Gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio", Fano - Sez. Mathesis Pesaro 1 STRATEGIE...

gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

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STRATEGIE DIDATTICHE PER IL POTENZIAMENTO DEL PENSIERO

LOGICO:RIFLESSIONI ed ESEMPI

per la Scuola secondaria di primo grado


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• MATERIALI E SUPPORTI CONCRETI: MODELLI STATICI – MODELLI DINAMICI – SOFTWARE (CABRI)

• SCHEMI GRAFICI: TABELLE, GRAFI, DIAGRAMMI A BLOCCHI…

• LAVORO SUL TESTO: RISPONDERE A DOMANDE – PORRE DOMANDE – CLOZE MATEMATICO – RICERCA DI DATI MANCANTI

• I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA: CONVERSIONI, RAPPRESENTAZIONI

• COLLEGAMENTO TRA CAMPI COGNITIVI DIVERSI -PENSARE PER ANALOGIE

• PROBLEMI NON STANDARD • PROBLEM POSING• STORIA DELLA MATEMATICA NELLA DIDATTICA • CONGETTURARE – DISCUTERE – ARGOMENTARE


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MATERIALI E SUPPORTI CONCRETI: MODELLI STATICI – MODELLI DINAMICI – SOFTWARE

(CABRI) “La zia Teresa vuole ricoprire una vecchia cassapanca con una

tovaglia di tela plastificata; la nipote prende le misure: la cassapanca è lunga 1 metro e 20 cm, larga 60 cm e alta 80 cm. Zia Teresa vuole che la tovaglia penda di almeno 20 cm, in modo uniforme su tutti e quattro i lati della cassapanca. Insieme, zia e nipote vanno nel negozio e scelgono la tela; la larghezza del rotolo di tela è 140 cm. Quanta se ne deve comperare per accontentare la zia?”

• Proposto in 5^ elementare e in prima media

• Modifica del testo sulla base della prima sperimentazione: sostituito “altezza del rotolo” (gli alunni non riuscivano a dare un senso a questa espressione e quindi ad utilizzare l’informazione)

• E’ presente un dato inutile (altezza della cassapanca).


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Difficoltà per molti alunni: costruirsi una rappresentazione, una immagine mentale corretta ed efficace della situazione di arrivo.

Suggerimento dell’insegnante: raffigurare gli oggetti del problema come modelli in scala:

un rettangolo di cartoncino 12 x 6 al posto della cassapanca (il che permette di verificare che il dato “altezza” è inutile)

una striscia di carta larga 14 cm come rotolo di tela plastificata.

Sul Sul modello della situazione risolutivamodello della situazione risolutiva gli allievi hanno effettuato le gli allievi hanno effettuato le

misure, ricostruendo “a ritroso” la soluzionemisure, ricostruendo “a ritroso” la soluzione..


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SAPERE COSASAPERE COSA: le conoscenze “tecniche” necessarie sono soltanto le quattro operazioni e il significato delle locuzioni avverbiali “almeno” e “in modo uniforme”.

SAPERE COMESAPERE COME: questo livello di conoscenza richiede di rappresentare la situazione, e ciò può essere fatto mentalmente (da chi ne è già in grado) oppure con l’aiuto di un modello.

SAPERE QUANDO E PERCHE’SAPERE QUANDO E PERCHE’: saper giustificare il procedimento e discutere gli eventuali errori; ciò vale anche per gli alunni che hanno risolto “sperimentalmente” il problema.

Spunto per la discussione in classe: cosa cambia se si Spunto per la discussione in classe: cosa cambia se si apportano alcune modifiche al testo:apportano alcune modifiche al testo:

· come si modifica la richiesta (e quindi la soluzione) se si eliminano le locuzioni “almeno” o “in modo uniforme”?.

E’ un primo approccio al problem posing, di cui parleremo più avanti.


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MODELLI DINAMICIMODELLI DINAMICI

OGGETTI CONCRETI DOTATI DI UNO O PIU’ ELEMENTI MOBILI

“CONCRETIZZANO” OGGETTI MATEMATICI, CONCETTI, SITUAZIONI, PROBLEMI, RELAZIONI…..

POSSONO RIFERIRSI SIA ALLA GEOMETRIA CHE ALL’ARITMETICA

ripropongono, in veste dinamica, e quindi con una forte componente spazio – temporale, lo stretto legame che gli oggetti geometrici hanno con la realtà.

interagiscono con categorie di pensiero molto profonde e fanno riferimento al campo concettuale dei rapporti causa/effetto.

METODOLOGIA D’USOMETODOLOGIA D’USO

a) utilizzare modelli diversi per uno stesso concetto;

b) lasciare gli allievi protagonisti nell’osservazione, nella formulazione di congetture, nell’argomentazione;

c) insegnante come “garante scientifico”


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Analogie modelli - CabriAnalogie modelli - Cabri • centrare l’attenzione sul processo

invece che sul prodotto;• consentire un approccio

strutturato agli oggetti matematici (esplorare proprietà e metterle in relazione);

• essere registro di rappresentazione (autonomo rispetto a linguaggio e disegno) con un valore aggiunto dato dal movimento;

• rendere “facile” la costruzione di controesempi;

• favorire l’armonizzazione degli aspetti figurale e concettuale delle figure geometriche;

• favorire la formulazione di congetture, da discutere e validare insieme, argomentando (uso di costruzioni verbali del tipo se..allora);

• favorire il problem posing

DifferenzeDifferenze

• I modelli si “toccano” con mano, sono parte della realtà concreta, mentre le figure Cabri sono un passo avanti nell’astrazione; i modelli sono maggiormente dominabili dagli alunni rispetto ai disegni Cabri, ma questi hanno il fascino del computer;

• la validazione con Cabri si effettua attraverso il “trascinamento”, mentre con i modelli dinamici attraverso i casi limite e/o i controesempi (la validazione fa riferimento, in entrambi i casi alle proprietà e alle definizioni delle figure).


