GEOMETRIA PLANAEl gran libro de la Naturaleza siempre esta abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofa esta escrita en el

Pero no la podemos ver a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales esta escrito

Est escrito en leguaje matemtico y, los caracteres son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas

Galileo Galilei

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL: GENERAL: Elaboracin de un folleto para el estudio de los tringulos en la Geometra Plana. OBJETIVOS ESPECFICOS: Facilitar el aprendizaje del estudiante de una forma dinmica y sencilla. Adjuntar al folleto juegos y notas biogrficas para que el estudiante preste inters en la materia presentada en el mismo.

INTRODUCCIN El folleto que presentamos a continuacin consta de un curso para la ayuda en el aprendizaje de la geometra plana. Supone que el lector tiene conocimientos de principios fundamentales de la trigonometra, lgebra y geometra elemental. Consideramos que la persona que va a hacer uso de este folleto como mtodo de ayuda encontrara todo lo necesario como esencial para el aprendizaje de esta materia. El mtodo didctico empleado manifiesta lo siguiente: Definiciones Bsicas Orientacin Estudio y profundizacin del tema Ejemplos Ejercicios.

Queremos llamar la atencin del usuario que tendr este folleto, por esa razn acotamos tambin datos histricos e importantes referentes a la materia que vamos a estudiar, ayudando as a la comprensin y resolucin de los ejercicios planteados. Al inicio de cada tema encontraremos un pequeo texto donde pondremos en claro el contenido de la materia a tratar, as podremos hacer un enlace entre los conocimientos ya aprendidos por el estudiante con los que se aprendern en el desarrollo del tema. Este trabajo consta de tres captulos, el primero menciona segmentos, el segundo trata acerca de ngulos y el tercer captulo rene las caractersticas de los anteriores y habla de tringulos en la geometra plana. Con la elaboracin de este folleto orientado al estudio de los tringulos en la geometra plana queremos ayudar al aprendizaje rpido y sencillo del estudiante que va hacer uso del mismo.

INTRODUCCIONEl inicio de este primer capitulo encontraremos los trminos ms utilizados en la geometra y los elementos utilizados para el estudio de la misma. Presentamos una serie de ejercicios resueltos para la gua del lector, y otros ejercicios para que sean planteados por el usuario, adems consta de una autoevaluacin al inicio y al final que servirn al alumno para que muestre sus conocimientos al principio y al final del capitulo para saber cuanto fue lo que aprendi durante el estudio del mismo.

OBJETIVOS:

RECORDAR y FORTALECER los conocimientos adquiridos para as poder entender los problemas que se presentan a continuacin. ESTUDIAR los conceptos acerca de los segmentos y nociones bsicas de la geometra

AUTOEVALUACION1.1.- Qu entiende por Geometra? 2.2.- Qu es el Plano? 3.3.- Qu es un Punto? 4.4.- Qu es una Recta? 5.5.- Qu es un Segmento? 6.6.- Qu es semirecta?

CLAVE DE RESPUESTASCiencia de las formas espaciales del mundo material, se basa en un conjunto de proposiciones que estudia la forma. Podramos tomar como ejemplo una hoja de papel ya extendida para obtener nuestro concepto abstracto de lo que es un plano. Figura geomtrica que no tiene dimensiones y se lo representa con una letra o, un nmero. Figura geomtrica de una sola dimensin y se caracteriza por seguir una misma dimensin. Figura geomtrica de una sola dimensin que puede ser medido, que tiene un punto de inicio y uno de final. Figura geomtrica de dos puntos colineales.

GEOMETRAEs una ciencia y un arte a la vez es decir MATEMTICA y FILOSOFA a la vez. Es uno de los sistemas ms perfectos de lgica, exige una disciplina mental y conocimientos dispensables para seguir estudios superiores.

TERMINOS NO DEFINIDOS

Cuando observamos algunos cuerpos geomtricos, varios tienen la misma forma, como el tronco de un rbol, una lata de conservas, etc. con una forma comn En nuestra mente se produce una idea abstracta a la cual se le da un nombre, en este caso CILINDRO.

