fondamentiIdraulica321 libro

5/11/2018 fondamentiIdraulica321 libro - slidepdf.com

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FONDAMENTI DI IDRAULICA

A. A. 2009-2010

1. I FLUIDI 51.1 GENERALITÀ 51.2 GLI SFORZI 61.3 PROPRIETÀ FISICHE DEI FLUIDI 91.3.1 TABELLA RIASSUNTIVA 151.4 U NITÀ DI MISURA 16

2. IDROSTATICA 182.1 EQUAZIONE DELL’EQUILIBRIO IDROSTATICO 182.2 MISURA DELLA PRESSIONE 19

2.3 SPINTA SU SUPERFICI PIANE 212.4 SPINTA SU SUPERFICI CURVE 232.4.1 SPINTA SU MEZZO TUBO AD ASSE VERTICALE 252.5 EQUILIBRIO DEI GALLEGGIANTI 262.6 EQUILIBRIO RELATIVO 27

3. IDRODINAMICA 293.1 CARATTERI DEL MOTO DEI FLUIDI 293.2 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ 303.3 EQUAZIONE DEL MOTO 313.3.1 DERIVATA SOSTANZIALE E DERIVATA TOTALE 313.3.2 EQUAZIONE I NDEFINITA DEL MOTO PER FLUIDO PERFETTO ( EQUAZIONE DI EULERO ) 333.3.3 EQUAZIONE DI BERNOULLI 343.3.4 CORRENTE GRADUALMENTE VARIATA 35

4. FORONOMIA 394.1 LUCE DI FONDO 394.2 PARATOIA PIANA 394.3 LUCE DI COMUNICAZIONE TRA DUE SERBATOI 404.4 LUCE A BATTENTE IN PARETE VERTICALE 404.5 LUCE A STRAMAZZO 414.6 TUBO DI PITOT 434.7 MISURATORE A GOMITO 44

5. EQUAZIONE DI BERNOULLI GENERALIZZATA 455.1 ESTENSIONE AI FLUIDI R EALI 465.2 MISURATORI DI PORTATA 475.2.1 TUBO CONVERGENTE 475.2.2 DIAFRAMMA 475.2.4 BOCCAGLI 48

6. IL MOTO DEI FLUIDI R EALI 496.1 CRESCITA DELLO STRATO LIMITE 496.2 MOTO UNIFORME: FORMULA DI DARCY - WEISBACH 516.3 R EGIME LAMINARE 526.3.1 R EGIME LAMINARE DI LIQUIDO NEWTONIANO 536.3.2 R EGIME LAMINARE DI LIQUIDI NON NEWTONIANI 546.4 R EGIME TURBOLENTO 556.4.1 MOTO TURBOLENTO IN TUBO LISCIO 576.4.2 MOTO TURBOLENTO PURO 58

6.4.3 MOTO TURBOLENTO MISTO 58



Luigi Natale - Fondamenti di Idraulica

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6.5 CENNI STORICI 596.5 LE LEGGI CLASSICHE DI R ESISTENZA AL MOTO 596.5.2 LA FORMULA DI CHEZY 606.5.3 LA FORMULA DI MANNING 616.5.4 LE FORMULE PRATICHE 62

7. L’EQUAZIONE GLOBALE DELL'EQUILIBRIO IDRODINAMICO 647.1 IL TEOREMA DEL TRASPORTO 647.2 IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA 657.3 IL TEOREMA GLOBALE DELL’IDRODINAMICA 657.4 APPLICAZIONI 677.4.1 LA BOCCA DI BORDA 677.4.2 IL CARRELLO A GETTO 68

8. PERDITE LOCALIZZATE 708.1 PERDITA PER BRUSCO ALLARGAMENTO 708.2 PERDITA DI IMBOCCO 718.3 PERDITA PER RESTRINGIMENTO 71

8.4 PERDITA PER ALLARGAMENTO RACCORDATO 728.5 PERDITA NEI GOMITI 728.6 PERDITA CAUSATA DA UNA PARATOIA 73

9. LE MACCHINE IDRAULICHE 749.1 TURBINE 749.2 POMPE 759.2.1 POMPE IN SERIE E IN PARALLELO 78

10. CONDOTTE 7910.1 CONDOTTE IN DEPRESSIONE: MOTO A CANALETTA 7910.2 LUNGHE CONDOTTE 8010.3 SISTEMI DI CONDOTTE 80

11. SVILUPPO DELLE FORMULE DI RESISTENZA AL MOTO 8211.1 MOTO TURBOLENTO IN TUBO LISCIO 8211.1.1 DIAGRAMMA DELLA VELOCITÀ 8411.2 MOTO TURBOLENTO PURO 8511.3 MOTO TURBOLENTO MISTO 8511.4 LA SCABREZZA SUPERFICIALE 86

12. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL MOTO DEI FLUIDI 8912.1 L’EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA 8912.2 LE EQUAZIONI DEL MOTO 8912.2.1 L’EQUAZIONE DEGLI SFORZI 8912.2.2 IL MOVIMENTO E LA DEFORMAZIONE DELLA MASSA FLUIDA 90

12.3 LA LEGGE DI NEWTON E L'EQUAZIONE DEL MOTO LAMINARE 9312.4 L'EQUAZIONE DEL MOTO IRROTAZIONALE DEL FLUIDO PERFETTO 9412.5 L'EQUAZIONE DEL TRASPORTO 96

13 IL MOTO TURBOLENTO 9713.1 IL TRASPORTO DELLA VORTICITÀ 9713.2 IL MOTO MEDIO 9913.3 L’EQUAZIONE DELLA CONTINUITÀ 10013.4 L’EQUAZIONE DEL MOTO 101

14. BIBLIOGRAFIA 105

15. LISTA DELLE FIGURE 106

16. LISTA DEI SIMBOLI 109




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I mean to show things as they are,

Not as they ought to be.

Don Juan, canto XII, stanza 40

PREMESSA

Il testo seguente svolge gli argomenti dell’insegnamento di FONDAMENTI DI IDRAULICA tenutonell’Anno Accademico 2007-08 agli studenti del II Anno del Corso di Laurea di Ingegneriadell’Ambiente e del Territorio nella sede di Mantova dell’Università di Pavia.

La trattazione è resa in forma estesa ma non discorsiva e, quindi, lo studio delle dispense deve

essere integrato dalle considerazioni svolte in aula dall’insegnante e dai pochi grafici esplicativitracciati alla lavagna nel corso delle lezioni.

Nei Capitoli 11 e 12 e in alcuni paragrafi di altri capitoli le dispense propongono argomenti chenon sono svolti a lezione, in quanto non rientrano nel programma di Fondamenti di Idraulica;tuttavia, essi costituiscono un utile completamento delle conoscenze dei temi fondamentalidell’Idraulica e della Meccanica dei Fluidi.

Benché l’esame finale di Fondamenti di Idraulica consista nello svolgimento guidato di probleminumerici, raccomandiamo agli studenti di acquisire le elementari conoscenze teoriche della I-draulica senza le quali la soluzione corretta di ogni problema risulta puramente aleatoria.

Nel testo i termini tecnici e le parole chiave sono evidenziati in rosso mentre i simboli delle va-

rie grandezze sono scritti in blu. Le quantità scalari sono scritte in formato normale, i vettori so-no in grassetto e i tensori sono rappresentati in grassetto contornato.

.




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1. I FLUIDI

1.1 GENERALITÀ

Nella interpretazione della meccanica classica adottata dall’Idraulica e dalla Scienza delle Co-struzioni, il volume FLUIDO e il corpo SOLIDO sono idealizzati come MEZZI CONTINUI IN E-QUILIBRIO TERMODINAMICO.

Nella realtà fisica fluidi e solidi sono mezzi discontinui costituiti da molecole distanti tra loroche si muovono in continuazione. Poiché i movimenti molecolari sono di molti ordini di gran-dezza più piccoli delle dimensioni minime che interessano nei problemi di idraulica, le proprietàdel corpo sono definite come media delle proprietà dell’insieme di molecole, tra loro interagenti,che occupa ogni piccola porzione del corpo medesimo: da ciò deriva la rappresentazione fisico – matematica di mezzo continuo in ogni punto del quale le proprietà del corpo sono uguali a quel-le medie. Come vedremo nel seguito, considerare il mezzo continuo implica postulare che, alla

superficie di contatto fluido - solido, il fluido acquista la medesima velocità del corpo solido(condizione di aderenza): nella realtà, invece le molecole dei due corpi sono libere di muoversi edi interagire tra loro.

Il SOLIDO ha una forma e un volume definito che si deforma con velocità trascurabile e:

- lo stato tensionale interno è legato al cambio di forma del corpo,

- durante la deformazione si sviluppano sforzi tangenziali legati alla deformazione,

- in condizioni statiche esistono sforzi tangenziali che tendono a ripristinare la forma origina-ria del corpo.

Nel FLUIDO lo stato tensionale interno è legato al movimento del corpo (Fig.1.1):- nel corpo che si deforma allontanandosi dalla originaria posizione di quiete si sviluppano

sforzi tangenziali legati alla VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE,

- in condizioni di quiete NON esistono sforzi tangenziali e il volume fluido non ha forma propria.

I Fluidi si dividono in:

- LIQUIDI si distinguono dai gas in ragione della coesione esitesente tra le loro molecole. I li-quidi, pur non avendo forma propria, mantengono il proprio volume e, se sono a contatto diun ga, presentano una riconoscibile superficie di separazione o superficie libera; essi sono

poco comprimibili e hanno densità poco variabile.- GAS la cui densità varia facilmente con pressione e temperatura secondo modalità definite

con l'equazione di stato:

f (p, v, T) = 0

che lega tra loro: pressione, volume specifico, che è l’inverso della densità v = 1/ρ , e tempera-tura. Pertanto, i gas non hanno nè forma nè volume proprio ma tendono a riempire completa-mente il loro contenitore.

Il corso di Fondamenti di Idraulica considera liquidi incomprimibili e con densità costante.

Le caratteristiche del Fluido e del suo moto si misurano con riferimento alle grandezze fonda-mentali indicate qui sotto con le loro unità di misura:




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- Lunghezza [ m ] per la misura delle proprietà geometriche del corpo,

- Tempo [ s ] per la misura delle proprietà cinematiche del corpo,

- Forza [ N ] , utilizzata per nostra comodità in luogo della Massa [ kg ], per la misura delle

proprietà dinamiche del corpo,- Temperatura [ K ] per la misura delle proprietà temiche del corpo.

Al volume fluido V definito da una superficie di contorno σ sono applicate due categorie di for-ze come è illustrato in Fig.1.2:

- forze di massa F , come ad esempio la forza di gravità, che sono date dall'integrale esteso aV della forza f per unità di volume [ N m-3 ]:

F =⌡⌠

V f d V (1.1)

- forze di superficie S che sono date dall'integrale esteso a σ di tn , forza per unità di superficieo sforzo unitario [ N m-2 ]:

S = ⌡⌠

σ tn d σ (1.2)

1.2 GLI SFORZI

Le forze applicate al volume fluido o, in generale, al corpo continuo deformabile si distribuisco-no all’interno del corpo medesimo sottoponendolo a uno stato di sforzo la cui descrizione con-

sente di calcolarne le reazioni a fronte delle sollecitazioni esterne.La trattazione seguente si riferisce a un generico mezzo continuo deformabile, fluido o solidoche sia, in quanto è indipendente dalle modalità di deformazione del corpo che sono descrittedalle EQUAZIONI COSTITUTIVE del materiale di cui il corpo è fatto, le quali legano gli sforzi alledeformazioni.

Lo SFORZO tn = tn (x, y, z, n) che si esercita su un elemento di superficie passante per un generi-co punto P dipende: (1) dalla posizione (x, y, z) del punto nello spazio, (2) dalla giacitura dellasuperficie, ossia dalla direzione n del versore normale all’elemento di superficie, centrato in P,sul quale si esercita lo sforzo. Per convenzione si considera positiva la direzione della normaleuscente, come indicato in Fig.1.2.

Segue dalla definizione che, per una assegnata posizione P, lo sforzo tn cambia in direzione emodulo al variare dell’orientamento della superficie sulla quale si esercita, come è dimostratoscrivendo la condizione di equilibrio del TETRAEDRO DI CAUCHY, indicato nella Fig.1.3a chemostra solo il piano x – z per semplificare la rappresentazione grafica:

tn dA = tx [dA cos (nx) ] + ty [dA cos (ny) ] + tz [dA cos (nz) ]

da cui, semplificando:

tn = tx nx + ty ny + tz nz (1.3a)

ove, per i coseni direttori, sono utilizzati i simboli:




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nx = cos (nx)

ny = cos (ny)

nz = cos (nz)

Per rendere più compatta la relazione (1.3a) che ha la forma di un prodotto scalare, si possonoscrivere i coseni direttori come componenti del VETTORE (tensore del primo ordine):

| nx |

n = | ny | = nx i + ny j + nz k

| nz |

mentre i tre vettori tx , ty , tz si possono scrivere come componenti del TENSORE (del secondoordine):

| tx | | txx txy txz |

= | ty | = | tyx tyy tyz | (1.4a)

| tz | | tzx tzy tzz |

oppure nella forma:

= tx i + ty j + tz k = ( txx i + txy j + txz k ) i + ( tyx i + tyy j + tyz k ) j + ( tzx i + tzy j + tzz k ) k

Il significato degli indici degli elementi della matrice, come è evidenziato nella Fig.1.8 che rappresenta per semplicità solo il piano x – z, deriva dalle seguenti convenzioni:

- orientamento destrorso del verso delle componenti,

- il primo indice è riferito alla direzione della normale al piano su cui agisce lo sforzo,- il secondo indice è riferito alla direzione della componente dello sforzo.

Ne segue la forma compatta:

tn = . n (1.3b)

che, quando è svolta per esteso, assume la forma:

tn = ( txx nx + tyx ny + tzx nz ) i + ( txy nx + tyy ny + tzy nz ) j + ( txz nx + tyz ny + tzz nz ) k

Il teorema di Cauchy definisce compiutamente con le (1.3) lo stato di sforzo nel generico puntodel corpo.

Il tensore di sforzo gode di alcune utili proprietà.

Dall’equilibrio alla traslazione di una porzione di corpo di spessore tendente a zero, si riconoscefacilmente che gli sforzi agenti sulle facce opposte della medesima superficie sono uguali e con-trari:

tn = - t - n

Dall’equilibrio alla rotazione del volumetto di Fig.1.8 si riconosce:

t xz = t zx

Procedendo analogamente sui piani x-y e y-z si ottiene:




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t xy = t yx

t yz = t zy

Dunque, il tensore dello sforzo è simmetrico e gli elementi non identici della matrice passano

dai 9 di (1.4a) ai 6 di (1.4b) e prendono il nome di componenti di Lamé.| txx txy txz |

= | txy tyy tyz | (1.4b)

| txz tyz tzz |

Come meglio vedremo in seguito, in condizioni di quiete esistono nel fluido solo sforzi normali:dimostriamo che il loro modulo è indipendente dalla giacitura della faccia (Fig.1.3b).

Sulle facce parallele ai piani coordinati i vettori sforzo sono definiti come prodotto del loro mo-dulo per il vettore unitario nella direzione dell'asse coordinato:

tx = txx i ; ty = tyy j ; tz = tzz k Inizialmente, ammettiamo che moduli degli sforzi normali siano disuguali tra loro.

Prese le componenti di tn nelle direzioni x, y, z, per l'equilibrio delle forze agenti sulle facce deltetraedro otteniamo, proiettando nelle tre direzioni:

tx (dA nx ) = ( t n nx ) dA

ty (dA ny ) = ( t n ny ) dA

tz (dA nz ) = ( t n nz ) dA

da cui si ricava che l'entità dello sforzo non dipende dalla giacitura dell'elemento:

t n = tx = ty = tz = p

La matrice delle componenti del tensore degli sforzi nel liquido in quiete (tensore dello sforzo pressorio) risulta, per quanto visto sopra:

| 1 0 0 |

= - p | 0 1 0 | = - p (1.4c)

| 0 0 1 |

ove è la matrice identità delle componenti del tensore unitario: il segno della pressione è nega-tivo in quanto, per la convenzione che riprenderemo in Cap.2, la PRESSIONE p è assunta diretta

come la normale entrante. Inserendo la (1.4c) nella (1.3b) otteniamo:tn = - p . n = -p ( nx i + ny j + nz k ) = - p n

Il modulo dello sforzo (pressione) in un punto del liquido in quiete dipende solo dalla posizionedel punto e si misura in [ Pa ] equivalente a [ N m-2 ].

Quando ricaveremo le equazioni del moto nei Cap.3 e 12, troveremo utile la tradizionale scomposizione del tensore di sforzo in due parti: tensore dello sforzo pressorio e TENSORE DELLO

SFORZO VISCOSO :

= - p + (1.5)

La relazione (1.5) si riduce alla (1.4c) quando il fluido è in quiete oppure è ipotizzato non visco-




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so come vedremo in Cap.3.

Riconosciamo immediatamente che:

τij = tij i ≠ j

τii = tii - p

che dà, scrivendo per esteso la matrice delle componenti dello sforzo viscoso:

| τxx τxy τxz |

= | τxy τyy τyz | (1.4d)

| τxz τyz τzz |

1.3 PROPRIETÀ FISICHE DEI FLUIDI

DENSITÀ: è definita dal simbolo ρ , ha le dimensioni di (F L-4

T 2

) e si misura in [ N m-4

s2

] ovve-ro in [ kg m-3

] con riferimento alle unità di misura di § 1.4. La densità del corpo dipende dalla pressione p alla quale esso è sottoposto e dalla sua temperatura T. La legge del gas perfetto dà:

p = ρ R T

ove R è la costante del gas, essendo R = R u/Mm, con R u costante universale dei gas e Mm pesomolecolare del gas. alcuni valori sono dati nella tabella seguente.

(1) la densità del ghiaccio a 0 °C è 917 è [ kg m -3](2) acqua di mare con salinità del 35 ‰

In particolare:

ρ = 1000 [ N m-4

s2 ]

per l'acqua a 4°C e alla pressione atmosferica; comunque, tale valore si può ritenere approssima-tivamente costante nel campo delle pressioni considerate nella pratica e nel campo delle tempe-rature T comprese tra 0 °C e 40 °C come si osserva nella tabella precedente che fornisce la den-

sità dell'acqua dolce, dell'acqua salata e dell'aria al variare della temperatura.

FluidoTemperatura

[°C]Densità

ρ [kg m-3]

Acqua dolce(1)

0 999.94 1000.0

10 999.715 999.120 998.225 997.130 995.740 992.2

Acqua salata (b) 0 1028.020 1024.0

Aria 0 1.293

20 1.20540 1.128




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Spesso, viene utilizzata nei calcoli ingegneristici la densità relativa che è adimensionale ed è de-finita come rapporto tra la densità del liquido all'esame e la densità dell'acqua a 4 °C.

PESO SPECIFICO: è definito dal simbolo γ , ha le dimensioni di (F L-3 ) e si misura in [ N m

-3 ] :

γ = g ρ = 9806 [ N m-3

] per l'acqua, essendo g l'accelerazione di gravità: g = 9.806 [ m s

-2 ] . Il peso specifico di un liqui-

do si misura con lo strumento chiamato densiometro, che si basa sul principio di Archimede. Ilgrado di immersione dello strumento, che è costituito da un ampolla appesantita che termina conun'asta graduata, dà la misura del peso specifico.

COMPRIMIBILITÀ: viene definita dal modulo di elasticità di volume Ε e indica come una varia-zione della pressione p esercitata, a temperatura costante, sul volume fluido ne cambia la densi-tà:

Ε=

ρ(

∂ p

∂ ρ

) T (1.6)

Il modulo di elasticità di volume Ε si misura in [ Pa ] poiché ha le dimensioni della pressione, evale:

Ε = 2.2 109 [ Pa ]

per l’acqua a 20°C; questo valore si mantiene pressoché invariato fino alla temperatura di 45°C.

Il suono si propaga nel fluido come un’onda di pressione e la sua velocità di propagazione dipende dal modulo di elasticità del fluido secondo la relazione:

c = Ε / ρ

TENSIONE SUPERFICIALE: ogni molecola del liquido è attratta dalle molecole che la circondanoda ogni parte; ne segue che le molecole che stanno sulla superficie libera, e non hanno molecolesopra di loro, possono essere attratte soltanto dalle molecole sottostanti e la superficie libera su-

bisce una trazione verso l'interno del liquido: le bolle d'aria in acqua e le bolle di sapone in ariasono perfettamente sferiche per racchiudere il loro volume con la minima superficie di contornoe meglio resistere alla pressione prima di scoppiare. Il fenomeno è idealizzato ammettendo chela superficie libera costituisca una sottilissima pellicola che resiste a ogni tentativo di aumentar-ne l'estensione opponendo una forza chiamata tensione superficiale: la tensione superficiale s hale dimensioni ( F L

-1) e si misura in [ N m

-1 ]. La tensione superficiale mantiene a una pressione

superiore a quella dell'ambiente circostante, il gas contenuto all'interno della bolla di sapone a-

vente raggio R [m]. La differenza di pressione ∆ p [ N m-2

] si calcola considerando che le duemetà della bolla di Fig. 1.4a si separano solo quando la bolla scoppia. Pertanto, in condizioni diequilibrio, la spinta sulla faccia interna della semibolla deve essere uguale alla forza che tieneunite le due semibolle in corrispondenza di una generica circonferenza equatoriale. Per quanto sivedrà in § 2.4, l'equilibrio tra la forza che gonfia la semibolla dall'interno e quella che si opponeall'aumento della circonferenza della bolla, si scrive come:

∆ p π R 2 = 2 π R s

Si riconosce immediatamente che la tensione superficiale s è un vettore con direzione normale al piano equatoriale della bolla e verso opposto alla risultante delle pressioni interne alla semibolla.La pressione all'interno della bolla è dunque:




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∆ p =2 sR (1.7a)

La tensione superficiale dell'acqua diminuisce con la temperatura secondo la relazione ove latemperatura è data in [ °C]:

sa = 0.0755 - 0.0001569 T [ N m-1] (1.7b)

Per l'acqua a contatto con l'aria alla temperatura di circa 20°C si ha dunque:

sa ≈ 0.0725 [ N m-1]

La tensione superficiale svolge la sua azione anche quando il volume di liquido è a contatto conuna superficie solida. L'angolo che la superficie libera forma al contatto con il solido dipendedalla coesione tra le molecole di liquido e dalla adesione del liquido al solido. Se l'angolo dicontatto, indicato con β in Fig.1.4b, è inferiore a 90° si dice che il liquido bagna il solido; alcontrario, se β>90° il liquido non lo bagna; ad esempio, l'acqua bagna il vetro pulito ma non lo

bagna se è passato a cera e i detersivi contengono sostanze che riducono la tensione superficialedei tessuti per consentire all'acqua di meglio penetrare nel loro ordito. Su una superficie di paraf-fina o di teflon, per la quale cos β è negativo, la tensione superficiale trattiene il liquido facendo-lo raccogliere in gocce. Sulla pelle umana non c’è effetto di tensione superficiale.

La CAPILLARITÀ è un importante effetto della tensione superficiale: se il liquido contenuto in untubo ne bagna le pareti, come accade all'acqua in un tubo di vetro pulito, esso forma un MENI-

SCO concavo - β<90° - e la pressione dell'acqua alla superficie libera risulta inferiore a quellaatmosferica causando la risalita dell'acqua nel tubo fino a ristabilire l'equilibrio delle forze allasuperficie libera; al contrario, il liquido che non bagna il tubo forma un menisco è convesso - β>90° - e deprime la superficie libera come mostra la Fig.1.4c.

L'innalzamento del liquido nel tubo si calcola osservando che l'aderenza liquido - solido "trasci-na" il il liquido contenuto del tubo verso l'alto mentre il peso proprio fa scendere il liquido versoil basso. La condizione di equilibrio fornisce:

s ( 2 π R ) cos β = γ ( π R 2

) h (1.7c)

Per l’acqua, essendo circa nullo l’angolo di inclinazione della superficie libera al contatto conuna parete di vetro o di metallo, si pone cos β ≈ 1 e quindi si ottiene:

ha =2 sγ R

=15 10

-6

R [ m ]

Diversamente dall’acqua il mercurio ha tensione superficiale:sm = 0.0484 [ N m

-1 ]

e l'angolo di contatto con il vetro è:

β ~150° ossia cos β = -0.85

per cui dalla (1.6c) si ricava:

hm =2 s cosβ

γ R ≈ -

8.4 10-6

R [ m ]

VISCOSITÀ: si oppone al movimento del fluido dando origine agli sforzi di resistenza al moto. Nell’esempio di Fig.1.5 si immagina che il liquido sia confinato tra due piastre parallele; la dif-




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ferenza di velocità tra le due piastre (la superiore trasla nel suo piano con velocità u0 mentre lainferiore rimane ferma) induce la deformazione del fluido; per fissare le idee consideriamo che ilfluido si muova nella direzione x e che abbia su due filetti adiacenti, tra loro distanti dy , veloci-tà u e u + (du/dy) dy .

A causa della viscosità del fluido la deformazione indotta nel fluido genera lo sforzo tangenzialeτyx per il quale Newton nel 1686 ha proposto la relazione costitutiva:

τyx = µ d ud y (1.8a)

che, essendo u = d xd t , può essere scritta come:

τyx = µ dd t (

d xd y ) = µ

d ϕd t (1.8b)

ove d ϕ/d t è la VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE ANGOLARE.Il coefficiente µ è chiamato coefficiente di VISCOSITÀ DINAMICA, ha dimensioni (F L

-2T), si mi-

sura in unità dette Poiseuille [Pl ] che equivale a [ N s m-2 ] o a [Pa s]. La viscosità dinamica dipende dalla temperatura; la relazione di Poiseuille fornisce valori approssimati con errori diqualche percento:

µ =0.00179

1 + 0.03368 T + 0.000221 T2 (1.9)

con T [ °C ]. Il valore corretto per l'acqua a 20 °C è:

µ = 0.001005 [ Pl ]

Talvolta, nella pratica tecnica si trova la viscosità dinamica definita in poise P o centipoise cP che equivalgono rispettivamente a: 10 P = Pl , 1000 cP = Pl .

Il coefficiente ν è chiamato coefficiente di VISCOSITÀ CINEMATICA, ha dimensioni (L2

T-1), si

misura in [ m2

s-1

] e vale per l'acqua a 20 °C:

ν = µ / ρ =1 10-6 [ m

2s

-1 ]

Nella pratica viene usata anche l’unità di misura detta stoke S oppure il suo centesimo, centisto-ke cS, essendo: 1 stoke = 10

-4 [ m

2 s

-1 ]; quindi la viscosità cinematica dell’acqua è di un centi-

stoke.

Notiamo che in generale esiste, accanto al coefficiente di viscosità (tangenziale) definito dalla(1.7a), anche il coefficiente di viscosità di volume che è nullo per un fluido incomprimibile.

La viscosità dei lubrificanti dei motori è classificata secondo il criterio proposto dalla Society of

Automotive Engineers (SAE). Il numero di viscosità SAE è dato su due diverse scale: la ordina-ria e l’invernale ( W ). Ad esempio il lubrificante di gradazione SAE 20 ha una viscosità cinema-tica alla temperatura T = 98.8 °C, alla quale opera usualmente il motore di automobile, compresanel campo 0.57 10-5 < ν [m2 s-1] < 0.96 10

-5mentre SAE 20W ha viscosità cinematica a T = 98.8

°C compresa nel campo 0.39 10-5

< ν [m2 s-1] e viscosità dinamica 2.4 < µ [ Pl ] < 9.6 alla tempe-ratura T = -17.7 °C, rappresentativa delle condizioni di avvio del motore in inverno.

I fluidi per i quali il legame costituivo tra lo sforzo tangenziale e la velocità di deformazione an-




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golare segue la legge (1.8), rappresentato sul grafico di Fig.1.6 con la linea C, sono detti newto-niani: l'acqua, gli oli vegetali e minerali e le soluzioni di piccole molecole sono fluidi newtonia-ni.

Altri fluidi non sono newtoniani e la loro legge costitutiva è definita in modo diverso dalla eq.(1.7a). La pasta dentifricia, il fango e i prodotti a base di grassi e cere, che oppongono una resi-stenza iniziale al movimento, hanno un comportamento di fluido plastico alla Bingham (curvaA) simile a quello dei fluidi pseudo-plastici (curva B), che riducono la loro viscosità al cresceredella velocità di deformazione. Il comportamento pseudoplastico è dovuto alle modificazionidella struttura interna del materiale, composto da particelle aggregate in maniera irregolarequando sono in quiete. Con il movimento crescono gli sforzi interni, vincendo le forze di attra-zione molecolare, riallineano le molecole e le dispongono in modo più favorevole al movimento.

I fluidi che richiedono uno sforzo proporzionalmente sempre maggiore all’aumentare della velo-cità con la quale si muovono, ossia producono l’effetto delle “sabbie mobili”, sono detti fluididilatanti (curva D). Questo comportamento contraddistingue le sospensioni molto concentrate di

solidi in liquidi plastificanti, il cui volume aumenta quando lo sforzo applicato è elevato. Conse-guentemente, il plastificante non è più in grado di lubrificare completamente la superficie delle

particelle solide, la cui resistenza al moto aumenta.

La discussione della dinamica di questi fluidi sarà affrontata in § 6.3.2.

I fluidi la cui viscosità, a velocità di deformazione costante, cresce nel tempo sono detti reopep-tici, mentre quelli la cui viscosità diminuisce nel tempo sono detti tissotropici. Hanno questocomportamento: vernici, cosmetici, gel alimentari e farmaceutici.

La viscosità del materiale liquido, misurata con il VISCOSIMETRO o R EOMETRO, è una caratteri-stica di notevole importanza di molti prodotti industriali e la sua conoscenza serve per control-

larne il processo di produzione. Sono in uso strumenti che misurano la viscosità assoluta oppuredanno la viscosità relativa, per confronto con un liquido di viscosità nota. Nel viscosimetro il li-quido è messo in movimento a bassa velocità al fine di mantenere il moto in regime laminare(vedi Cap.6).

Nei viscosimetri capillari, che sono tra gli strumenti più antichi ma sono tuttora considerati tra i più precisi per misure di liquidi newtoniani, il liquido scorre in un tubo capillare per effetto dellagravità o di una differenza di pressione tra l’ingresso e l’uscita del tubo: dalla misura del tempodi efflusso di un volume noto di fluido si risale alla viscosità.

Nei reometri a estrusione, utilizzati per le materie plastiche, il movimento di una vite, che avan-za nel tubo, espelle il liquido dal capillare.

Il viscosimetro a sfera cadente, noto come viscosimetro di Höppler, è costituito da un tubo cali- brato riempito dal liquido da misurare, nel quale viene fatta cadere una sfera: dalla misura deltempo di caduta della sfera si stima, con la relazione di Stokes, la viscosità del fluido. Questostrumento è portatile e piuttosto preciso ed è utilizzato per misurare la viscosità di carburanti, olilubrificanti, solventi, liquidi farmaceutici e alimentari, fluidi biologici.

Il viscosimetro a rotazione - Couette rheometer - misura la resistenza opposta alla rotazione (in-torno al medesimo asse) di un cilindro rigido rispetto a uno fisso, dal liquido contenutonell’interstizio, di spessore s, tra i due cilindri. Il cilindro è azionato da un motore elettrico a ve-locità costante; una molla, o una barra di torsione, misura il momento torcente esercitato dal li-quido sul cilindro rotante. Nota la geometria dell’apparecchio, schematizzata in Fig.1.7, la vi-scosità è calcolata direttamente dalla relazione di Newton. Poiché la curvatura dell’interstizioanulare può essere considerata trascurabile se s/r 0 è piccolo, il liquido può essere considerato in




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re può essere considerata trascurabile se s/r 0 è piccolo, il liquido può essere considerato in moto piano e si può ritenere che lo sforzo tangenziale sia constante ovunque nel liquido. La integra-zione della (1.8a) è immediata e fornisce, con i simboli in figura:

µ =τ0 sU0 (1.10)

con U0 = ω0 r 0 e τ0 = M / A r 0 ove A è l’area laterale del tamburo rotante, M è la sua coppia motri-ce.

TENSIONE DI VAPORE: è la pressione pV

alla quale il liquido è in equilibrio con il suo vapore.Quando la pressione nel liquido supera la tensione di vapore, esso inizia a evaporare dalla suasuperficie libera per aumentare la pressione nel gas sovrastante fino a che non viene ristabilitol’equilibrio.