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SCHEMI GRAFICI: TABELLE, GRAFI, DIAGRAMMI SCHEMI GRAFICI: TABELLE, GRAFI, DIAGRAMMI A BLOCCHI…A BLOCCHI…

Utili per:

tradurre visivamente –in un certo senso matematizzare- situazioni problematiche diverse

rappresentare insiemi di oggetti e le loro reciproche relazioni

“mettere a fuoco” i dati e le informazioni utili a risolvere un problema

rappresentare schematicamente percorsi di soluzione

enucleare da un testo concetti e relative relazioni (mappe concettuali)


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Tenere presente che: Tenere presente che: • sono comunque un altro registro

di rappresentazione, pertanto si deve acquisire la capacità di gestirli

• si collocano ad un livello più astratto del linguaggio verbale, quindi il loro uso non è spontaneo

• la loro elaborazione può essere vissuta come “un problema nel problema” e non come una facilitazione

• spesso sono utilizzati non in modo anticipatorio ma come sintesi e bilancio del già svolto (vedi la riluttanza di molti allievi a disegnare la figura, nei problemi di geometria, prima di risolverli)

• può accadere che soluzione numerica e schema grafico della soluzione stessa non concordino

Vanno comunque proposti eVanno comunque proposti e

utilizzati ma:utilizzati ma:• occorre spiegarne/negoziarne la

simbologia

• potrebbe essere necessario, per alcuni, renderli facoltativi

• può essere utile lasciare che gli alunni procedano dapprima in modo spontaneo, per poi introdurre lo schema grafico evidenziandone la maggiore efficienza/ velocità/ chiarezza…


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““Quante strette di mano vengono scambiate fra Quante strette di mano vengono scambiate fra 5 persone al momento di salutarsi?”5 persone al momento di salutarsi?”

D stringe la mano ad E 1 stretta

C stringe la mano aDE

2 strette

B stringe la mano aCDE

3 strette

A stringe la mano a

BCDE

4 strette

Il numero totale di strette tra 5 persone è quindi: 1 + 2 + 3 + 4 =

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LE CIFRE MANCANTI LE CIFRE MANCANTI (situazione-problema sperimentata sia in classi di 5^ elementare che di 1^ media)(situazione-problema sperimentata sia in classi di 5^ elementare che di 1^ media)

Luca ha scoperto in soffitta una vecchia macchina da scrivere che ha solamente tre Luca ha scoperto in soffitta una vecchia macchina da scrivere che ha solamente tre tasti funzionanti: quelli delle cifre 0, 1 e 5.tasti funzionanti: quelli delle cifre 0, 1 e 5.

Quanti numeri interi minori di 1000 potrà scrivere Luca con i tre tasti della sua Quanti numeri interi minori di 1000 potrà scrivere Luca con i tre tasti della sua macchina? Quali sono questi numeri? Mostrate come avete fatto a trovarli.macchina? Quali sono questi numeri? Mostrate come avete fatto a trovarli.

TOTALE : 27 NUMERI

0

1

5

0

1

5

0

1

5

0

1

5

015015015015015015015015015

numeri di

2 cifre 3 cifre1 cifra

numeri di numeri di


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Conoscenza necessaria: numeri naturali da 0 a 1000

Tutto si gioca sul piano della strategia, che può essere:

Casuale - gli alunni (divisi in piccoli gruppi omogenei per livello) elencano i numeri così come vengono loro in mente, senza un ordine preciso; ogni tanto si fermano a controllare se, per caso, un numero non sia stato già detto. E’ evidente che questo modo di procedere non garantisce né la completezza della soluzione né l’assenza di ripetizioni.

Ordinata - è possibile che i ragazzi, pur non conoscendo i grafi ad albero come strumento grafico di soluzione, costruiscano una specie di “grafo mentale”; in questo caso i numeri saranno reperiti ed elencati secondo un criterio, alternando al primo, secondo e terzo posto le tre cifre disponibili.

Confrontando le soluzioni trovate con le due diverse metodologie, è quasi certo che le soluzioni “ordinate” saranno più corrette e complete; su questa constatazione è possibile introdurre i grafi ad albero come utile strumento per i problemi a base combinatoria.


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Per ciascuno dei testi proposti:

a) rappresenta i dati e le informazioni utili presenti nel testo;b) completa ogni testo con almeno due domande possibili;c) rispondi alle domande che hai formulato, scrivendo il procedimento completo con tutti i passaggi di calcolo

Primo testo: In un gruppo di sportivi, tutti di età fra i 25 e i 45 anni, una parte fa tennis e gli altri ping pong; i tennisti sono diciotto. Quelli che giocano a ping pong sono 5/6 rispetto ai tennisti.


