Formulario Di Geotecnica - 520pag

FORMULA GEO VER.2.0 - PROGRAM GEO Brescia (copyright 2001)

PROVE PENETROMETRICHE DINAMICHE S.P.T O S.C.P.T

Le prove dinamiche continue sono state ideate per lo studio deiterreni incoerenti, i dati elaborati per gli strati coesivi quindi, sono daconsiderarsi utili solo per un primo inquadramento del problema.

Correlazione con SPT.

Poiché le correlazioni empiriche esistenti in letteratura tra i risultati diuna prova penetrometrica dinamica ed i principali parametrigeotecnici del terreno fanno riferimento essenzialmente alle proveSPT, occorrerebbe in teoria applicare una correzione ai risultati delleprove SCPT, per tenere conto delle diverse modalità esecutive.Ciò può essere fatto secondo due criteri differenti:

• correzione sulla base delle differenti modalità esecutive:penetrometri con caratteristiche differenti rispetto all’ SPT (pesodel maglio, volata, area della punta, ecc.) comportano energie diinfissione ovviamente differenti; per rapportare il numero di colpidell’ SPT con quelli del dinamico continuo diversi Autoripropongono l'applicazione del seguente fattore correttivo:

CfM H P Ap

M H P Ap=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

1 1 11 12 2 12 2

dove:M2 = peso del maglio SPT (63.5 kg);H2 = volata del maglio SPT (75 cm);Pl2 = passo di lettura SPT (15 cm);Ap2 = area della punta SPT (20.4 cmq);M1 = peso del maglio del dinamico continuo;H1 = volata del maglio del dinamico continuo;Pl1 = passo di lettura del dinamico continuo;Ap1 = area della punta del dinamico continuo.

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Il numero di colpi da utilizzare nel calcolo dei parametri geotecnicisarà dato da:

Nspt CfNscpt=

• correzione sulla base delle litologie incontrate: si è dimostrato,nelle correlazioni SPT-SCPT, che generalmente il rapporto fra ilnumero dei colpi misurato con i due strumenti (Nspt/Nscpt) tendea 1 per granulometrie grossolane, mentre tende a crescere pergranulometrie più fini; si suggeriscono le seguenti correlazioniproposte in letteratura:

Correlazione Litologia

NSPT = 1 x NSCPT Ghiaie e ghiaie sabbioseNSPT = 1.25 x NSCPT Sabbie e ghiaie con fine plasticoNSPT = 1.5 x NSCPT Sabbie con molto fineNSPT = 2 x NSCPT LimiNSPT = 2.5 x NSCPT Argille limose/sabbioseNSPT = 3 x NSCPT Argille

In ogni caso si tratta di correlazioni empiriche che vanno utilizzatecon cautela. In particolare, per quanto riguarda la correzione infunzione della litologia, questa andrà calibrata sulla base dellecaratteristiche litologiche locali.

Poiché esistono molti tipi di penetrometri dinamici con diversecaratteristiche, per poter utilizzare i metodi di interpretazione calibratiper la SPT è necessario apportare delle correzioni ai risultati ottenuti.Muromachi e Kobayashi (1981) hanno presentato una correlazionefra N30 (colpi per 30 cm di penetrazione) ed Nspt. Il penetrometrousato è l’RTRI-HEAVY, giapponese, con maglio di 63,5 Kg, caduta75 cm, dpunta = 5,08 cm, il quale è simile al pemetrometro italiano tipoEMILIA-DPSH. I due autori trovano che i dati, rilevati in materialicompresi in un’ampia gamma granulometrica e senza tenere conto

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dell’attrito laterale lungo la batteria delle aste, consentono laseguente relazione :

N

Nspt30 115= .

Tenendo invece conto dell’influenza dell’attrito laterale la relazionediventa :

N

Nspt30 1= ,

i risultati quindi in questo caso possono essere utilizzati senza alcunacorrezione.

Da alcune indagini italiane la relazione tra N30 e Nspt diventa :

N

Nspt30 057= . ,

Le prove sono state condotte da Tissoni (1987) in ghiaie sabbioso-limose con il penetrometro superpesante Meardi-AGI e dallo StudioGeotecnico Italiano con lo stesso penetrometro in depositi sabbiosolimosi, talvolta con ghiaia fine.Uno studio indiano presenta i risultati di prove penetrometricheeseguite con penetrometro superpesante (maglio di 63,5 Kg, caduta76 cm, dpunta 63,5 cm), in terreni costituiti prevalentemente dasabbie, sabbie fini con limo e depositi sabbioso-limoso-argillosi conghiaia.La relazione tra N30 e Nspt diventa :

1.5>N30/Nspt>0.8

la quale, tenendo conto del maggior diametro di punta rispetto allamisura standard (63,5 cm invece di 50,5 cm) assume la seguenteforma:

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0.95>N30/Nspt>0.5,

vicina alle esperienze italiane.Per quanto riguarda il penetrometro medio leggero tipo EMILIA larelazione tra N10 (numero di colpi per 10 cm di affondamento) e Nsptè la seguente :

0.7Nspt≥N10≥1.2Nspt

Conoscendo la natura del terreno e N10 si può ricavare Nspt dallaseguente tabella (Vannelli e Benassi, 1983):

Terreni prevalentemente coesivi Terreni prevalentemente granulari

N10/Nspt≥0.7-0.8

N10/Nspt≥0.8-1.0

per

per

8≤N10≤14

14≤N10≤18

N10/Nspt≥0.95-1.0

N10/Nspt≥1.0-1.2

per

per

8≤N10≤15

15≤N10≤30

Determinazione della litologia.

Non esiste attualmente in letteratura una correlazione fra il numero dicolpi misurato con il penetrometro dinamico e la litologia degli stratiattraversati. Una correlazione può essere effettuata assimilando laprocedura d'infissione delle aste e del rivestimento nella prova SCPTa quella di pali battuti di piccolo diametro. Per tali tipologie di paloesistono in letteratura delle indicazioni dei valori di resistenza lateraleall’ infissione in funzione delle diverse litologie. Sulla base di questidati e di un'ampia casistica relativa all'esecuzione di prove SCPT inlitologie differenti, vengono proposte le seguenti correlazioni infunzione del rapporto n.colpi della punta / n.colpi del rivestimento:

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RapportoNpunta/Nrivestimento

Litologia

< 0,25 Argilla0,25 - 0,40 Argilla con limo o sabbia0,40 - 0,70 Limo0,70 - 2,25 Sabbia con limo o limosa2,25 – 4 Sabbia o ghiaia con matrice plastica> 4 Ghiaia o ghiaia + sabbia

Stima dei parametri geotecnici.

Parametri degli strati incoerenti

I parametri geotecnici calcolabili per terreni incoerenti (componentesabbiosa o ghiaiosa dominante) attraverso le correlazioni dirette coni valori di Nspt sono i seguenti:

• angolo di resistenza al taglio ϕ; • densità relativa Dr; • modulo di deformazione ( o di Young) E50;

• modulo edometrico M0; • modulo dinamico di taglio G0.

Angolo di resistenza al taglio ϕ.

L'angolo di resistenza al taglio del materiale indagato può esserevalutato attraverso due categorie di metodi: i metodi di correlazionediretta Nspt-ϕ e i metodi di correlazione indiretta. Tra i metodi dicorrelazione diretta Nspt-ϕ vanno considerati, in generale, piùattendibili quelli che esprimono ϕ anche in funzione della pressioneefficace ϕ agente sullo strato.

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Metodi di correlazione diretta

a) Road Bridge Specification

Il metodo è valido per sabbie fini o limose e trova le sue condizioniottimali di applicabilità per profondità di prova superiori a 8 - 10 mper terreni sopra falda e superiori a 15 m per terreni in falda (σ > 15-20 t/mq).Il metodo si basa sulla seguente relazione:

ϕ = +15 15Nspt

dove Nspt è il numero di colpi medio misurato nello strato.

b) Japanese National Railway

Il metodo è valido per sabbie medie - grosse fino a sabbie ghiaiosee trova le sue condizioni ottimali di applicabilità per profonditàsuperiori a 8 - 10 m nel caso di terreni sopra falda e di 15 m perterreni immersi in falda (σ> 15-20 t/mq).Il metodo si basa sulla seguente relazione:

ϕ = +0 3 27, Nspt


c) De Mello

Il metodo di De Mello è valido per le sabbie in genere e perqualunque profondità (tranne che per i primi 2 m sotto il p.c.). E' daconsiderarsi inattendibile però per valori di ϕ superiori a 38°.Il metodo si basa sulla seguente relazione:

( )sptNLog73,838,019 +−= σϕ

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eNspt il numero di colpi medio misurato nello strato.

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d) Owasaki & Iwasaki

Il metodo è valido per sabbie da medie a grossolane fino adebolmente ghiaiose. Anche questo metodo trova le suecondizioni ottimali di applicabilità per profondità di prova superioria 8 - 10 m per terreni sopra falda e superiori a 15 m per terreni infalda (σ>15-20 t/mq).Il metodo si basa sulla seguente relazione:

ϕ = +20 15Nspt


e) Sowers

Il metodo di Sowers (1961) è valido per le sabbie in genere e trovale sue condizioni ottimali di applicabilità per profondità di provainferiori a circa 4 m per terreni sopra falda e inferiori a circa 7 mper terreni in falda (σ > 5-8 t/mq).La relazione è la seguente:

sptN28,028 +=ϕ

f) Malcev

Il metodo di Malcev (1964) è invece valido per le sabbie in genere eper qualunque profondità (tranne che per i primi 2 m sotto il p.c.). E'da considerarsi inattendibile per valori di ϕ superiori a 38°.

( ) ( )sptNLogLog 73,3520 +−= σϕ

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eNspt il numero di colpi medio misurato nello strato.

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g) Peck-Hanson & Thornburn

Il metodo di Peck - Hanson & Thornburn è valido per le sabbie ingenere e trova le sue condizioni ottimali di applicabilità perprofondità di prova inferiori a circa 5 m per terreni sopra falda einferiori a circa 8 m per terreni in falda (pressione efficace inferiorea 8-10 t/mq).

sptN28,02,27 +=ϕ

h) Meyerhof

Il metodo di Meyerhof (1965) che correla ϕ con Nspt medio dellostrato in funzione della sua granulometria, è valido per le sabbie ingenere e trova le sue condizioni ottimali di applicabilità perprofondità inferiori a 5 m (relazione 1) e 3 m (relazione 2) nel caso diterreni sopra falda e inferiori a 8 m (relazione 1) e 5 m (relazione 2)per terreni sotto falda (pressione efficace inferiore a 5-8 t/mq).

(rel.1) sptspt NN 2004,046,047,29 −+=ϕ (< 5% di limo)

(rel.2) sptspt NN 2006,057,07,23 −+=ϕ (>5% di limo)

Metodi di correlazione indiretta

a) Schmertmann

Questo metodo correla ϕ con la densità relativa dello strato infunzione della sua composizione granulometrica.Il metodo è valido per sabbie e ghiaie in genere. Facendoriferimento ad un altro parametro , affetto generalmente da errorenon trascurabile, i valori di ϕ vengono ad essere quasi sempresovrastimati.

Dr14,028 +=ϕ Sabbia fineDr115,05,31 +=ϕ Sabbia mediaDr10,05,34 +=ϕ Sabbia grossa

Dr08,038+=ϕ Ghiaia

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Densità relativa.

La densità relativa viene valutata attraverso correlazioni applicabilisolo nel caso di terreni prevalentemente sabbiosi .In presenza di depositi ghiaiosi si ottengono valori eccessivamenteelevati e quindi a sfavore della sicurezza: in questo caso siconsiglia di adottare il valore più basso fra quelli calcolati con metodidifferenti.

a) Gibbs & Holtz

Il metodo di Gibbs & Holtz (1957) è valido per le sabbie da fini agrossolane pulite, per qualunque valore di pressione efficace, indepositi normalmente consolidati. Nel caso di depositi ghiaiosi ilvalore di Dr(%) viene sovrastimato, nel caso di depositi limosi vienesottostimato.

7,021(%)

+=

σsptN

Dr

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eNspt il numero di colpi medio misurato nello strato.Il metodo fornisce generalmente valori in eccesso rispetto agli altri,nei primi metri di approfondimento della prova.

b) Schultze & Mezembach

Il metodo di Schultze & Mezembach (1961) è valido per le sabbie dafini a ghiaiose, per qualunque valore di pressione efficace, in depositinormalmente consolidati. Nel caso di depositi ghiaiosi il valore diDr(%) viene sovrastimato, nei depositi limosi viene sottostimato.

( ) ( ) ( ) 84,2ln262,0ln478,0%ln +−= σsptNDr

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c) Skempton

Il metodo è valido per le sabbie da fini a grossolane, per qualunquevalore di pressione efficace, in depositi normalmente consolidati.Nel caso di depositi ghiaiosi il valore di Dr(%) viene sovrastimato,nei depositi limosi viene sottostimato.Il metodo si basa sulla seguente relazione:

+=

σσ

288.032

98

100(%)ptsN

Dr

dove:σ = pressione efficace in kPa;

Nspt = numero di colpi medio nello strato.

Modulo di deformazione (modulo di Young).

a) Schmertmann

Il metodo è valido per le sabbie in genere. La relazione nonconsidera l'influenza della pressione efficace, che porta a parità diNspt ad una diminuzione di E con la profondità.Il metodo si basa sulla seguente relazione:

BNsptcmqkgE 2)/( =

dove Nspt è il numero di colpi medio nello strato e B è una costantevariabile in funzione della litologia:

B Litologia

4 sabbia fine6 sabbia media10 sabbia grossolana

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b) Terzaghi

Il metodo è valido per sabbia + ghiaia e sabbia pulita. La relazionenon considera l'influenza della pressione efficace, che porta aparità di Nspt ad una diminuzione di E con la profondità.Il metodo si basa sulla seguente relazione:

E MPa B Nspt( ) =

dove Nspt è il numero di colpi medio nello strato mentre B è unacostante pari a 7 Mpa. La relazione va considerata inattendibile perNspt molto bassi o molto alti Nel primo caso E risultaeccessivamente elevato, nel secondo caso eccessivamente basso.

c) D’Appolonia et Alii.

Il metodo di D’Appolonia è valido per sabbia+ghiaia e sabbiesovraconsolidate. Il metodo non considera l'influenza della pressioneefficace, che porta a parità di Nspt ad una diminuzione di E con laprofondità.

19171,7)/( += sptNcmqkgE (Ghiaia + sabbia)

37563,10)/( += sptNcmqkgE (Sabbia SC)

d) Schultze e Menzebach.

Il metodo di Schultze e Menzebach è valido per sabbia sotto falda. Ilmetodo non considera l'influenza della pressione efficace, che portaa parità di Nspt ad una diminuzione di E con la profondità.

7627,5)/( += sptNcmqkgE

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e) Webb.

Il metodo di Webb è valido per sabbia sotto falda o sabbia con fineplastico. Il metodo non considera l'influenza della pressione efficace,che porta a parità di Nspt ad una diminuzione di E con la profondità.

7387,4)/( += sptNcmqkgE (Sabbia satura)

1622,3)/( += sptNcmqkgE (Sabbia con fine plastico)

Modulo edometrico.

a) Farrent.

Il metodo di Farrent è valido per le sabbie in genere. Il metodo nonconsidera l'influenza della pressione efficace, che porta a parità diNspt ad una diminuzione di M con la profondità.

sptNcmqkgM 1,7)/( =

b) Menzebach e Malcev.

Il metodo di Menzebach e malcev è valido per le sabbie in genere. Ilmetodo non considera l'influenza della pressione efficace, che portaa parità di Nspt ad una diminuzione di M con la profondità.

3854,3)/( += sptNcmqkgM (Sabbia fine)

3846,4)/( += sptNcmqkgM (Sabbia media)

3846,10)/( += sptNcmqkgM (Sabbia + ghiaia)

3884,11)/( += sptNcmqkgM (Sabbia ghiaiosa)

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Modulo di deformazione di taglio.

a) Ohsaki & Iwasaki

Il metodo di Ohsaki & Iwasaki, valido per le sabbie pulite o con fineplastico (limo o argilla), si basa sulla seguente relazione:

G t mq aNspt b0 ( / ) =

dove Nspt è il numero di colpi medio nello strato mentre a e b sonocostanti dipendenti dalla granulometria del deposito secondo ilseguente schema:

a b Granulometria

650 0.94 Sabbie pulite1182 0.76 Sabbie con fine plastico

Parametri degli strati coesivi.

I parametri geotecnici calcolabili per terreni coesivi (componentelimosa o argillosa dominante) attraverso le correlazioni dirette con ivalori di Nspt sono i seguenti:

• coesione non drenata Cu; • modulo edometrico Ed; • rapporto di sovraconsolidazione OCR; • modulo dinamico di taglio G0.

Coesione non drenata.

La prova penetrometrica non fornisce, in generale, valori attendibiliper i terreni coesivi. Ci si può orientare nella scelta dei valori di Cuproposti di seguito considerando che:

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• nessuna correlazione tiene conto delle pressioni efficaci e delgrado di sovraconsolidazione ( OCR );

• i metodi si applicano ad argille non sensitive e portano ad unasotto stima di Cu, nel caso di materiali con elevato indice disensibilità ;

• vista la non trascurabile dispersione dei dati, i metodi vannoapplicati con prudenza e solo per stime di primo riferimento.

a) Terzaghi & Peck

Il metodo è valido per argille di media plasticità e si basa sullaseguente relazione:

sptu Ncmqkgc 067,0)/( =

b) DM-7 (Design Manual for Soil Mechanichs)

Il metodo è valido per le argille in genere e si basa sulle seguentirelazioni:

sptu Ncmqkgc 038,0)/( = (argille a bassa plasticità)

sptu Ncmqkgc 074,0)/( = (argille a media plasticità)

sptu Ncmqkgc 125,0)/( = (argille ad alta plasticità)

c) Sanglerat

Il metodo è valido per argille di media e bassa plasticità e si basasulle seguenti relazioni:


sptu Ncmqkgc 100,0)/( = (argille limose)

sptu Ncmqkgc 067,0)/( = (argille limo-sabbiose)

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d) Shioi - Fukui

Il metodo è valido per argille di media e alta plasticità e si basa sulleseguenti relazioni:


sptu Ncmqkgc 05,0)/( = (argille ad alta plasticità)

Modulo edometrico.

a) Stroud e Butler

Il metodo è valido per argille di media plasticità e bassa plasticità sibasa sulla seguente relazione:

sptd NcmqkgE 5)/( = (argille a media plasticità)

sptd NcmqkgE 6)/( = (argille a bassa plasticità)

Rapporto di sovraconsolidazione.

a) Ladd e Foot

Si basa sulla seguente relazione:

OCRCuKK

= ( ) .

σ1 25

dove:Cu = coesione non drenata dello strato (Kg/cmq);

σ = pressione efficace a metà strato (Kg/cmq);KK = 7-Kp, parametro correttivo in funzione della profondità.

Kp viene calcolato come illustrato dalla seguente tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

Profondità mediadello strato, P(m)

Kp

P<=1 KpPp

= 0 2.

1<P<4 Kpp

Pp

= +−

(.

) [. ( )

]02 035 1

P>4 Kpp p

P

p= + +

−(

.) ( . ) [

. ( )]

02035

3 05 4

dove p è il passo di lettura della prova espresso in metri.Nel caso risultasse KK < 0.25 si pone KK = 0.25.

Modulo dinamico di taglio.

a)Metodo Di Ohsaki & Iwasaki

Il metodo si basa sulla seguente relazione:

G t mq aNspt b0 ( / ) =

con a = 1400 e b = 0.78.Il metodo è valido per i terreni coesivi in genere (dai limi plastici alleargille). Vista la non trascurabile dispersione dei dati, il metodo vaapplicato con prudenza e solo per stime di primo riferimento.

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Calcolo della portanza di fondazioni superficiali.

a) Formula di Meyerhof

Meyerhof ha proposto le seguenti relazioni:

KdNspt

KPaQamm08.0

)( = , per B>1.2 m

Qamm KPaNspt

( ).

=005

, per B≤1.2 m

dove:Kd = 1 + 0.33(D/B), per Kd≤1.33);

Nspt = numero di colpi di punta medio nello strato;D = profondità di posa della fondazione;B = larghezza della fondazione.

Questa relazione ha il vantaggio di legare il valore della portanzaoltre che alle caratteristiche del terreno anche alla geometria dellafondazione.Va usata nei terreni prevalentemente incoerenti. Da notare che laformula fornisce direttamente la portanza ammissibile, senza che sianecessario introdurre ulteriori coefficienti di sicurezza.

b) Formula degli Olandesi

La formula degli Olandesi si basa sulla seguente relazione :

)(20)/lim(

2

PaPApRfHP

cmqKgQ+

=

dove:P (kg) = peso del maglio;

H (cm) = volata del maglio;

FORMULA GEO VER.2.0

Ap (cmq) = area della punta;Rf (cm) = rifiuto medio, dato dal rapporto fra lunghezza del

tratto d'avanzamento e numero di colpi per trattod'avanzamento (per es.30/Nscpt per penetrometripesanti tipo Meardi);

Pa (kg) = peso della colonna di aste.

La Formula degli Olandesi rispetto a quella di Meyerhof nonpermette di correlare la portanza alle caratteristiche geometrichedella fondazione, e in particolare al parametro D (profondità di posadella fondazione). Va quindi usata con molta prudenza e solo perstime di massima.

c) Parry

Il metodo di Parry si basa sulla seguente relazione :

FsNspt

KPaQamm30

)( =

dove: Fs = coefficiente di sicurezza, di solito posto uguale a 3.

Calcolo dei cedimenti di fondazioni superficiali.

I cedimenti nel programma vengono calcolati con le relazioniproposte da Schmertmann, per gli strati incoerenti, e da Terzaghi,per gli strati coesivi, passando attraverso la stima del modulo dideformazione o edometrico, con le metodologie di calcolo presentatein precedenza.

Metodo semplificato di Terzaghi

Si tratta di un metodo speditivo utile per avere una prima indicazionedell'ammontare del cedimento. La relazione è la seguente:

FORMULA GEO VER.2.0

s dHQzEd

=

dove:dH = spessore dello strato;Qz = incremento di pressione dovuto al sovraccarico

applicato dalla fondazione a meta strato, calcolabilecon uno dei metodi descritti nel precedente capitolo;

Ed = modulo edometrico dello strato.

Il calcolo va esteso a tutti gli strati di fondazione e i risultati sommati.Il cedimento totale sarà quindi espresso dalla seguente relazione:

S sii

n

==∑

1

,

dove n è il numero degli strati di fondazione.

Metodo di Schmertmann

Il metodo di Schmertmann viene usato per calcolare il cedimentoimmediato e secondario di terreni incoerenti ed ha la seguenteespressione:

S C C QIzE

dHi

ii

n

= ⋅

=∑1 2

1

dove:Q = carico netto applicato sulla fondazione;C1 = 1-0.5(σ/Q), fattore correttivo per tenere conto

dell'approfondimento della fondazione dove σ è lapressione efficace al piano di posa della fondazione(C1≥0.5);

C2 = 1 + 0.21log ( T/0.1), fattore correttivo per tenere contodel cedimento secondario dove T è il tempo di calcolodel cedimento in anni;

FORMULA GEO VER.2.0

σ = pressione efficace al piano di posa della fondazione;n = numero degli strati;dH = spessore dello strato;Ei = modulo di deformazione dello strato i-esimo;Izi = fattore d'influenza per tenere conto della diffusione del

carico netto applicato sulla fondazione nel terreno; hauna distribuzione di tipo triangolare che dipende dallageometria della fondazione.

Calcolo della portanza di un palo.

La portanza ammissibile di un palo viene generalmente valutata conla relazione:

palos

ateralepuntaamm P

F

QlQtQ −

+=)(

dove:Qpunta = portanza di punta del palo;

Qlaterale = portanza laterale del palo;Ppalo = peso del palo;

Fs = fattore di sicurezza (di solito≥2,5);

Per correlare Qpunta e Qlaterale con Nspt il programma utilizza il metododi Meyerhof.

a) Meyerhof.

Valido solo per pali infissi, la Qpunta e la Qlaterale vengono calcolate conle seguenti relazioni:

sptlatlaterale NAtQ 2,0)( =

sptbasepunta NAtQ 40)( =

dove:

FORMULA GEO VER.2.0

Alat = area laterale del palo in mq;Abase = area di base del palo in mq.

FORMULA GEO VER.2.0

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PROVA PENETROMETRICA STATICA

Introduzione.

L' interpretazione della prova penetrometrica statica (CPT) avvienegeneralmente in cinque fasi distinte:• discretizzazione del terreno indagato in livelli caratterizzati da

valori di Rp e Rl relativamente costanti per tutto lo spessore dellostrato;

• stima della litologia del livello attraverso le metodologie diBegemann, Schmertmann, Robertson, ecc…

• calcolo dei parametri geotecnici associati agli strati;• riepilogo della stratigrafia e dei parametri geotecnici dei singoli

strati.

Determinazione della litologia.

Il programma utilizza tre metodi:

• metodo di BEGEMANN (1965);• metodo di SCHMERTMANN (1978);• metodo di ROBERTSON (1990).

Metodo di Begemann

Il metodo di BEGEMANN considera il rapporto tra Rp e Rl comeparametro indicativo delle variazioni litologiche. In particolare l’Autoresuggerisce le seguenti correlazioni:

Rapporto Rp/Rl LitologiaRp/Rl < 15 Argilla organica e torba

15 < Rp/Rl < 20 Limo e/o argilla inorganica30 < Rp/Rl < 60 Limo sabbioso e sabbia limosa

Rp/Rl > 60 Sabbie o sabbia più ghiaia

FORMULA GEO VER.2.0

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Va ricordato che tali correlazioni sono valide solo per terreniimmersi in falda.

Metodo di Schmertmann.

Il metodo di SCHMERTMANN considera come indicativo dellalitologia della verticale indagata il rapporto delle resistente Fr (conFr%=100 Rl/Rp), secondo il grafico seguente:

FORMULA GEO VER.2.0

3

Metodo di Robertson.

Il metodo di Robertson, più recente rispetto a quelli sopra proposti,considera come indicativo della litologia il confronto fra i parametriQ ( resistenza di punta normalizzata) e F (rapporto delle resistenzenormalizzato) del terreno indagato. Q e F in pratica hanno leseguenti espressioni:

0

0

'vvRp

Qσ

σ−=

−

=0

100vRp

RlF

σ

dove:Rp(kg/cmq)= Resistenza alla punta del penetrometro staticoRl(kg/cmq)= Resistenza laterale del penetrometro staticoσv0(kg/cmq)= Pressione litostatica totaleσ’v0(kg/cmq)= Pressione litostatica efficace

Il grafico che permette l’identificazione del tipo litologico in funzionedi Q e F è il seguente:

FORMULA GEO VER.2.0

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Robertson introduce anche il parametro Ic (Indice del tipo dicomportamento del terreno) definito come:

( ) ( )22 22.147.3 ++−= LogFLogQIc

Il parametro Ic può essere correlato empiricamente al contenuto difine del terreno attraverso la relazione

FORMULA GEO VER.2.0

5

7.375.1% 25.3 −= IcFC .

FORMULA GEO VER.2.0

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Stima dei parametri geotecnici.

Parametri degli strati incoerenti

I parametri geotecnici calcolabili per terreni incoerenti (componentesabbiosa o ghiaiosa dominante) attraverso le correlazioni dirette coni valori di Rp sono i seguenti:

• angolo di resistenza al taglio ϕ; • densità relativa Dr; • modulo di deformazione ( o di Young) E50; • modulo edometrico M0; • modulo dinamico di taglio G0.

Angolo di resistenza al taglio ϕϕ .

L'angolo di resistenza al taglio del materiale indagato può esserevalutato attraverso due categorie di metodi: i metodi di correlazionediretta Rp-ϕ e i metodi di correlazione indiretta. Tra i metodi dicorrelazione diretta Rp-ϕ vanno considerati, in generale, piùattendibili quelli che esprimono ϕ anche in funzione della pressioneefficace agente sullo strato.

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Metodi di correlazione diretta

a) Durgunouglu-Mitchell

Il metodo è valido per sabbie N.C., non cementate (per sabbie S.C.va aumentato di 1-2°).Il metodo si basa sulla seguente relazione:

σϕ ln5.4ln8.44.14 −+= Rp

dove Rp(kg/cmq) è la resistenza di punta media misurata nello stratoe σ(kg/cmq) è la pressione litostatica efficace a metà strato.

b) Meyerhof


Rp49.417 +=ϕ

dove Rp(kg/cmq) è la resistenza di punta media misurata nellostrato.La relazione non è applicabile per ϕ< 32° e ϕ> 46°. Nel caso disabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre aumentare il valore di ϕtrovato di 1-2°. In sabbie cementate va tenuto presente che ad unaumento di Rp può non corrispondere automaticamente unaumento di ϕ , per cui in questi casi i risultati vanno utilizzati concautela.La relazione non valuta, nella correlazione Rp-σ, l'influenza dellapressione efficace. Quindi i valori dell'angolo di resistenza al taglioottenuti con questo metodo risulteranno:• per modeste profondità (H < 5-6 m) più bassi del reale;• per elevate profondità (H > 14-15 m) più alti del reale.

c) Caquot

FORMULA GEO VER.2.0

8

+=

σϕ Rp

ln96.48.9

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eRp la resistenza alla punta media misurata nello strato, sempre inkg/cmq.La relazione trova le sue condizioni ottimali di applicabilità in sabbieN.C. (normalmente consolidate) e non cementate per profonditàmaggiori di 2 metri (terreni saturi) o maggiori di 1 metro (terreni nonsaturi). Nel caso di sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorreaumentare il valore di ϕ trovato di 1-2°. In sabbie cementate vatenuto presente che ad un aumento di Rp può non corrispondereautomaticamente un aumento di ϕ , e quindi il valore calcolato vautilizzato con prudenza.

d) Koppejan


+=

σϕ Rp

ln21.58.5

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eRp la resistenza alla punta media misurata nello strato, sempre inkg/cmq.La relazione trova le sue condizioni ottimali di applicabilità in sabbieN.C. (normalmente consolidate) e non cementate per profonditàmaggiori di 2 metri (terreni saturi) o di 1 metro (terreni non saturi).Nel caso di sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre aumentare ilvalore di ϕ trovato di 1-2°.In sabbie cementate va tenuto presente che ad un aumento di Rppuò non corrispondere automaticamente un aumento di ϕ , e quindiper questi terreni occorre utilizzare con una certa cautela i valoriottenuti.

FORMULA GEO VER.2.0

9

e) De Beer

La relazione è la seguente:

+=

σϕ Rp

ln76.49.5

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eRp la resistenza alla punta media misurata nello strato, sempre inkg/cmq.La relazione trova le sue condizioni ottimali di applicabilità per sabbieN.C. (normalmente consolidate) e non cementate per profonditàmaggiori di 2 metri (terreni saturi) o di 1 metro (terreni non saturi).Nel caso di sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre aumentare il ϕtrovato di 1-2 °.In sabbie cementate va tenuto presente che ad un aumento di Rppuò non corrispondere automaticamente un aumento di ϕ , e quindi ivalori ottenuti vanno considerati con estrema cautela.

Metodi di correlazione indiretta

a) Schmertmann

Questo metodo correla ϕ con la densità relativa dello strato infunzione della sua composizione granulometrica.Il metodo è valido per sabbie e ghiaie in genere. Facendoriferimento ad un altro parametro , affetto generalmente da errorenon trascurabile, i valori di ϕ vengono ad essere quasi sempresovrastimati.

Dr14,028 +=ϕ Sabbia fineDr115,05,31 +=ϕ Sabbia mediaDr10,05,34 +=ϕ Sabbia grossa

Dr08,038+=ϕ Ghiaia

FORMULA GEO VER.2.0

10

Densità relativa.

La densità relativa viene valutata attraverso correlazioni applicabilisolo nel caso di terreni prevalentemente sabbiosi .In presenza di depositi ghiaiosi si ottengono valori eccessivamenteelevati e quindi a sfavore della sicurezza: in questo caso siconsiglia di adottare il valore più basso fra quelli calcolati con metodidifferenti.

a) Harman

Il metodo è valido per le sabbie da fini a grossolane pulite, perqualunque valore di pressione efficace, in depositi normalmenteconsolidati.

=

7.03.12ln36.34(%)

σRp

Dr

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq eRp(kg/cmq) la resistenza di punta media misurata nello strato.

b) Schmertmann


σln9.26ln6.368.97% −+−= RpDr

Modulo di deformazione (modulo di Young).

a) Schmertmann

Il metodo è valido per le sabbie in genere normalmente consolidate.La relazione non considera l'influenza della pressione efficace,che porta a parità di Rp ad una diminuzione di E con la profondità.

FORMULA GEO VER.2.0

11

RpcmqkgE 5.2)/( =

Modulo edometrico.

a) Robertson e Campanella.

Il metodo di Robertson e Campanella è valido per le sabbie ingenere. Si basa sulla seguente relazione

%79.07.1103.0)/( DrRpcmqkgM ++= σ

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq,Rp(kg/cmq) la resistenza di punta media misurata nello strato e Dr ladensità relativa in percentuale.

FORMULA GEO VER.2.0

12

Modulo di deformazione di taglio.

a) Imai e Tomauchi

Il metodo, valido per tutti i tipi di terreno, si basa sulla seguenterelazione:

611.00 28)/( RpcmqkgG =

dove Rp è la resistenza di punta media nello strato.

Parametri degli strati coesivi.

I parametri geotecnici calcolabili per terreni coesivi (componentelimosa o argillosa dominante) attraverso le correlazioni dirette con ivalori di Rp sono i seguenti:

• coesione non drenata Cu; • modulo edometrico Ed; • rapporto di sovraconsolidazione OCR; • modulo dinamico di taglio G0; • indice di compressione vergine Cc;

Coesione non drenata.

a) Lunne e Eide

Il metodo è valido per argille in genere e si basa sulla seguenterelazione:

IPRp

cmqkgcu 18.07.20)/(

−−

=σ

dove:Rp(kg/cmq)= Resistenza alla punta media dello stratoIP Indice di plasticità medio dello strato

FORMULA GEO VER.2.0

13

σ(kg/cmq)= Pressione litostatica efficace a metà strato

Modulo edometrico.

a) Mitchell e Gardner

Il metodo, valido per argille in genere, si basa sulla seguenterelazione:

RpcmqkgEd α=)/(

dove Rp è la resistenza alla punta media dello strato e α è uncoeffficiente variabile in funzione del tipo di terreno, secondo laseguente tabella:

Terreno αCL Per 0.7>Rp α=5

Per 2>Rp>0.7 α=3.5Per Rp>2 α=1.7

ML Per 2>Rp α=2Per 2<Rp α=4.5

MH-CH α=4OL-OH α=4

Dove Rp è la resistenza alla punta espressa in Mpa.

Rapporto di sovraconsolidazione.

a) Ladd e Foot


OCRCuKK

= ( ) .

σ1 25

FORMULA GEO VER.2.0

14

dove:Cu = coesione non drenata dello strato (Kg/cmq);

σ = Pressione efficace a metà strato (Kg/cmq);KK = 7-Kp, parametro correttivo in funzione della profondità.

Kp viene calcolato come illustrato dalla seguente tabella:

Profondità mediadello strato, P(m)

Kp

P<=1 KpPp

= 0 2.

1<P<4 Kpp

Pp

= +−

(.

) [. ( )

]02 035 1

P>4 Kpp p

P

p= + +

−(

.) ( . ) [

. ( )]

02035

3 05 4

dove p è il passo di lettura della prova espresso in metri.Nel caso risultasse KK < 0.25 si pone KK = 0.25.

Modulo dinamico di taglio.

a) Imai e Tomauchi

Il metodo, valido per tutti i tipi di terreno, si basa sulla seguenterelazione:

611.00 28)/( RpcmqkgG =

dove Rp è la resistenza di punta media nello strato.

FORMULA GEO VER.2.0

15

Indice di compressione vergine.

a) Schmertmann

Per una stima di massima del parametro Cc è possibile utilizzare larelazione di Schmertmann:

−=

σuc

LogCc2

055.009.0

dove cu è la coesione non drenata media dello strato e σ la pressionelitostatica efficace media a metà strato.

FORMULA GEO VER.2.0

16

Calcolo della portanza di fondazioni superficiali.

a) Formula di Meyerhof

Meyerhof ha proposto le seguenti relazioni:

Kd

Rp

KPaQamm08.04)( = , per B>1.2 m

05.04)(

Rp

KPaQamm = , per B≤1.2 m

dove:Kd = 1 + 0.33(D/B), per Kd<1.33);Rp = resistenza di punta media nello strato;D = profondità di posa della fondazione;B = larghezza della fondazione.

Questa relazione ha il vantaggio di legare il valore della portanzaoltre che alle caratteristiche del terreno anche alla geometria dellafondazione.Va usata nei terreni prevalentemente incoerenti. Da notare che laformula fornisce direttamente la portanza ammissibile, senza che sianecessario introdurre ulteriori coefficienti di sicurezza.

b) Schmertmann

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno stratocoesivo.Nel primo caso la Qlim dello strato è data da:

( ) 5.13000052.028)/lim( RpcmqkgQ −−= (per fondazioni nastriformi);

FORMULA GEO VER.2.0

17

( ) 5.1300009.048)/lim( RpcmqkgQ −−= (per fondazioni rettangolari);

nel secondo da:

RpcmqkgQ 28.02)/lim( += (per fondazioni nastriformi);RpcmqkgQ 34.05)/lim( += (per fondazioni rettangolari).

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per unopportuno coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale 3.

c) Terzaghi

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno stratocoesivo.Nel primo caso la Qlim dello strato è data da:

γγγ NBDNcmqkgQ q 21 5.0)/lim( +=

in cui: Nq=Rp/0.8 e Ny=Rp/0.8;

nel secondo caso:

+=

LB

KcmqkgQ q 3.012)/lim(

in cui: Kq = Rp/15, B=larghezza della fondazione e L=lunghezza dellafondazione.Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per unopportuno coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale 3.

FORMULA GEO VER.2.0

18

Calcolo dei cedimenti di fondazioni superficiali.

I cedimenti nel programma vengono calcolati con le relazioniproposte da Schmertmann, per gli strati incoerenti, e da Terzaghi,per gli strati coesivi, passando attraverso la stima del modulo dideformazione o edometrico, con le metodologie di calcolo presentatein precedenza.

Metodo semplificato di Terzaghi.


s dHQzEd

=

dove:dH = spessore dello strato;Qz = incremento di pressione dovuto al sovraccarico

applicato dalla fondazione a metà strato, calcolabilecon uno dei metodi descritti nel precedente capitolo;

Ed = modulo edometrico dello strato.

Il calcolo va esteso a tutti gli strati di fondazione e i risultati sommati.Il cedimento totale sarà quindi espresso dalla seguente relazione:

S sii

n

==∑

1

,

dove n è il numero degli strati di fondazione.

FORMULA GEO VER.2.0

19

Metodo di Schmertmann.

Il metodo di Schmertmann viene usato per calcolare il cedimentoimmediato e secondario di terreni incoerenti ed ha la seguenteespressione:

S C C QIzE

dHi

ii

n

= ⋅

=∑1 2

1

dove:Q = carico netto applicato sulla fondazione;

C1 = 1-0.5(σ/Q), fattore correttivo per tenere contodell'approfondimento della fondazione dove σ è lapressione efficace al piano di posa della fondazione(C1≥0.5);

C2 = 1 + 0.21log ( T/0.1), fattore correttivo per tenere contodel cedimento secondario dove T è il tempo di calcolodel cedimento in anni;

σ = pressione efficace al piano di posa della fondazione;n = numero degli strati;

dH = spessore dello strato;Ei = modulo di deformazione dello strato i-esimo;Izi = fattore d'influenza per tenere conto della diffusione del

carico netto applicato sulla fondazione nel terreno; hauna distribuzione di tipo triangolare che dipende dallageometria della fondazione.

FORMULA GEO VER.2.0

20

Calcolo della portanza di un palo.

La portanza ammissibile di un palo viene generalmente valutata conla relazione:

palos

ateralepuntaamm P

F

QlQtQ −

+=)(

dove:Qpunta = portanza di punta del palo;

Qlaterale = portanza laterale del palo;Ppalo = peso del palo;

Fs = fattore di sicurezza (di solito≥2,5);

Per correlare Qpunta e Qlaterale con Rp il programma utilizza il metododi Meyerhof.

a) Meyerhof.

Valido solo per pali infissi e trivellati, la Qpunta e la Qlaterale vengonocalcolate con le seguenti relazioni:

RpAtQ latlaterale =)( (per livelli coesivi);

RpAtQ latlaterale 2)( = (per livelli incoerenti);

RpAtQ basepunta =)(

dove:Alat = area laterale del palo in mq;Abase = area di base del palo in mq.

1

FONDAZIONI SUPERFICIALI

Capacità portante di una fondazione superficiale.

Introduzione.

Per fondazione s'intende una struttura adatta a trasmettere il peso delfabbricato e le altre forze agenti sulla sovrastruttura al terreno. I carichitrasmessi da una struttura al terreno di fondazione non devono superare lamassima resistenza al taglio mobilitabile dal terreno stesso. Nel caso ciòavvenisse la conseguenza sarebbe la rottura degli strati portanti, che simanifesterebbe con ampie deformazioni non tollerabili dalla sovrastruttura.Il valore della resistenza al taglio massima mobilitabile, e quindi il caricomassimo teorico che può essere applicato dal fabbricato, viene definitocapacità portante limite del terreno di fondazione.Vengono definite superficiali le fondazioni in cui sia verificata ladisuguaglianza:

(1) D < 4 x B;

in cui D è la profondità di posa della fondazione dal piano campagna e B ladimensione del lato corto della fondazione stessa. Dove la 1) non èsoddisfatta si parla invece di fondazioni profonde.

Portanza del terreno attraverso relazioni analitiche.

Introduzione.

Il comportamento teorico del terreno di fondazione sottopostoall'applicazione di un carico viene generalmente schematizzato secondo leindicazioni di Terzaghi (1943). Si suppone quindi che, per una fondazioneruvida, nel terreno caricato del peso del fabbricato si possano individuare trezone a comportamento meccanico e reologico differente:

I) zona, geometricamente assimilabile ad un cuneo, in cui il terrenomantiene un comportamento elastico e tende a penetrare negli strati

FORMULA GEO VER.2.0

2

sottostanti, solidalmente con la fondazione; questo cuneo forma un angolouguale a Phi

(Phi = angolo di resistenza al taglio del terreno su cui poggia la fondazione)rispetto all'orizzontale secondo Terzaghi, uguale a 45°+Phi/2 secondoMeyerhof,Vesic e Brinch Hansen;

II) zona di scorrimento radiale, rappresentabile graficamente da una serie diarchi di spirale logaritmica per Phi>0 o di cerchio per Phi=0, dove avvienela trasmissione dello sforzo applicato dal cuneo di materiale che costituiscela zona I alla zona III;

III) zona che si oppone alla penetrazione del cuneo della zona I nel terreno;si assume teoricamente che assuma la forma di un triangolo isoscele conun'inclinazione dei due lati uguali rispetto all'orizzontale di 45°-Phi/2; sullasupeficie di questa zona agisce, con effetto stabilizzante, il peso del terrenosopra il piano di posa della fondazione ed altri eventuali sovraccarichi.

Si ha la rottura del terreno di fondazione quando il carico applicato dalcuneo della zona I supera la resistenza passiva della zona III. In questo casola zona I penetrerà nel terreno di fondazione, che tenderà a rifluirelateralmente lungo la zona di scorrimento plastico, dando luogo arigonfiamenti superficiali.Si può giungere alla rottura del terreno attraverso tre modalità differenti:

a) rottura di tipo generalizzato: in terreni addensati e/o consolidati laresistenza al taglio mobilitata aumenta rapidamente per piccoli incrementi dideformazione; al superamento della portanza limite il terreno si rompe esubisce grosse deformazioni; riportando in grafico gli sforzi applicati e ledeformazioni relative risulta facilmente identificabile il valore dellaresistenza al taglio massima;

b) rottura di tipo locale: in terreni sciolti e/o scarsamente consolidati laresistenza al taglio mobilitata aumenta gradualmente in relazione asignificativi incrementi di deformazione; risulta difficile individuare inquesto caso di resistenza al taglio massima, superata la quale si ha la rotturadel terreno, in quanto qui il fenomeno avviene con maggiore gradualità;

FORMULA GEO VER.2.0

3

c) rottura di tipo intermedio: presenta caratteristiche intermedie fra la rotturadi tipo generalizzato e locale.

Numerose sono le relazioni analitiche proposte per valutare la capacitàportante di una fondazione superficiale. Le più utilizzate, e attendibili, sonoquelle di Terzaghi, Meyerhof, Vesic e Brinch Hansen.

Formula di Terzaghi (1943).

La formula di Terzaghi ha la seguente forma:

(2) Qlim = c x Nc x sc + y1 x D x Nq + 0.5 x y2 x B x Ny x sy;

in cui: Nc,Nq,Ny = fattori adimensionali di portanza legati rispettivamenteal contributo di terreni con coesione, al terreno posto sopra al piano di posadella fondazione e agli strati di coesione nulla;

Terzaghi per questi fattori propone le seguenti relazioni:

(3) Nq = a2 /[ 2 x cos2(45 + Phi/2)]

dove (4) a = exp[(0.75 x Pi - Phi/2) x tg(Phi)];

(5) Nc = (Nq -1) x cotg(Phi)

(6) Ny = [tg(Phi)/2] x [ (Kp/cos2(Phi)) - 1]

dove: Kp=fattore di portanza proposto da Terzaghi, approssimabilecon la seguente relazione:

(7) Kp= A0 + A1 x Phi + A2 x Phi2 + A3 x Phi3 + A4 x Phi4;

in cui:A0,A1,A2,A3,A4=fattori del polinomio interpolatore.

FORMULA GEO VER.2.0

4

(si tenga presente però che lo stesso Terzaghi consiglia di utlizzare ilvalore di Ny ricavato da Meyerhof [vedi paragrafo successivo]);

c = coesione del terreno;y1=peso di volume medio del terreno sopra il piano di posa;y2=peso di volume sotto il piano di posa;B=larghezza della fondazione (dimensione del lato corto);D=profondità di posa della fondazione;sc,sy=fattori di forma dati da:

sc = 1.0 per fondazioni nastriformi;sc = 1.3 per fondazioni quadrate;

sy= 1.0 per fondazioni nastriformi;sy=0.8 per fondazioni quadrate.

La formula di Terzaghi fornisce generalmente valori di portanzasovrastimati tranne nel caso di terreni coesivi sovraconsolidati; deve essereutilizzata solo per fondazioni molto superficiali, dove cioè sia verificata ladisuguaglianza:

D<B.

Formula di Meyerhof (1951).

Simile alla relazione di Terzaghi, introduce un fattore di forma sq legato alfattore di portanza Nq, tre fattori legati all'approfondimento del piano diposa della fondazione e tre fattori correttivi per carichi inclinati. Ha laseguente espressione:

(8) Qlim = c x Nc x sc x dc x ic + sq x y1 x D x Nq x dq x iq+ 0.5 x y2 x Bx Ny x sy x dy x iy;

in cui: Nc,Nq,Ny=fattori adimensionali di portanza dati dalle relazioni:

(9) Nq = exp[Pi x tg(Phi)] x tg2(45 + Phi/2);

FORMULA GEO VER.2.0

5

(10) Nc = (Nq -1) x cotg(Phi);

(11) Ny = (Nq - 1) x tg(1.4 x Phi);

sc,sq,sy=fattori di forma, dati da:

(12) sc =1 + 0.2 x Kp x B/L;dove Kp=tg2(45 + Phi/2) e L=lato lungo della fondazione;

(13) sq = sy = 1 + 0.1 x Kp x B/L per Phi>0;(14) sq = sy = 1 per Phi=0;

dc,dq,dy=fattori correttivi per l'approfondimento, dati da:

(15) dc = 1 + 0.2 x sqr(Kp) x D/B;(16) dq = dy = 1 + 0.1 x sqr(Kp) x D/B per Phi>0;

(17) dq = dy =1 per Phi=0;

ic,iq,iy=fattori correttivi per l'inclinazione dei carichi, dati da:

(18) ic = iq = (1 - I°/90);dove I°=inclinazione del carico rispetto alla verticale;

(19) iy = (1 - I°/Phi°)2 per Phi>0;(20) iy=0 per Phi=0.

A differenza della formula di Terzaghi, la relazione di Meyerhof può essereimpiegata per qualunque tipo di terreno e per profondità di posa fino a D= 4x B. Non può essere utilizzata per fondazioni su pendio o per fondazioni conbase ruotata.

Formula di Brinch Hansen (1970).

Deriva dalla formula di Meyerhof , dalla quale differisce per i valori deifattori correttivi di forma, di approfondimento, d'inclinazione dei carichi eper il fattore di portanza Ny e per l'introduzione di fattori correttivi relativi

FORMULA GEO VER.2.0

6

al caso di fondazione su pendio e di fondazioni con base ruotata. Ha laseguente espressione:

(21) Qlim = c x Nc x sc x dc x ic x bc x gc + sq x y1 x D x Nq x dq x iq x bqx gq + 0.5 x y2 x B x Ny x sy x dy x iy x by x gy (per Phi>0);

(22) Qlim = 5.14 x Cu x (1 + sc + dc - ic -bc - gc) + y1 x D (per Phi=0);

in cui: Nc,Nq,Ny=fattori adimensionali di portanza, dove Nc e Nq hanno lastessa forma dei corrispondenti parametri della relazione di Meyerhof(equazioni 9 e 10) e Ny è dato da:

(23) Ny = 1.5 x (Nq -1) x tg(Phi);

sc,sq,sy=fattori di forma, dati da:

(24) sc = 0.2 x B/L per Phi=0;(25) sc = 1 + (Nq/Nc) x (B/L) per Phi>0;

(26) sq = 1 + (B/L) x tg(Phi);(27) sy = 1 - 0.4 x (B/L);

dc,dq,dy=fattori correttivi per l'approfondimento, dati da:

(28) dc = 0.4 x k per Phi=0;dove k=D/B per D/B<=1 e k=atang(D/B) per D/B>1

(29) dc = 1 + 0.4 x k;(30) dq = 1 + 2 x tg(Phi) x [1 - sen(Phi)]2 x k;

(31) dy = 1.

ic,iq,iy=fattori correttivi per carichi inclinati, dati da:

(32) ic = 0.5 - 0.5 x sqr[1 - H/(A x c)] per Phi=0;(33) ic = iq - (1 - iq)/(Nq -1) per Phi>0;

(34) iq = [1 - 0.5 x H /(V + A x c x cotg(Phi))]5;(35) iy = [1 - 0.7 x H /(V + A x c x cotg(Phi))]5 per b°=0;

FORMULA GEO VER.2.0

7

(36) iy = [1 - (0.7-b°/450) x H /(V + A x c x cotg(Phi))]5 per b°>0;dove H=componente longitudinale del carico;

V=componente assiale del carico;b°=inclinazione della base della fondazione rispetto all'orizzontale;

A=area effettiva della fondazione;

bc,bq,by=fattori correttivi per l'inclinazione della base dellafondazione, dati da:

(37) bc = b°/147 per Phi=0;(38) bc = 1 - b°/147 per Phi>0;

(39) bq = exp[-2 x b(rad) x tg(Phi)];(40) by = exp[-2.7 x b(rad) x tg(Phi)];

gc,gq,gy=fattori correttivi per fondazioni su pendio, dati da:

(41) gc = p°/147 per Phi=0;(42) gc = 1 - p°/147 per Phi>0;

(43) gq = gy = (1 - 0.5 x tg p°)5.

A differenza della formula di Terzaghi, la relazione di Brinch Hansen puòessere impiegata per qualunque tipo di terreno e per profondità di posa finoa D= 4 x B. Può essere utilizzata inoltre per fondazioni su pendio o perfondazioni con base ruotata.

Formula di Vesic (1973).

Deriva dalla formula di Brinch Hansen, dalla quale differisce per i valori deifattori correttivi per carichi inclinati, per fondazioni su pendio, perfondazioni con base ruotata e per una diversa definizione del fattore diportanza Ny. Ha la seguente espressione:

(44) Qlim = c x Nc x sc x dc x ic x bc x gc + sq x y1 x D x Nq x dq x iq x bqx gq + 0.5 x y2 x B x Ny x sy x dy x iy x by x gy (per Phi>0);

FORMULA GEO VER.2.0

8

(45) Qlim = 5.14 x Cu x (1 + sc + dc - ic -bc - gc) + y1 x D (per Phi=0);

in cui: Nc,Nq,Ny=fattori adimensionali di portanza, dove Nc e Nq hanno lastessa forma dei corrispondenti parametri della relazione di Meyerhof(equazioni 9 e 10) e Ny è dato da:

(46) Ny = 2 x (Nq +1) x tg(Phi);

sc,sq,sy=fattori di forma di valore uguale a quelli proposti da BrinchHansen (eq.24,25,26 e 27);

dc,dq,dy=fattori correttivi per l'approfondimento di valore uguale aquelli proposti da Brinch Hansen (eq.28,29,30 e 31);

ic,iq,iy=fattori correttivi per carichi inclinati, dati da:

(47) ic = 1 - m x H / (A x c x Nc) per Phi=0;dove m=(2 + B/L)/(1 + B/L) per H parallelo a B;

m=(2 + L/B)/(1 + L/B) per H parallelo a L;(48) ic = iq - (1 - iq)/(Nq -1) per Phi>0;

(49) iq = [1 - H /(V + A x c x cotg(Phi))]m;(50) iy = [1 - H /(V + A x c x cotg(Phi))](m+1);

bc,bq,by=fattori correttivi per l'inclinazione della base dellafondazione, dati da:

(51) bc = b°/147 per Phi=0;(52) bc = 1 - b°/147 per Phi>0;

(53) bq = by = (1 - b x tg(Phi))2;

gc,gq,gy=fattori correttivi per fondazioni su pendio, dati da:

(54) gc = p°/147 per Phi=0;(55) gc = 1 - p°/147 per Phi>0;

(56) gq = gy = (1 - tg p°)2.

FORMULA GEO VER.2.0

9

La relazione di Vesic fornisce risultati non dissimili da quelli ottenibili conla formula di Brinch Hansen, anche se quest'ultima risulta essere più diffusae usata.

Formula di Froelich (1935).

A differenza delle relazioni viste nei precedenti paragrafi la formula diFroelich non fornisce la capacità portante limite della fondazione bensìquellacritica. Per portanza critica s'intende quel carico oltre il quale si hanno iprimi fenomeni di plasticizzazione del terreno, con deformazionisignificative. E' applicabile in particolare in terreni di fondazione con rotturadi tipo locale. La formula ha la seguente espressione:

(57) Qcrit = Ncrit x [y1 x D + C x cotg(Phi)] per Phi>0;con Ncrit=Pi/[cotg(Phi) - (Pi/2 - Phi)] (con Phi in radianti);

Pi=Pi greco;D=profondità di posa

(58) Qcrit = Pi x c per Phi=0.

Determinazione del carico d'esercizio.

Il carico da applicare sul terreno viene ricavato dal valore della portanzalimite o critica, adottando un opportuno coefficiente di sicurezza. Nel casovenga utilizzato il valore della capacità portante limite, il coefficiente disicurezza utilizzato per Legge e per consuetudine è posto uguale 3. Laportanza d'esercizio in questo caso è data quindi da:

(59) Qes = Qlim/3.

Volendo utilizzare il valore della portanza critica si consiglia generalmentedi impiegare un coefficiente di sicurezza uguale a 1.5:

(60) Qes = Qcrit/1.5.

FORMULA GEO VER.2.0

10

Fondazioni con carichi eccentrici.

Nel caso alla fondazione siano applicati dei momenti il carico non risulta piùcentrato, ma eccentrico. Se con Q indichiamo il valore del carico applicatoalla fondazione e con Mb e Ml i momenti agenti rispettivamente lungo illato corto e lungo della fondazione, l'eccentricità del carico sarà data da:

(61) eb = Mb/Q;(62) el = Ml/Q;

con eb = eccentricità lungo il lato corto della fondazione; el = eccentricità lungo il lato lungo della fondazione.

Il calcolo della capacità portante in questo caso andrà eseguito, utilizzandole formule viste nei paragrafi precedenti, inserendo però nel calcolo, comesuggerito da Meyerhof, i valori di B e L corretti come segue:

(63) B' = B - 2 x eb;(64) L' = L - 2 x el.

Calcolo del valore y1 x D.

Nel caso il profilo del terreno sia irregolare, per cui si abbiano spessori diterreno differenti lungo i due lati della fondazione (rispetto al lato cortodella stessa) o nel caso in cui vi sia la presenza di sovraccarichi, comefabbricati, terrapieni, ecc., in prossimità della fondazione, il prodotto y1 x D(peso di volume del terreno sopra il piano di posa della fondazione per laprofondità di posa della stessa) diventa di più difficile valutazione. In questicasi si consiglia di procedere come segue:

a) si calcolino i 2 valori medi dei prodotti y1 x D (P1 e P2) lungo i due latidella fondazione;b) si trasformino eventuali sovraccarichi in altezza di terra equivalente e sisommino ai prodotti y1 x D già calcolati;c) si introduca nel calcolo della capacità portante il valore minore fra P1 eP2.

FORMULA GEO VER.2.0

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Calcolo della capacità portante in terreni stratificati.

La profondità sotto il piano di posa della fondazione da prendere inconsiderazione nel calcolo della portanza può essere stimata dalla relazione(Meyerhof, 1953):

(65) H = 0.5 x B x tg(45 + Phi/2);

H è in pratica la profondità a cui si spinge il cuneo di terreno solidale con lafondazione (zona I). Se all'interno di questo intervallo di profonditàricadono più strati, la scelta dei parametri geotecnici da introdurre nelcalcolo della portanza diventa più problematica.Per un terreno di fondazione multistrato vanno distinti in generale tre casi:

a) caso in cui gli strati sono costituiti da terreni dotati di sola coesione(Phi=0);b) caso in cui gli strati siano costituiti da terreni con Phi>0 e c>0;c) caso in cui gli strati siano costituiti da un'alternanza di terreni coesivi(Phi=0) e incoerenti (Phi>0).

Caso a).

Meyerhof e Brown (1969) propongono di adottare la seguente procedura:

1) si esegue il rapporto fra la coesione del primo strato sotto il piano di posadella fondazione e quello immediatamente successivo:

Rc = c1/c2;

2) se Rc è minore di 1 si calcola il nuovo valore del fattore di portanza Nccome segue:

(66) Nc = (1.5 x d/B) + 5.14 x Rc (Nc<=5.14);

in cui: d=spessore dello strato 1;

FORMULA GEO VER.2.0

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3) se Rc è maggiore o uguale a 1, vanno calcolati i due fattori parziali:

(67) Nc1 = 4.14 + (0.5 x B/d);(68) Nc2 = 4.14 + (1.1 x B/d);

e quindi se ne fa una media per ottenere il fattore Nc:

(69) Nc = 2 x [Nc1 x Nc2 /(Nc1 + Nc2)].

4) il fattore Nc calcolato va quindi inserito nelle formule di calcolo dellacapacità portante di Meyerhof, Vesic o Brinch Hansen.5) il valore di Qlim calcolato va quindi confrontato con il carico dischiacciamento del primo strato dato dalla relazione:

(70) Qpz = 4 x c1 + y1 x D;

si adotta come capacità portante il minore dei due valori.La (70) assume generalmente valori molto bassi solo nel caso di straticoesivi scarsamente consolidati.

Caso b).

Purushothamaray et alii (1974) nel caso di un terreno a due strati propone laseguente soluzione:

1) si calcola un valore di Phi medio del terreno dato da:

(71) Phi' = [d x Phi1 + (H - d) x Phi2] / H;

in cui: Phi1 e Phi2 = angolo d'attrito dello strato 1 e 2;2) si calcola un valore medio di c:

(72) c' = [d x c1 + (H - d) x c2] / H;

in cui: c1 e c2 = coesione degli strati 1 e 2;

FORMULA GEO VER.2.0

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3) s'inseriscono i valori di c' e Phi' in una delle equazioni per il calcolo dellaportanza viste in precedenza;4) nel caso il primo strato presentasse delle caratteristiche meccanichescadenti, si esegue la verifica allo schiacciamento (eq. 70) e si confronta ilrisultato con il valore di Qlim calcolato nel punto 3), adottando comecapacità portante il minore dei due valori.

La procedura ovviamente può essere estesa ad un numero qualsiasi di strati.

Caso c).

Bowles (1974) propone la seguente procedura nel caso di terreno a duestrati:

1) si calcola, con i metodi visti, la Qlim del primo strato (quelloimmediatamente sotto il piano di posa della fondazione) (Qlim1);2) si calcola la Qlim del secondo strato (Qlim2), usando i valori di c e Phidel secondo strato e introducendo nel prodotto y1 x D il peso di volume delprimo strato ed il suo spessore;3) si calcola la Qlim complessiva dei due strati attraverso la relazione:

(73) Qlim' = Qlim2 + [p x Pv x K x tg(Phi)/A] + (p x d x c/A);

in cui: A=area della fondazione=B x L;p=perimetro della fondazione=2 x B + 2 x L;d=spessore del primo strato;P=pressione efficace dal piano di posa della fondazione al tetto dello

strato inferiore;K=tg(45 + Phi/2)2;

4) si confronta il valore di Qlim1 con Qlim' e si adotta come portanza ilminore dei due.

Anche in questo caso il procedimento può essere esteso a tre e più strati.

FORMULA GEO VER.2.0

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Effetti sulla portanza della variazione di B e D.

Dall'osservazione dell'equazioni proposte da Terzaghi, Meyerhof, BrinchHansen e Vesic per il calcolo della capacità portante si può notare chegeneralmente all'aumentare di B e D la Qlim tende a crescere. In particolarea piccoli incrementi di D, mantenendo invariato B, corrispondono spessonotevoli aumenti della Qlim. Quest'effetto è più vistoso nei terreniincoerenti, dove il termine dell'equazione legato a Nc è nullo e quello legatoa Nq diventa dominante.Gli incrementi di Qlim all'aumentare di B sono invece più contenuti inquanto il termine legato a Ny spesso è trascurabile. Da notare però che interrenistratificati si può anche verificare che ad un incremento di B segua unadiminuzione di Qlim: ciò accade in presenza di strati con caratteristichemeccaniche scadenti posti sotto strati con caratteristiche migliori. In questicasi è consigliabile effettuare il calcolo della portanza, utilizzando un rangeabbastanza ampio di valori di B, per individuare la Qlim massima e minimain funzione del lato corto della fondazione.

Correzione di Terzaghi della portanza limite.

Tutte le equazioni per il calcolo della capacità portante presentate inprecedenza si basano sul presupposto che il terreno di fondazione abbia uncomportamento descrivibile dalla legge di Coulomb:

(74) T = c + Pef x tg(Phi);

in cui: T=resistenza al taglio del terreno;Pef=pressione efficace del terreno.

I dati sperimentali confermano che il campo di validità della (74) è limitatoall'intervallo di Qammissibile che va da 0 a 4.5 kg/cmq circa. Oltre i 4.5 kg/cmqla relazione sforzi - resistenza al taglio non è più di tipo lineare, comenell'eq. 74, ma assume una forma più complessa. L'uso delle formule per ilcalcolo della portanza fuori dal campo di validità della (74) conduce a valoridella Qlim sovrastimati.

FORMULA GEO VER.2.0

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Terzaghi (1943) ha proposto una correzione da applicare ai parametricoesione e angolo d'attrito del terreno, nei casi in cui risulti dal calcolo unaQam>4.5 kg/cmq, per tener conto della non linearità della relazione sforzi -resistenza al taglio. In pratica ha suggerito di utilizzare nel calcolo valoriridotti di Phi e c, calcolati come segue:

c' = (2/3) x c;Phi' = atang[(2/3) x Phi].

Lo stesso tipo di correzione viene proposta da Terzaghi per terreni dove èprevedibile una rottura del terreno di tipo locale. Nella pratica perdistinguere

fra terreni con rottura di tipo locale e generale si può utilizzare il seguentecriterio:

a) rottura di tipo locale: probabile nei terreni che abbiano un densità relativa(Dr%) inferiore a 20 e/o una coesione (c) minore di 0.25 kg/cmq; in questocaso si consiglia di procedere al calcolo della Qlim adottando i valori ridottidi c e Phi:

c' = (2/3) x c;Phi' = atang[(2/3) x Phi];

b) rottura di tipo generale: probabile nei terreni che abbiano una Dr%>=70e/o una coesione maggiore o uguale a 1 kg/cmq; in questo caso nel calcolovanno impiegati i valori reali di c e Phi;

c) rottura di tipo intermedio: probabile nei terreni con Dr%>=20 e <70 e/ocon una con c>=0.25 kg/cmq e c<1 kg/cmq: in questo caso si procede ainterpolazione fra i valori ridotti c' e Phi' e quelli reali c e Phi.

Fondazioni su roccia.

Per valutare la capacità portante di fondazioni superficiali poggianti suroccia si può utilizzare il criterio suggerito da Stagg e Zienkiewicz (1968).

FORMULA GEO VER.2.0

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Secondo quanto proposto dai due Autori la portanza può essere valutata conuno dei metodi già visti, impiegando i seguenti fattori di portanza:

Nq = tg6(45 + Phi/2);Nc = 5 x tg4(45 + Phi/2);

Ny = Nq +1.

Il valore della Qlim ottenuto va poi ridotto in base al valore del parametroRQD:

Qlim' = Qlim x (RQD%/100)2.

Il limite di questo procedimento è nella difficolta di ottenere per ammassirocciosi valori attendibili di Phi e c. D'altra parte raramente la Qlim è unfattore limitante nel caso di fondazioni su roccia.

Correzioni da applicare all'angolo d'attrito in condizioni sismiche.

Le sollecitazioni indotte da un sisma possono, nel caso di terreni incoerentiben addensati, indurre il fenomeno della dilatanza, cioè un aumento divolume del materiale conseguente ad una diminuzione del suo grado diaddensamento (espresso dal parametro densità relativa). Poichè nei terreniincoerenti esiste un legame fra grado di addensamento e angolo d'attritointerno, una diminuzione della prima grandezza conduce ad unadiminuzione anche della seconda.Due sono le correzioni presentate in questo programma: quella di Vesic equella di Sano.

a)Criterio di Vesic.Secondo questo Autore per tener conto del fenomeno della dilatanza nelcalcolo della capacità portante è sufficiente diminuire di 2° l'angolo d'attritodegli strati di fondazione. Il limite di questo suggerimento è nel fatto chenon tiene conto dell'intensità della sollecitazione sismica (espressa

FORMULA GEO VER.2.0

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attraverso il parametro accelerazione sismica orizzontale massima). Questocriterio pare però trovare conferma nelle osservazioni fatte in occasione didiversi eventi sismici.

b)Criterio di Sano.L'Autore propone di diminuire l'angolo d'attrito degli strati portanti di unaquantità data dalla relazione:

Dp = arctg[Amax /sqr(2)];

dove Amax è l'accelerazione sismica orizzontale massima.Questo criterio, rispetto a quello di Vesic, ha il vantaggio di prendere inconsiderazione anche l'intensità della sollecitazione sismica. L'esperienzaperò dimostra che l'applicazione acritica di questa relazione può condurre avalori eccessivamente cautelativi della Qlim.

Le correzioni di Sano e di Vesic si applicano esclusivamente a terreniincoerenti ben addensati: è errato applicarle a terreni sciolti o mediamenteaddensati, dove le vibrazioni sismiche producono il fenomeno opposto aquello della dilatanza, con aumento del grado di addensamento edell'angolo d'attrito.

Per quanto riguarda la coesione (drenata e non), le osservazioni confermanoche le sollecitazioni sismiche vi inducono effetti del tutto trascurabili.

Portanza del terreno attraverso correlazioni empiriche con i dati diprove in situ.

Correlando i dati ricavati da alcuni tipi di prove in situ con la capacitàportante della fondazione, è possibile ottenere rapidamente un'indicazione dimassima dei carichi che il terreno può tollerare. E' consigliabile verificarecomunque in seguito la validità di quest'indicazione con i metodi analitici,più completi e attendibili.

Portanza attraverso correlazioni con le prove CPT.

FORMULA GEO VER.2.0

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Vengono qui descritte le relazioni di Schmertmann e di Terzaghi.

a) Formula di Schmertmann.

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno strato coesivo.Nel primo caso la Qlim dello strato è data da:

(75) Qlim (kg/cmq) = 28 - 0.0052 x (300 - Rp)1.5 (per f.nastriformi);(76) Qlim (kg/cmq) = 48 - 0.009 x (300 - Rp)1.5 (per f.rettangolari);

nel secondo:

(77) Qlim (kg/cmq) = 2 + 0.28 x Rp (per f.nastriformi);(78) Qlim (kg/cmq) = 5 + 0.34 x Rp (per f.rettangolari).

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per un opportunocoefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale a 3.

b) Formula di Terzaghi.

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno strato coesivo.Nel primo caso la Qlim dello strato è data da:

(79) Qlim (kg/cmq) = y1 x D x Nq + 0.5 x B x Ny;

in cui: Nq=Rp/.8 e Ny=Rp/.8;nel secondo caso:

(80) Qlim (kg/cmq) = 2 x Kq x [1 + 0.3 x (B/L)];

in cui: Kq = Rp/15.

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per un opportunocoefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale a 3.

FORMULA GEO VER.2.0

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Portanza attraverso correlazioni con le prove SPT e SCPT.

Vengono qui descritte la relazione di Meyerhof e la formula degli Olandesi.

a) Formula di Meyerhof.


(81) Qamm (kPa) = (Nspt/0.08) x Kd;

con Kd = 1 + 0.33 x (D/B) (con Kd<=1.33);Nspt=numero di colpi di punta medio nello strato;D=profondità di posa della fondazione;

B=larghezza della fondazione.

Questa relazione ha il vantaggio di legare il valore della portanza oltre chealle caratteristiche del terreno anche alla geometria della fondazione.Va usata nei terreni prevalentemente incoerenti. Da notare che la formulafornisce direttamente la portanza ammissibile, senza che sia necessariointrodurre ulteriori coefficienti di sicurezza.

b) Formula degli Olandesi.


(82) Qamm (kg/cmq) = Pm2 x Hm / [ 20 x Ap x Rf x (Pm + Pa)];

con Pm (kg)=peso del maglio;Hm(cm)=volata del maglio;Ap(cmq)=area della punta;

Rf(cm)=rifiuto medio, dato dal rapporto fra lunghezzadel tratto d'avanzamento e numero di colpi pertratto d'avanzamento (per es.30/Nscpt per penetrometri pesanti tipo Meardi);Pa(kg)=peso della colonna di aste.

FORMULA GEO VER.2.0

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La Formula degli Olandesi rispetto a quella di Meyerhof non permette dicorrelare la portanza alle caratteristiche geometriche della fondazione, e inparticolare al parametro D (profondità di posa della fondazione). Va quindiusata con molta prudenza e solo per prime stime. La portanza ricavata con larelazione (82) fornisce direttamente la portanza ammissibile, quindi ilcoefficiente di sicurezza deve essere posto uguale a 1.

Calcolo del coefficiente di sottofondazione.

Si definisce pressione di contatto la pressione unitaria che la fondazioneesercita in ciascun punto d'appoggio sul terreno di fondazione. Per modulo ocoefficiente di sottofondazione si definisce la relazione che esiste fra lapressione di contatto in ogni punto della fondazione e la relativadeformazione del terreno:

(83) k = Q/s.

Generalmente ci si basa sull'ipotesi che il modulo k sia costante sotto ognipunto della fondazione, come proposto da Winkler e da Westergaard. Se ciòsi può verificare nel caso di fondazioni rigide, per fondazioni elastichel'assunzione non è più valida. L'utilizzo di k anche per il dimensionamentodi platee e reticoli di travi rimane nonostante questo ancora diffuso,mancando metodi di calcolo più attendibili e uguale semplicità.Numerose sono le relazioni proposte in letteratura per il calcolo di k.Vengono qui descritte le formule di Bowles, Terzaghi e Vesic, tra le piùcitate ed usate.

Formula di Bowles.

Bowles (1974) propone la seguente relazione:

(84) k (kN/mc) = 40 x Qlim.

FORMULA GEO VER.2.0

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Si tratta di una formula di semplice utilizzo, ma che generalmente conduce avalori di k eccessivamente conservativi. Si consiglia di usarla solo perottenere una prima indicazione.

Formula di Vesic.

Vesic (1961) ha proposto la seguente relazione che correla k con il modulodi elasticità del terreno e della fondazione:

(85) k (kg/cmc) = (1/B) x 0.65 x [(Et x B4)/(Ef x If)]1/12 x Et/(1 - p2);

in cui: Et (kg/cmq)= modulo di deformazione dello strato di fondazione;Ef (kg/cmq)= modulo elastico della fondazione;If (cm4)=momento d'inerzia della fondazione;B (cm)=lato corto della fondazione;

p=rapporto di Poisson.

Poichè il prodotto 0.65 x [(Et x B4)/(Ef x If)]1/12 ha generalmente un valoreprossimo all'unità, la (85) può essere semplificata come segue:

(86) k (kg/cmc) = (1/B) x Et/(1 - p2).

Formula di Terzaghi.

Terzaghi (1955) ha suggerito di correlare il coefficiente di sottofondazionecon il valore del modulo di reazione kp calcolato con una prova su piastra dilato uguale a 30 cm. La correlazione proposta è la seguente:

(87) k (kg/cmc) = kp x [(B + 30)/(2 x B)]2 per terreni incoerenti;(88) k (kg/cmc) = kp/(1.5 x B) per terreni coesivi.

Correlando kp con il numero di colpi medio dello strato di fondazione,attraverso la relazione:

FORMULA GEO VER.2.0

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(89) kp (kg/cmc) = 1 / (7.8 x Q / N);

in cui: Q (kg/cmq)=carico applicato sulla fondazione;N=numero di colpi SPT medio nello strato di fondazione;

è possibile ricavare k direttamente dai dati di una prova penetrometricadinamica.

Distribuzione del sovraccarico nel terreno di fondazione.

Introduzione.

L'applicazione del sovraccarico della fondazione conduce ad una variazionedello stato tensionale del terreno. Il carico applicato tende a diffondersi finoal suo completo assorbimento. Generalmente si ammette che il sovraccaricosi annulli ad una profondità, sotto il piano di posa della fondazione,variabile da 1 a 4 volte B (B=lato corto della fondazione).E' importante eseguire una stima di come il carico si diffonde negli strati difondazione, in quanto indispensabile per il successivo calcolo dei cedimenti.Vengono di seguito descritti tre procedimenti, fra i più utilizzati e collaudati,per la valutazione della diffusione del sovraccarico nel terreno: il metodosemplificato, il metodo di Reimbert ed il metodo di Newmark.

Metodo semplificato.

Si suppone che il sovraccarico netto applicato sul terreno di fondazione, cioèil peso della sovrastruttura al netto, eventualmente, del peso del terrenoasportato sopra il piano di posa della fondazione, si diffonda con un angolodi circa 63° rispetto alla verticale. In pratica alla quota z sotto il piano diposa della fondazione la pressione indotta dalla fondazione è data dallarelazione:

(90) pz = Q/[(B + z) x (L + z)];

in cui: Q=carico netto applicato dalla fondazione;B=lato corto della fondazione;

FORMULA GEO VER.2.0

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L=lato lungo della fondazione.

Confrontato con metodi più sofisticati, come quello di Newmark, non sinotano in genere grandi divergenze per profondità comprese fra 1xB e 4xB.Se ne sconsiglia l'utilizzo invece nell'intervallo di profondità 0 - 1xB.

Metodo di Newmark.

Si basa sul presupposto che il terreno di fondazione possa essere assimilatoad uno spazio semiinfinito a comportamento perfettamente elastico,omogeno e isotropo. Deriva dall'integrazione su un'area rettangolare oquadrata di dimensioni B x L (B=lato corto della fondazione, L=lato lungodella fondazione) delle equazioni di Boussinesq.

In pratica l'incremento di pressione netta indotta dal carico applicato dallafondazione alla quota z sotto il piano di posa, lungo la verticale che passaper uno degli angoli dell'area BxL, è dato da:

(91) pz = [Q/(4 x Pi)] x (m1 + m2);

in cui: m1=[2 x M x N x sqr(V) x (V + 1)] / [(V + V1) x V];m2=atang[(2 x M x N x sqr(V))/(V1 - V)];dove M=B/z;

N=L/z;V=M2 + N2 + 1;V1=(M x N)2;Pi=Pi greco.

Per stimare la diffusione del sovraccarico nel terreno lungo più verticali,occorre dividere l'area B x L in più rettangoli o quadrati con gli spigolicoincidenti al punto di passaggio della verticale, calcolare e quindi sommarei contributi delle singole aree.Il metodo di Newmark è ampiamente utilizzato e fornisce generalmenterisultati a favore della sicurezza. In alcuni casi però, in particolare in terreni

FORMULA GEO VER.2.0

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stratificati incoerenti o con alternanze di strati coesivi e incoerenti, dovecioè ci si allontana notevolmente da un comportamento perfettamenteelastico del terreno, i valori ottenibili con Newmark risultanoeccessivamente cautelativi.

FORMULA GEO VER.2.0

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Metodo di Reimbert.

Rispetto ai metodi descritti in precedenza, quello di Reimbert ha il pregio diconsiderare nel calcolo anche le caratteristiche meccaniche del terreno,precisamente l'angolo d'attrito del terreno e il suo grado di addensamento.Dato un carico netto applicato alla fondazione Qp, alla quota z sotto il pianocampagna si avrà un'incremento della pressione netta dato da:

(92) pz = (2/Pi) x Qp/[(Fb + (z x Fa)2] per fondazioni quadrate;

(93) pz = (1.9/Pi) x Qp/[(Fb + (z x Fa)2] per fondazioni rettangolari;

(94) pz = 0.75 x Qp/(Fb + z x Fa) per fondazioni nastriformi;

in cui: Fb=0.564 x B (fondazioni quadrate);Fb=0.564 x sqr(B x L) (fondazioni rettangolari);Fb=B/2 (fondazioni nastriformi);Fa=cotg(Phi) per Phi<30°;Fa=tg(Phi) per Phi>=30°.

Il metodo di Reimbert fornisce risultati più attendibili, rispetto al metodo diNewmark, in terreni stratificati incoerenti o con alternanze di stratiincoerenti e coesivi. Rispetto al metodo di Newmark è però menocollaudato. Non è utilizzabile inoltre per il primo metro sotto il piano diposa della fondazione.

Calcolo dei cedimenti del terreno di fondazione.

Introduzione.

Anche se la pressione esercitata sul terreno di fondazione non supera ilvalore calcolato, si possono, in alcuni casi, manifestare delle deformazioninel terreno non tollerabili dall’opera.

FORMULA GEO VER.2.0

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I cedimenti sono dovuti alla deformazione elastica e plastica del terreno e,nel caso di terreni poco permeabili (argille e limi), al processo di lentaespulsione dell’acqua contenuta al loro interno (consolidazione).Poichè le caratteristiche geotecniche del terreno variano da punto a punto,così come spesso variano da punto a punto anche le condizioni di carico, icedimenti possono assumere localmente valori differenti.Il cedimento calcolato in un punto prende il nome di cedimento assoluto; ladifferenza fra i cedimenti assoluti misurati in due o più punti prende il nomedi cedimento differenziale.Il cedimento assoluto totale è dato dalla somma di tre componenti:

(95) Stot= Simm + Scon + Ssec;

in cui:Simm=cedimento immediato, dovuto alla deformazione iniziale, senzavariazione di volume, del terreno caricato; è prevalente nei terreniincoerenti(coesione=0), trascurabile in quelli coesivi (coesione>0);Scon=cedimento di consolidazione, legato alla variazione di volume delterreno saturo, in seguito alla lenta espulsione dell’acqua contenuta al suointerno; è dominante nei terreni coesivi, poco permeabili, e trascurabile inquelli incoerenti (da mediamente a molto permeabili);Ssec=cedimento secondario, dovuto alla deformazione viscosa delloscheletro solido del terreno; normalmente trascurabile in tutti i tipi diterreno.

Proprio per le differenti modalità con cui si manifestano i cedimenti neiterreni coesivi ed incoerenti, i due casi vanno trattati separatamente.

Cedimenti nei terreni incoerenti.

Metodo semplificato di Terzaghi(1943).


FORMULA GEO VER.2.0

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(96) S = DH x Qz / Ed;

in cui: DH=spessore dello strato;Qz=incremento di pressione dovuto al sovraccarico applicato dalla

fondazione a metà strato, calcolabile con uno dei metodi descritti nelprecedente capitolo;

Ed=modulo di deformazione dello strato.