Por lo tanto los conceptos bsicos son abstractos y existen solo en nuestra mente. Los conocimientos iniciales de las formas espaciales y las propiedades se las puede obtener por induccin, es decir, por experiencias u observaciones. En nuestro idioma existen palabras difciles de definir y se las llama TAUTOLOGIAS. La geometra usa los siguientes trminos no definidos: Punto, recta, plano Espacio Medida

En la primera parte de este estudio vamos a escoger varias proposiciones que relacionen puntos y rectas. Los puntos sern los elementos de un plano y las rectas subconjuntos de dicho plano formados por el conjunto que siguen una misma direccin as desarrollaremos la GEOMETRIA PLANA. PLANA.

PLANO

Podramos tomar como ejemplo una hoja de papel ya extendida para obtener nuestro concepto abstracto de lo que es un plano. Representacin y Denominacin

A

B

C

ABC Se lo representa con una letra mayscula ubicada en interior de cada figura geomtrica.

PUNTO

Para desarrollar sistemas matemticos se empieza por un conjunto de elementos, en este caso utilizaremos los puntos. Podemos definir el punto como el elemento geomtrico que tiene posicin ms no dimensin. Aunque, en si, la palabra punto no tiene una definicin exacta, lo principal es que todos tengamos una nocin personal de lo que es un punto REPRESENTACION DENOMINACION Por medio de una marca (.) O (x), o por medio de una letra mayscula, que se escribe cerca de la representacin.

POSICIN RELATIVA DEL PUNTO EN EL PLANO

COPLANAR. COPLANAR.- Si el punto es un elemento del plano, es decir esta dentro del plano. EXTERNO. EXTERNO.- Si el punto no es elemento del plano o esta fuera del plano RECTA Es una figura geomtrica, un subconjunto de un plano o un conjunto de puntos en una misma direccin.

DETERMINACION:Dos puntos pueden determinar una recta AB

A

B

Podemos representar a dos puntos cualesquiera con 2 letras maysculas cercanas a la recta y llamarla recta AB

POSICIN RELATIVA DEL PUNTO EN LA RECTA

1.- COLINEAL.- Si el punto es un elemento de la recta. COLINEAL. 2.- EXTERNO.- Si el punto no es elemento de la recta. EXTERNO.

POSICIN RELATIVA DE DOS RECTAS EN UN PLANO

punto vaco, es decir no hay interseccin entre las rectas

PARALELAS.PARALELAS.- Si la interseccin de dichas rectas es un

SECANTES.SECANTES.- Si su interseccin es un punto

SEGMENTO

Porcin de recta comprendida entre dos de sus puntos que se llaman extremos, o bien uno origen y otro extremo los extremos de un segmento forman parte del mismo.

REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION

AAB

B

1. SEGMENTO ABIERTO

A

B

Segmento abierto en A:

AB

A Segmento abierto en B: AB

B

Es la figura geomtrica de puntos colineales comprendida entre dos puntos, que incluye al punto A B.

SEMIRECTAEs la figura geomtrica de puntos colineales que tiene un comienzo pero no tiene fin, excluyendo uno de los extremos. REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION

A

B

B

* COLINEAL: DOS PUNTOS QUE SE ENCUENTRAN EN LA MISMA RECTA.

RAYO

Es una figura geomtrica de puntos colineales, cuyos elementos estn al mismo lado de A y B incluyendo A REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION

AAB

B

PROPOSICIONESLas ms utilizadas son: AXIOMA.AXIOMA.- Es aquella proposicin que siendo evidente no necesita demostracin, es el resultado de la observacin o experimentacin. 1.1.- AXIOMA DE IDENTIDAD: a=a 2.2.- AXIOMA DE SUSTITUCION: Cualquier cantidad se reemplaza por su igual. 3.3.- PROPIEDADES DE IGUALDAD: Dos cantidades iguales a una tercera siguen siendo iguales entre si. Si a dos cantidades iguales se suman, restan, multiplican o dividen se elevan a una misma potencia o se extraen de la misma raz los resultados son iguales

