Geometria

Insegnare geometria

Marta TodeschiniAgenzia Nazionale per lo Sviluppo dell’Autonomia [email protected]

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La geometria

La geometria è la più antica tra le teorie create dall’uomo che ha rappresentato per due millenni uno dei campi del sapere tra i più importanti della matematica, anzi per lungo tempo è stata assimilata alla matematica stessa (i matematici spesso chiamavano se stessi geometri).

Testimonianza significativa da questo punto di vista è la scritta riportata nel portico della famosa Accademia di Atene, dove Platone (428-427 a.C. – 348-347 a.C.) impartiva le sue lezioni, in cui compariva il seguente avvertimento:

Non entri chi non conosca la Geometria”.

Accademia di Atene, dipinto di Raffaello Sanzio

Geo-metriaPrima premessaUna lunga tradizione iniziata nell’antichità come studio della “misura

della terra” e rafforzata con gli Elementi di Euclide, ci tramanda una geo-metria (appunto) fortemente radicata nell’esperienza.

Proprio l’evidenza empirica delle proprietà espresse dalla geometria è stata per secoli alla base della fiducia nella verità assoluta della geometria stessa.

Tale certezza si è attenuata con la scoperta delle geometrie “non-Euclidee” e soprattutto con l’acceso dibattito che ha caratterizzato la storia della matematica a partire dalla Crisi dei Fondamenti avvenuto a cavallo tra il XIX ed il XX secolo.

Da questo punto di vista, Henri Poincaré distingue tra lo spazio fisico nel quale avvengono le nostre esperienze e quello geometrico astratto ed ideale:

«[…] i principi della geometria non sono dei fatti sperimentali. […] È chiaro che l’esperienza gioca un ruolo insostituibile nella genesi della geometria: ma sarebbe un errore concludere che la geometria è una scienza sperimentale, anche solo in parte» (Poincaré, 1902).

La geometria diventa così una disciplina sempre più affrancata da ogni riferimento al reale:

il criterio essenziale di validità diviene la correttezza formale del ragionamento e la coerenza di un sistema formale.

Geo-metriaSeconda premessa Tali considerazioni hanno portato storicamente ad un abbandono

della geometria dall’insegnamento della scuola primaria.

Nel 1867 alcuni illustri matematici italiani sancirono ufficialmente che l’unico modello epistemologicamente adeguato per questa disciplina era quello euclideo e riconoscendo improponibile una rigorosa sequenza di tale impostazione nella scuola primaria, la abolirono.

Se ancora oggi la geometria risente di una accentuata marginalità (rispetto al curricolo di matematica) e di un eccessivo formalismo, riteniamo che ciò sia conseguenza, almeno in parte, di una visione epistemologica così radicale.

Eppure gli elementi primi dello scienziato non devono essere necessariamente gli elementi primi dell’allievo.

Conseguenze

La tendenza a voler riprodurre l’impostazione euclidea nell’insegnamento della scuola di base continua ancora oggi.

Alcuni esempi: molti insegnanti introducono questa disciplina iniziando da

concetti come il punto, la retta e il piano, importanti per una trattazione razionale, ma distanti dall’esperienza dell’allievo o da definizioni che andrebbero invece considerate come punto di arrivo di un percorso di apprendimento costruttivo e personale dello studente.

Partire dalla geometria piana e scordarsi di quella solida (dello spazio)

Separazione netta tra intuizioni connesse all’esperienza e il ragionamento geometrico.

Scarsa considerazione dell’insito valore culturale e educativo della disciplina a favore di un valore strumentale.

L’approccio della psicologia dell’apprendimento Non esiste un disturbo specifico dell’apprendimento della

geometria Imparare geometria sembra essere il risultato di differenti

abilità legate al linguaggio (es. termini, definizioni), all’astrazione e al ragionamento (es. riconoscimento di invarianti, soluzione di problemi), alla memoria (es. memorizzazione di informazioni e procedure) e alle abilita’ visuospaziali

Le abbiamo raccolte in: Conoscenze dichiarative Abilità di problem solving Abilità visuospaziali

Le prove di valutazione ci aiutano a cogliere quali abilità sono implicate nell’apprendimento della geometria e descrivono il livello a cui si colloca la prestazione di un dato bambino.

