Analisi di reti lineari

Nel caso di reti lineari a microonde l’analisi viene realizzata nel dominio della frequenza.

Assegnata la rete di cui si vuole conoscere la risposta, si definiscono le porte a cui effettuare l’analisi e si determina la matrice di Scatter complessiva (operazione effettuata automaticamente dal software di analisi)

Dalla matrice S si calcolano tutte le altre grandezze di interesse (solo rapporti, non valori assoluti di V o I) 

La definizione della rete, nei software commerciali, è realizzata in generale tramite un interfaccia grafica.

I componenti attivi sono in generale rappresentati attraverso i parametri S misurati in specifiche condizioni di polarizzazione. Il modello relativo è quindi valido solo per segnali di ampiezza infinitesima (modello differenziale)

Qualsiasi elemento lineare può, in generale, essere rappresentato dalla sua equazione caratteristica (modello analitico), oppure tramite i parametri S (misurati o calcolati) 

Metodi di Analisi di Circuiti non lineari

Soluzione nel dominio del tempo (Transient e Convolution). Richiedenotevoli risorse computazionali; nei circuiti RF si utilizza in casi limitati(start‐up di oscillatori, circuiti digitali veloci, eccitazioni impulsive)

Bilanciamento Armonico (Harmonic Balance). Adatto per eccitazioniarmoniche, con un numero limitato di toni (<3).

Metodo dell’inviluppo (Circuit Envelope). Adatto per eccitazioni consegnali ad inviluppo variabile nel tempo anche non periodici(modulazioni digitali complesse)

L’Harmonic Balance assume un eccitazione armonica (soluzione neldominio della frequenza); il Circuit Envelope è un metodo misto(inviluppo variabile nel tempo relativo ad una (o più) portanti sinusoidali

Analisi nel dominio del tempo

Consiste nell’integrazione numerica dell’equazioni integro-differenziali che definiscono la rete. Richiede che tutti i parametridei componenti siano independenti dalla frequenza (metodotransient).

Problema nell’applicazione ai circuiti a microonde:• le perdite negli elementi distributi dipendono dalla frequenza• Modelli di componenti speciali definiti nel dominio della

frequenza• I parametri S misurati sono anch’essi definiti nel dominio f

Soluzione proposta nei simulatori commerciali (ADS):I componenti i cui parametri (o modelli) sono funzione di f vengonorappresentati con la risposta all’impulso (calcolata numericamente);la risposta nella rete viene ottenuta mediante convoluzione (metodoconvolution)

Bilanciamento armonico

• E’ un metodo per l’analisi di circuiti con elementi non lineari, in regime stazionario (transitori esauriti)

• L’eccitazione è costituita da segnali periodici (anche con più toni a frequenze differenti)

• Si possono studiare circuiti sottoposti a eccitazione con segnali modulati (QPSK, BPSK, GSM, CDMA, ecc) approssimandoli da una sequenza di toni di ampiezza e fase opportuni

• E’ richiesta una certa attenzione nello scegliere i parametri caratteristici della simulazione (affinchè i risultati ottenuti siano significativi)

Frequenze di analisi

• L’analisi viene condotta per serie di frequenze multiple di un numero finito di fondamentali, dette toni.

• MWOffice consente fino a 8 toni con frequenze arbitrarie.

• A ciascun tono sono associate un certo numero di armoniche. Piu’ elevato e’ il loro numero:

- migliore risulta la rappresentazione degli effetti delle non linerarita’

- piu’ elevato risulta il tempo di calcolo

- Con piu’ toni presenti bisogna considerare le componenti di intermodulazione: ±mf1 ± nf2 ± gf3 ± .... Fissate il numero massimo di armoniche di ogni tono (M, N, G ...) i prodotti generati possono essere limitati ad un ordine massimo

Calcolo della soluzione (1)

LINEARSUBCIRCUIT

Il,1

Il,2

Il,3

Il,4

Il,5

Il,N

Inl,1 Inl,2 Inl,3 Inl,4 Inl,5 Inl,N

NON-LINEARSUBCIRCUIT

Si identificano due sottoretidel circuito: la prima contienetutti gli elementi lineari, laseconda quelli nonlineari(generatori inclusi)

Ad ogni nodo si hanno Ntotfasori di corrente e di tensione

(Ntot è il numero totale di toni,di armoniche e di prodotti dibattimento)

Calcolo della soluzione (2)

Dati i fasori a tutte le frequenze di analisi e aciascun nodo di interfaccia tra le due reti:

• Le correnti Il,k relative alla sottorete lineare sicalcolano dalla matrice Y.

