Forme minime appese a un lo - doyouplaymathematics.it · 2016. 5. 28. · Forme minime appese a un...

Forme minime appese a un filo

R. Caddeo, S. Montaldo, I. I. Onnis, and P. Piu

1. Introduzione

Nel linguaggio comune l’aggettivo minimo (o minimale) ha di solitoun significato piuttosto chiaro, contrapposto a massimo (o massimale).Talvolta assume particolari valori come sostantivo, come nel caso dellaforma musicale detta minima, che sta a indicare una figura musicaledi durata equivalente ad una meta di semibreve. Altre volte l’aggetti-vo minimo viene usato per caratterizzare i membri di una istituzionereligiosa, le suore minime, di un movimento politico il menscevismo,come contrario di bolscevismo, o lo spirito di tendenze o di movimenticulturali nel campo dell’ingegneria, dell’architettura e dell’arte.Di tali correnti citeremo cinque esempi, probabilmente ben noti, checi sembrano particolarmente significativi e vicini o legati alle idee cheesporremo nei paragrafi successivi:

• lo Staatliches Bauhaus,• la minimal art,• i ponti di Robert Maillart,• le coperture di Otto Frei,• le sculture di Helaman Ferguson.

Su questi ultimi tre soffermeremo la nostra attenzione in questo artico-lo, dove troveranno una collocazione che ne rendera piu comprensibilela descrizione. Qui proponiamo solo un breve cenno sui primi dueesempi.La nascita della scuola del Bauhaus, fondata dall’architetto WalterGropius a Weimar nel 1919, e legata alla ricerca di soluzioni al problemadell’alloggio minimo che, come Gropius dice chiaramente, “e quello distabilire il minimo elementare di spazio, aria, luce e calore necessariall’uomo per essere in grado di sviluppare completamente le sue funzioni

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2 R. CADDEO, S. MONTALDO, I. I. ONNIS, AND P. PIU

vitali”. Cio perche, come dice Le Corbusier, “la casa e la citta devonooffrire agli uomini le gioie essenziali”.Per quanto riguarda il minimalismo artistico (minimal art), un movi-mento che si e sviluppato prevalentemente negli Stati Uniti nella se-conda meta del secolo scorso, le sue espressioni, i dipinti, le sculture,si ispirano ai principi fisici universali e ai sistemi logici, e sono qua-si sempre costituiti da forme geometriche e da altre forme semplici, avolte accostate in un modo che da chiaramente l’impressione di unacomposizione modulare, come si puo osservare nelle due figure sotto:

Kazimir MalevicComposizione suprematistaAmsterdam, Stedelijk Mu-seum.

Piet MondrianGrande composizione ARoma, Galleria Nazionaled’Arte Moderna.

Nella Matematica la minimalita ha una posizione ed un ruolo rilevantialmeno da due secoli, ma, com’e naturale sospettare, la minimalitamatematica e una nozione meno intuitiva, piu profonda, piu fine, piuermetica e, forse proprio per questo, meno nota.

Questo articolo e principalmente dedicato a illustrare qualche aspettoimportante del concetto matematico di minimalita, e si sviluppa lungoun percorso prevalentemente intuitivo, per niente tecnico. Esso pro-pone di illustrare la nozione di superficie minima anche a coloro chenon sono in possesso degli strumenti geometrico-differenziali e di cal-colo delle variazioni su cui si basa la corrispondente teoria matematica.In particolare l’esposizione, che si ispira all’articolo [1] e alla monogra-fia [5], vorrebbe risultare comprensibile a uno studente in procinto diconcludere il ciclo dei suoi studi secondari.