Lo sviluppo della competenza geometrica Se si considerano le prime fasi

dell’apprendimento geometrico è subito evidente l’importante ruolo delle abilità visuospaziali

Esistono principi geometrici innati? Dehaene, et al. (2006) hanno testato un gruppo di

indigeni dell’Amazzonia I risultati dimostrano che essi possedevano

Principi topologici

Principi euclidei (linea, angolo retto)

Figure geometriche (quadrato, triangolo, cerchio)

Altre ricerche …

quadrato

90%

10%

si

no

triangolo

60%

40%si

no

rettangolo

50%50%

si

no

Clements et al. (1999) hanno intervistato 128 bambini tra i 3 e i 6 anni, con lo scopo di indagare le loro conoscenze sulle forme geometriche

La teoria di Van Hiele (1986; Clements & Battista, 1992)

Livelli di sviluppo del pensiero geometrico: Livello 0 (pre-riconoscimento): b. iniziano a costruire schemi

visivi delle forme ma non riconoscono sempre forme da “

non-esempi”.

Livello 1 (Visivo): b. riconoscono la forma come un “tutto”,

riescono a formarsi delle immagini mentali (es. “figura è un

rettangolo perché è simile ad una porta”), ma non riescono a

raggiungere definizioni, proprietà, attributi delle forme.

Livello 2 (descrittivo/analitico): i b. riconoscono le forme sulla

base delle proprietà (es. “figura è un quadrato perché ha 4

lati uguali”)

La teoria di Van Hiele (1986; Clements & Battista, 1992)

Livello 3 (deduzioni informali o geometria euclidea): Il sogg.

comincia ad osservare le varie relazioni dal punto di vista logico.

Affina il linguaggio e impara la terminologia tecnica. Raggiunge la

comprensione dei rapporti gerarchici tra le figure e delle

definizioni, per esempio, il quadrato è un rettangolo con tutti i lati

uguali, ed entrambi sono parallelogrammi.

Livello 4 (logica formale): distinzione di una proposizione e la sua

inversa, comprensione per dimostrazione. Il pensiero si occupa

del significato di deduzione, del reciproco di un teorema, della

condizione necessaria e sufficiente.

Livello 5 (rigore): consente agli studenti di apprendere la

geometria non-euclidea e di confrontare diversi sistemi di

assiomi.

Influenza dell’educazione La cultura ha influenzato e influenza la

formazione di forme prototipiche Es. prototipo del quadrato

Es. prototipo del triangolo

Influenza dell’educazione

Ricerca di Vurpillot (1976) Da 4 a 7 anni: b. non riconoscono un quadrato

ruotato come quadrato 8-9 anni: b. individuano caratteristiche del

quadrato anche se ruotato A che età i b. riconoscono le figure?

Quadrato: 80% 4 anni; 86% 5 anni; 90% 6 anni Rettangolo e triangolo: % di riconoscimento più

bassa 60% 4 anni; 65% 5 anni; 80% 6 anni

Quindi …

E’ importante: Fornire maggiori opportunità di apprendere le

forme geometriche già a partire dalla scuola dell’infanzia.

Fornire tante opportunità di apprendimento e diversificate per costruire i concetti delle figure

Fornire le figure attraverso esempi e non-esempi ed ogni figura deve essere manipolata ed esplorata nelle parti e nelle caratteristiche e descritta (porre attenzione ai termini che i bambini usano e introdurre i termini corretti)

Valutare e potenziare l’apprendimento della geometria dai 4 ai 6 anni

La nostra ricerca

Abbiamo costruito uno strumento di valutazione delle abilità di riconoscimento di alcune forme geometriche così strutturato:

Conoscenze: Denominazione di figure Differenze tra figure

Abilità visuo-spaziali: Classificazione Accoppiamento figure uguali Ricomposizione di figure Colorazione

Scuola infanzia e prima classe scuola primaria

Denominazione di Figure

Quali figure riconosci tra queste?

Sai come

si chiamano?

Differenze tra figure

Cos’hanno di diverso queste due figure?

Standardizzazione della prova Campione: 269 bambini

4 anni – 89 bambini che appartenevano alla seconda classe della scuola dell’infanzia di cui 56 maschi e 36 femmine

5 anni – 92 bambini che appartenevano alla terza classe della scuola dell’infanzia di cui 43 maschi e 49 femmine

6 anni – 88 bambini che appartenevano alla prima classe della scuola elementare di cui 40 maschi e 48 femmine

Riconoscimento di Figure

Quali figure riconosci tra queste? Sai come si chiamano?

