Gasdinamica

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Moti UnidimensionaliAdimensionalizzazione Il processo di adimensionalizzazione di una generica grandezza G viene effettuato ponendo la grandezza nella forma:

ove un valore di riferimento, ovvero rappresenta l'unit di misura della grandezza (dimensionale), e G* rappresenta la misura della grandezza stessa (adimensionale). Nel seguito, si supporr di scegliere opportunamente la quantit in maniera tale che sia G* = O(1) e cio in maniera tale che la misura risulti di ordine di grandezza unitario. L'equazione di conservazione della massa la seguente: poich le unit di misura sono costanti e le sole misure variabili, si ha:

Il raggruppamento adimensionale che moltiplica il termine instazionario prende il nome di numero di Strouhal:

Esso rappresenta l'importanza relativa del termine instazionario rispetto al termine convettivo nell'equazione di conservazione della massa. Se l'integrale di superficie esteso a un dominio semplicemente connesso da cui entra o esce massa (una sola superficie permeabile), poich entrambi i termini che contengono le grandezze asteriscate sono di O(1), anche il numero di Strouhal di ordine di grandezza unitario e non pu essere altrimenti perch l'equazione consta di due termini uguali e di segno opposto. In tal caso, si deve tener conto di tutti e due i termini dellequazione. Se la scelta delle grandezze di riferimento stata corretta, il fatto che Sr =O(1) permette, ad esempio, la stima del tempo caratteristico del fenomeno in esame. Se invece l'integrale di superficie esteso a due diversi domini permeabili, dei quali in uno entra massa e dall'altro ne esce, e se il numero di Strouhal sufficientemente basso, il termine instazionario potr essere trascurato rispetto agli altri due termini. Moti quasi stazionariSi consideri ora il sistema costituito da un serbatoio, in cui contenuto un gas inizialmente alla pressione , collegato ad un ugello convergente:

in seguito allapertura di questultimo il gas sar scaricato nellambiente . Si supponga ora per semplicit che, pur essendo poi senz'altro maggiore di pa, si abbia:

Come si vedr, questa ipotesi, unitamente a quella di adiabaticit, consente di ritenere che il moto del fluido nell'ugello risulti incompressibile, per cui la velocit iniziale del fluido all'uscita dell'ugello, con l'ulteriore ipotesi di trascurabilit degli effetti viscosi, pu essere posta pari a:

Questa velocit pu essere assunta come velocit di riferimento nel processo di adimensionalizzazione.Se invece , si vedr che, sempre nelle ipotesi di adiabaticit e reversibilit, la velocit del fluido all'uscita dell'ugello (cio la velocit di riferimento) quella sonica che risulta pari a:

Scegliendo anche le altre grandezze di riferimento per il processo di adimensionalizzazione, si ottiene:

Cio lequazione della conservazione della massa applicata a tutto il serbatoio, in formato adimensionale, inoltre si sottolinea che lunica grandezza di riferimento non nota a priori il tempo di riferimento . Ma visto che lo Strouhal di ordine di grandezza 1, ci ci permette di definire il tempo di riferimento come:

Che rappresenta una stima del tempo di svuotamento del serbatoio.Con riferimento allo stesso caso, se si va ora a considerare come volume di controllo quello relativo al solo ugello, qui indicato con Vu, la scelta delle grandezze di riferimento sar la stessa, ma per avere una misura di ordine di grandezza unitario per il volume dellugello dovr essere . Applicando nuovamente lequazione della conservazione della massa, che ora sar composta da tre termini

e utilizzando, nel calcolo del numero Sr, il tempo di riferimento appena stimato:

Se il volume dell'ugello molto piccolo rispetto a quello del serbatoio, sar: Sr , leqauzione precedente diventa la cosiddetta equazione di Bernouli in forma differenziale:

Che, integrata, da luogo allequazione di Bernoulli per moti stazionari, non viscosi, compressibili:

Per un moto in cui siano trascurabili le variazioni di densit, e cio per un moto incompressibile si ha :

Che rappresenta lequazione di Bernoulli per moti stazionari, non viscosi, incompressibili.Conservazione dellenergia per moti unidimensionali stazionariCon procedimento analogo agli altri due casi precedenti:

Questa equazione valida se, e solo se, il moto stazionario rispetto ad un sistema di riferimento inerziale ed unidimensionale su ciascuna delle superfici permeabili del sistema; l'integrale relativo al flusso di energia nel modo calore deve essere esteso a tutte le superfici del sistema, permeabili e non, in quanto, pur essendo la temperatura costante su ciascuna superficie permeabile, sono consentiti gradienti di temperatura (e quindi flussi di calore) in direzione normale alla superficie. Essi saranno comunque deboli, e quindi trascurabili, per la debole variazione di area. Poich la normale n orientata verso l'ambiente, l'integrando risulta positivo se anch'esso diretto verso l'ambiente (flusso termico uscente). Il secondo integrale diverso da zero, a condizione che la velocit della superficie di controllo sia diversa da zero (potenza delica). Ponendo:

E se il volume di controllo un condotto con due sole superfici permeabili, si ottiene infine:

Che rappresenta lequazione di conservazione dellenergia per moti unidimensionali, stazionari, in condotti.Nel caso si avesse un moto omoenergetico cio un moto adiabatico (=0) e anergodico (=0):

Sarebbe pi corretto definirlo omoentalpico totale (dove l'entalpia totale rappresenta la quantit in parentesi), ma poich nei sistemi aperti l'entalpia totale prende il posto dell'energia totale consuetudine usare ancora l'aggettivo omoenergetico. In condizioni di omoenergeticit, se il moto unidimensionale su ciascuna superficie permeabile, si ha quindi:

In termini differenziali considerando :

Data la definizione di entalpia, ricordando che , si ha:

Se poi in particolare sono nulle le forze di attrito e comunque le altre cause di produzione di entropia, sar anche e quindi . Con questa ipotesi, lequazione precedente, che rappresenta l'equazione di conservazione dell'energia per un moto omoenergetico e isoentropico, diventa :

che coincide con la gi trovata equazione di Bernoulli in forma differenziale. Si pu concludere, pertanto, che, in questo caso, l'equazione di conservazione dell'energia non fornisce alcuna ulteriore condizione vincolante sull'evoluzione del fluido. Dunque dividendo per la portata massica si ottiene: dove l e q rappresentano rispettivamente l'energia scambiata nel modo lavoro e nel modo calore per unit di massa del fluido evolvente. Come detto, il contributo dovuto all'energia gravitazionale si supporr, in generale, trascurabile, il che equivale, ad esempio, a considerare o che il numero di Froude abbastanza elevato.Introducendo la quantit detta entalpia specifica totale o di ristagno si ottiene:

Che rappresenta il principio di conservazione dellenergia per un sistema aperto nel caso di moto unidimensionale e stazionario. Essa ricorda il primo principio della termodinamica:

che il principio di conservazione dellenergia per un sistema chiuso.Le principali differenze sono:1. Il primo principio riguarda (in un sistema chiuso) un processo instazionario (si ha una variazione di U nella massa di controllo) mentre laltra relazione conserva lenergia (in un sistema aperto) in un processo stazionario;2. la massa che compare nel primo principio quella contenuta nel sistema, mentre, nella relazione in alto, la la massa che attraversa il sistema nella unit di tempo;3. l'energia interna specifica u sostituita dall'entalpia totale specifica H.In una macchina per la quale siano trascurabili gli scambi di energia nel modo calore con l'ambiente esterno si ha . In uno scambiatore di calore, nel quale non vi siano scambi di energia nel modo lavoro con l'ambiente esterno si ha . Pu essere utile esprimere questa relazione in termini differenziali e cio . La quantit , che la quantit elementare di calore scambiata sulla superficie impermeabile del condotto, pu essere espressa in termini della componente normale a detta superficie del flusso di calore: . Infatti se costante lungo la periferia della sezione del condotto, per un tratto elementare di condotto di lunghezza dx si ha la relazione , che sostituita nella formula precedente e ricordando la definizione sia del diametro idraulico () che di (), d luogo allequazione differenziale di conservazione dellenergia per moti anergodici, unidimensionali e stazionari:

Condizioni di ristagno di un fluidoLa condizione di ristagno (detta anche condizione totale) di una particella di fluido in moto definita come la condizione TERMODINAMICA che la particella raggiungerebbe qualora venisse rallentata fino a velocit nulla con una trasformazione adiabatica, anergodica e isoentropica (omoenergetica e isoentropica). La condizione di ristagno non quindi associata n alla condizione di moto quasi unidimensionale, n a quella di moto quasi stazionario. Le condizioni di ristagno non rappresentano condizioni che debbono essere necessariamente presenti nel campo di moto oggetto di studio. Ad ogni stato termofluidodinamico del fluido associato uno stato di ristagno. Ovviamente non vero il contrario. Lo stato di ristagno di un sistema semplice uno stato termodinamico caratterizzato da due parametri termodinamici indipendenti tra loro (manca il cinetico). Lo stato termofluidodinamico, invece, caratterizzato da tre parametri (due termodinamici pi uno cinetico).Dalla definizione di condizione di ristagno, applicando lequazione di conservazione dellenergia e trascurando i termini gravitazionali e considerando il moto omoenergetico:

, per un fluido avente velocit V e livello entalpico h, quando si rallenta il fluido sino a velocit nulla si raggiunge l'entalpia totale, o di ristagno: (1)La quantit h chiamata entalpia specifica sensibile, o statica. La quantit H chiamata entalpia specifica totale, o di ristagno. Si possono definire, in generale, condizioni statiche di una corrente quelle misurate con uno strumento che si muove alla velocit del fluido, cio con uno strumento rispetto al quale il fluido fermo. In particolare la (1) esprime il seguente concetto: Se una corrente avente un'entalpia specifica he una velocit V (punto A) viene rallentata finoa velocit nulla mediante una trasformazioneadiabatica e anergodica (punto o), la suaentalpia specifica aumenta della sua energia cinetica specifica (per unit di massa) V2/2. Occorre notare che, nel rallentamento del fluido, la trasformazione espressa da potrebbe non essere necessariamente isoentropica, cos come imposto dalla definizion di condizione di ristagno, potendo lentropia in questo caso solo aumentare per produzione. Non pu diminuire perch la trasformazione adiabatica. La sola condizione necessaria alla quindi lomoenergeticit della trasformazione. La condizione di isoentropicit , peraltro, necessaria per poter determinare tutti gli altri parametri termodinamici di ristagno. Per gas pi che perfetto vale, e , per cui si ha:

Inoltre, poich per un gas pi che perfetto il quadrato della velocit del suono laplaciana dato da:

Ricordando la definizione del numero di mach (laplaciano), si ottiene:

Espressione che d lentalpia totale in funzione di quella statica e del numero di Mach per gas pi che perfetto.Questa relazione mostra che l'importanza relativa del termine cinetico rispetto a quello relativo all'entalpia sensibile, misurata dal quadrato del numero diMach.In una corrente a basso numero di Mach (M 45.58 (limite per ). L'onda d'urto allora si stacca dal punto angoloso e si sposta a monte di quest'ultimo (onda d'urto staccata).Poich nel caso di flusso su parete, su questa (o sul piano di mezzeria del diedro nel caso del diedro) la corrente non deve essere deviata, e poich le uniche onde che non deviano la corrente sono quelle normali o quelle di Mach, l'onda d'urto sulla parete (o sul piano di mezzeria del diedro) deve essere necessariamente normale alla direzione della corrente:

L'onda d'urto, che sulla parete, o sul piano di mezzeria, normale alla corrente e presenta alti valori di nelle sue vicinanze, rende il moto subsonico permettendo, perci, al flusso di deviare di un angolo maggiore di . Man mano che ci si allontana dalla parete (o dal piano di mezzeria) l'onda d'urto diventa progressivamente meno verticale ( diminuisce), e quindi meno forte, ed il numero di Mach, a valle di essa, tende ad aumentare sino a poter diventare supersonico.Le linee tratteggiate rappresentano le linee soniche (sulle quali M = 1).