FORME MINIME APPESE A UN FILO 3

2. Dalle pellicole di sapone alle superfici minime

In questo primo capitolo vogliamo illustrare la nozione di superficieminima facendo, ove possibile, ricorso ad esempi concreti della realtain cui viviamo, per poter beneficiare dell’ausilio dell’intuizione nel mo-mento in cui la trattazione dovesse assumere un carattere piu matema-tico e piu astratto.Tutti noi certamente abbiamo ben presente il classico dispositivo ancoraoggi usato dai piu piccoli per creare le bolle di sapone: una cannuccia oun piccolo disco forato sostenuto da un’impugnatura. Immaginiamo oradi modificarlo, saldando successivamente all’impugnatura fili di ferro diforme diverse da quella circolare, e di immergerlo volta per volta in unasoluzione saponata.Curiosamente, a certe configurazioni del filo si appoggia una membranairidiscente di forma, di eleganza, e talvolta di complessita sorprendenti.Ma non basta: effettuando un’analisi attenta, si scopre che questepellicole di sapone nascondono proprieta inaspettate, che le leganointimamente a certe forme geometriche, che risolvono un problemamatematico di grande rilevanza.In altri termini, queste forme eleganti e belle come solo la naturariesce a fare, possono essere descritte matematicamente in manieraestremamente precisa.Verrebbe in mente Alan Turing il quale, osservando con una sua collegache il numero delle spirali nelle pigne nei due versi e uguale a duetermini consecutivi della successione di Fibonacci, esclamo: “Ma alloraDio conosce la Matematica!”.Cerchiamo di spiegare in maniera quanto piu possibile intuitiva lageometria nascosta delle pellicole saponose.Dal punto di vista fisico, la formazione della pellicola fluida sul contornodi filo di ferro si deve sia alla forma di quest’ultimo, sia alla tensionesuperficiale del film, e la forma della lamina rende conto del fatto chela sua energia potenziale e minima.Naturalmente tali superfici hanno di solito vita breve, sia causa dellaforza gravitazionale, che ne modifica i delicatissimi equilibri, sia per il

Alan Mathison Turing (1912 - 1954). Matematico e logicobritannico, considerato uno dei padri dell’informatica e uno deipi grandi matematici del Novecento. Durante la seconda guer-ra mondiale, Turing mise le sue capacita matematiche al servi-zio del “Department of Communications” inglese per decifrare icodici usati nelle comunicazioni naziste, criptate tramite il co-siddetto sistema Enigma. Omosessuale, morı suicida a soli 42anni in seguito ad una persecuzione omofobica condotta nei suoiconfronti.


fatto che, anche a temperature non elevate, l’acqua evapora provocandoun indebolimento della pellicola e la sua conseguente disintegrazione.Se ora si pensa di aver realizzato due superfici sostenute dallo stessocontorno, e intuitivamente chiaro che quella di area piu grande avraanche peso maggiore e quindi energia potenziale superficiale maggiore.Cioe tale energia e direttamente proporzionale all’area e pertanto, sel’energia superficiale di una lamina fluida e minima, deve essere minimaanche la sua area. I matematici chiamano superfici minime le superficicostituite da tali lamine fluide e, da quanto detto, risulta chiaro che essenon possono essere deformate senza provocare un aumento dell’area. Inaltri termini l’area di una superficie minima e piu piccola di quella dellealtre superfici vicine sostenute dallo stesso contorno.L’aggettivo vicine non si puo eliminare. Un filo metallico piegato comein Figura1 puo infatti dar luogo a piu di una pellicola saponosa, come

Figura 1

si puo vedere nella Figura 2.

Figura 2 – Una curva chiusa sulla quale si appoggiano tre diverse superficiminime.

Le tre superfici sono minime nel senso spiegato sopra, ma l’area dellaprima e diversa da quella della seconda e da quella della terza.E utile e interessante immaginare di deformare queste superfici concontinuita, cioe senza lacerazioni o perforazioni, per ottenere delle su-perfici, in generale non minime, ma facilmente identificabili. Per quantoriguarda la prima superficie a sinistra in Figura 2, essa appare coma lasaldatura di due anelli i cui assi sono perpendicolari e non complanari.


Si puo pensare di deformarla stirando la superficie dell’anello superiorefacendo ruotare uno dei suoi bordi (due circonferenze) attorno all’assedell’anello inferiore, sino a sovrapporlo all’altro, come mostrato nellaFigura 3. La superficie che si ottiene e quella di una ciambella con un

Figura 3 – Costruzione del toro a partire da un profilo minimo. L’immagine,realizzata da A.T. Fomenko, e pubblicata in [4].

buco o di un salvagente, che i matematici chiamano toro1.La seconda e la terza superficie in Figura 2 possono essere prima apertee distese su un piano ottenendo una superficie (non minima). Quindistirando il bordo e la superficie sino ad ottenere un cerchio (che e unasuperficie minima).

