FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: R , faxoomer.virgilio.it/giuliodemeo/Mat/limiti.pdf · Lo...

author: Ing, Giulio De Meo

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FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

Funzione: legge che ad ogni elemento x di un insieme D (Dominio) tale che D ⊂ R , fa

corrispondere un elemento y∈R ( R = Codominio ). f : D→R : f (x) = x → y ;

La funzione f(x): A→R è periodica di periodo T≠0 se ∀ x ∈ R → f (x+T) = f(x)

La funzione f(x): A→R è pari se f (- x) = f(x) ; è dispari se f (- x) = - f(x)

Funzioni Composte : f ◦ g = f ( g(x) ); g ◦ f = g (f(x)); esempio: f(x) = 2x; g(x)= x2;

f ◦ g = ( x2

) · 2 = 2x2 invece g ◦ f = ( x · 2 )

2 = 4x

2

g= ^2 f=radd. f= radd g=^2 .

Dominio o Campo di esistenza : è il Codominio della funzione, cioè il sottoinsieme di R in

cui attraverso f(x) si trovano i corrispondenti y di x; sottoinsieme di R formato da tutti gli x

per cui esiste la funzione. Lo studio del C.D.E. riguarda le seguenti funzioni:

Frazione: una frazione esiste solo se il suo denominatore è diverso da zero: basta uguagliare

a zero il denominatore, trovarne le sue radici (x1,x2,...xn) ed escluderle da D.

f(x) = A(x) ; B(x)=0 → D : ∀x ∈ R – { x1, x2, ...xn }.

B(x)

Esempio: f(x) = (x-1) / (x-2) deve essere x-2 ≠ 0 → D: ∀ x ∈ R : x ≠ 2;

n_____

Radicale: f(x) = √ A(x) ( con n=numero pari ) → f (x) ∃ ∀ x ∈ R : A(x) ≥ 0;

esempio: f(x) = √( x-2) → x - 2 ≥ 0 → D: ∀ x ∈ R : x ≥ 2;

Funzioni Trigonometriche:

arcsen(a(x)) ed arcos(a(x)) : → D: ∀ x∈R : -1 ≤ a(x) ≤ 1 ;

tg (a(x)): → D: ∀ x∈R : { a(x) ≠ ½ Π + kΠ } con k∈ Z ;

cotg (a(x)): → D: ∀ x∈R : { a(x) ≠ kΠ } con k∈ Z ;

sec ( a(x) ): → D: ∀ x∈R : { a(x) ≠ ½ Π + 2kΠ } con k∈ Z ;

cosec ( a(x)): → D: ∀ x∈R : { a(x) ≠ 2kΠ } con k∈ Z ;

Funzioni Trascendenti:

f(x) = B(x) P ( X )

: → D (f(x)) = { D (B(x)) ∩ D (P(x)) ; B(x) >0 } ;

f(x) = Log B(x) ( A(x) ) :

D (f(x)) = { D (B(x)) ∩ D (A(x)) ; B(x) ≠ 1; B(x)>0; A(x) >0 ; }

il dominio è la soluzione comune del Sistema tra parentesi { ... }.

Logaritmo a base numerica: f(x) = Log b (A(x)) con b∈Z: → D: ∀ x ∈ R : A(x) > 0 ;

x x2

2( x2

) x 2 x ( 2 x )2


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GRAFICI DI FUNZIONI NOTEVOLI


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Funzioni Esponenziali

Funzioni Logaritmiche


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Funzioni Goniometriche


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Funzioni Iperboliche


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GRAFICI DI FUNZIONI

TRIGONOMETRICHE


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ISOMETRIE

Una affinità è una trasformazione lineare che ad ogni punto P(x; y) del piano fa corrispondere un altro punto P’ (X; Y) le cui coordinate sono date da una loro combinazione lineare. Tra le principali affinità si hanno le ISOMETRIE, che si distinguono in dirette (dette anche rototraslazioni) o inverse (tra cui le simmetrie). Le isometrie dirette sono dunque del tipo: identità (x=X e y=Y), traslazioni e rotazioni.

Traslazione degli Assi:

Dati due sistemi cartesiani ortogonali monometrici (Oxy) e (O’XY) , con la stessa unità di misura, se O’ (a; b) è l’origine del “nuovo” sistema, le coordinate di uno stesso punto P visto dai due sistemi sono legate dalle formule:

Rotazione degli Assi:

Rotazione degli Assi:

Le formule per la rototraslazione sono la combinazione di quelle per la traslazione e di quelle per la rotazione.


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Simmetria rispetto all’origine degli assi:

� �� = −�� = −�� L’origine O del sistema di riferimento è il punto medio del segmento che unisce i due punti simmetrici P e P’.

