Frattali e realta` - unige.itweb.inge.unige.it/SMA/2002/Frattali.pdf · Come si nota, il...

Universita degli Studi di GenovaFacolta di Ingegneria - Polo di Savona

via Cadorna 7 - 17100 SavonaTel. +39 019 264555 - Fax +39 019 264558

P.Oliva

PlainTex - DviPdf 1.2 op OP

19 Maggio 2002

Frattali e Realta 3

Introduzione.

L’osservazione di molti oggetti naturali, siano essi alberi, foglie, coralli o montagne, ci mostra chequesti difficilmente possono essere descritti con gli strumenti della geometria tradizionale che si studianelle scuole.

In altre parole, mentre le ben note figure geometriche quali i triangoli, i rettangoli, i poligoni ingenere ed i cerchi, oppure i solidi classici quali piramidi, parallelepipedi, coni, sfere, ecc., sono adattea descrivere le opere dell’uomo, siano essi palazzi o ponti od oggetti di diverso tipo come imbuti edaltro, male si prestano a rappresentare le forme della natura: una piramide non riproduce fedelmenteun monte, al piu ne e una sua rappresentazione stilizzata.

Per contro gli oggetti naturali sembrano essere molto irregolari e complessi, e proprio per questodi difficile studio, se non con strumenti molto complicati.

Un piu attento esame pero rivela che questi oggetti sono spesso caratterizzati da evidenti proprietadi auto-similitudine su differenti scale. Ad esempio se prendiamo un ramo di un albero, questo e unacopia rimpicciolita dell’albero stesso, ed allo stesso tempo e una copia ingrandita di alcune sue parti;cosı pure se noi guardiamo il profilo di una montagna da lontano esso presenta molte irregolarita chesi manifestano simili quando la guardiamo piu da vicino: i grossi massi diventano sassolini, ma lastruttura e simile.

Un altro esempio ben noto e la struttura dei nostri polmoni: i bronchi ed i bronchioli formanouna specie di albero, che ingrandito al microscopio rivela ancora una forma del tutto simile, e cosı via.

Tutto cio non accade con le ben note figure della geometria euclidea: se si prende un triangoloe lo si ingrandisce in prossimita di un suo lato si nota solo una linea retta che divide il piano in duenette parti (e non tanti altri triangolini piu piccoli).

Tentativi di studiare casi particolari di forme di oggetti naturali sono stati fatti molti anni fa;citiamo fra gli altri a titolo di esempio uno studio di D’Arcy Thompson (On growth and form) del1942, uno di Turing del 1952 sulla diffusione ed uno di Lindenmayer del 1968 sulle forme biologiche.

Va detto anche che figure particolari aventi proprieta di auto-similitudine erano gia note ai mate-matici da molto tempo (come vedremo in seguito), ma vennero considerate come casi patologici, attisolo a provare o a negare certe proprieta, senza utili applicazioni pratiche.

Bisogna arrivare al 1983, con il lavoro The fractal geometry of nature di Mandelbrot, per capireche tali insiemi possono essere applicati con ottimi risultati allo studio di molte forme naturali.

Sono quindi seguiti molti studi tra i quali ricordiamo sempre a titolo di esempio quelli sulle formedelle barriere coralline (Bradbury e Reichelt 1983), della vegetazione (Morse et al. 1985), dei vasisanguigni (Turcotte 1985, Wlczek 1989, Family 1989).

Le successioni definite per ricorrenza.

L’idea base che contraddistingue tutto cio che vedremo nel seguito deriva dalla considerazione checose molto complicate si possono ottenere o utilizzando metodi molto complessi (quali funzioni mate-matiche molto complicate) o, come vedremo, piu semplicemente utilizzando tecniche molto semplici,ripetute un numero molto elevato di volte.

Cio non deve sorprendere: si pensi a come da bambini si impara a disegnare un alberello, partendoda una linea con due ramificazioni (una Y) e ripetendo su ogni ramo la stessa operazione elementareper un certo numero di volte.

Per fornire un primo esempio concreto, incominciamo ad operare con cio che gia conosciamorelativamente bene (ovvero i numeri); piu avanti proveremo a lavorare su oggetti diversi: sulle linee,sugli insiemi del piano, ecc.

4 P.Oliva

Come primo passo introduciamo le successioni numeriche.Una successione numerica, come dice lo stesso nome, e una sequenza ordinata di numeri: il primo

numero verra indicato con a1 , il secondo con a2 , l’ennesimo con an , e cosı via.Per esempio an = 1

n e una successione i cui termini sono

1 ,12

,13

.....1n

.....

E molto facile calcolare quanto vale ad esempio a1000 perche utilizzando la stessa definizione dellasuccessione si ha

a1000 =1

1000.

Vi sono pero altri modi per definire una successione: supponiamo di affidare ad una banca uncerto capitale x e indichiamo con an il capitale presente dopo n anni.

E evidente che all’inizio, diciamo all’anno zero, il capitale sara data da a0 = x (utilizziamo qui gliindici a partire da zero per comodita); se la banca ci corrisponde un interesse q, dopo un anno avremoun capitale che e dato da quello iniziale a0 piu l’interesse qa0 (ovvero una percentuale del capitalepresente); in formula

a1 = a0 + qa0 = a0(1 + q)

Analogamente al secondo anno si avra

a2 = a1 + qa1 = a1(1 + q)

e piu in generale, il capitale presente all’anno n + 1 sara calcolabile a partire da quello dell’anno nmediante la formula an+1 = an (1 + q).

Pertanto le due relazioni {an+1 = an (1 + q)a0 = x

cioe il capitale di partenza e la formula per passare dal capitale di un anno a quello dell’anno successivo,permettono di determinare il capitale presente in un qualunque momento.

Si noti pero che vi e una grossa differenza tra questo secondo esempio e quello visto prima: nelprimo caso era sufficiente conoscere n per calcolare immediatamente an ; in questo caso per calcolaread esempio a1000 bisogna conoscere a999 , ma per avere a999 bisogna conoscere a998 e cosı via.

Queste particolari successioni sono dette successioni definite per ricorrenza; si passa cioe da unatermine al successivo utilizzando sempre la stessa formula ricorrente (an+1 = f(an ), cioe funzione dian ).

Va detto che in casi come quello sopra visto e molto facile vedere che

a1 = a0(1 + q) = x(1 + q) , a2 = a1(1 + q) = x(1 + q)2 , a3 = a2(1 + q) = x(1 + q)3 ....

da cuian = x(1 + q)n

ed abbiamo in tal modo ottenuto una espressione esplicita (cioe immediatamente calcolabile) per lasuccessione data.

Tutto questo non e pero sempre cosı facilmente ottenibile; consideriamo la seguente successione{an+1 = 1

5 + an − 12 a

2n

a0 = 15

Si potrebbe operare cercando una formulazione esplicita per an da

a1 =15

+ a0 −12a2

0 , a2 =15

+ a1 −12a2

1 =1950

+45a0 −

910a2

0 +12a3

0 −18a4

0 , ....

Frattali e Realta 5

ma come si vede risulta tutto piuttosto complicato.Utilizzando una calcolatrice possiamo calcolare alcuni termini ottenendo

a0 = .2 a4 = .6113246 a8 = .6320523 a12 = .6324482 a16 = .6324554 a20 = .6324555a1 = .38 a5 = .6244657 a9 = .6323072 a13 = .6324528 a17 = .6324555 a21 = .6324555a2 = .5078 a6 = .629487 a10 = .632401 a14 = .6324546 a18 = .6324555 a22 = .6324555a3 = .5788696 a7 = .6313601 a11 = .6324355 a15 = .6324552 a19 = .6324555 a23 = .6324555

Come si vede la successione tende (nel senso che i numeri si avvicinano) verso un valore benpreciso.

Per capire meglio quel che accade utilizziamo un piano cartesiano in cui rappresentiamo il graficodella funzione f(x) = 1

5 + x− 12x

2 .

Segnamo sulle ascisse il valore a0 = 15 e rileviamo sulle ordinate il valore a1 = f(a0) (tracciando

una linea verticale da a0 fino ad incontrare la funzione, e quindi una linea orizzontale fino all’asse delleordinate).

Per calcolare a2 = f(a1) e ora necessario riportare a1 sull’asse delle ascisse e questo puo esserefatto tracciando da a1 una linea orizzontale fino alla bisettrice del primo e terzo quadrante, e quinditracciando una linea verticale fino alle ascisse.

Dopo di cio si ripete il procedimento per trovare a2 ; si riporta a2 sulle ascisse, si determinaa3 = f(a2) e cosı via.

Come si nota, il procedimento puo essere riassunto nel seguente modo:1) si parte da a0 sull’asse delle ascisse2) si traccia una retta verticale fino ad incontrare il grafico di f3) si traccia una retta orizzontale fino ad incontrare la bisettrice-) si ripete a partire dal punto 2).

La spezzata poligonale si avvicina all’intersezione di f con la bisettrice, ovvero al punto x taleche f(x) = x; risolvendo 1

5 + x− 12x

2 = x si ottiene

x2 =25

e una soluzione e x =

√25≈ 0.6324555

come visto anche dai calcoli precedenti.Notiamo fra l’altro che nulla sarebbe cambiato, per quel che riguarda il risultato finale, se fossimo

partiti da un altro punto vicino ad 15 .

Con una piccola generalizzazione ed una buona dose di avventatezza, possiamo pensare di averetrovato un metodo che ci permette di risolvere l’equazione f(x) = x e poiche ovviamente ogni equazionesi puo scrivere in quella forma (basta portare tutto al primo membro e poi aggiungere x ad entrambei membri), di risolvere qualunque equazione.

Proviamo subito con un’altra situazione che, diversamente dalla precedente equazione di secondogrado, non sapremmo risolvere in alcuna maniera.

6 P.Oliva

Consideriamo f(x) = cos(x) e l’equazione

cos(x) = x

e proviamo a definire una successione nel seguente modo{an+1 = f(an ) = cos(an )a0 = 1

5

Utilizzando sempre una calcolatrice otteniamo (premendo ripetutamente il tasto “cos”)

a0 = .2 a4 = .6608375 a8 = .7233741 a12 = .7358642 a16 = .7384225 a20 = .7389487a1 = .9800666 a5 = .7894784 a9 = .7495766 a13 = .741251 a17 = .7395313 a21 = .739177a2 = .5569673 a6 = .7042157 a10 = .7319774 a14 = .7376245 a18 = .7387845 a22 = .7390232a3 = .8488622 a7 = .7621196 a11 = .7438543 a15 = .7400683 a19 = .7392876 a23 = .7391269

e dal grafico si vede ancora bene come la successione tenda verso quel punto cercato.

Purtroppo pero dobbiamo raffreddare il nostro eccessivo entusiasmo: qualche ulteriore conside-razione ci mostra che non sempre il metodo trovato funziona.

Osserviamo i seguenti grafici:

Come si vede, il primo ed il terzo grafico conducono a determinare quanto si cerca (l’intersezionetra il grafico della funzione e la bisettrice) da qualunque punto si parta, mentre negli altri casi lasuccessione tende sempre ad allontanarsi dal punto cercato.

Un esame un poco piu attento ci fa osservare che l’intersezione risulta un punto attrattivo quandola pendenza della curva non e troppo elevata (ad esempio nel primo grafico, quando il grafico dellafunzione interseca la bisettrice da sopra a sotto), mentre diventa un punto repulsivo quando la pendenzae elevata (maggiore di 45o in salita o in discesa).

Preciseremo rigorosamente questo in seguito.

Frattali e Realta 7

Vediamo ora un altro esempio: supponiamo di voler studiare la crescita di una popolazione dipersone, di batteri o altro.

Indichiamo al solito con a0 il numero di individui presenti al tempo zero e supponiamo dato untasso di crescita q annuale (o giornaliero o altro); allora, come per l’esempio del capitale in bancavisto prima, dopo un anno vi saranno a1 = a0 + qa0 individui e ripetendo il procedimento giungiamoancora alla successione definita dalla legge di ricorrenza

an+1 = an (1 + q) , con a0 dato .

Come gia visto si puo facilmente ottenere una forma esplicita per determinare il numero diindividui presenti all’anno n data da

an = a0(1 + q)n

Si osservi che la formula puo fornire valori di an non interi (il che non e molto bello trattandosidi individui), ma cio puo essere accettato, supponendo di lavorare con grandi numeri.

Per semplicita indichiamo con λ il valore (1 + q), per cui la formula diventa

an = a0λn

e quindi, se λ = 1, la popolazione rimarra costante; se λ > 1 la popolazione crescera; se 0 < λ < 1 lapopolazione decrescera fino ad esaurirsi.

Si noti pure che, quando la popolazione cresce, cresce in maniera esponenziale; il che vuol dire inmaniera molto veloce. Per renderci conto di cosa significhi una crescita esponenziale, consideriamo ilseguente semplice problema:

prendiamo un comune foglio di carta e pieghiamolo a meta (raddoppiandone lo spessore), poipieghiamolo ancora a meta (quadruplicandone lo spessore), e continuiamo cosı per 20 volte; la domandae: quanto diventa spesso il blocchetto di carta?

Una risposta intuitiva di solito porta a dire un valore dell’ordine del centimetro; facciamo quattrocalcoli: un foglio di carta ha uno spessore di circa 0.1 mm e dopo 20 piegature a meta il suo spessoreviene moltiplicato per 220 ; ora le potenze di 2 sono 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, .. e si ha220 = (210 )2 = 10242 = 1048576 per cui lo spessore totale sara

1048576110

mm = 104857.6mm

ovvero circa 105 metri (provare per credere).In realta non riusciremo mai a farlo, non solo perche all’ultima piegatura dovremmo piegare

un blocchetto di 50 metri di spessore sull’altra parte, ma perche partendo ad esempio da un foglioquadrato di 20 cm di lato, dopo 10 pieghe a meta il foglio ha una dimensione di poco piu di 6 mmper lato e diventa poco maneggevole.