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LAVORO SUL TESTO: RISPONDERE A DOMANDE – LAVORO SUL TESTO: RISPONDERE A DOMANDE – PORRE DOMANDE – CLOZE MATEMATICO – PORRE DOMANDE – CLOZE MATEMATICO –

RICERCA DI DATI MANCANTIRICERCA DI DATI MANCANTI

Forte relazione tra comprensione e attività di risposta

Far precedere la richiesta di soluzione dalla risposta a domande

Favorire un approccio più sereno e razionale al testo di un problema

Le domande possono: rendere esplicite informazioni implicite; isolare passaggi-chiave del testo; far intuire trattamenti utili per la soluzione; sciogliere dei nodi linguistici; aiutare a trovare schemi di ragionamento.

Hanno una funzione dialogica, cioè creano il “senso” dell’enunciato.


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DOMANDE INDIPENDENTIDOMANDE INDIPENDENTI

“Un turista inglese, prima di partire dall’Italia, compra un regalo per un amico ; il regalo costa 42 €. Il turista, però, è rimasto solo con delle sterline; quel giorno la sterlina vale 1,5 € e lui paga con un biglietto da 10 sterline e uno da 20. Quanti euro riceve di resto?” Perché il turista paga in sterline anche se è in Italia?La sterlina, quel giorno, vale più o meno di 2 €?Con quante sterline paga?In che moneta riceve il resto? non saper rispondere a una domanda non blocca l’esecuzione tuttavia gli alunni possono non riuscire a concatenare logicamente le questioni, pur avendo risposto in modo corretto


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DOMANDE CONCATENATEDOMANDE CONCATENATE

“Marta fa una piccola festa per il suo ottavo compleanno; invita la zia Franca, tutti e quattro i nonni e gli zii Guido e Luisa con il cuginetto Matteo, di 6 anni. Invita anche sei amichetti di scuola. Decide di fare a tutti un regalino e compra una penna profumata per ogni bambino (2 € ciascuna) e una confezione con tre cioccolatini per ciascun adulto. Le confezioni costano 3,5 € l’una. Quanto spende Marta per i suoi regalini?” Quanti sono gli adulti alla festa di Marta? E quanti i bambini?Quanto spende Marta per le penne?E quanto per i cioccolatini?E’ vero che per le penne spende più della metà di quanto spende per i cioccolatini? SONO PIU’ IMPEGNATIVE SIA PER CHI PREPARA IL QUESTIONARIO CHE PER CHI RISPONDE FAVORISCONO PIU’ EFFICACEMENTE LA COMPRENSIONE DEL TESTO E LA SUA RICONTESTUALIZZAZIONE


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DOMANDE SUGGESTIVEDOMANDE SUGGESTIVE

“Una piramide a base rettangolare ha l’area di base di 560 cm2 e il volume di 5600 cm3 ; una delle dimensioni di base misura 20 cm e l’altezza del solido cade nel punto di incontro delle diagonali di base. Calcolare la superficie totale del solido” Quanto misura l’altezza? Può esserti utile trovare la misura dell’apotema? È possibile trovarla con un solo calcolo? Come puoi trovare l’altra dimensione di base? ANTICIPANO LA STRATEGIA O SUGGERISCONO UN POSSIBILE APPROCCIO POSSONO ESSERE UTILI AI “CATTIVI” SOLUTORI PER SVOLGERE ALMENO UNA PARTE DEL LAVORO POSSONO CONTROBILANCIARE IN PARTE L’INFLUENZA DI FATTORI AFFETTIVI (scarsa fiducia in se stessi, convinzioni sulla matematica come disciplina “per pochi”..) DANDO FIDUCIA AL SOLUTORE


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LA FASE SUCCESSIVA PUO’LA FASE SUCCESSIVA PUO’CONSISTERE NEL FAR ELABORARE DOMANDE AGLI ALUNNI CONSISTERE NEL FAR ELABORARE DOMANDE AGLI ALUNNI

STESSI,STESSI,CON SCAMBIO DI QUESITI FRA SINGOLI ALUNNI O GRUPPICON SCAMBIO DI QUESITI FRA SINGOLI ALUNNI O GRUPPI

PER SAPER FORMULARE LE DOMANDE BISOGNA: LEGGERE IL TESTO IN MODO CONSAPEVOLE INDIVIDUARE ESATTAMENTE IL SIGNIFICATO DEI TERMINI ESPLICITARE, ALMENO PER SE STESSI, DATI E RELAZIONI ANCHE NON IMMEDIATAMENTE EVIDENTI SAPER “INTUIRE” EVENTUALI DATI INTERMEDI ESSERE IN GRADO DI FORMULARE DOMANDE NON AMBIGUE


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Il CLOZE, ovvero “Alla ricerca della parola Il CLOZE, ovvero “Alla ricerca della parola nascostanascosta””

La tecnica didattica del CLOZE è abbastanza diffusa in ambito linguistico; si tratta di cancellare, da un brano, una parola ogni 5/7 e chiedere al lettore di reintegrare le parole mancanti. Il CLOZE MATEMATICO è un CLOZE mirato, cioè in esso le parole cancellate appartengono ad un preciso ambito linguistico. Per determinate tipologie di problemi, si fa ricorso a termini che appartengono a ben definite aree di significato; ad esempio: nei problemi di compravendita: spendere, guadagnare, vendere, pagare, ricevere, al prezzo di…. nei problemi geometrici: area, perimetro, lato, lunghezza, base, superficie, dimensioni, ricoprire…..