Il procedimento fornisce in genere valori sovrastimati e va quindicontrollato con metodi più completi. Il cedimento calcolato corrisponde allasola componente immediata, quella secondaria viene consideratatrascurabile. Il valore del cedimento calcolato è valido per fondazioniflessibili; per fondazioni rigide questo valore va moltiplicato per un fattoregeneralmente posto uguale a 0.75. Inoltre il metodo va applicato solo neglistrati dove è soddisfatta la condizione:

(97)DH < B;

con B=lato corto della fondazione.

Metodo di Schmertmann(1970).

E' stato ideato per calcolare il cedimento immediato e secondario di terreniincoerenti utilizzando direttamente i dati delle prove penetrometrichestatiche (CPT). Ha la seguente espressione:

(98) Stot = C1 x C2 x Q x DH x sommatoria(Iz/E);

in cui:Q=carico netto applicato sulla fondazione;C1=fattore correttivo per tener conto dell'approfondimento della fondazione:

(99) C1 = 1 - 0.5 x (P/Q);dove P=Pressione efficace al piano di posa della fondazione;C2=fattore correttivo per tener conto del cedimento secondario:

(100) C2 = 1 + 0.21 x Log ( T/0.1);dove:

FORMULA GEO VER.2.0

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T=tempo di calcolo del cedimento in anni;DH=spessore dello strato;E=modulo di deformazione dello strato; i valori di E consigliati daSchmertmann sono i seguenti:E=2 x Rp (sabbie fini e limo);E=3.5 x Rp (sabbie medie);E=5 x Rp (sabbia grossolana);E=6 x Rp (sabbia e ghiaia);con Rp=resistenza alla punta media dello strato;Iz=fattore d'influenza per tener conto della diffusione del carico nettoapplicato sulla fondazione nel terreno; ha una distibuzione di tipotriangolare che dipende dalla geometria della fondazione:fondazioni nastriformi: Iz=0.2 per z=0 - Iz=0.5 per z=B - Iz=0 per z=4xB;fondazioni quadrate: Iz=0.1 per z=0 - Iz=0.5 per z=B/2 - Iz=0 per z=2xB;fondazioni rettangolari:si risolvono i due casi precedenti e si prende unvalore interpolato.

Il procedimento di Schmertmann fornisce risultati attendibili purchè siutilizzino i valori di E proposti dall'Autore e venga impiegato per fondazionirigide. Il cedimento calcolato va visto come il massimo cedimento teoricoprevedibile in funzione del carico netto applicato.

Metodo di Steinbrenner(1934).

Consente di calcolare il cedimento immediato di una fondazionerettangolare o quadrata, rigida o elastica, di area B x L in corrispondenza diuno dei suoi vertici. Si basa sulla Teoria dell'Elasticità, partendo dalpresupposto che il terreno di fondazione si comporti come un mezzoelastico. Ha la seguente espressione:

(101) Si = Q x B' x [(1 - p2)/E] x [I1 + I2 x (1 - 2xp)/(1 - p)] x If;

in cui: Q=carico netto applicato sulla fondazione;B'=B/2 con B=lato corto della fondazione;p=coefficiente di Poisson;

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E=modulo di deformazione dello strato;

I1,I2,If=fattori d'influenza per tener conto della distribuzione del carico netto in funzione della lunghezza della fondazione,

della profondità di calcolo sotto al piano di posa e della profondità di posa.

Nel caso di una fondazione elastica è possibile calcolare il cedimentoimmediato lungo più verticali all'interno dell'area caricata, suddividendola inrettangoli con i vertici coincidenti con il punto di passaggio della verticaledi calcolo, valutando i cedimenti per ogni singolo rettangolo e sommando ivalori ottenuti.Nel caso di una fondazione rigida, dove i cedimenti si suppongono uniformi,si calcola con la (101) il cedimento nel punto centrale dell'area B x L e lo simoltiplica per un fattore riduttivo, generalmente posto uguale a 0.931:

(102)Sr = Sf x 0.931;

in cui: Sr=cedimento della fondazione rigida;Sf=cedimento della fondazione flessibile;

Il metodo non prende in considerazione la componente secondaria delcedimento, considerata trascurabile.Il procedimento di Steinbrenner fornisce risultati attendibili, purchè si tengaconto, lungo le verticali di calcolo, della variazione di E per lastratificazione del terreno di fondazione e non si assuma, come suggerito daalcuni Autori, semplicemente il valore del modulo di deformazioneimmediatamente sotto il piano di posa.

Metodo di Burland e Burbridge.

Permette di calcolare il cedimento immediato e secondario di unafondazione direttamente dai dati di una prova penetrometrica dinamica. Hala seguente espressione:

(103)Stot = Fs x Fh x [Pf x (B0.7)x(Ic / 3)+(Q - Pf) x (B0.7) x Ic] x Ft;

FORMULA GEO VER.2.0

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in cui: Ft = 1 + R3 + R0 x Log(T / 3);

dove R3=0.3 e R0=0.2 per carichi statici,dove R3=0.7 e R0=0.8 per carichi dinamici,T=anni di calcolo del cedimento secondario(maggiore di 3);Fs = [1.25 x (L / B) / (L / B + .25)]2;Ic=fattore che tiene conto della probabilità che il cedimento reale superiquello calcolato; viene calcolato come segue:Ic50 = 1.706 / (Nspt)1.4 (probabilità del 50% che il cedimento relae nonsuperi quello calcolato) con Nspt=numero di colpi medio dello strato;Ic2 = 5.47 / (Nspt)1.4 (probabilità del 2% che il cedimento reale non superiquello calcolato);Pf=pressione efficace al piano di posa della fondazione;Q=carico applicato alla fondazione;B=lato corto della fondazione.Fh = fattore che tiene conto dello spessore dello strato maggiormentecompressibile (Sp); è dato da:Fh=1 se Sp>= Zi;Fh = (Sp / Zi) x (2 - (Sp / Zi)) se Sp<Zi conZi = 1.025 + .4286 x B - 9.91 x 10-4 x B2

Generalmente nel calcolo si utilizza il valore di Ic50, in quanto con Ic2 siottengono valori eccessivamente cautelativi. Il metodo fornisce buonirisultati in terreni relativamente omogenei; va usato con cautela in presenzadi stratificazione. Può essere applicato solo a fondazioni rigide.

Cedimenti nei terreni coesivi.

Metodo semplificato di Terzaghi(1943).

Ha la stessa espressione e limiti visti per il procedimento relativo a terreniincoerenti; al posto del modulo di deformazione va utilizzato però il moduloedometrico definito come segue:

FORMULA GEO VER.2.0

31

(104) Ed = 1/mv;

con mv=modulo di compressibilità volumetrica dello strato.

Metodo di Steinbrenner.

Ha la stessa espressione e limiti visti per il procedimento relativo a terreniincoerenti; anche in questo caso al posto del modulo di deformazione vautilizzato il modulo edometrico.

Metodo basato sulle prove edometriche.

Consente il calcolo del cedimento di consolidazione; ha la seguenteespressione:

(105)Sc = DH x [Cc/(1 + e0)] x Log[(Pf + dp)/Pf] (strati normalmenteconsolidati);

(106)Sc = DH x [Cc/(1 + e0)] x Log[(Pf + dp)/Pf] (strati sovraconsolidaticon dp<Pc);

(107)Sc = Dh x [Cc/(1 + e0)] x Log(Pc / Pf) + DH x [Cr/(1 + e0)] x Log[(Pf+ dp) / Pc] (strati sovraconsolidati con dp>Pc);

in cui: DH=spessore dello strato;Cc=indice di compressione vergine;Cr=indice di ricompressione vergine;Pf=pressione efficace a metà strato;Pc=pressione di sovraconsolidazione a metà strato;dp=incremento di pressione a metà strato dovuto al carico applicato

sulla fondazione;e0=indice naturale dei vuoti;

FORMULA GEO VER.2.0

32

In presenza di terreno multistrato il procedimento va applicato ad ognisingolo strato coesivo ed i risultati sommati.Per il calcolo del cedimento secondario si utilizza la seguente espressione:

(108)Ss = DH x Cs x Log(1 + T);

in cui: Cs=indice di compressione secondario;T=tempo di calcolo del cedimento secondario in anni.

va tenuto presente che il procedimento considera che le deformazioniindotte dal sovraccarico applicato sulla fondazione siano di tipo assiale,trascurando quelle laterali; ciò può essere considerato ammissibile solo dovesia verificata la relazione:

(109)DH<B;

con B=lato corto della fondazione.Il metodo fa riferimento a fondazioni flessibili; per calcolare il cedimentoper fondazioni rigide il valore calcolato va moltiplicato per un fattorecorrettivo, generalmente posto uguale a 0.75.

Tempo di consolidazione di uno strato coesivo.

La consolidazione sotto carico di uno strato coesivo avviene in seguito allalenta espulsione dell'acqua contenuta al suo interno. Il tempo necessarioperchè una determinata percentuale del cedimento di consolidazione totalesi sia verificato può essere stimato sulla base della seguente relazione:

(110)t = T x H2 / cv;

in cui: T=fattore tempo tabellato in funzione della distribuzione dellapressione dei pori nello strato;

H=DH/2 nel caso in cui il drenaggio sia consentito da ambedue i latidello strato;

FORMULA GEO VER.2.0

33

H=DH nel caso il drenaggio sia consentito da un solo lato dellostrato;

cv=coefficiente di consolidazione verticale, fornito dalle proveedometriche.

Per un tempo corrispondente ad una consolidazione del 50% la (110) puòessere riscritta come segue:

(111)t = 0.197 x H2 /cv.

Cedimenti assoluti e differenziali.

Elevati cedimenti differenziali (dell’ordine di alcuni centimetri in genere,ma a volte anche meno) possono indurre lesioni nell’opera. Partendo dalpresupposto che a elevati cedimenti assoluti generalmente corrispondonoelevati cedimenti differenziali, Terzaghi e Peck proposero di considerarecome valori limite tollerabili cedimenti assoluti di 2,5 cm in terreniincoerenti (sabbie e ghiaie) e 4 cm in terreni coesivi (limi e argille). Lamaggiore tolleranza consentita per i materiali dotati di coesione dipende dalfatto che in quest'ultimi i cedimenti sono essenzialmente dovuti allaconsolidazione, quindi distribuiti su intervalli di tempo relativamente ampi,fatto che consente alla sovrastruttura di meglio adattarsi alle deformazionidel terreno.Un sistema meno empirico di procedere consiste nello stimare la distorsioneangolare fra due o più punti della struttura di cui sia noto il cedimentoassoluto del terreno di fondazione:

(112) Dang= (S2 -S1)/L12;

conDang=distorsione angolare;S2=cedimento assoluto nel punto 2;S1=cedimento assoluto nel punto 1;L12=distanza fra i punti 1 e 2.

FORMULA GEO VER.2.0

34

In prima approssimazione, sono da considerare tollerabili distorsioniangolari inferiori a 1/600 per strutture in muratura e a 1/1000 per strutture incalcestruzzo.

FORMULA GEO VER.2.0

35

Portanza attraverso metodi probabilistici.

Introduzione.

Nel calcolo della capacità portante di una fondazione superficiale la maggiorfonte d'indeterminazione è costituita dalla caratterizzazione meccanica delterreno, in particolare dalla stima dei parametri coesione e angolo diresistenza al taglio ( o angolo d'attrito).Nei metodi dell'equilibrio limite spesso i parametri geotecnici utilizzati nelcalcolo sono ricavati facendo una media ponderata fra i dati ottenuti dallemisure eseguite in situ o in laboratorio. La dispersione dei valori che siosserva in molti casi non è trascurabile, per cui la scelta delle grandezze dainserire nel calcolo può diventare problematica. In queste situazioni èpreferibile far seguire la verifica condotta con un metodo deterministico,cioè con uno dei metodi analitici già visti (Terzaghi, Vesic, Meyerhof eBrinch Hansen), da un'analisi di tipo probabilistico, che fornisca un'ideadell'influenza della dispersione dei dati geotecnici sul valore della portanza.

Metodi di Montecarlo applicati al calcolo della portanza.

I metodi di Montecarlo si basano sulla generazione di numeri casuali, sceltiin determinati intervalli, che godano nel complesso di proprieta' statistiche.Fra le varie applicazioni possibili di tali metodi, vi e' quella detta 'delcampionamento' che consiste nel dedurre proprieta' generali di un insiemegrande, studiandone solo un sottoinsieme casuale, giudicato rappresentativodell' insieme stesso. E' evidente che maggiori saranno le dimensioni delcampione random, piu' rappresentative saranno le proprieta' dedotte.Nel caso di applicazione del metodo al calcolo della portanza di fondazionisuperficiali, la procedura da seguire potrebbe essere la seguente:

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie coesione e angolod'attrito misurate in situ o in laboratorio, supponendo che sia di tipogaussiano ( cioè rappresentate da una curva a campana, con il valorecentrale corrispondente al valore medio);

• attraverso un generatore di numeri casuali, si crea una serie, estesaquanto si vuole, di valori numerici compresi fra 0 e 1;

FORMULA GEO VER.2.0

36

• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore dellacoesione e dell'angolo d'attrito, rispettando la curva di distribuzionedelle probabilità di queste due grandezze (facendo cioè in modo che lafrequenza con cui un certo parametro viene chiamato nel calcolo siauguale alla sua probabilità ricavata dalla curva gaussiana di probabilitàdel parametro stesso); in questo modo si trasforma la serie di numericasuali generati nel punto precedente in una serie di coppie di valori di ce ϕ;

• scelto un metodo deterministico di calcolo, si esegue il calcolo dellaportanza con tale metodo per ogni coppia di valori di c e ϕ , ricavando ilrispettivo valore di Qlim;

• si crea la curva di distribuzione della frequenza dei valori di Qlimottenuti, per esempio sottoforma di istogramma, visualizzandol'andamento di tali grandezze.

L'aspetto del grafico della distribuzione di Qlim consente di valutare se ladispersione dei valori di c e ϕ misurata influisce in maniera significativa sulcalcolo della stabilità del versante. Il metodo di Montecarlo può essereimpiegato anche per retro-analisi di portanza. Costruendo infatti a tentatividelle curve di distribuzione ipotetiche di c e ϕ, si può stimare per qualeintervallo di questi valori la portanza rientra negli intervalli previsti.Il metodo di Montecarlo richiede, per consentire di ottenere delledistribuzioni di Qlim valide, che venga generato un numerosufficientemente elevato di coppie di parametri c e ϕ, dalle quali ricavare ilcorrispondente valore di Qlim . Normalmente per ottenere distribuzionistabili del coefficiente di sicurezza sono necessarie alcune centinaia diverifiche. Il raggiungimento della stabilità delle curve di distribuzione puòessere valutato, applicando il metodo di Montecarlo su due insiemi diverifiche e confrontando quindi le relative distribuzioni con il test del χ2.

Metodo di Rosemblueth applicato al calcolo della portanza.

Il metodo di Rosemblueth, applicato al calcolo della portanza di unafondazione superficiale, consente di ricavare il valore più probabiledella

FORMULA GEO VER.2.0

37

portanza (valore medio) ed un'indicazione della sua dispersione (scartoquadratico medio).Si possono utilizzare anche in questo caso come variabili casuali i parametric e ϕ, supponendo una loro distribuzione gaussiana simmetrica (cioè a curvaa campana con i tratti di sinistra e di destra simmetrici rispetto al valorecentrale).Il procedimento da seguire è il seguente:

• dai dati misurati in situ o in laboratorio, si calcoli il valore medio di c e ϕ (cm e ϕm) e i rispettivi scarti quadratici medii (sc e sϕ);

• utilizzando uno dei metodi dell'equilibrio limite, si calcoli la Qlimrelativa alle seguenti combinazioni di parametri:

1. ( c = cm + sc ϕ = ϕm + sϕ )⇒ Qlim12. ( c = cm + sc ϕ = ϕm - sϕ )⇒ Qlim23. ( c = cm - sc ϕ = ϕm + sϕ )⇒ Qlim34. ( c = cm - sc ϕ = ϕm - sϕ )⇒ Qlim4

• si calcoli quindi il valore medio di Qlim attraverso la relazione:

(113) Qlimm = ( Qlim1 + Qlim2 + Qlim3 + Qlim4) / 4;

e lo scarto quadratico medio con la formula:

(114) SF =0.5 x √ ( Qlim12 +Qlim22 + Qlim32 + Qlim42 ).

Anche in questo caso il risultato può essere visto come un'indicazionedell'influenza della dispersione dei parametri geotecnici sulla portanza: unelevato valore di SF può indicare una non sufficiente caratterizzazionegeotecnica del terreno.La Qlim potrà quindi essere espressa come segue:

(115) Qlims = Qlimm ± SF;

FORMULA GEO VER.2.0

38

indicando che la portanza può variare nell'intervallo compreso fra Qlim =Qlimm - SF e Qlims = Qlimm + SF.

FONDAZIONI SU PALI

Vengono distinte due tipologie di pali, sia per la diversa procedura di messa in opera, sia per glieffetti che producono sulle caratteristiche meccaniche del terreno di fondazione: i pali infissi ed ipali trivellati. A parte vengono presi in cosiderazione i micropali tipo tubfix, che pur potendo essereinseriti nella categoria generale dei pali trivellati, se ne differenziano per alcune importanticaratteristiche, ed ovviamente i tiranti.

Portanza verticale del palo attraverso formule statiche.

Pali infissi.

Sono pali che vengono messi in opera senza l’asportazione del terreno.Sono utilizzabili in terreni incoerenti da poco a mediamente addensati, dove la procedurad’infissione conduce generalmente ad un miglioramento delle caratteristiche geotecniche.Sconsigliabile invece il loro utilizzo in terreni coesivi, nei quali l’infissione porta ad unrimaneggiamento degli strati con conseguente scadimento delle caratteristiche geotecniche deglistessi. Non sono impiegabili in terreni molto addensati, o con trovanti o livelli cementati.Il calcolo della portata di un palo infisso viene effettuata sommando i contributi di portata dellapunta del palo con quello dovuto alla resistenza laterale del fusto.Vengono distinti 3 casi.

Terreni incoerenti.

PORTATA LATERALE

• Metodo di Burland

La relazione di Burland(1973) può essere espressa come segue:

(1) Qlat= Alat x Pef x K x fw x tg δ;

conAlat = area laterale del palo;Pef = pressione efficace del terreno data da:Pef =Lpalo γ se Lpalo < 15 x Dpalo;Pef =15Dpaloγ se Lpalo > 15 x Dpalo;15 x Dpalo = profondità critica per il calcolo della pressione efficace;Lpalo=lunghezza del palo;Dpalo=diametro o lato medio del palo;γ =peso di volume del terreno;K =1-sen ϕ‘;ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4)ϕ + 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione.δ=angolo d’attrito terra-palo, posto generalmente uguale a 20° per pali in acciaio e a (2/3)ϕ‘ perpali in calcestruzzo;fw=fattore correttivo legato alla tronco-conicità percentuale del palo (tr)del palo;

FORMULA GEO VER.2.0

N.B.:Per tronco-conicita' del palo s'intende la diminuzione percentuale deldiametro del palo con la profondità nel caso di pali prefabbricati tronco-conicità (per es. una tronco-conicità del 5% vuol dire che il diametro delpalo diminuisce di 5 cm per ogni metro di lunghezza del palo stesso).

ponendo α(°)= arctg(tr/100)per α=0 (palo cilindrico) fw=1;per α>0 (palo tronco-conico) i valori di fw sono forniti dalla seguente tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

ϕ‘ α° fwϕ‘<30 αα°≤≤0.8 1+1.5 αα °ϕ‘<30 0.8<αα °≤≤1.6 2.75 αα °ϕ‘<30 αα°>1.6 2.8+αα °

30≤ϕ‘<35 αα°≤≤1.1 1+2.45 αα °30≤ϕ‘<35 1.1<αα °≤≤1.6 2.16+1.4 αα °30≤ϕ‘<35 αα°>1.6 4+0.25 αα °35≤ϕ‘<40 αα°≤≤1 1+3.3 αα °35≤ϕ‘<40 αα°>1 4.3

ϕ‘≤40 αα°>0.5 4ϕ‘≤40 αα°≤≤0.5 1+6 αα °

• Metodo di Nordlund;

Si procede come nel metodo di BURLAND,utilizzando i seguenti valori di K:

per ϕ‘<30 K=0.6+0.0041x d;per ϕ‘=30-35 K=-0.115+0.78 x Log(d);per ϕ‘=36-40 K=-0.056+1.025 x Log(d);

per ϕ‘>40 K=-1.02+2.21 x Log(d).

cond=diametro palo;ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4)ϕ + 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione.

La portata laterale è data quindi dalla relazione (1).

FORMULA GEO VER.2.0

• Metodo di Meyerhof.

Si procede come nel metodo di NORDLUND, utilizzando per il parametro K la seguente relazione:

(2) K = -8.32 + 1.56 x √(ϕ‘);

cond=diametro palo;ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4) ϕ+ 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione.Il metodo non è applicabile per ϕ ‘<=28°.

• Metodo di Brinch Hansen.

La portata laterale viene calcolata secondo il procedimento di NORDLUND, utilizzando per ilparametro K le seguenti relazioni:

(3) K = (1 / 7) x Kp / (1 - K0 x tg δ)

conKp = (1 + sen ϕ ‘) / K0K0 =1-sen ϕ‘;ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4) ϕ + 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione.δδ=angolo d’attrito terra-palo, posto generalmetne uguale a 20° per pali in acciaio e a (2/3) ϕ ‘ perpali in calcestruzzo;

PORTATA DI BASE.

La portanza della punta viene invece valutata utilizzando la relazione:

(4)Qbase = (Abase Pef Nq)- Wpalo;

conAbase = area della base del palo;Nq =fattore adimensionale di portata.Wpalo = peso del palo.

Per quanto riguarda il calcolo di Nq vengono proposte tre relazioni.

• Metodo di Berezantev.

Nq =10m;dove:m =-0.764 + 0.076 ϕ‘(°);ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4) ϕ + 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione.

• Metodo di Vesic.

FORMULA GEO VER.2.0

Nq = M1 x M2 x M3 x M4 x Ku;dove:M1 = 3 / (3 - sen ϕ ‘);M2 = Exp( π / 2) - ϕ‘(rad)) x tg ϕ ‘;M3 = tg2(45 + ϕ‘/ 2);M4 = Ir uU = (4 x sen ϕ‘) / [3 x (1 + sen ϕ‘)];Ir = 1.7 x Dr%;Dr% = densità relativa dello strato di base;Ku = [1 + 2 x (1 - sen ϕ ‘)] / 3;ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4) ϕ+ 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione.

• Metodo di Janbu.

Nq = M1 x M2;

dove:M1 = [tg ϕ‘ + √(1 + tg 2 ϕ‘ )]2M2 = Exp(2 x (Mu x π / 180) x tg ϕ ‘ ;Mu = 60 + 0.45 x Dr%

Terreni coesivi normalmente consolidati o leggermente sovraconsolidati (rapporto disovraconsolidazione OCR<4).

Si procede come nel caso precedente, sommando i contributi della portanza laterale e di punta.

PORTANZA LATERALE.

• Metodo di Tomlison.

La portanza laterale è data da:

(5) Qlat= Ca x Alat;

con Ca=adesione palo-terreno;Per il parametro Ca vengono utilizzati generalmente i valori suggeriti da Tomlison.

Litologia Pinfissione /Dpalo Ca/C

Sabbia giacente su terreni coesivicompatti

<20 1.25

Sabbia giacente su terreni coesivicompatti

≥≥ 20 0.80

Argille molli su terreni coesivicompatti

<20 0.40

FORMULA GEO VER.2.0


≥≥20 0.70

Terreni coesivi compatti <20 0.40Terreni coesivi compatti ≥≥20 0.60

Pinfissione /Dpalo = rapporto di penetrazione = rapporto profondità dipenetrazione del palo in argilla compatta/diametro palo;Ca/C=rapporto adesione palo-terreno/coesione del terreno.

• Metodo di Focht et alii.

(6) Qlat= Alat; x λ x ( Peff + 2 x C)

dove:λ = 0.49 - 4.456x10 -2xHpa + 2.23x10-3xHpa2 - 4.75x10-5xHpa-3 + 3.49x10-7xHpa4C = coesione del terreno;Peff = pressione efficace alla profondità critica.

PORTATA DI BASE.

La portata di base del palo viene calcolata con la seguente relazione:

(7)Qbase = Abase x (C x Nc + Peff ) - Pp

conNc = fattore adimensionale di portata;Pp= peso del palo.

Per il calcolo del fattore adimensionale Nc vengono qui proposti tre metodi.

• Metodo di Skempton.

Nella pratica Skempton propone di utilizzare sempre un valore di Nc = 9.

• Metodo di Vesic.

Nc secondo Vesic va posto uguale a:

(8) Nc = (4/3) x [ln (Ir) +1] + π/2 + 1;

dove:Ir = 12.5 x C;C (t/mq) = coesione non drenata dello strato di base.

• Metodo di Meyerhof.

Nc secondo Meyerhof va posto uguale a:

FORMULA GEO VER.2.0

(9) Nc = (4/3) x [ln (Ir) +1] + 1;

dove:Ir = 12.5 x C;C (t/mq) = coesione non drenata dello strato di base.

Terreni fortemente sovraconsolidati (OCR≥≥4).

PORTANZA LATERALE.

Si procede come nel caso di terreni incoerenti, modificando il fattore k della formula della portanzalaterale come segue:

k=(1-sen ϕ)√OCR;ϕ=angolo d’attrito del terreno in condizioni drenate.

PORTANZA DI BASE.

Si utilizzano le stesse procedure viste per i terreni incoerenti.

Pali trivellati.

Sono pali messi in opera con asportazione di terreno. Vengono impiegati in terreni incoerenti damediamente a molto addensati e in terreni coesivi, dove provocano un minor rimaneggiamentorispetto ai pali infissi.Il calcolo della portanza di un palo trivellato viene eseguito come nel caso di un palo infisso,sommando i contributi di portata della punta del palo e del fusto.Sono valide in generale le relazioni viste in precedenza per i pali infissi. Nell’applicare tali relazioniva tenuto presente però che, a causa del disturbo indotto nei livelli incoerenti dall’asportazione delterreno, l’angolo d’attrito palo-terreno da utilizzare andrebbe corretto come segue:

ϕ‘°=ϕ° - 3°.conϕ=angolo d’attrito del terreno prima della messa in opera del palo.

• Metodo di Mayer.

La portata laterale è data da:

(10) Qlat= Alat x Pef x tg ϕ‘;

conϕ‘=angolo d'attrito del terreno;Alat = area laterale del palo;Pef = Pcls x Z;Pcls=peso di volume del cls;

FORMULA GEO VER.2.0

Z = profondità critica = altezza della colonna di calcestruzzo, da porre uguale alla lunghezza delpalo se questa è inferiore agli 8 metri o uguale a 8 se è superiore.

Micropali tipo tubfix.

Si procede come nel caso dei pali trivellati, introducendo nel calcolo al posto della lunghezza totaledel palo e del suo diametro medio la lunghezza ed il diametro presunto del bulbo iniettato. Siconsiglia però di non utilizzzare la correzione per il rimaneggiamento del terreno (ϕ‘°=ϕ° - 3°) vistaper i pali trivellati, e di introdurre come profondità critica la profondità media del bulbo iniettato.Per il calcolo della portata laterale al posto della formula di Mayer classica si può adottare unaversione modificata della stessa, che tenga conto della pressione residua d'iniezione.

• Metodo di Mayer modificato.

La portata laterale è data da:

(11) Qlat= Alat x Pef x tg ϕ ‘;

conϕ‘=angolo d'attrito del terreno;Alat = area laterale del palo;Pef = pressione d'iniezione, data da Pin + H x Pcls,

Pin = pressione residua d'iniezione;H = altezza della colonna di calcestruzzo nel foro;Pcls=peso di volume del cls;

occorre tener presente che la Pef non dovrà mai superare un valore massimo fornito dalla relazionePmax = γ x Z x tg (45 + ϕ ‘/2) (pressione massima d'iniezione), dove γ = peso di volume delterreno, per impedire il verificarsi di fenomeni di rottura del terreno.Z = profondità critica = profondità media del bulbo iniettato.

Le formule di Mayer e di Nordlund si usano per pali in terreni omogenei; in questi casinormalmente si trascura la portata di base. La formula di Meyerhof modificata va utilizzata permicropali incastrati in strati con buone caratteristiche sottostanti a strati soffici; in questo caso lalunghezza del bulbo va posta uguale all'incastro.

Tiranti.

La forza d'esercizio di un tirante può essere calcolata con la formula di Schneebeli:

(12) Fes= π x D x L x K x Pef ;

conD=diametro di perforazione;L=lunghezza dell'ancoraggio;Pef =pressione efficace del terreno agente sul punto medio dell'ancoraggio;K =coefficiente dato da:

(13) K = tg(45-ϕ ‘/2) x sen ϕ ‘ x [ (1 + exp(6.28 x tg ϕ ‘) ) /2 ];

FORMULA GEO VER.2.0

ϕ ‘=angolo d'attrito del terreno.

FORMULA GEO VER.2.0

Portanza verticale del palo attraverso formule dinamiche.

Formule classiche.

Esistono in letteratura più di 450 formule dinamiche per il calcolo della portata di un palo infisso.La maggior parte di queste si riferiscono a situazioni geologiche locali e non sono utilizzabilifuori dal contesto per il quale sono state ideate. Questo limite dipende dalla mancanza nelleformule in questione di parametri che siano legati direttamente alla litologia del terreno e/o allesue caratteristiche geotecniche.Fra le più attendibili si segnalano le relazioni di Janbu, Gates e la formula danese.

• Formula di JANBU.

(14) Q(t) = (1 / Ku) x (W x H / S);

conQ (t) = portata verticale del palo in tonnellate;Ku = Cd x [1+√(1+l/Cd) ];Cd = 0.75+0.15 x Wp / W;l = W x Hx L / (AxExS2);W(t) = peso del maglio;Wp(t)= peso del palo;H(m) = altezza di caduta del maglio;S(m) = affondamento del palo per colpo;L(m) = lunghezza del palo;E(t/mq)= modulo di elasticità del palo;A(mq) = area trasversale media del palo;

Coefficiente di sicurezza da applicare alla (14) =3.

• Formula di GATES.

(15) Q(t) = 4 x (ef x W x H) x ln(25 / S);

conef = efficienza del maglio, variabile nell'intervallo 0.75-1.0 e dipendente dalla modalità disganciamento del maglio;H(cm)= altezza di caduta del maglio;W(t) = peso del maglio;S(cm)= affondamento del palo per colpo;

Coefficiente di sicurezza da applicare alla (15) = 3.

• Formula DANESE.

(16) Q (t) =(ef x W x H)/[S+√(2 x ef x W x H x L / A x Ep)];

con

FORMULA GEO VER.2.0

ef= efficienza del maglio (0.75-1.0);W(t) = peso del maglio;H(m) = volata del maglio;S(m) = affondamento del palo per colpo;L(m) = lunghezza del palo;A(mq)= area trasversale media del palo;Ep(t/mq)=modulo di elasticità del palo;

Coefficiente di sicurezza =3

Queste tre relazioni vengono considerate, sulla base di prove di carico su pali, le meno imprecise(coefficiente di sicurezza utilizzato = 3).Va ricordato che questi risultati vanno utilizzati con cautela ed in assenza di dati che permettanol'utilizzo delle formule statiche (caratteristiche meccaniche del terreno e stratigrafia). Inoltre icarichi ammissibili determinati faranno riferimento alla situazione immediatamente successivaall'infissione e non tengono conto delle variazioni delle caratteristiche meccaniche del terreno con iltempo. Lowery suggerisce in questi casi che il carico finale si possa ottenere moltiplicando il caricoottenuto dalle relazioni dinamiche per i seguenti coefficienti d'infissione:

Litologia Coef. correttivoArgille molli 3

Argille compatte 2Terreni incoerenti 1

Metodo dell'equazione d'onda.

Le formule dinamiche classiche partono dal presupposto che la sollecitazione indotta dall 'impattodel maglio sul palo si trasmetta istantaneamente alla punta, producendo una deformazioneplastica del terreno sottostante (affondamento o rifiuto del palo).In realtà l'urto produce un treno d'onde elastiche che si propagano a velocità finita lungo il palo.Quest'impulso, raggiunta la punta, viene parzialmente riflesso e torna verso la testa, dove subisceun'ulteriore riflessione parziale verso la punta e così di seguito, finchè l'energia elastica non vienecompletamente dissipata. In seguito al passaggio del treno d'onde, il terreno subisce unadeformazione che puo' essere di tipo elastico (e quindi reversibile) o di tipo plastico (e quindipermanente).Il metodo dell'analisi dell'equazione d'onda simula il passaggio dell'impulso elastico nel palo e ledeformazioni che questo induce nel terreno.Il programma utilizza la schematizzazione di Smith per la soluzione del problema.Si tratta di un metodo alle differenze finite nel quale il palo viene rappresentato come un insiemedi masse collegate fra loro da molle interne (simulanti l'interazione fra le varie parti del palo) edinteragenti con l'esterno attraverso un insieme di molle esterne e smorzatori.A differenza dei metodi dinamici classici è possibile far intervenire nel calcolo le caratteristichegeologiche e geotecniche del sito, attraverso i parametri Ke (costante elastica delle molle esterne) eJ (coefficiente di smorzamento).Per quanto riguarda l'attendibilita' del metodo, Lowery fornisce per i principali tipi di terreno iseguenti intervalli d'errore (con il doppio segno):

Sabbia 25%

FORMULA GEO VER.2.0

Argilla 40%Terreni misti 15%

Anche in questo caso comunque va tenuto conto che i valori di carico fanno riferimento allecondizioni immediatamente successive all'infissione Il metodo, pur fornendo valori in generalemeno attendibili di quelli ottenuti da metodi statici, ha il vantaggio di permettere un più razionaledimensionamento del sistema palo attrezzatura d'infissione, consentendone l'analisi dell'efficienza atavolino.

FORMULA GEO VER.2.0

Svergolamento di pali snelli.

Calcolo del modulo di reazione orizzontale (Kh).

Nella progettazione di pali sottoposti a sforzi orizzontali e nella verifica allo svergolamento èindispensabile valutare il coefficiente di reazione orizzontale del terreno (Kh). Questo parametroserve ad introdurre nel calcolo l'effetto di contenimento operato dal terreno in cui si trova immersoil palo.Il valore di Kh può essere ottenuto rapidamente attraverso le diverse correlazioni empiricheesistenti in letteratura. In particolare nel programma vengono adottate le seguenti relazioni:

•• In terreni coesivi sovraconsolidati (Cu>0.5 kg/cmq).

(17) Kh(kg/cmc) = Cf x Cu / d (Skempton, 1951);

conCu (kg/cmq) =coesione non drenata:d (cm) = diametro o larghezza del paloCf = coefficiente variabile da 80 a 320 (valore consigliato 120) secondo Skempton, assunto inveceuguale a 67 da Davisson (1970);

In questi terreni si ammette che Kh sia costante per tutto lo spessore dello strato.

•• In terreni incoerenti sovraconsolidati (es. terreni glaciali).

(18) Kh (kg/cmc) = 3.00 x Es / d (Chen, 1978);

cond (cm) = diametro o larghezza del palo.Es (kg/cmq) = modulo di deformazione del terreno (E50):

Anche in questo caso si ammette che il valore di Kh rimanga costante con la profondità.

•• In terreni coesivi normalmente consolidati (Cu<=0.5 kg/cmq).

In questo caso Kh tende a variare con la profondità. Si adotta generalmente una variazione di tipolineare, espressa dalla relazione:

(19) Kh (kg/cmc) = nh x Z / d;

connh (kg/cmc) = costante dipendente dalla litologia;Z (cm) = profondità;d (cm) = diametro o larghezza del palo.

Per nh si propongono i seguenti valori (Reese e Matlock, 1956):

Argilla con Cu<=0.25 kg/cmq nh = 0.022 kg/cmcArgilla con Cu>0.25 e <=0.50 kg/cmq nh = 3.51 kg/cmc

•• In terreni incoerenti non sovraconsolidati.

FORMULA GEO VER.2.0

Anche in questo caso si ammette una variazione con la profondità di Kh e si adotta una relazione ditipo lineare (vedi eq.19).In questo caso per nh si propongono i seguenti valori, espressi in kg/cmc:

Sabbia sciolta (Dr%<30%) secca-umidanh=0.224

satura nh=0.128;

Sabbia media (Dr>30e<=70%)

secca- umida nh=0.672

satura nh=0.448;

Sabbia grossa (Dr%>70) secca-umidanh=1.792

satura nh=1.088;

Per la ghiaia si consiglia di adottare gli stessi valori utilizzati per la sabbia grossa in via cautelativa,mancando dati sperimentali diretti per questo materiale.

Metodi per la verifica allo svergolamento.

Le procedure di calcolo variano a seconda del tipo di terreno e del fatto che le teste dei paliemergano dal terreno o meno.

•• Pali immersi.

Si tratta di pali la cui testa emerge dal terreno per una lunghezza non superiore ai 50 cm.

I) Metodo di Timoshenko.

Nel caso di terreno sovraconsolidato monostrato si può utilizzare il metodo di Timoshenko (1936).Il carico critico (carico oltre il quale si ha lo svergolamento del palo) è dato da:

(20) Pcr (Kg) = (m2 + b / m2) x Pe;

conm = numero di semionde di svergolamento;Pe(Kg)= carico Euleriano per palo libero lateralmente, dato da:

(21) Pe (Kg) = π2 x Ep x Jp / L2;

conEp(Kg/cmq)=modulo elastico del paloJp(cm^4)=momento d'inerzia del paloL(cm) = lunghezza del palo;b = coefficiente adimensionale dato da:

(22) b = Kh x d x L4 / (π4 x Ep x Jp);

Per determinare Pcr occorre procedere per tentativi, facendo variare il parametro <m> entro unintervallo ragionevole (per es. da 1 a 10) fino ad ottenere un valore minimo per Pcr.

II) Metodo di Davisson (1963).

FORMULA GEO VER.2.0

Nel caso più frequente di terreno stratificato o di terreno monostrato non sovraconsolidato si puòutilizzare il metodo di Davisson.Secondo tale procedura il carico critico può essere espresso da:

(23) Pcr (Kg) = Vcr x Ep x Jp / T;

conT = parametro funzione di nh dato da:

(24) T (cm) = (Ep x Jp / nh)(1/5);

Vcr = fattore di carico adimensionale dipendente dalle condizioni di testa e di base del palo; inparticolare:

per pali incastrati in testa e alla base:per Zmax>1.8 e <3.7

Vcr =-0.15xZmax3 + 1.96xZmax2 - 7.13xZmax + 10.42per Zmax<=1.8 o >=3.7 Vcr=3;

per pali incastrati in testa e liberi di traslare e ruotare alla base:per Zmax<2

Vcr = e1.85xZmax x 0.048;per Zmax>=2 Vcr=1.75;

per pali liberi in testa e incastrati alla base:per Zmax<2.4

Vcr = e1.95xZmax x 0.015;per Zmax>=2.4 Vcr=0.8;

per pali liberi in testa e alla base:per Zmax<3.2

Vcr = e1.31xZmax x 0.015;per Zmax>=3.2 Vcr=0.7;

con Zmax = L / T con L (cm)=lunghezza del palo.

•• Pali parzialmente emersi.

Nel caso di pali con sommità che emerge dal terreno per una lunghezza superiore a 50 cm, leprocedure di calcolo viste non sono più adeguate.In queste situazioni possono essere utilizzate le relazioni di Davissone Robinson (1965), valide siaper terreni con Kh costante (terreni monostrato SC)che per terreni a Kh variabile (terreni stratificatio NC).

I) Kh costante con la profondità.

In questo caso il carico critico viene determinato attraverso la seguente relazione:

FORMULA GEO VER.2.0

(25) Pcr (kg) = π2 x Ep x Jp / 4 x (Sr+Jr)2 x R2;

conSr = Ls / R;Ls (cm) = [1.442 / (π x (L / l' )] x l';con l'(cm) = π x R;R (cm) = [Ep x Jp / (Kh x d)](1/4);L(cm) = lunghezza del palo;d(cm) = diametro o larghezza del palo;Jr = Lu / R;con Lu (cm) = lunghezza del palo fuori terra.

N.B. Questa procedura di calcolo è valida solo per lmax>4, con lmax=R/L.

II) Kh variabile con la profondità.

Le relazioni sono simili a quelle viste nel caso precedente:

(26) Pcr (kg) = π2 x Ep x Jp / 4 x (St+Jt)2 x T2;

conSt = Ls / T;Jt = Lu / T;T (cm)= (Ep x Jp /nh)(1/5).

N.B. Questa procedura di calcolo è valida solo per Zmax>4, con Zmax=L/T.

•• Stima del momento d'inerzia di un palo.

Il momento d'inerzia di un palo cilindrico rispetto ad una direzione perpendicolare al suo asse èdato da:

(27) J = (π x D4) / 64;

D = diametro del palo in cm

Nel caso di un palo non armato D sarà uguale al diametro del palo; nel caso di palo armato contondini d'acciaio,la (27) andrà così modificata:

(28) J = [π x (De4 - Di4)] / 64;

con De = diametro esterno dell'anello di tondini;Di = diametro interno dell'anello di tondini.

Nel caso infine di micropali con anima tubolare si utilizzerà ancora la (28), prendendo per De ildiametro esterno dell'armatura e per Di quello interno.

FORMULA GEO VER.2.0

Analisi di pali soggetti a carichi orizzontali.

I pali di fondazione possono essere soggetti a forze orizzontali e momenti. E’ necessario quindi intali casi eseguire un'analisi del comportamento del palo sottoposto a queste sollecitazioni.Si può eseguire l'analisi attraverso due metodologie differenti: il metodo delle tensioni ammissibili equello dello stato limite ultimo.

Metodo delle tensioni ammissibili.

Si parte in questo caso dall'ipotesi che il palo si comporti come una trave infinita appoggiata su unsuolo perfettamente elastico reagente in entrambi i versi.S'introduce nel calcolo il carico orizzontale d'esercizio e l'eventuale momento applicato sulla testadel palo e si determinano il momento flettente massimo agente sul palo e la reazione orizzontalemassima del terreno.Gli spostamenti del palo (linea elastica), l'andamento dei momenti e del taglio sono in funzionedelle condizioni di vincolo in testa (palo incastrato o non) e del parametro 'lunghezza caratteristica(o elastica) del palo' definito come segue (Zimmermann):

(29) λ (cm) = [ ( 4 x E x J) / ( k x D)](1/4)

doveE (kg/cmq) = modulo elastico del palo;J (cm4) = momento d'inerzia del palo;D (cm) = diametro o larghezza media del palo;k (kg/cmc) = modulo di reazione orizzontale del palo.

Un palo viene definito rigido (corto) nel caso in cui λ sia minore o uguale a 500 cm, flessibile(lungo) nel caso in cui λ sia maggiore di 500 cm.Nel caso più comune di palo con testa incastrata impedita a ruotare, ma non a spostarsi, si utilizzanole seguenti relazioni.

I) Andamento degli spostamenti.

(30) X(z) = [ H / ( k x D x λ)] x e-(z/λ) x [ cos (z/λ) + sen (z/λ) ];

conH = carico orizzontale applicato alla testa del palo;z = profondità di calcolo.

II) Andamento dei momenti flettenti.

(31) M(z) = [ (H x λ) / 2] x e-(z/λ) x [ cos (z/λ) - sen (z/λ) ].

III) Andamento del taglio.

(32) T(z) = -H x e-(z/λ) x cos (z/λ).

Lo spostamento massimo si ha alla testa del palo con il seguente valore:

FORMULA GEO VER.2.0

(33) Xmax = H / ( k x D x λ).

Il momento e la reazione massima del terreno hanno invece la seguente espressione:

(34) Mmax = 0.322 x H x λ / 2;

(35) σmax = H / ( D x λ).

Metodo dello stato limite ultimo.

La teoria di Broms(1964) permette di valutare il valore del massimo momento flettente e delmassimo carico orizzontale (carico di rottura) tollerabile dal palo o dal terreno.Vengono distinti più casi a seconda della litologia dominante del terreno (coesivo o incoerente), dicome avviene la rottura (nel palo nel caso di pali lunghi, nel terreno nel caso di pali corti) e delvincolo in testa (palo incastrato o libero).

Terreni coesivi.

Pali corti.

Nel caso di pali incastrati la resistenza laterale è data da:

(36)Hmax=9 x Cu x Dpalo x (Lpalo - 1.5 x Dpalo);

conCu=coesione non drenata del terreno;Dpalo=diametro o lato medio del palo;Lpalo=lunghezza del palo.

La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, cioè costante con la profondità:

(37)Hz=9 x Cu x Dpalo.

Il momento flettente massimo è fornito dall'espressione:

(38)Mmax= Hmax x (0.5 x Lpalo + 0.75 x Lpalo);

Nel caso di pali a testa libera la reazione massima del terreno è data dalla:

(39)Hmax= Mmax / (Zpalo + 1.5 x Dpalo + 0.5 x f);

dove:Zpalo = sporgenza del palo dal terreno;Dpalo = diametro del palo;

FORMULA GEO VER.2.0

f = punto d'applicazione del momento flettente massimo;

Il momento flettente massimo viene fornito dall'espressione:

(40) Mmax = 2.25 x Dpalo x Cu x g02;

cong0 = Lpalo - 1.5 x Dpalo - fLpalo = lunghezza del palo;f = Hmax / (9 x Cu x Dpalo)

Pali lunghi.

Nel caso di pali lunghi è il palo che si rompe, per cui il momento flettente massimo va posto ugualeal momento di plasticizzazione del palo.

(41)Mmax= Mplast ;

La reazione massima del terreno , per pali vincolati, è fornita dall'espressione:

(42)Hmax= 2 x Mmax / (1.5 x Dpalo + 0.5 x f);

Nel caso di pali a testa libera la (42) diventa:

(43) Hmax= Mmax / (1.5 x Dpalo + 0.5 x f);

Terreni incoerenti.

Pali corti.

Nel caso di un palo a testa libera la reazione massima del terreno è data da:

(44) Hmax= (0.5 x γ x Dpalo x Lpalo 3 x Kp;) / (Zpalo + Lpalo );

conγγ = peso di volume del terreno;Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ).ϕ = angolo d'attrito del terreno;Zpalo = sporgenza del palo dal terreno;Dpalo = diametro del palo;

Il momento flettente massimo vale:

(45) Mmax= Hmax x (Zpalo + 2/3 x f);

con f = 0.82 x √( Hmax / Dpalo x γ x Kp;).

FORMULA GEO VER.2.0

Nei pali a testa vincolata la (44) va riscritta come segue:

(47) Hmax= 1.5 x γ x Lpalo2 x Dpalo x Kp;;

conγ = peso di volume del terreno di fondazione;Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ).

Il momento flettente massimo è dato dall'espressione:

(48) Mmax= 2/3 x Hmax x Lpalo;

La reazione del terreno ha qui un andamento di tipo triangolare, cioè crescente linearmente con laprofondità:

(49) Hz=3 x γ x Lpalo x Dpalo x Kp.

(50) Hmax= 1.5 x γ x Lpalo2 x Dpalo x Kp;;

Pali lunghi.

Come già visto per il caso di terreni coesivi, è il palo che si rompe, per cui il momento flettentemassimo va posto uguale al momento di plasticizzazione del palo.

(51)Mmax= Mplast ;

La reazione massima del terreno , per pali vincolati, è fornita dall'espressione:

(52)Hmax= 2 x Mmax / (0.5 x Zpalo + 2/3 x f);

Nel caso di pali a testa libera la (52) diventa:

(53) Hmax= Mmax / (0.5 x Zpalo + 2/3 x f).

FORMULA GEO VER.2.0

Portanza di pali soggetti a carichi inclinati.

Nel caso di pali di fondazione soggetti a carichi inclinati, cioè alla combinazione di carichi verticalie orizzontali, occorrerà verificare che siano soddisfatte le due condizioni:

a)Pvert<Qpalificata (verifica al collasso assiale);b)Poriz<Rpalificata (verifica al collasso laterale).

in cui

Pvert=componente verticale del carico;Qpalificata=portanza d’esercizio verticale della palificata;Poriz=componente orizzontale del carico;Rpalificata=portanza d’esercizio orizzontale della palificata.

FORMULA GEO VER.2.0

Portanza complessiva di una palificata

Si definisce efficienza della palificata il rapporto fra la portanza del gruppo di pali e la somma dellaportanza dei singoli pali:

(54)Epalificata = Qpalificata /ΣQpalo;

Va notato che, mentre in terreni incoerenti l’efficienza è di solito prossima all’unità, o in alcuni casiaddirittura superiore, a causa dell’addensamento del terreno prodotto dall’infissione dei pali, neiterreni coesivi è spesso inferiore a 1. La causa principale è il sovrapporsi dei bulbi di pressione deisingoli pali, con la conseguente riduzione del contributo alla capacità portante totale degli stessi.Vengono qui proposti due metodi semplificati per la stima dell'efficienza del gruppo di pali.

Metodo di Terzaghi e Peck.

Un criterio semplice per determinare la portanza di una palificata in terreni coesivi è quelloproposto da Terzaghi e Peck (1948): la portanza verticale del gruppo di pali va posta uguale allaminore delle due seguenti grandezze:

a)la portanza data dalla somma delle portanze dei singoli pali;b)la portanza di un blocco di terreno di larghezza uguale a Bpalificata (larghezza della palificata),lunghezza uguale a Lpalificata (lunghezza della palificata) e profondità corrispondente allalunghezza dei pali, data da:

(55)Qpalificata=Bpalificata x Lpalificata x Cbase x Nc + 2 x (Bpalificata + Lpalificata) x Lpalo xClat;

conCbase=coesione del terreno alla base del blocco;Clat=coesione del terreno agente lateralmente al blocco;Nc=coefficiente di portanza, in genere posto uguale a 9 (Skempton);Lpalo=lunghezza del palo.

Nei terreni incoerenti invece, per interassi compresi fra 2.5 e 6 Dpalo (Dpalo=diametro o lato mediodel palo), si può assumere che la portanza complessiva della palificata sia data semplicemente dallasomma delle portanze dei singoli pali.Poulos e Davis, facendo riferimento all'eq.55, propongono di esprimere l'efficienza del gruppo conla seguente relazione:

(56)1 / η2 = 1 + (npali x Qpalo )2 / Qpalificata2

doveη = efficienza del gruppo;npali = numero pali del gruppo;Qpalo = portata del palo singolo;Qpalificata= portata del blocco di fondazione, definito dalla (55).

FORMULA GEO VER.2.0

Metodo di Converse e Labarre.

La formula di Converse-Labarre permette di stimare l'efficienza di un gruppo di pali in funzione delloro numero, del numero delle file e della spaziatura fra i pali.

(57) η = 1 - (Φ/90) x [ (n-1) x m + (m - 1) x n] / ( m x n) ;

doveη = efficienza del gruppo;n = numero di pali per fila;m = numero di file;Φ = arctg ( D / i );D = diametro del palo;i = spaziatura dei pali.

Pur essendo una formula molto usata nella pratica, non tenendo in considerazione le caratteristichemeccaniche del terreno, va utilizzata con estrema prudenza.

Interasse dei pali.

L’interasse, o spaziatura, dei pali è un parametro fondamentale, in quanto influenza direttamentel’efficienza di una palificata. Interassi troppo piccoli o troppo grandi infatti possono far diminuiredrasticamente la portanza complessiva della palificata. In alcuni casi inoltre, per es. per pali infissiin terreni incoerenti mediamente o molto addensati, una spaziatura troppo stretta può condurre adun danneggiamento reciproco dei pali.Il D.M. 21.1.81 consiglia un interasse minimo di 3Dpalo in qualunque situazione (Dpalo=diametroo lato medio del palo), anche se in realtà occorrerebbe tener conto della modalità di messa in operadel palo (infisso o trivellato) e del tipo di terreno di fondazione (coesivo o incoerente).In generale si consiglia un interasse maggiore di 3Dpalo in argilla, per tener conto del disturboprodotto dalla messa in opera del palo, mentre in sabbia, l’interasse proposto dal D.M.21.1.81 puòanche essere ridotto a 2.5Dpalo per pali infissi in sabbie sciolte.Per una stima di massima, alcuni Autori propongono di utilizzare la seguente relazione:

(58) s = √(0.025 x Q);

dove:s (m) = spaziatura dei pali;Q (t) = carico applicato sul singolo palo.

Portanza complessiva di una palificata soggetta a carichi orizzontali.

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per gruppi di pali sottoposti asollecitazioni orizzontali va definito il concetto di efficienza del gruppo.Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali il rapporto fra la portanzalaterale complessiva del gruppo e la somma delle portanze laterali dei singoli pali (vedi espressione(54)).Valgono in complesso le considerazioni già fatte per i pali caricati verticalmente: in pali fondati interreni incoerenti l’efficienza spesso è prossima all’unità, in pali in terreni coesivi generalmente èinferiore.

FORMULA GEO VER.2.0

Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del gruppo di pali il minore fra questidue valori:

1. la somma delle portanze laterali dei singoli pali;2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale alla larghezza della palificata

(lato della palificata perpendicolare alla direzione di carico) e di spessore corrispondente allalunghezza dei pali, cioé:

(59) Rpalificata = 9 x Cu x Lpalo x (Lpalificata-Cr);

con Lpalificata=larghezza della palificata; Cr=il minore fra i valori (1.5Dpalo)e (0.1Lpalo).

per terreni coesivi e

(60) Rpalificata = 1.5 x γγ x Lpalo2 x Lpalificata x Kp.

per terreni incoerenti.

FORMULA GEO VER.2.0

Distribuzione dei carichi esterni sui pali.

Si supponga di avere un carico agente sulla palificata con la risultante posizionata nelle coordinategeneriche X,Y e inclinata lungo l'asse X di un angolo αr, misurato rispetto alla verticale; si vuole

determinare come questo carico si ripartisce fra i singoli pali del gruppo.Il problema può essere risolto utilizzando il procedimento di Nokkentved.Lo sforzo assiale complessivo applicato al singolo palo del gruppo è dato dalla relazione:

(61) P=cos α x (M1 x M2 + M3 x M4 + M5);

dove:M1 = Q / Σcos2 αM2 = (tg αh - tg α) / (tg αh - tg αv)

M3 = H / (Σcos2 α x tg α)M4 = (tg α - tg αv) / (tg αh - tg αv)

M5 = M x X' / I0Q = componente verticale della risultante del carico esterno;H = componente orizzontale della risultante del carico esterno; α = inclinazione rispetto alla verticale del palo;αh = arctg (Σcos α x sin α / Σcos2 α);

αv = arctg ( Σsin2 α / Σcos α x sin α);M = momento esterno applicato sulla palificata;I0 = Σ X'2 x cos2 αX' = ascissa della testa del palo singolo relativa al centro elastico del gruppo di pali, data da: X' = X- X0 + Y0 x tg α;X = ascissa della testa del palo rispetto all'origine delle coordinate;X0 = ascissa del centro elastico della palificata, che vale:

(62)X0 = (tg αh x M1 - tg αv x M2) / (tg αh - tg αv);

con

M1 = (Σcos2 α x Xi ) / Σcos2 α;

M2 = (Σcos2 α x tg α x Xi ) / (Σcos2 α x tg α);

Y0 = ordinata del centro elastico della palificata;

(63) Y0 = (M1 - M2) / (tg αh - tg αv);

M1 = (Σcos2 α x X ) / Σcos2 α;M2 = (Σcos2 α x tg α x X ) / (Σcos2 α x tg α);

Ovviamente nel caso di carichi inclinati lungo l'asse Y è sufficiente eseguire una rotazione degliassi.

FORMULA GEO VER.2.0

Il valore del carico assiale di ogni palo va poi scomposto nella sua componente verticale edorizzontale:

(64) Pvert = P x cos α;

(65) Poriz = P x sen α.

I valori ottenuti sono da confrontare con i carichi limite di rottura verticali ed orizzontali del terrenoe del palo.

FORMULA GEO VER.2.0

Cedimento assoluto della palificata.

Distribuzione dei carichi esterni in profondità.

Il calcolo dei cedimenti parte dalla conoscenza della distribuzione dei sovraccarichi indotti nelterreno dalla palificata. Il programma utilizza per la valutazione di quest'ultima la soluzione delle equazioni di Mindlinproposta da Geddes.Viene ipotizzato che il terreno si comporti approssimativamente come un semispazio elastico,isotropo ed omogeneo.Per la determinazione dello sforzo verticale e di taglio agente alla quota z dal piano campagnaGeddes prende in considerazione tre situazioni:

• caso in cui i pali portino quasi esclusivamente di punta;• caso in cui la portanza laterale del palo si mantenga costante con la profondità;• caso in cui la portanza laterale del palo aumenti con la profondità.

Nel primo caso lo sforzo verticale alla quota generica z può essere espresso con la relazione:

(66) σz = P / [ 8π x (1 - µ)] x ( -M1 + M2 - M3 - M4 - M5);

dove:M1 = (1 - 2 x µ) x (z - D) / R13 ;

M2 = (1 - 2 x µ) x (z - D) / R23 ;

M3 = 3 x (z - D)3 / R15;

M4 = [ 3 x (3 - 4 x µ) x z x (z + D)2 - 3 x D x (z + D) x (5 x z - D)] / R25;

M5 = 30 x z x D x (z + D)3 / R27

R1= r2 + (z - D)2;

R2= r2 + (z + D)2.r = distanza radiale dall'asse del palo;D = lunghezza del palo.

Lo sforzo di taglio è invece esprimibile come:

(67) τz = P / [ 8π x (1 - µ)] x ( -M1 + M2 - M3 - M4 - M5);

dove:M1 = (1 - 2 x µ) / R13 ;

M2 = (1 - 2 x µ) / R23 ;

M3 = 3 x (z - D)3 / R15;

M4 = [ 3 x (3 - 4 x µ) x z x (z + D) - 3 x D x (3 x z + D)] / R25;

M5 = 30 x z x D x (z + D)3 / R27

FORMULA GEO VER.2.0

Valutazione del cedimento.

Il calcolo del cedimento assoluto del terreno di fondazione della palificata può essere eseguito inprima approssimazione, utilizzando la procedura semplificata proposta da Bowles. Si considera ilcedimento totale come somma di due componenti:

(68) Stot = Sterreno + Spalo;

dovute rispettivamente alla deformazione elastica e plastica del terreno e all'accorciamento elasticodei pali.La grandezza relativa al cedimento del terreno può essere espressa come:

(69) Sterreno = σ x H / E;

σ=sovraccarico sul terreno di fondazione alla quota relativa a metà dello spessore dello strato;H=spessore dello strato;E=modulo di deformazione o edometrico dello strato.

Nel caso di terreno pluristrato la (68) va applicata ad ogni singolo strato ed i risultati sommati.Poichè il metodo richiede che sia verificata la diseguaglianza:

H < Bfond;

strati di spessore superiore a questo limite vanno divisi in due o più sottostrati, con spessore ugualee uguale modulo di deformazione o modulo edometrico.Il cedimento legato all’accorciamento elastico del palo può essere stimato invece con la seguenterelazione:

(70) Spalo = 0.75 x Qpalo x Lpalo / (Apalo x Ey);

conQpalo=portanza del singolo palo;Apalo=area trasversale media del palo;Ey=modulo di elasticità del palo.


1

MURI DI CONTENIMENTO

Coefficiente di spinta attiva del terreno.

Può essere visto in prima approssimazione come il rapporto minimofra gli sforzi agenti sul piano orizzontale (contenimento ad opera delterreno circostante) e quelli agenti sul piano verticale (peso delterreno sovrastante ed eventuali sovraccarichi agenti sul pianocampagna) applicati ad un elemento di terreno in condizioni diequilibrio plastico limite:

(1) Ka = Ph / Pv.

La spinta attiva si mobilita quando il terreno subisce unadecompressione (una diminuzione della pressione orizzontale allaquale non corrisponda un uguale variazione della pressione verticale,come può verificarsi per esempio in seguito ad uno sbancamento)con deformazioni dell’ordine dello 0,2-0,3%.E’possibile individuare un piano lungo il quale Ka assume il suovalore minimo. Questo piano rappresenta una superficie potenzialedi rottura lungo la quale potrà muoversi il prisma di terreno isolatodalla superficie di rottura stessa, che andrà a sollecitare l’eventualeopera di contenimento posta a valle.I tre modelli più in uso per la stima del valore di Ka e della geometriadella superficie di rottura sono:

• il modello di Rankine;• il modello di Coulomb;• il modello di Caquot-Kerisel.

Modello di Rankine.

FORMULA GEO VER.2.0

2

E’ il modello in assoluto più semplice, ma che pone per la suautilizzazione una serie di condizioni che lo rendono spesso nonapplicabile a situazioni reali.Posto con ϕ(°) il valore dell’angolo di resistenza al taglio( o d’attrito)del terreno, il coefficiente di spinta attiva assume, secondo questomodello, il seguente valore:

(2)Ka=[cos β-√ (cos2β-cos2ϕ)]/[cos β+√ (cos2β-cos2ϕ)]

La superficie potenziale di rottura del terreno è piana e parte dalpiede dello scavo con un’inclinazione di 45°+ ϕ/2.Tale metodo richiede, per poter essere utilizzato, che sia il pianoorizzontale che quello verticale siano piani principali di sforzo. Nellapratica ciò si verifica quando:

• il paramento interno dell’opera di sostegno sia verticale;• non via sia attrito al contatto fra superficie del muro e del

terreno (angolo d’attrito terre-muro=0).

Per quanto riguarda quest’ultimo punto va tenuto presente che lapresenza di sforzi di taglio agenti lungo il paramento internoconducono ad una riduzione significativa della spinta attiva. Ignoraretali sforzi porta quindi a valori di Ka e della spinta totale della terra afavore della sicurezza.

Modello di Coulomb.

Nel modello di Coulomb non viene posta la condizione che gli sforziagenti sul piano orizzontale e su quello verticale siano sforziprincipali. La spinta totale del terreno risulterà quindi inclinata di uncerto angolo uguale all’angolo d’attrito terra-muro.Posto:

• β = inclinazione del paramento interno del muro;• ρ = inclinazione della superficie di rottura del terreno;• δ = angolo d’attrito terra-muro;

FORMULA GEO VER.2.0

3

• ε = inclinazione del versante a monte dell’opera disostegno;

• ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno;

il coefficiente di spinta attiva assume la seguente forma:

(3) Ka=sen2(β+ϕ)/[sen2β sen(β-δ)( 1 + √Rp)2]

conRp=sen(ϕ+δ)sen(ϕ-ε)/sen(β-δ)sen(β+ε)];

Il metodo è applicabile alla maggioranza dei casi pratici, conun’errore contenuto entro il 5% rispetto a procedimenti più elaborati,purchè sia verificata la condizione δ ≤ ϕ/3.E’ inoltre richiesto che l’angolo d’inclinazione del pendio a monte siainferiore all’angolo d’attrito del terreno.

Modello di Caquot-Kerisel.

Nel caso in cui sia δ>ϕ/3 gli errori che si commettono applicando ilmetodo di Coulomb non sono più trascurabili.La superficie potenziale di scorrimento del terreno è assimilabile inquesto caso ad un arco di spirale logaritmica e non più ad unasuperficie piana.Il coefficiente di spinta attiva secondo Caquot-Kerisel è valutabileattraverso la seguente relazione:

(4) Kc = p x K0;

conp=a b;K0=10(w f);in cui:a=[cos(β '-ϕ)2/cos(β '+δ)];

FORMULA GEO VER.2.0

4

b={1/[1+√(sen(ϕ+δ)sen(ϕ-ε)/cos(β '+δ)cos(β '-ε))]}2;

w=-Log[(1-0.9l2- 0.1l4)(1 - 0.3l3)];f=√(sen ϕ)[2-(tg2ε + tg2δ)/(2 tg2ϕ)];l=(β '-β)/(β '+β+π-2ϕ);b0=(m+ε-r)/2;r=arcsen(sen ε/sen ϕ)m=2arctg{[cotg δ-√(cotg2δ-cotg2ϕ)]/(1+cosecϕ)};β‘=90°- β;

Il modello di Caquot-Kerisel è il più preciso e completo fra quelliproposti ed è applicabile a quasi tutte le situazioni che si presentanonella pratica. Unica eccezione è rappresentata dalle situazioni in cuisi abbia un’inclinazione del pendio a monte superiore all’angolod’attrito del terreno.Nel caso in cui delta sia minore o uguale a ϕ/3 i metodi di Coulomb edi Caquot-Kerisel conducono a risultati praticamente equivalenti.

Calcolo della spinta attiva del terreno.

Sulla base della (1), è possibile in prima approssimazione valutare,noto Ka, la spinta orizzontale del terreno:

(5) Ph = Pv Ka.

Nel caso di un terreno omogeneo, privo di coesione ed in assenza difalda, sul quale agisca solo la forza di gravità, la (5) potrà essereriscritta nel seguente modo:

(6) Ph = γ z Ka;

con γ = peso di volume del terreno; z = profondità dal piano campagna.

FORMULA GEO VER.2.0

5

Il prodotto γ z corrisponde in pratica al peso della colonna litostaticaalla profondità z.Integrando su tutta l’altezza del muro si ottiene:

(7) Sa = 0.5 H2 γ Ka;

con Sa = spinta attiva del terreno.La spinta è applicata ad una altezza dal piano di posa del murouguale a:

(8) l = H/3.

Alla (7) andranno aggiunte altre componenti di spinta, se presenti,dovute alla presenza di:

• terreni multistrato;• falda;• terreni coesivi;• sovraccarichi esterni;• azioni sismiche;• pendii a monte con profilo spezzato;

• pendii a monte con ε > ϕ.

Terreni multistrato.

Si prenda in considerazione, come esempio, un terreno a tre straticon litologia e/o parametri geotecnici differenti. Il calcolo della spintaattiva dovrà procedere nel seguente modo:

• si applica la (7) ad ogni strato, sostituendo ad H il valore dellospessore dello strato e a γ il peso di volume dello strato e a Ka ilvalore corrispondente al ϕ dello strato; la (8) sarà data da:

(9) ls = Hs/3 + Σ(da H1 a Hs-1) H;

FORMULA GEO VER.2.0

6

quindi nel caso di un terreno a tre strati, il punto d’applicazione della(7) per lo strato n.3 (il più superficiale) sarà dato da:

(10) l3 = H3/3 + H2 + H1.

• si calcola il contributo come sovraccarico di ogni strato rispetto aquelli sottostanti; quindi il contributo totale alla spinta attiva datodallo strato n.1 (il più profondo) sarà:

Sa1’=0.5 H12Ka3 γ3(contributo dello strato 1)

Sa1”=(γ2H2+γ3H3)H3 Ka3(contributo strati 2 e 3 come sovraccarico sullostrato 1);

con un punto d’applicazione dato da:

l1=[(H1/3)Sa1’+(H1/2)Sa1”]/(Sa1’+Sa1”).

Analogamente per lo strato 2 e 3:


Sa2”=(γ3xH3)H2 Ka2(contributo strato 3 come sovraccarico sullo strato2);


Sa3”= 0;

l2={[(H2/3)+H1]Sa2’+[(H2/2)+H1]Sa2”}/(Sa2’+ Sa2”);

l3={[(H3/3)+H2+H1]Sa1’+[(H1/2)+H2+H1]Sa1”}/ (Sa1’+Sa1”).

La spinta attiva totale sarà data quindi da:

Sa=(Sa1’+Sa1”)l1+(Sa2’+Sa2”)l2+(Sa3’+Sa3”)l3/(Sa1’+Sa1”+Sa2’+Sa2”

+Sa3’+Sa3”).

FORMULA GEO VER.2.0

7

Presenza della falda.

In presenza di falda la relazione (7), per gli strati immersi, si modificacome segue:

(11) Saw =0.5 γ‘ Ka Hw2;

con γ‘=peso di volume immerso del terreno; Hw =altezza della falda rispetto al piano di posa del muro.

con un punto di applicazione della spinta dato da

(12) law = Hw /3.

Per gli strati sopra falda nella (7) al posto di H va introdotto H-Hw ,cioè l’altezza fuori falda del terreno.Il punto d’applicazione della spinta per il terreno non immerso è datoda:

(13) l = Hw + (H-Hw )/3.

Vanno inoltre considerati il contributo alla spinta attiva totale datodalla spinta idraulica:

(14) Sw = 0.5 Hw2 γw,

con punto di applicazione:

(15) lw = Hw /3,

e quello costituito dal sovraccarico indotto dalla porzione di terrenonon immersa su quella immersa:

(16) Sa’ = (H-Hw )γ Hw Ka,

FORMULA GEO VER.2.0

8

con γ = peso di volume del terreno sopra falda,

e punto d’applicazione dato da:

(17) la’ = Hw /2.

Terreni coesivi.

La presenza di coesione nel terreno conduce, com’è ovvio, ad unariduzione della spinta attiva.Ad una profondità z dal piano campagna, supponendo per semplicitàun terreno omogeneo e privo di falda e sovraccarichi, lo sforzo attivototale sarà dato da:

(18) Ph = γ z Ka - 2 c √Ka,

con c = coesione del terreno.

Il primo termine della (18) (γ z Ka) rappresenta la variazione dellaspinta attiva con la profondità in un terreno privo di coesione ( siveda la relazione (6) ); il secondo termine è la componente costantedovuta alla coesione.Integrando su tutta la lunghezza del muro si ha:

(19) Sa = 0.5 γ H2 Ka - 2c H √Ka,

con un punto d’applicazione:

(20) la = H/3.

In prossimità della superficie del pendio a monte del muro (zprossimo a zero), il secondo termine della (18) diventa maggiore, invalore assoluto, al primo e la spinta attiva assume un valore

FORMULA GEO VER.2.0

9

negativo. Quindi il livello più superficiale del terreno a tergo del muroviene sottoposto a trazione e si fessura. La profondità di questolivello si ottiene ponendo Ph=0 nella (18) e risolvendo rispetto a z:

(21) Zc = 2c / (γ √Ka).

Da questa quota, in cui la spinta attiva si annulla, fino al pianocampagna il terreno è quindi sottoposto a trazione, si fessura e sidistacca dal paramento interno del muro. Ai fini del calcolo dellaspinta attiva che agisce sull’opera il contributo di questo livellosuperficiale va quindi posto uguale a zero. Considerando undiagramma di spinta triangolare si ottiene:

(22) Sc’ = 0.5(Zc 2 c √Ka.)

Sostituendo a Zc l’espressione (21) si ha quindi:

(23) Sc’ = 2c2/γ.

La (23) rappresenta una termine compensativo della spinta attivanegativa che si ha nel livello più superficiale, sottoposto a trazione.La (19) andrà modificata di conseguenza come segue:

(24) Sa = 0.5 γ H2Ka - 2c H √Ka + Sc’,


(25) la = (H - Zc)/3.

Inoltre, in assenza di un drenaggio efficiente delle acque superficialia monte del muro, le fessure di trazione potrebbero riempirsid’acqua, dando luogo ad un incremento della spinta attiva, valutabilecome segue:

(26) Scw = 0.5 Zc2,

FORMULA GEO VER.2.0

10

con un punto d’applicazione della spinta uguale a:

(27) lcw = (H - Zc) + Zc/3.

Sovraccarichi esterni.

Vengono qua presi in considerazione tre tipi possibili di sovraccarichiesterni agenti sulla superficie del pendio a monte del muro:

• sovraccarichi uniformemente ripartiti;• sovraccarichi concentrati;• sovraccarichi nastriformi.

Sovraccarichi uniformemente ripartiti.

Si tratta di carichi esterni di notevole estensione areale, che giungefino al paramento interno del muro, e di intensità uguale in ogni puntodell’area sovraccaricata.Ponendo q=modulo del sovraccarico, il contributo dato alla spintaattiva totale è:

(28) Su = q H Ka [sen β / sen (β+ε)],


(29) lu = 0.5 H.

Non è corretto, come proposto da alcuni Autori, trasformare, inalternativa, il sovraccarico uniforme in altezza di terra equivalente,riscrivendo la (7) nel seguente modo:

(30) Sa = 0.5 γ Ka (H + Heq),

FORMULA GEO VER.2.0

11

con Heq = q [sen β / sen (β+ε)]/γ,poichè la (28) presuppone un diagramma di pressione rettangolare,la (30) un diagramma di pressione triangolare.

Sovraccarichi concentrati.

Un sovraccarico concentrato è un sovraccarico con un’estensioneareale molto ridotta. Il problema di valutare il contributo alla spintaattiva totale di questo tipo di sovraccarico può essere risoltoattraverso la teoria dell’elasticità, utilizzando l’ equazione diBoussinesq:

(31) σr = (Q/2π){(3r2z/R5)-[(1-2µ)/(R2+zR)]}.

in cui:σr = componente radiale della spinta alla quota z sotto il pianocampagna in un punto di coordinate x,y rispetto al punto diapplicazione del sovraccarico;Q = modulo del sovraccarico;r = √(x2 + y2);R = √(r2 + z2);µ = coefficiente di Poisson (che vale mediamente 0.35 nei terrenisciolti).Attraverso σr si ricava il valore della spinta orizzontale alla quota z:

(30) σh = σr(x/r).

Integrando numericamente con un passo fissato in manieraappropriata ( per es. 0.1 m), si ottiene il contributo alla spinta attivatotale del sovraccarico con un punto d’applicazione dato da:

(31) lsc = ΣPiHi/ΣPi;

conHi=altezza rispetto al piano di posa del muro;

FORMULA GEO VER.2.0

12

Pi=pressione indotta dal sovraccarico all’altezza H i

Sovraccarichi nastriformi.

Si tratta di sovraccarichi di estensione areale significativa, che sisviluppano parallelamente alla lunghezza del muro, coprendo solouna porzione del pendio a monte dell’opera. L’intensità delsovraccarico viene considerata uguale in ogni punto dell’areacaricata.Il problema della stima del contributo alla spinta attiva totale diquesto tipo di sovraccarico viene ricondotto al caso dei sovraccarichiconcentrati. In pratica, si suddivide l’area caricata in un numeromaggiore di aree rettangolari di estensione sufficientemente piccola(nel programma si utilizzano superfici di 0.2x0.3 metri) ad ognunadelle quali si attribuisce una frazione del sovraccarico, trattato comese fosse di tipo concentrato.

Calcolati i contributi delle singole aree, la spinta totale verrà datadalla somma di questi.Analogamente si procede per la determinazione del puntod’applicazione della spinta.

Sollecitazioni sismiche.

Per la stima del contributo alla spinta attiva totale dovuta alleeventuali sollecitazioni sismiche, si fa riferimento a quanto propostodal Legislatore (D.M.19/6/84).Eseguito il calcolo della spinta attiva totale del terreno in condizionistatiche (Sa), si procede al calcolo della spinta in condizioni

dinamiche con gli stessi criteri adottati in precedenza, ponendo però:

FORMULA GEO VER.2.0

13

α‘ = α +θ;ε‘ = ε +θ;con α = 90° -β; θ = arctg C.

In base alla categoria sismica alla quale appartiene il sito, vienedefinito un Coefficiente d’Intensità Sismica C, ricavabile dallaseguente tabella:

Categoria Sismicità Coef.Sismico CEx I cat. 12 0.10Ex II cat. 9 0.07

Nuova cat. 6 0.04

Il valore della spinta totale calcolato (Sa’) va quindi moltiplicato per unfattore correttivo dato da:

(32) A = cos2(α+θ)/( cos2α cos θ).

L’incremento di spinta sismica si ottiene dalla differenza fra la spintain condizioni dinamiche e quella in condizioni statiche:

(33) ∆S = Sa’ - Sa.

Il suo punto d’applicazione è uguale a:

(34) l∆S = (2/3)H.

Pendii a monte con profilo spezzato.

Nel caso il pendio a monte del muro possieda un profilocaratterizzato da un tratto inclinato seguito da uno sub-orizzontale

FORMULA GEO VER.2.0

14

non è possibile applicare le relazioni viste per il calcolo delcoefficiente di spinta attiva.Il problema può essere risolto assimilando il pendio ad un pianoorizzontale(ε = 0) e trattando il terreno al di sopra di questo pianocome una combinazione di due sovraccarichi nastriformi: il primo,con andamento del carico di tipo linearmente crescente con ladistanza dal muro, corrispondente al tratto inclinato del pendio, ilsecondo, con andamento di tipo lineare uniforme, al tratto sub-orizzontale.Il contributo di questi sovraccarichi alla spinta attiva totale vacalcolato come già visto per i sovraccarichi nastriformi. Va tenutopresente però che, nel tratto di pendio inclinato, alle singole aree dicarico, in cui va diviso il sovraccarico totale, andrà attribuito unafrazione di quest’ultimo crescente linearmente con la distanza dalmuro.

Pendii a monte con εε ≥≥ ϕϕ.

Anche in questo caso le relazioni viste per la stima del coefficiente dispinta attiva non sono utilizzabili direttamente. Si deve procederequindi come nel caso f), ponendo ε = 0 e considerando il terrenoposto al di sopra del piano orizzontale come un sovraccarico di tiponastriforme, con un andamento del carico crescente linearmente conla distanza dal muro.

Verifiche di stabilità del muro .

Occorre valutare la stabilità dell’opera rispetto:

• allo slittamento;• al ribaltamento;• allo schiacciamento.

FORMULA GEO VER.2.0

15

Verifica del muro allo slittamento.

Viene eseguita, confrontando le forze orizzontali che tendono a farslittare il muro verso valle (forze instabilizzanti) e quelle di versocontrario, che si oppongono al movimento (forze stabilizzanti).Occorre distinguere fra muri a gravità (e a semigravità) e muri amensola.

Muri a gravità e a semigravità.

Forze stabilizzanti.

La componente complessiva stabilizzante è data da:

(35) Fstab = Pl + fa [Lm(Wmuro+Svert+Cvert)cos α + Lm(Soriz+Coriz)sen α -Lm Wacqua Bmuro /cos α] + Cb Bmuro /cos α;

conPl=portanza laterale della palificata, se presente;fa=tg ϕm (ϕm= angolo d’attrito terra-base del muro);

Lm=interasse dei contrafforti, se presenti (se assenti si pone Lm = 1);Wmuro=peso del muro;Svert=componente verticale della spinta delle terre;Cvert=eventuali carichi esterni verticali agenti sulla sommità del muro;α=inclinazione della base rispetto all’orizzontale;Soriz=componente orizzontale della spinta delle terre;Coriz=eventuali carichi esterni orizzontali agenti sulla sommità del

muro;Wacqua=carico idraulico medio al piano di posa del muro = 0.5(Hacqua1-Hacqua2)(Hacqua1=altezza dell’acqua rispetto al piano di posa del muroa valle; Hacqua2=altezza dell’acqua rispetto al piano di posa a monte);Bmuro=larghezza della base del muro;

FORMULA GEO VER.2.0

16

Cb=coesione agente sulla fondazione, posta generalmente uguale a(2/3)C, con C = coesione dello strato di terreno su cui posa il muro.

Nel caso in cui la base del muro non sia inclinata,la (35) si riduce alla:

(36) Fstab = Pl + fa[Lm(Wmuro+Svert+Cvert) - Lm Wacqua Bmuro] + Cb Bmuro.

Viene trascurata, a favore della sicurezza, come suggerito dalLegislatore (D.M. 21.1.81.), la spinta passiva della terra agente sulpiede a valle del muro.

Forze instabilizzanti.

La componente complessiva instabilizzante è data da:

(37) F instab = Lm(Soriz+Coriz)cos α.

Nel caso in cui la base del muro sia orizzontale (α=0), la (37) siriduce alla:

(38) F instab = Lm(Soriz+Coriz).

Muri a mensola.

Forze stabilizzanti.

Si definiscono le seguenti grandezze:

Na = Lm(Wmuro+Wterra+Svert+Cvert) lcr /Bmuro;

conWterra=peso del prisma di terra poggiante sulla mensola posteriore;

FORMULA GEO VER.2.0

17

lcr=larghezza del cordolo, se presente (lcr=0 se assente);

Ta = Lm(Soriz+Coriz) lcr /Bmuro;

Wa = Lm scr γ dcr/2 (peso del prisma triangolare di terreno compresofra il bordo esterno della base e l’estremità del cordolo);conscr=spessore del cordolo, se presente;γ =peso di volume del terreno su cui poggia il muro;dcr=distanza del cordolo dal lato a valle della base.