Questo esempio mostra come la crescita esponenziale sia piu veloce di quanto si possa a prima vistaimmaginare, e quindi di quanto velocemente crescerebbero le popolazioni se obbedissero al modellomatematico sopra formulato.

Per fortuna non e proprio cosı, ovvero il succitato modello non descrive bene le crescite in que-stione, se non per tempi molto brevi.

Una semplice modifica al modello, che pero sembra rispecchiare bene le reali crescite di popo-lazioni, si ottiene modificando il coefficiente di crescita (che si era indicato con λ) sostituendolo conqualcosa che decresca all’aumentare della popolazione; si ritiene cioe che il sovrappopolamento facciadiminuire le nascite (o aumentare le morti), magari per scarsita di cibo o per l’insorgere di epidemieo altro.

La modifica piu semplice si ha sostituendo appunto λ con λ(1 − an ) (quel valore 1 non significache appena an = 1, ovvero c’e un individuo, la crescita si annulla, anzi muoiono tutti; si pensi a 1come ad una unita di misura della popolazione, ad esempio 1 milione di individui); la legge di crescitadiventa percio

an+1 = λ(1− an )an .

8 P.Oliva

Se proviamo a disegnare il grafico della funzione f(x) = λ(1 − x)x otteniamo una parabola cheinterseca le ascisse in 0 ed in 1 ed ha il vertice in x = 1/2 e y = λ/4; proviamo a fare qualche provacon differenti valori di λ.

Il primo grafico a sinistra mostra il caso λ = 0.8; come si nota la parabola interseca la bisettrice(per le x comprese tra 0 e 1) nel solo punto 0, e tale punto risulta attrattivo. Pertanto in questo casola popolazione tendera a diminuire fino all’estinzione.

Nel secondo grafico, con λ > 1, la parabola interseca la bisettrice in due punti; uno, l’origi-ne, e diventato un punto repulsivo, l’altro e attrattivo, e verso quel valore tende a stabilizzarsi lapopolazione.

Aumentando ancora λ, come si nota nel terzo grafico, l’intersezione con la bisettrice si ha inun punto in cui la parabola e gia diventata discendente ed e ancora un punto attrattivo perche lapendenza nel punto di intersezione e ancora piccola.

Quello che e difficilmente prevedibile e quello che succedera quando la pendenza della parabolanel punto di intersezione superera i 45o , facendo diventare repulsivo il punto stesso, e questo succedeper 3 < λ < 4.

Per tali valori, essendo il massimo della parabola minore di 1, la successione resta all’internodell’intervallo [0, 1], ma non tende a nessun valore.

E chiaro che calcolare a mano molti valori della successione e impossibile e solo con l’avvento deicalcolatori e stato possibile esaminare questo caso in dettaglio; i risultati sono molto interessanti.

Nel primo grafico a sinistra si vede il caso λ = 3.1 ; la successione, dopo un primo periodo diavvicinamento al punto, incomincia a danzare tra due valori, uno a destra ed uno a sinistra; nel secondografico sono riportati i valori della successione dopo le iniziali iterazioni, per evidenziare questo fatto.

Analogamente, nei seguenti due grafici, con λ = 3.5, si vede che la successione saltella tra quattrodifferenti valori.

Frattali e Realta 9

Il grafico seguente a sinistra mostra cosa succede per λ = 3.9; quello che appare e un comporta-mento che sembra totalmente casuale e cio e molto sorprendente, se si pensa alla legge che abbiamoutilizzato per generare la successione, che e veramente semplice.

Tutti i risultati precedenti sono riassunti nel grafico a destra dove in ascisse e riportato il valoredi λ da 0 a 4, e sulle ordinate i valori assunti dalla successione, trascurando i primi 500 termini.

Come si nota, per λ tra 0 e 1, la successione si attesta sul valore 0 ; per λ tra 1 e 3, la successioneva al valore intersezione tra parabola e bisettrice (soluzione dell’equazione λ(1 − x)x = x ovverox = 1− 1

λ ).Nel tratto che va da 3 a 4 si nota come prima la linea si biforca, cioe la successione oscilla tra

due valori, quindi tra quattro valori, poi tra otto e cosı via, per poi ricominciare (zone piu chiare) dameno valori e riaumentare, fino ad un comportamento come gia detto abbastanza casuale.

Rinotiamo come tale comportamento apparentemente casuale derivi da una legge deterministica,tra l’altro molto semplice; notiamo pure come piccole modifiche del parametro λ o del punto dipartenza, anche in funzioni per nulla complicate, possano causare grosse differenze di comportamentonella successione.

Tutto questo sembra andare un po’ contro il senso comune: sembrerebbe piu normale che piccolevariazioni dei valori iniziali o dei parametri, con equazioni cosı semplici, generassero soluzioni pocodifferenti (continuita; cio e vero, ma per tempi brevi).

Una situazione simile capita per esempio con le equazioni che regolano il comportamento deifenomeni atmosferici; anche se tali equazioni si possono rendere semplici e sono comunque determi-nistiche, piccole variazioni dei dati iniziali possono generare soluzioni enormemente differenti: eccoperche diventa cosı difficile fare delle attendibili previsioni del tempo, anche utilizzando computerpotentissimi.

10 P.Oliva

Successioni nel piano complesso.

Passiamo ora a considerare un’altra successione definita da{zn+1 = z2

n + λz0 = 0

e per complicarci un poco la vita consideriamo tale successione nei numeri complessi.Come e noto un numero complesso z = x + iy e costituito di una parte reale x e di una parte

immaginaria con coefficiente y, dove i rappresenta quel numero tale che i2 = −1 (che non esiste neinumeri reali, dove il quadrato di un numero e sempre maggiore o uguale a zero).

Pertanto, sempre se z = x+ iy, si ha (sviluppando il quadrato e ricordando che i2 = −1)

z2 = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy + i2y2 = (x2 − y2) + 2ixy

ovvero il quadrato di z e un nuovo numero complesso di parte reale x2 − y2 e parte immaginaria dicoefficiente 2xy.

Poiche un numero complesso puo essere rappresentato in un piano cartesiano come il punto dicoordinate (x, y), la successione di numeri complessi sara rappresentabile da una sequenza di puntidel piano le cui coordinate sono definite dalla seguente legge:

xn+1 = x2n − y2

n + pyn+1 = 2xnyn + qx0 = 0y0 = 0

avendo indicato con p e q rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di λ.Quello che si vuole qui studiare e ancora il comportamento della successione al variare di λ = p+iq,

ovvero di p e q.Nelle seguenti cinque figure e rappresentato il comportamento della successione, a partire da z1 ,

per i valori di p e q indicati. Si osservi che, essendo z0 = 0 = x0 = y0 , si ha z1 = λ = x1 + iy1 = p+ iq,cioe il termine z1 e proprio nel punto (p, q).

Si noti come a seconda dei valori di p e q anche non molto differenti, si ottengano successioni cherimangono limitate, oppure successioni che si allontanano dall’origine.

Per poter meglio evidenziare questo fatto, proviamo a fare un disegno in cui ogni punto (p, q)e colorato in maniera differente a seconda del comportamento della successione per quei dati p eq; piu precisamente coloriamo di azzurro quei punti (p, q) che generano successioni che rimangonolimitate, e coloriamo di differenti colori quei punti che generano successioni che tendono ad allontanarsidall’origine, a seconda della velocita con cui queste si allontanano.

In pratica si e realizzato un programma che, a partire dai valori di p e q, calcola un certo numerosufficientemente alto di termini della successione; se tutti questi termini si mantengono dentro uncerto cerchio di centro l’origine e raggio grande prefissato (la cui circonferenza rappresenta l’infinito)si presuppone che la successione si mantenga limitata ed il punto, come gia detto si colora di azzurro;

Frattali e Realta 11

se invece un termine zn esce dal cerchio (cioe va all’infinito) il punto si colora di un colore differentea seconda del valore di n (piu n e grande, piu tardi esce dal cerchio, piu e lenta la successione nel suotendere all’infinito).

La figura che si ottiene e la seguente (con in ascissa i valori di p da -2.5 ad 1.5, ed in ordinata ivalori di q da -1.5 ad 1.5):

e la parte centrale azzurra e nota con il nome di insieme di Mandelbrot.Tale figura presenta interessanti caratteristiche: intanto sul bordo della parte azzurra centrale

sono presenti punti molto vicini di colore differente; ancora una volta questo significa che cambiandodi poco i valori del parametro λ, ovvero i valori di p e q, si ottengono comportamenti molto differentidella successione, cioe velocita basse o alte di allontanamento dall’origine.

Ma quello che piu e notevole e cio che si vede ingrandendo una parte dell’immagine.

12 P.Oliva

Le precedenti figure mostrano successivi ingrandimenti della zona rettangolare segnata e quelloche risulta immediatamente evidente e che questa figura presenta la proprieta, gia notata negli oggettinaturali, che una sua parte ingrandita rivela caratteristiche simili all’originale e cosı via su differentiscale.

Per concludere, a titolo di esempio, si osservino le due seguenti immagini di un cavolfiore, pernotare come siano presenti in maniera chiara le citate proprieta di auto-similitudine.

Da lontano l’oggetto e assimilabile ad un cono, ma e in realta costituito da molte parti di formaconica, che ingrandite presentano la solita struttura composta da molte parti a forma conica, ecc.

In aggiunta, tale oggetto presenta un’altra particolare caratteristica: come si nota quelle sue particoniche sono distribuite lungo spirali che si avvolgono ruotando a destra e a sinistra, a seconda di comesi guardano (e tali spirali sono presenti uguali anche in ciascuna parte).

Se contiamo quante spirali vi sono che ruotano in senso orario o antiorario troviamo che esse sono13 e 21; questi non sono numeri a caso, ma sono termini della successione di Fibonacci, definita da{ an+1 = an + an−1

a0 = a1 = 1

ovvero una successione definita per ricorrenza, un po’ diversa da quelle viste prima, in quanto ognitermine dipende dai due precedenti, piu precisamente ne e la somma (partendo dai primi due terminiuguali ad 1).

E facile calcolarne alcuni termini e vedere che essi sono

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ....

Lo studio di questa successione, densa di notevoli applicazioni, esula comunque da questa nostratrattazione, ma alcuni interessanti aspetti (motivazioni della sua comparsa ad esempio nel cavolfiore)sono affrontati in appendice - Fibonacci e girasoli.


Primi frattali.

Come si e gia detto, molte figure auto-simili erano gia note da tempo ai matematici, ma nonerano state prese in considerazione per lo scopo che a noi ora interessa.

Fra tutte citiamo a titolo di esempio il triangolo di Sierpinsky e la curva di Koch.

Il triangolo di Sierpinsky e una figura piana ottenuta prendendo un triangolo ed eliminando iltriangolo centrale ottenuto congiungendo i punti medi dei lati; nei tre triangoli rimasti si ripete lastessa operazione, e cosı si procede all’infinito.

La figura cosı ottenuta e chiaramente auto-simile: essa e perfettamente simile alle tre partiprincipali che la compongono ed esse stesse sono a loro volta simili ad altre parti.

Stessa cosa si puo dire della curva di Koch; essa e ottenuta a partire da un segmento, sostituendoalla sua terza parte centrale i due lati di un triangolo equilatero, e ripetendo il procedimento su ogninuovo lato.

Nella figura sottostante sono riportati i vari passaggi per arrivare alla figure complete.

Un piu attento esame delle figure porta pero ad osservare alcune stranezze; prendiamo prima inesame il triangolo di Sierpinsky: esso e formato da tre parti uguali e distinte (corrispondenti ai tretriangoli ottenuti alla prima iterazione), ciascuna delle quali e una copia della figura totale, in scala1:2.

Ora semplici considerazioni geometriche ci portano a dire che, se un oggetto ha una dimensione,ovvero e una linea, e viene scalato di un fattore α, la sua misura (lunghezza) viene moltiplicata perun fattore β = α. Se un oggetto ha due dimensioni, ovvero e una figura piana, e viene scalato diun fattore α, la sua misura (area) viene moltiplicata per un fattore β = α2 . Infine se un oggettoha tre dimensioni, ovvero e un solido, e viene scalato di un fattore α, la sua misura (volume) vienemoltiplicata per un fattore β = α3 .

Supponiamo ora, ad esempio, che l’area del triangolo di Sierpinsky sia uguale a 4m2 ; essendo unafigura piana l’area di ciascuna delle tre parti principali da cui e composta (copia della figura totale inscala 1:2, dovrebbe avere, per le considerazioni precedenti area 1/4 rispetto al totale, ovvero 1m2 .

14 P.Oliva

La domanda che viene immediata e: se ciascuna delle tre parti che costituiscono la figura ha area1m2 , in tutto la figura dovrebbe avere un’area di 3m2 ; dov’e finito il m2 mancante?

Analogo problema sorge guardando la curva di Koch: supponiamo che la sua lunghezza sia ugualea 3m; essa e formata da 4 parti (corrispondenti ai quattro segmenti della prima iterazione) perfetta-mente simili alla figura totale, scalate di un fattore 1:3; pertanto in base alle solite considerazioni lalunghezza di ognuna delle 4 parti dovrebbe essere pari ad 1/3 della lunghezza totale, ovvero 1m.

La domanda questa volta e: se ciascuna delle quattro parti distinte che formano la figura halunghezza 1m, in tutto la curva dovrebbe avere lunghezza pari a 4m; questa volta ci avanza 1m!

