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Flusso multiprodottoNetwork designLocalizzazione

Modelli di Programmazione Lineare

PRTLC - Modelli

Progetto delle Reti di Telecomunicazione


Schema delle esercitazioni

• Come ricavare la soluzione ottima

• Modelli• Solver commerciali






• Come ricavare una stima dell’ottimo

• Rilassamento continuo - generazione di colonne• Rilassamento Lagrangiano e surrogato






• Come ricavare una stima dell’ottimo

• Rilassamento continuo - generazione di colonne• Rilassamento Lagrangiano e surrogato

• Come ricavare una soluzione ammissibile

• Euristiche greedy• Euristiche di ricerca locale



Modelli per problemi di telecomunicazione

• Network design (progetto di rete)

• Flusso multiprodotto• Network design

• Localizzazione di facility

• Antenne• Concentratori



Descrizione del problemaModello per archiModello per flussi

Flusso multiprodotto

Dati

• Un grafo orientato G = (N,A).

• La capacita uij e il costo cij associati ad ogni arco (i , j) ∈ A.





Dati



• Un insieme di domande di traffico K , ciascuna descritta da

• sorgente sk ∈ N

• destinazione tk ∈ N

• domanda dk





Dati






• domanda dk

Non ci sono due domande con la stessa copia origine-destinazione.





Dati






• domanda dk

Non ci sono due domande con la stessa copia origine-destinazione.

Problema

Instradare tutte le domande a costo minimo, rispettando le capacita degliarchi




Modello per archi

Variabili decisionali

Quantita di flusso relativo ad ogni domanda k su ogni arco (i , j):




Modello per archi



xkij ∀(i , j) ∈ A, ∀k ∈ K




Modello per archi



xkij ∀(i , j) ∈ A, ∀k ∈ K

Funzione obiettivo

min∑

(i,j)∈A

∑

k∈K

cijxkij




Modello per archi

Vincoli

• Bilanciamento ai nodi (garantisce instradamento della domanda):

∑

(i,j)∈A

xkij −

∑

(j,i)∈A

xkji =

dk se i = sk ,

−dk se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K




Modello per archi

Vincoli


∑

(i,j)∈A

xkij −

∑

(j,i)∈A

xkji =

dk se i = sk ,

−dk se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K

• capacita degli archi:

∑

k∈K

xkij ≤ uij , ∀(i , j) ∈ A




Modello per archi

Vincoli


∑

(i,j)∈A

xkij −

∑

(j,i)∈A

xkji =

dk se i = sk ,

−dk se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K


∑

k∈K

xkij ≤ uij , ∀(i , j) ∈ A

• dominio delle variabili:

xkij ≥ 0




Dimensione della formulazione

• Numero di variabili : |A||K |

• Numero di vincoli : |N||K | + |A|




Modello per flussi

Si basa sul flusso sui cammini del grafo anziche sugli archiEsempio : Domanda da 1 a 6

1

2

3

4

5

6

x12

x13

x24

x35

x46

x56




Modello per flussi

Si basa sul flusso sui cammini del grafo anziche sugli archiEsempio : Domanda da 1 a 6

1

2

3

4

5

6

x12

x13

x24

x35

x46

x56

• invece che x12, x24, x46 usiamo xp1, dove p1 e il cammino rosso

• invece che x13, x35, x56 usiamo xp2, dove p2 e il cammino blu




Modello per cammini

Parametri

• P l’insieme di tutti i possibili cammini che collegano nodi del grafo




Modello per cammini

Parametri


• Pk insieme dei cammini che collegano gli estremi della domanda k

• Pij insieme dei cammini che passano per l’arco (i , j)




Modello per cammini

Parametri




Il costo di un cammino : cp =∑

(i,j)∈p cij .




