Frecce e Aquiloni

5/11/2018 Frecce e Aquiloni - slidepdf.com

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Frecce e Aquiloni

Un nuovo paradigma geometrico



Superficie di Riemann non commutativa(v.d.Bergh)



Perché nei negozi dipiastrelle non sitrovano in venditapiastrellepentagonali?



E qui cosa

mettiamo?



Pavimentazioni del pianoUna pavimentazione del piano è un ricoprimentodel piano con una o più figure (piastrelle) chenon lasci buchi scoperti e che non dia luogo asovrapposizioni.



Pavimentazioni del piano

Gli unici poliedri regolari con cui è possibile pavimentare ilpiano sono i triangoli, i quadrati e gli esagoni.Il motivo è molto semplice; sono gli unici poligoni regolari icui angoli interni sono divisori di 360°. Non esistono,

quindi, piastrelle eptagonali o dodecagonali…



Pavimentazioni con due piastrelle

Possiamo chiederci sesia possibile costruire

pavimentazioniusando due poligoniregolari diversi.Queste

pavimentazioni sidicono semi regolari.

Il primo a studiarle èstato Keplero che nel

suo HarmonicesMundi descrive gliotto tipi possibili dipavimentazioni

semiregolari



I pavimenti di Keplero



Pavimentazione

semiregolare



Solo poligoni?

E’ interessante costruire pavimentazioni delpiano anche con piastrelle dalla forma

complicata. Un maestro di queste costruzioni èEscher. Ecco un esempio con lucertole.



Altri esempi



Simmetrie

Le pavimentazioni così descritte hannouna cosa in comune: un gruppo di

simmetria molto grande. Traslazioni: trasformazioni che muovono tutti i punti di

una figura a uguale distanza nella stessa direzione.

Rotazioni: di un angolo fissato attorno ad un centro disimmetria.

Riflessioni: rispetto ad un asse di simmetria.



Il gruppo delle isometrie

Un insieme di traslazioni, rotazioni eriflessioni che trasformano una

pavimentazione del piano è unsottogruppo di isometrie.

Le pavimentazioni che si costruiscono

ripetendo una piccola porzione sottol’azione di un sottogruppo di isometrie sidicono PERIODICHE



Pavimenti e simmetrie

Una classificazione

di questepavimentazioni si puòottenere proprio dallaclassificazione dellepossibili simmetrie.

Escher fu un maestronell’esibire esempi dipavimentazioni con

una prefissatasimmetria.



Questo esempiomostra che Escher

sapeva bene comeottenerepavimentazioni configure strane a partire

da pavimentazioniregolari.



Escher e Coxeter

“Il testo, per me incomprensibile, di Coxeter non mi è di nessun aiuto. Ma senza la sua figura non ci avrei mai pensato”

“E’ così maledettamente intelligente nelle sue risposte e sparge qua e là simboli di cui non

capisco il significato: fortunatamente però ha aggiunto qualche disegno.”



Pavimentazioni non periodiche

Un matematico cinese, Hao Wang , pone nel1960 la domanda; si possono trovare piastrelle

con le quali sia possibile pavimentare il pianosolo in maniera non periodica?

Domanda nasce da problemi di decidibilità.

Esiste un algoritmo capace di verificare se dato uninsieme di piastrelle c’è una pavimentazione del

piano con queste piastrelle?



Pavimentazione di Berger

Dopo pochi anni arriva la risposta: SI.

Ma c’è un problema. Servono 20.426 forme di

piastrelle diverse!



Arriva Penrose

Dopo altri 10 annidi lavoro Roger

Penrose riesce asemplificare lecose. Dimostra che

è possibile una

pavimentazionenon periodica consolo 2 piastrelle.



Frecce e aquiloni

Il numero phi è la famosa sezione aurea



Alcuni esempi



Struttura locale

Attorno ad un vertice frecce ed aquiloni sipossono disporre in sette modi possibili.



ATTENZIONE: nonogni configurazione si

può necessariamenteestendere a tutto ilpiano.

Il problema è: come

si costruisce unapavimentazione diPenrose?



Inflazione e deflazione

Il metodo usato da Penrose si dice diinflazione-deflazione

Si basa sull’idea che frecce e aquilonicontengono altre frecce e aquiloni in scalapiù piccola e che dunque configurazioni di

frecce e aquiloni possono essere “gonfiatee sgonfiate”.



Penta reticolo

Decoriamo frecce eaquiloni con alcune

linee; sono lecosiddette barre di Amann

Fissiamo cinque

direzioni regolari nelpiano



Penta reticolo

Disegniamo un reticolo dirette parallele alle cinquedirezioni, in modo che in

ogni incrocio non passinopiù di due rette.

In ogni incrocio possiamosistemare una piastrella

in modo che le rettedisegnino su di essa lebarre di Amann



Si ottiene così unpavimento di Penrose.