La ricerca, di almeno una superficie minima che si appoggi su una datacurva chiusa nello spazio, costituisce un celebre problema matematiconoto come problema di Plateau . Una risposta soddisfacente a questoproblema e data dal seguenteTeorema (J. Douglas). Per ogni curva chiusa e semplice (cioe senzaauto-intersezioni) dello spazio ordinario, esiste almeno una superficie

1Il toro e definito da Proclo come la superficie generata dalla rotazione di uncerchio attorno ad una retta presa ad arbitrio nel suo piano. Il nome deriva dallatino terere: torus indicava, fra le altre cose, il cercine un tipo di cuscino a formadi ciambella. Della stessa radice il sardo conserva la parola su tidıli o su tirı, cerchiodi panno che una volta le donne mettevano sulla testa per attutire il peso di brocchee corbule.

Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883). Matemati-co e fisico belga. Ebbe come argomento della tesi lo studio del-l’effetto che la luce puo produrre sull’occhio. Per questa ragionedecise di esporsi alla luce solare diretta per circa 25 secondi, e fuin seguito a questo esperimento che egli divenne progressivamentecieco.


di area minima e di genere finito2 che si appoggia su tale contorno;inoltre questa superficie d’area minima non si autointerseca.C’e quindi una grande varieta di superfici minime che possono esserematerializzate mediante pellicole saponose, di forma prevedibilmenteanche piuttosto strana. Vogliamo qui, tra queste, mettere in eviden-za quelle piu semplici, piu simmetriche e cioe quelle di rotazione, chepresentano una simmetria assiale.Il CatenoideCostruiamo un supporto metallico formato da una coppia di circon-ferenze coassiali, che per comodita supporremo di ugual raggio, op-portunamente vicine, saldate a una impugnatura che ci permette diimmergerle nella soluzione saponosa.

Figura 4 – Una collana di Car-tier.

La forma della pellicola che si crea e sor-prendentemente elegante, simile, a pri-ma vista, alla superficie che si ottiene fa-cendo ruotare una parabola attorno aduna retta perpendicolare al suo asse disimmetria.In realta la superficie minima ottenuta ediversa, ma la somiglianza con il parabo-loide di rotazione e talmente grande cheanche Galileo ne venne tratto in ingan-no. Cerchiamo dunque di capire di chesuperficie si tratta.A tutti e capitato di vedere la curva de-scritta (in condizioni di equilibrio) dauna catena fissata ai suoi estremi e la-sciata pendere soggetta solo al propriopeso. Tale curva venne chiamata catenaria da Leibniz (qualcunosostiene da Huygens).

2Il genere di una superficie e il numero dei “buchi” che essa presenta. La primasuperficie nella Figura 2 si puo deformare con continuita in una ciambella (toro),che ha un buco e quindi ha genere 1. Le altre due hanno genere 0, potendo esseredeformate con continuita sino a formare un disco, che non ha buchi.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Matematico,filosofo, scienziato, diplomatico, giurista, storico, magistrato ebibliotecario tedesco. A lui si deve il termine funzione (coniatonel 1694) che egli uso per individuare varie quantita associate aduna curva. A Leibniz, assieme a Isaac Newton, vengono gene-ralmente attribuiti l’introduzione e i primi sviluppi del calcoloinfinitesimale.


Nella Figura 4 (che abbiamo scelto per il suo fascino estetico) si pos-sono osservare alcune curve (soprattutto quelle piu in basso) che sonoabbastanza vicine ad una catenaria.Se adesso facciamo ruotare questa curva attorno a un asse che non lainterseca, posto parallelamente e al di sotto della retta tangente a essanel punto piu basso, otteniamo una superficie di rotazione avente comebordo due circonferenze parallele, che viene chiamata catenoide, di cuila Figura 5 mostra una foto.

Figura 5 – Catenoide liquido.