Tutto questo e un bel problema. Per cercare di capire cosa sta succedendo torniamo un momentoalle considerazioni fatte sopra nei casi uno, due e tre dimensionali. Riassumendo quanto la visto, sed e la dimensione di un oggetto, sia essa 1 o 2 o 3, vale la relazione β = αd o anche, utilizzando ilogaritmi lnβ = d lnα , da cui si ottiene la formula

d =lnβlnα

ove si ricordi che β indica la variazione di misura dell’oggetto scalato di un fattore α.Bene, applicando questa formula, si scopre che, per il triangolo di Sierpinsky, ove ad un fattore

di scala α = 2 corrisponde una variazione della sua misura di β = 3, vale

d =ln 3ln 2

≈ 1.58496

mentre per la curva di Koch, ove ad un fattore di scala α = 3 corrisponde una variazione della suamisura di β = 4, vale

d =ln 4ln 3

≈ 1.26186

Ovvero, il triangolo di Sierpinsky non e proprio una figura bidimensionale, ma ha una dimensioneun po’ minore.

La curva di Kock non e una curva unidimensionale, ma ha una dimensione un po’ superiore.Non ha quindi senso domandarsi che area ha il triangolo di Sierpinsky, o che lunghezza ha la curva

di Koch, non essendo esse figure della geometria tradizionale, come ad esempio non ha senso chiedersiquanto sia lunga la costa della Liguria: una misura effettuata ad esempio su di una mappa in scala1:10000 fornira un certo risultato ragionevole, ma si scoprira poi che un tratto, considerato rettilineosu quella mappa, risultera tutto frastagliato in una carta in scala 1:1000, alterando totalmente lamisura fatta, e cosı via.

In parole povere, queste figure, cosı come la frontiera dell’insieme di Mandelbrot visto prima, o lacosta della Liguria, sono esempi di frattali, e non sono figure trattabili con la tradizionale geometriaad una, due o tre dimensioni.

Erbe ed alberi.

Dopo aver lavorato con leggi ricorrenti sui numeri reali e sui complessi, vediamo ora funzioniricorrenti che operano su stringhe di caratteri.

Piu precisamente ci occupiamo di un semplice linguaggio introdotto da Lindenmayer (noto comeL-system) che fa uso di pochi simboli che possono essere riassunti nei seguenti, a fianco dei quali eriportata l’azione a loro collegata:


F traccia un segmento nella direzione attuale+ gira a destra (di un angolo prefissato)- gira a sinistra (dello stesso angolo)[ memorizza l’attuale posizione e direzione] torna al punto (e alla direzione) memorizzato

Definendo la figura di partenza, l’angolo di rotazione e la legge di ricorrenza, si possono ottenerefigure estremamente interessanti.

Ad esempio il seguente codice

0 = Fa = 7F = F[+F]F[-F]F

viene cosı interpretato:- si parte da una stringa uguale ad F- ad ogni curva si ruota di un angolo pari ad 1/7 di angolo piatto- si utilizza una legge ricorrente che ad ogni iterazione sostituisce nella stringa ad ogni F la nuova

stringa F[+F]F[-F]F.Pertanto, dopo la prima iterazione, la stringa iniziale F diventa

F[+F]F[-F]F

e se proviamo ad eseguire quanto ci dice di fare questa stringa, ovvero

F tracciamo un segmento (verticale)[ memorizziamo questo punto e la direzione verticale+F giriamo a destra e tracciamo un segmento] torniamo al punto memorizzatoF tracciamo un segmento verticale[ memorizziamo questo punto e la direzione verticale-F giriamo a sinistra e tracciamo un segmento] torniamo al punto memorizzatoF tracciamo un segmento verticale

otteniamo la prima figura a sinistra qui sotto.Se ora facciamo una seconda iterazione, risostituendo ad ogni F in F[+F]F[-F]F la stringa

F[+F]F[-F]F, (cioe sostituendo ad ogni segmento una figura simile a quella ottenuta) otteniamo

F[+F]F[-F]F [+ F[+F]F[-F]F ] F[+F]F[-F]F [- F[+F]F[-F]F ] F[+F]F[-F]F

(gli spazi servono solo a rendere piu evidenti le sostituzioni).Eseguendo i comandi contenuti in tale stringa si ottiene la seconda figura, ed iterando il procedi-

mento la stringa diventa sempre piu lunga e la figura da essa generata sempre piu simile ad un oggettoreale, in questo caso una particolare erba.

Nella figura sono riportate, come indicato, la prima, seconda, terza e quinta iterazione.

16 P.Oliva

La figura limite risulta essere poco significativa, essendo oltre la definizione dei punti sullo scher-mo.

Modificando il codice iniziale si possono ottenere altre interessanti immagini, come si puo vederedalle seguenti figure (il numero vicino ad ogni immagine ne indica l’iterazione):

I codici necessari per queste figure sono rispettivamente:

0 = F 0 = Fa = 8 a = 6F = FF+[+F-F-F]-[-F+F+F] F = F[+F][-F]F

Il codice della prima figura e

0 = Xa = 6X = F-[[X]+X]+F[+FX]-XF = FF

Si noti la presenza di un nuovo simbolo X; tale simbolo non corrisponde a nessuna operazione, ilsuo utilizzo e solo strumentale, esso verra sostituito nella successiva iterazione da un’altra stringa comeindicato nella sua definizione (come un qualcosa che non si vede, ma che contiene in se le informazioniper generare qualcos’altro di ben visibile).

La seconda figura puo ricordare un pino; la terza e una figura piu particolare, meno reale, manota ai matematici come curva di Hilbert.

Tale curva, di cui vediamo le prime iterazioni nella seguente figura


realizzate con il codice

0 = Xa = 2X = -YF+XFX+FY-Y = +XF-YFY-FX+

ha la proprieta di riempire tutto il quadrato (pur essendo una curva).Si noti ancora come sarebbe poco significativa la figura finale limite di tutte queste iterazioni,

ovvero il quadrato pieno.

Un altra figura gia vista, che e possibile riprodurre con queste tecniche e la curva di Koch.Utilizzando il codice

0 = Fa = 3F = F-F++F-F

ovvero traccia un segmento, gira a sinistra di 60o , traccia un segmento, gira a destra di 120o ,traccia un segmento, gira a sinistra di 60o , traccia un segmento e quindi ripeti, si ottengono le figure

Per ultimo vediamo come utilizzando due colori si possono ottenere immagini ancora piu realisti-che.

Le seguenti figure sono state ottenute disegnando con linee piu spesse di colore marrone gli oggettipiu vecchi (derivanti dalle prime iterazioni) e con linee piu sottili di colore verde quelli piu giovani (itratti delle ultime iterazioni).

Il codice utilizzato e

0 = FXa = 5X = F[+X]F[-F]F = FAA = F

L’effetto ottenuto riproduce abbastanza bene un albero.Notiamo per inciso come la sequenza F=FA,A=F faccia crescere piu lentamente i tronchi rispetto ad

una sequenza del tipo F=FF. Quest’ultima raddoppierebbe ogni volta le lunghezze, mentre la precedente

18 P.Oliva

fornisce una crescita del tipo di quella della successione di Fibonacci, che risulta piu gradevole allavista e piu realistica.

Qualche approfondimento teorico.

Abbiamo precedentemente visto che, nel caso delle successioni reali definite per ricorrenza me-diante la formula an+1 = f(an ), il metodo grafico utilizzato per studiare il comportamento dellasuccessione stessa ci mostra come non sempre ci si avvicini al punto intersezione tra il grafico di f ela bisettrice del primo e terzo quadrante.

Per inciso, tale punto che risolve l’equazione

f(x) = x

e detto punto fisso di f ; cioe la funzione trasforma ogni punto x del suo dominio in un punto f(x)generalmente diverso da x, e, come dice il nome stesso, punto fisso e quel punto x che viene trasformatoda f in f(x) = x (ovvero non si e mosso, e rimasto fisso).

Poiche, come abbiamo gia notato, ogni equazione puo essere scritta nella forma f(x) = x, diventaimportante sapere quando il metodo visto (utilizzare cioe la successione an+1 = f(an )) porta a trovarela soluzione.

Abbiamo percio di fronte, come sempre accade quando si cerca qualcosa, da affrontare due pro-blemi:

1) Sapere se cio che stiamo cercando esiste; questa e la domanda che dobbiamo sempre porci perprima, in quanto e assolutamente inutile cercare una cosa che non c’e. Sarebbe poi utile saperequante sono le cose che cerchiamo (ovvero quante soluzioni ha l’equazione che ci interessa), pernon fermarci prima di averle trovate tutte.

2) In caso di risposta affermativa alla prima domanda, determinare un modo per trovare tutto cioche cerchiamo.

Si noti che una volta stabilito un algoritmo per trovare le soluzioni, il secondo punto diventa pocoimportante, in quanto i calcoli verrano eseguiti dalle macchine predisposte a cio; quello che conta(ed e utile averlo ben chiaro) e sapere se stiamo facendo lavorare il calcolatore sapendo di trovare lesoluzioni, o lo stiamo facendo lavorare invano.


Questo aspetto e quel qualcosa in piu che si deve acquisire dopo lo studio delle scuole superiori,dove ci si preoccupa di fornire agli studenti gli strumenti di calcolo algebrico per risolvere certi tipistandardizzati di problemi (equazioni di primo e secondo grado, sistemi, disequazioni sempre di primoe secondo grado, o a queste riconducibili, ecc.).

Ma la realta ci presenta invece molte volte problemi non riconducibili a quelli standard, e non sipotra piu dire: “non fa parte del programma e quindi non sono tenuto a saperlo fare”.

Per contro, tutti quei lunghi calcoli per risolvere equazioni, disequazioni o sistemi, verrano ef-fettuati dalle macchine, lasciando a noi il solo compito di scegliere gli strumenti adatti da utilizzare(ovvero la parte piu difficile del problema).

Ma torniamo al problema iniziale: osservando meglio i grafici sottostanti (si ricordi che avevamogia giustificato l’avvicinarsi o meno della successione al punto fisso, con la pendenza piu o meno elevatadel grafico nel punto intersezione) si nota che la successione tende al valore cercato nei casi (prima eterza figura) in cui, presi due punti x e y del dominio, i corrispondenti punti f(x) ed f(y) risultanopiu vicini di quanto lo erano x ed y.

Non funziona invece quando la distanza che c’e tra f(x) ed f(y) e piu grande di quella che vi eratra x ed y.

Una funzione che ha la proprieta di avvicinare f(x) ed f(y), rispetto ad x e y e chiamata daimatematici con il nome di contrazione.

Ovvero, come dice il nome stesso, tale funzione contrae le distanze, avvicinando i punti.In formula, f si dice contrazione se, per ogni x ed y nel suo dominio, risulta

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|

dove k e un numero tale che 0 ≤ k < 1.Il che significa (lo notiamo per l’ultima volta) che la distanza che c’e tra f(x) ed f(y), ovvero

|f(x) − f(y)|, e minore o uguale alla distanza che c’e tra x e y, moltiplicata ancora per un numerominore di uno.

Bene, esiste un teorema in analisi, che ci permette di rispondere in una sola volta alle due questioniche ci eravamo posti prima, (Teorema 7).

Teorema. Sia f : R→ R una contrazione; allora esiste uno ed un solo punto fisso x per f .Inoltre, scelto un qualunque punto b, e definita la successione{

an+1 = f(an )a0 = b

tale successione tende al punto fisso x.

Utilizzeremo tra poco questo risultato.

20 P.Oliva

Successioni di insiemi piani.

Possiamo ora fare ancora un passo avanti, ed occuparci di successioni di insiemi nel piano.Per far cio necessitiamo di alcune premesse:consideriamo una semplice funzione dal piano cartesiano (x, y) al piano cartesiano (X,Y ), definita

da

f :{X = ax+ by + uY = cx+ dy + v

Tale funzione e lineare, (ci limiteremo a tale caso per semplicita) cioe le variabili compaiono inmodo lineare (x ed y sono moltiplicate per una costante e sommate con un altra costante; non vi sonopotenze o funzioni complicate).

Come si puo notare facendo due calcoli (e osservando la figura) il punto x = 0 ed y = 0 vienetrasformato nel punto X = u ed Y = v; cosı il punto x = 1 ed y = 0 va nel punto X = a + u edY = c+ v; il punto (0, 1) va in (b+ u, d+ v), il punto (1, 1) va in (a+ b+ u, c+ d+ v); i punti internial quadrato a sinistra finiscono nei punti interni al parallelogramma a destra, ecc.

Possiamo quindi dire che la funzione che trasforma il punto (x, y) nel punto (X,Y ) e una tra-sformazione di insiemi del piano in insiemi del piano (ad esempio il quadrato e stato trasformato nelparallelogramma)

Ora, se le distanze tra i trasformati f(A) ed f(B) di due punti qualunque A e B e minore delladistanza che vi era tra gli stessi A e B, possiamo dire che la funzione in oggetto e una contrazione.

In altre parole, la figura trasformata risulta piu piccola della figura originale.Rifacendoci al precedente teorema sulle contrazioni, che continua a valere anche se non siamo

piu nei numeri reali, ci possiamo quindi aspettare che, se noi prendiamo un insieme qualunque edapplichiamo su di esso tante volte la trasformazione precedente, gli insiemi ottenuti diventino semprepiu piccoli e tendano a diventare un punto (il punto fisso per la trasformazione in questione).