• Le correnti Inl,k relative alla sottorete non-lineare si calcolano nel dominio del tempo,utilizzando la trasformata di Fourier pergenerate le tensioni vn(t) a ciascun nodo

• Quando le ampiezze e le fasi di tutti i fasoriconsiderati sono corrette, la differenza | Il,k -Inl,k| risulta zero a ciascun nodo

• E’ necessaria un procedura di ricercanumerica per trovare tali valori corretti diampiezza e fase (soluzione di un sistemanon-lineare)

LINEARSUBCIRCUIT

Il,1 Il,2 Il,3 Il,4 Il,5 Il,N

Inl,1 Inl,2 Inl,3 Inl,4 Inl,5 Inl,N

NON-LINEARSUBCIRCUIT

Parametri che influenzano la soluzione

• Numero di armoniche per ogni tono

• Ordine dei prodotti di intermodulazione

• Sovracampionamento (viene utilizzato per evitare che nella FFT si verifichino fenomeni di aliasing)

• Parametri relativi alla convergenza della soluzione del sistema non lineare (errore max, numero di cicli)

• Source Stepping: se attivato, la procedure di soluzione fa variare i livelli di potenza se non trova subito la convergenza

Rappresentazione dei segnali (1)

Generatore con singolo tono

• Segnali sinusoidali di ampiezza e fase arbitraria. In questo caso il numero di armoniche dipende dalle non linearita’ del circuito

• Segnali periodici di tipo classico (onda quadra, triangolare, ecc ); il numero di armoniche deve essere adeguato sia alla rappresentazione del segnale che alle non-linearita’ presenti.

• Segnali arbitrari definiti in un file che contiene i fasori dello sviluppo di Fourier

0 0.5 1 1.5 2Time (ns)

Segnali con 1 tono e 5 armoniche

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2Time (ns)

Segnali con 1 tono e 10 armoniche

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2Time (ns)

Segnali con 1 tono e 20 armoniche

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20Frequency (GHz)

Spettro onda quadra con 20 armoniche

.001

.01

.1

1

Esempi di segnali con 1 tono

Rappresentazione dei segnali (2)

Segnale con due toni

• Segnale costituito da due toni di ampiezza e fase arbitraria. In questo l’analisi è effettuata a tutte le armoniche di ciascun tono e alle frequenze di battimento (fino ad un ordine specificato)

• Due toni di pari ampiezza rappresentano un segnale ad inviluppo variabile con fattore di picco pari a 3 dB; sono utilizzati per analizzare la linearità di amplificatori.

• Utilizzando due generatori a diverse frequenze (non armoniche) si può simulare il processo di conversione di frequenza (mixer)

Simulazione del test a 2 toni

Schema del PACaratteristica d’uscita e linea di carico dinamica

Polarizzazione: Vds=20V, Id=19 mA (PDC=380 mW)Pin=-17.8 dBm (per tono), Pout=16.9 dBm (per tono)PAE=25.6%

0 10 20 30 36Voltage (V)

IV Curves

0

20

40

60

80

Cur

rent

(mA

)

Polarizzazione

V=-0.5 V

V=20 V

R=1 Ohm Bias

1 2

LTUNER2

Ang=Mag=

0 Deg0.9

1

2

3

Bias

12

LTUNER2

Ang=Mag=

0 Deg0.6

9.5 10 10.5Frequency (GHz)

Spectrum

-50

-30

-10

10

30

Pow

er (d

Bm

) 0.1 GHz delta -30.268 dBm delta

10.05 GHz ref 16.915 dBm ref

Spettro dei segnali in ingresso e in uscita

GT=34.7 dBCI=30.3 dBIP3=32 dBm

Numero di armoniche per tono: 5 Ordine dei prodotti di battimento: 9

Valutazione di P1dB (1 tono)

-30 -25 -20 -15 -10Power (dBm)

5

10

15

20

25

33.5

34

34.5

35

35.5-11.14 dBm23.04 dBm

-11.14 dBm34.175 dB

Guadagno

Potenza

Dal grafico si ottiene P1dB=23.04 dBm.Si Noti che p=32-23 9 dB. Il PA lavora con un BO3 dB.