Se si ha l’accortezza di scegliere l’assedi rotazione in modo che le tangenti al-la catenaria nei suoi estremi si incontri-no al di sopra dell’asse, come nella Fi-gura 6a, si puo verificare che il catenoi-de che si ottiene e effettivamente di areaminima, e quindi rappresenta il modellomatematico preciso della corrisponden-te lamina fluida. Questa osservazione sideve a Lindelof (cfr. [7], pag.11),che mise in evidenza come la minimalitacessi nel momento in cui le tangenti s’in-contrano sull’asse. In tal caso infatti l’a-rea del catenoide costruito e uguale alla somma delle superfici lateralidei coni di rotazione generati dai segmenti di tangente come mostra laFigura 6b.Sperimentalmente si osserva che la formazione del catenoide liquidodipende, una volta fissato il raggio R dei due anelli, dalla distanza dalla quale essi vengono posti. In particolare, se questi sono troppodistanti fra loro ciascuno costituira il contorno di un disco liquido,cioe nel complesso si osserva la formazione di due lenti. Per evitarela formazione delle due lenti basta porre gli anelli di raggio R a una

Christiaan Huygens (1629-1695). Matematico, astronomo efisico olandese. Famoso per la sua ipotesi circa la natura ondu-latoria della luce. Huygens preparo le fondamenta del calcoloinfinitesimale. Tramite deduzioni matematiche, calcolo, assiemea Newton, lo schiacciamento terrestre.

Lorenz Leonard Lindelof (1827-1908). Matematico e astrono-mo finlandese. Nato a Helsingfors (allora in Russia, oggi Helsinki,Finlandia). I suoi studi hanno riguardato la meccanica celeste, ilcalcolo delle variazioni, la geometria differenziale e la teoria deifondi pensione. Nel 1874 fu nominato consulente del ministerodell’istruzione finlandese. Il figlio, Ernst Leonard Lindelof, fu untopologo di fama internazionale.


(a) (b)

Figura 6 – (a) Le tangenti alla catenaria nei due estremi si incontrano primadell’asse di rotazione. (b) L’area del catenoide e pari alla sommadelle aree dei due coni.

distanza inferiore a d = 1.325487R. Il valore di d rappresenta il limiteoltre il quale si produce il collasso del catenoide e si originano duedischi.

Figura 7

Due circonferenze metalliche sufficiente-mente vicine fra loro possono invece deli-mitare la superficie del catenoide oppureun insieme di tre superfici minime comemostra la Figura 7.Possiamo evitare la formazione di que-st’ultimo sistema piu complicato di trefilm se, prima di estrarre il dispositi-vo dalla soluzione saponata, poniamo undito lungo l’asse degli anelli.

3. I ponti di Robert Maillart

Oltre a quella del catenoide esiste un altro tipo di minimalita a cuiconduce la catenaria.Invece di farla ruotare, possiamo traslare per un po’ la catenaria indirezione trasversa, ad esempio perpendicolare, al suo piano; in questomodo otteniamo una superficie che e detta superficie catenaria e cheha grande interesse nell’ingegneria.Infatti e possibile dimostrare per via geometrica che la catenaria rove-sciata e l’unica curva tale che la tensione del peso applicato su di essasi distribuisce lungo la tangente, scaricando tutto il peso sugli estremi.Di questa sorprendente proprieta fisica della catenaria fece ampio usol’ingegnere svizzero Robert Maillart (1872-1940) nella progettazione


delle sue rivoluzionarie costruzioni in cemento armato. Fra queste ri-cordiamo i ponti, ben noti agli ingegneri come ponti di Maillart; l’im-magine seguente e una foto del ponte Salgina-Tobel in Svizzera3. L’arcoportante, avendo appunto la forma di una superficie catenaria capovol-ta non subisce alcuno sforzo di flessione, ma trasmette solo forze dicompressione pura.

Figura 8 – Ponte Salgina-Tobel.

La forma semplice ed essenziale di queste strutture procuro a Maillartqualche critica da parte dei suoi colleghi che le vedevano piu espressionedi un genio artistico che non, come e di fatto, di una profonda cono-scenza delle forme, delle strutture, delle moderne tecniche costruttivee dei materiali. Maillart stesso cosı precisa il suo pensiero (cfr. [9]):“Possa dunque l’ingegnere . . . staccarsi dalle forme tradizionali, sortecon gli antichi materiali da costruzione, per raggiungere il massimosfruttamento del materiale in piena liberta e mirando solo all’insieme.Forse arriveremo . . . a ideare oggetti formalmente belli, come a dire unnuovo stile consono al nuovo materiale”.Di fatto, in conseguenza delle proprieta geometriche menzionate, perMaillart le due parti principali di cui la costruzione si compone, l’im-palcato stradale e l’arco portante (ossia il ponte) che sostiene il pianoviabile sul vuoto, costituiscono un’unita inscindibile: l’impalcatura none un peso morto che grava sulla struttura di sostegno ma, fondendosicon questa, a causa della sua forma, contribuisce concretamente allaresistenza della compagine reagente.