4.4.- PROPIEDADES DE LAS DESIGULADADES: El todo es mayor que cualquiera de sus partes e igual a la suma de las mismas. Si la cantidad es mayor a otra y sta mayor a la tercera la primera es mayor que la tercera. Si en los dos miembros de una desigualdad, si ejecuta una operacin con nmeros positivos la desigualdad subsiste Si se suman dos desigualdades de un mismo sentido el el resultado es otra desigualdad en el mismo sentido. Si los dos miembros de una desigualdad se restan de los miembros de una igualdad, el resultado es una desigualdad de sentido contrario a la dada. Si se cambian los signos de los dos miembros de una desigualdad, cambia de sentido la desigualdad.

1.2.10.2.1.2.10.2.-

POSTULADOS

Son proposiciones, cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma, se lo acepta sin demostracin.

Por dos puntos distintos pasa una sola recta. Una recta es un conjunto ordenado de puntos, no existe primero ni ltimo. Entre dos puntos siempre existe otro. Toda recta puede prolongarse indefinidamente en los dos sentidos. La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une. Por tres puntos dados no colineales pasa un plano y slo uno.

Si dos puntos estn en un mismo plano, entonces la recta que los contiene pertenece al plano. Se puede trazar un crculo con centro y radio dados.

Toda figura puede hacerse cambiar de posicin sin alterar su forma y dimensiones.

DIFERENCIA ENTRE AXIOMA Y POSTULADO:Los postulados se emplean generalmente en la geometra. Y el axioma se emplea en cualquier ciencia.

1.2.10.3.1.2.10.3.- TEOREMAProposicin demostrable lgicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas. COMPONENTES DEL TEOREMA HIPOTESIS: Son las condiciones o datos de un teorema se denota (H)

H) AM = MBTESIS: Es la propiedad a demostrarse se denota (T)

T) PM =

PB -PA ---------------2

DEMOSTRACINEs un conjunto de razonamientos, por medio de los cuales la veracidad proposicin que se demuestra se deduce de axiomas y verdades antes demostradas o conocidas. En geometra se admiten sin demostracin slo un pequeo nmero de verdades fundamentales o axiomas; todas las dems verdades (teoremas), se demuestran basndose en estos axiomas mediante una serie de deducciones. La veracidad de los propios axiomas est garantizada porque tanto ellos mismos, como los teoremas que se demuestran apoyndose en ellos, han sido comprobados por reiteradas observaciones y larga experiencia. La demostracin se realiza en virtud del requerimiento de una de las leyes fundamentales de nuestro pensamiento, el principio de la razn suficiente, que establece la necesidad de que la veracidad de nuestras afirmaciones est rigurosamente fundamentada.

Una demostracin bien estructurada slo puede apoyarse en proposiciones antes demostradas, siendo inadmisible toda alegacin a la evidencia. Finalmente, por medio de las demostraciones, las verdades geomtricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos cientficos, en el cual se pone de manifiesto todas las relaciones internas que existen entre las diversas propiedades de las formas espaciales. "Llamando espaciales aquellas propiedades por las cuales se determinan la forma, la magnitud y la posicin mutua de los objetos". 1.3. CLASES DE MTODOS DE DEMOSTRACIN 1.3.1. METODO INDUCTIVO Es aquel razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener una verdad general.