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PER COSTRUIRE UN CLOZE MATEMATICOPER COSTRUIRE UN CLOZE MATEMATICO: SI FORNISCONO AGLI ALUNNI TESTI MANCANTI DI ALCUNE PAROLE

LE PAROLE MANCANTI APPARTERRANNO TUTTE ALLA MEDESIMA “AREA DI SIGNIFICATO”

L’ALUNNO DEVE REINTEGRARE LE PAROLE MANCANTI E RISOLVERE IL PROBLEMA

AL TERMINE DEL LAVORO SI DISCUTONO LE VARIE PROPOSTE DI REINTEGRAZIONE, CONFRONTANDOLE


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ESEMPI:ESEMPI: “Un frutteto a forma di …………………………ha la ………………….che misura 120 metri e la …………………………che misura 40 metri.Per impedire i furti di frutta, il proprietario decide di mettere lungo il ……………………..del frutteto una rete metallica. Per stabilire quanta rete gli occorre dovrà prima calcolare………………………………………… .Quanti metri di rete gli servono per …………………………….il frutteto?

“Un solido è formato da due …………….quadrangolari regolari disuguali aventi la ……….. in comune e i vertici da parti opposta rispetto a …….. L’area della ………… comune è 576 cm2, il ……………….del solido minore è 3072 cm3, la superficie laterale del maggiore è 1776 ….. Calcola la ……….. tra i vertici.


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Problemi senza numeri, ovvero “Alla ricerca dei dati Problemi senza numeri, ovvero “Alla ricerca dei dati mancanti”mancanti”

Vengono dettati dei testi/storie senza dati numerici, nei quali ci siano riferimenti all’esperienza degli alunni. I testi si

concludono con una domanda di marcato “sapore matematico”.Gli alunni devono acquisire i dati numerici necessari,

chiedendoli all’insegnante, per iscritto; ugualmente possono chiedere qualsiasi informazione, anche se errata o non

pertinente.Naturalmente, l’insegnante avrà preventivamente stabilito i

valori dei dati numerici, anche di quelli inutili.

Acquisiti i dati, gli alunni devono:- a) risolvere il problema b) riscriverne il testo

inserendovi i dati nel frattempo acquisiti.“Gli acquisti di Laura”

Laura va in cartoleria; deve comperare quaderni, gomme, matite. Chiede i soldi alla mamma, esce, e fa le sue compere; al ritorno a casa, restituisce alla mamma il resto dei soldi. Quanto ha riportato Laura alla mamma?


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I problemi scompigliati ovvero “Alla ricerca della I problemi scompigliati ovvero “Alla ricerca della domanda giusta”domanda giusta”

Vengono forniti, su un unico foglio, alcuni testi di problemi privi della domanda.Le domande (una per ogni testo di problema) vengono scritte su foglietti separatiL’alunno deve incollare ogni foglietto con la domanda sotto il testo del problema al quale ritiene che essa, logicamente, appartenga. VARIANTE:VARIANTE: FORNIRE UN NUMERO DI TESTI SUPERIORE/INFERIORE A QUELLO DELLE DOMANDE (per evitare abbinamenti “obbligati”)


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ESEMPIOESEMPIO a) Il perimetro di un campo quadrato misura 186,72 dam b) Un parallelogrammo ha i lati che misurano rispettivamente 15,4 m e 18,6 mc) Un triangolo equilatero ha il perimetro di 156 md) L’area di un rettangolo, con la base lunga 14 m, misura 184 m2

Domande da abbinare:

1-Quanto misura l’area?2-Quanto misura il perimetro?

3-Quanto misura il lato?4-Quanto misura l’altezza?


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I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA: I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA: CONVERSIONI, RAPPRESENTAZIONICONVERSIONI, RAPPRESENTAZIONI

Problema cruciale nell’apprendimento della matematica: gli oggetti matematici, in quanto astratti ed estranei alla percezione, sono accessibili solo attraverso un sistema di segni che rimandano a significati.

L’oggetto matematico NON è la sua rappresentazione MA

l’accesso ad esso può avvenire SOLO attraverso una rappresentazione Schema grafico di R. Duval


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Ci sono situazioni in cui si può avere accesso agli oggetti di studio: direttamente (percezione, raccolta di dati…) indirettamente (strumenti: telescopio, miscroscopio, spettrometri…)

In matematica gli oggetti studiati sono inaccessibiligli oggetti studiati sono inaccessibili al di fuori di rappresentazioni dipendenti da una attività semiotica; non esiste un “oggetto” di cui fare esperienza e che garantisca la mediazione tra rappresentazioni diverse dell’oggetto stesso.