Riconoscimento di Figure: risultati

NO 25,8%

SI 74,2%

Nominalizzazione Quadrato 4 Anni

NO 23,9%

SI 76,1%


NO 11,4% SI 88,6%


NO 85,4%

SI 14,6%

Nominalizzazione Rettangolo 4 Anni

NO 72,8%

SI 27,2%

Nominalizzazione Rettangolo 5 Anni NO 39,8%

SI 60,2%

Nominalizzazione Rettangolo 6 Anni

NO 52,8%

SI 47,2%

Nominalizzazione Triangolo 4 Anni NO 37,0%

SI 63,0%

Nominalizzazione Triangolo 5 Anni

NO 22,7%

SI 77,3%

Nominalizzazione Triangolo 6 Anni

NO 96,3% SI 3,4%

Nominalizzazione Rombo 4 Anni

NO 89,1% SI 10,9%


NO 68,2%

SI 31,8%


Differenze tra figure

Cos’hanno di diverso queste due figure?

Differenze tra figure:criteri di valutazione delle risposte 0 punti se il bambino dice che le figure non sono

diverse 1 punto se il bambino fa riferimento ad un aspetto

percettivo (es. dice che quadrato è più piccolo) 2 punti se il bambino fa riferimento a due

elementi percettivi (es. dice che quadrato è più piccolo e rettangolo più grande)

3 punti se menziona concetti geometrici

Differenze tra Figure:risultati

Livello 4 anni 5 anni 6 anni

0 11,2% 5,4% 1,1%

1 50,6% 58,7% 55,7%

2 29,2% 26,1% 20,5%

3 9,0% 9,8% 22,7%



0 0% 2% 0%

1 50,6% 41,3% 26,1%

2 27% 17,4% 21,6%

3 22,5% 39,1% 53,2%



0 2,2% 2,2% 0%

1 86,5% 64,1% 61,4%

2 9% 26,1% 23,9%

3 2,2% 7,6% 14,8%



0 6,7% 5,4% 1,1%

1 53,9% 45,7% 42%

2 34,8% 37% 39,8%

3 4,5% 12% 17%

Classificazione

Classificazione (cambia dimensione)

Classificazione (cambia orientamento)

Classificazione:risultati

7,5

8

8,5

9

9,5

10

Classifica Cl.forma Cl. Orientam

4 anni

5 anni

6 anni

*

*

*

Accoppiamento di figure uguali

Ricomposizione di figure

Accoppiamento di Figure e Ricomposizione di Figure: risultati

0

1

2

3

4

5

Accopp Ricomposiz

4 anni

5 anni

6 anni

**

*

*

Colorazione

Colora tutti i quadrati

Colorazione

Colora tutti i rettangoli

Colorazione:risultati

Le figure maggiormente individuate sono: il quadrato [media = 12,877], il rombo [media = 11,470] ed il triangolo

[media = 11,086] il rettangolo è il più difficile da individuare

[media = 9,988]

Su 16 figure max.

Alcune conclusioni della nostra ricerca: I fattori relativi a conoscenze e abilità visuo spaziali sono sempre

presenti e correlano molto tra loro quindi è bene didatticamente sviluppare programmi che li contengano entrambi.

Il riconoscimento delle figure, già presente all’inizio della scuola dell’infanzia, durante i tre anni si sviluppa e può essere potenziato.

A tre anni sono già in grado di confrontare figure geometriche con diversa forma, dimensione e orientamento.

A 3 e 4 anni risulta più facile il confronto fra figure con diversa dimensione piuttosto che con diverso orientamento.

Già tra i 4 e 5 anni comincia l’analisi di alcune proprietà geometriche.

La figura più facile da riconoscere è il quadrato. La figura più difficile è il rettangolo. La figura più difficile da nominare è il rombo.

Potenziamento infanzia e primo anno della primaria “Ciao! Noi siamo le tre chioccioline che ti accompagneranno nel regno delle

forme geometriche.

Ciao, io sono Pina la lumachina che OSSERVA.

Io sono Lina, la lumachina che RIFLETTE,

Ed io sono Tina, la lumachina che FA e ti aiuterò a fare tutti questi giochi,

Se ci seguirai ti divertirai e imparerai tante cose! Andiamo!”

Potenziamento. Riconoscimento FigurePotenziamento. Riconoscimento Figure

Questi sono tutti triangoli

Questi cartelli stradali hanno la forma di triangolo

Anche questa forma si può trovare in molte cose attorno a te.