Va poi fatto osservare che un corpo definito tozzo (non affilato), in una corrente supersonica, anche nel caso in cui l'angolo di inclinazione delle sue pareti a valle del bordo di attacco risulti minore dellangolo di deviazione massimo, comporter senz'altro la presenza di un'onda d'urto staccata dal corpo in quanto l'angolo di deviazione sull'asse risulta maggiore di . In ogni caso, se un corpo in regime supersonico deve avere un basso coefficiente di resistenza, preferibile che il suo bordo di attacco sia quanto pi possibile affilato in modo da non generare elevate deviazioni della corrente che lo investe e alte compressioni della stessa in una estesa zona frontale del corpo.Tale il caso del bordo di attacco di profili alari degli aerei supersonici.

Si deve infine porre in evidenza che, nel caso di un diedro con angolo di semiapertura posto ad un angolo di attacco rispetto alla direzione della corrente supersonica, se i due angoli di deviazione della corrente (rispettivamente per la zona superiore e per la zona inferiore) sono entrambi inferiori a , le due soluzioni per i campi di moto superiore ed inferiore sono indipendenti una dall'altra, cio, a differenza di quanto accade in moto subsonico, i due moti non si influenzano. Nel caso in cui, invece, la deviazione fosse pi elevata (ad es. se per risultasse maggiore dell'angolo ), l'onda d'urto si staccherebbe dal diedro ed il campo di moto inferiore influenzerebbe il superiore e viceversa.

La relazione di Prandtl e la polare durtoDalla relazione ricavata in precedenza:

Tenendo conto del fatto che , si ottiene: E ricordando che si ha:

Tenendo presente che la quantt in parentesi pari ad e della:

Si ha infine la relazione di Prandtl per unonda durto obliqua:(1)Questa relazione, per Vt = 0, coincide con quella gi trovata per londa durto normale. Nella figura accanto sono state indicate le due velocit a monte ed a valle dell'onda d'urto obliqua e le loro componenti normali e tangenziale. Infatti, per la V2 sono state indicate le due componenti u, in direzione della V1, e v normale ad essa.Il piano (u-v) si chiama piano odografo.

Con riferimento alla figura si ottiene che:

E sostituendo nella relazione di Prandtl (1)

Ed effettuando le sostituzioni cos come poste in evidenza si ottiene il risultato:

Che risolto secondo conduce a:

Per ogni valore di e di , la precedente espressione rappresenta, sul piano odografo (u-v), il luogo dei punti a valle dell'onda d'urto obliqua. La formula precedente d due valori di , uno positivo laltro negativo, corrispondenti alla deviazione verso lalto o verso il basso. Il luogo di punti, sul piano odografo (u-v), a valle dell'onda d'urto obliqua, chiamato curva strofoide, o polare d'urto. Questo luogo di punti riportato nella a lato.Come gi discusso , per ogni angolo minore di , ci sono due soluzioni per la : la soluzione debole OC che d luogo all'onda inclinata rispetto alla corrente dell'angolo ; la soluzione forte OD che d luogo all'onda inclinata rispetto alla corrente dell'angolo > .

Nel caso in cui = 0, le due soluzioni si riducono: all'onda di Mach OA all'onda d'urto normale OB.Nella figura stata anche indicata l'unica soluzione OE esistente per .Riflessione di onde durto piane (su una superficie o un piano di simmetria)Poich, attraverso l'onda d'urto obliqua, la componente tangenziale della velocit non cambia mentre quella normale diminuisce, la conseguenza macroscopica di tutto ci che il vettore velocit a valle dell'onda devia rispetto alla sua direzione iniziale e, in particolare, tende a ruotare verso l'onda d'urto stessa; la corrente cio tende ad adagiarsi sull'onda. Tutto questo comporta che un'onda d'urto obliqua incidente su una superficie piana (ovvero su un piano di simmetria del campo di moto) deve necessariamente riflettersi.Si consideri ad esempio il caso rappresentato nella figura:

nella quale mostrata l'onda d'urto obliqua i che incide con un angolo sulla superficie piana orizzontale (o, che lo stesso, su un piano di simmetria).Prima dellonda d'urto (reg. 1) la corrente parallela alla superficie. L'onda d'urto obliqua i devia la corrente di un angolo verso la parete. L'entit della deviazione , come gi visto, funzione del Mach a monte e dell'angolo di inclinazione dell'onda, oltre che del valore di . Poich la direzione della corrente nella regione 2 incompatibile con la presenza della parete, a valle dell'onda d'urto incidente i deve necessariamente esistere un evento che raddrizza la corrente (deviandola verso l'alto di un angolo pari a ), riportandola quindi parallela alla parete.Questo evento un'altra onda d'urto obliqua r, che parte dal punto di incidenza dell'onda i sulla parete e che viene detta onda riflessa. Ovviamente sar M1 > M2 > M3 (e anche V1 > V2 > V3 e p3 > p2 > p1).Una riflessione del tipo indicato in figura si chiama riflessione regolare:

opportuno qui osservare che non si tratta di una riflessione speculare in quanto, in generale, , bens dovr essere tale che l'onda riflessa abbia una intensit che consenta alla corrente di raddrizzarsi.I due angoli e sono uguali solo se l'onda d'urto un'onda di Mach. Infatti, quanto prima detto vale anche per un'onda di Mach con la differenza che l'angolo di deviazione infinitesimo e quindi: e . Ovviamente, un'onda di Mach di compressione (deviazione infinitesima verso il basso) si riflette come onda di Mach di compressione (deviazione infinitesima verso l'alto), come in un'onda d'urto obliqua, ma con intensit dell'urto infinitesima. Si pu anticipare che un'onda di Mach di espansione (per la stessa situazione di figura), che ha una prima deviazione infinitesima verso l'alto, si riflette come onda di Mach di espansione, con una deviazione infinitesima verso il basso. In conclusione, le onde di Mach si riflettono sulla superficie piana come onde dello stesso tipo (compressione compressione, espansione espansione).Poich M2 < M1, si pu verificare che, pur essendo M2 > 1 , il da imporre per raddrizzare la corrente risulti maggiore del corrispondente al valore di M2 (si ricordi che una funzione crescente del numero di Mach).Ci pu infatti accadere allaumentare di , il che comporta, a parit di M1, diminuzioni del valore di M2.Allora, non si ha pi la riflessione regolare dell'onda d'urto, ma una riflessione cosiddetta alla Mach (o riflessione a ) rappresentata nella figura a destra. In questo caso, solo la regione 1 caratterizzata da un moto uniforme (velocit indipendente dalla posizione). Nelle regioni 2, 3, e 4, poich la corrente attraversa onde d'urto oblique con inclinazione variabile, il vettore velocit varier da punto a punto. Il nome a deriva dal fatto che le onde durto assumono la forma di una , sia pure, nella fattispecie, rovesciata.

Il campo di moto nelle regioni 2, 3 e 4 risulta rotazionale per la presenza di gradienti di entropia.La linea di slip ha la peculiarit che attraverso di essa il modulo della velocit (tranne la sua direzione che resta la stessa) e le propriet termodinamiche della corrente (tranne la pressione che resta la stessa) presentano bruschi salti. Ci dovuto alla diversa evoluzione fluidodinamica cui sono soggetti i filetti fluidi posti a cavallo della linea di slip. Quest'ultima, che anche linea di corrente, non inizia con tangente parallela alla parete, consentendo cos (attraverso la seconda onda d'urto) una minore deviazione (raddrizzamento) della corrente (verso l'alto) dalla regione 2 alla 3.Si noti, inoltre, che in questo caso la linea di slip non pu essere retta, poich nelle regioni 3 e 4, a causa della variabilit dell'inclinazione dell'urto, esiste un gradiente positivo di pressione, diretto verso la parete, che deve essere bilanciato dalla forza centrifuga.Qualora, per la forte inclinazione dellonda (verso la verticale), a valle dellonda durto, il moto risultasse subsonico (perch ha luogo una soluzione forte), cio, M2< 1, ovvio che non pu avere luogo alcuna riflessione. In tal caso, londa durto dovr, ancora una volta, finire sulla parete con una tangente verticale (cio, con unonda durto ivi normale) perch la corrente non pu essere deviata in prossimit della parete stessa.Si ripropongono, quindi, le stesse condizioni della corrente supersonica che deve essere deviata con un angolo superiore allangolo di deviazione massimo consentito dal suo numero di Mach. Tutte le volte che non possibile una riflessione regolare dellonda, essa dovr, necessariamente essere normale alla parete.

Oltre al caso gi menzionato di onda durto normale ( = 90) per il quale londa durto non si riflette, esiste solo un altro caso, molto particolare e del tutto teorico, nel quale un'onda d'urto obliqua che incide su di una parete non si riflette ed quello rappresentato nella figura che segue. In questa circostanza la parete a valle del punto di incidenza dell'onda forma, con la parete a monte, un angolo esattamente uguale all'angolo di deviazione della corrente provocata dall'onda d'urto.