Rappresentazioni semiotiche diverse offrono possibilità di trattamento differenti (operazioni, tecniche, procedure…)


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Es. “Quattro più cinque” rappresentazione verbale

4 + 5 rappresentazione simbolica in base 10

100 + 101 rappresentazione simbolica in base 2 Le “regole” che si applicano sono diverse a seconda della rappresentazione scelta Es. “(a/b)n = an/bn „ rappresentazione simbolicaLa potenza di un rapporto è uguale al rapporto delle potenze dei singoli termini rappresentazione verbale ILa potenza di una frazione si calcola elevando a potenza numeratore e denominatore rappresentazione verbale II Le due conversioni non hanno la stessa efficacia in termini di applicabilità


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Apprendimento dell’algebraApprendimento dell’algebra: le difficoltà nascono già dai primi livelli di scolarizzazione, quando si fonda il rapporto tra linguaggio naturale e linguaggio simbolico

Necessità di un approccio precoceapproccio precoce (early algebra) partendo da una concezione dell’ algebra come algebra come linguaggiolinguaggio.

Situazioni di “conflitto” tra linguaggio naturale e

linguaggio formale

Es. “y è tre volte più grande di z”

Viene tradotto letteralmente:

y = 3x + z (“tre volte più di z”)y= 3x > z (“tre volte maggiore di zeta ” )


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Attività possibili:Attività possibili:

1- Conversioni di registro (“traduzioni”)1- Conversioni di registro (“traduzioni”) ((1^ media)1^ media)


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2- Produzione di traduzioni diverse e loro confronto2- Produzione di traduzioni diverse e loro confronto

((3^ media- non ancora introdotto il 3^ media- non ancora introdotto il calcolo letterale)calcolo letterale)

Testo proposto: “Ieri pomeriggio ho studiato storia, italiano e inglese. Ho iniziato a studiare alle 15.00 e ho smesso alle 18.00. Per studiare italiano ho impiegato un tempo doppio che per storia; per inglese, invece, ho studiato un tempo triplo che per italiano perché aveva la verifica. Quanto tempo ho studiato le tre materie?”. Rappresenta nel modo che preferisci (in forma grafica, simbolica...) i dati e le relazioni tra di essi. Se individui più di una rappresentazione, analizza quale ti sembra più comoda per risolvere il problema.


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“La rappresentazione grafica è più utile perché è più concreta” Alunno n.6

Probabilmente è il trattamento matematico successivo che viene facilitato dal ricorso ad una rappresentazione “più familiare”


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Alcune attività di

“rappresentazione”


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COLLEGAMENTO TRA CAMPI COGNITIVI DIVERSIPENSARE PER ANALOGIE

Importanza dell’analogia nel campo della didattica della matematica Brousseau “Il docente deve dunque dissimulare le sue intenzioni con un artificio didattico: scegliere domande le cui risposte possono essere costruite dall’allievo, ricorrere ad analogie,…” Fishbein – Importanza dell’analogia nel superamento di conflitti tra livello intuitivo, livello algoritmico e livello formale; tali conflitti “..non possono essere eliminati ignorando semplicemente il livello intuitivo. (…) Lo studente deve essere aiutato a prendere coscienza di tali conflitti”. Per superare le difficoltà derivanti dal forte peso che hanno i modelli intuitivi, F. consiglia il ricorso all’analogia e presenta il celebre esempio: “Con 2 dollari si può comprare una bottiglia di 0,75 l di aranciata. Quanto costa 1 litro di aranciata?”. Si può far ricorso ad un problema connesso all’altro per analogia, ma i cui dati numerici siano in accordo con le richieste intuitive. Per esempio: “Con 10 dollari si possono comperare 5 l di aranciata. Quanto costa 1 litro?”. Con la stessa procedura si risolve anche il problema di partenza.


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Bazzini (citando Fishbein.): “..se i vari tipi di ragionamento analogico da una parte possono favorire la costruzione di conoscenze, dall’altra possono indurre a conclusioni erronee (…). Se l’analogia è una potenziale generatrice di ipotesi, può essere anche causa di misconcetti o fraintendimenti.. “

Sbaragli: “…capita spesso che, quando un soggetto si trova in forte incertezza di fronte ad un problema da risolvere, tenda a trasformare un certo nucleo di informazioni da un dominio ben conosciuto ad un altro meno noto, tramite un trasferimento per analogia. Può avvenire allora che si assumano per valide corrispondenze analogiche che invece non sono accettabili per quei particolari sistemi.”


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Analogie come fonte di problemi nuovi e di scoperte: riprendiamo la tabella delle “strette di mano”

D stringe la mano ad E 1 stretta

C stringe la mano aDE

2 strette

B stringe la mano aCDE

3 strette

A stringe la mano a

BCDE

4 strette


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Generalizziamo il problema:“E se le persone che si stringono la mano Generalizziamo il problema:“E se le persone che si stringono la mano sono più di 5?”sono più di 5?”

Numero persone

(n)Numero strette

(Sn)

2 1

3 3

4 6

5 10

6 15

….. …..

n Sn=n (n-1)/2

Il numero delle strette è dato dalla somma dei primi (n-1) numeri naturali; Sn=n Il numero delle strette è dato dalla somma dei primi (n-1) numeri naturali; Sn=n (n-1) /2 (n-1) /2


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““QUANTE DIAGONALI SI POSSONO TRACCIARE IN QUANTE DIAGONALI SI POSSONO TRACCIARE IN UN POLIGONO DI n LATIUN POLIGONO DI n LATI?”?”

n=4

n=5

n=6

Possiamo interpretare una diagonale come una “stretta di mano” tra due vertici di un poligono; ci accorgiamo allora che il problema ha esattamente la stessa struttura del precedente e pertanto possiamo applicare ad esso il risultato che abbiamo ottenuto.


