LEZIONE 4

4.1. Operazioni elementari di riga.Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equa-

zioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe. Si osservi, pero, chedato un sistema di equazioni lineari, in generale, la sua matrice non sara fortemente ridottaper righe, o anche solo ridotta per righe. Per esempio la matrice completa del sistema

(4.1.1){x+ y + z = 1x y + 2z = 3

a coefficienti in k = R,C e (1 1 11 1 2

13)

che non e ridotta per righe.Un possibile metodo di soluzione e quello di trasformare il Sistema (4.1.1) in un nuovo

sistema con le stesse soluzioni e che abbia una matrice fortemente ridotta per righe erisolvere questultimo invece di quello di partenza.

Per esempio, se nel Sistema (4.1.1) si sostituisce alla seconda equazione la somma delledue equazioni, si ottiene il nuovo sistema

(4.1.2){x+ y + z = 12x+ 3z = 2

la cui matrice completa e (1 1 12 0 3

12)

che e ridotta per righe. Chiaramente se t (x0 y0 z0 ) e soluzione del Sistema (4.1.1) siha

x0 + y0 + z0 1 = 0, x0 y0 + 2z0 + 3 = 0,

dunque

x0 + y0 + z0 1 = 0, 2x0 + 3z0 + 2 = (x0 + y0 + z0 1) + (x0 y0 + 2z0 + 3) = 0,

sicche t (x0 y0 z0 ) e anche soluzione del Sistema (4.1.2): concludiamo che linsiemedelle soluzioni del Sistema (4.1.1) e contenuto in quello del Sistema (4.1.2).

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2 4.1. OPERAZIONI ELEMENTARI DI RIGA

Poiche, viceversa, il Sistema (4.1.1) si puo ottenere dal Sistema (4.1.2) sostituendo allasua seconda equazione la seconda equazione meno la prima anche linsieme delle soluzionidel Sistema (4.1.2) e contenuto in quello del Sistema (4.1.1),dunque tali insiemi coincidono,cioe i due Sistemi (4.1.1) e (4.1.2) hanno le stesse soluzioni, ovvero sono equivalenti nelsenso della seguente

Definizione 4.1.3. Due sistemi di equazioni (non necessariamente lineari) si dicono equi-valenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Proseguendo con il Sistema (4.1.2), dividendo la seconda equazione per 2 otteniamo ilsistema

(4.1.4){x+ y + z = 1x+ 3z/2 = 1

la cui matrice completa e (1 1 11 0 3

11).

E facile osservare che il Sistema (4.1.4) e ancora equivalente al Sistema (4.1.1) di partenza.Sottraendo, infine, alla prima equazione del sistema cos ottenuto la seconda otteniamo

(4.1.5){y z/2 = 2x+ 3z/2 = 1

la cui matrice completa e (0 1 1/21 0 3

21)

che e fortemente ridotta per righe. Ragionando analogamente a quanto fatto primaosserviamo che il Sistema (4.1.5) e equivalente al Sistema (4.1.2), dunque al Sistema (4.1.1).Risolvendo il Sistema (4.1.5) come spiegato nellEsempio 3.2.1, otteniamo che la soluzionegenerale del Sistema (4.1.5) e, percio, del Sistema (4.1.1) e{

t (1 3z/2 2 + z/2 z ) | z k}.

Si noti che ogni operazione fatta sulle equazioni del sistema corrisponde ad unanalogaoperazione fra le righe della matrice completa del sistema stesso: questa e la tecnicagenerale per risolvere un qualsiasi sistema di equazioni lineari. Per enunciare il risultatogenerale introduciamo la definizione di operazioni elementari di riga.

Definizione 4.1.6. Sia A km,n, k = R,C. Le operazioni elementari di riga su A sono:(E1) sommare ad una riga di A un multiplo di unaltra riga di A (se si somma alla riga

di indice i la riga di indice i0 6= i moltiplicata per k tale operazione vienespesso indicata con Ri Ri + Ri0);

(E2) moltiplicare una riga di A per una costante non nulla k (se si moltiplica la rigadi indice i per tale operazione viene spesso indicata con Ri Ri);

(E3) scambiare due righe di A (se si scambiano le riga di indici i e i0 tale operazioneviene spesso indicata con Ri Ri0).

Il risultato fondamentale di questo paragrafo e il seguente.

LEZIONE 4 3

Proposizione 4.1.7. Sia A km,n, k = R,C. Allora esiste una successione finita dioperazioni elementari di riga che trasforma A in una matrice A km,n (fortemente)ridotta per righe.

Dimostrazione. Supponiamo che A = (ai,j) 1im1jn

. Supponiamo che A 6= 0m,n (altrimentinon ce nulla da dimostrare). Sia i0 il piu piccolo indice per cui esiste ai0,j0 6= 0.Moltiplicando la riga di indice i0 per a1i0,j0 (cioe Ri0 Ri0/ai0,j0) trasformiamo la matriceA in una nuova matrice A avente lentrata 1 in posizione (i0, j0).