Demostrar que el cuadrado de cualquier nmero impar disminuido en una unidad da un nmero mltiplo de ocho. POR EL METODO INDUCTIVO 3 - 1 = 9 -1 = 8 =8 x 1 5 - 1 = 25 -1 = 24 = 8 x 3 72 1 = 49 1 = 48 = 8 x 6 92 1 = 81 -1 = 80 = 8 x 10 (2n -1)2 -1 = 4n2 4n = 4n (n-1) (n4n (n-1) es mltiplo de 4n y (n-1) son dos nmeros sucesivos, de (n(nlos cuales uno de ellos es par y mltiplo de 2, por lo tanto, 4n(n4n(n-1) es mltiplo de 8. Queremos saber el valor de la sumatoria de las medidas de los ngulos internos de un triangulo. Para esto escogemos varios tringulos diferentes y mediante un transportador medimos cuidadosamente los ngulos, y al realizar la sumatoria nos da en todos los casos ; entonces se llega a la conclusin que la sumatoria de las medidas de los ngulos internos de un triangulo es

T

1.3.2.1.3.2.- METODO DEDUCTIVOEs aquel razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener una verdad particular. Este es el mtodo ms utilizado en las demostraciones. PROCEDIMIENTOS DE UNA DEMOSTRACIN

DEMOSTRACIN DIRECTA

DEMOSTRACIN INDIRECTA

Prueba la veracidad de la proposicin estableciendo una relacin directa entre ellas, y las ya demostradas.

Pone en duda la veracidad de la preposicin que se demuestra y tomndola por falsa llegamos a una contradiccin con las condiciones del teorema.

1.3.3.1.3.3.- NSTRUCCIONES PARA UNA DEMOSTRACIN2.-Emplear letras maysculas para cada punto notable.

1.- Hacer un grfico q represente lo mej posible el enunciado

4.-Expresar la tesis en forma simblica 5.-Realizar la demostracin la misma que debe constar de proposiciones y razones

3.-Expr en

RECUERDALOS EN EL MOMENTO DE REALIZAR LAS DEMOSTRACIONES, TE SERN MUY TILES.

HECHA UN VISTAZO AL EJERCICIO PROPUESTO A BCD

A H) AB = CD T) AC = BD

B

C

D

Razones: (1) (Por Hiptesis) (2) (Por Identidad) (1) + (2)

DEMOSTRACIN) AB = CD BC = BC AB + BC = CD + BC AC = BD

1.4.1.4.- OPERACIONES CON SEGMENTOS: 1.4.1.1.4.1.- SUMA DE SEGMENTOS Consiste en encontrar un segmento de igual longitud a las longitudes de los segmentos dados.

a b cP a PQ= a+b+c b c Q

1.4.1.4.- OPERACIONES CON SEGMENTOS: 1.4.1.1.4.1.- SUMA DE SEGMENTOS Consiste en encontrar un segmento de igual longitud a las longitudes de los segmentos dados.

a b cP a b c Q

PQ= a+b+c

1.4.2.1.4.2.- RESTA DE SEGMENTOS Restar un segmento menor de otro mayor, consiste en encontrar un tercer segmento de tal manera que sumados los dos segmentos de por resultado el primero. A B

C

D B

A C D

D B = AB - CD

1.5.1.5.- EJERCICIOS RESUELTOS

A H) CD= 2AB Demostracin CD AD - AC

B

C

D T) AB=BD AC

= 2 AB = 2 AB

Por Hiptesis Resta de segmentos Suma de segmentos Transposicin de Trminos Reduccin de Trminos Semejantes

AB + BD - AC = 2 AB 2AB - AB AB = BD - AC = BD - AC

A H) AB = BC CD = AC AM = MD Demostracin AM = AC + CM

B

C

M

D

T) AM = AB + AC

Suma de segmentos Suma de segmentos Hiptesis Definicin de la suma Resta de segmentos Hiptesis Transposicin de trminos Propiedad de la igualdad

AM = (AB + BC) + CM AM = (AB + AB) + CM AM = 2AB + CM AM = 2AB + (CD MD) AM = 2AB + 2AC - AM (2AM = 2AB + 2AC)/2 AM = AB + AC

A H) BC CD

B

C

D T) AC2 = AB x AD + BD2 4

Demostracin 1.1.- AC = AB + BC Suma de segmentos 2.2.- AC = AD DC Recta de segmentos 2.1.2.1.- AC = AD BC Hiptesis 1) x 2.1) AC2 = (AB + BC)(AD - BC) Propiedad de igualdades AC2 = AB x AD AB x BC + BC x AD BC2 AC2 = AB x AD + (BC x AD AB x BC) BC2 Agrupamiento AC2 = AB x AD + BC (AD - AB) BC2 Factor comn AC2 = AB x AD + BC (BD) BC2 Resta de segmentos AC2 = AB x AD + BD (BD) (BD)2 BD) Hip. Resta de seg. 2 2 AC2 = AB x AD + BD2 - BD2 2 4 AC2 = AB X AD + BD2 4

Def. De la suma

4.