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Infatti, gli n vertici di un poligono possono essere collegati tra loro da un numero di segmenti pari a:

n · (n-1) / 2 Tra questi, però, saranno compresi anche i lati del poligono stesso, che invece a noi non interessano; dobbiamo quindi modificare la formula togliendo il numero dei lati, che è n. Il risultato è:

n · (n-1) / 2 - n

che, scritta più semplicemente, diventa:

n · (n-3) / 2.

Tale formula può essere giustificata anche geometricamente osservando che da ognuno degli n vertici del poligono escono tante diagonali quanti sono i vertici meno 3 (quello considerato e i due adiacenti). Per evitare di considerare due volte ogni vertice si divide il prodotto per 2.


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PROBLEMI NON STANDARDPROBLEMI NON STANDARD

“I passi di Marco e Giovanni” Marco e Giovanni percorrono nello stesso verso la retta graduata e i loro passi sono uguali. Marco parte dal punto di ascissa +5 e fa quattro passi. Giovanni parte dal punto di ascissa –13 e fa sette passi. Per entrambi il punto di arrivo è lo stesso. Calcola la lunghezza del passo di Marco e di Giovanni e individuarne il verso.(Sebastiano Conte)

“Un pesce… a pezzi” La coda di un pesce pesa 4 kg; il tronco pesa quanto testa e coda insieme; la testa pesa quanto la coda e metà tronco. Quanto pesa tutto il pesce?(Rally matematico transalpino) “Dodici fiammiferi uguali” Tra tutti i poligoni che puoi tracciare usando, per contorno, dodici fiammiferi uguali, determina quello che ha l’area minore. Non è permesso spezzare alcun fiammifero. (da “Il Teorema di Pitagora in alcune situazioni problematiche” di C. Colombo Bozzolo, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 22°, maggio 1999)


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Fattori che ostacolano l’uso di problemi non Fattori che ostacolano l’uso di problemi non standard:standard:

difficoltà nell’affrontare contenuti non immediatamente individuabili come “scolastici” (mancanza di abitudine degli insegnanti – preoccupazione rispetto a tempi e contenuti dei programmi)

difficoltà nell’insegnare strategie utili per risolverli

mancanza di strategie uniformi (v. punto precedente)

necessità di tempi più lunghi per la soluzione

imprevedibilità delle strategie che gli alunni potrebbero utilizzare

mancanza di conoscenza del potenziale di tali problemi

difficoltà a reperirli

necessità di compiere su di essi una analisi a priori.


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PROBLEM POSINGPROBLEM POSING

PROBLEM SOLVING: E’ CENTRATO SULLE PROCEDURE DISOLUZIONE

PROBLEM POSING: CERCA QUESTIONI NUOVE

PROMUOVE IL RAGIONAMENTO IPOTETICO

“APRE” SITUAZIONI CHIUSE PROBLEM SOLVING E PROBLEM POSING NON SONO

ALTERNATIVI IL PROBLEM POSING E’ UNA STRATEGIA DIDATTICA PER

ANDARE “OLTRE”


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FASI DEL PROBLEM POSING

(da Brown e Walters, modif.)

1-Analisi della situazione: osservazione delle caratteristiche della situazione problematica (numeriche e non). Può anche precedere la risoluzione. Si possono fare congetture.

2-Elenco degli “attributi” ed “..e se non..?” :si elencano osservazioni e congetture fatte. Se ne sceglie una (o più di una) e la si nega. Nasce un nuovo problema.

3-Si affronta il nuovo problema.


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ESEMPIO IN UN SACCHETTO CI SONO 3 PALLINE ROSSE, 2 BIANCHE E 5 VERDI. TROVA LA

PROBABILITA’ DI ESTRARRE UNA PALLINA ROSSA (Pr), QUELLA DI ESTRARRE UNA PALLINA VERDE (Pv) E QUELLA DI ESTRARRE UNA PALLINA BIANCA (Pb)

Secondo la teoria classica P = casi favorevoli/casi possibili

Quindi: Pr = 3/10 Pb = 2/10 Pv = 5/10 = ½

Nel sacchetto ci sono 10 palline. E se fossero 20?

Se raddoppiano anche i numeri delle palline di ciascun colore, i rapporti restano gli stessi. Altrimenti, il problema è aperto.

Si estrae una sola pallina. E se ne estraessimo 2?

Occorre decidere se la prima pallina, dopo l’estrazione, viene rimessa nel sacchetto

oppure no.

Inoltre non si specifica se l’ordine è importante o no, cioè se, ad esempio, le due estrazioni RB e BR devono essere considerate distinte.

Diventa un problema di combinatoria e probabilità insieme.


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Si cercano le probabilità, distinte, per ciascun colore. E se cercassimo la probabilità di estrarre una pallina rossa oppure bianca

oppure verde?

P(r o b o v) = 1 CERTEZZA!!!

Il colore delle palline viene dato “in positivo”. E se cercassimo la probabilità di estrarre una pallina non rossa?

