- 1 -

ELETTROTECNICA (10 CFU)

CS INGEGNERIA MATEMATICA I prova in itinere

20 Novembre 2009

SOLUZIONI

- 2 -

D1. (punti 4 ) 1) Spiegare cosa si intende per DUALITA’ nello studio dei circuiti elettrici. 2) Scrivere per ogni termine della colonna di sinistra il “termine duale” nella colonna di destra. Resistore

Resistore

Resistenza

Conduttanza

Induttore

Condensatore

Induttanza

Capacità

Tensione

Corrente

Potenza

Potenza

Serie

Parallelo

Maglia

Nodo (Superficie chiusa)

Thevenin

Norton

Corto circuito

Circuito aperto

La Dualità è una proprietà dei circuiti elettrici per cui definizioni, enunciati, teoremi, metodi di analisi ecc rimangono validi quando si sostituisce ad ogni termine (quali quelli sopra elencati) il termine “duale”.

- 3 -

D2 (punti 4 ) a) Con quali strumenti si misurano la tensione V e la corrente I in un bipolo di un circuito ? b) Come si inseriscono nel circuito tali strumenti ? c) Quale è la differenza tra “strumenti ideali” e “strumenti reali” ? Risposta: (esempio) La tensione si misura con il voltmetro (tensiometro) che si collega in parallelo al bipolo di cui si vuole misurare la tensione. La corrente si misura con l’amperometro (reometro) che si collega in serie al bipolo di cui si vuole misurare la corrente. Il voltmetro ideale è equivalente ad un circuito aperto (G uguale a 0), l’amperometro ideale è equivalente ad un corto circuito (R uguale a 0). Il voltmetro reale ha una resistenza R che deve essere grande rispetto alla resistenza del bipolo di cui si vuole misurare la tensione, l’amperometro reale ha una resistenza R che deve essere piccola rispetto alla resistenza del bipolo di cui si vuole misurare la corrente.

- 4 -

E1 (punti 6) – Regime stazionario

- Calcolare IG Soluzione Si consideri C come nodo di riferimento (nodo 0). Si ha eA= 10 KCL in B: I2 + I3 = 1 (eB – 10) + eB = 1 da cui eB = 5,5V e I3 =- 5,5A KCL in D: I1 +2V1 + 1 = 0 (eD – 10) + 2V1 + 1 = 0 ma V1 = 10 - eD quindi (eD – 10) + 2(10 - eD) + 1 = 0 da cui eD = 11V IG = - I3 - 2V1 = - 5,5 - 2V1 = - 5,5 – 2(10 – 11) = - 3,5A= - 7/2A

- 5 -

E2 (punti 8) – Circuiti del I ordine

Gli interruttori sono nella posizione indicata da molto tempo. Per t=0 S1 si porta (istantaneamente) dalla posizione a alla posizione b e, sempre per t=0 l’interruttore S2 si apre. Calcolare iL(t) e vL(t) e disegnarne i grafici, mettendo in evidenza i valori per t = 0-, per t = 0+ e per t che tende all’infinito, nonché la costante di tempo. Soluzione Per t < 0 il generatore pilotato è cortocircuitato, il resistore alla sinistra del generatore indipendente non influenza la parte di destra, per cui il circuito diventa

Quindi iL(0-) = iL(0+) = [15 / (100 + 100||100)] /2 = 0,05A = 50mA Il termine tra parentesi quadra è la corrente nel generatore che si divide in due parti uguali. vL(0-) = 0 essendo l’induttore a regime un cortocircuito.

- 6 -

Dopo la chiusura dell’interruttore il circuito diventa:

Calcolo di iL(∞) i = 15/100 = 0,15A e quindi 2i = 0,3A KVL alla maglia indicata: 15 =(iL(∞) + 0,3) 100 + iL(∞) 100 da cui iL(∞) = - 0,075A = - 75mA vL(∞) = 0 essendo l’induttore a regime un cortocircuito Calcolo di τ Per calcolare la R vista dall’induttore si spegne il generatore indipendente di tensione (cioè diventa un cortocircuito). Quindi i = 0 e il generatore pilotato di corrente 2i, diventa un circuito aperto Quindi la R risulta 100 + 100 = 200Ω e τ = L/R = 50nsec iL(t)= 125e-t/τ-75 mA da cui, derivando e moltiplicando per L si ottiene vL(∞) = -25e-t/τ da cui vL(0) = 25V I grafici sono quindi

- 7 -

E3 (punti 8) – Regime sinusoidale .