Nb = Lm(Wmuro+Wterra+Svert+Cvert)- Na;Tb = Lm(Soriz+Coriz) - Nb;

La componente complessiva stabilizzante è data quindi da:

(39)Fstab=Pl + Na fa +[(Nb + Wa)cos θ + Tb sen θ]fa’

+ C Bef;conθ=arctg (scr / dcr)=inclinazione della congiungente il bordo a valle dellabase con l’estremità del cordolo;fa=angolo d’attrito terra-muro;

fa’=angolo d’attrito lungo la superficie di slittamento del muro, chepuò assumere i seguenti valori:a) fa’=tg ϕ (ϕ = angolo d’attrito del terreno di fondazione) se èpresente il cordolo, per cui lo slittamento non avviene lungo la basedel muro, ma lungo la congiungente bordo esterno-estremità delcordolo, che passa nel terreno;b) fa’=angolo d’attrito terra-muro, se il cordolo è assente;

C=coesione agente lungo la superficie di slittamento del muro, chepuò assumere i seguenti valori:

FORMULA GEO VER.2.0

18

a) C=Cterra ,se il cordolo è presente e quindi la superficie dislittamento passa lungo la congiungente bordo esterno della base-estremità del cordolo;b) C=(2/3)C terra , se il cordolo è assente e la superficie di slittamento

corrisponde alla base del muro;

Bef=lunghezza della superficie potenziale di slittamento del muro, chepuò assumere i seguenti valori:a) Bef=[(scr / sen θ) + lcr] + (Bmuro- (lcr+dcr), in presenza del cordolo;b) Bef=Bmuro in assenza del cordolo.

Forze instabilizzanti.

La componente complessiva instabilizzante è data da:

(40) F instab=Ta + Tbcos θ - (Nb + Wa) sen θ;

Una volta stimate le componenti stabilizzanti e non delle forze agentisul muro, la misura del grado di stabilità allo slittamento dell’opera èdato dal rapporto:

(39) Fsic = Fstab / Finstab,

che viene definito Coefficiente di Sicurezza allo slittamento.

Per legge tale coefficiente non può essere inferiore a 1.3(D.M.21.1.81).

Verifica del muro al ribaltamento.

La verifica al ribaltamento consiste nello stimare i momenti ribaltantie quelli stabilizzanti agenti sull’opera, riferiti al piede esterno dellabase del muro.

FORMULA GEO VER.2.0

19

Anche in questo caso occorre distinguere fra verifiche su muri agravità (e a semigravità) e a mensola.

Muri a gravità e a semigravità.

Momenti stabilizzanti.

a) Componente dovuta al peso del muro:

Ms1=Lm Wmuro Xb;

conXb=ascissa del baricentro del muro.

b) Componente dovuta alla spinta attiva verticale della terra.

Ms2=Lm Svert(Bmuro - Ys cos β);

conYs=altezza del punto d’applicazione della spinta della terra rispetto alpiano di posa del muro;β=inclinazione del paramento interno del muro rispetto all’orizzontale(positivo in senso orario).

c)Componente dovuta alla presenza della palificata.

Ms3=Pl (2/3)Lpalo;

conLpalo=lunghezza della palificata;Pl=portanza laterale della palificata.

FORMULA GEO VER.2.0

20

d)Componente dovuta alla presenza di carichi esterni verticali agentisulla sommità del muro.

Ms4=Lm Cvert Xb.

e)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni stabilizzantiagenti sulla sommità del muro.

Ms5=Mest.

Anche per questa verifica, tra le componenti stabilizzanti vienetrascurata la spinta passiva a favore della sicurezza, come suggeritonel D.M. 21.1.81.

Momenti ribaltanti.

a)Componente dovuta alla spinta attiva orizzontale della terra.

Mr1=Lm Soriz(Ys – Bmurotg α);

conα=inclinazione della base del muro.

b)Componente dovuta alla presenza di carichi orizzontali esterniagenti sulla sommità del muro.

Mr2=Lm Coriz Hmuro;

conHmuro=altezza del muro dal piano di posa delle fondazioni.

c)Componente dovuta alla spinta idraulica sulla base del muro.

Mr3=Wacqua Bmuro Lm Hw /cos α;

FORMULA GEO VER.2.0

21

conHw =(3Hacqua1 + 2Hacqua2)Bmuro/(6Hacqua1 + 3Hacqua2).

d)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni ribaltantiagenti sulla sommità del muro.

Mr4=Mest.

Muri a mensola.

Momenti stabilizzanti.

a) Componente dovuta al peso del muro:

Ms1=Lm Wmuro Xb.

b) Componente dovuta alla spinta attiva verticale della terra.

Ms2=Lm Svert(Bmuro - Ys cos β).

c) Componente dovuta al peso del terreno poggiante sulla mensolaposteriore:

Ms3=Lm Wterra Bmuro.

d)Componente dovuta alla presenza della palificata.

Ms4=Pl(2/3)Lpalo.

e)Componente dovuta alla presenza di carichi esterni verticali agentisulla sommità del muro.

Ms5=Lm Cvert Xb.

FORMULA GEO VER.2.0

22

f)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni stabilizzantiagenti sulla sommità del muro.

Ms6=Mest.

Momenti ribaltanti.

a)Componente dovuta alla spinta attiva orizzontale della terra.

Mr1=Lm Soriz Ys;

b)Componente dovuta alla presenza di carichi orizzontali esterniagenti sulla sommità del muro.

Mr2=Lm Coriz Hmuro.

c)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni ribaltantiagenti sulla sommità del muro.

Mr3=Mest.

Valutate le componenti stabilizzanti e ribaltanti, la misura del gradodi stabilità rispetto al ribaltamento dell’opera è dato dal rapporto:

(40) Fsic = ΣMstabilizzanti / ΣMribaltanti.

che viene definito Coefficiente di Sicurezza al ribaltamento.

Per legge tale coefficiente non può essere inferiore a 1.5(D.M.21.1.81).

Verifica del muro allo schiacciamento.

FORMULA GEO VER.2.0

23

La verifica allo schiacciamento consiste nella stima del rapporto fraportanza della fondazione del muro e la somma delle componentiverticali delle forze che agiscono sulla base dell’opera:Se il muro poggia su fondazioni superficiali si ha:

(41)Fsic=3Beb cos α Qamm /(Wmuro+Wterra+Svert+Cvert);

conFsic=coefficiente di sicurezza allo schiacciamento;Beb = lunghezza della base del muro corretta per l’eccentricità dei

carichi verticali;Qamm=portanza ammissibile del terreno di fondazione;α=inclinazione della base del muro (per muri a gravità).

Nel caso di fondazioni su pali, la (41) va riscritta come segue:

(42)Fsic= 2.5Pm /(Wmuro+Wterra+Svert+Cvert);

conPamm=portata della palificata.

La (42), come suggerito dal Legislatore (D.M. 21.1.81), deve risultaremaggiore o uguale a 2.

Pressioni massime e minime sul terreno.

Per il calcolo della pressione massima e minima applicate dalmuro sul terreno si utilizzano le seguenti relazioni:

(43) Pmax=(Nvertcos α/B)(1+6e cos α/B)Pmin=(Nvertcos α/B)(1-6 e cos α/B);

conNvert=risultante dei carichi verticali:Nvert=(Wmuro+Wterra+Svert+Cvert) per muri a mensola;

FORMULA GEO VER.2.0

24

Nvert=(Wmuro+Svert+Cvert) per muri a gravità o a semigravità;B=larghezza effettiva della fondazione;α=inclinazione della base (per muri a gravità);e=distanza dal punto d'applicazione della risultante dei carichiverticali dal centro della base = B/2-rin cui r=(ΣMstabilizzanti - ΣMribaltanti)/Nvert;

se la risultante dei carichi verticali cade entro il terzo medio dellabase (e < B/6);

(43’) Pmax=(2Nvert)/[3(B/2-e)] P min=0;

se la risultante dei carichi verticali cade fuori dal terzo medio dellabase (e > B/6);

(43”) Pmax=(2N)/H Pmin=0;

con H =altezza del muro.

se la risultante dei carichi verticali coincide con il terzo medio dellabase (e = B/6).

Generalmente nei muri a gravità e a semigravita' è richiesto che siaverificata la condizione e<B/6.

Portanza e cedimenti del terreno di fondazione.

La verifica allo schiacciamento presuppone che sia stato eseguito inprecedenza il calcolo della portanza del terreno su cui poggia il muro.

FORMULA GEO VER.2.0

25

La portanza è una grandezza che fornisce un’indicazione dellapressione o del carico massimo ammissibile dal terreno difondazione, senza che questo subisca rottura per taglio o cedimentinon tollerabili dall’opera.Occorre distinguere fra fondazioni superficiali e fondazioni su pali(profonde).

Fondazioni superficiali.

Portanza del terreno di fondazione.

Sono considerate tali quelle in cui sia verificata la disuguaglianza:

Dfond ≤ Bfond;

conDfond=profondità di posa della fondazione;Bfond=larghezza della fondazione (lato più corto).Nella determinazione della portanza influiscono sia la geometria dellafondazione (principalmente la larghezza, la lunghezza e la profonditàdi posa), sia, ovviamente, le caratteristiche geotecniche del terreno.Fra le numerose relazioni empiriche e semi-empiriche per il calcolodella portanza note in letteratura, una delle più attendibili e verificateè quella proposta da Brinch Hansen (1970).

Terreni con angolo d’attrito maggiore di 0.

Nel caso in cui sia ϕ>0 (terreni incoerenti o coesivi in condizionidrenate), la relazione di Brinch Hansen assume la seguente forma:

(44)Qlim=CNcscdcicgcbc + γ1DfondNqsqdqiqgqbq + 0.5BfondNγγ2sγdγiγgγbγ;

FORMULA GEO VER.2.0

26

in cuiC=coesione del terreno;γ1=peso di volume del terreno sopra il piano di posa dellafondazione;γ2=peso di volume del terreno sotto il piano di posa della fondazione;

con Nq, Nc, Nγ = fattori di portanza;

Nq=ek tg2(45°+ϕ/2) (k=π tg ϕ);Nc=(Nq-1)cotg ϕ;Nγ=1.5(Nq-1)tg ϕ.

sq, sc, sγ = fattori di forma;

sq=1+(Bfond/Lfond)tg ϕ (Lfond = lunghezza della fondazione);sc=1+(Nq/Nc)(Bfond/Lfond);sc=1 per fondazioni nastriformi (Lfond>5Bfond);sγ=1-0.4(Bfond/Lfond).

dq, dc, dγ = fattori di approfondimento;

dq=1+2tg ϕ (1-senϕ)2k;k=Dfond/Bfond per Dfond/Bfond ≤ 1;k=arctg(Dfond/Bfond)(in rad) per D fond/Bfond > 1;dc=1+0.4kdγ=1

iq, ic, iγ = fattori per l’inclinazione del carico;

iq=[1 - 0.5Qoriz/(Qvert + Lfond Bfond Ca cotg ϕ)]5;Qoriz=componente orizzontale del carico;Qvert=componente verticale del carico;

Ca=coesione agente sulla base della fondazione=(2/3)C

FORMULA GEO VER.2.0

27

ic=iq - (1- iq)/(Nq-1)

iγ=[1 - 0.7Qoriz/(Qvert + Lfond Bfond Ca cotg ϕ)]5 con base della

fondazione non inclinata;iγ=[1 - (0.7-η/450)Qoriz/(Qvert + Lfond Bfond Ca cotg ϕ)]5 con base della

fondazione inclinata;η (°)=inclinazione della base;

Nel caso della fondazione di un muro di contenimento le grandezzeQoriz e Qvert si ottengono come segue:

Qoriz= Soriz+Coriz;Qvert= Wmuro+Wterra+Svert+Cvert;

in cui Qoriz≤ Qverttg δ + Lfond Bfond Ca;δ=angolo d’attrito terra-fondazione.gq, gc, gγ = fattori per fondazioni su pendio;

gq=(1-0.5tg β)5;β=inclinazione del pendio;gc=1-(β°/147) ;gγ= gq.

bq, bc, bγ = fattori per fondazioni con base inclinata;

bq=exp(-2ηtg ϕ)η=inclinazione della base;bc= 1-η°/147;bγ= exp(-2.7ηtg ϕ);

Terreni con angolo d’attrito uguale a 0.

In terreni coesivi in condizioni non drenate (ϕ=0) la (44) assume laseguente forma:

FORMULA GEO VER.2.0

28

(45)Qlim=5.14C(1+sc+dc-ic-gc-bc) + γ1Dfond;

con i parametri sc, dc, ic, gc, bc modificati come segue:sc=0.2Bfond/Lfond;dc=0.4k;ic=0.5 - 0.5√[1-Qoriz/ (Lfond Bfond Ca)];gc=β°/147;bc=η°/147.

In presenza di carichi eccentrici, come nel caso della fondazione diun muro di contenimento, nel calcolo della (44) e della (45) vaintrodotta una larghezza ed una lunghezza della fondazione correttacome segue:

L’fond= Lfond - 2ecl;B’fond= Bfond - 2ecb.

conecl=eccentricità del carico rispetto al lato lungo della fondazione;ebl=eccentricità del carico rispetto al lato corto della fondazione;

I due parametri ecl, ebl verrano valutati in un successivo paragrafo.

La portanza calcolata con le relazioni (43) e (44) rappresenta lapressione massima tollerabile dal terreno di fondazione. Per Legge(D.M.21.1.81) questo valore deve essere ridotto, per ottenere laportanza d’esercizio, dividendolo per un coefficiente di sicurezza, chenon può essere inferiore a 3.

(46) Qes = Q lim/3.

Il criterio di Coulomb (vedi relazione 68), che descrive l’andamentodella resistenza al taglio del terreno al variare della pressione diconfinamento e sul quale si basa la relazione di Brinch Hansen, puòessere considerato valido solo per valori di τ (resistenza al taglio)inferiori a circa 5 kg/cmq. Nel caso la (46) fornisca valori superiori a

FORMULA GEO VER.2.0

29

questo limite sarà necessario procedere ad una correzione di Qam

come suggerito Terzaghi e Peck. La correzione andrà effettuatamodificando i valori della coesione e dell’angolo di resistenza altaglio (angolo d’attrito) del terreno come segue:C’= (2/3) C;tg ϕ‘= (2/3) tg ϕ;

ripetendo quindi il calcolo della portanza del terreno.

Cedimenti assoluti del terreno.

Anche se la pressione esercitata sul terreno di fondazione nonsupera il valore calcolato con la (46), si possono, in alcuni casi,manifestare delle deformazioni nel terreno non tollerabili dall’opera.I cedimenti sono dovuti alla deformazione elastica e plastica delterreno e, nel caso di terreni poco permeabili (argille e limi), alprocesso di lenta espulsione dell’acqua contenuta al loro interno(consolidazione).Poichè le caratteristiche geotecniche del terreno variano da punto apunto, così come spesso variano da punto a punto anche lecondizioni di carico, i cedimenti possono assumere localmente valoridifferenti.Il cedimento calcolato in un punto prende il nome di cedimentoassoluto; la differenza fra i cedimenti assoluti misurati in due o piùpunti prende il nome di cedimento differenziale.Il cedimento assoluto totale è dato dalla somma di tre componenti:

(47)Stot= Simm + Scon + Ssec;

in cui:Simm=cedimento immediato, dovuto alla deformazione iniziale, senzavariazione di volume,del terreno caricato; è prevalente nei terreniincoerenti (coesione=0), trascurabile in quelli coesivi (coesione>0);Scon=cedimento di consolidazione, legato alla variazione di volumedel terreno saturo, in seguito alla lenta espulsione dell’acqua

FORMULA GEO VER.2.0

30

contenuta al suo interno; è dominante nei terreni coesivi, pocopermeabili, e trascurabile in quelli incoerenti (da mediamente a moltopermeabili);Ssec=cedimento secondario, dovuto alla deformazione viscosa delloscheletro solido del terreno; normalmente trascurabile in tutti i tipi diterreno.

Cedimenti in terreni incoerenti.

Un metodo semplificato per stimare il cedimento immediato di unterreno di fondazione prevalentemente incoerente è fornito dallarelazione di Schleicher:

(48)S imm=QvertI(1-µ2)/E;

conQvert=carico verticale applicato alla fondazione;E=modulo elastico (o di deformazione) del terreno;µ=coefficiente di Poisson=0.5 (terreni saturi, in condizioni nondrenate);I=fattore di influenza, ottenibile attraverso le relazioni diSchmertmann:

I=0.6 z; per z ≤ 1;I=0.6 - 0.2(z-1); per 1 < z ≤ 4;con z=profondità dal piano di posa della fondazione in metri.

Nel caso di un terreno pluristrato la (47) va applicata ad ogni singolostrato ed i risultati sommati.

Cedimenti in terreni coesivi.

FORMULA GEO VER.2.0

31

In prima approssimazione, i cedimenti per consolidazione di unterreno prevalentemente coesivo possono essere ottenuti attraversola relazione:

(49)Scon=H ∆σ/Ed;

conH=spessore dello strato;∆σ=sovraccarico indotto dal muro alla quota dal piano di posa dellafondazione equivalente a metà dello spessore dello strato;Ed=modulo edometrico dello strato;

Il sovraccarico ∆σ può essere stimato approssimativamente con larelazione:

(50)∆σ =(Qvert-γ1Dfond)/[(Bfond + z tg 27°)(Lfond + z tg 27°)];

Nel caso di un terreno pluristrato la (49) va applicata ad ogni singolostrato ed i risultati sommati.Poichè il metodo richiede che sia verificata la diseguaglianza:

H < Bfond;

strati di spessore superiore a questo limite vanno divisi in due o piùsottostrati, con spessore uguale e uguale modulo di deformazione omodulo edometrico.

Elevati cedimenti differenziali (dell’ordine di alcuni centimetri ingenere, ma a volte anche meno) possono indurre lesioni nell’opera.Partendo dal presupposto che a elevati cedimenti assolutigeneralmente corrispondono elevati cedimenti differenziali, Terzaghie Peck proposero di considerare come valori limite tollerabilicedimenti assoluti di 2,5 cm in terreni incoerenti (sabbie e ghiaie) e 4cm in terreni coesivi (limi e argille).

FORMULA GEO VER.2.0

32

Un sistema meno empirico di procedere consiste nello stimare ladistorsione angolare fra due o più punti della struttura di cui sia notoil cedimento assoluto del terreno di fondazione:

χang= (S2 -S1)/L12;

conχang=distorsione angolare;S2=cedimento assoluto nel punto 2;S1=cedimento assoluto nel punto 1;L12=distanza fra i punti 1 e 2.

In prima approssimazione, sono da considerare tollerabili distorsioniangolari inferiori a 1/600 per strutture in muratura e a 1/1000 perstrutture in calcestruzzo.

Fondazioni su pali.

In assenza di strati portanti in prossimità del piano di posa dellefondazioni, si può rendere necessario l’utilizzo di fondazioni su pali.Vengono distinte due tipologie di pali, sia per la diversa procedura dimessa in opera, sia per gli effetti che producono sulle caratteristichemeccaniche del terreno di fondazione: i pali infissi ed i pali trivellati. Aparte vengono presi in cosiderazione i micropali tipo tubfix, che purpotendo essere inseriti nella categoria generale dei pali trivellati, sene differenziano per alcune importanti caratteristiche.

FORMULA GEO VER.2.0

33

Portanza verticale del palo.

Pali infissi.

Sono pali che vengono messi in opera senza l’asportazione delterreno.Sono utilizzabili in terreni incoerenti da poco a mediamenteaddensati, dove la procedura d’infissione conduce generalmente adun miglioramento delle caratteristiche geotecniche. Sconsigliabileinvece il loro utilizzo in terreni coesivi, nei quali l’infissione porta adun rimaneggiamento degli strati con conseguente scadimento dellecaratteristiche geotecniche degli stessi. Non sono impiegabili interreni molto addensati, o con trovanti o livelli cementati.Il calcolo della portata di un palo infisso viene effettuata sommandoi contributi di portata della punta del palo con quello dovuto allaresistenza laterale del fusto.Vengono distinti 3 casi.

Terreni incoerenti.

In questo tipo di terreno la portanza laterale può essere valutataattraverso la relazione di Burland(1973):

(51) Q lat= Alat Pef K fw tg δ;

conAlat = area laterale del palo;Pef = pressione efficace del terreno data da:Pef =Lpalo γ se Lpalo < 15 Dpalo;Pef =15Dpaloγ se Lpalo > 15 Dpalo;Lpalo=lunghezza del palo;Dpalo=diametro o lato medio del palo;γ =peso di volume del terreno;

FORMULA GEO VER.2.0

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K =1-sen ϕ‘;ϕ‘=(3/4)ϕ + 10;ϕ =angolo d'attrito del terreno.δ =angolo d’attrito terra-palo, posto =20° per pali in acciaio e =(2/3)ϕ‘per pali in calcestruzzo;fw =fattore correttivo legato alla tronco-conicità percentuale del palo(tr)del palo;

N.B.:Per tronco-conicita' del palo s'intende la diminuzionepercentuale del diametro del palo con la profondità nel caso di paliprefabbricati tronco-conicità (per es. una tronco-conicità del 5%vuol dire che il diametro del palo diminuisce di 5 cm per ogni metrodi lunghezza del palo stesso).

ponendo ω(°)= arctg(tr/100)per ω=0 (palo cilindrico) fw =1;per ω>0 (palo tronco-conico) i valori di fw sono forniti dalla seguentetabella:

ϕ‘ ω° fwϕ‘<30 ωω°≤≤0.8 1+1.5 ωω °ϕ‘<30 0.8<ωω °≤≤1.6 2.75 ωω °ϕ‘<30 ωω°>1.6 2.8+ωω °

30≤ϕ‘<35 ωω°≤≤1.1 1+2.45 ωω °30≤ϕ‘<35 1.1<ωω °≤≤1.6 2.16+1.4 ωω °30≤ϕ‘<35 ωω°>1.6 4+0.25 ωω °35≤ϕ‘<40 ωω°≤≤1 1+3.3 ωω °35≤ϕ‘<40 ωω°>1 4.3

ϕ‘≥40 ωω°>0.5 4ϕ‘≥40 ωω°≤≤0.5 1+6 ωω °

La portanza della punta viene invece valutata utilizzando larelazione:

FORMULA GEO VER.2.0

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(52)Qbase = (Abase Pef Nq)- Wpalo;

conAbase = area della base del palo;

Nq =fattore adimensionale di portata sec.Berantezev;Nq =10m;m =-0.764 + 0.76 ϕ‘;Wpalo = peso del palo.

Terreni coesivi normalmente consolidati o leggermentesovraconsolidati (rapporto di sovraconsolidazione OCR<4).

Si procede come nel caso precedente, sommando i contributi dellaportanza laterale e di punta.La portanza laterale è data da:

(53) Q lat= Ca Alat;

con Ca=adesione palo-terreno;Per il parametro Ca vengono utilizzati i valori suggeriti da Tomlison.

Litologia Pinfissione/Dpalo Ca/C

Sabbia giacente su terrenicoesivi compatti

<20 1.25

Sabbia giacente su terrenicoesivi compatti

≥≥ 20 0.80

FORMULA GEO VER.2.0

36


<20 0.40


≥≥20 0.70

Terreni coesivi compatti <20 0.40Terreni coesivi compatti ≥≥20 0.60

Pinfissione/Dpalo = rapporto di penetrazione = rapporto profondità dipenetrazione del palo in argilla compatta/diametro palo;Ca/C=rapporto adesione palo-terreno/coesione del terreno.

La portata di punta del palo viene calcolata con la seguenterelazione:

(54)Qbase = Abase C Nc;

conNc = fattore adimensionale di portata;Nella pratica viene utilizzato un valore di Nc = 9 come proposto da

Skempton.

Terreni fortemente sovraconsolidati (OCR≥4).

Si procede come nel caso di terreni incoerenti, modificando il fattorek della formula della portanza laterale come segue:k=(1-sen ϕ)√OCR;ϕ=angolo d’attrito del terreno in condizioni drenate.

Pali trivellati.

Sono pali messi in opera con asportazione di terreno. Vengonoimpiegati in terreni incoerenti da mediamente a molto addensati e interreni coesivi, dove provocano un minor rimaneggiamento rispetto aipali infissi.

FORMULA GEO VER.2.0

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Il calcolo della portanza di un palo trivellato viene eseguito come nelcaso di un palo infisso, sommando i contributi di portata della puntadel palo e del fusto.Nell’applicare le relazioni viste in precedenza va tenuto presente che,a causa del disturbo indotto nei livelli incoerenti dall’asportazione delterreno, l’angolo d’attrito da utilizzare dovrà essere corretto comesegue:

ϕ‘°=ϕ° - 3°.con ϕ=angolo d’attrito del terreno prima della messa in opera delpalo.

Micropali tipo tubfix.

Si procede come nel caso dei pali trivellati, introducendo nel calcoloal posto della lunghezza totale del palo e del suo diametro medio lalunghezza ed il diametro presunto del bulbo iniettato.

Portanza complessiva della palificata.

Si definisce efficienza della palificata il rapporto fra la portanza delgruppo di pali e la somma della portanza dei singoli pali:

(55)Epalificata = Qpalificata /ΣQpalo;

Va notato che, mentre in terreni incoerenti l’efficienza è di solitoprossima all’unità, o in alcuni casi addirittura superiore, a causadell’addensamento del terreno prodotto dall’infissione dei pali, neiterreni coesivi è spesso inferiore a 1. La causa principale è ilsovrapporsi dei bulbi di pressione dei singoli pali, con la conseguenteriduzione del contributo alla capacità portante totale degli stessi.Un criterio semplice per determinare la portanza di una palificata interreni coesivi è quello proposto da Terzaghi e Peck (1948): la

FORMULA GEO VER.2.0

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portanza verticale del gruppo di pali va posta uguale alla minore delledue seguenti grandezze:a)la portanza data dalla somma delle portanze dei singoli pali;b)la portanza di un blocco di terreno di larghezza uguale a Bpalificata

(larghezza della palificata), lunghezza uguale a Lpalificata (lunghezzadella palificata) e profondità corrispondente alla lunghezza dei pali,data da:

(56)Qpalificata=Bpalificata Lpalificata Cbase Nc + 2(Bpalificata + Lpalificata)Lpalo Clat;

conCbase=coesione del terreno alla base del blocco;Clat=coesione del terreno agente lateralmente al blocco;Nc=coefficiente di portanza, in genere posto uguale a 9 (Skempton);Lpalo=lunghezza del palo.

Nei terreni incoerenti invece, per interassi compresi fra 2.5 e 6 Dpalo

(Dpalo=diametro o lato medio del palo), si può assumere che laportanza complessiva della palificata sia data semplicemente dallasomma delle portanze dei singoli pali.

Interasse dei pali di una palificata.

L’interasse, o spaziatura, dei pali è un parametro fondamentale, inquanto influenza direttamente l’efficienza di una palificata. Interassitroppo piccoli o troppo grandi infatti possono far diminuiredrasticamente la portanza complessiva della palificata. In alcuni casiinoltre, per es. per pali infissi in terreni incoerenti mediamente omolto addensati, una spaziatura troppo stretta può condurre ad undanneggiamento reciproco dei pali.Il D.M. 21.1.81 consiglia un interasse minimo di 3Dpalo in qualunquesituazione (Dpalo=diametro o lato medio del palo), anche se in realtà

occorrerebbe tener conto della modalità di messa in opera del palo(infisso o trivellato) e del tipo di terreno di fondazione (coesivo oincoerente).

FORMULA GEO VER.2.0

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In generale si consiglia un interasse maggiore di 3Dpalo in argilla, pertener conto del disturbo prodotto dalla messa in opera del palo,mentre in sabbia, l’interasse proposto dal D.M.21.1.81 può ancheessere ridotto a 2.5Dpalo per pali infissi in sabbie sciolte.

Cedimento assoluto della palificata.

Il calcolo del cedimento assoluto del terreno di fondazione dellapalificata può essere eseguito in prima approssimazione, utilizzandola procedura semplificata proposta da Bowles. Si considera ilcedimento totale come somma di due componenti:

(57) Stot = S terreno + Spalo;

dovute rispettivamente alla deformazione elastica e plastica delterreno e all'accorciamento elastico dei pali.La grandezza relativa al cedimento del terreno può essere espressacome:

(58) Sterreno = ∆σ H / E;

∆σ=sovraccarico sul terreno di fondazione alla quota relativa a metàdello spessore dello strato; può essere calcolata attraverso la (50),prendendo in considerazione l’intervallo di profondità compreso fra(2/3)Lpalo e 2 Lpalo, con Lpalo=lunghezza del palo;

H=spessore dello strato;E=modulo di deformazione o edometrico dello strato.

Nel caso di terreno pluristrato la (58) va applicata ad ogni singolostrato ed i risultati sommati.Poichè il metodo richiede che sia verificata la diseguaglianza:

FORMULA GEO VER.2.0

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H < Bfond;

strati di spessore superiore a questo limite vanno divisi in due o piùsottostrati, con spessore uguale e uguale modulo di deformazione omodulo edometrico.Il cedimento legato all’accorciamento elastico del palo può esserestimato invece con la seguente relazione:

(59) Spalo = 0.75 Qpalo Lpalo / (Apalo Ey);

conQpalo=portanza del singolo palo;Apalo=area trasversale media del palo;Ey=modulo di elasticità del palo.

Per quanto riguarda il discorso sulla compatibilità dei cedimenti conla struttura, si veda quanto detto per le fondazioni superficiali.

Portanza di un palo soggetto a carichi laterali.

Portanza del palo singolo.

I pali di fondazione di un muro sono soggetti a forze laterali emomenti. E’ necessario quindi valutare anche la resistenza lateraledel terreno di fondazione.Si utilizza la teoria di Broms(1964) applicata a pali rigidi a testaincastrata, distinguendo fra fondazioni in terreni coesivi e fondazioniin terreni incoerenti.

Terreni coesivi.

FORMULA GEO VER.2.0

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La resistenza laterale è data da:

(60)Rlat=9 Cu Dpalo (Lpalo - 1.5 Dpalo);


La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare,cioè costante con la profondità:

(61)Rz=9 Cu Dpalo.

Terreni incoerenti.

In questo caso la (60) va riscritta come segue:

(62) R lat=1.5 γ Lpalo2 Dpalo Kp;

conγ = peso di volume del terreno di fondazione;Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ).

La reazione del terreno ha qui un andamento di tipo triangolare, cioècrescente linearmente con la profondità:

(63) Rz=3 γ Lpalo Dpalo Kp.

Sia alla (60) che alla (62) va applicato un coefficiente di sicurezza(con un valore minimo di 2.5 secondo il D.M.21.1.81) per ottenere leportanze d’esercizio:

(64)Res=Rlat/Fs;

FORMULA GEO VER.2.0

42

conFs=coefficiente di sicurezza.

Portanza della palificata.

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche pergruppi di pali sottoposti a sollecitazioni orizzontali va definito ilconcetto di efficienza del gruppo.Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontaliil rapporto fra la portanza laterale complessiva del gruppo e lasomma delle portanze laterali dei singoli pali (vedi espressione (55)).Valgono in complesso le considerazioni già fatte per i pali caricativerticalmente: in pali fondati in terreni incoerenti l’efficienza spesso èprossima all’unità, in pali in terreni coesivi generalmente è inferiore.Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale delgruppo di pali il minore fra questi due valori:1. la somma delle portanze laterali dei singoli pali;2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale

alla larghezza della palificata (lato della palificata perpendicolarealla direzione di carico) e di spessore corrispondente allalunghezza dei pali, cioé:

Terreni coesivi:

(65)Rpalificata=9 Cu Lpalo(Lpalificata-Cr);


Terreni incoerenti:

FORMULA GEO VER.2.0

43

(66) Rpalificata=1.5 γ Lpalo2Lpalificata Kp.

Portanza di pali soggetti a carichi inclinati.

I pali di fondazione di un muro di contenimento sono soggetti acarichi inclinati, cioè alla combinazione di carichi verticali eorizzontali. In questo caso occorrerà verificare che siano soddisfattele due condizioni:

a)Pvert<Qpalificata (verifica al collasso assiale);b)Poriz<Rpalificata (verifica al collasso laterale).

in cuiPvert=componente verticale del carico;Qpalificata=portanza d’esercizio verticale della palificata;Poriz=componente orizzontale del carico;Rpalificata=portanza d’esercizio orizzontale della palificata.

Analisi della stabilità globale del muro.

Definizione del problema.

Non è sufficiente che il muro risulti verificato per lo slittamento,ilribaltamento e lo schiacciamento: occorre infatti valutare anche lastabilità globale del pendio sul quale è fondato il muro.Le procedure di analisi di stabilta' di un pendio in terra, attraverso lavalutazione dell'equilibrio limite, consistono nella stima di uncoefficiente di sicurezza alla traslazione e/o alla rotazione del volumedi terra compreso fra la superficie del versante ed una superficie ditaglio potenziale imposta.

FORMULA GEO VER.2.0

44

La procedura di calcolo prende in considerazione tutte le forze e/o imomenti agenti lungo il piano di taglio, fornendo una valutazionedella stabilita' globale attraverso le equazioni d'equilibrio fornite dallastatica.Il coefficiente di sicurezza globale del pendio viene calcolatoattraverso il rapporto fra la resistenza di taglio massima disponibilelungo la superficie di rottura e gli sforzi tangenziali mobilitati lungotale piano:

(67) Fsic = Tmax / Tmob;

conFsic= coefficiente di sicurezza;Tmax= resistenza di taglio massima;Tmob= sforzo tangenziale mobilitato.

All'equilibrio(Tmax=Tmob)Fsic deve essere ovviamente uguale a 1.Il pendio potrebbe essere considerato in teoria stabile, quando Fsic

risulta maggiore di 1 (Tmax>Tmob), instabile in caso contrario(Tmax<Tmob). In realta', per tener conto dell'incertezza introdotta dalleipotesi semplificatrici nella procedura di calcolo e soprattuttodell'approssimazione con cui sono noti i parametri geotecnici delterreno, per Legge (D.M.21.1.81) e per consuetudine pratica lastabilita'puo' dirsi raggiunta solo nel caso in cui Fsic sia maggiore di1.3.Vanno quindi distinti tre casi:

a) Coefficiente di sicurezza inferiore a 1: il pendio si trova incondizioni di instabilita' globale.

b) Coefficiente di sicurezza compreso fra 1 e 1.3: il pendio si trova incondizioni prossime all'equilibrio limite; anche un piccolo incremento

FORMULA GEO VER.2.0

45

degli sforzi tangenziali sulla superficie potenziale di rottura puo'innescare il fenomeno franoso.

c) Coefficiente di sicurezza superiore a 1.3: il pendio si trova incondizioni di stabilita' globale.

Impostazione della procedura di calcolo.

Nell'applicare le equazioni della statica al problema dell'analisi distabilita' di un pendio in terra occorre ipotizzare che siano verificatele seguenti condizioni:

a) la verifica va eseguita prendendo in esame una striscia di versantedi larghezza unitaria (solitamente di 1 metro), trascurandol’interazione laterale fra tale striscia ed il terreno contiguo;

b) la resistenza al taglio lungo la superficie potenziale di rottura deveessere esprimibile attraverso la legge di Coulomb:

(68) Tmax = c + γ h tg ϕ;

conTmax = resistenza di taglio massima del terreno;c= coesione del terreno;γ= peso di volume del terreno;h= profondita' della superficie di rottura;ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno.

c)la precisione con cui vengono stimati in sito o in laboratorio iparametri geotecnici coesione e angolo di resistenza al taglio deveessere la stessa: in caso contrario la resistenza al taglio mobilitatadovrebbe essere espressa nel seguente modo:

(69) Tmob = (c/Fsicc) + (γ h tg ϕ/Fsicp);

FORMULA GEO VER.2.0

46

conFsiic =coefficiente di sicurezza legato a c;Fsicp =coefficiente di sicurezza legato a ϕ;

introducendo nel calcolo due coefficienti di sicurezza invece di uno,con ovvie complicazioni nella risoluzione analitica del problema;

d) deve aversi una distribuzione omogenea degli sforzi tangenzialimobilitati (Tmob) lungo la superficie potenziale di rottura. Questosignifica che in ogni punto del piano ipotetico di scivolamento iparametri dell'equazione di Coulomb c, ϕ, γ ed h devono avere lostesso valore.

Per limitare l'errore introdotto nel calcolo da quest’ultima ipotesi, lasuperficie di scivolamento viene, nella maggior parte delle proceduredi calcolo note in letteratura, suddivisa in piu' settori (conci),all'interno dei quali si considera realizzata la condizione diomogeneita' di Tmob. Nella pratica i limiti dei conci vengono fatticadere dove vi sia una variazione significativa di ϕ, c e γ del terrenoo in corrispondenza di variazioni significative nel profilo topograficodel versante.Questo modo d'impostare il problema conduce pero' all'introduzionenella risoluzione analitica di nuove incognite che esprimono il modoin cui interagiscono fra loro, lungo le superfici divisorie, i vari conci.In definitiva nel calcolo del valore di Fsic intervengono le seguentiincognite(n=numero dei conci preso in considerazione):

a) le forze normali (N) agenti sulla base del concio ( n incognite);b) le forze tangenziali (T) agenti sulla base dei conci ( n incognite);c) i punti, sulla base del concio, di applicazione delle forze normali etangenziali (n incognite);d) le forze orizzontali agenti lungo le superfici di separazione deiconci ( n-1 incognite);e) le forze verticali agenti lungo le superfici di separazione dei conci(n-1 incognite);

FORMULA GEO VER.2.0

47

f) i punti di applicazione, sulle superfici di separazione dei conci,delle forze d) ed e) (n-1 incognite);g) il coefficiente di sicurezza Fsic (1 incognita).

In totale il problema comporta l'introduzione di 6n-2 incognite.Per la sua risoluzione sono disponibili:

a) 3n equazioni d'equilibrio;b) n equazioni del tipo:

(70) T = (c l + N tg ϕ)/Fsic;con

l = lunghezza del concio;

che collegano fra loro, per ogni concio, le incognite N, T ed Fsic.c) n equazioni ottenute ponendo che il punto di applicazione di N e Tcada a meta' della base del concio.

In totale quindi sono disponibili 5n equazioni per la soluzioneanalitica del problema.Perche' si possa arrivare alla determinazione di Fsic occorrerebbero

ovviamente tante equazioni quante sono le incognite.In realta' perche' il problema sia staticamente determinato, e quindirisolvibile, mancano ancora n-2 equazioni (la differenza fra il numerodelle incognite,6n-2, ed il numero delle equazioni disponibili, 5n).Le equazioni mancanti possono essere ottenute introducendonell'analisi ulteriori ipotesi semplificatrici. Tali ipotesi riguardanogeneralmente la distribuzione delle forze lungo le superfici diseparazione dei conci. Le varie procedure di risoluzione delproblema differiscono essenzialmente per la schematizzazione cheviene fatta di questa distribuzione.

FORMULA GEO VER.2.0

48

Metodo di risoluzione di Fellenius.

Con il metodo di Fellenius si pone la condizione che le forze agentisulle superfici di separazione dei conci siano orientateparallelamente alla base dei conci stessi. Viene inoltre ipotizzato chela superficie potenziale di scivolamento sia circolare.Posto:

(71) N i=Wconcio(i) cos α i;

conWconcio(i)=peso del volume di terra compreso nel concio i-esimo;α i=inclinazione della base del concio i-esimo;Ni=componente normale alla base del concio di Wconcio(i).

Imponendo l’equilibrio dei momenti rispetto al centro della superficiecircolare di scivolamento potenziale del pendio, si può scrivere:

(72) ΣR sen α i Wconcio(i)=ΣR Ti;

in cui il prodotto R sen α i rappresenta il braccio di Wconcio(i).

Sostituendo nella (72) a Ti la sua espressione, data dalla (70), siottiene infine:

(73)Fsic = Σ(Ci Lconcio(i)+Ni tg ϕi) / Σ sen α i Wconcio(i);

conCi=coesione agente lungo la base del concio i;Lconcio(i)=lunghezza della base del concio i;ϕi=angolo d’attrito agente lungo la base del concio i;

Introducendo nella (73) il contributo dovuto alla presenza di faldaidrica, di sovraccarichi a monte del muro, di carichi esterni, di azionisismiche e di eventuali fondazioni su pali che intercettino lasuperficie di scorrimento, si ottiene:

FORMULA GEO VER.2.0

49

(74) Fsic = Σ[Ci Lconcio(i) + Smonte(i) cos α i + Ppali(i) sen α i + Cvert(i) cos α i +Coriz(i) sen α i + (Ni-hfalda(i) Lconcio(i)-asisma Wconcio(i) sen α i)tg ϕi] / Σ

[(Wconcio(i) + Cvert(i) + Smonte(i))sen α i + (Coriz(i) - Ppali(i))cos α i;

in cui:Smonte(i)=sovraccarichi agenti sulla superficie del concio i;Cvert(i)=carico verticale agente sulla sommità del muro;Coriz(i)=carico orizzontale agente sulla sommità del muro;asisma=accelerazione sismica orizzontale;hfalda(i)=altezza della falda rispetto alla base del concio i;Ppali(i)=portanza laterale unitaria (per metro di larghezza) dellapalificata;

Il metodo di Fellenius conduce generalmente a sottostime di Fsic

rispetto a metodi più rigorosi, soprattutto in terreni coesivi e/osovraconsolidati.L’errore è comunque a favore della sicurezza.

Sollecitazioni in un muro a contrafforti.

Le sollecitazioni sulla parete e sulla mensola di fondazione di unmuro a contrafforti vengono calcolate come nel caso di una piastra,utilizzando la procedura semplificata di Grashof. Si considerà cioèuna ripartizione dei carichi secondo due ordini di strisceperpendicolari, in cui si suppone divisa la piastra. Il criteriopresuppone che la piastra si possa considerare sollecitata da uncarico distribuito costante di valore pari al valore medio deldiagramma di carico reale.In pratica le ordinate del diagramma di carico andranno moltiplicateper i seguenti fattori:

FORMULA GEO VER.2.0

50

Cx=Ly4/(K Lx

4 + Ly4) Cy=1-Cx;

conLy=altezza della parete del muro (per la piastra corrispondente alla

parete del muro) o larghezza della mensola posteriore (contraffortiinterni) o anteriore (contrafforti esterni)(per la piastra corrispondentealla mensola di fondazione);Lx =Icontra - Scontra;

in cuiIcontra =interasse dei contrafforti;Scontra =spessore dei contrafforti.K =coefficiente uguale a 1.77 per la piastra di parete (tre lati incondizioni d’incastro e uno in condizioni di semincastro) o per lamensola di fondazione in presenza di cordolo, e a 1.5 per la mensoladi fondazione in assenza di cordolo (tre lati in condizioni d’incastro euno libero).

Il diagramma di carico parallelo al muro è dato quindi da:

Sx=Stot Cx;

quello perpendicolare al muro:

Sy=Stot Cy;

conStot=diagramma di carico in assenza di contrafforti.


1

DIAFRAMMI

Coefficienti di spinta del terreno.

COEFFICIENTE DI SPINTA ATTIVA.

Il coefficiente di spinta attiva può essere visto in prima approssimazionecome il rapporto minimo fra gli sforzi agenti sul piano orizzontale(contenimento ad opera del terreno circostante) e quelli agenti sul pianoverticale (peso del terreno sovrastante ed eventuali sovraccarichi agenti sulpiano campagna) applicati ad un elemento di terreno in condizioni diequilibrio plastico limite:

(1) Ka = Phmin / Pv.

La spinta attiva si mobilita quando il terreno subisce una decompressione(una diminuzione della pressione orizzontale alla quale non corrisponda unuguale variazione della pressione verticale, come può verificarsi peresempio in seguito ad uno sbancamento) con deformazioni dell’ordine dello0,2-0,3%.E’possibile individuare un piano lungo il quale Ka assume il suo valoreminimo. Questo piano rappresenta una superficie potenziale di rottura lungola quale potrà muoversi il prisma di terreno isolato dalla superficie di rotturastessa, che andrà a sollecitare l’eventuale opera di contenimento posta avalle.

COEFFICIENTE DI SPINTA PASSIVA.

Comprimendo orizzontalmente il terreno e mantenendo inalterata lapressione verticale, il valore di Ph aumenta fino a raggiungere un valoremassimo. Questa condizione viene chiamata stato di equilibrio plasticolimite superiore o stato passivo e raggiungibile solo in seguito a notevolideformazioni del terreno (2% - 4%). Lo stato passivo si genera normalmentenel terreno a valle di un opera di sostegno in seguito a spostamenti che

FORMULA GEO VER.2.0

2

questa subisce per le spinte del terreno a monte e ha come effetto dicontrastare il movimento dell’opera stessa.

I due modelli più in uso per la stima del valore di Ka e Kp sono:

· il modello di Rankine;· il modello di Coulomb.

Modello di Rankine.

E’ il modello in assoluto più semplice, ma che pone per la sua utilizzazioneuna serie di condizioni che lo rendono in alcuni casi non applicabile asituazioni reali.Posto con ϕ(°) il valore dell’angolo di resistenza al taglio( o d’attrito) delterreno, il coefficiente di spinta attiva assume, secondo questo modello, ilseguente valore:

(2)Ka = tg2(45°- ϕ/2);

La superficie potenziale di rottura del terreno è piana e parte dal piede delloscavo con un’inclinazione di 45°+ ϕ/2.Il coefficiente di spinta passiva invece può essere valutato con la relazione:

(3)Kp = tg2(45°+ ϕ/2).

Tale metodo richiede, per poter essere utilizzato, che sia il piano orizzontaleche quello verticale siano piani principali di sforzo. Nella pratica ciò siverifica quando:

· il paramento interno dell’opera di sostegno sia verticale;· non via sia attrito al contatto fra superficie del diaframma e del

terreno (angolo d’attrito terra-diaframma=0).

Per quanto riguarda quest’ultimo punto va tenuto presente che la presenza disforzi di taglio agenti lungo il paramento interno conducono ad una

FORMULA GEO VER.2.0

3

riduzione significativa della spinta attiva. Ignorare tali sforzi porta quindi avalori di Ka e della spinta totale della terra a favore della sicurezza.

Modello di Coulomb.

Nel modello di Coulomb non viene posta la condizione che gli sforzi agentisul piano orizzontale e su quello verticale siano sforzi principali. La spintatotale del terreno risulterà quindi inclinata di un certo angolo ugualeall’angolo d’attrito terra-diaframma.Posto:

· β = inclinazione del paramento interno dell’opera;· ρ = inclinazione della superficie di rottura del terreno;· δ = angolo d’attrito terra-diaframma, di solito posto uguale a

arctg[2/3 x tg(ϕ)];· ε = inclinazione del versante a monte dell’opera di sostegno;· ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno;

il coefficiente di spinta attiva assume la seguente forma:

(4) Ka=sen2(β+ϕ)/[sen2β sen(β-δ)( 1 + √Rp)2]

conRp=sen(ϕ+δ)sen(ϕ-ε)/[sen(β-δ)sen(β+ε)];

Il coefficiente di spinta passiva è invece dato dalla

(5) Kp=sen2(β-ϕ)/[sen2β sen(β-δ)( 1 - √Rp)2]

conRp=sen(ϕ-δ)sen(ϕ+ε)/[sen(β-δ)sen(β+ε)];

Il metodo è applicabile alla maggioranza dei casi pratici, con un’errorecontenuto entro il 5% rispetto a procedimenti più elaborati, purchè siaverificata la condizione δ ≤ ϕ/3.

FORMULA GEO VER.2.0

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Calcolo della spinta attiva e passiva del terreno.

Sulla base della (1), è possibile in prima approssimazione valutare, noto Ka,la spinta attiva orizzontale del terreno:

(6) Ph = Pv Ka.

Nel caso di un terreno omogeneo, privo di coesione ed in assenza di falda,sul quale agisca solo la forza di gravità, la (6) potrà essere riscritta nelseguente modo:

(7) Ph = γ z Ka;

con γ = peso di volume del terreno; z = profondità dal piano campagna.

Il prodotto γ z corrisponde in pratica al peso della colonna litostatica allaprofondità z.Integrando su tutta l’altezza del diaframma si ottiene:

(8) Sa = 0.5 H2 γ Ka;

con Sa = spinta attiva del terreno.La spinta è applicata ad una altezza dal piano di posa del diaframma ugualea:

(9) l = H/3.

Alla (8) andranno aggiunte altre componenti di spinta, se presenti, dovutealla presenza di:

· terreni multistrato;· falda;· terreni coesivi;· sovraccarichi esterni;

FORMULA GEO VER.2.0

5

· azioni sismiche;· pendii a monte con profilo spezzato;

Terreni multistrato.

Si prenda in considerazione, come esempio, un terreno a tre strati conlitologia e/o parametri geotecnici differenti. Il calcolo della spinta attivadovrà procedere nel seguente modo:

· si applica la (8) ad ogni strato, sostituendo ad H il valore dello spessoredello strato e a γ il peso di volume dello strato e a Ka il valorecorrispondente al ϕ dello strato; la (9) sarà data da:

(10) ls = Hs/3 + Σ(da H1 a Hs-1) H;

quindi nel caso di un terreno a tre strati, il punto d’applicazione della (8) perlo strato n.3 (il più superficiale) sarà dato da:

(11) l3 = H3/3 + H2 + H1.

· si calcola il contributo come sovraccarico di ogni strato rispetto a quellisottostanti; quindi il contributo totale alla spinta attiva dato dallo straton.1 (il più profondo) sarà:


Sa1”=(γ2H2+γ3H3)H3 Ka3(contributo strati 2 e 3 come sovraccarico sullostrato 1);

con un punto d’applicazione dato da:

l1=[(H1/3)Sa1’+(H1/2)Sa1”]/(Sa1’+Sa1”).

Analogamente per lo strato 2 e 3:


FORMULA GEO VER.2.0

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Sa2”=(γ3xH3)H2 Ka2(contributo strato 3 come sovraccarico sullo strato 2);


Sa3”= 0;

l2={[(H2/3)+H1]Sa2’+[(H2/2)+H1]Sa2”}/(Sa2’+ Sa2”);

l3={[(H3/3)+H2+H1]Sa1’+[(H1/2)+H2+H1]Sa1”}/ (Sa1’+Sa1”).

La spinta attiva totale sarà data quindi da:

Sa=(Sa1’+Sa1”)l1+(Sa2’+Sa2”)l2+(Sa3’+Sa3”)l3/(Sa1’+Sa1”+Sa2’+Sa2”+Sa3’+Sa3”).

Presenza della falda.

In presenza di falda la relazione (7), per gli strati immersi, si modifica comesegue:

(12) Saw=0.5 γ‘ Ka Hw2;

con γ‘=peso di volume immerso del terreno; Hw=altezza della falda rispetto al piano di posa del diaframma.

con un punto di applicazione della spinta dato da

(13) law = Hw/3.

Per gli strati sopra falda nella (8) al posto di H va introdotto H-Hw, cioèl’altezza fuori falda del terreno.Il punto d’applicazione della spinta per il terreno non immerso è dato da:

(14) l = Hw + (H-Hw)/3.

FORMULA GEO VER.2.0

7

Vanno inoltre considerati il contributo alla spinta attiva totale dato dallaspinta idraulica:

(15) Sw = 0.5 Hw2 γw,

con punto di applicazione:

(16) lw = Hw/3,

e quello costituito dal sovraccarico indotto dalla porzione di terreno nonimmersa su quella immersa:

(17) Sa’ = (H-Hw)γ Hw Ka,

con γ = peso di volume del terreno sopra falda,

e punto d’applicazione dato da:

(18) la’ = Hw/2.

Terreni coesivi.

La presenza di coesione nel terreno conduce, com’è ovvio, ad una riduzionedella spinta attiva.Ad una profondità z dal piano campagna, supponendo per semplicità unterreno omogeneo e privo di falda e sovraccarichi, lo sforzo attivo totalesarà dato da:

(19) Ph = γ z Ka - 2 c √Ka,

con c = coesione del terreno.

Il primo termine della (19) (γ z Ka) rappresenta la variazione della spintaattiva con la profondità in un terreno privo di coesione ( si veda la relazione(7) ); il secondo termine è la componente costante dovuta alla coesione.

FORMULA GEO VER.2.0

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Integrando su tutta la lunghezza del diaframma si ha:

(20) Sa = 0.5 γ H2 Ka - 2c H √Ka,


(21) la = H/3.

In prossimità della superficie del pendio a monte del diaframma (z prossimoa zero), il secondo termine della (19) diventa maggiore, in valore assoluto,al primo e la spinta attiva assume un valore negativo. Quindi il livello piùsuperficiale del terreno a tergo del diaframma viene sottoposto a trazione esi fessura. La profondità di questo livello si ottiene ponendo Ph=0 nella (19)e risolvendo rispetto a z:

(22) Zc = 2c / ( γ √Ka).

Da questa quota, in cui la spinta attiva si annulla, fino al piano campagna ilterreno è quindi sottoposto a trazione, si fessura e si distacca dal paramentointerno del diaframma. Ai fini del calcolo della spinta attiva che agiscesull’opera il contributo di questo livello superficiale va quindi posto ugualea zero. Considerando un diagramma di spinta triangolare si ottiene:

(23) Sc’ = 0.5(Zc 2 c √Ka.)

Sostituendo a Zc l’espressione (22) si ha quindi:

(24) Sc’ = 2c2/γ.

La (24) rappresenta una termine compensativo della spinta attiva negativache si ha nel livello più superficiale, sottoposto a trazione.La (20) andrà modificata di conseguenza come segue:

(25) Sa = 0.5 γ H2Ka - 2c H √Ka + Sc’,

FORMULA GEO VER.2.0

9


(26) la = (H - Zc)/3.

Inoltre, in assenza di un drenaggio efficiente delle acque superficiali amonte del diaframma, le fessure di trazione potrebbero riempirsi d’acqua,dando luogo ad un incremento della spinta attiva, valutabile come segue:

(27) Scw = 0.5 Zc2,

con un punto d’applicazione della spinta uguale a:

(28) lcw = (H - Zc) + Zc/3.


Vengono qua presi in considerazione tre tipi possibili di sovraccarichiesterni agenti sulla superficie del pendio a monte del diaframma:

· sovraccarichi uniformemente ripartiti;· sovraccarichi concentrati;· sovraccarichi nastriformi.

Sovraccarichi uniformemente ripartiti.

Si tratta di carichi esterni di notevole estensione areale, che giunge fino alparamento interno del diaframma, e di intensità uguale in ogni puntodell’area sovraccaricata.Ponendo q=modulo del sovraccarico, il contributo dato alla spinta attivatotale è:

(29) Su = q H Ka [sen β / sen (β+ε)],

FORMULA GEO VER.2.0

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(30) lu = 0.5 H.

Non è corretto, come proposto da alcuni Autori, trasformare, in alternativa,il sovraccarico uniforme in altezza di terra equivalente, riscrivendo la (8) nelseguente modo:

(31) Sa = 0.5 γ Ka (H + Heq),

con Heq = q [sen β / sen (β+ε)]/γ,poichè la (29) presuppone un diagramma di pressione rettangolare, la (31)un diagramma di pressione triangolare.

Sovraccarichi concentrati.

Un sovraccarico concentrato è un sovraccarico con un’estensione arealemolto ridotta. Il problema di valutare il contributo alla spinta attiva totale diquesto tipo di sovraccarico può essere risolto attraverso la teoriadell’elasticità, utilizzando l’ equazione di Boussinesq:

(32) σr = (Q/2π){(3r2z/R5)-[(1-2µ)/(R2+zR)]}.

in cui:σr = componente radiale della spinta alla quota z sotto il piano campagnain un punto di coordinate x,y rispetto al punto di applicazione delsovraccarico;Q = modulo del sovraccarico;

r = √(x2 + y2);

R = √(r2 + z2);µ = coefficiente di Poisson (che vale mediamente 0.35 nei terreni sciolti).Attraverso σr si ricava il valore della spinta orizzontale alla quota z:

(30) σh = σr(x/r).

FORMULA GEO VER.2.0

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Integrando numericamente con un passo fissato in maniera appropriata ( peres. 0.1 m), si ottiene il contributo alla spinta attiva totale del sovraccaricocon un punto d’applicazione dato da:

(31) lsc = ΣPiHi/ΣPi;

conHi=altezza rispetto al piano di posa del diaframma;Pi=pressione indotta dal sovraccarico all’altezza Hi.

Sovraccarichi nastriformi.

Si tratta di sovraccarichi di estensione areale significativa, che si sviluppanoparallelamente alla lunghezza del diaframma, coprendo solo una porzionedel pendio a monte dell’opera. L’intensità del sovraccarico vieneconsiderata uguale in ogni punto dell’area caricata.Il problema della stima del contributo alla spinta attiva totale di questo tipodi sovraccarico viene ricondotto al caso dei sovraccarichi concentrati. Inpratica, si suddivide l’area caricata in un numero maggiore di areerettangolari di estensione sufficientemente piccola (nel programma siutilizzano superfici di 0.2x0.3 metri) ad ognuna delle quali si attribuisce unafrazione del sovraccarico, trattato come se fosse di tipo concentrato.Calcolati i contributi delle singole aree, la spinta totale verrà data dallasomma di questi.Analogamente si procede per la determinazione del punto d’applicazionedella spinta.

Sollecitazioni sismiche .

Per la stima del contributo alla spinta attiva totale dovuta alle eventualisollecitazioni sismiche, si fa riferimento a quanto proposto dal Legislatore(D.M.19/6/84).

FORMULA GEO VER.2.0

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Eseguito il calcolo della spinta attiva totale del terreno in condizioni statiche(Sa), si procede al calcolo della spinta in condizioni dinamiche con gli stessicriteri adottati in precedenza, ponendo però:

α ‘ = α + θ;ε ‘ = ε + θ;con α = 90° - β; θ = arctg C.

In base alla categoria sismica alla quale appartiene il sito, viene definito unCoefficiente d’Intensità Sismica C, ricavabile dalla seguente tabella:

Categoria Sismicità Coef.Sismico CEx I cat. 12 0.10Ex II cat. 9 0.07

Nuova cat. 6 0.04

Il valore della spinta totale calcolato (Sa’) va quindi moltiplicato per unfattore correttivo dato da:

(32) A = cos2(α + θ)/( cos2α cosθ).

L’incremento di spinta sismica si ottiene dalla differenza fra la spinta incondizioni dinamiche e quella in condizioni statiche:

(33) ∆S = Sa’ - Sa.

Il suo punto d’applicazione è uguale a:

(34) l∆S = (2/3)H.

FORMULA GEO VER.2.0

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Pendii a monte con profilo non orizzontale.

Nel caso il pendio a monte del diaframma possieda un profilo nonorizzontale e con andamento irregolare qualsiasi è possibile procedereassimilando il pendio ad un piano orizzontale(ε = 0) e trattando il terreno aldi sopra di questo piano come una serie di sovraccarichi nastriformi dilarghezza ridotta (per es. 0,1 m). Il modulo del sovraccarico viene calcolatocon la relazione:

(35) Q (t/m) = ∆l x h x γ;dove:∆l = larghezza dell’area caricata (per es. 0,1 metri);h = altezza media della colonna di terreno;γ = peso di volume del terreno.

Il contributo di questi sovraccarichi alla spinta attiva totale va calcolatocome già visto per i sovraccarichi nastriformi.

Per il calcolo della spinta passiva totale valgono le stesse considerazioni e lemedesime procedure di calcolo viste per quella attiva. In questo caso alposto del coefficiente di spinta attiva Ka andrà utilizzato ovviamente quellodi spinta passiva Kp. Inoltre il fattore 2c H √Kp , legato alla presenza dellacoesione andrà preso con il segno + e quindi sommato alle altre componentidi spinta.

FORMULA GEO VER.2.0

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Calcolo del carico d’esercizio di un tirante.

Il carico limite di un tirante può essere calcolato in un terreno incoerentecon la formula di Schneebeli:

(36) Tlim (t) = π x D x L x K x Pef ;

conD (m)=diametro di perforazione;L (m)=lunghezza dell'ancoraggio;Pef (t/mq)=pressione efficace del terreno agente sul punto mediodell'ancoraggio;K =coefficiente dato da:

(37) K = tg(45-ϕ ‘/2) x sen ϕ‘ x [ (1 + exp(6.28 x tg ϕ‘) ) /2 ];

ϕ ‘=angolo d'attrito del terreno.

La forza d’esercizio è data invece dalla relazione:

(38) Tes (t) = Tlim / Fs;

dove Fes è il coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale a 2,5.In un terreno coesivo la (36) può essere riscritta come segue:

(39) Tlim (t) = π x D x L x cu ;

dove cu è la coesione non drenata del terreno in t/mq. In questo caso si puònotare che il carico limite del tirante non dipende dalla profondità diancoraggio del bulbo nel terreno.

FORMULA GEO VER.2.0

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Calcolo delle sollecitazioni e degli spostamenti di un diaframma.

Nel calcolo delle sollecitazioni indotte su un diaframma, si assumenormalmente che a monte dell’opera agisca la spinta attiva del terreno,contrastata a valle dalla spinta passiva generata dallo spostamento deldiaframma, agente sul tratto interrato dell’opera, e da eventuali tiranti.Tralasciando le procedure di calcolo classiche (Blum, Tschebotarioff, ecc...), utilizzabili solo in situazioni semplici, il problema della verifica di undiaframma viene qui affrontato, assimilando il diaframma ad una traveappoggiata su un terreno a comportamento elasto-plastico.

F x

z

Schema di una trave.

Si assume l’asse x parallelo al lato lungo della trave (vedi figura 35) e siindica con F la forza per unità di lunghezza agente sulla trave (trave dilarghezza unitaria). L’equilibrio lungo l’asse z, perpendicolare all’asse x,richiede che siano soddisfatte la relazioni:

(40) dQ / dx = -F;(41) dM / dx = Q;

dove Q è la forza di taglio e M il momento flettente. Combinando la (40) ela (41) si ottiene:

(42) d2M / dx2 = -F.

Ipotizzando inoltre che la rotazione dw/dx, con w uguale allo spostamentolaterale, sia minore di 1, si può scrivere:

FORMULA GEO VER.2.0

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(43) EI d2w / dx2 = -M;

in cui EI è la rigidità della trave data dal prodotto del modulo elastico delmateriale costituente la trave per il momento d’inerzia della stessa.

Combinando le equazioni (42) e (43) si ottiene:

(44) EI d4w / dx4 = F.

Nel caso di trave appoggiata su terreno, la (42) e la (44) possono essereriscritte come segue:

(45) d2M / dx2 = -F + kw;(46) EI d4w / dx4 = F - kw;

dove il prodotto kw rappresenta la reazione del terreno e k è il coefficientedi reazione del terreno.L’andamento dei momenti flettenti e del taglio agenti in ogni punto deldiaframma viene fornito quindi dalla risoluzione analitica o numerica delleequazioni differenziali (43) e (45).Nel programma si adotta una soluzione numerica basata sul metodo delledifferenze finite, che comporta l’approssimazione dei quozienti differenzialicon differenze finite. In pratica il diaframma viene suddiviso in n tratti dilunghezza uguale d (d=xi+1 - xi) e ogni sezione viene immaginata sottopostaad un carico uniformemente distribuito q e ad un carico concentrato P nelpunto xi.

FORMULA GEO VER.2.0

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X i X i+ 1

Q i Q i+1

P i

X

Z

qi+1

Schema per il calcolo con le differenze finite.

La procedura di calcolo viene ripetuta sia per il lato a monte, dove agisce laspinta attiva, che per il lato a valle, dove invece agisce la spinta passiva. Inpratica la reazione del terreno viene scomposta in due parti: unaproporzionale allo spostamento laterale ed una costante. In funzionedell’entità dello spostamento la spinta del terreno aumenta o diminuisceall’interno dei due valori limite corrispondenti alla spinta attiva (limiteinferiore) e alla spinta passiva (limite superiore). Se lo spostamento deldiaframma è piccolo la reazione del suolo rientra nel campo elastico, nelcaso però superi un certo valore si entra nel campo plastico. All’interno delcampo elastico le deformazioni del terreno sono reversibili, togliendo ilcarico cioè si annullano. Nel campo plastico invece le deformazionidiventano permanenti. In una serie di cicli di carico e scarico quindi ladeformazione plastica si accumula e la reazione elastica si attiva perspostamenti ogni volta superiori. In un terreno a comportamento elasto-plastico la reazione del suolo all’interno della sezione i-esima può essererappresentata quindi dalla relazione:

(47) Ri = ki ( wi - wi) + Di;

dovek = coefficiente di reazione del terreno;w = spostamento medio della sezione;w = spostamento medio plastico cumulato della sezione;

FORMULA GEO VER.2.0

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D = reazione del terreno nel campo plastico.Il valore di k viene ricavato dalla formula:

(48) k = (sp - sa) / ∆v;

dovesp = spinta passiva del terreno;sa = spinta attiva del terreno;∆v = differenza fra lo spostamento del terreno fra lo stato attivo e passivo(in inglese stroke);

Il valore di ∆v tende a diminuire con l’aumentare dello stato diaddensamento o la consistenza del terreno. Qui di seguito vengono riportatialcuni valori indicativi.

Litologia ∆vArgilla molle 0,04 - 0,05Argilla dura 0,01 - 0,02

Sabbia sciolta 0,05 - 0,15Sabbia densa 0,02 - 0,08

FORMULA GEO VER.2.0

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Verifica al sifonamento

In presenza di filtrazione di acqua sul fondo scavo è consigliabile effettuareuna verifica al sifonamento. Un metodo semplificato che consente diquantificare la sicurezza dell’opera relativamente a questo problema èquello di Terzaghi. Il procedimento si basa sulla relazione:

aahD

Fsγγ '

=

dove:D = profondità d’infissione del diaframma;γ’ = peso di volume immerso del terreno all’interno del quale è

infisso il diaframma;ha = eccesso di pressione interstiziale alla profondità D, che può

essere posta, a favore della sicurezza uguale 0.5H, conH=profondità dello scavo;

γa = peso di volume dell’acqua;

L’opera si considera generalmente verificata se il coefficiente di sicurezza èsuperiore a 1.

FORMULA GEO VER.2.0

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Dimensionamento di massima di una berlinese

Viene di seguito descritta una metodologia semplificata per ildimensionamento di massima di una berlinese proposta dall’Ing.A.Mammino (1994). La procedura di calcolo richiede, oltre alle caratteristichegeotecniche del terreno e dei sovraccarichi eventualmente presenti a monte,alcuni input riguardanti la geometria dell’opera. In particolare vengonorichiesti i seguenti dati:

• l’interasse dei micropali (im);• la distanza dal piano campagna della prima fila di tiranti (i0);• l’interasse orizzontale della prima fila di tiranti (ds);• l’interasse orizzontale della fila di tiranti più profonda (di);• il carico d’esercizio dei tiranti della prima e dell’ultima fila (T1 e Tn).

Alcuni di questi parametri sono stimabili direttamente, altri invecerichiedono una procedura a tentativi fino all’ottenimento dellaconfigurazione ottimale dell’opera.

INTERASSE DEI MICROPALI.

Generalmente nelle berlinesi i micropali vengono messi in opera con uninterasse superiore al loro diametro, lasciando cioè uno spazio vuoto fra paloe palo. L’effetto arco che si genera impedisce infatti al terreno di rifluireattraverso le fenditure. La quantificazione di questo fenomeno, e diconseguenza la stima dell’interasse massimo fra palo e palo in funzionedelle caratteristiche geotecniche del terreno, non è però semplice.Utilizzando alcune semplificazioni è comunque possibile avere almeno un’indicazione di massima dell’entità del fenomeno.Dato uno scavo di larghezza L, la stima della spinta delle terre che agiscelungo la parete dello scavo ad una quota z dal piano campagna, ridotta perl’effetto arco, può essere ottenuta attraverso la formula proposta daSchneebeli:

(49) σz = γ L Ka [1 - e-sen(2ϕ) (z/L)] / sen(2ϕ);

FORMULA GEO VER.2.0

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dove:Ka = coefficiente di spinta attiva;γ = peso di volume del terreno;ϕ = angolo d’attrito del terreno;z = quota di calcolo della spinta.

con L→∞ il valore di σz tende a quello calcolabile con la classica relazione:

(50) σz = γ z Ka;

valida per fronti di scavo larghi, in assenza dell’ effetto arco.Nel caso di una berlinese con z uguale ad alcuni metri e L generalmenteinferiore a 1 metro, il termine [1 - e-sen(2ϕ) (z/L)] tende ad essere moltoprossimo all’unità e quindi può essere trascurato. La (49) allora si riducealla:

(51) σz = γ L Ka / sen(2ϕ).

In assenza di sostegno la spinta σz espressa nella (51) può essere contrastatasolo dalla coesione del terreno. Ad una generica quota z dal piano campagnal’azione di contenimento della coesione viene espressa dalla formula:

(52) σz = 2 c √ Ka;

dove c è la coesione del terreno. Eguagliando la (51) e la (52) si puòottenere quindi una stima della distanza massima fra i pali per evitarefenomeni di scavernamento:

(53) L = 2 c sen(2ϕ) / γ √Ka.

A titolo d’esempio si fornisce una tabella con i valori di L in funzione di cper un terreno con ϕ=30° e γ=1.8 t/mc. Il coefficiente di spinta attiva Ka,calcolato con la relazione di Rankine (formula (2)), ha un valore uguale a0.333.

FORMULA GEO VER.2.0

22

c (t/mq) L (m)0.1 0.170.2 0.330.3 0.500.4 0.670.5 0.830.6 1.000.7 1.170.8 1.330.9 1.501.0 1.67

DISTANZA DAL P.C. DELLA PRIMA FILA DI TIRANTI.

La distanza i0 massima dal piano campagna della prima fila di tiranti puòessere determinata risolvendo l’equazione:

(54) a i03 + b i02 +d = 0;

dove:a = (pb -pt) / 3s1;b = pt;d = π (de

4 - di4) σa / 16 im de;

in cui:pb = spinta della terra alla base del primo strato;pt = spinta della terra al tetto del primo strato;s1 = spessore del primo strato;de = diametro esterno dei micropali;di = diametro interno dei micropali;im = interasse dei micropali;σa = trazione ammissibile dell’acciaio.

INTERASSE ORIZZONTALE DELLA PRIMA E DELL’ULTIMA FILADI TIRANTI.

FORMULA GEO VER.2.0

23

Gli interassi orizzontali della prima e dell’ultima fila di tiranti non possoessere stimati direttamente. Occorre operare a tentativi, introducendo deivalori iniziali, che potranno poi essere corretti fino ad ottenere unadisposizione ottimale. Per ragioni esecutive l’interasse dei tiranti vieneposto uguale ad un multiplo dell’interasse dei micropali. Come indicazionedi massima, per la fila superiore si può porre inizialmente un valoredell’interasse uguale 7-9 volte im e per la fila inferiore un valore di 4-5 volteim, dove im è l’interasse dei micropali.

CARICO D’ESERCIZIO DEI TIRANTI DELLA PRIMA EDELL’ULTIMA FILA.

Ipotizzando che la prima fila di tiranti sia posta alla quota i0 e l’ultima afondo scavo, utilizzando la formula (36) o (39) si calcolano i rispettivi valoridei carichi d’esercizio dei tiranti (T1 e Tn). Si passa quindi alla stima deiparametri R0 e N0, che verranno utilizzati più avanti nella procedura dicalcolo:

(55) R0 = (Tn - T1) / (hn - h1);(56) N0 = T1 - R0 h1.

dove:T1 = carico d’esercizio dei tiranti della prima fila;Tn = carico d’esercizio dei tiranti a fondo scavo;h1 = quota della prima fila di tiranti = i0;hn = quota dell’ultima fila di tiranti = altezza dello scavo.

Valutati i parametri di input, si passa al calcolo vero e proprio.Si definiscono i parametri Wa, Wb e Wc come segue:

Wa = 0.5 K0 γ;Wb = (ds - di) / 2H;Wc = K0 q;

dove:K0 = coefficiente di spinta a riposo del terreno;

FORMULA GEO VER.2.0

24

γ = peso di volume del terreno;ds = interasse della prima fila di tiranti;di = interasse dell’ultima fila di tiranti;q = eventuale carico uniforme.

Si calcola quindi il parametro h1 con la relazione:

(57) h1 = [ 1 /(2 Wa ds) ] [√ ( Wc2ds

2 + 4 N0 Wa ds) - Wcds];

Il valore di h1 ricavato va quindi utilizzato per ottenere i coefficienti W0,W1, W2 e W3.

W0 = N0 + (R0/2)h1 + Wa ds h12 - Wa Wb h1

3 + Wc ds h1 - Wc Wa h12;

W1 = (R0/2) - Wcds - Wa Wb h12;

W2 = Wads +Wc Wb + Wa Wb h1;W3 = Wa Wb.

Si calcola quindi la grandezza h2, risolvendo l’equazione:

(58) W3h23 + W2h2

2 + W1h2 +W0 = 0.

Si ricalcolano quindi i fattori W0, W1, W2 e W3, introducendo h2 al posto dih1 e risolvendo nuovamente la (58) per ottenere h3.La procedura va ripetuta n volte, finchè non si ottiene hn+1 > H, con Huguale alla profondità di scavo della berlinese. La grandezza n indica ilnumero di file di tiranti necessarie per la stabilità dell’opera.L’interasse verticale della i-esima fila di tiranti si ottiene quindi attraverso laseguente relazione:

(59) ii = 2 ( hi - ∑k=0→i-1ik);

La profondità dal piano campagna delle singole file di tiranti si ottienesemplicemente dalla:

(60) Zi = ∑k=0→i-1ik;

FORMULA GEO VER.2.0

25

L’interasse orizzontale dei tiranti nella i-esima fila di tiranti si ricava invecedalla formula:

(61) di = d1 + [(dn- d1) / (Zn - Z1)] (Zi - Z1);

Infine il carico d’esercizio dei tiranti della fila i-esima si ottiene con la:

(62) Ti = R0 Zi + N0.

Nel caso la configurazione ottenuta non risulti soddisfacente, si può ripetereil calcolo, variando per esempio l’interasse della prima e dell’ultima fila ditiranti oppure modificando la geometria dei tiranti stessi (lunghezza,inclinazione, ecc...).

75

STABILITA’ DI VERSANTI IN TERRA


Le procedure di analisi di stabilta' di un pendio in terra, attraverso lavalutazione dell'equilibrio limite, consistono nella stima di un coefficiente disicurezza alla traslazione e/o alla rotazione del volume di terra compreso frala superficie del versante ed una superficie di taglio potenziale imposta.La procedura di calcolo prende in considerazione tutte le forze e/o imomenti agenti lungo il piano di taglio, fornendo una valutazione dellastabilita' globale attraverso le equazioni d'equilibrio fornite dalla statica.Il coefficiente di sicurezza globale del pendio viene calcolato attraverso ilrapporto fra la resistenza di taglio massima disponibile lungo la superficiedi rottura e gli sforzi tangenziali mobilitati lungo tale piano:



All'equilibrio(Tmax=Tmob) Fsic deve essere ovviamente uguale a 1.Il pendio potrebbe essere considerato in teoria stabile, quando Fsic risultamaggiore di 1 (Tmax>Tmob), instabile in caso contrario (Tmax<Tmob). Inrealta', per tener conto dell'incertezza introdotta dalle ipotesi semplificatricinella procedura di calcolo e soprattutto dell'approssimazione con cui sononoti i parametri geotecnici del terreno, per Legge (D.M.21.1.81) e perconsuetudine pratica la stabilita'puo' dirsi raggiunta solo nel caso in cui Fsicsia maggiore di 1.3.Vanno quindi distinti tre casi:

a) Coefficiente di sicurezza inferiore a 1: il pendio si trova in condizioni diinstabilita' globale.

b) Coefficiente di sicurezza compreso fra 1 e 1.3: il pendio si trova incondizioni prossime all'equilibrio limite; anche un piccolo incremento

FORMULA GEO VER.2.0

76

degli sforzi tangenziali sulla superficie potenziale di rottura puo'innescare il fenomeno franoso.

c) Coefficiente di sicurezza superiore a 1.3: il pendio si trova in condizionidi stabilita' globale.


Nell'applicare le equazioni della statica al problema dell'analisi distabilita' di un pendio in terra occorre ipotizzare che siano verificate leseguenti condizioni:

a) la verifica va eseguita prendendo in esame una striscia di versante dilarghezza unitaria (solitamente di 1 metro), trascurando l’interazione lateralefra tale striscia ed il terreno contiguo;

b) la resistenza al taglio lungo la superficie potenziale di rottura deve essereesprimibile attraverso la legge di Coulomb:

(2) Tmax = c + γ h tg ϕ;

conTmax = resistenza di taglio massima del terreno;c= coesione del terreno;γ= peso di volume del terreno;h= profondita' della superficie di rottura;ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno.

c)la precisione con cui vengono stimati in sito o in laboratorio i parametrigeotecnici coesione e angolo di resistenza al taglio deve essere la stessa: incaso contrario la resistenza al taglio mobilitata dovrebbe essere espressanel seguente modo:

(3) Tmob = (c/Fsicc) + (γ h tg ϕ/Fsicp);

conFsiic =coefficiente di sicurezza legato a c;Fsicp =coefficiente di sicurezza legato a ###;

FORMULA GEO VER.2.0

77

introducendo nel calcolo due coefficienti di sicurezza invece di uno, conovvie complicazioni nella risoluzione analitica del problema;

d) deve aversi una distribuzione omogenea degli sforzi tangenzialimobilitati (Tmob) lungo la superficie potenziale di rottura. Questo significache in ogni punto del piano ipotetico di scivolamento i parametridell'equazione di Coulomb c, ϕ, γ ed h devono avere lo stesso valore.

Per limitare l'errore introdotto nel calcolo da quest’ultima ipotesi, lasuperficie di scivolamento viene, nella maggior parte delle procedure dicalcolo note in letteratura, suddivisa in piu' settori (conci), all'interno deiquali si considera realizzata la condizione di omogeneita' di Tmob. Nellapratica i limiti dei conci vengono fatti cadere dove vi sia una variazionesignificativa di γ, c e ϕ del terreno o in corrispondenza di variazionisignificative nel profilo topografico del versante.Questo modo d'impostare il problema conduce pero' all'introduzione nellarisoluzione analitica di nuove incognite che esprimono il modo in cuiinteragiscono fra loro, lungo le superfici divisorie, i vari conci.In definitiva nel calcolo del valore di Fsic intervengono le seguentiincognite(n=numero dei conci preso in considerazione):

a) le forze normali (N) agenti sulla base del concio ( n incognite);b) le forze tangenziali (T) agenti sulla base dei conci ( n incognite);c) i punti, sulla base del concio, di applicazione delle forze normali etangenziali (n incognite);d) le forze orizzontali agenti lungo le superfici di separazione dei conci ( n-1 incognite);e) le forze verticali agenti lungo le superfici di separazione dei conci (n-1incognite);f) i punti di applicazione, sulle superfici di separazione dei conci, delleforze d) ed e) (n-1 incognite);g) il coefficiente di sicurezza Fsic (1 incognita).



FORMULA GEO VER.2.0

78

(4) T = (c l + N tg ϕ)/Fsic;conl = lunghezza del concio;

che collegano fra loro, per ogni concio, le incognite N, T ed Fsic.c) n equazioni ottenute ponendo che il punto di applicazione di N e T cada ameta' della base del concio.

In totale quindi sono disponibili 5n equazioni per la soluzione analiticadel problema.Perche' si possa arrivare alla determinazione di Fsic occorrerebberoovviamente tante equazioni quante sono le incognite.In realta' perche' il problema sia staticamente determinato, e quindirisolvibile, mancano ancora n-2 equazioni (la differenza fra il numero delleincognite,6n-2, ed il numero delle equazioni disponibili, 5n).Le equazioni mancanti possono essere ottenute introducendo nell'analisiulteriori ipotesi semplificatrici. Tali ipotesi riguardano generalmente ladistribuzione delle forze lungo le superfici di separazione dei conci. Levarie procedure di risoluzione del problema differiscono essenzialmenteper la schematizzazione che viene fatta di questa distribuzione.

FORMULA GEO VER.2.0

79

Risoluzione con i metodi dell'equilibrio limite

Metodo di Fellenius.

Con il metodo di Fellenius si pone la condizione che le forze agenti sullesuperfici di separazione dei conci siano orientate parallelamente alla basedei conci stessi. Viene inoltre ipotizzato che la superficie potenziale discivolamento sia circolare.Posto:

(5) Ni=Wconcio(i) cos αi;

conWconcio(i)=peso del volume di terra compreso nel concio i-esimo;αi=inclinazione della base del concio i-esimo;Ni=componente normale alla base del concio di Wconcio(i).



in cui il prodotto R sen α i rappresenta il braccio di Wconcio(i).Sostituendo nella (6) a Ti la sua espressione, data dalla (4), si ottiene infine:

(7)Fsic = Σ(Ci Lconcio(i)+Ni tg ϕ i) / Σsen α i Wconcio(i);


Introducendo nella (7) il contributo dovuto alla presenza di falda idrica siottiene:

(8) Fsic = ΣCi Lconcio(i) + (Ni-hfalda(i) Lconcio(i))tg ϕ i] / ΣWconcio(i)sen α i ;

FORMULA GEO VER.2.0

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in cui:hfalda(i)=altezza della falda rispetto alla base del concio i;

Il metodo di Fellenius conduce generalmente a sottostime di Fsic rispetto ametodi più rigorosi, soprattutto in terreni coesivi e/o sovraconsolidati.L’errore è comunque a favore della sicurezza.

Metodo di risoluzione di Bishop (semplificato).