Come esempio, si prenda la trasformazione{X = x

2 + y10 + 1

2

Y = x10 + y

2 + 1950

e si osservi come, partendo dal quadrato di vertici (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), ed applicando piu volte lafunzione, si finisca dopo alcune iterazioni nel punto (1.2,1) che e il punto fisso per la trasformazione,ovvero quel punto (x, y) soluzione del sistema

{x = x

2 + y10 + 1

2

y = x10 + y

2 + 1950


Diverso ed interessante e il caso in cui si usano insieme piu di una contrazione; per illustrare cioriprendiamo ora in esame il triangolo di Sierpinsky

Come abbiamo gia osservato l’insieme ha la seguente caratteristica: esso e costituito da tre partiuguali, perfettamente simili alla figura completa, ma di dimensioni dimezzate.

Cioe se si considerano le tre trasformazioni:1) dimezza la figura2) dimezza la figura e trasla a destra di 1

23) dimezza la figura e trasla in alto di 1

2si ha che l’insieme risulta essere l’unione delle immagini di se stesso attraverso le tre precedenti

contrazioni:

f1 :{X = x

2Y = y

2f2 :

{X = x

2 + 12

Y = y2

f3 :{X = x

2

Y = y2 + 1

2

Quanto sopra visto si riassume nell’affermazione:il triangolo di Sierpinsky e il punto fisso dell’unione di f1 , f2 , f3 .Allora, se utilizziamo il risultato sulle contrazioni (in un senso piu generale, Teorema 8), ci

aspettiamo che, ripetendo su un triangolo piu volte le precedenti funzioni, la figura tenda a diventareil triangolo di Sierpinsky.

La figura seguente mostra le varie iterazioni a partire dal triangolo originale.

Si noti pero che, essendo contrazione, il risultato si puo ottenere a partire da qualunque insieme,come mostrano le seguenti figure.

22 P.Oliva

Per comodita rappresentiamo i coefficienti a, b, c, d, u, v delle funzioni in una tabella (dove i indicail numero della funzione).

Per il triangolo di Sierpinsky appena visto si ha quindi

i a b c d u v

1 .5 0 0 .5 0 02 .5 0 0 .5 .5 03 .5 0 0 .5 0 .5

Come altro esempio consideriamo la ben nota curva di Koch e cerchiamo di interpretarla comepunto fisso di qualche trasformazione.

Come si nota essa e ottenuta dalle quattro trasformazioni indicate nella figura a destra e definitedalla seguente tabella

i a b c d u v

1 .333 0 0 .333 0 02 .167 -.289 .289 .167 .333 03 .167 .289 -.289 .167 .5 .2894 .333 0 0 .333 .667 0

Sono riportate nella figura seguente alcune iterazioni, a partire da differenti insiemi.


Si osservi come, partendo dal segmento orizzontale di lunghezza 1, si notino tutti i passaggicostruttivi della curva.

E ora giunto il momento di cimentarsi con qualcosa di piu reale del triangolo di Sierpinsky.Si prenda per esempio in esame la seguente foglia di felce.

essa puo essere pensata come l’unione di tre contrazioni, come rappresentate in figura; la tabellarelativa risulta:

i a b c d u v

1 .85 .04 -.04 .85 0 1.62 .2 -.26 .23 .22 0 1.63 -.15 .28 .26 .24 0 .444 0 0 0 .16 0 0

(La quarta contrazione produce il tratto verticale ai piedi della felce).Naturalmente (lo dice il teorema delle contrazioni) applicando ripetutamente le funzioni prece-

denti a partire da una qualunque figura, si ottiene la foglia di felce.Vedere la sequenza delle iterazioni fa sempre un certo effetto, ma questo non deve stupire: quella

foglia e l’unica figura esistente che sia punto fisso per quelle trasformazioni, e pertanto non puo essereche quella la figura finale ottenuta.

Nell’esempio che segue siamo partiti dall’immagine di un gatto, ma come si nota non c’e scampo:si finisce dove si deve finire.

24 P.Oliva


Modificando quei pochi numeri delle tabelle si possono ottenere svariate figure; come esempi diimmagini ottenibili sempre con quattro funzioni, si vedano

i a b c d u v

1 .6 0 0 .6 0 2.42 .6 0 0 .6 0 .93 .4 .3 -.3 .4 0 1.84 .4 -.3 .3 .4 0 1.8

i a b c d u v

1 .6 0 0 .6 0 .42 .4 -.2 .4 .5 0 .23 .4 .2 -.3 .4 0 .34 .3 .04 0 .3 0 .2

(per quest’ultima figura e necessario un particolare accorgimento per generare il tronco),oppure, con piu funzioni:

Si notino sempre le proprieta di auto-similitudine: ogni lettera e composta sempre dalla parolaCIAO e cosı su ogni scala.

Vedremo in seguito come tutte queste figure possano essere ottenute con l’utilizzo di poche righedi programma.

26 P.Oliva

Un semplice programma.

Uno degli aspetti piu interessanti delle cose fin qui viste sta nel fatto che sono sufficienti pochinumeri per generare figure alquanto complesse.

Riflettiamo un momento su questo fatto: un’immagine su di uno schermo a risoluzione abbastanzabassa, ad esempio di 640 per 480 punti, paragonabile alla risoluzione televisiva, contiene 307200(= 640× 480) punti.

Per definire quindi un’immagine in bianco e nero, utilizzando un byte per punto (scala di grigida 0 a 255), sono necessari 307200 bytes; per un’immagine a colori, dovendo utilizzare 3 bytes perpunto (uno rispettivamente per il rosso, il verde ed il blu) ne servono 921600; diciamo circa 1Mb (chediventano quasi 1.5Mb se la risoluzione e di 800 per 600 punti).

Se poi si considera che per un secondo di filmato occorrono 25 fotogrammi, ovvero 25Mb (senzacontare .1Mb necessari per l’audio), si capisce che un filmato della durata di un’ora richiede qualcosacome 90000Mb ovvero 90Gb.

Una quantita di memoria spropositata (senza contare comunque la necessita di trasferire in temporeale i 25Mb al secondo).

E vero che si usano metodi di compressione dei dati, per poter far stare un intero film o partedi esso in un Cd della capacita di 600Mb (perdendo qualcosa in definizione, ma cio e scarsamenteavvertito dall’occhio, trattandosi di immagini in movimento).

E pero anche vero che noi siamo riusciti a riprodurre un’immagine abbastanza elaborata come adesempio la foglia di felce, utilizzando soltanto 24 numeri.

Se fosse possibile utilizzare queste tecniche per codificare i fotogrammi che ci interessano, avremmorealizzato delle fortissime compressioni. Tali tecniche richiedono pero un certo dispendio di tempo;alcuni aspetti sono mostrati in appendice - La compressione frattale.

Uso di tali tecniche si fa per la decompressione di immagini da porre su Cd, per esempio perle enciclopedie o simili, dove il lavoro di compressione viene fatto una sola volta per tutte, prima diregistrare il Cd. La decompressione viene poi fatta dall’utilizzatore e questo porta via pochissimotempo, come vedremo tra breve.

Torniamo alle nostre figure: quelle che abbiamo precedentemente visto sono state generate da unprogramma che ha ripetutamente applicato le varie funzioni sulle singole iterazioni. In altre parole ilprogramma esamina ogni punto dell’immagine (in bianco e nero) e quando trova un punto appartenenteall’oggetto (un punto nero) calcola i punti trasformati segnandoli sulla successiva iterazione. Alla fineripete tutto il processo dall’inizio per la successiva iterazione.

Come e facile immaginare tutto cio causa un notevole dispendio di tempo.Un grosso aumento di velocita del processo si ottiene sfruttando quanto ci dice la teoria: ricordia-

mo che, per la natura stessa delle funzioni (contrazioni), l’oggetto di partenza puo essere qualunque,anche un solo punto.

Questo suggerisce un semplice modo per rappresentare i punti fissi di una IFS (questo e il no-me tecnico di un’unione di contrazioni, “iterated function system”); definiamo una successione perricorrenza nel seguente modo

a0 ∈ R2 , an+1 = fi(an ) con i scelto a caso in 1...n

(e possibile eventualmente attribuire delle probabilita di scelta in 1...n).E chiaro che, se indichiamo con An la figura ottenuta all’ennesima iterazione, per ogni n si ha

che an e un punto di An , per cui, se n e abbastanza grande, il punto an e vicino al punto fisso.Disegnando pertanto nel piano i punti an (tranne le prime iterazioni, per dare tempo alla succes-

sione di avvicinarsi al punto fisso) si ottiene in poco tempo l’immagine cercata.Un semplice programma che riproduce l’insieme di Sierpinky e il seguente, scritto in QBasic; si

suppone uno schermo con una risoluzione di 640× 480 punti, si parte dal punto (1, 1) e la scelta di ie fatta a caso, con uguale probabilita, nell’insieme {1, 2, 3}; sono disegnati i punti dopo la ventesimaiterazione.

Le prime quattro istruzioni forniscono i 18 numeri necessari a definire le 3 funzioni (6 coefficientiper funzione) e le memorizzano nei vettori a(), b(), c(), d(), u(), v(); nelle successive si calcolano 100000


punti, scegliendo a caso un numero tra 1 e 3 (RND(1) genera un numero tra 0 ed 1, moltiplicandoloper 3 sta tra 0 e 3, la sua parte intera e o 0 o 1 o 2, ed infine aggiungendo 1 il numero risulta 1 o 2 o3), calcolando la successiva iterazione e disegnando il punto, come gia detto, se n > 20.

DATA .5,0,0,.5,0,0DATA .5,0,0,.5,.5,0DATA .5,0,0,.5,0,.5FOR i = 1 TO 3: READ a(i), b(i), c(i), d(i), u(i), v(i): NEXT iSCREEN 12: x = 1: y = 1FOR n = 1 TO 100000: i = 1 + INT(3 * RND(1))xx = a(i) * x + b(i) * y + u(i): yy = c(i) * x + d(i) * y + v(i)x = xx: y = yy: IF n > 20 THEN PSET (200 + 300 * x, 400 - 300 * y)

NEXT n

Le seguenti immagini mostrano le figure gia viste in precedenza, in cui pero i punti sono staticolorati a seconda della scelta casuale della funzione (per rendere piu evidenti le immagini generateappunto dalle differenti funzioni).

Si tenga presente che non sempre e conveniente scegliere con uguali probabilita le funzioni dautilizzare; se questo e valido per il triangolo di Sierpinsky, dove le tre immagini colorate sono ugualie quindi contengono lo stesso numero di punti, lo stesso non si puo dire per la foglia di felce, dove eben evidente che la zona blu contiene molti piu punti (essendo piu vasta).

E ragionevole pertanto apportare qualche correzione al programma (all’istruzione che sceglie ilnumero casuale) in modo da variare la probabilita di scelta delle funzioni: una scelta opportuna equella di utilizzare probabilita proporzionali alla superficie da ricoprire (che e proporzionale al valore|ad− bc|).

Per la foglia di felce, per esempio, si ha, aggiungendo il parametro p (probabilita di scelta) lanuova tabella

i a b c d u v p

1 .85 .04 -.04 .85 0 1.6 .852 .2 -.26 .23 .22 0 1.6 .073 -.15 .28 .26 .24 0 .44 .074 0 0 0 .16 0 0 .01

Differenti valori di p causano comunque interessanti risul-tati, con differenti ombreggiature, ed utilizzando vari colori aseconda delle diverse densita dei punti si possono ottenere adesempio foglie con colori “autunnali”.

28 P.Oliva

Paesaggi, montagne, ecc.

Osserviamo intanto che e possibile gia realizzare qualche semplice immagine, sufficientementevicina alla realta, componendo qualche albero di quelli precedentemente visti, e utilizzando qualchecolore: se il punto va sul tronco e utilizzato un marrone (e tale colore viene conservato ancora perqualche iterazione successiva, in quanto i trasformati di tali punti sono i rami) e anche due sole tonalitadi verde per le foglie.

Si ottiene cosı un’immagine del tipo

Un ultimo problema che vogliamo pero ancora affrontare e quello di realizzare immagini cheriproducano paesaggi piu complessi, sufficientemente realistici.

A questo scopo, incominciamo ad occuparci di profili montani.Una prima semplificazione di un profilo montano puo essere una semplice spezzata poligonale:

dati cioe alcuni punti, magari scelti a caso, questi sono congiunti da segmenti.Vediamo questo semplice procedimento dal punto di vista dei processi iterativi; il segmento con-

giungente i punti A1 ed A2 puo essere realizzato nel seguente modo:date le coordinate (x1 , y1) del punto A1 ed (x2 , y2) del punto A2 , si determinano le coordinate

(x3 , y3) del punto medio B mediante le

x3 =x1 + x2

2, y3 =

y1 + y2

2

si determinano quindi le coordinate dei due nuovi punti medi C e si continua cosı fino ad aver tracciatotutti i punti del segmento.

Con questa impostazione, il metodo si presta a semplici modifiche: ad esempio nella formula delcalcolo della quota media

ym =yi + yj

2

e possibile introdurre un piccolo disturbo (un numero casuale), per rendere meno rettilineo il segmento.


Una modifica del tipo

ym =yi + yj

2+ r

dove r e un numero casuale in un intervallo da −δ a δ, con δ prefissato, genera una figura come quellaa sinistra

per la verita questa volta troppo frastagliata (l’ampiezza della frastagliatura dipende dalla scelta diδ).

Se noi pero introduciamo un fattore che faccia variare δ, rimpicciolendolo man mano che l’inter-vallo si restringe, (si osservi che se la figura e autosimile le oscillazioni sono proporzionali alla scala)in maniera proporzionale alla sua ampiezza; scegliamo cioe

ym =yi + yj

2+ pr

dove r e il solito numero casuale (compreso tra -0.5 e 0.5) e p = |xj − xi |, il risultato e decisamenteapprezzabile (figura a destra).