Corrisponde a P(b o v), cioè la frazione complementare di Pr e quindi 7/10

E’ POSSIBILE CHE UNA LINEA DI RICERCA SI RIVELI POCO STIMOLANTEE’ POSSIBILE CHE UNA LINEA DI RICERCA SI RIVELI POCO STIMOLANTE

E’ POSSIBILE CHE CI SI ACCORGA DI NON POSSEDERE GLI STRUMENTI E’ POSSIBILE CHE CI SI ACCORGA DI NON POSSEDERE GLI STRUMENTI MATEMATICI ADATTI PER AFFRONTARE IL NUOVO PROBLEMAMATEMATICI ADATTI PER AFFRONTARE IL NUOVO PROBLEMA

TUTTAVIA, NON BISOGNA SCORAGGIARSI; UNA LINEA DI RICERCA SI PUO’ TUTTAVIA, NON BISOGNA SCORAGGIARSI; UNA LINEA DI RICERCA SI PUO’ SEMPRE ABBANDONARE.SEMPRE ABBANDONARE.


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IL PROBLEM POSING MODIFICA:IL PROBLEM POSING MODIFICA: IL CONTRATTO DIDATTICO IL RUOLO DELL’INSEGNANTE L’INSEGNANTE NON E’ PIU’ UN “TRASMETTITORE DI CONOSCENZE” MA DIVENTA RICERCATORE CON I PROPRI ALUNNI NE CONDIVIDE LE SCOPERTE LI GUIDA NELL’ATTIVITA’ EURISTICA I SUOI PROCESSI DI PENSIERO, RESI ESPLICITI AGLI ALUNNI, DIVENTANO UN ESEMPIO


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VANTAGGI DEL PROBLEM POSINGVANTAGGI DEL PROBLEM POSING

CREA MOTIVAZIONE: IL PROBLEMA DOVREBBE RAPPRESENTARE PER L’ALUNNO UN OBIETTIVO DA RAGGIUNGERE RENDE L’ALUNNO PROTAGONISTA NELLA INDIVIDUAZIONE E NELLA FORMULAZIONE DI PROBLEMI STIMOLA L’AUTONOMIA DI PENSIERO E L’ACQUISIZIONE DI COMPETENZE LINGUISTICHE SPECIFICHE FOCALIZZA L’ATTENZIONE NON SUL PRODOTTO DELLA ATTIVITA’ MATEMATICA MA SUL PROCESSO DI CREAZIONE DI NUOVI CAMPI DI RICERCA CHIAMA GLI ALUNNI NON A DARE RISPOSTE MA A FARE DOMANDE: POICHE’ NON ESISTONO DOMANDE “GIUSTE”, NON INSORGE L’ANSIA DA RISPOSTA ESATTA PUO’ DARE VALORE ANCHE A DOMANDE APPARENTEMENTE BANALI O “SENZA SENSO” (DALLE QUALI E’ NATA MOLTA MATEMATICA) MODIFICA LA PROSPETTIVA DELL’ALUNNO SULL’ATTIVITA’ MATEMATICA; DA’ SPAZIO A:

CREATIVITA’PENSIERO DIVERGENTE

CAPACITA’ CRITICHEOSSERVAZIONE

INTERPRETAZIONE DI TESTI


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Un altro esempio: Il problema seguente è una variante del classico problema “i quattro quattro”: Come è possibile, usando ogni volta solo la cifra 4 ripetuta 4 volte e i segni delle operazioni elementari, ottenere tutti i numeri da 0 a 10? Esempi di soluzioni: 0 = 44 – 44 1= 44 / 44 2 = 4/4 + 4/4 ecc.

Quando ho proposto il problema ad una delle mie classi, è venuta a qualcuno l’idea di estenderlo al 5; quindi è diventato “il problema dei 5 cinque”.

Quelle che seguono sono alcune soluzioni trovate dagli alunni (1^ media; avevamo già fatto le potenze):

Per 0 : (5 + 5 + 5) * (5 – 5); (5 – 5) * 5 * 5 * 5 ; (5 + 5 - 5 – 5) : 5

Per 1: (5 * 5 + 5) : 5 – 5; 55 : 5 – 5 – 5; 5 5-5 + 5 – 5

Per 2: (5 * 5 – 5) : (5 + 5); (5 – 5) + (5 + 5) : 5

(5 + 5 + 5 – 5) :5 (55 – 5) : 5 : 5

…. E così via: abbiamo trovato almeno una soluzione per ogni numero da 1 a 10 !!


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STORIA DELLA MATEMATICA NELLA STORIA DELLA MATEMATICA NELLA DIDATTICADIDATTICA

Una prospettiva storica nella didattica della matematica può: Fornire “ambienti di lavoro” in cui ricostruire il senso di alcuni contenuti matematici Rivelare diversità culturali e geografiche, quindi contribuire ad ampliare l’orizzonte etno-culturale degli alunni Far intuire che la matematica è anche un prodotto del suo tempo e dei bisogni dell’uomo, quindi evolve e “cresce” Consentire un approccio ad alcuni concetti più intuitivo e quindi più adeguato all’età e agli strumenti culturali degli alunni Stimolare la discussione su questioni a proposito delle quali possono esserci convinzioni diverse Facilitare l’individuazione, da parte del docente, di ostacoli e misconcetti.


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Un errore matematico ricorrente non è casuale: c’è una logica dietro di esso.