Con il metodo di Bishop semplificato si pone la condizione che le forzeverticali agenti sulle superfici di separazione dei conci siano trascurabili. Diconseguenzai singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forzeorientate lungo l'orizzontale.Viene inoltre supposto che la superficie potenziale di scivolamento siacircolare.La resistenza al taglio massima disponibile lungo la superficie potenzialedi rottura e' data, per ogni concio da:

(9) Ti max = Xi / (1 + Yi / Fs);

con Xi = ( c + (g x h - gw x hw) x tg ϕ) x dx / cos α con gw = peso di volume dell'acqua; hw = altezza dell'acqua sulla base del concio; dx = lunghezza del concio lungo l'orizzontale; α = inclinazione del concio sull'orizzontale.

Yi = tg α x tg ϕ

La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio e' per ogniconcio data da:

(10) Ti mob = Zicon Zi = g x h x dx x sen α

Il coefficiente di sicurezza del pendio viene, sulla base della (1), espressocome segue:

FORMULA GEO VER.2.0

81

(11) Fs = ∑(i=1-n) Ti max / ∑(i=1-n)Ti mob

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che e' la grandezza dadeterminare, viene a comparire anche al numeratore della (11) attraversol'espressione della T max (equazione (9)). Di conseguenza non sara'possibile la risoluzione diretta della (11).La procedura da adottare in questo caso dovra' essere di tipo iterativo, finoall'ottenimento della convergenza su un valore praticamente costante di Fs.Questi sono i passi da seguire:

1. si introduce un valore iniziale di Fs (per es. 1) e si risolve la (11);

2. il nuovo valore di Fs (Fs') ottenuto viene confrontato col valore dipartenza;

3. se la differenza supera un limite prefissato ( es. Fs'-Fs>0.001), siritorna al passo a), inserendo nella (11), al posto del valore dipartenza di Fs, il nuovo valore calcolato;

4. se la differenza rimane contenuta nel limite indicato, l'elaborazione vainterrotta: il coefficiente di sicurezza cercato e' Fs'.

Generalmente il procedimento richiede dalle quattro alle otto iterazioni perconvergere.Il metodo di Bishop richiede che siano, per tutti i conci, rispettate le dueseguenti condizioni:

• s' = (g x h - gw x hw - c x tg α / Fs)/(1+Y / Fs) > 0

con s' = pressione normale agente sulla base del concio;

• cos α x (1 + Y/Fs) > 0.2.

In caso contrario il metodo puo' condurre a valori del coefficiente disicurezza non realistici.Il metodo va applicato preferibilmente su versanti costituiti da terreniomogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristiche geotecniche, o,al limite, su terreni in cui la stratificazione non porti a contatto litologie a

FORMULA GEO VER.2.0

82

comportamento meccanico significativamente diverso (per esempio sabbiasu argilla); se ne sconsiglia l'uso anchein presenza di terreni fortemente sovraconsolidati.Confrontando il metodo di Bishop semplificato con la sua versionecompleta, si ottengono differenze massime nei valori dei coefficienti disicurezza non superiori all'uno percento. Rispetto ad altri metodi piu'rigorosi, come il Morgenstern-Price, lo scarto non supera il 5%, tranne nelcaso, di scarso interesse pratico, in cui sia Fs<1.

Metodo di risoluzione di Janbu (semplificato).

Nel metodo di Janbu semplificato si pone la condizione che le forzeverticali agenti sulle superfici di separazione dei conci siano trascurabili. Diconseguenza i singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forzeorientate lungo l'orizzontale.Questo metodo, a differenza di quello di Bishop, consente di verificaresuperfici potenziali di scivolamento di forma qualsiasi.La resistenza al taglio massima disponibile lungo la superficie potenzialedi rottura e' data, per ogni concio, da:

(12) Ti max = Xi / (1+Yi/Fs);

con Xi = [c+(g x h-gw x hw ) x tg ϕ] x [1+(tg ϕ2)] x dx con gw = peso di volume dell'acqua; hw = altezza dell'acqua sulla base del concio; dx = lunghezza del concio lungo l'orizzontale; α = inclinazione del concio sull'orizzontale.

Yi = tg α x tg ϕ

La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio e' per ogniconcio data da:

(13) Ti mob = Zi

con Zi = g x h x dx x tg α

FORMULA GEO VER.2.0

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(14)Fs = ∑(i=1-n)Ti max / ∑(i=1-n)Ti mob

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che e' la grandezza dadeterminare, viene a comparire anche al numeratore della (14) attraversol'espressione della T max (equazione (12)). Di conseguenza non sara'possibile la risoluzione diretta della (14).La procedura da adottare in questo caso dovra' essere di tipo iterativo,comenel caso del metodo di Bishop, fino all'ottenimento della convergenza su unvalore praticamente costante di Fs.Questi sono i passi da seguire:



3. se la differenza supera un limite prefissato ( es. Fs'-Fs>0.001), siritorna al passo a), inserendo nella (7), al posto del valore di partenzadi Fs, il nuovo valore calcolato;

4. se la differenza rimane contenuta nel limite indicato, l'elaborazione vainterrotta: il coefficiente di sicurezza cercato e' Fs'.

Generalmente il procedimento richiede dalle quattro alle otto iterazioni perconvergere.Il metodo va applicato preferibilmente su versanti costituiti da terrenieterogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristiche geotecniche, ofortemente sovraconsolidati. In questi casi infatti la superficie potenziale dirottura avra' probabilmente forma irregolare, lontana dalla circolarita'.Il metodo di Janbu puo' condurre, rispetto ad altri metodi piu' rigorosi, comeil Morgenstern-Price, a scarti non trascurabili, soprattutto in presenza disuperfici potenziali di rottura profonde o in presenza di forte coesione. E'quindi consigliabile l'introduzione di un fattore correttivo che minimizzi talescarto.Janbu suggerisce per tale coefficiente la seguente forma:

FORMULA GEO VER.2.0

84

(15) f = 1 + K x [ d/l - 1.4 x (d/l)2];

conl = lunghezza del segmento retto congiungente il piede del versante conla sua estremita' superiore;d = scarto massimo fra la congiungente il piede del versante e l' estremitàsuperiore e la superficie potenziale di scivolamento, misurato lungo laperpendicolare del primo;K = costante uguale a 0.31 in terreni privi di coesione (c=0) e a 0.5 perterreni coesivi (c>0).

Il coefficiente di sicurezza corretto e' dato quindi da:

(16) Fs' = f x Fs

con Fs = coefficiente di sicurezza non corretto.

Metodo di risoluzione di Spencer

Nel metodo di Spencer si pone la condizione che le forze d'interazionelungo le superfici di divisione dei singoli conci siano orientateparallelamente fra loro ed applicate nel punto medio della base del concio.Si tratta, nella sua espressione analitica, di un' estensione del metodo diBishop semplificato, ed è quindi valido per superfici di scivolamento sub-circolari.La forza d'interazione fra i conci applicata nel punto medio della base delconcio i-esimo è data da:

(17) Qi = [(c x l /Fs) x (W cos α - h x gw x l x sec α) x tg ϕ / Fs - W sen α] /

(cos (α-θ) x ma

con ma=1+ [tg ϕ x tg(α-θ)] / Fsθ = angolo d'inclinazione della forza Qi rispetto all'orizzontale.

Imponendo l'equilibrio dei momenti rispetto al centro dell'arco descrittodalla superficie di scivolamento si ha:

(18) ∑ Qi x R x cos(α-θ)=0;

FORMULA GEO VER.2.0

85

con R= raggio dell'arco di cerchio.

Imponendo l'equilibrio delle forze orizzontali e verticali si harispettivamente:

(19) ∑ Qi cos θ=0;

(20)∑ Qi sen θ=0.

Con l'assunzione delle forze Qi parallele fra loro, si può anche scrivere:

(21) ∑ Qi =0.

Il metodo propone di calcolare due coefficienti di sicurezza: il primo (Fsm)ottenibile dalla (18), legato all'equilibrio dei momenti; il secondo (Fsf) dalla(21), legato all'equilibrio delle forze. In pratica si procede risolvendo le (18)e le (21) per un dato intervallo di valori dell'angolo teta, considerando comevalore unico del coefficiente di sicurezza quello per cui si abbia Fsm=FsF.Il metodo è valido per superfici di scivolamento circolari e quindi presentale stesse limitazioni di applicabilità del metodo di Bishop semplificato.

Applicazione della rottura progressiva a superfici di scivolamento interreni sovraconsolidati.

In terreni sovraconsolidati, con comportamento meccanico assimilabile aquello di una roccia, il collasso di un versante o di un fronte di scavoavviene per il fenomeno della rottura progressiva; alla rottura delle parti piùsollecitate, le cui caratteristiche di resistenza precipitano verso terminiresidui, segue infatti la ridistribuzione delle tensioni in eccesso conconseguente crisi di porzioni sempre maggiori che conducono al collassoglobale.Di tale effetto, difficilmente implementabile in un codice di calcoloautomatico basato sull’equilibrio limite, se ne può tenere in conto attraversodue approcci:

a) con l’attribuzione dei parametri residui ai conci con coefficiente disicurezza FS(n) < 1

b) considerando la cessione degli esuberi di forze agenti sulla base diconci con FS(n) < 1 ai conci limitrofi.

FORMULA GEO VER.2.0

86

La prima procedure appare più semplice e percorribile.Secondo questa metodologia e considerando il metodo di Bishopsemplificato si può procedere attraverso le seguenti fasi:1) si determina il valore di FS globale2) si stimano i valori di FS(n) relativi ai singoli conci3) s’individuano i conci a rottura per scivolamento (dove cioè FS(n)<1)4) si attribuiscono i valori di resistenza al taglio residua ai conci con

FS(n)<15) si procede al ricalcolo del coefficiente di sicurezza globale del versante.

Scelta dei parametri geotecnici da utilizzare nelle verifiche.

Occorre distinguere fra terreni prevalentemente incoerenti e terreniprevalentementecoesivi.

Terreni incoerenti.

In sabbie o ghiaie va utilizzato l'angolo di resistenza al taglio di picco ocritico a seconda del grado di addensamento del terreno (quantificabileattraverso il parametro Densita' relativa).Per densita' relative minori del 20% si consiglia l'impiego dell'angolo diresistenza al taglio critico, ricavabile, in prima approssimazione, dalvalore di picco attraverso la relazione di Terzaghi:

(22) tg ϕ' = 2/3 x tg ϕ;

con ϕ'= angolo di resistenza al taglio critico; ϕ = angolo di resistenza al taglio di picco.

Per densita' relative superiori al 70% va utilizzato l'angolo d'attrito di picco.Nei casi intermedi occorre interpolare fra i due valori estremi (phi' e phi).Per verifiche di stabilita' a breve termine (per esempio per scavi provvisori)si deve tener conto anche della debole coesione temporanea che puo' esserepresente in terreni umidi o leggermente cementati dalle acque circolanti.

Terreni coesivi.

FORMULA GEO VER.2.0

87

Piu' problematico e' il caso di un versante costituito in prevalenza daterreni coesivi argille e limi plastici).Le verifiche di stabilita' vanno sempre, tranne che in casi particolari,condotte considerando le condizioni a lungo termine, che sono le piu'sfavorevoli alla sicurezza. Vanno quindi utilizzati i parametri geotecniciangolo di resistenza al taglio e coesione drenati.Nel caso di pendii costituiti da terreni coesivi normalmente consolidati, infrane di neoformazione, va utilizzato l'angolo d'attrito di picco ( la coesionedrenata in questo caso e' nulla).Per versanti in argilla o limo sovraconsolidati e non fessurati, sempre perfrane di neoformazione, vanno impiegati l'angolo di resistenza al taglio dipicco e la coesione drenata. In presenza di fessure diffuse va ipotizzato unannullamento a lungo termine della coesione, che va quindi trascurata.Per verifiche di stabilita' su versanti gia' mobilizzati da eventi franosi passatipuo' essere impiegato per il calcolo solo l'angolo di resistenza al taglioresiduo, ponendo uguale a zero la coesione.Nel caso di analisi di stabilita' a breve termine (per esempio per scaviprovvisori) puo' essere utilizzata la coesione non drenata, ignorando l'angolodi resistenza al taglio.

Calcolo dell'influenza di carichi esterni e di opere di sostegno sullastabilità del versante.


Con Sn indichiamo la componente normale al piano potenziale di tagliodella somma delle forze applicate sulla superficie della base del concio dasovraccarichi esterni (Si). La sua espressione è la seguente:

(23) Sn = Si x (sen β x cos α + cos β x sin α);

conα=inclinazione della base del concio.β=inclinazione dei sovraccarichi rispetto all'orizzontale, crescente in sensoantiorario.

FORMULA GEO VER.2.0

88

La grandezza Sn va sommata, nell'equazioni dei metodi di calcolo visti inprecedenza, alla componente della forza normale N dovuta al peso delconcio i (vedi eq.4)Con St indichiamo la componente tangenziale al piano potenziale di tagliodella somma delle forze applicate sulla superficie del concio dasovraccarichi esterni (Si). La sua espressione è la seguente:

(24) St = Si x (cos β x cos α - sen β x sen α);

La grandezza St va sommata alla componente della forza tangenziale Tdovuta al peso del concio (vedi eq.4).L'effetto di un sovraccarico sul pendio e' quindi duplice: si ha unavariazione positiva o negativa (a seconda dell'inclinazione del sovraccaricorispetto alla superficie potenziale di rottura ) sia delle forze normali sia diquelle tangenziali, con conseguente modifica dei valori della resistenza altaglio massima e di quella mobilitata.


L’analisi dell’influenza delle sollecitazioni sismiche sulla stabilità globale diun versante può essere condotta attraverso due approcci differenti:

1. si può introdurre la semplificazione che il sisma agisca come un sistemadi forze sul pendio di intensità e verso costante per tutta la duratadell’evento sismico (metodo pseudostatico);

2. si può introdurre nel calcolo un sistema di forze che tenga conto dellevariazioni di verso ed intensità della sollecitazione sismica durante l’evento(metodo dinamico).

La seconda procedura (metodo dinamico), pur conducendo a valutazioni piùrealistiche, richiede la conoscenza o la simulazione di un accelerogramma diriferimento, che fornisca per ogni istante dell’evento sismico l’andamentodelle accelerazioni subite dal pendio. Questi dati non sono però di facileacquisizione, fatto che limita in pratica l’utilizzo di questo approccio.Il programma utilizza il metodo pseudostatico, metodo meno preciso diquello dinamico (fornisce in genere stime a favore della sicurezza dellastabilità globale), ma che presenta il vantaggio di essere di facile

FORMULA GEO VER.2.0

89

applicazione. Gli unici dati richiesti in questo caso sono la accelerazionemassima orizzontale e, eventualmente, verticale subita dal versante duranteil sisma.Il valore Ago (accelerazione massima orizzontale), in mancanza divalutazioni migliori può essere scelto fra quelli proposti dalle Normetecniche per le costruzioni in zona sismica del GNDT :

• Ago = 0.15 in zone con grado di sismicità uguale a 6;• Ago = 0.25 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria);• Ago = 0.35 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria);

oppure fra quelli indicati dalla Normativa vigente:

• Ago = 0.04 in zone con grado di sismicità uguale a 6;• Ago = 0.07 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria);• Ago = 0.10 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria);

Per il parametro Agv (accelerazione massima verticale) una stima puòessere fatta applicando la relazione proposta da Tezcan et alii (1971):

Agv = f x Ago;

con f = fattore di trasformazione variabile da 0.5 a 0.67.Si tenga presente comunque che la Normativa vigente propone, incondizioni normali, di trascurare Agv.Il programma applica il metodo pseudostatico alla stabilità attraverso dueprocedure differenti: il criterio delle forze orizzontali e quello di Binnie.

Criterio delle forze orizzontali

Una valutazione dell’effetto di un sisma sulla stabilità di un versante puòessere fatta, supponendo che, durante l’intervallo di tempo in cui si ha lamanifestazione dell’evento sismico, su ogni singolo concio venga applicatauna forza orizzontale, diretta verso l’esterno, di modulo uguale a:

(25)Fsisma = Ago x Pc

FORMULA GEO VER.2.0

90

con Ago = accelerazione sismica orizzontale max; Pc = peso del concio.

Se con Ssisma indichiamo la sollecitazione sismica applicata al concio i-esimo:

(26)Ssisma = Ago x Vc x y

con Vc = volume del concio; y = peso di volume medio del terreno costituente il concio;:

le componenti normali e tangenziali di questa forza saranno daterispettivamente da:

(27a)Sn = -Ssisma sen(alfa) (27b)St = Ssisma cos(alfa)

con alfa = inclinazione della base del concio rispetto all’orizzontale.

La sollecitazione sismica conduce quindi da una parte alla diminuzione delleforze normali applicate sulla base del concio, dall’altra porta ad un aumentodelle forze tangenziali sulla base stessa. L’effetto complessivo è quelloquindi di abbassare il valore del coefficiente di sicurezza. Questo criterionon è applicabile a pendii con superfici di scivolamento potenziali moltoprofonde, poiché in questo caso si avrebbe una sovrastima eccessiva delleforze agenti, con un conseguente abbassamento sproporzionato delcoefficiente di sicurezza.

Criterio di Binnie.

Secondo questo criterio l’azione delle forze sismiche può essere simulata,effettuando la verifica sul pendio ruotato di un angolo dato dalla relazione:

J = arctg[Ago/(1+Agv)]

In pratica viene aumentata l’inclinazione media del versante, conconseguente abbassamento del coefficiente di sicurezza.Nel metodo si propone inoltre di moltiplicare il peso dei singoli conci per unfattore correttivo dato da:

FORMULA GEO VER.2.0

91

fc = √[(1+Agv)2+Ago2].

Il criterio può essere applicato a pendii con superficie potenziale discivolamento qualsiasi, ma può condurre ad errori, soprattutto per valorielevati di Ago e Agv, nel caso sia presente la falda.

Criterio di Singh e Anbalagan.

Basandosi sull’analisi, effettuata con programmi di calcolo, di centinaia dipendii in condizioni differenti, gli Autori hanno ricavato una semplicecorrelazione fra il coefficiente di sicurezza in condizioni dinamiche e quelloin condizioni statiche:

Fsdin=Fsstat/(1+3.3 Ago)

La relazione, pur essendo di tipo empirico, ha dimostrato di fornire risultati ragionevolinelle varie condizioni. Va comunque confrontato con quello ricavabile da metodi analitici,come quello di Binnie.

Tiranti.

La tirantatura di un versante potenzialmente instabile cerca di conseguire ilduplice obiettivo di introdurre forze tangenziali (St) che si oppongano aquelli instabilizzanti dovuti alla forza di gravità (diminuzione di T nell'eq.4)e di aumentare lei forze normali (Sn) agenti sulla base del concio(incremento di N nell'eq.4).



conalfa=inclinazione della base del concio i-esimo;b=180°-i, con i=inclinazione del tirante rispetto all'orizzontale contato insenso orario;Si=carico d'esercizio del tirante.

Nel posizionare e dimensionare i tiranti va tenuto presente che:

FORMULA GEO VER.2.0

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• il bulbo d'ancoraggio deve trovarsi ad una profondità superiore a quelladella superficie potenziale di scivolamento, per poter esercitare la suaazione stabilizzante;

• l'inclinazione ottimale del tirante può essere valuta con la relazione :

(30) iottimale = tan phi/Fs

conphi=angolo di resistenza al taglio del terreno;Fs=coefficiente di sicurezza da raggiungere con l'intervento.

Reticolo di micropali.

La stabilizzazione di un versante può essere ottenuta anche attraverso lamessa in opera di un reticolo di pali di piccolo diametro (micropali).L'effetto che si cerca di ottenere in questo caso è di incrementare laresistenza al taglio mobilitabile lungo la superficie di scivolamento,creando un complesso pali-terreno che si comporti come un insiemeomogeno, rispetto ale sollecitazioni a cui è sottoposto il pendio. Questaazione di armatura del pendio può essere introdotta nel calcolo, supponendoun incremento virtuale della resistenza meccanica del terreno costituente ilversante.Supponendo, a favore della sicurezza, che l'angolo di resistenza al taglio delterreno rimanga invariato, si può esprimere il miglioramento dellecaratteristiche meccaniche del pendio incrementando il parametro coesione.La procedura è descritta di seguito.

• Si calcola l'area resistente equivalente del micropalo singolo attraversola relazione:

(31) Ae = Acls + Co x Aacciaio;

conAcls=area trasversale del micropalo;Aacciaio=area dell'armatura d'acciaio.Co=coef. di omogeneizzazione.

• Si valuta l'incremento della superficie potenziale di scivolamento con laformula:

(32) DS=Co x Nm x Ae;

FORMULA GEO VER.2.0

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in cuiCo=Coefficiente di omogenizzazione palo-terreno dato da:

(33) Co=Ep/Et;

dove:Ep=modulo di elasticità del calcestruzzo;Et=modulo di deformazione media del terreno;

Nm=numero di file di micropali per metro verticale.

• Si determina l'incremento della coesione lungo la superficie potenzialedi scivolamento con la relazione:

(34) Dc = (ci + Smi x tan phii) x DS / ∑ li

dove:ci=coesione media del concio i-esimo;phii=angolo di resistenza al taglio media nel concio i-esimo;Smi=pressione efficace media agente sulla base del concio i-esimo∑li=sommatoria delle lunghezze delle basi dei singoli conci.

• Si stima infine coesione virtuale per ogni concio, da usare nella verificadi stabilità, con la relazione:

(35) Cv = Ci + DC.

Come nel caso dei tiranti è evidente che il reticolo di micropali per svolgereun'azione stabilizzante deve andare ad appoggiarsi ad una profonditàsuperiore a quella della superficie potenziale di scivolamento.

Muri e gabbionate.

Opere di stabilizzazione superficiali, come muri e gabbionate, vannoconsiderati , nella verifica di stabilità del pendio, sia per il loro effetto comesovraccarichi verticali sia per l'azione di contenimento che esercitano sulterreno a monte . I due effetti vanno calcolati come segue:

FORMULA GEO VER.2.0

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• il sovraccarico verticale è dato dalla somma del peso dell'opera, muro ogabbionata, e della componente verticale della spinta delle terre a tergodell'opera stessa;

• l'azione di contenimento va posta uguale alla componente orizzontaledella spinta delle terre.

Va tenuto presente che quest'ultima spinta entra in azione solo per superficipotenziali di scivolamento che vadano ad intersecare la base dell'opera: persuperfici più profonde il muro o la gabbionata agiscono solo comesovraccarichi, senza espletare funzione di contenimento.Nel calcolo della stabilità del pendio, l'effetto delle due spinte è quello dimodificare le forze tangenziali (St) e normali (Sn) agenti sulla base delconcio. Numericamente questo può essere espresso dalle relazioni (23) e(24), modificate come segue:

• nel caso l'opera agisca come sovraccarico verticale (b=90°):

(36) Sn = Sv x cos(alfa) ;

(37) St = Sv x sin(alfa);conSv=modulo del sovraccarico verticale;alfa=inclinazione della base del concio.

• nel caso invece l'opera svolga azione di contenimento (b=0°):

(38) Sn = So x sin(alfa);

(39) St = So x cos(alfa);

conSo=modulo della spinta orizzontale delle terre.

Palificate.

Palificate con pali di grosso diametro che resistano a forze orizzontalipossono essere impiegati nella stabilizzazione di pendii. L'azione dicontenimento della palificata può essere calcolata considerando primal'effetto del palo singolo e quindi del gruppo di pali.

FORMULA GEO VER.2.0

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Pali singoli.

Verrà presa in considerazione la teoria di Broms(1964) applicata a palirigidi a testa incastrata, distinguendo fra pali fondati in terreni coesivi e palifondati in terreni incoerenti.

Terreni coesivi.




La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, cioècostante con la profondità:

(41)Rz=9 Cu Dpalo.

FORMULA GEO VER.2.0

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Terreni incoerenti.


(42) Rlat=1.5 γ Lpalo2 Dpalo Kp;

conγ = peso di volume del terreno ;Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ).



Portanza della palificata.

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per gruppidi pali sottoposti a sollecitazioni orizzontali va definito il concetto diefficienza del gruppo.Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali ilrapporto fra la portanza laterale complessiva del gruppo e la somma delleportanze laterali dei singoli pali . In pali fondati in terreni incoerentil’efficienza spesso è prossima all’unità, in pali in terreni coesivigeneralmente è inferiore.Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del gruppo dipali il minore fra questi due valori:1. la somma delle portanze laterali dei singoli pali;2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale alla

larghezza della palificata (lato della palificata perpendicolare alladirezione di carico) e di spessore corrispondente alla lunghezza dei pali,cioé:

FORMULA GEO VER.2.0

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Terreni coesivi:



Terreni incoerenti:


Azione di stabilizzazione della palificata.

L'azione di contenimento della palificata interviene nel calcolo della stabiltàdel pendio, modificando le forze normali (Sn) e tangenziali (St) agenti sullabase del concio.Le relazioni utilizzate sono quelle già viste in precedenza:

(46) Sn = Rpalificata x sin a ;

(47) St = -Rpalificata x cos a;

conRpalificata = portanza laterale della palificata;a = inclinazione della base del concio.

Geotessili.

La resistenza meccanica del terreno può essere migliorata con l'introduzionedi rinforzi in geotessili. Il singolo rinforzo, intercettando la superficiepotenziale di scivolamento, isola un cuneo di terreno a monte che, in casod'instabilità, tende a muoversi verso l'esterno. Il geotessile si oppone aquesto movimento, sviluppando lungo la superficie di contatto terra-rinforzo

FORMULA GEO VER.2.0

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una forza d'attrito diretta verso l'interno del pendio. Numericamente questaforza può essere espressa nel seguente modo:

(48) Fr = Cf x tg phi x Lg x sv x Lf / Fsg

conCf = coefficiente d'attrito terra-rinforzo (normalmente varibile da 0.5 a 1);phi = angolo di resistenza al taglio del terreno;Lg = larghezza del rinforzo (posto in questo caso uguale a 1 metro);sv = pressione efficace agente sul rinforzo;Lf = tratto di rinforzo compreso fra la superficie di scivolamento ed il pianocampagna (tratto in cui si sviluppa la forza d'attrito);Fsg = coefficiente di sicurezza (di solito posto uguale a 1.5).

Anche in questo caso l'azione di contenimento della Fr, calcolata con la(48), interviene nel calcolo della stabiltà del pendio, modificando le forzenormali (Sn) e tangenziali (St) agenti sulla base del concio.Le relazioni utilizzate sono quelle già viste in precedenza:

(49) Sn = Fr x sin a ;

(50) St = -Fr x cos a;

cona = inclinazione della base del concio.

Tension crack.

In presenza di movimenti franosi incipienti o in evoluzione, è frequente laformazione in superficie di fratture di trazione (tension crack). Queste oltrea rappresentare vie preferenziali per l'infiltrazione delle acque superficialinel corpo di frana, possono portare alla formazione di ristagni superficiali,agenti come sovraccarichi sul pendio.La variazione delle forze normali e tangenziali agenti sulla superficie delconcio è data da:

(51) Sn = yw x hw x sin a ;

(52) St = yw x hw x cos a;

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conyw = peso di volume dell'acqua;hw = altezza dell'acqua nella tension crack;a = inclinazione della base del concio.

Va ricordato anche che fratture di trazione superficiali possono formarsi interreni coesivi per essiccazione.

Effetto dell'acqua sulla stabiltà dei versanti.

Come è possibile constatare dall'osservazione delle formule utilizzate neimetodi dell'equilibrio limite (vedi eq. 8, 9, 12, 17), la falda viene fattaintervenire nel calcolo in due modi:

• attraverso l'introduzione del carico idrostatico in diminuzione delle forzenormali agenti sulla base del concio;

• attraverso l'utilizzo nelle verifiche del peso di volume immerso delterreno.

Attenzione.Occorre non confondere il peso di volume immerso del terreno con il pesodi volume saturo.Il peso di volume saturo è dato dalla somma del peso per unità di volumedello scheletro solido del terreno e del peso dell'acqua gravitativa infiltratanei pori beanti dello stesso.Il peso di volume immerso è uguale invece al peso di volume saturodiminuito dalla spinta di galleggiamento.Per esempio, se il peso di volume saturo del terreno è uguale a 2 t/mc ed ilpeso di volume dell'acqua è 1 t/mc, il peso di volume immerso del terrenosarà dato da:

peso di volume saturo - peso di volume dell'acqua = 2 -1 = 1

Nel caso in cui siano presenti carichi idraulici superficiali (corsi d'acqua,laghi, ristagni ecc...) la superficie del pendio, a favore della sicurezza, puòessere considerata permeabile. Questo comporta che il terreno costituente ilpendio venga considerato saturo e trattato come se si fosse in presenza difalda. Ciò, da un punto di vista del calcolo porta ad una parziale

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compensazione dell'effetto, generalmente stabilizzante (perchè di solitoapplicati al piede del versante) dei carichi idraulici superficiali.Un caso particolare è quello costituito da pendii dove la circolazione idricasia limitata a livelletti di terreno più permeabili di spessore limitato e dovequindi non sia possibile individuare una vera e propria falda. In questi casitrattare le venute d'acqua come falda, disegnando una superficie difiltrazione continua, può condurre ad errori grossolani. Questi errori nel casodi terreno con phi>0 (condizioni drenate) sono a favore della sicurezza, main terreni con phi=0 (condizioni non drenate) risultano al contrario a sfavoredella sicurezza. Si consideri, per esempio, un pendio costituitoprevalentemente da terreni argillosi: nel caso phi=0, utilizzando persemplicità la relazione di Fellenius, l'eq. (8) diventerà:

(53) Fsic = ΣCi Lconcio(i) / Σ Wconcio(i) sen αi .

Effettuando la verifica in assenza di falda e poi ripetendola con la falda sinoterà che il coefficiente di sicurezza tenderà ad aumentare , in contrastocon quello che indica l'esperienza. Da una punto numerico il risultato sispiega con il fatto che in presenza di falda, mentre il numeratore della (53)non viene modificato, il denominatore risulterà diminuito, e quindi ilcoefficiente di sicurezza aumentato, per l'utilizzo nel calcolo del peso divolume immerso del terreno.In questa situazione si consiglia di effettuare la verifica in assenza di falda edi introdurre l'effetto della circolazione idrica limitata, diminuendo il valoredella coesione, per effetto del rammollimento del terreno, ed aumentando ilpeso di volume del terreno, per tener conto della sua parziale saturazione.

Metodi di analisi probabilistica.

Introduzione.

In una verifica di stabilità di pendii in terra la maggior fonted'indeterminazione è costituita dalla caratterizzazione meccanica delterreno, in partcolare dalla stima dei parametri coesione e angolo diresistenza al taglio ( o angolo d'attrito).Nei metodi dell'equilibrio limite spesso i parametri geotecnici utilizzati nelcalcolo sono ricavati facendo una media ponderata fra i dati ottenuti dallemisure eseguite in situ o in laboratorio. La dispersione dei valori che siosserva in molti casi non è trascurabile, per cui la scelta delle grandezze da

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inserire nel calcolo può diventare problematica. In queste situazioni èpreferibile far seguire la verifica condotta con un metodo deterministico,cioè con uno dei metodi dell'equilibrio limite, da un'analisi di tipoprobabilistico, che fornisca un'idea dell'influenza della dispersione dei datigeotecnici sul valore del coefficiente di sicurezza.

Metodi di Montecarlo applicati alla verifica di stabilita'.

I metodi di Montecarlo si basano sulla generazione di numeri casuali, sceltiin determinati intervalli, che godano nel complesso di proprieta' statistiche.Fra le varie applicazioni possibili di tali metodi, vi e' quella detta 'delcampionamento' che consiste nel dedurre proprieta' generali di un insiemegrande, studiandone solo un sottoinsieme casuale, giudicato rappresentativodell' insieme stesso. E' evidente che maggiori saranno le dimensioni delcampione random, piu' rappresentative saranno le proprieta' dedotte.Nel caso di applicazione del metodo alla verifica di stabilità di pendii interra, la procedura da seguire potrebbe essere la seguente:

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie coesione e angolod'attrito misurate in situ o in laboratorio, supponendo che sia di tipogaussiano ( cioè rappresentate da una curva a campana, con il valorecentrale corrispondente al valore medio);


• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore dellacoesione e dell'angolo d'attrito, rispettando la curva di distribuzionedelle probabilità di queste due grandezze (facendo cioè in modo che lafrequenza con cui un certo parametro viene chiamato nel calcolo siauguale alla sua probabilità ricavata dalla curva gaussiana di probabilitàdel parametro stesso); in questo modo si trasforma la serie di numericasuali generati nel punto precedente in una serie di coppie di valori di ce ϕ;

• scelto un metodo deterministico di calcolo, si esegue la verifica distabilità con tale metodo per ogni coppia di valori di c e ϕ , ricavando ilrispettivo coefficiente di sicurezza Fs;

• si crea la curva di distribuzione della frequenza dei valori di Fs ottenuti,per esempio sottoforma di istogramma, visualizzando l'andamento di talicoefficienti rispetto ad un valore di riferimento (per es. rispetto al valoredi Legge 1,3).

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L'aspetto del grafico della distribuzione di Fs consente di valutare se ladispersione dei valori di c e ϕ misurata influisce in maniera significativa sulcalcolo della stabilità del versante. Nel caso, per esempio, in cui il valoremedio di Fs sia maggiore di 1.3, ma una percentuale significativa delleverifiche effettuate con il metodo di Montecarlo ricada sotto tale limite, sipuò trarre la conclusione che la dispersione dei parametri geotecnici siaeccessiva e non permetta di fornire una risposta precisa al problema dellastabilità del versante: in questo caso si rende necessaria una migliorecaratterizzazione geotecnica del terreno.Il metodo di Montecarlo può essere impiegato anche per retro-analisi distabilità. Costruendo infatti a tentativi delle curve di distribuzione ipotetichedi c e ϕ, si può stimare per quale intervallo di questi valori il pendio risultastabile. Il confronto fra la distribuzione dei parametri geotecnici ipotizzata equella misurata permette di trarre delle conclusioni sulla stabilità globale delpendio.Il metodo di Montecarlo richiede, per consentire di ottenere delledistribuzioni di Fs valide, che venga generato un numero sufficientementeelevato di coppie di parametri c e ϕ, dalle quali ricavare il corrispondentevalore di Fs . Normalmente per ottenere distribuzioni stabili del coefficientedi sicurezza sono necessarie alcune centinaia di verifiche. Il raggiungimentodella stabilità delle curve di distribuzione può essere valutato, applicando ilmetodo di Montecarlo su due insiemi di verifiche e confrontando quindi lerelative distribuzioni con il test del χ2.

Metodo di Rosemblueth applicato alla verifica di stabilità.

Il metodo di Rosemblueth, applicato allla verifica di stabilità di un pendio interra, consente di ricavare il valore più probabile del coefficiente disicurezza ( valore medio) ed un'indicazione della sua dispersione (scartoquadratico medio).Si possono utilizzare anche in questo caso come variabili casuali i parametric e ϕ, supponendo una loro distribuzione gaussiana simmetrica (cioè a curvaa campana con i tratti di sinistra e di destra simmetrici rispetto al valorecentrale).Il procedimento da seguire è il seguente:• dai dati misurati in situ o in laboratorio, si calcoli il valore medio di c e

ϕ (cm e ϕm) e i rispettivi scarti quadratici medii (sc e sϕ);

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• utilizzando uno dei metodi dell'equilibrio limite, si calcoli il coefficientedi sicurezza relativo alle seguenti combinazioni di parametri:1. ( c = cm + sc ϕ = ϕm + sϕ )⇒ Fs12. ( c = cm + sc ϕ = ϕm - sϕ )⇒ Fs23. ( c = cm - sc ϕ = ϕm + sϕ )⇒ Fs34. ( c = cm - sc ϕ = ϕm - sϕ )⇒ Fs4

• si calcoli quindi il valore medio di Fs attraverso la relazione:

(54) Fm = ( Fs1 +Fs2 + Fs3 + Fs4) / 4;


(55) SF =0.5 x √ ( Fs12 +Fs22 + Fs32 + Fs42 ).

Anche in questo caso il risultato può essere visto come un'indicazionedell'influenza della dispersione dei parametri geotecnici sulla stabilità delversante: un elevato valore di SF può indicare una non sufficientecaratterizzazione geotecnica del terreno, fatto di cui tener conto in particolarmodo quando il valore di Fm sia prossimo al valore di 1.3. Il coefficiente disicurezza potrà quindi essere espresso come segue:

(56) Fs = Fm ± SF;

indicando che il coefficiente di sicurezza può variare nell'intervallocompreso fra Fs = Fm - SF e Fs = Fm + SF.

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Casi particolari

Pendio illimitatoNel caso di con una frana di scorrimento allungata dove l’influenza delle porzioni del piedee della testa sono trascurabili possono essere utili per il calcolo del coefficiente di sicurezzale equazioni del pendio illimitato.Il fattore di sicurezza ha la seguente espressione :

Fstgtg

=ϕβ

dove:ϕ = angolo d’attrito interno;β = inclinazione del pendio.

Tale espressione è valida per terreno incoerente asciutto e per terreno immerso in acqua inquiete.

In uno scorrimento esteso, caratteristico di tipi di movimenti che avvengono dove unmantello di materiale viene eroso dagli agenti atmosferici o una lamina di materiale sisposta sopra un materiale molto più coerente ad una certa profondità, è probabile che ilflusso sia parallelo alla superficie del pendio. In questo caso l’espressione del coefficientedi sicurezza diventa la seguente :

( )Fstg

w

=+

γ β ϕβ γ γ

' cos

sen '

dove:ϕ = angolo d’attrito interno;β = inclinazione del pendio;γ’ = peso di volume immerso del terreno;γw = peso di volume dell’acqua.

Nel caso di terreno coerente l’espressione del coefficiente di sicurezza diventa :

Fsctg tg

=−

cos( )

βγ β ϕ

dove:ϕ = angolo d’attrito interno;β = inclinazione del pendio;γ = peso di volume del terreno;c = coesione.

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3.5.2 Metodo di TaylorIl metodo di Taylor permette di ricavare per un determinato valore di ϕ (angolo di attritointerno) e di β (inclinazione del pendio) l’altezza critica, Hc, del pendio che si rompe conun cerchio passante per il piede del pendio.La formula di Taylor è la seguente :

Hc Nsc

= ⋅γ

dove:Ns = fattore di stabilità in funzione di ϕ e di β;

c = coesione;γ = peso di volume del terreno.

Ns è un numero puro e può essere ricavato dal grafico di Fig. 3.4.

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Nel caso ϕ sia uguale a zero (argilla molle normalmente consolidata o sottoconsolidatapoggiante su uno strato di terreno molto compatto), per ricavare Hc si può utilizzare ancorala (3.50), nella quale però Ns dipende da β e dal fattore di profondità nd, che ha la seguenteespressione:

ndH H

H=

+1

dove H è l’altezza del pendio dal p.c. e H1 la profondità del piede del versante dallo startocompatto. In questo caso Ns viene ricavato dal grafico di Fig. 3.5.

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Se β>53° il franamento avviene con un cerchio al piede. Se β<53° il tipo di rottura dipendedai valori di nd : il franamento avviene secondo un cerchio di pendio al di sopra dell’areatratteggiata, avviene lungo un cerchio al piede all’interno dell’area trateggiata, avvienesecondo un cerchio medio tangente allo strato resistente, al di sotto dell’area trateggiata.

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Classificazione dei fenomeni franosi

La classificazione dei fenomeni franosipiù usata e utile per i suoi criteri discientificità e praticità, è laclassificazione di Varnes(1978).Taleclassificazione è basata sul tipo dimovimento tra corpo di frana e terrenoin posto al quale sono legate sia la formadella superficie di scorrimento, siaquella del corpo di frana. Il tipo dimovimento può essere determinato conrelativa facilità e senza grandi incertezzeattraverso osservazioni di superficie ocon indagini speditive nel sottosuolo.Un’importante ragione della popolaritàdella classificazione di Varnes sono idiagrammi dei movimenti franosi che laaccompagnano.Varnes fa riferimento agli “slopemovements” (movimenti di versante), einclude inoltre alcuni fenomeni che nonpossono considerarsi frane in sensostretto, quali le deformazioni lentesuperficiali o profonde dei pendii.Queste si differenziano per la velocitàdel movimento ma assumono unanotevole importanza in quanto possonoprecedere movimenti franosi veri epropri. La classificazione di Varnes comprendesei classi :1. Crolli. Il movimento avviene

prevalentemente nell’aria, ilfenomeno comprende la cadutalibera, salti, rimbalzi, rotolamento diframmenti di roccia o di terrenosciolto.

2. Ribaltamenti. In questo caso sisviluppano forze che causano unmovimento ribaltante attorno ad unpunto di rotazione situato al di sotto

del baricentro della massainteressata.

3. Scorrimenti. Si tratta di spostamentiper taglio lungo una o più superfici ;tali superfici sono visibili e possonoessere ricostruite. Gli scorrimenti sidistinguono in rotazionali etraslativi: i primi sono dovuti a forzeche producono un momento dirotazione attorno ad un punto postosopra del centro di gravità dellamassa. Gli scorrimenti traslativi siverificano in prevalenza lungo unasuperficie piana o debolmenteondulata la quale corrisponde spessoa discontinuità strutturali (faglie,giunti di fessurazione ostratificazione, passaggi tra strati dilitologia diversa, contatto fra roccian posto e detrito sovrastante).

4. Espansioni laterali. Sono movimentidiffusi in masse fratturate. Spessol’espansione laterale della roccia odel terreno sciolto è dovuta allaliquefazione o alle deformazioniplastiche del materiale sottostante.Alcune volte invece, prevalentementein roccia, non si riconosce né unasuperficie basale di scivolamento, néuna zona di deformazioni plastichedefinite.

5. Colamenti. In ammassi rocciosi siverificano deformazioni continue, siasuperficiali che profonde. Imovimenti differenziali che sisviluppano sono lenti e possonoavvenire lungo più superfici di taglio,provocare piegamenti origonfiamenti. Nei terreni sciolti imovimenti sono simili a quelli deifluidi viscosi. Le superfici di

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scorrimento nella massa che simuove non sono visibili o hannobreve durata. Il limite tra la massa inmovimento e il materiale in posto puòessere una superficie netta dimovimento differenziale oppure unazona di scorrimenti distribuiti. Ilmovimento varia da estremamentelento a estremamente rapido.

6. Fenomeni complessi. Il movimentorisulta dalla combinazione di due opiù dei cinque tipi principali sopradescritti. Molte sono le franecomplesse ma in genere un tipo dimovimento predomina sugli altri.

Ogni classe è ulteriormente suddivisa inbase al tipo di materiale interessato dalfenomeno franoso per un totale didiciotto tipi.

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STIMA DELL’INTENSITA’ CRITICA DI PRECIPITAZIONE METEORICA PERL’INNESCO DI FRANE IN COLTRI DETRITICHE

Stima della curva di possibilità climatica.

Partendo dai dati pluviometrici forniti da una stazione di misura, è possibile eseguire leelaborazioni necessarie per ottenere le curve che descrivono l’altezza delle precipitazioni(h) in funzione della loro durata (t). L’equazione che collega queste due variabili ha laseguente forma:

h (mm) = a tn;

dove a = variabile funzione del tempo di ritorno;n = costante per un dato valore di t;

e prende il nome di curva segnalatrice di possibilità climatica o pluviometrica.Tale equazione permette, per esempio, di calcolare l’altezza meteorica (h) relativa ad unaprecipitazione di 30 minuti (t), con un tempo di ritorno di 10 anni.I dati pluviometrici necessari al calcolo sono reperibili sugli Annali Idrologici delle stazionipluviografiche. Su tali documenti vengono generalmente fornite, in forma di tabella, lemassime precipitazioni registrate anno per anno, per determinate durate di riferimento.Normalmente si distinguono i dati relativi alle precipitazioni con durata inferiore ad 1 ora(piogge di notevole intensità e breve durata), da quelle di durata superiore. Le durate diriferimento sono generalmente standard, prendendo in considerazione durate di 10, 15,30, 45 minuti, nel caso di piogge brevi ed intense, e di 1, 3, 6, 12 e 24 ore nel caso diprecipitazioni orarie.

N.

t = 10 minuti t = 15minuti

t = 30minuti

t = 45 minuti anno

1 17.0 19.0 22.4 30.4 19852 10.6 14.2 21.0 29.6 19863 5.4 7.8 15.8 30.2 19874 9.2 10.4 23.0 35.8 1988

Tabella 1 - precipitazioni di durata inferiore a 1 h.

N.

t = 1 h t = 3 h t = 6 h t = 12 h t = 24 h anno

1 10.0 20.0 22.0 33.4 43.4 19852 37.0 38.0 39.8 39.8 41.0 19863 28.0 31.2 31.2 43.8 61.2 19874 54.0 68.6 71.2 71.2 71.2 1988

Tabella 2 - precipitazioni di durata superiore a 1 h.

Una stima sufficientemente attendibile della curva segnalatrice di possibilità climaticarichiede l’utilizzo di registrazioni che coprano almeno un intervallo di 30-35 anni. Minorel’intervallo di registrazione minore l’attendibilità dei risultati.Volendo ricavare le curve relative a precipitazioni di durata superiore ad un’ora (Tabella 2),bisogna procedere come segue:

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• per ogni durata di riferimento, si ordinano e si numerano i valori delle precipitazioniricavati dagli Annali Idrologici, regolarizzati con il metodo di Gumbel (vedi di seguito), insenso decrescente, ponendo quindi i valori massimi registrati per ogni intervallo ditempo sulla prima riga della tabella, quelli minini sull’ultima; di conseguenza, se peresempio l’intervallo di registrazione è di 30 anni, la prima riga sarà indicata con ilnumero 30, l’ultima con il numero 1.

• utilizzando i dati di ogni riga e impostando un calcolo di regressione, si ricavano i valoridei parametri a e n relativi ad ogni anno; il numero identificativo di ogni riga rappresentail tempo di ritorno dell’evento meteorico; nel caso, per esempio, di un’intervallo diregistrazione di 30 anni, si ricavano 30 curve segnalatrici di possibilità climatica ( quindi30 valori di a e di n); i parametri a e n relativi alla prima riga sono quelli riferiti ad eventimeteorici di durata inferiore ad 1 h con tempo di ritorno di 30 anni, quelli dell’ultima rigaad eventi meteorici con tempo di ritorno di 1 anno.

Lo stesso va adottato per durate pluviometriche inferiori ad 1 h (Tabella 1), quando questaè disponibile.Ricavate le curve, si potrà notare che, mentre n rimane più o meno costante, il parametroa tende ad assumere valori differenti in funzione del tempo di ritorno, tendendo a crescerecon esso.Attraverso procedure statistiche è possibile ricavare stime del parametro a anche pertempi di ritorno superiori al numero massimo di registrazioni annuali disponibili.Il metodo statistico utilizzato generalmente è quello di Gumbel. Di seguito viene esposta laprocedura da seguire.

• Eseguito il calcolo delle curve segnalatrici di possibilità climatica per gli N anni di cui sidispongono le registrazioni pluviometriche, si ordinano i valori di a ricavati in ordinecrescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo, il valore N a quello minimo.

• Si calcolano gli N rapporti: Pi = i / (N + 1);

con i compreso fra 1 e N. Questi rapporti indicano la probabilità che il corrispondentevalore di a non venga raggiunto o superato. I valori di Pi ricavati permettono di definire lascala dei tempi di ritorno:

Ti = 1 / (1 - P i).• Si riportano le N coppie di valori (Ti, ai) in un diagramma semilogaritmico (l’ asse X -

l’asse dei tempi di ritorno - va costruito in scala logaritmica), interpolando fra i punti unaretta: il diagramma consente di ricavare il valore di a per qualsiasi tempo di ritorno.

Per ottenere, per esempio, l’altezza di precipitazione per un evento meteorico di duratacorrispondente a 1,3 ore, con tempo di ritorno di 50 anni, si procede come segue:

dal diagramma Tempo di ritorno - Parametro a si ricava il valore di a corrispondente ad untempo di ritorno di 50 anni;1. si calcola il parametro n facendo la media dei valori di n ottenuti dalle curve segnalatrici

di possibilità pluviometrica;2. si introducono infine i valori di a e n nella relazione h = a x tn; ponendo t = 1.3 ore.

FORMULA GEO VER.2.0

93

E’ evidente che l’estrapolazione del parametro a non deve andare troppo oltre il periodo diregistrazione.

FORMULA GEO VER.2.0

94

Prove di permeabilità.

Introduzione

Nei materiali sciolti, permeabili per porosità, nei quali è verificata la legge di Darcy, lapermeabilità si esprime attraverso il coefficiente di permeabilità k che ha le dimensioni dicm/s o m/s. Nelle rocce, permeabili per fessurazione, nelle quali non è valida la legge diDarcy, la permeabilità si indica attraverso il valore degli assorbimenti d’acqua misurati infori di sonda, espressi in litri assorbiti per ogni metro di lunghezza di foro, e dellapressione usata nella prova. Talvolta il coefficiente k è usato per definire la permeabilitàdegli ammassi rocciosi, ma assume in questo caso un significato orientativo.Il coefficiente di permeabilità di un terreno viene sempre determinato con difficoltà epresenta spesso un notevole grado di incertezza; i valori sperimentali , salvo nei casi in cuiil terreno è omogeneo ed isotropo, sono infatti affetti da errori che possono anche esseredi un intero di grandezza.La scelta del metodo di prova va effettuata in funzione del tipo di terreno e della precisionedesiderata.L’attendibilità delle prove, come suggerito dall’AGI nelle “Raccomandazioni sullaprogrammazione ed esecuzione delle indagini geotecniche” (giugno 1977), può esseremigliorata adottando i seguenti accorgimenti:

• conoscenza della distribuzione delle pressioni neutre nel terreno prima della prova;• conoscenza esatta , per quanto possibile, del profilo stratigrafico;• realizzazione con la prova di condizioni di moto laminare in regime permanente;• adozione in tutte le prove che comportano immissione d’acqua nel terreno, di acqua

limpida.

Prove in pozzetto.

Le prove in pozzetto sono adatte soprattutto per terreni granulari e forniscono unavalutazione della permeabilità dei terreni superficiali al di sopra del livello di falda.Vengono eseguite in pozzetti cilindrici o a base quadrata con pareti verticali o inclinate.Si dividono in:

• prove a carico costante, effettuate cioè riempiendo d’acqua il pozzetto e misurando laportata necessaria per mantenere costante il livello;

• prove a carico variabile, effettuate misurando la velocità di abbassamento in funzionedel tempo.

Le condizioni necessarie perchè le prove siano significative sono le seguenti:

• il terreno deve essere saturato preventivamente in modo da stabilire un regime di flussopermanente;

• la profondità del pozzetto deve essere pari a circa 1/7 dell’altezza del fondo dal livello difalda;

• il diametro (o il lato di base) del pozzetto deve essere almeno 10 - 15 volte il diametromassimo dei granuli del terreno;

• il terreno sia omogeneo, isotropo e con coefficiente di permeabilità k >10-6m/s

FORMULA GEO VER.2.0

95

A) Pozzetto circolare.

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguenti relazioni:

a) Prove a carico costante:

mdhq

kπ

=

conq = portata assorbita a livello costante;hm = altezza dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);d = diametro del pozzetto.

b) Prove a carico variabile:

( )( ) mhtt

hhdk

12

12

32 −−

=

conhm = altezza media dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);d = diametro del pozzetto;t2-t1 = intervallo di tempo;h2-h1 = variazione di livello dell’acqua nell’intervallo t2-t1 .

B) Pozzetto quadrato.

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguenti relazioni:


+

=3272

bh

b

qk

conq = portata assorbita a livello costante;h = altezza dell’acqua nel pozzetto (h > d/4);b = lato della base del pozzetto.


+

+

−−

=327

21

12

12

bh

bh

tthh

km

m

FORMULA GEO VER.2.0

96

conhm = altezza media dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);b = lato della base del pozzetto.t2-t1 = intervallo di tempo;h2-h1 = variazione di livello dell’acqua nell’intervallo t2-t1 .

FORMULA GEO VER.2.0

97

Prove in foro di sondaggio

Le prove in foro di sondaggio permettono di determinare la permeabilità di terreni al disopra o al di sotto del livello di falda. Possono essere eseguite durante la trivellazione delforo a diverse profondità oppure alla fine della trivellazione sul solo tratto terminale.

Per l’esecuzione delle prove è necessario che:

• le pareti della perforazione siano rivestite con una tubazione per tutto il tratto delsondaggio non interessato dalla prova;

• nel caso di terreni che tendono a franare o a rifluire, il tratto di prova deve essereriempito con materiale filtrante di granulometria adatta ed isolato mediante un tamponeimpermeabile.

Le prove si dividono in prove a carico costante o a carico variabile.

A) Prove a carico costante.

Le prove a carico costante si eseguono misurando la portata necessaria per mantenerecostante il livello dell’acqua nel foro, in condizioni di regime costante. Si possono eseguireanche nel terreno al di sopra del livello di falda; in questo caso è necessario saturarepreventivamente il terreno in modo da stabilire un regime di flusso permanente.

1)Raccomandazioni A.G.I. (1977)

Il coefficiente di permeabilità è dato dalla:

mhq

k =

con

q = portata immessa;h = livello dell’acqua in foro;m = coefficiente di forma = 2,85Dcon D= diametro del foro(N.B.: per prove sopra il livello di falda, h è misurato rispetto alla base del foro).

2) Hvorslev (1951) Wilkinson (1968)

Il coefficiente di permeabilità è sempre dato dalla:

mhq

k =

in questo caso però il coefficiente m assume valori differenti, in funzione delle condizioni difiltrazione, secondo la tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

98

Condizioni CoefficienteFiltro sferico in terreno uniforme Dπ2Filtro emisferico al confine con uno stratoconfinato

Dπ

Fondo filtrante piano al confine con uno stratoconfinato

D2

Fondo filtrante piano in terreno uniforme D75,2Tubo parzialmente riempito al confine con unostrato confinato

v

h

DKLKD

π8

1

2

+

Tubo parzialmente riempito in terreno uniforme

v

h

DKLKD

π11

1

75,2

+

Filtro cilindrico al confine con uno stratoconfinato

++

231

3ln

3

DL

DL

Lπ

Filtro cilindrico in terreno uniforme

++

231

3ln

3

DL

DL

Lπ

Dove:L= Lunghezza del tratto filtrante;Kh= Permeabilità orizzontale del terreno;Kv= Permeabilità verticale del terreno.

Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in prima approssimazioneuguale a 10.

3) Zagar (1953)

3a) Terreno saturo

Si applica sempre la relazione:

mhq

k =

in questo caso però il coefficiente m assume i seguenti valori:rm 7,5= se il foro è aperto solo sul fondo;

−

+

−

=

122

ln

12

4

2

2

rL

rL

rL

rm

πSe il foro è aperto anche lateralmente

con r=raggio del foro e L=lunghezza del tratto filtrante.

3b) Terreno non saturo

FORMULA GEO VER.2.0

99

Nel caso in cui il livello dell’acqua nel foro di prova sia ad una quota superiore rispetto allivello della falda, la relazione vista in precedenza non è più applicabile.Definiti Hu la differenza di quota fra il livello dell’acqua nel foro e il livello della falda e r’ ilrapporto fra il raggio del foro e l’area della superficie filtrante, si calcola il parametro Ysecondo la relazione:

uHh

Y100

035,00556,1 +−=

dove h è l’altezza media dell’acqua nel foro rispetto al fondo del foro stesso. Nel casorisulti Log10(Hu/L)>Y, dove L è la lunghezza del tratto filtrante, per il calcolo di K si applicala relazione:

hCrq

k'

=

dove C è fattore ricavabile dalla formula:

( )h

LLogCCCC

100121 10−+=

rh

C 152,096,601 +=

rh

C 822,058,1042 +=

Nel caso invece in cui sia Log10(Hu/L)≤Y si applica la relazione:

( )LhHrrr

C

qk

u −+

+

='

'4

dove rL

C 797,0247,6 +=

Si tenga presente che la procedura è in questo caso applicabile solo se sono verificate lecondizioni h>5L e L>10r’.

B) Prove a carico variabile.

Le prove a carico variabile al di sotto del livello di falda si dividono in Prove di risalita eProve di abbassamento. Le prove di risalita si eseguono abbassando il livello dell’acquanel foro di un’altezza nota e misurando la velocità di risalita del livello. Le prove diabbassamento si eseguono riempiendo il foro d’acqua per un’altezza nota e misurando lavelocità di abbassamento del livello. Le prove di abbassamento possono essere eseguiteanche nel terreno al di sopra del livello di falda; in questo caso il terreno deve esserepreventivamente saturato.


FORMULA GEO VER.2.0

100

Per le prove a carico variabile il coefficiente di permeabilità è dato dalla:

( ) 2

1

12

lnhh

ttCA

kL −

=

con

A = area di base del foro di sondaggio;h1 e h2 = altezza dei livelli d’acqua nel foro rispetto al livello della falda indisturbata o alfondo del foro stesso agli istanti t1 e t2;t1 e t2 = tempi ai quali si misurano h1 e h2;CL = coefficiente di forma dipendente dell’area del foro di sondaggio e dalla lunghezza deltratto di foro scoperto.

Per il coefficiente CL sono suggeriti i seguenti valori:

L >> d CL = LL≤ d CL = 2πd+L

dove L è la lunghezza del tratto di foro scoperto e d il diametro del foro.



( ) 2

1

12

lnhh

ttCA

kL −

=

in questo caso però il coefficiente CL assume valori differenti, in funzione delle condizionidi filtrazione, secondo la tabella:

Condizioni Coefficiente

Filtro sferico in terreno uniformeDπ2

Filtro emisferico al confine con uno stratoconfinato

Dπ


D2


v

h

DKLKD

π8

1

2

+


v

h

DKLKD

π11

1

75,2

+


++

231

3ln

3

DL

DL

Lπ

FORMULA GEO VER.2.0

101


++

231

3ln

3

DL

DL

Lπ

Dove:

L=Lunghezza del tratto filtrante;

Kh= Permeabilità orizzontale del terreno;Kv= Permeabilità verticale del terreno.

Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in prima approssimazioneuguale a 10.

5) Zagar (1953)

Si applica la relazione:

mh

tthh

mr

k

−−

= 12

122π

dove r è il raggio del foro e hm la profondità media dell’acqua nel foro.Il coefficiente m assume i seguenti valori:

rm 7,5= se il foro è aperto solo sul fondo;

−

+

−

=

122

ln

12

4

2

2

rL

rL

rL

rm



3.2.4 Stima della permeabilità da analisi granulometriche.

Esistono in letteratura numerose correlazioni empiriche che permettono di stimare lapermeabilità di un mezzo poroso, passando attraverso l’analisi della curva granulometrica.Pur non potendo sostituire le determinazioni in sito, tali formule possono essere utili peruna prima determinazione di k in terreni sabbiosi. Di seguito vengono elencate e descrittele dieci relazioni più usate, indicando per ognuna di essa il campo di applicabilità. Tutte,per semplicità, vengono espresse nella forma:

( ) 2)/( ednCvg

smK φ=

dove:g =accelerazione di gravità=9,81 (m/s2);v =coefficiente di viscosità dell’acqua, variabile in funzione della

FORMULA GEO VER.2.0

102

temperatura, secondo la seguente tabella:

T (°C) 0 5 10 15 20 30 50V(mq/s)

1,7810-6

1,5210-6

1,3110-6

1,1410-6

1,0110-6

0,8110-6

0,5510-6

C = costante;φ(n) = funzione della porosità del terreno;de = diametro efficace dei granuli.

Le formule presentate differiscono fra loro per i diversi valori adottati delle grandezze C,φ(n) e de.Si ricorda infine che la porosità del terreno può essere stimata in prima approssimazioneattraverso la relazione empirica:

( )η83,01255,0 +=n

dove η= d60/d10 è il coefficiente di uniformità del terreno.

1. Formula di Hazen.

Nella formula di Hazen le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K assumonoi seguenti valori:

C =6 10-4

φ(n) = ( )[ ]26,0101 −+ nde =d10

La formula è applicabile nelle seguenti condizioni:0,1 mm < de < 3 mm e η<5.

2. Formula di Slichter.

Nella formula di Slichter le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =1 10-2

φ(n) =n3,287

de =d10

La formula è applicabile nel caso di sabbie grossolane.0,01 mm < de < 5 mm.

3. Formula di Terzaghi.

Nella formula di Terzaghi le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =10,7 10-3 per sabbia con granuli arrotondati e 6,1 10-3 persabbia con granuli a spigoli vivi

FORMULA GEO VER.2.0

103

φ(n) =2

3 1

13,0

−

−n

n

de =d10

La formula è applicabile nel caso di sabbie grossolane.

4. Formula di Beyer.

Nella formula di Beyer le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K assumonoi seguenti valori:

C =6 10-4 Log10 (500/η)φ(n) =1de =d10

La formula è applicabile nelle seguenti condizioni:0,06 mm < de < 0,6 mm e 1<η<20.

5. Formula di Sauerbrei.

Nella formula di Sauerbrei le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =3,75 10-3

φ(n) =( )2

3

1 nn−

de =d17

La formula è applicabile nel caso di sabbie e argille sabbiose con de < 0,5 mm.

6. Formula di Krueger.

Nella formula di Krueger le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =4,35 10-5

φ(n) =( )21 n

n−

1/de =∑+

∆ di

gi

i ddg

2 dove ∆gi è la frazione di peso del campione

compresa fra il diametro maggiore e minore (d ig e d i

d) deigranuli del passante i-esimo

La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η>5.

7. Formula di Kozeny.

FORMULA GEO VER.2.0

104

Nella formula di Kozeny le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =8,3 10-3

φ(n) =( )2

3

1 nn−

1/de = ∑ +∆+

∆d

ig

i

di

gi

ii

i

dd

ddg

dg

223

dove ∆gi è la frazione di peso del

campione compresa fra il diametro maggiore e minore (d ig e

did) dei granuli del passante i-esimo


8. Formula di Zunker.

Nella formula di Zunker le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =2,4 10-3 per sabbie uniformi con granuli arrotondati=1,4 10-3 per sabbie grossolane con granuli arrotondati=1,2 10-3 per sabbie eterogenee=0,7 10-3 per sabbie eterogenee, argillose con granuli a spigoli viviin alternativa si può inserire un valore medio di 1,55 10-3

φ(n) =2

1

− nn

1/de = ( )∑−

−∆+

∆d

ig

id

ig

i

di

gi

ii

i

dddd

ddg

dg

lnln23

dove ∆gi è la frazione di

peso del campione compresa fra il diametro maggiore e minore(di

g e d id) dei granuli del passante i-esimo

La formula è applicabile nel caso di sabbie da fini a grossolane.

9. Formula di Zamarin.

Nella formula di Zamarin le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di Kassumono i seguenti valori:

C =8,3 10-3

φ(n) =( )

( )22

3

5,1275,11

nn

n−

−

1/de = ∑−−

∆+∆

di

gi

di

gi

ii

i

dd

ddg

dg lnln

23





10. Formula USBR.

FORMULA GEO VER.2.0

105

Nella formula USBR le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K assumono iseguenti valori:

C =4,8 10-4 d200,3

φ(n) =1de =d20

La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η< 5.

FORMULA GEO VER.2.0

106

Stima dell’intensità e della durata critica di precipitazione per l’innesco di movimentifranosi in coltri detritiche.

Stima dello spessore critico di una copertura detritica.

I movimenti franosi che coinvolgono coperture detritiche in senso lato, cioè quei depositiderivanti dal disfacimento meteorico e dalla frammentazione meccanica del substratoroccioso, in genere sono caratterizzati da una notevole estensione in senso longitudinalerispetto allo spessore del materiale coinvolto. Tale tipo di frana può essere analizzato inmaniera efficace attraverso il metodo del pendio illimitato (Skempton, 1957), supponendocioè una superficie di scivolamento piana, parallela al profilo topografico e di lunghezzaindefinita. Un’altra osservazione è che spesso la mobilitazione del detrito avviene inseguito a saturazione del materiale in corrispondenza di eventi meteorici intensi. E’possibile, utilizzando la relazione di Skempton nel caso di terreni saturi, valutare lospessore della coltre detritica necessario per raggiungere la condizione di equilibrio limite(forze stablizzanti=forze instabilizzanti). In questa situazione il coefficiente di sicurezzacalcolato con la formula del pendio illimitato è uguale a 1 e lo spessore di materialecorrispondente viene definito critico.Lo spessore critico può essere quindi calcolato direttamente attraverso la relazione:

βϕ

γγ

βγ

2cos'

1

−

=tgtg

chcrit

dove:c (t/mq) = coesione drenata del terreno;ϕ (°) = angolo di resistenza al taglio del terreno;γ (t/mc) = peso di volume saturo del terreno;γ’(t/mc) = peso di volume immerso del terreno;β (°) = inclinazione del versante.E’ evidente che, nel caso di terreno con coesione nulla, lo spessore critico sarà sempreuguale a zero e quindi perde significato tutta la verifica seguente.

Stima dell’intensità e della durata critica di precipitazione.

Il modello, messo a punto da Wallace (1977) e Pradel e Raad (1993), prevede il verificarsidella seguente serie di eventi:

su un versante assimilabile ad un pendio illimitato, secondo la definizione di Skempton, siverifica una precipitazione meteorica di intensità superiore alla permeabilità del terreno; siconsiderano nulli gli apporti idrici provenienti da monte e l’effetto dell’evapotraspirazione,ipotizzando che i due fenomeni si compensino;lo strato superficiale inizia a saturarsi e il fronte di saturazione, al proseguire dellaprecipitazione, tende ad approfondirsi sempre più;quando lo spessore della coltre saturata dalla pioggia è uguale o leggermente superioreallo spessore critico, calcolato con la verifica di stabilità, si ha l’innesco del movimentofranoso.Nel caso la precipitazione duri meno del tempo necessario al fronte di saturazione perraggiungere lo spessore critico non si avrà alcun movimento franoso.

FORMULA GEO VER.2.0

107

Utilizzando il modello di infiltrazione di Green e Ampt (1911) è possibile stabilire il tempominimo necessario, perché si abbia la saturazione dello spessore critico:

+−

∆=

ris

risris P

DPPD

kt lnmin

θ

dove:∆θ = porosità efficace residua data da (1-s) θ, in cui s è il

grado di saturazione iniziale del terreno e θ è la porositàefficace;

k (mm/h) = permeabilità del terreno;D (mm) = spessore criticoPris (mm) = pressione di risaturazione, stimabile, nota la curva

granulometrica del terreno, con la relazione 12/d10, doved10 è il diametro del passante al 10%.

Di conseguenza una delle condizioni perché si abbia l’innesco del movimento franoso èche sia tprec≥tmin (durata della precipitazione).

Nel caso inoltre l’intensità della precipitazione sia inferiore alla permeabilità del terrenonon si potranno instaurare le condizioni di saturazione, in quanto l’acqua infiltrata vieneallontanata troppo rapidamente.Per un determinato valore di durata è possibile stimare l’intensità di precipitazione minima,perchè si possa creare un fronte di saturazione:

DPD

PDP

PDt

hmmI ris

ris

risris

+

+−

∆= ln)/(min

θ

Facendo variare t, partendo da un valore minimo uguale al tmin calcolato, si può ottenereuna curva, che, su un grafico in scala bilogaritmica, disponendo sulle ordinate le intensitàdi precipitazione e in ascissa le durate, fornisce l’indicazione dell’intensità minima diprecipitazione, associata ad una determinata durata, necessaria per l’innesco della frana.In pratica tutte le precipitazioni con una durata minima superiore a tmin e con un’intensitàche si colloca sopra la curva disegnata possono produrre il movimento franoso.Per poter fare delle previsioni sulla frequenza, in un determinato versante, di eventi dimovimentazione della coltre detritica, è necessario confrontare la curva Durata-Intensità,determinata con il modello, con le curve di possibilità climatica stimate partendo dai dati dipiovosità del bacino per diversi tempi di ritorno.Nella figura che segue in blu è indicata la curva del modello e in nero la curva di possibilitàclimatica per un determinato tempo di ritorno. La zona in rosso racchiude tutte le possibilicombinazioni di durata e intensità di precipitazione che possono innescare, nel versantepreso in esame, un movimento franoso con una frequenza uguale al tempo di ritorno dellacurva climatica.

FORMULA GEO VER.2.0

108

1

STABILITA’ DI VERSANTI IN ROCCIA

Stabilità globale dell'ammasso roccioso.


Le procedure di analisi di stabiltà globale di un pendio in roccia, attraversola valutazione dell'equilibrio limite, consistono nella stima di un coefficientedi sicurezza alla traslazione e/o alla rotazione del volume di rocciacompreso fra la superficie del versante ed una superficie di taglio potenzialeimposta.La procedura di calcolo prende in considerazione tutte le forze e/o imomenti agenti lungo il piano di taglio, fornendo una valutazione dellastabilità globale attraverso le equazioni d'equilibrio fornite dalla statica.Il coefficiente di sicurezza globale del pendio viene calcolato attraverso ilrapporto fra la resistenza di taglio massima disponibile lungo la superficiedi rottura e gli sforzi tangenziali mobilitati lungo tale piano:



All'equilibrio(Tmax=Tmob) Fsic deve essere ovviamente uguale a 1.Il pendio potrebbe essere considerato in teoria stabile, quando Fsic risultamaggiore di 1 (Tmax>Tmob), instabile in caso contrario (Tmax<Tmob). Inrealtà, per tener conto dell'incertezza introdotta dalle ipotesi semplificatricinella procedura di calcolo e soprattutto dell'approssimazione con cui sononoti i parametri geomeccanici della roccia, per Legge (D.M.21.1.81) e perconsuetudine pratica la stabilità può dirsi raggiunta solo nel caso in cui Fsicsia maggiore di 1.3.Vanno quindi distinti tre casi:

FORMULA GEO VER.2.0

2

a) Coefficiente di sicurezza inferiore a 1: il pendio si trova in condizioni diinstabilità globale.

b) Coefficiente di sicurezza compreso fra 1 e 1.3: il pendio si trova incondizioni prossime all'equilibrio limite; anche un piccolo incremento deglisforzi tangenziali sulla superficie potenziale di rottura può innescare ilfenomeno franoso.

c) Coefficiente di sicurezza superiore a 1.3: il pendio si trova in condizionidi stabilità globale.


Nell'applicare le equazioni della statica al problema dell'analisi di stabilitàdi un pendio in roccia occorre ipotizzare che siano verificate le seguenticondizioni:

a) la verifica va eseguita prendendo in esame una striscia di versante dilarghezza unitaria (solitamente di 1 metro), trascurando l’interazione lateralefra tale striscia e la roccia contigua;

b) la resistenza al taglio lungo la superficie potenziale di rottura deve essereesprimibile attraverso la legge di Coulomb:

(2) ϕγhtgcT +=max ;conTmax = resistenza di taglio massima del terreno;c= coesione del terreno;γ= peso di volume del terreno;h= profondita' della superficie di rottura;ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno.

c)la precisione con cui vengono stimati in sito o in laboratorio i parametrigeotecnici coesione e angolo di resistenza al taglio deve essere la stessa: incaso contrario la resistenza al taglio mobilitata dovrebbe essere espressanel seguente modo:

FORMULA GEO VER.2.0

3

ϕϕγ

Fischtg

Fc

Tiscc

mob +=

conFsiic =coefficiente di sicurezza legato a c;Fsicp =coefficiente di sicurezza legato a ϕ ;

introducendo nel calcolo due coefficienti di sicurezza invece di uno, conovvie complicazioni nella risoluzione analitica del problema;

d) deve aversi una distribuzione omogenea degli sforzi tangenzialimobilitati (Tmob) lungo la superficie potenziale di rottura. Questo significache in ogni punto del piano ipotetico di scivolamento i parametridell'equazione di Coulomb c, ϕ, γ ed h devono avere lo stesso valore.

Per limitare l'errore introdotto nel calcolo da quest’ultima ipotesi, lasuperficie di scivolamento viene, nella maggior parte delle procedure dicalcolo note in letteratura, suddivisa in più settori (conci), all'interno deiquali si considera realizzata la condizione di omogeneità di Tmob. Nellapratica i limiti dei conci vengono fatti cadere dove vi sia una variazionesignificativa di ϕ c e γ del terreno o in corrispondenza di variazionisignificative nel profilo topografico del versante.Questo modo d'impostare il problema conduce però all'introduzione nellarisoluzione analitica di nuove incognite che esprimono il modo in cuiinteragiscono fra loro, lungo le superfici divisorie, i vari conci.In definitiva nel calcolo del valore di Fsic intervengono le seguentiincognite(n=numero dei conci preso in considerazione):

a) le forze normali (N) agenti sulla base del concio ( n incognite);b) le forze tangenziali (T) agenti sulla base dei conci ( n incognite);c) i punti, sulla base del concio, di applicazione delle forze normali etangenziali (n incognite);d) le forze orizzontali agenti lungo le superfici di separazione dei conci ( n-1 incognite);

FORMULA GEO VER.2.0

4

e) le forze verticali agenti lungo le superfici di separazione dei conci (n-1incognite);f) i punti di applicazione, sulle superfici di separazione dei conci, delleforze d) ed e) (n-1 incognite);g) il coefficiente di sicurezza Fsic (1 incognita).



T = (c l + N tg ϕ)/Fsic;conl = lunghezza del concio;

che collegano fra loro, per ogni concio, le incognite N, T ed Fsic.c) n equazioni ottenute ponendo che il punto di applicazione di N e T cada ametà della base del concio.

In totale quindi sono disponibili 5n equazioni per la soluzione analiticadel problema.Perchè si possa arrivare alla determinazione di Fsic occorrerebberoovviamente tante equazioni quante sono le incognite.In realtà perchè il problema sia staticamente determinato, e quindirisolvibile, mancano ancora n-2 equazioni (la differenza fra il numero delleincognite,6n-2, ed il numero delle equazioni disponibili, 5n).Le equazioni mancanti possono essere ottenute introducendo nell'analisiulteriori ipotesi semplificatrici. Tali ipotesi riguardano generalmente ladistribuzione delle forze lungo le superfici di separazione dei conci. Levarie procedure di risoluzione del problema differiscono essenzialmenteper la schematizzazione che viene fatta di questa distribuzione.

FORMULA GEO VER.2.0

5

Differenza con il caso di un pendio in terra.

CRITERIO DI ROTTURA DI HOEK & BROWN.

A differenza di quanto avviene nei versanti in terra, in quelli in roccia per ladescrizione della resistenza al taglio del materiale costituente il pendio nonpuò generalmente essere utilizzato il criterio di rottura di Coulomb:

Tmax = c + γ h tg ϕ;

dove c = coesione del terreno; γ h = pressione di confinamento;ϕ = angolo d'attrito del terreno.

Questo infatti indica una correlazione fra resistenza al taglio del materiale epressione di confinamento di tipo lineare, mentre negli ammassi rocciositale correlazione è chiaramente di tipo non lineare.D'altra parte l'applicazione dei metodi classici per la verifica di stabilità diun versante (Fellenius, Bishop, ecc...) richiedono che il materiale, terra oroccia, sia descrivibile attraverso i parametri c e ϕ.E' necessaria quindi una correlazione che leghi queste due grandezze aquelle utilizzate normalmente per la descrizione del comportamentomeccanico dell'ammasso roccioso.Hoek e Brown descrivono una procedura che consente l'applicazione delleformule classiche dell'equilibrio limite di pendii in terra anche al caso diammassi rocciosi.La forma generale del criterio di rottura di Hoek & Brown è la seguente:

(3)σ σ σσσ1 3

3= + +

' c b

c

a

m s ;

dove:mb = valore della costante m per gli ammassi rocciosi;s, a = costanti dipendenti dalle caratteristiche dell’ammasso

FORMULA GEO VER.2.0

6

roccioso;σc = resistenza alla compressione monassiale della roccia intatta;σ1 σ3 = sforzi principali in tensioni efficaci.

La determinazione dei parametri a, s e mb viene fatta in funzione dellaqualità dell’ammasso roccioso, quantificata dall’indice BasicRMR(76). IlBasicRMR(76) corrisponde alla somma dei primi quattro termini dellaclassificazione di Bieniawski del 1976, alla quale va aggiunto un quintotermine, relativo alle condizioni idrauliche dell’ammasso, assunto semprepari a 15 (ammasso completamente asciutto). Si tenga presente che l’indiceBasicRMR(76) corrisponde numericamente all’indice GSI (GeologicalStrength Index).Sulla base del valore stimato dell’indice BasicRMR(76), si distinguono iseguenti casi:

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate di qualità da buona amedia per i quali sia BasicRMR(76)≥25, si ha:

a = 0.5;

m mGSI

b i=−

exp

10028

;

sGSI

=−

exp

1009

;

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate per i quali siaBasicRMR(76)<25 (ma maggiore di 18, valore minimo previsto dallaclassificazione), si ha:

aGSI

= −065200

. ;

m mGSI

b i=−

exp

10028

;

s = 0;

FORMULA GEO VER.2.0

7

• in tutti i casi in condizioni rimaneggiate o disturbate (ammassi rocciosiscavati con esplosivo o alterati e detensionati), si ha:

m mGSI

b i=−

exp

10014

;

sGSI

=−

exp

1006

(solo nel caso BasicRMR≥25, altrimenti s=0);

Per quanto riguarda la stima dei valori di mi, costante per i diversi litotipi, inassenza di dati sperimentali, si può fare riferimento alla seguente tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

8

FORMULA GEO VER.2.0

9

STIMA DEI VALORI DI ci E ϕϕi.

Poiché il criterio di Hoek e Brown esprime una curva di tipo non lineare, ivalori di coesione e angolo di resistenza al taglio variano in funzione dellosforzo normale efficace (σn' ) agente sulla base dei singoli conci. ån' viene definito come segue:

(4)σn' = γ h cos α - γw hw (metodo di Fellenius);

γ h - γw hw - C tg α/ F(4’) ån' = (altri metodi);

1 + tg ϕ tg α/ F

in cui:γ = peso di volume dell'ammasso roccioso;h = spessore medio del concio;γw=peso di volume dell'acqua;hw=spessore medio della colonna d'acqua nel concio;α = inclinazione della base del concio;F = coefficiente di sicurezza.

I valori della coesione e dell’angolo di resistenza al taglio istantanei daimpiegare nel calcolo si ricavano dalle seguenti relazioni:

FORMULA GEO VER.2.0

10

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate di qualità da buona amedia per i quali sia BasicRMR(76)≥25:

ϕi arc h arcsinh

' tan cos

.

= +

−

−

4 3013

112

3

0 5

;

( )h

m

mi n c

i c

= ++

116

3 2

σ σσ'

;

ci n i' ' tan= −τ σ ϕ ;

( )τ σ ϕ ϕ= −ci

i i

m8

cot ' cos ' ;

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate per i quali siaBasicRMR(76)<25 (ma maggiore di 18, valore minimo previsto dallaclassificazione) i valori di ci e ϕi’si possono ottenere attraverso losviluppo di una tecnica numerica per la soluzione in forma implicita. Inquesto caso i passi di calcolo sono i seguenti:

• sulla base della distribuzione degli sforzi normali efficaci σn’allabase di ogni singolo concio della superficie potenziale discivolamento, si stabilisce un campo di variazione ∆σn’ compresofra il σn’ massimo e il σn’ minimo della superficie;

• ad ogni passo di incremento ∆σn’ , con le procedure di Hoek eBrown, si calcolano i valori di σ1 , facendo variare σ3 da un valoreprossimo a 0 fino ad un valore tale per cui il σn’, valutato con leequazioni di Balmer, supera di poco il σn’ massimo dell’intervalloanalizzato. Il passo di variazione di σ3 (∆σ3) è fornito dallarelazione ∆σ3 = σc/210 . Ad n passi ∆σ3 corrispondono altrettantecoppie di valori di σ1, σ3, con le formule di Hoek e Brown, e ngruppi di valori δσ1/δσ3 , σn’, τ, ottenuti attraverso le relazioni diBalmer:

σ σσ σδσδσ

n = +−

+3

1 3

1

3

1;

FORMULA GEO VER.2.0

11

( )τ σ σδσδσ

= −n 31

3

;

δσδσ

σσ

1

3

3

1

1= +

−

amba

c

a

(caso GSI<25, con s=0).

Dalle formule di regressione lineare:

( )ϕ

σ τσ τ

σσ

i

nn

nn

arc n

n

' tan=∑ −

∑ ∑

∑ −∑

2

2,

cn ni

ni' tan '=

∑

−

∑

τ σϕ ,

si ricavano i corrispondenti valori di ci’ e ϕi’ dell’intervalloconsiderato.

• Per ogni singolo concio s’individua l’intervallo di valori di σn

calcolati nel passo precedente (∆σn) nel quale ricade il σn’ mediodella base del concio. ∆σn a sua volta si collega a due intervalli divariazione della coesione e dell’angolo di resistenza al taglioistantanei (∆ci’ e ∆ϕi’), da cui si ricavano:

c cibcnbc

ni=

σσ

''

∆∆ ,

ϕσ

σϕibc

nbc

ni=

''

∆∆ ,

dove bc=base del concio.