vs(t) è un generatore sinusoidale che vale 10 cos(10t) [V] Is è un generatore costante nel tempo che vale 3 [A] - Calcolare i(t) a regime - Calcolare la potenza media dissipata sul resistore da 5 [Ω] Soluzione. Poiché ci sono due generatori indipendenti a pulsazioni diverse (ω1 = 10 e ω2 = 0) è necessario usare la sovrapposizione degli effetti da sommarsi nel dominio del tempo (NON nel dominio dei fasori). Con Is spento. (ω = 10) ZRL = 5 + 15j; ZRC = 5 - 5j I’ = Vs/(ZRL + ZRC ) = (1-j)/2 da cui i’(t) = 0.707 cos(10t – 45°) Con Vs spento (in continua) I” = - Is 10/(10+5) = - 2 (partitore di corrente) i(t) = - 2 + 0.707 cos(10t – 45°) Poiché le pulsazioni sono differenti si sommano le potenze medie; quindi P’ = ½ R|I’|2 = 5/4W = 1,25W; P” = R|I”|2 = 20W P= P’+ P”=21,25W

- 8 -

ELETTROTECNICA (10 CFU)

CS INGEGNERIA MATEMATICA II prova in itinere

2 Febbraio 2010

SOLUZIONE

- 9 -

D1. (punti 4 )

Doppio Bipolo 1 Doppio Bipolo 2 Dimostrare quale è il legame tra RS e RT affinchè i due Doppi Bipoli siano equivalenti (RS e RT sono i valori in Ohm delle resistenze) ----------------------------------------------- Soluzione.

La matrice dei parametri Rs del Doppio Bipolo 1 è Rs =SS

SS

2RRR2R

La matrice dei parametri Gt del Doppio Bipolo 2 è Gt =

TT

TT

R2

R1

R1

R2

−

−

I due Doppi Bipoli sono equivalenti se (Rs)-1 = Gt cioè

(Rs)-1 = SS

SS2

S 2RR-R-2R

3R1

= Gt cioè RT = 3 RS

- 10 -

D2. (punti 4 ) Mostrare nei seguenti casi di geometria semplice come i valori della resistenza R, della capacità C, dell’induttanza L dipendono dai parametri geometrici (lunghezza, superficie) e dalle proprietà del materiale. - per R filo cilindrico - per C armature piane parallele - per L solenoide con N spire avvolte su un nucleo toroidale Soluzione: Il legame costitutivo di un resistore è V = RI ; in un filo di lunghezza L, sezione A e resistività ρ si ha V = L E (E = campo elettrico) I = J A (J = densità di corrente) E = ρ J Sostituendo si ottiene R = ρ L/A Il legame costitutivo di un condensatore è Q = C V ; in un condensatore con armature piane parallele di area A, poste a distanza d con dielettrico di permettività ε si ha V = d E (E = campo elettrico) Q = D A (D = induzione dielettrica) D = ε E Sostituendo si ottiene C = ε A/d Il legame costitutivo di un induttore è Φ = L I ; in un induttore ottenuto da un solenoide di N spire avvolto su un nucleo toroidale di sezione A, di lunghezze (media) pari a L con materiale magnetico di permeabilità μ si ha Φ = NΨ Ψ = B A (B = induzione magnetica) NI = H L (H = campo magnetico) B = μ H Sostituendo si ottiene L =N2 μ A/L

- 11 -

E1 (punti 8) – Circuiti del II ordine

u(t) è un gradino unitario nell’origine. - Determinare per quale valore di R > 0 il circuito è detto “con smorzamento critico” - Con il valore di R cosi’ ottenuto, calcolare la corrente nell’induttore iL(t) per t da 0 a infinito.

------------------------------------------------------------------------------------ Soluzione Equazioni di stato: (indichiamo con R1 il resistore da 1 Ohm)

LCL

1

L

1

CC

RIVILRu(t)I

RVVC

−=

+−−=

&

& da cui

LR

L

CCRA−

−−=

1

11

1

Inserendo i valori di R1 C e L si ottiene R

A−−−

=1

11 da cui

2α = tr(A) = 1 + R e ω02 = R + 1

Il circuito ha smorzamento critico quando le due frequenze naturali sono uguali e cio’

si ha quando α2 = ω02 cioè quando 1)1(

41 2 +=+ RR cioè quando R = -1 (da

scartare) e quando R = 3. L’equazione caratteristica è

0442 =++ λλ da cui le frequenze naturali coincidenti uguali a -2

- 12 -

La corrente è pertanto iL(t) = (k1 + k2t) e-2t + iL(∞) iL(∞) = 1/ (R1 + R) = ¼ iL(0-) = iL(0+) = 0 = k1 + ¼ da cui k1 = - ¼ diL/dt (0) = )0(RI)0(V LC − = 0 = k2 + k1 (-2) da cui k2 = -1/2 Quindi iL(t) = - (1/4 + 1/2t) e-2t + 1/4

