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Limiti

Lezione per Studenti di AgrariaUniversita di Bologna

(Universita di Bologna) Limiti 1 / 24

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Esempi

Sia f (x) = 2x+2 ; calcoliamo f (x) per x che assume valori vicini a 1.Per prima cosa, prendiamo in considerazione i valori di x a sinistra di1(x < 1).

x f(x)0.5 30.8 3.60.9 3.80.95 3.90.99 3.980.999 3.998

0.9999 3.99980.99999 3.99998

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Consideriamo ora x che si avvicina a 1 da destra (x > 1).

x f(x)1.2 4.41.1 4.21.01 4.02

1.001 4.0021.0001 4.00021.00001 4.00002

In entrambi i casi, come ci avviciniamo ad 1 , f (x) si avvicina a 4.Intuitivamente, diciamo che lim

x→1f (x) = 4.

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Sia g(x) = sinxx e calcoliamo g(x) per x che assume valori vicini a 0.

Come sopra studiamo i valori di g(x), per x < 0 e per x > 0

x g(x)−0.5 0.9588−0.2 0.993346−0.01 0.998334−0.001 0.999983−0.0001 0.999999

x g(x)0.5 0.95880.2 0.9933460.01 0.9983340.001 0.9999830.0001 0.999999

Diciamo che limx→0

g(x) = 1. Si noti che g(0) non e definito.

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Nel grafico che segue, quando x si avvicina ad 1 da sinistra, f (x)avvicina a 2 e questo puo essere scritto come lim

x→1−f (x) = 1

Quando x si avvicina ad 1 da destra, f (x) avvicina a 3: limx→1+

f (x) = 3

Quando x si avvicina ad 2 da sinistra, f (x) avvicina a 3 : limx→2−

f (x) = 3

Quando x si avvicina ad 2 da destra, f (x) avvicina a 4 : limx→2+

f (x) = 4

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Nel seguente esempio si halim

x→2−f (x) =−∞ lim

x→2+f (x) = ∞

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Se consideriamo la funzione f (x) =∣∣1

x

∣∣

limx→0+

f (x) = limx→0−

f (x) = +∞

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Consideriamo ora la funzione f (x) = sinx e consideriamo limx→+∞

sinx o il

limx→−∞

sinx non esistono

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Definizione di limiteDefinizioneSia f (x) e una funzione definita su un intervallo contenente a conl’eventuale esclusione di a.Allora

limx→a

f (x) = L

se, per ogni ( numero positivo) ε > 0, esiste un ( numero positivo) δ > 0tale che |f (x)−L|< ε ogni volta che a−δ < x < x+δ e x 6= a.

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Si noti, fissato ε, che vi sono in realta un numero infinito di possibili δ , ineffetti, trovato un δ ,ogni altro numero positivo piu piccolo del δ trovatova ancora bene.Se si restringe εsi trovera un altro δ , ma la cosa importante e che ce nesia sempre uno ogni volta che si fissa un ε > 0.

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Esempi

Usiamo la definizione di limite per verificare i seguenti limiti:

1 limx→0

x2 = 0;

Consideriamo ε > 0 .Dobbiamo trovare δ > 0 tale che∣∣x2−0

∣∣< ε quando∣∣x2−0

∣∣< δ (x 6= 0)∣∣x2−0∣∣< ε equivale a -ε < x < ε,

quindi in questo caso e sufficiente prendere δ = ε.

2 limx→2

5x−4 = 6;

Consideriamo ε > 0 .Dobbiamo trovare δ > 0 tale che|5x−4−6|< ε quando |x−2|< δ (x 6= 2)|5x−4−6|< ε cioe |5x−10|< ε, equivale a −1

5 ε +2 < x < 15 ε +2,

quindi in questo caso e sufficiente prendere δ = 15 ε.

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Limite destroDefinizione

1 Sia f (x) e una funzione definita su un intervallo destro di a ( possiamodire con precisione (a,a+ r),dove r e un numero reale positivo).Allora

limx→a+

f (x) = L

se per ogni se per ogni ( numero positivo) ε > 0 esiste un ( numeropositivo) δ > 0 tale che |f (x)−L|< ε ogni volta che a < x < x+δ

2 Sia f (x) e una funzione definita su un intervallo destro di a (possiamodire con precisione (a− r,a),dove r e un numero reale positivo).Allora

limx→a−

f (x) = L

se per ogni se per ogni (numero positivo) ε > 0 esiste un (numeropositivo) δ > 0 tale che |f(x)−L|< ε ogni volta che a−δ < x < a.(Universita di Bologna) Limiti 12 / 24

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limx→1−

f (x) = 4 limx→1+

f (x) =−2 limx→6−

f (x) = 5 limx→1+

f (x) =

Segue immediatamente dalle definizioni chelimx→a

f (x) = L se e solo se

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = L

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limx→1−

f (x) = 4 limx→1+

f (x) =−2 limx→6−

f (x) = 5 limx→1+

f (x) =

Segue immediatamente dalle definizioni chelimx→a

f (x) = L se e solo se

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = L

(Universita di Bologna) Limiti 13 / 24

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Limite infinitoDefinizioneSia f (x) una funzione definita su un intervallo contenente a con l’eventualeesclusione di a. lim

x→af (x) = +∞ se per ogni se per ogni M > 0 esiste un

(numero positivo) δ > 0 tale che f (x)> M ogni volta chea−δ < x < a+δ e x 6= a

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Analogamente si dice che

limx→a

f (x) =−∞

se per ogni se per ogni M < 0 esiste un ( numero positivo) δ > 0 tale chef (x)< M ogni volta che a−δ < x < a+δ e x 6= a.