La logica dietro un errore ricorrente può avere cause differenti (fonti di ostacolo)

CLASSIFICAZIONE DELLE FONTI DI OSTACOLOCLASSIFICAZIONE DELLE FONTI DI OSTACOLO

(Brousseau, 1983) Fonti ontogenetiche: collegate alle capacità cognitive proprie degli studenti

Fonti didattiche: collegate alle scelte di insegnamento

Fonti epistemologiche: collegate alla conoscenza stessa


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ALCUNE ACCORTEZZEALCUNE ACCORTEZZE

La storia della matematica non va ridotta ad “aneddotica” sulla vita dei matematici (anche se l’aneddotica è motivante)! Ciò fa apparire questa disciplina come il prodotto di “geni” isolati e ne nasconde i legami con la realtà sociale e culturale.

Non è sempre possibile trasporre il fatto storico in classe: noi siamo “sulle spalle” di chi ci ha preceduti, perciò non tutto è motivante per gli alunni.

Non è garantito che utilizzare la storia abbia una ricaduta sullo sviluppo dei concetti: non è detto che in questo campo “l’ontogenesi ricapitoli la filogenesi” perché lo sviluppo culturale di un individuo avviene anche attraverso una rete di relazioni con gli altri.

Non è possibile ripercorrere esattamente l’approccio storico ai problemi: siamo comunque influenzati dalle conoscenze e concezioni moderne.

Non sempre gli sviluppi della matematica sono stati prodotti dalla necessità di superare errori, bensì dall’emergere di nuove esigenze.


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PERCHE’ UN INSEGNANTE DEVE CONOSCERE LA PERCHE’ UN INSEGNANTE DEVE CONOSCERE LA STORIA DELLA MATEMATICASTORIA DELLA MATEMATICA

CONOSCERE LO SVILUPPO DEL PENSIERO MATEMATICO PERMETTE DI RIFLETTERE SULLA MATEMATICA STESSA SI PUO’ ESSERE AGEVOLATI NEL RICONOSCERE E COMPRENDERE LE DIFFICOLTA’ DEGLI ALLIEVI FACILITA L’ADATTAMENTO DELLE CONOSCENZE “FORMALI” ALLE ESIGENZE DELLA DIDATTICA


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CONGETTURARE – DISCUTERE – CONGETTURARE – DISCUTERE – ARGOMENTARE ARGOMENTARE

Biscotti a colazione

A Clotilde piacciono i pan di stelle e i savoiardi. Li mangia tutti i giorni dal lunedì al sabato, ogni volta in quantità diverse ma seguendo una regola che si è data. Per i giorni di venerdì e sabato sono rappresentati solo i pan di stelle consumati da Clotilde. Sai trovare questa regola? Scrivi la regola di Clotilde in linguaggio naturale.


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I decori di Natale

Alice prepara con rami di abete e palline colorate dei decori di Natale da appendere alle pareti. Con i rami costruisce tanti festoni uguali a questo:

e poi li unisce fra loro ornandoli con le palline e formando decori di varie lunghezze.

Quando la sorella maggiore Caterina ritorna a casa vede alcuni decori già pronti e nota che hanno tutti, pur essendo di diverse dimensioni,qualcosa in comune.

“Belle” dice Caterina. Poi, siccome quando vede situazioni di questo genere diventa subito curiosa, si pone la domanda: “Quale relazione intercorre tra il numero dei festoni e quello dei decori?”

Testi proposti in 5^ elementare nell’ambito di una attività di ricerca afferente al progetto ArAl (Gold)


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Ambedue le situazioni presentano una relazione del tipo b= a x 2 + 1 (dove b è in un caso il numero dei savoiardi e nell’altro il numero dei decori, mentre a sta rispettivamente per il numero dei pan di stelle e per il numero dei festoni).

Diversi alunni hanno notato, sia spontaneamente (in pochi) sia su sollecitazione, l’isomorfismo delle due leggi, anche se nei due casi erano utilizzati simboli diversi.

Si è fatto allora osservare che, quando il numero dei pan di stelle è uguale a zero, Clotilde mangia comunque 1 savoiardo; ma cosa accade ai decori quando il numero dei festoni è zero?


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Prima reazione collettiva: una forte perplessitàSuperato il disorientamento iniziale, le proposte dei bambini si possono classificare in due categorie:

Anche i decori spariscono: “se non ci sono festoni non ci possono essere nemmeno i decori”; “i decori sono zero”; “ i decori non ci sono perché non li puoi attaccare”.Almeno un decoro ci deve essere, perché “dalla formula viene 0+1 e fa 1”; qualcuno propone “attacchiamo la pallina ad un filo che si attacca sul muro”. Valore formativo della contraddizione in cui gli allievi si vengono Valore formativo della contraddizione in cui gli allievi si vengono

a trovarea trovare Primo approccio alla riflessione sulla accettabilità di un risultato matematico, ed in particolare sui domini di variabilità di una legge, valutazione che in genere gli alunni non fanno spontaneamente anche a livelli scolastici più avanzati. Spunti di questo tipo sono molto utili per creare negli alunni un atteggiamento di attenzione critica al prodotto del loro lavoro: i numeri dicono questo, ma il buonsenso -o la realtà dei fatti- permettono di accettare il risultato?


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Gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio", Fano - Sez. Mathesis Pesaro 1 STRATEGIE...

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