Simmetria rispetto ad un punto qualsiasi:

� �� = 2 − �� = 2� − �� = 2 − �′� = 2� − �′� Il punto C (a,b) (centro di simmetria) è il punto medio del segmento che unisce i due punti simmetrici P e P’. Ad esempio, l’equazione della retta r’ simmetrica rispetto al punto C(1,-2) alla retta r: 3x+2y-1=0 si ottiene risolvendo il sistema � � = 2(1) − �′ � = 2(−2) − �′� sostituendo nella retta r : 3( 2-x’) +2 ( -4 – y’) =0 da cui: r’: 3x+2y+3;

Simmetria rispetto ad una retta:

Rispetto all’asse X Rispetto all’asse Y Rispetto ad una retta qualsiasi

� �� = �� = −�� = −�� = � � La retta r’ simmetrica della retta r rispetto alla retta s la determino da M = punto

medio dell’asse che unisce r e r’


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GRAFICI DEDUCIBILI DA GRAFICI NOTI

Supponiamo che la funzione y = f(x) o anche f: x → f(x) f: R→R abbia il grafico di fig.1:

le seguenti osservazioni permettono di dedurre il grafico di una funzione g(x) dal grafico noto della funzione f(x):

g(x) Metodo 1 f( x + k ) traslazione orizzontale del grafico verso destra (se k<0 ) 2 f(x)+k traslazione verticale verso il basso ( se k<0 ) 3 ─ f (x) Simmetria e ribaltamento rispetto all’asse X ; 4 f ( ─x ) Simmetria e ribaltamento rispetto all’asse Y 5 ─ f ( ─x ) ribaltamento rispetto all’asse X e all’ asse Y 6 | f ( x ) | ribaltamento rispetto all’asse X delle Parti Negative

7 f ( | x | ) Il grafico a destra (delle x positive) rimane uguale e si copia a

sinistra ribaltato rispetto all’asse Y 8 | f ( | x | ) | prima si disegna il grafico f ( |x| ) e poi si ribaltano le parti negat. 9 A f (x) dilatazione verticale (A > 1) 10 f (x / k) contrazione ( 0 < k< 1) o dilatazione (k>1) orizzontale

1. traslazione orizzontale 2. Traslazione verticale

3. ribaltamento rispetto asse X 4. Ribaltamento rispetto all’asse Y


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6: y = | f (x) | ; ribaltamento parti negative di f 7. y = f ( | x | )

Dilatazione e contrazione verticale contrazione orizzontale ( 0 < k < 1 )

Funzioni Inverse

Data la funzione f: A → B o anche y = f(x), la sua funzione inversa f-1: B → A o g(x) = f-1 (y) è il simmetrico rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante al grafico di f(x). Ad es. le funzioni y=ln (x) e la funzione g = eX sono funzioni inverse come si vede in figura.

Ad esempio, ricavo analticamente l’inversa di una y = f(x) = 3x + 1 seguendo 2 passi: 1) si ricava la x dall’ equazione della funzione f(x); x = ( y – 1) / 3 ; 2) in questa nuova espressione si scambiano la x con la y; y = (x - 1) / 3 ; Quindi la funzione f(x) = 3x+1 ha come funzione inversa la funzione g(x) = ( x – 1 ) / 3;


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LIMITI DI FUNZIONI REALI

1) Limite finito per x finito: ��→� �(�) = � Una funzione f: A → B , per x tendente a c, ammette come limite finito il numero ℓ, e si scrive ��→� �(�) = � se, fissato un numero ε positivo e piccolo a piacere, si può determinare un

intorno I completo del punto c tale che, per ogni x appartenente ad I , escluso eventualmente

c, risulti soddisfatta la disequazione | f(x) - ℓ | < ε

Esempio: lim�→� �� = �� = �� ; dimostrazione: �� − �� = �� < " ; cioè

# � − 22� < " � − 22� > − " � ; % � − 2 < 2 � " � − 2 > −2 � " � ; � �( 1 − 2" ) < 2 �( 1 + 2" ) > 2 � ; # � < 21 − 2" � > 21 + 2" � ;

per definizione di limite dobbiamo trovare un intorno completo di 2, cioè il sistema deve verificare

2 – ε’ < x < 2 + ε” → ' �� ( = 2 + ε” → ε” = + (� � � ( > 0��- � ( = 2 − ε′ → ε′ = + (�- � ( > 0 � ; 2 − . /0- 1 / < � < 2 + . /0 � 1 / Abbiamo trovato un intorno completo di 2 in cui f(x) ammette come limite il valore ½ .

