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Politecnico di Milano

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Fondamenti di Automatica

Presentazione del corso ed IntroduzioneDocente: Prof. Bruno Picasso

Esercitatore: Ing. Stefano Bottelli

2

Docente: Bruno PicassoUfficio: no 246 – DEI (Dip.to di Elettronica e Informazione)

Edificio no 20, presso il Campus LeonardoTelefono: 02 2399 4022E-mail: [email protected]

Recapito e orario di ricevimento

E-mail: [email protected]

Orario di ricevimento:• Giovedì ore 15.00-17.00 (presso il mio ufficio - previa

conferma via e-mail)

• In altro orario, su appuntamento (presso il mio ufficio)

• Subito prima e subito dopo le lezioni (in aula)

3

Tutte le informazioni relative al corso (orario del corso e aule, programma, bibliografia, recapiti ed orario di ricevimento, materiale didattico, date e modalità di esame…)

si trovano anche sul sito web:

Sito Web di riferimento

http://home.dei.polimi.it/picasso/>> TEACHING

4Prerequisiti

⇒

5

?

Prerequisiti

⇒

6

? ⇒

Prerequisiti

⇒

7

⇒

• Equazioni differenzialinozioni di base, problema di Cauchy

• Algebra lineareoperazioni tra matrici

(somma e prodotto “righe x colonne”), risoluzione di sistemi lineari Ax=b,

matrice inversa, cambio di base,

Prerequisiti

⇒matrice inversa, cambio di base, traccia, determinante,

polinomio caratteristico, autovalori, autovettori,

diagonalizzabilità / diagonalizzazione

• Numeri complessioperazioni (somma, prodotto,

divisione/inversione, coniugazione),forma polare (modulo e fase)

8Alcuni (pochi) consigli

• Fare domande ed esporre i propri dubbi durante le lezioni (senza timore di sbagliare)

• Venire a ricevimento, chiedere chiarimenti anche sulle cose più semplici (sia sul programma che sui prerequisiti)

• Studiare di volta in volta, rimanere “in pari” e fare gli • Studiare di volta in volta, rimanere “in pari” e fare gli esercizi. Non aspettare il compito per aprire il libro!

• Chiacchierare e fare brusio in aula durante le lezioni

• Copiare durante gli esami

9

Introduzione all’Automatica• I sistemi dinamici• Il problema del controllo

Introduzione al corso: sommario

L’Automatica come disciplina ingegneristica• I sistemi dinamici come equazioni differenziali• L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automati ca• Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale

10Introduzione ai Fondamenti di Automatica

L’Automatica si occupa del controllo dei sistemi dinamici

Fondamenti di Automatica studia i sistemi dinamici (con un approccio volto al loro controllo)

Un sistema dinamico è (la rappresentazione di) un oggetto caratterizzato da

grandezze che variano nel tempo ed

interagenti con l’ambiente esterno

Sistema

Ambiente “esterno”

t

y(t)

11Introduzione ai FdA : esempi di sistemi dinamici

AtmosferaGrandezze:

Temperatura: T (t)

Pressione: p(t)

Umidita: h(t)

. . .

Ambiente esterno:• Radiazione solare• Temperatura dei mari• Emissioni di gas• …

Stato patrimoniale di un’aziendaGrandezze:

Cassa e liquidita: l(t); Valore delle

scorte: v(t); Crediti: c(t); Debiti: d(t);

Capitale: C(t); . . .

Ambiente esterno:• Costo materie prime• Prezzo sul mercatodel bene prodotto

• …


Alla base dell’Automatica c’è lo studio di come i fattori esterni influenzano e modificano l’evoluzione temporale delle grandezze che descrivono lo stato di un sistema, ossia…

SistemaAzioni (cause)

y(t)Modifiche (effetti) sul

… lo studio della relazione di causa/effetto trale azioni compiute su un sistema e l’andamento

delle grandezze che lo rappresentano

Sistema(cause) “esterne” t

(effetti) sul sistema


Relazione di causa/effetto tra le azioni compiute su un sistema e l’andamento delle grandezze che lo rappresentano

Sistema

Ambiente “esterno”

t

y(t)

Sistema

…ad una formale, “logica”.