CONSIDERAZIONI SULL’USO DEL CRITERIO DI ROTTURA DI HOEK & BROWN.

FORMULA GEO VER.2.0

12

Il criterio di rottura di Hoek & Brown andrebbe utilizzato in teoria solo inpresenza di rocce intatte o ammassi rocciosi altamente fratturati, dovel’ammasso roccioso nella sua globalità può essere considerato come unmezzo omogeneo ed isotropo. Non deve essere applicato in situazioniintermedie, dove le superfici di discontinuità presenti vadano ad influenzareil comportamento geomeccanico dell’ammasso. In questi casi problemid'instabilità potranno aversi esclusivamente per singoli blocchi o porzioni diversante isolati dall'intersezione dei giunti di discontinuità meccanicapresenti. Questo tipo di problema andrà affrontato con una procedurasostanzialmente differente (vedi 'Stabilità di cunei isolati').

Risoluzione con i metodi dell'equilibrio limite

Le instabilità di interi versanti o di importanti parti di versanti in roccia,avvengono per superfici circolari o subcircolari solo in presenza delleseguenti caratteristiche geostrutturali e geomeccaniche:• Pendio costituito da rocce altamente fratturate fino a cataclasate (“waste

or crushed rock mass”), con comportamento a grande scalatendenzialmente simile a quello dei terreni e discontinuità non isorientate(“random”) in cui si verificano le condizioni:

• basso grado di “ interlocking” ovvero di intercompenetrazionee reciproco incastro dei volumi rocciosi unitari determinatidalle superfici di discontinuità

• dimensioni dei volumi rocciosi unitari isolati dallediscontinuità, trascurabili nei confronti delle dimensioni delpendio. Questa situazione si verifica nei confronti dei versantifortemente estesi in rapporto al reticolo fratturativo presente;si tratta quindi di un fenomeno che risente in manierapiuttosto evidente del decadimento delle caratteristiche diresistenza per il cosiddetto“effetto scala”. Tale fenomenocontraddistingue i cosiddetti “sackung” (“Deep Seated MassRock Creep”) che consistono in frane di versante di grossedimensioni.

• Pendio costituito da rocce con una o più famiglie di superfici didiscontinuità geostrutturale-geomeccanica disposte sfavorevolmente allagiacitura del pendio o con direzione prossima alla stessa. Le superfici di

FORMULA GEO VER.2.0

13

discontinuità geostrutturale-geomeccanica possono essere di originesingenetica, tettonica o metamorfica ( o post-tettonica o post-metamorfica) e possono essere inclinate in qualsiasi modo rispetto alpendio purché la loro direzione sia prossima allo stesso (± 20° da “RockSlope Engineering”) ovvero le superfici siano “cinematicamenteammissibili”. E’ il caso prevalentemente considerato nella presentetrattazione.

• Pendio costituito da rocce tenere e/o suoli molto compatti esovraconsolidati dove il comportamento complessivo a grande scala èquello rispettivamente di un mezzo omogeneo isotropo continuo e deiterreni.

• Pendio costituito da rocce completamente alterate dai fenomeni di“weathering” dove il comportamento è quello dei terreni.

Fig. 1 Scivolamento subcircolare in roccia fratturata con discontinuità nonisorientate (“random”)

Superfici di rottura subcircolari possono verificarsi in tutti i casi in cui esisteuna combinazione delle precedenti quattro tipologie di caratteristichegeostrutturali e geomeccaniche.Con riferimento alla classificazione proposta da Aydan et Alii, che classificala tipologia di rottura nei versanti in roccia essenzialmente sui criteri diclassificazione di tipo C [Froldi], ovvero determinati dalle strutture oinsieme di strutture coinvolte nella rottura, questi fenomeni rientrano nellaclasse II della Fig. 2. In particolare modo essi combinano taglio lungo lamatrice rocciosa e scivolamento lungo le discontinuità preesistenti.

FORMULA GEO VER.2.0

14

Fig. 2 Classificazione di Aydan et Alii di rottura su pendii in roccia

Questa eventualità è individuata anche da Jaeger che suggerisce il casoparticolare di un pendio con discontinuità a franappoggio con diversepossibili superfici di rottura (vedi Fig. 3);

FORMULA GEO VER.2.0

15

Fig. 3 Possibilità di rottura su roccia e discontinuità secondo Jaeger

a titolo di esempio eclatante e internazionalmente riconosciuto riporta lafrana del Vajont (vedi Fig. 4).

Fig. 4 Frana del Vajont (9 Ottobre 1963)

Di seguito sono illustrati alcuni esempi di pendii in roccia con potenzialeformazione di superfici di rottura circolari o subcircolari in base alle relativecaratteristiche geostrutturali e geomeccaniche.Nb. : In tutti i casi le discontinuità devono risultare con direzione prossima(± 20°) a quella del pendio; qualora posseggano discontinuità con

FORMULA GEO VER.2.0

16

immersione reggipoggio di elevata inclinazione, le superfici di potenzialescivolamento non devono ricalcare dette discontinuità nella parte alta delpendio ovvero le analisi all’equilibrio limite a conci non contemplanosuperfici a tetto con conseguenti stati di sforzo a trazione.

1. Pendio con una sola famiglia di discontinuità immergente acontropoggio

2. Pendio con una sola famiglia di discontinuità immergente a debolefranappoggio (in caso di pronunciato franappoggio prevale loscivolamento planare “plane failure”

3. Pendio con una sola famiglia di discontinuità immersa a reggipoggio4. Pendio con due o più famiglie di discontinuità in combinazioni di

assetti geostrutturali variabili5. Pendio con due o più famiglie di discontinuità con giaciture

orizzontali e verticali6. Pendio con una o più famiglie di discontinuità e con contatto

formazionali, stratigrafici e/o tettonici particolari.

Metodo di Fellenius.

Con il metodo di Fellenius si pone la condizione che le forze agenti sullesuperfici di separazione dei conci siano orientate parallelamente alla basedei conci stessi. Viene inoltre ipotizzato che la superficie potenziale discivolamento sia circolare.Posto:

(5) Ni=Wconcio(i) cos αi;

conWconcio(i)=peso del volume di terra compreso nel concio i-esimo;αi=inclinazione della base del concio i-esimo;Ni=componente normale alla base del concio di Wconcio(i).



FORMULA GEO VER.2.0

17

in cui il prodotto R sen α i rappresenta il braccio di Wconcio(i).Sostituendo nella (6) a Ti la sua espressione, data dalla (4), si ottiene infine:

(7)Fsic = ΣCi Lconcio(i)+Ni tg ϕ i) / Σ sen αi Wconcio(i);


Introducendo nella (7) il contributo dovuto alla presenza di falda idrica siottiene:

(8) Fsic = Σ[Ci Lconcio(i) + (Ni-hfalda(i) Lconcio(i))tg ϕ i] / ΣWconcio(i)sen α i ;

in cui:hfalda(i)=altezza della falda rispetto alla base del concio i;

Il metodo di Fellenius conduce generalmente a sottostime di Fsic rispetto ametodi più rigorosi. L’errore è comunque a favore della sicurezza.

Metodo di risoluzione di Bishop (semplificato).

Con il metodo di Bishop semplificato si pone la condizione che le forzeverticali agenti sulle superfici di separazione dei conci siano trascurabili. Diconseguenzai singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forzeorientate lungo l'orizzontale.Viene inoltre supposto che la superficie potenziale di scivolamento siacircolare.La resistenza al taglio massima disponibile lungo la superficie potenzialedi rottura è data, per ogni concio da:

(9) Ti max = Xi / (1 + Yi / Fs);

FORMULA GEO VER.2.0

18

con Xi = ( c + (g x h - gw x hw) x tg ϕ) x dx / cos α con gw = peso di volume dell'acqua; hw = altezza dell'acqua sulla base del concio; dx = lunghezza del concio lungo l'orizzontale; α = inclinazione del concio sull'orizzontale.

Yi = tg α x tg ϕ

La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio è per ogni conciodata da:

(10) Ti mob = Zi

con Zi = g x h x dx x sen α


(11) Fs = ∑(i=1-n) Ti max / ∑(i=1-n)Ti mob

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che è la grandezza dadeterminare, viene a comparire anche al numeratore della (11) attraversol'espressione della T max (equazione (9)). Di conseguenza non saràpossibile la risoluzione diretta della (11).La procedura da adottare in questo caso dovrà essere di tipo iterativo, finoall'ottenimento della convergenza su un valore praticamente costante di Fs.Questi sono i passi da seguire:



FORMULA GEO VER.2.0

19

3. se la differenza supera un limite prefissato ( es. Fs'-Fs>0.001), siritorna al passo a), inserendo nella (11), al posto del valore dipartenza di Fs, il nuovo valore calcolato;

4. se la differenza rimane contenuta nel limite indicato, l'elaborazione vainterrotta: il coefficiente di sicurezza cercato è Fs'.

Generalmente il procedimento richiede dalle quattro alle otto iterazioni perconvergere.Il metodo di Bishop richiede che siano, per tutti i conci, rispettate le dueseguenti condizioni:

• s' = (g x h - gw x hw - c x tg α / Fs)/(1+Y / Fs) > 0

con s' = pressione normale agente sulla base del concio;

• cos α x (1 + Y/Fs) > 0.2.

In caso contrario il metodo può condurre a valori del coefficiente disicurezza non realistici.Il metodo va applicato preferibilmente su versanti costituiti da terreniomogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristichegeomeccaniche, o, al limite, su terreni in cui la stratificazione non porti acontatto litologie a comportamento meccanico significativamente diverso ;se ne sconsiglia l'uso anche in presenza di terreni fortementesovraconsolidati.Confrontando il metodo di Bishop semplificato con la sua versionecompleta, si ottengono differenze massime nei valori dei coefficienti disicurezza non superiori all'uno percento. Rispetto ad altri metodi piùrigorosi, come il Morgenstern-Price, lo scarto non supera il 5%, tranne nelcaso, di scarso interesse pratico, in cui sia Fs<1.

Metodo di risoluzione di Janbu (semplificato).

FORMULA GEO VER.2.0

20

Nel metodo di Janbu semplificato si pone la condizione che le forzeverticali agenti sulle superfici di separazione dei conci siano trascurabili. Diconseguenza i singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forzeorientate lungo l'orizzontale.Questo metodo, a differenza di quello di Bishop, consente di verificaresuperfici potenziali di scivolamento di forma qualsiasi.La resistenza al taglio massima disponibile lungo la superficie potenzialedi rottura è data, per ogni concio, da:

(12) Ti max = Xi / (1+Yi/Fs);

con Xi = [c+(g x h-gw x hw ) x tg ϕ] x [1+(tg ϕ2)] x dx con gw = peso di volume dell'acqua; hw = altezza dell'acqua sulla base del concio; dx = lunghezza del concio lungo l'orizzontale; α = inclinazione del concio sull'orizzontale.

Yi = tg α x tg ϕ

La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio è per ogni conciodata da:

(13) Ti mob = Zi

con Zi = g x h x dx x tg α


(14)Fs = ∑(i=1-n)Ti max / ∑(i=1-n)Ti mob

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che è la grandezza dadeterminare, viene a comparire anche al numeratore della (14) attraverso

FORMULA GEO VER.2.0

21

l'espressione della T max (equazione (12)). Di conseguenza non saràpossibile la risoluzione diretta della (14).La procedura da adottare in questo caso dovrà essere di tipo iterativo,comenel caso del metodo di Bishop, fino all'ottenimento della convergenza su unvalore praticamente costante di Fs.Questi sono i passi da seguire:



3. se la differenza supera un limite prefissato ( es. Fs'-Fs>0.001), siritorna al passo a), inserendo nella (7), al posto del valore di partenzadi Fs, il nuovo valore calcolato;

4. se la differenza rimane contenuta nel limite indicato, l'elaborazione vainterrotta: il coefficiente di sicurezza cercato è Fs'.

Generalmente il procedimento richiede dalle quattro alle otto iterazioni perconvergere.Il metodo va applicato preferibilmente su versanti costituiti da terrenieterogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristichegeomeccaniche. In questi casi infatti la superficie potenziale di rottura avràprobabilmente forma irregolare, lontana dalla circolarità.Il metodo di Janbu può condurre, rispetto ad altri metodi più rigorosi, comeil Morgenstern-Price, a scarti non trascurabili, soprattutto in presenza disuperfici potenziali di rottura profonde o in presenza di forte coesione. E'quindi consigliabile l'introduzione di un fattore correttivo che minimizzi talescarto.Janbu suggerisce per tale coefficiente la seguente forma:

(15) f = 1 + K x [ d/l - 1.4 x (d/l)2];

con l = lunghezza del segmento retto congiungente il piede del versantecon la sua estremità superiore;

FORMULA GEO VER.2.0

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d = scarto massimo fra la congiungente il piede del versante e l' estremità superiore e la superficie potenziale di scivolamento, misurato lungo la perpendicolare del primo;K = costante uguale a 0.31 in terreni privi di coesione (c=0) e a 0.5 per terreni coesivi (c>0).

Il coefficiente di sicurezza corretto è dato quindi da:

(16) Fs' = f x Fs

con Fs = coefficiente di sicurezza non corretto.

Il metodo di Janbu semplificato si presta inoltre meglio di altre procedurealla verifica dell’influenza di superfici di discontinuità geostrutturali-geomeccaniche sulla stabilità complessiva. Le porzioni di superficie dipotenziale scivolamento appartenenti alle superfici subcircolari e/oirregolari che ricadono all’interno di un intervallo prefissato intorno ai pianidi discontinuità ne assumono le relative caratteristiche di resistenza, mentrele restanti parti assumeranno le caratteristiche della massa rocciosa nel suocomplesso.In pratica nel calcolo si tiene conto di ciò attraverso la seguente procedura:• s’individuano le superfici di discontinuità con valore della direzione di

immersione contenute entro ± 20° rispetto alla direzione di immersionedel pendio (asse della sezione) e le relative caratteristiche di:

a1) distribuzione di frequenza dei valori di immersione(dip, ββ );

a2) caratteristiche di resistenza secondo il criterio di Hoek& Brown, Mohr-Coulomb o Barton;

• s’individuano le inclinazioni (αα ) (valori di dip) delle basi dei conci dellamassa di potenziale scivolamento;

• si stima l’intervallo o “cono di confidenza” (± εε ), dipendente dalladistribuzione di frequenza dei valori di immersione (ββ ) entro il qualeapplicare alla base del concio le caratteristiche della discontinuità in essacompresa. L’intervallo (εε ) si può determinare sulla base di:

c1) un valore prefissato “a priori”c2) un valore di ampiezza della classe modale

FORMULA GEO VER.2.0

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c3) altri valori di significatività statistica in base alla formadi distribuzione di frequenza del campione(“gaussiana” o non)

• si attribuiscono le caratteristiche di resistenza alle basi dei conci quandola loro dip (αα ) ricade (vedi Fig. 6) all’interno dell’intervallo o “cono diconfidenza” (± εε ) precedentemente definito ovvero quando ββ - εε < αα < ββ+ εε . Le caratteristiche di resistenza saranno immesse secondo i parametririchiesti dal criterio di resistenza prescelto nella fase a2).

18°35'30"b1

59°02'10"b2

valori di immersione (dip) delle discontinuitvalori di escursione del "cono di confidenza" intorno alla discontinuit

b1, b2 =+ e, - e =

Pendio con superficie di scivolamento circolare

- e

6°27'30"

6°58'08" - e

+ e

4°02'20" 4°04'02"

+ e

DiscontinuitK1

DiscontinuitK2

Superficie circolare

Profilo del pendio

Metodo di risoluzione di Spencer.

Nel metodo di Spencer si pone la condizione che le forze d'interazionelungo le superfici di divisione dei singoli conci siano orientateparallelamente fra loro ed applicate nel punto medio della base del concio.Si tratta, nella sua espressione analitica, di un' estensione del metodo di

FORMULA GEO VER.2.0

24

Bishop semplificato, ed è quindi valido per superfici di scivolamento sub-circolari.La forza d'interazione fra i conci applicata nel punto medio della base delconcio i-esimo è data da:

(17) Qi = [(c l/Fs) (Wcosα - h gw l secα) tg ϕ / Fs - Wsenα] /(cos(α-θ) ma

con ma=1+ [tg ϕ tg(α-θ)] / Fs

θ = angolo d'inclinazione della forza Qi rispetto all'orizzontale.

Imponendo l'equilibrio dei momenti rispetto al centro dell'arco descrittodalla superficie di scivolamento si ha:

(18) ∑ Qi R cos(α-θ)=0;

con R= raggio dell'arco di cerchio.

Imponendo l'equilibrio delle forze orizzontali e verticali si harispettivamente:

(19) ∑ Qi cos θ=0;

(20)∑ Qi sen θ=0.

Con l'assunzione delle forze Qi parallele fra loro, si può anche scrivere:

(21) ∑ Qi =0.

Il metodo propone di calcolare due coefficienti di sicurezza: il primo (Fsm)ottenibile dalla (18), legato all'equilibrio dei momenti; il secondo (Fsf) dalla(21), legato all'equilibrio delle forze. In pratica si procede risolvendo le (18)e le (21) per un dato intervallo di valori dell'angolo teta, considerando comevalore unico del coefficiente di sicurezza quello per cui si abbia Fsm=FsF.

FORMULA GEO VER.2.0

25

Il metodo è valido per superfici di scivolamento circolari e quindi presentale stesse limitazioni di applicabilità del metodo di Bishop semplificato.

Applicazione della rottura progressiva a superfici di scivolamento inroccia.

Molto frequentemente se non sempre il collasso di un versante o di un frontedi scavo in roccia avviene per il fenomeno della rottura progressiva; allarottura delle parti più sollecitate, le cui caratteristiche di resistenzaprecipitano verso termini residui, segue infatti la ridistribuzione delletensioni in eccesso con conseguente crisi di porzioni sempre maggiori checonducono al collasso globale.Di tale effetto, difficilmente implementabile in un codice di calcoloautomatico basato sull’equilibrio limite, se ne può tenere in conto attraversodue approcci:

a) con l’attribuzione dei parametri residui ai conci con coefficiente disicurezza FS(n) < 1

b) considerando la cessione degli esuberi di forze agenti sulla base diconci con FS(n) < 1 ai conci limitrofi.

La prima procedure appare più semplice e percorribile.Secondo questa metodologia e considerando il metodo di Bishopsemplificato si può procedere attraverso le seguenti fasi:1) si determina il valore di FS globale2) si stimano i valori di FS(n) relativi ai singoli conci3) s’individuano i conci a rottura per scivolamento (dove cioè FS(n)<1)4) si attribuiscono i valori di resistenza al taglio residua ai conci con

FS(n)<15) si procede al ricalcolo del coefficiente di sicurezza globale del versante.La fase 4 appare la più critica nell’intero processo.Il comportamento tensio-deformativo di una roccia o ammasso rocciosodipende da svariati fattori.Considerando una curva sforzi-deformazioni caratteristica (Fig. 1, [Price,1979]) di un campione in roccia sottoposto a compressione monoassiale siosservano le fasi tipiche di evoluzione della rottura.In essa si individuano, dopo un iniziale fase di compattazione dei vuoti (a),tre fasi fondamentali di sviluppo corrispondenti a :

1) fase di pseudo-elasticità (b, c)

FORMULA GEO VER.2.0

26

2) fase di inizio rottura (d, e)3) fase di propagazione della rottura (f)

Fig.1 - Curva sforzi-deformazioni caratteristica.

Tale comportamento, tipico di un campione di roccia intatta, può in realtàdifferire notevolmente nella pratica nel caso di un ammasso rocciosofratturato sottoposto a un tensore di sforzi non monoassiale.Esemplificativamente, con riferimento alla Fig. 2, si possono distinguere tretipologie di comportamenti tipo:a) elastico-fragile (brittle)

FORMULA GEO VER.2.0

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b) elastico perfettamente plastico (ductile)c) elastico-plastico con incrudimento (ductile-strain hardening)

Fig.2 - Tipologie di comportamenti.

FORMULA GEO VER.2.0

28

Il comportamento elastico-plastico con rammolimento può essereconsiderato un sottotipo dei casi a) e b).Nella figura 2 i tre comportamenti sforzi-deformazioni differiscono a causadella diversa tensione di confinamento (s3) applicata: al crescere di questasi ha una migrazione dal tipo a) al tipo c).In generale si possono quindi individuare tre livelli di resistenza, che conriferimento al tipo elastico-fragile della Fig. 3 [Brady & Brown],corrispondono ai punti A, B, C:

A = sforzo di “snervamento” (yield strength)B = sforzo di picco (peak strength)C = sforzo residuo (residual strength).

Fig.3 - Livelli di resistenza sulla curva intrinseca.

Il comportamento di tipo b) è di fatto considerato in tutti i metodi di calcoloall’equilibrio limite di stabilità di versanti; infatti in esso la resistenza dipicco coincide con quella residua.Il comportamento di tipo a) elastico-fragile è proprio delle rocce; essepossono avere comportamento di tipo b) solo se fortemente fratturate oalterate.In generale comunque è lecito aspettarsi, nel caso degli ammassi rocciosi,una caduta di resistenza connessa al superamento della resistenza di picco.Detta caduta di resistenza sarà funzione di:

a) stato fratturativo dell’ammassob) tensione di confinamento nel campo degli sforzi.

Qualora si applicasse il criterio di rottura di Hoek & Brown si possonoallora utilizzare come parametri residui quelli ottenuti dalla formulazione

FORMULA GEO VER.2.0

29

empirica di Priest & Brown che definisce i valori di m,s in funzione delparametro RMR.

Calcolo dell'influenza di carichi esterni e di opere di sostegno sullastabilità del versante.


Con Sn indichiamo la componente normale al piano potenziale di tagliodella somma delle forze applicate sulla superficie della base del concio dasovraccarichi esterni (Si). La sua espressione è la seguente:

(23) Sn = Si x(sen β x cos α + cos β x sin α);

conα=inclinazione della base del concio.β=inclinazione dei sovraccarichi rispetto all'orizzontale, crescente in sensoantiorario.

La grandezza Sn va sommata, nell'equazioni dei metodi di calcolo visti inprecedenza, alla componente della forza normale N dovuta al peso delconcio i (vedi eq.4)Con St indichiamo la componente tangenziale al piano potenziale di tagliodella somma delle forze applicate sulla superficie del concio dasovraccarichi esterni (Si). La sua espressione è la seguente:


La grandezza St va sommata alla componente della forza tangenziale Tdovuta al peso del concio (vedi eq.4).L'effetto di un sovraccarico sul pendio è quindi duplice: si ha una variazionepositiva o negativa (a seconda dell'inclinazione del sovraccarico rispetto allasuperficie potenziale di rottura ) sia delle forze normali sia di quelletangenziali, con conseguente modifica dei valori della resistenza al tagliomassima e di quella mobilitata.

FORMULA GEO VER.2.0

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L'analisi dell'influenza delle sollecitazioni sismiche sulla stabilità globale diun versante può essere condotta attraverso due approcci differenti:

• si può introdurre la semplificazione che il sisma agisca come un sistemadi forze sul pendio di intensità e verso costante per tutta la duratadell'evento sismico (metodo pseudostatico);

• si può introdurre nel calcolo un sistema di forze che tenga conto dellevariazioni di verso ed intensità della sollecitazione sismica durantel'evento (metodo dinamico).

La seconda procedura (metodo dinamico), pur conducendo a valutazioni piùrealistiche,richiede la conoscenza o la simulazione di un accelerogramma diriferimento, che fornisca per ogni istante dell'evento sismico l'andamentodelle accelerazioni subite dal pendio. Questo dati non sono però di facileacquisizione, fatto che limita in pratica l'utlizzo di questo approccio.Il programma utilizza il metodo pseudostatico, metodo meno preciso diquello dinamico (fornisce in genere stime a favore della sicurezza dellastabilità globale), ma che presenta il vantaggio di essere di facileapplicazione. Gli unici dati richiesti in questo caso sono la accelerazionemassima orizzontale e, eventualmente, verticale subita dal versante duranteil sisma.Il valore di Ago (accelerazione massima orizzontale), in mancanza divalutazioni migliori può essere scelto fra quelli proposti dalle Normetecniche per le costruzioni in zona sismica del GNDT :

• Ago=0.15 in zone con grado di sismicità uguale a 6;

• Ago=0.25 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria);

• Ago=0.35 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria);

oppure fra quelli indicati dalla Normativa vigente:

• Ago=0.04 in zone con grado di sismicità uguale a 6;

FORMULA GEO VER.2.0

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• Ago=0.07 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria);

• Ago=0.10 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria);

Per il parametro Agv (accelerazione massima verticale) una stima puòessere fatta applicando la relazione proposta da Tezcan et Alii(1971):

Agv = f x Ago;

con f=fattore di trasformazione variabile da 0,5 a 0,67.Si tenga presente comunque che la Normativa vigente propone, incondizioni normali, di trascurare Agv.Il programma applica il metodo pseudostatico alla stabilità attraverso dueprocedure differenti: il criterio delle forze orizzontali e quello di Binnie.

•• Criterio delle forze orizzontali:

Una valutazione dell'effetto di un sisma sulla stabilità di un versante puòessere fatta, supponendo che, durante l'intervallo di tempo in cui si ha lamanifestazione dell'evento sismico, su ogni singolo concio venga applicatauna forza orizzontale, diretta verso l'esterno, di modulo uguale a:

(25)Fsisma = Ago x Pc;

conAgo = accelerazione sismica orizzontale max;Pc = peso del concio.

Se con Ssisma indichiamo la sollecitazione sismica applicata al concio i-esimo:

(25') Ssisma= Ag x Vc x y;

conVc=volume del concio;

FORMULA GEO VER.2.0

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y=peso di volume medio del terreno costituente il concio;

le componenti normali e tangenziali di questa forza saranno daterispettivamente da:

(26a)Sn = - Ssisma sen(alfa);

(26b)St = Ssisma cos(alfa).

con alfa=inclinazione della base del concio rispetto all'orizzontale.

La sollecitazione sismica conduce quindi da una parte alla diminuzionedelle forze normali applicate sulla base del concio, dall'altra porta ad unaumento delle forze tangenziali sulla base stessa. L'effetto complessivo èquello quindi di abbassare il valore del coefficiente di sicurezza. Questocriterio non è applicabile a pendii con superfici di scivolamento potenzialimolto profonde, poichè in questo caso si avrebbe una sovrastima eccessivadelle forze agenti, con un conseguente abbassamento sproporzionato delcoefficiente di sicurezza.

•• Criterio di Binnie.

Secondo questo criterio l'azione delle forze sismiche può essere simulata,effettuando la verifica sul pendio ruotato di un angolo dato dalla relazione:

(27a) θ = arctg [Ago/(1+Agv)].

In pratica viene aumentata l'inclinazione media del versante, conconseguente abbassamento del coefficiente di sicurezza.Nel metodo si propone inoltre di moltiplicare il peso dei singoli conci per unfattore correttivo dato da:

(27b) fc = √ [ ( 1 + Agv )² + Ago² ].

Il criterio può essere applicato a pendii con superficie potenziale discivolamento qualsiasi, ma può condurre ad errori, soprattutto per valorielevati di Ago e Agv, nel caso sia presente la falda.

FORMULA GEO VER.2.0

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Tiranti.

La tirantatura di un versante potenzialmente instabile cerca di conseguire ilduplice obiettivo di introdurre forze tangenziali (St) che si oppongano aquelli instabilizzanti dovuti alla forza di gravità (diminuzione di T nell'eq.4)e di aumentare lei forze normali (Sn) agenti sulla base del concio(incremento di N nell'eq.4).



conalfa=inclinazione della base del concio i-esimo;b=180°-i, con i=inclinazione del tirante rispetto all'orizzontale contato insenso orario;Si=carico d'esercizio del tirante.

La presenza dell’elemento strutturale lineare metallico (tirante o chiodo)agisce inoltre come sezione resistente al taglio puro lungo la superficie dipotenziale rottura; in tal caso, allo scopo di rappresentare lo sforzo resistentedi taglio puro offerto dall’elemento resistente, d’ora in poi chiamato“chiodo”, è possibile introdurre un incremento di resistenza (ΤΤd)nell’ammasso roccioso dovuto al cosiddetto “effetto Dowel” (in italiano“effetto tassellatura o incavicchiatura”).I presupposti perchè si sviluppi l’ ”effetto Dowel” sono:

a) elementi di rinforzo passivi ovvero non tesatib) sufficiente rigidezza e resistenza dell’ammasso roccioso al contorno

dell’insieme cementazione-chiodo. Secondo Bjurstrom questo effetto dipende da tre parametri dell’insieme

roccia al contorno-cementazione-chiodo:1. il diametro del chiodo (o barra) (∅∅ b o db)

FORMULA GEO VER.2.0

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(( ))csbd d σσσσ ××××××==ΤΤ 67,02

sn

C dd

ΤΤ××==

2. la resistenza a compressione monoassiale minore tra quelladell’anello di cementazione nel foro e quella dell’ammasso rocciosoal contorno (σσ c)

3. la resistenza allo snervamento del chiodo (o barra) (σσ s)Il contributo allo forza resistente così offerto da ciascun chiodo è pari a :

T dd b s c= 0 67 2, σ σ [MPa * m2] ;

dove i parametri sono espressi in:db [m]σσc [MPa]σσs [MPa]

In termini di incremento di coesione dovuto all’ “effetto Dowel” - Cd =coesione dovuta all’ “ effetto Dowel” – si ha:

CnT

sdd= [MPa];

dove :n = numero di chiodi che interessa la superficie di scivolamentos = sviluppo della superficie di scivolamento considerata

Per inserire l’incremento di resistenza così espresso nelle verifiche distabilità in roccia occorre calcolare i parametri ni e si relativi alla base diciascun i-esimo concio e conseguentemente stimare la componente diresistenza (coesione = Cd-i-esimo ) per “effetto Dowel” di ciascuno di essi dasommarsi alla coesione dell’ammasso roccioso naturale.

Nel posizionare e dimensionare i tiranti va infine tenuto presente che:

• il bulbo d'ancoraggio deve trovarsi ad una profondità superiore a quelladella superficie potenziale di scivolamento, per poter esercitare la suaazione stabilizzante;

• l'inclinazione ottimale del tirante può essere valuta con la relazione :

(30) iottimale = tan phi/Fs

FORMULA GEO VER.2.0

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conphi=angolo di resistenza al taglio del terreno;Fs=coefficiente di sicurezza da raggiungere con l'intervento.

FORMULA GEO VER.2.0

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Reticolo di micropali.

La stabilizzazione di un versante può essere ottenuta anche attraverso lamessa in opera di un reticolo di pali di piccolo diametro (micropali).L'effetto che si cerca di ottenere in questo caso è di incrementare laresistenza al taglio mobilitabile lungo la superficie di scivolamento,creando un complesso pali-terreno che si comporti come un insiemeomogeno, rispetto ale sollecitazioni a cui è sottoposto il pendio. Questaazione di armatura del pendio può essere introdotta nel calcolo, supponendoun incremento virtuale della resistenza meccanica del terreno costituente ilversante.Supponendo, a favore della sicurezza, che l'angolo di resistenza al taglio delterreno rimanga invariato, si può esprimere il miglioramento dellecaratteristiche meccaniche del pendio incrementando il parametro coesione.La procedura è descritta di seguito.

• Si calcola l'area resistente equivalente del micropalo singolo attraversola relazione:

(31) Ae = Acls + 15 x Aacciaio;

conAcls=area trasversale del micropalo;Aacciaio=area dell'armatura d'acciaio.

• Si valuta l'incremento della superficie potenziale di scivolamento con laformula:

(32) DS=Co x Nm x Ae;in cuiCo=Coefficiente di omogenizzazione palo-terreno dato da:

(33) Co=Ep/Et;

dove:Ep=modulo di elasticità del calcestruzzo;

FORMULA GEO VER.2.0

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Et=modulo di deformazione media del terreno;

Nm=numero di file di micropali per metro verticale.

• Si determina l'incremento della coesione lungo la superficie potenzialedi scivolamento con la relazione:

(34) Dc = (ci + Smi x tan phii) x DS / ∑ li

dove:ci=coesione media del concio i-esimo;phii=angolo di resistenza al taglio media nel concio i-esimo;Smi=pressione efficace media agente sulla base del concio i-esimo∑li=sommatoria delle lunghezze delle basi dei singoli conci.

• Si stima infine coesione virtuale per ogni concio, da usare nella verificadi stabilità, con la relazione:

(35) Cv = Ci + DC.

Come nel caso dei tiranti è evidente che il reticolo di micropali per svolgereun'azione stabilizzante deve andare ad appoggiarsi ad una profonditàsuperiore a quella della superficie potenziale di scivolamento.

Muri e gabbionate.

Opere di stabilizzazione superficiali, come muri e gabbionate, vannoconsiderati , nella verifica di stabilità del pendio, sia per il loro effetto comesovraccarichi verticali sia per l'azione di contenimento che esercitano sulterreno a monte . I due effetti vanno calcolati come segue:

• il sovraccarico verticale è dato dalla somma del peso dell'opera, muro ogabbionata, e della componente verticale della spinta delle terre a tergodell'opera stessa;

• l'azione di contenimento va posta uguale alla componente orizzontaledella spinta delle terre.

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Va tenuto presente che quest'ultima spinta entra in azione solo per superficipotenziali di scivolamento che vadano ad intersecare la base dell'opera: persuperfici più profonde il muro o la gabbionata agiscono solo comesovraccarichi, senza espletare funzione di contenimento.Nel calcolo della stabilità del pendio, l'effetto delle due spinte è quello dimodificare le forze tangenziali (St) e normali (Sn) agenti sulla base delconcio. Numericamente questo può essere espresso dalle relazioni (23) e(24), modificate come segue:

• nel caso l'opera agisca come sovraccarico verticale (b=90°):

(36) Sn = Sv x cos α ;

(37) St = Sv x sin α;conSv=modulo del sovraccarico verticale;α=inclinazione della base del concio.

• nel caso invece l'opera svolga azione di contenimento (b=0°):

(38) Sn = So x sin α;

(39) St = So x cos α;

conSo=modulo della spinta orizzontale delle terre.

Palificate.

Palificate con pali di grosso diametro che resistano a forze orizzontalipossono essere impiegati nella stabilizzazione di pendii. L'azione dicontenimento della palificata può essere calcolata considerando primal'effetto del palo singolo e quindi del gruppo di pali.

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1. Pali singoli

Verrà presa in considerazione la teoria di Broms(1964) applicata a palirigidi a testa incastrata, distinguendo fra pali fondati in terreni coesivi e palifondati in terreni incoerenti.• Terreni coesivi.




La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, cioècostante con la profondità:

(41)Rz=9 Cu Dpalo.

• Terreni incoerenti.


(42) Rlat=1.5 γ Lpalo2 Dpalo Kp;

conγ = peso di volume del terreno ;Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ).


FORMULA GEO VER.2.0

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2. Portanza della palificata.

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per gruppidi pali sottoposti a sollecitazioni orizzontali va definito il concetto diefficienza del gruppo.Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali ilrapporto fra la portanza laterale complessiva del gruppo e la somma delleportanze laterali dei singoli pali . In pali fondati in terreni incoerentil’efficienza spesso è prossima all’unità, in pali in terreni coesivigeneralmente è inferiore.Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del gruppo dipali il minore fra questi due valori:1. la somma delle portanze laterali dei singoli pali;2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale alla

larghezza della palificata (lato della palificata perpendicolare alladirezione di carico) e di spessore corrispondente alla lunghezza dei pali,cioé:

• Terreni coesivi:



• Terreni incoerenti:


3. Azione di stabilizzazione della palificata.

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L'azione di contenimento della palificata interviene nel calcolo della stabiltàdel pendio, modificando le forze normali (Sn) e tangenziali (St) agenti sullabase del concio.Le relazioni utilizzate sono quelle già viste in precedenza:

(46) Sn = Rpalificata x sin a ;

(47) St = -Rpalificata x cos a;

conRpalificata = portanza laterale della palificata;a = inclinazione della base del concio.

Geotessili.

La resistenza meccanica del terreno può essere migliorata con l'introduzionedi rinforzi in geotessili. Il singolo rinforzo, intercettando la superficiepotenziale di scivolamento, isola un cuneo di terreno a monte che, in casod'instabilità, tende a muoversi verso l'esterno. Il geotessile si oppone aquesto movimento, sviluppando lungo la superficie di contatto roccia-rinforzo una forza d'attrito diretta verso l'interno del pendio. Numericamentequesta forza può essere espressa nel seguente modo:

(48) Fr = Cf x tg phi x Lg x sv x Lf / Fsg

conCf = coefficiente d'attrito terra-rinforzo (normalmente varibile da 0.5 a 1);phi = angolo di resistenza al taglio del terreno;Lg = larghezza del rinforzo (posto in questo caso uguale a 1 metro);sv = pressione efficace agente sul rinforzo;Lf = tratto di rinforzo compreso fra la superficie di scivolamento ed il pianocampagna (tratto in cui si sviluppa la forza d'attrito);Fsg = coefficiente di sicurezza (di solito posto uguale a 1.5).

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Anche in questo caso l'azione di contenimento della Fr, calcolata con la(48), interviene nel calcolo della stabiltà del pendio, modificando le forzenormali (Sn) e tangenziali (St) agenti sulla base del concio.Le relazioni utilizzate sono quelle già viste in precedenza:

(49) Sn = Fr x sin a ;

(50) St = -Fr x cos a;

cona = inclinazione della base del concio.

Tension crack.

In presenza di movimenti franosi incipienti o in evoluzione, è frequente laformazione in superficie di fratture di trazione (tension crack). Queste oltrea rappresentare vie preferenziali per l'infiltrazione delle acque superficialinel corpo di frana, possono portare alla formazione di ristagni superficiali,agenti come sovraccarichi sul pendio.La variazione delle forze normali e tangenziali agenti sulla superficie delconcio è data da:

(51) Sn = yw x hw x sin a ;

(52) St = yw x hw x cos a;

conyw = peso di volume dell'acqua;hw = altezza dell'acqua nella tension crack;a = inclinazione della base del concio.

Va ricordato anche che fratture di trazione superficiali possono formarsi interreni coesivi per essiccazione.

Effetto dell'acqua sulla stabiltà dei versanti.

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Come è possibile constatare dall'osservazione delle formule utilizzate neimetodi dell'equilibrio limite (vedi eq. 8, 9, 12, 17), la falda viene fattaintervenire nel calcolo in due modi:

• attraverso l'introduzione del carico idrostatico in diminuzione delle forzenormali agenti sulla base del concio;

• attraverso l'utilizzo nelle verifiche del peso di volume immerso delterreno.

Attenzione.Occorre non confondere il peso di volume immerso del terreno con il pesodi volume saturo.Il peso di volume saturo è dato dalla somma del peso per unità di volumedello scheletro solido del terreno e del peso dell'acqua gravitativa infiltratanei pori beanti dello stesso.Il peso di volume immerso è uguale invece al peso di volume saturodiminuito dalla spinta di galleggiamento.Per esempio, se il peso di volume saturo del terreno è uguale a 2 t/mc ed ilpeso di volume dell'acqua è 1 t/mc, il peso di volume immerso del terrenosarà dato da:

peso di volume saturo - peso di volume dell'acqua = 2 -1 = 1

Nel caso in cui siano presenti carichi idraulici superficiali (corsi d'acqua,laghi, ristagni ecc...) la superficie del pendio, a favore della sicurezza, puòessere considerata permeabile. Questo comporta che il terreno costituente ilpendio venga considerato saturo e trattato come se si fosse in presenza difalda. Ciò, da un punto di vista del calcolo porta ad una parzialecompensazione dell'effetto, generalmente stabilizzante (perchè di solitoapplicati al piede del versante) dei carichi idraulici superficiali.

Metodi di analisi probabilistica della stabilità globale.

Introduzione.

Nella verifica di stabilità di un pendio in roccia la maggior fonted'indeterminazione è costituita dalla caratterizzazione meccanica del

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terreno, in particolare dalla stima dei parametri qualità dell'ammassoroccioso (indice Q di Barton o RMR di Beniawski) e resistenza allacompressione monassiale della roccia, che sono alla base del calcolo deiparametri coesione e angolo d'attrito istantaneo della roccia.Nei metodi dell'equilibrio limite spesso i parametri geomeccanici utilizzatinel calcolo sono ricavati facendo una media ponderata fra i dati ottenutidalle misure eseguite in situ o in laboratorio. La dispersione dei valori che siosserva in molti casi non è trascurabile, per cui la scelta delle grandezze dainserire nel calcolo può diventare problematica. In queste situazioni èpreferibile far seguire la verifica condotta con un metodo deterministico,cioè con uno dei metodi dell'equilibrio limite, da un'analisi di tipoprobabilistico, che fornisca un'idea dell'influenza della dispersione dei datigeomeccanici sul valore del coefficiente di sicurezza.

Metodi di Montecarlo applicati alla verifica di stabilità.

I metodi di Montecarlo si basano sulla generazione di numeri casuali, sceltiin determinati intervalli, che godano nel complesso di proprietà statistiche.Fra le varie applicazioni possibili di tali metodi, vi è quella detta 'delcampionamentò che consiste nel dedurre proprietà generali di un insiemegrande, studiandone solo un sottoinsieme casuale, giudicato rappresentativodell' insieme stesso. E' evidente che maggiori saranno le dimensioni delcampione random, più rappresentative saranno le proprietà dedotte.Nel caso di applicazione del metodo alla verifica di stabilità di pendii interra, la procedura da seguire potrebbe essere la seguente:

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie RMR e Rc (resistenzaalla compressione monassiale) misurate in situ o in laboratorio,supponendo che sia di tipo gaussiano ( cioè rappresentate da una curva acampana, con il valore centrale corrispondente al valore medio);


• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valoredell'indice RMR e della Rc, rispettando la curva di distribuzione delleprobabilità di queste due grandezze (facendo cioè in modo che lafrequenza con cui un certo parametro viene chiamato nel calcolo sia

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uguale alla sua probabilità ricavata dalla curva gaussiana di probabilitàdel parametro stesso); in questo modo si trasforma la serie di numericasuali generati nel punto precedente in una serie di coppie di valori diRMR e Rc;

• scelto un metodo deterministico di calcolo, si esegue la verifica distabilità con tale metodo per ogni coppia di valori di RMR e Rc ,ricavando il rispettivo coefficiente di sicurezza Fs;

• si crea la curva di distribuzione della frequenza dei valori di Fs ottenuti,per esempio sottoforma di istogramma, visualizzando l'andamento di talicoefficienti rispetto ad un valore di riferimento (per es. rispetto al valoredi Legge 1,3).

L'aspetto del grafico della distribuzione di Fs consente di valutare se ladispersione dei valori di c e ϕ misurata influisce in maniera significativa sulcalcolo della stabilità del versante. Nel caso, per esempio, in cui il valoremedio di Fs sia maggiore di 1.3, ma una percentuale significativa delleverifiche effettuate con il metodo di Montecarlo ricada sotto tale limite, sipuò trarre la conclusione che la dispersione dei parametri geomeccanici siaeccessiva e non permetta di fornire una risposta precisa al problema dellastabilità del versante: in questo caso si rende necessaria una migliorecaratterizzazione geomeccanica dell'ammasso roccioso.Il metodo di Montecarlo può essere impiegato anche per retro-analisi distabilità. Costruendo infatti a tentativi delle curve di distribuzione ipotetichedi RMR e Rc, si può stimare per quale intervallo di questi valori il pendiorisulta stabile. Il confronto fra la distribuzione dei parametri geomeccaniciipotizzata e quella misurata permette di trarre delle conclusioni sullastabilità globale del pendio.Il metodo di Montecarlo richiede, per consentire di ottenere delledistribuzioni di Fs valide, che venga generato un numero sufficientementeelevato di coppie di parametri RMR e Rc, dalle quali ricavare ilcorrispondente valore di Fs . Normalmente per ottenere distribuzioni stabilidel coefficiente di sicurezza sono necessarie alcune centinaia di verifiche. Ilraggiungimento della stabilità delle curve di distribuzione può esserevalutato, applicando il metodo di Montecarlo su due insiemi di verifiche econfrontando quindi le relative distribuzioni con il test del χ2.

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Metodo di Rosemblueth applicato alla verifica di stabilità.

Il metodo di Rosemblueth, applicato allla verifica di stabilità di un pendio interra, consente di ricavare il valore più probabile del coefficiente disicurezza ( valore medio) ed un'indicazione della sua dispersione (scartoquadratico medio).Si possono utilizzare anche in questo caso come variabili casuali i parametriRMR e Rc, supponendo una loro distribuzione gaussiana simmetrica (cioè acurva a campana con i tratti di sinistra e di destra simmetrici rispetto alvalore centrale).Il procedimento da seguire è il seguente:

• dai dati misurati in situ o in laboratorio, si calcoli il valore medio diRMR e Rc (RMRm e Rcm) e i rispettivi scarti quadratici medii (srmr esrc);

• utilizzando uno dei metodi dell'equilibrio limite, si calcoli il coefficientedi sicurezza relativo alle seguenti combinazioni di parametri:

1. (Rc = Rcm + src RMR = RMRm + srmr )⇒ Fs12. ( Rc = Rcm + src RMR = RMRm - srmr )⇒ Fs23. ( Rc = Rcm - src RMR = RMRm + srmr )⇒ Fs34. ( Rc =R cm - src RMR = RMRm - srmr )⇒ Fs4

• si calcoli quindi il valore medio di Fs attraverso la relazione:

(54) Fm = ( Fs1 +Fs2 + Fs3 + Fs4) / 4;


(55) SF =0.5 x √ ( Fs12 +Fs22 + Fs32 + Fs42 ).

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Anche in questo caso il risultato può essere visto come un'indicazionedell'influenza della dispersione dei parametri geomeccanici sulla stabilitàdel versante: un elevato valore di SF può indicare una non sufficientecaratterizzazione geomeccanica del terreno, fatto di cui tener conto inparticolar modo quando il valore di Fm sia prossimo al valore di 1.3. Ilcoefficiente di sicurezza potrà quindi essere espresso come segue:

(56) Fs = Fm ± SF;

indicando che il coefficiente di sicurezza può variare nell'intervallocompreso fra Fs = Fm - SF e Fs = Fm + SF.

Stabilità dei singoli cunei rocciosi.

Verifica di un cuneo in roccia

La scelta del modello di verifica da adottare nell'analisi di stabilità di unpendio roccioso dipende essenzialmente dall'assetto strutturale dell'ammassodi cui è costituito e non può prescindere da un accurato rilevamentogeomeccanico del versante stesso e dal riconoscimento delle condizioniidrogeologiche che condizionano il sito.L'analisi di stabilitàin termini di fattore di sicurezza è quindi subordinataalla comprensione dei fenomeni in atto e alla quantificazionegeometrica e fisica delle grandezze e delle forze in gioco, includendovianche gli eventuali carichi idraulici, sismici, ecc. .I fenomeni di instabilità delle scarpate in roccia sono condizionati dalloassetto strutturale dell'ammasso roccioso. Il meccanismo del dissestodipenderà quindi dal numero e dall' orientamento delle famiglie didiscontinuità che interessano l'ammasso roccioso stesso.Se due piani digiunto si intersecano tra loro si puòavere, nel caso che questo sia limitatoda altre due superfici libere costituite dal fronte e dalla superficie delversante, la formazione di un cuneo roccioso. Nel caso di scivolamentilungo giunti coniugati appartenenti a famiglie diverse l' analisi dellastabilitàviene condotta con il metodo dell'equilibrio limite,assumendo che

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la resistenza allo scorrimento sia diretta parallelamente alla direzione delmovimento.La soluzione del problema richiede la definizione dei principali elementigeometrici del cuneo (angoli, aree e volumi) e della risultante delle varieforze agenti.

Analisi con il test di Markland.

Un'analisi di tipo speditivo della stabilità dei singoli cunei rocciosi puòessere fatta utilizzando il test di Markland.Il procedimento fornisce un'indicazione qualitativa della stabilità del cuneoin funzione del suo orientamento nello spazio e della stima della resistenzaal taglio mobilitabile lungo i piani di possibile scorrimento. Quest'ultimagrandezza viene quantificata attraverso il parametro angolo d'attrito di piccomedio delle discontinuità meccaniche (vedi paragrafo 'Scelta dei parametridi resistenza al taglio’).Il test prevede quattro situazioni possibili.

1. Cuneo potenzialmente instabile.

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Questa sistuazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio menoinclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio di picco mobilitabilelungo le superfici potenziali di scorrimento sia inferiore all'inclinazionedella linea d'intersezione dei piani di scorrimento.

2. Cuneo stabile.

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Questa sistuazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio menoinclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio di picco mobilitabilelungo le superfici potenziali di scorrimento sia superiore all'inclinazionedella linea d'intersezione dei piani di scorrimento. Si verifica ovviamenteanche per cunei a reggipoggio o a franapoggio più inclinati del pendio.

3. Cuneo con stabilità incerta.

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Questa sistuazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio menoinclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio di picco mobilitabilelungo le superfici potenziali di scorrimento sia circa uguale all'inclinazionedella linea d'intersezione dei piani di scorrimento. In questa caso va tenutopresente che generalmente l'errore insito nella grandezza angolo diresistenza al taglio è di circa 2°, se non addirittura maggiore. Il test diMarkland non permette in queste condizioni di ottenere un responso precisosulla stabilità del cuneo, per ottenere il quale occorrerà l'impiego di metodipiù precisi.

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4. Cuneo potenzialmente instabile per ribaltamento.

Questa situazione si verifica quando il pendio ed una delle discontinuitàsono subverticali con immersione circa uguale. In questo caso il valoredell'angolo di resistenza al taglio non influisce sulla stabilità, in quanto sipuò supporre che le due facce della superficie di ribaltamento non siano incontatto e quindi non sviluppi un'apprezzabile resistenza al taglio.

Analisi con il metodo dell'equilibrio limite.

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Il piu semplice schema di dissesto tridimensionale fa riferimento ad uncuneo di roccia a forma tetraedrica che può avere due superfici libere(caso più importante e frequente) o una sola superficie libera.Per il calcolodel fattore di sicurezza si consideri il caso di un cuneo simmetrico (condue superfici libere) soggetto soltanto alla sola azione del peso proprio.Ilpeso del cuneo puòessere scomposto in due componenti:

T12 agente lungo la linea di intersezione N12 normale a tale linea

Quest'ultima deve essere equilibrata da una reazione tangenziale TN e dauna reazione normale N, agenti su ciascuna faccia.La reazione N determina la massima resistenza allo scorrimentomobilizzabile e il coefficiente di sicurezza potrà essere definito comesegue:

(57) Fs = [A x Tr x (N / A)] / û[ (T12 / 2)ý + TNý];

con:A = area di ciascun giunto;Tr = legge di resistenza assunta (vedi paragrafo 'Scelta dei parametri di resistenza al taglio');

Per L'equilibrio in direzione perpendicolare alla linea di intersezione deveaversi:

(58) 2N x sin(i/2) + 2 x TN x cos (i/2) = N12 = W cos (b12);

con:

i = angolo compreso fra i due giunti A e B;b12 = inclinazione rispetto all'orizzontale della linea d'intersezione.

Il problema risulta staticamente indeterminato per cui varie combinazioni diN e TN possono fornire coefficienti di sicurezza molto differenti tra loro.

FORMULA GEO VER.2.0

54

Se si assume TN = 0 si ottiene il coefficiente piùelevato tra quelli possibili(metodo del cuneo rigido).Per il calcolo della stabilità del cuneo occorre in primo luogo che lagiacitura dei giunti rispetto al pendio sia tale da consentire cinematismi.Occorre che il cuneo sia appoggiato sulla massa rocciosa retrostante. Lenormali alle facce del cuneo devono essere cioè dirette verso il basso.Il fattore di sicurezza di sicurezza può essere calcolato come segue.

(59) Fs = [A1 x TR1 x (N1 / A1) + A2 x TR2 x (N2 / A2)] / T12 ;

dove:A1 = area del giunto 1A2 = area del giunto 2TR1 x (N1/A1) = resistenza disponibile lungo il giunto 1 incorrispondenza delle sollecitazioni normali N1/A1;TR2 x (N2/A1) = resistenza disponibile lungo il giunto 2 incorrispondenza delle sollecitazioni normali N2/A2;T12 = componente del peso del cuneo agente lungo l' intersezione dei piani 1 e 2.

La 3) in realtà può essere considerata valida solo nel caso in cui sia N1>0 eN2 > 0, con il cuneo che tende a scivolare lungo la linea d' intersezione deipiani 1 e 2.Nei casi in cui sia N1 > 0 e N2 < 0 oppure N1 < 0 e N2 > 0 lo scivolamentonon avviene più lungo l'intersezione dei piani,ma lungo la linea di massimapendenza dei piani 1 o 2 rispettivamente.Il coefficiente di sicurezza deve essere espresso allora nei seguenti modi:

(60) Fs = A1 x TR1 x (N1 / A1) / T1 (N1 > 0 e N2 < 0);

conT1 = componente del peso del cuneo agente lungo la linea di

massima pendenza del piano 1

(61) Fs = A2 x TR2 x (N2 / A2) / T2 (N1 < 0 e N2 > 0);

FORMULA GEO VER.2.0

55

conT2 = componente del peso del cuneo agente lungo la linea di massima pendenza del piano 2.

Nell'ipotesi infine in cui si abbiano N1 < 0 e N2 < 0 (cuneo che si sollevarispetto al versante) non esiste alcuna definizione di Fs e si assume unagenerale instabilitàsenza quantificarla numericamente.

Scelta dei parametri della resistenza al taglio.

Il comportamento meccanico dei giunti di discontinuità meccanica puòessere descritto con due criteri alternativi. Supponendo che il giuntoabbia un comportamento meccanico globale di tipo lineare (la resistenzamobilitata cresce linearmente con gli sforzi applicati) può essere utilizzatala relazione di Mohr-Coulomb:

(62) T = C + (s-u) x Tg ϕ;

con:

T = reistenza al taglio del giunto;s = pressione totale agente sul giunto;u = carico idraulico;ϕ = angolo di resistenza la taglio del giunto;C = coesione del giunto.

L'esperienza ha peròdimostrato la non corrispondenza di questa ipotesicol comportamento reale dell'ammasso roccioso. Più indicato in questo casoè l'adozione di un criterio non lineare (la resistenza mobilitata cresce inmaniera non lineare al crescere degli sforzi efficaci, con un andamentodi tipo parabolico).Barton suggerisce l'adozione del seguente criterio empirico:

(63) T = Pn x tg [ϕ b + JRC x Log (Pj / Pn) ];

FORMULA GEO VER.2.0

56

con:

T = resistenza la taglio del giunto;Pn = pressione normale applicata sul giunto;ϕ b= angolo di resistenza la taglio di base del giunto;JRC = coefficiente che descrive il grado di rugosità della superficiedella discontinuità (Joint Roughness Coefficient);Pj = resistenza alla compressione monoassiale del giunto.

Questa relazione ha il suo campo ottimale di applicabilità per valori di(Pj/Pn) compresi nell'intervallo 0.01 e 0.3., all'interno del quale ricadono lamaggior parte dei casi di analisi di stabilità.


1

MECCANICA DELLE ROCCE

Modalità d’esecuzione del rilievo geomeccanico.Definizione del problema.

Per caratterizzare un ammasso roccioso a comportamento rigido dal puntodi vista meccanico è necessario eseguire una serie di operazioni che, nel loroinsieme, costituiscono il rilievo geomeccanico. Nella pratica si distinguonogeneralmente rilievi geomeccanici speditivi, di dettaglio e di grandedettaglio. Nel primo caso vanno misurati soltanto alcuni parametrifondamentali, nel secondo tutti quelli necessari per la caratterizzazionedell'ammasso roccioso e nel terzo caso ulteriori parametri richiestiesplicitamente dalla finalità del lavoro.Di seguito vengono esposte le operazioni necessarie per un corretto rilievogeomeccanico, a partire dalla scelta dell'area su cui effettuare le misure.Tutti i dati ricavati dal rilievo andranno utilizzati per la determinazione dellaclasse dell'ammasso roccioso studiato, al fine di individuarnequalitativamente le caratteristiche meccaniche attraverso le classificazionitecniche di Bieniawski (1973 e successive modifiche), di Wickham (1972) edi Barton (1979).

FORMULA GEO VER.2.0

2

Scelta dell’area di rilievo strutturale A.R.S.

L'area su cui effettuare il rilievo geomeccanico deve avere specifichecaratteristiche:

• la superficie sulla quale si eseguiranno le misure deve essere il piùvicino possibile al sito dove verrà realizzata l'opera; se si tratta di unacaratterizzazione volta all'analisi di stabilità di un versante è opportunoeffettuare le misure sull'ammasso che costituisce il versante stesso; neicasi più generali, l'area scelta deve essere rappresentativa, dal punto divista geologico e strutturale, di una zona più ampia, dove verrà realizzatal'opera;

• la superficie di affioramento deve essere di almeno 50 mq;

• gli affioramenti dovrebbero essere esposti (preferibilmente) almeno sudue lati, così da consentire osservazioni più complete.

Operazioni di rilievo.

• Descrizione geologica e petrografica dell'ammasso roccioso.

Andranno descritte la struttura (pieghe, faglie, eteropie), lo stato dialterazione dell'ammasso roccioso e tutto quanto può servire per uninquadramento più generale (nome formazionale, litologia, particolaristrutture sedimentarie, ecc.).

• Operazioni riguardanti le discontinuità

Orientamento nello spazio.

In funzione della complessità strutturale dell'ammasso roccioso sarànecessario effettuare un certo numero di misure di immersione einclinazione delle famiglie di discontinuità presenti. Il numero di misure daeffettuare dovrà essere in funzione del grado di fratturazione dell’ammasso

FORMULA GEO VER.2.0

3

e dell’estensione areale dell’affioramento. Si va quindi da poche decine dimisure per situazioni strutturali semplici, in indagini di tipo speditivo, aparecchie centinaia per situazioni strutturali complesse per indagini didettaglio.L'orientazione dei piani di discontinuità delle famiglie andrà rappresentataattraverso opportune proiezioni stereografiche (vedi capitolo successivo). E'buona norma comunque, prima di iniziare l’esecuzione del rilievo dei dati,individuare subito i maggiori sistemi di discontinuità, in base al loroorientamento generale nello spazio, e misurare quindi le giaciture dei giuntiprocedendo famiglia per famiglia.

Misura della spaziatura.

La spaziatura è la distanza media tra due discontinuità appartenenti allastessa famiglia, misurata perpendicolarmente alle discontinuità stesse. Permisurare questo dato si dovrà predisporre un allineamento almeno diecivolte maggiore della spaziatura media stimata in prima approssimazione(comunque l'allineamento non deve essere mai inferiore ai 2 m) e contare lediscontinuità della stessa famiglia che vi ricadono. Il valore medio dellaspaziatura sarà dato ovviamente dal rapporto S=L/n (L = lunghezzadell'allineamento e n= numero di discontinuità contate).

Misura dell' intercetta.

Lungo una traccia prefissata si misurano le distanze fra tutte le discontinuitàche intersecano lo stendimento (appartenenti a qualsiasi famiglia). E'consigliabile effettuare misure lungo due stendimenti tra loro perpendicolari(per esempio uno orizzontale ed uno verticale). Si terrà in considerazione ilvalore minore fra quelli misurati.

Stima della persistenza.

La persistenza è l'estensione areale percentuale di una discontinuità. Se nonè possibile verificare l' estensione areale, perchè l'affioramento è espostosolo lungo un lato, è sufficiente misurare la persistenza lineare, ovvero lacontinuità espressa in percentuale della traccia della discontinuità rispettoall'estensione dell'affioramento.

FORMULA GEO VER.2.0

4

Per la stima della persistenza lineare media di una famiglia di discontinuitàsi considerano 3 classi:

- PL < 50%- 50%< PL <90%- PL >90%

Per la stima della persistenza areale (cosa possibile in presenza di almenodue superfici di affioramento contigue ed orientate in maniera differente) sidistinguono ancora 3 classi:

- PA < 25%- 25% < PA <80%- PA >80%

Se la PA è < 25% la resistenza dell'ammasso roccioso dipendeesclusivamente dal comportamento meccanico del materiale roccia. Saràinvece la resistenza mobilitabile lungo le superfici dei giunti a caratterizzareil comportamento meccanico di un ammasso roccioso con PA>80%.Rientrano nella classe intermedia tutte le situazioni comprese tra il 25 e 80%di PA.Lo stesso discorso è valido anche per quanto riguarda la PL, anche se inquesto caso l’indicazione è meno attendibile.

Stima del V.R.U. (Volume Roccioso Unitario).

Bisogna indicare quali sono le dimensioni medie dei volumi rocciosi isolatidall'intersezione delle discontinuità. Per la definizione del V.R.U si puòricorrere all'indice Jv (numero di giunti per mc):

nJvJvJvURV

...8

...21

=

dove:Jv= 1/ Spaziatura famiglia 1,2…n;

FORMULA GEO VER.2.0

5

oppure si fa una media dei volumi più rappresentativi in cui è suddivisol'ammasso roccioso.

Irregolarità delle discontinuità.

Una discontinuità è caratterizzata da irregolarità a grande scala(ondulazioni) e a piccola scala (rugosità). A grande scala si fannoosservazioni qualitative (superfici planari, regolari, ondulate, seghettate), apiccola scala si è conveniente utilizzare uno Shape Tracer (pettine diBarton).I profili, ottenuti attraverso l'adattamento alle irregolarità degli aghi mobilicui è costituito lo Shape Tracer, vanno confrontati con i profili di rugositàproposti da Barton ad ognuno dei quali corrisponde un coefficientechiamato JRC (Joint Roughness Coefficient -indice della scabrezza dellesuperfici dei giunti-) (10 profili tipo con coefficienti variabili da 0-20 adintervalli di 2).

FORMULA GEO VER.2.0

6

In linea di principio il valore di J.R.C. potrebbe anche essere ricavato conmaggior precisione applicando la relazione:

ZLogCRJ 1047.322.32... +=dove Z è dato dalla:

( )( )∑

=+ −=

n

iii yy

dxnZ

112

1

in cui:n = Numero degli intervalli di ascissa in cui è stato diviso il profilo;dx= Ampiezza lungo l’asse x dell’intervallo;

FORMULA GEO VER.2.0

7

Y Ordinata del profilo.Il valore di J.R.C. può essere ottenuto anche in maniera sperimentale,attraverso le prove di rotazione proposte da Barton e Choubey, 1977 (TiltTest), utilizzando la relazione:

−

=

n

r

SCJLog

CRJ

σ

ϕα...

)(...

10

dove:

α (°)= angolo di incipiente scorrimentoϕr (°)= angolo di attrito residuoσn (MPa)= sforzo normaleJ.C.S.(Mpa) = Joint Compressive Strength (Miller, 1965)

Nella formula l'angolo d'attrito residuo ϕr(°) può essere assunto circa ugualeall'angolo d'attrito di base del materiale roccia, ottenuto per scivolamentolungo superfici liscie. In alternativa, noto il valore di J.C.S. per la rocciasana e per quella alterata può essere ricavato attraverso la relazione:

+−=

s

abr SCJ

SCJ......

2020ϕϕ

dove:ϕb = angolo d’attrito di base della roccia;J.C.S.s=J.C.S. della roccia sana;J.C.S.a=JCS della roccia alterata.

L’angolo d’attrito di base della roccia è quello relativo ad un superficie delladiscontinuità perfettamente levigata, ed è funzione solo della tessitura edella composizione mineralogica della roccia.In tabella sono riportati alcuni valori indicativi di ϕb per varie litologie:

FORMULA GEO VER.2.0

8

Litologia ϕb(°)Amfibolite 31Arenaria 25 - 35Basalto 31 - 38Calcare 33 - 40

Conglomerato 35Dolomite 27 - 31

Gesso 30Granito 23 - 39Gneiss 29 - 35Marna 27

Porfirite 31Siltite 27 - 31

Misura della resistenza sulle superfici.

Per la valutazione della resistenza meccanica delle superfici dei giunti siutilizza il Martello di Schmidt o sclerometro, strumento costituito da uncilindro con punta rientrante, che misura la capacità del materiale diassorbire l'urto. Le superfici di discontinuità su cui appoggiare lo strumentonon devono essere troppo rugose (JRC max=8). Inoltre, al di sotto del puntodove si effettua la prova non deve esserci una discontinuità entro unadistanza di almeno 25 cm.L'indice del martello di Schmidt può essere correlato con la resistenza allacompressione delle superfici di discontinuità J.C.S. attraverso la relazione:

01.100088.0).(..10 += rMPaSCJLog γ

dove:γ(kN/mc)= Peso di volume della roccia;r= Indice del martello di Schmidt.

FORMULA GEO VER.2.0

9

In alternativa si può utilizzare il seguente grafico, che tiene conto anchedell’inclinazione dello strumento rispetto all’orizzontale:

FORMULA GEO VER.2.0

10

FORMULA GEO VER.2.0

11

Vanno effettuate misure sia su giunti sani che su giunti alterati. Ladifferenza dei valori suggerisce il grado di alterazione della roccia.E' buona norma confrontare i valori di resistenza ottenuti con questemisurazioni con quelli ricavati da prove di Point load, su campioni prelevatidall'ammasso roccioso. Per alti valori di resistenza lo sclerometro infatti nonè affidabile. Si possono avere dispersioni addirittura del 50 % per valoricompresi tra i 100 e i 150 MPa.

Misura dell'apertura e del riempimento delle discontinuità.

Questi dati servono per entrare nelle tabelle di classificazione.Le aperture si possono misurare con spessimetro o con calibro, ma èsufficiente distinguere le classi considerando i range di valori indicati nelletabelle di classificazione (vedi parametro A4 della Classificazione diBieniawski -che propone valori compresi tra 0 e 30 in funzione dell'aperturae del tipo di riempimento- e parametri Jr e Ja della Classificazione diBarton, valutati in modo meno soggettivo).

Condizioni di umidità.

La valutazione qualitativa delle condizioni di umidità che interessanol'ammasso roccioso è indispensabile per entrare nelle tabelle delleclassificazioni, che assegnano coefficienti variabili a seconda dellecondizioni idrauliche che caratterizzano l'ammasso roccioso stesso.

Prove di punzonamento (Point Load Test).

Sui campioni prelevati si possono eseguire prove di Point Load per risalirealla resistenza a compressione monoassiale della roccia. I campioni vannosempre prelevati dall'affioramento e non da blocchi già staccati, alla basedello stesso.Per provini irregolari (che si preleveranno dal sito studiato) il programmautilizza la formula proposta da Greminger:

( )( ) 75.0

138.0))(50(

DLF

MPaIs =

FORMULA GEO VER.2.0

12

dove:Is(50)(MPa)= Indice di point load già rapportato al diametro di riferimento

(50 mm);D(mm)= Distanza fra le punte;L(mm)= Lunghezza del campione lungo la superficie di rottura;F(N)= Carico a rottura;

La formula è valida anche per prove assiali su campioni cilindrici.Attraverso il parametro è possibile passare alla stima della resistenza allacompressione monoassiale della roccia attraverso la relazione:

)50(24)(0 IsMPaC =

Rappresentazioni stereografiche delle giaciture delle discontinuità.

Mentre grandezze come la spaziatura delle discontinuità, la loro apertura, ivalori di JCS e JRC ecc., possono essere rappresentati con efficacia ancheattraverso semplici istogrammi, le giaciture delle discontinuità richiedonoper la loro visualizzazione diagrammi particolari, che forniscanoun’indicazione precisa del loro orientamento nello spazio ed i rapportispaziali fra piano e piano.Le giaciture dei piani di discontinuità vengono normalmente visualizzateattraverso proiezioni sferiche, equatoriali o polari. Tra le proiezioni piùusate in questo campo si hanno:

• la proiezione polare equiareale di Schmidt:

viene utilizzata per la rappresentazione dei piani di discontinuità,visualizzati attraverso i loro poli, cioè attraverso l’intersezione dellaperpendicolare al piano con la sfera;

FORMULA GEO VER.2.0

13

questa rappresentazione stereografica, essendo equiareale, e quindirispettando i rapporti fra le aree proiettate, consente di effettuare un’analisistatistica della distribuzione dei poli, per l’individuazione dei valori digiacitura più rappresentativi delle singole famiglie, corrispondenti con lezone di massimo addensamento dei poli;

FORMULA GEO VER.2.0

14

• la proiezione equiangolare di Wulff:

viene utilizzata per la visualizzazione dei piani di discontinuità piùrappresentativi, individuati attraverso l’analisi statistica delle giacituremisurate in campagna; essendo una proiezione equiangolare, permette dimantenere i rapporti angolari fra i diversi piani.

FORMULA GEO VER.2.0

15

FORMULA GEO VER.2.0

16

Classificazione dell’ammasso roccioso.Introduzione.

I dati ricavati dal rilievo geomeccanico vanno utilizzati per ladeterminazione della qualità dell'ammasso roccioso, esprimibile attraversoappositi indici, che hanno lo scopo di permettere una valutazionepreliminare delle caratteristiche meccaniche dell’ammasso nel suocomplesso.Diverse sono le classificazioni tecniche note in letteratura, le più importantidelle quali sono quelle di Deere (1964), Bieniawski (1973 e successivemodifiche), di Wickham (1972) e di Barton (1979). Ognuna di esse fornisceun valore numerico (rispettivamente RMR, RSR e Q) derivato dalla sommadi indici parziali stimati attraverso la valutazione qualitativa o quantitativadei parametri e delle condizioni viste in precedenza.

FORMULA GEO VER.2.0

17

Classificazione di Deere (1964).

Si basa sulla stima del parametro R.Q.D. (Rock Quality Designation),definito come la percentuale di recupero di carotaggio in roccia di spezzonicon lunghezza superiore ai 10 cm rispetto alla lunghezza totale perforata.

R.Q.D. (%) = Σ Lunghezza spezzoni >=10 cmLunghezza totale carotaggio

Il valore di RQD% può essere calcolato, non disponendo di perforazioni,attraverso la formula di Palmstrom(1982):

RQD% = 115 - 3.3 x Jv

dove:

Jv= numero di giunti per metro cubo, dato dalla sommatoria dell’inversodelle spaziature mediein metri delle famiglie di discontinuità rilevate

Jv =Σ (1/Spaziatura);

In alternativa può essere utilizzata la relazione di Priest e Hudson (1976):

+=

−

11.0

100%1.0

media

S

SeRQD media

solitamente meno conservativa della precedente.La classificazione proposta da Deere è la seguente:

R.Q.D. (%) Qualità della roccia0 - 25 molto scadente26 - 50 scadente51 -75 discreta76 - 90 buona91 - 100 eccellente

FORMULA GEO VER.2.0

18

La classificazione proposta da Deere è puramente qualitativa e fornisce soloun’indicazione sul comportamento meccanico dell’ammasso, che andràintegrata con altri parametri.

FORMULA GEO VER.2.0

19

Classificazione di Bieniawski (1973 e successive modifiche).

La classificazione di Bieniawski tiene conto di 5 parametri relativi allo statodella roccia e dell'ammasso roccioso e di un indice di correzione il cuivalore è funzione dell'orientamento delle discontinuità e del problemaaffrontato (gallerie, versanti e fondazioni).

RMR = (A1 + A2 + A3 + A4 + A5) - Ic;

I parametri sono:

A1 <Co> (Resistenza a compressione monoassiale);A2 <RQD%> (Rock Quality Designation);A3 <s> (Spaziatura delle discontinuità);A4 Condizioni dei giuntiA5 Condizioni idrauliche dei giuntiIc Indice di correzione

Ad ognuno di essi viene assegnato un indice parziale a seconda del valore(per <RQD%>, <Co> e <s>) o della condizione.Esistono diverse versioni di questa classificazione. Le più usate sono quelledel 1976, del 1979 e del 1989.

FORMULA GEO VER.2.0

20

Classificazione di Bieniawski del 1976

PARAMETRI INTERVALLI DI VALORICarico puntuale(Mpa) >8 4-8 2-4 1-2 Non applicabileRESISTENZA

ROCCIAINTATTA

Compressionemonoassiale(MPa)

>200 100-200 50-100 25-50 10-25

3-10 1-31

Indice 15 12 7 4 2 1 0RQD (%) 90-100 75-90 50-75 25-50 <252Indice 20 17 13 8 3SPAZIATURA GIUNTI (m) >3 1-3 0,3-1 0,05-0,3 <0,05

3 Indice 30 25 20 10 5

CONDIZIONE GIUNTI

Superficimolto

scabre noncontinue.

Paretirocciadura

Superficiscabre.

Apertura<1mm.Paretirocciadura

Superficiscabre.

Apertura<1mm.

Pareti rocciatenera

Superfici lisce olaminate o

riempimento<5mmo apertura 1-5mm.

Giunti continui

Riempimento tenerocon spessore >5mm ogiunti aperti>5 mm.

Giunti continui

4

Indice 25 20 12 6 0Afflusso per 10m dilunghezza del tunnel(litri/min)

Assente < 25 25-125 >125

Rapporto Pressioneacqua neigiunti/Pressionenaturale in sito

0 0-0,2 0,2-0,5 >0,5CONDIZIONIIDRAULICHE

Condizioni generaliGiunti asciutti Umidi

Acqua in debolepressione Gravi problemi

idraulici

5

Indice 10 7 4 0

La somma dei 5 indici parziali fornisce il Basic RMR (BRMR). Il BasicRMR in condizioni di giunti asciutti (A5=10) corrisponde numericamente alparametro G.S.I. (Geological Strenght Index), grandezza collegata ai fattorim, a ed s dell’ammasso roccioso integro (vedi capitolo). Cioè si ha:

76BRMRGSI = (solo per BRMR>18)

Per la stima dell’indice di correzione Ic si deve fare riferimento allaseguente tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

21

Orientamento dei giunti Molto favorevole Favorevole Discreto Sfavorevole Molto sfavorevoleGallerie e miniere 0 -2 -5 -10 -12Fondazioni 0 -2 -5 -15 -25Versanti

Indice0 -5 -7 -50 -60

Applicando alla BRMR la correzione Ic si ottiene l’indice RMR, correlatoalla qualità dell’ammasso roccioso e alle sue caratteristiche meccanichesecondo la seguente tabella:

RMR 0-25 25-50 50-70 70-90 90-100CLASSE V IV III II I

QUALITA’ Molto scadente Scadente Discreta Buona OttimaCoesione(Mpa) <0,1 0,1-0,15 0,15-0,20 0,2-0,3 >0,3

ϕ(°) <30 30-35 35-40 40-45 >45

FORMULA GEO VER.2.0

22


PARAMETRI INTERVALLI DI VALORICarico puntuale(Mpa) >10 4-10 2-4 1-2 Non applicabileRESISTENZA

ROCCIAINTATTA

Compressionemonoassiale(MPa)

>250 100-250 50-100 25-50 5-25 1-5 <11

Indice 15 12 7 4 2 1 0RQD (%) 90-100 75-90 50-75 25-50 <252Indice 20 17 13 8 3SPAZIATURA GIUNTI (m) >2 0,6-2 0,6-0,2 0,06-0,2 <0,06

3 Indice 32 15 10 8 5

CONDIZIONE GIUNTI

Superficimolto

scabre noncontinue.

Paretiroccia non

alterate

Superficiscabre.

Apertura<1mm.Paretiroccia

leg.alterate

Superficiscabre.

Apertura<1mm.

Pareti rocciamolto

alterate

Superfici lisce olaminate o

riempimento<5mmo apertura 1-5mm.

Giunti continui

Riempimento tenero conspessore >5mm o giunti

aperti>5 mm. Giunti continui4

Indice 30 25 20 10 0Afflusso per 10m dilunghezza del tunnel(litri/min)

Assente <10 10-25 25-125 >125

Rapporto Pressioneacqua neigiunti/Pressionenaturale in sito

0 <0,1 0,1-0,2 0,2-0,5 >0,5CONDIZIONIIDRAULICHE

Condizioni generali Giuntiasciutti

Umidi Bagnati Stillicidio Venute d’acqua

5

Indice 15 10 7 4 0

La somma dei 5 indici parziali fornisce il Basic RMR (BRMR). Il BasicRMR in condizioni di giunti asciutti (A5=15) può essere correlato anche inquesto caso al parametro G.S.I. (Geological Strenght Index), grandezzacollegata ai fattori m, a ed s dell’ammasso roccioso integro (vedi capitolo).Infatti si ha:

579 −= BRMRGSI (solo per BRMR>23)

Per la stima dell’indice di correzione Ic si deve fare riferimento, anche inquesto caso, alla seguente tabella:


Indice0 -5 -7 -50 -60

FORMULA GEO VER.2.0

23

Applicando alla BRMR la correzione Ic si ottiene l’indice RMR, correlatoalla qualità dell’ammasso roccioso e alle sue caratteristiche meccanichesecondo la seguente tabella:


QUALITA’ Molto scadente Scadente Discreta Buona OttimaCoesione(Mpa) <0,1 0,1-0,20 0,20-0,30 0,3-0,4 >0,4

ϕ(°) <15 15-25 25-35 35-45 >45

FORMULA GEO VER.2.0

24


Rispetto alle precedenti la classificazione del 1989 si differenzia per dueaspetti:• la possibilità di valutare i parametri A1(resistenza della roccia), A2

(RQD) e A3 (spaziatura) secondo una curva continua e non per classidiscrete, come avveniva nelle classificazioni precedenti;

• la possibilità di ricavare il parametro A4 (condizione dei giunti) in modomeno soggettivo, utilizzando una tabella più dettagliata.

I parametri A1, A2, A3 possono essere ricavato direttamente attraverso iseguenti grafici:

A1:

A2:

FORMULA GEO VER.2.0

25

A3:

FORMULA GEO VER.2.0

26

Il parametro A4 deve essere ricavato attraverso la sommatoria di una seriedi indici parziali, che tengono in considerazione la rugosità, l’apertura, lapersistenza lineare, il riempimento e il grado di alterazione dei giunti.

PARAMETRI INTERVALLI DI VALORILunghezza giunto <1m 1-3 m 3-10 m 10-20 m >20 mIndice 6 4 2 1 0Apertura giunto Chiuso <0,1 mm 0,1-1 mm 1-5 mm >5 mmIndice 6 5 4 1 0Rugosità giunto Molto rugoso Rugoso Leggerm. rugoso Liscio LaminatoIndice 6 5 3 1 0Riempimento Nessuno Compatto<5mm Compatto>5mm Molle<5mm Molle>5mmIndice 6 4 2 2 0Alterazione giunti Non alterati Legg.alterati Mediam.alterati Molto alterati DecompostiIndice 6 5 3 1 0

Nell’effettuare la scelta di questi indici parziali si tenga presenti che alcunecondizioni si escludono a vicenda: per esempio, se è presente unriempimento spesso diventerà irrilevante il contributo della rugosità,venendo a perdersi il contatto fra le pareti dei giunti.

FORMULA GEO VER.2.0

27

Infine, il parametro A5 (condizioni idrauliche) andrà calcolato come nellaclassificazione del 1979.Come nelle classificazioni precedenti, la somma dei 5 indici parzialifornisce il Basic RMR (BRMR). Il Basic RMR in condizioni di giuntiasciutti (A5=15) può essere correlato anche in questo caso al parametroG.S.I. (Geological Strenght Index), grandezza collegata ai fattori m, a ed sdell’ammasso roccioso integro (vedi capitolo). Infatti si ha:

579 −= BRMRGSI (solo per BRMR>23)

Per la stima dell’indice di correzione Ic si deve fare riferimento, anche inquesto caso, alla seguente tabella:


Indice0 -5 -7 -50 -60

Applicando alla BRMR la correzione Ic si ottiene l’indice RMR, correlatoalla qualità dell’ammasso roccioso secondo la seguente tabella:


QUALITA’ Molto scadente Scadente Discreta Buona Ottima

I parametri geomeccanici sono invece essere correlati direttamente a BRMR(e non a RMR) attraverso le relazioni:

25)(

BRMR+=°ϕ

BRMRMPac *005,0)( =

40

10

10)(−

=BRMR

GPaE

dove:ϕ(°)= Angolo d’attrito dell’ammasso roccioso;c(Mpa)= Coesione dell’ammasso roccioso;E(Gpa)= Modulo elastico dell’ammasso roccioso;

FORMULA GEO VER.2.0

28

Test di Markland

La classificazione di Bieniawski può essere applicata anche per lacaratterizzazione geomeccanica di versanti, se si stabilisce un coefficiente dicompensazione appropriato.Il programma propone l'utilizzo del Test di Markland (1972) (comesuggerito da R. Pozzi e A. Clerici, 1985) per individuare quantitativamentele discontinuità che rappresentano piani di scivolamento in un pendio inroccia.Il procedimento fornisce un'indicazione qualitativa della stabilità del cuneoin funzione del suo orientamento nello spazio e della stima della resistenzaal taglio mobilitabile lungo i piani di possibile scorrimento. Quest'ultimagrandezza viene quantificata attraverso il parametro angolo d'attrito mediodelle discontinuità meccaniche.Il test prevede quattro situazioni possibili.