2) Limite infinito per x finito: ��→� �(�) = ∞

Una funzione f: A → B , per x tendente a c, ammette limite infinito, e si scrive ��→� �(�) = ∞

se, fissato un numero ε positivo e piccolo a piacere, si può determinare un intorno I completo

del punto c tale che, per ogni x appartenente ad I , escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la

disequazione | f(x) | > M con M numero grande positivo preso a piacere. In particolare:

- se nell’intorno I vale sempre la disequazione f(x) > M si dice che ��→� �(�) = +∞ ;

- se nell’intorno I vale sempre la disequazione f(x) < ─ M si dice che ��→� �(�) = − ∞ ;

3) Limite finito per x infinito: ��→3 �(�) = � Una funzione f: A → B , per x tendente a ∞ , ammette limite finito l, e si scrive ��→3 �(�) = � se, fissato un numero ε positivo e piccolo a piacere, si può determinare un numero N>0 tale che,

per ogni x che soddisfa la condizione | x | > N si ha | f(x) - ℓ | < ε ; in particolare: .

- se è verificata la disequazione X > N si dice che ��→ -3 �(�) = � ; - se è verificata la disequazione X < ─ N si dice che ��→ �3 �(�) = � ;

4) Limite infinito per x infinito: ��→3 �(�) = ∞

Una funzione f: A → B , per x tendente a ∞ , ammette limite infinito, e si scrive ��→3 �(�) = ∞

se, scelto un numero M>0 si può determinare un numero N>0 tale che, per ogni x che soddisfi la

condizione | x | > N si abbia | f(x) | > M.


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Limiti Notevoli

esponenziali e logaritmici goniometrici

Le 7 forme indeterminate ( i 7 peccati capitali )

0 ∞ ∞ · 0 ∞ - ∞ 00 1

∞ ∞0

0 ∞


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Limiti di forme indeterminate

Teorema di De L’Hospital:

Altre forme indeterminate possono ricondursi a 0/0 o ∞/∞ ed applicare il Th suddetto:

Alcuni limiti particolari:

Se lim f(x) = ∞ oppure lim f(x) = 0

g(x) ∞ g(x) 0

allora

lim f(x) = lim f ‘ (x) = lim f “ (x) = ….

g(x) g ‘ (x) g “ (x)

Forma indeterminata 0 · ∞ : lim f(x) =0; lim g(x) = ∞ ;

f(x) ·g(x) = f(x) = g(x)

1 1

g(x) f(x)

Forma indeterminata ∞- ∞ : lim f(x) = ± ∞; lim g(x) = ± ∞ ;

Bisogna porre la forma f(x) - g(x) sotto forma di quoziente o di

prodotto per essere ricondotti ai casi precedenti.

Forma indeterminate del tipo 00 ; ∞

0 ; 1

∞ ; lim [ f(x)]

g(x)

Bisogna eseguire la trasformazione: [ f(x)] g(x)

= eg(x) ln f(x)

e quindi

lim [ f(x)] g(x)

= e lim g(x) ln ( f(x) )

Forma indeterminate del tipo: log0 0 ; log1 1 ; log0 ∞ ; log∞ 0 ; log∞∞

Valendosi della proprietà : loga b = ln (b)

ln (a)

si ritorna alla forme 0/0 o ∞/∞ .

lim sin(x) = N = 0 ; essendo -1 ≤ sin(x) ≤ 1

x→∞ X ∞

lim x√(nx) = 1

x→∞

lim log (x) = - ∞ x→ 0+

lim sin(x) = NON ESISTE x→∞

lim cos(x) = NON ESISTE x→∞

lim tan(x) = NON ESISTE x→∞

lim loga (x) = +∞ ; lim ax = 0 ; lim a

x = +∞

x→ +∞ x→ -∞ x→ +∞ tutte 3 valide se a >1


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Forme Simboliche:

(+∞)+(+∞) = +∞; (-∞)+(-∞) = -∞; (+∞)+N = +∞; N/±∞ = 0; (+∞)·(+∞) = +∞; (+∞)·(-∞) = -∞; se N>0 valgono le 2 proprietà: (+∞)·N = +∞; (+∞)/N = +∞; se N<0 valgono le 2 proprietà: (+∞)·N = -∞; (+∞)/N = -∞;

LIMITI DA RICORDARE

Dim: essendo sapendo che il limite di tale prodotto risulta essere nullo. Stessa dimostrazione per i due limiti seguenti:

Altro limite importante: Dim: dal Binomio di Newton

e facendo il limite per x->0

stessa dim. vale per

I grafici delle due funzioni con (+) e (-) sono rispettivamente in figura:

y y

1

e

1/e

1

-1 x 0 1

lim sin (x) = non esiste ! x-> ∞

lim cos (x) = non esiste ! x-> ∞

lim sin (x) = 0 x-> ∞

x

lim [sin (x) ] x = 1

x-> 0

lim [ sin (x) ] tan (x)