- 13 -

ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA

Prova scritta

23 Febbraio 2010

SOLUZIONE

- 14 -

E1 (punti 7) – Regime stazionario

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Soluzione. KCL al nodo 2: (e2-e1) + e2 + (e2-e3) = 12 (1) KCL al supernodo 1-3 e1 + (e1 – e2) + (e3 – e2) + e3 + 12 = 0 (2) Vincolo del generatore pilotato (e3 – e1) = 1 e1 (3) Da cui: e1 = - 1V; e2 = 3V; e3 = -2V IG = - (e1/R) – 12 + (e2 – e1)/R = +1 – 12 + 4 = -7 A P = IG*e1 = (-7)*(-1) = 7 Watt

- 15 -

E2 (punti 7) – OP-AMP in regime sinusoidale

R1 = R2 = 10 kΩ C = 0.1 nF vs(t) = 20 cos(104 t) R = 100 Ω L = 10 mH

- Calcolare la funzione di rete H(jω) = V0/Vs - Determinare v0(t) - Collegare il bipolo RL (A con A’, B con B’) e calcolare la potenza attiva P e la

potenza reattiva Q sul bipolo A’ B’ ----------------------------------------------------------------------------------------------- Soluzione. Il fasore della corrente uscente dal generatore vale Vs/R1 e la stessa corrente entra nel bipolo CR2 la tensione al capi del quale è V0 cambiata di segno. Si ha quindi:

)10j(11)H(jcuida

)10j(11V

C)j(G1

RVV

6-6-S

21

S0 ω

ωωω +

−=+

−=+

−=

H(j10-4) ≈ -1 e v0(t) = -20 cos(104 t) = 20 cos(104 t + π)

jjZ

VVIVA +=−

=== 1100100

40021

21

21

da cui P = 1W e Q = 1VAR

- 16 -

E3 (punti 8) – Circuiti del II ordine

R1 = 1Ω; R2 = 16/3 Ω ; R3 = 2Ω ; C = 1F ; L = 1H ; μ= ½ vs(t) = 35u(t) [gradino in t = 0 di ampiezza 35 Volt] Calcolare iL(t) per t da 0 a infinito e tracciarne il grafico. ---------------------------------------------------------------------------------------------- Soluzione Equazioni di stato (VC = V ; IL = I)

S2

13

S

1

VVIRILRV

RVVI

RVVC

+−−=

−−

++−=

&

& μ

Inserendo i valori di R1 R2 R3 C μ e L si ottiene 3

16112

−−

+−=A da cui

2α = - tr(A) = 22/3 e ω02 = 35/3

L’equazione caratteristica è

03

353

222 =++ λλ da cui le frequenze naturali λ1 = -5 e λ2 = -7/3

La corrente è pertanto iL(t) = k1e-5t + k2e-7/3t + iL(∞) iL(∞) = 9/2 iL(0-) = iL(0+) = 0 = k1 + k2 + 9/2 diL/dt (0) = 35 = k1 (-5) + k2 (-7/3) da cui k1 = -147/16 e k2 = 75/16

- 17 -

E4 (punti 6) – Circuiti magnetici

μ0 = 12,5 10-7 H/m μr1 = 4000 μr2 = 8000 S = 0,5 cm2 l = 3 cm t = 0,1 mm Determinare N in modo che ai morsetti si abbia una induttanza di circa 60 mH Soluzione La riluttanza dei tratti di lunghezza l di materiale 1 vale R1 = l / μ0μr1 S = 1,2 105

La riluttanza del tratto di lunghezza l di materiale 2 vale R2 = l / μ0μr2 S = 0,6 105

La riluttanza del traferro vale Rt = t / μ0 S = 16 105

La riluttanza R vista dall’avvolgimento vale R = 3 R1 + R2||(Rt + 3 R1) ≈ 3 R1 + R2||Rt ≈ 3 R1 + R2 = 4,2 105 L = N2/Rt = 60 mH da cui N = 158,74 quindi 159 spire.