1. Cuneo potenzialmente instabile.

FORMULA GEO VER.2.0

29

Questa situazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio menoinclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio mobilitabile lungo lesuperfici potenziali di scorrimento sia inferiore all'inclinazione della linead'intersezione dei piani di scorrimento.

FORMULA GEO VER.2.0

30

2. Cuneo stabile.

Questa situazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio menoinclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio mobilitabile lungo lesuperfici potenziali di scorrimento sia superiore all'inclinazione della linead'intersezione dei piani di scorrimento. Si verifica ovviamente anche percunei a reggipoggio.

FORMULA GEO VER.2.0

31

3. Cuneo con stabilità incerta.

Questa situazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio menoinclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio mobilitabile lungo lesuperfici potenziali di scorrimento sia circa uguale all'inclinazione dellalinea d'intersezione dei piani di scorrimento. In questa caso va tenutopresente che generalmente l'errore insito nella grandezza angolo diresistenza al taglio è di circa 2°, se non addirittura maggiore. Il test di

FORMULA GEO VER.2.0

32

Markland non permette in queste condizioni di ottenere un responso precisosulla stabilità del cuneo, per ottenere il quale occorrerà l'impiego di metodipiù precisi.

4. Cuneo potenzialmente instabile per ribaltamento.

Questa situazione si verifica quando il pendio ed una delle discontinuitàsono subverticali con immersione circa uguale. In questo caso il valoredell'angolo di resistenza al taglio non influisce sulla stabilità, in quanto sipuò supporre che le due facce della superficie di ribaltamento non siano incontatto e quindi non sviluppi un'apprezzabile resistenza al taglio.

FORMULA GEO VER.2.0

33

Una volta identificate le possibili direzioni di movimento è possibiledefinire le condizioni da 'molto favorevole' a 'molto sfavorevole' ed entrarenella tabella proposta da Z. T. Bieniawski.La condizione 'molto favorevole' è identificabile con l'assenza di direzionicritiche.Le condizioni 'mediocre' e 'sfavorevole' e 'molto sfavorevole' sonoidentificabili con la presenza di una, due e tre direzioni critiche,rispettivamente.La condizione 'favorevole' si ha quando non ci sono direzioni critiche, mabasta la variazione di pochi gradi nel valore attribuito all'angolo d'attrito dibase perchè si verifichi la possibilita' di instabilità dei cunei rocciosi.Alle condizioni sopra riportate corrispondono i seguenti indici dicompensazione:

Condizione Indicemolto favorevole 0

favorevole -5discreta -25

sfavorevole -50molto sfavorevole -60

L'indice RMR ottenuto dalla classificazione di Bieniawski, può essereinoltre correlato con l'indice Q (Classificazione di Barton) e con RSR(Classificazione di Wickham) mediante le seguenti relazioni:

44ln9 += QRMR

77,04,12−

=RSR

RMR

FORMULA GEO VER.2.0

34

Stima delle grandezze m,s e a dell’ammasso roccioso.

Attraverso il parametro G.S.I. ricavato dalla classificazione di Bieniawski èpossibile ricavare le grandezze m, s ed a , necessarie per la definizione delcriterio di rottura di Hoek e Brown, secondo la relazione:

a

cbc sm

++=

σσσσσ 3

31

dove:σ1e σ3= Sforzi principali;σc= Resistenza alla compressione monoassiale della roccia intatta.

Si riconoscono tra casi.• Roccia indisturbata e G.S.I.>25.

28

100−

=GSI

iemm

9

100−

=GSI

es5,0=a

• Roccia indisturbata e G.S.I.≤25.

28

100−

=GSI

iemm0=s

20065,0

GSIa −=

• Roccia disturbata qualunque valore di G.S.I..

14

100−

=GSI

ir emm

FORMULA GEO VER.2.0

35

6

100−

=GSI

r es5,0=a

dove:mi= grandezza dipendente dalle caratteristiche mineralogiche epetrografiche della roccia intatta, ottenibile, in assenza di determinazioni dilaboratorio più precise, dalla seguente tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

36

Classificazione di Wickham (1972).

La classificazione di Wickham costituisce il primo sistema di classificazionecompleto apparso in letteratura.Si basa sulla stima dell’indice R.S.R.(Rock Structure Rating), così definito:

RSR = A + B + C.

Dove A, B e C sono tre indici parziali ricavabili attraverso lo schemaproposto di seguito:

• Parametro A: valutazione delle caratteristiche generali della roccia.

Intervengono la genesi del litotipo, la durezza, l'intensità dei fenomeniplicativi. Il campo numerico varia da 6 a 30.Si seleziona il tipo litologico nella tabella 1, quindi si entra nella tabella 2.

Calcolo del parametro A - Tipo litologico - Tabella 1Tipo di roccia Dura Mediocre Tenera Alterata Ignea 1 2 3 4 Metamorfica 1 2 3 4 Sedimentaria 2 3 4 4

Calcolo del parametro A - Struttura dell'ammasso - Tabella 2Massiccia Poco Mediam. Molto Fratturata fratturata fratturata 30 22 15 9 TIPO 1 27 20 13 9 TIPO 2 24 18 12 7 TIPO 3 19 15 10 6 TIPO 4

• Parametro B: si riferisce alla caratteristiche fisiche delle discontinuità eall'orientamento della galleria.

Il parametro varia da 7 a 45 ed è funzione della spaziatura tra le fratture edell’orientamento relativo tra l'asse del cavo e le discontinuità.Bisogna tener conto dell'immersione delle discontinuità rispetto al verso diavanzamento della galleria.

FORMULA GEO VER.2.0

37

Calcolo del parametro BImmersione || al fronte di scavo |- al fronte di scavo

Qualsiasi Pendenza giunti Pendenza giunti pendenza Concorde Discorde Concorde o dis corde col verso di col verso di col verso di

Avanzamento avanzamento avanzamentoValori inclinazione 0-20 20-50 50-90 20-50 50-90 0-20 20-50Roccia int.fratturata 9 11 13 10 12 9 9Roccia fratturata 13 16 19 15 17 14 14Roccia scar.fratturata 23 24 28 19 22 23 23Roccia deb.fratturata 30 32 36 25 28 28 28Roccia quasi integra 36 38 40 33 35 36 34Roccia integra 40 43 45 37 40 40 38

• Parametro C: riguarda le caratteristiche fisiche delle discontinuità inrapporto alle condizioni idrauliche.

Il parametro varia tra 6 e 25 e viene assegnato in funzione della somma deiparametri A + B ottenuta precedentemente e sulla base di una valutazionequalitativa che tiene conto principalmente dell'alterazione, dell'apertura edella continuità dei giunti e delle venute d'acqua prevedibili.

Calcolo del parametro C - somma A+B<45Cond.idriche Condizioni dei giunti

Buona Media ScarsaAsciutto 22 18 12Scarsa(<25 l/ min) 19 15 9Media(25-125 l/ min) 15 11 7Forte (>125 l/ min) 10 8 6

FORMULA GEO VER.2.0

38

Calcolo del parametro C - somma A+B>=45Cond.idriche Condizioni dei giunti

Buona Media ScarsaAsciutto 25 22 18Scarsa(<25 l/ min) 23 19 14Media(25-125 l/ min) 21 16 12Forte (>125 l/ min) 18 14 10Condizioni dei giunti:Buona = ben chiusi o cementatiMedia = scarsamente bagnati o alteratiScarsa = molto bagnati, alterati o aperti

Il coefficiente RSR (variabile da 19 a 100) cosi' ottenuto si traduce in undiverso grado di armatura in funzione delle dimensioni della galleria.Questo sistema fa riferimento ad armature ottenute con centine. Solosubordinatamente si può estendere ad altre tecniche di supporto (es. bullonie shotcrete).

Per definire una classe di ammasso roccioso bisogna correlare il valoreottenuto di R.S.R. con i valori di R.M.R. o Q, attraverso le relazioni:

RSR = 0,77 RMR + 12,4

RSR = 13,3 LogQ + 46

Questa classificazione è l'unica che tiene in considerazione la naturalitologica e la genesi delle rocce che costituiscono l'ammasso roccioso.

FORMULA GEO VER.2.0

39

Classificazione di Barton (1979).

La classificazione di Barton è basata sull'analisi di 200 casi reali. Il dettagliocon cui sono state stilate le tabelle per la definizione numerica dei parametrilimita estremamente la soggettività delle scelte.L’indice Q viene calcolato attraverso la relazione:

SRFJJJRQDJ

Qan

wr=

Le grandezze espresse al secondo membro hanno il seguente significato.

• RQD % (Rock Quality Designation).

Tiene conto della suddivisione della massa rocciosa.

• Jn (Joint Set Number).Dipende dal numero di famiglie di giunti presenti nell'ammasso roccioso.Viene ricavato dalla seguente tabella:

Jn (Joint Set Number) JnA Roccia compatta o poche discontinuità 0 - 1B Una famiglia di discontinuità 2C Una famiglia di discontinuità + random 3D Due famiglie di discontinuità 4E Due famiglie di discontinuità + random 9F Tre famiglie di discontinuità 6G Tre famiglie di discontinuità + random 12H Quattro famiglie di discontinuità, random,intensamente fratturato, <Sugar cube>

15

I Rocce fratturate, terrose 20

• Jr (Joint Roughness Number).

Dipende dalla rugosità delle superfici di discontinuità.

FORMULA GEO VER.2.0

40

Jr (Joint Roughness Number) JrPareti delle fratture a contatto o con tratti beanti < 10cmA fratture discontinue 4B rugose, irregolari, ondulate 3C ondulate, lisce 2D ondulate a facce levigate 1.5E planari, ruvide o irregolari 1.5F planari lisce 1.0G planari a facce levigate 0.5Pareti delle fratture aperteH minerali argillosi nei giunti, fratture non acontatto

1.0

I zone sabbiose, ghiaiose o fratturate 1.0

• Ja (Joint Alteration Number) .

Dipende dal grado di alterazione delle fratture, dallo spessore e dalla naturadel riempimento.

Ja (Joint Alteration Number) JaA Riempimento impermeabile, duro,strettamente cicatrizzato

0.75

B Bordi fratture inalterati, superficiautoreggentesi

1

C Bordi fratture leggermente alterati,rivestitidi minerali non ammorbiditi, particellesabbiose

2

D Rivestimento limoso-argilloso o sabbioso-argilloso

3

E Rivestimento di minerali ammorbiditi conargille rigonfianti

4

F Particelle sabbiose, roccia disgregata liberada argilla

4

G Riempimenti di minerali argillosi nonrigonfianti, continui

6

H Riempimenti di minerali argillosiammorbiditi

8

J Riempimenti di minerali argillosirigonfianti

8-12

FORMULA GEO VER.2.0

41

• Jw (Joint Water Number).

Dipende dalle condizioni idrogeologiche.

Jw (Joint Water reduction factor) JwA Scavo secco o afflussi minimi(< 5 l/ minlocalmente)

1

B Sporadici getti del materiale diriempimento dei giunti

0.66

C Pressioni elevate in rocce competenti congiunti nonriempiti (afflussi sostenuti) 0.5D Come C, consistenti getti di materiali daigiunti

0.33

E Colpi d'acqua decrescenti nel tempo 0.2-0.1F Colpi d'acqua costanti nel tempo 0.1-0.05

• S.R.F (Stress Reduction Factor) .

Dipende dalle tensioni che interessano il cavo della galleria e a seconda chel'ammasso roccioso risulti competente, incompetente, spingente oppurerigonfiante. E' indicativo quindi dello stato di sollecitazione che interessal'ammasso roccioso. Si può valutare osservando i fenomeni negli immediatidintorni dell' ARS (faglie attive, zone di debolezza o rilasci parietali,presenza di rocce rigonfiabili, ecc.).

FORMULA GEO VER.2.0

42

SRF(Stress Reduction Factor) SRFZone deboli interessanti lo scavo - distacchi di volumi di roccia nelcavoA Zone deboli multiple con argille o rocce disgregatechimicamente, rocce del contorno del cavo moltoallentate

10

B Singole zone deboli con argille o rocce disgregatechimicamente (prof. di scavo < 50m)

5

C Come B ma con prof. di scavo > 50 m 2.5D Zone di frattura multiple in rocce competenti, senzaargilla rocce del contorno molto allentate (qualsiasiprofondità)

7.5

E Singole zone di frattura in rocce competenti, senzaargilla con prof. di scavo < 50 m

5

F Come E ma con prof. di scavo > 50 m 2.5G Giunti allentati aperti, rocce intensamente fratturateSugar cube (qualsiasi profondità)

5

Problemi di tensione in rocce competentiH Tensione bassa vicino alla superficie 2.5J Tensione media 1K Tensione alta, struttura molto compatta 0.5-2L Scoppi di roccia moderati 5-10M Scoppi di roccia forti 10-20Roccia compressa, flusso plastico di rocce incompetenti sottopressioneN Flusso plastico medio, prssione moderata 5-10O Flusso plastico forte, pressione forte 10-20Roccia rigonfiante, rigonfiamento dipendente dall'acquaP Pressione di rigonfiamento media 5-10Q Pressione di rigonfiamento forte 10-20

I tre rapporti della formula hanno un determinato significato fisico:

• RQD/Jn: definisce la struttura dell'ammasso roccioso e fornisce unamisura approssimata dei blocchi unitari di roccia.

• Jr/Ja: tiene conto delle caratteristiche di resistenza meccanica dei giunti.Il valore e di questo rapporto viene ridotto in funzione del grado dialterazione e dell'apertura dei giunti.

FORMULA GEO VER.2.0

43

• Jw/SRF: il valore di questo rapporto esprime lo stato di tensioneefficace che agisce sull'ammasso roccioso.

L'indice Q system (variabile da 0.001 a 1000) è diviso in 9 intervalli cuicorrispondono altrettante classi di ammasso roccioso. Gli intervalli sonoespressi in scala logaritmica.

Q system 1000-400 400-100 100-40 40-10 10-4Descrizione OTTIMO BUONISSIMO MOLTO

BUONOBUONO DISCRETO

Classe I II III IV V

Q system 4-1 1-0.1 0.1-0.01 0.01-0.001Descrizione SCADENTE MOLTO

SCADENTESCADENTISSIMA PESSIMA

Classe VI VII VIII XI

A differenza di quanto suggerito da Bieniawski, Barton non riporta, nellaclassificazione, indicazioni circa l'orientamento dei giunti in funzionedell'orientamento della galleria in quanto (come spiegato dallo stessoAutore) i parametri Jn, Jr e Ja giocano un ruolo più importantedell'orientazione dei giunti, perchè definiscono il grado di libertà riguardo almovimento dei blocchi. Le caratteristiche frizionali delle discontinuitàpossono variare più della componente normale della forza di gravità dellediscontinuità orientate sfavorevolmente.Come visto in precedenza l’indice Q può essere correlato all’indice RMR eBRMR della classificazione di Bieniawski con la relazione:

RMR=9lnQ+44;BRMR=9lnQ’+44;

dove Q’ deriva dall’indice Q, ponendo il rapporto Jw/SRF =1

FORMULA GEO VER.2.0

44

Portanza di fondazioni su roccia.

Fondazioni superficiali.

Per fondazioni superficiali su roccia Stagg e Zienkiewicz (1968)propongono l’utilizzo della formula classica di Terzaghi:

γγγγ sBNDNscNQ qcc 21 5.0lim ++=

dove:c = coesione dell’ammasso roccioso;γ1= peso di volume della roccia sopra il piano di posa;γ2=peso di volume della roccia sotto il piano di posa;D=profondità di posa della fondazione;B=larghezza della fondazione;sc = fattore di forma, uguale a 1 per fondazioni nastriformi e a 1.3 perfondazioni quadrate o rettangolari;sγ = fattore di forma, uguale a 1 per fondazioni nastriformi e a 0.8 perfondazioni quadrate o rettangolari;Nc, Nq e Nγ = fattori adimensionali di portanza.

Rispetto alla formula di Terzaghi applicata alle terre, gli Autori citatipropongono di inserire i seguenti fattori di portanza:

Nq = tg6(45 + ϕ/2);

Nc = 5 x tg4(45 + ϕ/2);

Nγ =Nq +1.

dove ϕ=angolo d’attrito dell’ammasso roccioso.

La Qlim (portanza limite) della fondazione andrà poi corretta in funzionedel grado di fratturazione della roccia, utilizzando il parametro R.Q.D.(%):

FORMULA GEO VER.2.0

45

Qlim’ = Qlim x (RQD/100)2.

Si tenga presente che questa relazione è inapplicabile nel caso di ammassirocciosi con R.Q.D. molto bassi, inferiori a 30%.Vista la difficoltà di quantificare i parametri coesione e angolo d’attritodella roccia, in alternativa alla formula di Stagg e Zienkiewicz può essereimpiegata direttamente la seguente relazione:

01002.01.0lim C

RQDQ

+=

dove C0 è la resistenza alla compressione monoassiale della roccia. Laformula è basata su valori tabellati da Bowles.Nel caso infine in cui si abbia il valore di RQD prossimo a zero, la portanzadell’ammasso roccioso può essere ricavata con le stesse relazioni, che siutilizzano per fondazioni su terreni sciolti (Terzaghi, Vesic, Meyerhof,Brinch Hansen).

Fondazioni su pali.

Nel caso di fondazioni su pali Peck et Alii (1974) propongono di trascurarela resistenza laterale, dovuto all’attrito palo-roccia, e di verificaresemplicemente che il carico applicato sul palo sia inferiore alla resistenzaalla compressione monoassiale della roccia di base:

Carico su palo ≤ Res. compressione monoaasiale roccia.

FORMULA GEO VER.2.0

46

Gallerie

Analisi dell’interazione roccia – sostegno.

Viene di seguito trattato l’argomento dell’analisi dell’interazione fra rocciae sostegno secondo il metodo semplificato di Hoek e Brown. Questaprocedura, utile per un primo dimensionamento delle opere di sostegno deltunnel, si basa su alcune importanti assunzioni.

• Geometria del tunnel: si assume una galleria a sezione circolare dilunghezza tale da poter trattare il problema solo in due dimensioni.

• Campo degli sforzi in situ: gli sforzi in situ orizzontali e verticalivengono assunti uguali come valore.

• Pressione dei supporti : si ipotizza che i supporti messi in operaesercitino una pressione radiale uniforme sulle pareti del foro.

• Proprietà del materiale roccia indisturbato: l’ammasso roccioso sipresume abbia, in condizioni indisturbate, un comportamento di tipolineare - elastico; il criterio di rottura di questo materiale deve esseredescrivibile attraverso la relazione:

( ) 5,02331 cc sm σσσσσ ++=

• Proprietà del materiale roccia disturbato: l’ammasso rocciosodisturbato attorno al tunnel viene assunto con comportamento di tipoperfettamente plastico e deve soddisfare il seguente criterio di rottura:

( ) 5,02331 crcr sm σσσσσ ++=

• Deformazioni volumetriche: nelle zone a comportamento elastico sonogovernate dalle costanti elastiche E (modulo di Young) e ν (rapporto diPoisson) della roccia; a rottura l’ammasso roccioso subirà un aumento divolume e le relative deformazioni saranno calcolate secondo la teoriadella plasticità.

FORMULA GEO VER.2.0

47

• Comportamento dipendente dal tempo: si assume che l’ammassoroccioso, disturbato e non, non mostri un comportamento dipendente daltempo.

• Estensione della zona plastica: s’ipotizza che la zona a comportamentoplastico abbia un’estensione di raggio re, dipendente dalla pressione insitu P0, dalla pressione esercitata dai sostegni Pi e dalle caratteristichedell’ammasso roccioso.

Curva pressioni - deformazione

Quello che segue è lo schema di calcolo per ottenere la curva pressioni –deformazioni necessaria per effettuare il dimensionamento di massima deisostegni della galleria. Lo schema è quello proposto da Hoek e Brown(1982).Dati di input.

σc= Resistenza alla compressione monoassiale della roccia intatta;m, s= Costanti dell’ammasso roccioso integro;E= Modulo di elasticità dell’ammasso roccioso indisturbato;ν= Rapporto di Poisson;mr, sr= Costanti dell’ammasso roccioso disturbato;γr= Peso di volume dell’ammasso roccioso disturbato;p0= Pressione in situ;ri= Raggio del tunnel.

Sequenza di calcolo.

Il calcolo deve essere eseguito ripetendo la sequenza con pi (pressione delsostegno) che viene fatto variare da 0 a p0, secondo il passo di calcolodesiderato.

• 842

15,0

0

2m

sp

mm

Mc

−

++

=

σ

FORMULA GEO VER.2.0

48

•

( )5,0

04

+−+

−=

sMpm

m

mD

cc

σσ

• 5,0

202

+

−=

r

r

cr

c

ms

mMp

Nσ

σ

• Per pi>p0-Mσc la deformazione intorno alla galleria è elastica

( ) ( )ii

i ppEr

u−

+= 0

1 ν

• Per pi≤p0-Mσc si ha rottura di tipo plastico intorno alla galleria :

( )c

e

e MEr

u σν+=

1

5,0

22

+−

= r

r

cr

i

m

s

m

pN

i

e err σ

Per 3i

e

rr

: DR 1,1=

+

−

=

Rrr

rr

ru

e

i

e

i

e

e

e

av

111

2

2

2

2

2

−=

i

eav

e

e

rr

eru

A

5,0

11

1

+−

−=A

eru av

i

i

FORMULA GEO VER.2.0

49

• Per la calotta della galleria, diagrammare i

i

ru

in funzione di

( )0p

rrp ieri −+ γ

• Per i piedritti della galleria, diagrammare i

i

ru

in funzione di 0p

pi

• Per la platea della galleria, diagrammare i

i

ru

in funzione di

( )0p

rrp ieri −−γ

La grandezza cMp σ−0 rappresenta la pressione critica, cioè la pressioneche deve essere contrastata dai sostegni, perché non si abbia la creazione diuna zona di rottura a comportamento plastico nell’ammasso roccioso.

Interazione roccia-sostegno

Di seguito viene presentata la sequenza di calcolo per il dimensionamentodei sostegni della galleria (anello di cemento, bulloni e centine). Ildimensionamento deve essere eseguito a tentativi, calcolando prima larigidità e la massima pressione sostenibile dal supporto, e disegnando quindila curva del sostegno sul diagramma pressioni-deformazioni elaborato inprecedenza. Il metodo prevede anche la possibilità di combinare due operedi tipo differente, per esempio centine e bulloni, ed elaborare in un’unicacurva l’azione del supporto combinato.Il sostegno è stato dimensionato correttamente, quando si osserverà la curvadel sostegno stesso intersecare, nel diagramma pressioni-deformazioni, letre curve relative alla calotta, ai piedritti e alla platea.

FORMULA GEO VER.2.0

50

• Anello di cemento: calcolo della rigidità e della massima pressionesostenibile.

Dati di input:Ec= Modulo di elasticità del cls;νc= Rapporto di Poisson del cls;tc= Spessore dell’anello di cls;ri= Raggio della galleria;σcc= Resistenza alla compressione monoassiale del cls.

Rigidità: ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]22

22

211 ciicc

ciicc trr

trrEk

−+−+−−

=νν

Pressione massima:( )

−−=

2

2

max 121

i

ciccsc

r

trP σ

FORMULA GEO VER.2.0

51

• Centine: calcolo della rigidità e della massima pressione sostenibile.

Dati di input:W= Larghezza del blocco di contrasto;X= Spessore della sezione della centina;As= Area della sezione della centina;Is= Momento d’inerzia della centina;Es= Modulo di elasticità della centina;σys= Resistenza dell’acciaio;ri= Raggio della galleria;S= Spaziatura delle centine lungo l’asse della galleria;θ (rad)= Angolo fra i blocchi di contrasto;tb= Spessore dei blocchi di contrasto;Eb= Modulo di elasticità dei blocchi di contrasto.

Rigidità: ( )

22

3 21

2cos1

WEtS

sinsin

IESr

AESr

k b

b

ss

i

ss

i

s

θθ

θθθθ+

−

++=

Pressione massima:

( )

−

+−+

=

θθ

σ

cos121

32

3max

XtrXAISr

IAp

bissi

ysssss

• Bulloni: calcolo della rigidità e della massima pressione sostenibile.

Dati di input:l= Lunghezza del bullone;db= Diametro del bullone;Eb= Modulo elastico del bullone;Q= Rigidità dell’ancoraggio;Tbf= Carico limite di sfilamento;ri= Raggio della galleria;sc= Spaziatura circonferenziale dei bulloni;sl= Spaziatura longitudinale dei bulloni.

FORMULA GEO VER.2.0

52

Rigidità:

+= Q

Edl

rss

k bbi

lc

b π41

Pressione massima: lc

bfsb ss

Tp =max

• Calcolo della curva del sostegno per un sistema singolo.

Dati di input:k= Rigidità del sostegno considerato;psmax= Massima pressione sostenibile dal sostegno;ui0= Deformazione iniziale della galleria prima dell’installazione del

sostegno.

La curva del sostegno si ricava facendo variare la pressione (pi) da 0 alvalore di psmax nella relazione:

ii

i

ii r

kp

ru

u

+= 0

• Calcolo della curva del sostegno per un sistema combinato di supporti.

Dati di input:k1= Rigidità del sostegno 1;psmax1= Massima pressione sostenibile dal sostegno 1;k2= Rigidità del sostegno 2;psmax2= Massima pressione sostenibile dal sostegno 2;ui0= Deformazione iniziale della galleria prima dell’installazione del

sostegno.N.B.: si ipotizza che i sostegni vengano messi in operacontemporaneamente.La curva del sostegno si ricava facendo variare la pressione (pi) da 0 alvalore di psmax nelle relazioni:

1

1max1max k

pru asi=

FORMULA GEO VER.2.0

53

2

2max2max k

pru asi=

( )2112 kk

pru ii

+=

Per u12<umax1<umax2: ( ) ii

i

ii r

kkp

ru

u

+

+=21

0

Per u12>umax1<umax2: ( )

irkku

p 211max12max

+=

Per u12<umax2<umax1: ( )

irkku

p 212max12max

+=

FORMULA GEO VER.2.0

54

Test di Markland applicato alle gallerie.

Un’indicazione della stabilità della galleria può essere ricavata attraversol’utilizzo del test di Markland, cioè attraverso la visualizzazione dellediscontinuità presenti nell’ammasso roccioso su un diagramma equatorialedi Wulff.Quattro sono le verifiche che vanno condotte.

• Verifica del distacco di blocchi dalla calotta.

C’è la possibilità di avere il distacco di blocchi dalla callotta nel caso in cuisi abbiano almeno tre famiglie di giunti, le cui intersezioni disegnino unafigura chiusa rispetto al centro del diagramma di Wulff.

FORMULA GEO VER.2.0

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• Verifica dello scivolamento di cunei in calotta.

Si ha la possibilità di scivolamento di cunei di roccia in calotta nel caso incui, l’intersezione fra due piani ricada all’interno del cono d’attrito.

• Verifica dello scivolamento di cunei lungo i piedritti.

Si hanno condizioni d’instabilità lungo i piedritti nel caso in cuil’intersezione fra due piani ricada all’interno di uno dei due semicerchi,ottenuti dall’intersezione dell’asse della galleria con il cono d’attrito.

FORMULA GEO VER.2.0

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FORMULA GEO VER.2.0

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• Verifica della stabilità del fronte.

In questo caso si procede come visto nel caso della stabilità di versanti.

FORMULA GEO VER.2.0

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IDROLOGIA

Coefficiente di deflusso medio annuo di un bacino.

Per coefficiente di deflusso medio annuo (Cd) si intende il rapporto fra ildeflusso annuale del corso d'acqua, riferito ad una determinata sezione dichiusura, e il volume delle precipitazioni cadute durante lo stesso periodoall'interno del suo bacino imbrifero. Non va confuso con il coefficiente diafflusso, che è il rapporto fra il volume d’acqua che defluisce in superficie ela precipitazione meteorica riferiti ad un unico evento piovoso .Il programma utilizza, per il calcolo di questo parametro idrologico, ilmetodo semplificato di Kennessey, applicabile soprattutto a piccoli bacini.Questo metodo passa attraverso la stima di tre indici parziali, legatirispettivamente all’acclività media del bacino (Ca), alla sua coperturavegetale (Cb) e alla permeabilità delle rocce affioranti (Cp), che sono,insieme a quelli climatici, i principali fattori influenzanti il volume deldeflusso superficiale.

• Acclività media del bacino.In generale una maggiore acclività media comporta un aumento del deflussosuperficiale, sfavorendo il ristagno delle acque meteoriche e di conseguenzal'infiltrazione e l'evapotraspirazione.

• Copertura vegetale del bacino.Una fitta copertura vegetale fa diminuire il valore del coefficiente dideflusso, sia perchè è maggiore in questi casi il volume d'acqua dispersoper traspirazione dalle piante, sia perchè la vegetazione tende adostacolare il deflusso superficiale, rallentandolo e favorendo quindil'infiltrazione.

• Permeabilità media del bacino.E' evidente che un'elevata permeabilità media favorisce l'infiltrazione delleacque meteoriche, riducendo di conseguenza il deflusso superficiale.

• Fattori climatici (piovosità e temperatura) .

FORMULA GEO VER.2.0

Più che dai valori annuali delle precipitazioni e della temperatura, il valoredel coefficiente di deflusso è influenzato dalla loro distribuzione nel corsodell'anno.Si possono verificare due casi estremi.

1. Le massime precipitazioni coincidono con i massimi valori ditemperatura: in questo caso è da attendersi un'intensa evapotraspirazione,con forte riduzione del deflusso superficiale e di conseguenza delcoefficiente di delfusso.

2. Le massime precipitazioni coincidono con i minimi valori ditemperatura: in questo caso è da attendersi una perdita perevapotraspirazione minima ed un elevato deflusso superficiale.

Tutte le altre possibili combinazioni fra valori di temperatura e piovosità sicollocano ovviamente fra questi due estremi.Una stima dell'influenza dei fattori climatici sul valore di Cd può esserefatta attraverso l'INDICE DI ARIDITA', definito come segue:

Ia = [ P / (T+10) + 12 x p / t] / 2

con : P = afflusso medio mensile;T = temp. media annua;p e t = afflusso e temperatura del mese più arido.

Il valore di Ia cresce all'aumentare del rapporto fra precipitazioni totaliannue e temperatura media annuale e del rapporto fra precipitazioni delmese meno piovoso e relativa temperatura mensile. In generale quindi cisi deve aspettare, a parità di temperature, un maggior deflusso superficialeal crescere dell'altezza delle precipitazioni e viceversa, e a parità di afflussometeorico, un aumento di Cd al diminuire delle temperature.Il metodo di Kennessey individua tre intervalli di valori di Ia, ad ognuno deiquali corrisponde una serie differente di coefficienti di deflusso parziali.

FORMULA GEO VER.2.0

Coefficiente Valore Ia < 25 25 ≤ Ia ≤ 40 Ia > 40Ca-acclività > 35% 0.22 0.26 0.30

10 - 35 0.12 0.16 0.203.5 - 10 0.01 0.03 0.05

< 3.5 0.00 0.01 0.03Cp-permeabilità Molto bassa 0.21 0.26 0.30

Bassa 0.17 0.21 0.25Mediocre 0.12 0.16 0.20

Buona 0.06 0.08 0.10Elevata 0.03 0.04 0.05

Cv-vegetazione Roccia 0.26 0.28 0.30Pascolo 0.17 0.21 0.25Coltivo 0.07 0.11 0.15Bosco 0.03 0.04 0.05

La procedura da seguire per la valutazione del coefficiente di deflussomedio annuo secondo Kennessey è la seguente.

• Si calcola l’Indice di Aridità, utilizzando la relazione vista sopra;

• Per ogni singolo fattore (acclività, vegetazione e permeabilità) si valutala distribuzione dell'area del bacino all'interno delle categorie viste intabella.

Esempio, per il fattore vegetazione: Area totale bacino = 16 Kmq, Ia<25;4 kmq presentano una copertura di tipo boschivo (25% del totale);

6 kmq sono coltivati (37.5% del totale);3 kmq sono destinati a pascolo (18.75% del totale);3 kmq sono privi di vegetazione (18.75% del totale).

• Si moltiplicano le aree percentuali per i relativi coefficienti parziali.

FORMULA GEO VER.2.0

Esempio per il fattore vegetazione:0.03 (coefficiente per la copertura boschiva) x 0.25 = 0.0075;0.07 (coefficiente per la copertura a coltivo) x 0.375 = 0.0263;

0.17 (coefficiente per la copertura a pascolo) x 0.1875 = 0.0319;0.27 (coefficiente per la mancanza di vegetazione) x 0.1875 = 0.0506.

• Si sommano i risultati per ogni singolo fattore, ottenendo i coefficientiparziali.

Esempio per il fattore vegetazione:Cv=0.0075+0.0263+0.0319+0.0506=0.116

• Si sommano i tre coefficienti di deflusso parziali Cv,Ca e Cp e si ottieneCd, coefficiente di deflusso medio annuo del bacino.

Per quanto riguarda la precisione di questo metodo, facendo un confrontocon i valori di Cd ottenuti per uno stesso bacino, attraverso misure direttedel volume di deflusso, si è valutato che l'errore non superi generalmente il10%. Il procedimento di Kennessey non può sostituire quindi la misuradiretta delle acque di deflusso, ma può fornirne una buona stima nei bacininon attrezzati e quindi, in particolare, è utile per bacini arealmente ridotti.Va ricordato che il valore di Cd ottenuto rappresenta solo un dato medio, inquanto durante l’anno, al modificarsi dei fattori climatici, anche ilcoefficiente di deflusso subisce delle variazioni significative.Il metodo di Kennessey consente di valutare infine il bilancio idrologicoanche solo di singoli settori di bacino, fatto questo utile per la stima, peresempio, dell’infiltrazione efficace. Limitando infatti la stima del bilanciosolo a quelle aree all'interno del bacino che si ritiene siano, per condizionimorfologiche e di permeabilità favorevoli, zone d'infiltrazione, si possonoottenere valori più attendibili, della quantità d’acqua che s’infiltra nelterreno.

FORMULA GEO VER.2.0

Bilancio idrologico di un bacino idrografico.

Definizioni.

Il bilancio idrologico è la stima dei volumi idrici che entrano ed escono daun bacino idrografico in un determinato intervallo di tempo (generalmenteun anno).In maniera sintetica, può essere espresso nella seguente forma:

P = D + ET ± DR;

con P = precipitazioni totali nell’ intervallo di tempo considerato (mm);D = deflusso totale (superficiale e sotterraneo) (mm);ET= evapotraspirazione reale (mm);DR= variazione delle riserve idriche (mm).

Se i parametri P, D ed ET sono mediati su un lungo intervallo di tempo (peresempio 30 anni) DR tende ad annullarsi, perchè nel lungo periodo lepositive e negative delle riserve si compensano. In questo caso si parla diBilancio Idrologico Annuo Medio.

Precipitazioni.

Definito l'intervallo di tempo da utilizzare per mediare i parametri delbilancio (per es.20 anni), si procede valutando l'afflusso idrico medio nelperiodo stesso.Il parametro P del bilancio viene espresso generalmente sotto forma dialtezze meteoriche (mm) ed è ricavabile attraverso la costruzione di unaCarta delle Isoiete medie annue o più semplicemente attraverso il metodo diThiessen, attraverso l’interpolazione dei valori registrati nelle stazioni dimisura, facendo attenzione ad escludere punti di misura eccessivamentedistanti dall’area esaminata e/o in condizioni climatiche differenti.

Evapotraspirazione reale.

FORMULA GEO VER.2.0

Può essere ricavata direttamente attraverso la formula di Turc oindirettamente attraverso la stima dell' evapotraspirazione potenziale(formula di Thornthwaite o di Serra).

• Evapotraspirazione reale secondo Turc.

E' il volume d'acqua che viene realmente perso per evapotraspirazione. Larelazione è la seguente:

ET = P / √(0.9 + P2 / L2);

con P(mm) = precipitazioni medie annue;L = 300 + 25 x T + 0.05 x T2;T(C°) = temperatura media annua dell'aria.

Questa relazione fornisce risultati soddisfacenti per tutti i climi, anche seva utilizzata con prudenza nel caso di piccoli bacini, dove tende a fornirevalori generalmente sovrastimati.

• Evapotraspirazione potenziale (EP).

E' il volume d'acqua massimo che potrebbe essere perso perevapotraspirazione. Può non coincidere con ET, quando non vi è sufficientedisponibilità idrica nel bacino. La relazione più utilizzata per il calcolo diEP è quella di Thornthwaite, che necessita come input solo dei valori dellatemperatura media mensile.La formula del Thornthwaite ha la seguente forma:

EP =K x 16 x (10 x T / ic)a;

con EP(mm) = evapotraspirazione media mensile;T(C°) = temperatura media mensile dell'aria;ic = indice mensile di calore dato da:

ic = (T / 5)1.514;

FORMULA GEO VER.2.0

con T ≥ 0 (C°) (se T<0 si pone T=0);

a = 675 x ic3 - 771 x ic2 + 1792 x ic + 0.49239; 109 107 105

K = coefficiente correttivo che tiene conto dell'insolazione.per le latidudini del Centro-Nord Italia si usano i seguenti 12 valori mensili:

G F M A M G L A S O N D0.81 0.82 1.02 1.12 1.26 1.28 1.3 1.2 1.04 0.95 0.81 0.77

nella pratica spesso K viene posto uguale a 1.

L'evapotraspirazione media annua è data dalla somma dei 12 valori mensili.Anche questa relazione fornisce risultati in buon accordo con le misuredirette.Altra relazione di uso comune è quella di Serra, che però richiede, per lastima dei valori mensili di EP, anche la conoscenza dell' umidità relativa.La formula di Serra per il calcolo dell’evapotraspirazione potenziale annua èla seguente:

EP(mm) = 270 x e0.0644 x T ;

quella per l’evapotraspirazione mensile:

EP(mm) = 22.5 x [ (1 - Um) / 0.25] x [ 1 - (∆T / 2) / 1000) x e0.0644 x T ;

con Um (mm) = umidità media relativa del mese;T (C°) = temperatura media del mese;∆T (C°) = differenza fra le temperature estreme del mese.

• Deflusso (superficiale e sotterraneo).

Rappresenta il volume d'acqua che esce dal bacino scorrendo in superficie oin profondità. Il deflusso superficiale può essere fornito attraverso misuredirette delle portate dei corsi d'acqua alla sezione di sbocco del bacino

FORMULA GEO VER.2.0

oppure attraverso il prodotto fra gli afflussi meteorici e il coefficiente dideflusso calcolato con il metodo di Kennessey:

Qs(mm) = P x Cd;

L'infiltrazione sotterranea viene quindi calcolata per differenza fra gli altriparametri del bilancio:

Ie(mm) = P - ET - QS.

Può accadere che Ie risulti negativo. Questo si verifica, quando ET presentaun valore eccessivamente elevato (per esempio se si applica la formula diTurc in bacini arealmente poco estesi).

Schema del bilancio idrologico secondo Thornthwaite.

Calcolando l'EP mensile con il metodo di Thornthwaite, è possibilecostruire uno schema delle variazioni mensili dei volumi idrici entranti eduscenti dal bacino, contenente i seguenti dati:riga n.1 precipitazioni mensili;riga n.2 evapotraspirazione potenziale mensile;riga n.3 differenza P-EP;riga n.4 acqua trattenuta dallo strato superficiale (Rs), variabile

normalmente da 50 a 400 mm (diminuisce con l'aumentare dellapermeabilità dello strato superficiale ed aumenta con il cresceredella copertura vegetale);

riga n.5 evapotraspirazione reale, corrispondente a quella potenziale solose si ha P≥EP oppure se P<EP, ma Rs≥EP-P; in caso contrariosarà ET<EP;

riga n.6 variazione del volume d'acqua trattenuto dallo strato superficiale,positiva se P>EP, negativa se P<EP;

riga n.7 surplus idrico, cioè quantità d'acqua che defluisce in superficie os'infiltra; si ha quando P>EP ed Rs ha raggiunto il suo valoremassimo;

riga n.8 deficit idrico; si ha quando ET<EP ed è dato dalla differenza fra i

FORMULA GEO VER.2.0

due parametri (EP-ET).

Si noti che un aumento del valore di Rs porta ad un valore più elevato di ETannuo.

FORMULA GEO VER.2.0

Calcolo delle curve di possibilità climatica.

Partendo dai dati pluviometrici forniti da una stazione di misura, è possibileeseguire le elaborazioni necessarie per ottenere le curve che descrivonol’altezza delle precipitazioni (h) in funzione della loro durata (t).L’equazione che collega queste due variabili ha la seguente forma:

h (mm) = a tn;

dove a = variabile funzione del tempo di ritorno;n = costante per un dato valore di t;

e prende il nome di curva segnalatrice di possibilità climatica opluviometrica.Tale equazione permette, per esempio, di calcolare l’altezza meteorica (h)relativa ad una precipitazione di 30 minuti (t), con un tempo di ritorno di 10anni.I dati pluviometrici necessari al calcolo sono reperibili sugli AnnaliIdrologici delle stazioni pluviografiche. Su tali documenti vengonogeneralmente fornite, in forma di tabella, le massime precipitazioniregistrate anno per anno, per determinate durate di riferimento.Normalmente si distinguono i dati relativi alle precipitazioni con duratainferiore ad 1 ora (piogge di notevole intensità e breve durata), da quelle didurata superiore. Le durate di riferimento sono generalmente standard,prendendo in considerazione durate di 10, 15, 30, 45 minuti, nel caso dipiogge brevi ed intense, e di 1, 3, 6, 12 e 24 ore nel caso di precipitazioniorarie.

N.

t = 10 minuti t = 15 minuti t = 30 minuti t = 45 minuti anno

1 17.0 19.0 22.4 30.4 19852 10.6 14.2 21.0 29.6 19863 5.4 7.8 15.8 30.2 19874 9.2 10.4 23.0 35.8 1988

Tabella 1 - precipitazioni di durata inferiore a 1 h.

FORMULA GEO VER.2.0

N.

t = 1 h t = 3 h t = 6 h t = 12 h t = 24 h anno

1 10.0 20.0 22.0 33.4 43.4 19852 37.0 38.0 39.8 39.8 41.0 19863 28.0 31.2 31.2 43.8 61.2 19874 54.0 68.6 71.2 71.2 71.2 1988

Tabella 2 - precipitazioni di durata superiore a 1 h.

Una stima sufficientemente attendibile della curva segnalatrice di possibilitàclimatica richiede l’utilizzo di registrazioni che coprano almeno unintervallo di 30-35 anni. Minore l’intervallo di registrazione minorel’attendibilità dei risultati.Volendo ricavare le curve relative a precipitazioni di durata superiore adun’ora (Tabella 2), bisogna procedere come segue:

• per ogni durata di riferimento, si ordinano e si numerano i valori delleprecipitazioni ricavati dagli Annali Idrologici, regolarizzati con il metododi Gumbel (vedi di seguito), in senso decrescente, ponendo quindi ivalori massimi registrati per ogni intervallo di tempo sulla prima rigadella tabella, quelli minini sull’ultima; di conseguenza, se per esempiol’intervallo di registrazione è di 30 anni, la prima riga sarà indicata con ilnumero 30, l’ultima con il numero 1.

• utilizzando i dati di ogni riga e impostando un calcolo di regressione, siricavano i valori dei parametri a e n relativi ad ogni anno; il numeroidentificativo di ogni riga rappresenta il tempo di ritorno dell’eventometeorico; nel caso, per esempio, di un’intervallo di registrazione di 30anni, si ricavano 30 curve segnalatrici di possibilità climatica ( quindi 30valori di a e di n); i parametri a e n relativi alla prima riga sono quelliriferiti ad eventi meteorici di durata inferiore ad 1 h con tempo di ritornodi 30 anni, quelli dell’ultima riga ad eventi meteorici con tempo diritorno di 1 anno.

FORMULA GEO VER.2.0

Lo stesso va adottato per durate pluviometriche inferiori ad 1 h (Tabella 1),quando questa è disponibile.Ricavate le curve, si potrà notare che, mentre n rimane più o meno costante,il parametro a tende ad assumere valori differenti in funzione del tempo diritorno, tendendo a crescere con esso.Attraverso procedure statistiche è possibile ricavare stime del parametro aanche per tempi di ritorno superiori al numero massimo di registrazioniannuali disponibili.Il metodo statistico utilizzato generalmente è quello di Gumbel. Di seguitoviene esposta la procedura da seguire.

• Eseguito il calcolo delle curve segnalatrici di possibilità climatica per gliN anni di cui si dispongono le registrazioni pluviometriche, si ordinano ivalori di a ricavati in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valoremassimo, il valore N a quello minimo.


con i compreso fra 1 e N. Questi rapporti indicano la probabilità che ilcorrispondente valore di a non venga raggiunto o superato. I valori di Piricavati permettono di definire la scala dei tempi di ritorno:

Ti = 1 / (1 - Pi).• Si riportano le N coppie di valori (Ti, ai) in un diagramma

semilogaritmico (l’ asse X - l’asse dei tempi di ritorno - va costruito inscala logaritmica), interpolando fra i punti una retta: il diagrammaconsente di ricavare il valore di a per qualsiasi tempo di ritorno.

Per ottenere, per esempio, l’altezza di precipitazione per un eventometeorico di durata corrispondente a 1,3 ore, con tempo di ritorno di 50anni, si procede come segue:

dal diagramma Tempo di ritorno - Parametro a si ricava il valore di acorrispondente ad un tempo di ritorno di 50 anni;

1. si calcola il parametro n facendo la media dei valori di n ottenuti dallecurve segnalatrici di possibilità pluviometrica;

2. si introducono infine i valori di a e n nella relazione h = a x tn; ponendo t= 1.3 ore.

FORMULA GEO VER.2.0

E’ evidente che l’estrapolazione del parametro a non deve andare troppooltre il periodo di registrazione.

FORMULA GEO VER.2.0

Stima delle precipitazioni efficaci.

Per precipitazione efficace s’intende la frazione della precipitazionecomplessiva, non trattenuta dal terreno e dalla vegetazione, che partecipaalla formazione del deflusso superficiale. Il rapporto fra precipitazioneefficace e precipitazione lorda prende il nome di coefficiente di afflusso.Il valore della precipitazione efficace dipende principalmente da tre fattori:

• il grado di saturazione del terreno superficiale al momento delverificarsi dell’evento meteorico: maggiore è il grado di saturazione,legato ad eventi meteorici precedenti, minore è la capacità del terreno diassorbire altra acqua e di conseguenza maggiore è la frazione del volumed’acqua precipitato che va ad alimentare il deflusso superficiale;

• la permeabilità delle litologie superficiali: ovviamente una maggiorepermeabilità dei terreni superficiali favorisce l’infiltrazione dell’acquameteorica, comportando una conseguente diminuzione del deflussosuperficiale;

• l’uso del suolo: la destinazione del suolo influisce notevolmente sulvolume del deflusso superficiale: una fitta copertura vegetale, peresempio, tende a diminuirlo, un’intensa urbanizzazione, diminuendo lapermeabilità superficiale del terreno, tende viceversa ad aumentarlo.

FORMULA GEO VER.2.0

Metodo Curve Number del Soil Conservation Service.

Una metodologia per la stima delle precipitazioni efficaci che trova ampiaapplicazione è quella proposta dal Soil Conservation Service (1972).Il metodo, detto Metodo del numero di curva (Curve Number), si basa sullarelazione:

Pe = (P - Ia)2 / (P - Ia + S);

dove: Pe = altezza di precipitazione efficace (mm);P = altezza di precipitazione lorda (mm);Ia = assorbimento iniziale (mm);S = volume specifico di saturazione (mm).

La grandezza Ia rappresenta la quantità d’acqua meteorica assorbitainizialmente dal terreno e dalla vegetazione: fino all’istante in cui non si haP> Ia il deflusso superficiale è da ritenersi praticamente assente.Il parametro S corrisponde al volume idrico trattenuto dal terreno e dallavegetazione, e quindi sottratto al deflusso superficiale, dopo l’istante in cuisi ha P> Ia : mentre Ia assume un valore costante, S cresce nel corsodell’evento meteorico fino a raggiungere un valore massimo.Il Metodo del numero di curva correla la grandezza S ad un parametro CNfunzione della permeabilità della litologia superficiale, dell’uso del suolo edel grado di saturazione del terreno prima dell’evento meteorico. Per quantoriguarda quest’ultima variabile, il procedimento SCS richiede come inputl’altezza complessiva di pioggia caduta nei cinque giorni precedenti l’eventometeorico preso in esame, definendo tre categorie di umidità:

AMC Stagione di riposo Stagione di crescitaI < 13 mm < 36 mmII 13 - 28 mm 36 - 53

FORMULA GEO VER.2.0

III > 28 mm > 53 mm

I termini ‘stagione di riposo’ e ‘stagione di crescita’ si riferiscono allavegetazione; va cioè considerato in quale periodo dell’anno, in relazione allafase di crescita della vegetazione, si è verificato l’evento meteoricoesaminato.In base alla classe di umidità scelta vengono definiti i corrispondenti valoridi CN, rispettivamente CNI, CNII e CNIII.Ricadendo nella categoria di umidità II, è possibile ricavare i valori di CNII

nel bacino ricorrendo alla seguente tabella:

USO DEL SUOLO LITOLOGIASUPERFICIALE

Tipo Trattamento Drenaggio A B C DArato Linee rette ------ 77 86 91 94

Coltivazioneper fila

“ Povero 72 81 88 91

“ Buono 67 78 85 89Isoipse Povero 70 79 84 88

“ Buono 65 75 82 86 terrazzato Povero 66 74 80 82

“ Buono 62 71 78 81Graminacee

allo statoiniziale

Linee rette Povero 65 76 84 88


“ Buono 61 73 81 84 terrazzato Povero 61 72 79 82

“ Buono 59 70 78 81Seminativointenso oprateria

Linee rette Povero 66 77 85 89


“ Buono 55 69 78 83

FORMULA GEO VER.2.0

terrazzato Povero 63 73 80 83“ Buono 51 67 76 80

Pascolo Linee rette Povero 68 79 86 89“ Medio 49 69 79 84“ Buono 39 61 74 80

Isoipse Povero 47 67 81 88“ Medio 25 59 75 83“ Buono 6 35 70 79

Prato ------- Buono 30 58 71 78Bosco ------ Povero 45 66 77 83

------ Medio 36 60 73 79------ Buono 25 55 70 77

Fattoria ------ ------ 59 74 82 86Centri

commerciali------ ------ 89 92 94 95

Distrettiindustriali

------ ------ 81 88 91 93

Arearesidenziale

65%impermeabile

------ 77 85 90 92

“ 38%impermeabile

------ 61 75 83 87

“ 30%impermeabile

------ 57 72 81 86

“ 25%impermeabile

------ 54 70 80 85

“ 20%impermeabile

------ 51 68 79 84

Parcheggipavimentati

------- ------ 98 98 98 98

Strade asfaltate ------ 98 98 98 98“ con fondo in

ghiaia------ 76 85 89 91

“ con fondo interra battuta

------ 72 82 87 89

FORMULA GEO VER.2.0

Le classi litologiche A, B, C e D sono espressione del grado di permeabilitàdei depositi superficiali, secondo la seguente tabella:

Classe litologica PermeabilitàA AltaB MediaC BassaD Nulla

Nell’ipotesi che l’evento meteorico esaminato ricada nelle condizioni diumidità I o III, per ricavare i corrispondenti valori di CNI e CNIII vannoutilizzate le seguenti correlazioni con CNII:

CNI = CNII / ( 2.3 - 0.013 x CNII);CNIII = CNII / (0.43 + 0.0057 x CNII).

Determinato il parametro CN, a seconda della classe di umidità considerata,la grandezza S può essere valutata con l’espressione:

S (mm) = 254 x [(100 / CN) - 1];

Il parametro Ia a sua volta può essere correlato a S attraverso la formula:

Ia = c x S;

dove c è un coefficiente di valore variabile fra 0.1 e 0.2 , ma normalmenteposto uguale a 0.2.

Avendo stimato Ia e S, nota la precipitazione meteorica lorda, si hanno tuttigli elementi per stimare l’altezza di precipitazione efficace.

Operativamente si procede come segue:

FORMULA GEO VER.2.0

• si costruisce una carta della permeabilità superficiale del bacino inesame, considerando le quattro categorie viste in precedenza (A, B, C eD);

• si costruisce una carta dell’uso del suolo del bacino, utilizzando lecategorie elencate nella tabella per il calcolo di CNII;

• si incrociano le due carte tematiche assegnando ad ogni sotto-areaindividuata il corrispondente valore di CNII (vedi tabella);

• si calcola il valore di CNII totale del bacino, facendo una media pesatadei valori parziali: se per esempio si sono individuate all’interno delbacino 4 sotto-aree con i seguenti valori di CNII e di estensione areale:

Valori di CNII Area (kmq)51 287 335 565 6

il valore di CNII totale verrà dato da:

CNII = ( 51 x 2 + 87 x 3 + 35 x 5 + 65 x 6) / (2 + 3 +5 +6) = 58;

• considerando le precipitazioni totali avvenute nei cinque giorniprecedenti l’evento esaminato, si individua la classe di umidità daintrodurre nel calcolo (I, II o III); nel caso si rientri nelle categorie I o III,si calcola il valore di CNI o CNIII in funzione di CNII con la relazionevista in precedenza;

• stimato CN si calcola S e Ia; infine nota la precipitazione lorda P si trovala precipitazione efficace.

Il principale pregio di questo metodo è la sua capacità di condurre aprevisioni quantitative sulla variazione del deflusso superficiale in funzionedei cambiamenti che avvengono nell’uso del suolo ( per esempio a causa diopere di urbanizzazione). Un limite è nella soggettività che influenza laselezione di alcuni parametri, che in alcuni casi può condurre a differenzesignificative nella stima della precipitazione efficace.

FORMULA GEO VER.2.0

Metodo di Rasulo e Gisonni (1997).

Si tratta di un metodo semplificato, che consente di stimare ilcoefficiente di afflusso di un bacino in funzione del tempo di ritornodell’evento meteorico. La relazione è la seguente:

impaiimpapa AcAcc +−= )1(

dove:ca = coefficiente di afflusso;cap =coefficiente di afflusso per le aree permeabili del bacino;cai =coefficiente di afflusso per le aree impermeabili del bacino;Aimp =rapporto fra l’area impermeabile e l’area totale del bacino.

Sia cap che cai vengono tabellati dagli Autori in funzione del tempo diritorno dell’evento meteorico.

Tempo di ritorno(anni) cap cai

<2 0-0.15 0.60-0.752-10 0.10-0.25 0.65-0.80>10 0.15-0.30 0.70-0.90

FORMULA GEO VER.2.0

Elaborazione della pioggia di progetto.

Il calcolo della portata di massima piena e l’elaborazione del relativoidrogramma devono essere preceduti dalla determinazione dellapioggia di progetto, cioè dell’evento meteorico più gravoso per undeterminato tempo di ritorno.Tre i passaggi necessari per giungere alla sua determinazione:1. stima dell’altezza pluviometrica dell’evento;2. ragguaglio della pioggia;3. costruzione dello ietogramma.

Stima dell’altezza pluviometrica

Fissato il tempo di ritorno dell’evento meteorico e la sua durata(posta uguale al tempo di corrivazione nel caso si utilizzino i metodicinematici per il calcolo della portata di piena), l’altezza diprecipitazione meteorica può essere stimata attraverso la curva dipossibilità climatica della stazione pluviometrica di riferimento (vediparagrafo 3.3):

nath =

Nel caso all’interno del bacino o nelle immediate vicinanze sianolocalizzate più stazioni di misura si può procedere alladeterminazione di h attraverso la seguente procedura:4. si stimano i valori di h dalle curve di possibilità climatica di ogni

stazione;5. con il metodo dei topoieti si individuano le aree d’influenza di ogni

stazione;6. si calcola un valore di hmedio facendo la media pesata, in funzione

dell’area d’influenza di ogni stazione, dei singoli valori di hcalcolati.

Calcolo del coefficiente di ragguaglio

FORMULA GEO VER.2.0

Si tratta di un fattore moltiplicativo, variabile da 0 a 1, che serve atener conto del fatto che l’altezza di precipitazione tende a diminuireall’aumentare dell’area interessata dall’evento meteorico. L’altezza diprecipitazione misurata dalla stazione pluviometrica è infatti un datopuntuale e va quindi corretto in funzione dell’area sulla quale siconsidera distribuito l’evento piovoso.Nel caso di piccoli bacini (fino a 100 kmq) si può utilizzare il criteriodel DEWC (1981). La relazione su cui si basa il metodo è laseguente:

batR −= 1

dove:a = 0.0394A0.354

b = 0.40 – 0.0208ln(4.6-lnA) per A≤20 kmqb = 0.40 – 0.00382ln(4.6-lnA)2 per A>20 kmqA = area del bacino in kmq

Un altro metodo utilizzabile è quello proposto da Desbordes et Alii(1982), basato sulla semplice relazione:

05.0100 −= AR

dove A è l’area del bacino espressa in kmq.Si tenga presente che spesso, in piccoli bacini, a favore dellasicurezza, il coefficiente di ragguaglio viene posto uguale a 1.Calcolato il coefficiente di ragguaglio R, l’altezza di precipitazioneragguagliata viene stimata attraverso la relazione:

hRhr = .

Simulazione dello ietogramma

Nel caso si voglia determinare, oltre che il valore della portata dimassima piena al colmo, anche l’drogramma dell’evento ènecessario ricostruire il modo in cui l’intensità della precipitazionemeteorica varia nell’intervallo di durata della pioggia. Il grafico che

FORMULA GEO VER.2.0

mostra l’andamento dell’intensità di precipitazione nel tempo prendeil nome di ietogramma. In letteratura sono stati proposti diversimetodi di calcolo.

Pioggia di progetto a intensità costante

Si parte dall’ipotesi che l’intensità della precipitazione rimangacostante per tutta la durata dell’evento. In pratica si pone:

p

r

th

hmmi =)/(

dove:i = intensità della precipitazione meteorica;hr = altezza della pioggia ragguagliata;tp = durata dell’evento meteorico.

Pur partendo da un’ipotesi non realistica, si tratta di un metodo moltousato nella pratica, soprattutto per bacini molto piccoli.

Pioggia di progetto con ietogramma triangolare (metodo diChicago)(1953)

S’ipotizza in questo caso che l’intensità di precipitazione cresca inmaniera continua fino a raggiungere un picco massimo, oltre il qualetende a decrescere gradualmente. La parte crescente della curva èfornita dalla relazione:

11)( −= nantti

dove:a = fattore a della curva di possibilità climatica;n = fattore n della curva di possibilità climatica;t1 = (rtp – t)/r con t che varia da 0 a rtptp = durata dell’evento meteorico;r = posizione del picco, variabile a 0 a 1 e spesso posto = 0.5.

La parte decrescente del grafico è invece fornita dalla relazione:

FORMULA GEO VER.2.0

12)( −= nantti

dove:t2 = (t-rtp)/r con t che varia da rtp a tp.

Nella pratica si fissa un passo di calcolo temporale, di solito 1 ora, laposizione del picco e si applicano le due relazioni, facendo variare tin maniera discreta nell’intervallo 0-tp, con il passo di calcolo scelto.Questo metodo, che fornisce rispetto al precedente unarappresentazione più realistica dell’andamento dell’intensità dellaprecipitazione, può essere usato di fatto per bacini con un’estensioneareale di almeno alcune centinaia di kmq e per durate diprecipitazione di almeno alcune ore. L’uso di passi di calcolo troppopiccoli (<0.5 h) può condurre ad un’accentuazione eccessiva delpicco centrale.

Pioggia di progetto con il metodo di Sifalda (1973)

Lo ietogramma viene considerato diviso in tre parti. Nella partecentrale, che comprende un intervallo di tempo compreso fra 0.14tp e0.70tp , con tp uguale alla durata complessiva dell’evento meteorico,si assegna un’intensità di precipitazione data da:

p

cc t

hi

25.0=

dove hc è l’altezza di precipitazione che si ricava dalla curva dipossibilità climatica inserendo t=0.25 tp.Nel primo tratto del grafico, che va da t=0 a t=0.14tp, si assume chel’intensità cresca in maniera lineare da un valore minimo di 0.065ic adun valore massimo di 0.435ic. Nell’ultima parte dello ietogramma, dat=0.70tp a t=tp, si ipotizza che l’intensità decresca, sempre in manieralineare, da un valore massimo di 0.435ic a un valore minimo di0.087ic.

FORMULA GEO VER.2.0

Curva ipsometrica

L'analisi dell'assetto morfologico del bacino viene riassunta nella curvaipsometrica (o ipsografica percentuale). La curva si traccia in base allealtezze e alle rispettive aree cumulate, suddividendo il bacino in intervalli diquota (per es.10), dalla quota minima a quella massima, e valutando l’areadel bacino che ricade in ogni intervallo. Si devono quindi eseguire i rapportitra le aree dei singoli intervalli (a) e l'area totale del bacino (A), e quelli tra idislivelli degli intervalli rispetto al piano di base (h) ed il dislivello totale delbacino (H). La funzione della curva che si ottiene è del tipo:

y = f(x) dove: y=h/H e x=a/A.

Per integrale della curva ipsometrica s’intende l’area sottesa dalla curvarispetto all’asse delle X.Dalla curva ipsometrica si ricava l’altezza media del bacino, impiegando larelazione:

Hm = (1 / A) x ∑ ai x hi.con A = area totale del bacino;

ai = area del bacino compresa nell’intervallo i-esimo di quota;hi = altitudine media dell’intervallo di quota i-esimo.

L'analisi della curva ottenuta permette di valutare il grado di evoluzioneraggiunto dal bacino esaminato.In merito allo stadio evolutivo di un bacino si deduce, che esso può trovarsiin una delle seguenti fasi.

FASE GIOVANILE: la curva ipsometrica presenta una prevalenteconvessità verso l'alto con un valore mediodell'integrale superiore al 60 %.

FASE MATURA: la curva è del tipo a flesso con un integrale prossimoal 50 %.

FASE SENILE: la curva ipsometrica presenta una prevalenteconcavità verso l'alto con un valore mediodell'integrale inferiore al 30 %.

Poichè in una curva ipsometrica la distribuzione relativa delle aree e dellequote è subordinata alla forma della proiezione orizzontale di quella del

FORMULA GEO VER.2.0

bacino, la curva assume un significato positivo solo se la forma del bacinostesso è regolare e di tipo subrettangolare, cosa difficile da verificarsi.Quindi bisogna limitare l'analisi alla parte centrale della curva ipsometrica,cioè di quella che è compresa tra il 15 e l'85 % dell'area totale, in quanto èquella che permette l'indagine appropriata del grado di evoluzioneraggiunto.

FORMULA GEO VER.2.0

Analisi morfologica del bacino.

Per l’analisi morfologica, il reticolo del bacino è classificato in funzione deisegmenti che sono compresi tra le varie confluenze. Ad ognuno di questi siassegna un numero (ordine) che dipende dalla sua posizione nell’ambitodel reticolo stesso, come proposto da STRAHLER.

Gerarchizzazione del reticolo idrografico secondo STRAHLER.

I segmenti del reticolo vengono distinti con un numero d'ordine crescente infunzione dei rami di ordine inferiore che vi confluiscono.Tutti i segmenti che sono privi di affluenti si dicono di I ordine. Per creareun ramo di ordine II è necessaria la confluenza di almeno due rami diordine I, per un ramo di ordine III ne occorreranno almeno due di ordine II,ecc.. In generale quindi un segmento di ordine N è dato dalla confluenza dialmeno due rami di ordine N-1.

I I II

II II I

III III

I

Gerarchizzazione sec.Strahler.

Parametri morfometrici.

FORMULA GEO VER.2.0

Si definiscono i seguenti parametri:

Rb=Nu / Nu+1 Rapporto di biforcazioneRbd=Nud/Nu+1 Rapporto di biforcazione direttoIb=Rb-Rbd Indice di biforcazioneSu=(Rb/2)-1 Indice di conservativitàGa numero di anomalia gerarchicaDga=Ga/A densità di anomalia gerarchicaIga= Ga/N1 indice di anomalia gerarchica

dove:Nu = somma del numero totale di segmenti di ordine u;Nud=somma del numero di segmenti di ordine u che confluisconodirettamente in quelli d’ordine u+1;Nu+1= somma del numero totale di segmenti di ordine u+1;A = area totale del bacino;N1= numero dei segmenti di I ordine.

Il rapporto di biforcazione (Rb) fornisce indicazioni sulla strutturadell’intero reticolo idrografico. Il valore di Rb da prendere comerappresentativo del bacino è quello ottenuto dalla media (aritmetica opesata) degli Rb parziali, riferiti alle singole coppie di ordine u e u+1. Rbrisulta normalmente compreso tra 3 e 5, con un minimo teorico di 2 (duerami di ordine u per ogni ramo di ordine u+1). In generale maggiore è ilvalore di Rb minore è il grado di gerarchizzazione del bacino. Valorisuperiori a 5 sono molto rari e testimoniano di un forte controllo tettonicosullo sviluppo del reticolo.Bacini con uguale valore di Rb possono essere distinti sulla base dei valoridel rapporto di biforcazione diretta (Rbd). Per uno stesso bacino, valoridifferenti di Rb e Rbd, stanno ad indicare la presenza di confluenzeanomale, cioè confluenze di ordine u in segmenti di ordine u+2 o superiore.Di maggior significato è quindi l’indice di biforcazione (differenza fra Rb eRbd), che normalmente assume valori compresi fra 0.2 e 4. Valori anormali

FORMULA GEO VER.2.0

si possono riscontrare quando lo sviluppo dei reticoli è fortementecontrollato da fattori litologici e strutturali.Il massimo grado di gerarchizzazione si ha quando l’indice di biforcazioneassume il valore di 0 (Rb = Rbd), cioè quando tutti i rami di ordine uconfluiscono nei rami di ordine u+1. Valori prossimi a 0 sono tipici dibacini in fase evolutiva matura o senile. Valori elevati di Ib sono tipici dibacini in fase giovanile.Un caso limite si ha quando Ib=0 e Rb=Rbd=2, cioè quando il reticolofluviale ha massima gerarchizzazione accompagnata da massimaconservatività (bacini in fase senile).Un reticolo conservativo è quello che presenta il numero minimo disegmenti necessari a costituire l'ordine più alto del reticolo. Laconservatività di un reticolo è espressa dall’indice di conservatività (Su),che assume come valore minimo 0 (massima conservatività).In generale si può dire che il grado di gerarchizzazione, espresso dallagrandezza Ib, ed il livello di conservatività, espresso dal parametro Su,aumentano nel tempo (Ib e Su che tendono a 0) in relazione all’evolversi delreticolo idrografico. Ciò è vero ovviamente in assenza di un forte controllotettonico o litologico (litologie a differente erodibilità) sul reticoloidrografico o di eventi che possono interrompere la normale evoluzione delreticolo (per es.variazioni improvvise del livello di base).Un altro parametro che permette di definire il grado di organizzazionegerarchica di un bacino è il numero di anomalia gerarchica, definito come ilnumero minimo di segmenti del I ordine necessari a far divenire il reticoloperfettamente gerarchizzato. Analiticamente questa grandezza è espressadalla sommatoria del numero di segmenti anomali di ordine (i) checonfluiscono in segmenti di ordine (r), con i ≤ r-2, nell'ambito di un bacinodi ordine (s):

Ga = ∑da i=1 a s-2 ∑da r=i+2 a s Ni,r x fi,r;

con Ni,r = numero di segmenti anomali di ordine i che confluiscono insegmenti di ordine r;

fi,r = 2r-2 - 2i-1.

In generale un valore più elevato di questo parametro indica un minor gradodi gerarchizzazione del reticolo idrografico. Questa grandezza può essere

FORMULA GEO VER.2.0

utilizzata per ricavare la densità e l’indice di anomalia gerarchica, parametriche consentono di confrontare il grado di evoluzione del bacino con altri diestensione areale differente ed in condizioni climatiche diverse, cosa chenon è possibile fare utilizzando le grandezze Ib e Su viste in precedenza.Indicazioni più precise sul livello evolutivo di un bacino si possono otteneredal confronto del grado di gerarchizzazione del reticolo con la curvaipsometrica: se, ad esempio, un bacino presentasse un basso grado digerarchizzazione ed una curva ipsografica indicante una fase matura, ciòpotrebbe significare che ci sono state recenti variazioni del livello di base,risentite dal reticolo idrografico ma non dal rilievo nel suo insieme.

Altri parametri morfometrici.

Oltre ai parametri descritti nel paragrafo precedente, se ne possono definirealtri.

• Coefficiente di uniformità (Kc), dato da:

Kc = Pb / (2 x √ π x A);

con Pb=perimetro del bacino;A= area del bacino;

• Rapporto di circolarità (Kr), dato da:

Kr = A / (0.0796 x Pb2);

ambedue i parametri forniscono una indicazione di quanto il bacino sidiscosta dalla forma circolare (forma raccolta). Valori di Kc e Kr lontanidall'unità sono tipici di bacini di forma allungata e viceversa nel caso di Kce Kr prossimi a1. Un bacino raccolto a parità di altri fattori avrà tempi dicorrivazione minori e piene più improvvise e marcate, con un idrogrammacaratterizzato da una forma stretta ed appuntita.

• Densità di drenaggio (Dr), data da:

Dr = ∑l / A;

FORMULA GEO VER.2.0

con ∑l = somma delle lunghezze di tutti i rami dei vari ordini del reticoloidrografico.

• Frequenza di drenaggio (Fr), data da:

Fr = N / Ab;

N = numero dei segmenti idrografici presenti nel bacino (somma dei ramidei vari ordini).

Sono due parametri che forniscono un’indicazione del grado di sviluppo delreticolo idrografico. Bassi valori di Dr e Fd sono tipici di bacini pocoevoluti o impostati su litologie resistenti all'erosione e/o permeabili ed inpresenza di una fitta copertura vegetale. Mediamente i valori di Droscillano fra 2 e 4, quelli di Fd fra 6 e 12.

• Rapporto delle lunghezze (Rl): si ottiene facendo il rapporto fra lalunghezza media dei rami di ordine i e la lunghezza media dei rami diordine i-1.

• Rapporto delle aree (Ra): si ottiene facendo il rapporto fra l’area media

dei bacini di ordine i e l’area media dei bacini i-1.

Diagrammi relativi ai parametri morfometrici.

• Diagramma N.ordine - N.segmenti per ordine.

Se il reticolo idrografico è organizzato i punti rappresentativi del numero deisegmenti fluviali e del loro ordine si devono trovare su una retta, in undiagramma semilogaritmico. Se non accade significa che sono presentidistribuzioni anomale dei segmenti.

• Diagramma N. ordine - lunghezza media dei segmenti.• Diagramma N. ordine - area media dei sottobacini costituenti il bacino

idrografico.

FORMULA GEO VER.2.0

• Diagramma N. ordine - pendenza media dei sottobacini costituenti ilbacino idrografico.

Le variazioni delle lunghezze, delle aree e delle pendenze devonoseguire la legge lineare (in scala semilogaritmica) e quindi i graficidevono mostrare un andamento rettilineo. Se ciò non accade, vannoricercate le cause per esempio nella differente distribuzione dellapermeabilità nel bacino, nella eterogeneità litologica, nel controllostrutturale, ecc.

FORMULA GEO VER.2.0

Portate di massima piena.

Trascurando le formule empiriche, che forniscono solo stime grossolane enecessitano di essere calibrate localmente, i metodi di calcolo più impiegatisono quelli cinematici e statistici.

Metodi cinematici.

Si tratta di relazioni che si basano sulla stima del tempo di corrivazione (τc)del bacino.Per tempo di corrivazione s’intende il tempo necessario, perchè le acque diafflusso meteorico raggiungano la sezione di chiusura del bacino, rispettoalla quale viene eseguito il calcolo della portata di massima piena, partendodai punti più lontani del bacino. Questo parametro è una costante per ognibacino, in quanto funzione esclusivamente della morfologia, delle litologieaffioranti e della copertura vegetale.Un'indicazione dell'ordine di grandezza di τc può essere ottenuto dividendola lungheza totale dell'asta principale per un fattore compreso fra 1 e 2:

τc (s) = L / (1 o 2) (L in metri).

Metodi di calcolo più precisi e usati nella pratica sono quelli di Giandotti, diPezzoli, F.A.O e S.C.S..

• Formula di Giandotti:

m

pbc

H

LSh

8.0

5.14)(

+=τ

• Formula di Pezzoli:

m

pc

P

Lh

055.0)( =τ

FORMULA GEO VER.2.0

• Formula F.A.O.:

38.0max

15.1

15)(

h

Lh p

c =τ

• Formula S.C.S.:

5.0

7.0

8.0

1900

91000

100

(min)a

cS

CNL

−

=τ

dove :Sb (kmq) = superficie del bacino;Lp (km) = lunghezza dell’asta pricipale;Pm (%) = pendenza media del bacino;Hm (m) = altezza media del bacino rispetto alla sezione di chiusura;hmax (km) = altezza massima del bacino rispetto alla sezione dichiusura.L (ft) = lunghezza del corso d’acqua principale esteso fino allospartiacque;CN = Curve Number del bacino;Sa(%) = inclinazione media del corso d’acqua principale.

Le quattro relazioni sono impiegabili per bacini di piccola e mediaestensione. La formula di Giandotti fornisce per bacini molto piccoli(inferiori a 100 kmq) valori generalmente sovrastimati.

Stimato il valore di τc è possibile passare alla valutazione delle portate dimassima piena al colmo.Il primo dato che occorre ricavare è la pioggia di progetto, per un tempo diritorno fissato, corrispondente ad una durata uguale al tempo dicorrivazione. Tale grandezza può essere ricavata attraverso le procedure dielaborazione dei dati pluviometrici viste in precedenza.

FORMULA GEO VER.2.0

L’altezza di precipitazione ricavata (h) va introdotta in una delle formulecinematiche disponibili in letteratura. Tra le più utilizzate sono le formuledel metodo razionale, di Giandotti e di Merlo.

• Formula del metodo razionale.

Ha la seguente espressione:

c

ahAcsmcQ

τ278.0)/(max =

dove:Qmax (mc/s) = portata di massima piena al colmo per un dato tempodi ritorno;ca = coefficiente di afflusso, variabile da 0 a 1 (vedi paragrafo 3.4);Sb (kmq) = area del bacino;h (mm) = altezza di precipitazione ragguagliata riferita a τc per undato tempo di ritorno;τc (h) = tempo di corrivazione.

Il parametro ca può essere ricavato con uno dei metodi proposti nelparagrafo 3.4. In alternativa può essere stimato, in maniera approssimativaattraverso relazioni semplificate, come quella di Schaake et Alii (1967):

cimpa iAc 05.065.014.0 ++=

dove:Aimp = rapporto fra l’area impermeabile del bacino e quella totale;ic = pendenza media, in %, del corso d’acqua principale.

Nel caso di bacini molto piccoli (area di alcuni kmq) e prevalentementeimpermeabili il coefficiente di deflusso può anche essere posto, a favoredella sicurezza, prossimo a 1.

• Formula di Giandotti.

FORMULA GEO VER.2.0


c

ChAsmcQ

τ278.0)/(max =

dove C in bacini con area inferiore ai 300 kmq deve essere posto uguale a1.25. In alternativa, Visentini (1938) ha proposto di ricavare il parametro Cattraverso la relazione:

319.019.6 −= AC

dove A è l’area del bacino espressa in kmq.

L’esperienza ha dimostrato, però, che questa relazione tende a sovrastimarele portate nel caso di piccoli bacini (poche decine di kmq), in quantoinizialmente calibrato su bacini con estensione superiore ai 500 kmq.

• Formula di Merlo.


hACsmcQ m=)/(max

dove:Cm = 0.0363 + 0.0295 x ln(Tr);Tr (anni) = tempo di ritorno.

Questo metodo è stato calibrato su piccoli bacini, ed è quindiparticolarmente utile per valutazioni eseguite in tale contesto.

Per quanto riguarda la scelta del tempo di ritorno da adottare nelle verifiche,si tenga presente quanto suggerito nella seguente tabella.

Tipo di opera Tr (anni)Ponti e difese di corsi d’acqua maggiori 100-150

FORMULA GEO VER.2.0

Difese di corsi d’acqua minori 20-30Dighe 500-1000Bonifiche 15-25Fognature urbane 5-10Tombini e ponti su piccoli corsid’acqua

30-50

Sottopassi stradali 50-100Fossi di guardia per strade principali 10-20

Metodi statistici.

I metodi statistici affrontano il problema della previsione delle piene,partendo dal presupposto che siano fenomeni puramente casuali, che siripetono nel tempo senza alcuna relazione fra loro.Il metodo statistico più utilizzato è quello di Gumbel.Di seguito viene esposta la procedura da seguire.

• disponendo di N valori di massima piena annuali (Q), si ordinano tali datiin ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo, il valoreN a quello minimo.


con i compreso fra 1 e N. Questi rapporti indicano la probabilità che ilcorrispondente valore di Q non venga raggiunto o superato. I valori di Pi

ricavati permettono di definire la scala dei tempi di ritorno:Ti = 1 / (1 - Pi).

• Si riportano le N coppie di valori (Ti, Qi) in un diagrammasemilogaritmico (l’ asse X - l’asse dei tempi di ritorno - va costruito inscala logaritmica), interpolando fra i punti una retta: il diagrammaconsente di ricavare il valore di Q per qualsiasi tempo di ritorno.

E’ evidente che l’estrapolazione dei valori di portata non deve andare troppooltre il periodo di registrazione.

Stima dell’onda di piena (metodo di Nash).

FORMULA GEO VER.2.0

In alcune situazioni oltre al valore della portata di massima piena al colmo,può essere necessario fare una stima dell’andamento dell’onda di piena nellasezione di riferimento. In pratica cioè può essere richiesta la previsionedell’idrogramma di piena, cioè dell’andamento delle portate in funzione deltempo.Il metodo di Nash, che permette di costruire l’idrogramma di piena,partendo dai dati dell’andamento dell’afflusso meteorico efficace(ietogramma), si basa sulla relazione:

Q (m x ∆t) = Sb x ∑da i=1 a m e-i x ∆t/k x ( i x ∆t/k)n-1 x hm-i+1 x ∆t;[k x Γ(n)]

dove:

Q (m x ∆t) = portata all’istante m x ∆t, con m che varia da 1 a N, con N=numero max d’intervalli temporali considerati;∆t (h) = intervallo temporale di calcolo (generalmente posto uguale a1 h);m = numero dell’intervallo di calcolo;Γ(n) = funzione gamma;Sb (kmq) = area del bacino;hm-i+1 (mm) = afflusso efficace nell’intervallo (m-i+1);k,n = coefficienti caratteristici del bacino, che variano normalmentenell’intervallo 1-10;

Il metodo richiede la conoscenza dei parametri k e n, ottenibili per tentativi,noti gli idrogrammi di piena ed i relativi ietogrammi di eventi precedenti,riferiti alla stessa sezione di chiusura.In alternativa le due grandezze k e n possono essere stimate correlandolecon grandezze geometriche o parametri morfometrici del bacino. In questocaso l’idrogramma ottenuto prende il nome di idrogramma sintetico.Diverse le correlazioni disponibili in letteratura come suggerito, tra le qualicitiamo quella di Rosso(1984), Nash (1960) e Mc Sparran (1968).• Rosso (1984)

L’Autore correla i fattori k e n con alcuni parametri morfometrici delbacino, attraverso le relazioni:

FORMULA GEO VER.2.0

n = 3.29 x (Rb / Ra)0.78 x Rl0.07;k = 0.70 x [Ra / (Rb x Rl)]0.48 x (L / v);

dove: Rb = rapporto di biforcazione del bacino;Ra = rapporto delle aree del bacino;Rl = rapporto delle lunghezze del bacino;L (m)= lunghezza dell’asta principale;v(m/s) = velocità media di propagazione dei deflussi nella reteidrografica.

Mentre Rb, Ra, Rl e L sono facilmente ricavabili dall’analisi dellacartografia, il parametro v è di più difficile valutazione e, almeno in primaapprossimazione, può essere posto uguale a quello misurato in altri bacini didimensioni e altimetria simili a quello esaminato. Di più immediatautilizzazione sono le relazioni di Nash e Mc Sparran.

• Nash (1960)

Posto:

nkm =1

21

2

2m

nkm =

n e k possono essere determinati, ricavando le grandezze m1 e m2 attraversole seguenti relazioni:

3.03.01 6.27 −= biAm

1.02 41.0 −= Lm

dove:A = area del bacino espressa in miglia quadrate;L = lunghezza del corso d’acqua principale prolungato allo

spartiacque espressa in miglia (1 miglio= 1.609 km);ib = pendenza media del bacino espressa in parti per 10000.

FORMULA GEO VER.2.0

• Mc Sparran (1968)

Mc Sparran propone le seguenti relazioni:

1

1.4k

tn p=

1−=

n

tk p

dove tp e k1 hanno le seguenti espressioni:

447.0208.052.5 −= iAt p

354.0297.01 34.3 −= iAk

in cui:A = area del bacino espressa in miglia quadrate;i = pendenza media del corso d’acqua principale in parti per mille.