Si noti che l’introduzione di un po’ di caso puo essere applicata a qualunque altra situazione;se prendiamo il caso degli L-system ed applichiamo una piccola perturbazione casuale alla lunghezzadei segmenti ed all’angolo di rotazione, otterremo per esempio una figura di un albero che sara menoperfetto dal punto di vista geometrico, ma proprio per questo ancora piu realistico.

Vediamo ora di applicare il procedimento visto per generare profili di montagne al caso tridimen-sionale.

Generiamo cioe una superficie che si possa utilizzare per disegnare una porzione di superficieterrestre.

L’idea e naturalmente la stessa: si parte da una matrice di valori (che rappresentano le quote)definita in alcuni punti, con valori arbitrari; tali punti sono indicati con la lettera A nella figuraseguente.

30 P.Oliva

Vengono poi calcolate le quote nei vari punti intermedi, indicati con B, facendo la media tra lequote dei quattro vertici dei quadrati, alterata di un fattore casuale proporzionale alla dimensione deiquadrati; successivamente si ripete il procedimento calcolando le quote nei nuovi punti intermedi Ccon la stessa tecnica (per i punti sul bordo la media si puo fare fra tre valori).

Il procedimento viene ripetuto sui quadrati sempre piu piccoli, fino ad aver calcolato le quote intutti i punti della matrice.

Nell’immagine a fianco e fornita una rappresenta-zione delle curve di livello della superficie ottenuta; talicurve appaiono abbastanza accettabili: non sono cioe netroppo regolari, ne troppo casuali.

A questo punto e facile sbizzarrirsi e generare varitipi di immagini.

Possiamo colorare la figura con alcune tonalita digrigio a seconda della differenza di quota tra un pun-to e quello immediatamente adiacente (per esempio adestra in basso), per ottenere un effetto di ombra (figu-ra a sinistra), o colorare le quote con poche tonalita di

verde e marrone, come nelle carte geografiche fisiche ed ottenere la figura di destra.Oppure possiamo colorare di azzurro le quote inferiori ad un certo valore (riempire con acqua);

genereremo in tal modo una mappa in cui sia presente anche una certa parte di mare, o lago; duerisultati sono mostrati nelle altre due immagini, utilizzando differenti quote per il mare.


Possiamo spalmare tale figura su di una sfera, ottenendo pianeti immaginari:

Possiamo invece utilizzare ad esempio una scala dall’azzurro al bianco per colorare le quote edottenere un cielo con nuvole (piu o meno nuvoloso a seconda della quota sotto la quale si lascial’azzurro, ovvero il sereno):

Possiamo infine riunire tutto in un’unica immagine (a bassa risoluzione per semplicita, con pochicolori in tutto, una quindicina di azzurri e altrettanti fra verdi e marroni), utilizzando i cieli cosıgenerati per lo sfondo, e riportando le montagne in prospettiva (o assonometria) utilizzando sia letonalita di verde e marrone a seconda della quota, e due tonalita di ogni colore, uno piu scuro ed unopiu chiaro a seconda del fatto che la sezione del profilo montano che viene disegnato va in salita o indiscesa ottenendo un gradevole effetto di ombreggiatura.

Sono qui riportate due differenti immagini, sempre ottenute dalla precedente matrice, ove si efissata a differenti valori la quota al di sotto della quale sta l’acqua (mare o lago alpino).

Ovviamente tutto quanto fatto, essendo generato dai primi punti casuali Ai messi sulla matriceoriginale, fornisce un’infinita di differenti immagini: basta generare un’altra matrice per avere un altropaesaggio.

Inoltre, data la semplicita delle tecniche utilizzate (il solito ripetere tante volte la stessa opera-zione), i risultati sono piu che apprezzabili.

Volendo essere pignoli, ci sono due cose che non vanno molto bene: la prima e che se si riguardal’immagine in scala di grigi della vista in pianta, cio che si vede assomiglia piu ad un paesaggio lunareche ad uno terrestre; mancano gli effetti dell’erosione, le valli generate dai fiumi, ecc.; la seconda e che

32 P.Oliva

avendo riempito d’acqua fino ad una quota prefissata, i vari laghi si trovano tutti alla stessa quota, ecio non e realistico.

Per ovviare a cio si potrebbe generare una erosione artificiale; per curiosita si e provato a realizzareun semplice programma che fa le seguenti cose:

- si suppone di far cadere in un punto una goccia d’acqua e si segue il percorso di tale goccia nellasua discesa verso valle: si guarda cioe, dato il punto in cui si trova la goccia, qual e il puntoadiacente con la quota piu bassa, in modo da far passare su quel punto la goccia stessa.

- si ripete tale procedimento fino a che la goccia non raggiunge un punto da cui non puo piuscendere (i punti adiacenti sono tutti a quote piu alte)

- tutto quanto sopra viene ripetuto per ogni punto dell’immagine, ovvero si suppone di far cadereuna pioggia uniforme sulla superficie.Cosı, in base al computo di quante gocce sono passate per ogni punto, si ha un’idea di quanta

erosione ci sia stata in quel punto.Le immagini seguenti mostrano la superficie originale, i fiumi che si sono generati (ottenuti colo-

rando ogni punto con grigi proporzionali alla quantita d’acqua passata per quel punto; piu scuro, piuacqua) e infine la stessa superficie erosa (le quote sono state diminuite sempre in maniera proporzionaleall’acqua da lı passata).

La dove i fiumi finiscono si vedono anche alcuni laghi le cui profondita sono naturalmente pro-porzionali alla quantita d’acqua ivi affluita.

Un ultimo appunto va fatto sulla struttura dei fiumi, in quanto essi appaiono un po’ tropporegolari, disposti lungo linee inclinate intorno ai 45o , e questo e probabilmente un difetto del generatoredei numeri casuali utilizzato per costruire la superficie.

Comunque l’orografia risulta molto complessa in quanto la regione presenta numerose valli equindi va interpretata come una zona geografica piuttosto estesa.

Naturalmente il disegno di profili montani non e l’unica applicazione dei grafici sopra visti. Conun po’ di fantasia si potrebbero utilizzare per generare musica; si veda in appendice - Frattali e musicadove si puo trovare anche un breve filmato realizzato con un paesaggio ricavato da frattali.

In ogni caso possiamo ritenerci abbastanza soddisfatti.


Fibonacci e girasoli.

La caratteristica delle spirali vista nel cavolfiore e molto diffusa in natura: la seguente immaginemostra un frutto di ananas, una pigna, un carciofo e le parti centrali di due fiori, ultimo dei quali ungirasole, ed in tutte le immagini sono visibili le distribuzioni a spirale (secondo i numeri di Fibonacci)dei vari componenti.

Per riuscire a spiegare il motivo di questa continua comparsa dei numeri di Fibonacci bisognafare qualche passo indietro.

Leonardo da Pisa, meglio noto come Fi(lius)Bonacci(i) o Bigollo, nacque a Pisa intorno al 1170;figlio d’un borghese uso a trafficare nel Mediterraneo, visse fin da piccolo nei paesi arabi e qui appresei principi dell’algebra. In seguito, sempre esercitando il commercio, viaggio in Siria, Egitto e Grecia,conoscendo i grandi matematici del luogo.

Egli si rese conto della superiorita del sistema decimale indiano (arabico), cioe della notazioneposizionale, nei confronti del sistema romano ancora in uso in Italia: per convincersene si provi adesempio ad eseguire MCXLVIII moltiplicato CDXXXIV, invece di 1148 per 434.

Da tutte queste esperienze nacque verso il 1200 il Liber Abaci, un grosso trattato in cui l’autorefece conoscere all’Occidente i misteri delle ‘nove’ figure indiane (1,2,3,..,9) e del segno sconosciuto aigreci e ai latini ‘quod arabice zephirum appellantur’, un numero vuoto come un soffio di vento: zefiroo zero.

Uno dei problemi descritti nel trattato e il seguente:Quante coppie (maschio-femmina) di conigli si ottengono in un anno, (non considerando le morti)

supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie piu giovani sianoin grado di riprodursi gia al secondo mese di vita?

All’inizio vi sara pertanto una coppia di conigli; cosı sara al primo mese dove la coppia giovanesara divenuta adulta; al secondo mese vi sara una coppia adulta ed una giovane; al terzo mese dueadulte e una giovane e cosı via.

E facile capire che, detto an il numero delle coppie al mese n, nel mese successivo vi saranno unnumero di coppie an+1 pari a quelle attuali an aumentate delle nuove coppie nate: tali saranno quellegenerate dalle coppie anziane (di almeno un mese) cioe quelle presenti al mese precedente an−1 .

In definitiva, posto a0 = a1 = 1 :

an+1 = an + an−1

da cui 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , ....

Con calcoli relativamente semplici e possibile ricavare una formula esplicita per tale successionee provare che

an =1√5

(1 +√

52

)n+1

− 1√5

(1−√

52

)n+1

34 P.Oliva

E interessante osservare come un’espressione dall’apparenza cosı complessa generi in realta semprenumeri naturali.

La successione di Fibonacci e stata intensamente studiata nei secoli fino ad oggi e ne sono statemostrate innumerevoli caratteristiche.

Ne citiamo una in particolare: se chiamiamo rn il rapporto tra due termini consecutivi dellasuccessione, cioe

rn =anan+1

si ottiener0 = 1

1 =1 r4 = 58 = .625 r8 = 34

55 = .6181818r1 = 1

2 = .5 r5 = 813 = .6153846 r9 = 55

89 = .6179775r2 = 2

3 = .6666667 r6 = 1321 = .6190476 r10 = 89

144 = .6180556r3 = 3

5 = .6 r7 = 2134 = .6176471 r11 = 144

233 = .6180258

Come si nota tale successione tende ad un numero ben preciso: per determinarlo, come abbiamogia visto in precedenza, osservato che

rn =anan+1

=an

an + an−1=

11 + an − 1

an

=1

1 + rn−1

e sufficiente risolvere l’equazione

x =1

1 + xo x2 + x− 1 = 0 da cui x =

−1±√

52

Solo quella positiva e accettabile, e quindi

x =√

5− 12

≈ 0.61803398875

Si noti per inciso che tale limite e proprio delle successioni con legge di ricorrenza an+1 = an + an−1 ,indipendentemente dai primi due valori positivi iniziali.

Il numero sopra trovato non e un numero qualsiasi; si tratta di un valore ben noto gia agli antichigreci, in quanto rappresenta la parte aurea di un segmento: quella parte che e media proporzionaletra l’intero segmento e la parte restante.

In altre parole se consideriamo un segmento di lunghezza 1, la parte aurea x e tale che

1 : x = x : 1− x ovvero x2 = 1− x

che e l’equazione sopra vista.

La parte aurea si ritrova in innumerevoli situazioni, in geometria:il lato del decagono inscritto in un cerchio e la parte aurea del raggio;i vertici di un icosaedro sono sugli angoli di tre rettangoli ortonali lecui dimensioni stanno tra loro in rapporto aureo; in arte: il Parte-none e molto altri edifici di differenti epoche sono stati costruiti conproporzioni legate alla sezione aurea; cosı nella figura umana di Leo-nardo da Vinci l’ombelico divide l’altezza totale del corpo secondo lasezione aurea, e alcuni quadri di Leonardo (ad es. L’Annunciazione)hanno i soggetti principali posti sul dipinto in posizioni rispettanticerte proporzioni sempre legate alla suddetta sezione.

Alla sezione aurea Luca Pacioli nel 1500 dedico il suo trattato“De Divina Proportione” (con illustrazioni di Leonardo).


Tutto cio sembra connesso con la ricerca del bello e di forme legate a certe proporzioni piupiacevoli alla vista. Particolari studi e prove hanno ad esempio verificato che le persone sembranopreferire rettangoli aventi i lati in proporzione aurea, ovvero rettangoli tali che, se viene eliminatoun quadrato di lato pari al lato minore, il rettangolo restante conserva le stesse proporzioni di quellooriginale; non e difficile verificare che il rapporto tra i due lati deve proprio essere

√5−12 .

Nel mondo attuale, per ragioni di ottimizzazione e risparmio, si sono invece diffusi i rettangoliaventi tra i lati il rapporto

√2, perche questi rettangoli sono tali che, se divisi a meta lungo il lato

piu lungo, le due parti hanno ancora le stesse proporzioni tra i lati. Sono questi i formati degli attualiquaderni o fogli per fotocopie, ecc.; i famosi formati A4 , (o A3, doppio di A4; o A5, meta di A4) didimensioni 21× 29.7cm.

Tali misteriosi numeri derivano semplicemente dal fatto che si e definito A0 il formato di un fogliorettangolare avente il rapporto tra i lati pari a

√2 e la superficie di 1m2 ; dopo di che A1 e la meta di

un A0, A2 e la meta di un A1, e cosı via, per cui detto a il lato minore di un A4 dovra essere la suaarea

√2a2 uguale ad 1/16 di m2 , cioe

√2a2 =

116

, a =

√1

16√

2≈ 0.2102241 m ≈ 21 cm

e di conseguenza l’altro lato sara 21√

2 ≈ 29.7 cm.Tornando alla successione di Fibonacci, e chiaro che questa intima relazione con la sezione aurea

ha reso molto interessante lo studio di tale sequenza.Ma veniamo al problema che ci ha portato fino a qui: se si esamina il modo con cui le foglie

crescono attorno ad un ramo, si puo notare che ogni foglia nasce in una posizione ruotata di un certoangolo rispetto alla precedente; la stessa cosa si nota se si ‘sfoglia’ un carciofo; cosı sono distribuitii petali di un fiore, e cosı pure nascono i semi di un girasole: attorno ad un corpo centrale nasce unseme, poi, mentre il primo cresce, dopo una rotazione di un certo angolo ne nasce un altro e cosı via.