Rappresentazione di segnali modulati

Forma generale di una portante a pulsazione o modulata in ampiezza e fase:

0cos ( )RF MV V t t t

In notazione fasoriale:

0 0 0( ) ( )i t t i t i ti tRF M M MV V t e V t e e V e

Il segnale VM rappresenta l’equivalente in banda-base complesso delsegnale modulante. Se si estende fino ad una frequenza max moltominore della portante può essere descritto mediante uno spettroarmonico (N righe separate di f con (N.f) <<f0).Con il bilanciamento armonico si può descrivere il segnale in oggettoutilizzando due toni:

• Un tono per rappresentare la portante (servono 1 o 2 armoniche)• Un tono alla frequenza f (con le tutte le armoniche di ampiezza e

fase corretti per descrivere il segnale VM

1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88Frequency (GHz)

Spettro in Ingresso

-100

-80

-60

-40

-20

0

Segnale BPSK in ingresso:Bitrate=10MBit/sec (256 armoniche) Portante a 1.85 GHz, Pmedia = 0 dBm

Esempio di segnale modulato

Segnale amplificato

NL_AMP

P1DB=IP3=

IP2H=NF=

GAIN=ID=

200 dBm25 dBm200 dBm-1 dB10 dBAM1

PORTMOD

WINDOW=FRes=

SIG=Pwr=

Z=P=

DEFAULT0.0001563 GHz"BPSK256" 0 dBm50 Ohm1

PORT

Z=P=

50 Ohm2

Amplificatore: G=10 dB, P1dB=14.5 dBm

Segnale rappresentato con HB:Tono 1: f0=1.85 GH,2 armonicheTono 2: f=156.25 KHz, 256 arm.

Spettro d’uscita

Main Channel =30 MHzAdjacent Channels = 15 MHz

1.82 1.84 1.86 1.88Frequency (GHz)

Spettri Uscita

-100

-80

-60

-40

-20

0

MC

AC (u)AC (l)Potenza totale: 8.4 dBmPotenza nel MC: 8.4 dBmPotenza in ACu: -21.2 dBmPotenza in ACl: -21.4 dBm

ACPR(u): 29.7 dBmACPR(l): 29.8 dBm

Reti elettriche e segnali modulati RF

Espressione generale di una portante a pulsazione o modulata in ampiezza e fase:

0cos ( )RF MV V t t t

( )i tM MV V t e

Il seguente fasore definisce l’inviluppo complesso di VRF:

Lo spettro di occupa una banda BM molto inferiore a f0. Operando uncampionamento dell’inviluppo, la distanza tra I campioni (< 1/2BM) èmolto maggiore del periodo della portante; quindi nella risposta di ungenerico circuito al segnale RF campionato, i transitori relativi allaportante si esauriscono molto prima del campione successivo.Rispetto all’analisi di tipo transient conviene quindi:

MV

- Simulare la risposta alla portante in regime stazionario (dominio della frequenza).

- Simulare la risposta all’invuluppo nel tempo con un intervallo di campionamento molto più grande del periodo della portante

Metodo dell’inviluppo

Consiste nell’abbinamento del bilanciamento armonico (HB) conl’analisi nel dominio del tempo (TD). In particolare la risposta delcircuito alla portante e alle sue armoniche è descritta con l’HBmentre gli effetti legati alla variazione nel tempo dell’inviluppo siottengono dalla soluzione TD.

Il metodo consente di trattare segnali il cui inviluppo varialentamente rispetto al periodo della portante.

Parametri caratteristici:• Frequenza della portante (tono 1) e numero di armoniche (2-3)• Intervallo di campionamento dell’inviluppo• Durata totale dell’inviluppo (numero di campioni)

- Campionamento dell’inviluppoIl periodo di campionamento Tstep deve essere inferiore a 1/2BM (BM banda max del segnale)

- Bilanciamento armonico con inviluppo delle armoniche variabile nel tempoAd ogni istante di tempo si effettua un analisi HB che include sia le equazioni di base del bilanciamento armonico sia gli effetti legati all’inviluppo variabile nel tempo. Si ottiene una successione di spettri che caratterizzano la risposta del circuito al variare del tempo, compresi I transitori legati all’inviluppo