A H = BM = MC T) AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2)

B

M

C

Demostracin AB = AM BM Resta de segmentos AC = AM + BM Suma de segmentos (AB)2 = (AM - BM)2 Prop. De la igualdad 1) AB2 = AM2 -2AM x BM + BM2 Producto notable (AC)2 = (AM + BM)2 2) AC2 = AM2 + 2AM x BM + BM2 Producto notable 1) + 2) AB2 = AM2 2AM x BM + BM2 AC2 = AM2 + 2AM x BM + BM2 AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2 AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2) Prop. Igualdad

Factor comn

5.AH) BC = DC AB = a AC = m AD = b Demostracin AC = AB + BC AC = AB + BD 2 AC = AB + AD - AB 2 m = a + ( b-a ) b2 (m)2 =(a + (b-a (b)2 2 m2 = a2 + 2 a (b-a) + (b-a) (b(b2 4 m2 = a2 + ab a2 + (b-a)2 (b42

B

C

D

T) m=

ab +(b-a) 2/4 +(b-

Suma de segmentos Suma de segmentos hiptesis Resta de segmentos Hiptesis Prop. De la igualdad Prod. Notable

Prop. Inversa Mult. Distributiva Mult.

m=

ab + ( b-a )2 b4 ab + ( b-a )2 b4

Prop. Igualdad

m=

Leyes de la Radicacin

1.6.1.6.- EJERCICIOS DE REPASO1.1.- Completa el siguiente ejercicio con la justificacin que le falta. Recuerda que el grfico te puede ser de gran ayuda.

A H) AM = MB PB - PA T) PM =

P

M

B

1. 2. 3. 4. 5.

PM = AM PA PM = AB MB PA PM = AB AM PA PM = AB PA A PM = PB AM PM = PB (PA + PM) PM = PB PA PM 2PM= PB PA PB - PA PM = 2

. Diferencia de segmentos. . Traslado de trminos. AB PA = PB Suma de segmentos. . Transposicin de trminos.

L.Q.Q.D

2.2.- Completa el siguiente ejercicio con la justificacin que le falta. H) AM = MB AP + PB T) PM = 2 1. PM = MB + PB PM = AM + PB = AP MP + PB = AP + PB + MP = AP + PB PM 2PM = AP + PB AP + PB PM = 2 Suma de segmentos. Diferencia de segmentos.

. L.Q.Q.D

3.3.- Completa el ejercicio planteado con todas las justificaciones

B

C

D

H) CD = 2AB T) AB = BD + AC 1. AB = AC - BC AB = AD CD BC AB = AD 2AB BC AB = AD AB (AB + BC) 2AB = AD AC 2AB = AB + BD AC AB = BD + AC

.. .. . . L.Q.Q.D

4.4.- Realiza los siguientes ejercicios colocando su respectiva justificacin el frente de cada paso que realices.

1.A B C M D

H)

AB = BC CD = 2AC AM = MD T) AM = AB + AC

2.2.-

A

P

B

C

D

H) AB = BC=CD T) PB= PD - 2AP 3

CUANTO APRENDISTE EN EL CAPTULO??