3Questo ponte venne realizzato nel 1930 per servire la popolazione di Schuders,una comunita alpina di una cinquantina di abitanti. Il progetto desto interes-se nell’ambito dell’esposizione dedicata all’ingegneria pura presso il Museo d’ArteModerna di New York, nel 1947.


4. Le tende di Otto Frei

L’architetto tedesco Otto Frei, nato a Siegmar nel 1925, e i suoi colla-boratori, fecero grande uso delle pellicole saponose per ottenere mem-brane iridiscenti dalle forme piu disparate e spettacolari da utilizzarenella progettazione. L’idea di far rivivere alcune di queste forme inopere architettoniche (facenti parte delle cosiddette costruzioni legge-re) nacque principalmente dalla constatazione che molte delle formeche la natura spontaneamente crea sono forme ottimali.Lo stesso Otto Frei invitava a . . . non imitare gli animali o forme natu-rali, ma comprendere le forti analogie che e possibile avere con la natu-ra, quindi applicare le conoscenze delle strutture naturali alle strutturedella tecnica [2]. Nel caso specifico, egli fece riferimento alle forme dellemembrane saponose sottese da strutture filiformi rigide o elastiche perdeterminare le forme ottimali delle architetture che dovevano elevarsisu un dato contorno.La struttura di base dei suoi cosiddetti “esperimenti a fili” consistevain un dispositivo costituito da aghi di diversa altezza, conficcati inuna placca di plexiglas, all’estremita dei quali venivano tesi dei filisottilissimi. Immergendo tale dispositivo in una soluzione saponata, lapellicola di sapone che si formava su questo singolare contorno, era unasuperficie di area minima avente la forma di una tenda, come mostranole le immagini nella Figura 9.

Figura 9 – Modellini per la costruzione delle tende.

Per trasferire le splendide forme cosı ottenute in strutture reali occorre-va eseguire, tramite apparecchiature specializzate, una serie di misure.I metodi di rilievo geometrico sul modello in pellicola di acqua sapono-sa erano sostanzialmente di tipo fotogrammetrico, e consistevano nelproiettare sulla superficie un reticolo di punti, per registrare poi, foto-graficamente, l’inclinazione dei raggi riflessi e cosı ricavare le coordinatedei singoli punti. A questo punto veniva realizzato un modellino sulquale potevano essere effettuate le prove di collaudo.


Nelle costruzioni reali, cavi d’acciaio altamente resistenti andavano asostituire i fili che nell’esperimento facevano da supporto alla pellicoladi sapone. Sul modello di quest’ultima veniva realizzato il tetto del-la costruzione, che era costituito di una tenda in materiale sinteticotrasparente, tesa su una rete di sostegno in cavi d’acciaio, fissati allasommita di piloni di sostegno. L’armatura metallica era costituita dacavi presollecitati disposti secondo le due direzioni di massima e di mi-nima curvatura (le direzioni principali), poiche secondo queste direzionivenivano dirette le sollecitazioni principali. La presollecitazione dei ca-vi d’acciaio doveva essere tale da assicurare l’uniforme ripartizione delcarico superficiale.La peculiarita delle grandiose realizzazioni di Otto Frei, quali il Padi-glione della Germania occidentale all’Expo ’67 di Montreal e lo StadioOlimpico di Monaco di Baviera (1972), sta proprio nel fatto che il tet-to ha l’aspetto di una tenda sospesa a forma di sella. Da cio derivala denominazione data in architettura a tali coperture, dette appuntovolte sottese presollecitate a forma di sella.

Figura 10 – Stadio Olimpico di Monaco di Baviera (1972).