Ingressi / Uscite

Da una rappresentazione descrittiva…

14Altri esempi di sistemi dinamici

SistemaAzioni “esterne” Grandezze influenzate

• Pedale del freno / dell’acceleratore

• Pendenza della strada

Posizione: s(t)

Velocita: v(t)

Dinamica del moto di un’automobile:

• Pendenza della strada

• Approvvigionamento

• Consumi• Evaporazione / precipitazioni

Livello di H2O

nei serbatoi di

stoccaggio:

h1(t), . . . , hn(t)

Rete idrica:


• Forze esterne Posizione: θ(t)

Velocita angolare: θ(t)

Dinamica del moto di un pendolo:

E molti altri esempi di natura estremamente varia:

µ(t)

…e sistemi derivanti: uniciclo, bracci robotici


Dinamica di grandezze elettriche:


• Generatori di f.e.m• Carichi• …

Tensioni: Vi(t)

Correnti: Ij(t)

. . .• … . . .

RC

I(t)

V (t)

…e sistemi derivanti:rete di generazione e distribuzione elettrica


Dinamica di numerosità di popolazioni:


• Flussi immigratori /emigratori

• Diffusione di malattie

Distribuzione della

popolazione per

classi di eta: ni(t)• Diffusione di malattie• …

classi di eta: ni(t)

Dinamica del PIL di una nazionedella spesa previdenzialedel tasso di occupazionedi un indice azionario…


E molti altri ancora…

19Esempio: il sistema clima


• Attività umane• Attività solare• …

Temperatura dell’aria, Umidita, Pressione

atmosferica, Temperatura degli oceani, Salinita

dei mari, Concentrazioni di inquinanti, . . .

20Esempio: il sistema clima


• Attività umane• Attività solare• …

Atmosfera

Radiazione termica

Emissioni gas e vapore acqueo Formazione

ghiacci EvaporazionePrecipitazioni

Temperatura dell’aria, Umidita, Pressione

atmosferica, Temperatura degli oceani, Salinita

dei mari, Concentrazioni di inquinanti, . . .

Terra Oceani

termica

Radiazione termica

Precipitazioni

21Il clima: sistemi dinamici interconnessi


Sole Atmosfera• Attività solare

Grandezze: Temperatura, Umidita,

Pressione, Concentrazione di O2, CO2, N2, . . .

Grandezze: Radiazione solare

emessa, composizione chimica . . .

• Attività umane

Terra Oceani

Radiazione termica

Emissioni gas e vapore acqueo

Formazione ghiacci

Radiazione termica

EvaporazionePrecipitazioni

Grandezze: Temperatura, Salinita,

Concentrazione di inquinanti, . . .

Grandezze: Percentuale

di copertura boschiva, . . .

Tipicamente, dietro questa rappresentazione,

ciò che si nasconde è piuttosto questo:

22

Sistema

Sistemi dinamici interconnessi

ciò che si nasconde è piuttosto questo:

un sistema dinamico è spesso costituito da numerosi sottosistemi interagenti; …

23

… o addirittura questo!

Sistemi dinamici interconnessi


24Introduzione al corso: sommario


25

…dai Fondamenti di Automatica all’Automatica.

Una volta compreso il funzionamento di un sistema dinamico (cioè il modo in cui le azioni esterne modificano la naturale evoluzione delle grandezze che rappresentano il sistema),siamo interessati al cosiddetto problema di controllo , cioè:

Il problema del Controllo

siamo interessati al cosiddetto problema di controllo , cioè:

studiare se e in che modo sia possibile agire dall’esternosu un sistema al fine di modificarne la naturale evoluzione

ed ottenere un comportamento desiderato

26

Problema di controllo: studiare come agire su un sistema per modificarne la naturale evoluzione ed ottenere un comportamento desiderato

Il problema del Controllo: formulazione

Sistema y(t)u(t)

Si fissa un andamento desiderato perle grandezze d’interesse del sistema:

yo(t)

yo(t)

y(t)le grandezze d’interesse del sistema:

L’evoluzione di tali variabili in assenzadi specifiche azioni di controllo sia:

Risolvo il problema di controllo se inveceun’opportuna scelta di , cioè delle azionida compiere sul sistema, garantiscono:

t

y(t)

t

t

y(t)

u(t)

y(t)

y(t)

27Il problema del Controllo: esempio

u(t) = p(t)

• Portata d’immissione( ) h

p Livello:

y(t)=h(t)

Controllo del livello di liquido in un serbatoio:

Sistema dinamico:

Problema di controllo: mantenere costante il livello al valore

Segnale di riferimento:

Azione di controllo: apertura/chiusura del rubinetto (ossia,scelta di ) in modo opportunop(t)

ho(t) ≡ h

h

t

ho(t)

h

28Il problema del Controllo

Il controllo può essere manuale (apro/chiudo il rubinetto a mano)

oppure automatico: l’azione di controllo è effettuata senza il

diretto intervento dell’uomo (un dispositivo

opportunamente progettato apre/chiude il rubinetto)

