Presentazione di PowerPoint - Mathesis Verona · 2018. 12. 27. · prof. Sandro Pistori CONVEGNO...
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CONVEGNO MATHESIS VERONA prof. Sandro Pistori
LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
CONVEGNO MATHESIS
Liceo “G. GALILEI” - Verona
Venerdì 10 Aprile 2015
CONVEGNO MATHESIS VERONA prof. Sandro Pistori
Perché…
Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel
quadri di Mondrian
La geometria analitica dello spazio è una delle novità principali
previste dalle indicazioni nazionali nel riordino dei licei
Permette di utilizzare l'algebra lineare e vettoriale
É uno degli argomenti peggio (bis)trattati nei libri di testo
CONVEGNO MATHESIS VERONA prof. Sandro Pistori
Dalle indicazioni nazionali…
PRIMO BIENNIO - algebra
[Lo studente] Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza
lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli
elementi del calcolo matriciale.
QUINTO ANNNO – geometria
L'introduzione delle coordinate cartesiane nello spazio permetterà allo
studente di studiare dal punto di vista analitico rette, piani e sfere.
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Sui libri di testo...
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• Saper operare con le matrici (quadrate di ordine 3)
• Saper operare con i vettori in componenti cartesiane
• Conoscere condizione di dipendenza lineare di un insieme di
vettori
• Prodotto scalare e vettoriale di due vettori
Prerequisiti
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Equazione cartesiana di un piano
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Piani paralleli e piani ortogonali
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Equazione parametrica di un piano
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Gli Elementi: definizioniEquazione cartesiana di un pianoEquazione cartesiana di un pianoEquazione parametrica di un piano
Scrivendo esplicitamente le componenti otteniamo
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑣1 + ℎ𝑤1𝑦 − 𝑦0 = 𝑘𝑣2 + ℎ𝑤2
𝑧 − 𝑧0 = 𝑘𝑣3 + ℎ𝑤3
da cui
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒌𝒗𝟏 + 𝒉𝒘𝟏
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒌𝒗𝟐 + 𝒉𝒘𝟐
𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒌𝒗𝟑 + 𝒉𝒘𝟑
che rappresenta l’equazione parametrica di un piano
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Gli Elementi: definizioniEquazione cartesiana di un pianoEquazione cartesiana di un pianoDall’equazione parametrica alla cartesiana
Per passare dall’equazione parametrica a quella cartesiana si può
operare algebricamente sulle equazioni ricavandosi i parametri k, h
• oppure determinare il vettore direzione del piano attraverso il
prodotto vettoriale 𝒏 = 𝑣 × 𝑤 e quindi arrivare direttamente
all’equazione
𝑎 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 + 𝑐 𝑧 − 𝑧0 = 0
• oppure imporre che i vettori 𝑃0𝑃 , 𝑣, 𝑤 siano linearmente
dipendenti cioè
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0𝑣1 𝑣2 𝑣3𝑤1 𝑤2 𝑤3
= 0
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Una retta nello spazio è determinata univocamente da un punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
e da una direzione fissata da un vettore (direttore) 𝒗 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)
Equazione parametrica di una retta
Un punto 𝑃(𝑥, 𝑦,z) appartiene alla retta r se i vettori 𝑃0𝑃 e 𝑣 sono collineari
(paralleli, linearmente dipendenti) quindi se 𝑃0𝑃 = 𝜆 𝑣
Equazione parametrica di una retta
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Da cui
𝑥 − 𝑥0 = 𝜆𝑣1𝑦 − 𝑦0 = 𝜆𝑣2𝑧 − 𝑧0 = 𝜆𝑣3