Molto frequentemente l’angolo di rotazione appare essere lo stesso, seppure in situazioni appa-rentemente molto differenti.

Viene allora naturale domandarsi se esiste un angolo migliore rispetto a tutti gli altri.Per rispondere a questa domanda bisogna intanto chiarirsi il significato di ‘migliore’: per quel

che riguarda le foglie questo puo significare una disposizione uniforme lungo tutto l’angolo giro, inmodo che nessuna foglia vada a posizionarsi sopra la precedente, cosı da permettere a tutte le fogliedi godere della luce del sole, o della pioggia.

Analogo problema puo essere posto per la distribuzione dei petali di un fiore; tutti devono esserebene esposti per poter attirare gli insetti.

In egual modo si puo considerare che siano disposti oggetti atti a proteggere inizialmente unnucleo centrale (pigna o carciofo); non devono essere tutti posti da un lato, ma ben distribuiti tuttointorno.

36 P.Oliva

Infine, per quel che riguarda ad esempio i semi di girasole, ogni seme deve nascere in un postodove ci sia spazio tra quelli precedenti, in modo poi da ricoprire bene tutto lo spazio a disposizione.

Vediamo quindi di concretizzare quanto sopra detto, formulando una qualche quantita numericada ottimizzare. Per far cio consideriamo una circonferenza (per comodita di lunghezza uno) e fissiamoun valore x ∈ [0, 1] rappresentante la parte di circonferenza di cui si dovra ruotare prima di posizionarela foglia successiva, ed un numero di foglie n.

Chiamiamo di , i = 1..n le distanze tra due foglie vicine conse-cutive; naturalmente

∑di = 1.

Se tutte le foglie fossero uniformemente distribuite sulla circon-ferenza la loro distanza sarebbe sempre uguale ad 1

n ; pertanto di − 1n

rappresenta in un certo senso l’errore rispetto alla distribuzione desi-derata.

Per rendere piu confrontabili tali errori nel caso di differenti nu-meri di foglie e piu opportuno considerare l’errore percentuale (ri-spetto ad 1

n ) :

ei =di − 1

n1n

, i = 1, .., n

La media di tali valori e naturalmente zero (perche come gia visto∑d1 = 1).

Un indice di bonta della suddivisione potrebbe quindi essere la media della somma dei quadratidegli errori (la varianza degli ei):

σ =1n

n∑i=1

e2i = n

n∑i=1

(di −

1n

)2

Piu tale valore sara piccolo, piu la disposizione delle foglie sara buona (se fosse nullo, sarebbeperfetta). Naturalmente il valore di σ e funzione di x e di n.

Per meglio capire quanto detto esaminiamo i grafici seguenti; il primo rappresenta la funzioneσ(x, n) nel caso n = 2 (troncata a quota 1) : come si nota l’errore e nullo per x = .5 e questo e naturaleperche in tal modo le due foglie, con una rotazione di 180o , vengono poste una di fronte all’altra.

Il secondo grafico sovrappone i casi n = 2 e n = 3; notiamo che per n = 3 la varianza dell’erroresi annulla per x = 1

3 (120o) e per x = 23 (240o) e anche questo e naturale.

Sorge pero gia un problema: quale sara il valore di x migliore per n = 2 e n = 3? Una buona ideae quella di mettersi nel caso peggiore (non sapendo quale sia il valore di n si sceglie il massimo delledue funzioni; peggio di cosı non puo andare) e quindi si cerca il punto piu basso, che risulta esserequello indicato dal circoletto nero.

L’ultimo grafico sovrappone i grafici di σ per n = 2, .., 6. Come si nota la figura diventa alquantocomplicata, e per evitare troppa confusione si e scurita la zona sotto i vari grafici, in modo da renderepiu facile la ricerca del punto di minimo.

Notiamo intanto che l’immagine e simmetrica rispetto al punto x = .5 e questo e semplice dacapire, perche una rotazione ad esempio di 1

5 in un senso fornisce gli stessi risultati di una rotazionedi 4

5 nell’altro senso; pertanto sara sufficiente studiare la funzione per x ∈ [0, 0.5] o per x ∈ [0.5, 1](per motivi che verranno chiari in seguito, sceglieremo la seconda alternativa).


Studiare la funzione

θN (x) = maxn=2 ..N

σ(x, n) ( o Θ(x) = supn∈N

σ(x, n) )

non e semplice (come gia si nota nel caso N = 6), in quanto essa e continua, ma molto irregolare.E pero possibile utilizzare un computer per visualizzare il suo grafico; i due grafici seguenti

mostrano, il primo, il caso N = 100 (e colorata la parte sottostante il grafico) e, il secondo, uningrandimento della parte piu interessante, nel caso N = 1000.

Quello che si nota e che, in mezzo ad una certa confusione di linee, si distingue bene un punto,indicato da una tacca rossa, ove la funzione e minima.

Tale punto e naturalmente valutabile visivamente (anche se questa non e una dimostrazione, neil grafico puo essere ritenuto troppo attendibile, essendo una rappresentazione nel discreto di unafunzione molto irregolare), ma quello che comunque e interessante notare e che il programma che haelaborato il grafico non ha valutato il punto di minimo, ma ha posto la tacca in x =

√5−12 .

(E possibile provare che il minimo di Θ esiste ed e assunto in tale punto).Lasciamo al lettore ogni riflessione e considerazione in merito !

Questo valore corrisponde ad una rotazione di√

5−12 360o = 222.49o , ovvero

di 360o − 222.49o = 137.51o in senso opposto; questo e l’angolo che l’occhio tendea ‘vedere’ (minore di un angolo piatto). Valore che sembra coincidere molto benecon le osservazioni della realta.

Come abbiamo gia osservato σ e funzione di x ed n; stabilito che x sia√

5−12 = φ, il grafico sotto

a sinistra mostra il valore di σ in funzione di n.

Come si puo notare, pur mantenendosi sempre piccola, vi sono alcuni punti in cui la varianza eancora piu bassa, e questi valori sono proprio i numeri della successione di Fibonacci.

Questo puo spiegare perche molti fiori hanno un numero di petali pari a 3, 5, 8, 13, ecc. Come sinota dalla figura a destra i fiori con tali valori hanno i petali ‘meglio’ disposti rispetto agli altri.

Cerchiamo ora di spiegarci il perche di queste corrispondenze con i numeri di Fibonacci, ed ancheil numero delle spirali apparenti nel cavolfiore o nella disposizione dei semi di girasole: un girasolemedio ne contiene 34 in un senso e 55 nell’altro, ma esemplari piu grandi possono arrivare a 89 e 144,o a 144 e 233.

Abbiamo gia notato che la successione dei rapporti di due numeri consecutivi di Fibonacci tendea φ, cioe sono delle buone approssimazioni di tale valore; ma abbiamo anche osservato che questo e

38 P.Oliva

tipico delle successioni che soddisfano an+1 = an + an−1 , indipendentemente dai primi due valori a0e a1 .

Il grafico a fianco riporta in ascisse il valore di m da 1 a580, ed in ordinate la precisione con cui la migliore frazioneavente denominatore uguale ad m approssima φ (e riportatol’opposto del logaritmo dell’errore). Piu e alto il valore, piu eprecisa la frazione.

Sono ben evidenti alcuni picchi, in corrispondenza di valoridi m appartenenti alla successione di Fibonacci.

In altre parole, le frazioni ottenute da rapporti di valoriconsecutivi di Fibonacci sono le migliori possibili per appros-simare φ.

E possibile tra l’altro provare che l’approssimazione anan +1

e per difetto se n e pari, mentre e pereccesso se n e dispari.

Questo fa sı che, ad esempio, essendo 58 una buona approssimazione di φ, dopo 8 petali si siano

compiuti quasi 5 giri esatti, e quindi gli 8 petali siano molto ben distribuiti. Si spiega con cio il motivodi quei minimi di σ(n) visti in precedenza.

Proviamo ora a disporre n semi su di una spirale (attorno ad un nucleo centrale, ognuno dopouna rotazione di 137.51o .

E difficile, una volta eliminata dalla figura la spirale, che il nostro cervello ricostruisca l’immaginedella spirale stessa (prima figura a sinistra, sopra e sotto).

Aumentando il numero di semi si nota pero che diventa naturale vedere delle linee che colleganoogni seme con quello piu ‘vicino’, formando in tal modo delle spirali. Ricordando ancora che 3

5 e 58

sono buone approssimazioni di φ (la prima per difetto, la seconda per eccesso) ogni 5 semi si sarannofatti un po’ meno di 3 giri, ed ogni 8 semi un po’ piu di 5 giri; cioe il seme piu vicino a quello indicato inrosso sara da una parte quello precedente di 5 posti, e dall’altra quello precedente di 8: ecco spiegatoil perche delle 5 spirali (magenta) che si avvolgono in un senso e delle 8 (blu) nell’altro.

Se si aumenta il numero dei semi ecco comparire semi ancora piu vicini, ogni 13 giri si fanno quasi8 giri esatti e quindi ecco apparire 13 spirali (magenta) al posto delle 5; come si vede dalla primafigura e piu naturale collegare il seme in basso con la linea magenta, piuttosto che con quella rossa(che appartiene alle 5 spirali).

E cosı via aumentando il numero dei semi appaiono piu naturali 13 e 21 spirali, ecc.


Prima di finire osserviamo che alcune piante hanno foglie disposte secondo successioni aventisempre la stessa legge di ricorrenza, an+1 = an + an−1 , ma piu simile a quelle con diversi dati a0ed a1 ; ad esempio 2 ed 1 (successione di Lucas), oppure 3 ed 1, oppure ancora 5 e 2; ma come giaosservato il rapporto tra due termini successivi tende sempre a φ.

Osserviamo pure che il primo tentativo di cercare una risposta al perche di tale angolo sembrarisalire al 1868 (Hofmeister); in tempi molto piu recenti (1993) due ricercatori francesi, Douady eCouder, hanno sviluppato un modello biologico abbastanza plausibile che in parte fornisce qualchespiegazione.

Concludiamo provando alcune delle affermazioni piu tecniche viste in precedenza.Consideriamo una successione che soddisfi la condizione

an+1 = an + an−1

e cerchiamo, se esistono, valori di λ tali che an = λn soddisfi la precedente relazione; si ha

λn+1 = λn + λn−1

e supposto λ 6= 0, dividendo per λn si ottiene λ2 − λ− 1 = 0 ovvero

λ1 =1 +√

52

, λ2 =1−√

52

E inoltre immediato verificare che, se an e bn soddisfano la solita relazione, cio vale anche perαan + βbn , per ogni α e β per cui, volendo che an = αλn1 + βλn2 soddisfi anche le condizioni inizialidate per la successione di Fibonacci dovra essere{

a0 = α+ β = 1a1 = αλ1 + βλ2 = 1

da cui si ottiene

α =1 +√

52√

5, β = −1−

√5

2√

5e pertanto

an =1√5

(1 +√

52

)n+1

− 1√5

(1−√

52

)n+1

Considerando ora la successione dei rapporti rn = anan − 1

si ottiene che essa soddisfa la legge diricorrenza

rn =anan+1

=an

an + an−1=

11 + an − 1

an

=1

1 + rn−1

ern+1 =

11 + rn

=1

1 + 11+ rn − 1

=1 + rn−1

2 + rn−1

Ne segue che rn+1 = f(rn−1), dove f(x) = 1+x2+x e strettamente crescente per x > 0.

Allora non e difficile provare che l’estratta r2n di posto pari e decrescente: infatti, per induzione,r2 = 2

3 < 1 = r0 e, supposto rn+1 < rn−1 , si ha, ricordando la crescenza di f ,

rn+3 = f(rn+1 ) < f(rn−1) = rn+1 .

Analogamente si prova che l’estratta r2n+1 di posto dispari e crescente.Pertanto entrambe avranno limite φ, facilmente calcolabile utilizzando la relazione limite

φ =1 + φ

2 + φda cui φ =

√5− 12

essendo l’altra soluzione negativa e quindi non accettabile.Ne segue pure che le estratte di posto pari approssimano φ per eccesso, quelle di posto dispari

per difetto.

40 P.Oliva

La compressione frattale

Descriviamo qui brevemente una tecnica decisamente interessante per la compressione di imma-gini: la tecnica frattale.

Tale metodo si basa sull’osservazione che parti delle immagini analizzate sono di solito simili adaltre parti dell’immagine stessa.

Operativamente esso e molto semplice da descrivere e puo essere espresso nel seguente modo:-) l’immagine viene divisa in quadretti di dimensione fissata (ad esempio 4× 4 punti) e per ognuno

di questi si cerca, nell’intera figura (o in parte di essa) quel quadrato di lato doppio, che ridottodel 50%, eventualmente ruotato o riflesso in uno degli 8 modi possibili, meglio approssima (innorma quadratica) attraverso una modifica lineare, quello dato (la luminosita x di un punto vienetrasformata in cx+ l, ottimizzando sulla variabile l o su entrambe c ed l).

Per ognuno di tali quadretti viene poi memo-rizzata la posizione del quadrato origine ed i datidella trasformazione lineare.

Il decompressore applichera poi tali trasfor-mazioni iterativamente e la figura ottenuta dopoalcune iterazioni, se |c| < 1, e molto simile a quel-la originaria.

Si rimanda all’ultimo paragrafo per una giu-stificazione teorica del metodo.