Si osserva che, angoli della parete minori di danno luogo ad unonda riflessa (sia pure pi debole che nel caso di parete piana), sino, eventualmente, allonda normale, qualora la deviazione sia superiore al necessario dopo londa. Si vedr, che angoli maggiori di debbono generare un ventaglio di espansione alla Prandtl e Meyer.Un altro caso interessante di riflessione di onde d'urto oblique (deboli) quello rappresentato in figura:

per il quale una corrente a M1 > 1 fluisce in un canale in cui, ad un certo punto, una delle pareti forma una concavit caratterizzata da un angolo . Al fine di avere una corrente che si mantenga a lungo supersonica, si supponga che langolo sia di valore relativamente piccolo e che, viceversa, M1 sia sufficientemente alto.La prima onda d'urto (tra le regioni 1 e 2) parte dallo spigolo A, devia la corrente di , rendendola parallela alla parete inferiore. Questonda va a impingere nel punto B (parete superiore) ove si riflette in un'altra onda che devia la corrente di , riportandola orizzontale. L'onda riflessa che parte da B, si riflette a sua volta nel punto C della parete inferiore) con un'onda (la CD) che devia ancora la corrente di un angolo . . E chiaro che questo comportamento continua fino a che il numero di Mach (che per i successiviurti, sia pure obliqui, va progressivamente diminuendo) tale che il relativo valore di risulta maggiore, o uguale, di .Occorre anche osservare che, per la stessa continua diminuzione del numero di Mach, l'onda CD (rispettivamente l'onda DE) risulter pi inclinata verso lalto (cio pi verticale) dell'onda AB (rispettivamente dell'onda BC). Va rilevato che, per piccoli angoli , si ha e quindi la compressione dovuta a ciascuna onda d'urto pu considerarsi praticamente isoentropica. Si ritrova pertanto, nel caso bidimensionale, quanto gi anticipato nel caso unidimensionale e cio che, in una corrente supersonica che fluisce isoentropicamente ed omoenergeticamente in un condotto convergente, il numero di Mach diminuisce.Intersezione di onde durto obliqueDue onde d'urto oblique deboli, aventi in generale una diversa inclinazione rispetto alla corrente a monte, si possono intersecare in un punto O, come visto nello schlieren precedente e illustrato in figura. In questo caso, la corrente, che fluisce in un condotto con M1 > 1, subisce due deviazioni (in generale, diverse tra loro) a causa di due onde d'urto oblique, a loro volta inclinate degli angoli rispetto alla corrente stessa. Come visto, le deviazioni possono non dipendere da presenza di pareti.

Le due correnti supersoniche, che si generano in seguito agli urti, nelle due regioni 2 e 3 avranno in generale propriet diverse ma, soprattutto saranno caratterizzate da due direzioni diverse. Risulta pertanto necessario che queste due nuove correnti siano a loro volta deviate in modo che alla fine esse abbiano la stessa direzione.Nelle correnti supersoniche, queste ulteriori deviazioni sono possibili solo mediante riflessione con altre due onde d'urto oblique, come indicato in figura. Una intersezione del tipo rappresentato in figura si dice intersezione regolare.Le uniche due condizioni che le correnti nelle regioni 4 e 5 devono rispettare sono che esse abbiano la stessa direzione e la stessa pressione statica. Per la risoluzione del problema occorre procedere per tentativi.Si pu assumere una direzione comune di tentativo delle due correnti nelle due regioni 4 e 5 (cio, stabilire i valori di e , ovviamente non indipendenti tra loro perch deve essere: ) e controllare se le due pressioni risultano uguali tra di loro. Variando detta direzione, e cio le due deviazioni e , la soluzione cercata si ottiene quando si verifica p4 p5.La linea che separa le regioni 4 e 5 , ovviamente, una linea di slip in quanto, attraverso essa, sono in generale discontinui sia il modulo del vettore velocit, che la temperatura e la densit (cio, con valori diversi per le due correnti).Per avere una intersezione regolare, necessario innanzitutto che le due onde intersecantisi siano di tipo debole (per avere numero di Mach a valle di esse supersonico) e, inoltre, che i numeri di Mach a valle siano tali da consentire poi una deflessione del vettore velocit pari a e , (cio, questi ultimi devono essere non superiori ai relativi angoli di deviazione massima).Qualora quest'ultima condizione non si verificasse, si avr una intersezione alla Mach, o a doppio cos come mostrato nello schlieren a destra.

Lintersezione alla Mach, praticamente, altro non che una doppia riflessione a con la presenza di due linee (superfici) di slip. L'onda d'urto quasi normale che separa le regioni 1 e 6 anche detta onda d'urto di Mach e, nel caso di moto assialsimmetrico, disco di Mach.

Quanto discusso in questo contesto torna particolarmente utile anche nel caso in cui due correnti supersoniche, aventi inizialmente due direzioni diverse, si trovino a confluire. Tale , ad esempio, la situazione sul bordo di uscita di un profilo alare supersonico rappresentata in figura. Anche in questo caso, per trovare la direzione comune delle due correnti nelle regioni 4 e 5 (e cio le due inclinazioni delle onde d'urto e ), occorre procedere per tentativi tenendo presente che dovr essere .

Attenzione: Come si vedr in seguito, in dipendenza dei valori dei parametri termofluidodinamici delle due correnti che lambiscono il diedro e dell'angolo , una delle due onde d'urto oblique potrebbe anche essere sostituita da un ventaglio di espansione che verr sviluppato nella trattazione successiva.Onde durto coniche

In precedenza sono state analizzate in dettaglio le onde durto oblique ed stato supposto che la fenomenologia fisica fosse bidimensionale piana. Spesso, questa ipotesi non applicabile. Infatti, in molte applicazioni pratiche, esiste, ad es., simmetria assiale, come nella parte prodiera di un aereo, o di un missile, supersonici, o nelle prese daria supersoniche con spina conica.Conviene, pertanto, studiare, sia pure dal solo punto di vista dei risultati, il moto stazionario di una corrente supersonica che investe un cono ad angolo dattacco nullo. Questultima ipotesi, peraltro restrittiva, necessaria poich la presenza di un angolo dincidenza non nullo provoca la perdita della simmetria assiale, cio della bidimensionalit assialsimmetrica, comportando una notevole complicazione della trattazione.Per studiare il campo di moto generato da una corrente supersonica che investe un cono indefinito ad angolo dattacco nullo, si devono risolvere le equazioni del bilancio locali sfruttando le semplificazioni che derivano dallipotesi di assialsimmetria. In questa trattazione, si ignoreranno le sottigliezze analitiche discutendo in dettaglio solo le ipotesi ed i risultati dellanalisi.

Le ipotesi che sifanno per le onde coniche semplici sono queste: Il campo di moto simmetrico rispetto allasse del cono. Questipotesi comporta due risultati fondamentali: il primo che la proiezione del campo di moto su un piano che comprende lasse del cono non influenzata dalla scelta del piano stesso e cio, in un sistema di riferimento di tipo cilindrico, indipendente dalla coordinata azimutale; il secondo che, se si applicasse il bilancio del momento della quantit di moto prima e dopo l'onda d'urto, la componente normale a questo piano del vettore velocit risulterebbe identicamente nulla. Oltre ad essere omoenergetico, il moto omoentropico (ad entropia costante) sia prima che dopo londa durto pur essendo diversa l'entropia prima e dopo l'urto. Ovviamente, affinch sia verificata questipotesi, necessario che londa durto sia conica e attaccata al vertice del cono, altrimenti langolo varia. Essendo stato supposto il cono indefinito, poich non esiste alcuna lunghezza caratteristica rispetto alla quale adimensionalizzare, le restanti due variabili spaziali delle coordinate cilindriche (si veda la prima ipotesi) possono comparire solo come rapporto fra le stesse. Questipotesi equivalente a dire che, se si considera un sistema di riferimento di tipo sferico, come quello mostrato in figura, tutte le grandezze termofluidodinamiche devono essere funzione della sola variabile . Ci rinforza lipotesi che, nel caso che si sta analizzando, londa durto debba essere conica e attaccata al vertice del cono.

In effetti, per onde d'urto attaccate al vertice di un cono a angolo dattacco nullo e alti numeri di Reynolds locali, queste tre ipotesi sono abbastanza verificate sperimentalmente (si ricordi londa durto sulla presa daria).In definitiva, le tre ipotesi formulate consentono di studiare il fenomeno ritenendo che le variabili termofluidodinamiche siano funzione solo della coordinata angolare e, quindi, possibile studiare il campo di moto su un qualunque piano che comprenda lasse del cono. Ci mostrato nella figura seguente:

in cui anche tracciato il reale andamento delle linee di corrente nel caso particolare di =1.4, per M1=1.3 e per semiangolo del cono = 20.6. L'angolo d'urto nella fattispecie, risulta pari a 60.Nel caso di un diedro, dopo londa durto, le linee di corrente sono dritte e parallele alla superficie del diedro. Invece, come mostrato dalla figura:

dopo londa durto, per il cono le linee di corrente sono curve e convergenti tra loro. Il fatto che le linee di corrente convergano, e che di conseguenza la deviazione a valle dell'onda d'urto debba essere minore di , pu essere spiegato dimostrando che esse non possono n essere parallele tra loro, n divergere.Per dimostrare che le linee di corrente non possono essere parallele tra loro, si consideri il volume di controllo rappresentato nella figura:nel quale il fluido entri dalla sezione di area dA1 e ne esca da quella di area dA2 (avente la stessa altezza). Si supponga poi, per assurdo, che il fluido stesso si muova parallelamente alla generatrice del cono.

Come si vede chiaramente nella vista laterale, l'area dA2 maggiore della dA1. Se ora si fa riferimento a questo tubo di flusso elementare facile convincersi che M crescerebbe allaumentare dello spazio percorso a partire dallonda il che risulterebbe in contrasto con la terza ipotesi, perch comporterebbe, un continuo aumento del numero di Mach sulla superficie del cono. A maggior ragione le linee di corrente non possono divergere tra loro, altrimenti anche l'altezza del tubo di flusso aumenterebbe comportando un conseguente maggior aumento di area. Dunque le linee di corrente devono per forza essere convergenti per mantenere sulla superficie del cono le stesse condizioni di pressione e di numero di Mach.Se ora si fa riferimento a questo tubo di flusso elementare facile convincersi che M crescerebbe allaumentare dello spazio percorso a partire dallonda il che risulterebbe in contrasto con la terza ipotesi, perch comporterebbe, un continuo aumento del numero di Mach sulla superficie del cono. A maggior ragione le linee di corrente non possono divergere tra loro, altrimenti anche l'altezza del tubo di flusso aumenterebbe comportando un conseguente maggior aumento di area. Dunque le linee di corrente devono per forza essere convergenti per mantenere sulla superficie del cono le stesse condizioni di pressione e di numero di Mach.Il convergere delle linee di corrente a valle dell'onda d'urto provoca una variazione delle variabili termofluidodinamiche che, per le ipotesi fatte, devono seguire una trasformazione isoentropica. In particolare, nellevoluzione che porta il fluido dalle condizioni immediatamente dopo londa durto a quelle sul cono, la pendenza delle linee di corrente cresce (finch queste non diventano, relativamente molto a valle, parallele alla superficie del cono), il numero di Mach diminuisce e la pressione aumenta. Lulteriore deviazione della corrente e la compressione che avvengono nella regione a valle dell'onda fanno s che, a parit di angolo di deviazione e di Mach della corrente a monte, l'onda d'urto sia meno intensa. Ovvero, a parit di angolo durto e numero di Mach M1, langolo finale di deviazione della corrente dell'onda conica risulta maggiore di quello corrispondente alla deviazione dovuta all'onda d'urto piana.Essendo langolo durto costante, per il teorema di Crocco, lipotesi di omoentropicit implica lirrotazionalit del campo di moto a valle dell'onda. Esplicitando questa condizione ed il bilancio di massa locale in coordinate sferiche, si giunge ad unequazione differenziale ordinaria del secondo ordine che prende il nome di equazione di Taylor-Maccoll.I risultati dellintegrazione numerica dellequazione di Taylor-Maccoll sono presentati di seguito sotto forma di diagrammi, per il caso particolare di = 1.4. In queste figure stato diagrammato il semiangolo del cono (angolo di deviazione finale della corrente) in funzione dellangolo d'inclinazione dellonda durto per diversi valori del numero di Mach a monte dellonda M1. Questi diagrammi sono equivalenti a quelli per le onde durto oblique piane e tutti i commenti gi fatti per le onde bidimensionali piane valgono, evidentemente, anche per le onde durto coniche.Langolo rappresenta il semiangolo del cono. Ciascuna curva a tratto intero del diagramma si riferisce ad un ben determinato valore del numero di Mach. Anche in questo caso il valore di pu variare tra langolo di Mach e 90.Per un dato numero di Mach, al crescere del valore di , si hanno tre possibilit:1. due soluzioni con valori distinti dell'angolo di inclinazione dell'onda d'urto ;2. una sola soluzione (all'apice della curva corrispondente al particolare numero di Mach);3. nessuna soluzione.