Sistema di controllo automatico:Sistema di controllo automatico:

consiste in un sistema (detto controllore) interconnessoal sistema dinamico dato in modo tale che l’interazione

tra i due sistemi induca il comportamento desiderato delle grandezze d’interessey(t)yo(t)

Esempi di architettura di sistemi di controllo automatico:

Controllo in anello aperto:

29Controllo in anello aperto/in retroazione

Sistema di controllo automatico: è un sistema (controllore) interconnesso al sistema dato in modo tale che l’interazione tra i due sistemi induca il comportamento desiderato delle grandezze d’interessey(t)yo(t)

u(t)

Controllo in anello chiuso (o in retroazione o in feedback):

Sistema y(t)Controlloreyo(t)u(t)

y(t)Sistema y(t)Controlloreyo(t) u(t)

NB: nel sistema di controllo in retroazione il controllore “conosce” y(t)

30

Il controllore: il sistema rubinetto.

h

p

Controllo del livello di liquido in un serbatoio (continuazione)

Il problema del Controllo: esempio

h

θ(t) Portata del flusso

di liquido: p(t)

• Angolo diapertura della valvola

θ(t)

31

L’interconnessione rubinetto-serbatoio:

θ(t) h

p


h

pθ(t)

32

Il sistema di controllo in retroazione risultante:

h

pθ(t)

yo(t) u(t)

≡≡


y(t)Sistema y(t)Controlloreyo(t) u(t)

θ(t)u(t) = p(t)

h(t)ho(t)

h

p

33


Introduzione al corso: sommario


34

Controllare il comportamento del livello di liquidoin un serbatoio è abbastanza semplice:

• strumenti matematici rudimentali • un po’ di intuizione

possono bastare.

h

p

Studio formale dei sistemi dinamici

Non serve un corso di Fondamenti di Automatica!

MA…

35

Per studiare e/o controllare altri sistemi il “buon senso” non basta!Occorrono strumenti sistematici di analisi che permettano di operare le scelte progettuali sulla base di criteri quantitativi.


36

Occorrono strumenti sistematici di analisi che permettano di operare delle scelte sulla base di criteri quantitativi.

A tal fine, occore formalizzare il problema e fornire una descrizione matematica dei sistemi oggetto di studio.


Le relazioni matematiche che descrivono il modo in cui le grandezze del sistema variano nel tempo e sono modificate dalle azioni esterne costituiscono il modello del sistema.

Il tipo di modelli che adotteremo per descrivere i sistemi dinamici sono le equazioni differenziali.

37

Alcuni esempi:

• La dinamica del livello di

liquido in un serbatoio:

• La dinamica del motodi un pendolo:

h(t) = −αh(t) + βp(t)h

p

θ(t) = −kθ(t)− glsin

�θ(t)

�+ µ(t)

µ(t)

I sistemi dinamici: equazioni differenziali

• La dinamica della numerositàdi una popolazione:

• La dinamica di una tensionein un circuito elettrico:

• La dinamica della numerosità di impiegati in un’azienda (piramide gerarchica):

n(t) = an(t) +−bn2(t) + φ(t)

V (t) = −1

RCV (t) + 1

CI(t)

n1(t) = −a11n1(t) + b1ǫ(t)n2(t) = a21n1(t)− a22n2(t)n3(t) = a32n2(t)− a33n3(t)

RC

I(t)

V (t)

38Quadro riassuntivo

FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono

(modellistica)

MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali

Livello “fisico”

ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello

CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un

comportamento desiderato (sulla base del modello)

(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)

Livello “teorico”




(modellistica)











(modellistica)










L’Automatica è un insieme di strumenti matematici per lo studio e il controllo di sistemi dinamici

41

FENOMENO(modellistica)


ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello• Come reagisce il sistema a determinate azioni esterne? Le grandezze che lo descrivono tendono ad un valore costante?Se sì, in che modo e in quanto tempo?

Alcune domande cui dare risposta

Oppure oscillano? Con quale ampiezza e periodo?Oppure divergono?Cosa accade in presenza di ulteriori azioni impreviste (disturbi)?

• Previsione e simulazione:Quale sarà l’andamento futuro della grandezza studiata?

CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un comportamento desiderato

• Garantire buone prestazioni (anche in presenza di disturbi imprevisti)• Ottimizzare le prestazioni



42Introduzione al corso: sommario


43

⇒⇒⇒θ

T (t)

T = 200◦

θ(t)

Esempio: Forno

t

⇒⇒⇒θ

Tf(t) = −1Cf

Tf(t) + γeθ(t)

T = 200◦

t

⇒⇒⇒

44

⇒⇒⇒θ

v(t)θ(t)

Esempio: Automobile

v = 80km/h

t

⇒⇒⇒θ

v(t) = −γM

v(t) + λθ(t)

t

⇒⇒⇒

45

⇒⇒⇒p

h(t)

h

p(t)

h

p

Esempio: Serbatoio

t

⇒⇒⇒p

h(t) = −αh(t) + βp(t)

t

⇒⇒⇒

46

⇒⇒⇒ǫ

σ(t)ǫ(t)

Esempio: gestione del personale

σ

t

⇒⇒⇒

σ(t) = −ρσ(t) + λǫ(t)

t

⇒⇒⇒

47

Tf(t) = −1Cf

Tf(t) + γeθ(t)

Sistemi dinamici come astrazione

h

p

h(t) = −αh(t) + βp(t) v(t) = −γM

v(t) + λθ(t) σ(t) = −ρσ(t) + λǫ(t)

x(t) = ax(t) + bu(t)x(t) = ax(t) + bu(t)

⇒⇒⇒u

t

u(t) x(t)

x

t

(a < 0)

48Sistemi dinamici come astrazione

⇒⇒⇒u

u(t) x(t)

x

h

p

x(t) = ax(t) + bu(t)(a < 0)

⇒⇒⇒u

t

x

t

• Lo studio del sistema dinamico , , permette di comprendere “l’andamento della temperatura in un forno”, ma anche “del livello di liquido in un serbatoio”, “della velocità di un’automobile”, “del numero di impiegati in un’azienda” e qualunque altro fenomeno che può essere descritto per mezzo del medesimo modello matematico (sistema dinamico).

x(t) = ax(t) + bu(t) a < 0

49

Fis

ica

sper

imen

tale

Ges

tione

dei

sis

tem

i lo

gist

ici e

pro

dutti

vi

orga

niz

-

Fondamenti di Automatica

L’interdisciplinarietà di FdA

Fis

ica

sper

imen

tale

Prin

cipi

di i

ng.

elet

tric

a

Ges

tione

dei

sis

tem

i lo

gist

ici e

pro

dutti

vi

Eco

nom

ia e

or

gani

zza

zion

eaz

iend

ale

…

50

Alcuni esempi che verranno studiati nel corso:• Sistemi meccanici (pendolo, porta a spinta, sospensione, cruise contr ol)

• Reti elettriche• Sistemi idraulici• Problemi di logistica• Modelli di popolazione• Gestione del personale• Modelli di competizione tra aziende

Verso una visione sistemica

• Modelli di competizione tra aziende• Modelli di dinamica dei prezzi• Modelli macroeconomici keynesiani• Gestione di fondi d’investimento (gli ETF - Exchange Traded Funds)

Tali esempi avranno il duplice scopo di1. Illustrare i principali argomenti teorici presentati nel corso2. Mettere lo studente in grado di affrontare i problemi con un

approccio sistemico (interiorizzare e riconoscere i principali concetti e fenomeni caratteristici dei sistemi dinamici)

51

La figura dell’ingegnere gestionale integra competenze tecniche e manageriali:l’ingegnere gestionale possiede sia le conoscenze tecniche dei settori tradizionali

Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale

Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l’ingegnere gestionale ?

conoscenze tecniche dei settori tradizionali dell’Ingegneria che la capacità di comprendere e gestire la complessità dei processi operativi ed amministrativi delle imprese che operano in tali settori.

L’ingegnere gestionale è chiamato ad operare in ambiti diversi e deve saper astrarre dai singoli oggetti di studio le caratteristiche

che permettono di descriverli e studiarli come sistemi

52

Le capacità di astrazione sviluppate in questo corso aiutano l’ingegnere gestionale ad acquisire la versatilità e le conoscenze necessarie ad operare in contesti diversi.

Grazie alla sua natura fortemente interdisciplinare, Fondamenti di


Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l ’ingegnere gestionale ?

Grazie alla sua natura fortemente interdisciplinare, Fondamenti di Automatica offre gli strumenti necessari ad acquisire competenze trasversali di natura sia tecnica che manageriale.

Il corso di FdA contribuisce all’acquisizione di una conoscenza di “alto livello” dei processi produttivi e dei campi tecnici a contatto dei quali si troverà ad operare l’ingegnere gestionale.

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Il corso offre inoltre criteri quantitativi quali strumenti di supporto alle decisioni da operare nel contesto di sistemi complessi


Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l ’ingegnere gestionale ?

Lo studio dell’Automatica completa le conoscenze dell’ingegnere gestionale e gli fornisce gli strumenti per affrontare i problemi con un approccio sistemico

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