4,5,6 anni

La squadretta ha forma di triangolo

4-5-6 ANNI

FAI: Aiuta la lumachina Tina a colorare tutti i triangoli

Quanti triangoli hai colorato?

Sei sicuro che si tratta di triangoli? Come hai fatto a riconoscerli?

4 ANNI

FAI: Adesso verifichiamo se sei riuscito ad aiutare le nostre lumachine ad imparare tutti i nomi delle figure. Associa i nomi che ti dirà l’insegnante alle figure.QUADRATOTRIANGOLO

6 ANNI

FAI: Adesso verifichiamo se sei riuscito ad aiutare la lumachina ad imparare tutti i nomi delle figure. Associa i nomi che ti dirà l’insegnante alle figure.RETTANGOLOTRIANGOLOROMBOQUADRATO

Potenziamento. Differenze tra figure

OSSERVA. La lumachina Tina deve imparare quali sono le differenze tra le figure. Aiutala a capire cosa c’è di diverso nelle figure qui sotto.

RIFLETTI: Le due figure hanno la stessa forma? Cosa hanno di diverso queste figure? (Attenzione puntata sulla dimensione)


OSSERVA: Quale figura è più grande? Quale più piccola? FAI: Ritaglia le due figure e sovrapponile


OSSERVA:Quale figura è più grande? Quale più piccola? FAI: Ritaglia le due figure e sovrapponile

RIFLETTI: Da cosa vedi che una è più grande e una è più piccola? È l’unica differenza tra le due figure? Cosa hanno ancora di diverso? Queste figure hanno la stessa forma? Da cosa lo vedi?

Potenziamento. Classificazione

Attenzione adesso! Anche quelli qui sotto sono quadrati, ma hanno qualcosa di diverso tra loro. Sai capire cosa?

In questo caso è l’orientamento che cambia. I quadrati sono tutti uguali ma ruotati nello spazio.

4-5-6 ANNI


Ripassa il contorno del quadrato ruotandolo nello spazio secondo diversi orientamenti.(L’insegnante consegna al bambino una forma quadrata di cartoncino già tagliata)

Ritaglia questo quadrato.

RIFLETTI: Secondo te è uguale a quelli che abbiamo visto sopra?Prova a sovrapporlo ad ognuno di essi per verificare se sono uguali.


FAI: Lina, dopo aver terminato di costruire la sua casetta, decide di andare a trovare la sua amica Pina che abita dall’altra parte del fiume, ma per riuscire ad arrivare all’altra sponda deve camminare solo sui sassi a forma di rombo. Aiutala tu colorando i sassi su cui può passare!

Potenziamento. Accoppiamento di Figure

OSSERVA Il rettangolo fa delle capriole.. ma rimane sempre un rettangolo!

Hai capito cosa succede quando le forme ruotano? Adesso prova a trovare quale tra le figure disegnate sotto è uguale a quella sopra. Perché?

4-5-6 anni

adesso prova a sovrapporle per vedere se hai indovinato!

Potenziamento.Ricomposizione di figure OSSERVA La lumachina deve trasformare i quadrati in triangoli. Come

fare?

Potenziamento.Ricomposizione di figure FAI: Aiuta la lumachina a trasformare i quadrati in triangoli. Taglia lungo la linea tratteggiata.

Potenziamento.Ricomposizione di figure

. Adesso il compito diventa un po’ più difficile.

Devi cercare di capire che figura si forma a partire da due figure

Riesci a capire che figura è? Prova a verificare se è corretto ritagliando le due figure e unendole insieme. Prova a girare le figure per unirle insieme.

4-5-6 anni

FAI: Adesso la lumachina deve svolgere un compito molto difficile…. Deve ricomporre le figure aggiungendo correttamente il pezzo mancante…..Prova a darle una mano…


Potenziamento. Colorazione

Questo disegno è formato da tante figure diverse. Ne riconosci qualcuna?

Come hai fatto a riconoscere i rettangoli? Da cosa hai visto che avevano proprio la forma rettangolare? Erano tutti uguali tra di loro? Cosa avevano di diverso?

Organizzazione delle prove per la scuola primaria e secondaria

Scuola Primaria

Classe 2-3

Classe 4-5

Scuola Secondaria I grado

Classe 1

Classe 2

Classe 3

Organizzazione delle prove

Abilità visuospazialiAbilità visive e spaziali in relazione con abilità geometriche

ProblemiCapacità di applicare procedure di risoluzione di problemi

DomandeAcquisizione di conoscenze in funzione dell’età

Es. Domande classe 2-3 scuola primaria

Quali dei seguenti disegni di oggetti contiene la figura completa del cerchio?