Si noti che, con leccezione di M2 = 1 (curva tratteggiata a tratto lungo), nella figura precedente non sono state diagrammate le curve a M2 costante (cio il numero di Mach subito a valle dellonda durto), bens quelle a Mc (numero di Mach sulla superficie del cono) costante (curve tratteggiate a tratto breve). Infatti, essendo il moto a valle dellonda durto isoentropico, noto Mc e le condizioni a valle dell'onda d'urto, tramite le tabelle del flusso isoentropico, si possono determinare tutte le grandezze termofluidodinamiche sulla superficie del cono che sono quelle che interessano.

Nella figura a lato, pi dettagliatamente diagrammato Mc in funzione di per diversi valori di M1. Nel diagramma i numeri di Mach a monte dell'onda d'urto sono identificabili con le intercette delle relative curve per =0 e Mc 1. interessante notare che, qualunque sia il numero di Mach M1, esistono sempre coppie di valori , tali che il moto a valle dellonda possa passare da un regime supersonico ad uno subsonico senza ulteriori onde durto. Questo fenomeno accade per tutti i punti appartenenti alla regione delimitata superiormente dalla retta orizzontale di equazione Mc = 1 e inferiormente dalla curva M2 = 1.Nella due figure in basso sono diagrammati rispettivamente ed in funzione di M1 per i due casi donda conica e bidimensionale piana.Come gi detto precedentemente, a causa del convergere delle linee di corrente, la deviazione imposta dallonda conica minore o, in altri termini, essendo londa meno intensa, il disturbo prodotto dal corpo sulla corrente a monte pi piccolo. Ne consegue che langolo di deviazione massimo maggiore nel caso del cono rispetto al caso piano.

Attenzione: Il fatto che per M1 1.2 langolo durto massimo per il cono sia maggiore di quello per il diedro non contraddice quanto gi affermato sulla minore inclinazione dellonda conica rispetto a quella piana, giacch ci valido solo a parit di . Infine occorre qui esplicitamente osservare che, in modo del tutto analogo a quanto accade nel caso di una corrente supersonica che investe un diedro piano, se langolo di semiapertura del cono maggiore di londa durto si stacca dal vertice.

Onde di espansione1. Onde di espansioneSi visto in precedenza che, quando una corrente supersonica che fluisce su una parete devia per la presenza di un angolo concavo della superficie, tale deviazione resa possibile da un'onda d'urto obliqua. Nel seguito si analizzer il comportamento di una corrente supersonica nel caso in cui l'angolo formato dalla parete convesso anzich concavo.

Si supponga, inizialmente, che la parete formi ancora un angolo concavo ma di valore infinitesimo d (angolo di deviazione della corrente). Si ricordi che, per , sono sempre possibili due soluzioni: un'onda d'urto normale () ed un'onda di Mach ).Poich in questa situazione la soluzione pi realistica quella debole, si pu concludere che la deviazione infinitesima prodotta da un'onda di Mach. L'onda di Mach non produce alcuna compressione finita della corrente. Infatti, per , i rapporti caratteristici dellonda durto obliqua diventano:

Si possono per avere variazioni infinitesime. Inoltre, poich essendo:

l'onda di Mach isoentropica e, quindi, reversibile. Dunque, a differenza di unonda durto obliqua, l'onda di Mach, pu produrre al pi variazioni infinitesime dello stato termofluidodinamico del fluido, ma pu essere sia di compressione che di espansione. La deviazione infinitesima pu essere rappresentata come in figura.Una corrente supersonica (avente velocit V, numero di Mach M > 1 e supposta orizzontale) deviata verso l'alto di un angolo , infinitesimo e supposto positivo in quel verso, (concavit) con un'onda di Mach. Londa inclinata dell'angolo , rispetto al vettore velocit V, e lo fa variare della quantit dV. Gli angoli relativi a una convessit (cio nellaltro verso) sono, quindi, considerati negativi.Essendo per definizione dalla figura si ha:

Inoltre, con riferimento alla stessa figura, poich per quanto pi volte detto in precedenza la componente tangenziale delle velocit prima e dopo l'onda deve rimanere la stessa, si ha:

Ricordando che d infinitesimo (quindi sin ) si ha:

per cui, trascurando infinitesimi di ordine superiore, si ricava:

ed infine, tenendo conto della relazione in alto, si ottiene:

La relazione precedente rappresenta l'equazione differenziale che governa il moto cosiddetto alla Prandtl e Meyer. Essa mostra che, per angoli positivi (parete concava del tipo indicato in figura), la corrente subisce una diminuzione (infinitesima) della sua velocit (dV < 0) e quindi del suo numero di Mach. In proposito, si veda la:

Viceversa, per angoli d negativi (parete convessa), la corrente supersonica accelera (dV > 0) e il suo numero di Mach aumenta. Nel primo caso (decelerazione):

la corrente soggetta ad una compressione (infinitesima), mentre nel secondo caso (accelerazione) ad un'espansione.Attraverso unonda di Mach la trasformazione , infatti, reversibile.Invero, ricordando che la trasformazione isoentropica, vale lespressione:

che, differenziata logaritmicamente, d luogo a:

La relazione precedente mostra che i segni di dp e di dM sono tra loro opposti e, avendo dM e dV lo stesso segno, ad una decelerazione corrisponde una compressione e viceversa.Allo stesso risultato si pu giungere pi facilmente mediante la:

nella quale stato trascurato il termine gravitazionale gdz, ovviamente ignorato in questa trattazione.Quanto ricavato valido anche nel caso in cui il modello di gas non sia quello pi che perfetto.Si consideri ora una parete concava con curvatura continua che dia luogo ad una deviazione finita (Fig.A):

La curvatura continua si pu approssimare con un numero n molto grande di piccoli tratti rettilinei, ciascuno inclinato rispetto al precedente di un piccolo angolo , per cui l'effetto sulla corrente quello che, da ciascun punto angoloso, partir un'onda di Mach di compressione, Fig. (b). Ovviamente si ha: . facile convincersi che, in questo caso, le onde di Mach di compressione tendono a coalescere (a unirsi): sia perch la parete ruota verso il fluido, che si deve muovere parallelamente ad essa; sia perch l'angolo che esse formano localmente con la parete stessa tende ad aumentare a causa della progressiva diminuzione del numero di Mach della corrente ( ).Infatti, la compressione fa diminuire il numero di Mach (aumenta e, dopo ogni rotazione, si misura rispetto alla nuova direzione della corrente.

In effetti, per la concavit con curvatura continua (raccordata), ad ogni rotazione infinitesima d della parete corrisponde un'onda di Mach e, poich sono necessarie infinite rotazioni infinitesime per dare luogo ad una deviazione finita , le onde di Mach che si generano sono anch'esse infinite. Ad una certa distanza dalla parete, come rappresentato schematicamente in figura (b), la coalescenza delle onde di Mach d luogo ad un'onda d'urto. Ovviamente nel caso in cui la parete risulti concava per un solo punto angoloso, le onde di Mach non saranno pi presenti e la configurazione sar piuttosto quella gi descritta in precedenza, con la sola onda durto obliqua.E importante notare che il fluido, che attraversa le (infinite) onde di Mach (ciascuna delle quali devia la corrente di un angolo infinitesimo d), soggetto ad una trasformazione isoentropica (perch ciascuna onda di Mach isoentropica). Ci non vero per il fluido che attraversa l'onda d'urto nella quale vi produzione di entropia.La superficie di contatto, curva tratteggiata in figura, indica la superficie di separazione tra questi due flussi, che, ovviamente, avranno diverse caratteristiche tra loro.

Se ora, viceversa, si considera una parete convessa avente una curvatura continua, la rappresentazione approssimata della parete con le onde di Mach che si generano, cos come fatto in precedenza, si modifica in quella rappresentata in figura n.Le onde di Mach sono ora onde di espansione poich i piccoli angoli di deviazione sono negativi (la corrente si allontana dallonda).Quindi, in base alla relazione di Prandtl e Meyer ed allequazione del bilancio della quantit di moto:

la corrente, oltre a diminuire la sua pressione, tende ad accelerare.E facile convincersi che, in questo caso, le onde di Mach di espansione sono divergenti tra loro: sia perch la parete ruota allontanandosi dal fluido, sia perch l'angolo che esse formano localmente con la parete stessa tende a diminuire a causa del progressivo aumento del numero di Mach conseguente all'espansione.L'insieme delle onde di espansione, che per una deviazione finita sono ovviamente infinite (in quanto ogni onda di Mach d luogo ad una deviazione infinitesima d) si chiama ventaglio di espansione. La relativa trasformazione del fluido, isoentropica perch ciascuna onda di Mach isoentropica, viene denominata espansione alla Prandtl e Meyer.Nel caso rappresentato in figura in cui la parete convessa per la presenza di un solo punto angoloso, le infinite onde di espansione hanno tutte origine in detto punto angoloso. Inoltre, nel caso in cui sia M1 = 1, la prima onda di Mach che incontra la corrente deve necessariamente essere ortogonale alla corrente stessa, ci perch il numero di Mach normale a questa prima onda deve essere unitario.Infine, occorre osservare che dalla:

si visto che un'onda di Mach di espansione (dV > 0) d luogo ad un dnegativo per cui la corrente tende (sia pure con una rotazione infinitesima) ad allontanarsi dall'onda. Viceversa, per un'onda di Mach di compressione (dV < 0), il d positivo e la corrente tende ad adagiarsi sull'onda cos come avviene nel caso pi generale di un'onda d'urto obliqua. immediato verificare praticamente che l'allontanamento della corrente a valle di un'onda di Mach di espansione giustifica l'asserzione gi fatta in precedenza, cio che le onde di Mach di espansione si riflettono su una superficie piana come tali. La corrente, che si allontana dalla parete in seguito alla prima onda, deve allontanarsi dalla seconda onda per ritornare parallela alla parete e, quindi, anche la seconda onda deve essere di espansione.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas piu che perfettoPer un gas pi che perfetto si pu scrivere la relazione:

che differenziata logaritmicamente d luogo a:

Differenziando logaritmicamente la:(1)anche essa valida per una trasformazione omoenergetica di un gas pi che perfetto, si ottiene:

per cui sostituendo si ha, infine, per un moto omoenergetico:

relazione pi volte anticipata in precedenza. La formula (1) precedente rappresenta (per un moto ad H = cost) il legame tra il dM ed il dV nel caso di un gas pi che perfetto. Si noti che dM e dV hanno lo stesso segno per cui ad un aumento del numero di Mach corrisponde un aumento della velocit e viceversa. Questo stato gi visto anche con riferimento alle onde durto, quando sono stati rappresentati i punti a monte ed a valle di un'onda d'urto sul piano h-s (o, T-s).Dalla relazione in alto si rileva anche che, per M 0, la quantit dM/M sempre maggiore di dV/V.La relazione precedente (1) sostituita nella:

conduce allequazione differenziale del moto alla Prandtl e Meyer per un gas pi che perfetto nelle due sole variabili e M (sparisce la V ):(2)Posto:

(perch per la stabilit termodinamica ), lintegrale indefinito della (2) il seguente:

il seguente: (3)in cui la costante di integrazione pu essere ricavata assegnando un valore di per un ben determinato valore di M. Occorre ora osservare che, in una corrente, le onde di Mach sono presenti solo in condizioni non subsoniche e cio per M 1. Infatti, solo in tal caso, pu accadere che la componente del numero di Mach, normale all'onda, sia pari ad 1. Oltretutto, la precedente relazione, per valori di M < 1, non d luogo a soluzioni nel campo dei numeri reali cosicch essa valida solo per M 1. Risulta allora conveniente porre = 0 per M = 1 da cui si ottiene che la cost = 0.Con tale posizione, l'espansione in serie arrestata al II termine della (3) per conduce a:

E cio a valori negativi di (in qianto k maggiore dellunit). Inoltre per si ottiene:

Anchesso valore negativo (per si ha ). In effetti, con la posizione cost = 0, si hanno valori di sempre negativi. Poich, in questo contesto, le situazioni di interesse sono quelle con valori negativi di (parete convessa e non concava), conveniente porre trattando, quindi, solo valori positivi di :

L'angolo chiamato angolo di Prandtl e Meyer ed diagrammato nella figura che segue per tre diversi valori di e quindi di k.Come gi detto per valori di , il valore di raggiunge il valore asintotico :

Per come stato ricavato (= 0 per M = 1), l'angolo di Prandtl e Meyer ha il seguente significato fisico, che anche rappresentato di seguito. Si supponga di avere una corrente sonica che fluisca parallelamente ad una parete AB.

L'angolo quello di cui bisogna ruotare la parete (formando una convessit) perch la corrente passi dal numero di Mach sonico (M = 1), che ha sulla parete AB, al numero di Mach supersonico (M > 1) sulla parete BC.Alternativamente, se una corrente sonica fluisce su una parete e questa parete ruota (formando una convessit) di un angolo , la corrente raggiunger un numero di Mach M ricavabile dalla:

Logicamente tutto ci accade se nella zona a valle del ventaglio di espansione esistono le condizioni adatte di pressione date dalla:

dettate dal fatto che la trasformazione adiabatica isoentropica. Nella figura, la prima onda di Mach BD del ventaglio di espansione ortogonale alla corrente (sonica); l'ultima onda di Mach BE inclinata, rispetto alla direzione locale della corrente, dell'angolo = arcsin (1/M).La condizione innanzi posta () deriva dal fatto che per si ha M e di conseguenza p 0. La corrente non pu, quindi, espandere ulteriormente al di l di (per = 1.4 si ha = 130.45). Se la geometria della discontinuit tale che, come rappresentato in figura, l'angolo di convessit della parete maggiore di la corrente si separa dalla parete a valle dello spigolo e l'ultima onda di Mach ha la stessa direzione della corrente. Infatti, per M , si ha:

La figura solo indicativa poich il rapporto tra l'area di passaggio del flusso a M e quella a M 1, in base alla:

risulterebbe pari ad infinito. Si consideri ora una corrente supersonica, avente M1 > 1, noto, soggetta a una deviazione pari a (di convessit) che la porta a M2, da determinare:

A partire da M = 1, per arrivare a M1 con una deviazione, necessario deviare la corrente di un angolo pari a , con un primo ventaglio di espansione.

Per poi arrivare a M2, necessario un secondo ventaglio di espansione che porta la corrente a M2, cui corrisponde un angolo di Prandtl e Meyer pari a .

E chiaro che a M2 si pu arrivare anche con ununica deviazione pari a :

Allora, partendo da M = 1, si pu arrivare a M2 sia con l'unica espansione per una rotazione della parete pari a , sia con una prima espansione per una rotazione pari a (che porta la corrente a M1), seguita da unaltra espansione con una rotazione pari a (che porta la corrente a M2).

Allora per trovare il numero di Mach M2 di una corrente supersonica (M1 > 1) soggetta a una deviazione (di convessit) si procede in questo modo: chiaro che ci possibile poich, essendo l'espansione di Prandtl e Meyer caratterizzata da una trasformazione isoentropica, si pu applicare alle diverse espansioni il principio di sovrapposizione degli effetti.

In base a quanto gi esposto, occorre precisare meglio quanto detto sui campi di moto derivanti dalle geometrie delle diverse figure viste in precedenza.

Essendo le rotazioni finite e non infinitesime, le onde di compressione della precedente Fig. (a) sono in effetti onde d'urto oblique quasi-isoentropiche molto deboli (perch i sono piccoli). Invece, le onde di espansione della precedente Fig. (b) sono di fatto tanti piccoli ventagli di espansione, comunque ciascuno costituito da una infinit di onde di Mach.E importante notare che il fluido, che attraversa le (infinite) onde di Mach (ciascuna delle quali devia la corrente di un angolo infinitesimo ), soggetto ad una trasformazione isoentropica (perch ciascuna onda di Mach isoentropica).Ci non vero per il fluido che attraversa l'onda d'urto nella quale vi produzione di entropia. La superficie di contatto, curva tratteggiata in figura, indica la superficie di separazione tra questi due flussi, che, ovviamente, avranno diverse caratteristiche tra loro (ad es. diverso modulo delle velocit), ma la stessa pressione e la stessa direzione della velocit.

Inoltre, con riferimento al campo di moto in prossimit della parete di Fig. a lato precedente, si nota che il fluido attraversa solo le onde di Mach. Esso si pu ancora calcolare con la relazione di Prandtl e Meyer, sottraendo al valore di corrispondente al numero di Mach a monte della prima onda, i valori delle rotazioni (di concavit) della parete fino a sottrarre tutto .

Infine deve essere rimarcato che le situazioni del tipo prima viste, e cio corrente a valle del ventaglio di espansione parallela alla parete, sono possibili solo se ivi esistono le condizioni di pressione p dettate dalla:

Se ci non fosse vero, e cio la pressione fosse maggiore di quella da calcolo, l'espansione si arresterebbe a detto valore di pressione e la corrente di conseguenza si separerebbe dalla parete. Chi comanda sempre la pressione a valle e ci sar esplicitamente esaminato nel caso di efflusso da un ugello nel prossimo capitolo.Riflessione di onde su superfici libere

Nel seguito si intender per superficie libera, quella superficie che separa due correnti aventi velocit diverse. Una superficie di questo tipo necessariamente vorticosa. Anche qu si trascureranno gli effetti viscosi. Per semplicit si supporr che una delle due correnti sia supersonica e che l'altra sia subsonica (o al limite a velocit nulla). Come rappresentato in figura, si consideri la regione 1 costituita da una corrente supersonica, separata dalla regione 4 (nella quale M4 < 1) dalla superficie libera indicata con la linea tratteggiata.Si supponga ora che nella regione 1 esista un'onda d'urto obliqua, del tipo rappresentato in figura, che dia luogo ad una deviazione della corrente nella regione 2 ed un numero di Mach M2 > 1:

Londa durto obliqua dar luogo ad una compressione p2 > p1, ma sulla superficie libera i valori della pressione nelle due regioni ad essa adiacenti devono necessariamente essere uguali tra loro. Ne consegue che dal punto di intersezione tra londa durto e la superficie libera deve formarsi un ventaglio di espansione che riporti la pressione al valore p1= p3= p4. Questo ventaglio di espansione ovviamente dar luogo ad una ulteriore deviazione della corrente nello stesso verso della deviazione .Nel caso in cui l'onda che separa le regioni 1 e 2 non sia un'onda d'urto ma un'onda di Mach di compressione (onda d'urto isoentropica), chiaro che essa si riflette come una sola onda di Mach di espansione. Nel caso precedente invece l'onda d'urto si rifletteva come una infinit di onde di Mach di espansione cio come un ventaglio di espansione. In questo caso, le due deviazioni e sono ovviamente infinitesime anche se nello stesso verso, come rappresentato in figura.Qualora, invece, l'onda incidente sulla superficie libera un'onda di Mach di espansione, essa si riflette come un'onda di Mach di compressione cos come rappresentato nella figura:

Anche in questo caso le due deviazioni e sono infinitesime, ma entrambe nel verso opposto a quello dei due casi precedenti. Cio, le onde di Mach si riflettono su una superficie libera come onde di tipo opposto ().Il metodo Urto-EspansioneUna interessante applicazione delle teorie dell'onda d'urto obliqua e dell'espansione alla Prandtl e Meyer quella relativa alla determinazione della portanza e della resistenza di profili alari bidimensionali supersonici con il cosiddetto metodo urto-espansione. Questo metodo consente di calcolare queste due quantit ma non permette di valutare la resistenza viscosa del profilo che non qui considerata. Va comunque osservato che conoscere la distribuzione di pressione sul profilo, cui il metodo conduce, il primo passo per la determinazione della resistenza viscosa.Si consideri il profilo alare bidimensionale rappresentato in figura:

Il punto A del profilo chiamato bordo d'attacco, mentre il punto B bordo di uscita.Il segmento AB rappresenta la corda c del profilo e l'angolo che esso forma con la corrente indisturbata avente velocit V, si chiama angolo di attacco del profilo rispetto alla corrente, che, nel caso mostrato in figura, risulta per convenzione positivo (bordo dattacco pi alto di quello di uscita). La superficie superiore del profilo da A a B si chiama dorso, mentre quella inferiore ventre del profilo. anche convenzione scomporre la forza F che la corrente esercita sul profilo nelle sue due componenti R, la resistenza nella direzione di V, e P, la portanza in direzione normale a V. Portanza e resistenza sono considerate positive quando hanno il verso indicato nella figura. La resistenza di per s sempre positiva, mentre la portanza pu risultare anche negativa, cio diretta verso il basso (profilo deportante). poi convenzione porre portanza e resistenza nella forma:

in cui l'area in pianta dell'ala rappresentata dal prodotto c x 1 (cio essa riferita all'unit di apertura alare del profilo, nella direzione normale allo schermo). Le quantit Cp e Cr sono rispettivamente dette coefficiente di portanza e coefficiente di resistenza del profilo. Si ricordi quindi che, ovviamente sia la portanza P che la resistenza R, sono riferite all'unit di apertura alare.Poich nel caso di gas pi che perfetto possibile scrivere:

le definizioni dei coefficienti di portanza e di resistenza risultano essere rispettivamente:

Il motivo per cui si introducono i coefficienti di portanza e di resistenza risiede fondamentalmente nella necessit di poter confrontare le prestazioni di profili alari aventi dimensioni e quota di volo (pressione ambiente) diverse tra loro.Infatti, trascurando gli effetti viscosi, profili aventi dimensioni diverse, geometrie simili, uguale angolo di attacco e che volano allo stesso numero di Mach hanno gli stessi Cp e Cr, ma diversa portanza e resistenza. Cp e Cr, difatti, non dipendono dalla corda n tanto meno dalla quota di volo, ma solo dallangolo di incidenza e dai numeri di Mach e Reynolds.Si consideri come profilo alare una lastra piana, di spessore infinitamente sottile, posta ad un angolo di attacco positivo rispetto ad una corrente supersonica avente numero di Mach pari a M:

Si supponga inoltre che sia minore del corrispondente a M e si trascurino gli effetti viscosi. Poich sul bordo di attacco A del profilo la corrente supersonica trova una convessit nella parte superiore ed una concavit in quella inferiore, chiaro che dal bordo d'attacco partiranno una espansione di Prandtl e Meyer verso l'alto ed un'onda d'urto obliqua debole verso il basso. Il risultato di tutto ci sar una diminuzione della pressione sul dorso del profilo (regione 2) ed un aumento della stessa sul ventre (regione 3); quindi il profilo avr una portanza positiva, oltre che una resistenza anch'essa ovviamente positiva.Le due correnti supersoniche nelle regioni 2 e 3 hanno, pertanto, la stessa direzione ma due diverse pressioni (p3>p2). E quindi necessario che dal bordo di uscita B del profilo partano un'onda d'urto verso l'alto (che faccia aumentare la pressione) ed un ventaglio di espansione verso il basso (che la faccia diminuire), si che le due correnti che lasciano il profilo, anche se con velocit tra loro diverse in modulo ma uguali in direzione, possano raggiungere la stessa pressione (p4 = p5). Anche in questo caso esister una linea di slip e per risolvere completamente il problema (determinazione dell'inclinazione dell'onda d'urto obliqua tra le regioni 2 e 4, dell'ampiezza del ventaglio di espansione tra le regioni 3 e 5 e quindi dell'inclinazione della linea di slip) si deve procedere per tentativi.Al fine, per, di determinare la portanza e la resistenza sul profilo, detta risoluzione non necessaria perch influenza solo ed unicamente gli stati termofluidodinamici nelle regioni 4 e 5 poste a valle del profilo stesso e non la distribuzione di pressione sul profilo.

Nel caso semplice di lastra piana, la portanza e la resistenza per unit di apertura alare sono date da:

in cui le quantit () e () rappresentano le due proiezioni della superficie alare in direzione normale alla portanza e normale alla resistenza, rispettivamente. Sostituendo queste due quantit nelle equazioni:

Si ottengono i coefficienti di portanza e resistenza del profilo:

Che si annullano entrambi per poich in questo caso . In generale, i due rapporti di pressione e dipendono solo da e oltre che da . Invece, come gi detto in precedenza, e come si pu notare dalle due relazioni che li esprimono, risulta che Cp e Cr risultano indipendenti dalla corda c e dalla pressione ambiente p.Di seguito si considera il caso di un profilo alare a sezione quadrilatera posto ad un determinato angolo di attacco in una corrente supersonica (caratterizzata da e ) e con :

Gli angoli sono considerati positivi nei versi mostrati in figura. L'onda d'urto in alto a sinistra e quella in basso a destra potrebbero essere, in alcuni casi, sostituite da un ventaglio di espansione (caso della lastra piana).Il teorema dei seni, applicato ai due triangoli in cui possibile scomporre il quadrilatero diviso dalla corda, conduce a:

La configurazione fluidodinamica per quella rappresentata in figura. Le due onde d'urto oblique che partono dal bordo di attacco A del profilo sono dovute alla deviazione della corrente verso l'alto della quantit ed a quella verso il basso di (). I due ventagli di espansione che partono dai punti C e D sono dovuti alle due convessit ivi presenti. Le due onde d'urto che partono dal bordo di uscita B derivano da una situazione analoga a quanto visto nelle onde durto oblique e londa in basso pu essere sostituita da un ventaglio di espansione come nella lastra piana. La portanza e la resistenza della sola superficie 1 sono date da:

E analogamente per le atre superfici:

Sostituendo le relazioni precedenti nelle:

E tenendo conto delle espressioni di ,e , si ottiene:

Ovviamente, nel caso in cui langolo di attacco del profilo sia , l'onda d'urto obliqua che parte dal bordo di attacco A del profilo verso l'alto deve essere sostituita da un ventaglio di espansione. Infatti, la concavit, che la corrente ivi incontra per , viene rimpiazzata da una convessit come nel caso gi visto della lastra piana. Come gi detto, ci vale anche per l'onda d'urto obliqua che parte dal bordo di attacco B verso il basso, nel modo gi visto per la lastra piana.

Ugelli1 IntroduzioneSi intende per ugello un condotto ad area variabile, non molto lungo rispetto al suo diametro medio, convergente e/o divergente, avente una generica distribuzione dell'area della sua sezione del tipo diagrammato in figura:

Ciascun tratto di questo condotto nel quale la pressione diminuisce (la velocit aumenta) chiamato effusore; viceversa, il tratto in cui la pressione aumenta (la velocit diminuisce) viene detto diffusore.Ad esempio, per quanto detto in precedenza, il tratto convergente di un ugello si comporter come effusore, se attraversato da un flusso subsonico, e come diffusore, se attraversato da un flusso supersonico. Il moto del fluido negli ugelli abbastanza ben descritto con le ipotesi di moto quasi-unidimensionale, quasi-stazionario, omoenergetico e isoentropico, purch essi non siano molto lunghi rispetto al loro diametro medio e la variazione di sezione sia abbastanza graduale.Sulla base di queste ipotesi sono quindi valide le equazioni di bilancio:

che, come gi visto, per un gas pi che perfetto conducono alle stesse relazioni relative alle condizioni di ristagno (che, ovviamente, sono costanti):

Sono altres valide tutte le considerazioni derivate sulla scorta di dette ipotesi ed in particolare la formula (anche essa valida per gas pi che perfetto) sul legame tra il rapporto delle aree e il numero di Mach:

Tranne che per M = 1, per ogni A/A*, esistono due valori del numero di Mach, uno in regime subsonico e l'altro in supersonico. Il numero di Mach critico, gi definito dalla:

Rappresenta anche e misura la velocit sempre con la . Quindi, indica landamento della velocit del fluido in funzione del numero di Mach.Il suo valore limite, asintotico :

si ottiene quando la velocit del gas raggiunge la velocit limie Vl e pu essere ricavato facendo tendere M nella:

Per le condizioni critiche (M = 1), si ha:

I valori numerici in parentesi valgono per = 1.4. I rapporti critici sono, infatti, solo funzione di . Chiaramente, per M = 1, si ha:

Si vuole ora ricavare la velocit del fluido in funzione della pressione daesso raggiunta in un determinato punto del condotto. Per un gas pi che perfetto, la si pu scrivere nella forma:

Questa espressione, ricordando che:

E che per una trasformazione isoentropica vale:

Diventa:

Questa relazione, generalmente chiamata formula di de Saint Venant e Wantzel, consente di calcolare la velocit raggiunta da un gas che, a partire dalla pressione di ristagno po , si porta ad una pressione p .La formula di de Saint Venant e Wantzel, per p/po 0, ovviamente conduce alla velocit limite:

Infine, occorre porre qui in evidenza che, nel caso in cui dalla:

Si ricava e , quindi il moto del fluido pu essere considerato incompressibile.

Espandendo in serie () il termine in evidenza e arrestandosi al secondo termine la quantit elevata a potenza allinterno della parentesi quadra della formula:

si ricava la formula della velocit in regime incompressibile:

nella quale la pa (pressione ambiente) ha sostituito la p perch, come si vedr, per lipotesi fatta sempre valida la condizione di Kutta (pressione nella sezione di uscita dellugello eguale alla pressione ambiente).La differenza di pressione tra serbatoio e ambiente pu essere valutata come , dove sono, rispettivamente la densit e il dislivello del liquido manometrico in un manometro differenziale a liquido e g il modulo dellaccelerazione di gravit.Allora, invece di usare la formula di de Saint Venant e Wantzel, risulta molto pi conveniente ricavare la velocit all'uscita di un ugello (anche per motivi di migliore approssimazione numerica) attraverso la formulazione incompressibile del teorema di Bernoulli:uindfiQqqindn sdcsanella quale cui si trascuri il termine gravitazionale e applicata tra il serbatoio e la sezione di uscita dell'ugello (dove p = pa) che conduce alla relazione gi anticipata in precedenza:

In questa relazione la densit , a causa della piccola differenza tra le due pressioni pa e po , pu essere calcolata sia alla pressione di ristagno po, che alla pressione ambiente pa, che, Meglio ancora, si pu calcolare alla pressione media tra le due (po+ pa)/2. Comunque, essa deve essere sempre calcolata alla temperatura di ristagno (nel serbatoio) in quanto la temperatura dell'ambiente in cui scarica l'ugello non influenza in alcun modo la densit stessa.

L'ultimo modo (e cio il calcolo della densit alla pressione media tra quella nel serbatoio e quella ambiente) consente di estendere, con una buona approssimazione (migliore del 3%), la validit della precedente relazione sino a valori di ( po - p) / po 0.5, cio praticamente fino a M 1. In tal caso lequazione precedente diventa:

Va fatto, poi, rilevare che, ponendo pa = p, le precedenti relazioni possono essere applicate ad una qualunque sezione del condotto nella quale la pressione sia pari a p, purch ivi sia valida la condizione M pa/po, la pu resta costantemente uguale al valore p*.