Si ottengono in tal modo compressioni abbastanza buone: la seguente immagine e stata riprodottadopo una compressione 7/1, (utilizzando per c il valore fisso 0.8)

Ad una grande semplicita di programmazio-ne, fa purtroppo riscontro una grande lentezzadel processo di compressione, dovuta alla grandequantita di confronti necessari per scegliere il qua-drato migliore, per ogni quadratino in cui vienesuddivisa l’immagine; in compenso risulta moltoveloce la decompressione.

Va notato che tale metodo risulta paragonabile ad altri utilizzati per la compressione di immagini(ad es. tipo JPEG) e quasi migliore per compressioni molto elevate; notiamo pure che la sempremaggiore diffusione di Internet ha favorito lo sviluppo di ottimi tipi di compressori, basati su codifichedi tipo MPEG-4, che permettono di raggiungere ottime compressioni, conservando un buon livello diqualita: a risoluzione 320× 240 punti, con 25 fotogrammi al secondo e audio compresso con MP3, sipossono registrare su di un normale CD-Rom, dai 30 agli 80 minuti di filmato. Contemporaneamentesi evolvono sempre di piu gli stessi compressori: l’MPEG-7, attualmente in corso di definizione, usafra l’altro anche tecniche frattali.

La seguente sequenza mostra le prime 6 iterazioni della decompressione frattale, che puo essereeseguita, come piu volte osservato, essendo contrazione, a partire da una qualunque immagine; nelcaso mostrato dall’immagine di una Ferrari:


Un altro aspetto molto interessante di tale metodo risiede nel fatto che, utilizzando solo similitu-dini, la decompressione e indipendente dalla scala, per cui se noi ricostruiamo la figura con dimensionidoppie, utilizzando le stesse similitudini, otteniamo un’immagine ancora gradevole, non quadrettata,ne tanto sfuocata (come accade ad esempio nel caso JPEG), con un rapporto di compressione 4 voltesuperiore, e quindi per il caso precedente di 28/1.

Le immagini seguenti mostrano a sinistra una parte dell’immagine (ingrandita) ottenuta raddop-piando le dimensioni con la tecnica frattale ed a destra l’immagine corrispondente JPEG con rapportodi compressione simile.

Ancora un esempio, con un’altra immagine; a sinistra quadruplicando le dimensioni con tecnicafrattale, a destra immagine JPEG con analoga compressione (data la poca complessita dell’immaginesi raggiunge in tal modo una compressione di 236/1 !).

42 P.Oliva

Frattali e musica.

Un’altra divertente applicazione dei frattali, ad esempio dei profili montani precedentementegenerati, e collegata alla possibilita di generare semplici melodie.

E infatti facile capire che se si genera una sequenza di note in maniera casuale, la musica che sisentira sara piu vicina ad un rumore caotico che ad una reale melodia.

Per contro, se si genera una sequenza di note che obbedisce ad una precisa funzione, la musicasara certamente piu gradevole, ma anche troppo prevedibile (anche se vi sono molti celebri brani diquesto tipo).

I due seguenti esempi mostrano proprio i due casi citati, nel primo sono state generate 20 notea caso, tra il do ed il mi della successiva ottava (tutte della durata di un ottavo, per semplicita), nelsecondo invece seguendo una legge del tipo somma di due sinusoidi.

E possibile ascoltarle utilizzando i due pulsanti a fianco.

I profili montani visti in precedenza, o i frattali piu in generale, sembrano essere una buona viadi mezzo tra questi due opposti: i punti sono sufficientemente legati tra loro da certe leggi precise, enel contempo sono abbastanza poco regolari, da non risultare cosı prevedibili.

A titolo di esempio si e utilizzato un brevissimo programma scritto in QBasic per generare dueprofili, aventi i punti iniziale, medio e finale uguali, con le regole in precedenza viste, e si e provato adattribuire ad ogni quota una nota, scelta tra 10 note in sequenza; per diminuire un poco la regolaritasi sono scelte le quote del primo profilo alternandole, una ogni tre, con quelle del secondo profilo (ameno che non vi fosse un salto di tonalita troppo grande).

Naturalmente si sarebbe potuta usare una qualunque legge di ricorrenza di quelle viste all’iniziodi questa trattazione, sui reali o sui complessi, per generare la sequenza di note.

Un primo risultato, con le sole prime 12 note e riportato nel primo spartito, ove e stata utilizzatauna scala di 10 note in sequenza, comprendendo anche i diesis, e lasciando tutte le note della stessadurata (un quarto).

Tenuto conto del fatto che per arrivare al profilo in questione si e utilizzata la funzione Randomdel Basic, e sorprendente la somiglianza delle note dalla seconda alla settima con l’Inno alla Gioia diLudwic van Beethoven.

La musica in oggetto risulta pero alquanto confusa, con un uso troppo casuale dei diesis.Nel secondo caso si sono utilizzate 10 note in sequenza, escludendo i diesis, questa volta con

durata variabile (un quarto o due ottavi) generata a caso .


Il risultato ottenuto, molto semplice, non e proprio orribile, ed e riportato nel successivo spar-tito; la melodia puo essere ascoltata utilizzando il pulsante esegui (per interrompere prima della fineutilzzare il pulsante x) e dura circa 41 sec.

E eseguita una prima volta con un solo strumento e quindi ripetuta con una chitarra elettrica,accompagnata da una semplice percussione.

La stessa melodia e la colonna sonora del breve filmato seguente, in cui il paesaggio mostratonella prima parte e frutto di una funzione frattale.

44 P.Oliva

L’insieme di Julia

Qualche ultima considerazione su altre possibili applicazioni delle metodologie qui viste.Torniamo ancora al gia piu volte usato triangolo di Sierpinsky:

si noti che, se indichiamo con S il punto fisso della trasformazione F (ovvero il triangolo stes-so), f1(S), f2(S), f3(S) risultano disgiunti (ad esclusione dei punti (.5,0),(0,.5),(.5,.5)); essendo le trefunzioni fi invertibili possiamo definire una funzione g : S → S, inversa della F , ovvero

g(x, y) =

f−13 (x, y) , (x, y) ∈ f3(S)\{(0, .5), (.5, .5)}f−1

2 (x, y) , (x, y) ∈ f2(S)\{(.5, 0)}f−1

1 (x, y) , (x, y) ∈ f1(S)

Tale g puo essere estesa a tutto R2 come

g(x, y) =

(2x, 2y − 1) , y > .5(2x− 1, 2y) , x > .5 e y ≤ .5(2x, 2y) , altrove

Allora g trasforma punti di S in punti di S, mentre partendo da punti fuori di S, ed iterando lag ci si allontana da S.

Quindi, nella successione

a0 ∈ R2 , an+1 = fi(an ) con i scelto a caso in 1...n

se an+1 ∈ S, si ha an ∈ S, e iterando il procedimento, a0 ∈ S.In definitiva S e un punto fisso “repulsivo” per la g, mentre e un punto fisso “attrattivo” per la

F .In particolare si noti che, se a0 ∈ S, allora ovviamente an ∈ S per ogni n (perche S e punto

fisso per F ), ma e anche vero che se a0 6∈ S, allora an 6∈ S per ogni n. Cioe i punti generati dallasuccessione sopra definita, partendo da un punto a caso, che non e in S, non appartengono mai ad S,pur essendovi molto vicini.

Piu in generale consideriamo un sistema dinamico in R2 definito da

f(x, y) = (x2 − y2 + a, 2xy + b) , (x0 , y0) ∈ R2 , (xn+1 , yn+1 ) = f(xn , yn )

(in forma complessa la ‘solita’ zn+1 = z2n + λ) e sia

Jf = {(x0 , y0) ∈ R2 : (xn , yn ) e limitata} .

La frontiera di Jf e detta insieme di Julia associato ad f .


(Se (x0 , y0) = (0, 0), l’insieme {(a, b) ∈ R2 : (xn , yn ) e limitata} e l’insieme di Mandelbrot.)Ad esempio, se (a, b) = (0, 0), si ha che (xn , yn ) e limitata se e solo se

√x2

0 + y20 ≤ 1, cioe Jf e il

cerchio di centro l’origine e raggio 1, mentre il ‘Julia set’ J e la circonferenza.Poiche, detta X la corona circolare di centro l’origine e raggio compreso tra .5 e 2, si ha X ⊂

f(X), si puo utilizzare il successivo teorema 9 per affermare che, definita F : H(X) → H(X) comeF (A) = f−1(A), pur non essendo una contrazione (e la radice quadrata), essa ha un punto fisso

A = lim F n (X)

che e proprio J .I seguenti disegni illustrano i punti fissi delle inverse di f , (ovvero i ‘Julia set’ di f), nei casi

(a, b) = (1, 0) e (a, b) = (0, 1) rispettivamente (ottenuti utilizzando sempre il solito programma citato,con le funzioni opportunamente modificate).

Gradevoli effetti si possono al solito ottenere colorando diversamente i punti dello schermo, sela successione del sistema dinamico diverge, a seconda del valore di n in cui la distanza dall’originesupera un valore prefissato.

Le seguenti figure sono relative alla precedente figura di destra

46 P.Oliva

Per matematici.

Provvediamo ora a sistemare brevemente, in maniera rigorosa, le affermazioni fatte in precedenza.

Definizione 1 - Sia (X, d) uno spazio metrico completo; indichiamo con H(X) lo spazio costituitodai sottoinsiemi compatti, non vuoti, di X.

Osservazione - Considereremo nel seguito per semplicita soltanto H(X) nel caso in cui X = RN ,

con la usuale metrica euclidea.Dati x ∈ RN ed A ⊂ RN ricordiamo che si definisce distanza di un punto da un insieme

d(x,A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}

Dati ora A e B entrambi sottoinsiemi di RN siano

δ(A,B) = sup{d(x,B) : x ∈ A} , δ(B,A) = sup{d(x,A) : x ∈ B}

(si noti che se gli insiemi sono compatti i precedenti inf e sup sono in realta dei minimi e dei massimi)e consideriamo la seguente definizione di distanza nello spazio H(X)

Definizione 2 - Siano A,B ∈ H(X) (cioe compatti non vuoti di RN ) definiamo distanza di A da B(di Hausdorff)

h(A,B) = max{δ(A,B), δ(B,A)}

Verifichiamo che h e una distanza.Intanto

h(A,A) = max{δ(A,A), δ(A,A)} = δ(A,A) = max{d(x,A) : x ∈ A} = 0

Inoltre, poiche A e B sono compatti, si ha 0 ≤ h(A,B) < +∞.Sia ora A diverso da B, allora si puo supporre che esista a ∈ A tale che a 6∈ B; ne segue

h(A,B) ≥ δ(A,B) ≥ d(a,B) > 0

E pure immediato che h(A,B) = h(B,A).Proviamo infine la disuguaglianza triangolare; dati A,B,C ∈ H(X) si ha, per ogni a ∈ A e c ∈ C

d(a,B) = min{d(a, b) : b ∈ B} ≤ min{d(a, c) + d(c, b) : b ∈ B} = d(a, c) + d(c,B)

Quindid(a,B) ≤ d(a, c) + max{d(c,B) : c ∈ C} = d(a, c) + δ(C,B)

d(a,B) ≤ min{d(a, c) : c ∈ C}+ δ(C,B) = d(a,C) + δ(C,B)

eδ(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A} ≤ max{d(a,C) : a ∈ A}+ δ(C,B) = δ(A,C) + δ(C,B)

Analogamente si prova che δ(B,A) ≤ δ(C,A) + δ(B,C) da cui

h(A,B) = max{δ(A,B), δ(B,A)} ≤ max{δ(A,C) + δ(C,B), δ(C,A) + δ(B,C)} ≤≤ max{max{δ(A,C), δ(C,A)}+ max{δ(C,B), δ(B,C)}} = h(A,C) + h(C,B)

e la fine della verifica.


Nel seguito, dati A ⊂ X ed ε ≥ 0, indicheremo con A+ ε = {x ∈ X : d(x,A) ≤ ε}, cioe l’insiemeA “gonfiato” di ε.

Il seguente teorema chiarisce il significato geometrico della distanza di Hausdorff.

Teorema 3 - Siano A,B ∈ H(X) ed ε ≥ 0, allora

h(A,B) ≤ ε ⇔ A ⊂ B + ε e B ⊂ A+ ε

Dimostrazione. Si ha

h(A,B) ≤ ε ⇔ δ(A,B) ≤ ε e δ(B,A) ≤ ε ⇔⇔ d(a,B) ≤ ε ∀a ∈ A e d(b, A) ≤ ε ∀b ∈ B ⇔⇔ A ⊂ B + ε e B ⊂ A+ ε

e la tesi.

Vale inoltre il seguente

Teorema 4 - (H(X), h) (cioe H(X) con la distanza di Hausdorff) e uno spazio metrico completo.

Dimostrazione. Sia An ∈ H(X) una successione di Cauchy, cioe tale che

∀ε > 0 ∃nε : n,m > nε ⇒ h(An , Am ) < ε

Sia ora ε > 0 fissato, allora, se n,m > nε si ha, per il teorema 3

An ⊂ Am + ε e Am ⊂ An + ε

La prima delle due relazioni, per m fissato ci dice che tutti gli An sono definitivamente contenuti inun unico compatto, per cui, se xn ∈ An , esiste xnk ∈ Ank convergente ad un certo x.

Definiamo alloraA = {x ∈ X : ∃xnk ∈ Ank , limxnk = x}

Per quanto visto sopra A e non vuoto e limitato (perche contenuto in Am + ε). Si vede che A eanche chiuso, infatti se xm ∈ A, limxm = x allora, (utilizzando il classico procedimento diagonale)

∀m ∃Anm ,∃ym ∈ Anm : d(xm , ym ) <1m

, con nm strettamente crescente

da cui lim ym = x e x ∈ A.Ne segue che A ∈ H(X). Proviamo ora che limAn = A. Sia sempre ε > 0 fissato; abbiamo gia

visto sopra che, per m > nε si ha A ⊂ Am + ε. Resta pertanto da provare che, sempre per n > nεrisulta An ⊂ A+ ε.