Cuntos mtodos de demostracin conoce? 2. Escribe las clases de posicin relativa de dos rectas en un plano.. Explica una 3.3.- Qu es un segmento semi abierto? 4.4.- Qu es un axioma? . 5.5.-Pon la diferencia entre axioma y un postulado ......................................................................................... 6.6.- Realiza el ejercicio que te proponemos a continuacin

I

J

K

L

H) KL = 2IJ T) IJ = JL + IK

FELICITACIONES: HAZ TERMINADO EL ESTUDIO DEL PRIMER CAPITULO TE PROPUSIMOS UN AUTOEVALUATE AL FINAL DEL MISMO, SI RESPONDISTE CORRECTAMENTE LAS PREGUNTAS 3- 1- 6 3PUEDES CONTINUAR AL SIGUIENTE, CASO CONTRARIO VUELVE A REPASAR EN LOS CONCEPTOS QUE FALLASTE.

CLAVE DE RESPUESTAS:1.1.- (a) Mtodo Inductivo (b) Mtodo Deductivo 2.2.- (a) Paralelas. Si la interseccin es un conjunto vaco. (b) Secantes. Si su interseccin es un punto. 3.3.-Es la figura geomtrica de puntos colineales, cuyos elementos estn comprendidos entre los puntos A y B incluyendo ya sea el punto A o el B. 4.4.- Es la proposicin, que siendo evidente no requiere demostracin. 5.5.- Los axiomas se utilizan generalmente en cualquier ciencia, y los postulados se los emplea generalmente en Geometra. 6.6.- IB = IK - JK IB = IL KL JK IB = IL 2IJ JK IJ = IL IJ (IJ + JK) 2JJ = IL IK 2IJ = IJ + JL IK IJ = JK + IK

Aprende Jugando1. ANTES DE HACER, TRATAR DE ENTENDER. 2. TRAMAR UNA ESTRATEGIA, O VARIAS. 3. MIRAR SI MI ESTRATEGIA ME LLEVA AL FINAL. 4. SACAR JUGO AL JUEGO. Se dan las siguientes figuras A y B

Puedes trazarlas sin levantar el lpiz del papel, sin repetir dos lneas y saliendo y terminando en un mismo vrtice?

SOLUCION:Las dos figuras se pueden trazar sin levantar el lpiz del papel, pero A parece resistirse ms a un camino que termina en el punto de partida. Por qu? Supongamos que en A hubiese tal camino, es decir, supongamos el problema resuelto. Entonces, cada vez que llegamos a un vrtice de paso en nuestro camino (no inicial ni final), salimos de l por una lnea distinta no recorrida antes. As cada vrtice de paso tiene que tener un nmero par de arcos que concurren en l. Tambin en el vrtice de salida tienen que concurrir un nmero par de arcos, el arco de salida, el arco de llegada y el nmero par de arcos correspondientes a los pasos por l. Como A tiene los dos vrtices de abajo con tres lneas concurrentes en cada una de ellos, el trazado pedido es imposible.

Nota Biogrfica

La geometra fue primeramente descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medicin de reas, ya que sta era una necesidad para los egipcios, debido a que el Nilo, al desbordarse, barra con las seales que indicaban los lmites de los terrenos de cada cual. Y por tanto, no es sorprendente que el descubrimiento de la geometra y otras ciencias tuvieran su origen en las necesidades prcticas, vindose que todas las cosas se encuentran en el camino que progresa de lo imperfecto a lo perfecto.

CAPITULO IIAngulosOBJETIVOS:

ESTUDIAR y RECORDAR los conocimientos aprendidos sobre ngulos. ADQUIRIR nuevos conocimientos a cerca de los ngulos que vamos a aplicar en el estudio de la Geometra Plana.

INTRODUCCIN

En el captulo que presentamos a continuacin vamos a estudiar los ANGULOS, sus clases, elementos, propiedades, unidades de medida y puntos y lneas fundamentales. Es importante que para que empieces a estudiar este captulo tengas ya conocimientos bsicos sobre ngulos, y para que refuerces los mismos te proponemos al inicio de este una autoautoevaluacin en la cual podrs darte cuenta en qu tienes falencias y as puedas reforzar tus conocimientos. Tambin te informamos que encontrars cosas que son nuevas para ti por eso te pedimos que prestes mucha atencin ponle todo el empeo posible para que tu principal objetivo sea el aprender y encontrar las respuestas a todas tus inquietudes.