Metodo dell’inviluppo: principi operativi (1)

- Estrazione di dati dal dominio del tempoSelezionando l’armonica della portante desiderata si può ad esempio analizzare:

- l’ampiezza in funzione del tempo (start-up di oscillatori)

- La fase in funzione del tempo (frequenza istantanea di VCO)

- L’inviluppo complesso in funzione del tempo (costellazione di segnali modulati, EVM, BER, ecc)

Metodo dell’inviluppo: principi operativi (2)

Problematiche applicative

Il metodo dell’Envelope può dare risultare più accurati delBilanciamento Armonico con campionamento dello spettrodell’inviluppo quando l’inviluppo non è periodico.Consente inoltre di simulare transienti dell’inviluppo (non possibile conl’HB).

Considerazioni: Non è richiesto che siano presenti componenti spettrali alla

frequenza della portante (ad es. portante modulata con un tono) Lo spettro dell’inviluppo può essere continuo (segnale non

periodico) o composto da combinazioni di toni Ogni armonica ha un suo inviluppo variabile nel tempo, da cui si

ottiene lo spettro mediante FFT Gli spettri intorno a ciascun armonica hanno larghezza 1/Tstep e

sono complessi (gli spettri delle armoniche adiacenti non sisommano )

Generazione di un segnale RF con il metodo dell’inviluppo

Vload

The symbol rate (sym_rate) is set to 24.3kHz, and the number of time samples per symbol (sam_per_sym) is 10. The total number of symbols simulated is determ ined by: # of symbols = numpts / sam_per_sym = 256*10/10 = 256

Using Envelope to Generate an RF Signal with filtered PI/4 DQPSK Modulation

This source generates a pseudo-random bi t sequence thatrepeats after 8191 bi ts.

ENVELOPE SIMULATION CONTROL

PI4DQPSK_ModTunedMOD1Fnom=RFf reqRout=50 OhmSy mbolRate=sy m_rateDelay =0 nsec

MeasEqnmeas1VloadFund=Vload[1]

EqnMeas

RR5R=50 Ohm

BPF_RaisedCosBPF3

WindowTy pe=0Zout=50Gain=1.0SincE=noDuty Cy cle=100Exponent=0.5Delay Sy mbols=Filt_delay _sy msSy mbolRate=sy m_rateFcenter=RFf reqAlpha=0.35

VtLFSR_DTSRC3Vlow=-1 VVhigh=1 VRate=2*sy m_rateDelay =0 nsecTaps=6538Seed=27Rout=1 Ohm

DT

V_1ToneSRC1

Sav eCurrent=noFreq=RFf reqV=dbmtov (Pav s,50)

VARVAR1

sy m_rate=24.3 kHzRFf req=850 MHzFilt_delay _sy ms=15Pav s=10 _dBmtstep=1/(sy m_rate*sam_per_sy m)sam_per_sy m=10numpts=256*10

EqnVar

Env elopeEnv 1

Other=EquationName[1]="VloadFund"UseEquationNestLev el=noUseNodeNestLev el=noStep=tstepStop=numpts*tstepOrder[1]=1Freq[1]=RFf req

ENVELOPE

Risultato della simulazione

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 20 40 60 80 100

120

-140

140

-100

-80

-60

-40

-20

-120

0

freq, KHz

Spe

ctru

m

Transmitted Spectrum

Eqn mainlimits={-16.4 kHz,16.4 kHz}

Eqn UpChlimits={mainlimits+30 kHz}

Eqn LoChlimits={mainlimits-30 kHz}

Eqn TransACPR=acpr_vr(VloadFund,50,mainlimits,LoChlimits,UpChlimits,"Kaiser")

As the number of simulated symbols increases,the computed upper and lower ACPRs shouldget closer.

Upper Channel ACPR

TransACPR(2)-22.656

Lower Channel ACPR

TransACPR(1)-20.002

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

10.0

10.5

0.0

11.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

0.2

1.5

tim e, m sec

PdB10.01

2.995

Peak-to-Average Power Ratio (dB)Mean Power (dBm)

Eqn Pout=mag(VloadFund)**2/100

Eqn PeakPower=max(Pout)

Eqn Peak_to_Ave_Ratio=PeakPower/mean(Pout)