Fondamenti di Automatica A.A. 2016/2017

Proff. S. Bittanti, A. Colombo, S. Formentin

20 febbraio 2017

NOME: _____________________________________________________________

COGNOME: _________________________________________________________

MATRICOLA/CODICE PERSONA: _________________________________________

FIRMA: _____________________________________________________________

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5

Completare l’intestazione della copertina del fascicolo. Controllare il numero di pagine del fascicolo che deve essere di 10 esclusa questa

copertina. Rispondere alle domande esclusivamente su fogli d’esame, nello spazio libero.

Qualora non fosse sufficiente, è possibile utilizzare il retro del foglio. Qualunque altrofoglio non sarà considerato.

Durante l’esame non è possibile usare appunti, libri, etc. Non è concesso scrivere in matita. La precisione e la chiarezza delle risposte saranno oggetto di valutazione.

Esame di Fondamenti di Automatica 20 febbraio 2017

1. Si consideri il seguente sistema non lineare

x1(t) = −x1(t) · u(t)

x2(t) = x1(t)− 2x2(t) + 2u(t)

y(t) = x1(t)− x2(t)

1.1) Calcolare lo stato e l’uscita di equilibrio associati all’ingresso costante u(t) = u = 1, ∀t ≥ 0.

1.2) Valutare la stabilita del punto di equilibrio calcolato al punto precedente.

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1.3) Determinare l’espressione analitica del movimento dello stato e dell’uscita del sistema non lineare

considerando un ingresso a scalino di ampiezza unitaria u(t) = sca(t) e le seguenti condizioni iniziali

delle variabili di stato: x1(0) = 0 e x2(0) = −1. Fornire una rappresentazione grafica del movimento

dell’uscita.

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1.4) Linearizzare il sistema non lineare attorno al punto di equilibrio ricavato [x, u, y] e scrivere la

funzione di trasferimento da ∆u(t) = u(t)− u a ∆y(t) = y(t)− y.

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2. Si consideri il seguente sistema lineare:

x1(t) = −x1(t) + α · x2(t)

x2(t) = 2x1(t)− 4x2(t) + u(t)

y(t) = x2(t) + u(t)

2.1) Dire, giustificando la risposta, per quali valori di α il sistema e asintoticamente stabile.

2.2) Per α = 0, ricavare la funzione di trasferimento del sistema con ingresso u(t) ed uscita y(t).

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2.3) Individuare fra le 3 possibilita la risposta qualitativa dell’uscita del sistema la cui funzione di

trasferimento e stata calcolata nel punto precedente se u(t) = 8sca(t). Giustificare la risposta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 108

9

10

Tempo (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

(1)

(3)

(2)

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3. Si consideri la seguente funzione di trasferimento:

F (s) =Y (s)

U(s)= 20

1

(1 + 0.5s)(1 + 20s)n

3.1) Per n = 2, tracciare i diagrammi asintotici ed esatti del modulo e della fase della risposta in

frequenza associata a F (s).

3.2) Per n = 2, disegnare il diagramma polare qualitativo associato a F (s).

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Ingrandimento in cui si vede che la fase tende per pulsazione infinita a -270°.

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3.3) Per n = 1, disegnare in modo qualitativo la risposta allo scalino di ampiezza unitaria del sistema.

3.4) Per n = 0, ricavare l’espressione analitica della risposta alla rampa del sistema (u(t) = t, t ≥ 0).

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4. Si consideri il seguente sistema retroazionato,

con il seguente diagramma di Bode della funzione d’anello L(s).

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104

dB

-100-80-60-40-20

02040

Diagramma di Bode - Modulo

pulsazione10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104

grad

i

-270-225-180-135

-90-45

04590

Diagramma di Bode - Fase

4.1) Per k = 0, valutare dal diagramma di Bode di L(s) se il sistema retroazionato e asintoticamente

stabile.

4.2) Per k = 0, stimare l’andamento del diagramma di Bode (modulo e fase) della funzione di trasferi-

mento da y◦(t) a y(t) a partire dal diagramma di Bode della funzione d’anello assegnata. (Disegnare

il diagramma sovrapposto a quello a seguire della funzione d’anello).

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La linea tratteggiata in verde è la stima del diagramma di Bode della funzione di trasferimento richiesta.

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4.3) Per k = 0, valutare l’andamento dell’uscita y(t) quando si applica il segnale y◦(t) = sca(t): y(t)

presenta delle oscillazioni smorzate? Che valore assume a regime il segnale y(t)? In quanto tempo,

indicativamente, si raggiunge il valore di regime?

4.4) Per k = 1, calcolare la funzione di trasferimento da y◦(t) a y(t).

4.5) Per k = 0, quanto sarebbe la pulsazione critica ωc del sistema se si moltiplicasse per 10 la funzione

d’anello L(s)? Quanto sarebbe il margine di fase del sistema?

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La funzione di trasferimento da y°(t) a y(t) vale perciò 1.

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5. Enunciare il criterio di stabilita di Nyquist per i sistemi lineari a tempo continuo.

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