A BC

3. Quale tra le seguenti figure non è un rettangolo?

A B C

Es. Domande classe 4-5 scuola primaria Cosa è un segmento?

a. Una retta con un punto di origine tendente all’infinito

b. Una porzione di retta delimitata da due punti

c. Una retta senza punto di origine e tendente all’infinito

Che tipo di triangolo è quello rappresentato nella figura?

a. Un triangolo rettangolo

b. Un triangolo isoscele

c. Un triangolo equilatero

Es. domande scuola secondaria In quale tipo di triangolo altezza, mediana e bisettrice

coincidono per tutti e tre i vertici? (classe I)a. Triangolo rettangolob. Triangolo isoscelec. Triangolo equilatero

Due rette del piano, entrambe perpendicolari ad una terza retta, come sono tra loro? (classe II)

a. Paralleleb. Perpendicolari c. Incidenti

Il prisma è un solido composto da: (classe III) a. Un numero infinito di parallelogrammib. Tanti parallelogrammi quanti sono i lati del poligono di basec. Un numero doppio di parallelogrammi rispetto ai lati del

poligono di base

Es. Problemi 2-3 scuola primaria Osserva la figura:

Quanti misura il perimetro?

Es. Problemi 4-5 scuola primaria

Zia Maria ha un orto a forma di triangolo isoscele. Un lato misura 5 m e i due lati uguali misurano 8 m. Quanto misura il perimetro dell’orto?

Un rettangolo ha l’altezza di 10 cm. La sua base

misura il doppio dell’altezza. Calcola il perimetro del rettangolo

Disegna due rette che non sono né perpendicolari né parallele

Es. problemi scuola secondaria Quanto misura l’area di un quadrato il cui

perimetro misura 36 cm? (Classe I)

Un quadrato ha la diagonale di 11,312 m. Calcola il perimetro. (Classe II)

Calcola l’area della superficie totale ed il volume di un cubo con uno spigolo di 5 cm. (Classe III)

Abilità visuospaziali nella geometria

Immagina di giocare con dei blocchetti che uniti formano delle figure. Osserva la figura formata con i blocchetti dentro il riquadro e trova quella composta dagli stessi blocchetti.

a b c

Immagina di ruotare i blocchetti per trovare la figura dentro il riquadro.

a b c

Come vedi la risposta corretta è la b. Fai una crocetta sotto la figura corretta.

Osserva la configurazione dentro il riquadro e trova quella composta dalle stesse figure. Fai una crocetta sotto la figura corretta.

a b c

Nel prossimo esercizio vedrai due figure all’interno di un riquadro.

Il tuo compito è cercare di unirle in modo da riuscire a individuare quale figura formano.

Di seguito ti facciamo vedere un esempio:

Prova a ruotarne una e ad unire le figure

Cerca la figura che deriva dall’unione dei pezzi all’interno del riquadro

a b c

Le due figure formano un quadrato. Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

Cerca la figura che deriva dall’unione dei pezzi

all’interno del riquadro

a b c

Immagina un foglio con la stessa forma della figura nel riquadro e immagina di piegare il foglio in

corrispondenza delle linee tratteggiate.

Una volta piegato il foglio immagina di unirlo in tutte le sue parti. Prova ad individuare tra le tre alternative che

ti verranno presentate la forma del foglio piegato ed unito in tutte le sue parti.

Quale tra le tre alternative rappresenta la composizione della figura nel riquadro

a b c

Osserva con attenzione il cubetto

Conta il numero di cubetti della figura che segue.

La figura è composta da 6 cubetti. Nel prossimo compito dovrai dire quanti cubetti misurano le figure

Osserva il cubetto

Quanti cubetti misura la figura sotto?…….

In questi compiti dovrai cercare una figura semplice dentro una più complessa. Ad esempio, cerca il triangolo a sinistra nella figura di destra e ripassa il contorno con una matita colorata

Hai visto dove si trova il triangolo?

Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

Trova la figura semplice nel riquadro di sinistra all’interno di quella complessa di destra e ricalcala con la matita colorata:

In questi compiti dovrai cercare la superficie in cui tutte le figure si intersecano e colorarla con

una matita colorata. Ad esempio le figure sotto hanno in comune lo

spazio colorato

Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

Colora la superficie in cui tutte le figure si intersecano

Esempi e non esempi

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