E importante sottolineare come la stabilita di tali coperture dipenda(ancora una volta) essenzialmente dalla loro forma. Infatti, poiche neipunti della copertura in cui si incrociano i cavi hanno curvature oppostedel tipo mostrate in Figura 11, essi si scambiano una mutua azione pereffetto della pretensione, determinando in ogni punto la condizione distabilita.Dunque, la scelta di questo tipo di volta da parte di Otto Frei none casuale, ma e dovuta al fatto che in tal modo si possono realizzarecoperture (permanenti o temporanee) di gran luce, leggerissime, in cuiil peso proprio diviene trascurabile in rapporto ai carichi accidenta-li (quali vento e neve). Inoltre, in confronto alla maggior parte dellestrutture classiche nelle quali (per ovviare a problemi relativi alla sta-bilita) si impiega una enorme quantita di materiali, le opere di Otto


Figura 11 – I cavi della copertura (in blu) hanno curvature opposte.

Frei risultano essere molto economiche. Le strutture leggere apparten-gono infatti alla categoria delle “costruzioni naturali”, quelle ottenutecon processi di formazione analoghi a quelli della natura, la quale siesprime e sviluppa i suoi fenomeni col minimo dispendio di energia4.Dall’architettura, seguendo il filo conduttore delle superfici minime,passiamo ora alla scultura.

5. Le sculture di Helaman Ferguson

Quando si parla di quest’arte il pensiero di molti corre subito a qualchestatua in pietra che di tanto in tanto uno vede, uscendo di casa, nelgiardino del vicino, o a un’opera in bronzo che abbiamo recentementeammirato in un museo.Non e cosı, forse, per gli abitanti di Breckenridge (Colorado) dove,da nove anni, ha luogo il Campionato Internazionale di Scultura inGhiaccio. Da giganteschi blocchi di neve compattata di venti tonnellatedi peso, nascono opere meravigliose che pero non durano in eterno.All’edizione svoltasi nel Gennaio del 1999 ha partecipato anche unasquadra composta da quattro matematici e da uno scultore, HelamanFerguson, che ha realizzato una delle superfici minime di piu recenteapparizione, scoperta nel 1983 dal matematico brasiliano Celso Costa.

Ferguson e noto per aver realizzato diverse sculture matematiche, inpietra e in altri materiali, sul tema delle superfici minime e natural-mente ci si puo chiedere il perche di tanto interesse verso tali superfici.

4Per avere un’idea della differenza di costo basta ricordare che, per coperturedi 100 mt di luce, l’impiego d’acciaio e di circa 150 Kg/mq per quelle tradizionali,inferiore ai 6 Kg/mq per le volte sottese.


Figura 12 – Superficie di Costa in ghiaccio.

La risposta, ancora una volta, sta proprio nella forma a sella che esse(come abbiamo piu volte detto) assumono nell’intorno di ogni punto eche, unita alla resistenza compressiva della pietra, permette che questomateriale abbia alcune proprieta importanti. Ad esempio, le paretidi una scultura in marmo raffigurante una superficie minima possonoessere rese abbastanza sottili.In un articolo apparso in The Mathematical Intelligencer (cfr. [3]),Ferguson descrive questa sua esperienza di scultura nel ghiaccio. Egliconstata che anche la neve compattata ha la stessa proprieta; non solo,le superfici minime realizzate si scioglievano attraverso un progressivoassottigliamento delle pareti, conservando pero intatta la loro struttura.Questo fatto venne riosservato “in grande” da Ferguson la settimanasuccessiva all’evento. Le altre sculture presenti in gara sciogliendosiperdevano velocemente tutti i loro dettagli ma, “l’invisibile stretta dimano” (cosı venne chiamata la superficie di Costa) li mantenne fin tantoche non si liquefece completamente. Ferguson attribuı questa singolarestabilita strutturale al fatto che le curvature principali di una superficieminima sono di segno opposto (cioe la sua curvatura di Gauss, che edata dal loro prodotto, e negativa o nulla).