AUTOEVALUACIN

Defina que es un ngulo ............................................................................................ ..................................................................................... Qu clases de ngulos conoce? .. Cuando un ngulo es obtuso? .. Cuando un ngulo es recto? ......................................................................................................... .......................................................................... Cuando un ngulo es agudo? ......................................................................................................... .......................................................................... Sabe cuando un ngulo es suplementario? ..

PARA ESTUDIAR ESTE CAPITULO

Pon atencin a la resolucin de los ejercicios planteados Fjate muy bien en los grficos para que entiendas la resolucin de los problemas.

A EJERCITARNOSLA CONFIANZA EN SI MISMO ES EL PRIMER SECRETO DEL EXITOCLAVE DE RESPUESTAS: RESPUESTAS:

1.-Es una figura geomtrica que esta formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Dos rectas no paralelasen un mismo plano. 2.2.-Por su medida: Agudo Recto Obtuso ngulo de lados colineales (llano) ngulos complementarios Angulo suplementario Por su posicin Adyacentes Consecutivos Opuestos por el vrtice ngulos formados en dos rectas cortadas por una transver 3.3.- Cuando su medida es mayor a /2rad y menor a rad. 4.- Cuando su medida es igual a /2rad. 5.5.-Cuando su medida es menor a /2rad 6.- Son dos ngulos cuya suma de medidas es igual a rad. A cada ngulo se lo llama suplemento del otro.

ANGULOSDEFINICIN

Es una figura geomtrica que esta formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Figura formada en el espacio por dos superficies que parten de una misma lnea. Un ngulo puede ser dos rectas no paralelas en un mismo plano. EJEMPLO: A C B

LADOS DEL ANGULO: AB y AC

VERTICE: punto A DENOMINACIN

Por la letra del vrtice entre las otras dos: BAC; BAC Por la letra del vrtice: A ; A Por una letra o nmero en el ngulo: a UNIDADES DE MEDIDA RADIN: Es la medida de un ngulo, cuyo arco subtendido es igual al radio del crculo (rad.). GRADO SEXAGESIMAL. Si a una revolucin completa se la divide en 360 partes de igual medida, a cada una de las partes iguales se denominan grados. El grado sexagesimal tiene submltiplos que son el minuto y el segundo. (). (

1 REVOLUCION = 360 360 360 360 = 2 rad. = 3.14159265 1 min ( 1 ) = 1 / 60 1 1 seg ( 1 ) = 1 /60

T

MEDIDA DE UN NGULOEs un nmero que representa las veces que esta contenida la unidad de medida en el ngulo. CONGRUENCIA DE NGULOS Cuando dos ngulos tienen la misma medida se dice que son congruentes.

m M

A= A= A

Tm

/3 rad; m B B

B=

/3 rad

$

Clases de ngulos2.6.1.2.6.1.- POR SU MEDIDA

AGUDO

Su medida es menor a

T

/2 rad.

RECTO Su medida es igual a

T

/2 rad.

RECTO

OBTUSO

OBTUSO Su medida es mayor a

T

/2rad y menor a rad

NGULO DE LADOS COLINEALES (LLANO)

Su medida es igual a r ad

T

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

T /2rad. A cada ngulo se lo rad. T llama complemento del otro

Son dos ngulos cuya suma de medidas es igual a

ANGULO SUPLEMENTARIO

Son dos ngulos cuya suma de Medidas es igual a rad. A cada ngulo se lo llama suplemento del otro.