La tensione di vapore cresce in maniera monotona con la temperatura. La temperatura per laquale la tensione di vapore eguaglia la pressione atmosferica si dice temperatura di ebollizione.Per l’acqua, la dipendenza della tensione di vapore p

v* [ kPa ] dalla temperatura T [°C] è data

dalla (1.11) che, con errore inferiore al 0.5 ‰ nel campo di temperatura [ 0 ÷ 50 °C ], approssi-ma la meno comoda relazione di Wexler (1976):

pv

* = 0.61121 exp [ 17.368 T

238.88 + T ] (1.11)

In particolare, alla temperatura di 20°C risulta:

pv*

= 2.34 [ kPa ]

Quando la pressione p∞*

nel liquido scende al di sotto della sua tensione di vapore, si formano

bolle di vapore al suo interno, ossia il liquido prende a bollire.Il processo di formazione di bolle di vapore all’interno del liquido, che prende il nome di CAVI-TAZIONE, è altamente distruttivo e può rapidamente rovinare eliche, pompe, turbine o altre mac-chine di movimentazione di liquidi che operano a elevata velocità.

Per ogni apparecchiatura idraulica, per la quale sia da temere l’innesco della cavitazione, può es-sere definito sperimentalmente il valore critico del numero di cavitazione (adimensionale) Ca aldi sotto del quale non è consigliabile scendere:

Ca = p∞

* - pv

*

ρ U2 (1.12)

Ciò consente di determinare il limite inferiore per la pressione p∞* del liquido all’interno della

apparecchiatura, ovvero il limite superiore per la velocità U, che garantisce il funzionamentosenza cavitazione.

PROPRIETÀ TERMICHE: la variazione di temperatura del liquido, che, come abbiamo visto, ne in-fluenza le caratteristiche, dipende dalla quantità di calore trasferita dall'ambiente esterno al cor-

po di volume V [m3] e dalla sua capacità termica CT [ J/°C]:

CT = cS ρ V (1.13)

Il calore specifico cS [J kg -1 °C-1 ] è la quantità di calore necessaria per innalzare di un gradocentigrado la temperatura di una massa unitaria di liquido.




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A un cambiamento di stato, che avviene senza variazione di temperatura, corrisponde uno scambio di energia termica tra il corpo liquido e l'esterno.

Il calore latente di fusione è l'energia necessaria per passare dallo stato solido a quello liquido: per sciogliere il ghiaccio in acqua alla temperatura di 0 °C sono richiesti 335 [kJ kg -1].

L'energia richiesta per trasformare il liquido in gas è detta calore latente di vaporizzazione: per l'acqua al punto di ebollizione di 100°C il calore latente di vaporizzazione è di 2256 [kJ kg -1].

OSSIGENO DISCIOLTO: è una proprietà chimica dei liquidi allo stato naturale e ha una rilevanteimportanza nella caratterizzazione biologica dell'acqua dei fiumi e dei laghi; l'ossigeno disciolto- DO - è immesso dall'atmosfera nell'acqua per diffusione attraverso la superficie libera oppure è

prodotto per fotosintesi dalla flora acquatica. La concentrazione di ossigeno che può essere con-tenuta nell'acqua diminuisce con la temperatura: alla temperatura di 20 °C e in condizioni di sa-turazione la concentrazione volumetrica dell'aria nell'acqua è del 2 %. In acqua, l'ossigeno è piùsolubile dell'azoto e quindi cambia la composizione dell'aria che in acqua a 20 °C contiene il 33÷

35 % di O2 in luogo del 21 % di O2 contenuto in atmosfera: sperimentalmente si trova che asaturazione il contenuto di ossigeno in acqua è di 9.1 [ mg/l].

Di questo argomento tratterà diffusamente il corso di Ingegneria Sanitaria - Ambientale.

1.3.1 TABELLA RIASSUNTIVA

È di utile riferimento la tabella seguente che elenca le proprietà fisiche di alcuni liquidi alla temperatura T = 20°C. I valori della tensione di vapore sono approssimati al primo decimale.

NOME DEL FLUIDO VISCOSITÀ

CINEMATICA [cS]

PESO

SPECIFICO [kN

m-3 ]

TENSIONE DI VAPORE

[ kPa ]Acetaldeide 0.295 7.727 105.0

Acetone 0.410 7.747 30.0

Acido acetico 1.232 10.277 3.3

Acido formico 1.500 11.963 5.4

Acido solforico 14.600 18.033 2.4

Acqua a 4 °C 1.002 9.806 2.4

Acqua di mare 1.044 10.051 2.4

Alcool butilico 2.850 7.874 8.7

Alcool etilico 1.510 7.570 9.0

Alcool metilico 0.745 7.766 30.0

Anilina 4.370 10.012 0.5

Benzene 0.744 8.619 14.0

Cloroformio 0.380 14.601 30.0

Fenolo 11.300 10.571 0.5

Glicerina 1183.000 12.365 0.0

Kerosene 2.400 7.884 0.5

Idrossido di sodio 10.000 13.042 2.4

Mercurio 0.119 133.067 0.0

Nonano 1.000 7.031 0.5

Olio SAE 10W30 130.000 8.580 0.0

Olio SAE 10W 115.000 8.531 0.0

Olio SAE 20W20 200.000 8.678 0.0

Olio SAE 30 350.000 8.727 0.0




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Olio SAE 40 900.000 8.825 0.0

Olio SAE 50 950.000 8.845 0.0

Ottano 0.805 6.884 0.5

Petrolio extra light 6.000 8.335 0.0

Petrolio light 16.500 8.923 0.0

Petrolio medio 520.000 9.708 0.0

Petrolio pesante 8000.000 9.708 0.0

Styrene 0.900 9.080 0.5

1.4 U NITÀ DI MISURA

Le proprietà fisiche del corpo fluido sono state più sopra definite in termini di unità dimensionali(lunghezza, massa oppure forza, tempo, ecc.); l’unità di misura dice invece quanto di una parti-colare dimensione è posseduto dal corpo.

Noi faremo ricorso al Sistema Internazionale (SI) di misura; questo è un sistema di misura con-

sistente, cioè usa il numero minimo di dimensioni indipendenti per caratterizzare il fenomenofisico. Ne sono necessarie 4 per caratterizzare i fenomeni di idrodinamica: lunghezza, massa,tempo, temperatura.

Non tutti i sistemi sono consistenti: ad esempio l’ English Engineering System (EE), il cui uso èmolto diffuso negli Stati Uniti, è inconsistente; con questi sistemi dobbiamo utilizzare fattori diconversione per passare da una unità ad un’altra.

Le unità di misura sono riassunte nella seguente tabella, insieme con le relazioni di conversionenelle unità tecniche ancora utilizzate.

DIMENSIONE UNITÀ SIMBOLO DEFINIZIONE CONVERSIONE

Lunghezza metro m - 1 ft = 0.3048 m (1)

Tempo secondo s -

Massa chilogrammo kg -

Temperatura Kelvin K - K = °C + 273.15 (2)

Forza Newton N 1.0 kg m s-2 1.0 kg p = 9.8067 N (3)

Pressione Pascal Pa 1.0 N m-2 1.0 psi = 6.865 k Pa (4)

Lavoro Joule J 1.0 N m 1.0 BTU = 1.056 k J(5)

Potenza Watt W 1.0 J s-1 1 HP = 745.7 W (6)

1. in idraulica marittima è usato il miglio marino (internazionale) pari a: 1 naut. mi. =1852 m da non confondersicon il miglio terrestre - statute mile -che vale: 1 mi. = 1609.3 m

2. °C gradi centigradi = 5/9 ( °F – 32 ) gradi Fahrenheit

3. nell'EE è utilizzata l'oncia - ounce (avoirdupois) - che vale: 1 oz = 0.278 N

4. psi = lb/inc2 (pound diviso pollice al quadrato). Per la misura della pressione sono ancora usati il Bar che vale:

1 bar = 100 000 Pa e l'atmosfera (tecnica) pari a 1 kg p /cm2 che vale : 1 at = 98 067 Pa che differisce leggermen-




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te dalla atmosfera (fisica) che vale invece: 1 atm = 101325 Pa ; talvolta usato è il torr che vale: 1 torr = 133.3 Pa

5. BTU = British Thermal Unit. La tonnellata equivalente di petrolio vale: 1 tep = 4.1868 1010 J

6. HP = horse power; in Europa continentale era invece usato il cavallo vapore che vale: 1 CV = 735.5 W




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2. IDROSTATICA

2.1 EQUAZIONE DELL’EQUILIBRIO IDROSTATICO

Ricaviamo in maniera intuitiva l'EQUAZIONE GLOBALE DELL'EQUILIBRIO IDROSTATICO dallaquale deriva, come caso particolare, il principio tradizionalmente attribuito ad Archimede (287-212 a.C.). Per semplicità di esposizione introduciamo subito alcune ipotesi semplificative.

Consideriamo uno spazio indefinito occupato da un fluido pesante, ossia immesso in un campogravitazionale, e in quiete. Al suo interno individuiamo un generico volume finito V contornatodalla superficie chiusa S. Ricordando quanto visto in § 1.1 sappiamo che la massa fluida è sotto-

posta a:

- forza di massa, che consiste nel peso proprio del volume V:

G = ⌡⌠

V ρ g d V

ove g è il vettore accelerazione di gravità diretto verticalmente verso il basso,

- forza di superficie: essendo il fluido in quiete, sulla superficie di contorno agisce la sola pres-sione come stabilito dalla (1.4c). La spinta S esercitata dalla superficie di contorno versol’esterno è:

S =⌡⌠

Sp n d A

Per l'equilibrio deve essere:S = G (2.1)

Indicata con Π la SPINTA IDROSTATICA esercitata verso la superficie di contorno dal liquido e-sterno:

Π = - S

ossia:

Π = -⌡⌠

Sp n d A

si scrive l'equazione globale dell'equilibrio idrostatico:

Π + G = 0 (2.2)

Consideriamo che il fluido in quiete sia incomprimibile ma non necessariamente a densità co-stante. Poiché la forza peso ammette potenziale con superfici equipotenziali orizzontali anche

per la spinta si deve ammettere l'esistenza di un potenziale: questo è rappresentato dalla pres-sione. Anche le superfici a eguale pressione (superfici isobariche) sono orizzontali.

Chiamiamo:

- PIANO DEI CARICHI IDROSTATICI ASSOLUTI ( p.c. i. a.) il piano orizzontale sul quale la pres-

sione assoluta vale: p* = 0




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- PIANO DEI CARICHI IDROSTATICI RELATIVI ( p.c.i.) il piano orizzontale sul quale la pressione è pari alla pressione atmosferica: p* = po. Di solito si usano nei calcoli pressioni relative p per cui la pressione sul p. c. i. a. risulta p = - po e la pressione sul p.c.i. vale p = 0. Lo specchio li-quido di un serbatoio o di un lago rappresenta il piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio

o del lago. Se applichiamo l'eq. (2.2) al cilindretto verticale di altezza h e area di base dA che si affondasotto il p. c. i. fino al punto P illustrato in Fig.2.1 e proiettiamo sulla verticale, otteniamo:

γ h d A - d Π = 0 (2.3)

essendo d Π = pP

d A si ottiene:

pP

= γ h (2.4)

La pressione idrostatica nel generico punto P ha modulo pari al suo affondamento sotto il p.c.i.

moltiplicato per il peso specifico del fluido, è diretta normalmente alla superficie nel punto P edè volta verso l’interno del fluido.

Di conseguenza la differenza di pressione tra due punti posti a quote diverse vale:

∆ p = p2 - p1 = γ ( h2 - h1 ) = - γ ( z2 - z1 ) = - γ ∆ z

ove h2 e h1 sono gli affondamenti dei punti 2 e 1 sotto il p .c. i. mentre ∆ z è la differenza diquota dei 2 punti sopra il piano orizzontale dal quale si misurano le quote (asse delle z direttoverso l’alto). In generale, considerando le quote z dei punti sopra un piano di riferimento oriz-zontale posto alla quota z = 0 otteniamo:

d p

d z = - γ (2.5)nota come legge dei fluidi pesanti e incomprimibili o legge di Stevin, che equivale a:

p + γ z = costante

Dalla eq. (2.5) si deduce che la pressione aumenta al crescere dell'affondamento del punto sottoil piano dei carichi idrostatici. Il diagramma di ripartizione delle pressioni idrostatiche è trian-golare con angolo al vertice pari a:

θ = atan γ

Nel caso in cui il volume contenesse due fluidi non miscibili questi possono restare in quiete so-

lo se la linea di separazione è orizzontale e il liquido più pesante sta sotto al più leggero.

2.2 MISURA DELLA PRESSIONE

La distribuzione della pressione in un serbatoio riempito di fluido in quiete è completamente de-terminata quando sia nota la posizione del p.c.i. del fluido, ossia la sua quota zo sul piano di rife-rimento z = 0. Gli strumenti di misura delle pressioni consentono di determinare la posizione del

p.c.i. del liquido.

Il manometro semplice è un tubo a U riempito di liquido manometrico, non miscibile con il li-quido contenuto nel serbatoio, avente peso specifico γm molto diverso da γ e collegante il serba-

toio con l'atmosfera Fig.2.2. L'equilibrio delle pressioni sul piano passante per il menisco interno




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del manometro fornisce h , affondamento sotto il p. c. i. del menisco interno del manometro:

h = ∆ γm

γ (2.6)

Risulta h > ∆ se γm > γ altrimenti vale il contrario. Nota la quota zm del menisco interno del li-quido manometrico si ottiene la quota del p. c. i.:

zo = zm + h (2.7)

Se il menisco interno del manometro è a contatto con un gas, il cui peso specifico è circa pari azero, la lettura dello strumento fornisce la pressione pa in un punto qualunque del volume occu-

pato dal gas:

pa = ∆ γm

Il manometro differenziale è un tubo a U riempito di liquido manometrico - al solito, mercurio -

avente peso specifico γm e collegante tra loro due serbatoi (il menisco a contatto con il liquidodel serbatoio 1 è il più depresso dei due) contenenti due fluidi di peso specifico γ1 e γ2 inferiori aγm: esso fornisce la differenza tra le quote dei p.c.i. dei due fluidi. Con riferimento alla Fig.2.3 facciamo l'equilibrio delle pressioni sul piano passante per il menisco più depresso, ossia postoalla quota inferiore:

γ1 h1 = γ2 ( h1 - δ1-2 - ∆ ) + ∆ γm

da cui:

δ1-2 = h1 γ2 - γ1

γ2

+ ∆ γm - γ2

γ2

(2.8a)

Quando γ1 = γ2 risulta:

δ1-2 = ∆ γm - γ

γ (2.8b)

Quando il peso specifico del liquido manometrico - spesso, alcol - è più piccolo di γ1 e γ2 , fa-cendo l'equilibrio sul piano passante per il menisco più elevato si ottengono ancora le relazioni(2.8a) e (2.8b) nelle quali dobbiamo ricordare di inserire ∆ con il segno negativo, poiché è misu-rato in direzione opposta all'asse verticale: nella (2.8b) il valore δ1-2 è positivo, essendo γm < γ e∆ < 0.

Si usa il liquido manometrico pesante quando, per ragioni pratiche, si vuole che sia: ∆ << δ1-2 .

Si usa liquido manometrico leggero quando si vuοle aumentare la precisione della lettura: ∆ >δ1-2 .

Per avere la posizione assoluta dei due p.c.i. deve essere inserito un manometro semplice o me-tallico o un trasduttore di pressione che metta in relazione la pressione in uno dei serbatoi conl'atmosfera; si noti che il manometro semplice è un manometro differenziale nel quale un serba-toio è costituito dall'atmosfera.

Il manometro metallico di Fig.2.4 e il trasduttore di pressione misurano la pressione (rispetto al-

l'atmosfera) che si ha nel centro dello strumento.




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2.3 SPINTA SU SUPERFICI PIANE

Il modulo della spinta esercitata dal fluido su una superficie piana di area A e orizzontale, conaffondamento h sotto il p. c. i., vale:

Π =⌡⌠

A γ h d A = γ h A

La spinta sulla superficie piana inclinata di un angolo α rispetto all'orizzontale (Fig.2.5) vale:

Π =⌡⌠

A γ h d A =

⌡⌠

A γ x sen α d A = γ sen α

⌡⌠

Ax d A = γ sen α xG A

L'integrale:

ms =⌡⌠

Ax d A = A xG

è il momento statico della superficie di area A rispetto alla LINEA DI SPONDA - intersezione conil p.c.i.del piano sul quale giace la superficie - che è pari al prodotto dell'area A per la distanzaxG del baricentro di tale area dalla linea di sponda.

Facendo comparire l'affondamento del baricentro sotto il piano dei carichi idrostatici hG:

hG = sen α xG

scriviamo:

Π = γ hG A (2.9)

È detto CENTRO DI SPINTA il punto di applicazione della spinta.

Consideriamo per semplicità una superficie piana con asse di simmetria posto su una linea dimassima pendenza. Per l'equilibrio dei momenti attorno alla linea di sponda deve essere:

Π xC = γ sen α

⌡⌠ A

x2 d A (2.10)

ove xC è la distanza, misurata lungo la superficie piana, del centro di spinta dalla linea di spon-da, che consideriamo, per semplicità, esterna alla sezione sulla quale si esercita la spinta.

Il centro di spinta è posto sull'asse di simmetria. La eq. (2.10) può essere facilmente risolta in al-cuni casi di interesse pratico. Se la superficie è rettangolare con uno dei lati parallelo alla lineadi sponda come in Fig.2.6 a, la eq. (2.10) diventa con alcune semplificazioni:

xC L2

2- L1

2

2 = ⌡⌠ L1

L2

x2 dx

La soluzione dell’integrale dà la formula:




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xC =23

L23- L1

3

L22- L1

2 (2.11)

ove L2 e L1 sono le distanze, misurate sul piano della superficie, dei lati paralleli alla linea di

sponda, rispettivamente alle quote z2 e z1, dalla linea di sponda medesima: a seconda della di-sposizione della superficie rispetto al p.c.i. le distanze L1 e L2 possono essere positive o negati-ve.

La eq. (2.11) mostra che la distanza tra centro di spinta e baricentro:

dC = xC – xG =16

( L2 - L1 )

2

L2 + L1

è positiva se la linea di sponda sta al di sopra del baricentro, ossia se xG è positiva; nel caso con-trario dC è negativa come nel caso di Fig.2.6 b. Inoltre, se la linea di sponda taglia la superficie,ossia se il liquido a contatto esercita una pressione relativa in parte positiva e in parte negativa –

ricordando sempre che la pressione assoluta non può essere negativa -, il centro di spinta si spo-sta verso l’esterno della superficie. In particolare, quando la linea di sponda taglia il terzo mediodella superficie risulta dC > L/2 come in Fig.2.6 b; se la linea di sponda passa dal baricentro, dC va all’infinito.

Se il lato superiore del rettangolo sta sulla linea di sponda, risulta L1 = 0 e L2 = L , con L lun-ghezza della superficie rettangolare, e la eq. (2.11) assume la forma:

xC =23 L (2.12)

Se, invece, il lato inferiore del rettangolo sta sulla linea di sponda, con L1 = - L e L2 = 0 , risulta:

xC = - 23 L (2.12)

Nel caso della superficie circolare di raggio R come in Fig.2.7 la posizione del centro di spinta èdata da:

xC π R 2 xG sen α = [ ⌡⌠ -π / 2

+π / 2

2 R 2 cos2 θ ( R sen θ + x

G)

2d θ ] sen α

La soluzione dell’integrale dà la formula:

xC = xG +

R 2

4 xG (2.13)Qualora il cerchio sia tangente alla linea di sponda, osservato che xG = R , la eq. (2.13) diventa:

xC =54 R (2.14)

Le considerazioni fatte precedentemente a proposito della posizione reciproca tra linea di spondae centro di spinta valgono anche nel caso della superficie circolare. Le espressioni del centro dispinta cadono in difetto quando la superficie piana è orizzontale; in tal caso il centro di spintacoincide con il baricentro.




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2.4 SPINTA SU SUPERFICI CURVE

La determinazione diretta della spinta su una superficie curva richiede la difficoltosa soluzionedi un integrale avente ad argomento un vettore:

SC = ⌡⌠ C p n d A (2.15)

Anche nel semplice esempio di Fig.2.8 a di una sporgenza semicilindrica lunga L che spicca dal-la parete piana e verticale di un serbatoio, il calcolo si sviluppa con numerosi passaggi. Ricono-sciuto che la pressione nel generico punto P della superficie cilindrica, è:

pP = γ (hG - R sen θ) (2.16)

ove hG è l'affondamento dell'asse del semicilindro di raggio R , conviene proiettare la relazionevettoriale (2.15) secondo le direzioni x e z ottenendo:

SCZ = ⌡⌠ -π/2

π/2

[ L γ (hG - R sen θ) R sen θ d θ (2.17a)

SCX = ⌡⌠ -π/2

π/2

[ L γ (hG - R sen θ) R cos θ d θ (2.17b)

Si osserva immediatamente che l'integrale (2.17a) si riduce a:

SCZ = - γ L R 2 ⌡⌠ -π/2

π/2

sen2 θ d θ = - γ ( ½ π R 2 ) L (2.18a)

avendo risolto l'integrale per parti. Il risultato trovato ci dice che la componente verticale dellaspinta sulla superficie curva è uguale al peso del liquido contenuto nel semicilindro:

SCZ = | G |

La spinta è, come il peso, diretta verso il basso.

L'integrale (2.17b), risolto per parti, dà:

SCX = γ hG L R sen θ |-π/2

π/2- γ L R 2 ⌡⌠

-π/2

π/2

sen θ cos θ d θ = γ hG 2 R L (2.18b)

Il risultato trovato ci dice che la componente orizzontale della spinta sulla superficie curva è u-guale alla spinta S0 sulla superficie piana individuata dalla linea a tratti nella sezione di Fig.2.8 b che mostra il dettaglio della figura precedente.

Al medesimo risultato si giunge considerando la Fig. 2.8 b e osservando che:

1) la differenza della pressione tra i punti P e P', disposti sulla medesima verticale, è ∆ p = γh;

2) la componente della spinta secondo l'asse z su due elementi di superficie dA = L R dθ è parial peso del volumetto di liquido individuato in figura; ne risulta che l'integrale è, appunto, il

peso del liquido contenuto nel semicilindro;

3) la componente della spinta secondo l'asse x su un generico elemento di superficie è pari alla

pressione esercitata su di esso moltiplicata per la proiezione dell'area dell'elemento sul piano




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verticale: dSCX = p cos θ dA = p dAx ; ne risulta che l'integrale è dato dalla spinta sulla super-ficie piana individuata dalla linea a tratti.

In definitiva, ritroviamo un risultato ovvio: la spinta SC sulla superficie curva si può ricavare

dall'equazione dell'equilibrio idrostatico applicata al volume liquido, che chiameremo VOLUMEDI CONTROLLO, contenuto tra la superficie piana e la sporgenza semicilindrica:

SC + S0 - G = 0

In ragione della sua maggiore semplicità, la soluzione indiretta che ricorre alla applicazionedell’equazione dell’equilibrio idrostatico (2.2) nel volume di controllo, viene preferita alla solu-zione diretta dell'integrale (2.15).

Nel seguito e negli esercizi consideriamo sempre casi semplici di superfici curve con linea dicontorno contenuta in un piano. Consideriamo tre casi diversi, ricordando che esprimiamo colsimbolo Π la spinta della superficie di contorno sul volume liquido e con S la spinta del volumeliquido sul contorno.

SPINTA SU UNA PARETE AGGETTANTE: applichiamo l'equazione globale dell'equilibrio idrostati-co (2.2) al volume di liquido racchiuso tra la superficie curva e il piano sul quale appoggia ilcontorno della superficie curva che è individuato nelle Fig.2.9 a, b, c. Otteniamo:

Πo + Πc + G = 0

dalla quale, notando che Πc

è la spinta che la parete esercita sul liquido e Sc è la spinta che il li-quido esercita sulla parete, ricaviamo:

Sc = - Πc = Πo + G (2.19)

Il vettore risultante si ottiene tracciando il poligono delle forze. Definita la convenzione positivadelle forze, le componenti della risultante secondo gli assi coordinati x e z sono calcolate alge-

bricamente in base alle prefissate direzioni positive; ricordiamo che il peso G è diretto verso il basso. I simboli Πox , Πoz , G indicano i moduli delle forze; valori negativi di Scx , Scz indicanoche la componente è diretta in senso opposto alla direzione positiva.

Con riferimento alla Fig.2.9 a ne otteniamo la componente orizzontale:

Scx = Πox

e la componente verticale:

Scz = Πoz - G

Con riferimento alla Fig.2.9 b otteniamo:

Scx = - Πox

Scz = - Πoz - G

La Fig.2.9 c rappresenta il caso di spinta Πo esercitata da liquido in depressione e quindi aventeverso opposto alla normale entrante nella parete piana (con proiezioni dirette secondo x e z posi-tivi) e, pertanto:

Scx = + (- Πox )

Scz = + (- Πoz ) - G




2410/11/09

come nel caso di Fig.2.9 b. Il modulo della risultante è sempre dato da:

| Sc | = Scx2 + Scz

2

Note le posizioni del centro di spinta sulla superficie piana e del baricentro del volume liquido

otteniamo la retta di applicazione di Sc .

SPINTA SU UNA PARETE RIENTRANTE: con espediente di calcolo applichiamo l'equazione globa-le dell'equilibrio idrostatico (2.2) al volume di controllo, virtualmente riempito di liquido sotto-

posto al p. c. i. del serbatoio, individuato in Fig.2.10 a. Otteniamo:

Sc = Πc = - Πo - G (2.20)

Ancora una volta, il calcolo algebrico per la determinazione delle componenti della risultantedeve considerare la direzione delle componenti di Πo e di G. Poiché, nell’esempio considerato,

la direzione delle componenti di Πo è negativa, la (2.20) proiettata sugli assi fornisce:Scx = - ( - Πox ) = Πox

Scz = - (- Πoz ) - (- G) = Πoz + G

La Fig.2.10 b rappresenta il caso di spinta Πo esercitata da liquido in depressione e quindi aventeverso opposto alla normale entrante nella parete piana. Con le convenzioni viste sopra scrivia-mo:

Scx = - (+ Πox ) = - Πox

Scz = - (+ Πoz ) - (- G) = - Πoz + G

2.4.1 SPINTA SU MEZZO TUBO AD ASSE VERTICALE

Applichiamo l'equazione globale dell'equilibrio idrostatico (2.2) al volume di liquido contenutonel mezzo tubo e otteniamo, come si vede in Fig.2.11:

Πo + ΠBi + ΠBs + Πc + G = 0 (2.21)

ove Πo è il vettore della spinta sulla superficie piana verticale, ΠBi e ΠBs sono i vettori dellaspinta sulla base inferiore e, rispettivamente, sulla base superiore del semitubo, Πc è il vettoredella spinta sulla superficie curva, G è il peso del fluido.

Se consideriamo un tratto di semitubo di lunghezza L osserviamo che: (a) l'aumento della pres-sione idrostatica tra la sommità e la base del tronco dà una differenza di spinta verticale ugualeal peso del liquido contenuto nel semitubo (con ciò viene soddisfatto l’equilibrio delle forze sul-la verticale); (b) le rimanenti forze di superficie sono orizzontali. Otteniamo il valore della spin-ta sul semitubo proiettando l’equazione dell’equilibrio idrostatico in direzione normale alla cor-da del semitubo:

Πc = - 2 R p L = - 2 R γ hG L

ove p è la pressione a metà della lunghezza del tubo e hG è l’affondamento della mezzeria deltronco di tubo sotto il p.c.i.. La spinta è diretta secondo l'asse di simmetria della superficie.




2510/11/09

Poiché la spinta del liquido sul tubo è: Sc = - Πc , il semitubo risulta sollecitato a trazione:

2 T L = 2 R L γ hG

Se il tubo è di piccolo spessore t si può ammettere approssimativamente che esista solo azione

assiale:T = σ t

e la sollecitazione di trazione sul materiale costituente il tibo è espressa dalla formula di Mariot-te:

σ =γ h R

t [ N m-2] (2.22)

2.5 EQUILIBRIO DEI GALLEGGIANTI

Un corpo galleggiante soggetto a sbandamento, ad esempio una nave che rolla sotto l’azione del-le onde, si mantiene stabile se all’affievolirsi della sollecitazione riesce a riprendere la sua posi-zione iniziale. Il galleggiante è instabile se non riesce a riprendere tale posizione; ad esempio,una nave che si rovescia con mare in burrasca è detta instabile (per quel mare).

Il galleggiante è stabile se la spinta idrostatica che si esercita sul suo scafo in posizione sbandatae il suo peso formano una coppia stabilizzante di momento M; ad esempio se lo sbandamento ècausato da un rollio in senso antiorario, la coppia stabilizzante deve imprimere una rotazione o-raria, come si vede nella sezione di Fig.2.12.

Consideriamo un natante con forma e distribuzione dei pesi simmetrica rispetto al suo piano dimezzeria; in tal caso il baricentro del corpo è posizionato sull’asse (verticale) di mezzeria dellasezione trasversale. Il centro della spinta sulla superficie immersa della chiglia, che è diretta ver-ticalmente per l’equazione dell’equilibrio idrostatico, sta sull’asse di simmetria (o di mezzeria)se il natante è in posizione ordinaria, cioè non sbandata, altrimenti la spinta sulla superficie im-mersa ha retta di applicazione, sempre verticale, che passa per il baricentro del volume immersoe taglia l’asse di simmetria in un punto detto metacentro. Se il metacentro è posto a quota supe-riore al baricentro il natante è stabile, in caso contrario è instabile.

Consideriamo una fetta lunga un metro di chiglia del natante avente la sezione di Fig.2.12, cheipotizziamo, per semplicità, di approssimare con un rettangolo invariato da prua a poppa; il na-tante è sbandato di un angolo θ abbastanza piccolo per poterlo confondere con il suo seno.

Con riferimento alla figura osserviamo che la spinta sulla parte più immersa del fondo è maggio-re della spinta sulla parte meno immersa: ciò causa il momento stabilizzante.

Trascurato il contributo della spinta sul lato verticale del rettangolo approssimante la chiglia, ilmomento stabilizzante dato dalla spinta idrostatica sulla fetta di chiglia risulta:

M = 2 γ ⌡⌠ 0

L/2

x2 θ d x = γ θL3

12

Ovviamente, il modulo della spinta non risulta influenzato dallo sbandamento e rimane pari al peso del volume immerso:

Π = γ L d




2610/11/09

Le dimensioni della sezione immersa sono: L larghezza, d pescaggio. Il centro di spinta dellanave sbandata si trova spostato rispetto alla posizione con natante non sbandato della quantità:

s =MΠ

= θ L2

12 d (2.23)

Detta η la distanza dal centro di spinta (non sbandato) al baricentro della fetta di natante, si ot-tiene la distanza λ dal metacentro al baricentro:

( λ + η ) sen θ = s

Sostituendo la (2.19) e considerando che sen θ ~ θ si ha:

λ =L2

12 d - η (2.24)

Il natante è stabile se λ è positivo.

Osserviamo dalla (2.24) che la stabilità è sempre assicurata quando il centro di spinta è a quotasuperiore al baricentro strutturale della nave, perché risulta, in tal caso, η < 0.

Se, come in Fig.2.12, la quota del baricentro strutturale è superiore a quella del centro di spinta(della nave non sbandata), la condizione di stabilità è data dalla relazione:

η <L2

12 d (2.25)

2.6 EQUILIBRIO RELATIVO

Quando il recipiente contenente il volume V di liquido si muove di moto uniformemente accele-rato, la forza di massa diventa:

G =⌡⌠

V ρ (g - a ) d V

ove il vettore accelerazione di gravità g diretto verticalmente verso il basso si compone con ilvettore a che rappresenta l'accelerazione del recipiente che è opposta a quella della massa delfluido. Infatti, se consideriamo un riferimento cartesiano mobile e solidale con il recipiente, con-statiamo che il recipiente è fermo rispetto ad esso e, di conseguenza, la massa liquida subiscel'accelerazione - a. Le superfici a pressione p costante sono in ogni loro punto perpendicolari a r= g - a e il piano tangente forma con il piano orizzontale l'angolo:

tan ( θ ) =ag (2.26)

La relazione (2.5) si trasforma nella più generale:

d pd s = - ρ r (2.27)

ove r è il modulo del vettore r e il segmento infinitesimo ds è preso nella direzione opposta alverso dell'asse s come si vede in Fig. 2.13. Moltiplicando e dividendo la (2.27) per cos ( θ ) otte-niamo:




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d p = - ρ r cos ( θ )cos ( θ )

d s = - ρ [ r cos (θ )]ds

cos ( θ )= - ρ g d z

come si deduce dalla Fig. 2.13. Pertanto, si conclude che la (2.27) equivale alla (2.5) e che in

ogni punto interno al liquido in equilibrio relativo la pressione vale: p = γ d ove d è l'affonda-mento (misurato in verticale) del punto sotto la superficie libera sulla quale p = 0 .