= 1 x-> 0

lim [ ex - 1 ]

x = 1

x-> 0+ lim [ 1 + x ]

ln (x) = 1

x-> 0

lim 1 = 0 x-> ∞

x

| sin(x) | ≤ 1

lim cos (x) = 0 x-> ∞

x

lim x • sin 1 = 0 x-> ∞

x

lim 1 + 1 x

= 1 x-> 0

x 1 + 1

x = + 1 + ….+ 1

x x x

x x

0

x

1

x

x

lim 1 + 1 x

= 0 = 0 ! = 1 x-> 0

x 0

lim 1 - 1 x

= 1 x-> 0

x

F O R M U L A R I O :


F O R M U L A R I O : tavola delle derivate fondamentali


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fondamentali

Derivata della Funzione Inversa

Esempi:

y = arctg (x); si pone x = tg (y) ;

y = arcsin (x); si pone x = sin(y);

y = arcos (x); si pone x = cos(y);

Nel caso di funzioni composte bisogna moltiplicare per la deri

� � arcsin 9√�; <= >?@A √� �

g(x) e g(x) sono simmetriche rispetto alla

retta y = x ; f ‘ (yo) = tg (α) ; g ‘ (x

essendo

α+ β = 90° ; tg (α) = tg ( 90 ─ β ) = ctg (β);

risulta

BC D� � �EF G�

; C� ��


REGOLE DI DERIVAZIONE

Derivata della Funzione Inversa

y = arctg (x); si pone x = tg (y) ; �� H IJ K�

� ��-IJL K�

� ��-�L

y = arcsin (x); si pone x = sin(y); �� H MNOK�

� �PQR K�

� �

S��RTUL K

y = arcos (x); si pone x = cos(y); �� H VWM K�

� ��RTU K�

� � �

S��PQR

Nel caso di funzioni composte bisogna moltiplicare per la derivata dell’argomento:

� � ; �� X ��

X sin ��

X ��Y?< ��

� X ��

S1 � <=@� �

g(x) e g(x) sono simmetriche rispetto alla

(xo) = tg (β)

β ) = ctg (β);

� � �Z[ ��


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K��

√��L

PQRL K��

�√��L

��

1

2√� √1 � ��


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DIFFERENZIALI

Data una funzione �=c (�) definita e derivabile in un intervallo (,�), si definisce differenziale differenziale differenziale differenziale

della funzione data relativo al punto di ascissa �0, il prodotto della derivata della funzione,

calcolata in quel punto, per l’incremento della variabile, cioè:

m�=c ′(�0) ∙ Δ� o anche in modo generico m�=c ′(�) ∙ Δ�

Esempio

c (�) =�3 e X0=2. Il differenziale relativo a tale punto è mc=3∙X2 Δ� = 3∙22 Δ� = 12 Δ� Applicando la definizione di differenziale alla funzione �=� si ottiene: m� = 1∙Δ�, cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all’incremento della variabile stessa. In base a ciò è possibile scrivere: m�=c′ ( � ) ∙ m� Dalla formula precedente risulta: SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DIFFERENZIALE

Δf = f (xo+ Δ�) ─ f(xo) = df = c′ ( �o ) ∙ Δ� Esempi: 1) Calcola il valore approssimato di: S9,1635 : posto 9,1635 = 9 + 0,1635 ; �o = 9; Δ� = 0,1635 ; essendo c(�) = √� ; c�(�) = X 9√� ; = ��√� ; c(9 + 0,1635) − c(9) = c�(9) ∆� S9,1635 = c(9 + 0,1635) ≅ c(9) + c�(9) ∆� = √9 + �� √� ∙ (0,1635) = 3 + �� ∙ 0,1635 = 3,02725 Il valore preciso è invece 3,02713 ; nell’ approssimazione si commette un errore σ = 0,0012. 2) Approssima ln (0,98): 0,98 = 1 – 0,02 ; �o = 1; Δ� = ─ 0,02; c′(�) = X (ln �) = ��

ln (0,98) ≅ c(1) + c�(1) ∆� = ln (1) + �� ∙ (− 0,02) = ─ 0,02 ; il valore reale è: -0,0202

M

Q

T

R

QM = incremento della f(x) =

= Δf = f (xo+ Δ�) ─ f(xo) TM = tg (α) ∙ RM = f ‘ (xo) ∙ Δ� TM = df = differenziale di f Spesso risulta utile sostituire

l’ incremento della funzione

con il suo differenziale, cioè Δf = df il che significa approssimare nell’ intorno di x0 la curva f(x) con la sua Tangente in x0

f (xo+ Δ� )

f (xo) )

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