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Esempio

Usiamo la definizione di limite per provare i seguenti limiti:.limx→0

1x2 =+∞;

Consideriamo M > 0 .Dobbiamo trovare δ > 0 tale che . 1

x2 > M, quando |x−0|< δ (x 6= 0)La disequazione 1

x2 > M e verificata per gli x negli intervalli(− 1√

M,0)(

0, 1√M

)quindi in questo caso e sufficiente prendere δ = 1√

M.

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DefinizioneSia f (x) una funzione definita su un intervallo illimitato superiormente.Allora

limx→+∞

f (x) = L

se per ogni se per ogni (numero positivo) ε > 0 esiste M > 0 tale che|f (x)−L|< ε ogni volta che x > M.

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Analogamente si da le definizioni di

limx→−∞

f (x) = L

Se f (x) e una funzione definita su un intervallo illimitato superiormente.

limx→+∞

f (x) = +∞

se per ogni se per ogni N > 0 esiste M > 0 tale che /f (x)> N ogni voltache~x > M.

Analogamente si danno le definizioni per gli altri casi

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DefinizioneUna funzione si dice continua in un punto a del dominio di f , se

limx→a

f (x) = f (a).

Ogni funzione elementare e continua in ogni punto del suo insieme didefinizione.

Poiche tutte le funzione elementare sono continua nel loro insieme didefinizione possiamo calcolare immediatamente i limiti delle funzionielementari in ogni punto del loro dominio, ad esempio:

1 limx→3

x2 = 32 = 9;

2 limx→0

= cosx = cos0 = 1

3 limx→−2

= x3 = (−2)3 =−8

4 limx→3

=√

x =√

3

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Calcolo dei limiti

Siano f (x) e g(x) due funzioni definite in uno stesso intervallo I (limitato onon limitato) fatta eccezione alpiu per un punto a ∈ I (con aeventualmente all’infinito).limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = M, con L e M numeri reali, allora

1 limx→a

(f (x)+g(x)) = L+M

2 limx→a

(f (x)−g(x)) = L−M

3 limx→a

(f (x).g(x)) = L.M

4 limx→a

cf (x) = c limx→a

f (x)

5 Se M 6= 0, limx→a

f (x)g(x) =

LM

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SeL e M sono ∞ valgono le seguenti regole

+∞+M =+∞

−∞+M =−∞

+∞−∞( forma indeterminata)+∞.M =+∞ per M > 0+∞.M =−∞ per M < 0+∞.(−∞) =−∞ (vale la regola dei segni !)+∞.(+∞) = +∞ (vale la regola dei segni !)−∞.(−∞) =−∞ (vale la regola dei segni !)∞ ·0 forma indeterminata0∞= 0

0 = ∞ (occorre studiare il segno della funzione per stabilire il segnodel risultato)L∞= 0

00 forma indeterminata∞

∞forma indeterminata

Forma indeterminata significa il limite considerato puo assumerequalunque valore finito od infinito o non esistere come mostrano gli esempi

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Esempilim

x→0−1x =−∞ (forma ∞

0 e funzione negativa)

limx→0+

1x=−∞ (forma ∞

0 e funzione positiva)

Possiamo concludere che il limx→0

1x

non esiste

limx→0−

3x2 =+∞ = lim

x→0+

3x2

Possiamo concludere che limx→0

3x2 =+∞

limx→0+

lnx =−∞

limx→+∞

lnx =+∞

limx→ π

2+

tanx =−∞

limx→ π

2−

tanx =+∞

Quindi limx→ π

2

tanx non esiste

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Esempilim

x→0−1x =−∞ (forma ∞

0 e funzione negativa)

limx→0+

1x=−∞ (forma ∞

0 e funzione positiva)

Possiamo concludere che il limx→0

1x

non esiste

limx→0−

3x2 =+∞ = lim

x→0+

3x2

Possiamo concludere che limx→0

3x2 =+∞

limx→0+

lnx =−∞

limx→+∞

lnx =+∞

limx→ π

2+

tanx =−∞

limx→ π

2−

tanx =+∞

Quindi limx→ π

2

tanx non esiste

(Universita di Bologna) Limiti 22 / 24

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Forme indeterminate+∞−∞

limx→+∞

(x2− x) = +∞

limx→+∞

(−x2 + x) =−∞

limx→+∞

((x2 +1)− x2)) = 1

00

limx→0

x2

x = limx→0+

x = 0

limx→0

xx2 = lim

x→01x non esiste

limx→0

xx3 = lim

x→01x2 =+∞

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limx→∞

x2

x = limx→∞

x =+∞

limx→∞

xx2 = lim

x→∞

1x = 0

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