Nel caso di recipiente che si sposta orizzontalmente e accelera come in Fig. 2.14, il piano dellasuperficie liquida, ossia il piano dei carichi idrostatici, si dispone perpendicolarmente alla dire-zione della risultante delle accelerazioni formando con l'orizzontale l'angolo dato dalla (2.26).

Nel caso di recipiente che decelera la superficie libera è ovviamente disposta all'opposto diquanto illustrato in figura. All'interno del liquido il generico piano sul quale la pressione è co-stante è disposto parallelamente alla superficie liquida e la pressione in ogni suo punto è datadall'affondamento, misurato in verticale, di questo piano sotto il piano dei carichi idrostatici.

Nel caso di moto accelerato con direzione verticale, se l'accelerazione del recipiente è verso il basso il suo modulo si sottrae a quello della gravità; se l'accelerazione è verso l'alto i moduli sisommano: la superficie libera rimane orizzontale.

Nel caso del serbatoio cilindrico che ruota intorno al suo asse come in Fig. 2.15, la superficie li-quida assume la forma di paraboloide di rotazione. Infatti, osservato che l'accelerazione centri-fuga del fluido ha direzione radiale normale all'asse di rotazione (che ipotizziamo verticale comein figura) e punta verso l'esterno e che il suo modulo è a = ω2

r essendo ω la velocità angolaredel recipiente ed r il raggio del generico punto della superficie libera come si dimostra in § 3.3.4,la (2.26) si scrive:

tan ( θ ) =dz

dr =

ω2 r

g(2.28)

Il significato dei simboli è chiaramente illustrato in Fig. 2.15. L'equazione della generatrice del paraboloide si ottiene integrando la (2.28):

z =ω2

g ⌡⌠

r

0x d x =

ω2 r 2

2 g (2.29)

avendo posto z = 0 nel vertice del paraboloide. La posizione della superficie è definita se è notoil volume del liquido contenuto nel serbatoio cilindrico. Il volume del liquido compreso tra il pa-raboloide e il piano orizzontale tangente al suo vertice ed evidenziato in Fig. 2.15, si trova fa-cilmente integrando la (2.29) e vale:

V =π ω2 R 4

3 g (2.30)

ove R è il raggio del recipiente.




2810/11/09

3. IDRODINAMICA

3.1 CARATTERI DEL MOTO DEI FLUIDI

Il moto di un fluido incomprimibile, che si muove in uno spazio del quale sono noti i contorni, èdefinito quando sono state calcolate le 4 grandezze incognite:

velocità U = | u, v, w | = f 1 ( x, y, z, t )

pressione p = f 2 ( x, y, z, t )

risolvendo le 4 equazioni della idrodinamica che rappresentano:

- PRINCIPIO DI CONTINUITÀ che impone la conservazione della materia

- PRINCIPIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO individuato dalla 2a Legge di Newton: “ la variazionedi quantità di moto di un corpo è uguale alla risultate delle forze applicate ed è diretta secondo

la direzione di questa “. Questa equazione esprime anche il Principio di Conservazione dell'E-nergia secondo il quale il lavoro compiuto dalle forze esterne eguaglia l'energia acquisita / cedu-ta dal corpo.

Nello spazio occupato dal fluido in movimento possono essere individuate famiglie di curve a-venti particolari proprietà, la cui conoscenza è utile per rappresentare e riconoscere visivamentein maniera intuitiva i caratteri del movimento del fluido.

Queste linee non sono una pura astrazione teorica ma hanno un significato concreto: infatti pos-sono essere tracciate analiticamente quando siano note le equazioni che regolano il moto delfluido oppure possono essere visualizzate durante esperienze di laboratorio utilizzando dei trac-cianti (filetti di fluido colorato, confetti, fili colorati, ecc.) che vengono fotografati a diversi i-

stanti di tempo.La LINEA DI CORRENTE o di flusso, è la curva che, all'istante t = t0 , è in ogni suo punto tangenteal vettore velocità. Per semplificare la rappresentazione grafica facciamo riferimento a un motonel piano (x, y). La sua equazione risulta:

d xd y =

u(x, y, to)v(x, y, to) (3.1)

Le linee di corrente non si intersecano. Per definizione una superficie costituita da linee di cor-rente tra loro adiacenti non viene attraversata da particelle in movimento e quindi si comportacome un tubo le cui pareti sono impermeabili al fluido: questa superficie viene chiamata TUBO

DI FLUSSO.La TRAIETTORIA è il luogo dei punti percorsi dalla particella che all'istante t = t0 è passata dal

punto di coordinate (x0 , y0). Per semplificare la rappresentazione grafica facciamo riferimento aun moto nel piano (x, y). La sua equazione risulta:

d xu (x, y, t; xo, yo,to) =

d yv (x, y, t; xo, yo,to) = d t (3.2)

al generico istante ti traiettoria e linea di corrente sono tra loro tangenti solo nel punto (xi , yi ).

La LINEA DI FUMO è la curva che contiene all'istante ti tutte le particelle che nell'intervallo di

tempo ti – t0 hanno attraversato il punto (x0 , y0 ), come le particelle di caligine che escono da un




2910/11/09

camino di dimensione infinitesima.

L'insieme delle linee di fumo uscite da punti contigui, costituenti una sorgente (comignolo) didimensioni finite, costituisce un pennacchio.

In MOTO PERMANENTE la velocità nel generico punto P del campo di moto, ossia dello spaziooccupato dal fluido in movimento, non cambia mai. Al contrario, nella condizione di Moto Va-rio la velocità delle particelle che si trovano a passare nel generico punto P cambia con il tra-scorrere del tempo.

In moto permanente i caratteri cinematici del moto di un fluido sono indipendenti dal tempo: diconseguenza le traiettorie e le linee di corrente sono in ogni punto tra loro tangenti. Da ciò deri-va immediatamente che, in moto permanente, traiettorie, linee di corrente e linee di fumo sonotra loro coincidenti.

3.2

EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Il principio della continuità (o della conservazione della massa) si esprime in diverse forme chesi applicano alla soluzione dei vari problemi.

Nel seguito ricaveremo forme semplificate (che però sono esatte cioè non approssimate) dellaequazione di continuità in quanto supponiamo sempre di trattare con un fluido incomprimibile edi uniforme densità.

FORMA INDEFINITA DELLA EQUAZIONE DI CONTINUITÀ. Il principio della continuità dice che laquantità di fluido che esce nell'unità di tempo dal volume infinitesimo dV = dx dy dz deve essereuguale a quella che entra in quanto il volume è per definizione indeformabile. Facendo il bilan-cio mostrato in Fig.3.1 otteniamo:

∂ u ∂ x

+∂ v ∂ y

+∂ w ∂ z

= div ( U ) = 0 (3.3)

ove: u, v, w sono le componenti secondo gli assi x, y, z del vettore velocità U. La eq. (3.3) valeanche se il fluido è comprimibile ma il suo moto è permanente, come si deduce immediatamentedalla eq. (12.2).

FORMA GLOBALE DELLA EQUAZIONE DI CONTINUITÀ. Applichiamo il principio della continuitàa un tubo di flusso, che può essere rappresentato in un caso pratico da un tubo in gomma o dauna condotta in metallo o altro, e ammettiamo che il tubo possa deformarsi.

Se nell’intervallo di tempo d t il tronco di tubo lungo d s individuato in Fig.3.2 si gonfia, essointrappola del liquido e la quantità di liquido uscente dalla sezione terminale del tronco è più piccola della quantità entrante dalla sezione iniziale e il viceversa accade se il tubo si contrae.Questa situazione è descritta dalla equazione differenziale alle derivate parziali:

∂ Q ∂ s +

∂ A ∂ t = 0 (3.4)

ove Q = Q (s, t) è la portata che scorre nel tubo, A = A (s, t) è l'area della sezione trasversaledel tubo.

In moto permanente la equazione di continuità applicata al tubo di flusso fornisce semplicemen-te:




3010/11/09

d Qd s = 0 (3.5)

ossia:

Q = costante Notiamo che la relazione (3.5) si applica sempre nella soluzione dei problemi di moto perma-nente anche se spesso non è dichiarato esplicitamente. Infatti se definiamo la VELOCITÀ MEDIA nella sezione del tubo come:

Um =QA [m s-1] (3.6)

otteniamo che, tra due sezioni 1 e 2 del medesimo tubo di flusso, vale, in moto permanente:

A1 Um1 = A2 Um2

EQUAZIONE DEI LAGHI

. E' una espressione molto utile del principio della continuità che si applica a un condotto di lunghezza finita, a un serbatoio o a un lago:

Qe - Qu =d Vd t (3.7)

ove: Qe = Qe ( t ) è la portata entrante nel lago, Qu = Qu ( t ) è la portata uscente dal lago, V = V ( t ) è il volume d'acqua immagazzinato nel lago.

3.3 EQUAZIONE DEL MOTO

Applicando a un elemento di fluido avente massa M = ρ ∆V la prima legge di Eulero, che gene-ralizza la seconda legge di Newton, la quale dice che la risultante delle forze di massa F e di su-

perficie S applicate all'elemento fluido ne eguaglia la forza di inerzia, si ottiene l'equazione delmoto del fluido:

D D t (ρ U ∆V) = ( F + S ) (3.8a)

La derivata dal particolare simbolo maiuscolo, che studieremo in § 3.3.1, sta a significare checonsideriamo la variazione della quantità ρ U ∆V mentre l’elemento di fluido si muove, come sel’osservatore lo cavalcasse. Poiché l’elemento fluido non perde né acquista massa durante il suospostamento, la (3.8a) equivale alla:

ρ D UD t ∆V = F + S (3.8b)

3.3.1 DERIVATA SOSTANZIALE E DERIVATA TOTALE

La derivata che esprime l'accelerazione nelle equazioni (3.8) deve considerare che il punto dicalcolo si sta spostando con il moto del fluido; pertanto, essendo la velocità:

U = U [ x(t), y(t), z(t), t ]

la sua derivata si deve calcolare con la regola della derivazione concatenata. Risulta così:




3110/11/09

D UD t =

∂ U ∂ t

+∂ U∂ x

d xd t +

∂ U ∂ y

d yd t +

∂ U ∂ z

d zd t

Constatato che:

d xd t = u ; d y

d t = v ; d zd t = w

si ottiene l'espressione:

D UD t =

∂ U ∂ t

+∂ U∂ x

u +∂ U ∂ y

v +∂ U ∂ z

w (3.9a)

la quale ci dice che la velocità U dell'elemento fluido cambia perché ( Fig. 3.4):

a) nell'intervallo di tempo d t anche la velocità in B è infinitesimamente cambiata,

b) l'elemento inizialmente posizionato nel punto A, spostatosi nel tempo infinitesimo d t alla

nuova posizione B, a distanza infinitesima da A, trova una velocità diversa da quella che a-veva in A.

Secondo la definizione data da Reynolds, questo fatto è espresso, a meno di infinitesimi di ordi-ne superiore, dalla (3.9a) che è chiamata DERIVATA MATERIALE – variazione della velocità rile-vata dall’osservatore che cavalca il punto materiale – o DERIVATA SOSTANZIALE.

La (3.9a) si scrive più sinteticamente in termini vettoriali come prodotto scalare del vettore U edel gradiente del medesimo vettore:

D UD t =

∂ U ∂ t

+ ( U . ∇ ) U (3.9b)

Il primo termine ∂ U ∂ t

della (3.9b) prende il nome di accelerazione locale a indicare quanto detto

al punto (a); il secondo termine ( U . ∇ ) U prende il nome di accelerazione convettiva in quantoè legata al movimento della particella come si è visto al punto (b).

La derivata definita dalle (3.9) è comunemente chiamata anche derivata totale. Per la precisione,invece, la DERIVATA TOTALE indica la variazione di velocità rilevata da un osservatore che simuove con generica velocità V diversa da U. Essa è rappresentata con l’usuale simbolo minu-scolo:

d U

d t=

∂ U

∂ t+ ( V . ∇ ) U

Notiamo che in moto permanente, ove i caratteri cinematici del moto del fluido sono invariabilinel tempo, la derivata sostanziale non è nulla. Infatti, se:

∂ U ∂ t

= 0

risulta:

D UD t =

∂ U∂ x

u +∂ U ∂ y

v +∂ U ∂ z

w




3210/11/09

3.3.2 EQUAZIONE I NDEFINITA DEL MOTO PER FLUIDO PERFETTO ( EQUAZIONE DI EULERO )

Applichiamo l'equazione (3.8b) al volumetto materiale ∆ V = dx dy dz e proiettiamola sugli assicoordinati di Fig.3.3:

ρ ∆V D uD t = Fx + S x

ρ ∆V D vD t = Fy + S y (3.10)

ρ ∆V D wD t = Fz + S z

La forza di massa (o di volume) è costituita dal peso del volumetto, diretto verticalmente e ver-so il basso, e ha componenti:

Fx = 0

Fy = 0

Fz = - g ρ ∆V

Essendo∂ z∂ x

=∂ z∂ y

= 0 ,∂ z∂ z

= 1, le relazioni precedenti possono porsi formalmente come:

Fx = - ρ g ∆V∂ z∂ x

Fy = - ρ g ∆V∂ z∂ y

(3.11)

Fz = - ρ g ∆V∂ z∂ z

Ammettiamo, per semplicità, che il fluido, detto FLUIDO PERFETTO o IDEALE, sia caratterizzatoda una legge costitutiva molto semplice; al suo interno non esistono sforzi viscosi ossia il tenso-re dello sforzo viscoso introdotto con la (1.5) è ovunque nullo: = 0.

Poichè esiste solo la pressione p risulta da Fig.3.3:

Sx = -∂ p∂ x dx (dy dz)

Sy = - ∂ p∂ y dy (dx dz) (3.12)

Sz = -∂ p∂ z

dz (dx dy)

Sostituendo le relazioni (3.11) e (3.12) nelle equazioni (3.10), otteniamo:

ρD uD t = -

∂ ∂ x

( p + ρ g z )

ρD v

D t= -

∂

∂ y( p + ρ g z ) (3.13)




3310/11/09

ρD wD t = -

∂ ∂ z

( p + ρ g z )

Queste sono le proiezioni secondo le direzioni coordinate della equazione di Eulero:

ρ D UD t = - grad (γ z + p) (3.14a)

Per fluido incomprimibile e avente densità uniforme, possiamo estrarre il peso specifico γ dallooperatore gradiente e dividere per γ , ottenendo il risultato che utilizzeremo nei paragrafi seguen-ti:

1g

D UD t = - grad ( z +

pγ ) (3.14b)

La quantità:

h = z + pγ (3.15)

è la somma di QUOTA GEODETICA z e ALTEZZA PIEZOMETRICA Y = pγ ed è chiamata QUOTA

PIEZOMETRICA.

Il problema del moto del fluido affrontato in maniera più generale, ossia considerando la pro- prietà fisiche del FLUIDO REALE, nel quale è presente lo stato di sforzo viscoso definito con la(1.5), conduce a un'equazione vettoriale parzialmente diversa dalle (3.14). Questo argomento, lacui trattazione esula dal programma di Fondamenti di Idraulica, è presentato in Cap.12.

3.3.3 EQUAZIONE DI BERNOULLI

A partire dalla (3.14b) calcoliamo il lavoro che compiono le forze d'inerzia e le forze esterne applicate alla particella elementare (di volume unitario) quando essa si sposta lungo la sua traietto-ria (vedi Fig. 3.4) di un tratto:

d s = dx i + dy j + dz k .

Moltiplicando, con prodotto scalare, le forze per lo spostamento otteniamo il lavoro:

1g

D UD t . d s = - grad ( h ) . d s

che, dopo aver sviluppato il prodotto scalare, fornisce:1g (

d ud t d x +

d vd t d y +

d wd t d z ) = - (

d hd x d x +

d hd y d y +

d hd z d z )

Essendod xd t = u e così via, si ottiene:

12 g d ( u2 + v2 + w2 ) = - dh

Essendo il quadrato del modulo del vettore velocità U :

U2

= ( u2

+ v2

+ w2

)




3410/11/09

si ottiene in definitiva l'equazione proposta dal fisico e matematico svizzero Daniele Bernoulli nel 1738 (EQUAZIONE DI BERNOULLI):

d ( U2

2 g + h ) = 0 (3.16a)

la quale dice che nel suo movimento lungo una traiettoria, l'insieme delle forze inerziali ed e-sterne applicate a una particella di fluido perfetto non compie lavoro, ossia la particella mantienecostante la sua energia totale.

Ricordando le semplificazioni fatte nel corso degli sviluppi analitici di questo e del precedente paragrafo, osserviamo che:

- il primo termine della (3.16) equivale alla energia cinetica della particella, è chiamato AL-TEZZA CINETICA ed è indicato con il simbolo:

hc =U2

2 g (3.17)

- il secondo termine della (3.16) equivale alla energia potenziale della particella ed è chiamatoquota piezometrica, come si è visto nella definizione (3.15);

- la somma dei due termini della (3.16), che rimane costante nel corso del movimento della particella, è chiamata CARICO TOTALE:

H = h +U2

2 g (3.18)

In questo modo si dimostra che, se sulle facce della particella non agiscono sforzi tangenziali, ilmoto della particella lungo la traiettoria non è dissipativo. La dissipazione di energia è causata

dalla azione frenante della viscosità che è rappresentata dalla relazione di Newton (1.7): questoargomento sarà affrontato in Cap. 6, nel caso di moto (assial simmetrico) nei condotti, e, nellasua generalità, in Cap.12. Ovviamente, quando il moto è permanente, l’equazione di Bernoulli(3.16) vale sulla linea di flusso.

Utilizzando la definizione di carico totale (3.18), la (3.16a) può scriversi nella forma equivalen-te:

∂ H∂ s

= 0 (3.16b)

Ossia, la derivata del carico totale rispetto alla tangente alla traettoria è nulla.

3.3.4 CORRENTE GRADUALMENTE VARIATA

Consideriamo il tubo a sezione costante e a sviluppo rettilineo, come in Fig. 3.7, nel quale le li-nee di flusso sono rettilinee e parallele, come è illustrato nello schema di Fig. 3.5a. Poiché, se ilmoto è permanente, anche il modulo della velocità si mantiene costante lungo qualunque traiet-toria: (1) il vettore velocità è indipendente dal tempo e dalla posizione; (2) per la eq.(3.9),l’accelerazione della generica particella è nulla.

In tal caso, l’equazione di Eulero (3.13) si riduce a:

∂

∂ x (z +

p

γ ) = 0 (3.19a)




3510/11/09

∂∂ y

(z + pγ ) = 0 (3.19b)

∂

∂ z

(z + p

γ

) = 0 (3.19c)

Dalla (3.19a) e (3.19b) si ottiene che su ogni piano orizzontale la pressione è costante.

Poiché la (3.19c) dice che:

∂ h∂ z

= 0

si deduce che la pressione varia con la quota z con una legge analoga alla legge di Stevin dellaIdrostatica (2.5):

h = z + p

γ

= cost (3.20)

ossia, per un tubo rettilineo a sezione costante, la quota piezometrica è la stessa in ogni punto diuna sezione perpendicolare alla direzione del flusso e, quindi, è sufficiente calcolare o misurarela pressione al centro della sezione per conoscerla in ogni punto della sezione.

Consideriamo il secondo schema, illustrato in Fig. 3.5b, nel quale è rappresentata una traiettoriacurvilinea. Poiché le traiettorie non sono rettilinee, il vettore velocità non è più costante anche sela sezione del tubo è uniforme (vedi Fig. 3.7) e il modulo della velocità rimane costante. Consi-deriamo, per semplicità di raffigurazione (vedi Fig. 3.6a), un moto nel piano x – z; le componen-ti del vettore velocità U variano al variare dell’angolo θ:

u (θ) = U cos θ

w (θ) = - U sen θ

Poiché la posizione della particella lungo la linea di flusso cambia nel tempo, ossia θ = θ (t), lederivate temporali delle componenti della velocità non si mantengono costanti: la particella ac-celera. Le componenti ax e az dell’accelerazione sono calcolate con la regola di derivazione difunzione di funzione:

ax ( θ ) =∂ u∂ t

=∂ u∂ θ

∂ θ∂ t

(3.21a)

az

( θ ) =∂ w

∂ t=

∂ w

∂ θ ∂ θ

∂ t(3.21b)

Essendo:

∂ u∂ θ

=∂ ∂ θ

( U cos θ) = - U sen θ (3.22a)

∂ w∂ θ

=∂ ∂ θ

(- U sen θ) = - U cos θ (3.22b)

e, poiché s = r θ, ove r è il raggio di curvatura dell’arco di linea di flusso considerato, e la velo-cità di spostamento della particella lungo la sua traiettoria è U, risulta:




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∂ θ∂ t

= r -1 ∂ s∂ t

= r -1 U (3.23)

otteniamo, sostituendo le (3.22) e la (3.23) in (3.21):

ax ( θ ) = - U2r sen θ (3.24a)

az ( θ ) = -U2

r cos θ (3.24b)

Per semplificare le relazioni (3.24) passiamo dalle coordinate assolute alle coordinate locali: in-fatti se scegliamo opportunamente gli assi coordinati, ponendone l'origine nel punto P e orien-tandoli in modo che la direzione dell’asse x sia tangente alla linea di flusso mentre l’asse z sia adessa normale (se adottiamo la convenzione che la direzione della normale esce alla sinistra dellatraiettoria, quando la traiettoria è percorsa in senso orario, come nell’esempio di Fig. 3.6b, la di-rezione positiva di n coincide con quella dell’asse z ), le (3.24) si riducono a:

at = ax ( 0 ) = 0 (3.25a)

an = az ( 0 ) = -U2

r (3.25b)

Le (3.25) dicono che l’accelerazione tangenziale è nulla mentre esiste una accelerazione normalealla traiettoria, detta anche accelerazione radiale o, essendo diretta verso il centro di curvatura,accelerazione centripeta.

Introducendo la (3.25a) nella prima delle (3.13) otteniamo la (3.19a). Introducendo la (3.25b)nella terza delle (3.13) e ricordando la definizione (3.15), ricaviamo che la variazione della quo-ta piezometrica in direzione normale alla traiettoria è proporzionale alla accelerazione centripe-ta:

∂ h∂ n

=U2

g r (3.26)

ove r è il raggio di curvatura della traiettoria.

La quota piezometrica varia sulla sezione perpendicolare all’asse del condotto curvo (gomito) diFig. 3.7 come ci dice l’equazione (3.26); considerando per semplicità che, spostandosi lungo ilraggio normale alle traiettorie dal punto B al punto A, tra loro distanti D, la velocità sia semprela stessa e la variazione del raggio r sia trascurabile, otteniamo:

hA - hB = U2

Dg r (3.27)

Qualora la traiettoria sia percorsa in senso antiorario, nella (3.26) la variazione di h è proporzio-nale a meno l’accelerazione centripeta. Per completezza, osserviamo che, per tubazione curvagiacente sul piano orizzontale x – y avente il versore normale n diretto secondo l’asse y, gli svi-luppi esposti sopra forniscono la:

∂ p∂ n

=ρ U2

r (3.28)

Per r = ∞ , le equazioni (3.26) e (3.28) si riducono alla (3.20) la quale dice che la quota piezome-

trica tra traiettorie contigue non cambia. Dunque in una sezione trasversale di una corrente con




3710/11/09

traiettorie rettilinee e parallele esiste una unica quota piezometrica: questa corrente è chiamataCORRENTE GRADUALMENTE VARIATA.

Notiamo che l'uguaglianza della quota piezometrica nella sezione di solito implica che il caricototale sia variabile nella sezione. Poiché risulta necessario individuare un unico valore conven-zionale del carico totale sulla sezione, al quale riferire il calcolo idraulico, si dovrà definire il ca-rico totale introducendo nella equazione del moto la nozione di velocità media della corrente(3.6) attraverso la dimostrazione presentata in Cap.5.




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4. FORONOMIA

Con l'equazione di Bernoulli è possibile calcolare la portata che effluisce da una luce aperta nel-la parete di un serbatoio o che stramazza sopra una paratoia. In questi casi, l'elemento di fluidosubisce deformazioni lente e trascurabili e la velocità di deformazione del fluido risulta trascura-

bile. Ricordando la (1.7) si deduce che gli sforzi viscosi sono anch'essi trascurabili e il fluido re-ale, che è viscoso, si comporta come il fluido perfetto.

4.1 LUCE DI FONDO

Applicando l'eq. (3.16) tra A, nel serbatoio, e B, punto qualsiasi della sezione contratta della ve-na effluente, ove la pressione ha valore atmosferico, otteniamo (Fig.4.1):

( z + pγ )A = ( z +

U2

2 g )B (4.1)

Essendo:

( z + pγ )A - zB = h + δ

la (4.1) diventa, con riferimento ai simboli della Fig.4.1:

U = 2 g h (1 +δh ) (4.2a)

Ponendo approssimativamente δ / h = 0 , dalla (4.2a) si ottiene la formula di Torricelli:

U = 2 g h (4.2b)

Essendo la velocità effettiva più piccola della velocità torricelliana e l'area della sezione contrat-ta più piccola dell'area della luce, otteniamo la portata:

Q = Ue AC = µ A 2 g h (4.2c)

introducendo il:

- coefficiente di velocità Ue = Cv U

- coefficiente di contrazione Ac = Cc A

- coefficiente di efflusso µ = Cv CC

Quando la contrazione della vena si esercita lungo l’intero perimetro della luce a spigolo vivorisulta µ = 0.60 ; nel caso di luce con bordo smussato il coefficiente di efflusso aumenta in quan-to diminuisce la contrazione della vena e può giungere fino a µ = 0.97 .

4.2 PARATOIA PIANA

Sotto la paratoia piana, posta a sbarrare un canale, è lasciata un luce rettangolare alta a e larga b dalla quale effluisce una corrente come in Fig.4.2: consideriamo ora il caso di efflusso liberonell’atmosfera (Fig.4.2 a). Il più complicato caso di efflusso annegato (Fig.4.2 b) sarà trattato nelcorso di Idraulica applicata.

Per la situazione descritta in Fig.4.2 a, otteniamo, seguendo la traiettoria tra il punto A, interno




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al serbatoio, e il punto B, nella sezione contratta ove la pressione ha distribuzione idrostatica:

h = CC a +U2

2 g

da cui :U = 2 g (h - CC a) (4.3)

essendo approssimativamente CC = 0.61; con le considerazioni viste sopra otteniamo la portata:

Q = µ a b 2 g (h - CC a) (4.4)

Nella (4.4) il coefficiente di efflusso, che varia leggermente con il rapporto h /a, può porsi in prima approssimazione costante: µ = 0.58.

Nel caso in cui la paratoia di Fig.4.2 sia disposta a sbarrare un canale, poiché non può essere tra-scurato il contributo della velocità in arrivo a monte della paratoia, nel calcolo della portata si

dovrebbe includere anche l’altezza cinetica della corrente in arrivo. Solitamente, invece, si uti-lizza ancora la formula (4.4) con valori dei coefficienti sperimentali modificati. Per un canalerettangolare possiamo accettare per 2 < h/a < 5: CC = 0.72 e µ = 0.59.

4.3 LUCE DI COMUNICAZIONE TRA DUE SERBATOI

La vena che effluisce dal serbatoio superiore si dice annegata. Applicando l'equazione di Ber-noulli come in Fig.4.3:

HA = HB

otteniamo:

U = 2 g ∆ (4.5)

La portata viene calcolata moltiplicando la velocità (4.5) per l'area della sezione contratta.

4.4 LUCE A BATTENTE IN PARETE VERTICALE

Applicando l'equazione di Bernoulli alla luce rettangolare, larga b, illustrata in Fig.4.4 e notandoche nella sezione contratta la pressione è ovunque pari alla pressione atmosferica che agisce sulcontorno della vena effluente, otteniamo:

U = 2 g (h - z)La velocità di efflusso nella sezione contratta non è uniforme poiché dipende dalla quota del

punto considerato; di conseguenza la portata deve essere calcolata come:

Q = CC Cv b 2 g ⌡⌠ z2

z1 ( h - z )

½d z (4.6)

Risolvendo l’integrale (4.6), otteniamo:

Q = µ b 2 g [ ( h2)3/2 - (h1) 3/2 ] (4.7)

ove:




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µ =23 CC Cv

Se l’apertura nella parete piana è circolare, l’esperienza fornisce i seguenti valori:

CC = 0.64 , Cv = 0.98 dai quali risulta µ = CC Cv = 23 0.62 = 0.418.

Per altezza della luce piccola, ossia per: ∆ << hm con hm =0.5 (h2 + h1) e ∆ = 0.5 (h2 - h1),sviluppando in serie l’eq. (4.6), arrestando lo sviluppo al termine del primo ordine e definendol’area della luce A = 2 b ∆, si ottiene una formula semplificata valida quando la luce è di formaqualunque ma di piccole dimensioni:

Q = µ A 2 g hm (4.8)

che è uguale alla eq. (4.2c).

Qualora venga applicato alla luce un tubo addizionale interno, detto tubo di Borda, si dimostra,

applicando la equazione globale dell’equilibrio idrodinamico (cfr. § 7.1), che la portata effluenteè ancora data dalla relazione (4.8) con µ = 0.5.

4.5 LUCE A STRAMAZZO

Uno stramazzo è costituito da una luce che abbia il contorno superiore aperto: di solito lo stra-mazzo ha sezione rettangolare con contorno inferiore orizzontale.

Se il liquido a monte dello stramazzo di Fig.4.5 è in quiete, avendo posto:

h1 = 0

si ottiene dalla eq. (4.7), avendo rinominato h2 = ∆ :

Q = µ b 2 g ∆ 3/2 (4.9a)

ove ∆ è detto carico sullo stramazzo. Nella pratica si usa separare la contrazione sul contorno in-feriore da quella sui lati. Francis verificò sperimentalmente che la formula:

Q = 0.407 ( b - 0.2 ∆ ) 2 g ∆ 3/2 (4.9b)

è accettabilmente precisa per b > 3 ∆ . Notiamo che il coeffciente di efflusso è µ = 23 0.611 =

0.407.

Lo STRAMAZZO BAZIN è un particolare tipo di stramazzo, costituito da una parete verticale postaa chiudere un canale rettangolare: l'altezza t della parete è chiamata petto dello stramazzo. Laforma dello stramazzo Bazin utilizzato per la misura della portata in un canale, è stabilita danorme UNI. La sezione contratta si trova a pressione atmosferica solo nel caso di vena aerata.L’analisi dimensionale e la verifica sperimentale mostrano che se, come nello stramazzo Bazin,non è trascurabile la altezza cinetica della corrente in arrivo la (4.9) deve essere leggermentemodificata. Con una serie di esperimenti condotti tra il 1888 e il 1898, fornì una prima espres-sione del coefficiente µ che è stata inseguito sostituita da altre formule più moderne.

Si è dimostrata molto valida la formula di Rehbock (1929), che nella sua forma più precisa as-sume l’espressione:

Q = µ b 2 g (∆ + 0.00125) 3/2 (4.10a)




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con:

µ = 0.4013 + 0.0555∆t (4.10b)

che tiene conto del fatto che la corrente giunge allo stramazzo con una velocità di arrivo. Laformula di Rehbock fornisce risultati con approssimazioni del 1 ÷ 2 % se il carico sullo stramaz-zo è misurato a monte dello stramazzo medesimo di una distanza Lmis:

Lmis

∆ = 2.67

Nella pratica è accettabile che il rapporto sia compreso tra 2.5 e 3.0. Inoltre deve essere (con va-lori dati in metri): 0.03 < ∆ <0.75 , b > 0.3 , t > 0.3 , ∆/t <1 . La formula di Rehbock è stata este-sa da White (1975) che sulla base di nuovi esperimenti ha proposto la espressione:

Q = µ b 2 g (∆ + 0.001) 3/2

(4.10c)

con:

µ = 0.3988 + 0.0598∆t (4.10d)

che fornisce risultati del tutto simili alla precedente; i limiti di applicazione della formula sono più ampi di quelli della formula precedente:

∆ > 0.02, t > 0.15 , ∆/t < 2.2

Si osservi che non esiste contrazione sui lati del canale.