Sia quindi x ∈ An , si ha, se n,m > nε , An ⊂ Am + ε, ovvero

∀m > nε ∃ym ∈ Am : d(x, ym ) ≤ ε .

Essendo ym nella sfera di centro x e raggio ε si puo trovare un’estratta tale che lim ym k= y; ne

segue che y ∈ A e d(x, y) < ε ovvero x ∈ A+ ε, che e la tesi.

48 P.Oliva

Ricordiamo brevemente la nozione di contrazione ed il teorema del punto fisso.

Definizione 5 - Una funzione f : X → X si dice contrazione, sullo spazio metrico (X, d), se esistek ∈ [0, 1) tale che

d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) , ∀x, y ∈ X .

E immediato provare che

Teorema 6 - Sia f : X → X una contrazione su uno spazio metrico (X, d), allora f e continua.

Inoltre

Teorema 7 - Sia f : X → X una contrazione su uno spazio metrico completo (X, d), allora esisteuno ed un solo x ∈ X punto fisso per f , cioe tale che f(x) = x.

Inoltre, definita la successione x0 ∈ X , xn+1 = f(xn ), si ha limxn = x.

Dimostrazione. Osservato che

d(xn+1 , xn ) = d(f(xn ), f(xn−1)) ≤ k d(xn , xn−1) ≤ ... ≤ kn d(x1 , x0)

si ha, per ogni p naturale

d(xn+p , xn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1) + ....+ d(xn+2 , xn+1 ) + d(xn+1 , xn ) ≤

≤ (kn+p−1 + ....+ kn+1 + kn )d(x1 , x0) ≤ kn

1− kd(x1 , x0)

Ne segue, poiche k < 1, che xn e una successione di Cauchy, ed essendo lo spazio completo, xn convergead x ∈ X.

Dalla continuita di f segue che x = f(x).Per quanto riguarda l’unicita del punto fisso, e immediato provare che se x ed y sono due punti

fissi per f , allora d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) da cui, essendo k < 1 segue d(x, y) = 0 ovverox = y.

Ricordato che, se f : X → X e A ⊂ X, si definisce f(A) = {f(a) : a ∈ A}, vale il seguente

Teorema 8 - Siano fi : X → X , i = 1, .., n, una famiglia di contrazioni, di costanti ki , sullo spaziometrico completo (X, d) (nel nostro caso sempre RN ), sia A ∈ H(X) e consideriamo la funzionedefinita da

F (A) =n⋃i=1

fi(A)

Allora F : H(X)→ H(X) e una contrazione sullo spazio metrico completo (H(X), h), la cui costantee k = max{ki : i = 1...n}.

(Inoltre, se C ∈ H(X), la funzione G : H(X) → H(X) definita da G(A) = F (A) ∪ C e ancoracontrazione, con uguale costante).

Dimostrazione. Si osservi che, essendo tutte le fi continue, per il teorema di Weierstrass, se A ∈ H(X)si ha F (A) ∈ H(X).


Siano ora A,B ∈ H(X), allora (ricordando che k = max{ki})

δ(F (A), F (B)) = max{d(x, F (B)) : x ∈ F (A)} == max{min{d(fi(a), fj (b)) : b ∈ B, j = 1..n} : a ∈ A, i = 1..n} ≤≤ max{min{d(fi(a), fi(b)) : b ∈ B} : a ∈ A, i = 1..n} ≤≤ max{min{ki d(a, b) : b ∈ B} : a ∈ A, i = 1..n} ≤≤ k max{min{d(a, b) : b ∈ B} : a ∈ A} == k δ(A,B)

Analogamente si prova che δ(F (B), F (A)) ≤ k δ(B,A) e quindi

h(F (A), F (B)) ≤ k h(A,B)

L’ultima affermazione del teorema segue dal fatto che, se A,B,C ∈ H(X), si ha h(A∪C,B∪C) ≤h(A,B); infatti

δ(A ∪ C,B ∪ C) = max{d(x,B ∪ C) : x ∈ A ∪ C} = max{d(x,B ∪ C) : x ∈ A} ≤≤ max{d(x,B) : x ∈ A} = δ(A,B)

e quindi la tesi.

Osservazione - Dalla dimostrazione del Teorema 7, se n = 0 e p→ +∞, detto x il punto fisso, si ha

d(x, x0) ≤ 11− k

d(f(x0), x0)

Pertanto, se A ⊂ R2 ed F e una contrazione di costante k, tale che h(F (A), A) < ε, allora ilpunto fisso S di F non e molto lontano da A; piu precisamente

h(S,A) ≤ ε

1− k

Per ultimo si puo provare l’esistenza di un punto fisso per una funzione che non e contrazione,sfruttando la monotonia delle iterazioni (inclusione degli insiemi), anziche il criterio di Cauchy. (Si eindicato con F n la funzione ottenuta componendo iterativamente F per n volte)

Teorema 9 - Sia (Y, d) uno spazio metrico; sia X ⊂ Y un compatto non vuoto. Sia f : X → Ycontinua tale che X ⊂ f(X). Allora, definita F : H(X)→ H(X)

F (A) = f−1(A) , A ∈ H(X)

F possiede un punto fisso A ∈ H(X) dato da

A =∞⋂n=1

F n (X) = lim F n (X) .

Dimostrazione. Proviamo intanto che F trasforma compatti non vuoti di X in compatti non vuoti diX.

50 P.Oliva

E intanto immediato che, se A ⊂ X, allora f−1(A) ⊂ X (poiche X e il dominio di f), e quindif−1(A) e limitato.

Se poi A e non vuoto e y ∈ A, allora y ∈ X ⊂ f(X) (per ipotesi), cioe ∃x ∈ X : f(x) = y ∈ A,ovvero x ∈ f−1(A); pertanto f−1(A) e non vuoto.

Sia ora A ⊂ X, compatto, e sia xn ∈ f−1(A), limxn = x, allora f(xn ) ∈ A, e per la continuita dif e la chiusura di A, si ha f(x) ∈ A, ovvero x ∈ f−1(A), cioe f−1(A) e chiuso.

Inoltre, (ricordando che F (A) = f−1(A))

X ⊃ F (X) ⊃ F 2(X) ⊃ .... ⊃ F n (X) ⊃ ....

da cui, definito

A =∞⋂n=1

F n (X)

si prova che A = lim F n (X); infatti, posto An = F n (X), e immediato che, per ogni ε > 0 e per ognin, A ⊂ An ⊂ An + ε.

Resta da provare che (essendo gli insiemi ‘decrescenti’) per ogni ε > 0 esiste nε tale che An ε ⊂ A+ε.Se cio non fosse vero esisterebbe ε > 0 tale che per ogni n esiste xn ∈ An , con d(xn , A) > ε.Essendo xn ∈ An ⊂ X in un compatto, esistera xnk convergente ad x ∈ X; allora, per ogni p

naturale, xnk + p∈ Ank + p

⊂ Ank e passando al limite su p, essendo Ank chiuso, si ha x ∈ Ank per ognink , ovvero x ∈ An per ogni n, per la ‘decrescenza’ di An .

Ne segue x ∈⋂∞n=1 An = A, (questo ragionamento prova fra l’altro che A e non vuoto e quindi

A ∈ H(X)).Ma, da d(xnk , A) > ε, si ha, per la continuita della distanza, d(x,A) ≥ ε, il che e assurdo.

Proviamo infine che A e punto fisso per f−1 ; tenuto conto che An+1 = f−1(An ) = F (An ), si ha

x ∈ f−1(A) ⇔ x ∈ f−1

( ∞⋂n=1

An

)⇔ f(x) ∈

∞⋂n=1

An ⇔ f(x) ∈ An ∀n ⇔

⇔ x ∈ f−1(An ) ∀n ⇔ x ∈∞⋂n=1

f−1(An ) ⇔ x ∈∞⋂n=1

An+1 ⇔ x ∈ A

e la tesi.

Per quel che riguarda la compressione frattale, si consideri l’immagine come una funzione fdefinita su di un rettangolo (matrice a punti) i cui valori sono rappresentati dalla luminosita (adesempio nel caso del bianco e nero) del singolo punto.

Sullo spazio di tali funzioni si consideri la norma L∞ , cioe la norma di un’immagine e il massimovalore assunto in valore assoluto.

Dato un quadrato Q di dimensione prefissata k × k viene applicata ad ogni quadrato R dellafigura di dimensione 2k × 2k (ad ogni punto del grafico di f) una trasformazione lineare del tipoα β 0

γ δ 00 0 c

xyz

+

uvl

(1)

dove (x, y) sono le coordinate del punto e z = f(x, y) e il valore della funzione.α, β, γ, δ, u, v sono fissate in modo da generare un quadrato dimezzato di proporzioni, e con esso

le otto possibili simmetrie e rotazioni (il nuovo asse x puo essere orientato in una delle 4 possibili


direzioni, alto, basso, destra e sinistra, e di conseguenza il nuovo asse y ha, per ogni scelta di x duepossibilita di orientamento perpendicolare).

I valori di c ed l rappresentano il contrasto e la variazione di luminosita.c ed l sono scelti in modo da minimizzare lo scarto quadratico tra i valori di f sul quadrato

originale Q e la trasformazione di R effettuata; se indichiamo con qi ed ri i k2 valori sul quadrato Qe sul trasformato di R, si ottiene

c =k2(∑k 2

i=1 qiri

)−(∑k 2

i=1 qi

)(∑k 2

i=1 ri

)k2(∑k 2

i=1 r2i

)−(∑k 2

i=1 ri

)2

e

l =

(∑k 2

i=1 qi

)− c

(∑k 2

i=1 ri

)k2

Con tali valori viene calcolato lo scarto quadratico e viene scelto quel quadrato R che minimizzal’errore (il valore assoluto di c dovra risultare minore di uno, affinche sia possibile ricostruire l’imma-gine, come vedremo in seguito; se cio non si verifica c verra posto d’ufficio uguale ad un numero invalore assoluto minore di 1, prima di calcolare l).

Vengono quindi memorizzate: il tipo di trasformazione effettuata (delle 8 possibili, utilizzandoquindi 3 bit), le coordinate dell’origine del quadrato R prescelto (relative alla posizione di Q; esami-nando ad esempio 642 quadrati in un intorno di Q, 64 per ogni coordinata, saranno necessari 12 bit,essendo 642 = 212 ), ed infine i valori di c ed l (per la verita le prove qui viste sono state effettuate conc fissato e quindi si e memorizzato solo il valore di l, che essendo nel range da -255 a 255 richiede 9bit).

In totale, per ogni quadrato Q di dimensioni k × k sono stati necessari 24 bit = 3 byte, contro ik2 necessari per memorizzare tutti i punti; la compattazione e percio di 16/3 per k = 4 e puo essereaumentata a piacere (ad esempio 64/3 per k = 8), perdendo ovviamente in qualita.

Va osservato che un miglioramento si puo ottenere variando le dimensioni del quadrato k a secondadelle zone della figura: nell’immagine vista a pag.40 si possono utilizzare senza problemi quadrati 8×8o piu nel cielo o sul lago, mentre e necessaria una maggiore definizione sulla parte rocciosa.

Tale procedimento e poi ripetuto per ogni quadrato Q.

Per ricostruire l’immagine, bastera partire da una qualunque immagine (ad esempio una figurauniformemente grigia) ed applicare sui singoli quadrati R, le trasformazioni memorizzate, ottenendoin tal modo una nuova figura.

Poiche, come vedremo tra poco, se |c| < 1 la trasformazione ottenuta e una contrazione dallospazio delle immagini in se stesso, questo procedimento ripetuto piu volte converge verso il puntofisso, immagine finale cercata.

Per provare che tale trasformazione T e una contrazione, siano f e g due immagini qualunque(definite su un dominio D).

La norma di Tf − Tg = T (f − g) sara assunta in un certo punto (x0 , y0) ed il valore di T (f − g)in tale punto sara il risultato di una trasformazione lineare del tipo (1), avente un certo c ed un certol, applicata ad un punto particolare (x1 , y1) dell’immagine stessa (residente in un certo quadrato).

Pertanto

‖T (f − g)‖ = |Tf(x0 , y0)− Tg(x0 , y0)| = |c (f(x1 , y1)− g(x1 , y1))| ≤ |c| ‖f − g‖

e quindi si avra una contrazione se |c| < 1.

52 P.Oliva

Bibliografia.

[1] M.F.Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press Professional.

[2] S.Bettelli, R.Biolchini, Frattali Flib Asteroidi, Zanichelli.

[3] J.A.Kaandorp, Fractal Modelling, Growth and Form in Biology, Springer-Verlag.

[4] H.O.Peitgen, P.H.Richter, The Beauty of Fractals, Springer-Verlag.

[5] M.Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws, Freeman.

[6] N.Lu, Fractal Imaging, Academic Press.

Indice.

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3

Le successioni definite per ricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3

Successioni nel piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 10

Primi frattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 13

Erbe ed alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14

Qualche approfondimento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 18

Successioni di insiemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 20

Un semplice programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 26

Paesaggi, montagne, ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28

Fibonacci e girasoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 33

La compressione frattale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 40

Frattali e musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 42

L’insieme di Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 44

Per matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 46

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52

Frattali e realta` - unige.itweb.inge.unige.it/SMA/2002/Frattali.pdf · Come si nota, il...

Documents

Transcript of Frattali e realta` - unige.itweb.inge.unige.it/SMA/2002/Frattali.pdf · Come si nota, il...