- 18 -

ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA

Prova scritta

7 Luglio 2010

SOLUZIONE

- 19 -

E1 (punti 7) – Regime stazionario

Calcolare la corrente I : a) usando il metodo dell’analisi nodale b) applicando il Teorema di Thevenin ai morsetti A B

- 20 -

- 21 -

E2 (punti 7) – Bipoli equivalenti in regime sinusoidale

Determinare il bipolo equivalente Thevenin ai morsetti AB calcolando Zth e Vth Soluzione

- 22 -

E3 (punti 8) – Circuiti del II ordine

Calcolare v1(t) da 0 all’infinito e tracciarne il grafico. Soluzione

- 23 -

E4 (punti 6) – Doppi bipoli

a) Calcolare la matrice dei parametri R b) Disegnare lo schema circuitale di un doppio bipolo equivalente (con la stessa matrice R) comprendente solo resistori Soluzione

- 24 -

CS INGEGNERIA MATEMATICA

ELETTROTECNICA (10 CFU) Prova scritta

9 Settembre 2010

SOLUZIONE

- 25 -

E1 (punti 7) – Regime stazionario

Calcolare la corrente I Soluzione

- 26 -

E2 (punti 7) –Regime sinusoidale

Calcolare v(t) a regime con il metodo dei fasori. Soluzione

- 27 -

E3 (punti 8) – Circuiti del II ordine (Transitorio)

vs(t) è un gradino unitario nell’origine Calcolare v(t) per t da 0 a infinito. Disegnare il grafico di v(t) Suggerimento: esprimere v(t) in funzione delle variabili di stato Soluzione

- 28 -

E4 (punti 6) – Circuiti magnetici

Il circuito magnetico ha permeabilità μFE = ∞; sono note le dimensioni geometriche; non c’è flusso disperso; il traferro t è in aria (permeabilità μ0) Calcolare la matrice delle induttanze L della struttura magnetica mostrata in figura.

Soluzione

- 29 -

CS INGEGNERIA MATEMATICA

ELETTROTECNICA (10 CFU) Prova scritta

24 Settembre 2010

SOLUZIONE

- 30 -

E1 (punti 6) – Regime stazionario Determinare per quale valore di Is la corrente I vale 4 A. Calcolare in tale condizione le potenze erogate dai due generatori indipendenti.

Soluzione V = 4·10 = 40 Volt V1 = 50 – 40 = 10 Volt I1 = 10/5 = 2 Ampère I2 = V/40 = 1 Ampère IS = I + I2 – I1 = 3 Ampère PIs = 3·40 = 120 Watt PVs = 50·2 = 100 Watt

- 31 -

E2 (punti 7) – Regime sinusoidale Il circuito in figura ha due generatori indipendenti, un generatore di tensione costante (E = 5 Volt) e un generatore di corrente sinusoidale ( Is(t) = 2 sin(5t) ). Calcolare v(t) a regime.

Soluzione

- 32 -

E3 (punti 8) – Circuiti del II ordine (Transitorio)

Calcolare i1(t) da 0 all’infinito Tracciare il grafico di i1(t) Soluzione

- 33 -

E4 (punti 7) – Doppi bipoli Calcolare i parametri conduttanza G (ammettenza Y) del doppio bipolo seguente:

Soluzione. Poiché il Doppio Bipolo ha una struttura a T è conveniente calcolare i parametri R (resistenza) e quindi invertire la matrice.

- 34 -

E2 (punti 8) – Doppi Bipoli

Calcolare, tra le matrici cardinali R, G, H, H’, quelle che esistono. L’OP-AMP è ideale. Soluzione.

0R)RR(1R

0RR

2

3

24

1

++−= dato che det(R) = 0 la matrice G non esiste

la seconda matrice ibrida 0R)

RR(1R

R1

0R1

H2

3

24

1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

=′

Dato che det(H’) = 0 la matrice dei parametri H non esiste.

- 35 -

E3 (punti 8) – Circuiti magnetici

Il circuito magnetico ha permeabilità μFE = ∞; sono note le dimensioni geometriche; non c’è flusso disperso; il traferro t è in aria (permeabilità μ0)

a) Calcolare i parametri L1, L2 e M degli induttori mutuamente accoppiati ai

morsetti AA’ e BB’ b) Collegare il morsetto A’ con B e calcolare l’induttanza L che si vede ai

morsetti A B’ ---------------------------------------------------------------------------- Soluzione Indicato con Rt la riluttanza del traferro = t/A μ0

tt

tt

RN

RNN

RNN

RN

L22

221

21

2

1

=

Essendo i due avvolgimenti collegati in serie l’induttanza ai morsetti A B’ vale L1 + L2 + 2M = (N1

2 + 2N1N2 + 2 N22 )/ Rt