FORMULA GEO VER.2.0

Erosione di un bacino e trasporto solido.

Stima dell’erosione di un bacino

La valutazione quantitativa dell'erosione nei bacini di drenaggio può essereaffrontata con varie metodologie, che differiscono fra loro sia per ilsignificato dei risultati, che per le condizioni di applicabilità.

• Metodo di Gavrilovic.

Richiede l'introduzione dei dati geometrici del bacino e di parametri legatiall'erodibilità (in funzione del tipo di vegetazione, dei litotipi e dellecondizioni morfologiche) del settore del bacino stesso soggetto ad erosione.Viene fornito come risultato la quantità di materiale che può essere perdutadal bacino in un anno per erosione.La relazione, sui cui si basa il metodo, è la seguente:

[ ]33211.0

10)/( mmm

tFhannomcW ++

°= π

dove:F = area del bacino o sottobacino in kmq;h = altezza di precipitazione media annua del bacino in mm;t° = temperatura media annua del bacino in °C;m1 = fattore legato all’uso del suolo;m2 = fattore legato alla litologia superficiale;m3 = fattore legato all’acclività del bacino.

I fattori m1, m2 e m3 sono ricavabili attraverso le relazioni:

FDCBA

m0.18.05.02.0

1

+++=

in cui:

A = superficie del bacino coperta da boschi o frutteti in kmq;

FORMULA GEO VER.2.0

B = superficie del bacino coperta da prati e pascoli in kmq;C = superficie del bacino coperta da coltivi in kmq;D = superficie del bacino priva di vegetazione.

FMLKJ

m6.13.08.06.1

2

+++=

in cui:J = superficie con rocce incoerenti affioranti in kmq;K = superficie con rocce pseudo o semi-coerenti affioranti in kmq;L = superficie con rocce coerenti affioranti in kmq;M = sviluppo delle faglie in km x 0.1km in kmq.

Im +=θ3

dove θ è funzione del rapporto V/F e fornisce un’indicazione del grado didissesto morfologico del bacino. V è dato dalla relazione:

USRQPNkmqV 275.025.29.42.42.0)( +++++=in cui:N = superficie con aree generalmente franose in kmq;P = superficie con frane in rocce sciolte e pseudo e semi-coerenti in

kmq;Q = superficie con forme pseudo calanchive per tettonizzazione in rocce

coerenti in kmq;R = superficie con numerosi crolli in kmq.S = superficie con crolli diffusi in kmq;U = superficie con valanghe (sviluppo in km x 0.1 km) in kmq.

Stimato V la grandezza θ si ricava dalla seguente tabella:

V/F θ0 0

0.5 0.22 0.44 0.66 0.87 0.9

FORMULA GEO VER.2.0

7.5 0.95

Dove, per valori di V/F intermedi, si può procedere per interpolazione.Il fattore I esprime invece l’influenza dell’acclività del bacino e si ricavadalla relazione:

F

iII m

mm∑==

6

1

in cui:I1 = superficie del bacino in kmq con acclività fra 0-10% ; i1=0.05I2 = superficie del bacino in kmq con acclività fra 10-20% ; i2=0.15I3 = superficie del bacino in kmq con acclività fra 20-40% ; i3=0.30I4 = superficie del bacino in kmq con acclività fra 40-60% ; i4=0.50I5 = superficie del bacino in kmq con acclività fra 60-80% ; i5=0.70I6 = superficie del bacino in kmq con acclività fra >80% ; i6=2.00

La grandezza W ricavata rappresenta la quantità di sedimento disponibilenel bacino per il trasporto. La quantità effettiva che transiterà nell’intervallodi tempo considerato attraverso la sezione di chiusura è fornita invece dallarelazione:

WL

PHannomcQs 10

4)/(

+=

valida per piccoli bacini, dove:P = perimetro del bacino in km;H = altezza media del bacino rispetto alla sezione di chiusura in km;L = lunghezza dell’asta principale in km.

Poichè prende in considerazione tutti i quattro fattori principali checondizionano l'entità dell'erosione in un bacino (litologia affiorante,copertura vegetale, acclività media e clima), attraverso parametri disemplice determinazione, può essere considerato, fra i metodi propostiquello che meglio combina semplicità d'uso e attendibilità dei risultati.

FORMULA GEO VER.2.0

Si tratta di un metodo calibrato su un notevole numero di bacini in tuttaEuropa, in condizioni climatiche, morfologiche e litologiche moltodifferenti.Può essere utilizzato agevolmente per la realizzazione di una carta dellaerodibilità suddividendo il bacino principale in un numero adeguato disottobacini.

• Metodi che utilizzano gli indici climatici.

Viene fornita la portata solida del bacino alla sezione di chiusura attraversole relazioni di Langbein & Schumm e Fournier.

Langbein & Schumm.

( )( ) 3,3

3,2

03937.00007.01

03937.0631.1)/(

P

PkmqmcS

+=

dove:S (mc/kmq) =trasporto solido annuo per kmq di bacino;P (mm) = precipitazioni annue effettive, stimabili moltiplicandol’altezza di precipitazione annua per il coefficiente di deflusso delbacino.

Fournier.

56.1461.065.2)/(2

10

2

1010 −

+

=

bs S

HLog

Pp

LogkmqtDLog

dove:

Ds (t/kmq) = trasporto solido annuo per kmq di bacino;p (mm) = precipitazioni mese più piovoso;P (mm) = precipitazioni totali annue;H (m) = altezza media del bacino rispetto alla sezione di chiusura;Sb (kmq) = area del bacino.

FORMULA GEO VER.2.0

Si tratta in generale dei procedimenti meno attendibili fra quelli presi inconsiderazione.Possono fornire stime significative solo per bacini di notevole estensione,dove l'influenza dei fattori morfologia, litologia e copertura vegetale tendead annullarsi.

• Metodi che utilizzano gli indici morfometrici.

Si tratta di relazioni empiriche molto semplici di sufficiente attendibilità,calibrate essenzialmente su bacini appenninici.I parametrici morfometrici utilizzati sono la densità di drenaggio, la densitàdi anomalia gerarchica e l’indice di anomalia gerarchica del bacino.Ambedue queste grandezze sono influenzate dal clima, dalla morfologia,dalla litologia affiorante e dalla copertura vegetale, fattori che sono, comegià visto in precedenza, i parametri principali che influenzano l'entitàdell’erosione. La densità di drenaggio, per esempio, tende ad aumentare alcrescere dell'altezza delle precipitazioni e dell'erodibilità delle rocceaffioranti e al diminuire della copertura vegetale e dell'acclività' media delbacino.Le seguenti relazioni sono state proposte da CICCACCI et Alii.

53034.101769.082818.1)/( 1010 ++= gaDLogkmqtTLog u

05954.113985.079687.2)/( 1010 ++= iaDLogkmqtTLog u

dove:

Tu = trasporto solido unitario annuo per kmq di bacino;ga = densità di anomalia gerarchica;ia = indice di anomalia gerarchica;D = densità di drenaggio.

Va tenuto presente nel loro utilizzo che si tratta di relazioni basate sugerarchizzazioni del bacino effettuate in scala 1:25.000. Scale diversetendono a condurre a parametri geomorfici differenti, influenzando inmaniera non trascurabile la stima del trasporto solido. Si tenga presenteinoltre che questi metodi prendono in considerazione solo il materiale

FORMULA GEO VER.2.0

trasportato in sospensione, trascurando il materiale trasportato sul fondo equindi tendono a fornire dei valori di trasporto solido sottostimati.Anche queste relazioni possono essere utilizzate per la realizzazione di cartedell'erodibilità del bacino.

Stima del trasporto solido lungo l’alveo

• Metodo di Di Silvio.

Basato essenzialmente su misure effettuate in bacini delle Alpi venete elombarde, permette di valutare l'entità del trasporto solido lungo l'astaprincipale del bacino in funzione della portata liquida del corso d'acqua.La relazione proposta da Di Silvio è la seguente:

Qs (mc/anno) = (0.027 / 1.8) x [ i2.1 / (b0.8 x D501.2)] x (Q0

0.8 x V0);

conV0(mc) = volume idrico di deflusso = Ca x h x Sb x 1000;Ca = coefficiente di afflusso del bacino;h (mm) = precipitazioni ragguagliate collegate all’evento di piena;Sb (kmq) = area bacino;i (%) = pendenza asta principale;b (m) = larghezza media dell’alveo nel tratto preso in esame;D50 (m) = diametro mediano del materiale di fondo;Q0 (mc/s) = portata di massima piena nel periodo di riferimento (peres. un anno).

Per valutare il trasporto solido in condizioni ordinarie, nella formula andràinserito il valore della portata di massima piena con tempo di ritorno ugualea 1 anno e la relativa altezza di precipitazione.Il metodo fornisce un’indicazione sul trasporto solido partendo dall’ipotesiche ci si trovi in condizioni morfodinamiche di equilibrio, cioè che lamorfologia dell’alveo e la composizione del materiale di fondo rimangainvariata. Va però tenuto presente che episodi catastrofici conducono amodifiche profonde nella morfologia dell'alveo (che tenderà ad allargarsi),

FORMULA GEO VER.2.0

nella sua pendenza media (che tenderà ad aumentare) e nella curvagranulometrica del materiale del letto del corso d'acqua (che tenderà aspostarsi verso granulometrie più fini). In questi casi la relazione non è piùapplicabile, a meno di non essere in grado di fare delle previsioni sullevariazioni che subirà l’alveo e, soprattutto, sul nuovo valore del D50. Anchese viene richiesto come input esclusivamente il D50 del materiale di fondo, ilmetodo tiene conto implicitamente anche del materiale trasportato insospensione e quindi può essere utilizzato per problemi di interrimento dibacini.

• Metodo di Shields.

Il metodo mette in relazione la portata solida con la portata liquida cheattraversa una determinata sezione d’alveo e serve a stimare la quantità dimateriale trasportato sul fondo. Nota la curva granulometrica del materialedi fondo alveo, per un determinato valore del diametro dei granuli èpossibile stimare la quantità di materiale che verrà trasportato sul fondo incorrispondenza di una portata liquida imposta.La tensione tangenziale necessaria per mettere in movimento un granulo didiametro d è data dalla relazione:

( )dmqtcr 1)/( −= γφτ

dove:φ = funzione del numero di Reynolds, che vale, in condizioni di

moto turbolento, circa 0.06;γ(t/mc) = peso specifico del materiale di fondo;d(m) = diametro del granulo.

La tensione tangenziale applicata dalla corrente è invece fornitadall’espressione:

iRh=τdove:Rh = raggio idraulico del corso d’acqua;i = pendenza dell’alveo nel tratto considerato.

FORMULA GEO VER.2.0

Imposta una portata liquida di riferimento (Q), per esempio la portata mediaannuale del corso d’acqua, la portata solida è valutabile attraverso laformula:

BiQstQ crs φ

γτττ

11

10)/(−

−=

dove B è la larghezza dell’alveo.La procedura di calcolo, valida per un determinato valore di d, andrà poiripetuta per gli altri diametri presenti nella curva granulometrica. Il trasportodi fondo totale sarà dato quindi dalla sommatoria dei singoli valori di Qscalcolati in corrispondenza di ogni diametro.Questo metodo non permette di valutare la quantità di materiale trasportatoin sospensione, quindi non può essere utilizzato per problemi di interrimentodi un bacino. Può essere applicato invece in problemi connessiall’interrimento di briglie o altre opere fluviali.

FORMULA GEO VER.2.0

Verifica di sezioni d’alveo.

Verifiche in condizione di moto uniforme

La portata che defluisce per una determinata sezione d’alveo è fornita dallarelazione:

Q (mc/s) = A x vm;

dove:A (mq) = area della sezione trasversale dell’alveo;vm (m/s) = velocità media della corrente.

Assumendo il criterio del moto uniforme, cioè immaginando che la lineapiezometrica abbia la stessa inclinazione dell’alveo nella direzione dellacorrente, criterio valido in corsi d’acqua a debole pendenza, la velocitàmedia della corrente può essere espressa dalla relazione (Gauckler-Strickler):

vm (m/s) = Ks x Rh2/3 x (i/100)1/2;

dove:Ks (m1/3s-1) = coefficiente di resistenza di Strickler;Rh(m) = raggio idraulico = A / Perimetro bagnato;i (%) = pendenza dell’alveo nel tratto considerato.

Valutata la velocità della corrente, noto il valore dell’area della sezione delcorso d’acqua, si può calcolare la portata smaltibile, da confrontare con laportata di piena di riferimento.Per i valori di Ks in letteratura vengono proposti i valori presentati nellaseguente tabella:

FORMULA GEO VER.2.0

Tipo superficie Ks (m1/3s-1)CANALI APERTI (Rh ≈1)Rivestiti con:conglomerati bituminosi 57-75mattoni 57-72calcestruzzo 57-77pietrame ad opera incerta 20-50pietre 15-30Scavati o dragati:in terra diritti ed uniformi 30-60in terra con curve uniformi 20-50in terra senza manutenzione o inroccia

20-50

CORSI D’ACQUA MINORI (Rh ≈2) (larghezza in piena <30 m)con sezioni regolari 20-45con sezioni irregolari 15-25torrenti con pochi massi 20-35torrenti con grossi massi 15-25CORSI D’ACQUA MAGGIORI(Rh ≈ 4) (larghezza in piena ≥ 30 m)con sezioni regolari 30-45con sezioni irregolari 20-30AREE GOLENALIa pascolo 20-40coltivate 20-50con vegetazione spontanea 20-30

Il fattore Ks può anche essere valutato direttamente con la relazione, validain particolare per torrenti e per i tratti medio-alti di fiumi:

Ks (m1/3s-1) = 26 / d901/6;

FORMULA GEO VER.2.0

d90 (m) = diametro del passante al 90%.

Verifiche in condizione di moto permanente

In questo caso si suppone che la linea piezometrica abbia un’inclinazionedifferente rispetto a quella dell’alveo. Nel caso di un corso d’acqua a portatacostante , cioè senza immissioni o perdite significative nel tratto verificato,il procedimento è quello descritto di seguito.

1) Si fissa la portata di piena di riferimento per la quale effettuare la verificadella sezione.

2) Si individua, a valle della sezione di verifica, una sezione di controllo,posta ad una distanza ∆X, nella quale sia nota l’altezza idrometrica per laportata di calcolo o in cui si abbia una situazione di altezza critica. Si ha unacondizione di altezza idrometrica critica, quando una determinata portatapassa con la minima energia rispetto al fondo (situazione che si ha peresempio in corrispondenza di un salto di fondo). In quest’ultimo casol’altezza idrometrica è ricavabile utilizzando la relazione:

13

2

=gA

bQcα

dove:Q(mc/s) = portata del corso d’acqua;b(m) = larghezza dell’alveo;g(m/s2) = accelerazione di gravità = 9.81;A(mq) = area della sezione liquida;αc = coefficiente di Coriolis.

Il coefficiente di Coriolis deve essere calcolato con la seguente formula:

tot

n

i i

itot

c CA

CA ∑

== 12

3

α

FORMULA GEO VER.2.0

in cui:n = numero punti del profilo della sezione –1Ai = area della sezione liquida compresa fra il punto (i) e il punto (i+1)

della sezione;Ci = capacità di portata dell’alveo fra il punto (i) e il punto (i+1) della

sezione, data da: 3/2hiisii RAKC = , dove Ksi è il coefficiente di

scabrezza, sec. Gaukler-Strickler, dell’alveo e Rhi il raggio idrauliconel tratto (i);

Atot = area totale della sezione liquida;Ctot = capacità di portata totale dell’alveo, dato dalla sommatoria delle

capacità di portata dei singoli tratti.

3) Si calcola la velocità della corrente nella sezione di controllo attraverso larelazione:

totc A

Qv =

4) Si stima la quota della linea di energia della sezione di controllo con laformula:

gv

zhEc 2

2

α++=

dove:h = altezza idrometrica rispetto al punto più profondo dell’alveo;z = quota s.l.m. del punto più profondo dell’alveo.

5) Si calcola la pendenza della linea di energia J, sempre nella sezione dicontrollo attraverso il rapporto:

2

2

tot

cC

QJ =

FORMULA GEO VER.2.0

6) Si ipotizza un primo valore a tentativo di altezza idrometrica per lasezione di verifica (hv); in genere si utilizza la stessa altezza inserita ocalcolata per la sezione di controllo.7) Si calcola il coefficiente di Coriolis della sezione di verifica, utilizzandola stessa procedura vista per la sezione di controllo.8) Si stima la pendenza della linea di energia della sezione di verifica con laformula:

2

2

tot

vC

QJ =

in cui, ovviamente Ctot è riferito alla sezione di verifica.9) Si calcola la quota della linea di energia della sezione di verifica con laformula:

xJJEE cvcv ∆++= )(21

10) Si valuta la quota della linea di energia per il valore fissato di hv con laformula:

2

2

2'

v

vvvgA

QzhE ++=

dove:zv = quota s.l.m. del punto più profondo dell’alveo della sezione di

verifica;Av = area della sezione bagnata nella sezione di verifica

corrispondente all’altezza idrometrica hv.11) Si esegue la differenza fra Ev‘e Ev. Se questa è inferiore a qualchemillimetro si considera la verifica terminata e hv è l’altezza idrometricacercata. Se questa invece è superiore a qualche millimetro, si calcola unacorrezione ∆y da applicare alla hv. La correzione ∆y è fornita dalla:

FORMULA GEO VER.2.0

( )

3

2

3

2

22

1

2221

'

v

vv

v

vv

cc

vvvccv

gA

bQk

gA

bQ

gv

gv

kxJJEE

yαα

αα

±−

−+∆++−

=∆

in cui:k = coefficiente che misura la perdita di energia per espansione o

contrazione della corrente (per es. per restringimento o allargamentodella sezione) e varia da 0.1 a 0.3 per le correnti in contrazione e da 0.3a 0.5 per le correnti in espansione; ai valori più elevati corrispondonole variazioni più brusche;

bv = larghezza della sezione di verifica.

12) Si ottiene un nuovo valore corretto di altezza idrometrica sommando hve ∆y e si ripete la sequenza di calcolo dal punto 7.

Attenzione : le coordinate dei due profili d’alveo (controllo e verifica)vanno inserite rispetto ad un comune piano di riferimento (per esempio illivello del mare).

FORMULA GEO VER.2.0 ( 2001) – PROGRAM GEO Via Tosio, 28 25121 Brescia

IDROGEOLOGIA

Prove di pozzo.

Introduzione

Viene definita prova di pozzo l’insieme delle procedure utilizzate peril dimensionamento dell’opera di captazione, basate sull’esecuzionedi emungimenti a portata costante e sulla misura dell’abbassamentoindotto nel livello della falda all’interno del pozzo.Scopo principale della prova è quello di consentire l’individuazionedella curva caratteristica del pozzo, cioè di quella curva che correlala portata emunta con l’abbassamento del livello della falda nelpozzo.Normalmente le prove di pozzo vengono condotte con una serie digradini di portata di breve durata (1-3 ore) al termine dei quali simisura l’abbassamento finale. Al termine di ogni gradino segue uninterruzione dell’emungimento che consente al livello della falda diritornare approssimativamente al livello iniziale. La portata inizialeviene posta generalmente uguale a quella minima della pompa, igradini successivi al doppio, al triplo ecc., della portata del primogradino. L’esecuzione del primo gradino deve essere inoltrepreceduto da un pompaggio che consenta lo svuotamento dell’opera(effetto capacità del pozzo).I gradini di prova devono essere almeno tre nel caso di faldeartesiane e quattro nel caso di falde freatiche. Un numero superioredi gradini di portata consente in genere una migliore precisione nellastima dei parametri ricavabili dalla prova.

Le condizioni necessarie perchè la prova sia eseguibile sono leseguenti:

• ci si trovi nelle condizioni di validità della legge di Darcy;• il pozzo sia completo, cioè la zona filtrante deve attraversare

almeno l’80% dello spessore della falda, nel caso di acquiferi


artesiani o semiartesiani, ed i 2/3,3/4 della parte inferiore, nel casodi acquiferi freatici;

• il pozzo sia correttamente sviluppato ed equipaggiato;• la superficie piezometrica sia suborizzontale;• la portata emunta durante l’esecuzione dei gradini di portata sia

effettivamente costante (l’errore massimo tollerabile è intorno al5%);

• il raggio del pozzo sia il più piccolo possibile.

Analisi della curva caratteristica del pozzo.

Riportando su un grafico lineare lungo le ascisse i valori dei gradini diportata e lungo le ordinate gli abbassamenti finali corrispondenti, siottiene una curva chiamata curva caratteristica del pozzo.Tale curva può essere espressa analiticamente attraverso larelazione:

(1) s = B x Q + C x Qn;

in cui:

s (m) = abbassamento finale al termine del gradino di portata Q;Q (mc/s) = valore del gradino di portata;B = costante legata alla componente laminare del deflusso;C = costante legata alla componente turbolenta del deflusso;n = esponente spesso posto uguale a 2 (Jacob, 1946).

Il primo tratto della curva è normalmente assimilabile a quello di unaretta di equazione:

(2) s = B x Q.

Infatti in corrispondenza di piccole portate emunte il deflussodell’acqua richiamata dal pozzo è essenzialmente di tipo laminare,mentre la componente turbolenta è minima. Il valore di B nella (2) èfunzione sia dei parametri idrogeologici dell’acquifero (trasmissività ecoef. di immagazzinamento), che delle carratteristiche del filtro edell’ammasso filtrante.


Al crescere della portata il secondo membro della (1) diventarapidamente predominante. Quando la velocità di filtrazione risultasuperiore alla velocità critica, cioè quando si passa da un deflusso ditipo laminare ad uno di tipo turbolento, la (1) può essereapprossimata come segue:

(3) s = C x Qn.

Il valore di C nella (3) è esclusivamente funzione delle caratteristichedel pozzo (diametro del pozzo, tipo di filtro, ecc...) essendoindipendente dai parametri idrogeologici dell’acquifero.L’aumento del secondo termine della (1) (C x Qn) conduce ad unaperdita di rendimento dell’opera, poichè, quando diventa dominante,a piccoli aumenti di portata finiscono col corrispondere elevatiabbassamenti del livello della falda, ed una crescita del deflussoturbolento che provoca l’asportazione ed il trascinamento nel pozzodi particelle fini, che alla lunga ne provocano l’intasamento.La portata alla quale il secondo membro della (1) diventapredominante prende il nome di portata critica. E’ possibile definirel’efficienza di un pozzo in relazione ad una determinata portataattraverso la relazione:

nCQBQBQ

e+

= 100%

cioè dal rapporto, espresso in percentuale, fra l’abbassamentodovuto alla componente laminare del flusso e quello totale.Un’efficienza inferiore al 50% indica una componente turbolenta delflusso dominante.La forma della curva caratteristica quindi è quasi rettilinea incondizioni di deflusso laminare dominante, fortemente convessa nelcaso di deflusso turbolento prevalente. Nel caso di curva concava laprova è da considerarsi non valida o per errori nell’esecuzione dellemisure o perchè non risultano soddisfatte le condizioni di applicabilitàdella prova viste in precedenza.


Va tenuto presente che la curva caratteristica del pozzo si modificanel corso della vita dell’opera di captazione, con un aumento ingenere nel tempo della componente turbolenta del deflusso, pereffetto per esempio dell’intasamento dell’ammasso filtrante da partedelle particelle più fini o per la formazione di incrostazioni sul filtro.Della diminuzione di rendimento nel corso del tempo dell’operabisogna tener conto nella valutazione della produttività dell’opera,cioè nella stima della massima portata che può essere emunta.

Stima dei parametri B e C della curva caratteristica.

a) Metodo di Jacob (1946)

Nell’ipotesi che la curva caratteristica del pozzo sia esprimibile nellaforma:

s = B x Q + C x Q2,

dove n cioè viene posto uguale a 2, i parametri B e C possonoessere ricavati, utilizzando la retta portate-abbassamenti specifici,data dalla:

(4) s/Q = B + C x Q;

in cui il termine s/Q prende il nome di abbassamento specifico (sq).Nel diagramma portate-abbassamenti specifici i punti corrispondentialle misure effettuate nel corso della prova si disporranno lungo unaretta, il cui coefficiente angolare corrisponde al valore di C.C è quindi ricavabile prendendo due punti lungo la retta, per es. ipunti 1 e 2, e calcolando il rapporto:

C = (sq2 - sq1) / (Q2 - Q1);in cui:

sq = abbassamento specifico;Q = portata.B è ottenibile invece dall’intersezione con l’asse delle ordinate (Q=0).

Considerando però la dispersione dei valori misurati è piùconveniente ricavare i valori di B e C attraverso il metodo dei minimiquadrati. In questo caso C viene fornito dall’espressione:

C = ∑ Qi x sq i / ∑ Qi x Qi;

mentre il valore di B si ottiene dalla:

B = sqmedio - C x Qmedio.

L’analisi della retta espressa dalla (4) permette di individuarerapidamente le caratteristiche del deflusso all’interno del pozzo:

• se la retta passa in prossimità dell’origine (B=0) si può conlcudereche il deflusso è prevalentemente di tipo turbolento;

• se la retta si dispone parallela all’asse delle ordinate (verticale) (Cx Q = 0) il deflusso è prevalentemente di tipo laminare.

Il metodo di Jacob ha il vantaggio, rispetto ai metodi descritti diseguito, di essere di semplice e rapida applicazione. In realtà lapratica ha evidenziato che spesso il fattore n differisce in manierasignificativa dal valore 2, quindi l’applicazione di questa procedurapuò condurre a risultati inaffidabili.

b) Metodo di Rorabaugh (1956)

Riscrivendo la 1) nella forma:

( ) QnCBQs

ln1lnln −+=

−

dove ln indica il logaritmo naturale, si ha l’equazione di una retta concoefficiente angolare (n-1). Il parametro C è dato dall’intersezionedella retta con l’asse delle ordinate, in coefficiente angolare deveessere invece trovato, facendo variare a tentativi B fino a quando laretta, disegnata in scala bilogaritmica, non si allinea in manierasoddisfacente con i dati sperimentali. L’intervallo di variazione di B èridotto, in quanto deve essere soddisfatta la relazione 0 ≤B<s/Q:


infatti valori di B negativi non hanno significato fisico, valori uguali omaggiori di s/Q non sono ammissibili, perché renderebbero negativoo nullo il termine (s/Q – B).Il metodo di Rorabaugh è più affidabile, anche se più laborioso, delmetodo di Jacob e fornisce risultati soddisfacenti nella maggior partedei casi, purchè ovviamente la curva portata abbassamenti sia deltipo 1).

c) Metodo dei minimi quadrati

L’analisi della curva 1) può essere condotta, utilizzando il metodo deiminimi quadrati. In pratica si tratta di ricercare i valori di B, C e n cherendono minimo il valore della:

∑ −=Φ2

'ii ss

dove s è l’abbassamento misurato e s’ l’abbassamento stimato, perlo stesso valore di portata, utilizzando la 1).Procedendo, seguendo la soluzione proposta da Dragoni (1990), B eC possono essere ricavati attraverso le relazioni:

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∑∑ ∑∑ ∑∑∑

++

+

−

−=

1'1'2'2

1'2''

ni

nii

ni

niiii

ni

QQQQ

QQsQQsC

( )( )∑

∑∑ +−=

2

1'

i

niii

Q

QCQsB

utilizzando un valore di n, qui indicato con n’, imposto a tentativi,facendolo variare all’interno dell’intervallo 0-12, intervallo in cui difatto ricadono i valori di n nella pratica.Il metodo dei minimi quadrati fornisce generalmente la migliore stimapossibile dei parametri B, C e n, al prezzo di una difficoltà dielaborazione che obbliga all’utilizzo dell’elaboratore elettronico.


Casi con curva di abbassamento anomala.

Non sempre la curva portata-abbassamenti segue la forma 1). Puòcapitare cioè che utilizzando i tre metodi di calcolo proposti non siriescano ad interpolare in maniera soddisfacente i dati sperimentali.In questo caso una stima di B può essere ottenuta, applicando ilmetodo d Rorabaugh o dei minimi quadrati solo ai gradini di portatapiù bassi, mentre C ed n possono essere valutati applicando glistessi metodi, ma ai gradini più elevati.


Stima dei parametri di dispersione di un inquinante.

Prova con due pozzetti ed immissione continua (Fried, 1975).

Un’indicazione di come un’inquinante si può diffondere nel terrenopuò essere ottenuta attraverso prove di immissione di un tracciante.In pratica si opera con due pozzetti, nel primo viene iniettata unaportata costante insieme al tracciante, nel secondo, posto a valle delprimo, emungendo la stessa quantità d’acqua, in modo da creare unregime di flusso stazionario, viene misurata la variazione diconcentrazione del tracciante. Indicando con Cmax la concentrazionemassima rilevata nel pozzetto di misura, è possibile riportare sugrafico l’andamento del rapporto C/Cmax, dove C rappresenta laconcentrazione misurata in un determinato istante, in funzione deltempo. Supponendo che la curva così costruita sia di tipo gaussiano,si può definire la sua deviazione standard attraverso la relazione:

( )2

1684 ttt

−=σ

dove t84 e t16 indicano, rispettivamente, i tempi in cui si sono misurateconcentrazioni uguali a 0,84Cmax e 0,16Cmax. Il coefficiente didispersione longitudinale, cioè lungo la direzione di flusso, è datoquindi dalla:

tv

D tL 2

22σ=

dove v è la velocità di flusso, data dal prodotto della permeabilità delterreno per il gradiente idraulico, e t è il tempo nel quale si misurauna concentrazione uguale a 0,5Cmax.La dispersività longitudinale è fornita invece dalla relazione:

vDL

L =α .


Prova con due pozzetti ed immissione saltuaria (Fried, 1975).

Si procede come nel caso precedente, solo che l’iniezione deltracciante non avviene in maniera continua per tutta la durata dellemisurazioni. La relazione che fornisce il coefficiente di dispersionelongitudinale si modifica come segue:

( )[ ]

( )0max

0maxmax22

2tt

tttvdDL

−

−−=

dove d è la distanza fra i due pozzetti, t0 è la durata dell’immissione etmax è l’istante in cui si misura la massima concentrazionedell’inquinante. Anche in questo caso la dispersività longitudinale èfornita dalla relazione:

vDL

L =α .


Stima dei parametri idrogeologici dell’acquifero.

Introduzione.

La prova di pompaggio è una prova di emungimento di lunga durata(almeno 42 ore), con un unico gradino di portata, il cui scopo è quellodi:• determinare i parametri idrogeologici dell’acquifero e

principalmente la trasmissività ed il coefficiented’immagazzinamento .

• studiare eventuali limiti, alimentanti o impermeabili, dell’acquiferoe/o le sue condizioni di omogeneità.

Per l’interpretazione delle prove di pompaggio si ricorre normalmentea due modelli riguardanti le modalità di sviluppo del cono didepressione intorno all’opera captante:• modello del regime permanente: si suppone che dopo un periodo

di pompaggio relativamente breve il cono di depressione assumauna configurazione ed estensione praticamente costante;

• modello di regime transitorio: si suppone che le dimensioni delcono di depressione aumentino progressivamente in funzione deltempo di pompaggio.

Il modello del regime transitorio si adegua meglio a quanto si osservain realtà e quindi è il più utilizzato. Condizioni di regime semi-permanente, cioè situazioni in cui l’aumento delle dimensioni delcono di depressione, è estremamente lento e graduale, si possonoverificare per tempi di pompaggio sufficientemente lunghi.Per quanto riguarda le condizioni di applicabilità della prova valequanto detto per le prove di pozzo.

Determinazione dei parametri idrogeologici dell’acquifero.

A) Regime stazionario.

Operando in regime stazionario è possibile determinare latrasmissività dell’acquifero, ma non il coefficiente diimmagazzinamento.


La prova di pompaggio viene eseguita, misurando, al termine delgradino di portata, gli abbassamenti nei piezometri. Disponendo dipiù piezometri lungo allineamenti diversi è possibile valutare anchel’eventuale eterogeneità dell’acquifero, stimando per ogniallineamento il valore della trasmissività.La prova viene riepilogata su un diagramma semilogaritmicoabbassamenti/distanza, dove lungo l’asse delle ascisse (in scalalogaritmica) si pongono le distanze dei piezometri e lungo quellodelle ordinate gli abbassamenti.Si distinguono i casi in cui la prova viene effettuata all’interno di unacquifero artesiano, semiartesiano o freatico.

I) Acquifero artesiano (formula di Thiem).

La trasmissività media dell’acquifero può essere ricavata dallarelazione:

Tmedio = 0.366 x Q / ∆s;

dove:Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero;Q (mc/s) = portata della prova;∆s(m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico

(logaritmi con base decimale)

II) Acquifero semiartesiano (formula di Hantush-Jacob).

Si opera come nel caso precedente, valutando la trasmissività mediadell’acquifero dalla relazione:

Tmedio = 0.366 x Q / ∆s;

dove:Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero;Q (mc/s) = portata della prova;∆s (m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico

(logaritmi con base decimale).


Nel caso di falde semiartesiane oltre alla trasmissività ed alcoefficiente d’immagazzinamento, è necessario stimare altri dueparametri, che regolano il movimento in senso verticale dell’acquaall’interno dello strato semipermeabile:

• il coefficiente di fuga (o di disperdenza), definito dal rapporto:

f (s-1)= K’/ b’;

in cui:K’ = permeabilità dello strato semipermeabile;b’ = spessore dello strato semipermeabile;

che regola lo scambio idrico tra l’acquifero e lo stratosemipermeabile.

• il fattore di fuga (o di disperdenza), definito dalla relazione:

B (m) = √ (T / f);

in cui:T (mq/s) = trasmissività dell’acquifero;

che regola il flusso passante dall’acquifero allo stratosemipermeabile.Con il procedimento di Hantush e Jacob il parametro B è ricavabiledal diagramma semilogaritmico abbassamenti/distanza. B è datodalla relazione:

B = r0 / 1.123;

dove:

r0 = ascissa dell’intersezione della retta con l’asse delledistanze; corrisponde in pratica alla distanza per cui si ha unabbassamento uguale a zero.Noto B, il fattore di fuga f può essere determinato attraverso larelazione:


f = T / B2.

Il metodo è valido per B > 3 x b, dove b è lo spessore dell’acquifero.Inoltre è applicabile solo a quei piezometri in cui sia verificata larelazione:

r /B ≤ 0.05.

III) Acquifero freatico (formula di Thiem).

Si opera come nel caso di una falda artesiana, valutando latrasmissività media dell’acquifero sempre attraverso la relazione:

Tmedio = 0.366 x Q / ∆s;

dove:Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero;Q (mc/s) = portata della prova;∆s (m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico(logaritmi con base decimale).

In questo caso gli abbassamenti misurati vanno corretti attraverso larelazione:

s = s - s2 / ( 2 x Hfalda);

dove:

s (m) = abbassamenti misurati;Hfalda (m) = spessore dello strato acquifero.

La correzione viene introdotta in quanto, a parità di portata, gliabbassamenti misurati in una falda freatica sono maggiori di quellimisurabili in una falda artesiana.Il metodo è applicabile però solo se è soddisfatta la relazione:


smedio / Hfalda ≤ 0.15.

dove:

smedio (m) = abbassamento medio misurato nei piezometri.

B) Regime transitorio.

Operando in regime transitorio è possibile determinare latrasmissività dell’acquifero ed il coefficiente di immagazzinamento.La prova di pompaggio viene eseguita, misurando, a intervalli ditempo crescenti in maniera esponenziale gli abbassamenti nel pozzoe/o nei piezometri di prova. Al termine della prova si arresta lapompa e si misurano, lungo lo stesso intervallo di tempo, gliabbassamenti residuali.Disponendo di più piezometri si può valutare anche l’eventualeeterogeneità dell’acquifero, stimando per ogni piezometro il valoredella trasmissività.La prova viene riepilogata su un diagramma semilogaritmicoabbassamenti/tempo, dove lungo l’asse delle ascisse (in scalalogaritmica) si pongono i tempi di misura e lungo quello delle ordinategli abbassamenti. La curva che si genera è approssimabile ad unaretta, almeno nel caso di acquifero illimitato. Solo nel tratto inizialetale curva si discosta da un andamento rettilineo a causa dell’effettocapacità del pozzo, che origina un deflusso di tipo turbolento.

Si distinguono i casi in cui la prova viene effettuata all’interno di unacquifero artesiano, semiartesiano o freatico.

I) Acquifero artesiano (formula di Jacob).

Il metodo permette di valutare la trasmissività media dell’acquiferoattraverso la relazione:

(1)Tmedio = 0.183 x Q / ∆s;

dove:


Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero;Q (mc/s) = portata della prova;∆s (m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico

(logaritmi con base decimale).

Il coefficiente di immagazzinamento è fornito invece dalla:

Smedio = 2.25 x Tmedio x t0 / r2;

dove:Smedio = coef.d’immagazzinamento dell’acquifero;t0 (s) = valore dato dall’intersezione della retta con l’asse deitempi;r (m) = distanza del piezometro di riferimento dal pozzo diprova o raggio del pozzo nel caso si effettui la prova nel pozzostesso.

E’ possibile ricavare il valore della trasmissività anche attraverso lamisura degli abbassamenti residuali dopo l’arresto del pompaggio,utilizzando la relazione (1). In questo caso però non è possibilevalutare il coefficiente d’immagazzinamento.

II) Acquifero semiartesiano (formula di Hantus).


(2) Tmedio = (0.183 x Q / ∆s) x 10 -r / B;

dove:Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero;Q (mc/s) = portata della prova ;∆s (m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico(logaritmi con base decimale);


r (m) = distanza del piezometro di riferimento dal pozzo diprova o raggio del pozzo nel caso si effettui la prova nel pozzostesso.B (m) = fattore di fuga (o di disperdenza), calcolabile con laseguente procedura:

• si stima il parametro si dato da sm/2, dove sm è ugualeall’abbassamento massimo misurato al termine della prova;

• si ricava il rapporto r/B attraverso la relazione:

r / B = 1 / (0,5 10 [0,251 + (si / ∆s) / 2]);

noto r si ricava quindi B e, attraverso la relazione f = T / B2.il coefficiente di fuga f.

Il coefficiente di immagazzinamento è fornito invece dalla:

Smedio = [2.25 x Tmedio x t0 / r2] x r / B;

dove:Smedio = coef.d’immagazzinamento dell’acquifero;t0 (s) = valore dato dall’intersezione della retta con l’asse deitempi;r (m) = distanza del piezometro di riferimento dal pozzo diprova o raggio del pozzo nel caso si effettui la prova nel pozzostesso.


III) Acquifero freatico (formula di Jacob).



(3)Tmedio = 0.183 x Q / ∆s;

dove:Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero;Q (mc/s) = portata della prova;∆s (m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico(logaritmi con base decimale);

In questo caso gli abbassamenti misurati vanno corretti attraverso larelazione:

s = s - s2 / ( 2 x Hfalda);

dove:s (m) = abbassamenti misurati;Hfalda (m) = spessore dello strato acquifero.

La correzione viene introdotta in quanto, a parità di portata, gliabbassamenti misurati in una falda freatica sono maggiori di quellimisurabili in una falda artesiana.Il metodo è applicabile solo se è soddisfatta la relazione:

smedio / Hfalda ≤ 0.15.

dove:smedio (m) = abbassamento medio misurato.


C) Pozzi incompleti.

Nel caso di pozzi incompleti, cioè di pozzi in cui la colonna filtrantenon attraversa completamente lo strato acquifero, i metodi di calcolodei parametri idrogeologici visti in precedenza andranno corretti, pertener conto della presenza di una componente di flusso non radiale.


In pratica nelle prove di pompaggio eseguite in regime transitorio, gliabbassamenti misurati, a parità di portata, nei pozzi incompletirisultano superiori a quelli che si avrebbero in pozzi completi,essendo la parte filtrante, nel primo caso, inferiore. Applicando senzacorrezioni gli abbassamenti misurati ai normali metodi di calcolo siotterebbero valori di trasmissività inferiori a quelli reali.In realtà per distanze dal pozzo superiori a circa (1.5-2)B, con(B=spessore dell’acquifero) l’effetto dell’incompletezza dell’opera dicaptazione non si risente più: in questi casi si può operare senzaessere costretti ad applicare correzioni ai dati misurati.Nel caso di prove di pompaggio eseguite nel pozzo o in piezometri adistanza inferiori dal pozzo di (1.5-2)B, agli abbassamenti vaapplicata una correzione, funzione principalmente della geometriadel pozzo.

I) Acquifero artesiano o semiartesiano (correzione di Hantush)

Hantush (1962) ha proposto di applicare la seguente correzione, nelcaso comune in cui la parte superiore della colonna filtrantecorrisponda col tetto dello strato acquifero:

fs = [4 B / (π b)] ∑ [(1/n) K0( n r π/B) cos( n z π/B) sen( n b π/B);

dove:b = spessore del tratto filtrante;z = b/2;r = distanza dal pozzo del piezometro di misura;K0( n r π/B) = funzione di Bessel nel punto ( n r π/B);n = variabile nell’intervallo 1 - ∝ (nella pratica si utilizzano soloi primi termini).

Se si opera, eseguendo le misure direttamente nel pozzo dipompaggio, la relazione che fornisce fs si semplifica come segue:

−+

+−

−

−=

bBbB

Bb

Bb

Bb

rb

Bb

bB

fs22

423,02

ln2

ln12


dove r in questo caso è il raggio del pozzo;

Il procedimento da seguire per valutare i parametri idrogeologici inquesto caso è il seguente:

• si calcola la trasmissività (T) attraverso la relazione s

QT

∆= 183,0 ;

• si determini il valore di fs;• si calcoli il coefficiente d’immagazzinamento corretto con la

relazione: )exp(25,220 fs

rt

TS = .

II) Acquiferi freatici (correzione di Hantush)

Hantush (1964) ha proposto di applicare la seguente correzione agliabbassamenti misurati nel caso di acquiferi freatici:

ds

ss2

'2

−=

dove d è la lunghezza del tratto filtrante.

D) Acquiferi limitati.

I procedimenti di calcolo visti in precedenza consentono la stima deiparametri idrogeologici nel caso di acquiferi illimitati. Nel caso diacquiferi limitati lateralmente, per la terminazione dello stratoacquifero contro una barriera stagna (condizione di limiteimpermeabile) o per la presenza di una alimentazione da parte dicorsi d’acqua superficiali (condizione di limite alimentante)l’interpretazione della prova di pompaggio andrà condotta solo sulprimo tratto rettilineo della curva abbassamenti-tempo oabbassamenti-distanza. La presenza infatti di una condizione dilimite si manifesta nelle curve citate con la comparsa di un secondotratto rettilineo con inclinazione differente dal primo. La pendenza diquesto secondo segmento di retta sarà superiore al primo nel caso dilimite impermeabile, sarà inferiore nel caso di limite alimentante.


La distanza teorica del limite può essere valutata attraverso leseguenti relazioni:

d = (x / 2) √ (ti / t0) (caso di limite impermeabile);

d = (x / 2) √ (ti / t0) + x/2 (caso di limite alimentante);

dove:ti = tempo corrispondente all’intersezione dei due segmenti di

retta;t0 = tempo d’intersezione della prima retta con l’asse dei

tempi.

Stima del raggio d’influenza di un pozzo.

A) In regime stazionario.

In regime stazionario il raggio d’influenza del pozzo può esserestimato attraverso la relazione:

ksmRf 3000)( =

dove:s(m) = abbassamento misurato nel piezometro o nel pozzo;k(m/s) = permeabilità dell’acquifero.

B) In regime transitorio.

In condizioni di regime tranistorio il raggio d’influenza del pozzo è infunzione del tempo trascorso dall’inizio del pompaggio. In questocaso Rf può essere ricavato dalla relazione:

STt

mRf 5,1)( =

dove:T(mq/s) = trasmissività dell’acquifero;


t (s) = tempo trarscorso dall’inizio del pompaggio;S = coefficiente d’immagazzinamento.


Simulazione di un flusso idrico in 2 dimensioni.

Nell’ipotesi di un acquifero omogeneo, illimitato e confinato èpossibile fornire una soluzione analitica alle equazioni differenzialiche descrivono il moto di un fluido in un mezzo poroso. In pratica talesoluzione consente di descrivere il moto di una singola particella, chepuò essere d’acqua, ma anche eventualmente di un altro fluido,soggetta all’influenza di pozzi emungenti o disperdenti in un pianoXY.Si parte dall’ipotesi che il moto della particella inizialmente non siadisturbato e che essa si sposti lungo la direzione iniziale di flusso(asse X) con una velocità costante. Nel caso di particelle d’acquatale velocità può essere valutata attraverso il prodotto k x i, dove k èla permeabilità dell’acquifero e i è il gradiente idraulico. La velocitànella direzione perpendicolare (asse Y) a quella di flusso viene postainizialmente uguale a zero.Nel momento in cui la particella entra nel raggio d’influenza dei pozzipresenti nell’area le componenti della velocità lungo gli assi X e Y simodificano come segue (Bear & Verruijt, 1987):

∑=

++=

n

i

xxixx D

NDN

naHQ

vv1 21

0 4

∑=

+=

n

i

yyiy D

N

D

N

naHQ

v1 2

2

1

1

4

dove: n = numero dei pozzi;Qi = portata del pozzo i-esimo, presa con il segno – se ilpozzo è emungente, con il segno + se è iniettante;a = larghezza dell’area (lungo l’asse Y);H = spessore dell’acquifero;v0x = velocità iniziale della particella lungo l’asse X;Nx = senh[π(x - xi) / a];

senh = seno iperbolico;x = ascissa della particella;


xi = ascissa del pozzo i-esimo;D1 = cosh[π(x - xi) / a] - cos[π(y - yi) / a];

cosh = coseno iperbolico;y = ordinata della particella;yi = ordinata del pozzo i-esimo;

D2 = cosh[π(x - xi) / a] - cos[π(y + yi) / a];Ny1 = sen[π(y - yi) / a];Ny2 = sen[π(y + yi) / a];


Prove di permeabilità.

Introduzione

Nei materiali sciolti, permeabili per porosità, nei quali è verificata lalegge di Darcy, la permeabilità si esprime attraverso il coefficiente dipermeabilità k che ha le dimensioni di cm/s o m/s. Nelle rocce,permeabili per fessurazione, nelle quali non è valida la legge diDarcy, la permeabilità si indica attraverso il valore degli assorbimentid’acqua misurati in fori di sonda, espressi in litri assorbiti per ognimetro di lunghezza di foro, e della pressione usata nella prova.Talvolta il coefficiente k è usato per definire la permeabilità degliammassi rocciosi, ma assume in questo caso un significatoorientativo.Il coefficiente di permeabilità di un terreno viene sempre determinatocon difficoltà e presenta spesso un notevole grado di incertezza; ivalori sperimentali , salvo nei casi in cui il terreno è omogeneo edisotropo, sono infatti affetti da errori che possono anche essere di unintero di grandezza.La scelta del metodo di prova va effettuata in funzione del tipo diterreno e della precisione desiderata.L’attendibilità delle prove, come suggerito dall’AGI nelle“Raccomandazioni sulla programmazione ed esecuzione delleindagini geotecniche” (giugno 1977), può essere migliorataadottando i seguenti accorgimenti:

• conoscenza della distribuzione delle pressioni neutre nel terrenoprima della prova;

• conoscenza esatta , per quanto possibile, del profilo stratigrafico;• realizzazione con la prova di condizioni di moto laminare in regime

permanente;• adozione in tutte le prove che comportano immissione d’acqua nel

terreno, di acqua limpida.

Prove in pozzetto.


Le prove in pozzetto sono adatte soprattutto per terreni granulari eforniscono una valutazione della permeabilità dei terreni superficialial di sopra del livello di falda.Vengono eseguite in pozzetti cilindrici o a base quadrata con paretiverticali o inclinate.Si dividono in:

• prove a carico costante, effettuate cioè riempiendo d’acqua ilpozzetto e misurando la portata necessaria per mantenerecostante il livello;

• prove a carico variabile, effettuate misurando la velocità diabbassamento in funzione del tempo.

Le condizioni necessarie perchè le prove siano significative sono leseguenti:

• il terreno deve essere saturato preventivamente in modo dastabilire un regime di flusso permanente;

• la profondità del pozzetto deve essere pari a circa 1/7 dell’altezzadel fondo dal livello di falda;

• il diametro (o il lato di base) del pozzetto deve essere almeno 10 -15 volte il diametro massimo dei granuli del terreno;

• il terreno sia omogeneo, isotropo e con coefficiente di permeabilità k >10-6m/s

A) Pozzetto circolare.

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguentirelazioni:


mdhq

kπ

=

conq = portata assorbita a livello costante;hm = altezza dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);


d = diametro del pozzetto.


( )( ) mhtt

hhdk

12

12

32 −−

=

conhm = altezza media dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);d = diametro del pozzetto;t2-t1 = intervallo di tempo;h2-h1 = variazione di livello dell’acqua nell’intervallo t2-t1 .

B) Pozzetto quadrato.

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguentirelazioni:


+

=3272

bh

b

qk

conq = portata assorbita a livello costante;h = altezza dell’acqua nel pozzetto (h > d/4);b = lato della base del pozzetto.


+

+

−−

=327

21

12

12

bh

bh

tthh

km

m


conhm = altezza media dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);b = lato della base del pozzetto.t2-t1 = intervallo di tempo;h2-h1 = variazione di livello dell’acqua nell’intervallo t2-t1 .


Prove in foro di sondaggio

Le prove in foro di sondaggio permettono di determinare lapermeabilità di terreni al di sopra o al di sotto del livello di falda.Possono essere eseguite durante la trivellazione del foro a diverseprofondità oppure alla fine della trivellazione sul solo tratto terminale.

Per l’esecuzione delle prove è necessario che:

• le pareti della perforazione siano rivestite con una tubazione pertutto il tratto del sondaggio non interessato dalla prova;

• nel caso di terreni che tendono a franare o a rifluire, il tratto diprova deve essere riempito con materiale filtrante di granulometriaadatta ed isolato mediante un tampone impermeabile.

Le prove si dividono in prove a carico costante o a carico variabile.

A) Prove a carico costante.

Le prove a carico costante si eseguono misurando la portatanecessaria per mantenere costante il livello dell’acqua nel foro, incondizioni di regime costante. Si possono eseguire anche nel terrenoal di sopra del livello di falda; in questo caso è necessario saturarepreventivamente il terreno in modo da stabilire un regime di flussopermanente.


Il coefficiente di permeabilità è dato dalla:

mhq

k =

con

q = portata immessa;


h = livello dell’acqua in foro;m = coefficiente di forma = 2,85Dcon D= diametro del foro(N.B.: per prove sopra il livello di falda, h è misurato rispetto allabase del foro).



mhq

k =

in questo caso però il coefficiente m assume valori differenti, infunzione delle condizioni di filtrazione, secondo la tabella:


Dπ


D2


v

h

DKLKD

π8

1

2

+


v

h

DKLKD

π11

1

75,2

+


++

23

13

ln

3

DL

DL

Lπ



++

25.11

5.1ln

3

DL

DL

Lπ


Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in primaapprossimazione uguale a 10.

3) Zagar (1953)

3a) Terreno saturo

Si applica sempre la relazione:

mhq

k =

in questo caso però il coefficiente m assume i seguenti valori:rm 7,5= se il foro è aperto solo sul fondo;

−

+

−

=

122

ln

12

4

2

2

rL

rL

rL

rm



3b) Terreno non saturo

Nel caso in cui il livello dell’acqua nel foro di prova sia ad una quotasuperiore rispetto al livello della falda, la relazione vista inprecedenza non è più applicabile.


Definiti Hu la differenza di quota fra il livello dell’acqua nel foro e illivello della falda e r’ il rapporto fra il raggio del foro e l’area dellasuperficie filtrante, si calcola il parametro Y secondo la relazione:

uHh

Y100

035,00556,1 +−=

dove h è l’altezza media dell’acqua nel foro rispetto al fondo del forostesso. Nel caso risulti Log10(Hu/L)>Y, dove L è la lunghezza deltratto filtrante, per il calcolo di K si applica la relazione:

hCrq

k'

=

dove C è fattore ricavabile dalla formula:

( )h

LLogCCCC

100121 10−+=

rh

C 152,096,601 +=

rh

C 822,058,1042 +=

Nel caso invece in cui sia Log10(Hu/L)≤Y si applica la relazione:

( )LhHrrr

C

qk

u −+

+

='

'4

dove rL

C 797,0247,6 +=

Si tenga presente che la procedura è in questo caso applicabile solose sono verificate le condizioni h>5L e L>10r’.

B) Prove a carico variabile.


Le prove a carico variabile al di sotto del livello di falda si dividono inProve di risalita e Prove di abbassamento. Le prove di risalita sieseguono abbassando il livello dell’acqua nel foro di un’altezza notae misurando la velocità di risalita del livello. Le prove diabbassamento si eseguono riempiendo il foro d’acqua per un’altezzanota e misurando la velocità di abbassamento del livello. Le prove diabbassamento possono essere eseguite anche nel terreno al disopra del livello di falda; in questo caso il terreno deve esserepreventivamente saturato.


Per le prove a carico variabile il coefficiente di permeabilità è datodalla:

( ) 2

1

12

lnhh

ttCA

kL −

=

con

A = area di base del foro di sondaggio;h1 e h2 = altezza dei livelli d’acqua nel foro rispetto al livello dellafalda indisturbata o al fondo del foro stesso agli istanti t1 e t2;t1 e t2 = tempi ai quali si misurano h1 e h2;CL = coefficiente di forma dipendente dell’area del foro di sondaggioe dalla lunghezza del tratto di foro scoperto.

Per il coefficiente CL sono suggeriti i seguenti valori:

L >> d CL = LL≤ d CL = 2πd+L

dove L è la lunghezza del tratto di foro scoperto e d il diametro delforo.




( ) 2

1

12

lnhh

ttCA

kL −

=

in questo caso però il coefficiente CL assume valori differenti, infunzione delle condizioni di filtrazione, secondo la tabella:


Dπ


D2


v

h

DKLKD

π8

1

2

+


v

h

DKLKD

π11

1

75,2

+


++

23

13

ln

3

DL

DL

Lπ


++

25.11

5.1ln

3

D

L

D

L

Lπ



Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in primaapprossimazione uguale a 10.

5) Zagar (1953)

Si applica la relazione:

mh

tthh

mr

k

−−

= 12

122π

dove r è il raggio del foro e hm la profondità media dell’acqua nel foro.Il coefficiente m assume i seguenti valori:

rm 7,5= se il foro è aperto solo sul fondo;

−

+

−

=

122

ln

12

4

2

2

rL

rL

rL

rm



Prove Lugeon.

Le prove Lugeon permettono di calcolare la permeabilità o valutare lafratturazione degli ammassi rocciosi. Vengono eseguite immettendo,in fori di sondaggio, acqua sotto pressione. Nei fori di sondaggioviene calato un tubo per l’adduzione dell’acqua con due otturatoriche consentono di isolare il tratto di foro in cui si vuole effettuare laprova. Durante ogni prova vengono misurate: la pressione diiniezione, la portata immessa e il tempo di durata della prova dopoaver raggiunto le condizioni di regime. Le prove vengono eseguiteper almeno 5 valori della pressione di iniezione, ciascuno mantenuto


costante per 10, 20 minuti. Si possono eseguire prove inavanzamento, interrompendo la trivellazione ogni 2 - 5 metri, oppurein risalita quando la trivellazione è terminata.La pressione nel tratto di foro in cui viene eseguita la prova è datadalla:

( )pwme HHPP −+= γ

conPm = pressione letta al manometro;H = altezza della colonna d’acqua;Hp = perdite di carico in altezza d’acquaγw = peso specifico dell’acqua

Per un mezzo omogeneo ed uniforme, in presenza di un motolaminare attorno al foro, il coefficiente di permeabilità è dato dalla:

e

w

CPq

kγ

=

conq = portata assorbita;Pe = pressione nel tratto di foro;

C = coefficiente di forma =

−

+

−

1ln

1

22

2

DL

DL

DL

Dπ

dove :D = diametro del tratto di foro di prova;L = lunghezza del tratto di foro di prova

La permeabilità di un ammasso roccioso può essere valutataindirettamente dalla unità di assorbimento Lugeon (U.L.). L’ U.L.


rappresenta la portata d’acqua in litri al minuto assorbita da un trattodi foro di lunghezza 1 m, alla pressione di 10 kg/cmq e vale circa 10-7

m/s. Il valore di U.L. indicativo della prova si ricava dal diagrammaassorbimenti-pressione, grafico che ha in ascissa l’assorbimentoespresso in litri al minuto per metro di foro e in ordinata la pressioneeffettiva. Di seguito vengono elencati i casi possibili:a)Moto di filtrazione laminare.

In questo caso i valori di UL misurati alle varie pressioni risultanoall’incirca uguali. Come valore di UL si considera la media dei valori.

b)Moto di filtrazione turbolento.

Il valore di UL calcolato per la massima pressione risulta il più bassodi tutta la serie e viene assunto come valore indicativo della prova.

c)Fenomeni di dilatazione delle fessure.

In questo caso si nota un netto aumento del valore di UL allamassima pressione, mentre i valori misurati alle pressioni intermediesono all’incirca uguali. Si assume come UL indicativo il valore mediodelle UL alle pressioni basse e intermedie.

d)Fenomeni di dilavamento delle fessure.

Si osserva un aumento progressivo delle UL per tutta la durata dellaprova. Come UL rappresentativo si considera quello finale, che saràanche quello maggiore di tutta la serie.

e)Fenomeni d’intasamento delle fessure.

Si ha nel corso della prova una progressiva diminuzione dei valori diUL. Si assume come valore di UL indicativo quello finale, che saràanche il più basso della serie.

Stima della permeabilità da analisi granulometriche.


Esistono in letteratura numerose correlazioni empiriche chepermettono di stimare la permeabilità di un mezzo poroso, passandoattraverso l’analisi della curva granulometrica. Pur non potendosostituire le determinazioni in sito, tali formule possono essere utiliper una prima determinazione di k in terreni sabbiosi. Di seguitovengono elencate e descritte le dieci relazioni più usate, indicandoper ognuna di essa il campo di applicabilità. Tutte, per semplicità,vengono espresse nella forma:

( ) 2)/( ednCvg

smK φ=

dove:g =accelerazione di gravità=9,81 (m/s2);v =coefficiente di viscosità dell’acqua, variabile in funzione della

temperatura, secondo la seguente tabella:

T (°C) 0 5 10 15 20 30 50V (mq/s) 1,78 10-6 1,52 10-6 1,31 10-6 1,14 10-6 1,01 10-6 0,81 10-6 0,55 10-6

C = costante;φ(n) = funzione della porosità del terreno;de = diametro efficace dei granuli.

Le formule presentate differiscono fra loro per i diversi valori adottatidelle grandezze C, φ(n) e de.Si ricorda infine che la porosità del terreno può essere stimata inprima approssimazione attraverso la relazione empirica:

( )η83,01255,0 +=n

dove η= d60/d10 è il coefficiente di uniformità del terreno.

1) Formula di Hazen.

Nella formula di Hazen le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =6 10-4

φ(n) = ( )[ ]26,0101 −+ nde =d10

La formula è applicabile nelle seguenti condizioni:0,1 mm < de < 3 mm e η<5.

2) Formula di Slichter.

Nella formula di Slichter le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =1 10-2

φ(n) =n3,287

de =d10

La formula è applicabile nel caso di sabbie grossolane.0,01 mm < de < 5 mm.

3) Formula di Terzaghi.

Nella formula di Terzaghi le grandezze da introdurre nella relazionedi calcolo di K assumono i seguenti valori:

C =10,7 10-3 per sabbia con granuli arrotondati e 6,1 10-3 persabbia con granuli a spigoli vivi

φ(n) =2

3 1

13,0

−

−n

n

de =d10


4) Formula di Beyer.

Nella formula di Beyer le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =6 10-4 Log10 (500/η)φ(n) =1de =d10

La formula è applicabile nelle seguenti condizioni:0,06 mm < de < 0,6 mm e 1<η<20.

5) Formula di Sauerbrei.

Nella formula di Sauerbrei le grandezze da introdurre nella relazionedi calcolo di K assumono i seguenti valori:

C =3,75 10-3

φ(n) =( )2

3

1 nn−

de =d17

La formula è applicabile nel caso di sabbie e argille sabbiose con de

< 0,5 mm.

6) Formula di Krueger.

Nella formula di Krueger le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =4,35 10-5

φ(n) =( )21 n

n−

1/de =∑+

∆ di

gi

i ddg

2 dove ∆gi è la frazione di peso del campione

compresa fra il diametro maggiore e minore (d ig e d i

d) deigranuli del passante i-esimo


La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η>5.

7) Formula di Kozeny.

Nella formula di Kozeny le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =8,3 10-3

φ(n) =( )2

3

1 nn−

1/de = ∑ +∆+

∆d

ig

i

di

gi

ii

i

dd

ddg

dg

223





8) Formula di Zunker.

Nella formula di Zunker le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =2,4 10-3 per sabbie uniformi con granuli arrotondati=1,4 10-3 per sabbie grossolane con granuli arrotondati=1,2 10-3 per sabbie eterogenee=0,7 10-3 per sabbie eterogenee, argillose con granuli a spigoli viviin alternativa si può inserire un valore medio di 1,55 10-3

φ(n) =2

1

− nn

1/de = ( )∑−

−∆+

∆d

ig

id

ig

i

di

gi

ii

i

dddd

ddg

dg

lnln23

dove ∆gi è la frazione di

peso del campione compresa fra il diametro maggiore e minore(di

g e d id) dei granuli del passante i-esimo

La formula è applicabile nel caso di sabbie da fini a grossolane.

9) Formula di Zamarin.

Nella formula di Zamarin le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =8,3 10-3

φ(n) =( )

( )22

3

5,1275,11

nn

n−

−

1/de = ∑−−

∆+∆

di

gi

di

gi

ii

i

dd

ddg

dg lnln

23





10) Formula USBR.

Nella formula USBR le grandezze da introdurre nella relazione dicalcolo di K assumono i seguenti valori:

C =4,8 10-4 d200,3

φ(n) =1de =d20

La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η< 5.

MICROZONAZIONE SISMICA

Premessa

La valutazione del rischio1 sismico, in aree ad estensione regionale, vieneeffettuata mediante la <macrozonazione sismica>, definita comel’individuazione di aree che possano essere soggette, in un dato intervallo ditempo, ad un terremoto di una certa intensità.All’interno di queste aree si possono valutare, con maggior dettaglio, ledifferenze di intensità massima dovute a differenti situazioni geologichelocali attraverso procedure il cui insieme costituisce la <microzonazionesismica>. Infatti l’esame della distribuzione dei danni prodotti da unterremoto nello stesso territorio dimostra che le azioni sismiche possonoassumere anche a distanze di poche decine di metri caratteristiche differentiin funzione delle diverse condizioni locali (morfologia superficiale,morfologia del substrato roccioso sepolto, presenza e profondità della faldafreatica, costituzione e proprietà del sottosuolo, presenza di faglie).La microzonazione sismica è volta ad individuare gli strumenti necessari aprevedere e a mitigare (attraverso idonei criteri d’uso del territorio) glieffetti sismici in una zona di dimensioni urbane.

1 Con rischio sismico si indica il probabile danno che un determinato sito può subire inoccasione di un sisma. In maniera analitica può essere espresso come il prodotto dellapericolosità sismica, della vulnerabilità sismica e della quantificazione economica dellerealtà danneggiate. La pericolosità sismica può essere direttamente riferita alla vibrazioneche un sito può subire durante un sisma e la vulnerabilità definisce lo stato diconservazione del patrimonio edilizio e delle strutture sociali potenzialmente rese inattivedal sisma. Il parametro relativo alla quantificazione delle realtà danneggiate è didifficilissima valutazione (se non impossibile comprendendo oltre a edifici o struttureproduttive anche vite umane e valori artistici o culturali)

FORMULA GEO VER.2.0

Introduzione

In questa sezione del Manuale verranno esposte le procedure di calcoloutilizzate all’interno del programma. Verranno quindi affrontate leproblematiche relative:• alla caratterizzazione del sito da un punto di vista sismico;• al calcolo del terremoto di progetto;• alla stima degli effetti di sito, in particolare al calcolo dell’amplificazione

sismica e degli spettri di risposta elastici del terreno;• alla valutazione dell’influenza del sisma sul comportamento meccanico

del terreno.Gli argomenti sono stati elencati secondo quello che dovrebbe essere loschema operativo per l’analisi degli effetti di un terremoto su un’opera diingegneria. La caratterizzazione del sito consente di valutarequalitativamente la vulnerabilità sismica dell’area indaga. Il calcolo delterremoto di progetto permette di stimare la massima intensità sismicaprevedibile nel sito in corrispondenza di un determinato tempo di ritorno.Combinando la caratterizzazione del sito con il terremoto di progetto èpossibile valutare in modo quantitativo o semi-quantitativo gli effetti di sitoe in particolare l’accelerazione sismica in superficie. Nota questa grandezzasi può precedere alla stima delle forze dinamiche agenti sull’opera e aglieffetti del sisma sul comportamento meccanico del terreno.

FORMULA GEO VER.2.0

Caratterizzazione del sito da un punto di vista sismico.

Caratterizzazione del terreno

Per la classificazione del sito è necessario conoscere le caratteristichestratigrafiche del sottosuolo dell’area indagata. In particolare devono esserenoti:1) il numero e lo spessore degli strati di copertura, cioè dei livelli

sovrastanti il bedrock o il bedrock-like, intendendo con questi terminil’eventuale substrato roccioso (bedrock) o uno strato sciolto (bedrock-like) con velocità delle onde S nettamente maggiore dei livelli superiori(e generalmente con valori oltre i 500-700 m/s);

2) la velocità delle onde S negli strati di copertura;La caratterizzazione può essere effettuata, utilizzando provepenetrometriche dinamiche (SPT) o statiche (CPT) o attraverso la sismica arifrazione.

Caratterizzazione del terreno attraverso prove penetrometrichedinamiche (SPT).Esistono in letteratura molte formule empiriche che consentono di correlareil valore di Nspt (numero di colpi per 30 cm di avanzamento) con la velocitàdelle onde S nel terreno. Nel programma viene utilizzata la relazione diOtha e Goto (1978), consigliata dal Manuale internazionale TC4 per lazonazione dei rischi geotecnici. La formula, che tiene conto sia dell’età deldeposito che della sua granulometria dominante, ha la seguente espressione:

EFDNsmV spts2.017.068)/( =

dove D(m) è la profondità media dello strato dal piano campagna, E è unfattore che tiene conto dell’età del deposito (Tabella I) e F è un coefficientefunzione della granulometria dominante dello strato (Tabella II).

Età del deposito Fattore EOlocene 1.0Pleistocene 1.3

Tabella IGranulometria dominante Coefficiente F

FORMULA GEO VER.2.0

Argilla 1.00Sabbia fine 1.09

Sabbia media 1.07Sabbia grossa 1.14

Sabbia ghiaiosa 1.15Ghiaia 1.45

Tabella II

Per la stima della velocità delle onde S nel substrato, in mancanza di dati piùprecisi, come quelli derivanti dalla sismica a rifrazione, un’indicazione puòessere ottenuta dalla seguente tabella:

Litologia Range Vp(m/s)Calcare 3400 - 5000Arenaria 2000 - 4500Dolomia 5000 - 6000Argillite 2400 - 5000Anidrite 3500 - 5500

Salgemma 4000 - 5500Morena 1500 - 2600

Alluvioni 300 - 1700Metamorfiti di basso grado 3000 - 5000Metamorfiti di alto grado 5000 - 7000Rocce granitoidi e Gneiss 4000 - 6000

Basalti 5500 - 6300Gabbri 6400 - 6800

Rocce ultrafemiche 7500 - 8400

La tabella fornisce la velocità delle onde P, dalla quale può essere ricavata laVs utilizzando la relazione:

σσ

2221

)/(−−

= ps VsmV

dove σ è il coefficiente di Poisson dello strato, mediamente uguale a 0.25nelle rocce e 0.35 nei terreni sciolti. I valori più bassi per ogni litotipo siriferiscono al caso di maggiore fratturazione o minore addensamento.

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Caratterizzazione del terreno attraverso prove penetrometrichestatiche (CPT).Anche per le prove penetrometriche statiche esistono in letteratura dellerelazioni empiriche che collegano qc (resistenza alla punta) con la velocitàdelle onde S del terreno. Nel programma viene utilizzata la formula diBarrow e Stokoe (1983), anch’essa consigliata nel Manuale internazionaleTC4 per la zonazione dei rischi geotecnici. La relazione, valida per tutti itipi di terreno, ha la seguente forma:

cs qsmV βα +=)/(dove α e β sono due coefficienti che valgono rispettivamente 50.6 e 2.1.

Caratterizzazione del terreno attraverso sismica a rifrazione.

Una valutazione più precisa delle velocità delle onde S negli strati dicopertura può essere effettuata attraverso stendimenti di sismica arifrazione. Dall’interpretazione dell’indagine sismica si ottengono i valoridelle velocità delle onde P, dalle quali, noto il coefficiente di Poisson, siricavano i corrispondenti valori delle velocità delle onde S con la relazione:

σσ

2221

)/(−−

= ps VsmV

dove σ è il coefficiente di Poisson dello strato, mediamente uguale a 0.25nelle rocce e 0.35 nei terreni sciolti.Il programma Sisma consente di effettuare un’interpretazione semplificatadi uno stendimento di sismica a rifrazione, nel caso di un terreno costituitoal massimo di tre strati, con i limiti litologici aventi un’inclinazioneregolare. Per situazioni morfologiche e stratigrafiche più complesse siraccomanda l’utilizzo di software più specifici.

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Classificazione del sito

Metodo basato sulla rigidità degli strati di copertura.

Proposto da Draft (1989) e adottato nel Chinese Aseismic Design Code forStructures, questo metodo propone una classificazione del sito basata sullastima di un parametro, l’indice di sito, funzione del modulo di taglio medioe dello spessore degli strati di copertura. Il modulo di taglio medio vienestimato con la relazione:

∑

∑

=

==n

ii

n

isi

ii

h

VhkPaG

1

1

2

81.9)(

γ

in cui:h(m) = spessore dello strato i-esimo;γ(kN/mc) = peso di volume naturale dello strato i-esimo;Vs (m/s) = velocità delle onde S dello strato i-esimo;n = numero degli strati di copertura.Se lo spessore complessivo degli strati di copertura supera i 20 m vannopresi in considerazione nel calcolo solo i livelli fino a tale profondità.Secondo questo metodo va considerato come bedrock o bedrock-likequalsiasi livello con velocità delle onde S superiore a 500 m/s.L’indice di sito viene quindi calcolato con la formula:

hg o µµµ 4.6.0 +=

dove µg è il contributo del modulo di taglio medio all’indice di sito ed èfornito dalla relazione:

( )[ ]5103000066.0exp1 −−−−= Ggµ Se G>30000 kPa;

0=gµ Negli altri casi;

e µh è il contributo dovuto allo spessore della copertura ed è dato dallarelazione:

( )[ ]22105916.0exp −−−= Hhµ

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0=hµ Se H>80 m

1=hµ Se H≤5 mDove H è lo spessore complessivo della copertura.Nel caso in cui sia G>500000 kPa e contemporaneamente H≤5 m bisognaporre µh=µg=1.La classificazione del sito si ottiene dalla seguente tabella:

Tipo di sito Rigido Med. rigido Med. soffice SofficeIndice di sito 1>µ>0.9 0.9>µ>0.3 0.3>µ>0.1 0.1>µ>0

In generale il fenomeno dell’amplificazione sismica si accentua al diminuiredell’indice di sito.

Metodo basato sulla velocità delle onde S negli strati di copertura.

Proposto dal Chinese Aseismic Design Code for Structures, questo metodopropone una classificazione del sito basata sia sulla velocità media delleonde S nella copertura sia sullo spessore complessivo della stessa. Lospessore della copertura viene calcolato partendo dal tetto del primo stratoincontrato, dalla superficie, con velocità delle onde S superiore a 500 m/s.Nello schema seguente sono indicate le quattro classi di sito previste dalmetodo.

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In generale il fenomeno dell’amplificazione sismica si accentua passandodalla classe I alla classe IV.

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Metodo previsto dall’Eurocodice 8.

Anche nell’Eurocodice 8 è prevista una classificazione del sito in funzionesia della velocità delle onde S nella copertura che dello spessore della stessa.Vengono identificate tre classi, la A (a sua volta suddivisa in due sottoclassi,la A1 e la A2), la B e la C, ad ognuna delle quali è associato uno spettro dirisposta elastico. Lo schema indicativo di riferimento per la determinazionedella classe del sito è il seguente:

In generale il fenomeno dell’amplificazione sismica diventa più accentuatopassando dalla classe A1 alla classe C.

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Valutazione del sisma di progetto.

La valutazione del terremoto di progetto, cioè dell’evento sismico diriferimento rispetto al quale effettuare il dimensionamento dell’opera, puòessere eseguita con metodologie diverse. Nel programma Sisma vieneadottato un approccio probabilistico-statistico, quello di Gumbel, perottenere la massima accelerazione di picco prevedibile nel sito per undeterminato tempo di ritorno. Quella che segue è la procedura da utilizzare.1) Dal Catalogo Sismico si estraggono gli eventi sismici con epicentro

ricadente all’interno di un’area di 200-300 km di lato (2-3 gradi dilatitudine e longitudine circa) centrata sul sito indagato.

2) Si trasformano i valori di intensità sismica degli eventi selezionati neicorrispondenti valori di magnitudo con la relazione, consigliata dal

G.N.D.T., 78.1

93.1+=

IM .

3) Si calcola la distanza di ogni singolo epicentro dal sito indagato equindi, applicando, una delle leggi di attenuazione sismica disponibili inletteratura, si stima il moto sismico nel sito per ognuno degli eventi.

4) Si ordinano i valori di accelerazione (A) ricavati nel sito per ogni eventosismico in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo,il valore N a quello minimo.

5) Si calcolano gli N rapporti Pi = i / (N + 1), con i compreso fra 1 e N.Questi rapporti indicano la probabilità che il corrispondente valore di Anon venga raggiunto o superato. I valori di Pi ricavati permettono didefinire la scala dei tempi di ritorno Ti = 1 / (1 - Pi).

6) Si riportano le N coppie di valori (Ti, Ai) in un diagrammasemilogaritmico (l’ asse X - l’asse dei tempi di ritorno - va costruito inscala logaritmica), interpolando fra i punti una retta: il diagrammaconsente di ricavare il valore di A per qualsiasi tempo di ritorno.

Fra le leggi di attenuazione sismica più usate in letteratura segnaliamo leseguenti:Crespellani et al.:

( )7ln746.2756.139.6 +−+= RMI mcs

dove I è l’intensità sismica nel sito, R è la distanza ipocentrale in km e M lamagnitudo del sisma;Pugliese e Sabetta:

FORMULA GEO VER.2.0

SDLogMgALog 195.025363.0845.1)( 21010 ++−+−=

dove D è la distanza epicentrale in km e S è un coefficiente uguale a 0 persiti con copertura profonda e 1 per terreni con copertura superficiale;

Tento et al.:)ln(00216.052.073.4))(ln( RRMgalA −−+= ;

Chiaruttini e Siro:( ) 19.071.036.020.0))(( 1010 +−+−= DLogMgalALog ;

Kawashima:

( ) 218.130

10)(

+=

D

agalA

bM

dove:Litologia a b

Depositi consolidati 987,4 0,216Depositi medio consolidati 232,5 0,313Depositi soffici 402,8 0,265

Branno et al.:

)10(70.202.070.2 100 +−−+= DLogDII mcs

dove I0 è l’intensità sismica epicentrale.Si noti che alcune di queste relazioni forniscono il moto atteso nel sitoespresso in accelerazione di picco mentre altri come intensità sismica. E’possibile comunque ricavare l’accelerazione sismica corrispondente ad undato valore di intensità sismica, applicando la relazione di Cancani-Sieberg:

0.1310)(

−=

I

galAricordando che 1 gal=1 cm/s2 e che quindi per passare da un valore di Amisurato in gal a uno espresso in g bisogna dividere per 980.7.Si noti infine che alcuni di questi metodi calcolano direttamente il moto insuperficie, comprendendo quindi anche gli effetti di amplificazione dovutialle caratteristiche della copertura.

FORMULA GEO VER.2.0

Stima dell’amplificazione sismica.

Fattori geomorfologici e stratigrafici locali possono modificare lecaratteristiche del moto sismico, filtrando le onde nel passaggio dal bedrockalla superficie. L’effetto di filtraggio conduce ad una ridistribuzionedell’energia con l’amplificazione del moto vibratorio associato ad alcunefrequenze. Esistono diverse metodologie per la stima dell’amplificazionesismica in superficie. Alcune sono basate sull’uso di modelli numericisofisticati, che hanno portato allo sviluppo di programmi di calcoloutilizzabili per valutare gli effetti di sito sia in condizioni mono (SHAKE)che bidimensionali (FLUSH e QUAD4). Si tratta però di modelli cherichiedono un input accurato, sia per quanto riguarda le caratteristichegeotecniche del terreno, sia per quanto riguarda il moto sismico diriferimento e quindi spesso di difficile applicabilità. Sono note in letteraturaperò metodologie più speditive, basate sulle caratteristiche lito-stratigrafichedel sito e sulla stima della velocità delle onde S nei livelli di copertura. Sitratta di metodi di analisi di II livello, secondo la definizione data nelManuale Internazionale TC4, ad esclusione del metodo di Barosh, cherientra fra quelli di livello I. E’ possibile distinguere queste metodologie intre categorie:• metodi basati sulle caratteristiche geologiche e goemorfologiche del

sito;• metodi basati sulla stima della velocità delle onde S nella copertura;• metodi basati sulle caratteristiche lito-stratigrafiche del sito.

Metodi basati sulle caratteristiche geologiche e geomorfologiche delsito.

Si tratta di metodologie semplificate per una valutazione esclusivamentequalitativa dell’amplificazione sismica basate sulle caratteristichegeologiche e geomorfologiche del sito.

Metodo degli scenari di Barosh (1969)

Sulla base di osservazioni strumentali, Barosh(1969) ha proposto ventiseiscenari geologici, scelti fra i più diffusi, distinti in base alle loro

FORMULA GEO VER.2.0

caratteristiche litologiche, idrogeologiche e geomorfologiche, abbinando adognuno di essi un intervallo d'incremento d'intensità sismica.Il vantaggio dell'uso di questi schemi è nella possibilità di ottenererapidamente un valore numerico dell'incremento d'intensità semplicementeconfrontandoli con la situazione osservata in campagna. I principalisvantaggi risiedono nel fatto che non tutte le possibili combinazioni deifattori litologia, idrogeologia e geomorfologia sono prese inconsiderazione e nella eccessiva dispersione degli intervalli d'incrementolegati ad alcuni scenari ( 2 o più gradi).

FORMULA GEO VER.2.0

FORMULA GEO VER.2.0

Metodi basati sulla stima della velocità delle onde S nella copertura.

Si tratta di metodologie che forniscono il valore del fattore di amplificazionespettrale di picco (Medvedev e Midorikawa) o in un determinato intervallodi periodi di oscillazione (Borcherdt et al.), attraverso correlazioniempiriche fra il fattore di amplificazione e l’impedenza sismica (Medvedev)o più semplicemente la velocità delle onde S negli strati copertura.

Metodo di Medvedev (1960)

E’ una procedura di calcolo derivante da correlazioni empiriche determinateda Medvedev sulla base di registrazioni di eventi sismici in ambiti geologicidifferenti. Nella sua impostazione originaria, il metodo è applicabile solo inaree pianeggianti e tiene conto nella risposta sismica dell'influenza dei solifattori litologia e idrogeologia.Fondamentale in questo metodo è la definizione della grandezza impedenzasismica ( o rigidità sismica), data dal prodotto:

sVmqstR γ=)/(

conγ (t/mc) = peso di volume del materiale;Vs (m/s) = velocità delle onde S nel materiale.

Assunto come livello di riferimento il substrato roccioso o, se assente, unlivello con Vs >700 m/s (bedrock-like), l'incremento d'intensità sismicache si produce al passaggio dell'impulso sismico da questo livello allasuperficie, passando attraverso terreno di copertura è dato da:

'ln67.11 R

Rn =

conR' = impedenza sismica del terreno di copertura;R = impedenza sismica del bedrock.

FORMULA GEO VER.2.0

Nel caso di terreno di copertura stratificato il termine R' sarà dato dallamedia pesata delle impedenze sismiche dei singoli strati:

tot

n

iii

H

HR

∑== 1'

γ

conn= numero di strati presenti nella copertura;γi(t/mc)=peso di volume dello strato i-esimo;Hi(m) = spessore dello strato i-esimo;Htot (m) = spessore totale della copertura.

