Geometria SimpletticaGeometria Simpletticae 

Quantizzazione Geometrica

Gianluca Gambino

Meccanica ClassicaMeccanica Classica

formalismo hamiltonianoformalismo hamiltoniano

Geometria simplettica

Quantizzazione Geometrica

M i Q ti tiMeccanica Quantistica

Geometria Simpletticap

Forma simplettica: varietà differenziabileForma simplettica:  varietà differenziabile 

2‐forma differenziale

Geometria Simpletticap

Forma simplettica: varietà differenziabileForma simplettica:  varietà differenziabile 

2‐forma differenziale

Chi• Chiusa

• Non degenere• Non degenere

Geometria Simpletticap

Forma simplettica: varietà differenziabileForma simplettica:  varietà differenziabile 

2‐forma differenziale

Chi• Chiusa

• Non degenere• Non degenere

• Rappresentazione formale: pp

• Varietà simplettica = 

Geometria Simplettica e Meccanica Classica (I)Geometria Simplettica e Meccanica Classicap ( )p

• Chiusa:• Chiusa:

• Non degenere: invertibile ( )• Non degenere: invertibile ( )

Geometria Simplettica e Meccanica Classicap

• Chiusa:

• Non degenere: invertibile ( )

• Dimensione pari: 

Geometria Simplettica e Meccanica Classicap

• Chiusa:

• Non degenere: invertibile ( )

• Dimensione pari: 

= spazio delle fasi =

Geometria Simplettica e Meccanica ClassicaGeometria Simplettica e Meccanica Classica

• Osservabile: 

• Collegamento:

Geometria Simplettica e Meccanica ClassicaGeometria Simplettica e Meccanica Classica

• Osservabile: 

• Collegamento:

• Componenti:

Campo vettoriale su una sfera Campo vettoriale su un piano

Risultati utiliRisultati utili

• Parentesi di Poisson: 

Risultati utiliRisultati utili

• Parentesi di Poisson: 

• Identità di Jacobi:

Risultati utiliRisultati utili

• Parentesi di Poisson: 

• Identità di Jacobi:

• Regole di commutazione canoniche:

l= set completo

Risultati utiliRisultati utili

• Parentesi di Poisson: 

• Identità di Jacobi:

• Regole di commutazione canoniche:

l= set completo

• Commutazione tra campi:• Commutazione tra campi:

Risultati utiliRisultati utili

• Parentesi di Poisson: 

• Identità di Jacobi:

• Regole di commutazione canoniche:

l= set completo

• Commutazione tra campi:• Commutazione tra campi:

QuantizzazioneQuantizzazione

• Quantizzazione Canonica  (Q1‐Q5)( )

• Quantizzazione Geometrica:

Prequantizzazione   (Q1‐Q4)

b lo associazione  osservabile‐operatore

o individuazione  spazio di Hilbert prequantistico

Quantizzazione   (Q4‐Q5)

o “divisione” dello spazio prequantistico p p q

(polarizzazioni)o promozione  a operatore quantistico

Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica 

Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q

• Q1:

Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica 

Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q

• Q1:

• Q2:

Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica 

Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q

• Q1:

• Q2:

• Q3:

Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica 

Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q

• Q1:

• Q2:

• Q3:

• Q4: commutazione

Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica 

Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q

• Q1:

• Q2:

• Q3:

• Q4: commutazione

• Q5:

set  completo  set completo di operatori

di osservabili

PrequantizzazionePrequantizzazione

• Operatore prequantistico:  p p q

soddisfa  (Q1‐Q4)

PrequantizzazionePrequantizzazione 

• Operatore prequantistico:  p p q

soddisfa  (Q1‐Q4)

• prequantistico:            

o Fibrato in linea:

PrequantizzazionePrequantizzazione

• Operatore prequantistico:  p p q

soddisfa  (Q1‐Q4)

• prequantistico:            

o Fibrato in linea:

o Sezione: 

o Derivata covariante:o Derivata covariante:

PrequantizzazionePrequantizzazione

• Condizione necessaria:  integralità.g

PrequantizzazionePrequantizzazione

• Condizione necessaria:  integralità.g

ll l– Trasporto parallelo 

PrequantizzazionePrequantizzazione

• Condizione necessaria:  integralità.g

ll l– Trasporto parallelo   

Prequantizzazione della sferaPrequantizzazione della sfera

– Forma volume  =

– Problema: non definito in

Prequantizzazione della sferaPrequantizzazione della sfera

– Forma volume  =

– Problema: non definito in

– Soluzione:

Prequantizzazione della sferaPrequantizzazione della sfera

– Forma volume  =

– Problema: non definito in

– Soluzione:

QuantizzazioneQuantizzazione

• Polarizzazioni:

o prequantistico è “troppo vasto”:

o Imposizione:

QuantizzazioneQuantizzazioneQuantizzazioneQuantizzazione

• Polarizzazioni:

Quantizzazione

• Polarizzazioni:

Quantizzazione

• Polarizzazioni:

o prequantistico è “troppo vasto”:o prequantistico è “troppo vasto”:o prequantistico è “troppo vasto”:

o Imposizione:o Imposizione:o Imposizione:

b lintegrabile

lagrangiano complessa:

QuantizzazioneQuantizzazione

• Polarizzazioni:

o prequantistico è “troppo vasto”:

o Imposizione:

b lintegrabile

lagrangiano complessa:

• Operatori quantistici:• Operatori quantistici:

QuantizzazioneQuantizzazione

• Spazio di Hilbert   :         costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p

Dipende dalla polarizzazione .   

QuantizzazioneQuantizzazione

• Spazio di Hilbert   :         costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p

Dipende dalla polarizzazione .   

• Esempi: 

o Polarizzazione verticale: 

polarizzazioni reali, 

QuantizzazioneQuantizzazione

• Spazio di Hilbert   :         costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p

Dipende dalla polarizzazione .   

• Esempi: 

o Polarizzazione verticale: 

polarizzazioni reali,

o Polarizzazione olomorfa:o Polarizzazione olomorfa:

QuantizzazioneQuantizzazione

• Spazio di Hilbert   :         costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p

Dipende dalla polarizzazione .   

• Esempi: 

o Polarizzazione verticale: 

polarizzazioni reali, 

o Polarizzazione olomorfa:o Polarizzazione olomorfa:

polarizzazioni Kähler, 

Oscillatore armonico monodimensionaleOscillatore armonico monodimensionale

Oscillatore armonico monodimensionaleOscillatore armonico monodimensionale

Oscillatore armonico monodimensionaleOscillatore armonico monodimensionale