T

POR SU POSICIN

ADYACENTES: Son dos ngulos que tienen el mismo vrtice y un lado comn. 1 2

CONSECUTIVOS: Son los ngulos que tienen un lado comn y se forman siguiendo un mismo sentido. 3 2 1

OPUESTOS POR EL VERTICE: Son dos ngulos no adyacentes, formados cuando dos rectas se intersecan

3 2 4 1

ANGULOS FORMADOS EN DOS RECTAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL: AINTERNOS 3, 4, 5, 6 BEXTERNOS 1, 2, 7, 8 CALTERNOS INTERNOS 3Y6 4Y5 DALTERNOS EXTERNOS 1Y8 2Y7 ECORRESPONDIENTES 1 Y 5, 2, Y 6 3 Y 7, 4 Y 8

1 3 5 8

2 4 6 7

Dos rectas son perpendiculares si, y solo si, se intersecan formando un ngulo recto.L1 L2

RECTAS PERPENDICULARES

p

p

L1

B

L2

PERPENDICULAR DE UN PUNTO A UNA RECTA Es un segmento que va desde el punto a la recta y forma con esta un ngulo de

T

/2rad

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Es la longitud de la perpendicular del punto a la recta. PROYECCION ORTOGONAL De un punto sobre una recta: Es el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta.

P

X

P

Y

P = punto a proyectarse.

PP = proyectante. P = proyeccin de P en la recta XY.

De un segmento sobre una recta Es el segmento comprendido entre las proyecciones de los puntos extremos del segmento a proyectarse. AB proyeccin de AB en la recta XY

A

B

B

A

X

A

B

A

B

A

B A

B

Y

MEDIATRIZEs la perpendicular que se traza por el punto. AM = MB L AB

L MediatrizL

A

M

B

SIMETRIACON RESPECTO A UNA RECTA Se dice que dos puntos A y B son simtricos con respecto a una recta, si la recta es la mediatriz del AB.A

M

L

Eje de simetra L.

Una figura geomtrica es simtrica con respecto a una recta, si cada uno de sus puntos forma parte de un par de puntos simtricos con respecto a la recta.

A

Ai Bi

B C

Ci

CON RESPECTO A UN PUNTO Dos puntos A y B son simtricos con respecto a un punto O, si O es el punto medio de AB.

A

O

B

Una figura geomtrica es simtrica con respecto a un punto O, si cada de sus puntos forma parte de un par de puntos simtricos con respecto a 0.B

C o A B

A C

BISECTRIZ Es el rayo que divide un ngulo dado en dos de igual medida.D 1 2 C

A

B

Si m

1 = m

2

BD bisectriz ABC

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

POSTULADO Si en un plano, dos rectas son cortadas por una transversal, y si la suma de las medidas de los ngulos internos formados de un mismo lado es igual a rad, las dos rectas son paralelas; caso contrario las dos rectas se intersecan.

T

L3 L1 1 1 2 L2

Si: m

1 + m rad ll L2

2=

L1

L31 2 L2

Si: m

1+m

2=

T

rad

L1 y L2 se intersecan

L1

TEOREMA # 1 Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.

3 1

2

H)T)

1 y 1 m m m m

$

2 opuestos a por el vrtice 2 m m m m 3= 3= 3= 2 2

D)

1+ 2+ 1+ 1= 1

T

T

rad rad m

2+m

3

$

TEOREMA # 2

Los ngulos alternos internos, alternos externos y correspondientes, formados en dos rectas paralelas cortadas por una transversal son congruentes.1 2 L1 3 5 7 8 6 4 L2

H) L1 ll L2 T) a) 3 b) 1 c) 1 D) a) m m m m m m m m m

$ $ $3 + 5+ 3+ 3= 3 1 6 1 3 1

6 8 5 m m m m 5= T 6= T 5=m 6 6 3= 8= 3= 6 8 rad rad 5 + m

6

$

b)

+ m + m + m = m = m

TT

rad rad m

6+m

8

1 c) m m m

$$

8 8 8 5 5

1+m 5+m 1+m 1

TEOREMA # 3 Las bisectrices de dos ngulos suplementarios son perpendiculares entre si.A Z C X B Y

H)

XBZ

Y

ZBY suplementarios XBZ ZBY

BA bisectriz BC bisectriz T) D) BA 2m m m BA BC BC 1 + 2m 1+ m

2= 2= abc =

T T

rad /2rad /2rad

T

TEOREMA # 4 Las bisectrices de dos ngulos opuestos por el vrtice, son colineales.A C X B O Y D

H)