Qualora la vena effluente dallo stramazzo non fosse aerata, come accade quando la faccia infe-

riore della vena non è a contatto con l’atmosfera, la portata effluente risulta superiore al valorefornito dalla espressione (4.10a). Infatti, se la pressione intorno alla sezione contratta non è o-vunque pari alla atmosferica (vedi Fig.4.5), la relazione (4.6) si riscrive introducendo la pressio-ne che si stabilisce nei punti della sezione contratta:

Q = CC Cv b 2 g ⌡⌠ z2

z1 [ z1 - ( z +

pγ ) ]

½ d z (4.11)

Sostituito nella (4.11) il termine pγ , che risulta:

pγ = pd

γ z1 - zz1 - z2

in quanto la pressione nella sezione contratta cresce linearmente con la quota e va dal valore mi-

nimo (numero negativo essendo la pressione relativa negativa) che scriviamo come pd

γ , per z =

z2 , al valore zero, per z = z1 , si ottiene integrando:

Q = µ b 2 g ∆ 3/2

( 1 - pd/ γ

∆ )1/2

(4.12)

Notiamo che

pd

γ < 0 e, quindi, la (4.12) fornisce una portata più grande della (4.9). Si può assu-




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mere, in prima approssimazione, che il coefficiente di efflusso non cambi rispetto a quelli defini-ti più sopra.

Nella pratica oltre allo stramazzo Bazin sono impiegati per misurare la portata uscente da un serbatoio anche (Fig.4.6): lo stramazzo trapezio, detto STRAMAZZO CIPOLLETTI, e lo stramazzotriangolare, detto STRAMAZZO THOMPSON, utile quando la portata da misurare è piccola. Se,come viene illustrato in figura, assumiamo il piano di riferimento dell’asse della quota z positivoverso il basso e passante per il pelo libero, otteniamo:

Q = Cc Cv 2 g [ b ⌡⌠ 0

∆z

1/2 d z + 2 s ⌡⌠

0

∆z

1/2 (∆ - z )d z ] (4.13)

ove: b è la larghezza del petto dello stramazzo, s = tan θ è la pendenza delle sponde dello stra-mazzo, ∆ è il carico sullo stramazzo. Risolti gli integrali, otteniamo:

Q = Cc Cv 2 g [ b

2

3 z

3/2 + 2 s (∆

2

3 z

3/2

-

2

5 z

5/2

)] ∆

0 (4.14)In definitiva, per lo stramazzo Cipolletti , per il quale è s = 0.25 , si ottiene:

Q = µ 2 g b ∆3/2

[ 1 +∆

5 b ] (4.15a)

ove il coefficiente di efflusso è, come abbiamo già visto:

µ =23 CC Cv

Il termine moltiplicativo, entro parentesi quadra, ha l’effetto di compensare la diminuzione del

coefficiente di efflusso dovuta alla contrazione della vena effluente sui lati dello stramazzo.Per lo stramazzo triangolare, essendo b = 0 , si ottiene :

Q = µ 2 g4 s5 ∆

5/2(4.15b)

Il coefficiente di efflusso può essere assunto in prima approssimazione pari a: µ = 0.401. Al soli-to per l’apertura triangolare si adotta:

θ = 45° Q = 1.421 ∆5/2

oppure:

θ = 30° Q = 0.820 ∆5/2

4.6 TUBO DI PITOT

Questo strumento di misura utilizzato da Pitot nei suoi studi sperimentali sugli effetti della resi-stenza al moto delle correnti nei canali (1730), fu da lui presentato in una comunicazione allaAccademia Reale di Parigi nel 1732.

Il dispositivo ideato da Pitot deduce la velocità in un punto A di un condotto dalla misura direttadella altezza cinetica, rilevabile dalla differenza di lettura di due piezometri (Fig. 4.7). Appli-cando l'equazione di Bernoulli tra i due punti vicini: A, ove si vuol misurare la velocità, e B,detto punto di ristagno, ove il moto della particella viene arrestato dalla punta dello strumento equindi la sua velocità si annulla, otteniamo:




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la sua velocità si annulla, otteniamo:

[ zB + ( pγ )B ] - [ zA + (

pγ )A ] =

UA2

2 g

Chiamata la differenza di quota piezometrica:

∆ = [ zB + ( pγ )B ] - [ zA + (

pγ )A ]

otteniamo:

UA = 2 g ∆ (4.16)

4.7 MISURATORE A GOMITO

E' un dispositivo per la misura della portata che sfrutta l’osservazione fatta in eq.3.27 di § 3.3.4 a

proposito della differenza di quota piezometrica tra le estremità della sezione di una corrente incurva. Nell’apparecchio, illustrato in Fig. 4.8, il valore della portata è dedotto dalla lettura ∆ delmanometro differenziale attraverso la formula:

Q = µ Ar D g ∆

γm - γγ (4.17)

ove, come si vede in figura, il gomito è a 90° e le prese di pressione sono poste a 45°, ossia ametà curva. Il coefficiente µ è dato sperimentalmente:

µ = 1 – 6.5 Re-1/2 (4.18)

La definizione (4.18) del coefficiente di efflusso µ è valida, con un errore di ± 4%, quando ilnumero di Reynolds del condotto, definito dalla (6.14b), è compreso tra 104 ≤ Re ≤ 106 e, inol-tre, il raggio di curvatura è: r / D ≥ 1.25.




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5. EQUAZIONE DI BERNOULLI GENERALIZZATA

In un tubo di flusso è costante la portata della corrente in moto permanente. Se consideriamo untubo di flusso di dimensione infinitesima che avvolge la traiettoria alla quale applichiamo la eq.(3.16b) e moltiplichiamo tale equazione per il flusso di liquido pesante γ d Q = γ U d A che ècostante lungo il tubo, otteniamo che lungo il tubo di flusso:

∂ ∂ s

( γ H U d A) = 0

Il termine che compare entro parentesi è il flusso di energia del fluido (ovvero la potenza dellacorrente) che attraversa la sezione trasversale del tubo: la relazione soprascritta enuncia che la

potenza di un fluido perfetto e incomprimibile che si muove di moto permanente rimane costan-te.

Integrando a un tubo di dimensioni finite con sezione trasversale di area A otteniamo:

∂ ∂ s (⌡⌠ A

γ H U d A ) = 0 (5.1)

Integrando la (5.1) tra due sezioni del tubo di flusso, 1 e 2 , nelle quali la corrente è gradualmen-te variata e la quota piezometrica è univocamente definita, otteniamo:

[ γ h Q +⌡⎮⌠

A

γ U2

2 g U dA ]1

= [ γ h Q +⌡⎮⌠

A

γ U2

2 g U dA ]2

Se introduciamo la velocità media della corrente sulla sezione, definita come:

U m = QA

e il coefficiente di ragguaglio per la potenza cinetica o coefficiente di Coriolis, definito come:

α =

⌡⌠ A

U3 dA

Um3 A (5.2)

otteniamo l'espressione formalmente più semplice:

[ γ Q ( h + α Um

2

2 g ) ]1

= [ γ Q ( h + α Um

2

2 g ) ]2

(5.3)

La quantità:

H = h + α Um

2

2 g (5.4)

si chiama ancora carico totale; dobbiamo notare, come fatto estremamente importante, che il ca-rico totale della corrente dato con la eq. (5.4) è definito in modo univoco sulla sezione trasversa-le del tubo (ove la corrente sia gradualmente variata), a differenza del carico totale dato con laeq. (3.17) che varia nella sezione passando da una traiettoria all'altra.

Si dimostra che il coefficiente di Coriolis è sempre maggiore di uno; nei casi di importanza pra-tica risulta α = 1.06 ÷ 1.08 per cui nella soluzione dei problemi pratici si può porre: α = 1.




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In alternativa a questa definizione di carico totale in una sezione della corrente, possiamo defini-re più direttamente il carico totale medio alla maniera di Boussinesq (1877).

Mediando sulla sezione trasversale al tubo di flusso il carico definito nei singoli punti:

Η = 1A

⌡⎮⌠

A

( h + U22 g ) dA (5.5)

ricaviamo per corrente gradualmente variata nella sezione:

H = h + β Um

2

2 g (5.6)

Il coefficiente β di ragguaglio dell'altezza cinetica media o della quantità di moto della corrente,come si vedrà nel Cap. 7, è detto coefficiente di Boussinesq:

β = ⌡⌠ A

U2 dA

Um2 A (5.7)

Le due definizioni sono altrettanto valide anche se producono risultati leggermente diversi inquanto, a parità di condizioni, β < α .

5.1 ESTENSIONE AI FLUIDI R EALI

Escludendo i casi considerati in cap. 4, la idealizzazione di fluido perfetto non è accettabile nellarealtà e la (3.16) non è applicabile. Se, però, consideriamo che la resistenza che il fluido reale

incontra nel suo movimento in un tubo o in un canale si traduce in una perdita di potenza dellacorrente, possiamo tenere conto di tale fatto molto semplicemente trasformando la (5.3) nel mo-do seguente:

∂ ∂ s

[ ( h + α Um

2

2 g ) ] = - J (5.8)

La quantità J è sempre positiva e rappresenta la perdita di energia subita dall'unità di peso delliquido nel percorrere una distanza unitaria. Essa non ha dimensioni e prende il nome di CADEN-TE.

Integrando la eq. (5.8) tra la sezione 1 e la sezione 2 tra loro distanti L otteniamo (Fig.5.1):

H1 - H2 = ⌡⌠ L

J ds (5.9)

La quantità ⌡⌠ L

J ds è denominata correntemente PERDITA DI CARICO CONTINUA o DISTRIBUITA

in quanto dovuta al sommarsi delle infinitesime perdite che la corrente incontra con continuitàlungo il suo percorso.

La trattazione svolta sopra segue una procedura euristica utile per lo studio dei problemi sempli-ci dei fondamenti dell'idraulica; per la trattazione più esaustiva dell'argomento, che porta a rica-vare le equazioni del moto dei liquidi reali in forma del tutto generale, rimandiamo al Cap.12.




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5.2 MISURATORI DI PORTATA

I misuratori di flusso descritti nel seguito provocano un restringimento del tubo di flusso conaumento della velocità media, alla quale corrisponde una variazione della quota piezometrica;

poiché una corrente accelerata non è soggetta a dissipazione localizzata di energia (cfr. § 8.3) ele due sezioni 1 e 2 tra le quali si applica l'equazione di Bernoulli (5.3) sono tra loro vicine, in

prima approssimazione possiamo considerare il fluido perfetto.

5.2.1 TUBO CONVERGENTE

Applichiamo la equazione di Bernoulli estesa alla corrente tra la sezione iniziale e la sezione fi-nale del dispositivo di Fig. 5.2 , nelle quali la corrente è gradualmente variata. Osservato che l'a-rea della sezione di monte, con diametro D, è pari ad A1, l'area della sezione di valle, con diame-tro d, è A2 , otteniamo dalla (5.3):

δ = αQ2

2 g (1

A22 -

1A1

2 )

con:

δ = h1 - h2

Essendo la corrente gradualmente variata nelle due sezioni, la differenza di quota piezometricaδ si ottiene dalla indicazione ∆ del manometro differenziale con la relazione (2.9b).

Combinando le relazioni e tenendo conto, con il coefficiente µ , della leggera perdita di energiache la corrente subisce nel convergente (si noti che non esiste contrazione nel convergente rac-cordato) e del coefficiente di ragguaglio di Coriolis, otteniamo:

Q = µA1 A2

A12 - A2

2 2 g ∆ γm - γ

γ (5.10)

Il valore del coefficiente di efflusso µ è molto vicino alla unità ( 0.984 < µ < 0.995): si può as-segnare µ = 0.99 con errore trascurabile. Il principio di funzionamento del dispositivo per la mi-sura della portata in condotta illustrato nella figura, chiamato VENTURIMETRO, fu definito daGiovanni Battista Venturi nel 1797 e fu adottato per la costruzione di apparecchi di misuracommerciali da Clemens Herschel nel 1887: il tubo divergente di raccordo, che segue il tronco asezione ristretta 2, ha allargamento molto graduale per limitare la perdita di energia nello stru-mento, come si vedrà in § 8.4. La misura della portata è corretta solo se la corrente arriva indi-

sturbata al venturimetro; a tal fine l’apparecchio deve essere preceduto da un tratto di tubo dirit-to e di diametro costante lungo almeno 60 diametri.

5.2.2 DIAFRAMMA

È un dispositivo di misura della portata in un condotto che adotta il principio di funzionamentodel venturimetro ed è costituito da una piastra semplicemente forata (Fig. 5.3). Ha lunghezzamolto minore del venturimetro e quindi è di installazione più economica ma provoca una mag-giore perdita di energia. Detta A l’area del condotto di diametro D e a l’area della luce didiametro d , applicando la equazione di Bernoulli tra la sezione di misura a monte dello strumen-to e la sezione contratta posta a valle si trova che la portata è data dalla:




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Q = µ a 2 g ∆ γm - γ

γ (5.11)

Il coefficiente di efflusso è:

µ = CvCC

1 - CC2 (a / A)2

ove compaiono il coefficiente di velocità Cv e il coefficiente di contrazione CC.

Nella pratica il coefficiente µ , determinato per via sperimentale, viene fornito sulla scheda de-scrittiva dello strumento. Per i diaframmi in condizioni di normale funzionamento si passa da µ = 0.6 per d / D = 0.2 a µ = 0.75 per d / D = 0.8.

d/D 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

µ 0.61 0.62 0.63 0.65 0.70 0.75

Si noti che i valori del coefficiente di efflusso dati in tabella sono riferiti a correnti defluenti inregime di moto turbolento puro ( cfr. Cap. 6). Inoltre, nel caso di misure di precisione, deve es-sere attentamente curata la disposizione delle prese dei piezometri, la cui distanza dalla piastraforata influenza il coefficiente di efflusso.

5.2.4 BOCCAGLI

Quando il venturimetro classico risulta troppo ingombrante viene impiegato il BOCCAGLIO VEN-TURI che è più corto, come mostra la Fig. 5.4, e quindi è di più agevole installazione; inoltre, ilcoefficiente di contrazione dello strumento è di poco inferiore alla unità. Il boccaglio Venturidovrebbe essere utilizzato solo con:

- 0.065 ≤ D (m) ≤ 0.500

- 0.050 < d (m)

- 0.316 ≤ β ≤ 0.775

- 1.5 105 < Re < 2 106

ove β = d / D è il rapporto tra il diametro del tronco ristretto e il diametro del condotto e il nu-mero di Reynolds del condotto è Re = U D / ν . In queste condizioni il coefficiente di efflusso dainserire nella (5.11) è dato dalla formula:

µ = 0.9858 –0.196 β4.5 (5.12)

Il BOCCAGLIO, costituito da una piastra sagomata e descritto in Fig. 5.5, è un dispositivo che hadimensioni intermedie tra il venturimetro e il diaframma: la portata defluente in condotta è cal-colata ancora con la formula (5.11). Esistono vari tipi di boccagli normalizzati; il coefficiente diefflusso del tipo ASME long-radius illustrato in figura è dato, con il solito significato dei simbo-li, dalla formula:

µ = 0.9965 – 0.00653 β1/2

(

10 6

Re )

1/2

(5.13)




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6. IL MOTO DEI FLUIDI R EALI

Quando un fluido viscoso inizia a scorrere su una superficie fissa, come ad esempio la faccia in-terna di un condotto che si diparte da un serbatoio, la viscosità fa risentire il suo effetto su unostrato di fluido, chiamato STRATO LIMITE, relativamente sottile e aderente alla parete; al di fuoridi questo strato, il fluido si comporta come se fosse perfetto.

Nello strato limite la velocità delle particelle di fluido cresce rapidamente dal valore zero in ade-renza alla parete, come si disse in § 1.1, alla velocità delle particelle più distanti che non risento-no dell'ostacolo, ossia si muovono come se l'ostacolo non ci fosse. Nello strato limite, il gradien-te di velocità in direzione perpendicolare alla parete e, quindi, lo è anche la velocità di deforma-zione angolare. Di conseguenza l'influenza della viscosità è molto forte, all'esterno dello stratolimite ove la velocità varia poco con la distanza dalla parete e la velocità di deformazione ango-lare, definita in eq. (1.8), è praticamente nulla, l'azione della viscosità è trascurabile.

Lo spessore δ dello strato limite è definito in vari modi; secondo la convenzione più comune si

dice che lo strato limite finisce ove la velocità della particella differisce dell'1% da quella che siavrebbe se il fluido fosse perfetto.

6.1 CRESCITA DELLO STRATO LIMITE

Consideriamo la lastra piana immersa nel fluido che si muove indisturbato come in Fig.6.1. A partire dal labbro iniziale del condotto ( x = 0 ) si sviluppa lo strato limite.

La velocità delle particelle varia in direzione perpendicolare alla lastra; le traiettorie si manten-gono rettilinee e si dice che le particelle nello strato limite hanno MOTO LAMINARE. Nell'ipotesiche nello strato limite il moto sia uniforme e gradualmente variato, applicando le leggi della

meccanica dei fluidi e verificando i risultati del calcolo con gli esperimenti si trova la legge dicrescita dello strato limite laminare:

δL

x = 5.0 ( U0 x

ν ) -1/2

(6.1a)

essendo δL lo spessore dello strato limite laminare alla distanza x dall’inizio, U0 la velocità delfluido esternamente allo strato limite, ν la viscosità cinematica del fluido.

L’azione della parete che oppone resistenza al moto del fluido, in quanto arresta le particelle adessa adiacenti, è espressa dal valore dello sforzo tangenziale alla parete τ

0(N m-2) che risulta:

τ0ρ U02 = 0.332 (U0 xν )

-1/2

(6.1b)

Nelle relazioni (6.1a) e (6.1b) compare il quoziente adimensionale:

Rex

=U0 x

ν (6.2)

che è chiamato NUMERO DI R EYNOLDS (Re). A numeratore del quoziente compaiono la lun-ghezza e la velocità caratteristiche del problema allo studio: nel nostro caso si tratta della lun-ghezza del tratto di lastra a contatto col fluido, che va dallo spigolo alla posizione in esame edella velocità della corrente indisturbata. Per rimarcare che il Numero di Reynolds riferito allasituazione locale (6.1) dello strato limite non va confuso con il Numero di Reynolds globale che




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sarà introdotto in § 6.14, si usa apporre un pedice al simbolo, scrivendo Rex.

Notiamo inoltre che il quoziente:

u* =τ0

ρ (6.3)

ha le dimensioni di una velocità (m s-1): u* è detta VELOCITÀ D'ATTRITO. Con le definizioni

(6.2) e (6.3) la relazione (6.1b) diventa:

( u*U0

)2

= 0.332 Rex-1/2 (6.4)

Al crescere della distanza x dal labbro del condotto, lo spessore dello strato limite aumenta:quando lo spessore diventa sufficientemente grande, ossia quando Rex ≈ 105 ÷ 106, le particelle

prendono a muoversi all'interno dello strato limite in modo disordinato e le traiettorie si interse-

cano (questo tipo di movimento viene spiegato considerando che al moto "medio" delle particel-le si sovrapponga un moto di agitazione). Questa maniera agitata e confusa di muoversi da partedelle particelle viene chiamata MOTO TURBOLENTO e di conseguenza si dice che lo strato limiteè turbolento.

Contro la parete i movimenti delle particelle sono ostacolati e quindi l'agitazione turbolenta ri-sulta molto smorzata. In prossimità della parete esiste quindi un substrato laminare nel quale le

particelle si muovono di moto laminare. Lo spessore del substrato limite laminare risulta:

δsl = 11.6νu*

(6.5)

Però, se la PARETE è SCABRA le particelle prossime ad essa sono ostacolate nel loro movimentoregolare e di conseguenza il substrato laminare viene distrutto. In definitiva, poiché lo spessoredel substrato laminare diminuisce al crescere della velocità di attrito, nella maggior parte dei ca-si pratici accade che in prossimità di una superficie scabra il substrato laminare non esistaFig.6.2.

Si dimostra che la legge di crescita dello strato limite turbolento risulta:

δT

x = 0.37 Rex-1/5 (6.6a)

e che il valore dello sforzo tangenziale alla parete è:

( u*U0

)2

= 0.036 Rex-1/5 (6.6b)

Per fissare le idee, consideriamo il caso di una corrente, avente velocità indisturbata U0 = 2 m/s,che si immette in un condotto costituito da due lastre piane e parallele tra loro distanti D = 1 m.

Essendo ν = 10-6 (m2 s-1) la viscosità cinematica dell'acqua a 20°C:

- dalla (6.1a) otteniamo che lo strato limite diventa turbolento dopo soli 5 cm dall'inizio delcondotto poiché per x = 5 cm lo strato limite laminare raggiunge lo spessore δL = 0.80 mm eil numero di Reynolds definito dalla (6.2) raggiunge il valore 105,

- per la (6.6a) lo strato limite turbolento, sviluppandosi sia dalla parete superiore che da quella




5010/11/09

inferiore, giunge ad occupare l'intera sezione del condotto quando δT = D/2 ossia dopo untratto pari a x = 50.3 m dall'imbocco del condotto, con Re

x= 1.01 108 ,

- il valore della velocità di attrito della corrente turbolenta che occupa completamente il con-

dotto si deduce dalla (6.6b): u* = 0.060 m/s. La (6.5) fornisce lo spessore del substrato limitelaminare: δsl = 0.19 mm.

Analoghe considerazioni si possono fare per studiare il moto all'imbocco di un condotto circola-re.

6.2 MOTO UNIFORME: FORMULA DI DARCY - WEISBACH

Consideriamo il condotto circolare, inclinato dell’angolo θ rispetto all’orizzontale, di Fig.6.3,nel quale la corrente si muove di moto uniforme. La condizione di equilibrio, lungo l’asse delcilindro, del tronco di lunghezza L fornisce, dal confronto tra le forze attive e la forza resistente:

- ∆ p π r 02 + γ π r 02 L sen θ - 2 π r 0 L τo = 0 (6.7)

Notando che L sen θ = -∆z , nella relazione (6.7) si può esplicitare la differenza di quota piezo-metrica:

∆h = ∆z +∆ pγ

che, per la (3.17), equivale alla differenza di carico totale essendo nel moto uniforme ∆U = 0 e,anche, l'altezza cinetica ∆hc = 0:

∆H = ∆h + ∆hc = ∆h

Ricordando anche la definizione (5.5) di cadente, J = -∆HL , e la definizione (6.3) di velocità di

attrito, e sostituendo il diametro al raggio del condotto, D = 2 r 0 , la (6.7) si riduce a:

J =4D

τo

g ρ =4

g D u*2 (6.8a)

ossia:

u* =12 g D J (6.8b)

Moltiplicando e dividendo per la velocità media della corrente (che da qui in avanti indichiamocol simbolo U lasciando cadere il pedice m), dopo alcune elementari trasformazioni la (6.8a) as-sume la forma generale detta FORMULA DI RESISTENZA DI DARCY – WEISBACH, proposta daWeisbach nel 1845 e ripresa più tardi (1857) sotto una forma alquanto differente, da Darcy:

J =f D

U 2

2 g (6.9)

ove compare con il simbolo f il NUMERO INDICE DI R ESISTENZA AL MOTO, o fattore di resi-stenza di Darcy ( friction factor ):

Uu

*

= ( 8f )

1/2(6.10)




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La formula di resistenza (6.9) consente di calcolare la cadente quando siano noti, attraverso D eU , le caratteristiche geometriche e cinematiche e, attraverso l’indice di resistenza f , le caratte-ristiche dinamiche della corrente.

Nei prossimi paragrafi verranno ricavate le espressioni assunte dalla (6.10) nei diversi regimi dimoto.

Prima di passare all’analisi dei vari regimi di moto riprendiamo ancora il condotto circolare, in-clinato dell’angolo θ rispetto all’orizzontale e scriviamo la condizione di equilibrio lungo l’assedel generico cilindretto di lunghezza L , coassiale col tubo di raggio r 0 e illustrato in Fig.6.4.Scrivendo l’equilibrio tra le forze attive e la forza resistente, otteniamo:

∆ p π r 2 + γ π r 2 L sen θ = - 2 π r L τ (6.11a)

Il confronto tra le relazioni (6.7) e (6.11a) mostra che lo sforzo tangenziale nella direzione delmoto diminuisce linearmente dal valore massimo τ0 alla parete fino ad annullarsi all’asse delcondotto:

τ = τ0 r r 0

(6.11b)

Esaminiamo ora i diversi regimi di moto.

6.3 R EGIME LAMINARE

Come possiamo osservare in Fig.6.5 il fumo, che in calma d'aria si alza dalla punta di una siga-retta, ha inizialmente un andamento regolare ossia si muove di moto laminare; all'aumentare del-lo spessore della colonna di fumo iniziano a formarsi vortici di varie dimensioni e si innesca il

moto turbolento.Questa immagine, che riproduce in maniera molto semplificata la classica esperienza fatta daReynolds nel 1883, mostra che il fluido si muove in modo diverso secondo quelli che definiremoregimi di moto. Come abbiamo visto nei due paragrafi iniziali di questo capitolo:

- in regime laminare le particelle elementari di fluido si muovono secondo la direzione loroimposta senza oscillare nè perturbarsi;

- in regime turbolento invece le particelle si agitano intorno a una traiettoria media.

Esaminiamo ora in dettaglio il moto di una corrente in regime laminare. Questo studio, pur a-vendo scarsa importanza pratica, riveste un notevole valore didattico in quanto consente di se-guire in maniera molto semplice il procedimento di calcolo col quale viene esplicitata la defini-zione (6.10) del numero indice di resistenza per il caso di moto laminare.

Oltre al comportamento dell'acqua, che è il liquido naturale per eccellenza, svolgiamo anchequalche considerazione sul moto dei liquidi non newtoniani, introdotti in § 1.2 e in Fig.1.6, checaratterizzano fenomeni gravitativi, come le colate di fango e di detrito o le frane sottomarine,anche imponenti e, talvolta, disastrosi.

Nel condotto circolare di Fig.6.3 il moto ha simmetria radiale e il suo studio viene semplificatose è riferito a coordinate cilindriche come faremo nei prossimi paragrafi. Infatti, per la simmetrianon serve la coordinata angolare: il moto è esprimibile in funzione della direzione assiale x edella direzione radiale r .




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6.3.1 R EGIME LAMINARE DI LIQUIDO NEWTONIANO

Quando il moto di un liquido newtoniano, come l'acqua, è laminare il legame tra lo sforzo tan-genziale τrx che compare nella (6.11b) e la velocità di deformazione è espresso con la relazionecostitutiva di Reynolds (1.7):

τr x = - µd ud r

Pertanto la (6.11b) può essere integrata dopo aver separato le variabili, ottenendo:

u = -τ0

r 0 µ r 2

2 + C

Il valore della costante di integrazione si trova osservando che, per la condizione di aderenza, u= 0 quando r = r 0:

u =

τ0

2 r 0 µ (r 02

- r 2

) =

u*2

2 r 0 ν (r 02

- r 2

) =

g J

4 ν (r 02

- r 2

) (6.12)

La distribuzione di velocità sulla sezione ha la forma di un paraboloide coassiale col condottocon coefficiente di ragguaglio di Coriolis α = 2 che si ricava dalle (6.12) e (6.13b) introdottenella (5.2).

La portata si calcola facilmente con la LEGGE DI HAGEN - POISEUILLE proposta nel 1844 da Je-an-Louis-Marie Poiseuille e giustificata teoricamente da Hagen nel 1860:

Q = ⌡⌠ 0

r 02 π r u dr =

g π J8 ν r 0

4 (6.13a)

La velocità media, introdotto il diametro del condotto ( D = 2 r 0 ), risulta:

U =Q

π r 02 =

g J D2

32 ν (6.13b)

Esplicitando la cadente e moltiplicando e dividendo per 2 U ricaviamo:

J =64 νD2 U

U 2

2 g =64Re

1D

U 2

2 g (6.14a)

ove abbiamo introdotto il NUMERO DI R EYNOLDS DELLA CORRENTE nel condotto:

Re =ρ D U

µ =D U

ν (6.14b)

La relazione (6.14a) assume la forma generale (6.9) riconoscendo che il numero indice di resi-stenza al moto f è, nel caso di regime di moto laminare:

f =64Re (6.15)

Alla espressione (6.14a) si giunge anche sostituendo nella (6.10) le espressioni della velocitàmedia (6.13b) e della velocità di attrito (6.8b). Solitamente il liquido si muove in regime lamina-re solo se Re < 2100 ma con particolari accorgimenti si riesce a mantenere il moto laminare finoa Re = 105. Di converso si riesce a realizzare un moto turbolento anche per Re < 2100.




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6.3.2 R EGIME LAMINARE DI LIQUIDI NON NEWTONIANI

Le curve reologiche di Fig.1.6 sono definibili analiticamente dal modello costitutivo espresso

dalla legge monomia di Ostwald - De Wael:

τrx = m | d ud r |

n-1 d ud r (6.16a)

ove, in luogo del coefficiente di viscosità costante, compare la viscosità apparente:

µ app = m | d ud r |

n-1(6.16b)

Con riferimento alla Fig.1.6 si riconosce immediatamente che la (6.16b) descrive la reologia diun liquido:- pseudoplastico curva B per n < 1

- newtoniano curva C per n = 1- dilatante curva D per n > 1

Sviluppando le medesime considerazioni del paragrafo precedente, dalla:

τ0

r 0r = - m (

d ud r )

n(6.17)

integrando tra [O, r 0 ] e inserendo la condizione di aderenza per determinare il valore della co-stante di integrazione, ricaviamo:

u =n

n + 1 ( τ0

r 0 m )1/ n

[ r 0( n+1) / n - r ( n+1) / n ] (6.18a)

Per n =1, ossia per liquido newtoniano, la (6.18a) si trasforma nella (6.12).

Sviluppando i calcoli come per la (6.13b) otteniamo l'espressione della velocità media sulla se-zione:

U =n

3 n + 1 ( τ0

r 0 m )

1/ n r 0

( n+1) / n (6.18b)

Dividendo la velocità u per il valor medio U si ottiene il grafico adimensionale della ripartizionedella velocità sul diametro del condotto:

u

U=

3 n + 1

n + 1 [1 - |

r

r 0 |

( n+1) / n

] (6.18c)

La Fig.6.6a, che confronta i profili di velocità di liquidi pseudoplastici con quello dell'acqua, e-videnzia il particolare comportamento di questi materiali. Poichè, per n < 1, la viscosità apparen-te diminuisce con l'aumento del gradiente di velocità, da centro verso la parete, il liquido apparemuoversi in modo molto compatto al centro del condotto e sembra scivolare su uno strato sottiledi liquido "apparentemente" poco viscoso. Questo moto, che assomiglia molto a quello di untappo in un tubo ben lubrificato, prende il nome di plug flow.

La Fig.6.6b mostra invece che i liquidi dilatanti tendono verso un incremento della velocità co-stante dalla periferia verso il centro quando cresce l'esponente n . I liquidi dilatanti sono pocofrequenti in natura.




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6.4 R EGIME TURBOLENTO

Si usa ritenere che lo sforzo tangenziale nel nucleo turbolento della corrente, circondato dal sub-strato laminare, sia esprimibile (vedi Fig. 6.4) come somma dello sforzo laminare e dello sforzoturbolento, τ = τL + τT ossia:

τ = τT (1 +τL

τT)

Essendo: τL prop. µUD e τT prop. ρ U2 risulta:

τL

τT prop.

νU D =

1Re

Dunque, per regime turbolento, dal fatto che Re = O (104 ÷ 106) - l’espressione O (10n ) si legge:ordine di grandezza di 10n - consegue che nel nucleo della corrente lo sforzo laminare è trascu-

rabile a fronte dello sforzo turbolento, ossia:τ ≅ τT

La resistenza al moto di una corrente turbolenta assume caratteri diversi in relazione alla diffe-rente interazione tra il substrato laminare e la scabrezza della parete come abbiamo già visto inFig. 6.2. Pertanto, abbiamo:

- il REGIME TURBOLENTO IN CONDOTTO IDRAULICAMENTE LISCIO, quando le asperità della parete sono assenti oppure sono completamente contenute nel substrato laminare,

- il REGIME TURBOLENTO PURO, quando il substrato laminare è distrutto dalle asperità della parete del condotto,

- il REGIME TURBOLENTO MISTO, nella situazione intermedia tra le due precedenti, in cui lascabrezza del contorno solo in parte fuoriesce dal substrato laminare.

