RAGAZZI DOVEVANO RIFLETTERE SUL PROCEDIMENTO

CHE LI HA PORTATI ALLA FORMULA E CHIEDERSI SE VALE LO STESSO

RAGIONAMENTO.

Vediamo se cambia qualcosa.

La somma del primo numero con l’ultimo, del secondo con il

penultimo e così via è sempre n + 1; il numero di coppie di questo

tipo sono però (n - 1) : 2 e bisogna sommare il numero centrale, cioè

(n + 1) : 2. La somma vale quindi...

INDICE

I RAGAZZI, RIFACENDO GLI

STESSI RAGIONAMENTI FATTI

DURANTE LA RISOLUZIONE

DEL GIOCO, RIESCONO AD

ARRIVARE ALLA FORMULA A

LATO; DA PARTE DEL

DOCENTE LA CONFERMA

FINALE DELL’EQUIVALENZA

CON LA FORMULA DI GAUSS

NELLA SUA ESPRESSIONE

PIU’ CONOSCIUTA.

I RAGAZZI, RIFACENDO GLI

STESSI RAGIONAMENTI FATTI

DURANTE LA RISOLUZIONE

DEL GIOCO, RIESCONO AD

ARRIVARE ALLA FORMULA A

LATO; DA PARTE DEL

DOCENTE LA CONFERMA

FINALE DELL’EQUIVALENZA

CON LA FORMULA DI GAUSS

NELLA SUA ESPRESSIONE

PIU’ CONOSCIUTA.

materialimateriali

ARITMETICIARITMETICI

GEOMETRICIGEOMETRICI

PROBABILISTICIPROBABILISTICI

È possibile scaricare le schede in formato Word per poter È possibile scaricare le schede in formato Word per poter svolgere in classe l’esperienza dei giochi matematici.svolgere in classe l’esperienza dei giochi matematici.

Per ogni gioco sono disponibili due schede : Per ogni gioco sono disponibili due schede :

- la la SCHEDA RISPOSTESCHEDA RISPOSTE per gli alunni su cui i ragazzi possono per gli alunni su cui i ragazzi possono verbalizzare tutto il processo cognitivo che hanno verbalizzare tutto il processo cognitivo che hanno affrontato;affrontato;

- la la SCHEDA DI OSSERVAZIONESCHEDA DI OSSERVAZIONE per i docenti in cui l’insegnante per i docenti in cui l’insegnante può documentare le osservazioni sullo svolgimento del può documentare le osservazioni sullo svolgimento del gioco.gioco.

INDICE

•LA BANCARELLA DI MIRELLALA BANCARELLA DI MIRELLA

GIOCHI ARITMETICIGIOCHI ARITMETICI

•Friedrick, piccolo genio all’operaFriedrick, piccolo genio all’opera

•La SUPERNONNALa SUPERNONNA

ALUNNIALUNNI PROF PROF



GIOCHI geomeTrICIGIOCHI geomeTrICI

•I pentamini di MauroI pentamini di Mauro

•Guardando nel caleidoscopioGuardando nel caleidoscopio

•Puzzle: che passione!Puzzle: che passione!




GIOCHI probabilistICIGIOCHI probabilistICI

•Scommettiamo?Scommettiamo?

•Black outBlack out

•Che combinazione!Che combinazione!




bibliografiabibliografia

SUL GIOCO MATEMATICOSUL GIOCO MATEMATICO

o Gare di giochi matematici per elementari proposte dal Gruppo di Ricerca sull’Uso del gioco nella didattica della matematica

www.quadernoaquadretti.it

o Giochi di allenamento e Gare per scuole medie della Bocconi

www.uni-bocconi.it

o www.matematicamente.it

o Nando Geronimi, “Papà scommettiamo che…”

o Federico Peieretti, “I piaceri della matematica”

o Michel Criton, “Lex jeux mathèmatiques”INDICE

SULLA DIDATTICA METACOGNITIVASULLA DIDATTICA METACOGNITIVA

o Watzlawick, Weakland e Fisch, “Per un approccio al problem solving nel campo relazionale umano” - 1973

o Claudia Valentini, Didattica Metacognitiva - Pavone Risorse

www.lamaestra.itwww.lamaestra.it

SUL SeT e SULLA RIFORMA SCOLASTICASUL SeT e SULLA RIFORMA SCOLASTICA

o www.setlecco.it

o www.istruzione.it

INDICEUSCITAUSCITAUSCITAUSCITA

Per informazioni:Per informazioni:

SIMONA LANFRANCHISIMONA LANFRANCHI

[email protected] Media l. r. paritaria “Caterina Scuola Media l. r. paritaria “Caterina

Cittadini” di Cittadini” di

Calolziocorte (LC)Calolziocorte (LC)

[email protected]

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GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA A cura di Simona Lanfranchi Scuola Media l.r. paritaria Caterina...

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