Portata attraverso ugello convergente collegato ad un serbatoioPer poter applicare la: ad un ugello convergente, conviene scegliere per A la sezione di uscita dell'ugello di area Au per cui si ha:

dove la il valore del fattore di efflusso valutato alla pu/po e cio nella Au.Si consideri un ugello convergente collegato ad un serbatoio in cui siano fissate ad esempio le condizioni di ristagno (ao) e che scarichi in un ambiente a pressione pa variabile tra 0 e po. Il diagramma che rappresenta la portata in funzione della pressione ambiente pa del tipo riportato in figura.

Infatti, a partire dal valore pa = pu = po, per cui = 0 e la portata nulla (curva a della Fig.(a) e punto D di Fig.(b)), man mano che la pa diminuisce (curve b, c, d, e ed f di Fig.(a)), poich la pa = pu e po costante, il tratto relativo di curva simile al diagramma di, a destra del massimo.Quando, per, la pu diventa uguale alla pressione critica (punto A di Fig.(b) e (c)), ulteriori diminuzioni della pa non si risentono nella sezione di uscita dell'ugello dove la pressione pu resta comunque bloccata alla pressione p*. Il valore di resta quindi costantemente uguale a . Questo fatto giustifica il tratto orizzontale del diagramma a sinistra del punto A (fino al punto C) nel quale la portata di massa resta costante e giustifica altres il motivo per cui, quando nella sezione di uscita dell'ugello si raggiungono le condizioni critiche (M = 1), l'ugello stesso si dice strozzato. Si ricordi che il diagramma relativo ad assegnati valori di , po, ao e Au. Il fatto che, per valori della pressione ambiente al di sotto di p*, la portata di massa resta costante deve essere, ad esempio, tenuto in conto nella progettazione degli impianti a vuoto. inutile usare pompe che diano, allinizio, una depressione sempre pi spinta per aumentare la portata poich, per pa < p*, questa non cambia.Ricordando la:

si vede che, in questi casi, preferibile soprattutto aumentare la A* e cio l'area della sezione minima tra il serbatoio in cui si vuol fare il vuoto e la pompa.Per lo stesso ugello convergente gi considerato, si vuole ora vedere l'andamento della portata in funzione della pressione di ristagno (nel serbatoio) po per un fissato valore della pressione pa dell'ambiente in cui scarica l'ugello.Oltre al valore di pa si suppongono assegnati i valori di , a0 e Au. Il diagramma che rappresenta la portata in funzione di po del tipo rappresentato in figura.

Infatti, a partire dal valore po = pa relativo al caso di portata nulla (punto E), man mano che la po aumenta, nella:

cresce anche il valore di (perch pu = pa e pu/po diminuisce) e quindi la portata cresce. Quindi, l'aumento in questa zona si ha perch nella relazione precedente aumentano sia , che po.Quando la diventa pari a che per il caso di = 1.4 pari a po = pa/0.5283 = 1.8929pa (punto B del diagramma di Fig.2), nella sezione di uscita dell'ugello si raggiungono le condizioni critiche. Ulteriori aumenti di po, poich conducono a pa/po < p*/po, rendono pu/po sempre uguale a p*/po, e quindi bloccano il fattore di efflusso al valore *. Ne consegue che la formula si deve applicare dal punto Bin poi la:

con dipendenza lineare della portata dalla po poich * resta costante. La portata di massa dipende solo dalla pressione assoluta di ristagno.

Questo ultimo evento viene spesso utilizzato nella pratica industriale per una regolazione lineare della portata di massa con la pressione assoluta di ristagno. Si usano, inoltre, misuratori di portata di massa, cosiddetti sonici, nei quali la misura della sola po e della To (per poter calcolare la ao) con lequazione precedente.I due diagrammi prima visti non sono altro che due sezioni del cosiddetto solido della portata (rappresentato in assonometria in figura (b)), la cui superficie d il valore della portata sia in funzione della pressione di ristagno che della pressione ambiente.

La superficie del solido della portata costituita dal triangolo OCA e dalla superficie conica (non circolare) OAD che con esso ha in comune il segmento OA.

In effetti si tratta di una sola superficie conica (perch anche il triangolo OCA pu essere considerato tale), avente come vertice il punto O e generatrice la curva CAD che coincide con quella della Fig.2.

Quest'ultima, infatti, rappresenta una sezione retta del cono essendo per essa po = cost (cio l'intersezione della superficie conica con un piano parallelo al piano ).

Nella Fig. 1 anche rappresentata con linea tratteggiata la curva che si ottiene dall'intersezione della superficie conica con un piano parallelo al piano (pa = cost), che corrisponde al diagramma della Fig. 3. Il segmento OD (po = pa), che d luogo ad una portata nulla, appartiene, ovviamente, alla bisettrice del piano po - pa.

Quanto detto in questo contesto si applica ovviamente a moti: adiabatici e isoentropici, quasi-unidimensionali quasi-stazionari. Per la prima ipotesi necessario che lugello non sia molto lungo rispetto al suo diametro medio in modo tale che si possano trascurare gli effetti associati allo scambio termico e alla viscosit del fluido. Dall'altro lato, la seconda ipotesi (quasi-unidimensionalit), che prevede una variazione graduale dell'area della sezione dell'ugello, richiede che l'ugello non sia molto corto. Va comunque osservato che per ugelli molto corti, al limite fori in una parete (caso limite di ugello convergente), gli aspetti salienti della trattazione restano validi salvo che necessario introdurre dei coefficienti correttivi in particolare per la portata. Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso interessante ora esaminare, nel caso in cui pu > pa, quanto avviene a valle della sezione di uscita AB di un ugello piano, convergente, sottoespanso, schematicamente rappresentata a sinistra della figura in basso. Per fare ci si deve abbandonare l'ipotesi di moto quasi-unidimensionale e trattare il problema dal punto di vista bidimensionale.

Il fluido, che esce dalla sezione di uscita dellugello AB con una pressione maggiore di quella ambiente (indicata dal segno +) e con M = 1. Nel seguito il segno + indicher una pressione maggiore della pa, il segno = una pressione uguale e il segno una pressione inferiore alla pa. La corrente deve espandere sino alla pa. Ci pu avvenire soltanto mediante un ventaglio di espansione, che ha origine in A, del quale sono rappresentate solo 5 onde (in effetti, sono infinite), di cui la prima la AB stessa che ha luogo per M = 1 e quindi deve essere ortogonale alla direzione della corrente, e l'ultima la AL. Attenzione: Poich a valle trova una convessit, la corrente sonica che esce dalla sezione AB, seguendo l'espansione di Prandtl e Meyer, dovrebbe ruotare di 90 verso l'alto.In effetti, questa corrente ruoter solo dell'angolo corrispondente al numero di Mach supersonico per il quale la pressione della corrente stessa sar uguale a quella ambiente. Poich sul piano di simmetria BL la corrente deve continuare dritta, ogni onda di espansione (ad esempio, la AC) si riflette come onda di espansione (la CD). Quando l'onda riflessa CD incontra la terza onda di espansione AD, poich quest'ultima fa aumentare il numero di Mach, la sua inclinazione deve aumentare rispetto alla verticale per mantenere il Mach normale pari ad uno.Le onde del tipo AB, AC, AD ed AF (che sono diritte) si chiamano onde semplici, mentre non semplici sono le onde che intersecandosi con altre onde cambiano continuamente la loro pendenza.In realt, poich le onde di Mach sono infinite, la figura riportata solo una schematizzazione del fenomeno. Infatti, la riflessione delle onde dovrebbe iniziare immediatamente a valle del punto B. Anche l'onda DE deve cambiare la sua pendenza rispetto alla AD perch il fluido, oltre alla espansione attraverso l'onda AC, ha subito anche quella attraverso la CD ed ha quindi aumentato il suo numero di Mach.L'espansione della corrente, dalla pu alla pa, completata dall'onda AF per cui, nell'ambito della schematizzazione, nella regione triangolare AFH esiste una corrente supersonica il cui numero di Mach calcolabile mediante la:

con p = pa; infatti, l'espansione del fluido attraverso il ventaglio AB-AF quasi-stazionaria omoenergetica ed isoentropica. La direzione della corrente in questa regione parallela al segmento AH (che rappresenta il confine del getto) ed ovviamente inclinata rispetto all'asse dell'ugello dell'angolo di Prandtl e Meyer che corrisponde al numero di Mach nella regione AFH. Si ricordi che la corrente nella sezione AB ha M = 1 ed diretta lungo l'asse dell'ugello BL.Le onde di Mach di espansione riflesse del tipo CH, EJ ed LK (che, nell'ambito di questa schematizzazione, nei loro tratti FH, GI ed LN sono onde semplici), quando raggiungono il confine del getto (superficie libera) si riflettono ivi come onde di Mach di compressione con una continua deviazione della corrente ai confini del getto HJK verso il basso. Le onde di Mach di compressione riflesse saranno, invece, convergenti (anche perch il numero di Mach si va progressivamente abbassando) e si pu schematizzare che esse si incontrino in un punto indicato nella figura con O dando luogo, per la loro coalescenza, ad un'onda d'urto obliqua OP.La regione quadrangolare LNOP, in cui esiste fluido che attraversa i due ventagli di espansione (quello che parte dal punto A e quello riflesso) che la precedono, una regione in cui il numero di Mach massimo, la pressione minima e la direzione della corrente ritorna parallela all'asse dell'ugello BP.

facile convincersi che il numero di Mach nella regione LNOP quello per il quale l'angolo di Prandtl e Meyer vale poich la corrente ha subito una ulteriore deviazione (convessa), anch'essa pari a , che la ha raddrizzata.Una volta noto il numero di Mach supersonico nella LNOP, possibile anche calcolare la pressione in questa regione utilizzando sempre la:

perch, si ricorda, che il moto attraverso i due ventagli di espansione omoenergetico ed isoentropico .

Se il numero di Mach a valle lo consente, l'onda d'urto obliqua OP si riflette regolarmente sull'asse dell'ugello (piano di simmetria) nell'altra onda d'urto obliqua PQ portando la pressione, che (prima dellonda) lungo il confine del getto KQ era uguale a pa, ad un valore maggiore di quello ambiente. chiaro che a questo punto, nella sezione QR, ci si ritrover in condizioni analoghe (salvo che per il diverso numero di Mach) a quelle della sezione AB. D'altronde, l'onda d'urto obliqua PQ si deve riflettere sulla superficie libera come ventaglio di espansione. Quindi l'evoluzione del getto si pu ciclicamente ripetere fino a che il numero di Mach resta sufficientemente elevato da consentire onde di Mach (di espansione e compressione) e onde d'urto. Certamente gli effetti viscosi (il mescolamento) e le diminuzioni della pressione di ristagno associate alle onde d'urto porteranno, prima o poi, ad un abbassamento della velocit del getto, e conseguentemente del suo numero di Mach, a valori subsonici. Il campo di onde, il cui tratto iniziale, riportato in figura, rappresenta un'evoluzione della corrente per cos dire a salsicciotto, chiaramente visibile nella fase di decollo (soprattutto al tramonto, o di notte) a valle dei turbogetti dei velivoli da caccia supersonici, o a valle di motori a razzo.In condizioni di sottoespansione, un comportamento analogo esiste anche quando alluscita dellugello si hanno condizioni di moto supersonico, con la differenza che langolo della prima onda AB non 90 ma .Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoioSe paragonati a quelli di un ugello semplicemente convergente, i diversi comportamenti di un ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio risultano molto pi articolati. Anche in questo caso conviene partire dalle curve soluzione per un moto quasi-unidimensionale, quasi-stazionario, omoenergetico e isoentropico in un condotto ad area variabile riportate in figura, nelle quali occorre escludere le curve del tipo a, b, c, e, f, g ed h per gli stessi motivi esposti nel caso di un ugello convergente.