Per quanto abbiamo visto in § 6.1, a proposito della crescita dello strato limite, risulta evidenteche in un condotto scabro di assegnate caratteristiche la corrente può assumere i caratteri di cia-scuno dei tre regimi sopra elencati.

Un tubo si dice scabro quando la sua superficie interna (a contatto con il fluido) presenta imper-fezioni, il cui spessore "medio" o "significativo" indicheremo con k s. Il valore assunto dal NU-

MERO DI R EYNOLDS D'ATTRITO definito come:

Re* =k s

u*ν (6.19)

distingue le tre situazioni descritte in Fig. 6.2.

a) per: 0 ≤ Re* < 5

lo spessore δ sl del substrato laminare è maggiore dello spessore delle singole scabrezze: la scabrezza non esercita influenza sulla corrente e il condotto si dice IDRAULICAMENTE LISCIO; comeabbiamo visto al paragrafo precedente, la distribuzione di velocità segue la legge del tipo:




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uu*

= f ( y u*

ν ) (6.20a)

La formula di resistenza al moto, che definisce l'indice di resistenza della formula di Darcy -Weisbach, è del tipo:

F (f, Re) = 0 (6.20b)

Essa fornisce l’indice di resistenza f in funzione del numero di Reynolds della corrente Re ed è presentata in § 6.4.1.

b) per: 5≤ Re* < 70

dal substrato laminare emergono alcune scabrezze mentre una parte è ancora contenuta in esso:la corrente risente ancora in parte dell'effetto della viscosità in quanto il substrato laminare in-terviene nel determinare la resistenza al moto; il moto si dice TURBOLENTO MISTO o in regimedi transizione e la distribuzione di velocità è del tipo:

uu*

= f (yk s

;k s u*

ν ) (6.21a)

La formula di resistenza al moto, che definisce l'indice di resistenza della formula di Darcy -Weisbach, che lega f a Re e alla SCABREZZA RELATIVA k S /D:

F (f, Re, k S / D) = 0 (6.21b)

è presentata in § 6.4.3.

c) per: 70 ≤ Re*

le scabrezze della superficie del condotto distruggono il substrato laminare: la viscosità non fa più risentire direttamente il suo effetto; il moto si dice TURBOLENTO PURO o completamente turbolento e la distribuzione di velocità è del tipo:

uu*

= f (yk s

) (6.22a)

La formula di resistenza al moto, che definisce l'indice di resistenza della formula di Darcy -Weisbach, è del tipo:

F (f, k S /D) = 0 (6.22b)

ed è presentata in § 6.4.2.

Le più importanti tra le prime indagini sperimentali sull’argomento si debbono, nel 1932 e 1933,a Nikuradse che, sotto la direzione di Prandtl e von Karman, rese artificialmente scabri dei tubilisci di piccolo diametro incollando sulla loro faccia interna granelli uniformi di sabbia e ne de-terminò l'indice di resistenza f .

Nel grafico di Fig.6.8a, tratto da (Rouse 1950), i risultati delle misure sperimentali eseguite da




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diversi ricercatori sono confrontati con le curve teoriche: le asperità del contorno emergono tutteinsieme dal substrato laminare e quindi la curva della resistenza al moto si stacca bruscamentedalla curva del tubo idraulicamente liscio.

Diversamente, se la scabrezza non è uniforme come accade nei tubi commerciali, le scabrezzeemergono gradualmente dal substrato laminare, come è illustrato in Fig.6.2: ne risulta il mototurbolento misto al quale corrisponde la curva di resistenza al moto che interpola i punti speri-mentali nel grafico di Fig.6.8b tratto da (Rouse 1950).

I grafici di Fig.6.8 sono molto scomodi all’uso e, quindi, non sono impiegati nella pratica. Per tubi commerciali con scabrezza non uniforme, la legge di resistenza al moto è presentata nell'A-BACO DI MOODY (Fig.6.9), pubblicato nel 1944, sul quale sono tracciate, in scale logaritmiche,le curve dell’indice di resistenza in funzione del numero di Reynolds della corrente:

f = F (Re,k sD )

Sull’abaco le curve sono individuate dalla scabrezza relativa del condotto.Si deve anche notare che nel caso dei tubi commerciali la scabrezza relativa non si misura diret-tamente ma invece si ricava tarando le formule di resistenza con sperimentazioni idrauliche equindi viene ad assumere il significato di scabrezza idraulica.

Applicando la relazione (6.19) alle sopra definite condizioni limite dei regimi di corrente, ven-gono ricavati con qualche manipolazione algebrica i limiti inferiore - condizione di condotto i-draulicamente liscio - e superiore del regime di transizione - condizione di moto turbolento puro- in funzione del Numero di Reynolds del condotto:

k s

D Re =

14

f 1/2 (6.23a)k sD Re =

200f 1/2 (6.23b)

6.4.1 MOTO TURBOLENTO IN TUBO LISCIO

Nella sezione trasversale di un tubo liscio il profilo di velocità, indicato in Fig.6.7 esternamenteal sottile strato limite laminare, è ricavato dalla teoria della lunghezza di mescolamento propostada Prandtl nel 1925, secondo la quale lo sforzo turbolento dovuto alle fluttuazioni di velocità e-sternamente al substrato laminare è proporzionale alla densità del liquido e al quadrato della ve-locità di deformazione e cresce con la distanza dalla parete. Dalla espressione analitica del profi-lo di velocità, ricavata in § 11.1 come equazione (A.5), è stata dedotta la EQUAZIONE UNIVER-SALE DI PRANDTL PER I TUBI LISCI:

1f 1/2 = 2.0 Log10( Re f 1/2 ) - 0.8 (6.24a)

il cui risultato può essere approssimato dalla formula esplicita di più facile uso:

1f 1/2 = 2.0 Log10 ( Re0.9 ) – 1.51 (6.24b)

Nel 1913 Blasius aveva già proposto una relazione sperimentale per i tubi lisci il cui uso è limi-tato a un ristretto campo di variazione del Numero di Reynolds. La formula di Blasius, data dalla




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espressione:

f = 0.316 Re – 0.25 (6.24c)

risulta valida per: 0.3 104 < Re ≤ 10 104. Per Re > 10 104 è utilizzabile la formula di Nikuradse

(1932):

f = 0.0032 + 0.221 Re – 0.237

(6.24d)

6.4.2 MOTO TURBOLENTO PURO

La FORMULA DI PRANDTL PER I TUBI SCABRI con corrente in regime completamente turbolento,è ricavata in § 11.2. La espressione è presentata nei manuali in una delle due forme alternativeseguenti. Esse sono:

1

f 1/2 = 2.0 Log10 (

D

2 k s ) + 1.74 (6.25a)oppure, estraendo la costante ½ dal logaritmo:

1f 1/2 = 2.0 Log10 (

Dk s

) + 1.14 (6.25b)

6.4.3 MOTO TURBOLENTO MISTO

Nel 1937 i britannici Colebrook e White condussero una estesa indagine di laboratorio con mi-sure di resistenza al moto in tubi commerciali in acciaio e in ghisa, internamente rivestiti e non.

L'anno successivo, analizzando anche le misure eseguite da altri ricercatori su tubazioni in ac-ciaio variamente rivestite, Colebrook propose una formula che interpreta sufficientemente bene irisultati sperimentali nel regime di movimento compreso tra il moto in condotto liscio e il moto

puramente turbolento.

La FORMULA DI COLEBROOK – WHITE (1938), che è ricavata in § 11.3, assume l'espressione:

1f 1/2 = - 2.0 Log10 (

2.52Re f 1/2 +

k s3.71 D

) (6.26a)

Numerosi Autori hanno ricavato formule esplicite che approssimano la (6.26a) che, essendo im- plicita nell'incognita f , deve essere risolta per tentativi.

Ad esempio, nel 1973, Churchill e Barr hanno proposto l'uso della più comoda relazione:

1f 1/2 = - 2 Log10 (

1.65Re0.9 +

k s3.71 D ) (6.26b)

Più recente è l'espressione approssimante presentata da Haaland (1983):

1f 1/2 = - 1.8 Log10 [

6.9Re + (

k s3.71 D )

1.11 ] (6.26c)

che riproduce molto bene la formula di Colebrook e White con errori decisamente inferiori alcinque per mille nel caso di scabrezza relativa piuttosto grande: k s/D > 0.0045.

Per condotti poco scabri ( k s/D < 0.0045 ) risulta più precisa la formula recentemente proposta




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(2006) da Sonnad e Goudar :

1f 1/2 = 0.8686 ln (

0.4587 Res s/(s+1) ) (6.26c)

ove compare:

s = 0.124Re k s

D + ln ( 0.4587 Re )

Dalle Fig.6.10 ove sono confrontati i risultati ottenuti dalle formule (6.26) notiamo che la formu-la di Churchill e Barr fornisce i risultati che maggiormente si discostano da quelli delle altreformule di resistenza al moto. Queste differenze, che sono mediamente inferiori all'1%, risultano

però insignificanti in ragione della incertezza delle misure della scabrezza fatte nei reali casi ap- plicativi, come si mostra in § 11.4.

6.5 LE LEGGI CLASSICHE DI R ESISTENZA AL MOTO Quasi sempre, nella soluzione dei problemi pratici di idraulica si deve calcolare la resistenza almoto della corrente in regime puramente turbolento. Per tale ragione nei secoli scorsi, prima del-lo sviluppo della teoria della turbolenza illustrata nei paragrafi precedenti, sono state proposteformule pratiche per il calcolo della resistenza al moto turbolento senza distinguere tra i vari re-gimi di moto.

Nelle formule classiche di resistenza al moto è spesso introdotto il RAGGIO IDRAULICO R defi-nito come rapporto tra l'area della sezione trasversale A e il suo contorno bagnato P:

R =A

P

È immediato riconoscere che per un condotto circolare completamente occupato dal fluido è:

R =D4

Dalla formula di resistenza di Darcy-Weisbach, con alcune semplici trasformazioni otteniamo le principali formule classiche.

Quando il diametro D viene sostituito con il raggio idraulico moltiplicato per quattro - 4 R - inuna formula di resistenza al moto, questa può essere applicata a un condotto di sezione qualun-que. In realtà, se la sezione si discosta molto dalla forma circolare, si dovrebbe introdurre nella

formula un coefficiente o fattore di forma che corregga i risultati ottenuti per condotti circolariin quanto la distribuzione della velocità nella sezione si discosta da quella studiata in §11.1.1. Èstato verificato sperimentalmente che tale sostituzione è accettabile se la sezione - di tipo ovoi-dale, a ferro di cavallo, quadrata o rettangolare - non si differenzia molto dalla forma circolare ese il regime di corrente è turbolento con Re > 500 000: in questo caso il fattore di forma è pari auno.

6.5.1 CENNI STORICI

Nel suo testo Hydraulik del 1914, Forchheimer richiama che i primi studi quantitativi sulla resi-

stenza al moto furono svolti nel secolo XVIII dal francese Couplet (1732), per le condotte in




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pressione, e dal tedesco Brahms, per i canali.

Altri studiosi - Woltmann, Eytelwein, Weisbach, Gaukler, Manning, Kutter e Bazin - prosegui-rono in questi studi, che furono essenzialmente sperimentali, e pubblicarono formule praticheche, per le condotte a sezione circolare, si possono scrivere nella forma monomia nella qualecompare la costante di proporzionalità C (m1-β s-1):

U = C Jα Dβ (6.27)

La tabella seguente riporta, per le formule di maggior interesse storico, il nome dell'Autore, l'an-no della pubblicazione e i valori delle costanti C, α, β: possiamo osservare che:

- 0.5 ≤ α ≤ 0.59

- 0.5 ≤ β ≤ 0.765.

AUTORE A NNO C (m1-β

s-1

) α β

WOLTMANN 1791 45.8 0.57 0.57

EYTELWEIN 1796 25.1 0.5 0.5

HUMPHREYS E ABBOT (1) 1861 - 0.25 0.5

FLAMANT 1892 68 ÷ 75 0.57 0.714

U NWIN(2)

1907 37.6 0.51 0.599

U NWIN(3) 1907 23.2 0.50 0.58

SCOBEY 1930 37.1 0.529 0.577

STUKY 1943 57.25 0.55 0.645

SCIMEMI 1951 61.55 0.56 0.68

(1) dedotta con misure sul Mississippi e da utilizzarsi ponendo nella (6.24) D = 4 R

(2) per tubi in ghisa nuovi

(3) per tubi in ghisa vecchi

Dunque, per quanto abbiamo visto nei paragrafi precedenti, le formule storiche si riferiscono a

condizioni di moto turbolento puro oppure, ma meno frequentemente, a moto turbolento misto.Alcune di queste formule furono sviluppate interpretando un numero limitato di esperimenti:

poiché il loro campo di applicazione è molto ristretto, il loro impiego generale è decisamentesconsigliato.

Solo le formule discusse in dettaglio nei paragrafi seguenti sono ancora in uso, in quanto si adat-tano molto bene alle espressioni più moderne e teoricamente giustificate.

6.5.2 LA FORMULA DI CHEZY

Esplicitando nella (6.9) la velocità media, si calcola con la relazione ricavata per via puramentesperimentale da Chezy e da lui proposta nel 1768 per il progetto di alimentazione




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dell’acquedotto di Parigi con le acque del fiume Yvette:

U = C R J (6.28a)

ove C è il coefficiente di resistenza di Chezy che si misura in ( m1/2 s-1) e ha l'espressione:

C =8 gf (6.28b)

il valore dell'indice di resistenza è fornito, a seconda del regime di moto, dalle relazioni (6.15),(6.24), (6.25), (6.26). Se il moto del liquido (acqua) è puramente turbolento il coefficiente diChezy può essere calcolato con formule pratiche, che risalgono al secolo scorso, nelle quali lascabrezza è rappresentata da coefficienti che si trovano tabellati nei manuali. A lungo rimase inuso la formula proposta nel 1869 da Ganguillet e da Kutter modificata in seguito (1897) da Ba-zin.

La formula di Bazin risulta:

C =87

1 +γ

R

(6.28c)

Alcuni valori del coefficiente di Bazin γ sono dati qui sotto.

CONDOTTO IN γ

CEMENTO O LEGNO LISCIATO 0.06

NUOVO IN ACCIAIO TRAFILATO (TUBI MANNESMANN) 0.10

CEMENTO SENZA GIUNTI O MURATURA LISCIA 0.12

NUOVO IN GHISA O LAMIERA SALDATA E GIUNTI CONICI 0.16

GHISA INCROSTATA O TUBERCOLIZZATA 0.36

MURATURA IN CATTIVE CONDIZIONI 0.46

CANALI IN TERRA BEN MANTENUTI 0.85

CANALI IN TERRA IN CONDIZIONI ORDINARIE 1.30

6.5.3 LA FORMULA DI MANNING

Semplificando la legge di resistenza per moto puramente turbolento, Strikler nel 1923 propose laseguente espressione per l’indice di resistenza:

f = 0.176 ( k sR )

1/3 (6.29)

che, introdotta nella (6.29) fornisce la formula proposta indipendentemente dall'inglese Manningnel 1889 che interpretò le proprie misure sperimentali e dal francese Gauckler nel 1868 che in-terpretò le misura di Bazin, Kutter e Ganguillet:

U =R

2/3 J1/2

n (6.30a)




6110/11/09

nella quale il valore del coefficiente di resistenza di Manning n , che ha dimensioni (m-1/3 s), èlegato alla scabrezza da:

n =k s

1/6

21.1 (6.30b)

e si trova tabulato sui manuali in funzione del materiale costituente le pareti del condotto: spessoin luogo del coefficiente di Manning si trova tabulato il coefficiente di resistenza di Strikler :

k =1n

Si va da n = 0.011 (m-1/3 s) per condotti metallici nuovi, in ghisa internamente rivestita o in ac-ciaio, a valori di n = 0.017 (m-1/3 s) per condotti in calcestruzzo grezzo.

Nell’uso pratico spesso si tollera l'uso di formule di moto puramente turbolento, come in effetti èla formula di Manning, anche per il calcolo della resistenza al moto in condotti idraulicamente

lisci, come nel caso di vetro o materiale plastico. Si consideri inoltre che vengono rappresentatecon il coefficiente di resistenza di Manning anche le perdite nei giunti di collegamento tra i tron-chi di tubazione.

Il coefficiente di resistenza aumenta con l’età di esercizio del condotto a causa di incrostazionie/o di erosioni con formazione di cavità, in condotti lapidei, o di tubercoli, in tubazioni metalli-che, giungendo fino a n = 0.035 ÷ 0.045 (m-1/3 s).

La formula di resistenza di Manning, che essendo il prodotto del contributo di diversi Autoriviene citata in molti testi come formula di Manning-Gauckler-Strikler , entrò nell’uso piuttostotardi, quando, nel 1918, King la inserì nel suo manuale di idraulica.

Nella seguente tabella sono forniti alcuni valori (medi) del coefficiente di resistenza di Manninge di Strikler per materiali di uso comune nelle costruzioni idrauliche.

CONDOTTO IN n (m-1/3 s) k ( m1/3 /s)

MATERIALE PLASTICO 0.009 110

VETRO 0.01 100

ACCIAIO FLANGIATO O SALDATO 0.012 85

CALCESTRUZZO LISCIATO 0.013 75

GHISA NON RIVESTITA INTERNAMENTE 0.014 70

GRES VETRIFICATO 0.014 70

MATTONI CON INTONACO 0.015 67

CALCESTRUZZO GREZZO 0.017 60

6.5.4 LE FORMULE PRATICHE

Per calcolare la resistenza idraulica in condotte di specifico materiale si possono utilizzare for-mule pratiche, che spesso vengono proposte dai produttori medesimi dei tubi.

Molto popolare per il calcolo della resistenza in tubi di acquedotto nuovi (per tubi usati viene

raddoppiato il coefficiente β), costruiti in acciaio o in ghisa e con diametro D < 0.5 m, è la FOR-




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MULA DI DARCY:

J = β Q2

D5 con β = 0.00164 + 0.000042 D-1

(6.31)

Dal confronto della (6.31) con la espressione di Darcy – Weisbach (6.9) abbiamo: β = 8 f / g π2

.La esplicitazione del coefficiente β attraverso la formula di Prandtl – von Karman (6.25) mo-stra che nella formula di Darcy (6.31), la scabrezza relativa viene fatta decrescere col diametro:

k sD = 0.000944 D-0.41

Negli Stati Uniti è molto diffuso l’impiego della FORMULA DI HAZEN-WILLIAMS, proposta nel1933:

U = 0.849 CH R 0.63 J0.54 (6.32)

Il coefficiente di resistenza assume valori compresi tra:- CH = 150 (m-0.37 s) per condotti piuttosto lisci (nuovi, in acciaio o ghisa centrifugata) e di

grande diametro,

- CH = 55 (m-0.37 s) per condotti molto vecchi e usurati di piccolo diametro, inferiore a 0.10 m.




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7. L’EQUAZIONE GLOBALE DELL'EQUILIBRIO IDRODINAMICO

L'equazione globale dell'equilibrio idrodinamico è una relazione vettoriale che si ottiene dallaintegrazione dell'equazione (3.8) a un volume liquido: lo sviluppo della forma globale della e-quazione dell’idrodinamica richiede l’applicazione di alcuni teoremi della analisi matematica.Questi teoremi saranno illustrati nel paragrafo seguente senza proporne la dimostrazione, cheesula dai limiti di un corso di Fondamenti.

L'equazione globale viene utilizzata per la soluzione dei problemi di idraulica in sostituzionedell'equazione di Bernoulli, quando quest'ultima non è applicabile per la particolare natura del

problema, come, ad esempio, in zone di corrente ove il fluido ricircola con formazione di macro-vortici.

7.1 IL TEOREMA DEL TRASPORTO

Questo teorema generalizza, estendendolo a un volume finito, il risultato espresso dalla derivatatotale (3.9) in quanto spiega come cambiano le proprietà del fluido contenuto in un volume dicontrollo a causa del moto della corrente.

Risulta piuttosto intuitivo il significato del teorema del trasporto applicato a un quantità scalare.Per fissare le idee valutiamo come cambia la densità ρ del liquido contenuto nel VOLUME DICONTROLLO V di dimensioni finite (Fig.7.1), chiuso dalle due sezioni permeabili A1 e A2 , che

per semplicità consideriamo piane, e dal contorno Ac impermeabile; il liquido entra dalla sezione1 ed esce dalla sezione 2.

Il contorno del volume di controllo è dato dalla unione delle tre superfici:

A = A1 ∪ A2 ∪ Ac (7.1)

L’equazione del trasporto si applica al movimento di una qualunque proprietà della corrente(densità del liquido, velocità della corrente, concentrazione di sostanza in sospensione nella cor-rente, ecc.). Per fissare le idee con un caso intuitivo, consideriamo la variazione totale della con-centrazione di una sostanza inerte sospesa nel liquido contenuto nel volume V, descritta dallaequazione:

dd t ⌡⌠

V

C dV = ⌡⌠

A1

C un dA - ⌡⌠

A2

C un dA + ⌡⌠

V

∂ C∂ t

dV (7.2a)

ove consideriamo positivo il verso della corrente entrante, il volume solido contenuto in V è Vs

= C V, la portata di solido entrante o uscente da V è:

Qs = ⌡⌠ A

C un dA

Nel suo complesso, il volume di solido sospeso nel volume V cambia nel tempo in quanto:

1. attraverso la sezione A1 fluisce, con velocità un (componente della velocità perpendicolarealla sezione A), ed entra in V un liquido con una sospensione di contrazione C che parzial-mente si sostituisce a quello presente in precedenza,

2. attraverso A2, il liquido che abbandona il volume di controllo, porta con sé la sospensione di

contrazione C,




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3. il solido sospeso che rimane all’interno del volume di controllo cambia nel tempo la sua con-centrazione, ad esempio, a causa di un processo di decadimento chimico.

Il termine (3) è nullo nel caso di moto permanente.

Il teorema del trasporto chiarisce che le proprietà del liquido contenuto nel volume di controllo,cambiano nel tempo anche se il moto è permanente, in quanto la corrente sposta le particelle e faentrare nel volume di controllo nuove particelle sostituendole a quelle prima residenti.

Analogamente a quanto appena visto, applichiamo il teorema per rappresentare la variazione di proprietà vettoriali, come è ad esempio la velocità U del liquido. In questo caso si scrive sempli-cemente sostituendo in (7.2a) la quantità vettoriale allo scalare:

dd t ⌡⌠

V

U dV = ⌡⌠

A1

U Un dA - ⌡⌠

A2

U Un dA + ⌡⌠

V

∂ U∂ t

dV (7.2b)

Per il caso di moto permanente, il terzo addendo a destra della uguaglianza si annulla e la (7.2b)diventa:

dd t ⌡⌠

V

U dV = ⌡⌠

A1

U Un dA - ⌡⌠

A2

U Un dA (7.3)

7.2 IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA

Negli sviluppi del paragrafo seguente utilizziamo un corollario del teorema della divergenza,dovuto a Gauss, che, per un generico volume V chiuso da una superficie di contorno A dà

l’espressione:

⌡⌠ V

grad (p) dV = ⌡⌠

A

p n dA (7.4)

ove n è il versore normale entrante dalla superficie di contorno.

7.3 IL TEOREMA GLOBALE DELL’IDRODINAMICA

Per semplicità, la dimostrazione che segue è ottenuta sotto le varie ipotesi restrittive adottate u-sualmente per la soluzione dei problemi di idraulica elementare ossia che il fluido sia perfetto e

pesante e che il moto sia stazionario. Può essere dimostrato che il risultato ottenuto ha validità più generale.

Per integrare la seconda legge di Newton sul volume di controllo V di Fig.7.1, scriviamo:

⌡⌠ V

ρ

D UD t dV = ⌡⌠

V

( F + Π ) dV (7.5)

Trasformiamo i membri di destra e di sinistra della (7.5).

Assumiamo ρ costante e consideriamo la normale entrante positiva, come in (7.3). Essendo il li-

quido perfetto e pesante possiamo scrivere, ricordando le (3.11) e le (3.12):




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⌡⌠ V

( F + Π )dV = - ρ ⌡⌠

V

g dV - ⌡⌠

V

grad (p) dV

Essendo il moto permanente, l’equazione del trasporto (7.3) fornisce:

⌡⌠ V

ρ

d Ud t dV = ρ ⌡⌠

A1

U Un dA - ρ ⌡⌠

A2

U Un dA

Sostituendo queste due espressioni nella (7.5) e ricordando la trasformazione (7.4) risultante dalteorema della divergenza, otteniamo:

ρ ⌡⌠ A1

U Un dA - ρ ⌡⌠

A2

U Un dA + ρ ⌡⌠

V

g dV + ⌡⌠

A

p n dA = 0 (7.6)

Il primo e il secondo termine della (7.6) che hanno la forma:

M = ⌡⌠ A

ρ U Un dA (7.7)

rappresentano quantità vettoriali che sono i FLUSSI DI QUANTITÀ DI MOTO, o inerzia convettiva,che attraversano, il primo in entrata e il secondo in uscita, due sezioni A1 e A2 .

Il terzo termine della (7.6) rappresenta il peso del liquido contenuto nel volume di controllo:

G = ⌡⌠ V

ρ g dV (7.8)

Il quarto termine della (7.6) rappresenta la spinta che l’esterno esercita sul liquido attraverso lasuperficie di contorno, che può essere scomposta nelle spinte esercitate sulle tre superfici A1, A2 e Ac .

⌡⌠ A

p n dA = Π1+ Π

2+ Π

C (7.9)

La relazione (7.6) può ora essere scritta in maniera simbolica come l’equilibrio tra forze di vo-lume e forze di superficie applicate al liquido contenuto nel volume di controllo:

M1 – M2 + G + Π1+ Π2

+ ΠC = 0 (7.10)

Per un liquido reale:

1) se nell’intorno delle sezioni A1 e A2 la corrente è gradualmente variata la distribuzione delle pressioni è idrostatica come nel fluido perfetto, come si è visto in par.3.3.4,

2) debbono essere considerati anche gli sforzi tangenziali τ agenti sul contorno Ac . Si dimostrache, in questo caso, a Π

Cdeve sostituirsi:

FC = ⌡⌠ Ac

( p + τ ) dA (7.11)




6610/11/09

In tutti i casi pratici che esamineremo nel Capitolo seguente risulta p >> τ e, quindi, FC≈

ΠC

3) il calcolo del flusso di quantità di moto M viene definito facendo comparire la velocità me-

dia della corrente attraverso la sezione con una ulteriore trasformazione dovuta a Boussi-nesq.

Essendo la corrente gradualmente variata nelle sezioni piane 1 e 2, la espressione (7.7) può esse-re semplificata in quanto risulta:

⌡⌠ A

U Un dA = ⌡⌠ A

U2 n dA = n ⌡⌠

A

U2 dA (7.12a)

Se, analogamente a quanto si fece con la equazione (5.2), definiamo il flusso di quantità di motofacendo esplicitamente comparire la velocità media sulla sezione e il coefficiente di Boussinesq

β:

β =

⌡⌠ A

U2 dA

Um2 A (7.12b)

otteniamo che il modulo di M è esprimibile come:

| M | = ρ β Um ( Um A ) = ρ β Um Q (7.13)

In definitiva l’equazione globale dell’equilibrio idrodinamico applicata al volume di fluido indi-cato in Fig.7.1 è una relazione vettoriale che si scrive:

Π1+ M1 + Π

2 – M2 + G + FC = 0 (7.14)

7.4 APPLICAZIONI

Nel capitolo seguente l'equazione globale della idrodinamica sarà utilizzata per determinare la perdita di energia che si realizza nei brevi tronchi di corrente, nei quali si formano vortici digrandi dimensioni. In questi tronchi la corrente dissipa energia in modo diverso da quanto de-scritto in Cap. 6, dando luogo alle perdite di carico localizzate.

Inoltre, una versione dell'equazione dell'equilibrio idrodinamico di un tronco di corrente è alla

base dello studio delle macchine idrauliche, che esula dagli argomenti del corso di Fondamentidi Idraulica.

Tra le svariate applicazioni della (7.14), consideriamo i seguenti utili e curiosi casi.

7.4.1 LA BOCCA DI BORDA

Se la luce di efflusso della corrente non è semplicemente formata da un foro in una parete pianama è dotata del tubo addizionale interno illustrato in Fig. 7.2, il coefficiente di contrazione dellavena effluente è inferiore al valore CC = 0.61 assegnato sperimentalmente in § 4.1 alla luce in

parete piana.

Il coefficiente CC della bocca di Borda può essere determinato teoricamente applicando la (7.14)




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al volume liquido illustrato in figura, chiuso tra una sezione interna al serbatoio, 1, ove il liquidoè ancora in quiete, e la sezione contratta della vena effluente, 2. La proiezione della equazionevettoriale (7.14) sull'asse del tubo di Borda fornisce:

γ h A - ρ U2 CC A = 0 (7.15)

ove compaiono, oltre alle grandezze indicate in figura, la velocità media nella sezione contratta,U, e la sezione della luce, A. Confrontando il risultato della (7.15) con la relazione della foro-nomia (4.2) otteniamo:

CC = ½ (7.16)

7.4.2 IL CARRELLO A GETTO

Nella parete del serbatoio, montato su ruote, è aperta una luce, come illustra la Fig. 7.3a. Consi-derando condizioni di moto permanente, applichiamo al volume liquido individuato in figura dal

contorno blu, la equazione dell'equilibrio globale idrodinamico, proiettandola sull'asse della lu-ce.

Introducendo la relazione (4.2), otteniamo che la forza F esercitata dal liquido sulle pareti delserbatoio vale:

F = ρ CC A (2 g h) (7.17)

I simboli sono indicati in figura: A è l'area della luce. Essendo la forza opposta alla direzione delgetto effluente, il carrello si sposta verso sinistra.

Lo stesso risultato potrebbe essere raggiunto osservando che la chiamata di sbocco, riducendo la pressione del liquido lungo il contorno della luce, provoca uno squilibrio nella spinta che vale

appunto F: il calcolo richiederebbe, però, l'uso di complesse procedure della fisica - matematica per analizzare il moto del fluido all'interno del serbatoio.

È stato così descritto il principio della propulsione a getto.

Invece, il carrello immerso in un serbatoio pieno d'acqua, come in Fig. 7.3b, non si muove: que-sta osservazione, a prima vista contrastante con quanto detto sopra, è chiamata paradosso di Ber-geron.

Se, infatti, applichiamo la (7.14) a tutto il volume liquido dei due serbatoi, otteniamo semplice-mente che la spinta idrostatica esercitata dal liquido sulle pareti è uguale alla forza di reazionedelle pareti sul liquido come, d'altro canto ci dice la terza legge di Newton.

A un ulteriore risultato a prima vista paradossale, si giunge considerando il caso descritto in Fig.7.3c: dalla luce, aperta, del serbatoio di sinistra esce un getto che impatta contro la piastra sem-

plicemente appoggiata, che chiude la luce del serbatoio di destra. Le due luci, coassiali, hanno lemedesime dimensioni, con area A.

Poiché la spinta idrodinamica del getto contro la piastra vale, per la (7.17):

F1 = 2 γ CC A h = 1.22 γ A h1 (7.18a)

se CC = 0.61, mentre la spinta idrostatica del serbatoio di destra contro la piastra vale:

Π2 = γ A h2 (7.18b)

la piastra non cade fino a che:




6810/11/09

h2 ≤ 1.22 h1 (7.18c)

diversamente a quanto avviene in condizioni statiche, ove la condizione di caduta della piastra è:

h2 ≤ h1.

Il fenomeno è facilmente spiegato considerando i diagrammi delle pressioni in Fig. 7.3c: la spin-ta sulla parete del serbatoio di sinistra è inferiore al valore idrostatico e la parte di spinta man-cante viene ceduta alla corrente, la cui spinta idrodinamica, conseguentemente, è superiore al va-lore della spinta idrostatica esercitata da destra sulla piastra.




6910/11/09

8. PERDITE LOCALIZZATE

Nei tratti di condotta (allargamenti e restringimenti più o meno bruschi, ostruzioni costituite davalvole o paratoie, curve, ecc.) ove la corrente sviluppa una accentuata turbolenza, con forma-zione di vortici, si verificano perdite localizzate di energia.

Queste perdite sono generalmente espresse in funzione della altezza cinetica della corrente (amonte o a valle del tratto in questione):

∆HL = k U2

2 g (8.1)

il coefficiente moltiplicativo k è denominato coefficiente di perdita. In molti casi la perdita dicarico può valutarsi per via teorica applicando l'equazione globale dell'equilibrio idrodinamico.