6. La curvatura media

Come si sa, uno degli scopi principali della matematica e la ricercae, se possibile, la catalogazione, cioe la classificazione, di tutti gli og-getti matematici (ad esempio curve, superfici) che soddisfano a unacerta proprieta. Nel nostro caso, si tratta di tradurre in equazioni ilproblema della ricerca delle superfici di area minima. Di fatto, esiste


l’equazione delle superfici minime5; non solo, si conosce anche la solu-zione generale di questa equazione. Ma essa e di tale complessita darisultare praticamente inutilizzabile6.Fortunatamente e possibile dare all’equazione delle superfici minimeun’interpretazione geometrica che fornisce anche uno strumento utileper lo studio di tali superfici.Possiamo servirci ancora delle lamine fluide per passare a questo nuovopunto di vista.Osservando una pellicola di sapone notiamo che il suo tempo di vita e dipochi secondi, durante il quale si trova in condizione di equilibrio. Ciosignifica che se la consideriamo come elemento di separazione tra duemezzi (aria-aria), omogenei in equilibrio, questi in ogni punto esercitanosul film pressioni uguali ed opposte.Se ora su una piccola zona di una pellicola saponosa esercitiamo (daidue lati) pressioni diverse, notiamo subito che la superficie si deforma(si incurva) in modo differente; in particolare, maggiore e la pressione,maggiore e la flessione della superficie. C’e quindi un legame strettotra l’equilibrio delle pressioni che tengono in vita la superficie e il modoin cui essa e incurvata nelle diverse direzioni (tangenti alla superficie).Tale legame e descritto dalla formula di Poisson-Laplace

(6.1) P = TH,

in cui T rappresenta la tensione superficiale del film, con P = P1 − P2

si denota la differenza di pressione esercitata sulle due facce della pel-licola, mentre H rende conto della particolare flessione assunta dallasuperficie e viene detta curvatura media. Questa equazione fisica, as-sieme alle considerazioni precedentemente fatte, ci portano quindi aconcludere che per l’esistenza della pellicola deve aversi P = 0 e quin-di, essendo T 6= 0, occorre che si abbia H = 0 in ogni punto dellasuperficie. Dunque H misura lo scarto dalla minimalita.

5L’equazione delle superfici minime

fxx(1 + f2y )− 2fxfyfxy + fyy(1 + f2

x) = 0

e una condizione necessaria e sufficiente affinche il grafico di una funzione f : Ω ⊂R2 → R, di classe C2, abbia l’area minore o uguale dell’area del grafico di unaqualsiasi altra funzione g : Ω ⊂ R2 → R sempre di classe C2 e con gli stessi valorial contorno di Ω. Tale equazione fu trovata da J.L. Lagrange nel 1760 (cfr. [6]).

6Si deve a G. Monge la prima ricerca delle soluzioni dell’equazione delle superficiminime (cfr. [8]).


Nella geometria differenziale moderna sono chiamate superfici minimele superfici con curvatura media H uguale a zero in ogni punto.

In un prossimo articolo presenteremo la nozione geometrica di curvatu-ra media ed una illustrazione storica dei risultati piu importanti dellateoria delle superfici minime.

Riferimenti bibliografici

[1] J.P. Bourguignon, H.B. Lawson, C. Margerin, Les surfaces minimales, inLes Mathematiques Aujourd’hui, Bibliotheque pour la Science, Librairie Belin(1984).

[2] A. Capasso, M. Majowiecki, V. Pinto, Le tensostrutture a membrana perl’architettura, Maggioli Editore, Rimini, 1993.

[3] H. Ferguson, C. Ferguson, T. Nemeth, D. Schwalbe, S. Wagon, InvisibleHandshake, Math. Intell. 21 (1999), 30-34.

[4] A.T. Fomenko, A.A. Tuzhillin, Elements of the geometry and topology ofminimal surfaces in three-dimensional space, Translations of MathematicalMonographs, 93. American Mathematical Society, Providence, RI,

[5] S. Hildebrandt, A. Tromba, Mathematiques et formes optimales, Pour laScience, Diffusion Belin, Paris, 1986.

[6] J.L. Lagrange, Essai d’une nouvelle methode pour determiner les maxima et lesminima des formules integrales indefinies, Miscellanea Taurinensia 2 (1760),173-195.

[7] L. Lindelof, Sur les limites entre lesquelles le catenoide est une surface minima,Math. Ann. 2 (1870), 160-166.

[8] G. Monge, Memoire sur le calcul integral des equations aux differencespartielles, Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, 1787, [presentato nel 1784].

[9] C. Siegel, Struttura e forma nell’architettura moderna, Traduzione eadattamento del Dr. Ing. Giorgio Andreon, Edizioni C.E.L.I., Bologna, 1968.

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