La presenza di falde idriche può portare secondo Medvedev ad un ulterioreincremento d'intensità, secondo la relazione:

204.02

Hen −=

cone = numero di Nepero;H (m) = profondità dal piano campagna della falda più superficiale;

In formulazioni più recenti però, per tener conto della possibile presenzadi falde artesiane o sospese, la relazione è stata così modificata:

22 04.004.02

BH een −− −=

conB (m) = profondità dal piano campagna della base dello strato acquifero;

Alcuni Autori hanno proposto di introdurre nella relazione classica diMedvedev due ulteriori fattori, che tengano conto della morfologia del sito edella geometria del substrato:

( )βsen11 103 ++= Logn

( )αsen11 104 ++= Logn

FORMULA GEO VER.2.0

conβ = inclinazione media del pendio;α = inclinazione media del substrato di riferimento (α=90° in presenza diuna faglia).

Il fattore di amplificazione sismica è quindi fornito dalla relazione:

( )[ ]( )4321101 nnnnLogFa ++=ed il valore dell’accelerazione di picco in superficie è dato dalla:

abedrockFaga =)(max

dove abedrock è l’accelerazione sismica nel bedrock.Si ritiene comunque che la validità dei fattori n3 e n4 non sia ancora statacomprovata a sufficienza da dati sperimentali e quindi si suggerisce diusarli con cautela.

Metodo di Midorikawa (1987)

Si tratta di un metodo consigliato nel Manuale TC4 per microzonazioni di IIlivello. Il fattore di amplificazione relativa per il picco di accelerazione èfornito dalla relazione:

6.068 −= sa VF per Vs<1100 m/s

1=aF per Vs≥1100 m/s

dove Vs è la velocità media delle onde S degli strati fino ad una profonditàmassima di 30 metri. Questo vuol dire che nel caso il bedrock, quiindividuato da una velocità limite di 1100 m/s, si trovi ad una profonditàsuperiore a 30m, va considerata solo la media delle velocità degli straticompresi fra le profondità 0 e 30 m.Il valore dell’accelerazione di picco in superficie è dato dalla:

abedrockFaga =)(max

FORMULA GEO VER.2.0

dove abedrock è l’accelerazione sismica nel bedrock.Questo metodo non tiene conto degli effetti di amplificazione dovuti airregolarità topografiche o del substrato.

Metodo di Borcherdt et al. (1991)

Si tratta anche in questo caso di un metodo consigliato nel Manuale TC4 permicrozonazioni di II livello. Il fattore di amplificazione calcolato è quellomedio relativo all’intervallo di periodi di oscillazione 0.4-2 s (AHSA) e nonquello del picco di accelerazione. La relazione di calcolo è la seguente:

sAHSA V

F700

= per weak motion

sAHSA V

F600

= per strong motion

Il valore dell’accelerazione sismica media in superficie nell’intervallo diperiodo di oscillazione 0.5-2 s è dato dalla:

abedrockAHSA Faga =)(

dove abedrock è l’accelerazione sismica nel bedrock.La dicitura weak motion e strong motion serve ad indicare eventi sismici diintensità debole(indicativamente fino al grado VII della scala MCS) e forte(uguale o superiore al grado VII). In questo metodo il bedrock è identificatodal primo strato, partendo dalla superficie, con velocità delle onde Ssuperiore o uguale a 700 m/s (weak motion) o a 600 m/s (strong motion).

Metodi basati sulle caratteristiche lito-stratigrafiche del sito.

Si tratta di metodologie che consentono di stimare l’amplificazione sismicaesclusivamente sulla base delle caratteristiche litologiche (tipo di deposito egrado di addensamento o consistenza) e stratigrafiche (spessore dellacopertura) del sito. L’output viene presentato sotto forma di Spettro diRisposta Elastico, che fornisce la rappresentazione graficadell’accelerazione sismica in superficie in funzione del periodo dioscillazione. Un impulso sismico può essere visto come la somma di un

FORMULA GEO VER.2.0

certo numero di onde elastiche, ognuna con frequenza ed ampiezza dioscillazione ben definita. Il passaggio del treno d'onde dal bedrock aglistrati superficiali produce, come si è visto, un amplificazione dell'impulsosismico. Questa amplificazione del moto sismico non si manifesta inmaniera identica in tutto lo spettro delle frequenze, ma tende aconcentrarsi in intervalli ben delimitati. E' stato evidenziato inoltre chel'amplificazione maggiore cade spesso nell'intervallo di periodo 0 - 1 s ( siricorda che T (periodo) = 1 / f(frequenza) ).Un edificio sottoposto a sollecitazione sismica entra in oscillazione con unperiodo che dipende dalle sue caratteristiche strutturali e geometriche.Esistono più modalità di vibrazione, ma nei casi più frequenti viene presoin considerazione solo il primo modo (T0).Negli edifici in muratura T0 è dato da:

HBH

B

HsT

+=

206.0)(0

conH (m) = altezza dell'edificio;B (m) = larghezza dell'edificio;

mentre negli edifici intelaiati in cemento armato corrisponde a:

B

HsT 1.0)(0 = .

L'importanza dello Spettro di Risposta Elastico del terreno deriva dal fattoche se, durante un evento sismico, il terreno vibra con periodo checorrisponde a T0, l'edificio entra in risonanza e subisce un’accelerazionesismica data dal valore di a(g) letto in ordinata nello spettro incorrispondenza del periodo T0.

Spettro di risposta elastico secondo il D.M. 16.01.1996.

Secondo la Normativa vigente lo spettro di risposta elastico del terreno puòessere espresso dalla relazione:

FORMULA GEO VER.2.0

RCIga βε=)( .

C è il coefficiente di intensità sismica espresso dalla relazione:

10012−

=S

C

in cui S è il grado di sismicità dell’area indagata. La variabile S, nellatripartizione effettuata dal Legislatore dei Comuni dichiarati sismici,assume i seguenti valori (in riferimento alle vecchie categorie sismiche):

Vecchie Categorie Grado di sismicità (S) ex I 12

ex II 9 di nuova istituzione 6

Quindi i coefficienti sismici assumono nei tre casi i seguenti valori:

S C12 0.109 0.076 0.04

I è il coefficiente di protezione sismica, che esprime l'importanza socialedell'opera ed i rischi connessi ad un suo danneggiamento. Per le opere la cuiresistenza al sisma è di primaria importanza per le necessità di protezionecivile si assume I=1.4. Per le opere che presentano un particolare rischio perle loro caratteristiche d’uso si considera I=1.2. Infine, per le opere che nonrientrano in queste due categorie si pone I=1.La grandezza β , coefficiente di struttura, introduce l'influenza dellecaratteristiche strutturali nella risposta dell'edificio alle sollecitazionisismiche. Normalmente viene posto uguale a 1, tranne nel caso in cui nellastruttura dell’edificio vi siano elementi irrigidenti verticali e su quest’ultimisi distribuiscano prevalentemente le azioni orizzontali.Il parametro ε, coefficiente di fondazione, ha lo scopo di introdurre glieventuali effetti di amplificazione sismica dovuti alle caratteristiche lito-stratigrafiche del terreno di copertura. In presenza di stratigrafiecaratterizzate da depositi sciolti di spessore variabile da 5 a 20 m,

FORMULA GEO VER.2.0

soprastanti terreni coesivi o litoidi con caratteristiche meccanichesignificativamente superiori, si assume un valore di 1.3. Negli altri casi sipone ε=1. Per una scelta meno soggettiva del valore di ε da adottare puòessere utile il criterio di Carrara e Rapolla (1987), che propongono di legarela variazione di ε al parametro impedenza sismica (o rigidità sismica) delterreno di fondazione (cioè del pacco di strati di terreno compresi entro laprofondità dove viene risentito il sovraccarico). Il coefficiente difondazione in funzione dell'impedenza sismica I si ottiene come segue:

per I (t/mq s) ≥ 1500 ε = 1;per 100 < I (t/mq s) < 1500 ε = 1.81-0.11 ln(R);per I (t/mq s) ≤100 ε = 1.3;Si può quindi scegliere di adottare un valore di ε uguale a 1 o a 1.3 aseconda del risultato ottenuto applicando il criterio.R infine è il coefficiente di risposta sismica. Per esso si assume il seguenteandamento:per T(s) ≤ 8 R(T) = 1;per T(s) > 8 R(T) = 0.862/T2/3.

FORMULA GEO VER.2.0

Spettro di risposta elastico secondo il G.N.D.T..

Il Gruppo Nazionale di Difesa dai Terremoti, nella sua proposta dinormativa per le costruzioni in zona sismica del 1985, definisce lo spettro dirisposta elastico del terreno con le relazioni:

KR

Paga picco=)( ;

Il parametro apicco corrisponde all’accelerazione sismica di picco nelbedrock, ricavabile dalla seguente tabella, in funzione della categoriasismica in cui ricade il sito:

S apicco(g)12 0.359 0.256 0.15

R è la funzione di amplificazione della risposta rispetto all’accelerazione nelbedrock ed il suo andamento dipende dalle caratteristiche lito-stratigrafichedel sito, secondo le seguenti espressioni:

TT

RR

1

0 11

−+= per 0≤T≤T1

0RR = per T1≤T≤T0

r

TT

RR

=

0

0 per T0≤T

Le grandezze R0, T1, T0 e r sono legate alle caratteristiche litologiche estratigrafiche del sito.A questo proposito sono state individuate due possibili tipologie di terreno,ognuna caratterizzata da una risposta sismica differente.

Terreno di tipo S1

a) Roccia lapidea, con eventuale strato superficiale di alterazione ocopertura di spessore massimo uguale a circa 5 metri, o altro materiale

FORMULA GEO VER.2.0

caratterizzato da velocità delle onde Vs superiore a 700 m/s entro laprofondità d'interesse per le fondazioni dell'edificio.

b) Depositi di sabbie e ghiaie addensate e/o terreni coesivi compatti, senzaun substrato a forte contrasto di proprietà meccaniche entro i primi 90 mcirca dalla superficie, caratterizzati da un aumento graduale delle velocità Vscon la profondità, con valori medi compresi nella fascia 250-500 m/s perprofondità da 5 a 30 m, e nella fascia 350-700 m/s per profondità maggiori.

Terreni di tipo S2

a) Depositi sciolti profondi, da poco a mediamente addensati, caratterizzatida velocità medie Vs inferiori a 250 m/s a profondit comprese fra 5 e 30 med inferiori a 350 m/s a profondità maggiori.

b) Depositi di terreno prevalentemente sabbiosi o argillosi, con spessorecompreso fra 30 e 90 m e velocità medie Vs inferiori a 500 m/s, poggianti suun substrato roccioso a forte contrasto di proprietà meccaniche (Vs dell'ordine di 1000 m/s o più).

Le grandezze R0, T1, T0 e r sono ricavabili dalla seguente tabella:Terreno T1 T0 r R0

S1 0.10 0.35 1 2.5S2 0.15 0.80 1 2.2

P è un fattore correttivo per tenere conto dell’eventuale inclinazione delpendio. P è dato da:

P = 1 + 1.5 i;

con i = inclinazione del pendio in radianti.

Se P risultasse superiore a 1.3 si ponga P=1.3.

K infine è un coefficiente dipendente dalle caratteristiche strutturalidell'edificio ed posto uguale generalmente a 3.

FORMULA GEO VER.2.0

Lo spettro di risposta così elaborato è riferito ad un coefficiente dismorzamento viscoso (ν) del 5%. Nel caso di valori differenti di ν leordinate del grafico andranno moltiplicate per il fattore (5/ν).

Spettro di risposta elastico secondo la proposta di Pugliese eSabetta.

Sulla base delle registrazioni effettuate dalla rete accelerometrica ENEA-ENEL relative a 17 terremoti di magnitudo compresa fra 4.6 e 6.8, Pugliesee Sabetta (1989) hanno proposto alcuni spettri di risposta elastici in funzionedelle caratteristiche geologiche dell'area indagata. In particolare sono statiindividuati tre profili di terreno tipo.

Terreno tipo aSubstrato rigido (Vs>800 m/s) affiorante o sub-affiorante (coperturainferiore a 5 metri).

Terreno tipo bDepositi sciolti (ghiaie, sabbie, limi e argille) con substrato rigido aprofondità compresa fra 5 e 20 metri.

Terreno tipo cDepositi sciolti con substrato rigido a profondità superiore ai 20 metri.Il modello richiede come input la distanza epicentrale o della faglia e lamagnitudo del sisma. La distribuzione spettrale è data dalla relazione:

ln(PSV) = a + b M - ln(R2 + h2) + e1 S1 + e2 S2;

conPSV (cm/s) = ordinata dello spettro di pseudovelocità;M = magnitudo del sisma;R (km) = distanza epicentrale o della faglia;a,b,h,e1,e2 = coefficienti di regressione (vedi tabelle A e B).S1,S2 = variabili uguali a 1 per terreni di tipo b) e c) e uguali a 0 perterreni di tipo a).

Tabella A

FORMULA GEO VER.2.0

Coefficienti di regressione basati sulla distanza di faglia per 14frequenze di riferimento.

f (Hz) a b e1 e2 h0.25 2.400 0.685 0.000 0.130 2.10.33 2.170 0.675 0.000 0.151 2.50.50 1.800 0.650 0.000 0.184 3.10.67 1.510 0.620 0.010 0.210 3.51.00 1.120 0.570 0.050 0.242 1.01.33 0.850 0.530 0.120 0.232 4.42.00 0.400 0.455 0.220 0.156 5.02.50 0.077 0.400 0.210 0.015 5.33.33 0.400 0.315 0.165 0.065 5.75.00 0.550 0.273 0.130 0.000 6.36.67 0.500 0.255 0.130 0.000 6.710.00 0.290 0.245 0.130 0.000 7.315.00 0.035 0.255 0.130 0.000 7.225.00 0.505 0.273 0.130 0.000 5.8

Tabella B

Coefficienti di regressione basati sulla distanza epicentrale per 14frequenze di riferimento.

f (Hz) a b e1 e2 h0.25 2.500 0.725 0.000 0.100 2.60.33 2.250 0.715 0.000 0.108 3.00.50 1.900 0.687 0.000 0.150 3.60.67 1.647 0.660 0.010 0.175 4.01.00 1.280 0.612 0.050 0.208 4.41.33 1.000 0.570 0.120 0.190 4.72.00 0.595 0.500 0.230 0.124 5.02.50 0.281 0.445 0.222 0.078 5.23.33 0.100 0.337 0.185 0.020 5.4

FORMULA GEO VER.2.0

5.00 0.296 0.323 0.161 0.000 5.76.67 0.222 0.310 0.161 0.000 5.910.00 0.019 0.304 0.161 0.000 6.215.00 0.312 0.304 0.161 0.000 6.325.00 0.817 0.330 0.161 0.000 4.7

In termini di pseudo-accelerazioni (PSA) si ha:

PSA(f) (g) = PSV 2 π f / g;

conf (1/s) = frequenza di oscillazione;g (cm/s2) = accelerazione di gravità = 981;

Il metodo è applicabile per magnitudo comprese fra 4.5 e 7 e per distanzeepicentrali o di faglia minori di 200 km. Inoltre si raggiunge una precisionemaggiore utilizzando la distanza di faglia, se è nota, al posto di quellaepicentrale. A differenza del metodo ministeriale e di quello G.N.D.T. inquesto caso è necessario fissare il sisma di riferimento, indicando lamagnitudo e la distanza epicentrale o di faglia.

Spettro di risposta elastico secondo l’Eurocodice 8.

Nell’Eurocodice 8 (CEN, 1994) viene proposto uno spettro di rispostaelastico caratterizzato dal seguente andamento:

( )

−+= 11)( 0ηβ

bbedrock T

TSaga per 0≤T<Tb

0)( ηβSaga bedrock= per Tb≤T<Tc1

0)(k

cbedrock T

TSaga

= ηβ per Tc≤T<Td

21

0)(k

d

k

d

cbedrock T

TTT

Saga

= ηβ per Td≤T.

FORMULA GEO VER.2.0

La grandezza abedrock esprime l’accelerazione di picco nel bedrock.Il parametro η è il fattore di correzione per lo smorzamento viscoso ed èdato da:

5.0

27

+

=ξ

η ≥0.7.

Gli altri parametri sono funzione delle caratteristiche litologiche estratigrafiche del sito, secondo la seguente tabella:

Terreno S β0 K1 K2 Tb Tc Td

A 1.0 2.5 1.0 2.0 0.10 .040 3.0B 1.0 2.5 1.0 2.0 0.15 0.60 3.0C 0.9 2.5 1.0 2.0 0.20 0.80 3.0

Le classi A, B e C si riferiscono alla classificazione del sito da un punto divista stratigrafico e litologico secondo l’Eurocodice 8 (vedi capitolo 4.3.2).Anche in questo caso viene richiesta l’adozione di un sisma di progetto, cioèla quantificazione dell’accelerazione di picco prevedibile nel bedrock.

FORMULA GEO VER.2.0

Effetti delle sollecitazioni sismiche sui terreni di fondazione

e sulle opere di sostegno

Variazioni della resistenza al taglio

Occorre distinguere fra terreni di fondazione incoerenti e coesivi. Nel primocaso è fondamentale, per prevedere il comportamento del terreno sottopostoad azione sismica, conoscere il parametro densità relativa (Dr) del terreno.Un terreno molto addensato (Dr%≥70) sottoposto a sollecitazioni di tagliotende ad aumentare di volume (fenomeno di dilatanza) fino a raggiungere unvalore dell'indice dei vuoti critico, oltre il quale cessa l'incremento divolume. La densità relativa del materiale in corrispondenza dell'aumento divolume diminuisce e l'angolo di resistenza al taglio (ϕ), che è legatodirettamente al della Dr%,, tende anch'esso ad abbassarsi.Per la valutazione della variazione quantitativa di ϕ, si può fare riferimentoalle proposte di Vesic e Sano. Il primo propone, sempre che la Dr% siamaggiore di 70, di tenere conto degli effetti sismici semplicementediminuendo di 2° l'angolo di resistenza al taglio.

ϕ (°) = ϕ - 2;

conϕ (°) = angolo di resistenza al taglio in condizioni statiche.

Il secondo propone una relazione più complessa e cautelativa, che lega ladiminuzione di ϕ all'intensità della sollecitazione sismica:

ϕ (°) = ϕ - arctang( C / 1.4142);

conC = coefficiente d'intensità sismica, ricavabile dalla Normativa vigente o,secondo l’Eurocodice 8, ponendolo uguale 0.5apicco, dove apicco èl’accelerazione sismica di picco.

FORMULA GEO VER.2.0

Nei terreni di fondazione coesivi, in cui la resistenza al taglio è espressain condizioni drenate da un angolo di resistenza al taglio e da unacoesione (drenata) ed in condizioni non drenate dalla sola coesione (nondrenata), è stato dimostrato (Carrol, 1963) che l'azione sismica non producevariazioni negative nelle caratteristiche meccaniche.

Calcolo della spinta attiva delle terre in condizioni dinamiche.

La spinta attiva del terreno in condizioni dinamiche è fornita dalla seguenterelazione.

( ) wdwsvd SSKHkS ++±= 2121 γ

dove:γ= Peso di volume del terreno;H= Altezza del muro;K= Coefficiente di spinta attiva in condizioni dinamiche;Sws= Spinta dell’acqua in condizioni statiche;Swd= Forze idrodinamiche;kv= Coefficiente sismico verticale, da porre uguale, secondo l’Eurocodice

8 a 0.5apicco, dove apicco è l’accelerazione sismica di picco.

Il valore di K può essere ricavato con la relazione di Mononobe-Okabe:

( )( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscossensen

1)(coscos

cos

−++−−+

+++

−−=

βεϑβδεϑϕδϕϑβδβϑ

βϑϕ

vos

K

dove:ϕ= Angolo di resistenza al taglio del terreno;δ= Angolo di attrito terra-muro;ε= Inclinazione del pendio a monte rispetto all’orizzontale;β= Inclinazione del paramento interno rispetto alla verticale;

FORMULA GEO VER.2.0

θ=

−

−

v

h

kk

1tan 1 .

Dove kh è il coefficiente sismico orizzontale posto uguale all’accelerazionesismica di picco.Per quanto riguarda la spinta dell’acqua, oltre alla componente statica datadalla:

25.0 wwws HS γ=

dove:γw= Peso di volume dell’acqua;Hw= Altezza dell’acqua rispetto alla base del muro;

occorre considerare anche il contributo dovuto alle forze idrodinamiche.L’angolo θ, in presenza di falda, deve essere corretto come segue:

−−

= −

v

h

w kk

1tan 1

γγγ

ϑ

Nel caso ci si trovi in condizioni di drenaggio impedito (condizionidinamiche impermeabili) Swd viene posto uguale a 0. Nel caso il drenaggionon sia impedito (condizioni dinamiche permeabili) Swd è dato dallarelazione:

2

127

whwwd HkS γ= .


LIQUEFAZIONE DEI TERRENI IN CONDIZIONISISMICHE

Premessa e generalità.

I fenomeni di liquefazione che interessano i depositi sabbiosi saturidipendono da:

• proprietà geotecniche dei terreni

• caratteristiche delle vibrazioni sismiche e loro durata

• genesi e storia geologica dei terreni

• fattori ambientali

Un terreno incoerente saturo, in assenza di sollecitazioni sismiche è soggettosoltanto alla pressione litostatica, dovuta al peso dei sedimenti sovrastanti(in campo libero e con superficie piana).Durante una sollecitazione sismica vengono indotte nel terreno dellesollecitazioni cicliche di taglio, dovute alla propagazione delle ondesismiche verso la superficie, mentre la pressione litostatica resta costante.Per tuttala durata della scossa ogni elemento di terreno soggetto ad una serie disforzi tangenziali che cambiano ripetutamente verso ed ampiezza.Nel terreno si possono generare fenomeni di liquefazione se la scossasismica produce un numero di cicli tale da far si che la pressioneinterstiziale uguagli la pressione di confinamento. Nei depositi la pressionedi confinamento aumenta con la profondità, mentre l'ampiezza dello sforzodi taglio indotto dal sisma diminuisce. La resistenza alla liquefazione quindiè maggiore con la profondità. Quindi, maggiore è la durata di un terremotopiù alta è la possibilità che si arrivi (maggior numero di cicli) allaliquefazione. Inoltre, maggiore è l'ampiezza della vibrazione e delladeformazione indotta e minore è il numero di cicli necessari per giungere atale condizione.Il terreno può essere però soggetto a sforzi di taglio statici dovuti allapresenza di strutture in superficie o alla sua particolare posizione (per es. aldi sotto di un versante). In questo caso l'instaurarsi del fenomeno della

FORMULA GEO VER.2.0

liquefazione dipende, oltre che dalle caratteristiche del sisma, anche dalrapporto che si stabilisce tra le tensioni di taglio indotte da quest'ultimo equelle statiche preesistenti al terremoto.

La probabilità che un deposito raggiunga le condizioni per la liquefazionedipende anche dallo stato di addensamento, dalla composizionegranulometrica, dalle condizioni di drenaggio, dalla storia dellesollecitazioni sismiche e dall'età del deposito stesso.

Tanto minore è il grado di addensamento del materiale (elevato indice deivuoti e bassa densità relativa) tanto maggiore è la probabilità che, a parità dialtre condizioni, un deposito raggiunga lo stato di liquefazione.

Anche la distribuzione, la forma delle particelle e il grado di uniformitàinfluenzano notevolmente il fenomeno, per le implicazioni che questi fattorihanno sulla resistenza al taglio e per il modo di dissiparsi della pressioneinterstiziale in eccesso.

Per quanto riguarda la storia delle sollecitazioni sismiche su un deposito dipuò affermare che precedenti deformazioni moderate influiscanopositivamente sulla resistenza del deposito, mentre una storia caratterizzatada alti livelli di deformazione (deposito già soggetto a liquefazione) haeffettinegativi sul potenziale di riliquefazione.

I depositi sabbiosi con più alto potenziale di liquefazione sono i più recenti.A parità di composizione e di altre condizioni lo stesso deposito, se piùantico, avrà sviluppato legami intergranulari e cementazioni sempre più forticon il tempo. Inoltre la struttura di un deposito antico sarà resa più stabile eomogenea per gli effetti delle vibrazioni indotte da precedenti terremoti dipiccola entità.

FORMULA GEO VER.2.0

Introduzione.

Per liquefazione di un terreno s'intende il quasi totale annullamento dellasua resistenza al taglio con l'assunzione del comportamento meccanicocaratteristico dei liquidi.Se si esprime la resistenza al taglio attraverso la relazione di Coulomb:

( ) ϕστ tan0 uc v −+=con:c = coesione del terrenoσv0 = pressione litostatica totale agente alla profondità d'indagineu = pressione interstiziale dell'acquaϕ= angolo di resistenza al taglio del terreno,

È evidente che la grandezza <τ> si può annullare solo nel caso in cui sianoverificate le condizioni:a) c = 0;b) (σv0 - u) = 0;

(il caso ϕ = 0 non ha importanza pratica, perché può verificarsi solo interreni coesivi in condizioni non drenate, dove però la condizione <c=0>non può ovviamente verificarsi).

La condizione a) vieta che il fenomeno della liquefazione possa verificarsiin terreni coesivi o incoerenti ma con una significativa frazione argillosa olimosa plastica.

La condizione b) si verifica, quando la pressione interstiziale uguaglia lapressione totale esercitata ad una data profondità dalla colonna di terrenosovrastante e dagli eventuali sovraccarichi presenti in superficie (σv0 = u). Indefinitiva il fenomeno della liquefazione si può manifestare preferibilmentein depositi sciolti non coesivi posti sotto falda, in seguito ad eventi cheproducano un forte aumento della pressione interstiziale dell'acqua.

FORMULA GEO VER.2.0

Fattori che predispongono alla liquefazione.

Di seguito si descrivono, nel dettaglio, i fattori principali che predispongonoun terreno alla liquefazione, prima di passare ad illustrare i metodi dicalcolo della suscettibilità.

Fattori geologici-geotecnici.

Poichè ai terreni incoerenti sono associati generalmente valori delcoefficiente di permeabilità relativamente elevati, l'applicazione disovraccarichi graduali (per es. dovuti alla costruzione di un fabbricato) nonconduce a significativi incrementi di . In questi casi infatti non sigenerano gradienti di pressione fra la zona sollecitata e quella indisturbatatali da produrre rapidi flussi idrici fra le due zone.I vuoti dello scheletro solido sono quasi sempre sufficientemente larghi danon ostacolare questo flusso. Nel caso viceversa di sollecitazioni intensesottoposte ad incrementi rapidi, come si verifica durante un evento sismico,i gradienti di pressione che si generano possono essere tali da produrreelevati flussi idrici dall'interno verso l'esterno. Se il fenomeno si manifestain depositi incoerenti a granulometria relativamente fine (per es. sabbiefini), la larghezza limitata dei vuoti dello scheletro tenderà ad ostacolare ilflusso idrico, con il conseguente sviluppo di elevate pressioni neutre.Oltre alla granulometria, altri fattori condizionano la suscettibilità di undeposito sciolto al fenomeno della liquefazione. I principali sono laprofondità del livello potenzialmente liquefacibile ed il suo grado diaddensamento. Con l'aumentare della profondità del deposito diminuisce laprobabilità di liquefazione dello stesso durante l'evento sismico.È evidente infatti che con l'aumentare della profondità siano richiesti valoridi sempre più elevati per annullare la pressione litostatica crescente.Inoltre con la profondità tende a diminuire anche l'intensità dellesollecitazioni indotte dal sisma. L'influenza della pressione litostaticapermette di spiegare il fenomeno della migrazione della liquefazione daidepositi più superficiali a quelli più profondi.I livelli meno profondi sono quelli che per primi subiscono la liquefazione,che è facilitata dalla minore pressione litostatica.Gli strati più profondi, che inizialmente non subiscono il fenomeno, nelmomento in cui il deposito superiore va in liquefazione risentono di un calo

FORMULA GEO VER.2.0

del peso della colonna di terreno sovrastante, evento che aumenta laprobabilità che anch'essi subiscano la liquefazione.Fondamentale è anche il grado di addensamento del terreno, esprimibileattraverso il parametro densità relativa (Dr %).I terreni molto addensati, se sollecitati, subiscono un aumento di volume(fenomeno di dilatanza) con conseguente diminuzione della Dr %, che tendea portarsi verso un valore critico, variante in funzione principalmente dellagranulometria del deposito. L'aumento di volume ha come conseguenza, neidepositi saturi, un richiamo dell'acqua dall'esterno verso l'interno, concreazione di una di segno negativo (cioè si ha un aumento del termine(σv0 - u)).L'esatto contrario avviene in terreni poco addensati, dove una sollecitazionetende a produrre una diminuzione di volume, con conseguente flusso idricoverso l'esterno e la generazione di una disegno positivo (diminuisce ilvalore di (σv0 - u)).In conclusione si possono ritenere potenzialmente liquefacibili quei depositisciolti che presentano le seguenti caratteristiche:

- granulometricamente sono sabbie da fini a medie con contenuto in finevariabile generalmente dallo 0 al 25%;

- si trovano sotto falda;

- sono da poco a mediamente addensati.

- si trovano a profondità relativamente basse (di solito inferiori ai 15 metri).

Fattori legati all'evento sismico.

Durante un terremoto il terreno può essere visto come sottoposto ad unaserie di cicli di carico variabili in intensità e numero in funzione dellamagnitudo del sisma stesso.In terremoti di elevata magnitudo è sufficiente un numero ridotto di cicli dicarico per produrre la liquefazione del deposito, poiché ad ogni ciclo èassociata una sollecitazione dinamica di maggiore intensità. In terremoti diminore magnitudo lo stesso effetto lo si ottiene con un numero superiore dicicli di carico.

FORMULA GEO VER.2.0

In definitiva quindi una elevata magnitudo del sisma (maggiore intensitàdegli sforzi di taglio applicati al terreno) e una lunga durata dello stesso(maggior numero di cicli di carico) rendono più probabile l'iniziarsi dellaliquefazione in un deposito sabbioso saturo.È da notare che in livelli sabbiosi già sottoposti in passato a liquefazione loscheletro solido assume configurazioni meno vulnerabili (cresce in pratica ilgrado di addensamento), che rendono meno probabile il ripresentarsi delfenomeno.

Valutazione del sisma di progetto.

La valutazione del terremoto di progetto, cioè dell’evento sismico diriferimento rispetto al quale effettuare la stima della suscettibilità del terrenoalla liquefazione, può essere eseguita con metodologie diverse. Nelprogramma Liqeuf viene adottato un approccio probabilistico-statistico,quello di Gumbel, per ottenere la massima accelerazione di piccoprevedibile nel sito per un determinato tempo di ritorno. Quella che segue èla procedura da utilizzare.1) Dal Catalogo Sismico si estraggono gli eventi sismici con epicentro

ricadente all’interno di un’area di 200-300 km di lato (2-3 gradi dilatitudine e longitudine circa) centrata sul sito indagato.

2) Si trasformano i valori di intensità sismica degli eventi selezionati neicorrispondenti valori di magnitudo con la relazione, consigliata dal

G.N.D.T., 78.1

93.1+=

IM .

3) Si calcola la distanza di ogni singolo epicentro dal sito indagato equindi, applicando, una delle leggi di attenuazione sismica disponibili inletteratura, si stima il moto sismico nel sito per ognuno degli eventi.

4) Si ordinano i valori di accelerazione (A) ricavati nel sito per ogni eventosismico in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo,il valore N a quello minimo.

5) Si calcolano gli N rapporti Pi = i / (N + 1), con i compreso fra 1 e N.Questi rapporti indicano la probabilità che il corrispondente valore di Anon venga raggiunto o superato. I valori di Pi ricavati permettono didefinire la scala dei tempi di ritorno Ti = 1 / (1 - Pi).

FORMULA GEO VER.2.0

6) Si riportano le N coppie di valori (Ti, Ai) in un diagrammasemilogaritmico (l’ asse X - l’asse dei tempi di ritorno - va costruito inscala logaritmica), interpolando fra i punti una retta: il diagrammaconsente di ricavare il valore di A per qualsiasi tempo di ritorno.

Fra le leggi di attenuazione sismica più usate in letteratura e utili in questoambito segnaliamo le seguenti:Pugliese e Sabetta:

SDLogMgALog 195.025363.0845.1)( 21010 ++−+−=

dove D è la distanza epicentrale in km e S è un coefficiente uguale a 0 persiti con copertura profonda e 1 per terreni con copertura superficiale;

Kawashima:

( ) 218.130

10)(

+=

D

agalA

b

dove:Litologia a b

Depositi consolidati 987,4 0,216Depositi medio consolidati 232,5 0,313Depositi soffici 402,8 0,265

Metodi di calcolo della suscettibilità alla liquefazione.

Escludendo dall'esame i metodi analitici e numerici più complessi (per es. imetodi agli elementi finiti) che risultano eccessivamente onerosi per i casipratici più comuni, vengono qui presi in esame alcuni fra i più utilizzatimetodi empirici e semplificati.

Metodi di calcolo empirici.

I metodi empirici vengono utilizzati generalmente per fornire unavalutazione di massima della vulnerabilità di un deposito sabbioso saturoalla liquefazione, prendendo in considerazione solo i parametri geologici-geotecnici del sito. Accanto a questi si propone anche il metodo diAmbraseys, che fornisce, in funzione della distanza epicentrale del sito

FORMULA GEO VER.2.0

indagato, la magnitudo di soglia del sisma necessaria per produrre laliquefazione in depositi suscettibili.Si tratta di metodi estremamente semplificati, di rapido e semplice impiego,utili in particolare per lavori di microzonazione sismica.

Procedura di Sherif & Ishibashi (1978).

Il metodo di Sherif & Ishibashi ammette che si possano verificare fenomenidi liquefazione solo nei livelli che presentino le seguenti caratteristiche:

- siano costituiti da sabbie o sabbie limose;- si trovino sotto il livello statico della falda;- gli strati di copertura non abbiano spessore maggiore di 3 metri.

Se questi requisiti sono presenti, si prosegue nell'elaborazione, prendendo inconsiderazione la granulometria e l'addensamento del deposito. Il metodorichiede che siano condotte su campioni dello strato potenzialmenteliquefacibile analisi granulometriche. Le curve ricavate vanno confrontatecon due profili granulometrici di riferimento, uno per granulometrieuniformi, l'altro per granulometrie estese (presenza di frazioni argillose oghiaiose). In assenza di analisi granulometriche, va effettuata almeno unadescrizione sommaria della litologia del deposito, da confrontare con i dueprofili.

FORMULA GEO VER.2.0

FORMULA GEO VER.2.0

Verificato che la granulometria dello strato sia predisponente al manifestarsidi fenomeni di liquefazione, per poter emettere un giudizio definitivo sullavulnerabilità del deposito occorre prendere in considerazione il suo grado diaddensamento, valutato attraverso prove SPT o SCPT. Se il numero di colpiricade, anche parzialmente, nella fascia A, il deposito è liquefacibile, sericade nella fascia C non è liquefacibile. La fascia B infine riguarda strati incui la liquefazione è possibile, ma non probabile.

Criterio di Youd e Perkins (1978).

Si tratta di un metodo di ancor più rapida e semplice applicazione delprecedente. Sulla base del tipo di deposito sedimentario e della sua età,viene fornita un indicazione qualitativa del grado di vulnerabilità deldeposito stesso.La probabilità di liquefazione è ricavabile dalla seguente tabella:

Età del depositoTipo deposito<500 anni Olocene Pleistocene Pre-Pleistocene

Depositi continentaliCanali fluviali Molto alta Alta Bassa Molto bassa

Pianure diesondazione

Alta Moderata Bassa Molto bassa

Pianure e conoidialluvionali

Moderata Bassa Bassa Molto bassa

Spianate e terrazzimarini

----- Bassa Molto bassa Molto bassa

Deltaici Alta Moderata Bassa Molto bassaLacustri Alta Moderata Bassa Molto bassaColluvioni Alta Moderata Bassa Molto bassaScarpate Bassa Bassa Molto bassa Molto bassa

Dune Alta Moderata Bassa Molto bassaLoess Alta Alta Alta Molto bassaGlaciali Bassa Bassa Molto bassa Molto bassa

Tuff Bassa Bassa Molto bassa Molto bassaTephra Alta Alta ? ?

Terreni residuali Bassa Bassa Molto bassa Molto bassaSebkha Alta Moderata Bassa Molto bassa

Zone costiereDeltaici Molto alta Alta Bassa Molto bassa

Di estuario Alta Moderata Bassa Molto bassaDi spiaggia conelevata energia

delle onde

Moderata Bassa Molto bassa Molto bassa

Di spiaggia conbassa energia

delle onde

Alta Moderata Bassa Molto bassa

FORMULA GEO VER.2.0

Lagunari Alta Moderata Bassa Molto bassaLitorali Alta Moderata Bassa Molto bassa

Riempimenti artificialiNon compattati Molto alta ----- ----- ----

Compattati Bassa ----- ----- ----

Criterio del Chinese Building Code.

Il Chinese National Code of Aseismic Design for Building (1974) presentaun metodo empirico per la valutazione della liquefacibilità di un depositosabbioso sotto falda basato sull’utilizzo della prova S.P.T..Il criterio consente di calcolare, in funzione del sisma di progetto, il numerodi colpi SPT critico dello strato sabbioso:

( )[ ]c

wscr pddNN

31.09.00 −+=

dove:N0 = parametro funzione del sisma di progetto secondo la relazione

empirica N0=43.81ag+3 (ag = accelerazione sismica riferitaall’accelerazione di gravità);

ds(m) = profondità media dello strato sabbioso saturo;dw(m) = profondità media della falda;pc(%) = percentuale di fine presente (d≤0.005 mm) nello strato (se pc<3

porre pc=3).

Il numero di colpi critico calcolato andrà quindi confrontato con il numerodi colpi effettivamente misurato. Se Nmisurato<Ncr o se il rapporto Nmisurato/Ncr

< 1 lo strato va considerato liquefacibile.

Criterio di Ambraseys.

La formula empirica di Ambraseys (1988) correla la distanza epicentrale delsito indagato con la magnitudo di soglia del sisma, cioè con quellamagnitudo che può indurre fenomeni di liquefazione in terreni suscettibili.La relazione è la seguente:

RLogRxMs 103 99.01065.264.4 ++= − .

FORMULA GEO VER.2.0

La formula, nota una serie storica di eventi sismici, può essere utilizzata,con una procedura simile a quella vista nel paragrafo 4.4, per determinare laprobabilità di superamento del valore di soglia per un sisma con undeterminato tempo di ritorno. Quindi, chiamando M la magnitudo del sismaattesa nel sito per un determinato tempo di ritorno, se il rapporto M/Ms èmaggiore o uguale a 1 sarà probabile il verificarsi di fenomeni diliquefazione.

Metodi semplificati.

Al contrario della maggior parte dei metodi empirici, quelli semplificatirichiedono che venga definito un sisma di progetto, attraverso l'introduzionedell'accelerazione sismica orizzontale massima in superficie e dellamagnitudo di riferimento.I dati del sisma di progetto possono essere ricavati attraverso l’analisiprobabilistica dei dati del Catalogo Sismico Nazionale (paragrafo 4.4)oppure, in alternativa, si possono utilizzare i valori proposti dal GNDT(Gruppo Nazionale di Difesa dai Terremoti) per le tre categorie sismichepreviste dalla Legge.

Coefficiente sismico Acc. Massima(g) 12 0.35 9 0.25 6 0.15

In questo ultimo caso rimane l’incognita della magnitudo di riferimento dautilizzare, che andrà in ogni caso desunta dai dati degli eventi sismici storicidella zona.Tutti i metodi semplificati permettono di esprimere la suscettibilità allaliquefazione del deposito attraverso un coefficiente di sicurezza, dato dalrapporto fra la resistenza al taglio mobilitabile nello strato ( R ) e lo sforzotagliante indotto dal sisma ( T ). Cioè in pratica si avrà:

TR

Fs = .

Un deposito dovrà essere considerato suscettibile di liquefazione, se ilcoefficiente di sicurezza sarà minore di 1.

FORMULA GEO VER.2.0

La grandezza T dipende dai parametri del sisma di progetto (accelerazionesismica e magnitudo di progetto). R è funzione delle caratteristichemeccaniche dello strato, principalmente del suo stato di addensamento, epuò essere ricavato direttamente attraverso correlazioni con i risultati diprove penetrometriche dinamiche, statiche o con i valori delle velocità delleonde S ricavati da stendimenti di sismica a rifrazione.

Calcolo dello sforzo di taglio indotto dal sisma ( T ).

La grandezza T viene ricavata attraverso la relazione:

MSFrg

aT d

v

v

'65.0

0

0max

σσ

= ;

dove:amax = accelerazione sismica massima;g = accelerazione di gravità = 980.7 cm/s2;σv0 = pressione verticale totale alla profondità z dal p.c.;σv0’ = pressione verticale efficace alla profondità z dal p.c.;rd = coefficiente funzione della profondità dal p.c., valutabile

secondo il seguente schema:rd=1-0.00765z per z≤9.15 mrd=1.174-0.0267z per 9.15<z≤23 mrd=0.774-0.008z per 23<z≤30 mrd=0.5 per z>30 m

MSF = coefficiente correttivo funzione della magnitudo del

sisma, ricavabile con la relazione3.3

5.7

−

=

MMSF se M≤7.5

o con la formula 56.2

24.210M

MSF = se M>7.5.

Calcolo della resistenza al taglio mobilitata ( R ).

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Seed e Idriss(1982)

FORMULA GEO VER.2.0

Nel metodo di Seed & Idriss (1982) la resistenza alla liquefazione puòessere stimata con la seguente formula:

90/NaR =

con:Na

= 17.07.1

NNv

spt +

+σ

σv(kg/cmq) = pressione verticale efficace;N1 = 0 se d50(mm)>0.25, 7.5 se d50(mm)≤0.25.

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs > 1.3.

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Tokimatsu eYoshimi (1983).

Nel metodo di Tokimatsu & Yoshimi, inserito nella proposta di NormativaSismica del G.N.D.T.(1984), la resistenza alla liquefazione assume laseguente espressione:

( )

+=

1421.016.026.0 NaNaR

con:Na

= 17.07.1

NNv

spt +

+σ

σv(kg/cmq) = pressione verticale efficace;N1 = 0 per una percentuale di fine pc< 5%, 10 pc+4 per pc≥5 %

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs > 1.3 (sabbiesciolte) o Fs>1.5 (sabbie mediamente addensate).

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Iwasaki e al.(1984).

FORMULA GEO VER.2.0

Nel metodo di Iwasaki e al. la resistenza alla liquefazione assume laseguente espressione:

++=

5010

35.0225.07.0'0882.0

dLogNR vspt σ

(per d50<0.6 mm)

oppure:

05.07.0'0882.0 −+= vsptNR σ

(per d50≥ 0.6 mm)

dove d50 è il diametro della curva granulometrica corrispondente al passanteal 50% e σv’(kg/cmq) è la pressione verticale efficaceViene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs>1.

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Seed e al. (1985).

Nel metodo di Seed e al.(1985) la resistenza alla liquefazione vienecalcolata con la seguente formula:

432

32

1 hxfxdxbxgxexcxa

R++++

+++=

dove:x = N60cs numero di colpi SPT riferito ad un’efficienza del 60% e corretto

per tener conto dell’eventuale presenza di una frazione fine;a =0.048;b =-0.1248;c =-0.004721;d =0.009578;e =0.0006136;f =-0.0003285;g =-0.00001673;

FORMULA GEO VER.2.0

h =0.000003714.

N60cs può essere valutato con la relazione:

)(60 NsptCCffN NEbacs +=in cui:

CN = fattore correttivo per l’approfondimento della prova = vσ

1( con

σv in kg/cmq); se CN è maggiore di 2 porre CN = 2;CE = fattore correttivo per l’efficienza dell’infissione = ER/60 con ER

l’efficienza del sistema d’infissione usato;fa = 0 per una percentuale di fine(FC)≤5%;

=

−

2

19076.1exp

FC per 5<FC<35 %;

=5 per FC≥35 %;fb = 1 per FC≤5%;

= 1000

99.05.1FC

+ per 5<FC<35 %;

=1.2 per FC≥35 %.

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs>1.

Da prove penetrometriche statiche – metodo di Robertson e Wride(1997).

Il metodo di Robertson e Wride permette di correlare la resistenza al tagliomobilitata nel terreno con i risultati della prova penetrometrica statica(CPT). La procedura di calcolo si basa sulle due seguenti equazioni:

( )05.0

1000883.0 1 +

= csncq

R per (qc1n)cs <50 e

( )08.0

100093

3

1 +

= csncq

R per 50≤(qc1n)cs <160.

FORMULA GEO VER.2.0

La grandezza (qc1n)cs rappresenta la resistenza alla punta normalizzata ecorretta per tenere conto della percentuale di fine presente.Il calcolo di (qc1n)cs avviene attraverso i seguenti passaggi.• Si calcola la resistenza alla punta e l’attrito laterale specifico

normalizzati con le relazioni:

'0

0

v

vcqQ

σσ−

= e 0

100vc

s

qf

Fσ−

=

dove:qc (kg/cmq) = resistenza alla punta misurata;fs (kg/cmq) = attrito laterale specifico misurato;σv0(kg/cmq) = pressione verticale totale;σv0‘(kg/cmq) = pressione verticale efficace.

• Si calcola l’indice di tipo dello strato sabbioso con la formula:

( ) ( )210

210 47.322.1 −++= QLogFLogIc

• Si applica una correzione che tenga conto dell’approfondimento dellaprova:

cQnc qCq =1 dove n

vQC

=

'1

0σL’esponente n viene valutato come segue:

• se Ic>2.6 allora n=1;• se Ic≤2.6 si calcola un primo valore di qc1n, utilizzando n=0.5; quindi

si ricalcola Ic con la relazione:

( ) ( )2110

210 47.322.1 −++= ncqLogFLogIc

se il nuovo valore di Ic è ancora minore di 2.6 si conferma il valoren=0.5, altrimenti si ricalcola qc1n, utilizzando n=0.75;

• se qc1n>2qc si pone qc1n=2qc .• Si introduce la correzione dovuta alla presenza di fine nel livello

sabbioso:

FORMULA GEO VER.2.0

ncccsnc qKq 11 )( = ,dove Kc è uguale a 1, se Ic≤1.64, ed è fornito dalla relazione:

88.1775.3363.21581.5403.0 234 −+−+−= IcIcIcIcK c

in caso contrario.


Da sismica a rifrazione – metodo di Andrus e Stokoe(1997).

La resistenza alla liquefazione di un deposito sabbioso può essere valutataanche attraverso la stima delle velocità delle onde S, partendo dai risultatiottenuti attraverso stendimenti di sismica a rifrazione. La relazione è laseguente:

111

2

1 9.09.0100

03.0sscs

s

VVVV

R −−

+

=

dove:

Vs1(m/s) = velocità delle onde S nello strato corretta = 25.0

0 '1

vsV

σ, dove

Vs è la velocità misurata e σv0‘(kg/cmq) è la pressione verticaleefficace a metà strato;

Vs1c(m/s) = valore critico delle onde S nel deposito, ricavabile attraverso ilseguente schema:Vs1c(m/s)=220 se la percentuale di fine(FC)<5%;Vs1c(m/s)=210 se FC=20%;Vs1c(m/s)=200 se FC>35%;interpolando per valori intermedi di FC.

FORMULA GEO VER.2.0

Interventi per ridurre il rischio di liquefazione.

Vengono presentati gli elementi per un dimensionamento di massima di trecomuni tipi d'intervento miranti ad abbassare il rischio di liquefazione delterreno:

• dreni di ghiaia;

• metodi dinamici (vibrocompattazione e heavy tamping).

Non vengono presi in considerazione altri interventi, come per esempio lagettiniezione (jet grouting), che hanno applicazioni più generali.

Dreni di ghiaia.

Si tratta di colonne verticali di ghiaia spinte all'interno dello stratoliquefacibile. Un loro dimensionamento di massima può essere fatto pertentativi, fissando un diametro (d) del dreno (solitamente maggiore di 0.8m)e stimando la spaziatura fra un dreno e l’altro con la relazione:

( )eee

dmS−+

=0

01)(

π;

dove e0 è l’indice dei vuoti iniziale del livello sabbioso ed e quello che sivuole raggiungere ad intervento eseguito. L’indice dei vuoti può esserecorrelato alla densità relativa attraverso la relazione:

minmax

max

eeee

Dr−−

=

dove emax ed emin sono i valori dell’indice dei vuoti nel deposito che si hannorispettivamente nelle condizioni di minimo e massimo addensamento.In una sabbia pulita sia ha emax ≅ 0.90 e emin ≅ 0.20.

FORMULA GEO VER.2.0

La densità relativa è a sua volta correlabile con i risultati di una prova SPTattraverso la relazione di Skempton:

'288.032 0v

sptNDr

σ+=

Il metodo di calcolo è valido per una disposizione a maglia quadrata deidreni.

Compattazione.

I metodi dinamici hanno lo scopo di aumentare la densità relativa delterreno per mezzo delle vibrazioni prodotte con speciali dispositivi. Nel casodi bonifica di depositi potenzialmente liquefacibili, i sistemi più utilizzatisono la vibrocompattazione e il metodo heavy tamping.

Condizioni di applicabilità dei metodi dinamici

L’efficacia degli interventi di compattazione dipende principalmente dallagranulometria del deposito. In livelli con un’elevata percentuale di fine imetodi dinamici sono scarsamente efficaci. Thorburn (1975) ha propostouno schema di riferimento per la valutazione dell’applicabilità degliinterventi. Solo i terreni, le cui curve granulometriche ricadono interamenteall’interno della fascia di applicabilità proposta, sono bonificabili con questemetodologie.

FORMULA GEO VER.2.0

Vibrocompattazione

La vibrocompattazione consiste nell' inserimento, con spaziatura regolaregeneralmente variante da 1 a 3 metri, di una apposita apparecchiaturavibrante nel terreno. L'effetto è quello di produrre localmente unadensificazione del terreno, la cui entità è funzione della spaziatura delleverticali d'intervento. In particolare per sabbie pulite (contenuto in fini<10%) la densificazione in funzione della spaziatura è stimabile attraversola relazione empirica:

SFN spti 83.757.408.23 +−=

dove:Nspti = numero di colpi SPT medio nello strato stimato dopo

l’interventoF% = percentuale di fine presente nello strato;S(m) =spaziatura delle verticali di intervento.

St ra to n .1 S t ra to n .2 Limit i di appl icabi l i tà

D i a m e t r o ( m m )

0 , 0 0 1 0 , 0 1 0,1 1 1 0 1 0 0

Pa

ssa

nte

%

1 0 0

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0

0

FORMULA GEO VER.2.0

I valori di Nspti trovati andranno utilizzati in uno dei metodi semplificati perla stima del rischio di liquefazione, allo scopo di determinare l'efficaciadell'intervento (nuovi valori dei coefficienti di sicurezza).Si ricorda che il metodo risulta poco efficace per sabbie con più del 10% dicontenuto in fini. Il procedimento può essere utilizzato fino a profonditàcomprese fra i 15 e i 20 metri.

Heavy tamping

Il metodo dell'heavy tamping consiste nel produrre un incremento delladensità relativa degli strati liquefacibili attraverso le vibrazioni prodottedallo impatto di una massa lasciata cadere ripetutamente sul terreno.Generalmente vengono utilizzati blocchi di calcestruzzo di alcune tonnellatedi peso con un altezza di caduta che può arrivare fino a 20-30 metri.La procedura richiede normalmente 2-3 colpi per mq. Vista la difficoltà distimare a priori l'efficacia dell'intervento è consigliabile eseguire al termineun controllo, eseguendo per esempio prove penetrometriche, allo scopo diaccertare l'effettivo addensamento del terreno raggiunto. Le prove andrannospinte fino ad una profondità data da:

D (m) = (0.65 - 0.80) Pm Hm;

con:Hm (m) = volata della massa battente;Pm (t) = peso della massa battente.D(m) = profondità massima alla quale si risente l'intervento.

Si ricorda che il metodo risulta poco efficace per sabbie con più del 10% dicontenuto in fini.

FORMULA GEO VER.2.0 - PROGRAM GEO Brescia (2001)

1

CADUTA MASSI

Introduzione

Per caduta massi s'intende il fenomeno di distacco e di successivo movimento verso valledi blocchi per lo più isolati e volumetricamente limitati (fino ad un massimo di alcuni metricubi) da pareti rocciose particolarmente acclivi e tettonicamente disturbate. Il passaggio fraquesto tipo di fenomeno gravitativo e le frane di crollo vere e proprie nella realtà è piuttostosfumato: spesso viene fissato attraverso un criterio geometrico, classificando come frane dicrollo quegli eventi che coinvolgono almeno alcune centinaia di metri cubi di materialeroccioso. Nella pratica ingegneristica è più utile però un criterio di tipo meccanico. Secondotale criterio vanno trattati come fenomeni franosi quei movimenti gravitativi che mettonoin gioco un'energia cinetica superiore a quella normalmente assorbibile dalle normali operedi difesa di tipo passivo (barriere e terrapieni paramassi, ecc.). Tale limite energetico puòessere posto intorno ai 2000 kJoule.Lo studio del fenomeno di caduta massi ha lo scopo di individuare con unaapprossimazione accettabile:

• la massima distanza percorribile dal masso distaccato;

• la traiettoria più probabile o più sfavorevole per la realizzazione delle opere di difesa;

• la massima energia d'impatto che dovrà essere dissipata dalla singola opera di difesa.

A tal fine l'analisi del problema dovrà essere effettuata in due fasi distinte:

• fase di rilievo in campagna dei dati relativi a distacchi avvenuti in passato;

• fase di simulazione numerica complessiva dei distacchi prevedibili per il futuro.

Analisi del fenomeno di caduta massi

FORMULA GEO VER.2.0

2

Rilievo di campagnaUn'accurata indagine di campagna è indispensabile per permettere al geologo di fareprevisioni sul cinematismo dei blocchi rocciosi in caduta. Non hanno alcun significato, edanzi sono da ritenersi inutili ai fini del dimensionamento delle opere di difesa, lesimulazioni numeriche non calibrate o calibrate in maniera insufficiente sui dati acquisiti incampagna.Il rilievo dovrà condurre all'individuazione:

1) delle aree di distacco dei blocchi rocciosi; queste generalmente corrispondono alle zonepiù fratturate e di maggiore pendenza del versante e sono riconoscibili dalla presenza disuperfici fresche di distacco, individuabili per il minor grado di alterazione rispetto allaparte rimanente dell'affioramento; su tali affioramenti sarà opportuno condurre un rilievogeomeccanico speditivo, al fine di caratterizzare l'ammasso roccioso dal punto di vistageometrico (numero di famiglie di discontinuità meccaniche, giaciture rappresentativedelle singole famiglie, spaziature medie ecc...); utile è la stima del volume rocciosounitario massimo, calcolabile per es. attraverso la relazione di Hudson e Priest (1979)

(1)

321

18

sss

Vm =

(con s1, s2, s3 = spaziature medie delle tre famiglie principali di discontinuità), che puòfornire una indicazione delle dimensioni massime dei blocchi che si possono staccare dallaparete;

2) delle traettorie più frequenti seguite dai massi in caduta; queste sono ricostruibili con unacerta approssimazione individuando sul terreno i solchi lasciati dal rimbalzo o dalrotolamento dei singoli massi o i segni d'impatto lungo il pendio contro alberi, manufatti oaffioramenti rocciosi; è importante anche segnalare le zone di possibile frammentazionedel blocco roccioso in seguito all'urto contro ostacoli o superfici rigide, individuabili spessoper la presenza di schegge abbandonate dal masso nell'impatto;

3) della distribuzione dei massi al piede del versante; andranno rilevate le distanze deisingoli massi dal piede del pendio ed i loro volumi; da questi dati potranno essere ricavatile distanze massime e più frequenti percorse dai massi ed i loro volumi massimi e piùprobabili.

FORMULA GEO VER.2.0

3

Simulazione numerica

Calibratura del modelloLa simulazione numerica del fenomeno di caduta massi ha lo scopo di permettere lacostruzione di un modello che permetta di fare delle previsioni sul comportamentocinematico di singoli blocchi rocciosi distaccatisi dal versante.La calibratura del modello va effettuata sulla base dei dati acquisiti in campagna e non puòessere considerata accettabile, se non è in grado di riprodurre la situazione osservata(traiettorie dei massi, distribuzione degli stessi al piede del versante, ecc...).Nel modello il moto viene supposto bidimensionale, cioè svolgentesi nel piano x,z, con ilpendio discretizzato in una serie di segmenti retti. Il masso inoltre può essere suppostopuntiforme, considerando cioè solo il moto del suo baricentro, o approssimato ad unellissoide triassiale.Il modello richiede che vengano determinate due serie di parametri, una riguardante ilblocco in caduta, l'altra il versante.

1) Parametri del blocco roccioso:

è richiesta l'introduzione delle seguenti grandezze:

• volume del masso;• dimensione dei semiassi a,b,c dell'ellissoide che approssima il masso;• peso di volume apparente del blocco;• velocità iniziale lungo gli assi x e z (diversa da zero se il blocco è sollecitato

inizialmente da altre forze oltre alla forza di gravità, per es. da un evento sismico);• eventualmente, minima energia d'impatto necessaria per la frantumazione del masso.

2) Parametri del versante:

E' richiesta l'introduzione per ogni singolo tratto di pendio di alcuni parametri necessari peril calcolo dell'interazione masso-versante.

a)Coefficiente di restituzione (E)

Viene definito come il rapporto fra la velocità prima e dopo (V1 / V0 dove V1 è la velocità dopol'urto, V0 prima dell'urto) l'impatto del masso con il terreno; è uguale a zero nel caso di unurto completamente anelastico (tutta l'energia cinetica del blocco impattante viene

FORMULA GEO VER.2.0

4

dissipata sotto forma di calore e la velocità del masso dopo l'urto è uguale a zero), ugualea uno nel caso di urto completamente elastico (tutta l'energia cinetica viene conservata ed ilmasso avrà una velocità dopo l'impatto uguale a quella precedente l'urto, cioè V1=V0) ecompreso fra 0 e 1 nel caso di urto parzialmente elastico (parte dell'energia cinetica vieneconservata e parte dissipata sotto forma di calore; la velocità del masso sara data da V1= Ex V0).Il valore di E è legato principalmente alla litologia ed alla morfologia del versante. Broili(1979) propone di assumere indicativamente valori di E compresi fra 0.75 e 0.8 per impattisu roccia o detrito di grossa pezzatura e tra 0.2 e 0.35 per impatti su materiale terroso.Altri Autori (Mazzalai, Vuillermin, 1995) propongono invece i seguenti valori indicativi:

FORMULA GEO VER.2.0

5

Tipo substrato E

apice di conoide detritico 0,05 - 0,10bosco con sottobosco sviluppato, prato 0,05 - 0,15copertura detritica con vegetazione folta 0,10 - 0,15copertura detritica con vegetazione rada 0,20 - 0,30detrito eluviale di spessore ridotto 0,30 - 0,40strutture rigide e strade 0,40 - 0,60roccia affiorante fratturata 0,60 - 0,70roccia affiorante integra 0,75 - 0,85

Volendo distinguere le compenti normale e tangenziale della velocità del blocco in caduta,si possono definire i parametri Ey e Ex (coefficienti di restituzione normale e tangenziale)come segue:

Ey = V1n / V0n [V1n = velocità normale (perpendicolare alla superficie topografica) delmasso dopo l'urto; V0n = velocità normale del masso prima dell'urto];

Ex = V1t / V0t [V1t = velocità tangenziale (parallela alla superficie topografica) del massodopo l'urto; V0t = velocità tangenziale del masso prima dell'urto].

Per i valori indicativi di Ey e Ex si presentano qui quelli proposti da Piteau e Clayton (1987)e da Hoek (1987).

Piteau e Clayton

Tipo substrato Ey Ex

Roccia compatta 0,8 - 0,9 0,65-0,75Detrito misto a grossi massi 0,5 - 0,8 0,45-0,65Detrito compatto con piccoli massi 0,4 - 0,5 0,35-0,45Scarpate ricoperte da vegetazione 0,2 - 0,4 0,2 - 0,3

FORMULA GEO VER.2.0

6

Hoek

Tipo substrato Ey Ex

Roccia compatta e pulita 0,53 0,99Strada asfaltata 0,40 0,90Roccia coperta con grossi massi 0,35 0,85Conoidi di detrito 0,32 0,82Conoidi di detrito con vegetazione 0,32 0,80Suolo soffice 0,30 0,80

b) Angolo d'attrito masso-versante (ϕϕ )

Nei tratti di pendio in cui il masso si muove rotolando o scivolando, l'energia cinetica vienedissipata attraverso l'attrito che si sviluppa fra blocco e versante. Quest'attrito vieneintrodotto nel calcolo attraverso il parametro angolo d'attrito masso-versante. Nel caso diun blocco che rotola ϕ generalmente possiede valori compresi fra 20° e 35°, con i valoriinferiori corrispondenti a tratti di pendio in roccia e privi di scabrosità. Nel caso di unblocco che scivola (per es. nel caso di un masso lastriforme che si muove tenendo acontatto con il terreno la faccia arealmente più estesa) l'attrito ovviamente è superiore.Cocco (1991) propone di considerare per la stima dell'angolo d'attrito terra-masso in fase dirotolamento tre componenti distinte legate rispettivamente alla natura del terreno, allacopertura vegetale e alle asperità del terreno in relazione alle dimensioni del masso. Ognicomponente fornisce un contributo, dalla cui somma si ottiene l'angolo d'attrito totale.Questi i valori dei parametri parziali:

Natura del terreno Contributo parziale (°)

Roccia nuda 19,5Detrito 21,0Alluvioni 26,5Morena 26,5

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Copertura vegetale Contributo parziale (°)

Terreno nudo 0,0Prato 3,0Arbusti 3,5Frutteto 6,0Bosco ceduo 4,5Bosco d'alto fusto 8,5

Asperità del terreno Contributo parziale (°)

Nessuna 0Piccola 3Media 7Elevata 11

c) Frammentazione di un blocco

Massi che presentano al loro interno superfici di debolezza meccanica (per es. giunti distrato) possono, in seguito ad un impatto violento, dividersi in due o più frammenti cheproseguono il loro movimento verso il piede del versante in maniera indipendente. Laframmentazione avviene più probabilmente in tratti ben delimitati del pendio in seguito, peresempio, ad impatto con ostacoli rigidi. Nella modellazione del fenomeno, si può operareinserendo un valore di energia minima d'impatto per il masso oltre la quale si ha la suarottura, oppure, sulla base delle osservazioni effettuate in campagna, si può definire laprobabilità, per ogni tratto di versante, che in seguito ad un urto il blocco si frantumi (unaprobabilità di frantumazione del 20% in questo caso indicherebbe che il 20% dei massi checolpiscono quel tratto di pendio si frantumano).Non può invece essere presa in considerazione la possibilità di frantumazione esplosivadel blocco roccioso, che si può verificare, in seguito ad impatti particolarmente violenti,per la propagazione di un'onda d'urto all'interno del masso. Non è ancora stata messa apunto, infatti, una procedura matematica per la simulazione di questi eventi, caratterizzatida una velocità dei frammenti molto elevata (30-70 m/s) e da traiettorie di notevole gittata(50-160 m) (Paronuzzi, 1989).

I parametri qui definiti ed in particolare quelli relativi all'interazione masso-versanteandranno inseriti nel modello procedendo a tentativi, fino ad ottenere simulazioni didistacchi con traiettorie compatibili con quelle osservate o ricostruite sul terreno.

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Equazioni del motoTrascurando la resistenza dell'aria, le forze che condizionano il moto del masso inmovimento lungo il versante sono la forza di gravità e l'attrito masso-pendio.Vengono distinti nella simulazione numerica i tratti di versante in cui il moto avviene percaduta libera da quelli in cui avviene per rotolamento o scivolamento. I calcoli vengonoeseguiti sulla base delle equazioni proposte da Piteau e Clayton (1977) e da Bassato et al.(1985).

a. Masso in caduta libera e traiettoria da saltellamento

Questo tipo di moto è dominante in pendii con inclinazione superiore ai 45° (Ritchie,1963).Il masso inizialmente si muove senza mantenere il contatto con il pendio. La velocità finaledi caduta del masso, cioè quella posseduta immediatamente prima dell'impatto con ilterreno, secondo le equazioni della meccanica, è data da:

(2) V = √ 2 x g x d;

cong = 9.807 m/s2 , accelerazione di gravità;d = distanza percorsa in aria dal masso.

In seguito all'urto con il terreno il blocco viene proiettato in avanti con una velocità datada:

(3) V = √(Vi x senβ)2 x E + (Vi x cosβ)2 x (E x 0.3Log E);

conVi = velocità d'impatto;β = angolo d'incidenza della traiettoria del masso rispetto

al versante;E = coefficiente di restituzione dell'energia.

Per quanto riguarda la determinazione dell'angolo di proiezione del blocco nel rimbalzodopo l'impatto (angolo θ), l'esperienza dimostra che non è da ritenersi valida l'assunzione,spesso usata nelle simulazioni numeriche, che sia uguale all'angolo d'incidenza. Nellasimulazione in pratica si può procedere in due modi differenti: si può considerarlo come unparametro variabile in maniera del tutto casuale o porlo in funzione di altre grandezze, inparticolare del coefficiente di restituzione E. Le esperienze condotte da vari Autorievidenziano per l'angolo θ valori compresi fra l'orizzontale e la superficie topograficaqualunque sia l'angolo d'incidenza (Paronuzzi, 1989). Tali valori possono essere

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considerati in pratica distribuiti in maniera casuale, in quanto influenzati spesso dallapresenza di piccole asperità od ostacoli nel terreno. In alternativa spesso viene utilizzatauna correlazione con il coefficiente di restituzione E:

(4) tg θ = E x tg β;

dove β è l'angolo d'incidenza del masso.Data però l'approssimazione con cui è nota la grandezza E, tale approccio andrebbeutilizzato solo nell'ambito di una procedura d'analisi di tipo probabilistico (per es. con ilmetodo di Montecarlo).

b. Masso in rotolamento o scivolamento

Questo tipo di moto è dominante in pendii con inclinazione inferiore ai 45° (Ritchie,1963).Il blocco, nel caso di rotolamento, si muove con un moto di rototraslazione lungo ilpendio, attraverso una serie di piccoli rimbalzi o, nel caso di scivolamento, con un moto ditraslazione pura, mantenendo il contatto con la superficie del pendio lungo una faccia,generalmente la più estesa arealmente.La velocità finale del masso al termine del tratto di pendio considerato può essere valutataattraverso la relazione:

(5) V = √ Vi2 + (10/7) x g x s x (tg α - tgϕ)

nel caso di moto per rotolamento, o con la formula:

(6) V = √ Vi2 + 2 x g x s x (sen α - tg ϕ x cosα)

nel caso di moto per scivolamento,con

Vi = velocità iniziale lungo il tratto di pendio considerato;s = distanza percorsa dal masso lungo il tratto;α = inclinazione del pendio;ϕ = angolo d'attrito terra-masso.

Il passaggio da un moto di rotolamento ad uno di scivolamento, nel caso di un massoapprossimato da un ellissoide triassiale, avviene quando è verificata la relazione:

(7) E < ∆H x g x m;

dove:∆H = differenza fra il semiasse maggiore a e quello minore c (a-

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c);g = accelerazione di gravità;m = massa del blocco;E = E = 0,5 x m x V2 + 0,5 x I x ω2, energia totale posseduta dal

masso;V = velocità del blocco;I = momento d'inerzia del blocco, uguale a (2/5)mR per un

masso sferico;ω = velocità angolare del blocco (velocità di rotazione del

masso).

Nel caso di un blocco sferico ∆H =0, per cui il moto avverrà in pratica solo perrotolamento.

Analisi con metodi probabilistici - Metodo di Montecarlo.L'incertezza insita nella scelta delle grandezze da introdurre nella simulazione di cadutamassi, ed in particolare nei parametri E (coef.di restituzione), ϕ (angolo d'attrito masso-versante), e V (volume del masso in caduta). consiglia un approccio di tipo probabilstico alproblema.Il metodo probabilistico generalmente utilizzato è quello di Montecarlo.Il metodo di Montecarlo si basa sulla generazione di numeri casuali, scelti in determinatiintervalli, che godano nel complesso di proprietà statistiche. Fra le varie applicazionipossibili di tali metodi, vi è quella detta 'del campionamento' che consiste nel dedurreproprietà generali di un insieme grande, studiandone solo un sottoinsieme casuale,giudicato rappresentativo dell'insieme stesso. E' evidente che maggiori saranno ledimensioni del campione random, più rappresentative potranno essere considerate leproprietà dedotte.Nel caso di applicazione del metodo alla simulazione di caduta massi, la procedura daseguire è la seguente:

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie E (coef. di restituzione), ϕ e Vmisurate in situ o stimate, supponendo che sia di tipo gaussiano ( cioè rappresentate dauna curva a campana, con il valore centrale corrispondente al valore medio);

• attraverso un generatore di numeri casuali, si crea una serie, estesa quanto si vuole, divalori numerici compresi fra 0 e 1;

• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore di E, ϕ e V, rispettandola curva di distribuzione delle probabilità di queste grandezze (facendo cioè in modoche la frequenza con cui un certo parametro viene chiamato nel calcolo sia uguale allasua probabilità ricavata dalla curva gaussiana di probabilità del parametro stesso); in

questo modo si trasforma la serie di numeri casuali generati nel punto precedente in unaserie di coppie di valori di E, ϕ e V;

• si esegue la simulazione per ogni terna di valori E, ϕ e V.

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L'andamento delle traiettorie di caduta collegata ad ogni terna di E, ϕ e V consente divalutare l'influenza della dispersione dei valori di questi parametri sui percorsi di caduta.Normalmente per ottenere distribuzioni stabili delle traiettorie sono necessarie alcunecentinaia di verifiche.

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Dimensionamento delle opere di difesa

Valutata attraverso la simulazione numerica la distribuzione delle traiettorie dei massi incaduta lungo il pendio, può essere effettuato un primo dimensionamento delle opere didifesa. Queste opere devono essere in grado di intercettare i blocchi rocciosi in caduta e diresistere alle sollecitazioni prodotte dagli impatti.Vanno effettuate quindi due tipi di verifiche:

1. Verifica al superamento per proiezione

Si ripete la simulazione numerica della caduta massi, facendo variare la posizione el'altezza delle opere di difesa. Si valuta quindi di volta in volta come varia la distribuzionedegli arrivi dei massi a valle e la possibilità, attraverso l'esame delle traiettorie, che iblocchi scavalchino le singole opere.Alla fine andrà ovviamente adottata quella combinazione di opere che permettano diraggiungere la massima efficienza nell'intercettazione dei massi.

2. Verifica al superamento per sfondamento

L’opera di difesa deve essere in grado di resistere all'impatto e di dissiparel'energia cinetica posseduta dal masso, data da:

(8) Ec = (1/2) x m x V2 + (1/2) x I x w2;

conm = peso del masso;g = accelerazione di gravità;V = velocità di traslazione del baricentro del masso;I = momento d'inerzia del blocco;

w = velocità angolare del blocco.

Dalla (8) si nota che l'energia cinetica totale posseduta dal masso è data dalla somma diuna componente dovuta al moto di traslazione del baricentro del blocco ( 0,5 x m x V2)ed una legata al moto di rotazione del masso intorno al baricentro stesso ( 0,5 x I x w2).Normalmente la seconda componente viene trascurata per la difficoltà di stimare il valoredella velocità angolare.Vengono qui prese in considerazione tre tipi di opere di difesa: le barriere paramassirigide elastiche ed i terrapieni paramassi. Vengono invece trascurate tutte le opere di

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difesa attiva (reti addossate, ecc...), che non necessitano di simulazioni numeriche delletraiettorie di caduta.

Barriere paramassi rigide ed elastiche

Si tratta di reti in fune d'acciaio sostenute da puntoni ancorati nel terreno, poste in opera inun numero dispari di campate. L'energia dell' impatto vienedissipata dalla deformazione delle funi della rete ed eventualmente, nel caso delleparamassi flessibili, anche dai dissipatori di energia.Vengono generalmente fatte due ipotesi sulle condizioni d'impatto.

1) L'urto viene assorbito dalla rete.Nella maggioranza dei casi il masso colpisce la rete, che dissipa l'energia cineticadell'impatto trasformandola in calore attraverso la deformazione delle funi d'acciaio. Laquantità di energia dissipata è calcolabile attraverso la relazione:

(9) Ed(kgcm) = [ (1/2) x M x Af x Al2/ L ] x Nf;

conM = modulo elastico delle funi, generalmente intorno ai 220.000

kg/cmq;Af(cmq) = π x Df2, area trasversale delle funi

Df(cm) = diametro delle funi;Al(cm) = (ap/100) x L, allungamento massimo delle funi;

ap = allungamento percentuale della fune, di solito l'8%;L(cm) = lunghezza totale della singola fune;

Nf = numero di funi coinvolte nell'impatto.

Per la stima di quest'ultimo parametro occorre tener presente l'interasse delle funi econfrontarlo con le dimensioni del masso atteso.Nelle barriere elastiche, nel caso in cui l'energia dissipabile dalla rete sia minore di quellaprevista per l'impatto più violento (Ed<Ecmax), entreranno in funzione i dissipatori dienergia. Un dissipatore consiste in un cappio di fune d'acciaio chiuso da un blocchetto difrizione. In seguito all'urto del blocco di roccia contro la rete, il cappio tende a scorrereall'interno del blocchetto di frizione, dissipando per attrito una frazione dell'energia cineticadel masso impattante.L’energia dispersa dai dissipatori è data da:

(10) Ef(kgcm) = (Ecmax - Ed) / (Lc x Nf);

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conEcmax - Ed = frazione di energia cinetica non dissipata dalla deformazione della

rete;Lc = lunghezza del cappio, generalmente 90 cm;Nf = numero di dissipatori che entrano in funzione.

La pressione di serraggio dei blocchetti di frizione è data invece da:

(11) Ps(kg/cmq) = Ef / (Ca x Sc);

conCa(cm) = coefficiente d'attrito acciaio-acciaio, generalmente uguale a 0.2;

Sc(cmq) = [(2/3)x(π x Df)-(0.2 x 0.2)]x l, superficie di contatto fune-blocchetto;

Df(cm) = diametro della fune;l(cm) = lunghezza del contatto fune-blocchetto.

2) L'urto viene assorbito dai puntoni.Nella previsione di un'impatto con uno dei puntoni d'acciaio che sostengono le reti, occorreverificare la quantità di energia dissipabile nell'urto e la necessità di eventuali ancoraggi.L'energia cinetica dissipata è data da:

(12) Edp(kgcm) = (1/2) x F2 x [ H3/(3 x Ma x Ja)];

conF(kg) = Mra x Sa/ H , massima forza assorbita dal puntone in fase

elastica;Mra(cm3) = modulo di resistenza dell'acciaio;

Sa(kg/cmq) = resistenza a trazione dell'acciaio;H(cm) = altezza fuori terra del puntone;

Ma(kg/cmq) = modulo elastico dell'acciaio;Ja(cm4) = momento d'inerzia dell'acciaio.

La corrispondente massima deformazione elastica dell'acciaio è data da:

(13) Dmax(cm) = F x [H3/(3 x Ma x Ja)];

l'energia dissipata dalla deformazione elastica del puntone è sempre molto modesta, seconfrontata con le energie massime degli impatti. Spesso, nelle barriere elastiche, siancorano i puntoni in testa, per permettere l'assorbimento dell'energia eccedente.

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Supponendo che la deformazione dei puntoni rimanga in fase elastica, l'energia cineticaassorbita dagli ancoraggi sarà data da:

(14) Eda(kgcm) = [(1/2) x Mf x Af x Def2/H] x Nf;

conMf(kg/cmq) = modulo elastico della fune;

Af(cmq) = πx (Df/2) 2, area trasversale della funeDef(cm) = Dmax/cos2(τ), allungamento della fune relativa alla massima

deformazione elastica del puntone;τ = angolo fra ancoraggio e puntone;

Nf = numero degli ancoraggi sollecitati.

Se si prende in considerazione però la massima deformazione che può essere assorbitadalle funi si ottiene:

(15) Eda(kgcm) = [(1/2) x Mf x Af x Defmax2/H] x Nf;

conDefmax(cm) = (Almax /100) x Lc, allungamento massimo sopportabile dalla

fune d'acciaio;Almax = allungamento percentuale massimo della fune;Lc(cm) = lunghezza totale della fune.

Terrapieni paramassi

Si tratta di una struttura in terra a geometria trapezia, a volte sostenuta da un muro o da unagabbionata a monte, completata spesso dalla presenza di un fossato (rocktrap) rivestito damateriale a basso coefficiente di restituzione elastico (per es. ghiaia).Per il dimensionamento dell'opera vanno effettuate le comuni valutazioni previste per imanufatti di materiali sciolti e cioè il calcolo della capacità portante limite e d'esercizio delterreno di fondazione, i cedimenti prevedibilidello stesso e il calcolo della stabilità dei due lati, a monte e a valle, del terrapieno.Per la posa in opera si deve, secondo la comune procedura, stendere il materiale in strati dilimitato spessore e provvedere di volta in volta al loro costipamento.Il manufatto inoltre agisce come sovraccarico sul pendio, alterando la distribuzionegenerale degli sforzi nel terreno. E' quindi necessario verificare l'influenza del terrapienosulla stabilità globale del versante attraverso i comuni procedimenti di analisidell'equilibrio limite (metodi di Bishop semplificato, di Janbu semplificato, ecc...).

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A differenza delle barriere paramassi elastiche, un terrapieno dissipa l'energia cineticad'impatto del masso attraverso il lavoro che il masso stesso deve compiere per penetrarenella struttura in terra. Va quindi calcolata la profondità di penetrazione del bloccoroccioso e verificata che sia inferiore allo spessore dell'opera. In caso contrario ilmanufatto va considerato sottodimensionato.La profondità di penetrazione può essere valutata con la relazione di Kar (1978), nel casod'impatto diretto con il materiale terroso:

(16)Zf=[27183/ √(s)] x Nf x (E/ Ea)1.25 x [P / (d2.31)] x (V/1000) 1.25

cons = resistenza alla compressione semplice del terreno (kN/mq);

Nf = fattore di forma del masso(1 per corpi appuntiti, 0.72 per corpi piatti);E = modulo di elasticità del blocco roccioso (kN/mq);

Ea = modulo di elasticità medio dell'acciaio (circa 206.850x 103) (kN/mq);P = peso del masso (kg);d = diametro impronta impatto (m);V = velocità d’impatto (m/s).

La profondità di penetrazione è quindi data da:

(17) z(cm) = sqr(Zf) x 2 x d, se z/d <= 2;

(18) z(cm) = (Zf+1) x d, se z / d > 2

Nella pratica, vista la doppia soluzione possibile [(17) e (18)], andrà preso inconsiderazione il valore maggiore, e si dovrà verificare che la rispettiva condizione z/d siarispettata. In caso contrario si assumerà come risultato valido l'altro valore calcolato.Nel caso il terrapieno sia sostenuto a monte da un muro o da una gabbionata la (16) variscritta nel seguente modo:

(19)Zf=[120328/√(s)] x Nf x (E/ Ea)1.25 x [P / (d2.8)] x (V/1000)1.8

Se dal calcolo della (19) risultasse che il masso penetra per una profondità superiore allospessore del muro o della gabbionata, occorrerà valutare la velocità residua del bloccocome segue:

(20) Vr = (V1.25 - Vm1.25);

conV = velocità d'impatto del masso;

Vm = velocità minima necessaria per attraversare il muro o la gabbionata,valutabile ponendo il valore dello spessore del muro al posto delparametro z nella (17) o nella (18) (a seconda del rapporto z/d

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risultante), determinando quindi Zf e risolvendo la (19) rispetto a V.

La penetrazione del masso dotato di una velocità residua Vr nel terreno costituente ilterrapieno potrà essere quindi calcolata con la (16).Nota la profondità di penetrazione del masso, può essere eseguita una stimadella forza impulsiva generata dall'impatto.Nell'ipotesi di comportamento elasto-plastico del terreno costituente il terrapieno e di uncarico dinamico variabile nel tempo, la forza impulsiva massima generata dal masso puòessere calcolata con la relazione di Mc Carty e Carden (1962):

(21) Fmax(kgf) = K x m x V / T;

conK = costante posta uguale generalmente a 2.022;

m (kgf) = P/g, massa del blocco roccioso;P(kg) = peso del masso;

g = accelerazione di gravità(9.807 m/s2);V(m / s) = velocità d'impatto del masso;

T (s) = durata dell'impatto;

Problematica è la determinazione del parametro T, per il quale Kar (1979) eKnight (1980) propongono la seguente relazione:

(22) T(s) = 3.335 x z / V;

conz(m) = profondità di penetrazione del masso;

V(m / s) = velocità d'impatto del masso.

Formulario Di Geotecnica - 520pag

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