8.1 PERDITA PER BRUSCO ALLARGAMENTO

Applichiamo l’equazione globale della idrodinamica (7.14) al volume contenuto nel tronco dicondotta rappresentato in Fig.8.1 e consideriamo la sua proiezione lungo l'asse.

Se la corrente è gradualmente variata nelle sezioni di entrata e di uscita della corrente dal troncodi condotta in esame, otteniamo:

p1 A1 + β ρ U1 Q – p2 A2 - β ρ U2 Q + G sen θ + ΠC – T = 0

Poiché la spinta sulla corona circolare di raccordo dei due tubi di diverso diametro è:

ΠC = p1 (A2 – A1)

e la proiezione del peso nella direzione del moto vale, con i simboli indicati in figura:

G sen θ = γ A2 L sen θ = γ A2 (z1 – z2)

approssimando: β = 1 e T = 0 otteniamo, dopo aver diviso per γ A2 :

z1 + p1

γ +U1 U2

g - z2 - p2

γ -U2

2

g = 0

Ridisponendo i termini, otteniamo con alcuni passaggi algebrici la FORMULA DI BORDA:

∆HL =(U1 - U2)

2

2 g (8.2)

o anche possiamo definire il coefficiente di perdita da inserire nella (8.1) ove si fa comparire

l’altezza cinetica della corrente nella sezione 2 del condotto a valle del brusco allargamento:

k = (A2

A1- 1 ) 2 (8.3)

Allo sbocco della condotta in un serbatoio (U2 = 0) la corrente subisce una PERDITA DI SBOCCO pari alla sua altezza cinetica.

Il brusco aumento della sezione del condotto, che provoca la diminuzione (8.2) del carico totale,causa un corrispondente aumento della quota piezometrica della corrente. Infatti, esplicitandocon semplici passaggi algebrici la differenza di quota piezometrica, otteniamo dalla (8.2) la:

h1 - h2 = ( z1 + p1

γ ) - ( z2 + p2

γ ) =U2

g ( U2 - U1 ) (8.4)




7010/11/09

Poiché la differenza di velocità è negativa, in quanto la corrente rallenta, risulta che la quota pie-zometrica, o la pressione se il tubo è orizzontale, aumenta; ossia, la diminuzione di altezza cine-tica è sempre maggiore della diminuzione di carico totale.

8.2 PERDITA DI IMBOCCO

Per l'imbocco non raccordato, descritto in Fig.8.2, il coefficiente di perdita dovuta alla espansio-ne della corrente tra la sezione contratta e la sezione del condotto è fornito dalla:

k = (1

CC- 1 ) 2 = 0.41 (8.5)

essendo il coefficiente di contrazione dell’imbocco a spigolo vivo dal serbatoio pari al coeffi-ciente di contrazione della luce vista in § 4.1: CC = 0.61.

Aggiungendo l'effetto del coefficiente di velocità otteniamo infine - per la dimostrazione com-

pleta si rimanda a (Citrini, Noseda 1971) - il valore del coefficiente di perdita:k = 0.50 (8.6a)

che moltiplica l’altezza cinetica della corrente in condotta. Se l’imbocco è ben raccordato si po-ne:

k = 0.10 (8.6b)

Se nell'imbocco viene inserito un tubo addizionale interno, detto bocca di Borda, risulta:

k = 1.16 (8.6c)

Infatti, si ottiene dalla (8.5) ricordando la (7.16) k = 1; a questo valore si deve aggiungere il co-

efficiente di velocità, pari a Cv = 0.16, per ottenere il coefficiente (8.6c). Si noti inoltre che, nelcaso di imbocco non raccordato (8.6a), l'altezza cinetica nella sezione contratta vale:

UC2

2 g =1

CC2

U 2

2 g = 2.7U 2

2 g (8.7)

8.3 PERDITA PER RESTRINGIMENTO

Il fenomeno descritto nel paragrafo precedente si verifica anche al passaggio brusco dal tubo didiametro maggiore al tubo di diametro minore rappresentato in Fig.8.3, ma con contrazione dellavena meno accentuata che non nel caso dell’imbocco. Pertanto nella (8.5) viene inserito un coef-

ficiente CC che dipende dal rapporto tra le aree dei condotti; con la procedura appena vista vienecalcolato il valore del coefficiente di perdita k , che moltiplica l’altezza cinetica nella sezione 2 ,a valle della transizione. Il suo valore è tabulato qui sotto in funzione del rapporto tra le aree del-le sezioni A2 , a valle, e A1 , a monte, della transizione:

A2 /A1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

k 0.50 0.48 0.45 0.41 0.36 0.29 0.21 0.13 0.07 0.01 0.00

Se il restringimento è raccordato con un tronco di tubo convergente, con angolo di convergenza

θ° Fig.8.4, la perdita di carico diminuisce. Il valore del coefficiente di perdita k è fornito dalla




7110/11/09

seguente tabella.

A2 /A1 8° - 20° 45° 90°

0.50 0.04 0.12 0.26

0.25 0.04 0.17 0.43

0.10 0.05 0.19 0.48

8.4 PERDITA PER ALLARGAMENTO RACCORDATO

Per il calcolo della perdita di carico localizzata in un raccordo troncoconico, diffusore, tra uncondotto di diametro inferiore e il successivo di maggior diametro Fig.8.5 può essere utilizzatala formula derivata dalla (8.2):

∆HL = p (U1 - U2) 2

2 g (8.8)

Il coefficiente riduttivo p della perdita di Borda è dato nella tabella seguente in funzione del rapporto tra i diametri e dell’angolo di divergenza.

D2 /D1 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

1.5 0.4 0.95 1.20 1.15 1.10 1.08 1.03 1.025 1.01

3.0 0.4 0.80 1.07 1.06 1.05 1.03 1.03 1.03 1.03

8.5 PERDITA NEI GOMITI

Nei tronchi di condotto curvo si stabilisce una differenza di pressione (maggiore all’estradosso eminore all’intradosso) data dalla (3.26b) e che, nel caso di liquido perfetto, fa incurvare le traiet-torie per consentire alla corrente di adattarsi alle pareti del tubo.

Nel caso di un liquido reale, che si muove lentamente nello strato limite vicino alle pareti, la dif-ferenza di pressione risulta eccessiva e costringe le traiettorie a curvare più del necessario. Le

particelle acquistano in tal modo una componente di velocità trasversale alla direzione prevalen-te del moto e si muovono con un movimento a doppia elica.

Questo disturbo provoca una dissipazione di energia che si rappresenta con la solita espressione(8.1) nella quale il coefficiente di perdita dipende dal rapporto tra il raggio di curvatura e il dia-metro del condotto r/D e dall’angolo al centro della curva θ° definiti in Fig.8.6. Inoltre il troncodi tubo curvo riceve una spinta dinamica calcolabile con la (7.14) che viene contrastata appesan-tendo la condotta con un blocco di ancoraggio. Secondo gli studi di Beij (1938) il valore del co-efficiente di perdita non dipende dal numero di Reynolds se Re >200 000. Vari studi sperimenta-li mostrano che la perdita di carico è relativamente più grande in tubi di piccolo diametro rispet-to a quelli di diametro maggiore: pertanto, i valori di k della tabella seguente possono essere ec-cessivi in alcuni casi.




7210/11/09

r/D 45° 90° 180°

0 1.1

5 0.12 0.21 0.36

10 0.21 0.35 0.48

15 0.38 0.65 0.96

8.6 PERDITA CAUSATA DA UNA PARATOIA

Una paratoia è costituita da una lastra (usualmente di metallo) che, mossa da un meccanismo,entra nella condotta per ostacolare il movimento della corrente creando una perdita di carico. La

paratoia completamente abbassata chiude il condotto e blocca il deflusso del fluido. Con riferi-mento alla situazione illustrata in Fig. 8.7 , indichiamo il rapporto tra l'area libera sotto la para-toia e l'area della sezione del tubo, con:

m =A1

A

il rapporto di strozzamento della paratoia. Il coefficiente di perdita risulta:

k = ( 1

m Cc- 1 )

2(8.9)

Il coefficiente di contrazione varia gradualmente da:

CC = 0.73 per m = 0.30 fino a CC = 0.80 per m = 0.80.

Nelle valvole la parte mobile si trova sempre all’interno della corrente e viene spostata avanti oindietro per chiudere o aprire il condotto Fig.8.8. Le paratoie e le valvole disturbano la correntee quindi provocano una dissipazione di energia anche quando sono completamente aperte. Si

può assumere per:

- saracinesche (paratoie) k ≈ 0.1 ;

- valvole a clapet k = 2 ;

- valvole a farfalla k = 2.5 ;

- valvole sferiche k = 5 ÷ 10.

Osserviamo che, a differenza di quanto accade in una valvola, in una paratoia completamente

aperta l'otturatore esce quasi del tutto dal contatto con la corrente: per tale ragione il coefficientedi perdita della saracinesca aperta è molto più piccolo di quello di una qualsiasi valvola.




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9. LE MACCHINE IDRAULICHE

Distinguiamo tra:

- macchine motrici o TURBINE che trasformano l'energia della corrente in energia meccanica,

- macchine operatrici o POMPE che, col loro movimento, imprimono energia alla corrente li-quida; nel caso di gas la macchina è detta COMPRESSORE.

Delle macchine idrauliche non studiamo i principi di funzionamento ma soltanto il loro effettosulla corrente idrica con la quale interagiscono.

9.1 TURBINE

Le macchine capaci di utilizzare l’energia dei fluidi, che furono già impiegate nell’antichità, co-stituiscono i primi esempi di sfruttamento di energia disponibile in Natura. L’energia meccanica

prodotta dal movimento della ruota idraulica, azionata dalla corrente d'acqua o, successivamen-te, di aria, era dedicata, quasi esclusivamente, all’azionamento delle mole. La nascita delle mo-derne turbine idrauliche data però alla seconda metà del settecento a partire dalla ruota a reazio-ne di Barker (1750) e dalla teoria delle turbine idrauliche di Eulero (1754).

Verso la metà del XIX secolo, J. B. Francis perfezionò i precedenti modelli di turbine a reazione proponendo il modello di macchina che ancora porta il suo nome. Nel 1880 lo statunitense L.A.Pelton sviluppò la turbina ad azione e, infine, nel 1913 V. Kaplan propose la turbina a pale rego-labili. Attualmente le turbine idrauliche possono raggiungere potenze elevatissime: 350 MW per le turbine di tipo Pelton; 870 MW per le Francis; 230 MW per le Kaplan.

Nel mondo, sono installate turbine idrauliche per una potenza complessiva di circa 730 GW con

una produzione di quasi 2800 TWh / anno. La produzione idroelettrica italiana è di 50 TWh/anno e copre il 19% del fabbisogno elettrico del paese: la potenza idroelettrica installata in Ita-lia assomma a 15 GW.

Consideriamo lo schema di impianto idroelettrico illustrato in Fig.9.1.

La turbina assorbe energia dalla corrente e provoca la perdita di carico o SALTO UTILE definitoda:

∆H = HM - HV (9.1)

come è illustrato in Fig. 9.2.

Di conseguenza la potenza ceduta dalla corrente alla macchina risulta:

PT = γ Q ∆H (9.2)

La potenza è espressa in watt (W) se il peso specifico γ è espresso in (N m-3): solitamente si di-vide per 1000 e si esprime la potenza in (kW).

A causa delle resistenze meccaniche e idrauliche e delle perdite di portata attraverso le tenute la potenza in uscita dalla turbina è minore di quella assorbita in quanto ceduta dalla corrente. Defi-nito il rendimento η come rapporto tra le due potenze sopra menzionate otteniamo la potenzaeffettivamente prodotta:

PE = η γ Q ∆H (9.3)

Il rendimento è sempre minore dell'unità.




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L'energia prodotta dalla macchina in un periodo di tempo T vale:

E = ⌡⌠

0

T

PE d t (9.4)

e si misura in (kWh) se il tempo è dato in ore.

9.2 POMPE

In ragione delle loro caratteristiche idromeccaniche le pompe si distinguono in:

- pompe a palettaggi rotanti che, a seconda della direzione della corrente nella zona della gi-rante, si definiscono: pompe a flusso radiale - centrifugo, pompe a flusso semiassiale o coni-co, pompe a flusso assiale ad elica fissa oppure di tipo Kaplan con palettaggio registrabile insituazione di marcia. Le parti della pompa, di cui è data una visione aperta in Fig. 9.3a, è so-

no: (a) cassa, detta anche statore, formata esternamente dalla incastellatura e internamentedalla voluta-spirale, (b) girante palettata, (c) dispositivi di completamento ( coperchi, scatoledi tenuta, supporti portanti e di spinta, dispositivi di equilibramento, ecc.).

Le figure 9.3 mostrano la cassa e la girante di alcuni modelli della ditta Flygt : la Fig. 9.3b descrive un modello a girante chiusa idoneo per il sollevamento di acque reflue e fanghi civi-li o industriali; la Fig. 9.3c mostra un modello con girante aperta a vortice, in voluta, per ilsollevamento di acque viscose o contenenti solidi e filamenti; il modello di pompa con giran-te a elica di Fig. 9.3d è idoneo al sollevamento di acque pulite, gregge o leggermente cariche.

Il principio di funzionamento di queste pompe è il seguente. Il moto trasmesso, attraverso unriduttore di giri, dal motore di azionamento all'albero della girante della pompa spinge ra-dialmente il liquido che attraversa i vani tra le palette e ne aumenta la velocità: di conse-guenza, cresce l'altezza cinetica dei filetti fluidi che escono dalla girante. Nella voluta spiralela corrente rallenta, con una perdita di carico piuttosto piccola e che il progettista cerca diminimizzare, trasformando in altezza piezometrica l'altezza cinetica acquisita all'uscita dallagirante. Le pompe a palettaggi possono essere monogiranti oppure multiple che sono formateda più elementi disposti in serie per fornire una elevata prevalenza oppure (caso meno fre-quente) da più elementi in parallelo per sollevare una grande portata. In pompe di questo ti-

po: la portata sollevata Q è funzione circa lineare - Q = C1 n - mentre la prevalenza totale ∆Hè funzione circa quadratica - ∆H = C2 n2 - del numero di giri n (s-1) della girante.

Le pompe a palettaggi rotanti sono indicate per il sollevamento di liquidi poco o mediamenteviscosi, aventi viscosità cinematica ν < 550 (cS) di poco superiore a quella di un olio lubrifi-cante SAE 30, come si riscontra dalla tabella di § 1.3. Queste pompe hanno ingombro e pesoridotto e costo moderato, mantengono un rendimento elevato quando sono regolate per va-riazione del numero di giri della girante, sono azionabili direttamente da elettromotori, sonoadatte per sollevare liquidi aggressivi e, in definitiva, sono le pompe di impiego più diffuso;

- pompe rotative a capsulismo: ad ingranaggi, a rotori con vite elicoidale, a rotori con alette, arotori con lobi, ecc., utilizzate per il sollevamento di liquidi alimentari che richiedono di es-sere manipolati con cura oppure liquidi molto viscosi come gli oli minerali, essendo il limitedi funzionamento posto a un valore di viscosità cinematica estremamente elevato - ν <11000 (cS) -, o con elevata concentrazione di solidi sospesi come le acque provenienti da fo-gnature nere, ecc. Per questa ragione le pompe a ingranaggi bielicoidali e le pompe con roto-




7510/11/09

ri a vite elicoidale, come le pompe di Archimede, sono utilizzate negli impianti petroliferi enegli impianti di trattamento delle acque di rifiuto;

- pompe alternative a stantuffi impiegate per il sollevamento di portate ridotte con elevate pre-valenze. Esse danno prevalenze notevoli anche a basso numero di giri, hanno rendimento in-dipendente dal rapporto portata/prevalenza e possono impiegarsi per sollevare liquidi moltocaldi o chimicamente aggressivi; di converso richiedono un notevole spunto al motore in fa-se di avviamento, sono piuttosto voluminose e, diversamente dalle pompe a palettaggi e dalla

pompe rotative, sollevano la portata in modo pulsante per cui richiedono dispositivi di rego-larizzazione del flusso.

La pompa inserita nell'impianto di sollevamento illustrato in Fig. 9.4 riceve la corrente dallacondotta di monte o di aspirazione e la immette nella condotta di valle o di mandata, detta anche

premente. Definito il dislivello tra i carichi totali alle sezioni di uscita e di entrata della pompacome PREVALENZA TOTALE:

∆H = HV - HM (9.5)Se le sezioni di entrata e di uscita della pompa hanno la stessa area si riconosce immediatamenteche la prevalenza totale è uguale alla PREVALENZA MANOMETRICA, che si ottiene direttamentedalla lettura dei manometri inseriti alle due estremità della pompa:

∆H = ∆h

Si scrive che la potenza ceduta dalla pompa alla corrente è:

PP = γ Q ∆H (9.6)

mentre è più grande la potenza PA effettivamente assorbita dalla macchina (elettrica o a combu-stione interna o altro) che la aziona, in quanto, attraverso il rendimento η della pompa, si devetenere conto delle perdite:

PA =γ Q ∆H

η (9.7)

La scelta delle pompe costituisce spesso uno degli elementi principali del progetto di un impian-to di approvvigionamento idrico o di movimentazione o smaltimento di fluidi.

La curva caratteristica della pompa fornisce la portata che la pompa è in grado di sollevare al va-riare della prevalenza e viene definita sperimentalmente dal fabbricante della pompa. La effetti-va curva caratteristica della pompa ha la forma convessa illustrata in Fig. 9.5 mentre alla pompadi assegnata potenza e con rendimento unitario corrisponderebbe, teoricamente, il legame tra

portata e prevalenza - ∆H = f ( Q ) - espresso dalla (9.6) e rappresentato sul grafico da un ramodi iperbole (curva blu in figura).

Nella realtà, il valore di η dipende dalla condizione di funzionamento: è massimo nel punto difunzionamento ottimo, ove la differenza tra la curva teorica e la curva reale è minima, e diminui-sce allontanandosi da esso. In Fig. 9.5 sono presentate le curve caratteristiche (curve nere in fi-gura), tipiche di due pompe diverse, che assorbono uguale potenza - P = 80 kW - e hanno ugualerendimento massimo - η = 0.74 - ma diversa curva della efficienza (curve rosse in figura): la

prima pompa opera con media prevalenza e portata ridotta mentre la seconda solleva una grande portata a bassa prevalenza. Al punto di massimo rendimento, la potenza che una delle due pompe può cedere alla corrente è P = 59.20 kW e il corrispondente legame tra portata e prevalenza èrappresentata dalla iperbole a tratto blu.




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Il progettista dell’impianto di sollevamento deve scegliere la pompa, che ha normalmente nume-ro di giri fisso (ossia ruota a velocità costante), in modo che il punto di funzionamento della

pompa, nel quale si incrociano la curva caratteristica dell’impianto e la curva caratteristica della pompa, si trovi nella zona di massimo rendimento della pompa (Fig. 9.6).

La curva caratteristica dell’impianto definisce la variazione della prevalenza totale richiesta alla pompa in funzione della portata da sollevare e deve essere calcolata dal progettista. In figura so-no illustrate 3 diverse curve caratteristiche dell'impianto. La curva di tipo 1 è riferita a un circui-to idraulico nel quale la prevalenza geodetica è significativamente maggiore delle perdite di ca-rico. Invece le curve 2 sono tipiche di un impianto nel quale la prevalenza totale è dataessenzialmente dalle perdite di carico: inoltre osserviamo che la resistenza al moto dei condottinel periodo iniziale di funzionamento (condizione di tubi nuovi) è più piccola rispetto allasituazione successiva quando i condotti saranno usurati (condizione di tubi usati). Poichél'impianto di sollevamento deve essere adeguato alla condizione di tubi usati, la pompa risultasovradimensionata quando i tubi sono nuovi; se non si vuole sollevare una portata maggiore di

quanto stabilito in progetto si deve inserire una valvola, o una saracinesca, che vieneinizialmente parzializzata per riportare il punto di funzionamento nella posizione voluta; lavalvola viene aperta col passare del tempo per mantenere invariata la curva caratteristica delcircuito idraulico all'aumentare della scabrezza dei condotti.

Quando le condizioni di esercizio dell’impianto di sollevamento (portata e/o prevalenza alla pompa) variano nel tempo, può essere conveniente l’installazione di pompe a velocità variabile:in Fig. 9.7 sono riportate, in forma percentuale rispetto al punto di funzionamento ottimo della

pompa, le curve caratteristiche al variare del numero di giri. Osserviamo che, benché il rendi-mento della pompa diminuisca al diminuire del suo numero di giri, esiste una zona di funziona-mento nel quale il rendimento è molto vicino al valore massimo. La figura mostra anche il grafi-

co della curva di potenza della pompa in funzione della portata sollevata.Talvolta, si richiede alla pompa di operare in depressione, ossia la pressione (relativa) del fluidoal suo interno è negativa. Se la depressione aumenta, ossia se la pressione assoluta del liquidonella pompa diminuisce fino a raggiungere la tensione di vapore del liquido stesso, questo cavita(cfr. par.1.2) provocando la brusca caduta del rendimento della pompa e l’erosione delle superfi-ci interne della pompa.

Pertanto, il fabbricante della pompa indica il valore minimo ammissibile della pressione assolu-ta, usualmente espressa in colonna d’acqua, al di sotto del quale non è consigliabile scendere.Questo valore limite è detto NPSH ( net pressure suction head ). Poiché, per convenzione il va-lore di NPSH è riferito all’asse della pompa, se questa è disposta con asse orizzontale, oppure

alla faccia inferiore della girante, se l’asse della pompa è verticale (Fig. 9.8), l’installazione della pompa è corretta solo se la pressione disponibile è più grande del NPSH (m); ossia:

p*

D

γ > NPSH (9.8a)

ove:

p*

D

γ = hE

+ p*

0

γ - zM

- pv

*

γ (9.8b)

nella quale compaiono:




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hE

quota piezometrica della corrente alla flangia di aspirazione della pompa,

zM

quota del piano di riferimento del NPSH

p*0

pressione assoluta di riferimento: p*

0γ = 10.33 m, se la pompa è al livello del mare

pv* tensione di vapore del fluido che dipende dalla temperatura secondo la relazione (1.10).

9.2.1 POMPE IN SERIE E IN PARALLELO

Quando non è possibile fornire il servizio di sollevamento con un'unica pompa, l'impianto è rea-lizzato collegando più pompe, in serie o in parallelo tra loro.

Nel caso in cui sia necessario aumentare la portata sollevata, le pompe si dispongono in paralle-lo. La curva caratteristica del complesso di più pompe si ottiene sommando, a parità di prevalen-

za, le portate date dalle curve caratteristiche delle singole pompe, come in Fig. 9.9 riferita al ca-so della disposizione in parallelo di due pompe ciascuna delle quali non è in grado di sollevare larichiesta portata di 0.6 m3/s. In particolare, se le pompe sono tra loro uguali, la curva caratteristi-ca totale si ottiene moltiplicando la portata sollevata dalla singola pompa per il numero di pompeimpiegate. I grafici presentati in figura sono stati costruiti ipotizzando che le pompe siano a pa-lettaggi rotanti e che operino a numero di giri costante. Dobbiamo ricordare che il circuito idrau-lico di collegamento tra le pompe richiede l'impiego di pezzi speciali - gomiti, inserti a T, tron-chi a diametro gradualmente crescente - le cui perdite localizzate di carico deveno essere com-

putate nel tracciamento della curva caratteristica dell'impianto.

Nel caso in cui sia necessario aumentare la prevalenza, le pompe si dispongono in serie. La cur-

va caratteristica del complesso di più pompe si ottiene sommando, a parità di portata, le preva-lenze date dalle curve caratteristiche delle singole pompe. Nella maggior parte degli impianti re-ali, per non aumentare le pressioni nella condotta di mandata aumentando in una sola volta laquota piezometrica della corrente si preferisce scaglionare i sollevamenti lungo la condotta: inquesto caso, le pompe poste in successione alla prima si dicono pompe di rilancio.




7810/11/09

10. CONDOTTE

10.1 CONDOTTE IN DEPRESSIONE: MOTO A CANALETTA

La linea piezometrica non può sottostare alla condotta di una altezza superiore al valore criticozcr , ossia deve sempre essere:

zd ≤ zcr =

p*

0- p

*

vγ (10.1)

Nella relazione (10.1) compaiono: p0* , pressione atmosferica (p0

* / γ = 10.33 m) e pv*, tensione

di vapore del fluido che scorre in condotta; la tensione di vapore dipende dalla temperatura delliquido come indica la relazione (1.10).

Nel punto M del tubo a sifone, indicato in Fig.10.1, si stabilisce la pressione relativa (negativa):

pd = - p0* + pv* Il calcolo idraulico per la determinazione della portata nella situazione illustrata in figura devefare riferimento alle pressioni assolute. L'equazione di Bernoulli generalizzata fornisce:

zA = zM - zc r +Uc r

2

2 g +f D

Uc r 2

2 g L + ∆Hi (10.2)

ove Uc r è la velocità media che si stabilisce in condotta quando il deflusso avviene nelle condi-zioni di pressione indicate dalla (10.1). Fino all'apice del gomito - sezione del punto M - la cor-rente occupa l'intera sezione.

A valle del gomito la condotta si abbassa: poiché in essa si mantiene la pressione uguale a pd:

- la piezometrica scende con l'asse del condotto, in quanto l'altezza piezometrica mantienesempre lo stesso valore (negativo),

- la linea dei carichi totali scende invece secondo la cadente, calcolata ad esempio con la (6.9).

Di conseguenza aumenta l'altezza cinetica e, con essa, la velocità media della corrente e la se-zione trasversale della corrente, che defluisce a pelo libero, va restringendosi. Infatti, poiché la

portata è costante si riduce l'area occupata dalla corrente: la tubazione è occupata nella parteinferiore dal liquido, che scorre come in un canale (moto a canaletta), al di sopra del quale c'èvapore. alla pressione:

p = pd

Nel tratto finale di condotta, a monte dello sbocco nel serbatoio B ove la pressione è maggioredel valore minimo possibile:

p > pd

il deflusso in condotta avviene a sezione piena.

Nella sezione finale del tratto a canaletta, ove la sezione della corrente aumenta bruscamente disezione, si realizza una perdita di energia data dalla (8.2).

Dobbiamo ricordare che:

- il tratto di corrente a canaletta, comunque breve sia, disconnette il serbatoio di monte daquello di valle e quindi la portata non aumenta anche se il livello di quest'ultimo viene ab-




7910/11/09

bassato,

- il moto deve essere innescato creando, mediante aspirazione, la depressione che consente i-nizialmente di far muovere il liquido.

10.2 LUNGHE CONDOTTE

Nelle applicazioni pratiche, spesso, dobbiamo determinare le caratteristiche idrauliche di corren-ti che scorrono in condotte di notevole lunghezza.

In tal caso il problema può essere semplificato in quanto:

- la lunghezza effettiva della condotta può essere confusa con quella della sua proiezione oriz-zontale, se la condotta, come accade di solito, non è troppo pendente;

- la linea del carico totale si confonde con la linea piezometrica;

- le perdite di carico localizzate nelle singolarità idrauliche 1, 2, …, N possono essere trascu-rate rispetto a quelle continue; infatti osserviamo che la complessiva perdita di carico loca-lizzata:

∆H = k U 2

2 g = (k 1 + k 2 + ... + k N )U 2

2 g

è trascurabile rispetto alla perdita di carico continua nella condotta di lunghezza L , data adesempio con la formula di Darcy-Weisbach, se:

k < p Lf D

ove p è un numero piuttosto piccolo.Posto ad esempio p = 4 %, f = 0.025 ed espressa la lunghezza L in diametri di condotta: L = mD otteniamo:

m > 1000 k

Pertanto, in condotte senza valvole né saracinesche, per le quali k ≤ 2, e lunghe almeno 2000volte il diametro, possono essere trascurate le perdite di carico localizzate di imbocco e di sboc-co e di cambio di sezione. Ovviamente, le perdite di carico in valvole e paratoie con coefficientidi perdita elevati debbono essere messe in conto.

Si noti che non possono però essere trascurate le perdite di carico in paratoie o valvole strozzate

quando ad esse corrispondono valori di k molto grandi.L'impiego delle formule pratiche per il calcolo della resistenza al moto consente di risolvere confacilità anche problemi di reti di condotte.

10.3 SISTEMI DI CONDOTTE

Gli impianti di adduzione e distribuzione di acqua, per uso potabile (acquedotti urbani), indu-striale (acquedotti industriali) o per irrigazione per aspersione, sono costituiti da condotte di va-rio diametro tra loro collegate per connettere i punti di alimentazione con i punti di utenza.

La rete è costituita da Fig.10.2: RAMI o lati, condotte percorse da una portata costante e nelle




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quali possono essere inclusi dispositivi idraulici, pompe o valvole di regolazione, che modifica-no il carico ma non la portata, ovvero presentano erogazioni distribuite di portata (in tal caso la

portata in condotta diminuisce gradualmente lungo il percorso), NODI INTERNI, ai quali concor-rono i rami tra loro connessi e nei quali possono essere fissati dei punti di utenza con erogazione

concentrata di portata, NODI DI CONTORNO, punti di alimentazione o di utenza, che fissano lecondizioni al contorno del sistema idraulico essendovi fissate le condizioni idrauliche (portataerogata e, spesso anche, carico totale) richieste per lo svolgimento del servizio.

Le condotte possono essere tra loro connesse secondo:

1. una configurazione ad albero, nel quale la traiettoria collegante un qualsiasi punto di ali-mentazione a una qualsiasi utenza è univocamente definita,

2. una configurazione a maglie, che consente di raggiungere l’utenza seguendo due o più per-corsi alternativi a partire dalla alimentazione.

Per il calcolo sono disponibili: M equazioni del moto, una per ciascun ramo, e N equazioni di

continuità, una per ciascun nodo. Se, per fissare le idee e per semplicità, consideriamo che neinodi esterni siano noti la portata e il carico totale, si presentano due alternative di calcolo:

a) problema di verifica: il funzionamento idraulico della rete di condotte viene individuato cal-colando le portate che scorrono nelle singole condotte e tracciando, di conseguenza,l’andamento delle linee di carico totale. Sono incogniti i valori di portata Q i , i = 1…M negliM rami del sistema e i valori del carico totale H j , j = 1…N negli N nodi interni. Fissato a

priori il senso di percorrenza della corrente nei condotti, il sistema risolutivo si presentacomposto dalle equazioni dei rami:

H r – H k = Ji Li i = 1 … M (10.3a)

ove il lato i-esimo collega il nodo r-esimo al nodo k-esimo e dalle equazioni ai nodi ove P j èil numero di rami confluenti nel generico j-esimo nodo e p è l’indice dei rami concorrenti alnodo dal quale viene erogata la portata E j:

ΣP j

p=1Q p = E j j = 1 … N (10.3b)

b) problema di progetto: vengono calcolati gli M diametri delle condotte che costituirannol’acquedotto ovvero le caratteristiche dei dispositivi idraulici che consentono di raggiungerele condizioni di servizio fissate a priori. Poiché il numero delle equazioni disponibili è infe-riore al numero delle incognite (M diametri, M portate nei rami, e N carichi ai nodi) il pro-

blema di progetto risulta indeterminato se non vengono poste condizioni aggiuntive: al solito

si impone una condizione economica generale, ad esempio che il costo del sistema sia mini-mo.

Poiché la scelta a priori della direzione della corrente nei rami della rete può rivelarsi sbagliata èopportuno che la relazione di resistenza al moto, ad esempio la (6.31a), sia posta nella forma:

J =n2 Q |Q |A2 R 4/3 (10.4)

che, legando il segno della portata al valore della differenza tra i carichi di estremità del condot-to, corregge automaticamente la scelta iniziale.




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11. SVILUPPO DELLE FORMULE DI RESISTENZA AL MOTO

Nel seguito sono ricavate le espressioni di resistenza al moto della corrente defluente in un con-

dotto circolare con regime turbolento.La discussione generale dell'argomento è presentata in Cap. 6: qui sono riportati per esteso glisviluppi analitici e sono richiamate le approssimazioni di calcolo.

11.1 MOTO TURBOLENTO IN TUBO LISCIO

Nella sezione trasversale di un tubo liscio il profilo di velocità, esternamente al sottile substratolimite laminare, è del tipo indicato in Fig.6.7; nel grafico, y indica la distanza dalla parete del

punto nel quale si vuol conoscere la velocità. Il significato degli altri simboli è noto.

Secondo la teoria della lunghezza di mescolamento proposta da Prandtl nel 1925, lo sforzo turbolento dovuto alle fluttuazioni di velocità esternamente al substrato laminare è proporzionalealla densità del liquido e al quadrato della velocità di deformazione e cresce con la distanza y dalla parete secondo la relazione:

τ = ρ κ2 y2 ( d ud y )2 (11.1)

ove viene adottata la posizione τ ≅ τT .