Modello per cammini


Quantita di flusso che passa su ogni cammino (relativo a una precisadomanda):




Modello per cammini



xp ≥ 0 ∀p ∈ P




Modello per cammini



xp ≥ 0 ∀p ∈ P

Funzione obiettivo

min∑

p∈P

cpxp




Modello per cammini

Vincoli

• instradamento delle domande:

∑

p∈Pk

xp = dk ∀k ∈ K




Modello per cammini

Vincoli


∑

p∈Pk

xp = dk ∀k ∈ K


∑

p∈Pij

xp ≤ uij , ∀(i , j) ∈ A




Modello per cammini

Vincoli


∑

p∈Pk

xp = dk ∀k ∈ K


∑

p∈Pij

xp ≤ uij , ∀(i , j) ∈ A

• dominio delle variabili:

xp ≥ 0





• Numero di variabili : esponenziale → generazione di colonne, perevitare di enumerare tutti i possibili cammini

• Numero di vincoli : |K | + |A|



Descrizione del problemaModello per archiModello per camminiCanali bidirezionaliDimensionamento dei nodi e protezione

Network design

Come cambia il problema

• Ogni domanda deve usare un solo cammino




Network design



• La capacita degli archi non e data ma deve essere stabilita comerisultato dell’ottimizzazione, decidendo il numero di canalitrasmissivi da installare su ogni arco: dimensionamento della rete




Network design



• La capacita degli archi non e data ma deve essere stabilita comerisultato dell’ottimizzazione, decidendo il numero di canalitrasmissivi da installare su ogni arco: dimensionamento della rete

• Se si decide che un arco ha capacita nulla, l’arco non appartiene allarete: design topologico della rete




Il problema

Dati





• domanda dk




Il problema

Dati





• domanda dk

• La capacita λ fornita da ogni canale trasmissivo

• Il costo cij di installare un canale trasmissivo sull’arco (i , j) ∈ A.




Il problema

Dati





• domanda dk

• La capacita λ fornita da ogni canale trasmissivo

• Il costo cij di installare un canale trasmissivo sull’arco (i , j) ∈ A.

Problema

Instradare tutte le domande, decidere quanti canali trasmissivi installaresu ogni arco a costo minimo




Modello per archi


• Istradamento di ogni domanda k e rappresentato da una variabilebinaria che indica se la domanda e instradata o meno sull’arco:




Modello per archi



xkij ∀(i , j) ∈ A∀k ∈ K




Modello per archi



xkij ∀(i , j) ∈ A∀k ∈ K

• Numero di canali installati sull’arco (i , j):




Modello per archi



xkij ∀(i , j) ∈ A∀k ∈ K


yij ∀(i , j) ∈ A




Modello per archi



xkij ∀(i , j) ∈ A∀k ∈ K


yij ∀(i , j) ∈ A

Funzione obiettivo

min∑

(i,j)∈A

cijyij




Modello per archi

Vincoli

• Bilanciamento ai nodi:

∑

j∈N:(i,j)∈A

xkij −

∑

j∈N:(j,i)∈A

xkji =

1 se i = sk ,

−1 se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K




Modello per archi

Vincoli


∑

j∈N:(i,j)∈A

xkij −

∑

j∈N:(j,i)∈A

xkji =

1 se i = sk ,

−1 se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K

• Dimensionamento della capacita degli archi:

∑

k∈K

dkxkij ≤




Modello per archi

Vincoli


∑

j∈N:(i,j)∈A

xkij −

∑

j∈N:(j,i)∈A

xkji =

1 se i = sk ,

−1 se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K


∑

k∈K

dkxkij ≤ λyij , ∀(i , j) ∈ A




Modello per archi

Vincoli


∑

j∈N:(i,j)∈A

xkij −

∑

j∈N:(j,i)∈A

xkji =

1 se i = sk ,

−1 se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K


∑

k∈K


• Dominio delle variabili:

• xkij ∈ {0, 1}

• yij ∈ Z+





• Numero di variabili : |A||K | binarie + |A| intere

• Numero di vincoli : |N||K | + |A|




Modello per cammini

Parametri







Modello per cammini


• Instradamento delle domande, rappresentato da variabili logiche cheindicano se una domanda usa o meno un cammino:




Modello per cammini



xp ∀p ∈ P




Modello per cammini



xp ∀p ∈ P


yij ∀(i , j) ∈ A

Funzione obiettivo

min∑

(i,j)∈A

cijyij




Modello per cammini

Vincoli

• instradamento delle domande:∑

p∈Pk

xp = 1 ∀k ∈ K




Modello per cammini

Vincoli


p∈Pk

xp = 1 ∀k ∈ K

• dimensionamento della capacita degli archi:

∑

p∈Pij

∑

k:p∈Pk

dkxp




Modello per cammini

Vincoli


p∈Pk

xp = 1 ∀k ∈ K


∑

p∈Pij

∑

k:p∈Pk

dkxp ≤ λyij , ∀(i , j) ∈ A




Modello per cammini

Vincoli


p∈Pk

xp = 1 ∀k ∈ K


∑

p∈Pij

∑

k:p∈Pk

dkxp ≤ λyij , ∀(i , j) ∈ A


• xp ∈ {0, 1}• yij ∈ Z+





• Numero di variabili : esponenziale (generazione di colonne perrisolvere il rilassamento continuo)

• Numero di vincoli : |K | + |A|




Canali bidirezionali


Ogni canale trasmissivo offre la stessa capacita λ in entrambe le direzioni








• Istradamento:xkij ∀(i , j) ∈ A,∀k ∈ K









• Numero di canali installati sull’arco non direzionato {i , j}:









• Numero di canali installati sull’arco non direzionato {i , j}:

yij ∀{i , j} ∈ A : i < j




Modello per cammini

Funzione obiettivo:

min∑

(i,j)∈A:i<j

cijyij

Vincoli


∑

j∈N:(i,j)∈A

xkij −

∑

j∈N:(j,i)∈A

xkji =

1 se i = sk ,

−1 se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K




Modello per cammini

Vincoli


λyij ≥ max

{

∑

k∈K

dkxkij ,∑

k∈K

dkxkji

}




Modello per cammini

Vincoli


λyij ≥ max

{

∑

k∈K

dkxkij ,∑

k∈K

dkxkji

}

e un vincolo non lineare: si puo linearizzare

∑

k∈K

dkxkij ≤ λyij , ∀(i , j) ∈ A : i < j

∑

k∈K

dkxkji ≤ λyij , ∀(i , j) ∈ A : i < j


• xkij ∈ {0, 1}

• yij ∈ Z+




Network design con protezione e dimensionamentodei nodi

Dimensionamento dei nodi

• Ad ogni nodo i ∈ N sono associati

• Un costo di attivazione φi

• Una capacita massima γi (massimo flusso entrante che un nodo puogestire)





Dimensionamento dei nodi

• Ad ogni nodo i ∈ N sono associati

• Un costo di attivazione φi

• Una capacita massima γi (massimo flusso entrante che un nodo puogestire)

• Su ogni nodo bisogna installate delle interfacce che servono pergestire i canali trasmissivi incidenti:

• Costo di interfaccia bi

• Capacita di interfaccia µi (numero di canali che l’interfaccia puogestire)





Protezione da guasti di nodo e arco

• Per ogni domanda devono essere definiti due cammini, un camminoprimario e uno di backup

• Su ogni cammino e installata capacita dedicata alla domanda stessa

• I due cammini non devono avere archi o nodi in comune




Modello per archi


• Instradamento xkij ∀(i , j) ∈ A

• Dimensionamento degli archi yij ∀(i , j) ∈ A




Modello per archi




• Apertura dei nodi (indica se il nodo i e usato nella soluzione o no):

zi ∀i ∈ N




Modello per archi




• Apertura dei nodi (indica se il nodo i e usato nella soluzione o no):

zi ∀i ∈ N

• Dimensionamento dei nodi (indica il numero di interfacce installatesul nodo i):

si ∀i ∈ N




Modello per archi

Funzione obiettivo

min∑

(i,j)∈A

cijyij




Modello per archi

Funzione obiettivo

min∑

(i,j)∈A

cijyij +∑

i∈N

(φizi + bi si )




Modello per archi

Funzione obiettivo

min∑

(i,j)∈A

cijyij +∑

i∈N

(φizi + bi si )

Vincoli

• Bilanciamento ai nodi - presenza di due cammini disgiunti in arco:

∑

j∈N:(i,j)∈A

xkij −

∑

j∈N:(j,i)∈A

xkji =

2 se i = sk ,

−2 se i = tk

0 se i 6= sk , tk ,

∀i ∈ N,∀k ∈ K




Modello per archi

Vincoli


∑

k∈K





Modello per archi

Vincoli


∑

k∈K


• Capacita e attivazione dei nodo:

∑

k∈K

∑

(j,i)∈A

dkxkji ≤ γizi ∀i ∈ N




Modello per archi

Vincoli


∑

k∈K


• Capacita e attivazione dei nodo:

∑

k∈K

∑

(j,i)∈A

dkxkji ≤ γizi ∀i ∈ N

• Dimensionamento dei nodi:

∑

(j,i)∈A

yji ≤ µi si ∀i ∈ N




Modello per archi

Vincoli

• Protezione dai guasti di nodo - cammini disgiunti in nodo:

∑

(j,i)∈A

xkji ≤ 1 ∀i ∈ N,∀k ∈ K : i 6= tk




Modello per archi

Vincoli


∑

(j,i)∈A

xkji ≤ 1 ∀i ∈ N,∀k ∈ K : i 6= tk


• xkij ∈ {0, 1}

• yij ∈ Z+




Modello per archi

Vincoli


∑

(j,i)∈A

xkji ≤ 1 ∀i ∈ N,∀k ∈ K : i 6= tk


• xkij ∈ {0, 1}

• yij ∈ Z+

• zi ∈ {0, 1}• si ∈ Z+



Posizionamento di antenneLocalizzazione di concentratoriPrimo modelloModello alternativoLocalizzazione di nodi della backbone

Posizionamento di antenne

Dati

• Insieme A di possibili siti in cui installare antenne





Dati


• Un insieme di test point T, da servire





Dati



• Distanza dij tra ogni possibile antenna i e ogni test point j

• Distanza massima R tra antenna e test point che possonocomunicare

• pij potenza che l’antenna i deve irradiare se serve il test point j





Dati






• K Numero di antenne da installare





Dati






• K Numero di antenne da installare

• P Massimo numero di test point che ogni antenna puo servire





Problema

Decidere

• Dove installare le K antenne





Problema

Decidere


• A quale antenna assegnare ogni test point





Problema

Decidere



Garantendo che ogni test point sia assegnato ad una sola antenna chedista meno di R





Problema

Decidere




(usiamo una matrice M tale che mij = 1 se la distanza dij ≤ R e mij = 0se dij > R)





Problema

Decidere




(usiamo una matrice M tale che mij = 1 se la distanza dij ≤ R e mij = 0se dij > R)con l’obiettivo di minimizzare la massima potenza irradiata




Modello


• yi ∀i ∈ A : yi = 1 se viene installata un’antenna nel sito i




Modello



• xij ,∀i ∈ A, j ∈ T : xij = 1 se il test point j e assegnato all’antenna i




Modello




Funzione obiettivo

min maxi∈A,j∈T

{pijxij}




Modello




Funzione obiettivo

min maxi∈A,j∈T

{pijxij}

Non lineare. Introduciamo una variabile ausiliaria z :

z = maxi∈A,j∈T

{pijxij}.

La funzione obiettivo diventa min z




Modello




Funzione obiettivo

min maxi∈A,j∈T

{pijxij}

Non lineare. Introduciamo una variabile ausiliaria z :

z = maxi∈A,j∈T

{pijxij}.

La funzione obiettivo diventa min z

N.B. dobbiamo aggiungere dei vincoli che garantiscano il correttocomportamento di z




Modello

Vincoli

• Vincolo per far assumere a z il corretto valore

z ≥ pijxij ∀i ∈ A, j ∈ T




Modello

Vincoli



• Assegnamento dei test point:

∑

i∈A

mijxij = 1, ∀j ∈ T




Modello

Vincoli



• Assegnamento dei test point:

∑

i∈A

mijxij = 1, ∀j ∈ T

• Numero di antenne:∑

i∈A

yi = K




Modello

Vincoli

• Capacita delle antenne:

∑

j∈T

xij ≤ P , ∀i ∈ A




Modello

Vincoli


∑

j∈T

xij ≤ P , ∀i ∈ A

• Legame tra variabile di assegnamento e variabile di installazionedelle antenne:

xij ≤ yi ∀i ∈ A, j ∈ T




Modello

Vincoli


∑

j∈T

xij ≤ P , ∀i ∈ A

• Legame tra variabile di assegnamento e variabile di installazionedelle antenne:

xij ≤ yi ∀i ∈ A, j ∈ T

• Formulazione alternativa che sostituisce i due vincoli:∑

j∈T

xij ≤ Pyi , ∀i ∈ A




Modello

Vincoli


• xij ∈ {0, 1} ∀i ∈ A, j ∈ T

• yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ A

• z ≥ 0




Localizzazione di concentratori

Dati

• Insieme T di nodi terminali, origini e le destinazioni della domande ditraffico:

• tik traffico dal nodo i al nodo k





Dati



• Un insieme C di siti candidati ad ospitare i nodi concentratori, cheraccolgono il traffico dei terminali





Dati




• Capacita Γi , che rappresenta il massimo traffico che il concentratorepuo gestire

• Costo di installazione fi





Dati




• Capacita Γi , che rappresenta il massimo traffico che il concentratorepuo gestire

• Costo di installazione fi

• gij ,∀i ∈ C, j ∈ T costo per unita di traffico inviata da j a i





Problema

Decidere

• Dove installare i concentratori





Problema

Decidere


• A quale concentratore assegnare ogni terminale, garantendo che ogniterminale sia servito da uno e un solo concentratore





Problema

Decidere


• A quale concentratore assegnare ogni terminale, garantendo che ogniterminale sia servito da uno e un solo concentratore

con l’obiettivo di minimizzare il costo totale della rete




Primo modello


• yi ∀i ∈ C : yi = 1 se viene installato un concentratore nel sito i

• xij ,∀i ∈ C, j ∈ T : xij = 1 se il nodo terminale j e assegnato alconcentratore i




Primo modello




Funzione obiettivo

min∑

i∈C

fiyi +




Primo modello




Funzione obiettivo

min∑

i∈C

fiyi +∑

i∈C

∑

j∈T

gijxij




Primo modello




Funzione obiettivo

min∑

i∈C

fiyi +∑

i∈C

∑

j∈T

gijxij

(

∑

k∈T

(tjk + tkj)

)




Primo modello

Vincoli

• Assegnamento dei nodi terminali:

∑

i∈C

xij = 1, ∀j ∈ T




Primo modello

Vincoli


∑

i∈C

xij = 1, ∀j ∈ T

• Capacita dei nodi concentratori e legame tra variabili di apertura edi assegnamento:

∑

j∈T

(

∑

k∈T

(tjk + tkj)

)

xij ≤ Γiyi ∀i ∈ C


• xij ∈ {0, 1} ∀i ∈ C, j ∈ T

• yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ C




Modello alternativo

Si basa sull’assegnamento di sottoinsiemi di nodi terminali, anziche deisingoli terminali

Dati

• S: insieme di tutti i sottoinsiemi di nodi terminali




Modello alternativo


Dati


• Si : insieme di tutti i sottoinsiemi di nodi terminali che possonoessere assegnati ad uno stesso nodo concentratore i senza violarne lacapacita




Modello alternativo


Dati


• Si : insieme di tutti i sottoinsiemi di nodi terminali che possonoessere assegnati ad uno stesso nodo concentratore i senza violarne lacapacita

• Sj l’insieme dei sottoinsiemi a cui appartiene il nodo terminale j

• Il costo associato al sottoinsieme s ∈ Si e al concentratore i e

cs =∑

j∈s

gij

(

∑

k∈T

(tjk + tkj)

)




Modello alternativo


• xsi ,∀s ∈ S, i ∈ C : xsi = 1 se il sottoinsieme s ∈ Si e assegnato alconcentratore i




Modello alternativo







Modello alternativo




Funzione obiettivo

min∑

i∈C

∑

s∈Si

csxsi +∑

i∈C

fiyi




Modello alternativo

Vincoli


∑

s∈Sj

∑

i∈C|s∈Si

xsi = 1, ∀j ∈ T




Modello alternativo

Vincoli


∑

s∈Sj

∑

i∈C|s∈Si

xsi = 1, ∀j ∈ T

• Legame tra variabili di apertura e di assegnamento:

∑

s∈Si

xsi ≤ yi ∀i ∈ C




Modello alternativo

Vincoli


∑

s∈Sj

∑

i∈C|s∈Si

xsi = 1, ∀j ∈ T


∑

s∈Si



• xsi ∈ {0, 1} ∀i ∈ C, s ∈ Si

• yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ C




Modello alternativo

Vincoli


∑

s∈Sj

∑

i∈C|s∈Si

xsi = 1, ∀j ∈ T


∑

s∈Si



• xsi ∈ {0, 1} ∀i ∈ C, s ∈ Si

• yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ C

N.B. Il vincolo di capacita e soddisfatto dalla costruzione dei sottoinsiemi




Localizzazione di nodi della backbone

Insieme di nodi terminali

sorgente e destinazione del traffico





Insieme dei siti candidati

ad ospitare un nodo della backbone





Dati


• tij traffico dal nodo i al nodo j





Dati



• Un insieme C di siti candidati ad ospitare i nodi della backbone, cheraccolgono il traffico dei terminali





Dati




• Capacita Gk , che rappresenta il massimo traffico che il nodo dellabakcbone puo gestire

• Costo di installazione ck





Dati




• Capacita Gk , che rappresenta il massimo traffico che il nodo dellabakcbone puo gestire

• Costo di installazione ck

• Costi di trasporto del traffico:

• γik : costo tra terminale i e nodo della backbone k

• δkm: costo su un arco tra due nodi della backbone k e m





Problema

Decidere

• Dove installare i nodi della backbone

• A quale nodo della backbone assegnare ogni terminale

Garantendo che ogni terminale sia assegnato ad un solo nodo dellabackbone con l’obiettivo di minimizzare il costo totale della rete (costo diinstallazione dei nodi e di trasporto del traffico)




Modello


• xik ,∀i ∈ T, k ∈ C : xik = 1 se il nodo terminale i e assegnato al nododella backbone k

• yk ∀k ∈ C : yk = 1 se viene installato un nodo della backbonenel sito k




Modello




Funzione obiettivo

min∑

k∈C

ckyk +




Modello




Funzione obiettivo

min∑

k∈C

ckyk +∑

i∈T

∑

k∈C

γik

∑

j∈T

(tij + tji )

xik+




Modello




Funzione obiettivo

min∑

k∈C

ckyk +∑

i∈T

∑

k∈C

γik

∑

j∈T

(tij + tji )

xik+

∑

k∈C,m∈C

δkm

∑

i∈T,j∈T

tijxikxjm




Modello

Vincoli


∑

k∈C

xik = 1, ∀i ∈ T




Modello

Vincoli


∑

k∈C

xik = 1, ∀i ∈ T

• Capacita dei nodi concentratori:

∑

i∈T

∑

j∈T

tij

xik




Modello

Vincoli


∑

k∈C

xik = 1, ∀i ∈ T


∑

i∈T

∑

j∈T

tij

xik +∑

m∈C|k 6=m

∑

i∈T,j∈T

tjixikxjm

≤ Gkyk ∀k ∈ C




Modello

Vincoli


∑

k∈C

xik = 1, ∀i ∈ T


∑

i∈T

∑

j∈T

tij

xik +∑

m∈C|k 6=m

∑

i∈T,j∈T

tjixikxjm

≤ Gkyk ∀k ∈ C

• Dominio delle variabili

• xik ∈ {0, 1} ∀i ∈ T, k ∈ C

• yk ∈ {0, 1} ∀k ∈ C




Modello

Non linearita




Modello

Non linearita

Prodotto di variabili binarie: xikxjm




Modello

Non linearita

Prodotto di variabili binarie: xikxjm

Introduciamo una variabile zkmij che rappresenti e sostituisca il

prodotto xikxjm

Per garantire che la nuova variabile assuma il corretto significato siintroducono i vincoli:

zkmij ≥ xik + xjm − 1


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