Le curve restanti sono rappresentate in figura, sempre per il caso di distribuzione cosinusoidale dell'area ed aree di ingresso e di uscita doppie rispetto a quella di gola) insieme ad altre di cui si dir in seguito e che, come si vedr, non corrispondono ad un moto completamente isoentropico nell'ugello, perch prevedono la presenza di onde durto. Sull'asse delle ordinate a destra del grafico p/po, sono indicati tre particolari valori del rapporto di pressione pa/po contrassegnati con r1, r2 ed r3 e di solito denominati primo, secondo e terzo rapporto critico di pressione rispettivamente.Come si vedr, essi delimitano particolari campi di funzionamento dell'ugello. Questi tre rapporti sono funzione del rapporto tra i calori specifici e del rapporto tra l'area di uscita dell'ugello e quella di gola. I tre rapporti sono relativi a funzionamenti dell'ugello per il quale si ha M = 1 nella sezione di gola. In particolare, il rapporto r1 relativo a condizioni di uscita subsoniche mentre r3 a condizioni di uscita supersoniche. Il rapporto r2 si ottiene moltiplicando il rapporto r3 per il rapporto tra le pressioni statiche a valle e a monte di un'onda d'urto normale stazionaria che si ha al numero di Mach corrispondente al punto G, cio posta nella sezione di uscita dell'ugello. I tre punti C, H e G si chiamano punti caratteristici perch, come si vedr in seguito, delimitano diversi campi di funzionamento dell'ugello.Con riferimento alla figura riportata i due rapporti r1 ed r3 si leggono sull'asse delle ordinate entrando dapprima nella figura con il rapporto assegnato tra l'area di gola e quella di uscita dell'ugello, Ag/Au che, per l'ipotesi di funzionamento dell'ugello con M = 1 nella sezione di gola, risulta pari ad A*/Au.Questo valore del rapporto corrisponder a due valori del numero di Mach, uno in regime subsonico ed uno in regime supersonico.In corrispondenza di questi due valori del numero di Mach, si potranno leggere nella stessa figura i valori di r1 e r3. Attenzione: r1 risulta sempre maggiore di p*/po ed r3 minore.

Non deve meravigliare il fatto che r2 risulti minore di 0.5283 anche se il numero di Mach a valle dell'onda d'urto circa 0.55, cio minore di uno. Infatti, il diagramma di figura adimensionalizza la pressione rispetto a quella nel serbatoio e non rispetto alla po2, riportando quindi la quantit:

E poich:

anche, per M2 < 1, il prodotto pu risultare minore di 0.5283.Di seguito si esamineranno i diversi comportamenti dell'ugello al variare del rapporto tra la pressione ambiente e quella di ristagno nel serbatoio. Come nel caso dell'ugello convergente, si suppone che il serbatoio contenga un gas ad una pressione costante po = 1ata e che l'ugello scarichi in un ambiente in cui sia possibile far variare la pressione pa da 1ata in gi.

Le possibili generalizzazioni, cio il caso di pressione di ristagno diversa, o pressione ambiente costante e pressione di ristagno variabile sono simili a quelle gi discusse per l'ugello solamente convergente.

La curva a, corrispondente al caso pu= pa= po= 1ata, sempre relativa alla condizione per la quale la pressione p uguale a po lungo tutto l'ugello nel quale, perci, la velocit del fluido identicamente nulla.

Al diminuire della pressione ambiente, l'ugello funziona secondo curve del tipo b e c e la pressione del fluido della sezione di uscita dell'ugello , per quanto gi detto per l'ugello convergente, deve rispettare la condizione di Kutta. Il moto del gas subsonico lungo tutto l'ugello con un valore minimo della pressione (valore massimo del numero di Mach) nella sezione di gola.

Per pa/po = r1, il fluido raggiunge per la prima volta condizioni critiche (M = 1, punto B di figura) nella sezione di gola, seguendo le curve d ed e.

Come si vedr, in queste condizioni l'ugello si strozza. Ulteriori diminuzioni della pressione ambiente non cambiano lo stato B del gas nella gola e, quindi, per pressione nel serbatoio costante, non cambia la portata.

Se ora, a partire da pa/po = r1 la pressione ambiente viene ulteriormente diminuita (ad es. punto F di figura), le onde di espansione (che si generano per la depressione esistente nella sezione di uscita dell'ugello e viaggiano alla velocit del suono) riescono a risalire la corrente subsonica presente nel divergente facendo accelerare il fluido verso valle. come se l'ugello tendesse a funzionare seguendo il ramo superiore della curva g o h di Fig.1, cosa che, peraltro, non pu accadere perch queste curve prevedono M = 1 in una sezione diversa da quella di gola.In Fig.2 , invece, rappresentato cosa accade, sia pure dal punto di vista unidimensionale, per tutte le condizioni r2 < pa/po < r1 ( curve f, g ed h).

Si supponga, ad esempio, che il rapporto di pressione pa/po sia quello corrispondente al punto F del diagramma. La corrente, che nel convergente segue la curva d (accelerando e contemporaneamente espandendosi), sino a M = 1 (punto B) imbocca il divergente continuando ad accelerare (tratto BD) raggiungendo in D un numero di Mach supersonico.Nella sezione corrispondente al punto D si ha un'onda d'urto normale che porta lo stato del fluido a quello subsonico rappresentato dal punto E. A valle di questa sezione si ha una graduale ricompressione (decelerazione isentropica) del fluido sino alle condizioni F, poich il fluido si trova a M < 1 ed il condotto a valle divergente.

Attenzione: L'onda d'urto fa cambiare la pressione di ristagno e quindi l'area critica. Per la:

Si ha il numero di Mach nella sezione di uscita si dovr calcolare mediante la:

Sostituendovi il rapporto. Ovviamente, della A/A* occorre considerare la sola soluzione subsonica, osservando che nella sua espressione stato assunto:

Al progressivo diminuire del rapporto di pressione dal valore r1 a quello r2, l'onda d'urto normale si muove lungo il divergente dalla sezione corrispondente al punto B (onda di Mach normale ad effetto nullo) a quella del punto G (onda d'urto normale posta nella sezione di uscita dell'ugello) che porta ad H.Per questi valori di pa/po, il moto nell'ugello non sempre isoentropico per la presenza dell'onda d'urto, anche se ancora valida la condizione di Kutta perch il fluido nella sezione di uscita dell'ugello sempre subsonico.Quindi, il rapporto r2 corrisponde ad un valore del rapporto pa/po per il quale si ha un'onda d'urto normale nella sezione di uscita dell'ugello che porta le condizioni del fluido da G ad H.Ovviamente si intende per po la quantit:

Per ulteriori diminuzioni del rapporto di pressione pa/po, da r2 a r3 (ad es. punti I, J e K), l'onda d'urto normale darebbe una ricompressione troppo forte. Quindi nella sezione di uscita dell'ugello (in particolare, alla sua periferia direttamente a contatto con la pressione ambiente) deve esistere un'onda d'urto obliqua che dia luogo alla sola ricompressione necessaria.Al diminuire del rapporto pa/po, l'angolo di inclinazione dell'onda d'urto rispetto alla corrente diminuisce (perch necessaria una ricompressione sempre minore) dal valore di 90 (corrispondente al secondo rapporto critico di pressione r2) al valore = arcsin1/M (corrispondente al terzo rapporto critico di pressione r3), che cio relativo ad un'onda di Mach.

L'onda d'urto obliqua parte dalla periferia della sezione di uscita dell'ugello e, poich come si vedr essa si sviluppa al di fuori di quest'ultima, il flusso nella sezione di uscita dell'ugello sempre supersonico con numero di Mach corrispondente al punto G; cio, nell'ugello, il fluido segue sempre la curva ABG.Quindi non pi rispettata la condizione di Kutta e l'ugello, in questa situazione, viene detto sovraespanso. La condizione per la quale il rapporto proprio quello corrispondente al punto G anche detta condizione di progetto dell'ugello convergente divergente e l'espansione del gas nell'ugello detta espansione corretta. Essa conduce nella sezione di uscita dell'ugello ad un flusso supersonico con una pressione uguale a quella ambiente. Per questo solo valore del rapporto di pressione viene recuperata la condizione di Kutta.

Come nellugello convergente per valori di pa/po < p*/po, nel caso di un ugello convergente divergente, quando si ha pa/po< r3, si genera un ventaglio di espansione a valle della sezione di uscita dell'ugello che parte dalla periferia della sezione di uscita ma, nell'ugello, il fluido continua a seguire la curva ABG.In questa situazione l'ugello viene detto sottoespanso perch pu> pa. A differenza di quanto avviene nell'ugello convergente, nel quale la prima onda del ventaglio di espansione ortogonale alla corrente poich il numero di Mach di uscita pari ad 1, per un ugello convergente divergente la prima onda di Mach del ventaglio inclinata rispetto alla corrente di un angolo pari a z = arcsin(1/MG).

Si pu quindi concludere che, per valori di pa/po inferiori al primo rapporto critico di pressione r1, si ha sempre M = 1 nella sezione di gola. Invece, per valori di pa/po inferiore al secondo rapporto critico di pressione r2, all'interno dell'ugello non vi alcun effetto della diminuzione della pressione ambiente sia sulla distribuzione del numero di Mach, che sulla distribuzione di pressione.Ladattamento della corrente alla pressione ambiente avviene al di fuori dellugello e non interessa il moto allinterno dellugello stesso. Per valori di pa/po inferiore al secondo rapporto critico di pressione r2, tranne che per pa/po = r3, non vale la condizione di Kutta.In conclusione, il comportamento dell'ugello convergente divergente si pu riassumere nei seguenti quattro regimi di funzionamento:

Il regime alla Venturi , ad esempio, utilizzato nei carburatori dei motori alternativi ad accensione comandata. In questo caso, la pressione di ristagno del comburente (aria aspirata dallambiente) , ovviamente, la pressione atmosferica. La depressione che si crea nella gola del Venturi, per laccelerazione del fluido, serve a richiamare il combustibile (benzina). Questo, miscelandosi al comburente, d luogo alla miscela pronta a "scoppiare" in camera di combustione con l'ausilio della scintilla prodotta dalla candela di accensione. Lo stesso regime anche