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀𝒗𝟏𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀𝒗𝟐𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀𝒗𝟑
Equazione parametrica di una retta
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Dati i punti 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e B 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 determinare l’equazione
della retta r passante per A, B
𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴,𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) è il vettore direzione della retta r e
quindi una possibile equazione parametrica di r sarà
𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝝀(𝑥𝐵−𝑥𝐴)𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝝀(𝑦𝐵−𝑦𝐴)𝒛 = 𝒛𝑨 + 𝝀(𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)
oppure considerato un punto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartiene alla retta AB solo
se i vettori 𝐴𝑃 e 𝐴𝐵 sono collineari cioè 𝐴𝑃 = 𝜆 𝐴𝐵 e quindi
𝑥 − 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴 , 𝑧 − 𝑧𝐴 = 𝜆(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)
𝒙 − 𝒙𝑨𝒙𝑩 − 𝒙𝑨
=𝒚 − 𝒚𝑨𝒚𝑩 − 𝒚𝑨
=𝒛 − 𝒛𝑨𝒛𝑩 − 𝒛𝑨
Retta passante per due punti
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Dati tre punti non allineati 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) B 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 C 𝑥𝐶 , 𝑦𝐶, 𝑧𝐶 determina
l’equazione (cartesiana) del piano da essi individuato
Un punto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartiene al piano se e solo se i vettori 𝐴𝑃 , 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶sono linearmente dipendenti, se e solo se
𝒙 − 𝒙𝑨 𝒚 − 𝒚𝑨 𝒛 − 𝒛𝑨𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨𝒙𝑪 − 𝒙𝑨 𝒚𝑪 − 𝒚𝑨 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨
= 0
Piano passante per tre punti
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Determinare l’equazione della retta passante per un punto
assegnato e perpendicolare ad un piano dato
Determinare l’equazione del piano parallelo o perpendicolare ad
un piano dato e passante per un punto assegnato
Determinare l’equazione di una retta passante per un punto
assegnato e parallela o perpendicolare ad una retta data
Determinare l’equazione del piano contenente una retta data e
passante per un punto assegnato
Alcune tipologie di problemi semplici…
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Dati una retta r (equazione parametrica) ed un punto 𝑄 𝑥𝑄, 𝑦𝑄, 𝑧𝑄determinare la proiezione ortogonale Q’ di Q su r
…e più difficili
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Supposta la retta r scritta nella forma 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝜆 𝑣 𝑟:
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑣1𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑣2𝑧 = 𝑧0 + 𝜆𝑣3
dovrà essere 𝑄′𝑄 ⊥ 𝑣 quindi 𝑄′𝑄 ∙ 𝑣 = 0 e 𝑃0𝑄′ = 𝜆 𝑣 per qualche 𝜆 .
Da 𝑃0𝑄 = 𝑃0𝑄′ + 𝑄′𝑄 si ottiene 𝑄′𝑄 = 𝑃0𝑄 − 𝑃0𝑄′ = 𝑃0𝑄 − 𝜆 𝑣
quindi 𝑣 ∙ 𝑄′𝑄 = 𝑣 ∙ (𝑃0𝑄 − 𝜆 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑃0𝑄 − 𝜆 𝑣 2 = 0
da cui 𝜆 =v ∙ PoQ
v2 e 𝑂𝑄′ = 𝑂𝑃0 +
v ∙ PoQ
v2 𝑣 , vale a dire
𝒙𝑸′𝒚𝑸′𝒛𝑸′
=
𝒙𝟎𝒚𝟎𝒛𝟎
+𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑 ∙ (𝒙𝑸 − 𝒙𝟎, 𝒚𝑸 − 𝒚𝟎 𝒛𝑸 − 𝒛𝟎)
𝒗𝟏𝟐 + 𝒗𝟐
𝟐 + 𝒗𝟑𝟐
𝒗𝟏𝒗𝟐𝒗𝟑
Proiezione ortogonale di un punto su una retta
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Un po’ di materiale
web.ticino.com/lucarovelli/appunti/3N_Cap1_Geom_Vettoriale.pd
http://www.dipmatematica.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/
Allegati/quadernididattici/favro.pdf
http://www.dipmatematica.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/
Allegati/quadernididattici/favro.pdf