Se ne ottengonoinfiniti perché lacostruzione dipendedalla scelta di 5

numeri reali tali che:X+Y+Z+T+W=0



Quanti pavimenti di Penrose…

Ci sono infiniti modi diversi perpavimentare un piano con frecce e

aquiloni.

Bel guaio per il piastrellista…



La carta igienica di Penrose

Nel 1997 la Kimberley corporation produce cartaigienica trapuntata con sopra disegni di

tesselazioni di Penrose. Non è solo estetica.Serve anche a diminuire gli spazi di ingombro.Quando la moglie di Penrose torna a casa dalsupermercato con il rotolo suo marito si infuria.

Fa causa alla compagnia e…vince perché si erapremurato di brevettare frecce e aquiloni.



Ultime notizie!

Un ricercatore americano,Peter Lu, ha dimostrato nelGennaio del 2007 che inalcune decorazioni islamichedel XV secolo ( girih) ci sonosimmetrie “di tipo Penrose” .Su 3000 piastrelle di unamoschea uzbeka solo unadecina sono fuori posto.



Quasicristalli

Un cristallo è un reticoloperiodico dello spazio lungoil quale si dispongono gliatomi.

Come nel piano non puòavere una simmetriapentagonale

Nel 1984 Schechtmanscopre un compostodell’alluminio il cui spettro didiffrazione ha simmetriapentagonale.



Virus pentagonali?

I virus sono costituitida una “gabbia” a

forma di icosaedroche contiene ilgenoma

Alcuni nuovi virus nonrispecchiano questaforma.



Matematica anti virus

Una ricercatricetedesca, ReidunTwarock, ha proposto

una disposizione delcapside a forma dipiastrellazione diPenrose nello spazio.

La sua teoria si basasui gruppi di Coxeternon cristallografici



Non Località

La posizione di unaconfigurazione di

piastrelle determina laposizione di piastrelleanche molto lontaneda essa. E’ quello che

si dice l’impero di unaconfigurazione.



Imperi

L’impero di una regina e quello di una stella. Configurazionipiù grandi hanno effetto a distanze maggiori.



Conciliare Relatività e

Quantizzazione? Nella relatività non sono possibile le azioni

a distanza con velocità immediata (teoria

locale)

Nella Meccanica Quantistica compaiono

fenomeni non locali.



L’universo di Penrose

Consideriamo l’insieme di tutte le possibilipavimentazioni di Penrose.

E’ un insieme infinito (non numerabile).Possiede una sua geometria?



L’universo di Penrose

Consideriamo l’insieme di tutte le possibilipavimentazioni di Penrose.

E’ un insieme infinito (non numerabile).Possiede una sua geometria?

Diciamo che due pavimentazioni di

Penrose sono tanto più vicine quanto piùgrande è una loro porzione che coincide.



Un universo molto stretto

Ogni configurazione finita di una pavimentazione diPenrose è contenuta in ogni altra pavimentazione diPenrose infinite volte.

I punti dello spazio di Penrose sono tutti infinitamentevicini fra loro.



Spazio e funzioni

Si può studiare uno spazio conoscendonele sue funzioni (continue).

TEOREMA di Gelfand – Naimark: Ogni C*algebra commutativa è l’algebra difunzioni continue di un unico spaziotopologico localmente compatto.

CIOE’: se conosco tutte le funzionicontinue posso ricostruire lo spazio.



Geometria quantica di Penrose

Nel nostro caso serve a poco: le unichefunzioni continue sull’universo di Penrosesono costanti. L’universo di Penrose sicomporta come se fosse un unico punto.

MA è possibile associare all’universo diPenrose un’algebra non commutativa (chenon è un’algebra di funzioni ma si

comporta come se lo fosse) che permettedi capire la geometria dell’universo diPenrose.



Locke: nessun oggetto è conoscibile senon in base alle sue qualità.

Ci sono oggetti matematici indistinguibili

tramite le loro qualità. E’ necessariostudiarli con un nuovo paradigma. Unamatematica taoista.



Quali simmetrie per Penrose?

Ci sono isometrie delpiano che sono

simmetrie di unaporzione dellapavimentazione.

La strutturamatematica

corrispondente sichiama

Gruppoide di simmetria



Geometria non commutativa:

Studiare le proprietà dell’algebra digruppoide dello spazio di Penrose

(qualunque cosa voglia dire….)



Così si può dimostrare che in ogni

pavimentazione di Penrose il rapporto frail numero di frecce e aquiloni è costanteed uguale alla sezione aurea (N.B. ci sono

più aquiloni che frecce) La K-teoria della C* algebra di gruppoide

associata all’universo di Penrose è un

reticolo intero con rapporto fra i generatori uguale alla sezione aurea

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