Per ogni i 6= i0 si sostituisca la riga di indice i con la sua somma alla riga di indice i0moltiplicata per ai,j0 (cioe Ri Ri ai,j0Ri0). In questo modo trasformiamo la matriceA in una nuova matrice A = (ai,j) 1im

1jnla cui colonna di indice j0 contiene ununica

entrata non nulla che vale 1 in posizione (i0, j0).A questo punto si presentano due possibilita. Nel primo caso tutte le righe di indice

i 6= i0 sono nulle: scambiando la riga di indice i0 con la riga di indice 1 (cioe R1 Ri0)trasformiamo A in una nuova matrice A = (ai,j) 1im

1jnla cui colonna di indice j0

contiene ununica entrata non nulla che vale 1 in posizione (1, j0) e tale che ai,j = 0 perogni i > 1. Quindi A e fortemente ridotta per righe. Nel secondo caso ripetiamo lo stessoprocedimento con il piu piccolo indice i1 > i0 per cui esiste ai1,j1 6= 0. Poiche a

i,j0

= 0 peri 6= i0 segue che j1 6= j0.

In questo modo dopo al piu m passi (uno per ogni riga) otteniamo una matrice forte-mente ridotta per righe.

Esempio 4.1.8. Si consideri la matrice

A =

1 1 1 1 11 3 2 1 22 4 1 2 31 1 2 5 7

.

Allora

AR2R2R1

1 1 1 1 10 2 3 0 12 4 1 2 31 1 2 5 7

R3R32R1R4R4R1

1 1 1 1 10 2 3 0 10 2 3 0 10 2 1 4 6

R3R3R2R4R4+R2

1 1 1 1 10 2 3 0 10 0 0 0 00 0 2 4 7

= A :

4 4.2. RANGO DI UNA MATRICE

tale matrice e ridotta per righe. Proseguendo

A

R2R2/2R4R4/2

1 1 1 1 10 1 3/2 0 1/20 0 0 0 00 0 1 2 7/2

R2R2+3R4/2R1R1R4

1 1 0 3 9/20 1 0 3 19/40 0 0 0 00 0 1 2 7/2

R1R1R2

1 0 0 6 37/40 1 0 3 19/40 0 0 0 00 0 1 2 7/2

R3R4

1 0 0 6 37/40 1 0 3 19/40 0 1 2 7/20 0 0 0 0

= A,che e fortemente ridotta per righe.

4.2. Rango di una matrice.

E chiaro che da ogni matrice A, con operazioni elementari di riga, si potranno ottenerevarie matrici ridotte per righe, anche molto diverse: infatti, ad ogni passo, bisogna fareuna scelta del pivot. Si puo, pero, dimostrare che

Proposizione 4.2.1. Sia A km,n, k = R,C, e siano A ed A due matrici ridotte perrighe ottenute da A con una successione finita di operazioni elementari di riga. Allora inumeri di righe di A e di A contenenti entrate non nulle coincidono.

Dimostrazione. Omettiamo la dimostrazione. Vedremo piu avanti, nel corso delle prossimelezioni, che tale numero dipende solo da A (coincide con un numero chiamato dimensionedello spazio riga di A) e non dalla riduzione operata.

Si comprende che tale numero riveste unimportanza particolare nellalgebra delle ma-trici, pertanto merita un nome particolare.

Definizione 4.2.2. Sia A km,n, k = R,C, e sia A una matrice ridotta per righeottenuta da A con una successione finita di operazioni elementari di riga. Il numeri dirighe di A contenenti entrate non nulle viene detto rango di A ed indicato con il simbolork(A).

In particolare rk(A) m per definizione. Inoltre rk(A) coincide con il numero di pivotdi una forma ridotta per righe di A: ognuno di essi si trova necessariamente in una colonnadiversa, quindi si ha anche rk(A) n. Abbiamo percio dimostrato che

Proposizione 4.2.3. Sia A km,n, k = R,C. Allora rk(A) min{ m,n }.

LEZIONE 4 5

Esempio 4.2.4. Si consideri la matrice

A =

1 1 1 1 11 3 2 1 22 4 1 2 31 1 2 5 7

.Poiche con operazioni elementari di riga A puo essere trasformata in una delle due matrici

A =

1 1 1 1 10 2 3 0 10 0 0 0 00 0 2 4 7

, A =

1 0 0 6 37/40 1 0 3 19/40 0 1 2 7/20 0 0 0 0

,segue che rk(A) = rk(A) = rk(A) = 3.

Osservazione 4.2.5. Oltre alla notazione rk(A), per indicare il rango della matrice A siutilizzano anche altri simboli. Per esempio %(A) e N(A), per citare solo i piu diffusi.