Il coefficiente di proporzionalità è dato dalla costante di von Karman: κ = 0.4. Prandtl ammetteche sia ovunque: τ = τ0 ; l’ipotesi è valida solo vicino alla parete mentre, ricordando la (6.11b),riconosciamo che è chiaramente sbagliata in prossimità dell’asse.

Il risultato della teoria di Prandtl viene però accettato perché si accorda abbastanza bene con irisultati sperimentali. Introducendo la velocità di attrito (6.3) e riducendo alla radice quadrata la(11.1) otteniamo:

u* = κ yd ud y (11.2)

che può essere integrata separando le variabili, ottenedo:

uu*

=1κ ln y + C

Il valore della costante di integrazione si ricava osservando che la velocità del nucleo turbolentodeve uguagliare la velocità usl della corrente laminare al contorno del substrato laminare, il cuispessore δsl è definito dalla (6.5):

uu*

=1κ ln

yδsl

+usl

u*(11.3)

Dal profilo di velocità in regime laminare (6.12), essendo r 02 - r sl

2 ≅ δsl D al contorno del sub-

strato laminare, si ha usl =g D J4 ν δsl equivalente a usl =

δsl u*2

ν . In definitiva, ricordando la (6.5),

abbiamousl

u*

= 11.6. Pertanto la (11.3) diventa:




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uu*

=1κ ln

y u*

ν -1κ ln 11.6 + 11.6 (11.4)

ossia:

uu*= 2.5 ln y u*

ν + 5.5 (11.5)

Si osserva dalla (11.5) che, a causa della incongruente ipotesi di sforzo tangenziale costante,all’asse del condotto la velocità di deformazione e, quindi, lo sforzo tangenziale non sono nulli,contrariamente a come dovrebbe essere per rispettare la condizione di simmetria.

Integrando la (11.5) come in (6.13a), calcoliamo la portata e quindi, dividendo per l'area dellasezione, otteniamo la velocità media. Poiché la diretta soluzione dell'integrale:

Q = ⌡⌠

0

r 02 π r u dr = 2 π [ ⌡⌠

0

δsl

u*

2

2 r 0 ν(r 0

2 - r 2 ) r dr + u* ⌡⌠

δsl

r 0(2.5 ln

y u*

ν + 5.5) r dr] (11.6)

porta a una espressione piuttosto lunga e, perciò, poco adatta all'uso pratico, preferiamo ricorrerea una approssimazione che fornisce un risultato in accordo con i rilievi sperimentali.

Osservato che il contributo del deflusso nello strato limite contribuisce relativamente poco alla portata, diciamo che la velocità si annulla alla distanza dalla parete pari a:

y0

= 0.1νu*

(11.7)

che è chiaramente inferiore allo spessore δsl del substrato laminare fornito dalla (6.5). Con que-

sta nuova condizione, la (11.3) si riduce a:uu*

=1κ ln(

yy0

) (11.8)

e l'integrale (11.6) si riduce al più semplice:

U =1

π r 02 ⌡⌠

0

r 02 π r u dr =

2 u*κ r 0

2 [ ⌡⌠

0

r 0r 0 ln(

yy0

) dy - ⌡⌠ 0

r 0y ln(

yy0

) dy ] (11.9)

ove si è posto r = r 0 -y e dr = - dy . Inoltre, per semplicità e con approssimazione del tutto accet-tabile, l'integrale è esteso a [0, r 0] in luogo del più corretto intervallo [y0, r 0].

La soluzione dell'integrale (11.9) risulta:

U =2 u*κ r 0

2 [ r 0 y ln(yy

0

) - r 0 y -y2

2 ln(yy

0

) +y2

4 ] r 00 =u*κ [ ln(

r 0y

0

) -32 ] (11.10)

Sostituendo nella (11.10) le espressioni (6.10) e (11.7) e introducendo il diametro del condotto,otteniamo:

Uu*

=1

f 1/2 =2.5

8 [ ln(10) Log10(

D U f 1/2

2 ν 0.1 8 ) - 1.5 ] (11.11)

Ricordando che il logaritmo del prodotto equivale alla somma dei logaritmi dei fattori, semplifi-chiamo la (11.11) e giungiamo a rappresentare il numero indice di resistenza in funzione del




8310/11/09

numero di Reynolds del condotto:

1f 1/2 = 2.03 Log10( Re f 1/2) - 0.82 (11.12)

Gli esperimenti, consigliando di modificare leggermente i coefficienti della (11.12), portano alla(6.21a).

11.1.1 DIAGRAMMA DELLA VELOCITÀ

La Fig.6.7 mostra il diagramma della velocità nel condotto liscio senza precisare in dettagliocome la velocità varia in prossimità del substrato limite laminare: sulla scorta dei risultati or oraottenuti in § 11.1, riprendiamo in modo più puntuale l’argomento di § 6.4.

Il confronto tra le componenti, viscosa e turbolenta, dello sforzo tangenziale di Fig.6.4 ci ricordache presso la parete il moto è quasi esclusivamente laminare mentre nel nucleo della corrente e-

sistono solo gli sforzi turbolenti; in un limitatissimo intervallo presso la parete, i due sforzi sonotra loro comparabili.

La teoria della lunghezza di mescolamento trascura questo intervallo di moto di transizione, diimportanza pratica secondaria, e collega direttamente il diagramma della velocità di moto lami-nare a quello della velocità turbolenta “mediata sul tempo” (vedi § 12.3).

Nel grafico adimensionale della distribuzione della velocità lungo un raggio della sezione, ripor-tante, rispettivamente sulle ascisse e sulle ordinate:

y+ =y u*

ν distanza adimensionale del punto di misura della velocità dalla parete data

in forma di Numero di Reynolds,

u+ =uu*

rapporto tra la velocità in un punto della sezione e la velocità di attrito,

la velocità laminare in un punto dello strato limite è data dalla relazione dedotta trasformando la:

u =u*

2

2 r 0 ν(r 0

2 - r 2 ) =12 u*

u* (r 0 - r)ν

(r 0 + r)r 0

(6.12)

e notando che la distanza del punto dalla parete è: y = (r 0 - r) e che, con approssimazione analoga

a quella fatta nel paragrafo precedente, si può porre(r 0 + r)

r 0~ 2 in quanto il punto si trova nello

strato limite e quindi vicinissimo alla parete, per cui r ~ r 0 .La distribuzione della velocità adimensionale nello strato limite è dunque lineare:

u+ = y+ (11.13)

e ciò giustifica il nome di strato lineare dato da qualche Autore al substrato laminare.

Ovviamente la (11.13) vale finché y+ ≤ y0

+ con y0

+ = 11.6 per la (6.5).

Il grafico adimensionale della velocità turbolenta, che vale per y+ > y0+, si ottiene direttamente

dalla (11.5):

u+ = 2.5 ln y+ + 5.5 (11.14)




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Il grafico delle (11.13) e (11.14) è illustrato in Fig. 11.1: la scala logaritmica delle ascisse serve per amplificare la zona di corrente vicina alla parete.

Le numerosissime misure sperimentali eseguite da diversi Autori confermano molto bene la cur-va teorica ad esclusione della zona di transizione: ad esempio, Deissler e Laufer (1953) verifica-rono indipendentemente tra loro la validità della curva teorica.

11.2 MOTO TURBOLENTO PURO

Anche in questo caso, la distribuzione della velocità della corrente sulla sezione è dedotta con lateoria della lunghezza di mescolamento. Se, per semplicità, ammettiamo che la velocità si annul-la a una distanza dalla parete pari a:

y0

= 0.03 k S

(11.15)

troviamo che la soluzione (11.10) dell'integrale (11.9), qui sotto richiamata:

U =u*κ [ ln (

r 0y

0

) -32 ]

risulta:

Uu*

=1

f 1/2 =2.5

8 [ ln(10) Log10(

D2 0.08 k

S

) - 1.5 ] = 2.03 Log10(Dk

S

) + 1.16 (11.16)

L'adattamento ai risultati degli esperimenti consiglia le leggere modifiche dei coefficienti che portano alla espressione (6.22b).

11.3 MOTO TURBOLENTO MISTO

Molto semplicemente, Colebrook e White posero la distanza del punto di velocità nulla dalla pa-rete pari alla somma delle distanze (11.7) e (11.14).

Introducendo nella (11.10):

y0

= 0.1νu*

+ 0.03 k S (11.17)

otteniamo:

1f 1/2 = -

2.58

{ ln(10) Log10( 2D [0.1 ν

u*+ 0.03 k

S] ) + 1.5 } (11.18)

Con qualche semplice passaggio giungiamo alla:

1f 1/2 = - 2.03 Log10(

2.53Re f 1/2 +

k S3.718 D ) (11.19)

che, arrotondando, equivale alla (6.26a).




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11.4 LA SCABREZZA SUPERFICIALE

La rugosità della parete interna di una tubazione è molto irregolare e la misura diretta del suo va-lore significativo - k s - è onerosa e molto incerta. Le tecniche di misura diretta messe a punto al-

la metà del secolo scorso non hanno avuto seguito; è ormai pratica corrente la determinazioneindiretta della scabrezza attraverso prove idrauliche eseguite: in laboratorio, per tubi di piccolodiametro, in sito sulla condotta posata, per tubi di grande diametro.

Il valore della scabrezza così definita include anche le dissipazioni di energia provocate da giun-ti, da asperità isolate, come cordoni di saldatura o chiodature, oppure da disallineamenti nella

posa della condotta.

Nell'abaco di Moody di Fig. 11.2, accanto alla curva dei tubi lisci e alla curva Re* =70, compaiono le curve di resistenza al moto (6.26a) o (6.26b) tarate sulle misure sperimentali: la procedura indiretta consiste nell'adattare alle misure sperimentali, attraverso la sceltadell'opportuno valore di k s, una delle curve di resistenza al moto ricavate nei precedenti

paragrafi.Le prove idrauliche su tubazioni di minor diametro avvengono di norma con corrente in regimeturbolento misto mentre il regime è turbolento puro nelle condotte di diametro maggiore.

Nel primo caso i produttori della tubazione forniscono formule di resistenza sperimentali cali- brate esclusivamente sul tipo di tubazione messa in commercio, nelle quali, pertanto, non compare direttamente nè la scabrezza significativa nè il numero indice di resistenza. Queste formulesono riportate sui fogli di descrizione tecnica del prodotto ai quali si rimanda. Sui siti internetdei fabbricanti sono presentate interfacce di calcolo idraulico, personalizzate per i prodotticommercializzati.

Nel secondo caso, sono molto utili le tabelle riportate qui sotto, che sono state ricavate dalla

banca dati di misure del U.S. Bureau of Reclamation.La prima è riferita a condotte in calcestruzzo di adduzione a impianti idroelettrici o a grandi ac-quedotti o impianti di irrigazione.

VALORI DI SCABREZZA SIGNIFICATIVA k s (mm) DI CONDOTTE IN CALCESTRUZZO

DESCRIZIONE minimo massimo

ECCEZIONALMENTE SCABRE: casseforme in legno grezzo, calcestruzzo sca-dente eroso, difetti di allineamento ai giunti

0.6 3.0

SCABRE: erose dal passaggio di materiale abrasivo, difetti di realizzazione e di

posizionamento delle casseforme 0.4 0.6

FINITURA GRANULOSA: in buone condizioni e giunti bene allineati 0.18 0.4

TUBI IN CALCESTRUZZO CENTRIFUGATO 0.15 0.5

LISCIE: tubo nuovo o seminuovo, casseforme metalliche, manodopera normale, bolle d'aria sulla finitura, giunti bene allineati

0.06 0.18

Eccezionalmente liscie: casseforme metalliche posizionate, manodopera

particolarmente capace, giunti bene allineati0.016 0.06

La seconda è riferita a condotte forzate di impianti idroelettrici e di grandi impianti industriali.




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VALORI DI SCABREZZA SIGNIFICATIVA k s (mm) DI CONDOTTE METALLICHE CONTINUE (*)

DESCRIZIONE minimo massimo

GRAVEMENTE TUBERCOLIZZATE O INCROSTATE 3.0 12.0ESTESAMENTE TUBERCOLIZZATE 1.0 3.0

R IVESTIMENTO SCABRO: bitume o resine sintetiche stese in opera 0.35 1.0

LEGGERMENTE ARRUGGINITO 0.15 0.35

R IVESTIMENTO CEMENTIZIO: applicato in fabbrica 0.05 0.15

R IVESTIMENTO BITUMINOSO: applicato a caldo 0.06 0.15

R IVESTIMENTO IN RESINA SINTETICA: applicata in fabbrica, tubo nuovo 0.008 0.06

(*) le tubazioni sono saldate in testa

A scopo esemplificativo, le curve di resistenza al moto di alcune delle grandi condotte in calce-struzzo elencate dal U.S. Bureau of Reclamation sono riportate in Fig. 11.2 a (le curve in figurasono contrassegnate con i numeri dei seguenti elenchi):

1. galleria di adduzione all'impianto di Castelletto in esercizio da 10 anni, di diametro D = 2.42m e scabrezza significativa k s = 0.12 mm: le misure furono eseguite sotto la direzione di G.De Marchi nel 1932-36;

2. galleria di adduzione all'impianto di Chelan (Wa., Stati Uniti) nuova, rivestita con anelli dicalcestruzzo preformati, di diametro D = 4.27 m e scabrezza significativa k s = 0.22 mm;

3. galleria Eklutna (Alaska) in esercizio da 5 anni, rivestita con calcestruzzo gettato in casse-forme metalliche lubrificate, avente diametro D = 2.76 m e scabrezza significativa k s = 0.27mm;

4. acquedotto di San Diego (Ca., Stati Uniti) condotta nuova in elementi di calcestruzzo accura-tamente giuntati: diametro D = 1.83 m e scabrezza significativa k s = 0.57 mm.

Appare evidente dalla figura che: (a) la scabrezza del rivestimento di calcestruzzo è sempre mol-to piccola per cui il regime della corrente è in tutti i casi turbolento misto; (b) le formule di resi-stenza per il moto turbolento misto sono poco flessibili e spesso interpretano male le misure che,

però non sono sempre precise.

In Fig. 11.2 b sono presentate alcune curve di resistenza al moto in:

5. condotte metalliche di derivazione dell'impianto di Teillet - Argenty, in Francia, saldate intesta ogni due metri, aventi D = 2.50 m e k s = 6.5 mm: durante le prove, che furono eseguitenel 1947 dopo 34 anni di esercizio dell'opera, non furono rilevate tracce di incrostazioni. Lafigura mostra che le due condotte dell'impianto hanno comportamento leggermente diverso;

6. condotte in ghisa di ridotto diametro - D = 0.20 m - che, provate in laboratorio con regimeturbolento misto, confermano la formula di Colebrook e White con scabrezza significativa k s = 0.115 mm;

7. condotte forzate, aventi D = 1.0 m, al servizio dell'impianto idroelettrico di Cavaglia in ValPoschiavo (cantone svizzero dei Grigioni). Le condotte sono formate da elementi laminati in

acciaio, uniti tra loro da speciali giunti a bicchiere: nel corso dell'ispezione furono rilevate in




8710/11/09

alcuni punti imperfezioni millimetriche. Di conseguenza, le condotte si differenziano tra loro per la scabrezza significativa: condotta (a) k s = 1.07 mm, condotta (b) k s = 0.06 mm.




8810/11/09

12. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL MOTO DEI FLUIDI

Riprendendo le osservazioni di § 3.1, ricordiamo che il moto del fluido è completamente definito

quando si conoscono in ogni punto del campo di moto i valori della velocità U, della pressione p e della densità ρ: nel caso di flussi di calore entro il fluido o di scambi con l'esterno, la tempera-tura T si aggiunge alle altre variabili.

Poiché la legge di Eulero - Newton (3.8) lega la derivata sostanziale della velocità U alle forzeapplicate al fluido e, di conseguenza, agli sforzi interni, è necessario esprimere questi ultimi infunzione della velocità di deformazione mediante le equazioni costitutive, per ridurre il numerodelle incognite.

La densità, se variabile, viene espressa in funzione della pressione e della temperatura mediantel'equazione di stato e la temperatura, se variabile, viene espressa in funzione delle altre grandez-ze mediante le leggi della termodinamica.

Nei seguenti paragrafi ricaveremo le quattro equazioni che consentono di risolvere i problemiche richiedono di definire velocità U e pressione p.

Per concisione e semplicità di scrittura delle formule, le espressioni matematiche saranno svoltecon la simbologia del calcolo vettoriale: il significato dei simboli indicanti gli operatori del cal-colo differenziale applicato ai vettori sarà ogni volta richiamato al loro apparire.

12.1 L’EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA

L'incremento della massa interna al volumetto fisso ∆V = ∆x ∆y ∆z descritto in Fig.12.1, com-

pensa la differenza tra flusso uscente ed entrante:∂ ρ∂ t ∆x ∆y ∆z +

∂ ρ u∂ x ∆x ( ∆y ∆z ) +

∂ ρ v∂ y ∆y ( ∆x ∆z ) +

∂ ρ w∂ z ∆z ( ∆x ∆y ) = 0 (12.1)

dividendo per ∆V e introducendo l'operatore divergenza ∇⋅ (ρU) scriviamo:

∂ ρ∂ t + ∇. (ρU) = 0 (12.2)

che, per fluido incomprimibile ossia per ρ = costante, si riduce alla forma indefinita (3.3) dell'e-quazione di continuità.

12.2 LE EQUAZIONI DEL MOTO

Le equazioni del moto laminare di un fluido viscoso risultano dal contributo dato in tempi diver-si da eminenti fisici matematici del XIX secolo: i francesi Navier nel 1821 e Poisson nel 1831, el’inglese Stokes nel 1845.

12.2.1 L’EQUAZIONE DEGLI SFORZI

Con riferimento all'elemento infinitesimo di Fig.12.2 proiettiamo nelle direzioni coordinate la(3.8b), analogamente a quanto si fece in §3.3.2 per il semplice caso di fluido ideale.




8910/11/09

Ricordando quanto detto in §1.3 e considerando il fluido pesante soggetto alla sola forza di gra-vità, otteniamo:

ρ ∆V D uD t =

∂ txx

∂ x ∆x ( ∆y ∆z ) +∂ tyx

∂ y ∆y ( ∆x ∆z ) +∂ tzx

∂ z ∆z ( ∆x ∆y )

ρ ∆V D vD t =

∂ txy

∂ x ∆x ( ∆y ∆z ) +∂ tyy

∂ y ∆y ( ∆x ∆z ) +∂ tzy

∂ z ∆z ( ∆x ∆y ) (12.3)

ρ ∆V D wD t = -g ρ ∆V +

∂ txz

∂ x ∆x ( ∆y ∆z ) +∂ tyz

∂ y ∆y ( ∆x ∆z ) +∂ tzz

∂ z ∆z ( ∆x ∆y )

dividendo tutti i termini per ∆V e ricordando che la divergenza del tensore è:

∇. ( ) = (∂ txx

∂ x +∂ tyx

∂ y +∂ tzx

∂ z ) i + (∂ txy

∂ x +∂ tyy

∂ y +∂ tzy

∂ z ) j + (∂ txz

∂ x +∂ tyz

∂ y +∂ tzz

∂ z ) k

e richiamando la (3.11), otteniamo la forma compatta:

ρD UD t = -g ρ ∇( z ) + ∇. ( ) (12.4a)

oppure, esplicitando il tensore dello sforzo viscoso come in (1.5), ricaviamo:

ρD UD t = - g ρ + ∇. ( - p ) (12.4b)

Poichè, come si riconosce facilmente, la divergenza ∇. ( p ) equivale al gradiente della pressio-ne ∇ ( p ) otteniamo la forma finale:

ρ [ ∂ U

∂ t+ ( U . ∇ ) U ] = - g ρ ∇ ( z ) − ∇ ( p ) + ∇. ( ) (12.5)

Nel caso di fluido ideale di densità costante, per il quale la relazione costitutiva è = 0 come sidisse in §3.3, la (12.5) diventa uguale alla (3.14b).

12.2.2 IL MOVIMENTO E LA DEFORMAZIONE DELLA MASSA FLUIDA

Vediamo come una massa fluida si mette in movimento a partire dalla condizione di quiete acausa della modifica delle condizioni al contorno come accade, ad esempio, per l'apertura di una

paratoia originariamente chiusa, posta sul bordo di un serbatoio.

Le particelle di fluido accelerano e ciascuna modifica la sua posizione rispetto alle vicine inquanto l'accelerazione convettiva (§ 3.3.1) varia da punto a punto: le particelle vicine all'uscitaacquistano più prontamente velocità di quelle retrostanti poste in fondo al serbatoio o vicino alle

pareti.

Ne consegue che l'elemento fluido si sposta e si deforma. La equazione del moto (12.5) ci fa ap- prezzare che lo sforzo origina dalla opposizione del materiale costituente l'elemento fluido adeformarsi. Per la legge di Newton, introdotta con la relazione (1.8a) lo sforzo viscoso esisteove esiste una velocità di deformazione.

Gli sviluppi seguenti mostreranno che solo una parte della accelerazione convettiva dà deforma-zione nel fluido; il resto della accelerazione convettiva sposta (in particolare fa ruotare) le parti-

celle mantenendone la forma originaria (ad esempio, la forma cubica) senza deformarle.




9010/11/09

Dapprima scriviamo per esteso il risultato della applicazione dell'operatore gradiente al vettorevelocità, ricavando così il tensore non simmetrico:

| ∂ u∂ x

∂ u∂ y

∂ u∂ z |

∇ ( U ) = | ∂ v∂ x

∂ v∂ y

∂ v∂ z | (12.6)

| ∂ w∂ x

∂ w∂ y

∂ w∂ z |

Se ci limitiamo a considerare un fluido di viscosità isotropa, per il quale il valore del coefficientedi viscosità non dipende dalla giacitura della faccia sulla quale si esercita lo sforzo, alla simme-tria del tensore dello sforzo (1.4d) deve corrispondere la simmetria del tensore della velocità dideformazione, che d'ora innanzi indicheremo col simbolo . Infatti per la richiamata isotropiadella viscosità deve essere, ad esempio:

dxyτxy= dyxτyx

da cui deriva dxy = dyx poiché τxy = τyx. Analogamente si dimostra che: dyz = dzy e dxz = dzx . Dun-que il tensore non simmetrico, definito dalla (12.6), non è il tensore cercato; infatti, come ve-dremo qui sotto, contiene sia lo spostamento della particella che la sua deformazione.

Questi due effetti si separano facilmente; come è ben noto, ogni matrice può essere scompostanella somma di una matrice simmetrica e di una emisimmetrica con la banale trasformazione:

dij = ½ ( dij - d ji ) + ½ ( dij + d ji ) (12.7)

come al solito, gli indici i e j indicano due generiche direzioni cooordinate.

Otteniamo così che:

∇ ( U ) = + (12.8)

ossia, il tensore (12.6) è dato dalla somma del TENSORE DI VORTICITÀ diviso per 2, emisimme-trico:

| 0 - (∂ v∂ x -

∂ u∂ y ) (

∂ u∂ z -

∂ w∂ x ) |

= ½ | (∂ v∂ x -

∂ u∂ y ) 0 - (

∂ w∂ y -

∂ v∂ z ) | (12.9a)

| - (

∂ u

∂ z -

∂ w

∂ x ) (

∂ w

∂ y -

∂ v

∂ z ) 0 | e del TENSORE DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE simmetrico:

| 2∂ u∂ x (

∂ v∂ x +

∂ u∂ y ) (

∂ u∂ z +

∂ w∂ x ) |

= ½ | (∂ v∂ x +

∂ u∂ y ) 2

∂ v∂ y (

∂ w∂ y +

∂ v∂ z ) | (12.9b)

| (∂ u∂ z +

∂ w∂ x ) (

∂ w∂ y +

∂ v∂ z ) 2

∂ w∂ z |

Osserviamo che la VORTICITÀ ω è data, in notazione vettoriale, dal rotore del vettore velocità:




9110/11/09

| ωx | | ∂ w∂ y -

∂ v∂ z |

ω = ∇ x ( U ) = | ωy | = | ∂ u∂ z -

∂ w∂ x | (12.9c)

| ωz | | ∂ v∂ x - ∂ u

∂ y |

mentre, nella notazione tensoriale utilizzata dalla (12.9a), la vorticità ω risulta:

ω = 2 (12.9d)

Il significato fisico della definizione matematica viene chiarito qui di seguito. Facciamo alcuneconsiderazioni fisiche, dopo avere osservato che ogni argomento sviluppato a proposito di unasingola componente della velocità di deformazione è direttamente generalizzabile a tutte le altrein quanto vale la sovrapposizione degli effetti.

Come al solito, facciamo riferimento al piano x - z di Fig.12.3 e constatiamo che l'elemento flui-do si sposta nella direzione x trasportato dalla velocità u e si deforma (nel nostro caso si allunga)in quanto è differente la velocità della faccia posta alla ascissa x da quella della faccia alla ascis-sa x +∆x : il legame di proporzionalità tra componente (normale) del tensore di sforzo e corri-spondente velocità di deformazione si scrive dunque:

τxx prop.∂ u∂ x (12.10a)

Il legame tra componente tangenziale dello sforzo e velocità di deformazione angolare non è co-sì evidente; infatti la Fig.12.4a ci spiega che il movimento angolare dell'elemento di fluido ècomposto da una rotazione rigida dell'elemento alla quale si sovrappone la deformazione angola-

re. Ponendo attenzione ai segni delle componenti e assumendo come positive le rotazioni orariesi trova che la rotazione rigida è rappresentata dal termine in prima riga e terza colonna della(12.9a):

(∂ u∂ z -

∂ w∂ x )

mentre la deformazione corrisponde all'analogo termine della (12.9b) che schiaccia il volumetto:

(∂ u∂ z +

∂ w∂ x )

In Fig.12.4a è rappresentata solo la velocità u nella direzione x. Per completare la descrizione, la

Fig.12.4b mostra la scomposizione quando sono attive entrambe le componenti nelle direzioni x e z; la generalizzazione a movimenti tridimensionali è del tutto ovvia.

La interpretazione delle Fig.12.4 non è banale in quanto richiede che sia stato ben compreso ilsignificato delle componenti dei tensori definiti qui sopra. Presa l'origine del sistema di coordi-nate locali della faccia x - z dell’elemento cubico nel vertice in basso a sinistra, troviamo che il

punto di ascissa iniziale ∆x si sposta (nell'intervallo di tempo dt) nella direzione z della quantitàdzx oppure ωzx e, analogamente il punto di ordinata ∆z si sposta nella direzione x di dxz oppureωxz. Ovviamente le coordinate del punto posto inizialmente in (∆x, ∆z) diventano: (∆x + ωxz , ∆z+ ωzx) e la faccia dell'elemento ruota in senso orario, oppure (∆x + dxz , ∆z + dzx) e la faccia as-sume la forma di un rombo in conseguenza della deformazione angolare.




9210/11/09

La rotazione rigida non genera sforzo tangenziale, in quanto non deforma l'elemento fluido: for-ma un vortice che si dice rigido e che può essere descritto anche dalla teoria del fluido perfetto,attraverso le equazioni di Eulero (3.14).

Invece risulta per la legge di Newton:

τyx prop. (∂ v∂ x +

∂ u∂ z ) (12.10b)

In questo modo abbiamo isolato nella (12.6) la parte che ci interessa.

Paragonando il risultato ora trovato con quanto si vide in Cap. 3 a proposito del moto del fluido perfetto, osserviamo che:

- la teoria del fluido perfetto ammette rotazioni rigide; nel caso particolare di moto irrotazio-nale dimostreremo in § 12.4 che l'equazione (3.16) vale per qualunque linea tracciata nelfluido e non solo lungo una traiettoria;

- le deformazioni della massa fluida non sono contrastate dagli sforzi interni e quindi, con laeccezione dei casi particolari esaminati in Cap. 4, la teoria del fluido ideale fornisce risultatiincongruenti.

12.3 LA LEGGE DI NEWTON E L'EQUAZIONE DEL MOTO LAMINARE

Se la viscosità, oltre che isotropa, è anche costante e il fluido è incomprimibile per cui la equa-zione di continuità (3.3) è soddisfatta, vale la diretta proporzionalità tra i tensori di sforzo visco-so e di velocità di deformazione che, generalizzando le (12.10), si scrive:

= 2 µ (12.11)

L'ultimo termine della (12.5) può dunque essere sviluppato nel modo seguente, ricordando dal precedente § 12.2.1 come si esegue la divergenza di un tensore:

∇. ( ) = 2 µ ∇. ( ) = µ { [ 2∂

2u∂x2 ] i + [

∂2v∂x2 +

∂2u

∂x ∂y ] j + [∂

2u∂x

∂z +∂

2w∂x2 ] k +

[∂

2v∂x ∂y +

∂2u∂y2 ] i + [2

∂2v∂y2 ] j + [

∂2w∂y2 +

∂2v

∂y ∂z ] k +

[∂

2u∂z2 +

∂2w

∂x ∂z ] i + [∂

2w∂y ∂z +

∂2v∂z2 ] j + [ 2

∂2w∂z2 ] k } (12.12a)

La espressione (12.12a) è riorganizzata nella seguente maniera:

∇. ( ) = µ { [∂

2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2 +

∂

∂x (∂ u ∂ x

+∂ v ∂ y

+∂ w ∂ z

) ] i +

[∂

2v∂x2 +

∂2v∂y2 +

∂2v∂z2 +

∂

∂y (∂ u ∂ x

+∂ v ∂ y

+∂ w ∂ z

) ] j +

[∂

2w∂x2 +

∂2w∂y2 +

∂2w∂z2 +

∂

∂z (∂ u ∂ x

+∂ v ∂ y

+∂ w ∂ z

)] k } = µ ∇2 U (12.12b)

L'ultimo passaggio si esegue ricordando che i termini entro parentesi tonda sono nulli in virtù

della (3.3) e che l'operatore di Laplace è definito come:




9310/11/09

∇2 =∂

2 ∂x2 +

∂2

∂y2 +∂

2 ∂z2

Pertanto, con le ipotesi di fluido a densità e viscosità costante, la (12.5) diventa:

∂ U∂ t + ( U . ∇ ) U = - g ∇( z + pγ ) + ν ∇2 U (12.13a)

L'equazione vettoriale (12.13a), che prende il nome di EQUAZIONI DI NAVIER - STOKES e de-scrive il moto laminare del fluido newtoniano, è l'approssimazione del secondo ordine allaequazione di Boltzmann del movimento molecolare mentre la (5.14) - ossia le equazioni diEulero - ne è l'approssimazione del primo ordine.

L'equazione (12.13a) si riduce ai casi particolari già studiati portando alle equazioni:

- (3.14b) se ν = 0,

- (6.12) se la corrente si muove in un condotto e, quindi, il problema ha simmetria radiale.

si presenta interessante

Sommando al membro di sinistra della (12.13a) il membro di sinistra della (12.2), che è uno sca-lare nullo, moltiplicato per il vettore velocità, si ottiene la "forma divergente" delle equazioni di

Navier - Stokes:

[ ∂ U∂ t + ( U . ∇ ) U ] + [

∂ ρ∂ t + ∇. (ρU) ] U = - g ∇( z +

pγ ) + ν ∇2 U

Sviluppando i calcoli si ottiene facilmente:

∂ ρ U

∂ t +∇.

( )

= - g∇

( z +

p

γ ) +ν ∇2

U

(12.13b)nel quale è esplicitato il tensore simmetrico di flusso di quantità di moto:

| ρ u2 ρ u v ρ u w | = | ρ u v ρ v2 ρ v w | (12.13c)

| ρ u w ρ v w ρ w w |

12.4 L'EQUAZIONE DEL MOTO IRROTAZIONALE DEL FLUIDO PERFETTO

Dunque, se il fluido è perfetto (non viscoso) abbiamo osservato che la (12.13a) si riduce alla(3.14b):

1g [

∂ U∂ t + ( U . ∇ ) U ] = - ∇( z +

pγ ) (12.14)

Se il moto del fluido ideale è anche irrotazionale, come ad esempio accade nelle vicinanze diuna luce aperta in un serbatoio, sono nulle le rotazioni rigide dell’elemento fluido, come abbia-mo notato in Fig.12.4. Matematicamente, l'irrotazionalità si traduce nell'annullamento di tutte lecomponenti del tensore di vorticità, come abbiamo visto in § 12.2.2: questo fatto conduce al se-guente interessante risultato.

Rielaboriamo il termine dell'accelerazione convettiva che, ricordando la (3.9) si scrive:




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( U . ∇ ) U = [∂ u∂ x

u +∂ u ∂ y

v +∂ u ∂ z

w] i + [∂ v∂ x

u +∂ v ∂ y

v +∂ v ∂ z

w] j + [∂ w∂ x

u +∂ w ∂ y

v +∂ w ∂ z

w] k(12.15)

Aggiungendo e sottraendo rispettivamente i termini evidenziati in blu e in verde qui di seguito:

( U . ∇ ) U = [ ∂ u∂ x u + ∂ u ∂ y v + ∂ u ∂ z w + ∂ v ∂ x v - ∂ v ∂ x v + ∂ w ∂ x w - ∂ w ∂ x w ] i +

[∂ v∂ x

u +∂ v ∂ y

v +∂ v ∂ z

w +∂ u ∂ y

u -∂ u ∂ y

u +∂ w ∂ y

w -∂ w ∂ y

w ] j +

[∂ w∂ x u +

∂ w ∂ y v +

∂ w ∂ z w +

∂ u ∂ z u -

∂ u ∂ z u +

∂ v ∂ z v -

∂ v ∂ z v ] k

e, raggruppando i vari termini, otteniamo:

( U . ∇ ) U = [ ½∂ ∂ x

( u2 + v2 + w2 ) - v (

∂ v ∂ x

-∂ u ∂ y

) + w (∂ u ∂ z

-∂ w ∂ x

) ] i +

[ ½∂ ∂ y

( u2 + v2 + w2 ) + u (

∂ v∂ x

-∂ u ∂ y

) - w (∂ w ∂ y

-∂ v ∂ z

) ] j +

[ ½∂ ∂ z

( u2 + v2 + w2 ) - u (

∂ u ∂ z

-∂ w∂ x

) + v (∂ w ∂ y

-∂ v ∂ z

) ] k

Ricordando che:

- il quadrato del modulo della velocità è la grandezza scalare: U2 = u2 + v2 + w2

- il gradiente di U2 è: ∇ ( U2 ) =

∂ U2

∂ x

i +∂ U2

∂ y

j +∂ U2

∂ z

k

- i termini entro parentesi sono le componenti del tensore di vorticità (12.9a).

La (12.15) si trasforma nella equivalente:

( U . ∇ ) U = ½ ∇ ( U2 ) + . U (12.16)

Ma, per la condizione di irrotazionalità, è:

= 0

Ne risulta che l'equazione del moto irrotazionale del fluido perfetto è:

1

g

∂ U∂ t + ∇( z +

p

γ +

U2

2 g ) = 0 (12.17)

Per moto permanente, la (12.17) dice che il carico totale ha lo stesso valore in ogni punto delfluido. Il risultato ora ottenuto non è uguale a quello di § 3.3.3. Infatti:

- l'equazione di Bernoulli (3.16) vale per il moto di fluido perfetto, senza restrizioni, e stabili-sce che il carico totale si mantiene costante lungo una traettoria, ossia il valore del carico to-tale in un punto P del fluido è condizionato dal valore assunto nel punto iniziale della traet-toria percorsa dalla particella per giungere fino a P;

- l'equazione (12.17) vale solo se il moto del fluido perfetto è irrotazionale e stabilisce che ilcarico totale è il medesimo in ogni punto del fluido.




9510/11/09

Lo studio dei moti irrotazionali, che non affronteremo in Fondamenti di Idraulica ha portato allosviluppo di teorie di importanza fondamentale per l'idraulica e, anche, per le applicazioni prati-che. Si vedano, ad esempio, le teorie classiche delle onde che si propagano sugli specchi liquidi,quali sono le onde del mare.

12.5 L'EQUAZIONE DEL TRASPORTO

Tutte le equazioni, nelle quali compare a sinistra dell'uguale la derivata sostanziale di una gran-dezza scalare o vettoriale, descrivono le modalità con le quali tale grandezza è trasportata dallacorrente: esse sono dette EQUAZIONI DEL TRASPORTO mentre la derivata sostanziale è chiamataOPERATORE DI TRASPORTO. Le equazioni di Eulero e le equazioni di Navier - Stokes sono equa-zioni del trasporto di una proprietà del fluido in movimento: la velocità. In § 13.4 saranno intro-dotte le equazioni del trasporto di un'altra proprietà: la vorticità.

Per chiarire il significato di questa definizione consideriamo il caso di trasporto di una sostanza

in soluzione. La massa di soluto ∆ m = ρm c ∆V = ρm c ∆x ∆y ∆z contenuta nel volume elementa-re di riferimento varia in quanto varia la concentrazione volumetrica c della sostanza all'internodel volumetto.

Il bilancio del soluto contenuto nel volumetto di Fig. 12.5 che evidenzia il trasporto del solutoattraverso le pareti del volumetto, si scrive notando che la materia in soluzione si diffonde in di-rezione della concentrazione decrescente e che la sostanza può subire trasformazioni chimiche.

Trascurando i termini di secondo ordine, con ovvie semplificazioni risulta:

ρm ∂ c∂ t

+ ρm [ c∂ u∂ x

+ u∂ c∂ x

+ c∂ v∂ y

+ v∂ c∂ y

+ c∂ w∂ z

+ w∂ c∂ w

] - ρm [ k (∂2 c∂ x2 +

∂2 c∂ y2 +

∂2 c∂ w2 )] = ρm S

(12.18a) avendo considerato costante il coefficiente k di diffusione molecolare e avendo indicato con ρm

S ∆V la variazione di quantità di sostanza nel volumetto di riferimento causata delle reazionichimiche.

La (12.18a) si semplifica ricordando l'equazione di continuità (3.1) per ottenere la equazione deltrasporto della concentrazione:

∂ c∂ t + ( U . ∇ ) c = k ∇2 c + S (12.18b)

La (12.18b) ci dice che nel volume elementare che si muove lungo una traettoria la concentra-

zione di soluto può variare per una causa endogena - la trasformazione chimica - e per una causaesogena - lo scambio molecolare con il fluido circostante - .

Con una procedura simile a quella descritta si ricava la equazione del trasporto della entalpia nelcaso di trasmissione del calore.




9610/11/09

13. IL MOTO TURBOLENTO

Il moto laminare è naturalmente instabile in quanto ogni ostacolo, ancorché infinitesimo, che in-

fluisce sul moto della particella fluida, ne deforma la traettoria, come si vede nello schema diFig. 13.1a: ne segue che nel tubo di flusso indicato con 1 nell'esempio illustrato in figura, la ve-locità diminuisce e, per l'equazione di Bernoulli, la pressione aumenta mentre nel limitrofo tubo,indicato con 2, la velocità aumenta e, di conseguenza, la pressione diminuisce. Lo squilibrio di

pressione amplifica la fluttuazione della traettoria e della velocità. Se viene sottratta alla velocitàlocale fluttuante la velocità media della corrente si riconosce che la fluttuazione corrisponde aun vortice il cui periodo è funzione della lunghezza d'onda della fluttuazione di velocità comemostra la Fig. 13.1b.

Il vortice - i vortici nel caso in cui la perturbazione permanga nel tempo - viene trasportato dallacorrente e si deforma. Benché il moto dei vortici sia, ovviamente, rappresentabile con le equa-

zioni di Navier - Stokes, risulta più opportuno fare riferimento alla equazione vettoriale di tra-sporto del vettore vorticità per spiegare il fenomeno.

13.1 IL TRASPORTO DELLA VORTICITÀ

Estraiamo l'equazione del trasporto della vorticità applicando l'operatore rotore ai singoli terminidella equazione di Navier - Stokes (12.13a):

∇ x {∂ U∂ t + ( U . ∇ ) U} = - g ∇ x {∇( z +

pγ )} + ν ∇ x {∇2 U} (13.1)

e osserviamo che:

1. il primo termine di sinistra e il secondo termine di destra sono lineari: scambiando l'ordine diderivazione e ricordando la definizione di vorticità data con la (12.9c), risultano rispettiva-mente:

∇ x (∂ U∂ t ) =

∂ ∂ t ( ∇ x U ) =

∂ ω∂ t (13.2a)

ν ∇ x [ ∇2 U ] = ν ∇2 ω (13.2b)

2. il rotore del gradiente è sempre nullo, come è facile dimostrare,e quindi:

∇ x [ ∇( z + p

γ

) ] = 0 (13.2c)

Invece, lo sviluppo del secondo termine di sinistra ∇ x [ ( U . ∇ ) U ] è piuttosto laborioso.

Se, per semplificare la scrittura dei passaggi analitici, scriviamo la (12.15):

( U . ∇ ) U = [u∂ u∂ x

+ v∂ u ∂ y

+ w∂ u ∂ z

] i + [u∂ v∂ x

+ v∂ v ∂ y

+ w∂ v ∂ z

] j + [u∂ w∂ x

+ v∂ w ∂ y

+ w∂ w ∂ z

] k

nella forma:

( U . ∇ ) U = f X i + f Y j + f Z k = f (13.3)

con evidente significato dei simboli, il rotore di f risulta:∇ x f = ( ∂y f Z - ∂z f Y ) i + ( ∂z f X - ∂x f Z ) j + ( ∂x f Y - ∂y f X ) k (13.4)




9710/11/09

Per semplificare la scrittura della (13.4) e delle successive espressioni, il convenzionale simbolodi derivata è stato sostituito con la più sintetica forma:

∂x f Y = ∂f Y∂ x

; ∂xyw =∂2w

∂ x ∂ y

e così via. Seguiamo in dettaglio gli sviluppi del termine secondo l'asse coordinato x:

( ∂y f Z - ∂z f Y ) = ∂yu ∂xw + u ∂xyw + ∂yv ∂yw + v ∂yyw + ∂yw ∂zw + w ∂zyw +

- (∂zu ∂xv + u ∂xzv + ∂zv ∂yv + v ∂yzv + ∂zw ∂zv + w ∂zzv ) (13.5)

Raccogliendo e sommando e sottraendo alcuni termini otteniamo:

( ∂y f Z - ∂z f Y ) = u ∂xωx + v ∂yωx + w ∂zωx + ωx ( ∂xu + ∂yv + ∂zw ) - [ωx ∂xu + ωy ∂yu + ωz ∂zu ]

nella quale compaiono le componenti del vettore di vorticità definite dalla ( 12.9c) e che si semplifica ricordando che ( ∂xu + ∂yv + ∂zw ) = 0 per la (3.3) dando:

∂y f Z - ∂z f Y = U . ∇ ωx - ω . ∇ u (13.6a)

Con sviluppi analoghi a quelli appena svolti si ottengono:

∂z f X - ∂x f Z = U . ∇ ωy - ω . ∇ v (13.6b)

∂x f Y - ∂y f X = U . ∇ ωz - ω . ∇ w (13.6c)

e l'equazione (13.1) diventa:

∂tω + ( U . ∇ ) ω = ( ω . ∇ ) U + ν ∇2 ω (13.7a)

che, come si vide in § 12.5, è l'equazione del trasporto della vorticità. Il secondo termine a sini-

stra dell'uguale e del primo termine a destra, nei quali si scambiano le variabili - velocità e vorti-cità -, causano la diffusione della vorticità generata in un punto. Per spiegare il senso di questaosservazione consideriamo un caso semplice: immaginiamo che in un certo istante una instabili-tà puntuale abbia formato un filamento vorticoso, ad esempio con asse in direzione z, si sia for-mato in un fluido che si muove di moto laminare e con velocità variabile da punto a punto.

Dunque, all'istante iniziale del fenomeno, esiste solo la componente ωz = ωz ( x0, y0, z0; t = 0 ) della vorticità e la (13.7) si riduce a:

D ωxD t = ωz ∂zu

D ωy

D t = ωz ∂zv (13.7b)D ωzD t = ωz ∂zw + ν ∇2 ωz

Le prime due equazioni (13.7b) mostrano che la vorticità nella direzione z estrae energia dal mo-to di insieme del fluido per generare vorticità secondo le altre direzioni coordinate: in altre paro-le, il vortice originario è deformato dal campo di moto del fluido. Ovviamente ciò non accadreb-

be se il fluido si muovesse con velocità uniforme. La terza equazione mostra che il vortice origi-nario si stira nella direzione del suo asse ossia riduce il suo raggio man mano che si sposta dal

punto in cui si è formato.




9810/11/09

Dunque, dopo l'istante iniziale la vorticità diventa tridimensionale, i vortici si deformano e si as-sottigliano allontanandosi dal punto di origine, interferiscono tra di loro e inizia il moto turbo-lento che, a differenza del vortice iniziale, è di natura tridimensionale.

Il termine dissipativo della (13.7b) - ν ∇

2

ωz che non dipende dalla velocità del fluido ma soloda quella del vortice - può smorzare la turbolenza sul nascere. Infatti se la cessione di energiadalla corrente al vortice, che dipende dalla velocità di insieme del fluido, è inferiore alla energiache il vortice dissipa nel suo movimento, il moto si mantiene laminare: affinchè l'iniziale instabi-lità evolva in moto turbolento della corrente, il rapporto:

R =( ω . ∇ ) U

ν ∇2 ω

deve essere superiore a un valore di soglia. L'analisi dimensionale chiarisce il significato delrapporto R in quanto, indicando con U e con L rispettivamente la dimensione "velocità" e la di-mensione "lunghezza", possiamo scrivere:

[( ω . ∇ ) U ] = [ U 2 L -2 ]

[ ∇2 ω ] = [ U L -3 ]

ricordando che l'espressione tra parentesi quadra ha il significato di dimensione della grandezzaesaminata in funzione delle grandezze fondamentali.

Si riconosce così che il rapporto:

[ R ] = [U

2 L -2

ν U L -3 ] = [

U L

ν]

ha le dimensioni del numero di Reynolds: il risultato ora raggiunto è analogo a quello di § 6.1.

A conclusione di questo paragrafo introduttivo è importante ricordare che il moto turbolento nonè causato dalla viscosità del fluido, la quale ha, invece, la funzione di regolare l'energia turbolen-ta che aumenterebbe all'infinito in un ipotetico e inimmaginabile caso di moto turbolento di unfluido ideale. La trasformazione della energia cinetica della turbolenza in calore si rappresentaaggiungendo alle equazioni del moto quelle della termodinamica. Questo studio esula dai limitidel corso.

13.2 IL MOTO MEDIO

Le particelle di un fluido che si muove di moto turbolento si agitano in modo apparentementedisordinato e il loro movimento non può essere descritto da equazioni che, come quelle conside-rate in Cap. 12, non sono in grado di seguire le fluttuazioni rapide delle particelle. Per mantenerelo studio del moto turbolento a un accettabile grado di semplicità ci si accontenta di descrivere ilmoto medio del fluido con equazioni che considerano, in luogo dei valori istantanei delle gran-dezze, le loro medie temporali. Ad esempio per la componente della velocità nella direzione x, lamedia temporale risulta:

_ u =

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆tu dt (13.8)




9910/11/09

A rigore l'operazione di media (13.8) vale solo se la corrente è in moto permanente e non pre-senta vortici; poichè ciò accade molto raramente, dovremmo utilizzare la media di insieme (ossiala media di misure eseguite al tempo t su un numero molto grande di esperimenti ripetuti sempreallo stesso modo) in luogo della media temporale (13.8). Si supera questa difficoltà eseguendo la

media su un periodo temporale 2 ∆t sufficientemente piccolo.

La variabile originaria si scrive dunque come somma del valor medio _ u e della fluttuazione tur-

bolenta u' intorno alla media:

u = _ u + u' (13.9)

La fluttuazione turbolenta viene spesso considerata come una variabile casuale a distribuzionegaussiana N(0, σ) e il suo andamento temporale come un processo stocastico: il valor medio del-la fluttuazione turbolenta è nullo per costruzione mentre non è nulla la sua varianza:

⟨ (u')2⟩2∆t = 12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t(u')2 dt (13.10)

Il simbolo ⟨ ⟩2∆t è tradizionalmente impiegato per indicare la media di una funzione sull'inter-vallo temporale individuato a pedice. Il coefficiente di variazione della grandezza:

σ2 = ⟨ (u')2⟩2∆t =⟨ (u')2⟩2∆t

_ u

(13.11)

costituisce una conveniente misura della fluttuazione turbolenta della grandezza e prende il no-

me di INTENSITÀ TURBOLENTA.Le medesime considerazioni possono essere svolte per le altre componenti del vettore velocità e

per la pressione. In Fig13.2 è riportato il tracciato della componente di velocità u' misurata in un punto di un canale di laboratorio da un Acoustic Doppler Velocimeter con frequenza di acquisi-zione di circa 45 Hz: la media (13.8) calcolata con ∆t = 5.54 (s) è ancora leggermente fluttuante

intorno al valore medio dell'intero periodo di registrazione che è pari a _ u = 0.461 (m/s).

13.3 L’EQUAZIONE DELLA CONTINUITÀ

Considerando il fluido incomprimibile e a densità costante e ricordando la (3.3), risulta:

∇. ( U ) = ∇. ( _ U + U' ) = ∇. (

_ U ) + ∇. ( U' ) = 0 (13.12)

Se la (13.12) è valida ad ogni istante di tempo, allora è valida anche in media; la media su 2∆t della equazione segue l'esempio della (13.8):

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ ∇. (

_ U ) + ∇. ( U' ) ] dt = 0 (13.13a)

Scambiando l'ordine di integrazione con quello di derivazione (la divergenza è una somma di

derivate), otteniamo:




10010/11/09

∇. [1

2 ∆t ⌡⌠

t-∆t

t+∆t _ U dt ] + ∇. [

12 ∆t ⌡⌠

t-∆t

t+∆t U' dt ] = 0 (13.13b)

Poichè il secondo termine della (13.13b) è identicamente nullo e, per definizione: _ U =

12 ∆t ⌡⌠

t-∆t

t+∆t _ U dt

risulta che l'equazione di continuità mediata nel tempo è:

∇. ( _ U ) = 0 (13.14a)

Dalla (13.12) otteniamo che, ad ogni istante di tempo, risulta anche:

∇.

( U') = 0 (13.14b)

13.4 L’EQUAZIONE DEL MOTO

Anche in questo caso mediamo su 2∆t l'equazione di Navier-Stokes (12.13a):

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [

∂ U∂ t + ( U . ∇ ) U ] dt =

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [- g ∇( z +

pγ ) + ν ∇2 U ] dt (13.15)

Ricorrendo all'argomento del paragrafo precedente osserviamo che l'integrale del 1° termine di

sinistra e dei termini di destra della (13.15) sono:

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [

∂ U∂ t ] dt =

∂ _ U ∂ t (13.16a)

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ ∇( z +

pγ ) ] dt = ∇( z +

_ pγ ) (13.16b)

1

2 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ ∇2 U ] dt = ∇2

_ U (13.16c)

L'integrazione del 2° termine di sinistra, che a differenza degli altri contiene un prodotto dellevariabili, richiede che sia dapprima svolto l'argomento scrivendo:

12 ∆t

⌡⌠ t-∆t

t+∆t [ ( U . ∇ ) U ] dt =

12 ∆t

⌡⌠ t-∆t

t+∆t { [(

_ U + U' ) . ∇ ) (

_ U + U' ] } dt (13.16d)

dopo avere sviluppato il prodotto all'interno all'integrale, troviamo che:




10110/11/09

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ (

_ U . ∇ ) U' ] dt =

_ U . ∇(

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t U' dt ) = 0

poiché la media della fluttuazione turbolenta è nulla;

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ (

_ U . ∇ )

_ U ] dt = (

_ U . ∇ )

_ U

per definizione;

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ (U' . ∇ )

_ U ] dt = [ (

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t U' dt ) . ∇ ]

_ U = 0

e, infine il termine:1

2 ∆t ⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ (U' . ∇ ) U' ] dt = ⟨ ( U' . ∇ ) U' ⟩2∆t

non è nullo, analogamente a quanto osservammo per la (13.11).

Dimostriamo che vale l'uguaglianza:

( U . ∇ ) U = ∇ . (U U ) (13.17)

in quanto, ricordando la (12.15), è:

( U . ∇ ) U = [ ∂ u∂ x u + ∂ u

∂ y v + ∂ u ∂ z w] i + [ ∂ v

∂ x u + ∂ v ∂ y v + ∂ v

∂ z w] j + [ ∂ w∂ x u + ∂ w

∂ y v + ∂ w ∂ z w] k (13.18a)

Invece, esplicitato il tensore (U U ):

| u | | u | | uu uv uw |( U U ) = | v | | v | = | vu vv vw |

| w | | w | | wu wv ww |

ne traiamo la divergenza:

| ∂ u u∂ x

∂ u v∂ y

∂ u w

∂ z |

∇ . (U U ) = | ∂ v u∂ x

∂ v v∂ y

∂ v w∂ z

|| ∂ w u

∂ x

∂ w v∂ y

∂ w w

∂ z |

che possiamo scrivere nel modo seguente, facendo comparire i versori i, j, k e raggruppando:

∇ . (U U ) = { u (∂ u∂ x +

∂ v ∂ y +

∂ w ∂ z ) +

∂ u∂ x u +

∂ u ∂ y v +

∂ u ∂ z w } i +

{ v (∂ u

∂ x

+∂ v

∂ y

+∂ w

∂ z

) +∂ v

∂ x

u +∂ v

∂ y

v +∂ v

∂ z

w } j +




10210/11/09

{ w (∂ u∂ x

+∂ v ∂ y

+∂ w ∂ z

) +∂ w∂ x

u +∂ w ∂ y

v +∂ w ∂ z

w } k (13.18b)

Poiché i termini entro parentesi tonda sono nulli in virtù della equazione di continuità (3.3), la

(13.17) è dimostrata.Dopo lo sviluppo degli integrali e ricordando la (13.10), il 2° termine della (13.8):

12 ∆t

⌡⌠

t-∆t

t+∆t [ ( U . ∇ ) U ] dt = (

_ U . ∇ )

_ U + ∇ . ⟨ U' U' ⟩2∆t (13.18c)

Ne deriva che l'equazione del moto mediata sull'intervallo 2∆t è:

∂ _ U ∂ t + (

_ U . ∇ )

_ U = - g ∇( z +

_ pγ ) + ν [ ∇2

_ U - ∇ . ⟨ U' U' ⟩2∆t ] (13.19)

Il tensore ρ ⟨ U' U' ⟩2∆t , che ha le dimensioni di uno sforzo, è definito come TENSORE DELLO

SFORZO TURBOLENTO o TENSORE DEGLI SFORZI DI R EYNOLDS dal nome di chi lo propose nel1895:

t = - ρ ⟨ U' U' ⟩2∆t (13.20a)

Riconosciamo subito che la matrice simmetrica ⟨ U' U' ⟩2∆t costituisce una stima, nel senso spie-gato in §13.2, della matrice di covarianza delle componenti turbolente della velocità:

| cov{u'u'} cov{u'v'} cov{u'w'} | ⟨ U' U' ⟩2∆t = | cov{v'u'} cov{v'v'} cov{v'w'} | (13.20b)

| cov{w'u'} cov{w'v'} cov{w'w'} | Ove la turbolenza si può considerare isotropa, le fluttuazioni di velocità e le loro derivate sonoindipendenti da cambiamenti di coordinate. Ne segue che:

cov{u'v'}= cov{u'w'}= cov (v'w') = 0

cov{u'u'}= cov{v'v'}= cov{w'w'}

e la (13.20b) si riduce a:

⟨ U' U' ⟩2∆t = ⟨ (u')2⟩2∆t (13.20c)

In definitiva, l'equazione del moto turbolento di un fluido incomprimibile e con viscosità isotropa si scrive come:

ρ [ ∂

_ U ∂ t + (

_ U . ∇ )

_ U ] = - g ρ ∇( z +

_ pγ ) + ∇ . (

_ +

_ t ) (13.21)

In § 6.4 osservammo che in ogni punto sufficientemente distante dalla parete, il contributo dello

sforzo viscoso è trascurabile. Dunque, si può porre nella (13.21):




10310/11/09

_ = 0

senza commettere errore. Infatti al di fuori del substrato laminare, lo sforzo viscoso, dovuto allacoesione molecolare, è di parecchi ordini di grandezza inferiore allo sforzo turbolento, dovuto al

mescolamento tra le particelle nel corpo della corrente. Inoltre si può scrivere, in analogia con la(12.11):

_ t = 2 µt

_ (13.22)

Sempre per la medesima analogia, µ t viene chiamato COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ TURBOLENTA o eddy viscosity.




10410/11/09

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- (1977) Friction Factor for Large Conduits Flowing Full, A Water Resources Technical

Publication, Engineering Monograph No. 7, U.S. Bureau of Reclamation




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15. LISTA DELLE FIGURE

1.1 Deformazione dei corpi solidi e liquidi

1.2 Forze di massa e forze di superficie

1.3 Tetraedro di Cauchy

1.4 Effetto della tensione superficiale

1.5 Fluido viscoso: relazione di Newton

1.6 Leggi reologiche dei liquidi

1.7 Schema del viscosimetro a rotazione o reometro Couette

1.8 Definizione delle componenti del tensore degli sforzi

2.1 Dipendenza della pressione in un punto dal suo affondamento sotto il p.c.i.

2.2 Manometro semplice2.3 Manometro differenziale

2.4 Manometro metallico

2.5 Spinta su superficie piana

2.6 Spinta su una superficie piana rettangolare

2.7 Spinta su una superficie piana circolare

2.8a Esempio di calcolo diretto della spinta su una parete curva: vista assonometrica

2.8b Esempio di calcolo diretto della spinta su una parete curva: sezione trasversale

2.9 Spinta su una parete curva aggettante

2.10 Spinta su una parete curva rientrante

2.11 Applicazione dell’equazione globale dell’idrostatica: caso del semitubo verticale

2.12 Equilibrio di un corpo galleggiante

2.13 Equilibrio relativo: calcolo dalla pressione

2.14 Equilibrio relativo: spostamento rettilineo

2.15 Equilibrio relativo: rotazione

3.1 Forma indefinita dell’equazione di continuità3.2 Forma globale dell’equazione di continuità

3.3 Equazione di Eulero

3.4 Equazione di Bernoulli

3.5 Variazione della quota piezometrica lungo le traiettorie: rettilinea e curvilinea

3.6 Accelerazione centripeta

3.7 Variazione della quota piezometrica in un tubo ad asse curvo

4.1 Efflusso da una luce aperta sul fondo di un serbatoio




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4.2 Efflusso al di sotto di una paratoia piana: (a) libero, (b) annegato

4.3 Efflusso da una luce annegata

4.4 Efflusso da una luce di dimensioni finite aperta su una parete verticale

4.5 Luce a stramazzo

4.6 Tipi di stramazzo

4.7 Tubo di Pitot

4.8 Misuratore a gomito

5.1 Cadente

5.2 Venturimetro

5.3 Diaframma

5.4 Boccaglio Venturi5.5 Boccaglio

6.1 Crescita dello strato limite

6.2 Effetto della scabrezza sullo strato limite

6.3 Definizione della formula di resistenza di Darcy - Weisbach

6.4 Distribuzione dello sforzo tangenziale lungo il raggio

6.5 Fumo di sigaretta in regime laminare e turbolento

6.6a Profili di velocità di liquidi pseudoplastici

6.6b Profili di velocità di liquidi dilatanti

6.7 Moto turbolento in tubo liscio: profilo di velocità

6.8a Resistenza al moto in tubi con scabrezza uniforme

6.8b Resistenza al moto in tubi con scabrezza eterogenea

6.9 Abaco di Moody

6.10 Confronto tra le formule di resistenza al moto in regime turbolento misto

7.1 Equazione globale dell’equilibrio idrodinamico

7.2 Bocca di Borda7.3a Carrello a getto

7.3b Paradosso di Bergeron

7.3c Spinta su una piastra

8.1 Brusco allargamento

8.2 Imbocco da un serbatoio

8.3 Brusco restringimento

8.4 Restringimento graduale




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8.5 Allargamento graduale

8.6 Gomito

8.7 Paratoia parzializzata

8.8 Tipi di valvole

9.1 Schema degli impianti idroelettrici dell'Alto Chiese

9.2 Definizione di salto utile

9.3 Pompe a palettaggi rotanti: modelli ITT Flygt

9.4 Schema di impianto di sollevamento

9.5 Curva caratteristica della pompa

9.6 Curve caratteristiche di pompa e di impianto

9.7 Curve caratteristiche di pompe a numero di giri variabile9.8 Definizione del NPSH

9.9 Curva caratteristica di un sistema di pompe tra loro diverse collegate in parallelo

10.1 Sifone: moto a canaletta

10.2 Reti di condotte

11.1 Grafico adimensionale della velocità in tubo liscio

11.2a Determinazione della scabrezza significativa in grandi condotte in calcestruzzo

11.2b Determinazione della scabrezza significativa in grandi condotte metalliche

12.1 Equazione di conservazione della massa

12.2 Sforzi applicati all'elemento fluido

12.3 Spostamento e deformazione lineare

12.4 Rotazione e deformazione angolare

12.5 Bilancio della sostanza in soluzione

13.1 Disturbo e instabilità del moto laminare

13.2 Esempio di misura di velocità turbolenta




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16. LISTA DEI SIMBOLI

A area della sezione trasversale del tubo [ m2 ]

c concentrazione di una sostanza disciolta in un fluido

C coefficiente di resistenza di Chezy [ m1/2 s-1 ]

Ca numero di cavitazione

Cc coefficiente di contrazione (adimensionale)

CH coefficiente di resistenza di Hazen - Williams [ m-0.37 s ]

cS calore specifico [J kg -1 °C-1 ]

CT capacità termica [ J / C°]

Cv coefficiente di velocità (adimensionale)

f numero indice di resistenza al moto g accelerazione di gravità: g = 9.806 [ m s2]

h quota piezometrica [ m s.l.m. ]

hG affondamento del baricentro sotto il piano dei carichi idrostatici [ m ]

hc altezza cinetica [ m ]

H carico totale [ m s.l.m.]

k coefficiente di perdita (adimensionale)

k s scabrezza significativa della parete [ m ]

J cadente (adimensionale)

m rapporto di strozzamento della paratoia

M flusso di quantità di moto o inerzia convettiva [ N ]

n coefficiente di resistenza di Manning [ m-1/3 s ]

NPSH net pressure suction head

p pressione relativa [ Pa ]

p* pressione assoluta [ Pa ]

po* pressione atmosferica [ Pa ]

pV*

tensione di vapore [ Pa ]

PA potenza assorbita dalla pompa [ W ]

PE potenza effettivamente prodotta dalla turbina [ W ]

PP potenza ceduta dalla pompa alla corrente [ W ]

PT potenza ceduta dalla corrente alla turbina [ W ]

Q portata attraversante una sezione del tubo [ m3

s-1

]

r raggio di curvatura della traiettoria [ m ]




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R raggio idraulico [ m ]

Re numero di Reynolds

Re* numero di Reynolds di attrito

s tensione superficiale [ N m-1 ] S spinta del liquido sul contorno curvo [ N ]

tn sforzo sulla superficie con normale n [ N m-2 ]

u, v, w componenti secondo gli assi x, y, z del vettore velocità U [ m s -1 ]

Um velocità media nella sezione del tubo [ m s-1

]

u* velocità d'attrito [ m s-1

]

xC distanza del centro di spinta dalla linea di sponda [ m ]

y altezza piezometrica [ m ]

z quota geodetica [ m s.l.m.]

α coefficiente di Coriolis (adimensionale)

β coefficiente di Boussinesq (adimensionale)

δsl spessore del substrato limite laminare [ m ]

∆ indicazione del manometro a mercurio [ m ]

∆ carico sullo stramazzo (in foronomia) [ m ]

∆HL perdita di carico localizzata [ m ]

Ε modulo di elasticità di volume [ Pa ]

Φn forza per unità di superficie o sforzo unitario [ N m-2 ]

κ costante di von Karman (adimensionale)

γ peso specifico [ N m-3 ]

µ viscosità dinamica [ N s m-2]

µ coefficiente adimensionale di efflusso (in foronomia)

µ t coefficiente di viscosità turbolenta o "eddy viscosity" [ N s m-2]

ν viscosità cinematica [ m2

s-1

]

Π spinta della superficie piana di contorno sul liquido [ N ]

ρ densità [ kg m-3

]

ρm densità del materiale disciolto nel fluido [ kg m-3 ]

τij componente del tensore di sforzo viscoso [ N m-2

]

τ0 sforzo tangenziale alla parete [ N m-2

]




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t tensore dello sforzo turbolento o tensore degli sforzi di Reynolds

tensore di vorticità [s-1]

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